Fundación Tecnológica Colombo Germana

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Fundación Tecnológica Colombo Germana
TEGNOLOGIA
ASIGNATURA: MODULO MATEMÁTICAS
Este material es propiedad de la Fundación Tecnológica Colombo Germana, para los
estudiantes.
2013
FUNDACION TECNOLOGICA COLOMBO GERMANA
MODULO MATEMÁTICAS
CREDITOS
El módulo de estudio de la asignatura MODULOMATEMÁTICAS es propiedad de la Fundación
Tecnológica colombo Germana. Las imágenes fueron tomadas de diferentes fuentes que se
relacionan en los derechos de autor y las citas en la bibliografía
AUTOR
SANDRA MILENA PACHÓN PERALTA
[email protected]
[email protected]
Nota: el autor certificó (de manera verbal o escrita) No haber incurrido en fraude científico, plagio; en
caso contrario eximió de toda responsabilidad a la Fundación, y se declaró como el único
responsable.
RESPONSABLES
Diana Catalina Vallejo Cruz
Vicerrectora Académica
Sistemas Académicos
Roman Jaimes
[email protected]
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MODULO MATEMÁTICAS
PLAN DEL CURSO
SEMANA
1-6
1
2
3
4
5
6
7-11
CONTENIDOS TEMÁTICOS
FECHAS
MATEMÁTICA BÁSICA
AGOSTO 5 AL 9 DE
SEPTIEMBRE
Operaciones Algebraicas
Productos y cocientes notables
Factorización
Ecuaciones (igualdades desigualdades)
Funciones
Trigonometría
Parciales
ALGEBRA LINEAL
7
8
9
10
11
12-17
Matrices
Determinantes e Inversa de una matriz
Método de Cramer
Método de Gauss
Parciales
CALCULO DIFERENCIAL
12
13
14
15
16
Limites
Regla de la derivada
Proyectos (Propiedades de las derivadas)
Derivadas funciones trigonométricas
Primera y segunda derivada, derivada en
cadena
17
AGOSTO 16 AL 21 DE
OCTUBRE
OCTUBRE 28 AL 25 DE
NOVIEMBRE
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MODULO MATEMÁTICAS
PRESENTACION DEL CURSO
Las matemáticas, son una ciencia y como tal permiten el análisis de fenómenos
que ocurren en la cotidianidad, representando así una herramienta esencial en
campos tan versátiles como las ciencias naturales, sociales, la medicina y sus
aplicaciones así como en las ingenierías.
Hoy por hoy, Nadie es indiferente frente a los cambios, determinados por la
conquista del espacio, la influencia de las Tecnologías de Información y
Comunicación (TIC), la era de la Informática, la Robótica, la Genética, inventos
inimaginables que han facilitado la vida del ser humano y los cuales necesitan
del razonamiento lógico permitido en el desarrollo de ciencias como la
matemática y la física.
OBJETIVOS
General:
Este curso tiene como objetivo mejorar y fortalecer la
fundamentación de las matemáticas tanto básicas como
universitarias para poder ser aplicadas en situaciones que se
presentan en el desarrollo del individuo integral con capacidades de
transformar su entorno a través de sus cualidades intelectuales.
Específicos
Desarrollar y comprender las aplicaciones básicas de las matemáticas.
Aplicar de manera lógica postulados de matemáticas.
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MODULO MATEMÁTICAS
TABLA DE CONTENIDO
TEMAS GENERALES
1. Matemática Básica
2. Algebra Lineal
3. Calculo diferencial
1. Matemática básica
1.1 Operaciones algebraicas
Productos y cocientes notables
Factorización
1.2 igualdades y desigualdades
Ecuaciones Lineales y cuadráticas
Desigualdades lineales, valor absoluto y cuadráticas
1.3 Funciones
Definición y tipos
Función inversa
1.4 Trigonometría
Teorema Pitágoras y Thales
Funciones trigonométricas
Teoremas e identidades trigonométricas
2. Algebra lineal
2.1 Matrices
Concepto
Tipos según forma y elementos
2.2 Operaciones entre matrices
Suma
Resta
Producto escalar
Producto matricial
2.3 Determinantes
Calculo 2x2 y 3x3
Inversa de una matriz
Método de Cramer
Método de Gauss
3. Calculo diferencial
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MODULO MATEMÁTICAS
3.1 Limites
Propiedades de los limites
Calculo de limites
3.2 Derivadas
Propiedades
Fundamentos regla de la derivada
Derivadas de algunas funciones
Primera y segunda derivada
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MODULO MATEMÁTICAS
SEMANA 1.
Desarrollar en el estudiante la habilidad y capacidad de
diferenciar y aplicar las operaciones algebraicas y productos y
cocientes notables a situaciones planteadas.
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Como la palabra lo indica son operaciones
suma, resta, multiplicación y división de
expresiones algebraicas (monomios y
polinomios)
Sabías que? Las expresiones algebraicas son
combinaciones de letras y números separadas por
signos de suma y resta.
Los términos semejantes son monomios que tienen
la misma parte literal con el mismo exponente
Adición y sustracción
Para sumar o restar polinomios se debe tener en cuenta los términos del polinomio, ya que solo
podemos realizar estas operaciones con términos semejantes así:
Sumar a³-b²+ab³; -2a²b²+4ab³+2b²
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MODULO MATEMÁTICAS
Multiplicación
El producto o multiplicación de polinomios se efectúa multiplicando todos los factores así:
Ejm: (4x²+6x-8) X ( 5x+2),
División
La división se realiza teniendo en cuenta los pasos de una división tradicional
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MODULO MATEMÁTICAS
Sabias qué?
El resultado de productos y cocientes
notables, puede ser escrito por simple
inspección, sin verificar la operación
PRODUCTOS Y COCIENTES
NOTABLES
Son reglas o normas que se cumplen
para algunos casos de división y
multiplicación de polinomios.
Para el cálculo de productos notables es utilizado el triangulo de pascal el cual puedes ver en el
siguiente link http://samiperal23.wordpress.com/modulo-matematicas/
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ACTIVIDAD
Para
desarrollar
ejercicios
de
operaciones
algebraicas y de productos y cocientes notables
ingresa
a
http://samiperal23.wordpress.com/modulomatematicas/
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SEMANA 2.
Que el estudiante identifique los casos de
factorización y pueda aplicarlos a ejercicios y
problemas propuestos.
CASOS DE FACTORIZACIÓN
FACTOR CUMUN, un factor común es un término que se repite en todos los miembros de una
expresión algebraica o un numero que es divisor de cada uno de dichos miembros así:
a³ + a² + a
factor común a los tres miembros es a:
4x² - 8x + 2
factor común a todos los miembros de la
expresión es 2:
a (a² + a + 1)
2 (2x² - 4x +1)
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS, se da cuando el factor común no se da
para todos los términos sino para algunos así:
2x²-3xy-4x+6y
1. Primero se agrupan los términos que tienen
un factor en común
1. (2x²-3xy) – (4x-6y)
2. Se saca el factor común de los términos
2. x(2x-3y) -2(2x -3y)
agrupados
3. (2x – 3y)(x - 2)
3. El monomio se convierte en factor común
de x y -2
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO,es la operación inversa de la suma y diferencia de un
binomio al cuadrado:
a² - 2ab + b²
1. se saca raíz del primer y tercer termino
a
b
2. se verifica que el segundo termino sea dos multiplicado por las raíces
2ab
3. se escribe en forma de binomio al cuadrado, si el segundo termino es – es una
(a-b)²
diferencia sino es una suma
DIFERENCIA DE CUADRADOS, se desarrolla en base al cociente notable que recibe el mismo
nombre
4a² - 9
1. se saca raíz cuadrada de ambos términos.
2a 3
2. el resultado es el producto de la suma por la
diferencia de dichas raíces
(2+3) (2-3)
COMBINACIÓN CASOS 3 Y 4, es un caso de factorización en el que se mezcla el trinomio
cuadrado perfecto con la diferencia de cuadrados:
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MODULO MATEMÁTICAS
a² + 2ab + b² - x²
1. a 2ab b - x²
2. (a + b)² - x²
(a+b) x
(a+b+x)(a+b-x)
1. Se desarrolla el trinomio cuadrado perfecto, sacando
las raíces y comprobando el segundo término.
2. se resuelve la diferencia de cuadrados, sacando las
raíces de ambos términos.
TRINOMIO CUADRADO POR ADICCIÓN Y SUSTRACCIÓN, consiste en convertir un
trinomio en trinomio cuadrado perfecto sumado al segundo término lo que falta para que cumpla
con las características de dicho trinomio:
4a^4 + 8a²b² + 9b^4
2a²3b²
12a²b²
faltan 4 a²b²
4a^4 + 8a²b² + 9b^4
+4a²b²-4a²b²
4a^4+12a²b² +9b^4 -4a²b²
2a²
3b²
(2a²+3b²)² - 4a²b²
(2a²+3b²) – 2ab
(2a²+3b²+2ab)(2a²+3b²-2ab)
1. se verifica el trinomio cuadrado para saber cuánto
debemos sumar al segundo término. (lo que sumamos
aquí se debe restar al final para no alterar el trinomio
original)
2. se resuelve convierte el trinomio en uno cuadrado
perfecto y se soluciona.
3. se soluciona la diferencia de cuadrados obtenida
TRINOMIO DE LA FORMA x²+bx+c, hay que tener en cuenta los coeficientes de la parte
literal de x², siempre es 1:
x²+7x+10
1. se descompone la expresión en dos binomios de los cuales el primer
término es la raíz del literal al cuadrado.
(x+5)(x+2)
2. luego se consiguen dos números que multiplicados den el tercer
término y sumados o restados den el coeficiente del segundo término.
TRINOMIO DE LA FORMA ax² + bx+ c, se debe tener en cuenta que el coeficiente del
primer término es diferente de uno al igual que el del segundo término.
6x² - 7x – 3
1. se multiplica toda la expresión por el coeficiente del
36x²- 6(7x) – 18
primer término, para no alterar el trinomio se divide por el
6
mismo coeficiente.
36x²-7 (6x) -18
2. se reescribe el segundo término de la expresión.
6
3. se buscan 2 números que multiplicados den el tercer
(6x-9)(6x+2)
término y sumados o restados den el segundo.
6
4. se descompone la expresión en dos binomios con la raíz
(6x-9)(6x+2) = 6x-9 X 6x+2
del primer término y los dos números conseguidos en el
3 x 2
3 2
paso anterior
(2x-3)(3x+1)
5. Se descompone el denominador en factores y se operan
numeradores y denominadores.
x²- 2x -8
x²+ 15x + 56
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ACTIVIDAD, para
practicar
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SEMANA 3.
Que el estudiante reconozca las propiedades de las igualdades y
desigualdades, así como el valor absoluto para que generar
soluciones a problemas y ejercicios propuestos
ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad que se cumple para
algunos valores de letras que son cantidades
desconocidas llamadas variables o incógnitas también
se puede decir que es un enunciado matemático con
dos expresiones separadas por un signo igual.
Una identidad es una ecuación que se cumple para
cualquier valor que tomen dichas variables ejm: las
identidades trigonométricas.
Una ecuación se compone de:
SABIAS QUE?
Miembros: son las expresiones
separadas por el signo =
Términos: componen a los miembros
Variables: son la parte literal de la
ecuación.
Grado: Esta dado por el mayor
exponente de la incógnita
Ecuaciones lineales Ejm:
2x-5=-x-2
2x+x=-2+5
3x=3
X=3/3
X=1
1. Solucionar una ecuación, es
hallar el valor de la parte literal.
2. Se comienza por dejar a un
lado los términos que tienen
parte literal y al otro aquellos
que no tienen.
3. Se operan términos semejantes
y se despeja la variable.
Ecuaciones cuadráticas ejm:
Son ecuaciones de segundo grado las cuales se pueden
solucionar de dos maneras, por medio de la formula
cuadrática y si es posible factorizando, representan la
formula de la función cuadrática y su solución
representa los dos puntos donde corta al eje x.
Comprobación
2(1)-5=-1-2
2-5=-3
-3=-3
Para comprobar se
reemplaza el valor de la
variable y se opera.
Para solucionar la cuadrática se debe
definir los coeficientes a, b y c.
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a es el de x²
b, es el de x
c, es el que no tiene variable
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MODULO MATEMÁTICAS
x² + 2x – 8 a=1, b=2, c=-8
Cuadrática
x² + 2x – 8
Factorizando
√
√
( )(
)
√
√
x= 2
solución
(x + 4)(x - 2)
X+4 = 0
x-2 = 0
x=-4 y x=2
x= -4
INECUACIONES
Una inecuación es una expresión o enunciado matemático en la
aparecen los símbolos ≤, ≥, <, > que indican desigualdad.
SABIAS QUE?
Un intervalo es un subconjunto de la recta
Reglas para desigualdades con a, b, y
cєR
Si a>b y b>c
a>c
Si a ≥ b y b ≥ a
a=b
Si a ≥ b y c> 0
ac≥bc
Si a ≥ b y c<0
ac ≤ bc
Si a > 0
1/a < 0
Si a < b
1/b < 1/a
Reglas para valor absoluto en
desigualdades intervalos
1. X = a
2. X < a
-a< x < a
3. X > a
x > a ó x <-a
4. X ≤ a
-a ≤ x ≤ a
5. X ≥ a
x ≥ a ó x ≤ -a
Propiedades
absoluto
-a = a
a b = a b
a = a
b
b
para
valor
EJEMPLO
Desigualdades lineales
2x – 1 < x + 3
2x – 1 + 1 < x + 3 + 1
2x < x + 4
2x – x < x – x + 4
X < 4
(-∞, 4)
1. Se despeja la incógnita dejándola
al
lado
izquierdo
de
la
desigualdad, realizando operaciones
básicas.
2. Se escribe el intervalo, los
valores que puede tomar x para
cumplir con la desigualdad inicial.
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MODULO MATEMÁTICAS
Desigualdades cuadráticas
x²≤ 4x + 12
1. Se organiza la desigualdad y
x²- 4x -12 ≤0
luego se iguala a cero.
x²- 4x -12 = 0
2. Se
soluciona
la
ecuación
(x - 6)(x + 2)
cuadrática por alguno de los
X = 6 y x = -2
métodos vistos.
3. Estas soluciones dividen la recta
numérica en tres partes o
intervalos.
4. Se toma un numero de cada
intervalo y se reemplaza en la
desigualdad, para verificar cual
cumple con la condición dada.
5. El intervalo que cumple la
condición es la solución.
Desigualdades con valor absoluto
2x – 3 ≥ 1
2x-3 ≥1
2x ≥1+3
x≥4/2
x≥2
ó
2x-3≤-1
2x≤-1+3
x≤2/2
x≤1
1²-4(1)-12≤0
-3-4(-3)-12≤0
-15≤0
9≤0
7²-4(7)-12≤0
9≤0
Solución [-2,6]
1. se mira que regla de valor absoluto
se puede aplicar ( X ≥ a
x≥a óx≤a)
2.
Se
resuelve
la
desigualdad
realizando operaciones básicas.
Los dos valores obtenidos representan
la solución.
3.Seescriben los intervalos que para
los que x cumple la condición inicial
que se dan por los valores obtenidos.
(-∞,2] U [1,∞)
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SEMANA 4.
Identificar y reconocer las características de las diferentes
funciones, para ser aplicadas a ejercicios y problemas
propuestos.
FUNCIONES
Una función es la relación entre un conjunto dado x llamado dominio y un conjunto y llamado codominio o rango,
pueden representar situaciones cotidianas tales como la relación entre el costo de una llamada y la duración de la
misma, la velocidad de un automóvil con el tiempo y distancia recorrida entre otras.
Se dice que y es función de x cuando a cada valor de la variable x corresponden uno o varios valores determinados de
la variable y.
INYECTIVA
BIYECTIVA
SOBREYECTIVA
A cada valor de x le pertenece
una imagen en y pero a cada
imagen no necesariamente le
pertenece un valor en x
cada valor de x le pertenece una
imagen en Y y viceversa
Cada valor de x le puede
corresponder uno o mas valores
de y
Las funciones se pueden representar de diferentes maneras
Grafica
Ecuación
F(x)= 2x³+4
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Tabla de valores
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MODULO MATEMÁTICAS
TIPOS DE FUNCIONES
POLINOMICAS
CUADRATICAS
DE LA FORMA: F(x)=ax²+bx+c
Si a > 1 la parábola abre hacia arriba
Si a < 1 la parábola abre hacia abajo
C es el punto de origen de la ordenada
Dominio todos los R
Codominio todos los R + o - dependiendo hacia donde
abra.
Vertice de la parábola
Vx=-b/2a
Vy= f(-b/2a)
LINEALES
DE LA FORMA: Y= mx+b m=Δy/Δx
m la pendiente de la recta el grado de
inclinación que tiene respecto a la abscisa si m
> 1 la función es creciente, si m < 1 es
decreciente
Dominio todos los R
Codominio o rango todos los R
SABIAS QUE?
Δy es una posición final menos una inicial en y
Δx es una posición final menos una inicial en x
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Para las funciones
cuadráticas
mostradas en le
imagen el vértice
esta en el punto 0,0,
ya que solo tienen a
y b=0.
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MODULO MATEMÁTICAS
RACIONALES
DE LA FORMA: F(X)= 1/X
La variable independiente esta en el
denominador y este no puede ser 0 entonces el
dominio de la función no pueden ser todos los
R, solo aquellos que hacen que el denominador
sea mayor a 0.
El rango o codominio son todos los R ≠ 0
RADICALES
DE LA FORMA
F(X)= √
el dominio de la función son todos los valores que
hacen que el resultado dentro de la raíz sea ≤0.
Es creciente cuando F(X)= √
Decreciente cuando F(X)= √
LOGARITMICA
DE LA FORMA: ( )
Dominio todos los R +
Con a>0 y a ≠ 1
Si a > 1 es creciente
Si a < 1 es decreciente
EXPONENCIAL
DE LA FORMA: ( )
Si a>1 es creciente
Si a<1 decreciente
Dominio todos los R
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MODULO MATEMÁTICAS
TRIGONOMÉTRICAS
DE LA FORMA ( )
DE LA FORMA ( )
Dominio todos los R
Función periódica 2∏
Dominio todos los R
Función periódica 2∏
DE LA FORMA ( )
DE LA FORMA ( )
DE LA FORMA ( )
DE LA FORMA ( )
ACTIVIDAD
Para
desarrollar
ejercicios
de
operaciones
algebraicas y de productos y cocientes notables
ingresa
a
http://samiperal23.wordpress.com/modulomatematicas/
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MODULO MATEMÁTICAS
SEMANA 5.
Identificar, reconocer y aplicar a situaciones planteadas el teorema
de Pitágoras, así como la definición para triángulos rectángulos de las
funciones trigonométricas
TRIGONOMETRÍA
Es la matemática aplicada a triángulos, es decir permite relacionar la medida de los lados de estos con sus ángulos.
Teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los catetos al cuadrado:
SABIAS QUE?
h
h² = a² + b²
El teorema de
Pitágoras solo se aplica
para triángulos
rectángulos.
a
b
Funciones trigonométricas y
triángulos rectángulos
Senα = cateto opuesto
Hipotenusa
Cosα = cateto adyacente
Hipotenusa
Tan α = cateto opuesto
Cateto adyacente
Ctgα= 1/tanα
Secα= 1/cosα
Cscα = 1/senα
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MODULO MATEMÁTICAS
Ejemplo:
La distancia entre la base de la
torre inclinada de Pisa y su parte
más alta es de 180 pies. La torre
está desviada 16 pies de la
vertical. Encuentra la distancia
desde la parte más alta de la
torre hasta el piso
Tenemos que:
h= 180ft
b=16ft
180² = a² + 16²
180² - 16² = a²
= a²
√
= a²
√
= a²
ACTIVIDAD
Encontrar la información requerida para los siguientes triángulos haciendo uso
del teorema de Pitágoras
¿Cuál es el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos
miden 6cm y 8cm respectivamente?
¿Cuánto mide el cateto de un triángulo rectángulo si la hipotenusa
mide 13cm y su otro cateto mide 5cm?
¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos
miden 3 y 5 unidad de longitud respectivamente?
¿Cuánto mide el cateto de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 10 y
su otro cateto mide 5unidades de longitud?
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MODULO MATEMÁTICAS
SEMANA 6. PARCIALES
Con el fin de procurar una evaluación formativa, observar de qué manera
el estudiante aplica conceptos vistos a problemas, ejercicios y situaciones
planteadas.
1.
Hallar la solución de:
{(x^5-x^3+5x^2) + (-2x^4+2x^2-10x)+(6x^3-6x+30)} ÷x^2-2x+6
2. Productos y cocientes notables
a.
3. Factorizar:
(a²x+by²)²=
a.
b. (4x+5)³=
b.
c.
c.
8x³+27y³ ÷ 2x+3y=
2xy-6y+xz-3z
(x+1)²-81
-x²+2xy-15y²
d. a²-b² ÷ a+b =
4. Solucionar:
5. De la siguiente función
f(x) = 3x2 – 5x
y– 5=3y-25
6x-18>-2+4x
Hallar, el dominio, el rango, el vértice, decir de
que tipo es y si es creciente o decreciente
x²-8<2x
3–y ≤6
5
6. Un poste de madera mide 8m. y se quiere sujetar, con tres cables que van
de un extremo superior a un punto del suelo que diste de la base del
poste 3m. ¿qué longitud del cable se necesita?
“El hombre nunca sabe de lo que es capaz hasta que lo intenta”
SOLUCIONES
1.
2.
3.
4.
X³ - X + 5
a. a⁴x²+2a²bxy²+b²y⁴
b. 64x³+240x²+300x+125
c. 4x²6xy+9y²
d. a-b
(x+5y)(x-3y)
(-2,4)
6. 8,54m la medida de cada cable en total se necesitaran 25,6m.
5.
Dominio: x ϵ R
Rango: x ϵ R > -2,8
Parábola abre hacia arriba pues a> 1
Vx = 0,83
Vy = -2,08
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MODULO MATEMÁTICAS
SEMANA 7.
Identificar las características de las matrices como arreglos
bidimensionales, y aplicar a operaciones entre estas
Matriz
Es un conjunto de números ordenados en forma bidimensional. Se le llama matriz a todo conjunto
rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales y n verticales, suele representar en
dichos elementos entre un paréntesis que encierra sus elementos.
Orden de la
matriz
TIPOS DE MATRICES
POR ELEMENTOS
NULA, todos sus elementos son cero
POR FORMA
FILA, tiene orden de 1xn, tiene una sola fila
COLUMNA
Tiene orden de mx1, esto es se compone
de una sola columna.
DIAGONAL,
todos
sus
elementos son
ceros excepto
los
de
su
diagonal
principal.
Son matrices
cuadradas
Identidad, diagonal principal 1
CUADRADA, tiene igual número de filas y columnas, m=n
Escalar, diagonal principal números R
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MODULO MATEMÁTICAS
TRIANGULAR,
son
matrices
que
tienen
debajo
o
encima de su
diagonal
principal
elementos
neutros
TRANSPUESTA, intercambio de filas por columnas.
SUPERIOR, debajo de la diagonal
INFERIOR, encima de la diagonal
OPERACIONES ENTRE MATRICES
SUMA Y RESTA
Sea A una matriz mxn y sea B otra matriz mxn, la suma o diferencia de esta viene dada por:
Para sumar o restar dos matrices deben tener el mismo orden, en la
resta se cambia el signo de todos los elementos de la matriz
sustraendo. Estas operaciones se realizan elemento a elemento.
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MODULO MATEMÁTICAS
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
Sea A una matriz mxn y sea nE R, entonces nxA, está dado por:
Nota: el orden de la matriz no se ve alterado
PRODUCTO ENTRE MATRICES
Para multiplicar matrices se debe tener en cuenta que la primera tenga el mismo número de columnas
que la segunda de filas, no necesariamente deben tener el mismo orden si cumplen con esta condición.
Nota: el producto de matrices no es conmutativo
ACTIVIDAD
Para realizar ejercicios de matrices ingresa a:
http://samiperal23.wordpress.com/algebra-lineal/
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MODULO MATEMÁTICAS
SEMANA 8.
Que el estudiante identifique las propiedades y características de los
determinantes para luego ser aplicadas a situaciones y ejercicios propuestos.
Aplicar las propiedades de los determinantes para hallar la inversa de una
matriz
DETERMINATES
El determinante es una función que le asigna
a una matriz de orden mxn, un único número
real llamado el determinante de la matriz. Si
A es una matriz de orden mxn, el
determinante de la matriz A lo denotaremos
por det A o también por A
Para una matriz 2x2
SABIAS QUE
Para hallar el determinante de
una matriz de orden superior a
3x3 se tiene en cuenta este
método, reduciendo siempre a
determinantes 2x2
Se redujo determinantes 2x2
Para una matriz 3x3
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MODULO MATEMÁTICAS
INVERSA DE UNA MATRIZ
Para calcular la inversa de matrices por determinantes se
utiliza la siguiente formula general:
En donde:
Representación de la matriz inversa
Determinante de la matriz
Adjunta de la matriz
Cómo hallar la adjunta
Matriz 2X2
Nota: si el determinante de
la matriz es igual a 0, la
matriz no tiene inversa
EJEMPLO
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Matriz 3X3
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MODULO MATEMÁTICAS
Determinante
Cuando se multiplica la inversa de una matriz, con la matriz
Original se cumple que:
A ¹XA=I
ACTIVIDAD
Para realizar ejercicios de determinantes e
inversas ingresa a:
http://samiperal23.wordpress.com/algebra-lineal/
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MODULO MATEMÁTICAS
SEMANA 9.
Aplicar el método de Cramer con sus respectivos pasos, para la
resolución de sistemas de ecuaciones y situaciones planteadas.
METODO DE CRAMER
Es una regla o teorema de algebra lineal que permite solucionar sistemas de ecuaciones, en términos de
determinantes.
Para sistemas de ecuaciones lineales de más tres incógnitas, su aplicación desde el campo informático
resulta muy costosa, por ello es muy usado para el desarrollo de matrices pequeñas sobre todo en
aplicaciones SIMD en cuanto al paralelismo de datos (una instrucción múltiples operaciones).
SABIAS QUE?
Para aplicar la regla de Cramer se debe
tener en cuenta que el número de
ecuaciones debe ser igual al de incógnitas
y el determinante de la matriz de
coeficientes debe ser distinto de cero
Cuando se habla de sistemas de ecuaciones, se hace referencia a
varias ecuaciones en simultánea.
Pasos para resolver un sistema de ecuaciones por la regla de Cramer
Llamaremos Δ al determinante de la matriz de los
coeficientes, Δx, Δy, Δz, a los determinantes que dependen
de cada variable.
Paso 1:
Paso 2:
Se escribe y se halla
coeficientes
Δ=
3 2
1
5 3
4
el determinante de los
= 3(-3-4)-2(-5-4)+1(5-3)
-21 +18 +2
-1
1 1 -1
Es diferente de cero así que se puede resolver por
Cramer.
Se escribe y se halla el determinante respectoa a x,
entonces los coeficientes de las x van a ser
reemplazados por los términos independientes
(resultados)
ΔX =
1 2
1
2 3
4
1 1 -1
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= 1(-3-4)-2(-2-4)+1(2-3)
-7+12-1
4
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MODULO MATEMÁTICAS
Paso 3:
Se escribe y se halla el determinante respecto a y,
entonces los coeficientes de las y van a ser
reemplazados por los resultados
3 1
1
2
4
Δy =
5
-24+9+3
-12
= 3(-2-4)-1(-5-4)+1(5-2)
Paso 4:
Se escribe y se halla el determinante respecto a z,
entonces los coeficientes de las z van a ser
reemplazados por los resultados
Δz =
1 1 -1
3 2
1
5 3
2
1 1
1
= 3(3-2)-2(5-2)+1(5-3)
3-6+2
-1
Paso 5:
ACTIVIDAD
Solucionar sistemas de ecuaciones por Cramer
En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los
hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que
usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?
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MODULO MATEMÁTICAS
SEMANA 10.
Comprender y aplicar las propiedades del método de Gauss Jordan
en la resolución de sistemas de ecuaciones y situaciones planteadas.
GAUSS JORDAN
La eliminación de Gauss Jordan es un método de algebra lineal que permite determinar
la solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la transformación de la
matriz de coeficientes del sistema a una matriz identidad o diagonal escalar.
SABIAS QUE?
El método de Gauss se puede utilizar para calcular la inversa
de una matriz.
Solucionar
Escribir la matriz de coeficientes, teniendo en
cuenta los términos independientes:
A=
3
5
2
3
1
1
4
1 -1
1
2
1
Se comienza por conseguir o transformar la
primera columna de la matriz de los
coeficientes por medio de operaciones entre
filas (intercambios).
A=
Esta parte de la matriz debe transformarse en
una matriz identidad.
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1
5
3
1 -1
3 4
2 1
1
2
1
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MODULO MATEMÁTICAS
ACTIVIDAD
Solucionar sistemas de ecuaciones por Gauss
En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los
hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que
usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?
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SEMANA 11. PARCIALES
1.
Encontrar el sistema de ecuación y solucionarlo por Gauss y Cramer para:
En una tienda un cliente, se ha gastado 150 E en la compra de 12 artículos,
entre discos, libros y carpetas. Cada disco le ha costado 20E, cada libro 15E y
cada carpeta 5E, se sabe que entre discos y carpetas hay el triple que libros.
Determinar cuántos artículos ha comprado de cada tipo.
Un cliente de un supermercado ha pagado en total 150E por 24 L de leche,
6Kg de jamón y 12 L de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,
sabiendo que 1L de aceite cuesta el triple que uno de leche y que 1Kg de jamón
cuesta igual que 4L de aceite más 4L de leche.
2.
Realizar la operación propuesta
2 3
A=
-1 C=2
A+B
B=
3.
Mostrar que
4 1
-5 6
-2 1 3
0 6
1 3
2 0 4
B -C
-8 9 4
X
1 2 -3
5A + 2B - C
4. Solucionar el siguiente sistema por Gauss y
10 3 14
4 5 -2
5. Hallar la inversa de
Cramer
6 7 2
1 0 4
2x + 4y +6z =18
4x + 5y +6z = 24
3x + y – 2z = 4
5 3 8
“La inteligencia es lo que usas cuando no sabes que hacer”
SOLUCIONES
3.
1. a. El cliente ha comprado 4 discos, 3 libros y 5
carpetas.
b. leche 1E, jamón 15E y el aceite 3E
2.
38 0 0
0 38 0 38I3
0 0 38
4. x=4, y= 2, z= 3
A+B
B-C
5A+2B-C
6 4
-1 8
9 -5
-1 3
23 11
-6 19
5.
-12/18
12/18
3/18
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-50/18
38/18
17/18
28/18
-22/18
7/18
= 38I3
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SEMANA 12.
Aplicar la definición de límites para evaluar la continuidad de una
función en un punto dado
LIMITES
Los límites se utilizan para estudiar el comportamiento de una función f(x) en un
punto dado c, la definición matemática del límite dice:
Sea f (x) una función definida en un intervalo abierto que contienen a c (salvo posiblemente en c) y L
un número real. La afirmación
Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0, tal que si
0< x - c <δ, entonces F(x) – L < ε
Método grafico para hallar el límite de una función:
El método grafico consiste en obtener la gráfica de una función y
por medio de la tabulación, con números cercanos al límite saber
a qué valor tiende la función su continuidad (si el limite existe o
no).
X
F(x)
0.9
2.313
A 3
0.999
2.710
1
?
1.001
3.003
1.01
3.030
A 3
La función es continua y el limite cuando x tiene de a 1 es 3 por
izquierda y derecha.
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MODULO MATEMÁTICAS
PROPIEDADES Y REGLAS DE LOS LIMITES, DADO QUE :
Regla de la suma
Regla de la diferencia
Regla del producto
Regla del cociente
Regla del múltiplo constante
Regla de la potencia
Regla de la raíz
Límites de funciones trigonométricas
si el exponente del numerador es mayor que el
del denominador
Cuando los exponentes son iguales
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Cuando el exponente del denominador es mayor
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MODULO MATEMÁTICAS
ACTIVIDAD
Encontrar
los siguientes límites:
Lim (2x +5)
x 7
Lim (x³-2x²+4x+8)
X -2
Lim 1/x
X ∞
Limtanx
X π
Lim 3 (2x -1)
X -1
Lim
X ∞
Lim x²-2x+1
x 7 x-1
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Lim sen4x
x 0 x
Lim x³ +125
x -5 x+5
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SEMANA 13.
Aplicar el concepto de derivada como la pendiente de la recta tangente a
la curva en las diferentes funciones.
DERIVADA
La derivada es un límite que tiende a cero, es decir es un límite que se evalúa en un
determinado punto de una función y permite determinar
la pendiente de la recta
tangente a la función en dicho punto, así como su comportamiento, (crece o decrece) y
determinación de máximos y mínimos.
SABIAS QUE?
La derivada de una función f(x), se representa
por f’(x), y’ o dy.
dx
Sirve para hallar la velocidad de un móvil.
Calculo de la derivada por el límite
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MODULO MATEMÁTICAS
Ejemplo
Hallar la derivada si f(x) = x²
1. El ∆x reemplaza las x en la función original.
2. Se solucionan casos de factorización que se
presenten ya que el límite da indeterminado
por sustitución directa y se debe trabajar en el
denominador.
3. Se pueden operar términos semejantes.
4. Se factoriza de nuevo, se puede hacer las veces
que sea posible para poder simplificar el
denominador y quitar la indeterminación.
5. Se simplifica
6. Se desarrolla el límite sustitución directa y se
obtiene el resultado.
Derivada de una potencia
Si f(x) = x² f’(x) = 2x
ACTIVIDAD
Hallar la derivada de las siguientes funciones por límite y
regla de la potencia
F(x) = 3x²
F(x) = x²-x+1
F(x) = 2x-6x+5
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MODULO MATEMÁTICAS
SEMANA 14.
Aplicar reglas de derivación en la solución de problemas con la
recta tangente a una función en un punto cualquiera
PROPIEDADES Y REGLAS DE LA DERIVADA
Múltiplo constante
f(x)= k U
f’(x) = k U’
Suma y resta
f(x) = U + V
f’(x)= U’ + V’
Producto
f(x) = U.V
f’(x) = U’V+UV’
Cociente
f(x) = U
______V
f’(x)= U’V – UV’
________V²
Cociente constante y función
F(x)= k
_____V
f’(x) = -k.V’
________V²
Constante
f(x)= K
Derivada de una raíz cuadrada
f(x)= √
f’(x)= U’
_____2√
Raíz de índice K
f(x)= √
f’(x)=U’
_____k √
Función exponencial
f(x)=
Función exponencial con base e
F(x) =
f’(x) = U’
Logaritmo neperiano
f(x)= ln U
f’(x) = U’
_______U
Logaritmo
f(x) =
f’(x)= U’ . 1
_____U
ln a
f’(x)= 0
f’(x)= U’
Algunos ejemplos
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ln a
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Se derivan por separado y
luego se unen las derivadas
Hallar la derivada de las siguientes funciones aplicando las propiedades vistas
F(t)= -2t² + 3t -6
F(x)= (3x – 2x²) (5 + 4x)
F(x) = x³+ 3x + 2
ACTIVIDAD
F(x)=2x²-6x+5
F(x)= √ + ln x
F(x)=
– 25
F(x)=
+
ACTIVIDAD
F(x)= 5
F(x)= 1 +
……… x
F(x)= √
-
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SEMANA 15.
Aplicar la definición de derivada a las funciones trigonométricas,
como la pendiente de la recta tangente en un punto de dichas
funciones.
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Se puede hallar la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera de una función
trigonométrica, y así poder mirar su continuidad y por consiguiente existencia del límite
en dicho punto de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
Tabla de derivadas
Algunos ejemplos
Si f(x)= senπ
F’(x) = cosπ = 0
Si f(x)= csc 30
F’(x)=
Si f(x)= tan 45
F’ (x)=
Si f(x)= cos 3π/2
F’(x)= -sen 0 = 0
ACTIVIDAD
Derivar las siguientes funciones trigonométricas y comentar resultado
f(x)= sec π/2 --------------------------------------------------------- f(x)= tan π cos π
f(x)=-cos 2π/2------------------------------------------------------- f(x)= csc 2π
f(x)= sen 3π/2------------------------------------------------------ f(x)= cos²π+sen²π
f(x)= tan π/2----------------------------------------------------------- f(x)= 1
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- 4ctan π
cosπ
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SEMANA 16.
Reconocer las propiedades de la derivación en cadena y la
segunda derivada para aplicar a ejercicios y situaciones
propuestas.
DERIVADA EN CADENA
La regla de la cadena se aplica a funciones compuestas
y añade versatilidad a las demás reglas y propiedades
de la derivada.
Si y= f(u) es una función derivable de u y además u =
g(x) es una función derivable de x, entonces y =
f(g(x)) es una función derivable de x y:
SABIAS QUE?
La regla de la derivada también se le conoce
como el método de afuera hacia adentro,
para poder derivar la función compuesta
d [f(g(x))] = f’(g(x))g’(x)
dx
Función exterior
Función interior
La derivada de y= f(u) es la derivada de la función exterior (en la función interior u)
multiplicada por la derivada de la función interior.
Y’ = f’(x).u’
EJEMPLO
Sea f(x) = (3x – 2x²)³
Entonces u = 3x – 2x²
f(x) = u³
f’(x) = 3u².u’
f’(x) = 3(3x – 2x²)² (3 – 4x)
PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA
También conocida como derivación implícita se representada por:
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Ejemplo
Dada x²+y²=25, encontrar la segunda derivada
2x + 2y dy = 0
dx
2y dy = - 2x
dx
dy =-2x = -x
dx 2y y
Primera derivada
Segunda derivada
d²y
dx²
d²y= -1(y)-(x)(dy/dx)
dx²
y²
=-y – (x)(-x/y)
y²
= - y² + x²
y³
= -25
y³
ACTIVIDAD
1. Derivar teniendo en cuenta la
regla de la cadena
2. Hallar la segunda derivada
F(x)= 2x³ + 3x²
F(x)= x³-2x²+x+1
F(x)= 12 + 2x² -x⁴
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BIBLIOGRAFIA
THOMAS CALCULO UNA VARIABLE PEARSON ADDISON WESLEY
THOMAS CALCULO VARIAS VARIABLES PEARSON ADDISON WESLEY
CALCULO 1 LARSON, HOSTETLER EDWARDS ED MC GRAW HILL
ALGEBRA LINEAL STANLEY I. GROSSMAN ED. MC GRAW HILL
MATRICES FRANK AYRES Jr ED. MC GRAW HILL
ALGEBRA DE BALDOR
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