administración, finanzas y economía

Transcripción

REVISTA DE
Volumen 4
Número 2
Julio-Diciembre
2010
ADMINISTRACIÓN, FINANZAS
Y ECONOMÍA
(Journal of Management, Finance and Economics)
Artículos
Director
Dr. José Antonio Núnez Mora
Guillermo Benavides
Forecasting short-run inflation volatility using futures prices: an
emprirical analysis from a value at risk perspective.
Directores Adjuntos
Carlos Manuel Urzúa Macías
Enrique R. Cásares Gil
Guillermo León, Enrique Valencia, Arturo Castro, Luz María Canseco, Patricia
Galindo, Teresa de Jesús Sánchez, Ana L. Cabrera, María de Lourdes Ruiz,
Guillermo Carrasco.
Evaluación del grado de satisfacción de la atención a los pacientes que
acuden a los programas parciales del Hospital Psiquiátrico Morelos
Editora de Producción
del IMSS.
Martha F. Carrillo Urbina
Elisa Yamazaki Tanabe y José Carlos Ramírez Sánchez
Evaluación del impacto del mercado de derivados en los canales de
Comité Editorial
transmisión de la política monetaria en México: metodologías VAR y M-
Alberto Hernández Baqueiro
GARCH.
Edgar Ortiz Calisto
Elvio Accinelli
José Luis de la Cruz Gallegos
José Carlos Ramírez Sánchez
José Antonio Núñez Mora y Blanca Tapia Sánchez
Valuación de hipotecas a través de opciones: incumplimiento y prepago.
Anabella Dávila Martínez
Frank Dellman
Raúl Moncarz
Julián Pérez
Mario Gutiérrez Lagunes
La sectorización económica y su vinculación con la probabilidad de
incumplimiento.
TECNOLÓGICO DE MONTERREY
CAMPUS CIUDAD DE MÉXICO
Revista de Administración, Finanzas y Economía
(Journal of Management, Finance and Economics)
Director
Dr. José Antonio Núnez Mora
Tecnológico de Monterrey
Directores Adjuntos
Carlos Manuel Urzúa Macías
Enrique R. Cásares Gil
Universidad Autónoma Metropolitana
Editora de Producción
Martha F. Carrillo Urbina
Comité Editorial
Alberto Hernández Baqueiro
Edgar Ortiz Calisto
Elvio Accinelli
José Luis de la Cruz Gallegos
José Carlos Ramírez Sánchez
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Frank Dellman
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Julián Pérez
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Economía de la UASLP
Universidad Anáhuac
Universidad de Münster, Alemania
Universidad Internacional de Florida-Profesor Emérito
Universidad Autónoma de Madrid
ISSN: en trámite
Escuela de Negocios
Escuela de Graduados en Administración y Dirección de Empresas, EGADE
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Artículos
Página
Guillermo Benavides
Forecasting Short-Run Inflation Volatility using Futures Prices:
an Empirical Analysis from a Value at Risk Perspective……………………1
Guillermo León, Enrique Valencia, Arturo Castro,
Luz María Canseco, Patricia Galindo, Teresita de Jesús
Sánchez, Ana Luisa Cabrera, María de Lourdes Ruiz,
Guillermo Carrasco.
Evaluación del Grado de Satisfacción de la Atención
de los Pacientes que Acuden a los Programas Parciales
del Hospital Psiquiátrico Morelos del IMSS…………..…………………28
Elisa Yamazaki Tanabe y José Carlos Ramírez Sánchez
Evaluación del Impacto del Mercado de Derivados en los
Canales de Transmisión de la Política Monetaria en México:
metodologías VAR y M-GARCH …………………………………….…47
José Antonio Núñez Mora y Blanca Tapia Sánchez
Valuación de hipotecas a través de opciones:
incumplimiento y prepago………………………………….……....….…79
Mario Gutiérrez Lagunes
La Sectorización Económica y su Vinculación
con la Probabilidad de Incumplimiento………………………………….80
Revista de Administración, Finanzas y Economı́a (Journal of Management, Finance and
Economics), vol. 4, núm. 2 (2010), pp. 1-27.
Forecasting Short-Run Inflation Volatility using
Futures Prices: an Empirical Analysis from
a Value at Risk Perspective
Guillermo Benavides
∗
Recibido 2 de noviembre 2009, aceptado 12 de enero 2010
Resumen
El presente documento se utiliza modelos tipo ARCH para estimar el Valor-enRiesgo (VaR) de un portafolio de futuros indizado a la inflación para distintos
horizontes en el tiempo. El análisis empı́rico se realiza para los futuros indizados
a la inflación en México los cuales son negociados en la Bolsa Mexicana de
Derivados (MEXDER). Para analizar el VaR con horizontes en el tiempo de
más de un dı́a de negociación se utilizaron simulaciones de remuestro. Los
resultados muestran que ese tipo de modelos son relativamente acertados para
horizontes de tiempo de un dı́a de negociación. Sin embargo, la persistencia
en la volatilidad de los modelos tipo ARCH se ve reflejada con estimaciones
relativamente altas del VaR para horizontes de tiempo más largos. Lo anterior
no se considera deseable dado que una cantidad innecesaria de capital debe estar
disponible para cumplir con los Requerimientos Mı́nimos de Capital en Riesgo
para un portafolio de futuros. Al estimar intervalos de confianza en el VaR, es
posible tener cierta confianza sobre el rango de posibles valores de la inflación
(ó valores de inflación extremos) para un horizonte del tiempo especı́fico.
Abstract
In this research paper ARCH models are applied in order to estimate the
Value-at-Risk (VaR) of an inflation-index futures portfolio for several timehorizons. The empirical analysis is carried out for Mexican inflation-indexed
futures traded at the Mexican Derivatives Exchange (MEXDER). To analyse
the VaR with time horizons of more than one trading day bootstrapping simulations were applied. The results show that these models are relatively accurate
for time horizons of one trading day. However, the volatility persistence of
ARCH models is reflected with relatively high VaR estimates for longer time
horizons. This is considered undesirable given that an unnecessary amount of
capital must be set aside in order to meet Minimum Capital Risk Requirements
for a futures portfolio. By estimating confidence intervals in the VaR, it is possible to have certain confidence about the future range of inflation (or extreme
inflation values) for a specified time horizon.
Clasificación JEL: C15, C22, C53, E31, E37.
∗
Dirección General de Investigación Económica. Banco de México. Av. Cinco de Mayo
No. 2, Col. Centro, México, DF., CP. 06059, México. [email protected]
2
Revista de Administración, Finanzas y Economı́a
Palabras clave: Volatilidad asimétrica, remuestreo, modelo GARCH, modelo TARCH, inflación, futuros indizados a la inflación, México, Valor en Riesgo, persistencia en la volatilidad.
1. Introduction
Nowadays it is important to measure financial risks in order to make better
informed decisions relevant to risk management. It is well documented that
volatility is a measure of financial risk. Measuring financial volatility of asset
prices is a way of quantifying potential losses due to financial risks. An important tool for this measure is to forecast price return volatilities. As today,
there are a significant number of research projects about forecasting futures
price return volatility. These studies have covered a great variety of futures
contracts, which are financial and non-financial. In terms of financial futures
the studies have analysed exchange rates, interest rates, stocks, stocks indexes,
among many others.
There is, however, significantly less work about analysing price return
volatilities of inflation-indexed futures. This is probably because these types
of futures contracts have relatively less trading if compared with its financial
counterparts. In other words, inflation-indexed futures are less popular among
traders and investors. In developed countries short-term inflation volatility is,
usually, not a major concern. This is because inflation is relatively stable. In
these types of countries it is normally not a priority to forecast short-term inflation volatility 1 . In most of them inflation-indexed futures do not even exist.
But, the situation is different for developing countries. These usually have
relatively higher inflation levels. Inflation volatility is commonly higher in the
short-run. As a consequence, a great number of financial commitments (either
short or long-term obligations) are affected by inflation uncertainty. Nominal interest rates tend to be higher when that occurs. Therefore, investment
decisions in both money and capital markets are obviously affected.
Under inflation targeting (IT) regimes, however, there is an idea that inflation has become relatively stable. With time series econometric techniques
Chiquiar, Noriega and Ramos-Francia (2010) show that the inflation persistence
in Mexico changed around the date Banco de México adopted an IT regime.
It changed from a persistent process to a stationary one. However, Capistrán
and Ramos-Francia (2009) show for a group of Latin American Countries that
the dates of structural breaks in the inflation series (i.e. change in inflation
persistence) not always match the dates IT was adopted. For some countries
the series switch from unit root to a stationary process years before the IT
regime was implemented, for instance, in the late eighties and early nineties.
In the present research paper it is intended to contribute to the literature of
inflation dynamics for emerging economies. It is expected that the results of an
analysis of short-run inflation dynamics should be relevant under the Mexican
IT regime.
In this research project, inflation volatility for Mexico is analysed using
Mexican inflation-indexed futures prices from 13th October 2003 to 30th June
2010. An analysis of inflation can be performed from a different perspective by
1
In this paper short-term inflation refers to a period of less than three-months or its
equivalent in trading days.
Forecasting Short-Run Inflation Volatility using Futures Prices
3
using futures prices. This is because these types of derivative contracts have
daily trading and daily data is available. Up to date inflation-indexed futures
have not been analysed with sufficient detail. They are rarely mentioned in the
literature because these are not popular and few countries actually trade them
2
. Research papers that use inflation-indexed futures hoping to accurately
predict the Consumer Price Index (CPI) volatility are virtually non-existent.
It is a belief that futures prices hold relevant information about the future
level of prices. As Working (1958) explained, expectations of the future level
of prices are implicit in futures markets. Mexico is one of the few countries
in the world, which has futures contracts for its Consumer Price Index (CPI).
The analysis presented here is considered important given that this country
has experienced periods of relatively high inflation volatility in the past. The
relevance is related to financial risk management decisions as explained above.
The main objective of this paper is to analyse if Autoregressive Conditional
Heteroscedasticity (ARCH-type) models, which include a proxy variable for
volatility persistence, accurately predict risks caused by inflation volatility from
a Value at Risk (VaR) perspective 3 . This is done by considering a theoretical
portfolio of inflation-indexed-units Unidades de Inversión (UDI) futures 4 . VaR
is estimated using ARCH-type models and then their accuracy is formally tested
with back-testing (Kupiec: 1995, Jorion: 2000, 2001). The procedure is to find
out how accurate is the VaR with daily UDI futures observations. The time
horizons considered are from one trading day up to three months equivalent in
trading days. For one trading day a parametric approach is applied. For ten
trading days and more Bootstrapping simulations (Enfron: 1982) are carried
out (non-parametric approach). If the number of daily violations or exceptions
is reasonable according to VaR models performance criteria, then the models are
considered accurate. Otherwise, the ARCH-type models are rejected. The nday forecast horizon is also interpreted as the probability that future inflation
will be within certain statistical confidence interval i.e. the 95% confidence
interval VaR. It is expected that these results could have forecast implications
for the future range of inflation measured through the Mexican Consumer Price
Index 5 .
The layout of this paper is as follows. The literature review is presented
in Section II. The motivation and contribution of this work are presented in
Section III. Section IV presents the definition of futures prices. The models are
explained in Section V. Data is detailed in Section VI. Section VII presents the
descriptive statistics. The results are analysed in Section VIII. Finally, Section
2
Besides Mexico, other countries that have inflation-indexed futures are the US (Consumer Price Index Futures Contracts) and Brazil.
3
Volatility persistence in this project refers to the financial volatility that takes a long
time to die away.
4
Unidad de Inversión (UDI) is a measure in units of account of the Mexican inflation,
which is published by the Mexican Central Bank (Banco de México). These have a constant
real value. Usually, these are use as inflation-indexed financial instruments in short-term and
long-term investments and obligations. During periods of high inflation investors choose to
invest in the UDI considering that it is a hedge against relatively high inflation.
5
The Mexican Consumer Price Index is called in Spanish Indice Nacional de Precios al
Consumidor (INPC) and it is published by Banco de México.
4
IX concludes (figures and tables are included in the Appendix).
2.Literature Review
Historical volatility is described by Brooks (2002) as simply involving the calculation of the variance or standard deviation of returns in the usual statistical way
over some long period (time frame). This unconditional variance or standard
deviation may become a volatility forecast for all future periods (Markowitz:
1952). However, in this type of calculation there is a drawback. This is because unconditional volatility is assumed constant for a specified period of time.
Nowadays, it is well known that financial prices have time-varying volatility
i.e. volatility changes through time 6 . This is also the case for commodity
prices that are usually included in inflation indexes. It is well documented that
non-linear ARCH models can provide accurate estimates of time-varying price
volatility. See for example, Engle (1982), Taylor (1985), Bollerslev, Chou and
Kroner (1992), Ng and Pirrong (1994), Susmel and Thompson (1997), Wei and
Leuthold (1998), Engle (2000), Manfredo et. al. (2001), among others 7 . However, the out-of-sample forecasting accuracy of these types of non-linear models
could be, in some cases, questionable (see Park and Tomek: 1989, Schroeder et.
al.: 1993, Manfredo et. al.: 2001, Benavides: 2003, 2006, Pong et. al.: 2003) 8
.
Nonetheless, there is a growing literature of the implications of non-linear
dynamics for financial risk management (Hsieh: 1993). In the light of this topic
some researchers have extended the work for the application of time-varying
volatility models, specifically ARCH-type models, in VaR estimations (Brooks,
Clare and Persand: 2000; Manfredo: 2001; Engle: 2003; Giot: 2005; Mohamed:
2005; among others). Most of these findings enhance the use of time-varying
models in risk management applications using VaR. Even though, there are
several research papers, which used these types of models for financial time
series there is, however, no current literature that analyses a VaR for inflationindexed futures in an emerging economy.
3. Motivation and Contribution
As it was explained in the literature review, there has been a significant amount
of research done about forecasting financial time series volatility. A great number of works used futures markets data. However, there are no extensions
of inflation forecasting within a risk-management framework, specifically VaR.
Furthermore, there are no works that use inflation-index futures to try to predict future range-levels (confidence intervals) for inflation. Again, this is clearly
a gap in the literature.
6
7
The volatility that it is consider here is the conditional volatility of a financial asset.
For an excellent survey about applications of ARCH models in finance the reader can
refer to Bollerslev, Chou and Kroner (1992).
8
All of them found that the explanatory power of these out-of-the-sample forecasts is
relatively low. In particular, Pong et al. (2003) find that option implied volatility forecasts
performed at least as well as forecasts from Autoregressive Fractional Integrated Moving
Average Models (ARFIMA) for time horizons of one and three months. These were superior
forecasts to those from ARCH-type models.
5
Previous works have applied non-linear models within a VaR framework in
order to estimate Minimum Capital Risk Requirements (MCRRs) (Hsieh: 1991;
Brooks, Clare and Persand: 2000). MCRR is defined as the minimum amount
of capital needed to successfully handle all but a pre-specified percentage of
possible losses (Brooks, Clare and Persand: 2000). This concept is relevant
to banks and bank regulators. For the latter it is important to require banks
to maintain enough capital so banks could absorb unforeseen losses. These
regulatory practices go back to the original Basle Accord of 1988. Even though
there is a broad accord about the need of MCRRs there is, however, significantly
less agreement about the method to calculate them 9 . By estimating the VaR
of their financial portfolios banks are able to calculate the amount of MCRRs
needed to meet bank supervision requirements 10 .
In this project the works of Hsieh (1991) and Brooks, Clare and Persand
(2000) are extended. The addition here is that MCRRs are estimated for futures
contracts that are relatively rare, but at the same time, a different specification for ARCH-type models is used. The specification includes a proxy variable
for volatility persistence, which is measured in a way different than before.
This also has implications for inflation forecasts. By considering a similar
methodology as the one used in Hsieh (1991) and Brooks, Clare and Persand
(2000) it is possible to have an idea of future inflation range-levels with certain
statistical confidence. For example, if a 95% confidence level VaR with a time
horizon of one month is applied, it is possible to quantify the range of possible
inflation in one month with 95% statistical certainty. By the same token, it is
possible to quantify what are the chances of observing extreme values (those
outside the 95% interval in a parametric and non-parametric distribution), the
latter by applying bootstrap methods. Furthermore, rigorous accuracy tests
for ARCH-type models estimating VaR are carried out when these include a
volatility persistence component. These models are assessed with back-testing
in terms of the number of violations that occurred within the confidence intervals. The null hypothesis to test is the following, H0: Non-linear ARCH-type
models are not accurate to estimate VaR even when a volatility persistence
variable is considered. In order to test the null the results will be analysed
according to Kupiec (1995) and Jorion (2001) back-testing methodology.
Thus, these findings contribute with new knowledge to the existing academic literature given that the models are applied to inflation. The results
could be for the interest of agents involved in risk management decisions re9
According to Brooks, Clare and Persand (2000) the most well known methods are the
Standard/International Model Approach of the Basel Accord (1988), the Building-Block
Approach of the EC Capital Adequacy Directive (CAD), the Comprehensive Approach of
the Securities Exchange Commission (SEC) of the US, the Pre-commitment Approach of
the Federal Reserve Board (FED) and the Portfolio Approach of the Securities and Futures
Authority of the UK.
10
According to Basel Bank Supervision Requirements of 1988, banks have to hold capital
(as a precautionary action) at least three times the equivalent to the VaR for a time horizon
of 10 trading days at the 99% confidence level. There are no significant changes to this rule
in the Basel II accord. The only change is that for repo-notes the time horizon must be 5
trading days. The interested reader can consult the previously mentioned information at the
BIS webpage: http://www.bis.org/publ/bcbs107.htm
6
lated to inflation forecasts. These groups of persons could be private bankers,
policy makers, investors, futures traders, central banks, academic researchers,
among others. In particular, this topic could be of interest to policymakers in
countries that have relatively high inflation volatility. Normally, these countries
are developing countries.
An additional contribution is that an analysis of the inflation dynamics
is carried out for the Mexican economy in derivative and spot markets. As
it is known the inflation process in Mexico may have been impact by several
monetary policy decisions. Even though the objective of this paper is not to
study the effects of such policies in the inflation process, the present research
could shed some light to relevant studies, which are related to Mexican inflation
dynamics. This is because real-world densities (for VaR measurement) are
estimated in the present research.
4. Definition of Futures Prices
According to Hull (2003, pg. 706) a futures price is the delivery price currently
applicable to a futures contract. A futures contract obliges the participants to
buy or sell an asset (depending on his or her position, i.e. long or short respectively) at a predetermined delivery price during a specified future time period.
These contracts can be use to hedge financial exposure by taking specific positions s banks are able to calculate the amount of MCRRs needed to meet bank
supervision requirements 11 . These are marked to market daily, which means
that profits and losses are realized every trading day through a clearinghouse.
The settlement price is usually a weighted average of the prices nearer to the
end of the trading day. The settlement price calculation varies between the
underlying asset and the futures (derivatives) exchanges 12 .
In the Mexican Derivatives Exchange (MEXDER) there are several ways to
calculate the settlement price for the inflation-indexed (UDI) futures contract.
For example, one way to calculate it is by obtaining a weighted average of
the prices for the last five minutes of trading. However, these UDI futures are
characterised by having relatively low trading volume. A common method when
there is no trading (there is no volume for a specific trading day) is used by
MEXDER that calculates a theoretical futures price according to the following
formula:
F0 = U DIt
1 + iN
t,T
1 + iR
t,T
T
360
T
360
!
(1)
where F0 is the current futures price, UDI represents the value of the UDI at
day t, which is published by Banco de México at the Mexican Official Gazette
11
Even though futures contracts can be used to hedge financial risk it is common to observe
that, in some cases, there is not an optimal demand for them. For example see Benavides
and Snowden (2006) for details.
12
For a good reference about the mechanics of futures markets the reader could refer to
Fink and Feduniak (1988).
7
(Diario Oficial de la Federación)13 , iN
t,T represents the nominal interest rate
observed in day t calculated for Mexican Government Certificates of Deposits
(CETES) with a maturity equivalent to the life of the specific futures contract
in days (T ), iR
t,T is the real interest rate observed for day t calculated from UDI
bonds with a relevant maturity published by ValMer (a Mexican Price Vendor
Valuation Company)14 . Finally, T represents the number of days remaining
for maturity of the futures contract15 . MEXDER publishes in its web page
the time series futures prices for every UDI contract16 . Information about the
UDI contract can be observed in more detail in Table 1 in the appendix. Given
that these are observed (market) prices, there is no need to obtain additional
interest rate data since interest rates are implicit in the theoretical futures price
calculation (Equation 1).
5. The Models
5.1 The GARCH Specification
The volatility of the time series under analysis is estimated with historical
data. It is known that ARCH models (Engle: 1982) are accurate estimators
of time-varying volatility. A well known model within the family of ARCH
models is the univariate Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity, GARCH(p, q) model. This model is estimated applying the standard
procedure as explained in Bollerslev (1986) and Taylor (1986)17 . The formulae
for the GARCH(p, q) are presented below. For the model there are two main
equations. These are the mean equation and the variance equation:
Mean equation,
δyt = µ + et
(2)
and the variance equation,
σt2
=ω+
q
X
i=1
et |It−1 ∼ N (0, σt2 ),
αi ǫ2t−i
+
p
X
2
βj σt−j
(3)
j=1
13
The Diario Oficial de la Federación is published every working weekday by the Mexican
Federal Government and has relevant information to the general public. These are usually
fiscal and economic policies.
14
ValMer is an acronym in Spanish for Valuación de Mercado S.A de C.V.
15
In finance textbooks it is common to see that the theoretical futures (forward) price is
expressed in continuous time, (Hull: 2003, pg. 46): F0 = S0 erT . Where F0 is the current
futures (or forward) price, S0 is the current spot price, e equals the e() function, r is the
risk-less rate of interest per annum expressed with continuous compounding and T is the
time to maturity in years. For the previous formula it is assumed that the underlying asset
pays no income. For the research purposes of this project F0 equals the observed inflationindex futures price as reported by MEXDER (in discrete time) and S0 equals the observed
inflation-index spot price published by Banco de México.
16
The MEXDER web page is http://www.mexder.com.mx/MEX/paginaprincipal.html
The ARCH-type models presented in this paper were estimated using Eviews computer
language.
17
8
where δyt are the first differences of the natural logarithm (logs) of the series
under analysis at time t (the inflation spot or futures-index), et is the error
term at time t, It−1 is the information set at time t − 1, σt2 is the variance at
time t. µ, ω, αi , βi are parameters and it is considered the assumption that the
log returns are normally distributed. In other words, assuming a constant mean
(the mean of the series δyt ) the distribution of et is assumed to be Gaussian
with zero mean and variance σt2 . The parameters are estimated using maximum
likelihood methodology applying the Marquardt algorithm18.
Considering that the assumption of normality of the residuals stated above
does not hold, the Bollerslev and Wooldridge (1992) methodology is used in order to estimate consistent standard errors. With this method the results have
robust standard errors and covariance. This method derives that the estimators are from Quasi-Maximum Likelihood Estimation. Thus, the coefficients
are robust even though the normality assumption is not met by the data19.
The estimated coefficients are reliable once they are statistically significant and
the sum of the α + β < 1 (otherwise the series are considered explosive or
equivalently non-mean reverting, Taylor: 1986).
5.2 The Threshold GARCH Model
Another model used in this paper is the Threshold GARCH model. This model
is also known as the TARCH model. It was postulated by Glosten, Jaganathan,
and Runkle (1993) and Zakoan (1994). Compared with the GARCH(p, q)
model the specification of the TARCH model involves an additional term in the
variance equation,
σt2 = ω +
q
X
i=1
αi ǫ2t−i +
p
X
j=1
2
βj σt−j
+
r
X
′
δk ǫ2t−k It−k
(4)
k=1
where It = 1 if ǫt < 0 and 0 otherwise. The intuition for this model is that bad
news ǫt < 0 will have a different impact on the conditional variance compared
to good news ǫt > 020 . In case of good news the impact is on αi and for bad
news the impact is on αi + δi . If δi > 0, there will be a higher increase in
volatility driven by the bad news. If δi 6 0, then the news impact is asymmetric.
This model is normally applied for estimating stock price volatility considering
the leverage effect on stocks21 .
18
This algorithm modifies the Gauss-Newton algorithm by adding a correction matrix
to the Hessian approximation. This allows to handle numerical problems when the outer
products are near singular thus, increases the chance of improving the convergence of the
parameters.
19
For more details about Quasi-Maximum Likelihood Estimation the interested reader
can refer to Bollerslev and Wooldridge (1992).
20
21
Good news refers to positive financial assets returns. Bad news is just the opposite.
The leverage effect on stocks refers to asymmetric volatility considering that a bear
market sentiment has higher price volatility if compared with a bull market sentiment. In
a bear market higher uncertainty about the cash flow stream could cause the stock price to
decrease and the company increases its leverage ratio, which is undesirable (Brooks: 2002).
9
For the case of the inflation-index futures, the asymmetric TARCH model
is applied in the opposite way. Here the bad news are considered increases in
inflation thus, the news impact will be magnified if ǫt > 0. In other words, the
model is adjusted to give a volatility asymmetry with positive inflation returns.
This is more relevant for countries that have a history of high inflation. It is
known that when there are high inflation periods it is common to observe high
inflation volatility.
It is important to point out that in order to control for seasonality (spot
price data) an indicator variable is included in the mean and variance equation.
This dummy variable takes the value of one every time there is an inflation
announcement and zero otherwise. Also, for this spot return series an autoregressive component of second order (order chosen by Information Criterion) is
also included in the mean equation in order to have a better specification for
the structure of the series.
Other procedures were used in order to deal with seasonality. A moving
average term was included in the mean-equation. The idea is to smooth out
as possible the process. The previously mentioned dummy variable was included both in mean and variance equations. The objective is to observe if
the estimated coefficient is statistically significant. In the Descriptive Statistics
Section below the interpretation of some of the estimates is presented as well
as the implications for controlling for seasonality.
5.3 The VaR model
The VaR is a useful measure of risk22 . It was developed in the early 1990s by
the JP Morgan Corporation. According to Jorion (2001) VaR summarizes the
expected maximum loss over a target horizon with a given confidence interval.
Even though it is a statistical figure, most of the times are presented in monetary
terms. The intuition is to have an estimate of the potential change in the value
of a financial asset resulting from systemic market changes over a specified time
horizon (Mohamed: 2005). It is also normally used to obtain the probability of
losses for a financial portfolio of futures contracts. Assuming normality, the VaR
estimate is relatively easy to obtain from GARCH models. For example, for a
one trading day 95% confidence interval VaR, the estimated GARCH standard
deviation (for the next day) is multiplied by 1.645. If the standard deviation
forecast is, lets say, 0.0065, the VaR is approximately 1.07%. To interpret this
result it could be said that an investor can be 95% sure that he or she will not
lose more than 1.07% of asset or portfolio value in that specific day. However,
a problem with the parametric approach is that if the observed asset returns
depart significantly from a normal distribution the applied statistical model
may be incorrect to use (Dowd: 1998).
So, as it was said, when using VaR models it is necessary to make an
assumption about the distribution of the returns. Although normality is often
assumed for price returns series, it is known in practice that this assumption is
highly questionable (Mandelbrot: 1963, Fama: 1965, Engle: 1982, 2003). If the
daily returns are divided by the (adjusted) TARCH standard deviations, the
22
Value at Risk is normally abbreviated as VaR. The lower case a letter differentiates
this abbreviation to that of Vector Autoregressive Models, which are usually abbreviated as
VAR (with a capitol A).
10
new series will have a constant volatility of one with a non-normal distribution
(Engle: 2003). For these standardized residuals or de-volatized returns the
kurtosis must be above normal, thus a non-normal distribution is therefore
assumed in the VaR. The volatility asymmetries estimated within the TARCH
model allow for this non-normality. This method will be considered for the
estimation of VaR for time horizons of one trading day. However, there is also
another approach which will also be applied in this project for time horizons of
more than one trading day. The latter is explained next.
For time horizons of more than one trading day (ten, thirty and ninety
trading days), the bootstrapping methodology of Enfron (1982) will be applied23 . The fact that the returns of the series are non-normally distributed
motivates the use of a non-parametric procedure as the bootstrapping. The
procedure used in Hsieh (1993) and Brooks, Clare and Persand (2000) is considered here. In the latter they empirically tested the performance of that
VaR model for futures contracts traded in the London International Financial
Futures Exchange (LIFFE)24 . A similar paradigm is applied here for inflation
indexed (UDI) futures contracts. Thus, a hypothetical portfolio of UDI futures
is considered and MCRRs will be estimated. These estimated MCRRs values
for the UDI portfolio are compared to the observed (historical) inflation. This
analysis allows to evaluate how accurate are the ARCH-type models in terms
of estimating MCRRs for inflation-indexed futures. Yet, another objective is
to analyse the performance of these in terms of how accurate are they for providing an upper threshold for inflation i.e. what are the statistical chances
that inflation will be high enough to be outside the upper (positive) confidence
interval.
In order to calculate an appropriate VaR estimate it is necessary to find
out the maximum loss that a position might have during the life of the futures
contract. In other words, by replicating with the bootstrap the daily values
of a long futures position it is possible to obtain the possible loss during the
sample period. This will be obtained with the lowest replicated value. The same
reasoning applies for a short position. But in that case the highest possible loss
will be obtained with the highest replicated value25. Following Brooks, Clare
and Persand (2000) and Brooks (2002) the formulae is as follows. The maximum
loss (L) is given by
L = (P0 − P1 ) × N umber of contracts
(5)
where P0 represents the price at which the contract is initially bought or
sold; and p1 is the lowest (highest) simulated price for a long (short) position,
23
The bootstrap is a resampling method for inferring the distribution of a statistic, which
is derived by the data in the population sample. This is normally estimated by simulations. It
is said to be a nonparametric method given that it does not draw repeated samples from wellknown statistical distributions. On the other hand, a Monte Carlo simulation draws repeated
samples from assumed distributions. In this research project the bootstrap methodology was
implemented using Eviews computer language.
24
These futures contracts were the FTSE-100 stock index futures contract, the Short
Sterling contract and the Gilt contract.
25
As it is well known in futures market mechanics decreases in futures prices mean losses
for long positions and increases in futures prices mean losses for short positions.
11
respectively, over the holding period. Without loss of generality it is possible to
assume that the number of contracts held is one. Algebraically, the following
can be written,
L
P1
= 1−
(6)
P0
P0
Given that P0 is a constant, the distribution of L will depend on the distribution
of P1 . It is reasonable to assume that prices are lognormally distributed (Hsieh:
1993) i.e. the log of the ratios of the prices are normally distributed. However,
this assumption is not considered here given that empirical distributions of the
series under study are not normal. However, the log of the ratios of the prices
is transformed into a standard normal distribution following JP Morgan RiskMetrics (1996) methodology. This is done by matching the moments of the log
of the ratios of the prices distribution to a distribution from a set of possible
ones known (Johnson: 1949). Following Johnson (1949) a standard normal
variable can be constructed by subtracting the mean from the log returns and
then divide it by the standard deviation of the series,
P1
−µ
ln P
0
(7)
σ
The expression above is approximately normally distributed. It is known that
the 5% lower (upper) tail critical value is -1.645 (1.645).
From Equation 6 the following can be expressed,
L
= 1 − exp[−1.645σ + µ]
P0
(8)
when the maximum loss for the long position is obtained. For the case of finding
the maximum possible loss for the short position the following formula applies,
L
= exp[−1.645σ + µ] − 1
P0
(9)
The MCRRs of the short position can be interpreted as an upper threshold
for inflation. This will be the threshold of interest given that in the Mexican
economy it was common to observe increases in inflation26. On the other hand,
it was relatively rare to see deflation events (for deflation events the long position is the one of most interest). MCRRs for both positions are reported in
this paper. However, the MCRRs for the long position estimates will not be
analysed. Only the MCRRs for the short position are of interest and these are
going to be interpreted and analysed. The latter will give a forecast value for
extreme inflation for a n-day period with 95% confidence. The estimates are the
ones from the positive side of the distribution (the right-hand tail) i.e., which
are positive levels of inflation.
26
For the period under study only in few occasions deflation was observed. This occurred
in May 2004, 2009, 2010.
12
The simulations were performed in the following way. The GARCH and
TARCH models were estimated with the bootstrap using the standardized
residuals from the whole sample (instead of residuals taken from a normal distribution as it was written in Equation 2). The UDI variable was simulated,
with the bootstrap as well, for the relevant time horizon (10, 30 or 90 trading
days) with 10,000 replications. The formula used was U DIt = U DIt−1 ereturn T
(where UDI could be the futures or spot price, the rest of the notation is the
same as specified above). From the UDI simulations the maximum and
minimum values were taken in order to have the MCRRs for the short and long
positions respectively.
6. Data
6.1 Data Sources
The data consists of daily spot and futures closing prices of the UDI obtained
from Banco de México and MEXDER respectively. The sample period under
analysis is more than seven years from 13/10/2003 to 30/06/2010. The sample size consists of 1,753 daily observations. The sample period was chosen
according to availability of UDI futures data. These started formally trading
on 13 October, 2003. This is the starting date for the sample period used in
this project. The sample size is considered large enough for the estimation
task at hand. Given that the time horizon for these simulations is relatively
short (up to three months ahead) there is no need for a larger sample size27 .
The UDI contracts have delivery dates for up to five years. The periodicity
of the maturities of the contracts is monthly up to one year and quarterly for
the remaining four years. The MEXDER is relatively new compared to other
derivatives exchanges around the world. It began operations in 1998.
6.2 Data Transformation
When creating a time-series of futures prices a significant number of researchers
use the prices of the futures contract closer to maturity or the one with higher
trading volume. These procedures have the inconvenience of creating a pattern
of ”jumps” in the price series when switching prices from one futures contract
to another. This type of ”jumps” are unrealistic. Even though, ”jumps” are
observable in futures prices there is, usually, no clear pattern as the one it is
created using both methods. In order to avoid these unrealistic jumps when
creating a time-series of futures prices from different contracts (Pelletier, 1983;
Wei and Leuthold: 1998), synthetic futures prices were created28 . These were
calculated by a roll-over procedure that is basically an interpolation of futures
prices from different maturity futures contracts (Herbst et. al. 1989, Kavussanos and Visvikis: 2005). This procedure creates a constant maturity weighted
average futures price based upon the futures prices and the days to maturity of
27
Nonetheless, an update for the sample was made up to October 2010. The estimations
(available upon request) show no qualitatively changes.
28
The synthetic futures prices were calculated using Visual Basic for Applications computer language.
13
the two near-by-expiration contracts. The formula used to obtain the synthetic
futures price is shown in Equation 12 below29 ,
(T − Ti )
(Tj − T )
SY NT = Fj
+ Fi
(10)
(Tj − Ti )
(Tj − Ti )
where SY NT is the synthetic futures price for delivery at T , Fj is the contract
j futures price expiring at Tj , Fi is the contract i futures price expiring at Ti , T
equals 30, the chosen constant maturity in number of days, Ti is the contract i
expiration in days remaining, Tj is the contract j expiration in days remaining,
j = i + 1, with Ti ≤ T ≤ Tj .
The time to expiration of the synthetic futures prices calculated is T equals
30 days. This means that a constant 30-day maturity synthetic futures price
was calculated. This is considered an appropriate time-to-expiration given that
a shorter time-to-expiration could have higher expected volatility. This situation is observed in empirical research papers, which have found that volatility
in futures prices increases, as a contract gets closer to expiration (Samuelson:
1965). This could be the case for futures contracts of less than 30 days remaining. A higher expected volatility due to time-to-expiration could bias the
results of this analysis.
7. Descriptive Statistics
This section presents the descriptive statistics for the daily (observed)
volatilities of the UDI spot and futures returns and the forecast volatility from
the models. Prior to fitting the GARCH and TARCH models an ARCH-effects
test was conducted for the series under analysis. This was done in order to
see if these types of models are appropriate for the data (Brooks: 2002). The
test conducted was the ARCH-LM following the procedure of Engle (1982)30.
According to the results both series under study have ARCH effects. Under the
null of homoscedasticity in the errors the F-statistics were 31.6153 for the spot
and 7.8217 for the futures prices (the critical value is 3.84 for 378 degrees of
freedom). Both statistics clearly reject the null in favour of heteroscedasticity
on those errors.
The series were also tested for non-linear dependence using the BDS test
(Brock et. al. 1996). This type of test is asymptotically distributed for a
standard normal variate. The null is that the underlying series has independent
and identical distribution (i.i.d). These tests can detect several types of non-i.i.d
behaviour (Hsieh, 1991). If the null hypothesis is rejected then it is appropriate
29
The terms synthetic futures price and futures price are synonymous for the rest of this
paper.
30
These tests were conducted by using ordinary least squares regressing the logarithmic
returns of the series under analysis against a constant. The ARCH-LM test is performed
on the residuals of that regression. The test consists on regressing, in a second regression,
the square residuals against constant and lagged values of the same square residuals. The
null hypothesis is that the errors are homoscedastic. An F-statistic was used in order to test
the null. The test was carried out with different lags 2 to 10. All have the same qualitative
results. Only the cases for 5 lags are reported in the main text above.
14
to use the GARCH models. Table 2 presents the results for the BDS tests.
It can be observed in Table 2 that the null hypothesis is rejected for both
futures and spot returns. Following Hsieh (1991) and Brooks, Clare and Persand
(2000) the number of embedded dimensions (m) and the e chosen are within
the range of 2 to 5 and 0.50 to 1.50 respectively. In the test m refers to the
number of consecutive points in the set and e the distance between the data.
If the observations of the series are truly i.i.d, then for any pair of points, the
probability of the distance between these points being less than or equal to
epsilon will be constant. There is no unique formula to use in order to choose
the optimal values of m and e. This is the reason why the proposed range is used
following similar tests found in the literature as mentioned above. Nonetheless,
robustness checks were applied by using values in the vicinity of the proposed
range. There are no qualitatively changes in the results, i.e., the analysed data
are not independent.
Figure 1 presents the logs of the spot and futures prices of the UDI and
their respective daily volatilities for the time frame under analysis31. It can be
observed that the futures price is usually above the spot price. This could be an
indication of the expected inflation reflected in futures prices (Working: 1958).
Also, it can be observed that the futures volatility is considerably higher than
the spot volatility.
Table 3 shows the descriptive statistics for the daily volatility and the
volatility from the forecasting models. The parsimonious specifications
GARCH(1,1) and TARCH(1,1) were chosen according to results obtained from
information criteria (Akaike Information Criterion and Schwarz Criterion tests).
The model parameters were positive and statistically significant at the 1% level.
The sum of α1 + β1 was less than one. Diagnostic tests on the models were
applied to ensure that there were no serious misspecification problems. The
Autocorrelation Function as well as the BDS test was applied on the standardised residuals obtained from the forecast models. Both show that these
residuals were i.i.d32.
As it can be observed in Table 3 the means of the futures UDI series are the
ones with higher values (the daily volatilities and the volatility forecasts). These
findings are consistent with Figure 1 where the daily volatility of the futures was
normally seen higher than the spots volatility. The distributions in that table
are highly skewed and leptokurtic indicating non-normality of the returns and
the forecast estimates. This is consistent with the work of Wei and Leuthold
(1998) that analysed volatility in futures markets and had similar findings with
daily futures price volatility for agricultural commodities33 . Table 4 presents
the autocorrelation coefficients of the UDI returns. It can be observed that
there is autocorrelation (up to ten lags) in the UDI spot series and significant
autocorrelation was also found for the futures UDI series. The absolute returns
series show some evidence of serial correlation for several lags showing timevarying volatility. This further justifies the use of ARCH-type models for the
modelling of these series.
31
32
The daily volatility is simply defined as the absolute value of the log-return.
These results are available upon request.
33
It is important to point out that most of the Mexican agricultural commodities prices
are part of the Mexican CPI thus, their price movements are considered in the UDI.
15
Lastly, Figures 2 and 3 present the observations of the daily volatility (top
line) and the estimates of the volatility forecast models for the futures and spot
series respectively (bottom lines). It can be observed in both graphs that the
models captured the volatility clustering shown for the daily volatility. For
the UDI spot return series it is also possible to observe seasonality. There
are systematic periods when the volatility of the series is relatively stable. The
correlogram in Table 4 shows that the portmanteau test with ten lags, Q(10), is
statistical significant, which corroborates the presence of seasonality for the spot
returns series. The reason we observe this pattern is that inflation is published
by the Central Bank of Mexico twice a month34. This occurs in day 10th and
25th of each month. If these days are non-working days then the publication
is done the previous working day. In between
these dates inflation is scaled by
√
multiplying the last observed figure by h , where h is the time horizon before
the next inflation announcement day. Given the nature of this scaled-inflation
forecast we can observe the seasonality pattern. That is, every time there is a
publication about inflation (days 10th and 25th) the volatility observed for those
days is higher compared to the periods there is no publication i.e. the scaledadjustment was made. The latter shows relatively stable volatility, which can be
observed in Figure 3 as segments of nearly horizontal lines. Thus, it can be say
that seasonality in inflation spot UDI prices are explained by new information
arrivals. However, seasonality apparently is not present for the futures series
given the nature of this market-tradable financial instrument, which contrary
to the spot it is not scaled (Figure 2). This can also be corroborated in Table 4
as well for the futures return series where we can observe smaller Q values for
futures returns relative to spot returns whilst testing for statistical significance
of the Portmanteau test.
Including a dummy variable to control for seasonality as explained in
Section V.2 above shows an improvement in the volatility forecast. This can
be observed in graphs by comparing the forecast with no dummy variables
(not presented in this paper) and with the inclusion of seasonal dummies. The
model without dummies shows a forecast with significant less stable volatility
i.e. those days when there is no inflation announcement. It is important to
point out that the coefficient for the dummy variable was statistically significant in the variance equation but not in the mean equation (ARCH-type
models). This can be interpreted as evidence of seasonality in inflation (market) risk. There is no agreement in the literature about how to deal with the
problem of seasonality or which dummy variables should be included, however,
in this research project some econometric tools are implemented in order to
minimize the possible problem of the presence of seasonality in the series and
its influence on the volatility forecast. As mentioned before these econometric
tools include autoregressive and moving average terms in the mean equation as
well as dummy variables for both.
The implications of these forecasts are that they capture fairly well the
dynamics of the daily volatility for both series under study. That is the
GARCH(1,1) and adjusted TARCH(1,1) models show forecasts that predict
high volatility when in fact the actual daily volatility was high and predict low
34
For more information about inflation publication procedures the interested reader can
refer to the Mexican Official Gazette (Diario Oficial de la Federación) of 25th June, 2002.
16
volatility when the actual daily volatility was low. The forecasts are relatively
consistent in terms of capturing the dynamics for basically all the days in the
sample. Again, this can be observed in Figures 2 and 3 in the Appendix.
8. Results
8.1 Parametric Method
Once the next-day volatility estimate is obtained the 95% confidence intervals
are created by multiplying 1.645 by the forecasted conditional standard deviation (from the GARCH model). An analysis is made about the number of times
the observed UDI spot return was above that 95% threshold (a violation or an
exception). Again, the positive part (right tail of the distribution) is the one of
most interest given that it is positive inflation what it causes more concern to
relatively high inflation economies thus, the interest on predicting it35 . Figure
4 shows the spot inflation returns and the futures confidence intervals. It can
be observed that the UDI spot returns were mostly within the 95% confidence
level for the daily forecasts. However, there were violations in 72 days, which
represent 4.12% of the total number of observations. Considering that a 95%
confidence level is applied the model should not exceed the VaR more than
5% (Jorion: 2001). The null hypothesis in this case is not to reject the model
because it has fewer than 5% violations. The situation is different when spot
prices are used to calculate the 95% confidence intervals. Figure 5 shows the
same UDI spot returns but with confidence intervals constructed with the spot
UDI. For this case the number of violations is 141, which represents 8.05% of
the total number of observations. The model is then rejected. Applying the
Kupiec test as explained by Jorion (2000), the non-rejection region (interpolating) is 50 < x < 131. So, the model is still not rejected for futures prices but
rejected when using spot prices. The ambiguity of the results using different
data does not permit to make conclusive answers about the acceptance of the
GARCH model.
As explained before a normal distribution is highly questionable therefore
the de-volatized returns from the asymmetric TARCH model are also applied.
The procedure to apply this method was explained in Section V.2 above. For
this case the Kurtosis of the series is 6.8535 (above normal) and there are 2.65
standard deviations away from the mean in order to reach the 95% confidence
level. Therefore, the conditional standard deviation forecast is multiplied by
2.65 to construct the new intervals. Given these intervals the number of
violations using futures prices is 57, which represents about 3.30% of the total
number of observations. For spot prices the number of violations is 135, which
represents 7.7% of the total number of observations. Thus, by considering a
non-normal distribution of the returns the VaR is higher and the number of
violations decreases for both futures and spot prices. However, for the UDI
spot series the decrease was not enough in order to be below the 5% threshold
(or to be non-rejected in the Kupiec: 1995 test). The same conclusion as the
one above for the GARCH(1,1) model applies here36 .
35
Although for some economies it may be of interest to predict deflation. For that case it
is important to see the negative side of the distribution. This is equivalent to taking a long
position on the portfolio.
36
The figures for these results are available upon request.
17
8.1 Bootstrapping Simulations
The methodology to carry out the simulations was explained in Section V.3
above. Following Brooks, Clare and Persand (2000), a new variable is included
in the conditional variance equation of the GARCH(1,1) in order to capture
the volatility persistence, which is common in ARCH-type models (Gallo and
Pacini: 1997). The proxy variable is calculated in the following way,
closet V Pt = ln
closet−1 (11)
where VP represents volatility persistence and close represents the UDI closing
futures price at time t37 . Including this proxy variable it is expected that the
new specification will capture the volatility persistence common in financial
price series. Tables 5 and 6 present the VaR for the bootstrap simulations
performed in the futures and spot series respectively. The numbers of n-days
ahead considered in the simulations were 10, 30 and 90 trading days. The
simulations were done applying the GARCH(1,1), the adjusted TARCH(1,1)
and the GARCH that includes the proxy for volatility persistence represented
as GARCH(1,1,V Pt−1 ).
Considering the fact that the UDI spot returns have autocorrelation (see
Table 4) it is necessary to do the bootstrap adjusting for this autocorrelated
process38 . The procedure postulated by Politis and Romano (1994) is applied
here. This is basically a method in which the autocorrelated returns are grouped
into non-overlapping blocks. For this case the size of these blocks is fixed during
the estimation39 . With the bootstrap the blocks are resampled. During the
simulation of the UDI spot prices the returns are taken from the resample
blocks. The intuition is that if the autocorrelations are negligible for a length
greater than the fixed size of the block, then this Moving Block Bootstrap will
estimate samples with approximately the same autocorrelation structure as the
original series (Brownstone and Kazimi: 1998). Thus, with this procedure the
autocorrelated process of the residuals is almost replicated and it is possible to
obtain a more accurate simulated UDI spot series.
From Table 5 it can be observed that for ten trading days short positions
(second, third and fourth rows) the MCRRs for all models are above the observed inflation during the simulated period from 17/06/2010 until 30/06/2010.
The same qualitative results to those of ten trading days are observed for thirty
trading days short positions (fifth, sixth and seventh rows) during the simulated
period from 20/05/2010 until 30/06/2010. It can be observed that excluding the
GARCH model, which includes the volatility persistence component (V Pt−1),
37
Now the conditional
varianceP
equation in the GARCH(p, q) model is, σt2 = ω +
Pp
n
2
2
α
ǫ
+
β
σ
+
i=1 i t−i
j=1 j t−j
k=1 Φk V Pt−k , where notation is the same as defined
Pq
above.
38
I am thankful to Alejandro Díaz de León and Daniel Chiquiar for pointing this out.
I also want to thank Arnulfo Rodríguez for his assistance in helping me to incorporate the
Politis and Romano (1994) methodology in the Eviews computer code.
39
It is also possible to have random size blocks. For a more detailed explanation please
refer to Politis and Romano (1994).
18
the MCRRs are above the observed inflation for ninety trading days short positions (eight, ninth and tenth rows), which covers the period from 23/02/2010
until 30/06/2010. An explanation for these results is that the volatility persistence component in the variance equation is allowing the volatility persistence to
die away rapidly instead of slowly. In this situation, the MCRRs are calculated
with less volatility clustering showing less extreme values in the distribution.
Thus, significantly lower MCRRs are calculated. In terms of the number of
violations it can be observed that there are few in terms of VaR analysis, however, most of the estimated requirements look significantly conservative (they
over-estimate the VaR). The results for the scenarios (time frames) in Table 6
with the spot simulated series are qualitatively similar to the futures results.
However, the MCRRs tend to be lower than those from the futures series. This
is explained because of the higher observed volatility of the futures prices in
relation to the observed volatility of the spot prices (see Figure 1 and Table 3).
Obtaining relatively high values for the MCRRs for time horizons of 90
trading days could be explained by the volatility persistence that is part of
the ARCH-type models. In this sense, these results are consistent with Brooks,
Clare and Persand (2000), where it was concluded that ARCH-type models tend
to over-estimate the VaR. In portfolio analysis the overestimation is considered
costly. This is because unnecessary quantities of capital are set aside to meet
MCRRs. However, it was observed in this project that for shorter-term VaR
time horizons of one trading day, the models are relatively accurate. Specifically,
for the case of the UDI futures series in which the model was accepted, although
it was not the case for the UDI spot series. These ambiguities in the results make
it difficult to draw conclusive answers about ARCH-type models. However,
with the inclusion of a volatility persistence variable these models become more
accurate for periods of less than 10 trading days using futures prices (see Table
5). Therefore, it is concluded that ARCH-type models can be helpful in giving
some insights about future inflation volatility in some cases, but not in all. Also,
if a GARCH model includes a proxy variable for volatility persistence for a 10
day time horizon using futures data the results could be accurate. Thus, in line
with other works in the literature it was observed that ARCH-type models tend
to over-estimate the VaR of more than ten-trading days because of volatility
persistence.
9. Conclusions
Research about forecasting price return volatility in futures markets has been
done extensively. However, research about forecasting short-term indexedinflation futures returns is non-existent. Compared with other financial futures
inflation-indexed futures are less common and have less trading overall. For
developed countries inflation is usually stable and analysing its volatility is normally not a priority. However, for emerging economies inflation is more volatile
and relatively higher. Having some insights about what could be the possible
levels of inflation (or inflation volatility) is an important issue for emerging
economies.
In this research project an analysis of Mexican short-term inflation
volatility was presented. The research on this project differs from that found
in the literature in that inflation-indexed futures are examined for a develop-
19
ing country. The volatility forecasts were estimated using ARCH-type models.
For a hypothetical case of a portfolio of inflation-indexed futures, VaR estimates were presented as percentages of Minimum Capital Risk Requirements
(MCRRs). The results show that the ARCH-type models can accurately estimate MCRRs for one-trading day ahead time horizons if futures prices are
used. However, for time horizons of more than ten trading days the MCRRs
were relatively high compared with the observed inflation. Highly conservative
(over-estimated VaR) MCRRs are costly given that investors need to set aside
more capital to meet the capital requirements. There is an opportunity cost of
capital. It was argued that volatility persistence in ARCH-type models could
explain the high MCRRs estimates for ninety trading days time horizons.
In terms of forecasting short-term inflation the VaR framework provides
confidence intervals, which can give an insight about the expected range for
future inflation. In other words, the expectations as a percentage about the
future level of inflation considering a certain confidence interval. Thus, futures
markets can give valuable information for one trading day time horizons. Using
a GARCH model, which includes a volatility persistence variable in its conditional variance specification, is also helpful for ten or less trading days. The
latter allows the volatility persistence element to be modelled within the conditional variance equation. Using this type of specification it is possible to have
a relatively accurate certainty about the possible extreme values of inflation up
to ten trading days. However, it should be kept in mind that for longer periods
the accuracy of the model declines. Therefore, it is concluded for the series
under study not to reject the null hypothesis that the set of analysed models
are not accurate to estimate VaR for long time horizons even when a volatility
persistence variable is considered within the model. This conclusion in line with
previous studies in the literature specifically, Brooks et. al. (2000) and Hsieh
(1993).
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Appendix
23
24
25
26
27
Evaluación del Grado de Satisfacción de la
Atención de los Pacientes que Acuden
a los Programas Parciales del Hospital
Psiquiátrico Morelos del IMSS
Guillermo León, Enrique Valencia, Arturo Castro,
Luz Marı́a Canseco, Patricia Galindo, Teresita de Jesús
Sánchez, Ana Luisa Cabrera, Marı́a de Lourdes Ruiz. ∗
Guillermo Carrasco. ∗∗
Recibido 5 de marzo 2010, aceptado 30 de junio 2010
Resumen
En este artı́culo se evalúa el grado de satisfacción del paciente que padece un
trastorno mental y que inmediatamente después de haber cursado una fase
aguda es ingresado en los programas parciales, calificando la atención proporcionada por los diferentes profesionales (Médico-psiquiatra, Enfermera, Trabajadora Social, Nutrióloga y Asistente Médica), de la Unidad Médica de Alta
Especialidad Complementaria Hospital Regional de Psiquiatrı́a “Morelos” del
Instituto Mexicano del Seguro Social (IMSS).
Con base a los resultados obtenidos se evalúa la calidad de la atención
al paciente en fase de rehabilitación para el caso particular de la Clı́nica de
Esquizofrenia y del Hospital de Dı́a.
Abstract
This paper assesses the degree of satisfaction of the patient with a mental disorder and that immediately after having completed the acute phase is entered
in the various partial programs, calling the care provided by different
professionals (psychiatrist, nurse, social worker, nutritionist and medical assistant), of the Morelos Complementary Medical Unit of High Specialty, Mexican
Institute of Social Security.
Based on the results, the quality care patients undergoing rehabilitation
was evaluated for the particular case of the Schizophrenia and Hospital during
the Day.
Clasificación JEL: Y5
Keywords: Programas parciales, trastorno mental, Escala León-Valencia, Satisfacción de la
Atención Psiquiátrica
∗
Unidad Médica de Alta Especialidad Complementaria Hospital Regional de Psiquiatrı́a
Morelos del Instituto Mexicano del Seguro Social (IMSS).
∗∗
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Ciudad
de México.
Evaluación del Grado de Satisfacción
29
1. Introducción
En términos de los diversos niveles de gestión de los sistemas de salud, ya sean
modelos asistenciales, de calidad y excelencia, o programas de mejora, tanto
en clı́nicas de primer nivel, hospitales regionales o unidades médicas de alta
especialidad, es de vital importancia tener un acercamiento al paciente para
conocer su opinión respecto a la calidad de los servicios recibidos.
El análisis transparente de la información, permitirá evaluar con un enfoque
crı́tico, las deficiencias en la operación de los sistemas de salud, con el objeto
de mejorar el servicio proporcionado.
Evaluar la calidad de la atención médica de tipo psiquiátrico en función de la
percepción de los pacientes que la reciben, es una tarea que no se ha realizado
en México.
La dificultad de evaluar el grado de satisfacción de los pacientes que solicitan y
reciben servicios de salud mental, radica en medir una variable de tipo subjetivo
como es la percepción de la calidad de la atención recibida.
Por los motivos anteriores los autores de esta investigación, nos hemos dado a
la tarea de investigar la percepción del grado de satisfacción de los pacientes
que acuden a los programas parciales de atención en el Hospital Psiquiátrico
Morelos del Instituto Mexicano del Seguro Social.
2. El IMSS y la Atención Psiquiátrica
En el Instituto Mexicano del Seguro Social desde 1952, ya se visualizaba la
atención del paciente psiquiátrico al crearse la primera clı́nica de Salud Mental
conocida como la Clı́nica de Neuropsiquiatrı́a de Naranjo, ubicada en la colonia
Santa Marı́a la Ribera y dirigida por el Dr. Raúl González Enrı́quez.
En 1963 cuando se funda lo que ahora se conoce como el Centro Médico Siglo
XXI, se contaba ya con el primer servicio de Psiquiatrı́a y el Servicio de Higiene
Mental en el área del Hospital de Pediatrı́a, pero en 1973 estos desaparecen
ante la oposición de médicos cirujanos y de otras especialidades, determinando
trasladarse a el Hospital Rafael La Vista, en el pueblo de Tlalpan teniendo
como director el Dr. Tovar Acosta. En este hospital surge el primer programa
de rehabilitación para pacientes con problemas de alcoholismo por el Dr. José
Antonio Elizondo. Este hospital cerró sus puertas en 1982.
No se debe olvidar el trabajo realizado por el Dr. Karl Cheuregis, responsable de la Coordinación de Salud Mental en el IMSS, y el apoyo del Licenciado
Fernández Yáñez y el Dr. Pucheau, que con su visión de la Psiquiatrı́a Comunitaria dan un impulso importante de atención hacia el usuario con problema
mental en esta institución, creando Centros Comunitarios en México, Guadalajara y Monterrey.
En ese tiempo se crean servicios de atención con 20 camas en los Hospitales
Generales de Zona, los cuales no prosperan, por lo que se concluye este programa
en 1992.
Algunos hospitales se mantuvieron, como el de San Juan de Dios y la Unidad
de Medicina Familiar con psiquiatrı́a en la calzada de Tlalpan y el Centro
Comunitario de Salud Mental en Jalisco.
30
Los nuevos modelos de atención con programas de psiquiatrı́a de enlace ubicados en los Hospitales Generales continuaron con un modelo de 2 camas para
psiquiatrı́a.
El Hospital Regional de Psiquiatrı́a Morelos se crea por la necesidad de brindar
atención integral en psiquiatrı́a, con un equipo multidisciplinario para los derecho - habientes y familiares con problemas de salud mental, desde hace 28 años,
el cual ha contado con autoridades como el Dr. Guillermo León González quien
con una visión innovadora, vanguardista, visionaria, participativa, ética y comprometida, propone que al paciente con problemas psiquiátricos se le brinde
una serie de alternativas de atención.
El Hospital Morelos ha trabajado para cambiar el modelo de atención manicomial, por otro con atención interdisciplinaria, vanguardista, para pacientes
agudos o crónicos, con exacerbaciones psico-patológicas.
El modelo de atención es resolutivo con un enfoque humanista, sensibilizado en
la necesidad familiar y social, utilizando tratamientos no aversivos.
Es el primer hospital de puertas abiertas, con reconocimiento internacional al
contar con procesos de Hospitalización tradicional, Consulta Externa, programas parciales como Hospital de Dı́a, Clı́nica de Esquizofrenia, Clı́nica de
Adicciones, Clı́nica del Afecto, la reciente Clı́nica de Psicogeriatrı́a y en el futuro se creará la Clı́nica de Niños y Adolescentes con el mismo modelo antes
utilizado.
La Misión del Hospital Morelos es otorgar servicios de alta especialidad en el
área de la psiquiatrı́a para integrar al derechohabiente a su ámbito social, laboral
y lograr una satisfacción a sus expectativas de salud a través de un sistema
integral de alto nivel profesional educativo y de investigación, con humanismo
y calidad, ası́ como tener una gestión adecuada de los recursos humanos y
financieros, con una visión de ser la mejor opción de atención psiquiátrica en el
área de la salud a través de la mejora continua centrada en los usuarios externos
e internos.
La creación de Unidades Médicas de Alta Especialidad Complementaria como
la Unidad Morelos es el último modelo de atención médica, el cual para dar
cumplimiento a su Visión y Misión proporciona atención integral al usuario con
los servicios ya mencionados, que se fundamenta en la importancia de la rehabilitación del paciente psiquiátrico. Para ello establece en forma permanente la
evaluación de los servicios de atención otorgada por el equipo interdisciplinario.
Por medio del equipo interdisciplinario se busca la reintegración óptima del
paciente al medio familiar , laboral, social, y/ o escolar, involucrar a la familia
en el manejo del paciente, abatir los reingresos al Hospital Tradicional por
falta de adherencia farmacológica y terapéutica y dar un seguimiento estrecho
a pacientes que lo requieran, para resolver la etapa aguda e intermedia de su
enfermedad.
31
3. Metodologı́a
3.1 Para evaluar el grado de satisfacción del usuario, se elaboró un cuestionario
por el Cuerpo de Gobierno del Hospital Morelos. Esta caracterı́stica le confiere
validez interna por el criterio de jueces, ya que: “La validez interna se refiere a
la confianza con que los investigadores pueden hacer inferencias causales de los
resultados de un estudio empı́rico particular” (Lewis, 2004).
El cuestionario propuesto, que los autores han denominado Escala León Valencia, para evaluar la satisfacción del usuario de los servicios proporcionados
por un Hospital Psiquiátrico, consiste de las siguientes preguntas:
1.2.3.4.5.6.7.-
La atención de la asistente médica le pareció...
La información que le proporcionó la asistente médica fue...
La atención que recibió por el médico fue...
Las instrucciones dadas por el médico fueron...
El tratamiento proporcionado en este hospital fue...
La atención de enfermerı́a le pareció...
La orientación recibida sobre el auto cuidado de su salud por parte de
la enfermera le pareció...
8.- La valoración y el diagnóstico que realizó el nutriólogo le pareció...
9.- La orientación nutricional que realizó el nutriólogo le pareció...
10.- La atención que recibió de la trabajadora social le pareció...
11.- La información y orientación que recibió de la trabajadora social fue...
12.- El ambiente o área fı́sica del hospital le pareció...
13.- El tiempo de espera para recibir atención le pareció...
14.- El servicio que recibió en este hospital fue...
Para medir las respuestas se propuso evaluar el instrumento León-Valencia
con una escala de Likert (Argimon 1991), donde la valoración de los servicios
proporcionados se valora como:
1
2
3
4
5
Excelente
Muy Bueno
Bueno
Regular
Deficiente
3.2 El cuestionario se aplicó por Trabajo Social del Hospital Morelos, a todos los
pacientes tratados en la Clı́nica de Esquizofrenia y Hospital de Dı́a y que fueron
dados de alta durante el perı́odo: Enero - Agosto del 2009. El tratamiento
estadı́stico se realizó utilizando el software PASW 18.
3.3 Se corrió una Prueba de Fiabilidad del cuestionario utilizando como
métrica el valor del Alfa de Cronbach.
32
3.4 Se obtuvo una distribución de frecuencias en términos de la escala de
Likert para cada una de las preguntas.
3.5 Se corrió una regresión lineal tomando como variable de respuesta, la
pregunta 14: El servicio que recibió en este hospital fue en función de las 13
preguntas restantes.
3.6 Se realizó una corrida de Análisis Factorial por el método de Componentes Principales con todos los ı́tems de la Escala León-Valencia y posteriormente se realizó una Rotación a siete iteraciones por el Método Kaiser-Varimax,
para encontrar agrupaciones en factores.
4. Resultados
Se muestran a continuación, los resultados obtenidos del grado de satisfacción
en la muestra de 77 casos encuestados durante enero agosto del año 2009, en
los servicios de la Clı́nica de Esquizofrenia y Hospital de Dı́a, a través del
cuestionario de catorce preguntas, aplicado en forma directa por el Trabajador
Social a los pacientes que terminaron tratamiento, como parte del proceso de
salida al ser dados de alta por el médico psiquiatra.
Los resultados fueron los siguientes:
4.1- Datos Demográficos:
En la tabla 1 se muestra el sexo de los pacientes que contestaron el cuestionario
Tabla 1.
Sexo
Frecuencia
Válidos
Mujer
Hombre
Total
35
42
77
Porcentaje
(%)
45.5
54.5
100.0
(%)
válido
45.5
54.5
100
(%)
acumulado
45.5
100.0
Predominan ligeramente los hombres con 54.5 %. Las mujeres acumulan
45.5%.
En la Tabla 2 se muestra el estado civil de los respondentes.
33
Tabla 2.
Estado civil
Frecuencia
Válidos
Soltero
Casado
Separado
Total
44
16
17
77
Porcentaje
(%)
57.1
20.8
22.1
100.0
(%)
válido
57.1
20.8
22.1
100
(%)
acumulado
57.1
77.9
100.0
La suma de los pacientes en estado civil de solterı́a y separados es de 79.2%.
En la tabla 3 se muestra la edad de los pacientes dados de alta que
respondieron el cuestionario.
Tabla 3.
Edad
Frecuencia
Menor de 20 años
21 a 25 años
26 a 30 años
31 a 35 años
36 a 40 años
41 a 45 años
46 a 50 años
51 a 55 años
56 a 60 años
Mas de 60 años
Total
4
8
5
12
9
9
17
8
3
2
77
Porcentaje
(%)
5.2
10.4
6.5
15.6
11.7
11.7
22.1
10.4
3.9
2.6
100.0
(%)
válido
5.2
10.4
6.5
15.6
11.7
11.7
22.1
10.4
3.9
2.6
100.0
(%)
acumulado
5.2
15.6
22.1
37.7
49.4
61.0
83.1
93.5
97.4
100.0
En el rango de edades de 31 a 55 años se encuentra el 61% de la población
bajo estudio.
4.2 Prueba de Fiabilidad (Reliability)
Se emplea para hallar la fiabilidad de un test. Para que la puntuación del test
sea útil es necesario que la prueba sea fiable. La fiabilidad de un test indica su
confiabilidad.
Usualmente el coeficiente de fiabilidad se expresa en términos de estabilidad
o de consistencia. El coeficiente alfa de Cronbach es el que se emplea con más
frecuencia. Se basa en la consistencia interna del test, es la correlación media
de los ı́tems si estos están tipificados o la covarianza media si los ı́tems no están
tipificados.
34
El coeficiente alfa de Cronbach varı́a entre 0 y 1. Si es 1 indica máxima
estabilidad o consistencia de las puntuaciones.
En la tabla 4 se muestra el alfa de Cronbach obtenido para la Escala León
- Valencia, de 14 preguntas, aplicada a 77 individuos :
Tabla 4.
Estadı́sticos de fiabilidad
Alfa de Cronbach
969
N de Elementos
14
El resultado obtenido refleja una alta consistencia interna de la Escala
León- Valencia, lo que significa que las inferencias que se hagan de ella, para
este estudio son altamente confiables.
4.3 - Análisis de la Distribución de Fecuencias de los Ítems en
Términos de la Escala de Likert
La tabla 5 muestra el análisis del grado de satisfacción de los 77 casos encuestados, de los cuales 22 definen la atención de la asistente médica como excelente
con un 28.6 %, 18 como muy bueno, ambos suman el 51.9 % de la población
encuestada, 35 de los casos consideran que la atención es buena el cual es el 45.
5 % de los usuarios y 2 lo considera regular esto es el 2.6%.
Tabla 5.
La atención de la asistencia médica le pareció
Frecuencia
Válidos
excelente
muy bueno
bueno
regular
Total
22
18
35
2
77
Porcentaje
(%)
28.6
23.4
45.5
2.8
100.0
(%)
válido
28.6
23.4
45.5
2.8
100
(%)
acumulado
28.6
23.4
97.4
100.0
La tabla 6 muestra los resultados de la segunda pregunta en donde los
usuarios evalúan la información proporcionada por la asistente médica con 19
casos como excelente representando el 24.7%, 16 casos como muy buena con
un 20.8 %, en 36 de los casos determinan que es buena con un 46.8% y 6 la
consideran regular el cual es el 7.8 % de los encuestados.
35
Tabla 6.
La información que le proporcionó la asistente médica fue
Frecuencia
Válidos
excelente
muy bueno
bueno
regular
Total
19
16
36
6
77
Porcentaje
(%)
24.7
20.8
46.8
7.8
100.0
(%)
válido
24.7
20.8
46.8
7.8
100
(%)
acumulado
24.7
45.5
92.2
100.0
La tabla 7 muestra las respuestas de los usuarios evaluando la atención
del médico tratante en donde 30 casos consideran que su atención es excelente
emitiendo un 39.0%, 17 casos consideran que esta es muy buena, 26 de los casos
la determinan como buena el cual significa el 33.8 % y regular en 4 casos, lo
que determina un 5.2 %.
Tabla 7.
La atención que recibió por el médico fue
Frecuencia
Válidos
excelente
muy bueno
bueno
regular
Total
30
17
26
4
77
Porcentaje
(%)
39.0
22.1
33.8
5.2
100.0
(%)
válido
39.0
22.1
33.8
5.2
100
(%)
acumulado
39.0
61.0
94.8
100.0
La tabla 8, muestra los resultados de la pregunta sobre las instrucciones
dadas por el médico tratante donde 29 casos expresan como excelente en un
37.7%, muy bueno en 19 casos dando el 24.5%, ambos suman el 62.3%, en 25
de los casos lo consideran que es buena con el 32.5%, 3 de los casos determinan
que es regular el cual es el 3.9% y solo un caso considera que es deficiente con
1.3%
36
Tabla 8.
Las instrucciones dadas por el médico fueron
Frecuencia
Válidos
Excelente
Muy bueno
Bueno
Regular
Deficiente
Total
29
19
25
3
1
77
Porcentaje
(%)
37.1
24.7
32.5
3.9
1.3
100.0
(%)
válido
37.7
24.7
32.5
3.9
1.3
100
(%)
acumulado
37.7
62.3
94.8
98.7
100.0
La tabla 9, nos brinda los resultados analizados en cuanto al tratamiento
proporcionado por el hospital, en donde 28 de los usuarios encuestados consideran que es excelente lo que representa el 36.4%, 22 de estos lo evalúan como
muy bueno emitiendo un porcentaje del 8.6 %, 19 casos lo definen como bueno
dando un 24.7%, 7 usuarios lo determinan como regular equivalente al 9.1 % y
un solo caso se le considera deficiente con 1.3%.
Tabla 9.
El tratamiento proporcionado en este hospital fue
Frecuencia
Válidos
Excelente
Muy bueno
Bueno
Regular
Deficiente
Total
28
22
19
7
1
77
Porcentaje
(%)
36.4
28.8
24.7
9.1
1.3
100.0
(%)
válido
36.4
28.8
24.7
9.1
1.3
100
(%)
acumulado
36.4
64.9
89.6
98.7
100.0
La tabla 10 evalúa la atención proporcionada por la enfermera, donde los
usuarios encuestados la determinan en 31 casos como excelente, lo que, significa
que es el 40.3% de la muestra, 21 usuarios nos dice que es muy buena lo que
representa el 27.3 % ambos suman el 67.5%, del total de la población, 23 consideran que es bueno lo cual es el 29.9%, 1 caso manifiesta que es regular lo
significa el 1.3 % y un caso más lo considera deficiente.
37
Tabla 10.
La atención de enfermerı́a le pareció
Frecuencia
Válidos
Excelente
Muy bueno
Bueno
Regular
Deficiente
Total
31
21
23
1
1
77
Porcentaje
(%)
40.3
27.3
29.9
1.3
1.3
100.0
(%)
válido
40.3
27.3
29.9
1.3
1.3
100
(%)
acumulado
40.3
67.5
97.4
98.7
100.0
La tabla 11 evalúa la orientación proporcionada por el personal de enfermerı́a sobre el auto cuidado de la salud, donde 29 casos la considera excelente
lo que suma un 37.7%, 23 de los casos la refieren como muy buena lo que determina un 29.9 %, 22 usuarios la consideran buena lo que significa que es el
28.6%, dos encuestados la manifiesta como regular indicando que es un 2.6 %
y un solo caso la determina como deficiente esto es el 1.3 %.
Tabla 11.
La orientación recibida sobre el auto cuidado de su salud
por parte de la enfermera le pareció
Frecuencia
Válidos
Excelente
Muy bueno
Bueno
Regular
Deficiente
Total
29
23
22
2
1
77
Porcentaje
(%)
37.7
29.9
28.6
2.6
1.3
100.0
(%)
válido
37.7
29.9
28.6
2.6
1.3
100
(%)
acumulado
37.7
67.5
96.1
98.7
100.0
La tabla 12 evalúa el grado de satisfacción en la orientación y atención
proporcionada por el nutriólogo, a la que consideran como excelente 22 de los
casos lo que da un 28.6%, 20 de estos la consideran muy buena determinando un
26.0%, 29 usuarios la definen como buena lo que es un 37.7%, en 5 encuestados
la definen regular lo que significa que en la población es un 6.5%, y un solo caso
lo determino como deficiente por ello es el 1.3%.
38
Tabla 12.
La valoración y el diagnóstico que realizó el nutriólogo le pareció
Frecuencia
Válidos
Excelente
Muy bueno
Bueno
Regular
Deficiente
Total
22
20
29
5
1
77
Porcentaje
(%)
28.6
26.0
37.7
6.5
1.3
100.0
(%)
válido
28.6
26.0
37.7
6.5
1.3
100
(%)
acumulado
28.6
54.5
92.2
98.7
100.0
La tabla 13 muestra los resultados de la atención, presentación y sabor de
los alimentos proporcionados por el servicio de nutrición en donde los usuarios
la refieren en forma excelente en 21 casos otorgando un 27.3%, con 24 usuarios
la definen como muy buena con un 31.2%, 27 casos la determinan como buena
lo que da un 35.1%, 4 de los encuestados la creen regular emitiendo un 5.% y
un solo caso como deficiente por ello es el 1.3%lo la muestra.
Tabla 13.
La orientación nutricional que le proporcionó el nutriólogo le pareció
Frecuencia
Válidos
Excelente
Muy bueno
Bueno
Regular
Deficiente
Total
21
24
27
4
1
77
Porcentaje
(%)
27.3
31.2
35.1
5.2
1.3
100.0
(%)
válido
27.3
31.2
35.1
5.2
1.3
100
(%)
acumulado
27.3
58.4
93.5
98.7
100.0
La tabla 14, evalúa el grado de satisfacción de la atención de la trabajadora
social en donde 29 de los casos la considera excelente por ello es el 37.7%, en
22 de estos la refieren como muy buena determinando un 38.6%, sumando un
66.2%, otros 22 casos la evalúan como buena y es el 28.6 %, 4 encuestados la
determinan como regular y en un 5.2%, del total.
39
Tabla 14.
La atención que recibió de la trabajadora social le pareció
Frecuencia
Válidos
Excelente
Muy bueno
Bueno
Regular
Total
29
22
22
4
77
Porcentaje
(%)
37.7
28.6
28.6
5.2
100.0
(%)
válido
37.7
28.6
28.6
5.2
100
(%)
acumulado
37.7
66.2
94.8
100.0
La tabla 15 analiza la información y orientación proporcionada por la trabajadora social refiriendo en 31 casos como excelente en un 40.3%, 23 de estos
como muy buena con un 29.9%, y 19 la evalúan como buena esto es el 24.7%,
sumando un 94.8% y solo 4 casos la considera regular dado un 5.2% de la
muestra.
Tabla 15.
La información y orientación que recibió de la trabajadora social fue
Frecuencia
Válidos
Excelente
Muy bueno
Bueno
Regular
Total
31
23
19
4
77
Porcentaje
(%)
40.3
29.9
24.7
5.2
100.0
(%)
válido
40.3
29.9
24.7
5.2
100
(%)
acumulado
40.3
70.1
94.8
100.0
La tabla 16 informa sobre la evaluación que realiza nuestro usuario en
referencia al ambiente fı́sico o área fı́sica, encontrando que en 24 casos la determinan como excelente por ello es el 31.2%, con 23 casos la determinan como
muy buena con un 29.9%, en 27 casos consideran que es buena lo que significa
un 35.1%, y 3 de los encuestados la definan como regular por ello es el 3.9%
40
Tabla 16.
El ambiente o área fı́sica del hospital le pareció
Frecuencia
Válidos
Excelente
Muy bueno
Bueno
Regular
Total
24
23
27
3
77
Porcentaje
(%)
31.2
29.9
35.1
3.9
100.0
(%)
válido
31.2
29.9
35.1
3.9
100
(%)
acumulado
31.2
61.0
96.1
100.0
La tabla 17, muestra los resultados el tiempo de espera para recibir atención
en cualquiera de los servicios proporcionados por esta unidad donde 22 de los
casos lo consideran excelente y significa el 28.6%, en 26 de usuarios lo determinan muy buena representando el 33.8%, como buena lo consideran bueno con
un 29.9%, y 6 usuarios lo definen como regular.
Tabla 17.
El tiempo de espera para recibir atención le pareció
Frecuencia
Válidos
Excelente
Muy bueno
Bueno
Regular
Total
22
26
23
6
77
Porcentaje
(%)
28.6
33.8
29.9
7.8
100.0
(%)
válido
28.6
33.8
29.9
7.8
100
(%)
acumulado
28.6
62.3
92.2
100.0
La tabla 18, muestra los resultados de evaluación hacia el servicio que
proporciona este hospital en donde 36 de los usuarios lo considera excelente
emitiendo un porcentaje del 46.8%, como muy bueno en 19 de los casos lo que
significa que es un 24.7%, y con 20 encuestados como bueno lo determina en
un 26.0%, y solo en 2 casos como regular lo que es un 2.6% de la muestra
encuestada.
41
Tabla 18.
El servicio que recibió en este hospital fue
Frecuencia
Excelente
Muy bueno
Bueno
Regular
Total
Válidos
36
19
20
2
77
Porcentaje
(%)
46.8
24.7
26.0
2.6
100.0
(%)
válido
46.8
24.7
26.0
2.6
100
(%)
acumulado
46.8
71.4
97.4
100.0
4.4- Regresión Lineal
En la tabla 19 se muestra los resultados de hacer una corrida de regresión lineal,
tomando como variable dependiente la pregunta 14: “El servicio que recibió en
este hospital fue” y como independientes las 13 preguntas restantes de la Escala
León - Valencia.
Tabla 19.
Resumen del modelo
Modelo
R
R cuadrado
1
.847a
.718
R cuadrado
corregida
.660
Error tip. de la
estimación
.528
a.
Variables predictoras: (Constante). El tiempo de espera para recibir atención le pareció.
La orientación nutricional que le proporcionó el nutriólogo le pareció. La atención de enfermerı́a le pareció, la información que le proporcionó la asistente médica fue. El tratamiento
proporcionado en este hospital fue. La valoración y el diagnóstico que realizó el nutriólogo le
pareció, La atención que recibió de la trabajadora social le pareció. La orientación recibida
sobre el auto cuidado de su salud por parte de la enfermera le pareció. La atención de la
asistente médica le pareció. La atención que recibió por el médico fue. La información y
orientación que recibió de la trabajadora social fue. El ambiente o área fı́sica del hospital le
pareció. Las instrucciones dadas por el médico fueron
Se observan, una R de 0.847 y una R cuadrada de 0.718, que para este
estudio exploratorio en busca de asociación de variables, permiten predecir con
un alto grado de precisión, que el nivel de satisfacción del usuario de los servicios
proporcionados por el Hospital Morelos, está en función directa al grado de
desempeño de los procesos prioritarios del mismo.
4.5 Análisis Multivariante
4.5.1 Análisis de Componentes Principales
El análisis en componentes principales es una técnica de reducción de la dimensionalidad. Su objetivo es explicar la mayor parte de la variabilidad total de un
conjunto de variables con el menor número de componentes posible.
42
Es un método geométrico de carácter descriptivo. Su objetivo es descubrir
la estructura subyacente en un conjunto de agrupaciones bajo una serie de
variables. (Levy 2008)
El objeto de realizar una corrida de Componentes Principales a los catorce
ı́tems de la Escala León-Valencia, es el de encontrar las relaciones subyacentes
que existen en los procesos prioritarios de los servicios que presta el Hospital
Morelos.
En la tabla 20 se muestran los resultados obtenidos.
Tabla 20.
Varianza total explicada
Se encontraron tres componentes principales, en términos del porcentaje
explicado de la varianza.
El primer componente representa 71.377 %.
El segundo componente explica 7.097 %
El tercer componente representa 4.717 %.
Lo anterior se observa de manera visual en la grafica de sedimentación, que
se muestra a continuación:
43
Gráfica 1.
Gráfico de sedimentación
4.5.2 Análisis Factorial
El análisis factorial tiene como objeto, simplificar las numerosas y complejas
relaciones que se pueden encontrar en un conjunto de variables observadas.
Para ello trata de encontrar dimensiones o factores que ponen en relación a las
variables aparentemente no relacionadas.
El método de análisis factorial es un procedimiento matemático mediante el
cual se pretende reducir la dimensión de un conjunto de variables obteniendo un
nuevo conjunto de variables más reducido, pero capaz de explicar la variabilidad
común encontrada en un grupo de individuos sobre los cuales se han observado
las variables originales.
Se trata de encontrar las variables fundamentales que intervienen en la
explicación de ciertos fenómenos. Se parece al análisis de componentes, sin embargo la diferencia fundamental consiste en que, el objetivo del análisis factorial busca encontrar relaciones matemáticas que permitan expresar las variables
originales a través de los factores comunes más los factores especı́ficos de cada
variable observada.
La aplicación de este método a la Escala León-Valencia hará posible explicar el comportamiento de sus catorce preguntas, en factores comunes y especı́ficos de cada una de ellas.
Lo anterior permitirá proponer un modelo de satisfacción del usuario del
Hospital Morelos en función de la Escala León-Valencia, para el caso de la
Clı́nica de Esquizofrenia y Hospital de Dı́a.
En la Tabla 21 se muestra la Matriz obtenida por el Método de Rotación
Kaiser Varimax, con siete iteraciones.
44
Tabla 21.
Matriz de componentes rotados
por parte de la enfermera le pareció
Combinando los resultados de los análisis multivariados de componentes
principales y factorial, se encuentra que el comportamiento de la aplicación de la
Escala León-Valencia a los procesos prioritarios de la Clı́nica de Esquizofrenia y
Hospital de Dı́a, del Hospital Morelos, está explicado en porcentajes de varianza
en función de tres factores.
Se encontró que en el primer factor están agrupados los siguientes conceptos: Atención e instrucciones del médico, tratamiento recibido; atención e
información de trabajo social, ası́ como el ambiente fı́sico del hospital, el tiempo
de espera y el servicio global del hospital con un 71.377%.
Es el factor con más componentes y con mayor peso especı́fico.
El segundo factor incorpora los siguientes aspectos: Atención e información
proporcionada por asistencia médica; ası́ como la valoración, el diagnóstico y la
orientación proporcionada por la nutrióloga, con un 7.097%.
Un tercer factor agrupa la atención y orientación proporcionadas por la
enfermerı́a con un 4.717 %.
5. Conclusiones
La Escala León-Valencia posee validez interna, por haber sido construida con
base al criterio de jueces por el Cuerpo de Gobierno del Hospital Morelos, lo
que le confiere confianza para realizar inferencias causales sobre la presente
investigación.
El coeficiente del Alfa de Cronbach obtenido de la aplicación de la Escala
León-Valencia a 77 individuos dados de alta de la Clı́nica de Esquizofrenia y
45
Hospital de Dı́a, durante el perı́odo enero-agosto del 2009, fue de 0.969, lo cual
le otorga a dicha Escala una consistencia interna y confiabilidad muy altas.
Por lo tanto, el análisis de los datos captados a través de la Escala León
Valencia le proporcionan al presente estudio, un sustento válido y confiable para
evaluar el grado de satisfacción de los usuarios de los servicios que ofrecen la
Clı́nica de Esquizofrenia y Hospital de Dı́a del Hospital Psiquiátrico Morelos.
El análisis de las frecuencias de las respuestas en escala Likert a los ı́tems
de la Escala León-Valencia muestra valores que tienen una tendencia hacia un
grado de satisfacción del usuario que se ubica en el rango de excelente y/o muy
bueno
Respecto a la regresión lineal, los valores obtenidos de R con 0.847 y de
R cuadrada con 0.718, para este estudio exploratorio en busca de asociación
de variables, permiten predecir que el servicio de la Clı́nica de Esquizofrenia y
Hospital de Dı́a proporcionado por el Hospital Morelos, está en función de los
trece primeros reactivos de la Escala León- Valencia de una manera consistente.
El análisis multivariado de componentes principales y factorial, muestra la
presencia de tres grandes factores en la Escala León-Valencia, en función de la
percepción del usuario de las Clı́nicas de Esquizofrenia y Hospital de Dı́a, del
Hospital Morelos.
El Primer Factor se puede denominar: Servicio Médico y de Trabajo Social,
con una explicación del 71.3 % del total de la varianza.
El Segundo Factor puede denominarse: Atención Complementaria con base
a la Asistencia Médica y de Nutrición, con una explicación de 7.09% del total
de la varianza.
El Tercer Factor se puede llamar: Servicios de Enfermerı́a, con una explicación del 4.7.% del total de la varianza.
Los 77 pacientes analizados provienen de servicios hospitalarios y/o de ser
manejados en sus Hospitales Generales de Zona, con 3 o más ingresos al servicio
de hospitalización tradicional y en un 5% son de primera vez.
Al integrarse a los programas prioritarios del Hospital Morelos, reciben
atención de los diversos profesionales, los cuales cumplen con su cometido, para
lograr el objetivo de ser y mantenerse como una alternativa a la problemática
de salud del usuario.
La atención que proporciona el médico-psiquiatra a sus pacientes es adecuada. Cuenta con tratamientos de vanguardia para proporcionar un manejo
farmacológico y terapéutico acorde a las necesidades del usuario.
El médico psiquiatra está en constante capacitación para brindar calidad y
un trato humano al paciente. A la vez es claro en las indicaciones e instrucciones
que proporciona al usuario.
Los pacientes identifican a la enfermera como su orientadora, que les proporciona un adecuado servicio. La enfermera es a la vez, un medio de comunicación entre el médico y la ergoterapia, con el objeto de que el usuario recupere
las capacidades deterioradas o perdidas.
La atención prestada por el servicio de nutrición es un proceso de educación
ante los hábitos alimenticios que tiene la población estudiada, ya sea por cultura
o ante la sintomatologı́a que presentan los pacientes.
46
La atención de tipo nutricional es adecuada, pero existe cierta resistencia
del paciente a percibirla como tal, por los factores mencionados. Adicionalmente
el usuario manifiesta cierta falta de apoyo, debido a la ingesta de neurológicos
de nueva generación, la cual en algunos casos no permite un adecuado control
del peso saludable del paciente.
La atención, información y orientación proporcionada por la trabajadora
social se considera de relevancia en estos procesos ante la problemática emocional y trastorno fı́sico que el usuario presenta, la cual no le permite identificar
de inicio, posibles alternativas de solución.
Trabajo Social es el vı́nculo entre la institución y la familia, para que
el derechohabiente se sienta atendido ante sus demandas e identifique que el
tratamiento otorgado por el Hospital Morelos, es una opción para que pueda
sentirse satisfecho.
El ambiente y tiempo de espera son medios que brindan bienestar, tanto
al paciente como al familiar que debe participar en este proceso.
Por las evidencias mostradas se concluye que:
Los servicios proporcionados por la Clı́nica de Esquizofrenia y Hospital
de Dı́a, del Hospital Psiquiátrico Morelos del IMSS, constituyen un modelo de
atención de vanguardia, confiable y de calidad, con el cual el usuario se siente
satisfecho en el rango de excelente y/o muy bueno.
Se reconoce que se identificaron áreas de oportunidad, sobre las cuales se
debe trabajar como equipo para lograr la excelencia, la cual es el objetivo del
Hospital Regional de Psiquiatrı́a Morelos como parte del Instituto Mexicano
del Seguro Social.
Referencias
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Elsevier Science .Madrid 1991. pp. 155-166.
Ckolb L. H. K. Brodie. “Psiquiatrı́a Clı́nica”. Editorial Interamericana.
México D.F. 1985 pp. 1-15.
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1982. pp 9-36.
Kaplan, H. “Sinopsis de Psiquiatrı́a”. Médica Panamericana . España 2001.
pp. 18-21.
León Castro. H.M. “Estigma y enfermedad mental. Un punto de vista histórico
social.”. Revista de Psiquiatrı́a y Salud Mental . 6 Número 1, Junio 2005.
pp. 33-42.
Levy, Jean-Pierre. “Análisis Multivariable para las Ciencias Sociales”. Pearson
. España 2008
Lewis B. “Social Science Research Methods”. Sage Publications . London
2004. p. 502.
Selesnick S. Alexander. “Historia de la psiquiatrı́as”. Espaxs . Barcelona 1966.
pag. 24-28.
Stern, T. “Manual de Psiquiatrı́a en Hospitales Generales”. Hart Court Brace.
España 1998, pp. 1-14.
Evaluación del Impacto del Mercado de
Derivados en los Canales de Transmisión
de la Polı́tica Monetaria en México:
metodologı́as VAR y M-GARCH
Elisa Yamazaki Tanabe ∗
José Carlos Ramı́rez Sánchez
∗∗
Recibido 30 de octubre 2009, aceptado 7 de enero 2010
Resumen
En el presente trabajo de investigación se estudian las implicaciones del mercado de derivados en las responsabilidades de polı́tica monetaria que tiene un
Banco Central, de tal forma que se pueda aumentar la transparencia en los mercados de derivados y desarrollar medidas para enfrentar los riesgos inherentes.
Utilizando modelos VAR y GARCH Multivariados se verifica el impacto del uso
de derivados de tasa de interés en la dilución de los canales de transmisión de
la polı́tica monetaria en México.
Abstract
This research paper seeks to explore some of the implications of the derivatives
markets in the monetary policy responsibilities that a Central Bank affords
in order to increase the transparency in the derivatives markets and develop
measures to address their inherent risks. Using VAR and Multivariate GARCH
methodologies, an empirical is used to verify the impact of the use of interest
rate derivatives in the dilution of the Mexican monetary policy channels.
Clasificación JEL: E52, C5, C32 y E44
Keywords: Polı́tica Monetaria, Series de Tiempo, Modelos VAR, Modelos GARCH Multivariados
∗
Alumno del doctorado en Ciencias Financieras, ITESM-CCM.
∗∗
Director Académico de la División de Negocios, ITESM-CCM.
48
1. Introducción
Desde mediados de 1970, el ritmo y la naturaleza de la innovación financiera han
cambiado dramáticamente. Se ha presentado mayor volatilidad en las tasas de
interés, tipo de cambio de libre flotación, niveles crecientes de endeudamiento
y desregulación financiera (principalmente la liberación del movimiento de
capital). Todos estos factores hicieron que se incrementara la demanda de la
innovación financiera.
Los rápidos avances en la tecnologı́a y la comunicación en conjunto con el desarrollo de la teorı́a financiera y el aumento de las negociaciones entre los activos
existentes, hicieron más evidente esta demanda. Los instrumentos derivados,
representan un ejemplo de las innovaciones que han modificado el comportamiento del mercado financiero en los años recientes. En este sentido, los
instrumentos derivados tienden a ser una consecuencia, mas que una causa de
la creciente volatilidad en el tipo de cambio y las tasas de interés. La proliferación de los mercados de instrumentos financieros derivados ha generado
interrogantes sobre el impacto que éstos pueden tener sobre los precios de los
mercados de bienes y capital. En particular, los derivados ofrecen posibilidades
de cobertura ante choques económicos adversos y decisiones de polı́tica, por lo
cual pueden diluir los canales de transmisión tradicionales de polı́tica monetaria.
Desde otro punto de vista, su constante desarrollo ha permitido llenar vacı́os
en los mercados financieros, uniendo aquellos tradicionalmente fraccionados, logrando una transmisión más rápida de los cambios que la polı́tica monetaria
induce a corto plazo en precios relativos.
En sı́ntesis, los derivados financieros pueden debilitar en ciertos casos los canales
de transmisión de la polı́tica monetaria en el corto plazo, y en general, permiten
una velocidad de transmisión mayor.
El objetivo de este documento es encontrar evidencia empı́rica que explique si
los instrumentos derivados, al ofrecer posibilidades de cobertura contra shocks
adversos de la economı́a y decisiones de polı́tica monetaria diluyen los canales
tradicionales de transmisión de polı́tica monetaria o la aceleran.
La literatura reciente cuenta con muy pocos trabajos que estudien el efecto
diluyente sobre los canales de transmisión de la polı́tica monetaria que se genera
por el uso de instrumentos derivados. Entre los más importantes, se resaltan
Fender (2000) para el caso de Estados Unidos y Vrolijk (1997) para el caso
británico.
En el primero, los derivados son modelados de manera implı́cita, y se usan
datos de la encuesta manufacturera norteamericana, con agrupaciones de empresas dependiendo del monto de sus activos. En el segundo, los derivados
aparecen de una manera explı́cita y se verifica su impacto sobre las variables
agregadas. Ambos trabajos usan la metodologı́a de vectores autorregresivos
(VAR), aunque los resultados son divergentes. Fender encuentra evidencia que
la presencia del mercado de derivados ha tenido un impacto estructural sobre
las decisiones de las empresas, en tanto que Vrolijk no encuentra evidencia de
que la implementación de estos instrumentos tenga efectos sobre los canales
de transmisión monetarios Británicos, argumentando que este resultado puede
derivarse del hecho de que el mercado financiero inglés fuera suficientemente
desarrollado previo a la aparición masiva de derivados, lo cual implica que el
efecto marginal de éstos es pequeño.
Evaluación del Impacto del Mercado
49
El presente artı́culo se encuentra organizado de la siguiente manera: la siguiente
sección presenta una breve conjetura teórica de los mecanismos de transmisión
de polı́tica monetaria en México ası́ como de los modelos de series de tiempo
multivariados. La sección empı́rica utiliza un modelo de vectores autorregresivos
y GARCH multivariado aplicado para el caso de México. La última sección
concluye el documento de investigación analizando los resultados obtenidos ası́
como las futuras lı́neas de investigación generadas a partir de los resultados.
2. Mecanismos de Transmisión de Polı́tica Monetaria
Los bancos centrales son las autoridades responsables de proveer de moneda y
de instrumentar la polı́tica monetaria. Esta última está asociada al conjunto de
acciones a través de las cuales la autoridad monetaria determina las condiciones
bajo las cuales proporciona el dinero que circula en la economı́a, con los cuales
influye en el comportamiento de la tasa de interés de corto plazo.
La mejor contribución que la polı́tica monetaria puede hacer para fomentar el
crecimiento económico sostenido es procurando la estabilidad de precios. Por
tanto, en años recientes muchos paı́ses, incluyendo a México, han reorientado
los objetivos de la polı́tica monetaria de forma que el objetivo prioritario del
banco central sea el procurar la estabilidad de precios. Ese objetivo se ha
formalizado, en la mayorı́a de los casos, con el establecimiento de metas de
inflación en niveles bajos.
Al respecto, es importante mencionar que el banco central no tiene un control
directo sobre los precios ya que éstos se determinan como resultado de la interacción entre la oferta y demanda de diversos bienes o servicios. Sin embargo,
a través de la polı́tica monetaria el banco central puede influir sobre el proceso
de determinación de precios y ası́ cumplir con su meta de inflación.
En general, los bancos centrales conducen su polı́tica monetaria afectando las
condiciones bajo las cuales satisfacen las necesidades de liquidez en la economı́a,
lo que podrı́a definirse como la primera etapa del mecanismo de transmisión.
Esto se lleva a cabo a través de las condiciones bajo las cuales la autoridad monetaria proporciona dicha liquidez a los participantes en el mercado de
dinero, ya sea mediante modificaciones en algunos rubros del balance del banco
central o con algunas medidas que influyan de manera más directa sobre las
tasas de interés.
Los principales elementos de la segunda etapa del mecanismo de transmisión
se pueden dividir para su explicación en cuatro canales a través de los cuales
la tasa de interés de corto plazo puede influir sobre la demanda y la oferta
agregada y posteriormente los precios.
• Canal de Tasas de Interés
En general, las tasas de mediano y largo plazo dependen, entre otros factores, de la expectativa que se tenga para las tasas de interés de corto plazo en
el futuro. Ası́, cuando el banco central induce cambios en las tasas de interés
de corto plazo, éstos pueden repercutir en toda la curva de tasas de interés. Es
importante destacar que las tasas de interés nominales a diferentes horizontes
también dependen de las expectativas de inflación que se tengan para dichos
plazos (a mayores expectativas de inflación, mayores tasas de interés nominales).
En general, ante un aumento en las tasas de interés reales se desincentivan los
50
rubros de gasto en la economı́a. Por un lado, al aumentar el costo del capital
para financiar proyectos, se desincentiva la inversión. Por otro, el aumento en
las tasas de interés reales también aumenta el costo de oportunidad del consumo, por lo que éste tiende a disminuir. Ambos elementos inciden sobre la
demanda agregada y eventualmente la inflación.
• Canal de Crédito
Un aumento en las tasas de interés disminuye la disponibilidad de crédito
en la economı́a para inversión y consumo. Por una parte, el aumento en las tasas
de interés encarece el costo del crédito y la cantidad demandada del mismo disminuye. Por otra, la oferta de crédito también puede reducirse, en virtud de
que una tasa de interés real mayor puede implicar mayor riesgo de recuperación
de cartera, a lo que los intermediarios financieros tı́picamente reaccionan racionando el crédito. La disminución del consumo y la inversión se traduce a su vez
en una disminución en la demanda agregada y consecuentemente en una menor
inflación.
• Canal del Tipo de Cambio
El aumento en las tasas de interés suele hacer más atractivos los activos
financieros domésticos en relación a los activos financieros extranjeros. Esto
puede dar lugar a que se presente una apreciación del tipo de cambio
nominal que puede dar lugar a una reasignación del gasto en la economı́a. Ello
debido a que el referido ajuste cambiario tiende a abaratar las importaciones
y a encarecer las exportaciones. Ello tiende a disminuir la demanda agregada
y eventualmente la inflación. Por otra parte, la apreciación del tipo de cambio
significa una disminución en el costo de los insumos importados a su vez que se
traduce en menores costos para las empresas, lo que afecta favorablemente a la
inflación.
• Canal del Precio de Otros Activos
Un aumento en las tasas de interés tiende a hacer más atractiva la inversión
en bonos y disminuye la demanda de acciones, por lo que el valor de mercado
de estas últimas, ası́ como el de otros activos puede disminuir. Ante la caı́da en
el valor de mercado de las empresas, éstas pueden ver deteriorada su capacidad
para acceder a diversas fuentes de financiamiento, lo cual dificulta la realización
de nuevos proyectos de inversión. Lo anterior también conduce a una menor
demanda agregada y a una disminución en la inflación.
• Canal de Expectativas
Las decisiones de polı́tica monetaria tienen efectos sobre las expectativas
acerca del desempeño futuro de la economı́a y, en particular, el de los precios.
Es precisamente con base en dichas expectativas que los agentes económicos realizan el proceso por el cual determinan sus precios. A su vez, las expectativas
de inflación tienen efectos sobre las tasas de interés y éstas sobre la demanda
y la oferta agregada a través de los canales mencionados anteriormente. Para
ilustrar el papel que tienen las expectativas de inflación en la economı́a es importante destacar que las previsiones sobre costos e ingresos futuros de las empresas
son muy importantes para determinar los precios y nivles de producción de los
bienes y servicios que éstas ofrecen.
Finalmente, es importante destacar que los diferentes canales por los cuales
se transmiten los efectos de la polı́tica monetaria a la economı́a suelen com-
51
plementarse entre sı́, ya que operan de manera simultánea. Cabe señalar que
existen canales adicionales a través de los cuales la polı́tica monetaria influye
sobre el comportamiento de la inflación, sin embargo, los antes descritos son los
de mayor relevancia.
3. Modelos de series de tiempo multivariadas
Esta sección inicia abordando los conceptos básicos de series de tiempo multivariadas con objeto de introducir el marco de referencia necesario para realizar una breve incursión en los procesos multivariados VARMA y M-GARCH.
En particular, una subfamilia de los primeros, popularmente conocida como
VAR, será utilizada para modelar la media condicional de las variables macrofinancieras analizadas en este trabajo de investigación. Para el caso de los
modelos M-GARCH, se revisan las especificaciones que serán utilizadas para
capturar los efectos multivariados de la volatilidad (y de correlación dinámica).
Un modelo de series de tiempo multivariadas es un proceso estocástico (Xt )t∈Z ,
i.e. una familia de vectores aleatorios, indizado por los enteros y definido sobre
algún espacio de probabilidad (Ω, ℑ, P ).
Para cada t, s ∈ Z denotemos por µ(t) = E(Xt ) y Γ(t, s) = E((Xt −
µ(t))(Xt −µ(t))′ ) a las funciones del vector de medias y la matriz de covarianzas,
respectivamente. De manera análoga al caso univariado Γ(t, s) = Cov(Xt ), sin
embargo, Γ(t, s) = Γ(s, t)′ .
Definición 1. La serie multivariada (Xt )t∈Z es estacionaria estricta si
(Xt′1 , ..., Xt′n )d = (Xt′1 +k , ..., Xt′n+k ) para todo t1 , ..., tn ∈ Z y cualquier n ∈ N .
Definición 2. Se dice que la serie multivariada (Xt )t∈Z es estacionaria en
covarianza si µ(t) = µ y Γ(t, s) = Γ(t + k, S + k) para cualesquiera t, s, k ∈ Z.
Una serie multivariada estacionaria estricta con varianza finita es también
estacionaria en covarianza, sin embargo, es posible definir procesos con varianza
infinita que sean estacionarios en el sentido estricto pero no en covarianza.
La definición de covarianza estricta implica que Γ(t − s, 0) = Γ(s, t), ası́
que la covarianza entre cualesquiera dos observaciones depende solamente de
su separación temporal h = t − s, conocida como rezago. Para un proceso
estacionario en covarianza escribimos Γ(h) = Γ(h, 0), h ∈ Z, denotando a la
matriz de covarianza como función de una sola variable.
Para expresar la relación entre una matriz de covarianza Σ y su matriz de
correlación asociada P , resulta útil definir los operadores
1/2
1/2
∆(Σ) = diag(Σ11 , ..., Σdd )
(1)
℘(Σ) = (∆(Σ))−1 Σ(∆(Σ))−1 ,
(2)
con lo que la relación entre P y Σ queda dada por P = ℘(Σ).
Notando que Γ(0) = cov(Xt ), se define a la matriz de correlación como
P (h) = ∆−1 Γ(h)∆−1 , h ∈ Z, donde el operador ∆(·) está dado por (1).
Como en el caso univariado, los procesos de ruido blanco multivariados son
la base de construcción para modelos más sofisticados.
52
Definición 3. Se dice que (Xt )t∈Z es un ruido blanco multivariado si es
estacionario en covarianza con matriz de correlación
P, h = 0
P (h) =
0, h 6= 0
para alguna matriz de correlación P definida positiva.
Un proceso de ruido blanco con media cero y matriz de covarianza Σ =
cov(Xt ) se denotara por W N (0, Σ). En el caso en que (Xt )t∈Z son vectores
independientes e idénticamente distribuidos con matriz de covarianza finita se
dice que el proceso es un ruido blanco estricto y se denota como SW N (0, Σ).
La generalización de los populares modelos de series de tiempo ARMA para
dimensiones mayores está dada en la definición siguiente:
Definición 4 (VARMA). Sea (εt )t∈Z un W N (0, Σε ). El proceso (Xt )t∈Z
es un VARMA(p,q) con media cero si es estacionario en covarianza y satisface
ecuaciones en diferencia de la forma
q
Xt − ΣP
i=1 ΦXt−i = εt + Σj=1 Θj εt−j , t ∈ Z
(3)
para matrices de parámetros Φi y Θj en ℜd×d . (Xt ) es un proceso VARMA
con media µ si el proceso centrado (Xt − µ)T ∈Z es un VARMA(p,q) con media
cero.
Para fines prácticos, se consideran solamente los procesos VARMA
causales, es decir, aquellos que admiten representación de la forma Xt =
d×d
Σ∞
con componentes
i=0 Ψε′ t−i , , donde (Ψi ) es una sucesión de matrices en ℜ
absolutamente sumables, es decir, que para toda j y k, Σ∞
|
i=0 Ψi,jk |< ∞. En
′
este caso, la matriz de covarianza está dada por Γ(h) = Σ∞
i=0 Ψi+h Σε Ψi , h =
0, 1, 2, ... Las condiciones para que un proceso VARMA tenga la representación
causal son similares al caso univariado (ARMA).
En la práctica, los modelos completos VARMA son menos comunes que
sus casos particulares VAR y VMA, una de las razones más inmediatas son
los problemas de identificabilidad de parámetros que surgen al momento de la
estimación de los parámetros (ver Tsay 2002). De estas dos subfamilias, los
modelos VAR son más fáciles de estimar.
Las alternativas de ajuste para los modelos VAR van desde estimación
multivariada por mı́nimos cuadrados sin condiciones muy fuertes sobre la distribución subyacente del proceso de ruido blanco, hasta estimación por máxima
verosimilitud completa.
Con los procesos ARMA multivariados (VARMA) es posible modelar adecuadamente la media condicional del proceso, sin embargo, cuando los segundos
momentos de las observaciones tienden a mostrar dependencia del tiempo
(heterocedasticidad) existe un grupo de modelos de series de tiempo multivariadas que permiten modelar la dinámica de la matriz de covarianza condicional:
Definición 5 (M-GARCH). Sea (Zt )t∈Z un SW N (0, Id ). Se dice que el
proceso (Xt )t∈Z es un GARCH multivariado si
(1/2)
Xt = Σt
, t ∈ Z,
(4)
53
1/2
donde Σt ∈ ℜd×d es la descomposición de Cholesky de una matriz definida
positiva Σt que es medible con respecto a ℑt−1 = σ((Xs )s≤t1 ), la historia del
proceso hasta el tiempo t − 1.
Mediante cálculos muy directos se puede verificar que E(Xt | ℑt−1 ) = 0
(propiedad de diferencia martingala) y que cov(Xt | ℑt−1 ) = Σt . En este sentido, a Σt se le conoce como matriz de varianza condicional, y corresponde al
cuadrado de la volatilidad σt2 en el caso del GARCH univariado. Si se denotan
√
por σt,ij a los elementos de Σt y usando la notación σt,i =
σt,i,i,
la correspondiente matriz de correlación condicional Pt satisface Σt = ∆t Pt ∆t ,
donde ∆ ≡ ∆(Σt ) = diag(σt,1 , ..., σt,d). A ∆t se le conoce como matriz de
volatilidades, mientras que a P t se le refiere como la matriz de correlación
condicional. Los modelos de series de tiempo que se utilizarán en este trabajo de investigación consideran dos casos especı́ficos sobre la distribución del
proceso del ruido blanco. El más utilizado, en el que los residuales tienen
distribución Gaussiana multivariada (Zt ∼ Nd (0, Id )), ası́ como uno
más realista para el caso de observaciones de alta frecuencia, una distribución
esférica apropiadamente escalada, a saber, la distribución t de Student multivariada (Zt ∼ td (ν − 2)Id /ν)). De hecho, cualquier distribución con media
cero y matriz de covarianza Id es candidato, ası́ como casos apropiados de las
distribuciones de mezcla Normal y de las Esféricas.
A continuación se presentan las especificaciones más importantes para
GARCH multivariado que se utilizarán para modelar las series económico financieras incluidas en las secciones siguientes. Algunos aspectos importantes
a considerar en los modelos que se presentan son la forma de las ecuaciones
de las dinámicas, las condiciones necesarias para que la matriz de covarianza
condicional Σt sea definida positiva, la parsimonia de las parametrizaciones, ası́
como los métodos de estimación de los modelos.
Un modelo popular que es relativamente parsimonioso es aquél en el que
la matriz de correlaciones Pt se supone constante para toda t, llamado de correlación condicional constante (CCC):
Definición 6 (CCC-GARCH). El proceso (Xt )t∈Z es un proceso CCCGARCH si es un proceso con la estructura general dada como en la Definición 5
tal que su matriz de covarianza condicional es de la forma Σt = ∆t PC ∆t , donde
PC es una matriz constante definida positiva y ∆t es una matriz diagonal de
volatilidades con elementos σt,k que satisfacen la ecuación
2
2
2
k
k
βk,j σt−i,k
, k = 1, ..., d
αk,i Xt−i,k
+ Σqj=i
σt,k
= αk,0 + Σpi=1
(5)
donde αk,0 > 0, αk,i ≥ 0, i = 1, ..., pk, βkj ≥ 0, j = 1, ..., qk.
El proceso CCC-GARCH está bien definido en el sentido de que la matriz
k
Σt es positiva definida, y más aún, es estacionario en covarianza si Σpi=1
αki +
k
βkj < 1. Esta especificación de M-GARCH representa una manera simple
Σqj=1
de combinar procesos GARCH univariados, de hecho, las observaciones están
1/2
conectadas con los errores por las ecuaciones Xt = ∆t PC Zt , que se pueden
et )t∈Z un proceso SW N (0, Pc ). Claramente
reescribir como Xt = ∆t Zet para (Z
cada componente sigue un proceso GARCH univariado.
El modelo CCC es un buen punto de partida para migrar luego a modelos
más complejos. Aunque en algunos análisis empı́ricos puede dar un desempeño
54
adecuado, en general se considera que la constancia de la correlación condicional en este modelo es una caracterı́stica poco realista y que el impacto de
las noticias en los mercados financieros requiere de modelos que permitan algún
tipo de evolución dinámica tanto de la correlación condicional como de las
volatilidades. Una crı́tica, que aplica a la mayorı́a de las especificaciones de MGARCH, es el hecho de que la dinámica de la volatilidad (1) no da posibilidad
a que los rendimientos extremos en alguna componente de la serie contribuyan
a incrementar la volatilidad en las observaciones futuras de otra componente.
La estructura de la especificación CCC permite llevar a cabo métodos de
ajuste en dos etapas. Primero se ajustan modelos GARCH univariados a cada
componente de la serie (se puede incluso extender la dinámica de las volatilidades individuales usando modelos GARCH univariados más sofisticados) y enˆ t se construyen las series desvolatilizadas Ŷt = ∆
ˆ −1 Xt
tonces con el estimador ∆
t
sobre la que se estima la matriz de correlaciones Pc (mediante el estimador
tradicional o bien con algún otro método más robusto).
El llamado modelo de correlación condicional dinámica (DCC), generaliza
a la especificación CCC en el sentido de que permite que las correlaciones condicionales sigan cierta dinámica bajo un esquema parsimonioso, pero se construye
de manera que permite estimación en etapas usando GARCH univariados:
Definición 7 (DCC-GARCH). El proceso (Xt )t∈Z es un proceso DCCGARCH si es un proceso dado como en la Definición 5 cuyas volatilidades
∆t siguen especificaciones GARCH univariadas como en (1) y las matrices de
correlación condicional Pt satisfacen, para toda t, las ecuaciones
′
Pt = ℘((1 − Σpt=1 αi − Σqj=1 βj )Pc + Σpi=1 αi Yt−i Yt−i
+ Σqj=1 βj Pt−j ),
(6)
donde Pc es una matriz de correlación definida positiva, ℘ es el operador dado en
(2), Yt = ∆−1
t Xt denota al proceso desvolatilizado, y los coeficientes satisfacen
α ≥ 0, βj ≥ 0 y Σpi=1 αi + Σqj=1 βj < 1.
En el caso en que los coeficientes αi y βj son cero, el modelo se reduce
al CCC-GARCH. La dinámica dada por la ecuación 6 permite que garantizar
que Pt sea positiva definida (para lo cual basta con que Pt−q , ..., Pt−1 sean
positivas definidas). Aunque la matriz Pc puede ser estimada ajustando un
modelo DCC a los datos por máxima verosimilitud en un solo paso, es bastante
común ajustar GARCH univariados a las componentes de la serie para estimar
la matriz de volatilidades y entonces construir las series desvolatilizadas como en
el modelo CCC para luego usar algún estimador de la matriz de correlaciones y
finalmente estimar los parámetros restantes αi y βj de la ecuación (6) ajustando
1/2
por máxima verosimilitud un modelo con estructura Yt = Pt Zt a los datos
desvolalitizados.
Existe un grupo de especificaciones M-GARCH más generales que modelan
explı́citamente la dinámica de la matriz de covarianza condicional. Estos modelos no están diseñados para estimación en etapas basadas en ajustes de GARCH
univariados a las componentes de la serie, sino que es necesario maximizar la
verosimilitud mediante métodos numéricos como el Newton-Rapson modificado
dado en Berndt et a. (1974) (existe poca literatura sobre las propiedades de
los estimadores de máxima verosimilitud de los modelos M-GARCH pero se
recomiendan Jeantheau, 1998).
55
Definición 8 (VEC-GARCH). (Xt )t∈Z es un proceso VEC-GARCH si tiene
la estructura general dada en la Definición 5 y la dinámica de la matriz de
covarianza condicional Σt está dada por las ecuaciones
′
) + Σqj=1 B̄j vech(Σt−j ),
vech(Σt ) = A0 + Σpi=1 Āi vech(Xt−i Xt−i
(7)
para un vector a0 ∈ ℜd(d+1)/2 y matrices Āi y B̄j en ℜ(d(d+1)/2)×(d(d+1)/2) .
En esta definición vech denota al operador que extrae el vector columna
formado por las columnas de la parte triangular inferior de una matriz simétrica.
En este modelo tan general el número de parámetros es (1 + (p + q)d(d +
1)/2)d(d + 1)/2, el cual crece rápidamente con la dimensión de la serie de datos.
Una de las simplificaciones más comunes es restringir la atención al caso en que
Âi y B̂j son matrices diagonales, que arroja el llamado VEC diagonal (DVEC)
en el que la ecuación (7) puede escribirse de manera más elegante usando el
producto de Hadamard para matrices (elemento a elemento)
′
) + Σqj=1 Bj ◦ (Σt−j )
Σt = A0 + Σpi=1 Ai ◦ (Xt−i Xt−i
(8)
donde A0 y las Ai y Bj son matrices simétricas en ℜd×d tales que A0 tiene
elementos positivos en la diagonal y las demás matrices elementos no negativos
en su diagonal. La representación (8) muestra las similitudes estructurales
entre el modelo DVEC y la conocida definición de GARCH univariado. Como
se comentaba arriba, igual que para los modelos CCC y DCC, la volatilidad de
alguna de las componentes sólo afecta a valores rezagados de la misma y no ası́
a los valores rezagados de otras componentes; el VEC más general pero sobre
parametrizado podrı́a resolver este problema.
Una manera de asegurar que Σt dada por el modelo DVEC (8) sea positiva
definida casi seguramente es que todas las matrices A0 , A1 , ..., Ap, B1 , ..., Bq
sean definidas positivas. En la práctica se puede parametrizar el modelo DVEC
1/2
1/2
1/2
en términos de matrices triangular inferiores de Cholesky A0 , Ai y Bj .
Más aún, el número de parámetros del modelo puede reducirse si se consideran
parametrizaciones mucho más simples, como por ejemplo,
Ai = ai a′i y Bj = bj b′j
(9)
donde ai y bj son vectores en ℜd , o más aún, simples constantes positivas
Ai = ai Id y Bj = bj Id .
(10)
Por último, se presenta el modelo de Baba, Engle, Kroner y Kraft (BEKK),
que tiene la gran ventaja de que su construcción asegura que la matriz Σt es
definida positiva sin necesidad de imponer restricciones adicionales.
Definición 9 (BEKK-GARCH). (Xt )t∈Z es un proceso BEKK-GARCH si
tiene la estructura general dada en la Definición 5 y la matriz de covarianza
condicional Σt satisface, para toda t,
′
Σt = A0 + Σpi=1 A′i Xt−i Xt−i
Ai + Σqj=1 Bj′ Σt−j Bj ,
(11)
56
donde todas las matrices de coeficientes están en ℜd×d y es A0 es simétrica y
definida positiva.
A diferencia de las especificaciones de M-GARCH anteriores, el modelo
BEKK permite que las volatilidades de las componentes individuales de la serie
sean afectadas por rezagos de las observaciones del resto de las componentes.
El modelo BEKK parece tener dinámicas más ricas que el modelo DVEC por
tener más parámetros, sin embargo, nótese que éste último no se puede obtener
como caso particular del BEKK. Engle y Kroner (1995) originalmente dieron
una definición más amplia de la especificación BEKK, la cual incluye a todos
los modelos DVEC pero aunque ha resultado interesante desde el punto de vista
teórico tiende a ser bastante compleja para aplicaciones prácticas.
Una manera alternativa para reducir la dimensión del modelo a utilizar
(y ası́ el número de parámetros a estimar), consiste en utilizar técnicas de
modelos de factor. Para esto es muy importante determinar si los factores son
identificados a priori y tratados como variables exógenas observables, o si más
bien son tratados como variables latentes y entonces construidas a partir de
los datos. Una alternativa es extender la idea de componentes principales al
contexto de series de tiempo.
Definición 10 (PC-GARCH). El proceso (Xt )t∈Z es un proceso PC-GARCH
(o GARCH ortogonal) si existe una matriz ortogonal Γ ∈ ℜd×d satisfaciendo
ΓΓ′ = Γ′ Γ = Id tal que (Γ′ Xt )t∈Z sigue un proceso CCC-GARCH con
correlación condicional constante la matriz identidad (modelo GARCH diagonal
puro).
Para este tipo de modelos se tiene que (Xt = Γ∆t Zt , donde ∆t es una matriz diagonal de volatilidades y (Zt )t∈Z un SW N (0, Id ); su matriz de covarianza
condicional es Σt = Γ∆2t Γ′ .
En general, podemos resumir las implicaciones prácticas de las especificaciones de M-GARCH presentadas arriba: el modelo general VEC es interesante
sólo desde el punto de vista teórico; los modelos BEKK y los DVEC generales
pueden ser útiles sólo para dimensiones muy pequeñas; el resto de los modelos
son los más utilizados en la práctica.
4. Análisis Preliminar de las series
En este apartado se presenta un análisis preliminar de las series de datos
económicos y financieros que se utilizaran para calibrar los modelos ARMA y
GARCH multivariados abordados en la sección anterior. Como primer propósito
se tiene el de identificar transformaciones adecuadas sobre éstos para trabajar
ya sea con series de tiempo estacionarias o bien integradas con orden de integración bien identificado. Se implementan diversas pruebas de raı́ces unitarias
cuyos resultados se encuentran en el Apéndice.
Las series utilizadas tienen una periodicidad mensual. Los datos de los
agregados monetarios, la tasa de interés interbancaria de equilibrio a 28 dı́as
(TIIE28), la base monetaria, los costos de captación, de fondeo ası́ como el tipo
de cambio peso dólar y la inflación, provienen de los indicadores económicos
del Banco de Mexico; la variable del IPC es generada por el INEGI; la serie
de riesgo paı́s se tomó una parte del ı́ndice EMBI (Emerging M arkets Bond
Index) generado por JP Morgan; la expectativas de inflación se tomaron de la
encuesta de Infosel.
57
A continuación se presentan las gráficas de las variables a utilizar considerando todos los datos disponibles para cada serie. Para efectos de la aplicación del modelo, se elegirá una muestra común.
Series de tiempo económico-financieras utilizadas.
A diferencia del resto de las series presentadas, para el caso del PIB, la información disponible se encuentra en forma trimestral, por lo que fue necesario
probar algún método de desagregación para replicar la serie en datos mensuales. Se aplicó un método no paramétrico basado en una interpolación de splines
cúbicos, ası́ como también un segundo, propuesto por Chow y Lin (1971), que
tiene su base en un método de ajuste por mı́nimos cuadrados generalizados.
Una de las ventajas de este último método es que permite incorporar el comportamiento de alguna variable cuya frecuencia coincida con la que se desea
transformar la serie original. La variable utilizada es el Índice del Volumen de
Producción Industrial (IVP), el cual se publica mensualmente y funciona como
un indicador temprano de la producción. Las dos figuras siguientes muestran las
gráficas de dispersión entre el IVP y las estimaciones de PIB mensual obtenidas
58
por ambos métodos. Se decidió utilizar los datos obtenidos con el método de
Chow y Lin dado el sentido económico que hace la relación positiva obtenida
con el indicador temprano del nivel de producción interna, el IVP.
Desempeño de los métodos de desagregación por
Splines cúbicos y Chow para el PIB.
Como parte del análisis preliminar de los datos, se realizaron diversas pruebas de raı́ces unitarias, desde las conocidas Dickey-Fuller aumentada (ADF),
Philips Perron (PP) y Kwiatkowski, Phillips, Schmidt y Shin (KPSS) hasta las
llamadas pruebas eficientes de Elliot, Rothenberg y Stock (ERS), Dickey-Fuller
por mı́nimos cuadrados generalizados (DF-GLS) y la prueba PP modificada.
Este último grupo de pruebas eficientes fueron utilizadas con el objeto de contar con reglas de decisión más potentes para probar de manera más robusta y
óptima si las series originales o bajo alguna transformación presentaban alguna
raı́z unitaria. En el Apéndice se encuentran los resultados obtenidos en cada
prueba. Las transformaciones bajo las cuáles las series resultaron ser integradas
de orden 1, se resumen en la siguiente tabla.
Transformaciones bajo las cuales las series resultan ser I(1)
Variable
PIB
OBJ
ON
GUB
TIIE
M1
TC
INF
DER
EINF
RP
Transformación
ln(P IBt )
ln(T asaObjetivot )
ln(T asaOvernightt )
ln(F ondeoGubernamentalt )
ln(T IIE28t )
(ln(M 1t ) − ln(M 1t−2 ))
ln(T Ct )
Inflcaciont
V oldederivadost
ln(ExpectativasInflaciont )
ln(RiesgoP aist )
59
5. Implementación metodologı́a VAR
5.1 Primer modelo
Como primer modelo se propone incorporar en un modelo de VAR el producto
interno bruto P IBt , la inflación IN Ft , la tasa objetivo OBJt fijada por el
Banco Central y el volumen de derivados DERt . El objetivo de dicho modelo
se centrará en averiguar la posible existencia de los cambios en la polı́tica de
transmisión a la inflación debido al uso de derivados. La transmisión de la
polı́tica monetaria a la economı́a son reflejados por el P IBt y IN Ft , al tiempo
que la OBJt representa la polı́tica monetaria.
El orden de causalidad ente las variables determina los efectos contemporáneos entre las variables. En el análisis de las funciones de impulso respuesta
se deberán considerar los efectos generados por el orden en la causalidad.
Cointegración
Para determinar consistentemente algún vector de cointegración se utilizará
la metodologı́a de Johansen (1988). El número de rezagos óptimo de la estructura VAR es de 1 rezago y se obtiene minimizando el criterio BIC. Entonces la
longitud del número de rezagos para el VECM es 0. Dado que las series parecen
fluctuar alrededor de cierta constante, se considera el caso II de un modelo con
constante restringida y se implementan las pruebas LR de Johansen.
Cuadro. Valores de los estadsticos de la prueba LR de Johansen.
En cada uno de los renglones de la tabla se muestran los valores de las
estadı́sticas de prueba para Traza y Máximo para probar la hipótesis nula r = r0
(la primera estadı́stica para contrastarla contra la hipótesis alternativa r > r0 ,
mientras que la segunda para contrastar contra r = r0 Para el caso r0 = 0,
los resultados indican que se rechaza la hipótesis nula de que no existe vector
de cointegración, y por lo tanto, existe al menos un vector de cointegración.
Continuando el análisis para los diferentes casos, se rechaza la hipótesis nula
r0 = 1 (al nivel de 1% para ambas estadı́sticas). Finalmente, no se encontró
evidencia estadı́stica para rechazar r0 = 2 para ninguna de las estadı́sticas.
Se concluye pues, que se encuentra evidencia de que las variables en cuestión
tienen dos vectores de cointegración. Se lleva a cabo la prueba de hipótesis con
restricciones lineales sobre el vector de cointegración. La siguiente tabla resume
los resultados de constrastar la hipótesis nula de que los coeficientes del vector
de cointegración son no significativos.
Cuadro. Resultados de contrastar H0.
H(1)
H(2)
H(3)
H(4)
Estadı́stica
2.7201
23.4964
30.5261
33.1404
Distribución
Chi-square
Chi-square
Chi-square
Chi-square
Grados de libertad
1
2
3
4
P-value
0.0991
0
0
0
60
La restricción H(1) se rechaza a un nivel de significancia del 10%, mientras
que las demás restricciones incluso al 1%. Se concluye que todos los coeficientes
del vector de cointegración son significativos.
Las siguientes figuras muestran las gráficas de serie de tiempo y las ACF y
FAC del modelo de corrección de errores (MEC). Se prueban los casos de uno
y dos vectores de corrección de errores.
Serie de Tiempo, ACF y FAC con uno vector de cointegración.
Serie de Tiempo, ACF y FAC con uno vector de cointegración.
Utilizando un solo vector de cointegración, la gráfica de los residuales cointegrados muestra que éstos parecen ser ruido blanco, no ası́ cuando se utilizan
dos vectores de cointegración.
Se decide utilizar un solo vector de corrección de errores y se realizan
predicciones para los próximos doce meses de cada una de las variables del
MCE:
61
Fig Predicciones mediante Simulación MonteCarlo.
En este apartado se muestran las funciones de impulso respuesta
ante shocks en los errores de las variables considerando el orden de
causalidad P IB → IN F → OBJ → DER obtenida a través de la metodologı́a
de Granger.
Fig. Impacto sobre el PIB.
De la gráfica anterior podemos observar que ante la fuerte subida del PIB
desde el primer periodo por shocks en la misma variable, el efecto mostrado
bajo la presencia de derivados decrece más lento a cero para los primero 30
meses posteriores al shock. El mismo comportamiento se encuentra cuando
los shocks que provienen de la inflación producen una disminución en el PIB
que después de 5 meses inicia un perı́odo de recuperación que se extiende más
allá de los tres años. En el caso de perturbaciones de la tasa objetivo, el PIB
reacciona negativamente de manera menos drástica cuando el modelo incorpora
a los derivados pero su recuperación para estabilizarse en cero es más bastante
más lenta que cuando el modelo no incorpora a los derivados. Los efectos de
shocks de la inflación y tasa objetivo sobre el PIB no muestran diferencias
significativas entre la presencia y ausencia de los derivados en el modelo.
62
Fig . Impacto sobre la Inflación.
El impacto que tienen los shocks en el PIB sobre la inflación son negativos
en ambos modelos, sin embargo la dinámica de estabilización se da de manera
diferente. Cuando se incorporan los derivados en el modelo, existe una tendencia
de inflación a la baja durante los primeros cuatro meses e inmediatamente
después un pronunciado mecanismo de estabilización de la inflación la lleva a
un nivel de cero a los 10 meses. A diferencia de esto, cuando los derivados no
participan en el modelo, la caı́da de inflación inicia una recuperación sostenida
desde el primer mes pero a una velocidad más lenta que la sitúa estable al cabo
de 15 meses. Los impactos que sobre la inflación tienen los shocks de ella misma
y los de la tasa objetivo son casi idénticos tanto en el modelo que incorpora a
los derivados como en el que no lo hace.
Fig . Impacto sobre la Tasa Objetivo.
En la gráfica se aprecian movimientos diferenciados entre los impactos que
sobre la tasa objetivo tienen los shocks del PIB. Cuando los derivados son incorporados en el modelo el efecto positivo producido desde el primer mes alcanza
el nivel cero a los cinco meses pero muestra un periodo posterior de 5 meses en
el que alcanza niveles negativos para posteriormente lograr la estabilidad sobre
un nivel positivo que aparentemente no desaparece en el corto plazo que supera
por mucho a los 3 años. A diferencia de esto, ante la ausencia de derivados en el
63
modelo el efecto positivo inicial se estabiliza gradualmente al cabo de 20 meses.
Se ha encontrado evidencia de que las variaciones o shocks de ciertas
variables como el PIB tienen efectos bien diferenciados sobre él mismo, la inflación y la tasa objetivo (elementos centrales de la polı́tica monetaria) cuando
los derivados sı́ son considerados en el modelo. Estos efectos, son observados
con menos fuerza en el segundo modelo.
5.2 Segundo Modelo
Con el uso de la metodologı́a de Johansen (1988) se determinó que todas
las variables del vector
Yt = (RPt , EIN Ft , P IBt , IN Ft , ON Jt , ONt , M 1t , DERt )′
cointegran. El número de rezagos óptimo bajo el criterio BIC para el VAR que
incorpora a todas las variables de Yt es uno.
Dado que las variables mensuales utilizadas no parecen tener tendencia
pero sı́ alguna constante, se implementan inicialmente las pruebas LR de Johansen suponiendo constante restringida del caso II tal y como puede apreciarse
en la siguiente gráfica.
Cuadro 18. Resultados de la Prueba de LR de Johansen
suponiendo constante restringida del caso II.
Para el caso r0 = 0, los resultados indican que se rechaza la hipótesis nula
de que no existe vector de cointegración, y por lo tanto, los datos indican que
al menos existe un vector de cointegración. Continuando el análisis para los
diferentes casos, se rechaza la hipótesis nula r0 = 4 (al nivel de 1% para la
estadı́stica LRt race y al 5% para LRm ax). Finalmente, se encontró evidencia
estadı́stica para rechazar r0 = 5 usando la estadı́stica de traza, no ası́ para
LRm ax donde no fue posible rechazarla. Se concluye pues, que se encuentra
evidencia de que las variables en cuestión tienen cinco vectores de cointegración.
Se realizaron pruebas de hipótesis para probar la significancia de las
variables en el vector de corrección de errores. La siguiente tabla se muestran
las estadı́sticas de prueba y los valores p para la hipótesis nula de que todos los
coeficientes de los componentes de Y son no significativos.
64
Prueba de significancia de Watson para la significancia
de los coeficientes del vector de cointegracin.
Prueba de Restricción Lineal sobre los Vectores de Cointegración
Hipótesis Nula: La Restricción es verdadera
H(1)
H(2)
H(3)
H(4)
H(5)
H(6)
H(7)
H(8)
H(9)
Estad.
1.9596
6.9058
6.997
23.8095
43.5001
49.6688
52.9115
54.9633
60.8141
Dist.
Chi-square
Chi-square
Chi-square
Chi-square
Chi-square
Chi-square
Chi-square
Chi-square
Chi-square
g.l
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Valor P
0.1616
0.0317
0.0720
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
Excepto por el RP, los resultados indican que se rechaza la hipótesis nula
de que las variables participen con un coeficiente no significativo en la relación
de cointegración. Sin embargo, se considera que todas las variables cointegran.
Se realiza el ajuste del Vector de Corrección de Errores (VCE) para el modelo de
VAR que se ajusta sobre todas las variables en niveles que forman al vector Y.
Se presentan las gráficas de los residuales cointegrados, ası́ como sus funciones
de autocorrelación y autocorrelación parcial.
Las figuras indican que los residuales del VEC son consistentes con el
supuesto de ruido blanco.
Se realizan los pronósticos de los próximos doce meses para los cambios
de las variables (primeras diferencias). Las correspondientes predicciones en
niveles y en diferencias utilizando simulación Monte Carlo y Bootstraping se
muestran a continuación:
65
Fig . Pronóstico de nivel a 12 meses utilizando Bootstraping.
Mediante un análisis de causalidad de Granger se verifica el orden de significancia entre las primeras diferencias de los componentes de las variables del
vector (12). Se obtiene la siguiente relación de causalidad de las diferencias de
las series:
RP → EIN F → P IB → IN F → OBJ → ON → M 1 → T C → DER
Dado el análisis de la sección anterior, se procede a calcular las funciones
de impulso respuesta de las variables bajo la estimación del VAR(1) para la
serie multivariada en niveles ajustado arriba.
Fig. Impacto sobre el Riesgo Paı́s.
En las gráficas se puede observar que los resultados ante shocks en cada
una de las variables analizadas es prácticamente el mismo con derivados y sin
derivados. La única variable que muestra una ligera variación es el M1.
Ante la presencia de derivados, el riesgo paı́s se mantiene constante, sin embargo, cuando no hay derivados, el riesgo paı́s tiende a aumentar ligeramente
los primeros 6 meses para posteriormente estabilizarse.
66
Fig . Impacto sobre las Expectativas de Inflación.
derivados.
Fig . Impacto sobre el PIB.
A diferencia de las gráficas anteriores, el impacto que tienen los shocks de
cada una de las variables sobre el PIB varı́a ante la presencia de derivados. Los
cambios más pronunciados se dan cuando se realiza un shock en la inflación.
Ante la presencia de derivados, un shock en la inflación produce que el PIB
disminuya el primer mes, estabilizándose en el perı́odo subsecuente, mientras
que cuando no hay derivados, el PIB tiende a subir durante 3 meses alcanzando
un punto máximo, para después converger al mismo nivel que ante la presencia
de derivados.
67
Los shocks sobre la tasa objetivo también muestran un comportamiento
diferente sobre el PIB. Cuando hay derivados y se hace un shock a la tasa
objetivo, el PIB tiende a aumentar rápidamente para después disminuir en el
2do mes. Mientras que ante la ausencia de derivados, este comportamiento lleva
el mismo sentido pero más retardado.
Un shock en el tipo de cambio produce efectos contrarios sobre el PIB en el
primer semestre del año. Ante la presencia de derivados, el PIB tiende a crecer
e ir decreciendo lentamente pasado el primer semestre. Sin embargo, cuando no
hay derivados el PIB disminuye un mes, para después crecer lentamente durante
7 meses alcanzando un máximo en el mes 10.
Fig. Impacto sobre la Inflación.
derivados. La única variable que muestra una diferencia es en el tipo de cambio.
Cuando hay derivados y se realiza un shock en el tipo de cambio, se presenta
un crecimiento muy pronunciado de la inflación durante el primer mes con
tendencia a estabilizarse en el 4to mes. Sin embargo, cuando no hay derivados,
se presenta el mismo comportamiento sin embargo, de manera más suave y
retardada.
68
Fig. Impacto sobre la Tasa Objetivo.
Fig. Impacto sobre la Tasa Overnight.
No se presentan diferencias considerables sobre las tasas overnight y objetivo ante los shocks con derivados y sin derivados.
69
Fig. Impacto sobre la M1.
derivados. La única variable que muestra una diferencia es en el tipo de cambio.
Cuando hay derivados y se realiza un shock en el tipo de cambio, se presenta
una caı́da muy pronunciada de la M1 durante el primer mes con tendencia a
estabilizarse en el 4to mes. Sin embargo, cuando no hay derivados, se presenta
el mismo comportamiento sin embargo, de manera más suave y retardada.
Fig. Impacto sobre el Tipo de Cambio.
No se presentan diferencias considerables sobre el tipo de cambio ante los
shocks con derivados y sin derivados.
70
6. Implementación metodologı́a M-GARCH
En esta sección se ajustan algunos de los modelos GARCH multivariados
abordados en la segunda sección con el objeto de evaluar si las operaciones
con derivados en el mercado mexicano tienen algún efecto sobre la volatilidad
de los rendimientos logarı́tmicos de las series económicas I(0) que fueron
modeladas mediante la metodologı́a VAR en la sección anterior. El objetivo es
modelar la posible heterocedasticidad de los residuales que arrojarı́a un modelo
tipo VARMA incorporando en el modelo la dinámica del comportamiento de la
matriz de varianza covarianza de las series.
Como primer paso, se calculan las autocorrelaciones y correlación cruzada
de los momentos de segundo orden de las primeras diferencias de las series,
es decir, de los rendimientos logarı́tmicos. Recordemos que las series
macroeconómicas analizadas básicamente fueron transformadas bajo la
función logaritmo natural de manera que fueran I(1).
Mediante un análisis exploratorio de las autocorrelaciones y de las correlaciones cruzadas de los momentos de segundo orden se encontraron significativas
(fuera de las bandas de confianza) para ciertos rezagos y adelantos entre varias
de las variables: RP y DER; EINF con ella misma y con INF; PIB y INF; PIB
y OBJ; PIB y ON; PIB y M1; PIB y TC; INF y EINF; INF y M1; OBJ y EINF;
OBJ y PIB; OBJ y INF; OBJ con ella misma y con M1; OBJ, OVER y EINF;
OVER y PIB; OVER y INF; OVER y OBJ; OVER consigo misma y con M1;
OVER y TC; M1 y RP; M1 y PIB; M1 y OBJ; M1 y OVER; M1, TC y EINF;
TC y OBJ; TC con ella misma ası́ como con M1 y DER.
La siguiente es una de las gráficas de autocorrelaciones (y correlaciones
cruzadas) de los rendimientos de las series al cuadrado.
Fig. Funciones de autocorrelacin y correlaciones cruzadas
del cuadrado de las series de rendimientos.
El análisis informal que proporcionan las mencionadas gráficas (y que por
razones de espacio no se incluyen en este apartado) indica que las matrices de
varianza covarianza de las series pueden tener cierta dinámica como función del
71
tiempo. Si por ejemplo, se utiliza la fórmula recursiva dada por
Σt = (1 − λ)εt−1 ε′t−1 + λΣt−1 ,
(EM V A)
para estimar la matriz de varianza-covarianza de la serie, se obtiene el modelo
conocido como EWMA que permite analizar el comportamiento de las varianzas y covarianzas de las series de rendimientos de los datos, dando mayor peso
a observaciones recientes que a observaciones pasadas mediante el uso de ponderaciones con decaimiento exponencial. En el contexto univariado, la ecuación
(EWMA) corresponde a un proceso GARCH(1,1) estacionario, pero intuitivamente preserva el sentido de la definición del modelo VEC, presentado en el
capı́tulo anterior. El valor de λ óptimo resultó ser de 0.9744362 1 . La siguiente
figura muestra las estimaciones de varianza y covarianza entre las variables.
Fig. Estimaciones de las covarianzas con decaimiento exponencial.
1
En la práctica, el valor de λ se elige comúnmente de acuerdo a la metodologı́a de
RiskMetrics ampliamente utilizada en la medición de riesgos de mercado. Sin embargo, si se
supone que ǫt se distribuye como una normal multivariada con media cero y, Σt = Covt1 (ǫt )
se trata como la covarianza de ǫt condicional a la informacin disponible hasta t − 1, entonces
la función de verosimilitud de las series observadas se puede escribir como
LogL = −(kT /2)log(2π) − (1/2)ΣTt=1 | Σt | −(1/2)ΣTt=1 (yt − c)′ | Σt | (yt − c)
por lo que c y λ se pueden tratar como parámetros desconocidos del modelo y ser estimados
por pseudo-máxima verosimilitud, dado Σ1 valor inicial.
72
Se observa que varias de las series muestran movimientos extremos durante
el perı́odo de observación.
Para evaluar el impacto de los derivados en los mecanismos de
transmisión de polı́tica monetaria, se realizan los ajustes de varias de las especificaciones de MGARCH que fueron abordadas en el capı́tulo anterior. El
objetivo será evaluar el efecto que tiene la variable del volumen de operaciones
de derivados DER sobre los pronósticos de volatilidad para el resto de las
variables RP, EINF, PIB, INF, OBJ, ON, M1 y TC. La hipótesis a verificar es
la de aumento en la volatilidad del sistema debido a la presencia de derivados
en el mercado mexicano. Para ello, una vez elegido algún modelo GARCH multivariado adecuado para modelar los rendimientos de las series, se comparan
las estimaciones obtenidas para la volatilidad condicional bajo el modelo con
presencia de derivados y el correspondiente que no incluye a la variable DER.
En el cuadro siguiente se presentan un resumen de los diferentes ajustes
realizados a los datos. Para cada modelo ajustado se presentan el número de
parámetros, la estadı́stica de Portmanteau para los residuales ası́ como para su
cuadrado, y los criterios AIC, BIC y de Verosimilitud.
Cuadro. Resumen de los modelos MGARCH ajustados.
Debido a la limitada información empı́rica de las variables y a que la frecuencia de todas ellas no se encuentra disponible a una mayor frecuencia que la
mensual, las estimaciones no son lo robustas que esperarı́amos y varios de los
supuestos de estacionariedad de los residuales bajo los modelos estimados no
se cumplen en su totalidad. Sin embargo, utilizando las estadı́sticas de Portmanteau para evaluar el desempeño que en la modelación de la variación en
el tiempo de la matriz de correlaciones de los residuales, ası́ como los criterios
AIC, BIC y de Verosimilitud que presentaron los modelos ajustados, fue posible determinar que algunas de las versiones de DVEC y CCC resultaron más
satisfactorias. De hecho, los coeficientes de la estructura GARCH no resultan
significativos para el resto de los modelos probados. Aunque por parsimonia
del modelo, el candidato a elegir serı́a el modelo CCC de correlación constante
con una componente GARCH en el ajuste marginal de cada serie, se decide
utilizar la especificación del modelo DVEC definida (8) para la parametrización
(10) que considera como escalares a los parámetros de y. El criterio de
Verosimilitud no muestra una diferencia tan fuerte entre los dos modelo, lo
mismo que las estadı́sticas de Portmanteau para los residuales y ası́ como su
73
cuadrado. Los modelos GARCH utilizados en esta aplicación son estimados por
medio del algoritmo BHHH (ver, por ejemplo Bollerslev, 1986)
Se indaga el efecto sobre el ajuste del modelo si se supone que los errores
tienen distribución normal t de Student multivariada. En ambos modelos los
coeficientes de los componentes B (GARCH) y varios de los coeficientes de A
resultaron significativos en ambos modelos ası́ como la especificación de media
constante Como se muestra en el siguiente cuadro, no existe diferencia sobre la
manera en que ambos modelos resultan útiles para modelar los efectos ARCH
y la dinámica de los residuales al cuadrado.
Cuadro. Estadı́sticas LM y L-Jung Box para cada variable marginal.
Tampoco se encontró una mejora significativa respecto de los criterios AIC,
BIC y Verosimilitud, según revela en cuadro siguiente.
Cuadro. Comparación entre el modelo DVEC con ruido Normal y
t de Student (multivariados).
No obstante, conviene observar que aunque más o menos se cumplen los
supuestos esperados de no efectos ARCH y no autocorrelación la mayorı́a de
las series individuales (marginalmente), no existe suficiente evidencia estadı́stica
para no rechazar la hipótesis nula de que los residuales resultantes del modelo
ajustado son ruido blanco (multivariado).
Se realizó la simulación de 100 observaciones hacia adelante (pronósticos)
a partir de la última observación conocida de cada serie, replicando el proceso
1000 veces con objeto de construir las bandas de confianza de dos desviaciones
estándar para los pronósticos simulados. Para realizar la simulación de la especificación del modelo DVEC ajustado, se utilizó la última observación de los
rendimientos de las series y la última matriz de covarianza condicional estimada. Los pronósticos de las desviaciones estándar condicionales se calcularon
mediante el promedio de las réplicas del proceso y para las bandas de confianza
fue necesario calcular los errores estándar de los pronósticos en cada paso.
74
Las siguientes gráficas muestran las predicciones de la desviación estándar
(SD) condicional con sus correspondientes intervalos de confianza obtenidos
simulando de la distribución de los residuales.
Fig. Pronóstico de la volatilidad condicional de los
rendimientos (con y sin derivados).
Excepto para el caso de la tasa objetivo y la tasa de interés overnight, se
aprecian incrementos considerables entre las estimaciones de volatilidad condicional de las series cuando el modelo incorpora al volumen de derivados y el
modelo sin derivados.
7. Conclusiones
A pesar de que los instrumentos derivados son muy prominentes, éstos
solo representan una parte del proceso de innovación financiera que ha ido
recobrando fuerza durante los últimos años. Por lo tanto, no es sorprendente que
gran parte de las implicaciones del crecimiento del mercado de derivados para la
economı́a y la polı́tica monetaria son similares a aquellos factores involucrados
en el mismo proceso, y que son difı́ciles de aislar.
A pesar de que los instrumentos derivados son muy prominentes, éstos
solo representan una parte del proceso de innovación financiera que ha ido
recobrando fuerza durante los últimos años. Por lo tanto, no es sorprendente que
gran parte de las implicaciones del crecimiento del mercado de derivados para la
economı́a y la polı́tica monetaria son similares a aquellos factores involucrados
en el mismo proceso, y que son difı́ciles de aislar.
75
La limitada evidencia disponible sugiere que los desarrollos en los mercados
de derivados no alteran de manera significativa los canales de transmisión de
polı́tica monetaria o la eficacia de los instrumentos monetarios tradicionales.
Más aún, podemos concluir que los derivados proveen a los bancos centrales de
información adicional para guiar las polı́ticas monetarias, ası́ como representar
una herramienta adicional para implementarlas.
La profundización de los mercados de derivados ha generado interrogantes
sobre el impacto potencial que éstos podrı́an tener sobre los precios de los
mercados tradicionales de bienes y capital, a través de las posibilidades de
cobertura que proporcionan los agentes. Por esta razón, los derivados diluyen
los canales tradicionales de la polı́tica monetaria y en algunos casos, promueven
una transmisión más rápida de los cambios que la polı́tica monetaria induce a
corto plazo en los precios relativos.
Más allá de los propósitos de cobertura, los beneficios del mercado de
derivados incluyen las herramientas de transferencia de riesgos, mayor eficiencia
del mercado y menores costos de capital lo que lleva a aumentar la completez
del mercado de capitales.
Vrolijk (1997) da luces sobre la explicación del fenómeno del impacto de los
derivados en la polı́tica monetaria a partir del caso británico. Si bien el profundo
desarrollo del mercado financiero ha hecho que la aparición de instrumentos
derivados sólo aporte marginalmente a su completez, en el caso mexicano ofrece
la evidencia contraria: aunque poca la información disponible el volumen de
operación del mercado mexicano de derivados, se encontró evidencia empı́rica
de su impacto en los canales de transmisión de polı́tica monetaria.
Una de las áreas en que se observó que los derivados no tienen un efecto
sustancial es en la administración de liquidez a un dı́a (representada por la tasa
overnight). A pesar de que existen nuevas fuentes de financiamiento, los bancos
requieren posiciones netas de efectivo al cierre del dı́a y los bancos centrales no
aceptan como garantı́a los derivados sintéticos. Por lo tanto, desde un punto
de vista operativo, no hay cambio en la efectividad de la polı́tica a través de las
tasas overnight. Sin embargo es cierto que los derivados contribuyen a través
de reflejar el cambio de las tasas a corto plazo en otros precios de activos.
Del primer modelo que incorpora al PIB, la inflación, tasa objetivo y volumen de derivados, podemos concluir que se ha encontrado evidencia que el PIB
es una de las variables cuyos shocks también producen efectos bien diferenciados
sobre todas las variables del modelo, incluido él mismo.
Estos resultados parciales dieron pie a considerar un modelo más granular que incluyera variables como el Riesgo Paı́s, las expectativas de inflación,
tasa de interés overnight, el agregado monetario M1 y el tipo de cambio. Las
relaciones de cointegración encontradas ası́ como el mecanismo de corrección de
errores implementado arrojan un modelo útil y estadı́sticamente robusto que
permite hacer inferencia y pronóstico sobre el impacto de los derivados en los
mecanismos de transmisión de polı́tica monetaria.
En el segundo modelo que incorpora al ancho de las variables económicas
y financieras en consideración, podemos concluir que la variable que presenta
mayores diferencias ante la presencia de derivados en el modelo es el PIB.
76
De manera más precisa un shock en la inflación tiene efectos negativos
en el PIB desde el primer mes ante la presencia de derivados, efecto que se
prolonga durante cuatro meses para luego iniciar una etapa de crecimiento que
se estabiliza en el largo plazo. En el modelo que no incluye a los derivados
el proceso es a la alza partiendo casi de cero y se estabiliza también en el
largo plazo. Es decir, la presencia de derivados en el mercado produce efectos
negativos en el PIB de poca duración. De entre las variables cuyos shocks tienen
efectos diferenciados sobre las demás ante la presencia de derivados, podemos
mencionar el tipo de cambio.
Con el fin de contar con elementos estadı́sticos que permitieran encontrar
algún otro hallazgo que confirmara los resultados arriba mencionados en lo
referente al impacto sobre los mecanismos de transmisión de polı́tica monetaria
que parecen tener los derivados. Adicional al modelo VAR, se decidió emplear
un modelo multivariado que pudiera capturar la dinámica de las matrices de
varianza covarianza los rendimientos de las series, el modelo multivariado MGARCH.
Con ayuda de algunas de las especificaciones del M-GARCH (algunas
creadas a principios de 1980 y otras más recientemente) fue posible verificar
que los pronósticos de la volatilidad condicional de los rendimientos de las series utilizadas se ven afectadas en la mayorı́a de los casos ante la existencia de
instrumentos derivados.
Otro punto importante que se analizó en este proyecto fue el importante
rol que juega la cointegración. A pesar de que los modelos GARCH
caracterizan la volatilidad, las relaciones de cointegración son los únicos componentes reales indispensables cuando se realiza una comparación ex post del
impacto que tienen los derivados sobre las diferentes variables analizadas.
El pronóstico de la volatilidad con el M-GARCH proporciona mayor evidencia de la hipótesis del presente trabajo de que los instrumentos derivados
aceleran los mecanismos de transmisión de la polı́tica monetaria en México.
Una ventaja adicional de la metodologı́a estudiada, es la posibilidad
de analizar no sólo la respuesta de los niveles de las series, sino también
las respuestas de sus volatilidades ante los efectos del creciente mercado de
derivados en México.
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77
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Valuación de hipotecas a través de opciones:
incumplimiento y prepago
José Antonio Nunẽz Mora
Blanca Tapia Sánchez ∗∗
∗
Recibido 18 de febrero 2010, aceptado 27 de mayo 2010
Resumen
En el presente artı́culo, desde el punto de vista de opciones financieras, desarrollamos la valuación numérica tanto del incumplimiento como del prepago
de una hipoteca residencial. La valuación se desarrolla usando el algoritmo de
Longstaff y Schwartz (2001). Se elige el movimiento browniano geométrico para
la dinámica de precios de casas, y el modelo de Vasicek para la dinámica de
tasas de interés. El análisis se realiza para los tres sectores de vivienda más
importantes en el mercado mexicano.
Abstract
In this paper, from a point of view of financial options, we develop the numerical
valuation of both the default and prepayment of a residential mortgage. This
valuation is calculated using the algorithm of Lonsgtaff and Schwartz (2001).
Geometric Brownian motion is used for the dynamic of prices of houses and the
model of Vasicek for the dynamics of interest rates. The analysis is developed
for the three main sectors of housing in the Mexican market.
Clasificación JEL: C63, G13, G17, G32.
Keywords: incumplimiento, prepago, hipoteca, opción Bermuda, Monte Carlo.
1. Introducción
Para un paı́s como México, la adquisición de vivienda nueva es un factor que
indica progreso social y económico, puesto que ésta se considerada un bien
tangible, duradero y que en general se revalúa con el tiempo. En el mercado de
vivienda, concurren oferentes y demandantes, no solo de casas, sino también de
créditos vistos como oportunidad de inversión. Por lo que respecta al mercado
crediticio para la adquisición de vivienda, se crearon instituciones del sector
∗
Director de Doctorados. Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México. Calle
del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C. P. 14380, México D. F. [email protected]
∗∗
Facultad de Contadurı́a y Administración. UNAM. México D.F.
[email protected]
80
público mexicano, las cuales se abocan preferentemente a otorgar financiamientos para adquirir vivienda de tipo medio, interés social y económico. De igual
manera tenemos instituciones del sector privado (banca múltiple e intermediarios financieros especializados), que conceden créditos destinados principalmente a la adquisición de vivienda media y residencial.
Basados en el enfoque de que una hipoteca sobre vivienda se puede interpretar como un portafolio de opciones, en este artı́culo se aplicará un modelo de
valuación de hipotecas con datos mexicanos de precios de casas y tasas de interés. La técnica numérica usada es el algoritmo de Longstaff y Schwartz (LSM,
2001) para opciones americanas, el cual está basado en el método de mı́nimos
cuadrados ordinarios y simulación de Monte Carlo. Un algoritmo de este tipo
es necesario debido a la posibilidad de ejercicio de las opciones americanas, en
cualquier momento antes de la fecha de terminación de dicho contrato. En el
caso de opciones Europeas, existe una forma de valuación directa con la celebrada fórmula de Black y Scholes (1973). En el caso de las opciones Americanas no existe una fórmula directa para la valuación de opciones de venta
(”put”) Americanas. Este algoritmo es sencillo y conduce a estimadores con
propiedades deseables. Desarrollamos programas en Matlab para la valuación
de la hipoteca, y lo aplicamos con los datos mexicanos.
Debemos mencionar que existen más formas de valuación de opciones de
venta americanas, entre las que se encuentran los árboles binomiales de Cox,
Ross y Rubinstein (1979), y al algoritmo de Barranquand y Martineau (1995).
El estudio se desarrolla desde el punto de vista del deudor, quien cuenta
con las siguientes posibilidades en su patrón de pagos de la hipoteca: el incumplimiento (default) y el prepago (prepayment). En el caso Mexicano, existen estudios de la parte de incumplimiento o no pago (ver por ejemplo Serrano,
1999).
El artı́culo está dividido en cinco secciones. En la sección 2, introducimos
los conceptos básicos relacionados con una hipoteca, ası́ como una introducción
histórica del desarrollo e importancia de la vivienda en México. En la sección 3,
planteamos el modelo de la dinámica de precios de casas y de las tasas de interés
en el mercado mexicano. En la sección 4, analizamos los datos y desarrollamos
el análisis numérico correspondiente con los resultados. En la sección 5, las
conclusiones.
2. El desarrollo de la vivienda en México, y las hipotecas.
2.1 La hipoteca
El concepto de hipoteca esta definido en el artı́culo 2407 del Código de comercio
de la siguiente manera: ”La Hipoteca es un derecho de prenda, constituido sobre
inmuebles, que no dejan por eso de permanecer en poder del deudor”.
Siendo la hipoteca un contrato financiero, se puede considerar como un
portafolio de opciones por las alternativas que ofrece el contrato (Penagos,
2006). En el caso particular que nos confiere en este artı́culo, nos referiremos a las opciones de prepago e incumplimiento asemejándolas a una opción
de compra americana (american call) y a una opción de venta americana
(american put), respectivamente. Opción de compra americana, puesto que el
deudor puede prepagar toda su deuda en cualquier momento en el tiempo, y
adquirir la vivienda; y una opción venta de tipo americana puesto que si el deudor se declara incompetente para seguir pagando, tendrá que ceder la vivienda
Valuación de hipotecas a través de opciones: incumplimiento y prepago
81
a cambio.
Una hipoteca se define empleando tres parámetros:
• El capital, que es la cantidad de dinero prestada por el banco (acreedor).
• El plazo, que es el tiempo que tomará la devolución del préstamo. La devolución del préstamo se realiza mediante pagos periódicos, generalmente mensuales.
• El tipo de interés, que indica un porcentaje extra anual que se debe abonar
al banco anualmente en concepto de ganancias del mismo.
El tipo de interés puede a su vez ser:
•Fijo: Mantiene su valor a lo largo de todo el plazo del préstamo ( y es el que
tratamos en este artı́culo).
•Variable: Su valor es revisado periódicamente con el fin de adaptar su valor al
estado actual de la economı́a.
Derivado de lo anterior las hipotecas se pueden clasificar en tipo fijo o variable.
2.2 El desarrollo de la vivienda y de las hipotecas en México
Los antecedentes formales respecto a la procuración de la vivienda datan de
1917, donde por primera vez se trata en la legislación la vivienda obrera, apareciendo en la fracción XII del Art. 123 constitucional. Posterior a esto se han
hecho varias modificaciones a dicho artı́culo, que en ese entonces solo se trataba
de la obligación de los patrones para proporcionar habitación a sus trabajadores;
a su vez, en el artı́culo 111 de la Ley Federal del Trabajo (1917) reitera dicha
obligación. De acuerdo a Barragán (1994), en el primer periodo, entre 1950 y
1970 como muestra la gráfica 1.1, la población del paı́s prácticamente se duplicó, lo que se tradujo en una presión sobre el suelo para la construcción de
vivienda. En números absolutos ésta creció en aproximadamente tres millones
de nuevas casas. Considerando que en este tiempo la población pasó de ser
mayoritariamente rural a urbana, de 35% en 1940 a 58.7% para 1970.
82
En 1972, surgen el INFONAVIT (Instituto del Fondo Nacional de la
Vivienda para los Trabajadores) estimulando la formación de financiamiento
de las viviendas a través de Instituciones Públicas Federales; el FOVISSSTE
(Fondo de Vivienda del Instituto de Seguridad y Servicios Sociales de los Trabajadores del Estado) y el FOVIMI (Fondo de la Vivienda Militar del Instituto
de Seguridad Social para las Fuerzas Armadas Mexicanas) como parte de una
polı́tica de provisión implementada por el gobierno federal.
A partir de la creación del Fondo Nacional de la Vivienda (FOVI), en
febrero de 1972, se introdujo en la reforma del artı́culo 123 Constitucional en
su apartado ”A”, que existı́a la obligación de las empresas de realizar aportaciones a un ”Fondo Nacional de la Vivienda, a fin de constituir depósitos a favor
de sus trabajadores y establecer un sistema de financiamiento que permitiera
otorgar a éstos, crédito barato y suficiente para que adquieran en propiedad
tales habitaciones” 1 . En el mismo año, se legisló un conjunto de disposiciones,
a partir de la Ley del Trabajo, indicando el monto del aporte de los trabajadores a ese Fondo (Art.136) y se definió la contribución patronal (Art.141).
Hacia 1981 se impulsó la constitución de un organismo orientado a la creación
de un fideicomiso, el Fondo Nacional de Habitaciones Populares (FONHAPO),
dirigido hacia un segmento más vasto de la población para resolver los requerimientos de familias de bajos ingresos.
Durante el sexenio 1982-1988, en materia de vivienda se origina una nueva
reforma legal (en 1983), elevando a rango constitucional el derecho de la familia
a una vivienda digna y decorosa, lo que quedó inscrito en la Ley Federal de
Vivienda de ese año en el artı́culo 4o .
La década de los noventas representó un fuerte cambio en la polı́tica
económica, se produjo una redefinición en la acción del Estado en esta materia. A partir de ese momento, la participación estatal en los programas de
vivienda se restringió a la promoción y financiamiento habitacional, estimulando con ello la participación social y privada en la construcción de vivienda
y en su financiamiento. Ante esta nueva forma de operar del Estado y debido
al regreso de la banca comercial al sector privado, los créditos hipotecarios se
expandieron rápidamente, muestra de ello fue el periodo 1992-1994, donde las
carteras hipotecarias de los bancos llegaron a representar 30% de los activos
en riesgo. La Banca Comercial elevó sustancialmente el otorgamiento de este
tipo de financiamiento debido a que las tasas de interés se habı́an reducido significativamente, lo que permitió comenzar a ofrecer productos hipotecarios ya
1
Gaceta Parlamentaria, año IX (2006, 18 de abril). Referencia electrónica [en lı́nea].
México. Recuperado el 21 de marzo 2009, de
http://gaceta.diputados.gob.mx/Gaceta/59/2006/abr/20060418-VI.html
83
que la falta de este tipo de crédito en años anteriores, dio lugar a un mercado
que se encontraba altamente desatendido con una gran demanda potencial. El
otorgamiento del mismo presentaba un gran atractivo para la banca al considerarlo de bajo riesgo, dada su pulverización en créditos individuales y la
garantı́a que el bien inmueble destino del crédito ofrecı́a como respaldo.
Es importante mencionar que la mayorı́a de créditos otorgados por la
banca, se firmaron bajo el esquema de tasa de interés variable, con la posibilidad de refinanciamiento de intereses.
Según se observa en la gráfica 1.2, si bien las tasas de interés bajaron hasta
1994, durante el sexenio (1994-2000) se dio un nuevo incremento y esto aunado a
las carteras vencidas por el aumento desproporcionado en las actualizaciones de
los créditos hipotecarios, generó una fuerte crisis. Beteta (2004) menciona: ”El
plazo de captación de la banca es de muy corto plazo, por lo que los productos
hipotecarios, que son de largo plazo, no podı́an ofrecerse con una tasa de interés
fija o predeterminada. Con base en esta estructura de créditos hipotecarios, la
crisis de 1995 convirtió a la cartera hipotecaria de los bancos en una pesadilla”2.
En este mismo año, a raiz de la crisis del peso las deudas hipotecarias
se dispararon, como consecuencia del crecimiento de las tasas de interés, esto
aunado a la falta de ajuste o incremento en los salarios, produjo un aumento de
la morosidad sobre la cartera de crédito a la vivienda. Lo anterior debido a como
se estructuraron muchos contratos, los intereses no pagados se capitalizaban
elevando el valor de la deuda, haciendo imposible el pago para una población
con un poder adquisitivo disminuido dramáticamente (su deuda llegó incluso a
triplicarse respecto a su valor original).
En el periodo comprendido del 2000 al 2006, se destaca la promulgación de
la Ley General de Vivienda, en la cual se enfatiza la importancia de la vivienda
para el desarrollo nacional.
El INFONAVIT otorgó durante los últimos 5 años de este periodo 2.2
millones de créditos, prácticamente la misma cantidad a la registrada entre
2
Beteta, I. (2004, marzo). BAJO RIESGO, en contratar los créditos hipotecarios actuales.
Revista Real State MARKET & LIFESTYLE, 8.
84
1972 y 2001, 2.4 millones. La gráfica 3 ilustra la evolución de los créditos
otorgados hasta 2007.
Sin embargo, desde finales del 2008 el comportamiento de esta tendencia
ha empezado a frenarse debido a la crisis económica mundial, (Núñez J. y De
la Cruz J., 2009).
3. El método de Monte Carlo y la dinámica de precios de casas,
tasas de interés.
De acuerdo a Kau & Keena (1995) las hipotecas están dentro de los contratos
más complejos, por lo que para valuarlas se deben usar métodos numéricos para
su solución. Dichas técnicas se clasifican el técnicas de valuación (pricing) hacia
adelante (forward pricing) y hacia atrás (backward pricing).
3.1 Método Monte Carlo
Las principales ventajas de esta herramienta son relativas a su facilidad de uso
y flexibilidad; por ejemplo, puede tomar en cuenta la volatilidad estocástica
y muchas caracterı́sticas complicadas de opciones exóticas. Puede tratar
problemas de grandes dimensiones donde el marco de las ecuaciones diferenciales parciales puede ser ineficiente. Es difı́cil aplicar simulación para opciones
americanas cuando la simulación va adelante en el tiempo y establecer una
polı́tica óptima de ejercicio que requiere consideraciones especiales. A través
de Monte Carlo podemos valuar la opción obteniendo una muestra aleatoria de
trayectorias para el precio del subyacente S, calculando el valor de la opción para
cada trayectoria y repitiendo este procedimiento varias veces con el fin de tener
una muestra representativa para que esto nos permita calcular la media de dicha
85
muestra, el cual es el valor de la opción propuesto por el método de Monte Carlo.
3.2 Simulación dinámica de valuación de activos
Recordemos la utilidad del Modelo de Movimiento Browniano Geométrico para
valuación de activos (precio de casas) S(t), con valor esperado de tendencia µ
y volatilidad σ:
dS = µSdt + σSdz
donde dz es un proceso de Wiener (Kau y Keenan 1995). En la práctica es usual
que para obtener mayor exactitud se simule ln S más que S . Una expresión
equivalente a partir del lema de Itô para lnS es (Brandimarte, 2002):
1 2
d lnS = µ − σ dt + σdz.
2
Entonces
lnS(t + ∆t) − lnS(t) =
√
1
µ − σ 2 ∆t + σε ∆t.
2
O equivalente
√
1 2
S(t + ∆t) = S(t) exp µ − σ ∆t + σε ∆t .
2
Esta ecuación se utiliza para construir una trayectoria para S. La ventaja
de trabajar con lnS es que, como ya mencionamos, sigue un proceso de Wiener,
lo que quiere decir la ecuación
√
1 2
lnS(T ) − lnS(0) = µ − σ T + σε T .
2
Para simular la trayectoria del precio de un activo sobre un intervalo (0, T )
debemos discretizar con un tamaño de tiempo ∆t . De esta manera obtenemos:
√ S(t + ∆t) = S(t) exp ν∆t + σε ∆t .
Donde ε ∼ N (0, 1) es una variable aleatoria normal estándar. Basándonos en
la última ecuación, se pueden generar trayectorias del precio de un activo, en
nuestro caso precio de casas.
Para el código en Matlab (Tapia, 2010) es conveniente reescribir la
ecuación discretizada
√
lnS(t + ∆t) − lnS(t) = ν∆t + σε ∆t.
Entonces podremos generar diferencias en el logaritmo de los precios del activo
y usar una función opcional. Es común calcular la desviación estándar y la
media de los pagos dados por las trayectorias de la simulación. Denotando la
media como µ y la desviación estándar como ω, la variable µ es la simulación
estimada del valor del derivado. El error estándar de estimación es
ω
√ .
M
86
3.3 El modelo de Vasicek de un factor para tasas de interés.
Entre los modelos más conocido para modelar la dinámica de tasas de interés se
encuentra el modelo de Vasicek (1977). Para el caso Mexicano, se ha encontrado
cierta evidencia para este modelo (Núñez J., Ortega E. y De la Cruz J., 2007).
Estas aplicaciones empı́ricas están basadas métodos basados en la función de
transición como en Ait-Sahalia (2006, 1999,1996). Para el caso particular donde
la tasa de interés libre de riesgo sigue el Proceso de Ornstein-Uhlenbeck:
dr(t) = α(γ − r(t))dt + σdW (t).
Y el precio de mercado q es una constante. En este proceso γ representa el
valor a través del cual r(t) es atraı́da: esta propiedad es llamada reversión a la
media. En este contexto
Z T
Z T
Z
1 T 2
P (t, T ) = Et exp −
q dW (τ ) −
r(τ )dτ exp
q dτ .
2 t
t
t
Considerando el movimiento Browniano bajo la probabilidad al riesgo,
f (t) = dW (t) − qdt
dW
Obtenemos el siguiente proceso para la tasa de interés
f(t).
dr(t) = (αγ + σq − αr(t))dt + σdW
Vemos que r(t) esta normalmente distribuida bajo la probabilidad Q.
4. Métodos numéricos y análisis de datos.
Una opción americana puede ser ejercida en cualquier momento antes de su
vencimiento. El enfoque de valuación que usamos es el de Longstaff y Schwatrz
(2001). Especı́ficamente, dado que existen puntos definidos en el tiempo en
donde se realizan los pagos de la hipoteca, estamos trabajando realmente con
una opción Bermuda.
De acuerdo a Fries (2007) un instrumento financiero es denominado
Bermuda si tiene múltiples fechas de ejercicio. En la opción Bermuda
{Ti }i=1,...,n denota un conjunto finito de fechas de ejercicio y {Vunderl,i }i=1,...,n
su correspondiente conjunto de subyacentes. La opción Bermuda es el derecho
de recibir en uno y solo un tiempo Ti el correspondiente subyacente Vunderl,i
(con i = 1, n) o no recibir nada.
En cada fecha de ejercicio Ti , la estrategia óptima es comparar el producto
del valor de ejercicio con el producto del valor de no ejercicio y elegir el más
grande.
A continuación mencionamos las funciones que fueron programadas, y que
se encuentran detalladas en Tapia (2010).
La función para calcular el precio de una opción de default utilizando LSM
es regr(NbTraj,NbStep,sigma,S,Bbegin). Esta hace uso tanto de la
función que genera trayectorias de los precios de casas B = Generate
Paths (NbTraj, NbStep, DeltaT, SqDeltaT, sigma, B0), como de la
87
función que evalúa el vector de pagos para decidir en que momento es óptimo
ejercer la opción(dejar de pagar).
Payoff=BackwardStep(Payoff,Strike,TimePresent,NbTraj,DeltaT)
Los parámetros de las funciones son:
T que simboliza el tiempo de ejercicio, es decir el tiempo en el que concluye el
pago de la hipotéca y se considera como un entero.
NbStep que representa el número de momentos de pago τ (i).
S que simboliza el precio de ejercicio del activo, el cual en nuestro caso es
variable.
B0=1, precio inicial de casa, estandarizado a 1.
Sigma que representa la volatilidad del activo dada por la desviación estándar
de los precios de las casas.
Bbegin, representa el valor inicial de las casas (B).
Strike=S/BBegin, precio de ejercicio estandarizado, variable en el tiempo.
Nbtraj que especifica el número de trayectorias que se desean simular respecto
del valor de las casas.
DeltaT =T/NbStep, unidad de tiempo (mensualidades o periodos de pago
correspondientes).
SqDeltaT raı́z cuadrada de la unidad de tiempo.
Para la simulación de la tasa de interés de mercado usamos la función:
function Vasicek1Fact=Vasi(NbStep).
Mediante este programa se estiman tasas de interés aleatorias en base a datos
históricos obtenidos de la tasa libre de riesgo, las cuales serán útiles para
descontar los flujos en la valuación de las opciones.
Algunas definiciones importantes son:
Las opciones financieras que se consideran en nuestra investigación son el default
y el prepago.
Prepago: Se da en el momento que la hipoteca es liquidada en su totalidad.
Esto puede ocurrir en cada momento de pago programado, desde el pago número
1 hasta el n-1, lo cual hace que una vez realizando dicho prepago el monto de
la hipoteca disminuya a cero.
Default (incumplimiento): Esta opción se define como tal en el momento
inmediato en que el deudor decide dejar de pagar. En el caso de los contratos
hipotecarios esto llevará al deudor a entregar su casa en pago de la deuda
siempre y cuando se encuentre en un momento de pago programado y por lo
tanto le sea exigible dicho pago.
En nuestro estudio la opción de default se considera una opción Bermuda
tipo put.
Los siguientes términos son importantes en la programación:
n, tiempo en meses de la hipoteca.
τ (i), el tiempo del i-ésimo mes τ (i) = i/12).
B, valor de la vivienda
R, tasa de interés de la hipoteca (en nuestro caso, fija).
S(r, t, i), el valor de los pagos programados en el tiempo t de los meses i al n.
D(r, B, t, i), el valor de la opción de default en el tiempo t cuando el siguiente
pago se debe hacer en el tiempo τ (i).
88
F (r, B, t; i), el valor de la opción de prepago en el tiempo t cuando el siguiente
pago debe de hacerse en el tiempo τ (i).
G(r, B, t, i) = F (r, B, t; i) + D(r, B, t, i), el valor de la opción combinada de dar
por terminado el contrato en el tiempo t cuando el siguiente pago se debe hacer
en el tiempo τ (i).
W (r, B, t; i) = S(r, t, i) − G(r, B, t, i) el valor de la hipoteca en el tiempo t
cuando el siguiente pago se debe hacer en el tiempo τ (i).
Supuestos
• Los contratos a valuar se refieren únicamente a hipotecas residenciales, quedan
excluidas las hipotecas sobre cualquier otro bien inmueble (ej. terrenos, fábricas,
locales, etc).
• Los casos analizados se evalúan desde la perspectiva del deudor por lo que no
se consideran los costos y gastos en que incurra el acreedor para el manejo de
la hipoteca.
• El deudor podrá prepagar totalmente en cualquier momento sin penalización
alguna.
• El precio de la vivienda sigue un movimiento Browniano Geométrico.
• La tasa de interés del contrato hipotecario es fija.
• La tasa de mercado sigue un proceso de Ornstein-Uhlenbeck ( Modelo de
Vasicek).
4.1 Métodos numéricos y análisis de datos.
Para obtener los parámetros necesarios, para la simulación de trayectorias de
los precios de las casas y para la valuación de las opciones de default y prepago,
fue necesario obtener muestras de datos históricos, respecto de 3 segmentos
de vivienda: Interés social, económico y medio, ası́ como de la tasa de interés
libre de riesgo en este caso CETES (28 dı́as). Ambas muestras se describen a
continuación.
Datos del Precio de las casas
Los datos que a continuación se presentan fueron proporcionados por la empresa Softec S.C., empresa consultora en proyectos inmobiliarios fundada en
1980, cuya principal actividad es la investigación de las tendencias del mercado
inmobiliario mexicano.
La muestra abarca los precios de las casas para los segmentos de mercado
Interés social, económico y medio por 10 años, de forma trimestral desde el 1er
trimestre de 1994 hasta el 2 Trimestre del 2008.
A continuación se muestra su análisis por segmento.
VIVIENDA TIPO MEDIA
La vivienda media, se refiere a casas de $412,000 a $1,030,000 pesos y en
promedio de 100 m2 para los segmentos C y C+ con ingresos familiares de 8 a
26 y de 26 a 65 salarios mı́nimos, esto es un rango total de $12,000 a $36,000
pesos y de $36,000 a $90,000 pesos. La vivienda consta de 2 cuartos, 1 y 1/2
baños y 1 cajón de estacionamiento, 1 lı́nea telefónica y vigilancia.
89
VIVIENDA TIPO INTERES SOCIAL
La vivienda de interés social que generalmente se asocia con algún tipo de
programa hipotecario de interés social. El INFONAVIT, es el principal proveedor de créditos para este tipo de vivienda, maneja otra clasificación denominando a la económica como casas de hasta $166,548 pesos y la tradicional que
incluye bajo ingreso y co-financiamiento de viviendas de hasta $497,952 pesos.
La vivienda consta de 2 cuartos, 1 1/2 baños y 1 cajón de estacionamiento(casa).
90
VIVIENDA TIPO ECONOMICO
En la vivienda económica se incluyen casas que van desde $220,000 a
$412,000 pesos, de alrededor de 50 m2 y que se construyen para familias con
ingresos de 2 a 5 y de 5 a 8 salarios mı́nimos, esto es de $3,000 a $8,000 pesos
y de $8,000 a $12,000 pesos, respectivamente. La vivienda consta de 2 cuartos,
1 y 1/2 baños y 1 cajón de estacionamiento.
RESULTADOS SIMULACIONES
Se efectuaron las siguientes corridas tomando en cuenta el tipo de casas.
91
5. Conclusiones
La aportación que hace esta investigación, podrı́a ayudar a conocer las circunstancias en las que es posible que suceda un evento de suspensión de pagos
de una hipoteca, o bien, que suceda un pago anticipado por parte del deudor.
Esta información esta contenida en las componentes calculadas del valor de la
hipoteca, a decir, la variación en el tiempo de el prepago y el incumplimiento.
Este artı́culo presenta estas componentes como variables dinámicas, determinadas a partir de las variables que considera nuestra modelación. Sin embargo,
hay que mencionar que para mejorar el estudio, se deben tomar en cuenta
más variables, como por ejemplo el monto del enganche, la deducibilidad de
impuestos y otros modelos de tasas de interés ( difusiones con saltos).
Con la demanda de vivienda en constante expansión, se hace necesaria
la utilización de herramientas estadı́sticas más robustas, que permitan diseñar
mecanismos más eficaces en el otorgamiento de crédito , tomando en cuenta la
cobertura de riesgos, recuperación de cartera, y mejores análisis de otorgamiento
de crédito. La idea es atender un mercado con caracterı́sticas muy particulares,
como es el Mexicano, y que es prioritario para el gobierno federal en turno.
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La sectorización económica y su vinculación
con la probabilidad de incumplimiento
Mario Gutiérrez Lagunes
∗
Recibido 30 de noviembre 2009, aceptado 1 de marzo 2010
Resumen
Se calcula el factor económico local y comercio exterior de la industria mexicana,
y se crea una matriz de expectativas. Se aplica el modelo de Black-ScholesMerton y alerta de los posibles problemas financieros en que puede incurrir una
empresa exportadora.
Abstract
It is estimated the economic factor local and foreign trade of mexican industry,
and creates a matrix of expectations. Applies the Black-Scholes-Merton model
and warning about the financial problems that may incur an exporting company.
Clasificación JEL: C65, G33, L6, L7, L8, L9.
Palabras clave: Ramas económicas, factor económico local, comercio exterior, distancia al
incumplimiento.
Introducción
En esta investigación se desarrolla una metodologı́a para el cálculo del factor
económico local y se calcula el comercio exterior de las ramas económicas; y
se complementa estos factores económicos con la distancia y la probabilidad
de incumplimiento aplicando el modelo de Black-Scholes-Merton de algunas
empresas con una actividad económica principal. Asimismo, se aplica el modelo
de Altman como punto de referencia para calcular la distancia al incumplimiento
de las empresas analizadas.
El aporte principal en el uso de esta metodologı́a es la inclusión del factor económico local y externo para la comprensión del fenómeno del entorno
económico en que se desenvuelve la economı́a, y encontrar una posible vinculación con la situación financiera de las empresas exportadoras según la rama
económica a la que pertenezcan, y comparar el estado financiero de las empresas
con el modelo de Black-Scholes-Merton, para alertar de las posibles dificultades
económicas de las empresas exportadoras de acuerdo al panorama económico
global que vive el comercio exterior.
En una empresa, el incumplimiento ocurre cuando ésta no cumple con su
compromiso, como el pago de una cuota de un crédito o el cupón de un bono. La
quiebra económica ocurre cuando el valor económico de los activos es inferior al
valor económico de las obligaciones de la empresa (el patrimonio es negativo).
∗
Consultor independiente, [email protected]
94
En el estado de arte, se tiene una variedad de modelos sobre el incumplimiento de empresas. Entre los modelos estadı́sticos se encuentran los de
análisis discriminante (Altman, 1968), el cual tomamos como referencia para
comparar nuestros resultados con la metodologı́a propuesta, los modelos probit y logit (Shumway, 2001, Bunn y Redwood, 2003, Chava y Jarrow, 2004).
Estos modelos probabilı́sticos, tratan de identificar variables que se comporten
distinto cuando el evento de insolvencia ocurre que cuando no lo hace.
Ası́ también, se tienen los modelos basados en la teorı́a de opciones
(también llamados ”modelos teóricos” o ”de riesgo de crédito”), cuya investigación seminal fue hecha por Merton (1974) y la cual ha sido muy utilizada
en el ambiente financiero, especı́ficamente en la evaluación de riesgo de crédito
corporativo. Una de sus variantes, el modelo KMV, fue desarrollada por Vasicek (1984) para la corporación KMV (comprada por la agencia clasificadora
de riesgo Moodys), cuyo punto central de este modelo es el cálculo de la distancia al incumplimiento”, que corresponde al número de desviaciones estándar
(del valor de los activos de la empresa) que separan al valor de la empresa actual de aquél valor en que se producirı́a el incumplimiento, para un horizonte
determinado. En este tipo de modelos, hay atrás una base teórica económica
formal.
La literatura internacional sirve de guı́a para el desafı́o de encontrar algo
diferente y a la vez práctico que nos ayude a prevenir esa incertidumbre
económica que experimentan las empresas ante una crisis financiera global,
como por ejemplo la que fue por las hipotecas subprime en Estados Unidos
de América, por estar ligada nuestra economı́a al ciclo económico de Estados
Unidos.
Es importante señalar que diversos autores destacan que los modelos que
ocupan exclusivamente variables contables y macroeconómicas alcanzan niveles
de precisión inferiores en la predicción del incumplimiento (Bunn y Redwood,
2003).
Por otro lado, modelos estadı́sticos que incluyen la distancia al incumplimiento (o la probabilidad estimada de incumplimiento) tienden a alcanzar mayor precisión que los modelos de riesgo de crédito (Due y Wang, 2004).
Se establecieron cinco variables económicas para calcular el factor
económico local y en el comercio exterior se tomó el cociente exportaciones
/ importaciones de las ramas que integran la economı́a.
Para poder realizar esta investigación, fue necesario tener criterios de selección de muestras y buscar las fuentes de información (principalmente Banco
de México y del INEGI, Bolsa Mexicana de Valores, Sistema de Información
Regional de México, etc), a fin de cuentas se utilizaron varias bases de datos.
Se analizaron empresas de los diferentes sectores económicos, tanto cotizadas
en Bolsa como no cotizadas en ella.
Con esta investigación, se encuentra una matriz de expectativas de las
ramas económicas de acuerdo a su factor económico local y externo, y por consiguiente, alertar a las empresas de las ramas económicas que puedan presentar
dificultades posteriormente.
La sectorización económica y la probabilidad de incumplimiento
95
1. Factores económicos financieros
1.1 Metodologı́a para el factor económico local por rama económica
La metodologı́a que se utiliza califica a los sectores económicos con base en
factores de riesgo obtenidos a partir del comportamiento de cinco indicadores
económicos y financieros para cada sector, estos son: Producto Interno Bruto
(PIB), exportaciones, solvencia económica (Cartera Vencida), generación de
divisas y el ı́ndice de precios al productor. Para los indicadores, la metodologı́a
compara cada sector con toda la economı́a (que representa el promedio); ası́ ,
un sector es considerado de mayor riesgo en la medida en que la evolución de sus
indicadores presenta un desempeño inferior al de la economı́a en su conjunto.
Tasa de crecimiento. Con el fin de evitar que las unidades de medición
de cada indicador influyeran sobre la medida del riesgo, es decir que aquellos
indicadores con un orden de magnitud mayor al de otros tuvieran un peso mayor
en la medición del riesgo, los datos de cada variable se transformaron en tasas
(de crecimiento). Se tomaron los cocientes de las distintas tasas de crecimiento
de cada sector con respecto a los de toda la economı́a con el objetivo de que el
resultado tuviera una interpretación directa sobre el desempeño de cada sector.
Cocientes mayores a uno corresponden a sectores con un mejor desempeño al
de la economı́a, mientras que cocientes menores a uno corresponden a sectores
con un desempeño inferior.
El valor de cada factor se obtiene a partir de su comportamiento histórico,
asignando un peso mayor a los datos más recientes.
Ası́ se tiene, sólo para ejemplificar la manera del desarrollo de la tasa de
crecimiento de estas variables económicas, el factor correspondiente al ı́ndice
del PIB. Se estima de la siguiente manera:
T P IB = w1 · T P IB1 + w2 · T P IB2 + ... + wn · T P IBn
(1.1)
donde wi es el peso que se da a la observación de la tasa de crecimiento
del PIB en el perı́odo ”i”.
Este ponderador se estima de tal forma que los datos más recientes tengan
un mayor peso en la tasa de crecimiento utilizada, de acuerdo a la siguiente
fórmula:
T P IBi × i
wi = P
i = 1, 2, ..., n
(1.2)
T P IBi × ii
Posteriormente se normalizan los factores correspondientes a cada tasa de
crecimiento considerando todos los sectores, es decir, se cambian de escala, de
tal forma que el promedio de cada factor para todos los sectores sea igual a uno.
Con esta normalización se sigue preservando la interpretación de relación entre
el sector y el total de la economı́a, en el sentido de que factores con valores
mayores a uno corresponden a sectores con un desempeño superior al promedio
de toda la economı́a (igual a uno).
Mediante la suma ponderada de cada factor de riesgo normalizado, se obtiene un indicador de riesgo para cada sector. Se repite el mismo procedimiento
de la tasa de crecimiento para las demás variables económicas a analizar, como
son: Exportaciones (Exp), Cartera Vencida (CV), Cartera en Moneda Extranjera (CME) y el Índice Nacional de Precios al Productor (INPP).
96
Se define un vector de equilibrio de ponderación para los factores
económicos locales, a saber V̄e q = [0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2], donde cada componente del vector corresponde a cada variable económica, y tiene el mismo peso.
Este vector de equilibrio se toma como referencia para encontrar las ramas
económicas que presentan un mejor comportamiento que la economı́a.
Estas variables económicas financieras forman un hiperplano en ℜ5 ,
además, como todas las variables están correlacionadas, implica que, a ninguna
variable se le puedaP
asignar un peso total, es decir, pi 6= 1, pi 6= 0, pi < 1 ∀i,
además de cumplir i pi = 1 , esto es, el conjunto de soluciones del vector de
ponderación asignado pertenece a una región factible de soluciones dentro de
un conjunto convexo, sin que toque los puntos extremos.
Las ecuaciones que forman el conjunto de hiperplanos en ℜ5 , puede reducirse con:
0 ≤ pi ≤ 1, ∀i = 1, 2, 3, 4, 5.
5
X
pi = 1
(1.3)
i=1
dónde p1 representa el peso asignado al PIB, p2 representa el peso a las exportaciones, p3 representa el peso a la cartera vencida, p4 representa el peso a
la generación de divisas y p5 representa el peso al ı́ndice nacional de precios al
productor.
Este sistema de ecuaciones lineales representa un conjunto convexo, donde
se establece una solución factible V̄e q.
Si se desea un análisis de sensibilidad con otro vector de ponderación, se
puede designar mediante el método delphi, o mediante una matriz de correlación
de las variables económicas y ver el nivel de influencia que existe entre ellas; la
variable económica que sea más vulnerable de impactar a la economı́a, tendrá
más valor. Es decir, existen variables económicas que tienen mayor concentración de riesgo, y por lo tanto, pesan más en la valoración global para la
estimación de los factores económicos locales.
Para entender el proceso del cálculo del factor económico local, veamos el
caso del comportamiento de la agricultura con respecto a la economı́a nacional:
97
Cuyo factor de riesgo normalizado y ponderado es:
El Factor económico local para las actividades de la industria mexicana, es
obtenido de la siguiente manera:
δri = p1 δP IB + p2 δEXP + p3 δCV + p4 δGEN + p5 δINP P
(1.4)
donde pi = 0.2 son las ponderaciones de los cinco factores económicos del vector
de equilibrio V̄e q.
La variable GEN (Generación de Divisas) está en función de las variables
EXP (Exportaciones), TC (Tipo de Cambio) y CME (Cartera en Moneda Extranjera), y es obtenida mediante la siguiente expresión:
GEN =
EXP · T C
CM E
98
Con este esquema, y con las ponderaciones fijadas en el vector de equilibrio
V̄e q, se obtiene el factor económico local de cada rama:
Nótese que el promedio de las es uno. Lo cual puede apreciarse de manera
inmediata en la siguiente gráfica:
99
En donde resaltan las ramas económicas de Minerales Metálicos no ferrosos,
Azúcar y sus derivados, y Abonos y Fertilizantes.
Ahora bien, para el comercio exterior, es decir para las exportaciones e
importaciones que hay para cada rama económica, se calcula el promedio de las
exportaciones/importaciones para después integrarlo a la matriz de expectativas
con el factor económico local. Se muestra a continuación el resultado obtenido:
100
Las cinco mejores ramas económicas de comercio exterior durante este periodo de análisis fueron: 1. Hortalizas, plantas, raı́ces y tubérculos. 2. Zinc y
sus manufacturas. 3. Bebidas y vinagre 4. Perlas, piedras y metales preciosos
5. Animales vivos.
Las cinco peores ramas económicas de comercio exterior fueron: 1. Seda.
2. Semillas y frutos oleaginosos. 3. Pasta de madera o de materias fibrosas 4.
Las demás fibras textiles vegetales 5. Cereales.
101
La gráfica del factor económico correspondiente al comercio exterior, es la
siguiente:
Se destacaron 29 ramas económicas del comercio exterior mejor que
la economı́a de un total de 97, siendo la mejor hortalizas, plantas, raı́ces y
tubérculos y la peor la rama de la seda.
Por consiguiente, se han calculado el factor económico local de cada rama
a partir de una metodologı́a de la tasa de crecimiento aplicando a éstos una
ponderación asignada por el vector de equilibrio (ec. 1.4).
Se construye la matriz de expectativas, en la cual se analiza la pareja del
factor económico local con el comercio exterior.
En el entorno local, con el vector de equilibrio V̄eq = [0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2]
102
se tiene que solamente 16 de las 72 ramas económicas se encuentran por encima
de la economı́a, esto es, en los cuadrantes II y IV. Por otra parte, para las
ramas económicas que se ubican en el cuadrante I, aunque su factor económico
local no esté bien, las señales del comercio exterior son buenas. En contraste,
una rama económica que se encuentre en el cuadrante III, indica que su entorno
económico local y externo, presenta dificultades.
En una rama económica en particular, cuando el desarrollo del comercio exterior es muy grande en comparación con su entorno económico local,
quiere decir que la empresa cuya actividad económica principal está en esa
rama económica, puede estar estable en el futuro; y por el contrario, si el desarrollo del comercio exterior de esa rama económica es casi nulo, la empresa
exportadora va a presentar dificultades financieras en el futuro.
Se define como zona de equilibrio a aquella área en donde la empresa puede
estar estable, y se encuentra ubicada en la zona concéntrica de los cuatro
cuadrantes.
Para mostrar esta zona con casos especı́ficos, se tomaron cuatro empresas
que pertenecen a diferentes actividades económicas, y haciendo equiparable su
rama económica local con la rama económica externa, se muestra el factor
económico local y externo de cada una de ellas.
Se ubica a las parejas del factor económico local y comercio exterior (δr , er ) en
la matriz de expectativas, como se muestra:
103
Dos empresas se encuentran en zona de inmadurez, y las otras dos están en
zona de desarrollo, de acuerdo a su factor económico local y comercio exterior.
Por otra parte, se analiza la parte financiera de las cuatro empresas de
acuerdo a la ecuación de Black-Scholes-Merton, por medio de la distancia de
incumplimiento1, γ, y la probabilidad de incumplimiento N (−γ):
γ=
ln
VA
D
+ r − 12 σ 2 τ
√
σ τ
(1.6)
Este valor de γ es simplemente el número de desviaciones estándar que hay
desde el valor de la empresa hasta el punto umbral, y cuanto menor sea el valor
de γ, mayor es la probabilidad de que la empresa incumplirá su deuda.
El cuadro financiero de estas empresas es:
De la ecuación de Black-Scholes-Merton VE = VA N (d1 ) − Derτ N (d2 ) donde N (·)
es la función
de probabilidad
acumulada y de una distribución normal estándar,
1
d1 =ln
VA
D
+ r+ 12 σ2 τ
√
,
σ τ
√
d2 = d1 − σ τ .
Distancia de Incumplimiento
En esta caso
γ
es
d2
y es definida como la
104
Retomando la idea de la matriz de expectativas de una empresa, si el factor
(δe / δr ) ≥ 1 indica que el comercio exterior presenta buenos augurios en esa
rama económica en particular, y por lo tanto, se puede apoyar a la empresa
para que venda sus productos al exterior. Si este factor es menor que uno,
puede estar en zona de inmadurez o de adaptación, por lo que hay que analizar
más a detalle a la empresa, ya que este indicador es un punto de alerta.
2. Z-Altman
El ciclo de vida que se presenta en los sectores, empresas y productos es una
propuesta teórica cuyo origen se atribuye a Raymond Vernon (1966). Además,
un gran número de otros autores la han desarrollado en un nivel teórico; pero
existen también como apoyo, investigaciones que prueban partes de esta teorı́a,
como los de Chandler (1962, 1977), Byars (1984, 1992), Greiner (1972), Lambin
(1995) entre otros.
Ellos han explicado que las industrias y las empresas pasan por diferentes
etapas dentro de su vida, las cuales están asociadas con los productos que
venden, la tecnologı́a que utilizan y los mercados objetivo.
Ası́, se tiene que el desarrollo de cualquier tipo de actividad empresarial
lleva implı́cita un determinado conjunto de riesgos. Este concepto general del
riesgo se puede ver de diferentes maneras, siendo los principales: el riesgo de
negocio, que hace referencia a la variación en el volumen de ventas o ingresos; el
riesgo operativo derivado de la falla humana o de sistemas y que representan un
costo económico y el riesgo financiero, como resultado del diseño de la estructura
de capital.
El no cumplimiento de los objetivos marcados por la empresa puede provocar una situación de fracaso, bien porque devenga en insolvencia al no poder
hacer frente al pago de sus obligaciones en el momento de su vencimiento, o
bien porque su tasa de crecimiento sea inferior a la prevista; o simplemente
porque en vez de beneficios obtiene pérdidas.
Las causas de incumplimiento son varias, afectando algunas a la generalidad de las empresas y otras a sectores determinados, las podemos agrupar en
causas externos e internos. Generalmente existe una relación entre los ciclos
macroeconómicos y los ciclos económico-empresariales.
105
Altman desarrolló una metodologı́a que permite discriminar los riesgos
crediticios asociados a las empresas para predecir una probabilidad de
incumplimiento. Calcula el valor de Z con el método estadı́stico análisis multi
discriminante con un grado de predicción de quiebra de una empresa con una
año de anticipación en un 90%. Su fórmula usada en el modelo es
Z = 1.2X1 + 1.4X2 + 3.3X3 + 0.6X4 + 0.999X5
(2.1)
dónde las Xi son las razones financieras de Altman, es decir, X1 es el capital circulante/total del activo, X2 son las utilidades no distribuidas/total del
activo, X3 son los beneficios antes de intereses e impuestos (BAII)/total del
activo, X4 es el valor de mercado de las acciones/valor contable de la deuda,
X5 ventas/total del activo.
Asimismo, propuso de acuerdo al valor Z, la siguiente relación de probabilidad de quiebra:
Tomando como referencia el modelo de Altman, se calcula el valor Z a las cuatro
empresas vistas anteriormente:
Se compara con los resultados obtenidos aplicando el modelo de Black-ScholesMerton, con el fin de mostrar la congruencia entre Altman y Merton en el
indicador de la solvencia económica.
3. Análisis de resultados
Primero, se obtuvo el factor económico local y del comercio exterior, que nos
da un panorama del entorno de la economı́a doméstica e internacional. Para
las cuatro empresas analizadas de diferentes ramas económicas, se obtuvo que
el factor económico local de las cuatro empresas fue menor que el economı́a,
y en cuanto al desarrollo externo, dos de las empresas analizadas presenta un
comercio exterior mejor que el promedio de la economı́a.
Ahora, de acuerdo a la aplicación de Merton con respecto a la Distancia al
incumplimiento, y su probabilidad de quiebra de la empresa, se tiene que tres
de las cuatro empresas analizadas están en la banda de zona de bancarrota, y la
otra está ligeramente en la zona incierta, es decir, puede caer o no en quiebra.
106
Integrando la distancia al incumplimiento con el factor económico local y
externo, se tiene como resultado que la empresa 2 merece una atención especial,
ya que aunque no se puede inferir que caiga en bancarrota, las señales de alerta
están presentes. Por lo que se sugiere un estudio financiero más profundo hacia
el interior de esta empresa.
Se muestran los resultados obtenidos de la aplicación de los métodos a las
cuatro empresas. Véase la figura 3.1.
4. Conclusiones y lı́neas de investigación
4.1. Conclusiones
Se ha desarrollado una metodologı́a de estimación del factor económico local y
comercio exterior mediante una asignación de pesos de las variables económicas.
Se calculó la distancia al incumplimiento de cuatro empresas con diferentes
ramas económicas.
Se define un vector de equilibrio V̄eq = [0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2], el cual sirve
como punto de referencia para calcular el factor económico local de cada rama, y
107
se crea una matriz de expectativas, en la cual se ubican los factores económicos
locales y externos para realizar un análisis del panorama económico empresarial.
Los resultados obtenidos de las ramas económicas nos dice que, hay 16
ramas económicas cuyo comportamiento es mejor que la economı́a nacional,
destacando las ramas de Minerales Metálicos no Ferrosos, Azúcar y sus Derivados, y Abonos y Fertilizantes, lo que significa que una empresa si tiene buenos
indicadores financieros y se encuentra dentro de estas ramas productivas, es
muy difı́cil que esté en un futuro próximo en incumplimiento.
Ahora bien, veamos el caso del comercio exterior, el cual nos dice que el
promedio de las exportaciones/importaciones de las 97 ramas que se analizaron,
dieron como resultado que 29 ramas económicas tuvieron un desempeño mejor
que el promedio, y que estas fueron principalmente, las ramas de Hortalizas,
plantas, raı́ces y tubérculos; Zinc y sus manufacturas; y Bebidas y vinagre,
por lo que las empresas que se encuentran en estas actividades y tienen buena
administración financiera, tienen poca probabilidad de incumplir.
Se aplica el modelo de Black-Scholes-Merton utilizando variables financieras a cuatro empresas, obteniéndose que de las cuatro empresas una presenta problemas financieros.
También es importante señalar que esta metodologı́a del factor económico
local y comercio exterior presenta un panorama global de las ramas económicas,
y solamente alerta sobre posibles dificultades económicas, pero no se puede
inferir la bancarrota de una empresa.
4.2. Lı́neas de investigación
En el modelo de Merton, se deja para un estudio posterior más completo la idea
de la relación de la volatilidad del mercado con la volatilidad local, mediante la
incorporación de las exportaciones e importaciones, y de alguna manera incluirla
en la distancia al incumplimiento.
Otras lı́neas de investigación que se pueden desarrollar en el incumplimiento
de las empresas de acuerdo a su actividad económica principal, es la formación
de alianzas económicas por ramas de actividad entre varias empresas y medir
el impacto en el mercado competitivo.
Otra, es que en una cadena productiva, si el producto final compuesto
por todas las partes que producen las empresas Ei , si la empresa Ej está en
incumplimiento, ”es suficiente para que todas las empresas que formen parte
de la cadena productiva caigan también en incumplimiento”? Serı́a interesante
identificar y llevar este seguimiento de aplicación a las cadenas productivas para
conocer cuántas empresas han caı́do en bancarrota cuando una de ellas está en
bancarrota.
También serı́a interesante conocer qué tipo de empresa o de qué rama
económica son aquellas empresas que reciben el apoyo gubernamental cuando
están en el lı́mite de incumplir en sus obligaciones crediticias, y si este apoyo
económico o de beneficios es decisivo para no caer en incumplimiento.
Datos
Insumos para la obtención del factor de riesgo en las ramas económicas en
México, periodo de 2004 a 2009.
A) Tipo de Cambio (pesos/dólares).
B) Producto Interno Bruto.
108
C) Exportaciones.
D) Cartera Vencida
E) Cartera en Moneda Extranjera
F) Índice Nacional de Precios al Productor
5. Apéndice
5.1 Conjuntos convexos
Definición 5.1
Sean X1 y X2 dos subconjuntos convexos de ℜn . Se verifica que
• X1 ∩ X2 es un subconjunto convexo.
• X1 + X2 = x1 + x2 ∈ ℜn /x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 .
Definición 5.2
Dado un conjunto M = x1 , x2 , ..., xm de elementos de ℜn . Se dice que x ∈ ℜn
con
x = α1 x1 + α2 x2 + ... + αm xm =
m
X
α i xi
i=1
son
• combinación lineal de elementos de M si αi ∈ ℜn .
• combinación lineal no negativa de los elementos de M si αi ≥ 0, i =
1, ..., m.
• combinación lineal convexa de los elementos de M si αi ∈ [0, 1], i =
1, ..., m.
Pm
Y además, i=1 αi = 1.
109
5.2 Insumo de las variables económicas para el cálculo del factor local
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Casar, J. I., G. Rodríguez y J. Ros (1985). Ahorro y balanza de pagos: un
análisis de las restricciones al crecimiento económico de México. Economía
Mexicana, núm. 7, pp. 21-33.
Cox, J. C, J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). An Intertemporal General
Equilibrium Model of Asset Prices. Econometrica, 53(2), pp. 363-384.
Fuller, W A. (1996). Introduction to Statistical Time Series. 2nd ed., John
Wiley, New York.
Granger, C. W. (1980). Long Memory Relationships and the Aggregation of
Dynamics Models. Journal of Econometrics, 14(1), pp. 227-238.
The
Trouble
with
Rational Expectations and the Problem of Inflation
Stabilization, en R. Fredman y E. S. Phelps (comps.).
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Casar, J. I., G. Rodríguez y J. Ros (1985). Ahorro y balanza de pagos: un
análisis de las restricciones al crecimiento económico de México. Economía
Mexicana, núm. 7, pp. 21-33.
Cox, J. C, J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). An Intertemporal General
Equilibrium Model of Asset Prices. Econometrica, 53(2), pp. 363-384.
Fuller, W A. (1996). Introduction to Statistical Time Series. 2nd ed., John
Wiley, New York.
Granger, C. W. (1980). Long Memory Relationships and the Aggregation of
Dynamics Models. Journal of Econometrics, 14(1), pp. 227-238.
The
Trouble
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