7 La teor´ıa de rayos geométricos

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7 La teorı́a de rayos geométricos
La teorı́a de rayos sı́smicos es análoga a la de óptica geométrica y (con la excepción de la conversión entre ondas P y SV ) las reglas de ésta se aplican a
la sismologı́a. Una gran cantidad de conocimiento de la distribución de terremotos y de la estructura de velocidad (en la corteza y en el manto) se debe a
la aplicación de la teorı́a de rayos. Sin embargo, la teorı́a de rayos sı́smicos es
una aproximación de alta frecuencia y en ciertos casos deberı́a ser usada una
teorı́a más precisa. Aquı́ entonces consideramos la aplicación de la teorı́a de
rayos sı́smicos a estructuras de velocidad, las que varı́an lentamente en espacio
en comparación con la longitud de onda de las ondas sı́smicas.
Conceptos importantes
• La ley de Snell describe la dirección de la propagación del rayo.
• La curvatura del frente de la onda es directamente proporcional al gradiente
de la velocidad.
• Las ecuaciones para el tiempo de viaje describen la propogación del rayo
en términos de cantidades que se pueden medir en el sismograma.
• El parámetro del rayo es el gradiente de la curva del tiempo de viaje.
La geometrı́a de los rayos
Fig 79: (a) Un frente de onda. (b) Parte de un rayo.
Un rayo (ver la Figura 79) es el vector normal al frente de onda W (x), viaja
una distancia s en un tiempo t. ∇W (x), el vector normal al frente de onda,
es proporcional al vector ds. La ley de Snell nos da una constante, p, llamada
parámetro del rayo o lentitud horizontal:
sin i
= p = (constante)
(7.1)
c
El parámetro del rayo es una constante para un rayo particular y define la trayectoria del rayo, varı́a de 0 para rayos verticales (i = 0◦ ) al 1/c para rayos horizontales.
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La ecuación del tiempo de viaje para una Tierra plana
Fig 80: La geometrı́a de un rayo.
Podemos determinar la distancia horizontal que viaja un rayo y su tiempo
de viaje para una cierta distribución de velocidad (c = c(x3 )) cuando el ángulo
de incidencia, i (o el parámetro del rayo, p) está dado.
A un cierto punto en la trayectoria del rayo, las relaciones entre dx1 , dx3 , ds
e i son:
dx1
dx3
= sin i
= cos i = (1 − sin2 i)1/2
(7.2)
ds
ds
Usando la ley de Snell (7.1), con u la lentitud del rayo (u = 1/c), obtenemos
dx3
p
dx1
=
= u−1 (u2 − p2 )1/2
ds
u
ds
que pueden combinarse para dar la relación
p
dx1
= 2
dx3
(u − p2 )1/2
(7.3)
(7.4)
y entonces la distancia de propagación del rayo, en términos del parámetro del
rayo y la estructura de velocidad, es
Z zp
dx3
x(p) = 2p
(7.5)
2
(u (x3 ) − p2 )1/2
0
donde zp es la profundidad del punto de doblamiento del rayo, y el factor de 2
toma en cuenta la simetrı́a de la trayectoria del rayo. Esta ecuación nos da la
distancia horizontal del viaje del rayo a través de una estructura de velocidad
u(x3 ) para un cierto parámetro del rayo p (una inclinación inicial i).
Similarmente, la distancia horizontal para un rayo propagándose a través de
una secuencia de capas homogéneas (Figura 81) es, para ui > p,
X
2p∆z2
2p∆z3
∆zi
2p∆z1
+ 2
+ ... + 2
= 2p
x(p) = 2
2
2
1/2
2
1/2
2
1/2
(u1 − p )
(u2 − p )
(u3 − p )
(ui − p2 )1/2
i
(7.6)
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Fig 81: (a) Un rayo en una sola capa de lentitud constante u. (b) La nomenclatura para
una secuencia de capas con lentitudes constantes. (c) La variación en la distancia, x, con el
parámetro del rayo, p, para una secuencia de capas.
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El tiempo en que el rayo viaja una distancia ds es
dt = uds
=⇒
dt
=u
ds
(7.7)
Entonces para encontrar el tiempo en que el rayo se propaga en una distancia
horizontal x (el tiempo de viaje):
dt ds
u2
dt
=
= 2
dx3
ds dx3
(u − p2 )1/2
Z zp
u2 (x3 )dx3
=⇒ t(p) = 2
(u2 (x3 ) − p2 )1/2
0
(7.8)
Similarmente, el tiempo de viaje para un rayo a través de una secuencia de capas
homogéneas es
X
u2i ∆zi
(7.9)
t(p) = 2
(u2i − p2 )1/2
i
para ui > p.
Podemos reescribir la ecuación (7.8) como
Z zp Z zp
p2
2
2 1/2
T (p) = 2
η(x3 )dx3
+ (u (x3 ) − p )
dx3 = pX + 2
(u2 (x3 ) − p2 )1/2
0
0
(7.10)
que es la ecuación para la curva del tiempo de viaje. El gradiente de la curva
es p = dT /dX; y η(x3 ) = (u2 (x3 ) − p2 )1/2 es la lentitud vertical.
La combinación τ (p) = T (p) − pX(p) es el tiempo de retraso
Z zp
Z zp
2
2 1/2
η(x3 )dx3
(u (x3 ) − p ) dx3 = 2
τ (p) = 2
(7.11)
0
0
El tiempo de retraso para un rayo propagándose a través de una secuencia de
capas homogéneas es
X
τ (p) = 2
(u2i − p2 )1/2 ∆zi
para ui > p
(7.12)
i
La ecuación para una lı́nea recta tangencial a la curva del tiempo de viaje en
la Figura 82 es τ (p) = T − pX. Tomando la derivada con respecto al p
Z zp
Z zp
dx3
d
dτ
2
2 1/2
(u − p ) dx3 = −2p
=
= −x(p)
(7.13)
2
dp
dp 0
(u − p2 )1/2
o
Entonces el gradiente de la curva τ (p) es −x. Porque x ≥ 0, la curva τ (p) siempre
decrece.
Las ecuaciones del tiempo de viaje (7.10) y del tiempo de retraso (7.11) son
las dos ecuaciones primarias en la descripción de la propagación de rayos. Usando los tiempos de viaje, o retraso, observados en datos sı́smicos, se pueden
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Fig 82: (a) La curva del tiempo de viaje para un aumento uniforme de velocidad con profundidad. (b) La curva τ (p) correspondiente.
ocupar estas ecuaciones para determinar la variación en velocidad con respecto
a la profundidad.
La curva del tiempo de viaje para una capa homogénea
La Figura 83 muestra las trayectorias de los rayos fundamentales (en la Tabla)
que se propagan a través de un modelo que consiste de una capa homogénea sobre un semi espacio homogéneo.
Rayo directo
Reflexión
precrı́tica
(transmisión
parcial)
θ = 90
p = u1 sin θ = u1
1
τ (p) = 2h(u21 − u21 ) 2 = 0
Refracción
crı́tica
(rayo se propaga
a través de
la interfase)
θ = ic
θ < ic
1
τ (p) = 2h(u21 − p2 ) 2
= 2hu1 cos θ
Reflexión
postcrı́tica
(reflexión
total interna)
θ > ic
1
τ (p) = 2h(u21 − p2 ) 2
= 2hu1 cos θ
1
τ (p) = 2h(u21 − u22 ) 2 = τc
La Figura 84 muestra la curva del tiempo de viaje, y las curvas x(p) y τ (p),
para una capa homogénea sobre un semi espacio homogéneo. Note que la curva
τ (p) en este caso es una elipse:
τ (p) = 2h1 (u21 − p2 )1/2 =⇒
p2
τ2
+
=1
4h2 u21 u21
(7.14)
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Fig 83: Las trayectorias para el rayo directo, la refracción crı́tica, la reflexión precrı́tica y la
reflexión postcrı́tica para una capa homogénea sobre un semi espacio homogéneo.
Fig 84: (a) La curva del tiempo de viaje para una capa homogénea. (b) La curva x(p) correspondiente. (c) La curva τ (p) correspondiente.