Los poliedros son aquellos cuerpos geométricos que están
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Los poliedros son aquellos cuerpos geométricos que están
Liceo N°1 “Javiera Carrera” 8° años 2011 GUIA DE ESTUDIO : “ Cuerpos geométricos” Prof. Juan Schuchhardt E. DEFINICIÓN: Los poliedros son aquellos cuerpos geométricos que están limitados por superficies planas y de contorno poligonal. Un poliedro cualquiera tiene: caras, aristas, vértices, ángulos. Caras: Son los polígonos planos que limitan el poliedro. Hay caras básales y caras laterales. Las caras laterales son regiones rectangulares y las caras basales son regiones poligonales cualesquiera, es decir, pueden ser un cuadrado, un rectángulo, un triángulo, un pentágono, etc. Caras basales Caras laterales rectángulo ABCD rectángulo ABFE rectángulo EFGH rectángulo DCGH a rectángulo ADHE a rectángulo BCGF Aristas: Son las intersecciones de dos caras. Se puede decir también que son los lados de los polígonos que forman las caras del poliedro. El poliedro tiene aristas laterales y aristas basales. Aristas laterales: AE, BF, CG, DH; Aristas basales: AB, BC, CD, DA y EF, FG, GH, HE Vértices: Son las intersecciones de tres o más caras. También se definen como los puntos en que se cortan las aristas. Vértices: A, B, C, D, E, F, G, H Ángulos diedros: Es la abertura comprendida entre dos caras que se cortan 1. Liceo N°1 “Javiera Carrera” 8° años 2011 Ángulos poliedros: Es la abertura que se forma en la intersección dos a dos de varias caras. A es el vértice del ángulo poliedro Los cuerpos geometricos corresponde a una figura geométrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta característica existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies. Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Los poliedros se clasifican en regulares e irregulares. Poliedros regulares, son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares, congruentes entre sí (de igual medida) y cuyos ángulos poliedros son iguales. Existen solamente 5 poliedros regulares: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro , Icosaedro. Para los geómetras griegos, el estudio de los poliedros fue muy importante y conocieron la existencia de esos cinco únicos sólidos regulares, cuyo descubrimiento atribuyeron algunos al propio Pitágoras y a los que Platón recurrió incluso para explicar la creación del universo. Sin embargo, no consta que conocieran un importante resultado relativo al número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo, observado ya por Descartes en 1640 y del que el matemático suizo Leonhard Euler dio una famosa demostración en 1752. Euler demostró que, si se suma el número de caras y el número de vértices de un poliedro convexo y, del valor obtenido, se resta entonces el número de aristas, et resultado es siempre igual a 2. De este resultado, válido para todo poliedro convexo, se deduce fácilmente la existencia de únicamente cinco poliedros regulares. Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro Dodecaedro Icosaedro 4 caras 8 caras 20 caras 6 caras 12 caras (triángulos (triángulos (triángulos (cuadrados (pentágono equiláteros equiláteros equiláteros ) s regulares) ) ) ) N° de caras 4 6 8 12 20 N° de vértices 4 8 6 20 12 N° de aristas 6 12 12 30 30 N° de lados de cada cara 3 4 3 5 3 N° aristas concurrente s en un vértice 3 3 4 3 5 2. Liceo N°1 “Javiera Carrera” 8° años 2011 Tetraedro regular: está formado por 4 caras triangulares Hexaedro regular: (cubo): está formado por 6 cuadrados. Octaedro regular: está formado por 8 triángulos equiláteros. Dodecaedro regular: lo forman 12 caras pentagonales. Icosaedro regular: está constituida por 20 triángulos equiláteros. Prisma: Poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos iguales llamados bases, cuyos planos son paralelos Liceo N°1 “Javiera Carrera” 8° años 2011 3. Pirámide: Poliedro que tiene una cara que es un polígono cualquiera al que se llama base y las caras laterales son triángulos que tienen un punto en común llamado vértice. Pero hay otros cuerpos, como la esfera, el cilindro o el cono que no están limitados por polígonos, sino por superficies curvas; se llaman cuerpos redondos, que también han recibido desde antiguo una atención especial y cuyas superficies y volúmenes estaban ya estudiados en la obra de Euclides. Cuerpos redondos: Son los cuerpos limitados, parcial o totalmente, por superficies curvas. Cono Cilindro Esfera Liceo N°1 “Javiera Carrera” 8° años 2011 4. Área total y volumen de cuerpos goometricos Figura Esquema Área Volumen V = π r2 · h Cilindro Atotal = 2π r ( h + r ) Esfera Atotal = 4π r2 Cono Atotal = π r2 + π r g Cubo A = 6 a2 V = a3 Prisma A = (perim.base ∙ h) + 2 · area base V = área base ∙ h Pirámid e Liceo N°1 “Javiera Carrera” 8° años 2011 5. Poliedros regulares Figura Esquema Área Volumen Tetraedro 4 caras, triángulos equiláteros Octaedro 8 caras, triángulos equiláteros Cubo 6 caras, cuadrados Dodecaedro 12 caras, pentágonos A = 30 · a · ap. regulares Icosaedro 20 caras, triángulos equiláteros A = 6 a2 Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano. 6.