Conceptos Sobre Orbitas

Transcripción

Conceptos sobre
Órbitas
José Antonio Sánchez Sobrino
Jefe del Servicio de Programas Geodésicos
Centro de Observaciones Geodésicas – Instituto Geográfico Nacional
X Curso GPS en Geodesia y Cartografía. Montevideo, mayo 2010
1
Introducción
Determinación de la Órbita. Movimiento Kepleriano
Leyes de Kepler
Representación en el plano orbital
Representación en un sistema fijo a la Tierra
Movimiento Perturbado
Perturbaciones a la órbita ideal
Efemérides en GPS
Almanaque
Efemérides transmitidas
Efemérides precisas
2
Introducción
El posicionamiento con GPS se basa en la determinación de la posición de
un punto (tierra, mar, aire....).
Dicha determinación se realiza midiendo las distancias a un número de
satélites.
Una vez conocidas estas distancias, tenemos que calcular la posición que
deseamos.
Para poder determinar las coordenadas del punto, debemos conocer las
coordenadas de los satélites.
La precisión en la determinación depende en gran parte de la precisión en
las coordenadas de los satélites (más en posicionamiento absoluto, pues
en relativo se anulan).
3
Determinación de la órbita
Determinar las coordenadas de un satélite es determinar su movimiento.
Debemos conocer cuales son las causas que generan ese movimiento
Leyes de Newton.
Vamos a estudiar primero un caso ideal (Teoría de Orbitas Normales).
Consideremos la masa de la Tierra concentrada en su centro de masas, no
existencia de atmósfera y no existencia de más fuerza que la gravitatoria
(atracción de masas).
Consideremos dos puntos (Tierra y satélite) de masas m1 y m2 separados
una distancia r.
m1
r
m2
4
El movimiento de la masa m2 respecto de m1 viene expresado por la
ecuación diferencial homogénea de segundo grado:
r G (m1 + m2 ) r r
r+
⋅r = 0
3
r
••
Donde:
r
r
G
r
•r•
d 2r
r= 2
dt
Æ vector posición relativo
Æ constante de gravitación universal
Æ vector aceleración relativa
Llamemos MT a la masa de La Tierra. El producto
µ = G ⋅ M T = 3986005 ⋅108 m 3 s −2
es una constante conocida y es uno de los parámetros que definen
el sistema de referencia WGS84.
5

Si la masa del satélite es despreciable en comparación con la masa
de la Tierra, obtenemos la ecuación diferencial:
r
d2r
= −µ ⋅ 3
2
dt
r

La solución analítica de esta ecuación diferencial es un problema clásico
de mecánica celeste.

Dicha solución nos lleva al movimiento Kepleriano, definido por seis
parámetros orbitales.

Éstos se corresponden con las seis constantes de integración de
ecuación diferencial de segundo orden vectorial anterior.
X = X ( X , Y , Z , I)
•
2
d r
r
µ
=
−
⋅
dt 2
r3
•
Y = Y ( X , Y , Z , J)
•
•
Z = Z (X , Y , Z , K )
•
•
X = X ( X , Y , Z , I, L )
Y = Y ( X , Y , Z , J, M)
Z = Z ( X , Y , Z , K, N)
6
Determinación de la órbita: Leyes de Kepler
1ª LEY DE KEPLER.
“El movimiento de un cuerpo respecto a otro debido a la
atracción de las masas se reduce a una cónica, estando uno de los
dos cuerpos en el foco de la cónica.”
• En el caso del sistema Tierra-satélite, suponiendo la Tierra “ideal” y
considerando un campo gravitatorio central, el movimiento se reduce
a una elipse en uno de cuyos focos se encuentra situada la Tierra
7
P
Linea de
ápsides
ZT
•Llamamos perigeo a la posición, dentro
de la órbita del satélite, en que éste se
encuentra más próximo de la Tierra.
t
Nodo
Descendente
Perigeo
G
•La línea que une el perigeo con el centro
de masas de la Tierra recibe el nombre de
línea de ápsides.
Plano
del
Ecuador
Ω
a, e
•Llamamos apogeo a la posición, dentro
de la órbita, en que el satélite se
encuentra más alejado de la Tierra.
YT
XT
Plano
orbital
Nodo
Ascendente
Linea nodal
•La línea que resulta de la intersección del
plano orbital con el ecuador se llama
línea nodal, dentro de la cual hay que
destacar el nodo ascendente, punto de
la órbita en que el satélite pasa del
hemisferio sur al hemisferio norte.
• Equinoccio vernal: intersección plano
ecuatorial con plano de la eclíptica (Sol).
Apogeo
8
Una vez consideradas las definiciones anteriores, los 6 parámetros que sitúan de
forma única una órbita en el espacio (también llamados elementos keplerianos) son:
Plano orbital:
Ω ; ascensión recta del nodo
ascendente
i ; inclinación
Tamaño de la órbita :
a, e.
Orientación de la órbita en su plano:
ω; argumento del perigeo
Tiempo de paso por el perigeo: to
Anomalía Verdadera v(t)
El único que es dependiente del tiempo en el movimiento no perturbado es la
anomalía verdadera
9
2ª LEY DE KEPLER.
“El radio vector del satélite dentro de la órbita recorre áreas
iguales en tiempos iguales.”
10
La posición instantánea del satélite dentro de la órbita se
describe por una cantidad angular conocida como anomalía.
Varios tipos de anomalía según se considere el ángulo medido
desde el foco de la órbita (geocentro) o desde el centro de la órbita:
- Anomalía verdadera v(t) . Ángulo, medido en el plano orbital y desde
el geocentro, entre la línea de ápsides (perigeo-geocentro-apogeo) y la
posición del satélite.
- Anomalía excéntrica E(t). Ángulo, medido en el plano orbital y desde
el centro de la órbita, entre la línea de ápsides y la posición del satélite
proyectada a una circunferencia de radio el semieje mayor de la elipse, a.
- Anomalía media M(t).
11
La única anomalía que no tiene sentido físico es la anomalía
media M(t)
12
3ª LEY DE KEPLER.
“El cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo del semieje
mayor de la elipse”
3
a
µ = 4π 2 2
T
Nos aporta el conocimiento del periodo orbital del satélite, es decir, el tiempo
que tarda en recorrer una órbita completa alrededor de la Tierra.
Así, fijado el semieje mayor de una órbita para un satélite alrededor de la
Tierra, conocemos su periodo orbital a través de esta tercera ley.
13
El conocimiento de este periodo nos lleva a conocer la velocidad
angular media del satélite, también llamada movimiento medio:
2π
n=
=
T
µ
(Velocidad = espacio / tiempo)
a3
y es el que va a dar sentido a la anomalía media.
Si llamamos T0 al tiempo de paso por el perigeo del satélite, se define
la anomalía media para un instante t como (abstracción matemática, no
tiene sentido geométrico):
M (t ) = n ⋅ (t − T0 )
Ejemplo: transcurridas 3 h
desde el paso por perigeo,
M(t)=3 * 2π / 12 = π / 2
Es un artificio matemático. Movimiento del satélite en la órbita
es un movimiento medio. Igual en toda la órbita.
14
Podemos relacionar las tres diferentes anomalías mediante:
M (t ) = n ⋅ (t − T0 )
E (t ) = M (t ) + e ⋅ sin E (t )
Conocida como Ecuación de Kepler.
⎡ 1 + e E (t ) ⎤
tg
v(t ) = 2arctg ⎢
⎥
−
1
2
e
⎣⎢
⎦⎥
Estas igualdades, que relacionan las diferentes anomalías dentro
de la órbita, nos van a permitir identificar diferentes conjuntos de
elementos keplerianos para la definición de la posición de un
satélite en el espacio:
{Ω, i, a, e,ω , v(t )} con la anomalía verdadera
{Ω, i, a, e,ω , M (t )} con la anomalía media
{Ω, i, a, e,ω , E (t )} con la anomalía excéntrica
15
Representación en el Plano Orbital
El sistema de coordenadas
r r
{e1 , e2 }
nos
permite
expresar
la
posición y velocidad de un
satélite, dentro de su órbita, en
función
de
la
anomalía
excéntrica
y
la
anomalía
verdadera.
Así,
podemos
obtenerlas como:
⎡cos v ⎤
⎡ cos E − e ⎤
r
r = a⋅⎢
⎥
⎥ = r⎢
2
−
v
e
E
1
sin
sin
⎥⎦
⎥⎦
⎢⎣
⎢⎣
la representación
r = r (v ) se denomina Ecuación Polar de la Elipse
(Coordenadas polares del satélite respecto del sistema e1, e2 y geocentro)
16
Representación en el Sistema Fijo a la Tierra
Para el cálculo con GPS debemos conocer las coordenadas del satélite con
respecto a un sistema de referencia fijo terrestre. Consideremos:
el Sistema de Referencia Ecuatorial Cartesiano :
−
origen, O, en el centro de masas de la Tierra,
−
eje OX en la dirección del equinoccio vernal
(punto Aries),
−
eje OZ en la dirección del eje de rotación medio y
−
eje OY formando un triedro con orientación positiva
y el sistema fijo a la Tierra
El Sistema Convencional Terrestre (CTS):
−
origen, Oo, en el centro de masas de la Tierra,
−
eje OXo en la dirección del meridiano de Greenwich
−
eje OZ o en la dirección del eje de rotación medio y
−
eje OYo formando un triedro con orientación positiva
(solo se diferencian en el eje X)
17
• Para
sistema
sistema
pasar al primer sistema de referencia, debemos considerar el
por lo que a nuestro
de referencia orbital como tridimensional,
r
r r
{e1 , e2 }le añadimos un tercer eje e3 ortogonal al plano de la órbita.
r r•
ryr
• Como los vectores
están contenidos en el plano de la órbita, este
artificio para pasar a tres
r dimensiones no afecta a las coordenadas ya que
sus componentes en e3 son cero en ambos casos.
• Una vez los dos sistemas son tridimensionales, pasamos del sistema
orbital al ecuatorial mediante 3 giros:
•
•
•
r
r
1º Respecto al eje e3 y ángulo “− ω ” para llevar la línea de ápsides (eje e1 en
el plano orbital) hasta
r coincidir con la línea nodal.
2º Respecto al eje e1 y ángulo “ − i ” para llevar el plano de la órbita hasta
coincidir con el plano rdel ecuador.
3º Respecto al eje e3 y ángulo “ − Ω ” para hacer coincidir la línea de
ápsides, ya girada, con la línea que pasa por el equinoccio vernal.
18
ZT
P
Linea de
ápsides
t
Nodo
Descendente
Perigeo
G
e3
Plano
del
Ecuador
Ω (Aries)
XT
a, e
e1
e2
ω
i
Plano
orbital
Ω
YT
Nodo
Ascendente
Linea nodal
Apogeo
19
De esta manera, si llamamos
tenemos:
r r r
x = R⋅r
donde la matriz
r
x
y
r•
x
a los vectores obtenidos,
•
r• r
x = R⋅r
r
R tiene la forma:
⎛cosΩcosω − sinΩsinω cosi − cosΩsinω − sinΩcosω cosi sinΩsini ⎞
⎟ r r r
r ⎜
R = ⎜sinΩcosω + cosΩsinω cosi − sinΩsinω + cosΩcosω cosi − cosΩsini ⎟ = (e1, e3 , e3 )
⎜
⎟
⎜
sinω sini
cosω sini
cosi ⎟⎠
⎝
siendo los vectores columna de la matriz ortogonal los ejes
del sistema de coordenadas orbital.
Debemos tener en cuenta que los elementos de la matriz son constantes
(elipse orbital inmóvil).
20
Por último, para pasar al sistema convencional fijo a la Tierra, realizamos un giro
respecto al eje tercero y ángulo “ − θ o ” (hora siderea aparente en Greenwich) para
llevar el eje OX que pasa por el punto Aries hasta el eje OX o que pasa por Greenwich
(fijo a la Tierra). Finalmente, la matriz de rotación quedaría:
r r
r
r
r
R' = R3 (−θ o ) ⋅ R3 (−Ω) ⋅ R1 (−i) ⋅ R3 (−ω ) ⋅
Existen fórmulas inversas para obtener las coordenadas del satélite dentro del
sistema de referencia orbital a partir de las expresadas en el sistema fijo a la Tierra y
son las que usan los centros de control para calcular las efemérides de los satélites
e introducirlas en el mensaje de navegación.
21
Estas expresiones nos son útiles en cálculo, con las ecuaciones siguientes, el
usuario debe calcular las coordenadas de la posición del satélite en un sistema
de referencia fijo terrestre (CTS).
Navegación - Bloque II (3)
µ = 3,986005 x 1014 m
3
s2
& = 7,2921151467 x 10 −5 rad
Ω
e
Valor del parámetro gravitacional terrestre del WGS84
s
A = ( A )2
n0 =
Valor de la velocidad de rotación terrestre del WGS84
Semieje mayor
µ
Movimiento medio calculado - rad/seg
3
A
t k = t − toe
Tiempo desde la época de referencia
n = n0 + ∆n
Movimiento medio corregido
M k = M 0 + nt k
Anomalía media
M k = E k − e.senE k
Ecuación de Kepler para anomalía excéntrica
⎛ 1 − e 2 senE / (1 − e. cos E ) ⎞
k
k ⎟
ϑk = arctan⎜
⎜ (cos Ek − e ) / (1 − e. cos Ek ) ⎟
⎝
⎠
Anomalía verdadera
22
⎛ e + cos ϑk ⎞
⎟⎟
Ek = arccos⎜⎜
−
1
e
cos
ϑ
k ⎠
⎝
Φ k = ϑk + ω
δuk = Cus sen2φk + Cuc cos 2φk
δrk = Crs sen 2φ k + Crc cos 2φk
δik = Cis sen 2φ k + Cic cos 2φ k
u k = φ k + δu k
rk = A(1 − e cos E k ) + δrk
ik = i0 + δik + ( IDOT )t k
xk′ = rk cos u k
yk′ = rk senuk
& −Ω
& )t − Ω
& t
Ω = Ω + (Ω
k
0
e
k
e oe
xk = xk′ cos Ω k − yk′ cos ik senΩ k
yk = xk′ senΩ k + yk′ cos ik cos Ω k
Anomalía excéntrica
Argumento de latitud
Corrección para el argumento de latitud
Corrección para el radio
Corrección para la inclinación
Argumento de latitud corregido
Radio corregido
Inclinación corregida
Posición en el plano orbital
Latitud corregida del nodo ascendente
Coordenadas en un sistema CTS
z k = yk′ senik
23
Movimiento perturbado
La órbita kepleriana es una órbita teórica.
Supone una Tierra esférica cuya masa se acumula en un punto, un
sistema en el que no actúa más fuerza que la de atracción entre dos masas
y que no existe atmósfera.
NO REAL
Las fuerzas o aceleraciones perturbadoras son factores que generan una
desviación del satélite en su órbita kepleriana teórica.
La ecuación del movimiento perturbado será la del movimiento kepleriano
más la acción de las aceleraciones perturbadoras.
•r•
µ r
ρ+ 3 ρ = d ρ
ρ
••
r
(debería ser 0)
24
••
• El módulo de la aceleración ρr es 104 veces más grande que la
aceleración de perturbación.
• Todo ello nos lleva a una órbita Kepleriana definida por los 6
parámetros para una determinada época de referencia t0.
••
• Cada aceleración de perturbación d ρ causa variaciones
•
temporales de los parámetros orbitales p io = dpio / dt
• Consecuentemente, en una época arbitraria t el parámetro pi
describe la llamada elipse osculatriz, que es dada por:
•
pi = pio + p io ⋅ (t − t 0 )
25
Perturbaciones
Las fuerzas perturbadoras que afectan a un satélite en su movimiento
alrededor de la Tierra podemos dividirlas en dos grandes grupos:
• Gravitacionales
No esfericidad de la Tierra
Atracción de mareas (efecto directo e indirecto)
Irregularidades y variaciones del campo gravitatorio terrestre
• No gravitacionales
Presión por radiación solar
Rozamiento atmosférico
Efectos relativistas
Viento solar, campo magnético, etc...
26
En los satélites GNSS, las principales perturbaciones son:
•
•
•
No esfericidad de la Tierra
Mareas producidas por el Sol y la Luna
Presión por radiación solar.
27
Si reescribimos las ecuaciones del movimiento como:
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
r•
r
•r•
•r•
•r•
•r•
⎪
dx
x
+ µ ⋅ 3 = x g + x S + x L + x PRS ⎪
dt
r•
⎪
x
⎪
⎭
r •
dx r
=x
dt
donde el primer término es la parte central del campo
gravitatorio que hemos estudiado en el caso de
movimiento no perturbado.
28
No esfericidad de La Tierra y c.g.t.
El potencial gravitatorio terrestre V puede expresarse mediante un
desarrollo en serie de armónicos esféricos en la forma:
µ⎡
⎛a
V = ⎢1 − ∑ ⎜⎜ E
r ⎢ n=2 ⎝ r
⎣
Donde:
∞
n
∞ n
⎞
⎛a
⎟⎟ ⋅ J n ⋅P n (sin ϕ ) − ∑∑ ⎜⎜ E
n = 2 m =1 ⎝ r
⎠
n
⎤
⎞
⎟⎟ [J nm cos mλ + K nm sin mλ ]⋅P nm (sin ϕ )⎥
⎥⎦
⎠
aE
semieje mayor del elipsoide terrestre
r
distancia geocéntrica del satélite
λ
longitud esférica de la posición del satélite
ϕ
latitud esférica de la posición del satélite
Jn,Jn,m ,Kn,m
coeficientes zonales y teserales del desarrollo en armónicos esféricos del modelo
de potencial
Pn
Polinomios de Legendre
Pn,m
Funciones asociadas de Legendre
29
•
El término más importante del desarrollo del potencial perturbador es el J 2
y representa el abultamiento ecuatorial en el campo gravitatorio.
•
Es aproximadamente tres órdenes de magnitud, 103 mayor que el resto
de coeficientes y menor que el debido al potencial Vo en un factor de 104.
•
La aceleración generada por la parte no perturbada del movimiento es
de 0,57 m/s2 y la generada por el potencial perturbador es de 0,5x 10-6 m/s2.
•
Actualmente, la solución más completa para el desarrollo en armónicos
esféricos tiene 2190 coeficientes para n y m, si bien sólo los coeficientes de
grado y orden menor (hasta 36) son significativos para el cálculo orbital de
los satélites.
30
Efecto de marea. Atracción del Sol y la Luna
• Una masa externa al sistema Tierra-satélite ejerce una atracción sobre
la Tierra y el satélite.
• Para ver como afecta dicha aceleración al movimiento del satélite:
• considerar la diferencia entre la atracción que dicha masa externa
ejerce sobre la Tierra y la que ejerce sobre el satélite.
• Consideremos un cuerpo
celeste puntual de masa mC y su vector de
v
posición geocéntrico ρ C .
31
•
El ángulo
z , entre el cuerpo y el satélite respecto a la Tierra,
puede expresarse como función del vector posición geocéntrico del
satélite y el vector posición geocéntrico del cuerpo a través del
coseno director como:
v
ρC
cos z = v
ρC
v
ρ
⋅ v
ρ
32
•
Como hemos dicho que sólo nos interesa la diferencia entre la
atracción sobre la Tierra y el satélite
⎡
d ρ = G ⋅ mC ⋅ ⎢
⎢
⎣
••
r
•
v
r
v
r
v
ρC − ρ
ρC − ρ
3
⎤
ρ
− vC3⎥
ρ C ⎥⎦
De los cuerpos celestes del sistema solar, sólo el Sol y la Luna
se deben considerar, puesto que el efecto de los demás planetas es
despreciable teniendo en cuenta la relación entre sus masas y
distancias a la Tierra, y su valor máximo se alcanza cuando los tres
cuerpos están alineados, momento en que:
⎡
1
d ρ = G ⋅ mC ⋅ ⎢ v
⎢ ρ − ρr
⎣ C
••
r
2
⎤
1 ⎥
− v 2
ρ C ⎥⎦
33
•
Si sustituimos los valores para el Sol y la Luna:
G ⋅ m S ≈ 1,3 ⋅ 10 20 m 3 s −2
ρ S ≈ 1,5 ⋅ 1011 m
G ⋅ m L ≈ 4,9 ⋅ 1012 m 3 s −2
ρ L ≈ 3,8 ⋅ 10 8 m
obtenemos que las aceleraciones perturbadoras debidas a la
atracción del Sol y la Luna tienen unos valores aproximados de:
••
r
x S ≈ 2 ⋅ 10 − 6 ms − 2
••
r
x L ≈ 5 ⋅ 10 −6 ms − 2
¡¡¡Efecto de la Luna 2,5 veces efecto del Sol!!!
34
•
Además de este efecto directo de la atracción lunisolar sobre
el movimiento del satélite, debemos tener en cuenta que existe un
efecto indirecto producido por la deformación de la tierra sólida y
las mareas oceánicas.
•
Las aceleraciones que se producen en el satélite por cada uno
de estos procesos se aproximan a 10-9 ms-2.
•
La consecuencia de estas mareas es que la posición de un
receptor en la superficie de la Tierra varía con el tiempo. Ésta
variación debe ser tenida en cuenta a la hora de modelar los errores
sistemáticos del receptor en las ecuaciones de observación.
35
Presión por radiación solar
• Perturbación producida por el impacto, sobre la superficie del satélite, de los
fotones procedentes del Sol.
• Los parámetros básicos que hay que considerar para estudiar la presión por
radiación solar:
- El Área Reflectiva, o superficie normal a la radiación incidente
- Reflectividad de la superficie
- Luminosidad del Sol
- Distancia del satélite al Sol.
• La magnitud de la aceleración perturbadora por efecto de la presión por
radiación solar es aproximadamente:
••
r
x PRS ≈ 10 −7 ms − 2
36
Para
limitar los errores obtenidos al calcular la posición de un
satélite en un momento dado, la información orbital debe ser tanto
más abundante cuanto más precisión se requiera.
La
información orbital de cada satélite se actualiza cada cierto
tiempo.
En GPS, además de los 6 parámetros keplerianos, se transmiten
otros 9 parámetros.
37
Tipos de efemérides
Para determinar la posición de un satélite GPS se difunden tres tipos de datos:
#
Almanaque
#
Efemérides transmitidas (broadcast)
#
Efemérides precisas (precise)
Los datos difieren en disponibilidad temporal y precisión:
Efemérides
Precisión
Actualización
Almanaque
Varios kilómetros
Inyectado al satélite una vez a la semana o
cada seis días
1 metro
Inyectadas al satélite cada hora, válidas
para un periodo de unas 4 horas
5 – 25 cm
Calculadas a posteriori por los centros de
cálculo del IGS. Varios tipos en función de
retardo en disponibilidad y precisión
38
Almanaque
Propósito de los datos de almanaque:
inicialización del receptor
proporcionar al usuario datos menos precisos para facilitar al receptor la búsqueda de
satélites
planeamiento y visualización de satélites visibles en cada momento desde un punto
de coordenadas determinadas
El almanaque es actualizado al menos cada seis días y transmitido como
parte del mensaje de navegación.
Contiene esencialmente los parámetros fundamentales de la órbita y términos
de corrección para el reloj del satélite.
Par. keplerianos
39
Basadas en observaciones de las estaciones de control.
La Estación de Control Master es la responsable del cálculo de efemérides y
su descarga a los satélites.
Los parámetros transmitidos son:
• la época de referencia
• seis parámetros para describir la elipse kepleriana en la época de referencia
• tres términos seculares de corrección
• seis términos periódicos de corrección
Los términos de corrección consideran:
• efectos de perturbación debido a la no esfericidad de la Tierra,
• efectos directos de marea
• efectos de presión de radiación solar
40
Estas efemérides son transmitidas cada hora y sólo deben ser usadas, en
orden a garantizar la precisión, durante el periodo descrito de
aproximadamente dos horas siguientes y dos horas anteriores.
41
Parámetro
Unidad
AODE
segundos
Crs
metros
∆n
π radianes / s
π radianes
M0
radianes
Cuc
e
adim.
radianes
Cus
1/2
metros
A
toe
segundos
Cic
radianes
Ω0
π radianes
Cis
π radianes
π radianes
i0
metros
Crc
ω
π radianes
OMEGADOT π radianes / s
IDOT
π radianes / s
Descripción
Antigüedad de la información de efemérides
Amplitud de la corrección armónica senoidal del radio orbital
Diferencia del movimiento medio
Anomalía media en el momento de referencia
Amplitud de la corrección armónica cosenoidal del argumento de la latitud
Excentricidad
Amplitud de la corrección armónica senoidal del argumento de la latitud
Raiz cuadrada del semieje mayor
Tiempo de referencia de efemérides (valor máximo 604784, 1 semana)
Amplitud de la corrección armónica cosenoidal del ángulo de inclinación
Ascensión recta en el momento de referencia
Amplitud de la corrección armónica senoidal del ángulo de inclinación
Angulo de inclinación en la época de referencia
Amplitud de la corrección armónica cosenoidal del radio orbital
Argumento del perigeo
Razón del cambio en la ascensión recta
Razón del cambio en el ángulo de inclinación
42
El RINEX de navegación
43
El RINEX de
navegación
(observaciones)
+----------------------------------------------------------------------------+
|
TABLE A4
|
|
GPS NAVIGATION MESSAGE FILE - DATA RECORD DESCRIPTION
|
+--------------------+------------------------------------------+------------+
|
OBS. RECORD
| DESCRIPTION
|
FORMAT
|
+--------------------+------------------------------------------+------------+
|PRN / EPOCH / SV CLK| - Satellite PRN number
|
I2,
|
|
| - Epoch: Toc - Time of Clock
|
|
|
|
year (2 digits, padded with 0
|
|
|
|
if necessary)
| 1X,I2.2, |
|
|
month
|
1X,I2,
|
|
|
day
|
1X,I2,
|
|
|
hour
|
1X,I2,
|
|
|
minute
|
1X,I2,
|
|
|
second
|
F5.1,
|
|
| - SV clock bias
(seconds)
| 3D19.12
|
|
| - SV clock drift
(sec/sec)
|
|
|
| - SV clock drift rate (sec/sec2)
|
|
+--------------------+------------------------------------------+------------+
| BROADCAST ORBIT - 1| - IODE Issue of Data, Ephemeris
|
|
|
| - Crs
(meters)
|
|
|
| - Delta n
(radians/s)
|
|
|
- M0
(radians)
|
|
+--------------------+------------------------------------------+------------+
| BROADCAST ORBIT - 2| - Cuc
(radians)
|
|
|
| - e Eccentricity
|
|
|
| - Cus
(radians)
|
|
|
| - sqrt(A)
(sqrt(m))
|
|
+--------------------+------------------------------------------+------------+
|
| BROADCAST ORBIT - 3| - Toe Time of Ephemeris
| 3X,4D19.12 |
|
|
(sec of GPS week)
|
|
|
| - Cic
(radians)
|
|
|
| - OMEGA
(radians)
|
|
|
| - CIS
(radians)
|
|
+--------------------+------------------------------------------+------------+
| BROADCAST ORBIT - 4| - i0
(radians)
|
|
|
| - Crc
(meters)
|
|
|
| - omega
(radians)
|
|
|
| - OMEGA DOT
(radians/sec)
|
|
+--------------------+------------------------------------------+------------+
| BROADCAST ORBIT - 5| - IDOT
(radians/sec)
|
|
|
| - Codes on L2 channel
|
|
|
| - GPS Week # (to go with TOE)
|
|
|
|
Continuous number, not mod(1024)!
|
|
|
| - L2 P data flag
|
|
+--------------------+------------------------------------------+------------+
| BROADCAST ORBIT - 6| - SV accuracy
(meters)
| 3X,4D19.12 |
|
| - SV health
(bits 17-22 w 3 sf 1) |
|
|
| - TGD
(seconds)
|
|
|
| - IODC Issue of Data, Clock
|
|
+--------------------+------------------------------------------+------------+
| BROADCAST ORBIT - 7| - Transmission time of message
*) | 3X,4D19.12 |
|
|
(sec of GPS week, derived e.g.
|
|
|
|
from Z-count in Hand Over Word (HOW) |
|
|
| - Fit interval
(hours)
|
|
|
|
(see ICD-GPS-200, 20.3.4.4)
|
|
|
|
Zero if not known
|
|
|
| - spare
|
|
|
| - spare
|
|
+--------------------+------------------------------------------+------------+
44
RINEX de navegación: ejemplo
2.10
N: GPS NAV DATA
RINEX VERSION / TYPE
teqc 2009Oct19
IGN-E (SPG)
20100525 02:22:03UTCPGM / RUN BY / DATE
Linux 2.4.21-27.ELsmp|Opteron|gcc -static|Linux x86_64|=+
COMMENT
END OF HEADER
2 10 5 23 22 0 0.0 2.583386376500D-04 3.410605131648D-12 0.000000000000D+00
2.500000000000D+01 5.600000000000D+01 4.732339853319D-09-7.500682485190D-01
2.834945917130D-06 9.551479481161D-03 1.079589128494D-05 5.153587400436D+03
7.920000000000D+04 1.732259988785D-07-6.453972894220D-01-2.514570951462D-07
9.400371639097D-01 1.640312500000D+02 3.069071895483D+00-8.123909545077D-09
-9.750406038123D-11 1.000000000000D+00 1.585000000000D+03 0.000000000000D+00
2.000000000000D+00 0.000000000000D+00-1.722946763039D-08 2.500000000000D+01
8.640000000000D+04
3 10 5 23 23 59 12.0 5.589807406068D-04 5.002220859751D-12 0.000000000000D+00
3.600000000000D+01-3.512500000000D+01 5.760239840669D-09 2.221502882398D-01
-1.581385731697D-06 1.309253496584D-02 6.537884473801D-06 5.153703403473D+03
8.635200000000D+04-7.450580596924D-08-1.798119101301D+00 1.695007085800D-07
9.267988861280D-01 2.332500000000D+02 9.941004162726D-01-8.883584534658D-09
-5.335936692497D-10 1.000000000000D+00 1.585000000000D+03 0.000000000000D+00
2.000000000000D+00 0.000000000000D+00-4.656612873077D-09 3.600000000000D+01
8.640000000000D+04
45
Fichero de navegación – Ejemplo de datos
6
4 3 12 8 0 0.0-2.315267920494D-06-9.094947017729D-13 0.000000000000D+00
9.000000000000D+00 8.396875000000D+01 4.833772937474D-09-2.720155309867D+00
4.149973392487D-06 6.282908492722D-03 9.546056389809D-06 5.153553123474D+03
4.608000000000D+05 6.519258022308D-08 1.207090937006D+00-4.656612873077D-08
9.360605692857D-01 1.811875000000D+02-2.025429555111D+00-8.012476904184D-09
-1.121475273758D-10 1.000000000000D+00 1.261000000000D+03 0.000000000000D+00
1.000000000000D+00 0.000000000000D+00-4.656612873077D-09 2.650000000000D+02
4.608000000000D+05
6 – Número de satélite
4
3 12 – 12 de Abril de 2004
8
0
0.0 – 8:00:00 horas
-2.315267920494D-06
– Coeficiente a0 del polinomio de corrección del estado de reloj
-9.094947017729D-13
- Coeficiente a1 del polinomio de corrección del estado de reloj
0.000000000000D+00
- Coeficiente a2 del polinomio de corrección del estado de reloj
dt = a0 + a1 (t – t0) + a2 (t – t1)2
46
Fichero de navegación – Ejemplo de datos (1ª línea)
6
4 3 12 8 0 0.0-2.315267920494D-06-9.094947017729D-13 0.000000000000D+00
9.000000000000D+00 8.396875000000D+01 4.833772937474D-09-2.720155309867D+00
4.149973392487D-06 6.282908492722D-03 9.546056389809D-06 5.153553123474D+03
4.608000000000D+05 6.519258022308D-08 1.207090937006D+00-4.656612873077D-08
9.360605692857D-01 1.811875000000D+02-2.025429555111D+00-8.012476904184D-09
-1.121475273758D-10 1.000000000000D+00 1.261000000000D+03 0.000000000000D+00
1.000000000000D+00 0.000000000000D+00-4.656612873077D-09 2.650000000000D+02
4.608000000000D+05
9.000000000000D+00 – IODE Issue Of Data Ephemeris, edición de las efemérides
8.396875000000D+01 – Crs Coeficiente del término seno de corrección al radio
orbital (metros)
4.833772937474D-09 – ∆n
Variación del movimiento medio (rad / seg)
-2.720155309867D+00 – M0
Anomalía media en la época TOE, Time Of Ephemeries (rad)
47
6
4 3 12 8 0 0.0-2.315267920494D-06-9.094947017729D-13 0.000000000000D+00
9.000000000000D+00 8.396875000000D+01 4.833772937474D-09-2.720155309867D+00
4.149973392487D-06 6.282908492722D-03 9.546056389809D-06 5.153553123474D+03
4.608000000000D+05 6.519258022308D-08 1.207090937006D+00-4.656612873077D-08
9.360605692857D-01 1.811875000000D+02-2.025429555111D+00-8.012476904184D-09
-1.121475273758D-10 1.000000000000D+00 1.261000000000D+03 0.000000000000D+00
1.000000000000D+00 0.000000000000D+00-4.656612873077D-09 2.650000000000D+02
4.608000000000D+05
4.149973392487D-06 - Cuc Coeficiente del término coseno de corrección al
argumento de la latitud, perigeo (rad)
6.282908492722D-03 - e
Excentricidad de la órbita
9.546056389809D-06 – Cus Coeficiente del término seno de corrección al
argumento de la latitud, perigeo (rad)
5.153553123474D+03 – root a
Raíz cuadrada del semieje mayor de la órbita (metros)
48
6
4 3 12 8 0 0.0-2.315267920494D-06-9.094947017729D-13 0.000000000000D+00
9.000000000000D+00 8.396875000000D+01 4.833772937474D-09-2.720155309867D+00
4.149973392487D-06 6.282908492722D-03 9.546056389809D-06 5.153553123474D+03
4.608000000000D+05 6.519258022308D-08 1.207090937006D+00-4.656612873077D-08
9.360605692857D-01 1.811875000000D+02-2.025429555111D+00-8.012476904184D-09
-1.121475273758D-10 1.000000000000D+00 1.261000000000D+03 0.000000000000D+00
1.000000000000D+00 0.000000000000D+00-4.656612873077D-09 2.650000000000D+02
4.608000000000D+05
4.608000000000D+05 – TOE, Time Of Ephemeris, Tiempo de Referencia para
la posición del satélite (segundos de la semana GPS)
6.519258022308D-08 – Cic Coeficiente del término coseno de la corrección a
la inclinación (rad)
1.207090937006D+00 – Ω0 Longitud del nodo ascendente de la órbita al
comienzo de la semana GPS (rad)
-4.656612873077D-08 – Cis Coeficiente del término seno de la corrección a
la inclinación (rad)
49
6
4 3 12 8 0 0.0-2.315267920494D-06-9.094947017729D-13 0.000000000000D+00
9.000000000000D+00 8.396875000000D+01 4.833772937474D-09-2.720155309867D+00
4.149973392487D-06 6.282908492722D-03 9.546056389809D-06 5.153553123474D+03
4.608000000000D+05 6.519258022308D-08 1.207090937006D+00-4.656612873077D-08
9.360605692857D-01 1.811875000000D+02-2.025429555111D+00-8.012476904184D-09
-1.121475273758D-10 1.000000000000D+00 1.261000000000D+03 0.000000000000D+00
1.000000000000D+00 0.000000000000D+00-4.656612873077D-09 2.650000000000D+02
4.608000000000D+05
9.360605692857D-01 – i0 Inclinación de la órbita en la época TOE (rad)
1.811875000000D+02 – Crc Coeficiente del término coseno de corrección al
radio orbital (metros)
-2.025429555111D+00 – ω
Argumento del perigeo (rad)
-8.012476904184D-09 – Ω
Variación de la ascensión recta (rad/seg)
.
50
6
4 3 12 8 0 0.0-2.315267920494D-06-9.094947017729D-13 0.000000000000D+00
9.000000000000D+00 8.396875000000D+01 4.833772937474D-09-2.720155309867D+00
4.149973392487D-06 6.282908492722D-03 9.546056389809D-06 5.153553123474D+03
4.608000000000D+05 6.519258022308D-08 1.207090937006D+00-4.656612873077D-08
9.360605692857D-01 1.811875000000D+02-2.025429555111D+00-8.012476904184D-09
-1.121475273758D-10 1.000000000000D+00 1.261000000000D+03 0.000000000000D+00
1.000000000000D+00 0.000000000000D+00-4.656612873077D-09 2.650000000000D+02
4.608000000000D+05
.
-1.121475273758D-10 – i
1.000000000000D+00 -
Variación de la inclinación (rad/seg)
Códigos en L2
1.261000000000D+03 – Semana GPS
0.000000000000D+00 – L2 P data flag (0 = OK)
51
6
4 3 12 8 0 0.0-2.315267920494D-06-9.094947017729D-13 0.000000000000D+00
9.000000000000D+00 8.396875000000D+01 4.833772937474D-09-2.720155309867D+00
4.149973392487D-06 6.282908492722D-03 9.546056389809D-06 5.153553123474D+03
4.608000000000D+05 6.519258022308D-08 1.207090937006D+00-4.656612873077D-08
9.360605692857D-01 1.811875000000D+02-2.025429555111D+00-8.012476904184D-09
-1.121475273758D-10 1.000000000000D+00 1.261000000000D+03 0.000000000000D+00
1.000000000000D+00 0.000000000000D+00-4.656612873077D-09 2.650000000000D+02
4.608000000000D+05
1.000000000000D+00 – Precisión de las efemérides (metros)
0.000000000000D+00 – Salud del satélite (0 = OK)
-4.656612873077D-09 – TGD (segundos)
2.650000000000D+02 – IODC Edición de los datos de reloj
52
6
4 3 12 8 0 0.0-2.315267920494D-06-9.094947017729D-13 0.000000000000D+00
9.000000000000D+00 8.396875000000D+01 4.833772937474D-09-2.720155309867D+00
4.149973392487D-06 6.282908492722D-03 9.546056389809D-06 5.153553123474D+03
4.608000000000D+05 6.519258022308D-08 1.207090937006D+00-4.656612873077D-08
9.360605692857D-01 1.811875000000D+02-2.025429555111D+00-8.012476904184D-09
-1.121475273758D-10 1.000000000000D+00 1.261000000000D+03 0.000000000000D+00
1.000000000000D+00 0.000000000000D+00-4.656612873077D-09 2.650000000000D+02
4.608000000000D+05
4.608000000000D+05 – Hora de transmisión del mensaje (segundos
de la semana GPS)En este caso, igual que el TOE
53
A partir de las redes mundiales de estaciones permanentes GPS hay
agencias que calculan a posteriori las posiciones de los satélites (proceso
inverso al GPS: con coordenadas muy precisas en tierra queremos calcular
coordenadas de los satélites).
Las efemérides precisas pueden ser descargadas desde varios sitios.
Normalmente se utilizan las calculadas por el IGS (International GNNS
Service), que son una combinación de las calculadas por 7 centros.
http://igscb.jpl.nasa.gov/components/products
El formato estándar es igswwwwd.SP3(C), donde wwww es la semana GPS
y d, el día de la semana GPS (0 = dom, 6 = sáb).
Es un fichero ASCII con unos datos de cabecera y un listado con las
coordenadas de cada satélite cada 15 minutos (en Km), en el (ITRF), y el
estado del reloj en ese momento (en microseg).
54
Calendario GPS:
http://www.ngs.noaa.gov/CORS/gpscal10.html
55
Ejemplo de efemérides precisas SP3C:
#cP2006 6 4 0 0 0.00000000
96 ORBIT IGb00 HLM IGS
## 1378
0.00000000
900.00000000 53890 0.0000000000000
+
29
G01G02G03G04G05G06G07G08G09G10G11G13G14G15G16G17G18
+
G19G20G21G22G23G24G25G26G27G28G29G30 0 0 0 0 0
+
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
+
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
+
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
++
3 3 3 3 3 4 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
++
4 3 3 3 3 4 4 3 3 4 4 3 0 0 0 0 0
++
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
++
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
++
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
%c G cc GPS ccc cccc cccc cccc cccc ccccc ccccc ccccc ccccc
%c cc cc ccc ccc cccc cccc cccc cccc ccccc ccccc ccccc ccccc
%f 1.2500000 1.025000000 0.00000000000 0.000000000000000
%f 0.0000000 0.000000000 0.00000000000 0.000000000000000
%i
0
0
0
0
0
0
0
0
0
%i
0
0
0
0
0
0
0
0
0
/* FINAL ORBIT COMBINATION FROM WEIGHTED AVERAGE OF:
/* cod emr esa gfz jpl mit ngs sio
/* REFERENCED TO IGS TIME (IGST) AND TO WEIGHTED MEAN POLE:
/* CLK ANT Z-OFFSET (M): II/IIA 1.023; IIR 0.000
* 2006 6 4 0 0 0.00000000
PG01 15128.852872 -21256.578591
5025.799882
57.112550
PG02 -8779.921716 13518.074235 20817.239348
2.112894
PG03
9163.206554 -23473.655639 -8047.781722
103.932417
PG04 -20181.028993
7425.126614 15774.067274
245.712154
.............................
* 2006 6 4 0 15 0.00000000
PG01 15517.077210 -21434.324475
PG02 -11132.753919 13069.129280
PG03
9878.780110 -23913.586979
PG04 -21809.671509
6958.951821
2152.562849
19952.923248
-5390.303246
13719.107869
57.115288
2.115501
103.934149
245.719979
Estado de reloj (microseg)
11 5 10
13 9 10
12 10 11
11 13 11
168
158
149
192
σ de las coord (en mm)
σ del estado de reloj (picoseg)
11 5 10 166
13 9 9 157
12 9 11 150
10 13 11 190
56
Creación en 1991, del International GNSS Service, que coordina una red mundial
GNSS.
Actualmente, unas 270 estaciones en el mundo.
Objetivos del IGS:
Mejora, extensión y definición del Marco de Referencia Terrestre Internacional
(ITRF).
Estudio de la Geodinámica Terrestre.
Determinación de las variaciones de rotación terrestre y coordenadas del polo.
Cálculo y distribución de efemérides precisas.
57
Red mundial del IGS
58
En la actualidad se integran en la red del IGS casi 400 estaciones con
coordenadas y campos de velocidad integrados en el ITRF.
Los datos son procesados semanalmente por diez centros de análisis
(Analysis Centers) y puestos a disposición por los Regional Data Centers,
junto con los datos de todas las estaciones.
Los productos que proporciona el IGS son:
• efemérides GPS (ultrarrápidas, rápidas y finales),
• estados de reloj de satélites,
• efemérides GLONASS finales,
• coordenadas de las estaciones,
• parámetros de rotación de la Tierra (PM, movimiento del polo)
• parámetros atmosféricos (retardo troposférico y densidad TEC en la ionosfera).
http://www.igscb.jpl.nasa.gov
59
60
61
62
Ejercicio: cálculo de la posición del satélite
Calcular la posición del satélite 30 a partir de los siguientes datos del mensaje
de navegación, para las observaciones de código recibidas en el receptor a las
0:00:00 del día 11 de agosto de 2000 (6º de la semana GPS 1074)
Dato adicional:
Pseudodistancia de código del satélite 30 en ese instante: 20659421.934 metros.
Para el instante de observación:
RINEX de NAVEGACIÓN:
0
8 11
0
0
0.0000000
0
6G30G29G06G25G24G05
Igual que TOE
30 00 8 11 2 0 0.0-3.275135532022D-05-1.477928890381D-12 0.000000000000D+00
4.000000000000D+01-6.093750000000D+00 5.169858202488D-09 1.362239438238D+00
-4.190951585770D-07 5.362690542825D-03 6.673857569695D-06 5.153622058868D+03
TOE 4.392000000000D+05-1.043081283569D-07-1.538901799997D+00-7.823109626770D-08
9.436444989925D-01 2.411562500000D+02 1.445954310898D+00-8.276059016792D-09
-3.171560679661D-10 0.000000000000D+00 1.074000000000D+03 0.000000000000D+00
1.000000000000D+00 0.000000000000D+00-7.450580596924D-09 2.960000000000D+02
4.392000000000D+05
63

El TOE o tiempo de referencia de las efemérides es en segundos GPS de referencia
de la semana GPS. Corresponde a la tercera línea, primera columna: segundo 439200,
que se corresponde con las 2:00:00 horas del 11 de agosto de 2000 (las efemérides
predicen la posición que tendrá el satélite a esa hora).

Se piden las coordenadas a las 0:00:00 del 6º día de la semana GPS. En segundos
de la semana GPS han transcurrido 60x60x24x5 = 432000 segundos, por lo tanto, el
intervalo de tiempo entre el TOE y las 0:00:00 (época en la que nos piden las
coordenadas) es de:
432000-439200 = -7200 sg (por tanto se pide la posición del SV 2 h antes del TOE).

Por otra parte, la pseudodistancia del SV 30 es de 20659421.934 metros. Si dividimos
su valor por la velocidad de la luz (299792458 m/s) tenemos el tiempo que ha tardado la
señal en viajar, 0.06891241384732 segundos. Por tanto, el intervalo de tiempo desde TOE
es de -7200.068912 segundos (tk).

ACLARACIÓN: Como esto servirá para la práctica posterior de posicionamiento, las
coordenadas del SV tienen que estar dadas en el tiempo en que el SV envía la
observación, es decir, 0.0689 segundos antes de recibirla en el receptor.
64
svprn
a2
M0
roota
deltan
e
omega
cuc
cus
crc
crs
i0
idot
cic
cis
Omega0
Omegadot
toe
af0
af1
toc
30.00000000000000
0.00000000000000
1.36223943823800
5153.622058868000
0.00000000516985820249
0.0053626905428250
1.445954310898000
-0.00000041909515857700
0.00000667385756969500
241.156250000000
-6.0937500000000
0.94364449899250
-0.00000000031715606797
-0.00000010430812835690
-0.00000007823109626770
-1.53890179999700000000
-0.00000000827605901679
439200.0000000000
-0.00003275135532022000
-0.00000000000147792889
439200.000000000
65
Cálculo de la posición del satélite: proceso
A = ( A)
t k = t − t oe
2
M = M 0 + nt k
φ = ϑk + ω
n0 =
µ
A
3
M = E − e.senE
u = φ + Cus sen2φ + Cuc cos 2φ
r = A(1 − e cos E ) + C rs sen2φ + C rc cos 2φ
n = n0 + ∆n
⎛ 1 − e 2 senE ⎞
⎟
ϑk = arctan⎜
⎜ (cos E − e ) ⎟
⎠
⎝
Obtener E
Proceso iterativo
En el 1º E=M
i = i0 + ( IDOT ) ⋅ t k + Cis sen2φ + Cic cos 2φ
& −Ω
& e ) ⋅ tk − Ω
& e t oe
Ω = Ω 0 + (Ω
x1 = r cos u
y1 = rsenu
⎫
⎪⎪
⎬
⎪
⎪⎭
X = x1 cos Ω − y1 cos isenΩ
Y = x1 senΩ + y1 cos i cos Ω
Z = y1 seni
⎫
⎪⎪
⎬
⎪
⎪⎭
66
Solución
GM = 3.986005e14
Omegaearth_dot = 7.2921151467e-5
a=
2.655982032565084e+007
n0 =
1.458583245017110e-004
tk =
-7.200068912413844e+003
n=
1.458634943599135e-004
M=
0.31201222704113
E=
0.31366687806927
θ=
0.31532577168381
phi =
1.76128008258181
u=
1.76127799016444
r=
2.642411609505970e+007
i=
0.94364690845563
Omega = -1.62484808447525
Constante de gravitación universal
Aceleración de la Tierra (Wgs84)
Semieje mayor
Movimiento medio calculado
Intervalo desde Toe
Movimiento medio corregido
Anomalía media
Anomalía excéntrica
Anomalía verdadera
Argumento de la latitud
Argumento de la latitud corregido
Radio vector
Inclinación
Longitud del nodo ascentente corregida
xk=
yk=
zk=
Coordenadas en tierra fija
1.54742833873780e+7
0.41730167179566e+7
2.10087219155275e+7
67

Conceptos Sobre Orbitas

Transcripción

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