Teórica Vigas

Transcripción

Teórica Vigas

Trabajo Práctico Cálculo de Vigas.
1 – Introducción
1.1 – Estructuras isostáticas e hiperestáticas; cálculo de los
diagramas de características en vigas, momento flector y esfuerzo de
corte
Como se explicó en las 2 últimas clases teóricas, las vigas en hormigón
armado generalmente son continuas, resultando de este modo un sistema
hiperestático.
Una viga simplemente apoyada, como vieron en Estructuras I, se
pueden resolver utilizando las 3 ecuaciones de equilibrio de la estática,
pues tienen sólo 3 incógnitas, que son las 3 reacciones de vínculo. (RX1,
Ry1, Ry2).
En cambio una viga continua, como la de la figura, tiene 8 incógnitas
(las 8 reacciones de vínculo), luego su resolución es muchísimo más
laboriosa, debiéndose recurrir, además de las ecuaciones de la estática, a
las relaciones de deformación que presentan los elementos del sistema,
lo cual nos obliga a conocer para su resolución las dimensiones y tipo
de material de las barras que componen el sistema.
Para la resolución del hiperestático vamos a recurrir al programa Robot
Structural Analisys Professional 2011, de Autodesk, tal como se explicó
en las 2 últimas clases teóricas
1.2 – Dimensionamiento a flexión
1.2.1 Comportamiento del hormigón
Luego el momento flector positivo( que en las vigas continuas se
produce en el centro del tramo) el hormigón armado lo toma con un par
de fuerzas, una de compresión arriba (cbu en el gráfico subsiguinte) y
otra de tracción abajo ( Tu en el gráfico).
Cbu = Tu = M/z
Siendo M el momento flector y z la distancia entre Cbu y Tu
Si el momento flector es negativo (hecho que en las vigas continuas se
produce en los apoyos), la viga recibe una solicitación de flexión arriba,
que se toma mediante armadura, y una solicitación de compresión abajo,
que lo toma con el hormigón.
1.2.2 - Forma de la sección, ancho colaborante de una losa.
Sea una viga de sección rectangular, como la del esquema.
En el tramo, el momento flector positivo se toma mediante la armadura
principal, que se coloca abajo, y la cabeza de compresión, arriba, de
ancho b.
Este ancho b es igual a la luz de la viga dividido 3 si es una viga interior
(losa de los 2 lados) y la luz dividido 6 si es una viga interior (losa de
un solo lado) , en el caso de una viga simplemente apoyada.
Si se trata de una viga continua, en vez de la luz de la viga se utiliza la
distancia entre puntos de momento nulo, que vale
Lo = 0,80 x L en tramo externo de viga continua
Lo = 0,60 x L, en tramo interno de viga continua
Lo = L en viga simplemente apoyada
b = Lo/3, si la viga tiene losa de los 2 lados
b = Lo/6, si la viga tiene losa de 1 sólo lado.
Siendo L la luz entre apoyos del tramo de viga considerado
Y b el ancho colaborante de la losa , que forma la cabeza de compresión
Ejemplo, ancho colaborante en el tramo viga 2 (interior)
Ejemplo, ancho colaborante en el tramo viga 1( interior)
En los apoyos, en todos los casos la viga funciona como rectangular,
pues la losa no colabora por producirse la compresión abajo.
1.2.3 Cálculo de una sección de viga a flexión
a) Si la sección es en el apoyo el ancho de la cabeza de compresión b
es igual al ancho de la viga (en nuestro ejercicio, 15 cm para las
vigas interiores y 25 cm para las de borde). Si la sección es en el
tramo (momento positivo) calculamos el ancho de la cabeza de
compresión como se vió en el punto anterior.
b) Calculamos el coeficiente adimensional Kh mediante la fórmula
Donde
Ms = Momento flector en la sección considerada
h = altura útil de la sección, que es la distancia entre la armadura inferior
y la fibra superior de la viga, podemos tomar h = d – 3 cm, siendo d el
canto de la viga{
b = ancho de la cabeza de compresión, calculada en a).
c) En la tabla adjunta, entrando con la resistencia especificada del
hormigón, que fijamos en 210 KG/cm2, hallamos el coeficiente
adimensional Kh*, que para esa resistencia es 5,40. Si el valor de
kh, hallado en el punto anterior es mayor que Kh*, la sección de
hormigón verifica, si fuese menor tenemos que aumentar la
sección. ( por ejemplo, en el caso que kh fuese 6,9, la sección
verifica a la flexión )
d) Calculamos la armadura principal mediante la fórmula
Donde
As = armadura necesaria
Ms = Momento flector
h = altura útil de la sección.
Ks lo obtenemos de la tabla Kh (por ejemplo si kh = 6,0, Ks = 0,48)
2 Desarrollo del Trabajo Práctico
2.1 Tema a resolver
Los alumnos, de acuerdo al N° de su grupo, calcularán 1 viga del
ejemplo adjunto. La viga N° 2 se resuelve, en esta guía, a modo de
ejemplo.
Grupo Viga a resolver 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 1 3 4 5 6 7 2.2 Planteo - Planteo del Trabajo Práctico
Se trata de una planta en hormigón armado compuesta de 9 losas
cruzadas que descargas en 8 vigas continuas, las que a su vez son
sostenidas por 16 columnas. Ver esquemas subsiguientes.
Esta planta mide 18 metros en la dirección x (horizontal en el plano del
papel) y 15 metros en la dirección y (vertical en el plano del papel) y
está situada a un altura de 4 metros ( z = 4 m ).
Las dimensiones de la viga son exteriores son de 15 x 75 cm y de las
vigas interiores son de 25 x 75 cm.
Las columnas de esquina (reciben 2 vigas) miden 25 x 25 cm, las
laterales que reciben 3 vigas miden 30 x 30 cm y las interiores, que
reciben 4 vigas, miden 40 x 40 cm.
Las 9 losas soportan una carga uniforme de 1,50 t/m2. Las 8 vigas
soportan, además de la carga de las losas, una carga debido a peso
propio y muros de 0,90 t/m
El sistema se resolvió usando el Software Autodesk Robot Structural
Analysis Professional 2011.
Se adjunta resultados donde figuran para cada 1 de las 8 vigas, los
diagramas de Momento flector y esfuerzo de corte.
Como ejemplo se dimensiona a flexión la viga continua 2.
2.3 - Resolución Ejemplo
2.3.1 – Diagrama de momentos flectores
En la página 10 de la salida de computadora adjunta al final de esta guía,
figura el diagrama de momentos flectores de la viga continua 2 .
En este diagrama está marcado el máximo negativo, que se produce en
el apoyo derecho y tiene un valor de 28,26 tm y el máximo positivo,
que se produce en el tramo central, y tiene un valor de 17,01 tm
2.3.2 - Dimensionamiento de los apoyos
a) Determinación del ancho de la cabeza de compresión b
En los apoyos el ancho de la cabeza de compresión es igual al ancho de
la viga, en el caso de la viga 2 :
b = 25 cm.
b) Hallar el coeficiente adimensional Kh*
Donde
Ms = Momento flector en la sección considerada = 28,26 tm
h = altura útil de la sección, h = d – 3 cm, siendo d el canto de la viga
h = 75 cm – 3 cm = 72 cm
b = ancho de la cabeza de compresión, en a) se determinó que es 0,25 m.
Reemplazando en la fórmula resulta Kh = 6,77
adimensional Kh*, que para esa resistencia es 5,40. Como el valor
de kh de 6,77 , hallado en el punto anterior es mayor que Kh*, la
sección de hormigón verifica.
Donde
Ms = Momento flector = 28,26 tm
h = altura útil de la sección = 72 cm
Ks lo obtenemos de la tabla. Kh = 6,77 aproximadamente 6,9 , luego,
Ks = 0,48.
Reemplazando en la fórmula de la armadura necesaria As = 18,24 cm2 .
Colocamos 2 hierros de 16 mm de diámetro, de sección unitaria 2 cm2 ,
total 4 cm2 más 3 hierros de 25 cm de diámetro de sección unitaria 5
cm2 y sección total 15 cm2, resultando entre los 5 hierros una sección
total de 19 cm2.
2.3.3 – Dimensionamiento del tramo.
a) Determinación del ancho de la cabeza de compresión b
En una viga interior, tramo del medio, el ancho de la cabeza de
compresión es igual a
b = Lo/3
Lo = Lx 0,6
Siendo Lo = luz entre apoyos de la sección considerada = 700 cm.
Lo = 700 cm x 0,60 = 420 cm
b = 420 cm/3 = 140 cm
b) Hallar el coeficiente adimensional Kh*
Donde
Ms = Momento flector en la sección considerada = 17,01 tm
h = altura útil de la sección, h = d – 3 cm, siendo d el canto de la viga
h = 75 cm – 3 cm = 72 cm
b = ancho de la cabeza de compresión, en a) se determinó que es 1,40 m
Reemplazando en la fórmula resulta Kh = 20,6
adimensional Kh*, que para esa resistencia es 5,40. Como el valor
de kh de 20,6 , hallado en el punto anterior es mayor que Kh*, la
sección de hormigón verifica.
Donde
Ms = Momento flector = 17,01 tm
h = altura útil de la sección = 72 cm
Ks lo obtenemos de la tabla. Kh = 20,6 aproximadamente 23 , luego,
Ks = 0,43.
Reemplazando en la fórmula de la armadura necesaria As = 10,15 cm2 .
Colocamos 4 hierros de 20 mm de diámetro, de sección unitaria 3,14
cm2 , 12,64 cm2.
TITULO DEL PROYECTO
Trabajo Practico Vigas
Estructuras II 2013
Autor: Ingeniero Alejandro María Albanese
Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2011
Autor : Ing. Alejandro María Albanese
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Vista 3D
Planta 4 nudos y barra
planta 4 cargas
planta 0 nudos
Dados - Nudos
Dados - Barras
Diagramas viga 1
Diagramas viga 2
Diagramas viga 3
Diagramas viga 4
Diagramas viga 5
Diagramas viga 6
Diagrams viga 7
Diagramas viga 8
Fecha : 19/08/13
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Página : 2
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Vista 3D
Fecha : 19/08/13
Página : 3
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Planta 4 nudos y barra
Fecha : 19/08/13
Página : 4
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
planta 4 cargas
Fecha : 19/08/13
Página : 5
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
planta 0 nudos
Fecha : 19/08/13
Página : 6
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Dados - Nudos
Nudo
X (m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Fecha : 19/08/13
0.0
5.00
12.00
18.00
0.0
5.00
12.00
18.00
0.0
5.00
12.00
18.00
0.0
5.00
12.00
18.00
0.0
5.00
12.00
18.00
0.0
5.00
12.00
18.00
0.0
5.00
12.00
18.00
0.0
5.00
12.00
18.00
Z (m)
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
Apoyo - código
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
ffflll
Apoyo
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Rotula
Página : 7
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Dados - Barras
Barra
Nudos
1
2
3
4
5
6
7
8
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Fecha : 19/08/13
17
21
25
29
17
18
19
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Nudo 2
Sección
20 Viga 15 x 7
24 Viga 25 x 7
28 Viga 25 x 7
32 Viga 15 x 7
29 Viga 15 x 7
30 Viga 25 x 7
31 Viga 25 x 7
32 Viga 15 x 7
17 C 25 x 25
18 C 30 x 30
19 C 30 x 30
20 C 25 x 25
21 C 30 x 30
22 C 40 x 40
23 C 40 x 40
24 C 30 x 30
25 C 30 x 30
26 C 40 x 40
27 C 40 x 40
28 C 30 x 30
29 C 25 x 25
30 C 30 x 30
31 C 30 x 30
32 C 25 x 25
Material
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
HORMIGON
Longitud
(m)
Gama
(Deg)
18.00
18.00
18.00
18.00
15.00
15.00
15.00
15.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
4.00
Página : 8
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
Tipo
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Viga de hormigó
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Diagramas viga 1
Valores
Barra / Punto (m)
Valor actual
para la barra:
en el punto:
1 / inicio
1 / auto x=5.00 (-)
1 / auto x=5.00 (+)
1 / auto x=12.00 (-)
1 / auto x=12.00 (+)
1 / fin
Fecha : 19/08/13
FZ (T)
MY (Tm)
4.44
1
x=0.0 (m)
4.44
-9.05
10.26
-11.04
11.06
-6.34
-0.30
-0.30
-11.81
-12.14
-14.86
-14.79
-0.66
Página : 9
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Diagramas viga 2
Valores
Barra / Punto (m)
Valor actual
para la barra:
en el punto:
2 / inicio
2 / auto x=5.00 (-)
2 / auto x=5.00 (+)
2 / auto x=12.00 (-)
2 / auto x=12.00 (+)
2 / fin
Fecha : 19/08/13
FZ (T)
MY (Tm)
7.24
2
x=0.0 (m)
7.24
-15.63
18.91
-20.38
19.82
-11.08
-0.57
-0.57
-21.54
-23.07
-28.22
-27.67
-1.49
Página : 10
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Diagramas viga 3
Valores
Barra / Punto (m)
Valor actual
para la barra:
en el punto:
3 / inicio
3 / auto x=5.00 (-)
3 / auto x=5.00 (+)
3 / auto x=12.00 (-)
3 / auto x=12.00 (+)
3 / fin
Fecha : 19/08/13
FZ (T)
MY (Tm)
7.25
3
x=0.0 (m)
7.25
-16.00
19.78
-21.39
20.61
-11.41
-0.56
-0.56
-22.43
-24.14
-29.76
-29.12
-1.56
Página : 11
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Diagramas viga 4
Valores
Barra / Punto (m)
Valor actual
para la barra:
en el punto:
4 / inicio
4 / auto x=5.00 (-)
4 / auto x=5.00 (+)
4 / auto x=12.00 (-)
4 / auto x=12.00 (+)
4 / fin
Fecha : 19/08/13
FZ (T)
MY (Tm)
4.45
4
x=0.0 (m)
4.45
-9.42
11.13
-12.04
11.85
-6.67
-0.30
-0.30
-12.72
-13.19
-16.38
-16.26
-0.71
Página : 12
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Diagramas viga 5
Valores
Barra / Punto (m)
FZ (T)
MY (Tm)
Valor actual
para la barra:
en el punto:
2.77
5
x=0.0 (m)
5 / inicio
5 / auto x=4.00 (-)
5 / auto x=4.00 (+)
5 / auto x=10.00 (-)
5 / auto x=10.00 (+)
5 / fin
2.77
-6.83
8.88
-9.64
9.01
-4.86
Fecha : 19/08/13
-0.11
-0.11
-8.24
-8.63
-10.91
-10.72
-0.37
Página : 13
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Diagramas viga 6
Valores
Barra / Punto (m)
Valor actual
para la barra:
en el punto:
6 / inicio
6 / auto x=4.00 (-)
6 / auto x=4.00 (+)
6 / auto x=10.00 (-)
6 / auto x=10.00 (+)
6 / fin
Fecha : 19/08/13
FZ (T)
MY (Tm)
4.30
6
x=0.0 (m)
4.30
-11.30
15.37
-16.65
15.20
-8.05
-0.19
-0.19
-14.17
-15.48
-19.33
-18.64
-0.77
Página : 14
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Diagrams viga 7
Valores
Barra / Punto (m)
Valor actual
para la barra:
en el punto:
7 / inicio
7 / auto x=4.00 (-)
7 / auto x=4.00 (+)
7 / auto x=10.00 (-)
7 / auto x=10.00 (+)
7 / fin
Fecha : 19/08/13
FZ (T)
MY (Tm)
4.26
7
x=0.0 (m)
4.26
-11.34
15.56
-16.84
15.23
-8.02
-0.18
-0.18
-14.34
-15.70
-19.53
-18.78
-0.77
Página : 15
Archivo : Vigas.rtd
Estructuras II 2013
Diagramas viga 8
Valores
Barra / Punto (m)
FZ (T)
MY (Tm)
Valor actual
para la barra:
en el punto:
2.72
8
x=0.0 (m)
8 / inicio
8 / auto x=4.00 (-)
8 / auto x=4.00 (+)
8 / auto x=10.00 (-)
8 / auto x=10.00 (+)
8 / fin
2.72
-6.87
9.07
-9.82
9.04
-4.83
Fecha : 19/08/13
-0.11
-0.11
-8.41
-8.84
-11.10
-10.88
-0.37
Página : 16

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