LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS

LA ELIPSE
EJERCICIOS
RESUELTOS
Colegio Sor Juana Inés de la Cruz
Sección Preparatoria
Matemáticas III
Bloque VII
Ing. Jonathan Quiroga Tinoco
1. Para encontrar la ecuación de la elipse con centro en el
origen, un foco en el punto (0, 3) y semieje mayor igual
a 5, por las coordenadas del foco se sabe que el eje focal es
el eje y, y que la distancia del centro al foco es c = 3.
Además, a = 5.
x2 y2
+ 2 =1
2
b
a
La ecuación de la curva es del tipo
,
para la cual se necesita tener el valor de b, el
semieje menor. Puesto que se conocen a y c,
b se determina de la expresión que las
relaciona: b 2 = a 2 − c 2
b 2 = 5 2 − 32
2
b = 16
2
2
x
y
+
=1
16 25
2. Se pueden determinar todos los elementos que
caracterizan a la elipse del ejemplo anterior y
representarla en el plano coordenado:
Centro:
C(0, 0)
Eje focal:
eje y
Vértices:
V(0, 5) y V’(0, –5)
Focos:
F(0, 3), F’(0, –3)
Distancia focal:
2c = 6
Longitud del eje mayor:
2a = 10
Longitud del eje menor:
2b = 8
Longitud de cada lado recto:
Excentricidad:
2b2
=
a
2(16 ) 32
=
5
5
c
a 2 − b2 3
e= =
=
<1
a
a
5
GRÁFICA EJEMPLO 2
3. La ecuación de la elipse con vértices V(4, 0) y V’(–4, 0)
y excentricidad ¾ se puede obtener de la siguiente
manera:
Por los vértices se sabe que es una elipse con
centro en el origen, que su eje focal es el eje x,
y que a = 4.
c
Por la definición de la excentricidad: e =
a
3
c
por lo tanto, 4 = 4 , y c = 3.
Entonces b = a − c
2
2
2
2
2
2
b = 4 −3 = 7
x2 y2
La ecuación es
+
=1
16 7
4. Para la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x y
pasa por los puntos (4, 3) y (6, 2), al considerar la
2
2
x
y
fórmula
+ 2 =1
2
a
b
Como los puntos deben satisfacer la ecuación, se tiene:
Para (4, 3): 4 2 32
16 9
+
=
1
+ 2 = 1..................... (1)
2
2
2
a b
a
b
Para (6, 2): 6 2
22
+ 2 =1
2
a
b
36 4
+ 2 = 1..................... (2)
2
a b
Éste es un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: a
y b. Para resolverlo se puede despejar b2 de las dos
ecuaciones e igualar los valores para determinar el
valor de a2:
Cont….ejemplo 4.
De (1):
De (2):
16 9
+ 2 =1
2
a
b
16b 2 + 9a 2 = a 2 b 2
(
)
b 2 16 − a 2 = −9a 2
2
2
9
a
9
a
b2 = −
= 2
... (3)
2
16 − a
a − 16
36 4
+ 2 =1
2
a
b
36b 2 + 4a 2 = a 2 b 2
(
)
b 2 36 − a 2 = −4a 2
2
2
4
a
4
a
b2 = −
= 2
... (4)
2
36 − a
a − 36
Cont….ejemplo 4.
Igualando (3) y (4):
9a 2 − 324a = 4a 2 − 64a
9a 2
4a 2
= 2
2
a − 16 a − 36
5a 2 − 260 = 0
9 ( a2 − 36) = 4 ( a2 −16)
a2 =
260
= 52
5
Este valor se sustituye, por ejemplo, en (4):
4a 2
4(52 )
b = 2
=
a − 36 52 − 36
2
La ecuación de la elipse es:
b2 =
208
= 13
16
x2 y2
+
=1
52 13
Para definir sus elementos se requiere conocer el valor de c.
2
2
b = a −c
2
c = a2 − b2
c = 52 − 13 = 39
Cont….ejemplo 4.
Los elementos de la elipse son:
Centro:
C(0, 0)
Eje focal:
Eje x
Vértices:
V( 52 , 0) y V’( − 52 , 0)
Focos:
F(
Distancia focal:
Longitud del eje mayor:
Longitud del eje menor:
Longitud de cada lado recto:
Excentricidad:
39 , 0), F’( − 39 , 0)
2c =2 39
2a = 2 52
2b = 2 13
26 1
2b2
=
=
52 2
a
c
a2 − b2
39
e= =
=
52
a
a
Cont….ejemplo 4. GRÁFICA
F'( − 39,0)
V'(- 52 , 0)
F ( 39,0)
V( 52 , 0)
5. Para la elipse cuyos vértices son V(6, 4) y V’(–2, 4) y
sus focos los puntos F(5, 4) y F’(–1, 4), encontrar su
ecuación, elementos y gráfica.
Como los vértices y los focos tienen la misma
ordenada, la elipse tiene su eje mayor paralelo al
eje x, de manera que la fórmula a utilizar es:
2
(x − h )
2
2
(
y − k)
+
2
=1
a
b
El centro de la elipse está en el punto medio de los
vértices (y de los focos) por lo tanto sus
coordenadas son
x1 + x2 6 + (− 2)
x=
=
=2
2
2
Cont…..ejemplo 5
4+4
y1 + y2
=4
y=
=
2
2
•  La distancia del centro a cualquiera de los
vértices es el valor de a, de modo que:
a = 6−2 = 4
•  Y c es la distancia del centro a cualquiera de los
focos:
c = 5−2 = 3
•  Para determinar la ecuación es necesario conocer
el valor de b:
2
2
2
2
b= 7
b = a −c
b = 16 − 9 = 7
Para
x=0
2
2
(0 − 2) + ( y − 4) = 1
16
7
y 2 − 8 y + 16 =
( y − 4)2
7
21
4
2
4 y − 32 y + 43 = 0
y=
1
3
= 1−
=
4
4
8 ± 21
2
y1 = 6.3
Para
x=4
2
2
( 4 − 2) + ( y − 4) = 1
16
7
Para
x=2
2
2
( y − 4)
7
2
=1
(0, –1.7)
y2 = – 1.7
2
4 ( y − 4)
+
=1
16
7
y1 = 6.3
( 2 − 2) + ( y − 4) = 1
16
7
(0, 6.3)
y2 = – 1.7
(4, 6.3)
(4, –1.7)
2
0 ( y − 4)
+
=1
16
7
y 2 − 8 y + 16 = 7
y = 4± 7
(2, 6.65)
(2, 1.35)
y1 = 6.65 y2 = 1.35
Cont…ejemplo 5. GRÁFICA
6. Para la elipse cuyos vértices son los puntos (–3, 7) y (–3, –1)
y la longitud de cada lado recto es 2 encontrar la ecuación, sus
elementos y su gráfica
Como los vértices tienen la misma abscisa la
elipse es vertical ya que el eje mayor, y el focal,
son paralelos al eje y. La ecuación que le
corresponde es: (x − h )2 ( y − k )2
b
2
+
a
2
=1
El centro es el punto medio del eje mayor VV '
Su abscisa es la misma de los vértices y su
ordenada es
7 + (− 1)
y1 + y2
= 3 → C(-3, 3)
y=
=
2
2
Cont…..ejemplo 6.
La longitud de su eje mayor es la distancia entre
sus vértices: 2a = 7 − (− 1) = 8 → a = 4
Como la longitud de cada uno de sus lados rectos
es 2, se tiene:
2b 2
= 2
a
2
2b = 2(4)
8
b = =4
2
2
b=2
y la longitud de su eje menor es 2b = 4
La ecuación de esta elipse es: (x + 3)2 ( y − 3)2
4
+
16
=1
Para determinar las coordenadas de los focos se
calcula el valor de c a partir de la expresión:
2
2
a =b +c
2
Cont….ejemplo 6.
2
2
c = a −b
2
c = 12 = 2 3
c 2 = 16 − 4 = 12
•  Por lo tanto, los focos son los puntos:
(
F −3, 3 + 2 3
)
(
F ' −3, 3 − 2 3
•  su excentricidad es:
c 2 3
3
e= =
=
a
4
2
)
Cont…ejemplo 6. GRÁFICA
7. Encontrar la ecuación de la elipse que tiene centro en (1, 2),
uno de los focos es (6, 2) y pasa por el punto (4, 6),
Como el centro y el foco tienen la misma ordenada,
el eje focal y el eje mayor son paralelos al eje x. Por
tanto, la ecuación que corresponde a esta curva es:
(x − h )2 + ( y − k )2
a
2
b
2
=1
Al sustituir las coordenadas del centro (h, k) = (1, 2):
(x − 1)2 ( y − 2)2
a
2
+
b
2
Hay que determinar a2 y b2.
=1
Cont….ejemplo 7.
Como el punto (4, 6) pertenece a la elipse, satisface
su ecuación: (4 − 1)2 (6 − 2)2
9 16
a
2
+
b
2
=1
a
2
+
b
2
=1
Para obtener una ecuación con una sola incógnita,
2
2
2
se hace la sustitución b = a − c
Cont…ejemplo 7.
Para determinar su gráfica se localizan los
vértices, los focos y el centro, y se sabe que su eje
mayor mide 2a = 2(4) = 8 y su eje menor, 2b = 2 7
de manera que los puntos de intersección de la
elipse con su eje menor son B ( 2, 4 + 2 7 ) B ' ( 2, 4 − 2 7 )
Cada uno de sus lados rectos mide:
2b2 14 = 3.5
=
4
a
Otros puntos de la elipse, con valores aproximados
de la ordenada, son:
8) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0,
3), y F’(0, –3), y cada uno de sus lados rectos igual a
9.
Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal
es el eje y. El centro se encuentra en el punto
medio entre ellos: C(0, 0).
•  La distancia c es:
c = 0−3 = 3
b2 = a 2 − c2
b2 = a2 − 9
•  El lado recto es:
2b 2
LR =
=9
a
•  Sustituyendo:
2
2a − 9a − 18 = 0
a=
9 ± 81 + 144 9 ± 15
=
4
4
(
)
2 a2 − 9
=9
a
a=
− (− 9) ±
(− 9)2 − 4(2)(− 18)
2(2)
24
a1 =
=6
4
6
3
a2 = − = −
4
2
•  El valor negativo de a no se considera puesto
que a es una longitud. Por tanto a = 6.
b2 = a2 − 9
2
b = 36 − 9 = 27
•  La ecuación de la elipse es:
2
2
x
y
+
=1
27 36
9) Los focos de una elipse son los puntos
F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje
menor es 8. Encuentra la ecuación de la
elipse, las coordenadas de sus vértices y su
excentricidad.
•  El eje focal es paralelo al eje y.
•  El centro tiene la misma abscisa que los focos:
h = 3.
8−2
La distancia entre los focos es: c = 2 = 3
k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)
2b = 8 b = 4
2
2
a =b +c
2
2
a = 16 + 9 = 25
•  Ecuación de la elipse:
2
(x − 3)
16
2
(
y − 5)
+
25
=1
•  Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10);
V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)
•  Excentricidad:
c 3
e= =
a 5
10) Encuentra la ecuación del lugar
geométrico de los puntos cuya distancia al
punto (4, 0) es igual a la mitad de su
distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta el
resultado.
•  Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):
d1 = (x − 4)2 + ( y − 0)2
•  Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x –
16 = 0:
x − 16
d2 =
+ 12
1
d1 = d 2
2
( x − 4)
2
2
+y =
1
( x − 16 )
2
1
2
( x − 4 ) + y = ( x − 16 )
4
2
2
1
x − 8 x + 16 + y = x 2 − 32 x + 256
4
2
2
3 2
x + y 2 = 48
4
(
2
2
)
1 2
= x − 8 x + 64
4
3x
y
+
=1
4 ( 48 ) 48
x2 y2
+
=1
64 48
El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal
con centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y
eje menor igual a 2 48
11) Un arco con forma de semi-elipse tiene una
altura máxima de 45m y un claro de 150m.
Encuentra la longitud de dos soportes verticales
situados de manera que dividan en claro en tres
espacios iguales.
Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la
elipse) y el origen es su punto medio, la
ecuación es del tipo x 2 y 2
, con el
a
2
+
b
2
=1
semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45.
Para que el claro se divida en tres partes
iguales, la distancia de los soportes a cada
vértice y entre ellos debe ser de 50m.
•  La ecuación es:
x2
y2
+
=1
5625 2025
Para determinar la altura de los soportes, se
hace x = 25 en la ecuación y se despeja el valor
2
de y: ( ±25 )2
2
625
y
y
+
=1
+
=1
5625 2025
5625 2025
1
y2
+
=1
9 2025
16200
y =
= 1800
9
2
y2
8
=
2025 9
y = 30 2
Puesto que y es una longitud (la altura de los
postes), se toma sólo la raíz positiva.