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Escuela de Ingeniería Civil-UTPL
TOPOGRAFÍA APLICADA
Autora: Nadia Chacón Mejía
UNIDAD 7
Trazo de curvas
El trazo de curvas se emplea en la construcción de vías para conectar dos líneas de diferente
dirección o pendiente. Estas curvas son circulares y verticales.
CURVAS CIRCULARES:
Las curvas circulares se utilizan para empalmar tramos rectos, estas curvas deben cumplir con
ciertas características como: facilidad de trazo, economía y deben ser diseñadas de acuerdo a las
especificaciones técnicas.
Existen diferentes tipos de curvas circulares, estas son:




Curva simple
Curva compuesta
Curva mixta
Curva inversa
Curva simple: Es un arco de circunferencia que empalma dos tangentes.
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Figura 7.1 Curva simple.
Fuente: Apuntes de Topografía: Ing. Julio González
Curva compuesta: Es una curva que está compuesta por dos arcos de diferente radio.
Figura 7.2 Curva compuesta.
Fuente: Ing. Julio González: Apuntes de Topografía
Curva mixta:
2
Figura 7.3 Curva mixta.
Curva inversa: Son dos curvas colocadas en sentido contrario a la tangente común.
Figura 7.4 Curva mixta.
Elementos de una curva circular:
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Figura 7.5 Elementos de una curva circular.
Punto de intersección (PI): Es el punto donde se encuentran dos alineamientos rectos.
Punto de inicio (PC, A): Es el punto donde comienza la curva.
Punto final (PT, B): Punto donde termina la curva.
Angulo de deflexión o ángulo central (α): Es el ángulo formado por la prolongación de un
alineamiento recto y el siguiente. Este puede ser a la izquierda o a la derecha dependiendo en qué
sentido se lo haya medido.
Tangentes (API y PIB): Es la distancia entre el punto de intersección (PI) y los puntos A y B (PC y
PT).
Radio (R, AB y AC): Es el radio de la circunferencia que describe el arco de la curva.
Cuerda principal (AB): Es la línea recta que une el PC y el PT (A y B).
External (PID): Es la distancia entre el punto de intersección y el punto medio de la curva (D).
Flecha (DE): Distancia entre el punto medio de la curva (D) y el punto medio de la cuerda (E).
Longitud de la curva (AB): Es el arco descrito por la curva de la circunferencia desde el PC hasta el
PT.
A continuación se muestra la deducción de las fórmulas para calcular cada uno de los elementos
de una curva:
Longitud de la tangente y external:
Del triángulo PIAC:
4
Grado de la curva:
Figura 7.6 Grado de la curva.

Definición por arco:

Definición por cuerda:
Longitud de la curva:
5
Cuerda principal y flecha:
Del triángulo AEC:
REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES:
Para replantear una curva circular lo primero que se debe realizar es ubicar el PI, una vez ubicado
el PI se mide la longitud de la tangente sobre el primer alineamiento (tangente de entrada) para
localizar el PC (punto de inicio de la curva) y desde este punto se mide la longitud de la curva para
localizar el PT (punto donde termina la curva). A partir de estos puntos se puede replantear la
curva.
Métodos para replantear una curva:
Existen tres métodos para replantear una curva circular, los cuales son los siguientes:



Deflexiones angulares
Ordenadas sobre la tangente
Ordenadas sobre la cuerda principal
Deflexiones angulares: Este método consiste en replantear todos los puntos de la curva desde el
PC midiendo ángulos de deflexión y cuerdas, el ángulo de deflexión es el ángulo formado por la
tangente y cada una de las cuerdas que se miden desde el PC hasta los puntos de la curva.
El método de deflexiones angulares es el más utilizado.
Figura 7.7 Método de deflexiones angulares.
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Figura 7.8 Deflexiones angulares.
A partir de la figura 7.8 se obtiene la fórmula para determinar la deflexión angular hacia cada uno
de los puntos de la curva:
7
Donde:
δ = Ángulo de deflexión medido hacia cada uno de los puntos de la curva
c = Cuerda medida a cada uno de los puntos de la curva
α = Ángulo de deflexión
Lc = Longitud de la cuerda principal
Ordenadas sobre la tangente:
Este método consiste en replantear la curva por medio de ordenadas (y) las cuales son medidas
perpendicularmente desde cada una de las tangentes hasta los puntos de la curva que corten las x,
estas son medidas perpendicularmente al radio, como se indica en la figura 7.8.
Figura 7.8 Método de ordenadas sobre la tangente.
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A esta fórmula se da diferentes valores a x para determinar y, y de esta forma se localizan todos
los puntos de la curva.
En la siguiente tabla se muestra una tabulación para R = 1, así multiplicando cualquier radio por
cada uno de los valores se obtiene x y y:
x
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
y
0,0050
0,0202
0,0461
0,0835
0,1340
0,2000
0,2859
0,4000
0,5641
O también se pueden utilizar las fórmulas siguientes para calcular x y y:
Ordenadas sobre la cuerda principal:
Este método es similar al método anterior, la diferencia es que las ordenadas se miden sobre la
cuerda principal.
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Figura 7.9 Método de ordenadas sobre la tangente.
Fuente: Modificado del libro TORRES NIETO ALVARO, Topografía, Cuarta edición, pág. 305.
.
CASOS ESPECIALES DE REPLANTEO:
En algunas ocasiones se presentan casos en los que no se puede replantear una curva por medio
de los métodos mencionados anteriormente, a continuación se explica la forma en la que se debe
realizar el replanteo:





Cuando el PI es inaccesible
Cuando el PI y el PC son inaccesibles
Cuando el PT es inaccesible
Replanteo de un punto cualquiera desde el PI
Cuando no se pueden observar todos los puntos de la curva desde el PC por la presencia
de obstáculos
Cuando el PI es inaccesible:
Figura 7.10 Replanteo cuando el PI es inaccesible.
Primero se escoge dos puntos cualquiera A y B sobre las tangentes, como se indica en la figura 7.9,
luego se mide la distancia AB y los ángulos θ y γ con la ayuda de un teodolito. Con los ángulos
medidos se determinan los ángulos PIAB, PIBA, φ y el ángulo de deflexión. Una vez calculados
estos ángulos por medio de la ley de senos se determinan las distancias API y BPI.
Luego se calcula la longitud de la tangente y la longitud de la curva, conocidos estos datos ya se
pueden determinar las abscisas del PC y el PT, las cuales se miden desde los puntos A y B.
Cuando el PI y el PC son inaccesibles:
Figura 7.11 Replanteo cuando el PI y el PC son inaccesibles.
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Se escogen dos puntos cualquiera A y C sobre las tangentes y se miden los ángulos β y γ y la
distancia AC, con los datos medidos se calcula el resto de ángulos y la distancia API por medio de la
ley de senos.
En el punto A se levanta una perpendicular a API y se ubica el punto A’, luego por este punto se
traza una paralela a API y se localiza el punto B’, la distancia A’B’ debe ser igual a 2APC.
Para determinar el punto B se mide desde la B’ la distancia B’B la cual es igual a AA’, perpendicular
a AB. Desde A se mide la distancia PCA y se ubica el PC.
Se mide el ángulo θ y se traza una curva circular cuyo ángulo al centro es α-θ hasta llegar al PT.
Cuando el PT es inaccesible:
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Figura 7.12 Replanteo cuando el PT es inaccesible.
Se realiza el replanteo de los puntos normalmente hasta llegar al punto x, que es el último punto
que se puede observar desde el PC y tiene un ángulo central igual a θ.
Por lo tanto el ángulo que falta por localizar será igual:
Luego se determina la distancia xA y xx’ aplicando las siguientes fórmulas:
Para localizar el punto q se mide sobre la línea xA una distancia igual a 2xA, y el punto q’ se localiza
levantando la línea qq’ la cual es igual a xx´y perpendicular a xq.
Replanteo de un punto cualquiera desde el PI:
Para replantear un punto cualquiera desde el PI, en la figura 7.12 el punto A, es necesario conocer
los siguientes valores:


El ángulo θ, y
La distancia PIA
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Figura 7.13 Replanteo desde el PI.
De la figura 7.12 se obtienen las siguientes fórmulas que se utilizan para el replanteo:
Cuando no se pueden observar todos los puntos de la curva desde el PC por la presencia de
obstáculos:
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Figura 7.14 Cuando no se pueden observar todos los puntos de la curva desde el PC.
Cuando se presenta este caso se utiliza una estación intermedia o más de una si es necesario.
Caso especial para hallar el radio de una curva:
Figura 7.15 Caso especial para hallar el radio de una curva.
Cuando se conoce la distancia del PI a un punto de la curva y su ángulo, y el ángulo de deflexión en
el PI, se puede hallar el radio aplicando la siguiente ecuación:
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CURVAS VERTICALES:
Figura 7.15 Curva vertical.
Las curvas verticales se utilizan para conectar tramos de pendientes diferentes, calcular una curva
vertical es dar las cotas a cada uno de los puntos.
Las curvas verticales se trazan con la finalidad de que no existan cambios bruscos de pendiente en
una vía, por lo general una curva vertical es la curva de una parábola. Las pendientes se expresan
en porcentaje.
Se dice que la pendiente es positiva cuando la tangente es ascendente y negativa cuando la
tangente es descendiente.
REPLANTEO DE CURVAS VERTICALES:
Métodos para replantear una curva vertical:
Existen dos métodos para calcular una curva vertical:


Desviación sobre la tangente
Desviación de la parábola
Desviación sobre la tangente:
Este método se basa en la ecuación de la parábola.
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Figura 7.16 Método de desviación sobre la tangente.
A partir de los triángulos semejantes AFE y ABC, se puede establecer las siguientes igualdades:
, por lo tanto:
16
Por medio de una propiedad de la parábola se puede expresar lo siguiente:
Desviación de la parábola:
17
Figura 7.17 Método de la curva.
Esta es la ecuación para calcular la cota de todos los puntos de la curva vertical.
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