ANALISIS DE SENSIBILIDAD

INDICE:……1
INTRODUCCION………………………………………………..2
ANALISIS POSOPTIMO O DE SENSIBILIDAD…………….3.
CAMBIOS EN LA VARIABLE DE COEFICIENTE………….3
CAMBIOS QUE AFECTAN LA FACTIBILIDAD……………..5
SOLUICON DE JEJMPLO 1…………………………………..7
SOLUCIOON DE EJMPLO 2………………………………….14
CONCLUCIONES………………………………………………17
BIBLIOGRAFIA………………………………………………..18
1
INTRODUCCION
EL ANALISIS DE SENCIBILIDAD O TAMBIEN LLAMADE ANALISIS
POSOPTIMO ES UYN TRABAJOP QUE SE REALIZARA A TOMAR EN LA
UNIDAD NUMERO 5 DEL PROGRAMA DE ESTUDIOS DE LA MATERIA
TECNICAS DE PLANEACION PARA LA CARRERA DE ELECTRONICA EN EL
INTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD GUZMAN.
ESTE TRABAJO AYUDARA A LA COMPRENSION DEL TEMA Y ABRIR EL
CONOCIMIENTO DEL MISMO,
ESTE TRABAJO RECOPILA UN RESUMEN DE INFOPRMACION OBTENIDA EN
VARIOS LIBROS Y DE PAGINAS DE INTERNET.
EL RESUMEN ESTA HECHO A BASE DEL INTERCALE DE INFORMACION DE
LA FUENTE BIVLIOGRAFICAS QUE SE PRESENTARAN AL FINAL.
2
ANALISIS POSOPTIMO O DE SENSIBILIDAD
La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil que muchos gerentes
pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos
casos prefieren decir “creo que la probabilidad de que este evento ocurra está entre 0.5 y
0.7”. Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de decisión gerencial, es útil
realizar un análisis de sensibilidad para determinar cómo afecta a la decisión la
asignación de probabilidades
El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución
óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original.
Definiciones generales del Análisis de sensibilidad
Efecto neto. - Es la ganancia o pérdida por unidad adicional de una variable que entra a
la base. El efecto neto de una variable básica siempre será cero.
f j = efecto neto
Ejemplo: Realizar un análisis de sensibilidad para el siguiente modelo.
Maximizar: Xo = 10X1 + 15X2 + 4X3 + 2X4
sujeto
a:
10X1
+
5X1
+
4X1
+
" X1, X2, X3, X4 >= 0
Solución
Base Xo
Xo 1
X2
0
X6
0
X1 0
20X2
+
5X2
+
2X2
+
óptima
X1
0
0
0
1
X2
X3
0
7/3
1 -13/5
0
-1/3
0 29/15
2X3
5X3
6X3
+
+
+
3X4
4X4
6X4
del
X4
X5
X6
X7
5
2/3
0
5/6
-12/15 1/15
0
-1/6
-3/2
-1/6
1
-5/6
19/10 -1/30 0
1/3
<=
<=
<=
4,000
1500
800
problema.
Sol.
3,333.33
400/3
500/3
400/3
3
CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO.
El cambio en el Cj de una variable se interpretaría, por ejemplo, como en incremento en
el precio de un producto para un objetivo de maximización, o como la disminución en el
costo de una materia prima para un objetivo de minimización.
Finalmente, se estudiará por separado si la modificación en el Cj es para una variable
no-básica o para una bás ica, ya que las consecuencias en cada caso son muy diferentes.
Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable No-básica.
Es importante mencionar que una variación de Cj a Cj’ en el coeficiente objetivo de una
variable no-básica, no necesariamente conlleva a una infracción de la inmejorabilidad
de la solución óptima actual, aunque en ciertas ocaciones si lo haga. Por este motivo, se
considerarán a continuación dos alternativas de cambio mutuamente exclusivas en el Cj
de una variable no-básica.
(1)
cuando
C j’
<
Cj
(maximización)
en
la
solución
óptima
actual
f j = Cj - Zj <= 0
==>
f j = Cj’ - Zj < 0
Con lo cual la inmejorabilidad no se infringe. En consecuencia, se deduce que cuando el
Cj’ < Cj en un problema de maximización, la solución óptima actual no se alterara, lo
mismo
en
minimización
con
Cj’
>
Cj.
(2) cuando Cj’ > Cj (maximización)
Es claro que solamente cuando el precio de la utilidad de una variable no-básica se
incrementa, Cj’ > Cj, en un problema de maximización, surge la posibilidad de que se
altere la inmejorabilidad y por ende la optimidad actual.
fj
=
Cj
Zj
<=
0
o alternativamente, cuando
Cj’ <= Cj + I fj I
==>
Cj’
<=
Cj
-fj
Es decir, si el nuevo Cj satisface la desigualdad, la actual solución permanece óptima;
de lo contrario, debe calcularse el f j’ el cual será positivo, e introducirse Xj a la base
para encontrar la nueva solución óptima.
Ejemplo:
Cambio en el Cj de una variable no - básica.
Para
el
problema
dado.
a) determinar los rangos de variación en la utilidad unitaria de las variables no-básicas ,
tal que la solución óptima no se altere.
b) Evaluar los efectos de un incremento en la utilidad unitaria del producto 3 de $4 a
$5.
c) Evaluar el efecto de de un aumento en la utilidad actual del producto 4 de $2 a $8.
a)
C3’
C j’
<=
<=Cj
4
+
+
I
I
fi
-7/3I
j
<=
I
19/3
4
C4’
<=2
C5’
<=
0
C7’ <= 0 + I -5/6 I = 5/6
+
I
+
I
-5I
-2/3 I
<=
<=
7
2/3
b) Dado C3’ = 5 = 15/3 satisface el límite máximo de 19/3, por lo tanto, el incremento
no modifica la solución óptima actual.
C) Ya C4’ = 8 sobrepasa el límite de incremento en C4, la solución óptima actual
cambiará. El nuevo f4 es
f4’ = C4’ - Z4 = 8 -7 = 1
y
al
Base
Xo
Xo
1
X2
1/6
X6
5/6
1/30
X1
0
ser
X1
positivo,
X2
1
X3
X4
debe
entrar
a
la
base.
X4
0
S1
S2
S3
Sol.
0
7/3
2/3
0
5/6
3,333.33
0
0
1
-13/15 -12/15
1/15
0
400/3
-----0
0
0
-1/3
-3/2
-1/6
1
500/3
-----0
1
0
29/15
19/10
1/3
400/3 4000/57
5
CAMBIOS QUE AFECTAN LA FACTIBILIDAD
Existen 2 tipos de cambios que pudieran afectar la factibilidad de la solución actual
1. Cambios en la disponibilidad de recursos (o segundo miembro de las restricciones) y
2. Adición de nuevas restricciones. Consideraremos cada caso en forma individual.
Cambio en el segundo miembro de las restricciones
Supóngase que en el modelo Reddy Mikks, la disponibilidad de la materia primaria A
se cambia a 7 toneladas en vez de 6 toneladas actuales. ¿Cómo se ve afectada la
solución actual?
Sabemos que los cálculos primarios -duales que los cambios en el segundo miembro
de las restricciones solo pueden afectuar al segundo miembro de una tabla optima;
Es decir solo pueden afectar la factibilidad. Por lo tanto, todo lo que tenemos que
hacer es volver acalcular el nuevo segundo miembro de la tabla original (la matriz
inversa se muestra en una region sombreada de la tabla optima.)
La nueva solución (básica) del problema es :
Como los elementos del segundo miembro se mantienen ni negativos, las variables
básicas actuales permanecen sin cambios. Solo sus nuevos valores se transforman
en
.
6
EJEMPLO NO. 1
ANALISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN
OBJETIVO Y DE LAS RESTRICCIONES
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN
OBJETIVO. (SOLUCION GRÁFICA)
x
y
0
4
10
0
5x + 2y ≤ 20
0
6
2
0
x + 3y ≥ 6
0
10
10
0
x + y = 10
0 10
15 0
2x + 3y = 30
Función objetivo
Coeficiente Cx
-1/1 ≤ -(2 + ? Cx)/3 ⇒
- 8 ≤ ? Cx ≤ 1
7
Coeficiente Cy
-1/1 ≤ -2/(3 + ? Cy)
⇒
-1 ≤ ? Cx ≤ 8
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN
OBJETIVO. (SOLUCION GRÁFICA)
a) Coeficientes de la función objetiv o
Solo es necesario hacerlo para las variables originales.
a.1)
Variables básicas
-
Las variables x e y son básicas ya que figuran en la base (aunque x valga
cero).
La variable x saldrá de la base cuando algún coste reducido sea menor o
igual a cero.
Solo debemos examinar la columna S(1). El resto no sufren
modificaciones al variar el coeficiente asocia do a x (C x)
Cx – Zx = 0 – [2 + ?Cx(1/3) – 3*(1/3) – 0*(2/3)] = 0
Por tanto: ?Cx = 1
-
Puesto que no hay otras columnas a examinar, concluimos que el
coeficiente Cx podrá aumentar en 1 (de 2 hasta 3) y podrá disminuir todo
lo que se quiera.
Análogamente , para la sensibilidad de Cy tendremos:
Cy – Zy = 0 – [2*(1/3) – (3 + ?Cy)*(1/3) – 0*(2/3) = 0
Por tanto: ?Cy = -1
-
a.2)
Concluimos que el coeficiente y podrá disminuir en 1 (de 3 hasta 2) y
podrá aumentar todo lo que se quiera.
Variables no básicas
No hay variables originales no básicas.
8
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS RESTRICCIONES
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD 1ª RESTRICCIÓN (SOLUCION GRÁFICA)
•
•
x
y
0
4
10
0
5x + 2y ≤ 20
0
6
2
0
x + 3y ≥ 6
0
10
10
0
x + y = 10
0
15
10
0
2x + 3y = 30
Función objetivo
Es posible desplazar 5x + 2y hasta el punto x = 10; y = 0 en el que 5x + 2y = 50 sin
que ninguna variable tome un valor negativo. Por tanto, el aumento permisible es de 20
hasta 50. esto es, 30.
No es posible desplazar 5x + 2y hacia el origen, porque entonces la solución sería
infactible.
9
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD 2ª RESTRICCIÓN (SOLUCION GRÁFICA)
•
•
x
y
0
4
10
0
5x + 2y ≤ 20
0
6
2
0
x + 3y ≥ 6
0 10
10 0
x + y = 10
0
15
2x + 3y = 30
10
0
Función objetivo
Es posible desplazar x + 3y hasta el punto x = 0; y = 10 en el que x + 3y ≥ 30 sin que
ninguna variable tome un valor negativo. Por tanto, el aumento permisible es de 6 hasta
30, esto es, 24.
Se puede desplazar la restricción todo lo que se quiera ha sta el origen y la solución no
cambia, por lo que la disminución permisible es 8 .
10
ANÁLISIS D E SENSIBILIDAD 3ª RESTRICCIÓN (SOLUCION GRÁFICA)
•
•
x
y
0
4
10
0
5x + 2y ≤ 20
0
6
2
0
x + 3y ≥ 6
0 10
10 0
x + y = 10
0 10
15 0
2x + 3y = 30
Función objetivo
Es posible desplazar x + y hasta el cruce de las restricciones 1ª y 2ª. Esto es, el punto
en el que 5x + 2y = 20 y x + 3y = 6. la solución de este sistema es x = 48/13; y =
10/13. Aplicada esta solución a la 3ª restricción, nos da 48/13 + 10/13 = 58/13 que es el
valor mínimo que puede tomar la 3ª restricción. Si ahora el lado derecho vale 10 y solo
puede valer 58/13, puede disminuir en 10 – 58/13 = 78/13 = 5,5384.
No se puede desplazar hacia arriba, porque el problema sería infactible.
11
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LAS RESTRICCIONES (SOLUCIÓN
NUMÉRICA)
1ª RESTRICCIÓN
5x + 2y ≤ 20
0 + 1/3? b1 ≥ 0
⇒
? b1 ≥ 0
10 – 1/3 ? b1 ≥ 0
⇒
? b1 ≤ 30
24 – 2/3 ? b1 ≥ 0
⇒
? b1 ≤ 36
2ª RESTRICCIÓN
⇒
0 ≤ ? b1 ≤ 30
x + 3y ≥ 6
Es una restricción no activa que en el óptimo vale 30. Por lo tanto, es posible
incrementar 30 – 6 = 24 ⇒ - 8 ≤ ? b3 ≤ 24.
3ª RESTRICCIÓN
x + y = 10
0 – 2/3? b3 ≥ 0
⇒
? b3 ≤ 0
10 + 5/3? b3 ≥ 0
⇒
? b3 ≤ -6
24 + 13/3? b3 ≥ 0
⇒
? b3 ≤ -72/13 = -5.5384
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
MEDIANTE SOLVER).
DE
⇒ -5,5384 ≤ ? b3 ≤ 0
LAS
RESTRICCIONES
(SOLUCIÓN
A continuación se presenta la solución del análisis de sensibilidad obtenido mediante
Solver que, como puede comprobarse, coincide con la obtenida anteriormente por los
diferentes métodos.
Debe observarse que en el programa original de Solver (por lo menos en la versión 10.0
en español) la última columna tiene un error en los letreros: en lugar de poner
“Disminución permisible” figura en el original “Aumento permisible”. En la siguiente
hoja este letrero ya ha sido cambiado y, por lo tanto, ya está en la forma correcta.
12
13
EJEMPLO NO. 2 Análisis de Sensibilidad
Consideremos el siguiente ejemplo:
6.3 Análisis de Sensibilidad
Consideremos el siguiente ejemplo:
Máx
Z = 15 X 1 + 20 X 2
X1 + 2 X 2 ≤ 6
s .a .
2 X1 + 2 X 2 ≤ 8
4
X 1 ≥ 0; X 2 ≥ 0
3
4
6
14
A partir de la resolución gráfica del problema se tiene:
Solución óptima: x1 *=2 ; x2*=2
El valor óptimo : Z = Z(2,2) = 70
El análisis de sensibilidad permite responder, entre
otras, las siguientes preguntas:
1.- ¿Cuál es el intervalo de variación de algún
coeficiente de la función objetivo, de modo que la
actual solución siga siendo la óptima? Sea
Z = c1 x1+c2x2
La solución óptima de la nueva función seguirá siendo
x1 *=2 ; x2*=2 ssi:
−1 ≤
− C1
≤
C2
−1
2
También podemos estudiar el intervalo de un sólo
coeficiente, dejando el resto de los parámetros fijos:
−
−
Para C1: −1 ≤ C1 ≤ 1
⇔ 10 ≤ C1 ≤ 20
20
2
Para C2: − 1 ≤
− 15 − 1
≤
C2
2
⇔
15 ≤ C2 ≤ 30
2.- ¿ Cuál es la variación del actual valor óptimo de la
función objetivo si cambio en una unidad algún
coeficientes del lado derecho de las restricciones ?
Estudiamos por separado las variaciones de cada uno
de los coeficientes del lado derecho de las
restricciones, de modo que preserven la geometría del
problema, esto es que se conserven las mismas
restricciones activas de la solución óptima inicial.
15
Primera restricción.
Mayor variación del coeficiente del lado derecho se
alcanza en x 1= 0 y x2 = 4, de donde se obtiene:
Z(0,4) = 15*0 + 20*4 = 80 y b1 *=0 + 2*4 = 8
Menor variación del coeficiente del lado derecho se
alcanza en: x 1= 4 ; x2= 0, de donde se obtiene:
Z(4,0) = 15 *4 + 20*0 = 60 y b1 = 4 + 2*0 = 4
De aquí, se calcula el precio sombra Π 1, que indica
la razón o tasa de cambio de la función objetivo con
respecto al cambio en una unidad del lado derecho:
Z (0 ,4 ) − Z ( 4 ,0 )
80 − 60
Π1 =
=
= 5
* −
− 4
8
b1
b1
Segunda restricción:
Mayor variación del coeficiente del lado derecho se
alcanza en x 1= 6 y x2 = 0, de donde se obtiene:
Z(0,4) = 15*6 + 20*0 = 90 y b1 *=2*6 + 2*0 = 12
Menor variación del coeficiente del lado derecho se
alcanza en: x 1= 0 ; x2= 3, de donde se obtiene:
Z(4,0) = 15 *0 + 20*3 = 60 y b1 = 2*0 + 2*3 = 6
De aquí, se calcula el precio sombra Π 2, que indica
la razón o tasa de cambio de la función objetivo con
respecto al cambio en una unidad del lado derecho:
Π2 =
Z ( 6 , 0 ) − Z ( 0 ,3 )
*
b2 − b2
=
90 − 60
12 − 6
=5
16
CONCLUCIONES
EL ANALAISIS DE SENSIBILIDAD ES UNA POTENCIALIDAD DEL METODO
DE SOLUCION DE `PROBLEMAS LINEALES.
SE BASA EN EL ANALISIS DE UN PROBLEMAS SIMPLEX GRAFICO, A ESTE
SE LE REALIZA UN ANALISIS DE POSIBLES VARIACIONES PARA MEJORAR
EL RESULTADO OPTIMO Y PODER LLEGAR A TOMAR LAS MEJORES
DECICIONES FUTURAS EN LAS OPERACIONES PROGRAMADAS PARA
CUALQUIER ACTIVIDAD EMPRESARIAL.
AL REALIZAR ESTE TRABAJO DOY EN RAZON QUE UNA EMPRESA DEBE
ESTAR SUJETA A POSIBLES CAMBIOS EN LAS SITUACIONES DE
PRODUCCION PARA NO CAER EN ERRORES DE PRODUCCION Y PARA
SIEMPRE OBTENER EL MAXIMA DE GANANCIAS Y EL MINIMO DE GASTOS.
17
BIBLIOGRAFIA
HANDY A. TAHO
INVESTIGACIOON DE OPERACIONES
ED. ALFAOMEGA
*MOSKOWITZ Y WRHIGHT
INVESTIGACION DE OPERACIONES
ED. PRENTICE HALL
EN EL INTERNET:
www.itlp.edu.mx/publica/ tutoriales/investoper1/unidad4.htm - 2k –
apuntes.rincondelvago.com/ analisis-de-sensibilidad_1.html - 19k
apuntes.rincondelvago.com/analisis -de-sensibilidad.html - 18k - 6 Nov 2004 –
www.umm.edu/esp_ency/article/003741.htm - 24k
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www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/dualidad.html - 26k
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