administración, finanzas y economía

Transcripción

REVISTA DE
Volumen 1
Número 2
Julio-Diciembre
2007
ADMINISTRACIÓN, FINANZAS
Y ECONOMÍA
(Journal of Management, Finance and Economics)
Artículos
Elvio Accinelli y Juan Gabriel Brida
Modelos económicos con múltiples regímenes
Linda Margaita Medina Herrera y Ricardo Mansilla C
Un árbol de expansión mínima en la Bolsa Mexicana de Valores
Irazú de la Cruz Gómez
Capacidades y estrategia competitiva: propuesta de un modelo para su
desarrollo dentro de un sector
Francisco Venegaz-Martínez y Roberto Ballinez-Ambriz
Control óptimo estocástico en una economía bajo riesgo e
incertidumbre
Francisco Venegaz-Martínez y J. Victor Reynoso-Vendrell
The Valuation of Mortgage Backed Securities with Stochastics
Probabilities of Default and Prepayment
René Benjamín Pérez Sicairos
Determinación de una estructura de plazos para el merado de renta fija
de México mediante un modelo de tres factores para la dinámica de la
tasa corta
TECNOLÓ GICO DE MONTERREY
CAMPUS CIUDAD DE MÉXICO
Revista de Administración, Finanzas y Economía
(Journal of Management, Finance and Economics)
Director
Dr. José Antonio Núnez Mora
Tecnológico de Monterrey
Directores Adjuntos
Carlos M. Urzúa
Enrique Cá sares
José C. Ramírez-Sánchez
Universidad Autónoma Metropolitana
Comité Editorial
Albe rto Herná ndez
AntonioRuiz-Porras
Edgar Ort iz
Elvio Accinelli
José L. de la Cruz
Anabella Dávila
Universidad de Guadalajara
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Economía de la UASLP
ISSN: en tr ámite
Revista de Administració n, Finanzas y Economí a
Escuela de Negocios
Escuela de Graduado s en Administración y Dirección de Empresas, EGADE
Tecnoló gico de M o nterrey, Campus Ciudad de M éxico
Calle del P uente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Tlalpan. C.P . 1 4380, M éxico D.F.
Aulas III, cuarto piso. Tel. +52 (55) 54832020 ext. 1390 y 1392
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Artı́culos
Página
Elvio Accinelli y Juan Gabriel Brida
Modelos Económicos con Múltiples Regı́menes..........................................96
Linda Margarita Medina Herrera y Ricardo Mansilla C
Un árbol de expanción mı́nima en la Bolsa Mexicana de Valores ...........116
Irazú de la Cruz Gómez
Capacidades y estrategia competitiva: propuesta de un modelo
para su desarrollo dentro de un sector.......................................................125
Francisco Venegas-Martı́nez y Roberto Ballinez-Ambriz
Control óptimo estocástico en una economı́a bajo riesgo
e incertidunbre...........................................................................................134
Francisco Venegas-Martı́nez y J. Vı́ctor Reynoso-Vendrell
The Valuation of Mortgage Backed Securities with Stochastic
Probabillities of Default and Prepayment...................................................148
René Benjamı́n Pérez Sicairos
Determinación de una estructura de plazos para el mercado de renta
fija de México mediante un modelo de tres factores para la dinámica
de la tasa corta.........................................................................................169
1
Revista de Administración, Finanzas y Economı́a (Journal of Management, Finance and
Economics), vol. 1, núm. 2 (2007), pp. 96-115.
Modelos Económicos con
Múltiples Regı́menes†
Elvio Accinelli††
Juan Gabriel Brida†††
Recibido 29 de noviembre 2007, Aceptado 30 de mayo 2007
Resumen
En este trabajo introducimos una formalización del concepto de régimen económico. Hacemos una revisión acerca de las nociones básicas y las distintas
definiciones de régimen económico y cambio de régimen para describir como
estas nociones aparecen implı́cita o explı́citamente en diferentes áreas de la literatura económica. Luego describimos un método para representar la dinámica
de cambio en modelos económicos con múltiples regı́menes. La idea central es
que en estos modelos el espacio de los estados de la economı́a puede ser dividido
en subconjuntos cada uno de ellos representando uno de los regı́menes posibles
que puede ocupar la economı́a. De esta manera es posible observar dos tipos
de dinámica: una dentro del régimen, propia de cada estado, y una de cambio
de un régimen a otro. Para representar la dinámica de cambio entre regı́menes,
cada uno de ellos es representado con un sı́mbolo (etiquetado). De esta manera la dinámica de cambio de regı́menes tiene como dominio un conjunto de
sı́mbolos que representan los estados posibles de la economı́a en estudio. Es
entonces posible en el análisis de la dinámica de cambio de régimen usar las
herramientas de la dinámica simbólica, obteniendo en algunos casos representaciones mediante grafos dirigidos y matrices de los que se pueden comprender
algunas de las propiedades fundamentales de la dinámica de regı́menes del modelo.
Abstract
In this paper we introduce the concept of economic regime. We review the
basic notions and different definitions of economic regime and regime switching
to describe how these notions appear implicitly or explicitly in different areas
of the economic literature. Then we introduce a method to represent dynamics
† Our research was supported by Conacyt-Mexico , project 46209 and by the Free University of Bolzano, project: ” Dynamica l Regimen sin Economics: modellin gand statistical
tools”
†† Universidad Autónoma Metropolitana (Unidad Azcapotzalco) y Universidad Autónoma
de San Luis Potosı́(Facultad de Economı́a), México. E-mail: [email protected]
††† School of Economics and Management - Free University of Bolzano, Italy. E-mail:
[email protected]
Modelos Económicos con Múltiples Regı́menes
97
across regimes in multiple regime economic models. In these models the state
space of the economy can be divided in regions, each of them representing a
different regime of the economy. Then, we have a twofold dynamics: one within
a given regime and one across regimes. To represent dynamics across regimes,
each regime is labeled with a symbol and so doing, the domain is a set of
symbols representing the possible states of the economy. Then the evolution of
the economy is represented by a coded dynamics. The latter is related with the
more formal, mathematical branch called symbolic dynamics. Such proximity
often permits the use of formal techniques that are well established in the
mathematician’s tool box to represent dynamics across regimes with directed
graphs and matrices and to extract dynamical properties of the models.
Clasificación JEL: C49, G11
Palabras Clave: Árbol de expansión mı́nima, matrices de correlación, análisis de portafolios
1. Introducción
Muy frecuentemente podemos observar en economı́a que relaciones muy distintas gobiernan la conducta dinámica en diferentes situaciones. Si definimos un
régimen económico como una conducta dinámica cualitativa que puede ser claramente distinguida de otras conductas (llamadas también regı́menes), entonces
una economı́a ideal deberı́a representarse con un modelo que admita múltiples
regı́menes. En este tipo de modelo pueden ser distinguidas dos dinámicas, una
al interno de cada régimen y otra de cambio de régimen. La primera puede ser
vista como un modelo local de la economı́a cuando esta ocupa un determinado
régimen y es, en cierto sentido, una dinámica ”puntual” a la que pueden ser
aplicados los métodos tradicionales a la hora de estudiar sus propiedades. Por
otro lado, la dinámica de cambio de régimen puede ser interpretada como un
cambio estructural en la economı́a ya que lo que cambia es el modelo que la
representa. Es claro que esta dinámica tiene como dominio un conjunto discreto
(el conjunto de los regı́menes que puede ocupar la economı́a) y en este trabajo
intentaremos introducir un método para representarla. Este método esta estrechamente relacionado con una rama de la teorı́a de los sistemas dinámicos
llamada dinámica simbólica.
Gran parte de la historia económica reciente de varios paı́ses se puede reproducir como una sucesión de cambios de régimen de crecimiento económico.
El objetivo central de este trabajo es el de proponer un instrumento (la dinámica
codificada y la dinámica simbólica) para analizar la dinámica de estos fenómenos
con múltiples regı́menes, esto es, para la dinámica donde los saltos de régimen
de crecimiento económico representan cambios estructurales, cambios cualitativos abruptos en el tipo de dinámica económica observada. Desde el punto
de vista teórico esta impostación se inspira en la investigación en sistemas
dinámicos complejos, donde los investigadores recolectan datos o construyen
modelos para determinar cuales variables o parámetros pueden ser importantes
para la identificación de regı́menes y sus fronteras. Los dos aportes de este
trabajo son la introducción del formalismo y la terminologı́a de la dinámica
con múltiples regı́menes y la aplicación de estas técnicas de codificación en
algunos ejercicios simples en modelos con dos regı́menes. Partiendo de estos
ejercicios, mostramos la relación de los modelos con múltiples regı́menes con la
macroeconomı́a dinámica clásica.
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Revista de Administración, Finanzas y Economı́a
Dado que el concepto de régimen económico aparece reiteradamente y
con varias acepciones en la literatura económica, empezaremos este artı́culo
(sección 1) haciendo una revisión de algunos trabajos relevantes en la literatura
económica en los que el concepto de régimen juega un papel importante para
poder unificar criterios y obtener una definición coherente y general. Luego de
esta revisión, en la sección 2 propondremos una definición formal de régimen
económico que intente capturar las distintas acepciones del término. A partir de esta definición, hacemos una reformulación de los conceptos dinámicos
más importantes en términos de la dinámica de cambio de regı́menes y presentamos la simbolización como método de representación de dicha dinámica.
Finalmente, en la sección 3 presentamos un ejemplo ilustrativo de la utilización
del método para un modelo con dos regı́menes donde la dinámica de cambio de
regı́menes es representable mediante un grafo dirigido. Este trabajo tiene como
antecedentes dos trabajos conjuntos (Brida y Punzo (2003) y Brida, Puchet
y Punzo (2003)) en el que se reinterpreta una parte importante de la historia
de las teorı́as del ciclo económico mediante modelos con múltiples regı́menes
4
y se introducen algunas técnicas estadı́sticas para el trabajo con fenómenos
con múltiples regı́menes y varios trabajos de Punzo (Punzo (1995, 1996, 1997),
Punzo y Bhm (1992, 1994, 1997, 1998), Punzo, Abraham y Hotton, (1996))
acerca del cambio económico estructural y métodos en dinámica económica.
Hemos construido este artı́culo basados en estos antecedentes, pero dando un
paso adelante al introducir la posibilidad de representar la dinámica del cambio
económico estructural a través de una sucesión de sı́mbolos y el uso de esta
para recabar propiedades del cambio estructural.
2. El concepto de régimen económico
El término régimen tiene una larga historia en la literatura económica. Ha
sido usado implı́cita o explı́citamente en forma extensiva en varias áreas refiriéndose no solamente a aspectos metodológicos sino también analı́ticos, de
polı́tica económica, etc. A pesar del uso extensivo del término, este no esta bien
definido y no significa lo mismo para los distintos autores que lo utilizan. Desde
el punto de vista intuitivo, un régimen es una conducta económica cualitativamente distinta de otras conductas económicas también llamadas regı́menes. Un
ejemplo cotidiano de regı́menes económicos lo podemos tener en la separación de
las economı́as de acuerdo a los niveles de inflación que presentan en régimen de
inflación controlada, régimen de deflación, régimen de inflación elevada, etc. Es
claro que una economı́a puede pasar por estos distintos regı́menes de inflación
y que sus mecanismos de funcionamiento cambian al cambiar la economı́a de
régimen. Entonces, para poder establecer un modelo global de una economı́a
(con respecto a la variable inflación en este caso), uno tiene que pensar en un
modelo que pueda ser descompuesto en distintos modelos locales, cada uno de
estos representando un régimen de la economı́a. Es claro que interesa conocer
el modelo global pero nosotros nos concentraremos en la modelización de los
cambios de régimen, es decir en cuales son las reglas de cambio del modelo local.
Desde el punto de vista económico, un régimen esta caracterizado por un
conjunto de reglas e instituciones que representan la economı́a y generan su
4
En este trabajo ya aparece la idea de usar la codificación en la representación de los
regı́menes económicos.
99
conducta dinámica cualitativa. Por lo tanto, un cambio de régimen se asocia
con un cambio en ese conjunto de reglas e instituciones. Desde el punto de
vista matemático, hay un cambio de régimen cuando cambia la naturaleza de
una ecuación. Los cambios de régimen pueden ser continuos o discontinuos y
muy frecuentemente están asociados a shocks, valores umbrales, bifurcaciones
o puntos de cambio en la economı́a. El mecanismo que causa los cambios de
régimen puede ser endógeno o exógeno, siendo la primera de estas posibilidades
la perspectiva que tendremos en este trabajo. Los cambios de régimen pueden
ser reversibles o irreversibles, pero sólo los cambios reversibles tienen interés
a la hora de entender las relaciones entre las fluctuaciones de las variables
económicas y los cambios de régimen. La idea de cambio de régimen entre
sucesivos perı́odos de expansión y contracción en la dinámica del ciclo económico
es también relevante en la prensa popular donde lo que interesa es identificar y
predecir los puntos de cambio en la actividad económica5 .
Los modelos económicos con múltiples regı́menes seguramente recibieron
su primera versión sofisticada en los trabajos de Georgescu-Roegen (1951), en el
que estudió los fenómenos de oscilaciones de relajación en modelos económicos
lineales. El autor atribuye a Le Corbeiller (1933) la idea de que las oscilaciones de relajación (introducidas por van der Pole en la literatura matemática)
pueden ser usadas para representar los ciclos económicos en un modelo con dos
regı́menes. En particular, el autor afirma que la propiedad de periodicidad
asimétrica que se encuentra en los fenómenos de oscilaciones de relajación es
fundamental para capturar los ciclos económicos, tratados hasta ese momento
como un fenómeno periódico. En los fenómenos de oscilaciones de relajación
uno puede distinguir dos regı́menes distintos que dan lugar a dos fases diferentes en la dinámica del modelo. Estos fenómenos son un caso particular de
modelos con dos regı́menes, donde el cambio de régimen es debido a una discontinuidad en la función que genera la dinámica6. Estos puntos de vista de
Georgescu-Roegen acerca de los ciclos económicos inspiraron a Goodwin (1951)
y Leontief (1953), pero, fuera de estas contribuciones, la posibilidad del uso
de las oscilaciones de relajación como modelo de los ciclos económicos fue casi
abandonada en la literatura teórica moderna.
Para muchos historiadores de la economı́a, el crecimiento económico deberı́a ser descrito en términos de estadios de desarrollo. Para estos, las economı́as han pasado a través de las épocas históricas con muy diferentes estructuras caracterizadas por distintas tecnologı́as, modos de producción y organizaciones sociales. Es entonces que en este ámbito, las ideas de régimen y
cambio de régimen aparecen en modo natural relacionadas a los estadios de
desarrollo. Estos estadios cambian con el tiempo dando lugar a distintas estructuras con diferencias cualitativas en sus conductas dinámicas7 .Esto es, el
desarrollo económico involucra cambios no sólo en los niveles de las variables
5
Un ejemplo bien conocido es el chartismo.
6
“The difference between up and down swings is created by a certain discontinuity in
the regime. Such a discontinuity will introduce a discontinuity of the movement (at least in
size or in direction). Therefore the movements related to each phase will be described by a
different function.” (Georgescu-Roegen, (1951, p.117).
7
Siguiendo a Schumpeter, podemos distinguir entre crecimiento, explı́citamente definido
como un fenómeno cuantitativo, y desarrollo, un “cambio discontinuo que viene desde el
interno del proceso económico a causa de la naturaleza del proceso” (Georgescu-Roegen 1976,
100
sino también cambios en el modo en que la economı́a funciona. Estos cambios
pueden incluir modificaciones en las tecnologı́as, la emergencia de nuevas instituciones socioeconómicas, la utilización de nuevos recursos, cambios en los
gustos y preferencias del consumidor, etc. Todos estos cambios introducen una
modificación cualitativa en la conducta dinámica de la economı́a. La literatura en desarrollo económico contiene descripciones de varios aspectos del
proceso de cambio de régimen asociados al cambio estructural. Conceptos
como el “big push” (Rosenstein-Rodan, 1943), el “crecimiento no balanceado”
(Streeten, 1959), las “trampas de pobreza” (Nurkse, 1953) o las “economı́as
duales” (Lewis, 1954) están todos conectados con un cierto tipo de cambio de
régimen en el sistema económico. Integrando la teorı́a económica con la historia, en su libro The Stages of Economic Growth (Rostow (1960)), Walt W.
Rostow presenta una clasificación de los sistemas económicos en cinco categorı́as
(o regı́menes), cada una de ellas con su propia conducta dinámica, donde cada
economı́a puede pasar por estos regı́menes en forma ascendente a lo largo de
su historia. Es claro que en la visión de Rostow los cambios de régimen son
irreversibles y además están dados en un cierto orden y el escenario parece ser
mucho más complejo de lo que sostienen los economistas del desarrollo.
Genéricamente, los modelos con múltiples regı́menes se pueden caracterizar por la presencia de múltiples equilibrios, al menos uno por cada régimen y,
recı́procamente, muchas veces es útil interpretar un modelo con múltiples equilibrios mediante la posibilidad de exhibir múltiples regı́menes. Sabemos que en
los modelos económicos de última generación, la presencia de múltiples equilibrios8 es una propiedad genérica. Por ejemplo, los modelos macroeconómicos
donde hay fallas de coordinación, spillovers y complementariedades estratégicas
pueden producir múltiples equilibrios9. En gran parte de esta literatura, los
equilibrios son Pareto-ordenables y uno de los problemas es el de encontrar
mecanismos que permitan pasar de un equilibrio a otro. Generalmente los cambios de equilibrio se deben a shocks y muchas veces son modelados mediante
procesos de Markov10.
La noción de régimen económico ha sido también introducida en la nueva
literatura empı́rica en crecimiento económico11 en referencia al problema de
la convergencia por S.N. Durlauf, P.A. Johnson y D. Quah entre otros autores. Tı́picamente los modelos teóricos del crecimiento económico analizan
la conducta dinámica de una única economı́a nacional representativa pero, si
analizamos las experiencias históricas observadas en las economı́as nacionales
durante el siglo XX, vemos que no hay evidencia para el uso de una única
economı́a nacional representativa. Es bien conocido el resultado de que el modelo neoclásico de crecimiento implica la convergencia (bajo ciertas hipótesis
standard) de todas las economı́as nacionales hacia un único valor de equilibrio
de largo perı́odo de la tasa de crecimiento del output per cápita independientep. 245).
8
Generalmente son dos equilibrios llamados “alto” y “bajo”, “bueno” y “malo”, etc.
9
En Diamond (1982), Cooper and John (1988) y Howitt (1985) hay ejemplos de economı́as
que presentan estas propiedades.
10
11
Para un ejemplo, ver Howitt and MacAfee (1992) y Aoki (1996).
Para una revisión de trabajos reciente de investigación empı́rica sobre el problema de la
convergencia en el crecimiento económico ver Durlauf and Quah (1998).
101
mente del nivel inicial del output. La nueva literatura en crecimiento económico
ha presentado evidencia en la persistente divergencia en la tasa de crecimiento
del output per cápita en las distintas economı́as nacionales y ha estudiado como
diferentes hipótesis económicas implican diferentes conductas en las trayectorias
temporales del output per cápita. Esta persistente divergencia ha sido interpretada con la posibilidad de que existan distintos ”clubs” (o regı́menes, para
ponerlo en nuestro lenguaje) de convergencia caracterizados por distintas tasas
de crecimiento de equilibrio donde el conjunto de economı́as nacionales puede
ser dividido en los distintos regı́menes de convergencia.12 Esta evidencia es particularmente compatible con modelos de crecimiento que presentan múltiples
equilibrios, con modelos de crecimiento donde la no convexidad puede producir
múltiples equilibrios que son localmente estables.13
A partir del rol de las expectativas de los agentes de un sistema económico,
Leijonhufvud (1987) introduce el concepto de régimen monetario. Al tomar decisiones, los agentes se forman expectativas acerca del futuro y estas pueden
influenciar la trayectoria dinámica del sistema generando fluctuaciones, equilibrios múltiples, etc. Luego, distintos estados de expectativas dan lugar a distintos regı́menes del sistema.14 La noción de régimen está también relacionada
al concepto de ”corredor de estabilidad” de Leijonhufvud15 : la estabilidad de
una economı́a de mercado no se ve perturbada cuando el sistema es afectado
por shocks suficientemente pequeños (tan pequeños de dejar la economı́a en el
mismo régimen que ocupa actualmente) y tendremos inestabilidad cuando los
shocks son suficientemente grandes para sacar la economı́a del régimen al que
pertenece.16 Podemos entonces identificar diferentes regı́menes en un sistema
12
Contrariamente al modelo lineal que se utiliza comúnmente para estudiar el crecimiento
económico, Durlauf y Johnson (1995) presentan un modelo de crecimiento con múltiples
regı́menes donde las diferentes economı́as son representadas con diferentes modelos lineales
cuando son agrupadas de acuerdo a los valores iniciales del output per cápita. En este trabajo,
los autores encuentran evidencia para la existencia de múltiples regı́menes en la dinámica de
crecimiento en el sentido de que subgrupos de economı́as identificadas por las condiciones
iniciales obedecen a distintas regresiones del tipo de Solow.
13
Ver Azariadis and Drazen (1990) para un modelo de este tipo. La conducta dinámica
de crecimiento en este modelo es tı́picamente no lineal donde economı́as asociadas al mismo
equilibrio obedecen a una regresión lineal común. Los modelos de este tipo presentan “trampa
de pobreza”, donde economı́as con un nivel de output inicial bajo convergen a un nivel de
equilibrio bajo y economı́as con un nivel inicial alto convergen a un equilibrio alto. Quah
(1996) obtiene también evidencia de múltiples regı́menes de crecimiento en el modelo de
Galor y Zeira (1993). Aquı́el modelo tiene una única ley dinámica no lineal que tiene dos
equilibrios localmente estables y las economı́as convergen hacia uno de estos: las economı́as
“ricas” convergen hacia el nivel alto y las pobres hacia el nivel bajo.
14
Como sostiene el autor, “the concept of monetary regime figures prominently in the
recent rational expectations literature. Elsewhere, I have used the following two-part definition of it: a monetary regime is a system of expectations that governs the behavior of the
public and that is sustained by the consistent behavior on the policy-making authorities.”
(Leijonjufvud (1987, p. 44).
15
16
Ver Effective demand failures, capı́tulo 6 en Leijonhufvud (1981).
En Leijonhufvud (1981, Pág. 109-110), el autor presenta la noción de corredor dinámico
en la construcción de una tercera “cosmologı́a” económica entre Neoclasicismo y Keynesianismo en el modo siguiente: “The system is likely to behave differently for large than for
moderate displacements from the full coordination time path. Within some range from the
path (referred to as “the corridor” for brevity), the system’s homeostatic mechanisms work
102
económico con diferentes corredores de estabilidad que corresponden a distintos
estados de las expectativas de los agentes y, de acuerdo con esto, tendremos un
cambio de régimen cuando los shocks sean suficientemente grandes.
No es sorprendente que el concepto de régimen aparezca naturalmente en
el campo de las teorı́as del desequilibrio. Malinvaud (1977, 1980) considera la
existencia de diferentes regı́menes en la economı́a que están asociados a diferentes regiones del espacio de precios y salarios. El modelo macroeconómico
desarrollado en estos trabajos consiste en firmas y agentes que interactúan en
dos mercados: bienes y trabajo. Los precios de los bienes y de los salarios
son rı́gidos y por lo tanto la demanda y la oferta agregadas no son necesariamente iguales. El modelo contiene múltiples regı́menes e interpreta la evolución
económica como un continuo cambio de regı́menes. Cada régimen está basado
en un análisis económico completo y representa un modelo de situación que
puede ser observada por un determinado perı́odo de tiempo. En el análisis
impostado por las teorı́as del desequilibrio uno supone que hay un cambio en
las ecuaciones de precios y salarios de acuerdo a la naturaleza del desempleo:
se pueden identificar los tipos de equilibrio Keynesiano, clásico y de inflación
reprimida de acuerdo a las diferentes ecuaciones de precios y salarios. Entonces
cada equilibrio corresponde a un régimen diferente del modelo. La figura 1
ilustra la partición en regı́menes del espacio de precios y salarios. El punto de
intersección de las dos curvas es el equilibrio walrasiano.
well, and deviation-counteracting tendencies increase in strength. Outside that range these
tendencies become weaker as the system becomes increasingly subject to “effective demand
failures”. If the system is displaced sufficiently“far out”, the forces tending to bring it back
may, on balance, be so weak and sluggish that -for the practical purposes- the Keynesian “unemployment equilibrium model is as sensible a representation of its state as economic static’s
will allow. Inside the corridor, multiplier-repercussions are weak, and dominated by neoclassical market adjustments; outside the corridor, they should be strong enough for effects
of shocks to the prevailing state to be endogenously amplified. Up to a point, multipliercoefficients are expected to increase with distance from the ideal path. Within the corridor,
the presumption is in favor of “monetarist”, outside in favor of “fiscalist” policy prescriptions.
Finally, although within the corridor market forces will be acting in the direction of clearing
markets, institutional obstacles of the type familiar from the conventional Keynesian literature may, of course, intervene to make them ineffective at some point. Thus, a combination
of monopolistic wage setting in unionized occupations and legal minimum wage restrictions
could obviously cut the automatic adjustment process short before “equilibrium employment”
is reached.”
103
Figura 1. Regı́menes en el modelo de Malinvaud. La partición en regı́menes del
espacio de precios y salarios depende de las distintas constelaciones de exceso de
oferta y demanda en los mercados de precios y bienes K = Régimen Keynesiano,
C = Régimen de desempleo clásico, I = Régimen de inflación reprimida y U =
Régimen de bajo consumo.
Cuando hay Exceso de oferta en los dos mercados, la economı́a está en el
régimen Keynesiano. Cuando hay exceso de oferta en el mercado del trabajo
y de demanda en el mercado de bienes estamos en presencia del régimen de
desempleo clásico y el régimen de inflación reprimida se da cuando la demanda
excede a la oferta en ambos mercados. Para completar la partición del espacio
se introduce un cuarto régimen (que se da cuando hay exceso de demanda en
el mercado de trabajo y de oferta en el mercado de bienes y es raramente observable) llamado de bajo consumo. El modelo de Malinvaud es estático pero
trabajos posteriores (como por ejemplo Blad (1981), Blad y Zeeman (1982),
Honkopohja e Ito (1983) e Ito (1980)) introducen la dinámica en el sistema.
Estos trabajos discuten la estabilidad del equilibrio walrasiano pero no presentan una descripción explicita de la dinámica de pasaje de un régimen a otro.
El término régimen se hizo notorio en la literatura económica a partir de
los trabajos de Lucas. En la crı́tica de Lucas se argumenta que los parámetros
macroeconómicos no son invariantes a cambios en los regı́menes polı́ticos y por
lo tanto la estima econométrica no es eficiente para calcular el impacto de los
cambios polı́ticos. Lucas argumenta que la inestabilidad de los parámetros
puede ser explicada por un cambio en las expectativas de los agentes en respuesta a cambios en el régimen polı́tico.17 De acuerdo a esto, los parámetros
de las ecuaciones estimados a nivel macro son inestables debido a los posibles
cambios en el ambiente y, si hay cambios, la forma reducida de los parámetros
no es más fiable. Una de las vı́ctimas de la crı́tica de Lucas es la curva de
17
Como puede verse en la siguiente argumentación: “given that the structure of an econometric model consists of optimal decision rules of economic agents, and that optimal decision
rules vary systematically with changes in the structure of series relevant to the decision maker,
it follows that any change in policy will systematically alter the structure of econometric
models” (Lucas, (1976, p. 184).
104
Phillips, cuyos parámetros dependen del régimen monetario. Esto dio lugar no
sólo al abandono de la curva de Phillips sino también a una nueva explicación
exógena del ciclo económico. Pero esta no es la única alternativa; estos cambios en el ambiente pueden ser también representados con modelos del ciclo
económico endógenos (o mixtos) con múltiples regı́menes.18
Para finalizar esta revisión, vamos a analizar los diferentes usos y definiciones del concepto de régimen que aparecen en la literatura econométrica.
Los comovimientos entre las variables económicas (esto es, un gran número
de variables que cambian conjuntamente) y la división en estados separados
(o regı́menes) son dos propiedades clave para cualquier investigador del ciclo
económico empı́ricamente orientado, pero, gran parte de la literatura econométrica trabaja con una estructura lineal del ciclo económico y esta perspectiva
le impide capturar los co-movimientos y regı́menes. Los trabajos de Quandt
(1958) y Goldfeld y Quandt (1973) son pioneros en la introducción del concepto de régimen y cambio de régimen. En estos se presentan métodos para
encontrar puntos de cambio en una regresión lineal que obedece a dos regı́menes
distintos, donde el proceso de cambio de régimen se representa mediante una
cadena de Markov.19 Un trabajo reciente que presenta un modelo econométrico
de cambio de régimen es Hamilton (1989). En este modelo hay dos regı́menes
y estos son tratados como distintos objetos probabilı́sticos donde nuevamente
la transición entre los regı́menes esta gobernada por un proceso de Markov.
Otra clase de modelos econométricos de cambio de régimen son los “threshold
autoregressive models” (TAR)20 que son una linearización a trozos de modelos
no lineales en el espacio de los estados por intermedio de la introducción de un
cierto conjunto de valores umbrales. En todos los modelos econométricos que
hemos señalado un régimen es considerado como un objeto probabilı́stico representando “episodios en los cuales la conducta dinámica de la serie temporal
es marcadamente diferente” (Hamilton (1989, p. 358)) y el cambio de régimen
tiene una explicación exógena como un proceso de Markov.
3. Definición formal de régimen. Modelos con múltiples regı́menes
En esta sección intentaremos formalizar las ideas expuestas en la sección anterior rescatando lo esencial de los distintos conceptos de régimen que aparecen
en la literatura y para esto empezaremos por definir que es lo que entendemos
por régimen y por modelo con múltiples regı́menes. La idea central es que en
estos modelos el espacio de los estados de la economı́a puede ser dividido en
subconjuntos de acuerdo a la conducta dinámica que se presenta en cada uno
de ellos. Cada uno de estos subconjuntos con su correspondiente dinámica es
un régimen. Nuestra definición la daremos en el caso en que la dinámica de la
economı́a es determinista y a tiempo discreto pero es fácilmente adaptable al
caso continuo y/o con una componente estocástica.
Definición: Si M es un espacio métrico, (Mi )i∈I es una partición de M y
{fi : Mi → M, i ∈ I} es una familia de funciones, entonces cada par Ri :=
18
Ver Brida (2006a).
19
Neftci (1982) presenta un modelo similar donde hay dependencia temporal de las probabilidades de transición, a diferencia del modelo de Hamilton donde las probabilidades de
transición son independientes del tiempo.
20
Ver Tong (1983), Tong y Lim (1980) y Potter (1995).
105
(fi , Mi ) es un régimen. La dinámica al interno de un región Mi está dada por
la ecuación en diferencias
xt+1 = fi (xt ), xt ∈ Mi ,
y la dinámica global del modelo con múltiples regı́menes esta dada por el sistema
dinámico (f, M ) con dominio M y donde f es tal que f(x) = fi (x), si x ∈ Mi .
Esto es, la dinámica en M está dada por la ecuación en diferencias
xt+1 = f(x) = fi (x), x ∈ Mi .
Recı́procamente, si el dominio M de un sistema dinámico (f, M ) se puede
dividir en una familia de subconjuntos que no se solapan (Mi )i∈I , al interno de
cada uno de los cuales la conducta dinámica puede ser considerada diferente,
entonces podemos definir un régimen mediante el par Ri := (fi , Mi ). Nótese
que estas descomposiciones en general no son únicas y los criterios para hacer
la división pueden ser pueden ser económicos, matemáticos, estadı́sticos, etc.
La definición que hemos dado refleja el hecho de que distintos regı́menes
están representados con diferentes modelos locales. Para ser interesante, una
partición tiene que tener por lo menos dos regı́menes y estos no deben ser invariantes, permitiendo el pasaje de uno a otro régimen. En nuestra concepción,
un régimen es entendido como un modelo local y por lo tanto un modelo con
múltiples regı́menes debe ser visto como un hipermodelo o modelo de modelos.
Tenemos entonces que los modelos con múltiples regı́menes, aún en el caso que
la dinámica al interno de cada régimen sea lineal, deben ser siempre modelos
no lineales.
En los sistemas dinámicos con múltiples regı́menes podemos distinguir dos
tipos de dinámica: una al interno de cada régimen y una a través de los distintos
regı́menes. La primera (cuantitativa) representa la conducta dinámica de cada
régimen y la segunda (cualitativa) formaliza el cambio de regı́menes. Estamos
interesados en la segunda dinámica, que llamamos dinámica de regı́menes y
representa una cierta forma de cambio estructural en la economı́a pues lo que
cambia es el modelo local.
A este punto podemos presentar nuestro método de representación de la
dinámica de regı́menes mediante la codificación de los distintos regı́menes del
modelo. Cada trayectoria de un sistema dinámico con múltiples regı́menes
puede ser representado por la sucesión de regı́menes por los que pasa; esto
es, podemos olvidar los valores que toma y sustituirlos por el correspondiente
régimen. Si definimos, por ejemplo, el ı́ndice de regı́menes para un estado dado
mediante la función:
π:M →I
con
π(x) = i
si y sólo si x ∈ Mi
entonces la sucesión simbólica
(Sn (x))n∈N = (π(f (n) (x)))n∈N
nos da la dinámica del sistema como una sucesión de regı́menes. O sea que lo
que hacemos es etiquetar cada régimen con un sı́mbolo21 y, teniendo en cuenta
21
El conjunto A de los sı́mbolos usados para etiquetar los regı́menes se llama alfabeto.
106
la región en la que está el sistema para cada tic del reloj, podemos traducir
la trayectoria puntual en una sucesión simbólica. Para cada órbita del sistema
original obtenemos una sucesión de sı́mbolos y es claro que dos órbitas distintas
podrı́an estar representadas por la misma sucesión simbólica (este es el caso
cuando dos trayectorias puntuales visitan exactamente los mismos regı́menes
contemporáneamente). Tenemos entonces un sistema dinámico simbólico que
reproduce la conducta del sistema original en una versión simplificada pero que
es adecuada para la representación de la dinámica de regı́menes. En el sistema
dinámico simbólico el espacio esta formado por sucesiones de sı́mbolos del alfabeto (que es espacio métrico donde dos sucesiones están “cerca” si coinciden en
un bloque inicial de sı́mbolos “suficientemente grande”) y la dinámica esta dada
por la función shift (representada con σ) que mueve cada sı́mbolo una posición
hacia la izquierda (o, dicho de otra manera, que suprime el primer sı́mbolo). La
riqueza de la dinámica de este sistema no depende de las propiedades topológicas
del espacio ni de la definición de la función shift sino de las reglas que permiten
decidir si una sucesión simbólica pertenece al espacio o no. En algunos casos estas reglas pueden ser especificadas mediante grafos dirigidos que tienen
como vértices los sı́mbolos del alfabeto o mediante matrices (que son las matrices adyacentes a los grafos). Al grafo dirigido que especifica las posibles
sucesiones simbólicas del sistema se le llama grafo de transición y en este grafo
toda caminata infinita es una sucesión del sistema. Un ejemplo sencillo de esta
representación se puede dar con el shift total en n sı́mbolos: si A es un alfabeto
con n sı́mbolos, el conjunto de todas las sucesiones simbólicas definidas en A se
llama el espacio shift total y se representa por AN . El sistema dinámico (σ, AN )
se llama shift total y podemos pensar las órbitas de este sistema como todas
las caminatas infinitas en el grafo dirigido que tiene como vértices los sı́mbolos
del alfabeto A y está totalmente conectado (es decir que hay una flecha desde
i hacia j para todo par de sı́mbolos i, j ∈ A). En la figura 2 hemos representado el grafo de transición y la matriz adyacente que especifican las sucesiones
simbólicas que pertenecen al shift total con dos sı́mbolos.
Otra variedad importante de espacios de sucesiones simbólicas que se pueden representar mediante grafos dirigidos son los shifts de tipo finito. Para
introducir este tipo particular de shifts, debemos dar algunas definiciones previas que pasamos a detallar. Dada una sucesión S = (Sn )n∈N definida en el
alfabeto A y una sucesión finita (llamada palabra) de sı́mbolos de A, decimos
que w ocurre s en si existen ı́ndices i y j tales que w = Si Si + 1 . . . Sj . Si P es un
conjunto finito de palabras de A, llamamos espacio shift de palabras prohibidas
P (y lo denotamos por XP ) al conjunto de todas las sucesiones simbólicas
definidas en A en las que no ocurren las palabras de P . No vamos aquı́a indicar como se pueden especificar mediante grafos dirigidos las sucesiones que
pertenecen a un shift de tipo en un caso general;22 solamente presentamos un
ejemplo que ilustra el caso en que P esta formado por palabras de dos sı́mbolos.
22
Esto requerirı́a una exposición técnica y extensa que esta fuera de los objetivos introductorios al método de representación de la dinámica de regı́menes de este artı́culo. El lector
interesado puede consultar los libros Adler (1998) y Lind y Marcus, (1995) para una exposición
detallada de la teorı́a de los sistemas dinámicos simbólicos y la representación de shifts de
tipo finito. Los libros de Devaney (1987) y Alliood, Sauer y J.A. Yorke, (1997) contiene
varios ejemplos de representación de sistemas dinámicos unidimensionales y bidimensionales
mediante sistemas dinámicos simbólicos.
107
Figura 2. Grafo de transición y matriz de adyacencia que representan el shift
total con alfabeto A = {0, 1}.
La presencia en el grafo de una flecha desde i hacia j indica que en una
sucesión del espacio el sı́mbolo j puede seguir a la i y la ausencia de esta flecha
indica que en las sucesiones del espacio el sı́mbolo j no puede seguir a la i. Un
cero en la entrada ij de la matriz significa que no hay una flecha desde i hacia
j en el grafo y un uno significa que hay una flecha desde i hacia j.
Ejemplo: El shift de Fibonacci es el conjunto de las sucesiones binarias en
que no hay dos 1 seguidos; o sea es el espacio shift de tipo finito XP en el alfabeto
A = {0, 1} con conjunto de palabras prohibidas P = {11}.23 Las sucesiones
que pertenecen a XP pueden ser especificadas mediante el grafo dirigido de la
figura 3.
Figura 3: Grafo de transición y matriz adyacente que representan al shift de
Fibonacci.
Para cada caminata infinita en este grafo existe una sucesión del shift de
Fibonacci que satisface la sucesión de sı́mbolos determinada por la caminata
y recı́procamente. La construcción del grafo de transición para el caso de un
shift de tipo finito definido en el alfabeto de n sı́mbolos A = {1, 2, . . ., n} con
conjunto de palabras prohibidas P de dos sı́mbolos se hace mediante la siguiente
regla: si la palabra ij es permitida entonces hay una flecha del vértice i al j y
si la palabra ij es prohibida entonces no hay una flecha del vértice i al j. La
matriz adyacente se construye del modo siguiente: un cero en la entrada ij de
la matriz significa que no hay una flecha desde i hacia j en el grafo y un uno
significa que hay una flecha desde i hacia j.
En los casos en que el espacio de las sucesiones simbólicas se puede representar por grafos y matrices, las propiedades dinámicas del cambio de régimen
del sistema se ven reflejadas en propiedades algebraicas del grafo o la matriz.24
Esto simplifica mucho el estudio de las propiedades dinámicas del sistema y
23
Este shift se llama de Fibonacci porque el número de trayectorias de longitud n son los
números de Fibonacci
24
En particular en Brida (2000) el lector puede encontrar un diccionario para traducir
propiedades de sistema dinámico simbólico en propiedades algebraicas de la matriz adyacente.
108
permite, por ejemplo, calcular la entropı́a topológica del sistema (que es un
indicador de su complejidad) mediante técnicas sencillas.
Cuando tenemos un modelo cuya dinámica de regı́menes esta representada
simbólicamente, la evolución y las propiedades de recurrencia del sistema original son reflejadas por propiedades análogas de su trayectoria simbólica.25 A
partir de esta representación podemos redefinir todos los conceptos dinámicos
en términos de la dinámica de regı́menes: régimen de equilibrio, periodicidad en los regı́menes, etc. Por ejemplo, podemos decir que el régimen A es
un equilibrio si existe una trayectoria puntual cuya dinámica de regı́menes es
. . . AAAAAA . . . = . . . A∞ , un ciclo de perı́odo dos en los regı́menes A y B es
una sucesión de regı́menes que puede ser representada simbólicamente mediante
ABABABABAB . . . = (AB)∞ , etc. En particular, decimos que un régimen es
estable si toda trayectoria que entra en su dominio queda allı́; esto es, el régimen
Ri = (fi , Mi ) es estable si y sólo si fi (Mi ) ⊆ Mi . En este caso, ya que sólo hay
cambio de régimen si la sucesión simbólica (Sn (x))n∈N es tal que Sn+1 6= Sn ,
cuando una trayectoria entra en el régimen estable A, la representación de la
dinámica de regı́menes debe continuar con A . Un régimen es inestable si toda
trayectoria que entra en su dominio, en un número finito de perı́odos escapa
a otro dominio de fase; esto es, Ri := (fi , Mi ) es inestable si y sólo si para
todo x ∈ Mi existe un natural k tal que (fi )k (x) ∈
/ Mi . Los regı́menes estables
e inestables son casos extremos; en general un régimen tiene trayectorias que
escapan y otras que quedan en el dominio de fase. Si todos los regı́menes son
estables no hay posibilidad de cambio de régimen y el sistema puede ser descompuesto en distintos modelos con un único régimen. Es claro que para tener
dinámica de regı́menes no trivial al menos dos regı́menes deben ser no estables.
Un punto interesante (pues tiene que ver con lo que en la literatura se
conoce como “path dependence”) es saber si un modelo (f, M ) con múltiples
regı́menes es capaz de generar una determinada evolución finita de regı́menes.
Dado un sistema dinámico con múltiples regı́menes {Ri = (fi , Mi ), i ∈ I} y una
sucesión finita y ordenada de sı́mbolos i0 i1 . . . ik con ij ∈ I(j = 0, 1, . . . , k), la
condición para que exista un x ∈ M tal que (π(f i (x))) = ij para j = 0, 1, . . . , k
(es decir, una trayectoria que visite los regı́menes Rp0 , Rp1 , . . . ,y Rpk en ese
orden) es que el punto x verifique la condición
x ∈ Mp0 , f(x) ∈ Mp1 , . . . , f k (x) ∈ Mpk ,
o en forma equivalente,
x ∈ ∩ki=0 f −i (Mpi ).
Entonces, la condición necesaria y suficiente para que exista una trayectoria que
siga la evolución de regı́menes definida por i0 i1 i2 . . . ik es que ∩ki=0 f −i (Mpi ) 6= ∅.
En resumen, en esta sección vimos que para estudiar la dinámica de regı́menes
de un modelo con múltiples regı́menes, tenemos que estudiar la dinámica simbólica que tiene como alfabeto las etiquetas de los regı́menes y las sucesiones que
suceden en la dinámica son las sucesiones definidas en el alfabeto tales que existe
25
En algunos casos, podemos obtener una representación total de la dinámica del sistema
mediante un sistema simbólico que es conjugado al sistema original. Este es el caso cuando
tenemos una partición de Markov. Véase el ejemplo d3e la sección 3 de este trabajo.
109
una trayectoria puntual que sigue la secuencia de regı́menes representados en la
sucesión simbólica. En otras palabras, si A = {1, 2, . . . , S} es el alfabeto y AN =
{(Sn )n∈N |Sn ∈ A} es el espacio de todas las sucesiones simbólicas definidas en
A, el dominio de la dinámica de regı́menes de un modelo (f, M ) con múltiples
regı́menes es el conjunto formado por las sucesiones simbólicas (Sn )n∈N ∈ AN
tales que existe un x ∈ M con (Sn )n∈N = (Sn (x))n∈N = (π(f (n) (x)))n∈N , en la
próxima sección presentaremos un ejemplo sencillo de como puede ser usado el
método en un caso particular. No pretendemos desarrollar un modelo nuevo y
es por esto que hemos usado la ecuación logı́stica (o cuadrática) que aparece en
muchos modelos económicos de la literatura en dinámica económica reciente.
Un ejemplo
En esta sección (y con el único fin de ilustrar la utilidad del método) presentamos un ejemplo de representación simbólica del modelo logı́stico con dos regı́menes. En realidad no vamos a describir el modelo sino que usaremos la
función logı́stica que aparece en muchos modelos de dinámica económica. En
Sordi (1996) se puede encontrar una revisión muy completa de la literatura en
teorı́a del caos y dinámica económica donde la ecuación final de los modelos se
reduce a una ecuación logı́stica.
Figura 4: El grafico de la función logı́stica fλ (x) = λx(1 − x) cuando λ4.
Sea fλ : [0, 1] → [0, 1] definida por fλ (x) = λx(1 − x) la función logı́stica,
donde λ es un número real positivo mayor que 4.26 En la figura 4 presentamos
el gráfico de fλ .
La función es creciente en el intervalo I0 = [0, 1/2) y decreciente en I1 =
(1/2, 1], lo que nos da un criterio matemático para dividir en estos dos regı́menes, que serán representados por los números 0 y 1 respectivamente. Sea
26
Trabajamos con los valores de mayores que 4 para no hacer tediosa la discusión del
ejemplo que pretende solamente ser ilustrativo del método de representación de la dinámica
de regı́menes.
110
x un punto del intervalo [0, 1]; de acuerdo al criterio descrito en la sección
anterior a x le asociamos la sucesión S = (Sn )n∈N ∈ {0, 1}N eligiendo Sn = 0
si (fλ )n (x) ∈ I0 y Sn = 1 si (fλ )n (x) ∈ I1 . Es claro que hay puntos del
dominio de fλ cuya imagen no pertenece al intervalo [0, 1] por lo que debemos
restringir el dominio de nuestra función. Vamos a tomar como dominio del
sistema dinámico el conjunto de puntos cuya órbita permanece siempre en el
intervalo [0, 1]; esto es,
Λ = {x ∈ [0, 1]/fλn(x) ∈ [0, 1] para todon ≥ 0}.
P
Nótese que el conjunto Λ es invariante bajo fλ .27 Sean {0, 1}N = 2 el espacioP
shift total
P de todas las sucesiones simbólicas definidas en el alfabeto {0, 1}
y σ : 2 → 2 la función shift dada por σ((Sn )n∈N ) = (Sn+1 )n∈N ; queremos
mostrar
P que para los valores de λ mayores que 4, los sistemas dinámicos (Λ, fλ )
y (σ, 2 ) son topológicamente
conjugados. Para esto consideramos la función
P
de simbolización π. Λ → 2 definida del P
modo siguiente: si x ∈ Λ , la sucesión
π(x) = S = (Sn )n∈N ) = S0 S1 S2 S3 . . . ∈ 2 = {0, 1}N verifica que para todo
número natural n es Sn = 0 si f(x)n (x) ∈ I0 y Sn = 1 si f(x)n (x) ∈ I1 .
Podemos ahora enunciar el resultado que permite representar la dinámica de
regı́menes del modelo:28
P
Proposición:La función π: Λ
P→ 2 es una conjugación topológica entre
los sistemas dinámicos (Λ, fλ ) y ( 2 , σ). Esto es,
a) π es biyectiva,
b) π es continua,
c) π −1 es continua, y
d) πo fλ = σoπ.
De aquı́se deduce que la dinámica de regı́menes de la función logı́stica con
los dos regı́menes elegidos esta representada por el shift total con dos sı́mbolos
y por lo tanto el grafo dirigido o la matriz de adyacencia de la figura 3 dan una
especificación de las posibles sucesiones de regı́menes que se pueden dar en el
modelo.
27
El conjunto de los puntos cuya órbita permanece en el intervalo [0,1] es un conjunto
de Cantor. Ver Brida (2000) para una demostración de este resultado. Este conjunto tiene
medida de Lebesgue cero y por lo tanto casi todo punto del intervalo [0,1] deja el intervalo
luego de un número finito de iteraciones. A pesar de ser un conjunto “pequeño”, contiene
todas las órbitas interesantes de f?.
28
Brida (2000) para una demostración de los resultados enunciados en esta sección.
111
Figura 5: Grafo de transición y matriz de adyacencia que representan la dinámica simbólica de la función logı́stica fλ (x) = λx(1 − x) cuando λ4. Un cero en la
entrada ij significa que no hay una flecha de i a j y un uno que hay una flecha
de i a j, donde i, j = 0, 1.
Observación: Esta división en dos regiones del dominio es un ejemplo de
una partición de Markov y en este caso cada punto de se puede identificar con
una sucesión simbólica de ceros y unos. El uso de la dinámica simbólica en este
ejemplo manifiesta todo su poder ya que obtenemos una conjugación topológica
entre la función logı́stica y el shif total de tipo finito en dos sı́mbolos. Por lo
tanto la dinámica de regimenes del modelo es comparable a la generada por una
cadena de Markov con dos estados y probabilidades de pasaje entre los estados
iguales a 1/2.
4. Conclusiones
Este trabajo esta escrito en la filosofı́a de que las observaciones y mediciones
humanas de los fenómenos económicos se llevan siempre a cabo con precisión
finita. Esta precisión se afina con el avance de la ciencia, pero nunca podrá
alcanzar un estado de exactitud absoluta. No es posible atrapar un proceso
económico en todos sus detalles y conexiones y debemos focalizarnos en un
cierto nivel de observación. Por otro lado, el objetivo de nuestras observaciones
y mediciones es la construcción de conclusiones rigurosas acerca de la ley y de
las propiedades básicas del proceso económico en estudio. El balance entre precisión finita y conclusiones rigurosas puede ser alcanzado por intermedio de una
descripción gruesa de la dinámica y la dinámica de regı́menes que intentamos
representar en este trabajo no es más que eso, una descripción gruesa de la
dinámica del proceso en estudio.
El método simbólico de representación de la dinámica de regı́menes que
hemos introducido reproduce la evolución de una economı́a desde el punto de
vista de los cambios de régimen como una sucesión temporal de sı́mbolos. El
punto de partida del método es la división del espacio de los estados de una
economı́a en un número finito de regiones llamadas regı́menes y considerar
explı́citamente la dinámica de pasaje de un régimen a otro. A partir de esta
división y de la codificación de los regı́menes se obtiene una dinámica simbólica
a la que, en principio, se le pueden aplicar los instrumentos matemáticos desarrollados en la teorı́a de los sistemas dinámicos simbólicos. Uno de los méritos
del método es la posibilidad de representar en algunos casos la dinámica de
regı́menes mediante grafos dirigidos y traducir propiedades algebraicas de la
matriz adyacente en propiedades de la dinámica de regimenes. Asimismo, el
método puede ser aplicado para el estudio de la dinámica de regı́menes de
una economı́a real pues a partir de las series temporales de datos y un criterio
prefijado para la división del espacio de los estados de la economı́a en regı́menes,
112
podemos codificar las series temporales transformándolas en series temporales
simbólicas. Estas series simbólicas pueden luego estudiadas mediante técnicas
estadı́sticas que permiten, entre otras cosas, hacer estudios comparativos de las
dinámicas de cambio de regı́menes de distintas economı́as y la calibración de
modelos teóricos a partir de los datos de modo tal que la dinámica de cambio
de regı́menes observada y la del modelo sean suficientemente cercanas.29
29
En Brida (2000) y (2006b) se encuentra el desarrollo teórico y aplicaciones del análisis
de series temporales simbólicas para modelos económicos con múltiples regı́menes.
113
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Un árbol de expansión mıńima en la
Bolsa Mexicana de Valores
Linda Margarita Medina Herrera†
Ricardo Mansilla Corona††
Recibido 11 de enero 2007, Aceptado 28 de enero 2007
Resumen
En este artı́culo se muestra la taxonomı́a económica de un árbol de expansión
mı́nima obtenido a partir de una matriz de correlación formada con los rendimientos diarios de 65 acciones comercializadas en la Bolsa Mexicana de Valores
en un periodo de 8 años y se realiza una clasificación del riesgo y rendimiento
de éstas acciones dependiendo de sus distancias en el árbol al vértice central
(centro de masa).
Abstract
This paper exhibits the economic taxonomy of a minimal spanning tree
constructed from the correlation matrix of daily returns of 65 stocks traded at
the Bolsa Mexicana de Valores during a 8-year trading period. This paper also
makes a classification of the risk and returns of these stocks depending on his
distances in the tree to the central vertex (mass center).
Clasificación JEL: C49, G11
Palabras clave: Árbol de expansión mı́nima, matrices de correlación, análisis de portafolios
1. Introducción
En este artı́culo se quiere mostrar que el concepto de árbol tiene aplicaciones
potenciales en el análisis de mercados financieros, en particular, en la Bolsa
Mexicana de Valores (BMV). En este documento se analizará la correlación
de los rendimientos de las principales acciones que cotizan en la BMV, usando
árboles de expansión mı́nima, un novedoso método que ha tenido aplicaciones
importantes en los últimos años. Los árboles nos permiten visualizar de una
manera muy especial la estructura de correlación del mercado.
† Departamento de Matemáticas, Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México,
Calle del Puente 222, Col. Ejidos de Huipulco, Del. Tlalpan, 14380 México, D.F., E-mail:
[email protected], Oficinas 1, Piso 2, Tel: +52(55)54832191
††
Centro de Investigaciones Interdisciplinarias, Torre II de Humanidades, 4to piso.UNAM,
México 04510, D.F., E-mail: [email protected]
Un árbol de expansión mı́nima
117
Un árbol de expansión mı́nima es una red con caracterı́sticas especiales,
que conecta todos los vértices de una gráfica sin formar lazos. Recientemente
se ha venido prestando mucha atención al estudio de las propiedades topológicas de las redes. En particular, se ha mostrado que muchos sistemas naturales y sociales presentan propiedades estadı́sticas inesperadas de relaciones
que conectan diferentes elementos del sistema y que no pueden ser descritas
con graficas aleatorias. Investigaciones recientes muestran propiedades de redes
que describen sistemas fı́sicos y sociales como el sistema de World Wide Web,
Internet y redes sociales.
La noción de árbol de expansión mı́nima proviene de la teorı́a de grafos,
en el ambiente de mercados financieros este concepto fue introducido por Mantenga, Bonano y otros (1989) como un método para encontrar arreglos jerárquicos de acciones a través del estudio de conglomerados de compañı́nas, usando
las correlaciones de los rendimientos de las acciones. Bonano (2004) lo emplea para investigar no sólo las acciones de un portafolio, sino también ı́ndices
financieros y volatilidad.
Con una métrica apropiada, basada en la matriz de correlación, se define un grafo totalmente conectado donde los nodos son compañı́as o acciones
y las distancias entre ellas son obtenidas de sus correspondientes coeficientes
de correlación. Onnela, Chakraborti, Kaski y Kertész (2002) analizan árboles
dinámicos, esto es, con ventanas en el tiempo, para mostrar que los activos
del portafolio óptimo de Markowitz están prácticamente todo el tiempo en las
ramas externas del árbol. En Onnela, Chakraborti, Kaski y Kertész y otros
(2003) se usa el concepto de vértice central, escogiendo el nodo más fuertemente conectado del árbol y definen una medida importante, el ”promedio del
nivel de ocupación” que durante las caı́das del mercado aparece con un valor
muy bajo.
En este artı́culo se muestra la construcción y taxonomı́a de un árbol de
expansión mı́nima obtenido a partir de una matriz de correlación formada con
los rendimientos diarios de 65 acciones comercializadas en la Bolsa Mexicana
de Valores. Se mostrará cuál de las 65 empresas seleccionadas para este estudio
es la empresa que puede representar el papel de centro de masa del árbol,
permitiéndonos clasificar el riesgo y rendimiento de las demás dependiendo de
su distancia al mismo.
En la sección 2 se dará una breve revisión del concepto de árbol de expansión mı́nima y su uso en la optimización de portafolios. En la sección 3
se muestra el árbol de expansión mı́nima empı́rico, su taxonomı́a económica,
el centro de masa y la clasificación riesgo/rendimiento de las 65 acciones de
acuerdo a su posición relativa al vértice central.
2. Árboles de expansión mı́nima
Un árbol de expansión es una gráfica de N objetos (vértices o nodos) unidos
por N − 1 arcos que permiten ir de un vértice a cualquier otro vértice. Si cada
arco representa una distancia o costo, o en general si a cada arco se le asocia un
peso (número real), la suma de los pesos de todos los lados de un árbol, será el
peso total del árbol. Un árbol de expansión mı́nima es un árbol de expansión
cuyo peso total es el mı́nimo posible entre todos los árboles de expansión con
los mismos vértices. En este artı́culo los vértices del árbol son las empresas
(acciones) y los arcos representan las distancias entre las acciones, obtenidas a
118
partir de cada coeficiente de correlación de acuerdo con la fórmula
dij =
q
2(1 − ρij )
que es una distancia métrica que relaciona el activo i y el activo j. Debido a
que 1 ≤ ρij ≤ 1, se tiene que 0 ≤ dij ≤ 2. Note que si dos acciones están
perfectamente correlacionadas (rij = 1) la distancia entre ellas es 0, si están
“anticorrelacionadas” (rij = −1) su distancia es 2.
2.1 El Promedio de ocupación y el vértice central
Es importante caracterizar la forma en que se extienden los nodos en el árbol.
Para ello, se define la cantidad “promedio de ocupación” l(νc) ası́:
l(νc ) =
N
1 X
niv(νi )
N i=1
donde niv(νi ) es el nivel del vértice νi . Los niveles, (no confundirlos con la distancia dij entre los nodos) se miden con relación a un vértice especial, llamado
el vértice central νc, cuyo nivel se toma como cero. El niv(νi ) será la suma
de los arcos que hay que pasar para ir de νi a νc. El promedio de ocupación
indica que tanto se extienden las ramas del árbol. Un valor alto de l(νc ) refleja
una estructura de mercado muy fina, mientras que en el otro extremo valores
bajos se asocian con crisis en el mercado (las ramas del árbol se contraen). El
vértice central νc es considerado como el padre de todos los vértices del árbol
o también como la raı́z del mismo. Este se usa como punto de referencia en el
árbol, contra el cual la posición de los demás vértices es relativa.
Hay un poco de arbitrariedad en la elección del vértice central, sin embargo
los siguientes criterios pueden ayudar a escoger al mejor candidato:
i) Es el vértice que tiene más nodos conectados, esto es, el vértice con mayor
número de vecinos. El número de vecinos se conoce como el grado del
vértice.
ii) Es aquel cuya suma de los coeficientes de correlación de los vértices vecinos
es máxima. Este criterio se conoce como el peso del vértice.
iii) Es el vértice que produce el valor más bajo del promedio de ocupación,
esto es, el centro de masa.
Intuitivamente hablando, es muy probable que los tres criterios coincidan.
Un vértice con un grado de vértice alto, el vértice central en particular, carga
mucho peso alrededor de el (los nodos vecinos), quienes a su vez pueden estar
altamente conectados con otros y ası́sucesivamente.
2.2 Árboles de expansión mı́nima y análisis de portafolios
En esta sección se presenta una breve introducción a la aplicación de los árboles
de expansión mı́nima en el análisis de portafolios.
119
Sea P un portafolio de Markowitz con pesos de los activos w1 , w2 , . . . , wN .
En el esquema clásico de optimización del portafolio de Markowitz, los activos
financieros se caracterizan por su riesgo y rendimiento promedio, donde el riesgo
asociado con un activo se mide con la desviación estándar. Usualmente se realiza la optimización de Markowitz usando datos históricos. La idea es optimizar
los pesos de los activos de tal forma que el riesgo del portafolio sea minimizado
para un rendimiento del portafolio rP . Sin embargo, en el marco de árboles de
activos, la tarea es determinar cómo el activo está localizado con respecto al
vértice central. Sean rm y rM los rendimientos mı́nimo y máximo de un portafolio, respectivamente. El rendimiento esperado varı́a entre estos dos extremos,
y se puede expresar como
rP,θ = (1 − θ)rm + θrM ,
0 ≤ θ ≤ 1.
Se define lP , el “promedio ponderado del portafolio”, de la siguiente manera:
X
lP (θ) =
wi niv(νi ),
i∈P
PN
donde i=1 = 1. Los activos que minimizan el riesgo de un portafolio se encuentran en las ramas exteriores del árbol, por lo tanto, se espera que árboles
largos (con l grande) tengan mayor potencial de diversificación, esto es, la oportunidad del mercado financiero para eliminar un riesgo especı́fico del portafolio
de riesgo mı́nimo (θ) = 0. A medida que se incrementa (θ) hasta llegar a la
unidad, el riesgo del portafolio en función del tiempo empieza prontamente a
comportarse muy diferente del promedio de ocupación l. Consecuentemente, ya
no es útil para describir la diversificación potencial del mercado. Sin embargo,
emerge otro resultado interesante: el promedio ponderado del portafolio lP (θ)
decrece cuando θ aumenta su valor. Esto significa que de todos los posibles
portafolios de Markovitz, las acciones del portafolio de riesgo mı́nimo están
localizadas lo más lejos posible del vértice central, y a medida que se mueve
hacia portafolios con altos rendimientos esperados, las acciones incluidas en ese
portafolio estarán localizadas cerca del vértice central.
3. Construcción y análisis del árbol de expansión mı́nima
Las series de tiempo que conforman la base de datos para este estudio están
formadas por los precios de cierre diario de 65 empresas que cotizan en la BMV,
en el periodo comprendido entre el 19/09/97 y el 06/02/04. Para la elección
de las empresas y la longitud de la serie se tuvo en cuenta la bursatilidad, capitalización y mantenimiento de las mismas. La longitud final de las series es
de 1598. Dentro de las 65 empresas seleccionadas para el estudio se encuentran representados todos los sectores económicos, las empresas elegidas tienen
la mayor bursatilidad de cada sector y juntas representan más del 85% de participación en el IPC y el 100% del ı́ndice México (INMEX). Todas las acciones
incluidas han permanecido activas en el periodo seleccionado para el estudio.
A partir de los coeficientes de correlación rij se construye la matriz de
distancias D cuyas entradas están dadas por:
q
dij = 2(1 − ρij ).
120
Los nodos se conectan siguiendo los siguientes pasos (algoritmo de Kruskal):
Se selecciona una acción de manera arbitraria y se conecta a la acción
más cercana (en términos de dij ) esto es, se conecta al nodo que minimiza el
peso total. Considerando todos los nodos que están conectados, se encuentra y
conecta el nodo más cercano que no esté conectado. Se continúa este proceso
hasta que todos los nodos están conectados, creando ası́un árbol de expansión
mı́nima para la matriz D.
La Figura 1 muestra la gráfica del árbol de expansión mı́nima. El camino
mı́nimo se obtuvo con el algoritmo de Kruskal usando Windqsb y el árbol fue
hecho con el software Pajek.
Figure 1
Árbol de expansión mı́nima
Analizando la distribución de las empresas en el árbol se tiene que:
1. El conglomerado (cluster) más grande esta liderado por Cemex, empresa
lı́der en la producción y comercialización de cemento, concreto y productos relacionados. Todo el sector de minerales no metalúrgicos se mueve
alrededor de Cemex: Apasco, Vitro, Gissa y GCC (cementos Chihuahua).
Las empresas de construcción: Geo, Ara, Hogar e incluso ICA, la empresa
de ingenierı́a, procuración y construcción más grande de México, también
permanecen cerca de Cemex.
121
2. El segundo conglomerado es el de las empresas de telecomunicaciones, dominado por Telmex, en este conglomerado se encuentran Iusacell, Telecom
Carso y Movil Acces.
3. Las acciones de Wal Mart de México aparecen en las ramas exteriores
del árbol, mostrando cierta independencia del resto del mercado. De la
misma forma aparece Peñoles, el mayor productor de plata y oro afinado,
Gmodelo, empresa lı́der en elaboración, distribución y venta de cerveza
y sorprendentemente Cintra, la empresa que reúne las más importantes
lı́neas aéreas mexicanas y cuyo mayor accionista es el gobierno mexicano.
4. Las acciones de los bancos Bancomer (GFBBB) y Banorte (GFNorte)
aparecen unidas en todos los árboles, no ası́Inbursa, que siempre aparece
en otra rama.
5. Las acciones de las televisoras Tvazteca y Televisa se encuentran muy cerca.
Del nodo de Televisa se desprende no solamente Tvazteca sino también las
acciones de Kofl (Coca-cola) y Cel (Iusacell).
En árboles de acciones altamente capitalizadas en mercados financieros
de Estados Unidos , los conglomerados formados por sectores económicos son
muy claros, no ası́en este árbol del mercado mexicano, donde los únicos conglomerados por sector económico son: el de minerales no metalúrgicos y el de
telecomunicaciones.
La siguiente figura muestra las empresas alrededor de Cemex. Entre las
cuales encontramos a Femsa, Televisa, Gfbb, Gcarso, Bimbo y los conglomerados de construcción y de minerales no metalúrgicos.
Figura 2
Cemex: el vértice central en el árbol
El criterio del grado del vértice nos deja a Cemex como la empresa con más
vecinos, con un total de 23, seguido por Telmex con 7. El criterio del peso del
vértice nos da como resultado: en primer lugar Cemex con 25.0354 y segundo
122
lugar Telmex con 5.3976. Por último, el promedio de ocupación mas bajo lo
obtuvo Cemex, quedando de manera indiscutible como vértice central. Es muy
interesante comparar los resultados de Cemex con el que se podrı́a esperar que
fuera el vértice central: Telmex. Además de tener un grado del vértice mucho
mayor que Telmex (23 vrs 7), Cemex cuenta con un peso del vértice casi 5 veces
mayor que el de Telmex (25.03 vrs 5.3), los vecinos de Cemex suman un total
del 25% de la participación del IPC contra un 5% de Telmex, esto sin contar
sus participaciones propias.
Figura 3
Los vecinos de Telmex
Figura 4
Distancias medidas desde Cemex
123
La existencia de un centro significativo en el árbol no es un asunto trivial
y menos el hecho de que éste coincida con el centro de masa. Partiendo del
vértice central νc =Cemex se construye el nivel nivνi del vértice νi que mide la
distancia de una empresa (acción) a Cemex.
La Figura 4 muestra las distancias entre los nodos del árbol de expansión
mı́nima. Con ellas se construye el nivνi que es la distancia total en el árbol
entre el vértice νi y Cemex.
Como se ha visto, las acciones del portafolio de riesgo mı́nimo están localizadas lo más lejos posible del vértice central. Estas resultan ser: Las hoteleras
Cid Mega y Posadas, la minera Peñoles, Waltmart de comercio y Cintra de
transporte aéreo. A medida que se mueve hacia portafolios con altos rendimientos esperados, las acciones incluidas en ese portafolio están localizadas cerca del
vértice central: Cemex, Ica, Apasco, Maseca, Gfbbb y Femsa entre las 23 que
rodean el vértice Cemex.
El “promedio de ocupación” l(Cemex) es:
65
l(Cemex) =
1 X
niv(νi ) = 2.14
65
i=1
En las bolsas financieras americanas el promedio de ocupación oscila entre
3 alcanzado en 1986 y 9.5 en 1994, manteniéndose la mayorı́a del tiempo por
encima de 4. El valor 2.14 nos muestra que aunque el mercado mexicano no
está en crisis, es aún un mercado en desarrollo, uno donde el comportamiento
del sistema es todavı́a muy homogéneo.
4. Conclusiones
El árbol de expansión mı́nima ha mostrado ser un instrumento eficaz para visualizar la distribución de las acciones más importantes de la Bolsa Mexicana
de Valores y para filtrar información económica y financiera de la matriz de correlación. Al utilizar la longitud del árbol como una manera de medir la diversificación del mercado (una de las formas de eliminar el riesgo sistemático) mediante ”el promedio de ocupación” se encuentra que aunque el mercado mexicano
no está en crisis, es aún un mercado en desarrollo, donde el comportamiento
del sistema es todavı́a muy homogéneo. Para apoyar esta conclusión se puede
observar que a diferencia de los mercados americanos, donde los conglomerados por sectores económicos son claramente identificables, el árbol de la BMV
sólo presenta dos: el de Minerales no Metalúrgicos, liderado por Cemex y el de
Telecomunicaciones, liderado por Telmex.
El árbol permite mostrar una clasificación del riesgo de las acciones incluidas en el estudio, mostrando su distancia relativa al vértice central (Cemex)
que en este caso coincide con el centro de masa del árbol (Fig 3).
La contribución fundamental de este trabajo es mostrar una alternativa a
la teorı́a de Markowitz para la formación de un portafolio óptimo. De todos los
posibles portafolios de Markovitz, las acciones del portafolio de riesgo mı́nimo
están localizadas lo más lejos posible del vértice central y a medida que se pasa
hacia portafolios con altos rendimientos esperados, las acciones incluidas en ese
portafolio estarán localizadas cerca del vértice central.
Futuros estudios pueden partir de este artı́culo. Parece interesante analizar
los cambios en la estructura de árboles de expansión mı́nima en la BMV que
124
pueden darse al cambiar las ventanas de tiempo. Esto es, construir árboles
diarios, semanales, mensuales o con la frecuencia que los datos permitan (árboles
dinámicos) y comparar los vértices centrales y los promedios de ocupación, entre
otras cosas. De la misma forma se puede construir árboles con activos diferentes
(no solo acciones), inclusive con los activos que componen un portafolio para
analizar su eficiencia. Los árboles construidos a partir de series de volatilidad
también parecen ser interesantes.
Finalmente, el árbol de activos se puede ver como una poderosa herramienta gráfica, pues aunque parece estar fuertemente reducido, contiene información
esencial del mercado y se puede usar para añadir un juicio subjetivo al problema
de optimización de un portafolio.
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Capacidades y estrategia competitiva:
propuesta de un modelo para su desarrollo
dentro de un sector
Irazú de la Cruz Gómez†
Recibido 29 de noviembre 2006, Aceptado 31 de julio 2007
Resumen
La búsqueda de competitividad por parte de los sectores y de las empresas
proviene inherentemente del afán de supervivencia. Esto puede lograrse a través
del desarrollo de capacidades y estrategias competitivas. El objetivo de este
trabajo es examinar las capacidades de innovación y tecnologı́a, las capacidades
de administración y las capacidades de recursos humanos articuladas con las tres
estrategias competitivas genéricas. En el documento se propone un modelo de
desarrollo de capacidades por medio de las estrategias competitivas de liderazgo
total en costos, diferenciación y enfoque o alta segmentación.
Abstract
The search of competitiveness on the part of the sectors and companies comes inherently from the survival eagerness. This can be obtained through the development of capabilities and competitive strategies. The objective of this work is to
examine the innovation and technology capabilities, administration capabilities
and human resources capabilities with the three generic competitive strategies.
In this document, I propose a capabilities model of development through tree
competitive strategies which are: Total leadership in costs, dierentiation and
approach or focus in segmentation.
Clasificación JEL: M10.
Palabras clave: Administración de Negocios
1. Introducción
Los recursos son el corazón de las empresas y de la teorı́a basada en recursos. 1
Esta teorı́a posee una gran influencia y explica cómo las ventajas competitivas
de las organizaciones son obtenidas (Eisenhardt y Martin, 2000).
†
Candidata a Doctorado en Ciencias Administrativas por el ITESM, Campus Ciudad de
México. Dirección: Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México. Calle del Puente
222, Col. Ejidos de Huipulco, C.P. 14380, Tlalpan, México D.F. Teléfono: +52 (5 5)54831305.
Correo electrónico: [email protected].
1
En Inglés conocida como Resource Based View.
126
Capacidades y estrategia competitiva: propuesta de un modelo. . .
En particular dicha teorı́a atribuye el desempeño superior de las organizaciones
a los recursos y capacidades que la firma posee (Teece, 1980; Wernerfelt, 1984;
Barney, 1991; Peteraf, 1993).
En esta perspectiva predomina el enfoque hacia las caracterı́sticas estructurales de un sector que da forma a las fuerzas competitivas las cuales generan
la dinámica de las capacidades en los sectores donde participan las empresas, y
toma como unidad de análisis la industria. (Porter, 1985 y 1990).
Para generar estas capacidades se han desarrollado diferentes estrategias
que involucran sectores articulados y vinculados que les permita competir dentro
y fuera de su entorno. La búsqueda de competitividad por parte de los sectores
y de las empresas proviene connaturalmente de la supervivencia del sector y los
negocios que la integran, lo cual determina en gran medida su permanencia en
el mercado, por ello, el objetivo de este documento es proponer un modelo que
articule el desarrollo de capacidades y la estrategia competitiva dentro de un
sector.
2. Capacidades
El término de capacidades se ha desarrollado en las últimas décadas bajo el
cobijo de la teorı́a de la visión basada en recursos.En la literatura sobre capacidades es posible identificar dos escuelas de pensamiento:
1. Teorı́a basada en recursos (Penrose, 1959; Richardson, 1972; Wernerfelt,
1984; Barney, 1991; Peteraf, 1993).
2. Teorı́a de capacidades dinámicas (Teece, Pisano y Shuen, 1997; Eisenhard
y Martin, 2000).
La primera, sigue el trabajo de Richardson (1972) y se enfoca al estudio
de las actividades en las organizaciones. En esta corriente las descripciones de
capacidades tienen que ver con actividades (Penrose, 1959; Zander y Kogut,
1995), flujos (Dierickx y Cool, 1989), conocimientos (Leonard-Barton, 1992),
rutinas (Collis, 1994), procesos (Amit y Shoemaker, 1993; McEvily y Zaheer,
1999) o habilidades (Day, 1994) que al ser ejecutadas aseguran una ventaja
competitiva en la organización (Peteraf, 1993).
La segunda escuela de pensamiento enfatiza la flexibilidad y cambios naturales de los procesos organizacionales como respuesta al entorno (Zollo y
Winter, 2001; Teece et. al., 1997; Eisenhart y Martin, 2000). La definición de
capacidades dinámicas está relacionada a la habilidad de integrar, construir y
reconfigurar rápidamente recursos internos y externos conforme existen cambios
en el ambiente laboral (Teece, Pisano y Shuen, 1997).
Ambas escuelas poseen un destacable punto en común: Las capacidades
representan una habilidad de la empresa para combinar eficientemente un número de recursos en una actividad productiva con el propósito de alcanzar un
objetivo especı́fico o una ventaja competitiva (Amit y Schoemaker, 1993). Para
alcanzar el objetivo de este estudio definimos a las capacidades como:
Un conjunto de conocimientos (Leonard-Barton, 1992), procesos (Amit y
Schoemaker, 1993; McEvily y Zaheer, 1999; Yeoh y Roth, 1999), actividades
(Zander y Kogut, 1995) rutinas (Verona, 1999) o habilidades (Day, 1994) que
al ser ejecutadas aseguran una ventaja competitiva en la organización (Peteraf,
1993).
Irazú De La Cruz Gómez
127
La clasificación de capacidades que se utilizará en este documento comprende tres áreas2 :
1. Capacidades de Innovación y tecnologı́a: Se integra por las capacidades
tecnológicas y las capacidades de producción.
2. Capacidades de Administración: Compuesta por el conjunto de capacidades comerciales, capacidades financieras y capacidades logı́sticas.
3. Capacidades de Recursos Humanos: Formada por la capacidad laboral
3. Estrategia competitiva
Toda empresa que compite en un sector posee una estrategia competitiva, ya
sea explı́cita o implı́cita. Esta estrategia puede ser desarrollada explı́citamente
mediante un proceso de planeación o bien, puede originarse en forma implı́cita
a través de la actividad agregada de los diferentes departamentos funcionales
de la empresa (Porter, 1982). En este sentido, el término capacidades de la
organización es fundamental en las organizaciones que compiten en un sector
para generar sus estrategias competitivas.
El desarrollo de capacidades en un sector industrial depende en gran medida de la estrategia competitiva que se implemente en el sector. Existen en los
sectores tres estrategias competitivas genéricas (Porter, 1985):
1. Liderazgo total en costos: Esta estrategia fue muy común en la década
de los años setenta debido a la popularización del concepto de la curva
de experiencia. El liderazgo en costos requiere de la construcción agresiva
de instalaciones capaces de producir grandes volúmenes en forma eficiente,
de vigoroso empeño en la reducción de costos basado en la experiencia,
de rı́gidos controles de costo y de los gastos indirectos, evitar las cuentas
marginales, y la minimización de los costos en áreas como investigación y
desarrollo, servicio, fuerza de ventas, publicidad etcétera. (Porter, 1982).
2. Diferenciación: La segunda estrategia genérica consiste en la diferenciación
del producto o servicio que ofrece la empresa, creando algo que sea percibido en el mercado como único. Los métodos para la diferenciación
pueden tomar muchas formas: Diseños o imagen de marca, tecnologı́a vanguardista, servicio al cliente, cadena de distribuidores entre otras. La diferenciación, si se logra, es una estrategia viable para devengar rendimientos
mayores al promedio en un sector debido a que proporciona un aislamiento
contra la rivalidad competitiva, es decir, genera una lealtad de los clientes
hacia la empresa. (Op. Cit.)
3. Enfoque o alta segmentación: La última estrategia genérica consiste en
centrarse en un grupo de compradores en particular, en un segmento de la
lı́nea del producto, o en un mercado geográfico. La empresa que logra una
alta segmentación también está en condiciones de alcanzar rendimientos
mayores al promedio de su sector. (Porter, 1982).
2
Para profundizar en esta discusión acerca de las clasificaciones de las capacidades puede
revisarse el trabajo de De La Cruz, Morales y Carrasco (2006): Construcción de un instrumento de evaluación de capacidades en la empresa: una propuesta metodológica; Ponencia
presentada en el X Congreso Anual de Investigación en Ciencias Administrativas ACACIA,
SLP, México. También se puede ver ahondar en el tema en el trabajo presentado por De La
Cruz y Morales (2006): Desarrollo de capacidades en la pequeña, mediana y gran empresa de
México: Un estudio empı́rico exploratorio; Ponencia presentada en el XI Foro de Investigación
Congreso Internacional de Contadurı́a, Administración e Informática ANFECA, México D.F.
128
4. Capacidades y estrategia competitiva: Hacia un modelo para su
articulación y desarrollo
Hasta ahora hemos definido por separado qué es una capacidad, qué tipo
de capacidades se evaluarán para formular el modelo y cuáles son las estrategias
competitivas existentes. En este apartado se expondrá cómo cada uno de los
conjuntos de capacidades tiene diferente prioridad en su desarrollo de acuerdo
al tipo de estrategia competitiva que se implemente en el sector. Es importante
no perder de vista que el desarrollar un área afecta en mayor o menor grado el
desarrollo de las otras.
Capacidades y estrategia competitiva de liderazgo total en costos
Para implementar una estrategia de liderazgo total en costos es imprescindible
lograr altos niveles de eficiencia en todos los procesos que desarrolla el sector y
las empresas que lo integran. En términos de las capacidades en innovación y
desarrollo tecnológico es necesario que el sector domine las técnicas de manufactura de clase mundial lo que le permitirá eficiencia en los procesos productivos.
Ası́mismo, se deben desarrollar las capacidades de administración, y orientarse al desarrollo de procesos administrativos y de control financiero eficientes.
En este rubro la capacidad más importante a desarrollar es la de comercialización que debe hacer posible el convencer al mercado de que la relación calidad/precio de los productos que ofrece el sector son óptimos.
El tercer elemento para la implementación de esta estrategia son las capacidades de recursos humanos las cuales deben asegurar que existan trabajadores
flexibles que permitan un mayor grado de automatización en el sector. El cuadro
1 explica esta interacción.
Cuadro 1: Interacción de las capacidades y la estrategia competitiva
129
Estrategia competitiva de diferenciación y capacidades
Para articular la estrategia competitiva de diferenciación se debe, en las
capacidades de innovación y tecnologı́a, optimizar los procesos ası́como generar
innovaciones en los productos que dicten las nuevas tendencias del sector.
En cuanto a las capacidades de administración se debe preparar al mercado
y educar a los consumidores para que éstos adopten las diferencias como un valor
agregado. En lo que se refiere a las capacidades de recursos humanos se debe
tener un fuerte enfoque a la calidad tanto en los productos como en los servicios.
Para que se alcance lo anterior, el mayor énfasis debe ponerse en el desarrollo de las capacidades de innovación y tecnologı́a. Es fundamental una
mayor articulación de las empresas con las instituciones de Educación Superior
localizadas en la región donde se ubique el sector.
Si bien lo anterior es un elemento necesario, este no es suficiente, debe
existir un elemento coordinador de los esfuerzos, que interactúe con los centros
tecnológicos, las instituciones de educación superior, los empresarios, es decir
con todos los actores involucrados y que pueda orientar el rumbo y los esfuerzos
de todos ellos. Este papel corresponde a las cámaras empresariales, las cuales
pueden desarrollar esta tarea debido al conocimiento que tienen sobre el sector
El cuadro 2 muestra la interacción entre las áreas de desarrollo de capacidades
y la estrategia competitiva de diferenciación
Estrategia competitiva de enfoque o alta segmentación y capacidades
Las actividades que debe realizar el sector para implementar una estrategia
competitiva de enfoque o alta segmentación son: Dentro de las capacidades de
130
innovación y tecnologı́a se debe implementar en el sector sistemas de manufactura ágiles que den una rápida respuesta a las oscilaciones del mercado; además
del desarrollo de sistemas para productos especı́ficos. En términos de las capacidades de administración se deben generar sistemas administrativos y financieros
livianos que desarrollen relaciones con clientes especı́ficos para comprender sus
necesidades y ofrecer soluciones a ellas. Para las capacidades laborales se debe
permitir que los trabajadores realicen innovaciones en los procesos, ası́como
realzar el compromiso con la calidad y el servicio que se entregan al mercado.
Es útil mencionar que el mayor énfasis debe ser puesto en el desarrollo
de las capacidades administrativas puesto que, en este rubro es importante la
implementación de sistemas de información y monitoreo del mercado, además
de medios de comunicación bidireccionales con los clientes ası́como la implementación de sistemas de control administrativo y financiero. El cuadro 3
muestra esta interacción.
En el cuadro 4 mostramos el resumen de las acciones a seguir dependiendo
de las estrategias que puede implementar el sector.
Es importante mencionar que existen tres consideraciones para la implementación de un programa que articule las tres áreas de capacidades y las tres
estrategias competitivas en un sector:
1. Es necesario definir un órgano coordinador de las actividades a realizar el
cual debe contar con el reconocimiento de los empresarios, el conocimiento
del sector y el compromiso de conducir a buen término el programa. Para
ejercer esa coordinación se puede pensar en las cámaras empresariales del
sector.
131
2. Es necesario analizar que tipo de empresas son las que componen al sector
mayoritariamente. Con base en esta información es conveniente enfocar el
desarrollo de las capacidades a ese tipo de organizaciones (empresas micro,
pequeñas, medianas o grandes).
3. Por último es necesario establecer una permanente evaluación del desarrollo
de las capacidades dependientes a cada lı́nea estratégica. Esta evaluación
permitirá una retroalimentación que verifique el cumplimiento de los objetivos y de la estrategia competitiva implementada.
Cuadro 4: Tipos de Estrategias y Capacidades
El cuadro 5 muestra el modelo global de desarrollo de capacidades y estrategias
competitivas para un sector.
132
Cuadro 5: Modelo para el desarrollo de capacidades con estrategias competitivas
5. Conclusiones
El modelo propuesto para el desarrollo de capacidades a través de estrategias
competitivas puede llegar a ser de suma utilidad para los sectores al asegurar
una permanencia en los mercados. Para la implementación del modelo de desarrollo de capacidades es necesario que primero se defina la estrategia competitiva
del sector . Los pasos recomendados son: 1) Definir la estrategia competitiva
a seguir. 2) Formalizar el organismo coordinador del programa de desarrollo
de capacidades del sector 3) Definir a partir de las lı́neas estratégicas, las acciones, los recursos y los tiempos de ejecución del proceso. 4) Evaluar el grado
de desarrollo de las capacidades en el sector. 5) Retroalimentar el programa
corrigiendo o reforzando las acciones implementadas.
6. Referencias
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Management executive. 9(4), 49-61
133
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De la cruz, I., Morales, J.C. y Carrasco, G. (2006): Construcción de un instrumento de evaluación de capacidades en la empresa: una propuesta
metodológica. Ponencia presentada en el X Congreso Anual de Investigación en Ciencias Administrativas. SLP, México
De la cruz, I. y Morales, J.C. (2006): Desarrollo de capacidades en la pequeña,
mediana y gran empresa de México: Un estudio empı́rico exploratorio.
Ponencia presentada en el XI Foro de Investigación Congreso Internacional
de Contadurı́a, Administración e Informática ANFECA. México D.F.
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Marketing. 58, 37-51 Dierickx, I. y Cool, K. (1989): Asset stock accumulation and sustainability of competitive advantage. Management Science.
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Eisenhard, K.M y Martin J.A. (2000): Dynamic capabilities: What are they?.
Strategic Management Journal. 52, 1105 - 1121
McEvily, B. y Zaheer, A. (1999): Bridging ties: A source of firm hererogeneity
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Leonard-Barton, D. (1992): Core capabilities and core rigidities: A paradox
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Penrose, E.G. (1959): The Theory of the Growth of the Firm. Wiley, New
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Peteraf, M.A. (1993): The cornerstones of competitive advantage: A resource
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Zander, U y Kogut, B. (1995): Knowledge of the firm, combinative capabilities,
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Zollo, M. y Winter, S.G. (2001): Deliberate learning and the evolution of
dynamic capabilities. Organization Science. 13 (3), 339 - 351
Control óptimo estocástico en
una economı́a bajo riesgo
e incertidumbre
Francisco Venegas-Martı́nez†
Roberto Ballinez-Ambriz††
Recibido 12 de abril 2007, Aceptado 7 de junio 2007
Resumen
En este trabajo se desarrolla un modelo de control óptimo estocástico para
una economı́a cerrada con tres sectores: consumidores, empresas y gobierno.
Las variables aleatorias que conducen la dinámica estocástica de las variables
económicas y financieras relevantes siguen procesos de Wiener o movimientos
Brownianos. Con base en el modelo propuesto se analizan diferentes aspectos
de polı́tica monetaria y fiscal y se discuten varias relaciones de equilibrio; como
acumulación de capital e inflacion.
Abstract
The aim of this paper is to develop a stochastic optimal control model for a
closed economy with three sectors: consumers, firms and government. The
random variables that drive the stochastic dynamics of relevant economic and
financial variables follow a Wiener process or Brownian motion. On the basis of
the proposed model, several aspects of monetary and fiscal policy are analyzed
and various equilibrium relations, such as capital accumulation and inflation,
are discussed.
Clasificación JEL: C61, E22, E52, E62
Palabras clave: Ánálisis dinámico, Polı́tica monetaria y fiscal, Crecimiento económico e inversión, Riesgo inflacionario
1. Introducción
La independencia del banco central ha sido uno de los principales mecanismos
para reducir la inflación y dar efectividad a la polı́tica monetaria, ya que al
separar del gobierno la facultad de emitir dinero, se limita la posibilidad de que
†
††
Investigador ESE-IPN. Tel: +52(55)54831878
Alumno del doctorado en Ciencias Financieras Tecnológico de Monterrey Campus Ciudad de México.
Control óptimo estocástico en una economı́a
135
éste financie su gasto por esa vı́a y genere procesos inflacionarios. Ası́, las fluctuaciones esperadas en torno de la polı́tica monetaria son mı́nimas, generando
un ambiente donde el componente estocástico de la inflación se reduce considerablemente. En sentido estricto, esto no significa que desaparezca el riesgo, lo
que significa es que se reduce la varianza de algunos de los determinantes de la
inflación.
La discusión sobre el diseño de la estrategia de polı́tica económica, ası́ como
los instrumentos y mecanismos para desarrollarla, se ha ubicado recientemente
en un marco de referencia más amplio que incorpora el riesgo y la incertidumbre.
La estrategia de polı́tica económica siempre combina instrumentos de polı́tica
monetaria (crecimiento de la base monetaria, tasa de interés y regulación bancaria) con instrumentos de polı́tica fiscal (gasto público e impuestos), y una
pregunta relevante es cuál de estos instrumentos genera mayor varianza en la
estrategia general.
La globalización en los mercados, ası́ como la creación de regiones de libre
comercio e instituciones internacionales como FMI, Banco Mundial, etc., han
redefinido las reglas y restricciones del desarrollo económico para muchos paı́ses.
En estas condiciones, las estrategias a seguir para estabilizar una economı́a no
sólo dependen de la incertidumbre interna, sino tambén de la incertidumbre
internacional, ya que la eficacia de los instrumentos de polı́tica económica está
en función de las relaciones con el exterior, vı́a tipo de cambio, flujo de capitales y tasas de interés. En sı́ntesis, las condiciones actuales de una economı́a
globalizada plantean la necesidad de marcos teóricos más sofisticados, capaces
de incorporar no sólo las relaciones básicas del funcionamiento interno de la
economı́a, sino también la incertidumbre en el comportamiento de agentes complejos que responden a factores externos de riesgo.
En este trabajo se retoman todas las ideas expuestas anteriormente con
el objetivo de desarrollar un modelo de control óptimo estocástico para una
economı́a cerrada. Para ello se consideran tres sectores: consumidores, empresas
y gobierno. Por razones técnicas, el modelo se plantea para una economı́a
cerrada, ya que el hecho de abrirla impone serias complicaciones en el proceso de
optimización. Para efectos de modelación las variables principales evolucionan
de acuerdo a procesos markovianos de difusión de la forma:
dx = µxdt + σxdz;
donde µ y σ representan la media y varianza de la variable x (véanse, por
ejemplo, Turnovsky (1999), Giulano y Turnovsky (2003), y Turnovsky y Smith
(2006)). Las perturbaciones aleatorias se incorporan en el factor dz, donde z
sigue un proceso de Wiener o movimiento Browniano. Con base en este patrón el
modelo incorpora elementos estocásticos a la toma de decisiones de los agentes,
además de considerar de manera especı́fica el efecto de la incertumbre fiscal
y monetaria y, consecuentemente, sobre las decisiones óptimas de los agentes.
Al mismo tiempo, aporta un marco más amplio y más rico para el análisis
de los intrumentos de polı́tica económica. El marco de referencia es similar
al de Turnovsky (1993) y Venegas-Martı́nez (2001), (2005), (2006a), (2006b),
(2006c) y (2008), en donde se supone una economı́a cerrada con las siguientes
caracterı́sticas:
136
a) Presencia de agentes representativos (consumidores maximizadores de utilidad y empresas maximizadoras de beneficios).
b) Todos los procesos estocásticos que modelan los riesgos a los que se exponen
los agentes son generados por movimientos Brownianos.
c) Las medias y varianzas de los procesos estocásticos en cuestión están relacionadas.
El trabajo está organizado en cinco secciones las cuales presentan una descripción de la economı́a, los sectores que la integran, los problemas objetivo
de cada uno de los agentes y sus soluciones óptimas, ası́ como las relaciones de
equilibrio general. Asimismo, se presentan las conclusiones junto con las limitaciones del modelo propuesto y algunas sugerencias para futuras investigaciones.
2. Consumidores
En este modelo el consumidor representativo tiene un horizonte de vida infinito
y maximiza su utilidad total descontada a una tasa intertemporal subjetiva δ.
El consumidor obtiene utilidad del consumo de un bien genérico y de la tenencia
de saldos reales. A partir de estas consideraciones, los elementos que definen el
problema de maximización del agente representativo, son:
a) Restricción presupuestal. El consumidor posee tres activos: dinero, M ,
bonos de gobierno, B, y acciones, S; sujeto a la restricción presupuestal
M
B
+ + S = W,
P
P
(1)
donde M/P y B/P indican los acervos reales de dinero y bonos de gobierno,
mientras S es el acervo real de acciones. La riqueza real del individuo es
denotada por W .
b) Utilidad Esperada. Dado que el consumidor obtiene satisfacción del bien
de consumo, C, y la tenencia de saldos reales, M/P , el objetivo es elegir
el portafolio y la cantidad de consumo que maximicen
E0
" Z∞
0
M
U C,
e−δt dt
P
#
F0 ,
(2a)
donde E0 es la esperanza condicional a la información disponible, F0 , al
tiempo t = 0, y U es el ı́ndice de felicidad. Por otra parte, la evolución de
la riqueza sigue la ecuación diferencial estocástica
dW = W (θ1 dRM + θ2 dRB + θ3 dRS ) − Cdt − dT,
donde
θ1 ≡ (M/P )/W : porcentaje del portafolio en saldos reales,
θ2 ≡ (B/P )/W : porcentaje del portafolio en bonos de gobierno,
en términos reales,
θ3 ≡ S/W : porcentaje del portafolio en acciones,
dRi = tasa de rendimiento real después de impuesto sobre el activo i,
(2b)
137
i = M, B, S,
dT = impuestos sobre riqueza.
c) Rendimiento de los activos. Se supone que las tasas nominales de rendimiento del dinero y de los bonos son cero e i, respectivamente. Asimismo,
se supone que el consumidor percibe que los precios evolucionan estocásticamente de acuerdo con la siguiente ecuación diferencial estocástica:
dP
= πdt + dp,
P
(3)
donde πdt es la media esperada de la inflación en el periodo dt y dp es un
factor estocástico que se distribuye normalmente con media cero y varianza
σp2 dt. A partir de esta ecuación y empleando el lema de Itô, se obtienen
las tasas de rendimiento del dinero y de los bonos de gobierno:
i) Para obtener dRM se calcula
dRM
donde
d M
P
=
= rM dt − dp,
M
P
(4a)
rM = −π + σp2 .
ii) De manera similar, para obtener dRB se calcula
dRB =
donde
d(P −1 )
= rB dt − dp,
P −1
(4b)
rB = i(1 − τy ) − π + σp2 ,
aquı́ τy es la tasa de impuesto sobre ingresos por intereses ganados.
Es importante observar que los rendimientos del dinero y de los bonos
se ven afectados con la varianza de la tasa de inflación.
iii) La tasa de rendimiento de las acciones, después de impuesto, está dada
por
dRS = rS dt + du,
(4c)
donde du, al igual que dp, es una variable aleatoria, temporalmente
independiente, que tiene una distribución normal con media cero y
varianza σu2 dt. La tasa de rendimiento media esperada rS se especifica
posteriormente cuando se estudie a la empresa.
d) Impuestos. Además de los impuestos τy y τc que se pagan sobre los ingresos
por intereses y ganancias de capital, respectivamente, el consumidor paga
un impuesto sobre la riqueza de la forma
dT = τ W dt + W dv,
(5)
138
y al igual que en los casos anteriores, dv es una perturbación estocástica,
que se distribuye normalmente con media cero y varianza σv2 dt.
Si se sustituyen θ1 en (2a), y (4a), (4b), (4c) y (5) en (2b), y se supone que la
función de utilidad del consumidor es de la forma
U = β log C + γ log
M
,
P
β + γ = 1,
el problema de optimización del consumidor consiste en elegir C, θ1 , θ2 y θ3
que maximicen
Maximizar E0
" Z∞
−δt
[β log C + γ log(θ1 W )]e
0
sujeto a:
dW
=
W
#
dt F0
(6a)
C
− τ + [−(θ1 + θ2 )dp + θ3 du − dv] (6b)
θ1 rM + θ2 rB + θ3 rS −
W
y
θ1 + θ2 + θ3 = 1,
(6c)
donde i, π, τy , τc , τ , y las varianzas y covarianzas correspondientes se toman
como dadas. Para resolver este problema se utiliza la ecuación de JacobiHamilton-Bellman
(
0=
0
max
C,θ1 ,θ2 ,θ3
+W V (W ) θ1 (−π +
σp2 )
β log C + γ log(θ1 W ) − δV (W )
+ θ2 (i(1 − τy ) − π
− σp2 )
C
+ θ3 rS −
−τ
W
+ 12 W 2 V 00 (W ) (θ1 + θ2 )2 σp2 + θ32 σu2 + W 2 σv2 − 2(θ1 + θ2 )θ3 σpu
+2(θ1 + θ2 )σpv W − 2θ3 W σuv ]
)
sujeta a
θ1 + θ2 + θ3 = 1
Para ello, se utiliza el Lagrangiano
L = {∗} + λ(1 − θ1 − θ2 − θ3 ),
139
donde ∗ representa la ecuación de Jacobi-Hamilton-Bellman, definida arriba.
Las condiciones de primer orden (o condiciones necesarias) en este caso son:
∂L/∂C = 0; ∂L/∂θi = 0, i = 1, 2, 3; y ∂L/∂λ = 0. Equivalentemente,
β
= V 0 (W ),
(7a)
C
γ
+ W V 0 (W )(−π + σp2 ) + W 2 V 00 (W )[(θ1 + θ2 )σp2 − θ3 σpu + σpv ]
θ1
− λ = 0,
(7b)
0
2
2 00
2
W V (W )(i(1 − τy ) − π − σp ) + W V (W )[(θ1 + θ2 )σp − θ3 σpu + σpv ]
− λ = 0,
0
(7c)
2
W V (W )rS + W V
θ1 + θ2 + θ3 = 1.
00
(W )[θ3 σu2
− (θ1 + θ2 )σpu − σuv ] − λ = 0,
(7d)
(7e)
A partir de los coeficientes de correlación rij se construye la matriz de
distancias D cuyas entradas están dadas por:
dij =
q
2(1 − ρij ).
Para resolver este sistema de ecuaciones, se supone que V (W ) es de la forma:
V (W ) = b0 + b1 log(W ). Consecuentemente, las dos primeras derivadas de
V (W ) son:
b1
V 0 (W ) =
W
y
b1
V 00 (W ) = − 2 .
W
Si se sustituyen las dos expresiones anteriores en las condiciones de primer orden
y se elimina λ el sistema de ecuaciones (7a)-(7e) se simplifica considerablemente.
En efecto, a partir de (7a) se obtiene
β
b1
=
,
C
W
de donde
C=
βW
.
b1
Asimismo, de (7b) y (7c), se sigue que
γ
= i(1 − τy )b1 ,
θ1
lo que implica que
θ1 =
γ
.
i(1 − τy )b1
140
También, a partir de (7c) y (7d), y recordando que rB = i(1 − τy ) − π − σp2 , se
obtiene
(rS − rB ) + σp2 + σpu + σpv + σuv
θ3 =
.
σp2 + σu2 + 2σpu
Por último, θ2 se obtiene al despejarla de 1 = θ1 + θ2 + θ3 . Ahora bien, para
que V (W ) sea solución, se debe cumplir que b1 = δ1 , por lo que las decisiones
óptimas de consumo e integración del portafolio de activos del consumidor están
dadas por:
C = δβW ,
δγ
θ1 =
,
i(1 − τy )
θ2 = 1 −
θ3 =
(8a)
(8b)
δγ
−
,
i(1 − τy )
σp2 + σu2 + 2σpu
.
σp2 + σu2 + 2σpu
(8c)
(8d)
3. Empresas
En esta economı́a, la empresa representativa produce el único bien que hay en el
mercado. Por otro lado, los rendimientos que paga sobre las acciones emitidas
está en función de la producción y de la polı́tica de dividendos. De esta forma,
los elementos que definen el comportamiento de la empresa son:
a) Tecnologı́a. En esta economı́a la producción sigue una trayectorı́a definida
por:
dY = νKdt + νKdy,
(9)
donde ν representa el producto marginal del capital. Aquı́, como en el caso
del consumidor, dy sigue un proceso Winer o movimiento Browniano que
se distribuye normalmente con media cero y varianza σy2 dt.
b) Rendimiento sobre acciones. En términos generales, el rendimiento que
paga la empresa sobre las acciones emitidas se puede definir como:
dRS = (1 − τy )
ds
dD
+ (1 − τc ) ,
S
s
(10)
donde:
dD = flujo de dividendos,
s = precio relativo de las acciones, en términos de producto,
τc = impuestos pagados sobre ganancias de capital.
De esta forma, el rendimiento de las acciones tiene dos componentes: los
dividendos que se pagan por acción y las ganancias (o pérdidas) de capital
que resultan de movimientos en el precio de las acciones al final del periodo.
Se analizan cada uno por separado.
141
c) Ganancias o pérdidas de capital. Para conocer la trayectoria que sigue
ds/s, es necesario analizar el comportamiento de la producción, el stock
de acciones, el capital y la polı́tica de inversión de la empresa. Ası́, en el
equilibrio el stock de acciones es igual al stock de capital existente, por
lo que S = K. Ahora bien, si se denota como N el stock de acciones en
cualquier tiempo t, se debe cumplir que:
sN = K = S,
(11)
lo que representa el valor monetario de las acciones emitidas, el capital y
el stock de acciones en poder de los consumidores. Si se deriva sN = K
siguiendo el lema de Itô, se obtiene:
dK = N ds + (s + ds)dN ,
(12)
es decir, el capital sigue una trayectoria definida por el nivel de acciones
en cada momento y los cambios en el precio de éstas. Por otra parte,
la producción neta después de impuestos puede tener dos usos: para pagar dividendos o para financiar nueva inversión, RE, entendida como ampliación de la capacidad de planta. De esta forma, la trayectoria que sigue
el producto después de impuestos es:
(1 − τp )dY = dD + dRE,
(13)
donde τp es el impuesto sobre ingresos corporativos. Ahora, dado que las
empresas pueden financiar nuevo capital emitiendo acciones o reteniendo
ganancias, la acumulación de capital enfrenta la restricción:
dK = (s + ds)dN + dRE,
(14)
lo cual indica que el valor del nuevo capital está en función de las ganacias
retenidas y del valor de las nuevas acciones que se venden al precio s + ds.
De esta forma, si se sustituyen las ecuaciones (11), (12) y (13) en (14) y se
despeja ds/s, se obtiene:
(1 − τp )dY − dD
ds
=
.
s
s
(15)
Si la ecuación anterior se sustituye en la expresión del rendimiento de las
acciones (10), se sigue que
dRS = (τc − τy )
dD
dY
+ (1 − τp )
.
S
S
(16)
d) Polı́tica de dividendos y rendimiento del capital. En este modelo, asumimos
que los dividendos que pagan las empresas son una fracción w del ingreso
corporativo después de impuestos. Es decir, los dividendos adquieren la
forma
dD = w(1 − τp )dY ,
0 ≤ w ≤ 1.
(17)
142
De esta forma, si se sustituye esta expresión en la ecuación (16) y se recuerda que en el equilibrio K = S, se obtiene la trayectoria estocástica del
rendimiento de las acciones en términos del proceso de difusión que siguen
el producto y el stock de capital:
dRS = [1 − τc + w(τc − τy )](1 − τp )
dY
,
K
(18)
Es importante observar en la ecuación anterior que el componente estocástico está dado por dY , ya que el resto de las variables son deterministas. De manera similar, si se sustituyen (16) en (13), se obtiene la
trayectoria estocástica que siguen las ganancias (o pérdidas de capital) en
términos de dY y K:
dY
ds
= (1 − w)(1 − τp )
.
s
K
Como puede observarse, el rendimiento de las acciones varı́a directamente
con w, a diferencia de la tasa de ganacias de capital, que lo hace de forma
inversa. Por último, si se toma en cuenta que en la ecuación (4c) el cambio
marginal dRS está en términos de rS y du, y se desea obtener una expresión
similar, entonces se sustituye (9) en (18). Ahora bien, si se define τk como el
impuesto promedio que pagan los consumidores por ingresos de dividendos
y ganancias de capital, ponderados con w de la forma τk = wτy +(1 −w)τc ,
y si también se sustituye esta expresión en (18), se obtiene que:
rS = (1 − τk )(1 − τp )ν,
(19a)
du = (1 − τk )(1 − τp )νdy.
(19b)
De esta forma, la tasa de rendimiento de las acciones está en función de la
tasa del producto marginal del capital; y de manera similar, el componente
estocástico du depende de los shocks de productividad derivados de cambios
en ν.
4. Gobierno
En virtud de que el gobierno tiene el monopolio de emisión de dinero y, a la vez,
emite deuda para financiar su gasto, es necesario analizar los tres principales
instrumentos de polı́tica que emplea: polı́tica de gasto, polı́tica monetaria y
polı́tica de deuda; además de la restricción presupuestal que enfrenta y los
ingresos derivados de la recaudación de impuestos.
a) Restricción presupuestal. De manera similar al caso del consumidor, la
restricción presupuestal del gobierno, expresada en función del déficit financiero en términos reales, tiene la forma:
M
B
M
B
dG − dTh − dTf +
dRM + dRB = d
+d
(20)
P
P
P
P
donde:
dG = gasto real del gobierno,
dTh = impuesto total recaudado de los consumidores, en términos reales,
143
dTf = impuesto total recaudado de las empresas, en términos reales.
b) Polı́tica de gasto. En este modelo el gasto que realiza el gobierno sigue una
trayectoria estocástica definida por:
dG = gνKdt + νKdz,
(21a)
donde, al igual que en los casos anteriores, dz es una variable estocástica
con una distribución normal con media cero y varianza σz2 dt. De esta forma,
el gasto de gobierno está definido como una fracción g del producto real.
El factor estocástico del gasto, en cambio, es proporcional al producto.
c) Polı́tica monetaria. En esta economı́a, la regla de crecimiento de la oferta
monetaria sigue un proceso estocástico de difusión de la forma:
dM
= µdt + dx,
M
(21b)
donde µ es la tasa nominal de crecimiento monetario y dx es el componente
estocástico con distribución normal con media cero y varianza σx2 dt.
d) Polı́tica de deuda. La deuda que contrata el gobierno se hace vı́a emisión
de bonos. En este caso, la polı́tica de endeudamiento se fija de forma tal
que el cociente del stock de bonos entre el stock monetario, se mantenga
constante a una tasa λ, que se fija de manera exógena, es decir:
B
= λ,
M
(21c)
esta relación resulta de definir el stock de bonos como una proporción fija
del stock de dinero: B = λM . De esta forma, diferenciando totalmente la
ecuación (21c), se tiene la expresión
dB
dM
=
,
B
M
lo que indica que ambos stocks crecen a la misma tasa. Por lo tanto, el
único recurso para cambiar λ es vı́a operaciones de mercado abierto en
función de dB = −λdM . Por lo tanto, si λ = 1, la cantidad de deuda
emitida, es igual a la cantidad de dinero que se saca de circulación de la
economı́a; o inversamente, la cantidad que crece la oferta monetaria es
igual a la deuda gubernamental que se salda.
e) Recaudación de impuestos. Finalmente, las cantidades reales de la recaudación total del gobierno, dTh y dTf que se aplican a consumidores y
empresas, están definidas por:
i) En el caso de los consumidores, el impuesto total tiene tres componentes: el gravado sobre los intereses que reciben por la tenencia de
bonos, el de las ganacias de capital y el que se hace sobre el nivel de
riqueza (5). De esta forma, las cantidas respectivas son:
dThi = iτy θ2 W dt,
144
dThc = τk (1 − τp )νK(dt + dy),
dT = τ W dt + W dv.
En consecuencia,
dTh = dThi + dThc + dT.
ii) En el caso de las empresas, los impuestos se gravan sobre los ingresos
corporativos. Es decir,
dTf = τp dY = τp νK(dt + dy),
donde las tasas τy , τc y τp son exógenamente determinadas.
5. Relaciones de equilibrio
Para encontrar la trayectoria que sigue la acumulación de capital en esta economı́a, dK/K, se parte de la identidad de la renta nacional, la cual garantiza
el equilibrio en el mercado de bienes:
dK = dY − dC − dG.
(22)
Si se sustituyen en el la expresión anterior las ecuaciones (7a), (9) y (21a)
que corresponden a las trayectorias del consumo, la producción y el gasto de
gobierno, respectivamente, se obtiene
βδ
dK
= ν(1 − g) −
dt + ν(dy − dz).
(23)
K
θ3
De esta forma, la acumulación de capital sigue una trayectoria estocástica determinada por la producción, el consumo y el gasto de gobierno. Consecuentemente, el componente no estocástico de esta ecuación, E[dK/K], está determinado por
βδ
φ = ν(1 − g) −
,
(24a)
θ3
mientras que el componente estocástico, dk, se deriva de
ν(dy − dz),
(24b)
donde dy y dz son los movimientos Brownianos respectivos a la producción y
al gasto de gobierno.
Una vez especificadas las ecuaciones que modelan las decisiones óptimas
de los agentes, ası́ como las variables endógenas y exógenas, lo que resta es
obtener algunas relaciones de equilibrio. Ahora, dado que en esta economı́a
el stock de capital y las cantidades nominales de bonos y dinero se heredan
del pasado, y dado que el stock real de dinero y bonos están determinados
por los movimientos en el nivel de precios, es necesario, en primera instancia,
especificar el comportamiento que sigue la inflación. Para ello, se parte de las
relaciones del equilibrio del portafolio de activos, derivadas en el apartado del
consumidor.
145
A partir de las condiciones de primer orden del consumidor (7a) a (7e),
se puede ver que si los activos tienen las mismas caracterı́sticas estocásticas
en el tiempo, entonces las decisiones óptimas en cada momento serán iguales.
Es decir, corresponderán a un mismo portafolio. De esta forma, mientras las
cantidades θ1 , θ2 , θ3 ası́ como la tasa de interés nominal (i), sean endógenas,
éstas serán no estocásticas en el tiempo. Al considerar un equilibrio con estas
caracterı́sticas y al combinar las condiciones de equilibrio de saldos reales y
acciones, θ1 = (M/P )/W y θ3 = S/W , respectivamente, podemos expresar el
nivel de precios actual de la forma:
P =
θ3 M
,
θ1 K
que es una expresión similar a la que corresponde al caso determinista, dada
por P = M/L donde L, indica la demanda de saldos reales.
Si se supone que θ1 , θ2 y θ3 son constantes y se deriva estocásticamente,
se tiene
2
dP
dM
dK
dM
dK
dK
=
−
−
+
.
P
M
K
M
K
K
Si se sustituyen las expresiones (3), (21b) y (23), respectivamente, en dP/P ,
dM/M y dK/K, se obtiene la expresión:
C
πdt + dp = µdt + dx − ν(1 − g) −
dt − ν(dy − dz) + ν 2 (σy2 + σz2 )dt, (25)
K
donde los componentes determinista y estocástico están dados, respectivamente,
por
C
π = µ − ν(1 − g) −
+ ν 2 (σy2 + σz2 )
(25a)
K
y
dp = dx − ν(dy − dz).
(25b)
De esta forma, la ecuación (25a) proporciona la tasa de inflación esperada consistente con un portafolio cuya integración es constante en el tiempo. Y, como
puede verse, varı́a proporcionalmente a la tasa esperada de crecimiento monetario, ası́ como a los shocks fiscales y productivos, mientras que con la tasa
esperada de crecimiento del capital, crece de manera inversa. Por otra parte, la
ecuación (25b) determina el componente estocástico endógeno de la tasa actual
de inflación, en función de los componentes estocásticos del crecimiento monetario y de los shocks de productividad y fiscales. Por lo tanto, incrementos
estocásticos en la oferta de dinero y en el nivel de gasto gubernamental incrementarán el nivel de precios, mientras que, por otro lado, los incrementos en el
nivel de producto lo reducirán.
6. Conclusiones
En este trabajo se desarrolló un modelo de control óptimo estocástico para
una economı́a cerrada con tres sectores. Las variables exógenas incluyen los
146
parámetros de polı́tica económica (crecimiento monetario, µ; gasto público, g;
y polı́tica de deuda, λ) y las tasas de impuesto (τy , τc y τp ). De igual forma,
los procesos estocásticos exógenos son los respectivos al crecimiento monetario,
dx, el gasto público, dz, y la producción, dy, que se supone que no están correlacionados. El resto de los procesos estocásticos son endógenos y pueden ser
expresados como funciones simples de los shocks exógenos: dp, du, dv, y dw.
Por otro lado, se discutieron los efectos de polı́tica económica sobre la
acumulación de capital y la inflación, obteniendo que la relación entre ambas
depende de la polı́tica empleada. Los resultados obtenidos fueron tres. Primero,
la reducción de la incertidumbre económica, dx, estimula el crecimiento, al
tiempo que reduce la inflación. Segundo, el aumento de la tasa de crecimiento
de la oferta monetaria, µ, estimula el crecimiento, pero aumenta también la
tasa de inflación. Tercero, vı́a impuestos se puede elevar la tasa de crecimiento
de la economı́a, al tiempo que se disminuye la inflación.
147
Bibliografı́a
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Stochastic Economy”, Vol. 34, No. 4, pp. 953-981.
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Turnovsky, S. J. and W. T. Smith (2006). “Equilibrium Consumption and
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Economic Dynamics and Control, Vol. 30, No. 2, pp. 243-278.
Venegas-Martı́nez, F. (2001). “Temporary Stabilization: A Stochastic Analysis”. Journal of Economic Dynamics and Control, Vol. 25, No. 9, 14291449.
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Venegas-Martı́nez, F., (2006c). Riesgos financieros y económicos (productos
derivados y decisiones económicas bajo incertidumbre, International Thomson Editors.
Venegas-Martı́nez, F. (2008). “Temporary Stabilization in Developing Countries and the Real Option of Waiting when Consumption Can Be Delayed”.
International Journal of Economic Research, forthcoming.
The Valuation of Mortgage Backed Securities
with Stochastic Probabilities of
Default and Prepayment
Francisco Venegas-Martı́nez†
J. Victor Reynoso-Vendrell††
Recibido 15 de marzo 2007, Aceptado 6 de junio 2007
Resumen
En este artı́culo se propone una nueva metodologı́a para la proyección de los
flujos de bonos respaldados por hipotecas (BORHIS) en mercados emergentes
donde la información del colateral es limitada, incorrecta o incompleta. Bajo
esta metodologı́a se utiliza el proceso de Cox para modelar las probabilidades
estocásticas de prepago e incumplimiento. El modelo utiliza una dinámica
general en la intensidad, la cual se aplica en el naciente mercado de BORHIS.
Abstract
The aim of this paper is to provide a new approach to project the Mortgage
Backed Securities (MBS) cash flows in emerging markets where collateral information is limited, wrong or scarce. Under this framework, we used the
Cox Process to model stochastic probabilities of prepayment and default. The
model deals with general intensity dynamics and is applied to the starting MBS
Mexican market.
Clasificación JEL: G12, G13 y G14.
Palabras clave: Mortgage valuation, MBS prepayment, MBS default, MBS curtailment, Cox
Process.
1. Introducción
The Mortgage Backed Securities (MBS) market is just growing in Mexico. The
oldest MBS was sold to the investors in December 2003. In the following years
2004 and 2005, 250 million USD were put on the market each year, and in
2006 this amount increased 330(in April 2007) in assets backed with mortgage
loans.1 The government agency that promotes the MBS market is “Sociedad
Hipotecaria Federal” (SHF). This agency not only provides the funding for the
†
††
Investigador ESE-IPN.
Subdirector MBS/ABS Risk Management HSBC México,
mail: [email protected]
1
Source: SHF, April 2007. (http:// www.shf.gob.mx/les/pdf/BORHIS04071.pdf)
149
mortgage banks, but also attempts to create the MBS market (primary and
secondary) so as to change the funding from government to investor with the
mortgage backed securities.As known, the two risky events in the mortgage
world are the prepayment and default events. The first one is related to the
possibility that the borrower prepays the loan before maturity without penalty,
so the investor has to reinvest his money in a new mortgage loan at the current
rate, losing the difference between the old loan rate and the new one if the
current coupon is lower, which is the most frequent case because the borrower
prepays the old mortgage to refinance his debt with a lower rate.
Of course, there are many other causes to prepay the loan making a difficult task to forecast the mortgager cash flows. The second risky event is the
possibility that the borrower does not pay his debt and the house has to be sold
at stressed prices.
The literature related to the valuation of this kind of assets is very
extensive; see for instance: Fabozzi (2006), Davidson (2003) and Austin (2005),
just to mention a few ones. However, most of this literature deals with the USA
market case where many statistical or econometrics approaches have been used
in modeling probabilities of prepayment and default.
However, when modeling such probabilities it is important to mention that
there are two main differences between the USA case and the emerging markets
case. The first one is that most of the MBS credit risk is practically nonexistent
(government agencies maintain this risk, 65% of the market)2 , and the second
one, and most important, is the market liquidity.
In contrast with the USA case, the emerging markets have very poor or
scarce information, so our approach has to be different. The market participants
not only have to consider all international experience and knowledge to value
and deal with this new financial instrument dependent on local environment,
but also have to be creative to deal with missing information.
This paper is an effort to provide a new approach for the emerging markets
case to price and deal with risk management of the mortgage related assets. The
model recognizes the random behavior of the cash flows by using stochastic
probabilities of default and prepayment. After the cash flows are modeled, the
MBS (subordinated or senior tranche) is the present value of the aggregated and
distributed flows with the structure waterfall (the money distribution rules).
The paper is organized as follow; the next section deals with the mortgage
loans basic effects. Section 3 provides the underlying theory to construct the
stochastic probabilities of prepayment and default. Section 4 assigns stochastic probabilities of prepayment and default. Section 5 is a simple but realistic
implementation with the collateral (mortgage pool) information from the
Mexican market (BRHCGCB-03U). Section 6 presents conclusions, acknowledges limitations, and makes suggestions for further research.
2
Source: IMF, Global Financial Stability Report, Market Development and Issues, Chapter I, April 2007, (http://www.imf.org/external/pubs/ft/gfsr/2007/01/index.htm).
150
2. Loan Cash flows
The first step for the valuation of any security backed with mortgage loans
is to know the collateral cash flow dynamics, this flow is generated from the
mortgage pool. We will be modeling the cash flow of an individual loan and
then aggregate the loans to complete the collateral cash flow.
The loans that we will be considering in the modeling are mortgage with
equal payments, fixed rate loans, and mortgage with floating payments,
adjustable rate mortgages, and every month or payment day some part of the
payment goes to principal and the other part to interest, also the borrower can
prepay the total or some additional part of the outstanding balance with no
cost, which is the most common case in Mexican mortgage market.
Every payment day we have a scheduled payment of principal (PO) and
interest (IO), but the borrower has at least three more possibilities; either
paying more principal than the scheduled (curtailment), prepaying the total
loan balance (prepayment) or not paying (delinquency), these effects makes the
assets collateralized with mortgage very speculative.
We start by introducing some notation before we proceed to work on
formulas, the payment dates are denoted by t = (t0 , t1 , . . . , tn ) with t0 the initial
date and tn the last scheduled payment date. The original balance is denoted
by B(t0 ), and the scheduled payment of principal and interest is P M T (t), then
the first expected flow is:
F low(t1 ) = (P M T (t1 ) + τ (t1 ))B(t1 )λC (t1 )(1 − λP (t1 ))
| {z } |
{z
}
Payment
Curtailment
(IO+P O)
+ B(t1 )λP (t1 )(1 − λC (t1 )) (1 − λDel (t1 ))
|
{z
}|
{z
}
Prepayment
(1)
Delinquency
where:
λC (t1 ) : Probability that the borrower prepays at time t1 more
principal that the scheduled but not the total balance, this situation is
called curtailment.
λP (t1 ) : Conditional probability that the borrower prepays the total loan
balance at time t1 given that the borrower did not prepay before.
λDel (t1 ) : Probability that the borrower does not pay at time t1 , this
situation is called delinquency.
τ (t1 ) Percentage of the loan balance at time t1 which is prepaid.
Equation (1) reflects the different possibilities of the flow at the first
payment day, t1 , which are the payment amount if there is no delinquency, the
curtailment and the total prepayment. At time t2 , it is more complicated because the balance, after the first payment date, has many different possibilities
depending on the amount of curtailment or delinquency and the Flow(t2 ) is
dependent on the first payment, then the next expected cash flow is:
F low(t2 ) = (P M T (t2 ) + τ (t2 )(B(t2 |C(t1 ))λC (t1 ) + B(t2 )S C (t1 ))λC (t2 )
S P (t2 ))S Del (t2 ) + B(t2 |C(t1))λC (t1 ) + B(t2 )S C (t1 ) λP (t2 )S P (t1 )
S C (t1 )S Del (t2 ) + P M T (t1 ) + P M T (t2 ) + τ (t2 )B(t2 )λC (t2 )
(1 − λP (t2 )) + B(t2 )λP (t2 )(1 − λC (t2 )) λDel (t1 )(1 − λDel (t2 ))
151
(2)
where:
B(t2 |C(t1 )) : Balance at time t2 , given that the loan had a curtailment at
time t1 .
B(t2 ) : Scheduled balance.
S C (tn ) =
n
Y
(1 − λC (ti )),
i=1
S P (tn ) =
n
Y
(1 − λP (ti )),
i=1
S Del (tn ) =
n
Y
(1 − λDel (ti )).
i=1
The last equation looks complicate because the different paths of the balance
build a non-recombining lattice; the curtailment at time t1 and no curtailment
at time t2 finishing with different balance than no curtailment at time t1 and
curtailment at time t2 , making the implementation computational difficult and
intensive.
To simplify the analysis, we will consider that the probability of curtailment is one, this means that every payment day the borrower prepays an extra
amount of principal. This assumption is not dangerous because we are going
to aggregate the pool of loans and is very common that a few loans does some
curtailment, then we replace equation (1) with:
F low(t1 ) = (P M T (t1 ) + τ (t1 )(B(t0 ) − (P M T (t1 ) − IO(t1 ))) + B(t1 )
λP (t1 ))(1 − λDel (t1 ))
(3)
where: IO(t1 ) = B(t0 )r M (t0 ), interest in the first payment day; r M (t0 ),
effective mortgage rate in the time t0 y B(t1 ) = B(t0 ) − (P M T (t0 ) − IO(t1 )) −
τ (t1 )(B(t0 )−(P M T (t0 )−IO(t1 ))), principal outstanding after the curtailment.
Now the prepayment is over the remaining balance after the curtailment.
The flow at time t2 is:
F low(t2 ) = (P M T (t2 ) + τ (t2 )(B(t1 ) − (P M T (t2 ) − IO(t2 ))) + B(t2 )λP (t2 ))
S Del (t2 )S P (t1 ) + (P M T (t1 ) + P M T (t2 ) + τ (t2 )(B(t1 )−
(P M T (t2 ) − IO(t2 ))) + B(t2 )λP (t2 ))λDel (t1 )(1 − λDel (t2 ))
(4)
152
Even thought the above formula is simpler than the complete process, we will
make an additional assumption when changing from delinquency to default;
the difference between these two effects is that once the borrower is in default
he will never pay again, and delinquency assume that the borrower would be
current again (pay again), the usual time to change from delinquency to default
is three consecutive months of delinquency. Now, we have that the flow at time
tn is:
F low(tn ) = (P M T (tn ) + τ (tn )(B(tn−1 ) − (P M T (tn ) − IO(tn ))) + B(tn )
λP (tn ))S D (tn )S P (tn−1 )
(5)
where
Qn
S D (tn ) = i=1 (1 − λD (ti )): Surviving probability or not be in default
before the time tn .
λD (tn )): Conditional probability that the borrower default in the time tn ,
given that the borrower did not default before.
B(tn ) = B(tn−1 ) − (P M T (tn ) − IO(tn )): Outstanding balance after the
scheduled principal payment.
IO(tn ) = B(tn−1 )r M (tn ): Interest paid in the time tn .
The next step is the estimation of the two conditional probabilities of
default and prepayment, and the curtailment rate. Once we have these probabilities, we may calculate the future cash flows and aggregate the flows of every
loan to have the total pool flows, the basic element in the valuation and risk
management of MBS. In the next section, we will explore the different methods
to estimate the default, prepayment and the curtailment rate.
3. Theoretical Framework
This section establishes the statistics underlying the prepayment and default
modeling. Both events can be expressed as the first jump of a point process,
which is the event we want to forecast by using the characteristics of the loan,
borrower and the economic environment in which the mortgagor and the market
interact.
Every month, we will expect some default and prepayment in the pool of
loans, no loan can be prepaid twice and we will assume that no loan can be
defaulted twice, although in reality some of them can be in default and then
cured.
In the pool or sample we observe n loans (i = 1, . . . , n) with continuous
survival times T1 , T2 ,. . . ,Tn , nevertheless, we will work thinking of just one
loan and at the end we will aggregate the flows. The borrower or loan survival
function in the pool is S with hazard rate α, the hazard rate is the probability
of failure in the next instant t + dt conditional of being alive in t, we express
this as:
f
(6)
α=
1−F
where F is the distribution function at time Ti and f is the density, the
complement of the distribution function is the survival, S = 1 − F .
153
The hazard rate completely determines the distribution trough the relation:
Z t
t
Y
S(t) = P (Ti > t) =
[1 − α(s)ds] ≈ exp −
α(s)ds ,
(7)
0
0
where the product function means a product-integral; the product over a 1/n
partition of the interval [0, t], 0 < t0 < t1 < · · · < tn = t and taking the
differences to the limit of zero:
t
Y
[1 − α(s)ds] =
0
lim
max |ti −ti−1 |→0
Y
[1 − (α(ti ) − α(ti−1 ))].
(8)
The interpretation of the hazard rate α is the probability of failure in the next
instant given that the failure is grater that t:
P (Ti ∈ [t, t + dt)|Ti ≥ t) = α(t)dt
(9)
The default/prepayment is the first jump of the counting process:
N (t) = 1{Ti≤t}
(10)
and the intensity of the jump process is:
λ(t) = Y (t)α(t),
(11)
where Yi (t) = 1{τi ≥t} , is a right continuous predictable process.
Now we are going to write the difference from time t to t+dt of the counting
process as d(N (t)), meaning N ((t + dt)−) − N (t−), and the expected value is
the intensity:
E[dN (t)|=t−] = λ(t)dt.
(12)
The cumulative intensity is called the compensator:
Λ(t) =
Z
t
λ(s)ds,
t ≥ 0.
(13)
0
The compensated counting process or counting process martingale is the
difference between the counting process and the cumulative intensity, that is
M (t) = N (t) − Λ(t),
(14)
dN (t) = dΛ(t) + dM (t) = λ(t)dt + dM (t).
(15)
or, equivalently:
Consider now a probability space (Ω, =, P ) equipped the filtration F = (=)t∈R
, a increasing right-continuous family of sub σ-algebras of = . Consider also the
154
conditional expectation of the increment of the process M , given the information
available we have:
E[dM (t)|=t−] = E[dN (t) − dΛ(t)|=t−]
= E[dN (t) − λ(t)dt|=t− ]
= E[dN (t)|=t−] − λ(t)dt
(16)
=0
In modeling the intensity, the error has to be just noise and the model is our
best guess about the failure of the loans in the future. Now, we will find the
variance of the noise in the model, which is known in the martingale theory as
the predictable variation and denoted by hM i:
Var[dM (t)|=t−] = E[dM (t)2]
= E[dN (t)2 ] − dΛ(t)
(17)
= dΛ(t)(1 − dΛ(t)).
Thus, the probability of default and prepayment can be estimated with the
information of the pool, in the developed countries such as USA where the
information is available, a lot of statistical tools can be used to get these probabilities, like logistic regression, survival theory or Generalized Additive Models
of Hastie and Tibshirani (1986).
In the emerging markets other assumptions has to be made because the
information is incomplete and with low quality, then we will incorporate this
stylized fact, and we will recognize that the probability of default/prepayment
is unknown or stochastic, to do that we will use the Cox Process, which incorporates an stochastic intensity. We take the definition as in Schnbucher (2003):
Cox process: A point process N (t) with intensity λ(t) is a Cox process if, conditional on the background information ς, N (t) is an inhomogeneous Poisson
process with intensity λ(t).
The background information is a filtration (ς)t≥0 with all the future and
the past information related to the intensity (the economical information, the
borrower characteristics, etc.) except the counting process or the jumps which
are in =t , and then the complete filtration is:
otal
=Tt≥0
= (=t≥0 )t≥0 ∨ (ςt≥0 )t≥0 .
(18)
t≥0
The inhomogeneous Poisson process is similar to the Poisson process, but with
an intensity λ(t), a non-negative function of time. We will use again Schnbucher
(2003) definition: Inhomogeneous Poisson process: An inhomogeneous Poisson
process with intensity function λ(t) > 0 is a non-decreasing, integer-valued
process with initial value N (0) = 0 whose increments are independent and
satisfy,
!n
!
Z T
Z T
1
λ(s)ds
exp −
λ(s)ds .
(19)
P [N (T ) − N (t) = n] =
n!
t
t
155
In the next section we will show how to incorporate this technology to the
mortgage loans assuming some stochastic dynamic to the intensity of prepayment and default. Incorporating this technology to the mortgage loans flows we
can do a better pricing and risk management because we are recognizing that
we really do not know the conditional probability of default/prepayment and
we will need to wait many years (at least 7 years) to know the real borrower
behavior over the loan live.
4. Mortgage Flows with Stochastic Intensity of Default and
Prepayment
We will assume a Gaussian stochastic dynamic for the prepayment and default
intensities with negative correlation between them. It is natural to assume that
the borrower with problems to pay his debt hardly will prepay the whole balance, and then if the probability of default is high the probability of prepayment
is low.
We can also incorporate the relation between the prepayment and the mortgage rates, when the borrower has a higher coupon than the current market
coupon he is tempted to go with other mortgage bank and get a new loan with
lower rate, with this money he will prepaid the current mortgage loan, this
phenomena is called refinance. In Mexico this effect is not very clear because
the mortgage rates moves very slow (low volatility) mainly because the market
is under development and the credit spread is high enough to absorb all the
daily volatility of the funding rate, nevertheless with the securitization of the
mortgage loans via MBS and the competence the market will grow faster and
the pricing of the credit spread will be better.
Other variables like the Loan to Value (LTV)3 , Debt to Income (DTI)4 or
any other variable related to the borrower or the economy can be incorporated
in the mean of the intensity of prepayment or default, so the model has a good
flexibility to fit the complexity involved in the borrower behavior.
We will assume the following stochastic dynamic for the intensities:
dλP (t) = µλP (t, β, r M (t))dt + σλP dW (t),
(20)
dλD (t) = µλD (t, β̄)dt + σλD dW̄ (t),
(21)
dW dW̄ = ρdt,
(22)
where
β: Vector with all the relevant variables or covariates related to the prepayment, like LTV, loan size, seasonality, etc.
r M (t): Stochastic market mortgage rate.
β̄: Vector with all the relevant variables or covariates related to the default,
like LTV, DTI, etc.
W : Wiener process.
3
Loan to Value is the loan principal outstanding divided by the value of the collateral or
the house price.
4
Debt to Income is the total debt of the borrower divided by his income.
156
The mean of the prepayment intensity process, µλP (t, β, r M (t)), has all
the important information of the market, loan and borrower characteristics. In
fact, if we assume σλP = 0, we get one of the standard econometric model used
in the USA case.
With this model, the intensities are stochastic and the formula (5) leads
to the following expected value:
E[F low(tn )|=t0 ] = E [(P M T (tn ) + τ (tn )(B(tn−1 ) − (P M T (tn ) − IO(tn )))
+B(tn )λP (tn ))S D (tn )S P (tn−1 )|=t0
(23)
In order to manipulate the above formula, we will assume continuous time,
hence
E[F low(t)|=0 ] = E [(P M T (t) + τ (t)(B(t− ) − (P M T (t) − IO(t)))
+B(t)λP (t))S D (t)S P (t− )|=0
(24)
where
t− = lim∆→0 (t − ∆),
Z t
Z
S D (t) = exp −
λD (0) +
0
0
u
µλD (s, β̄)ds + σλD (W (u) − W (0)) du ,
t− = lim (t − ∆),
∆→0
Z t
Z u
S P (t) = exp −
λP (0) +
µλP (s, β̄, r M (s))ds + σλP (W (u) − W (0))
0
0
du ,
The mean of these intensities processes can be stochastic because they may
be dependent to economical variables like the interest rate or the employment,
but with the theorem of iterated expectation and the background information,
which contains all the economy future information and the borrower characteristics, we can simplify the problem by using the fact:
E[E[F low(t)|ςt ]].
(25)
Under the conditional expectation given the background filtration, the mean
of the intensity is deterministic and we can use all the literature related to the
interest rates model (see Venegas 2006) to solve the expectation. The general
methodology is as follows; first solve the expectation, E[F low(t)|ςt ], assuming
that all the economical variables are deterministic, after that the only stochastic
variables are those related to the economy, so the second expectation can be
solve with Monte Carlo simulation.
To show a simplified version of the model, we will assume constant means of
default and prepayment (µλD , µλP ), subsequently we solve the expected value,
finishing with a closed formula easy to implement.
157
The formula to calculate the cash flows in the time 0 ≤ s < t with constant
mean of prepayment and default, and correlation ρ is:
E[F low(t)|=s ] ≈ [P M T (t) + τ (t)(B(t− ) − (P M T (t) − IO(t)))
+ B(t)(λP (s) + µλP (t − s))]P (λ∗ (s), t− − s)
(26)
where
σ ∗2
1
P (λ∗ (s), t− − s) = exp −λ∗ (s)(t− − s) − µ∗ (t− − s)2 +
(t− − s)3 ,
2
6
λ∗ (s) = λP (s) + λD (s),
µ∗ = µλP + µλD ,
q
σ ∗ = σλ2 P + σλ2 D + ρσλP σλD .
Proof: (see Appendix 1)
The above formula can be easily change to a deterministic time-varying
mean like the PSA5 methodology, which assume a constant positive mean the
first thirty months and then a zero mean.
With the last formula is possible to calculate the flow loan by loan or
aggregating those with similar characteristics, after that, the structure waterfall
will distribute these flows to the different tranches, the present value of these
cash flow will be the value6 of the MBS or subordinated bond. The following
section will show how the model works with the information of one of the MBS
from the Mexican market.
5. Implementation
In this section, we will show how the model can be easily implemented with
the available public data. The pool selected is the BRHCGCB-03U collateral,
the first MBS in the Mexican market since the Tequila crisis, and because of
that, with the greatest time series information (39 months). This information is
available in the “Sociedad Hipotecaria Federal” (SHF) World Wide Web page7 ;
the needed data is the monthly total number of loans, the prepaid loans and
default loans, located in the payment report (see appendix 2 for the time series).
The following figures, 1 and 2, have the prepayment, and default curve
expressed in conditional prepayment rate (CPR) and conditional default rate
5
The Public Security Association (PSA), now the Bond Market Association has a conditional prepayment rate (CPR) of min(6%·i/30,6%) for 0≤i≤ Mortgage term (see The Bond
Market Association’s Standard Formulas manual, 2000). The CPR will be defined in the
following section.
6
The MBS in illiquid markets, like Mexico, have an important component of Model
Risk meaning that the mark-to-model value can be different from the true traded price, see
Rebonato (2002).
7
http:www.shf.gob.mxinversionistas− institucionalesREPFIDEMVIGGMACBRHCG03
U.html
158
(CDR), which are a transformation of the single monthly mortality (SMM) of
prepayment and default, calculated with the following formulas8 ,
CP R(t) = 1 − (1 − SM M (t))2 ,
SM M (t) =
#of Prepaid Loans(t)
.
#of Loans(t − 1)
(27)
(28)
The international standard is to calculate the SMM with the dollar amount,
the prepaid amount divided by the scheduled balance, but with the information available we can not separate the curtailment and the prepayment so as
an approximation we used the count SMM, which is also consistent with the
developed underlying theory.
Figure 1. Historical Collateral’s Prepayment Curve. This is the prepayment curve calculated with the number of prepaid loans in each month
divided by the number of loans at the beginning of the month, expressed
in CPR. This is the empirical or observed monthly prepayment intensity.
8
The CDR is equal defined but we change from (# of prepaid loans) to (# of default
loans), where the default loans are those with four months of delinquency.
159
Figure 2. Historical Collateral’s Default Curve. This is the default curve
calculated with the number of loans in four months delinquency, divided by
the number of loans at the beginning of the month. This is the empirical
intensity of default.
The curves observed from Figures 1 and 2 are the prepayment and default
empirical intensities, the prepayment has a small constant trend and the default
intensity has a positive trend for the first 15 months and then zero mean. Figure
3 shows the first difference of the prepayment (left) and default (right) curves:
Figure 3. First difference of Prepayment/Default time series.
From Figures 1-3, we can see that the prepayment has a small trend and the
dispersion increase with the time, like the Wiener process, in the default the
mean also looks close to zero and the dispersion does not increase with the time.
The following dynamic is proposed to model the flows from the mortgage
loans of this MBS:
dλP (t) = µλP + σλP dW (t),
(29)
dλD (t) = σλD dW̄ (t),
(30)
160
dW (t)dW̄ (t) = −1dt,
(31)
We assume a zero mean for the default, a constant mean for the prepayment
and constant volatilities for both intensities, also a perfect negative correlation,
to stress the fact that the borrower can not prepay and default at the same
time.
With the above assumption and using formula (26), we can calculate the
cash flows for every loan. Next, we show in Figure 4 the cash flows with a just
originated loan with the following characteristic:
Table 1. Loan Characteristics
Original balance (UDIS1 )
Monthly payment
Coupon rate (annualized, monthly composition)
Term (months)
Prepayment constant intensity2
Default constant intensity2
Intensity mean (prepayment)3
Monthly pool difference intensity volatility
(prepayment)4
Monthly pool difference intensity volatility
(default)4
Monthly curtailment rate5
1
UDIS is an inflation indexed currency.
2
Intensity empirical, pool average, expressed in CPR.
3
Prepayment ntensity mean.
2
93,002
873
10.8%
360
7.41%
3.94%
0.012%
3.10%
2.06 %
2.00%
Standard desviation from the empirical intensity first difference
in times series expressed in CPR.
2
The curtailment is expressed in CPR.
In Figure 4, we can see that for a 30 years loan the flows are reduced to 17 year
because the borrower does curtailment, next we show the difference between a
model with and without curtailment:
161
Figure 4. Loan Cash Flow.
Figure 5. No curtailment vs Curtailment.
As shown in Figure 5, with curtailment, the flow has the highest difference in
the beginning and in the tail of the cash flow; this effect will have implication
in the first loss tranche, called the Residual9 or ”constancia” in the prospectus,
because the interest and excess spread10 flows are reduced, which are the highest
contribution to the value of this asset.
9
The Residual is the remaining flows from the structure; this asset takes the first loss
from the pool protecting the senior bond like in the BRHCGCB-03U deal.
10
The excess spread is the difference between the interest rate paid by the mortgage loans
after the structure costs and the interest paid to the bond holders, this flow goes to the
Residual an asset highly sensitive to prepayment and specially default.
162
Next, we will show, in Figure 6, the difference between the proposed model
and a zero volatility model, just a constant prepayment/default rate
Figure 6. Loan Cash Flow.
The effect to incorporate stochastic prepayment and default intensities is
the reduction in the loan flows and decreasing the present value of the asset, reflecting the fact that the loan with deterministic/stochastic flows has
lower/higher risk.
6. Conclusions
A lot of work must be done in the MBS Mexican market, most of the deals
are priced assuming some constant prepayment and default speed with little or
no research about the underlying pool. This makes the secondary market very
illiquid because there is a lot of uncertainty about the future loans performance
or borrower behavior.
Other problem in the secondary market stands in the difficulties that the
traders have to translate the yield to a price, which is not a trouble in the
auction or the primary market because the bonds are sold at par, nevertheless,
the missing of standard or market formulas has an important impact in the
trading activity.
To fill this gap between theory and practice, in this paper we explained
the three most important effects in the mortgage loan cash flows, which are
the basic and most important element in the MBS valuation, then a valuation
formula is proposed with assumptions specially designed for emerging market
where the information is limited, the model propose prepayment and default
stochastic intensities recognizing that the future individual and aggregate loans
behavior is unknown.
With the proposed formula three parameters have to be estimated or assumed; the curtailment, the mean and the volatility of the intensities dynamics
from prepayment and default, this information can be estimated from the trust
public reports, which are in Mexico concentrated in the SHF web page.
163
In the last section we show an example of the implementation of the model,
the cash flows can be easily calculated with very limited information from the
pool. The model adjust these future flows to the uncertainty involve, reflecting
the fact that the loan with deterministic/stochastic flows has lower/higher risk.
Appendix 1
Proof of formula (26).
We start with the general formula (24):
E[F low(t)|=s ] = E [(P M T (t) + τ (t)(B(t− ) − (P M T (t) − IO(t)))
+B(t)λP (t))S D (t)S P (t− )|=s
(A.1)
We assume that the intensities have the following dynamics:
dλP (t) = µλP dt + σλP dW (t),
(A.2)
dλD (t) = µλD dt + σλD dW (t),
(A.3)
dW dW̄ = ρdt,
(A.4)
After computing the expected value the stochastic process, we have:
E[F low(t)|=s ] = P M T (t) + τ (t)(B(t− ) − (P M T (t) − IO(t)))
E S D (t)S P (t− )|=s + B(t)E λP (t)S D (t)S P (t− )|=s
The first expected value in the above equation satisfies:
Z t
Z
D
P
D
E S (t)S (t− )|=s = E exp −
λ (u)du exp −
s
t−
P
(A.5)
λ (u)du |=s ,
s
(A.6)
or
Z t
E S D (t)S P (t− )|=s = E exp −
λD (u)du |=s
s
.
Z t−
E exp −
λP (u)du |=s + Cov S D (t)S P (t− )|=s
s
(A.7)
The solution of the first two expected values in equation (A.7) are well known
in the interest rate literature, see Nielsen (1999). For the covariance we have:
Cov S D (t)S P (t− )|=s = σS D (t)σS P (t)ρS D S P .
(A.8)
Then, we need to compute the variance of S D and S P , the solution is the same
for both so we will just show for default:
"
#
Z t
Z t
2
D
D
Var exp −
λ (u)du |=s = E exp −
λ (u)du |=s
s
s
Z
− E exp −
s
t
λD (u)du |=s
2 .
(A.9)
164
If 0 ≤ s ≤ t, then
λD (t) = λD (s) + µλD (t − s) + σλD (W̄ (t) − W̄ (s)) ,
(A.10)
Z t
Z t
E exp −
λD (u)du |=s = E −
λD (s) + µλD (u − s) + σλD (W̄ (u)
.
s
s
−W̄ (s)) du|=s
(A.11)
Z t
1
E exp −
λD (u)du |=s = E exp − λD (s) + µλD (t − s) (t − s)
2
s
.
Z t
−
σλD (W̄ (u) − W̄ (s)) du|=s
s
(A.12)
The only stochastic element in the above equation is the following integral:
E
Z
s
t
(W̄ (u) − W̄ (s))du|=s =
Z
s
t
E (W̄ (u) − W̄ (s))|=s du = 0.
(A.13)
Then, we have that the mean and variance of (A.13) are:
Z t
1
E − λD (s) + µλD (t − s) (t − s) −
σλD (W̄ (u) − W̄ (s)) du|=s =
2
s
1
− λD (s) + µλD (t − s) (t − s),
2
(A.14)
Z t
1
D
Var − λ (s) + µλD (t − s) (t − s) −
σλD (W̄ (u) − W̄ (s)) du|=s =
2
s
Z t
2
σλD Var
(t − u)dW̄ (u)|=s ,
s
(A.15)
Z t
1
D
Var − λ (s) + µλD (t − s) (t − s) −
σλD (W̄ (u) − W̄ (s)) du|=s =
2
s
σλ2 D
(t − s)3 .
3
(A.16)
Finally, we have that the exponential of a random normal distributed variable
with mean (A.15) and variance (A.16) is:
Z t
1
E exp −
λD (u)du |=s = exp − λD (s) + µλD (t − s) (t − s)
2
s
.
σλ2 D
3
+
(t − s) .
6
(A.17)
165
and the expected value of the square of S D is:
Z t
1
E exp −2
λD (u)du |=s = exp −2 λD (s) + µλD (t − s) (t − s)
2
s
.
2σλ2 D
3
(t − s) .
+
3
(A.18)
Hence, the variance of S D is:
Z t
2
2σλD
Var exp −
λD (u)du |=s = exp
(t − s)3
3
s
2
σλD
1
− exp
(t − s)3
exp −2 λD (s) + µλD (t − s) (t − s) .
3
2
(A.19)
Z t
2
σ
D
λ
Var exp −
λD (u)du |=s ≈
(t − s)3
3
s
1
D
−2 λ (s) + µλD (t − s) (t − s) ,
2
(A.20)
2
σ
1
D
σS D (t) ≈ exp −2 λD (s) + µλD (t − s) (t − s) √λ (t − s)3/2 . (A.21)
2
3
If the volatility is small, then
Cov S D (t)S P (t− )|=s = σS D (t)σS P (t)ρS D /S P ≈ 0,
(A.22)
and equation (A.5) is approximately:
E[F low(t)|=s ] ≈ P M T (t) + τ (t)(B(t− ) − (P M T (t) − IO(t)))
E S D (t)|=s E S P (t− )|=s + B(t)E λP (t)S D (t)S P (t− )|=s
(A.23)
With similar arguments, we can see that the second part of the equation also
has covariance close to zero:
E λP (t)S D (t)S P (t− )|=s =E λP (t)|=s E S D (t)S P (t− )|=s +
(A.24)
Cov λP (t), S D (t), S P (t− )|=s ,
and if the volatility of prepayment is small then:
Cov λP (t), S D (t), S P (t− )|=s = σλP σS D ,S P ρ ≈ 0,
(A.25)
E λP (t)S D (t)S P (t− )|=s =E λP (t)|=s E S D (t)|=s E S P (t− )|=s ,
(A.26)
where
P
(A.27)
E λ (t)|=s =λP (s) + µλP (t − s).
166
Thus, the expected value of both survival probabilities is given by
Z t
E S D (t)|=s E S P (t− )|=s =E exp −
(λ∗ (s) + µ∗ (u − s) + σ ∗ (W ∗ (u)
s
−W ∗ (0))) du |=s ,
(A.28)
with
λ∗ (s) = λP (s) + λD (s),
µ∗ = µλP + µλD ,
q
σ ∗ = σλ2 P + σλ2 D + ρσλP σλD .
The solution of the (A.28) expected value is (see Nielsen, 1999):
E S D (t)|=s E S P (t− )|=s =P (λ∗ (s), t − s)
1 ∗
σ ∗2
2
3
P (λ (s), t− − s) = exp −λ (s)(t− − s) − µ (t− − s) +
(t− − s) ,
2
6
∗
(A.29)
∗
(A.30)
Appendix 2
Month
Number of Credits
Prepayment
11-2003
12-2003
01-2004
02-2004
03-2004
04-2004
05-2004
06-2004
07-2004
08-2004
09-2004
10-2004
11-2004
12-2004
01-2005
02-2005
03-2005
04-2005
05-2005
06-2005
07-2005
08-2005
09-2005
10-2005
11-2005
12-2005
01-2006
02-2006
03-2006
04-2006
05-2006
06-2006
07-2006
08-2006
09-2006
10-2006
11-2006
12-2006
01-2007
1979
1971
1964
1956
1946
1934
1924
1914
1906
1895
1888
1878
1867
1857
1847
1838
1826
1818
1808
1795
1786
1767
1750
1741
1730
1720
1706
1695
1686
1671
1659
1648
1629
1620
1609
1592
1584
1571
1560
8
7
8
10
12
10
10
8
11
7
10
11
10
10
9
12
8
10
13
9
19
17
9
11
10
14
11
9
15
12
11
19
9
11
17
8
13
11
19
Default (90+ Days
Delinquency)
0
3
0
3
4
4
4
5
6
4
5
5
10
6
7
3
10
5
8
8
6
7
7
11
5
6
2
6
7
6
6
10
7
8
5
9
10
7
3
167
168
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Venegas-Martı́nez, F., (2006). Riesgos Financieros y Económicos, Internacional
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Determinación de una estructura de plazos
para el mercado de renta fija de México
mediante un modelo de tres factores
para la dinámica de la tasa corta
René Benjamı́n Pérez Sicairos†
Recibido 2 de julio 2007, Aceptado 27 de julio 2007
Resumen
En este trabajo se obtiene una estructura de plazos para valuar activos de renta
fija en sus diferentes plazos. En esta estructura se modela la dinámica de la tasa
corta de interés, rt , con base en el modelo de tres factores de Lin-Chen (1995).
En este caso, utilizaremos la tasa de fondeo gubernamental mexicana a un dı́a
como tasa corta. La estructura se modela mediante parámetros obtenidos por
mı́nimos cuadrados en tres etapas, 3SLS. Estos parámetros se usan para la
simulación de Monte Carlo. Este enfoque difiere al de Lin-Chen, quien propone
una solución analı́tica.
Abstract
In this paper we obtain an interest rate term structure to price fixed-rate assets.
In such structure we model the dynamic of the short interest rate, rt , based on
the three factor model proposed Lin-Chen (1995). Here we used the Mexican
daily funding government rate as the short interest rate. The term structure
is modeled with parameters obtained by three-stage least squares, 3SLS. Such
parameters are used as input for Monte Carlo simulation. This approach differs
from the one of Lin-Chen, who proposes an analytical solution.
Clasificación JEL: E43, G12
Palabras clave: Estructura de plazos de tasas de interés, tasa corta, tasa corta promedio de
corto plazo, volatilidad
1. Introducción
El propósito de obtener una estructura de plazos para el mercado de renta fija
mexicana es el de darle más realismo al comportamiento de dicha tasa. Esta
† Departamento de Ingenierı́a y Tecnologı́a, Universidad de Occidente, Unidad Culiacán,
Carretera a Culiacancito Km. 1.5, Culiacán, Sinaloa. Teléfono (667) 7-59-13-00 Ext. 2272.
C.P. 80020 Correo Electrónico: [email protected]
170
tasa se ve explicada tanto por su volatilidad como por su promedio de corto
plazo (short term). En la práctica esto conlleva a un sistema de ecuaciones
diferenciales estocásticas, en el que cada variable se correlaciona con su fuente
de incertidumbre (Browniano). Para poder obtener la estructura de plazos,
Lin-Chen en 1995 resolvió este sistema de manera analı́tica, para ello calculó el
precio de un bono al tiempo t y plazo T, P (r, θ, σ, t; T ), mediante la expresión:
P (r, θ, σ; τ ) = A(τ )e−B(τ)r−C(τ)θ−D(τ)σ . Nosotros, a diferencia de Lin-Chen, en
este trabajo obtenemos econométricamente los parámetros del modelo. Dichos
parámetros se utilizan en la simulación Mote Carlo para la obtener la estructura
de plazos deseada.
La discusión sobre el diseño de la estrategia de polı́tica económica, ası́ como
los instrumentos y mecanismos para desarrollarla, se ha ubicado recientemente
en un marco de referencia más amplio que incorpora el riesgo y la incertidumbre.
La estrategia de polı́tica económica siempre combina instrumentos de polı́tica
monetaria (crecimiento de la base monetaria, tasa de interés y regulación bancaria) con instrumentos de polı́tica fiscal (gasto público e impuestos), y una
pregunta relevante es cuál de estos instrumentos genera mayor varianza en la
estrategia general.
2. Modelo de Tres Factores
En 1995 Lin-Chen propuso un modelo de tasa de interés para obtener una
estructura de plazos a partir de la tasa corta. En su modelo la tasa corta (tasa
de interés de corto plazo) futura, rt+1 , depende de: i) el valor actual de la tasa
corta, rt ii) la media de la tasa corta de corto plazo actual (short-term mean),
θt y iii) la volatilidad actual de la tasa corta, σt . De manera más detallada y
formal se considera lo siguiente:
Sean {Wt }t≥0 , {Vt }t≥0 y {Ut }t≥0 movimientos Brownianos definidos sobre
un espacio de probabilidad fijo con filtración aumentada (Ω, F, {Ft}t≥0 , P ). Se
supone que la dinámica de la tasa corta, es conducida por el proceso lista:
drt = k(θt − rt )dt +
√ √
σt rt dWt ,
t ≥ 0, k > 0, dWt ∼ N (0, dt),
(1)
√
donde, σt es la varianza de rt y k es una constante conocida como factor de
aceleración. El desarrollo de su media short-term, θt , es conducido mediante:
dθt = ν(θ̄t − θt )dt + ς
p
θt dVt ,
t ≥ 0, θ̄, ν > 0, ς > 0, dVt ∼ N (0, dt), (2)
donde, ς es la volatilidad de θt y θ̄t es la media de largo plazo. Por último la
volatilidad σt de rt sigue el proceso:
√
dσt = µ(σ̄t − σt )dt + η σt dUt ,
t ≥ 0, θ̄ > 0, µ > 0, η > 0, dUt ∼ N (0, dt),
(3)
donde, η es la volatilidad de σt y σ̄t es la volatilidad en el largo plazo. Además
se supone que los Brownianos están correlacionados, esto es: Cov(dWt , dVt ) =
ρW V dt, Cov(dWt , dUt ) = ρW U dt y Cov(dVt , dUt ) = ρV U dt. La importancia de
este modelo radica en que el autor provee una solución analı́tica.
Determinación de una estructura de plazo
171
3. Metodologı́a
Un camino alternativo para resolver el modelo es recurrir a algún método
numérico confiable. Estos nos evitan obtener soluciones de tipo complejo que
no tienen sentido financiero ni económico. Uno de estos métodos de resolución
numérica es el método de Monte Carlo, el cual ha sido utilizado en la valuación
de activos financieros. Para poder aplicar este método es necesario estimar,
primeramente, los parámetros que aparecen en las ecuaciones (1), (2) y (3).
Estos parámetros se estimarán de manera estadı́stica utilizando para ello el
paquete econométrico e-views 4.1 por medio de la técnica de Mı́nimos Cuadrados en Tres Etapas (Three-Stage Least Squares, 3SLS), pues esta técnica es
adecuada para resolver el tipo de sistema de ecuaciones que tenemos, siempre y cuando éstas se hayan linealizado y cumplan algunos supuestos que más
adelante se especifican.
3.1. Información: Series temporales
Para llevar a cabo esta investigación usamos como tasa corta, , la tasa de
fondeo gubernamental al cierre. Esta tasa es representativa de las operaciones
de mayoreo realizadas por las Casas de Bolsa sobre operaciones en reporto a
plazo a un dı́a hábil bancario con Tı́tulos de de Deuda emitidos por TESOFE,
IPAB y BANXICO, que hayan sido liquidados en el sistema de entrega contra
pago del INDEVAL. La serie consta de N = 286 datos comprendidos entre el
11 de agosto de 2005 y el 11 de agosto de 2006 (no se incluyen dı́as festivos).
Puesto que el mercado no provee información acerca del short-term mean, θt
y tampoco de la volatilidad, σt de rt , se construyeron estas variables de la
siguiente manera: la serie del short-term mean se obtuvo como un promedio
simple, esto es:
N
1 X
rt para t = 1, 2, . . . , N.
θt =
N t=1
La serie de volatilidad se obtuvo mediante la fórmula:
s
PN
N
2
1 X
t=1 (rt − r̄t )
σt =
, donde r̄t =
rt .
N
N t=1
3.2. Estimación de Parámetros
Como se mencionó anteriormente, para poder estimar los parámetros de las
ecuaciones (1), (2) y (3) a través de 3SLS, es necesario primeramente linealizar
dichas ecuaciones. Dicha linealización consiste en dejar aislado el término de incertidumbre o Browniano, es decir, que no se vea afectado por ninguna variable.
A continuación se lleva a cabo la linealización de cada una de las ecuaciones
que conforman el modelo.
3.2.1 Linealización de la ecuación diferencial de la tasa corta
La primera ecuación a linealizar es la que corresponde a la dinámica de la tasa
corta, rt , dada por la ecuación diferencial (1) esto es:
√ √
drt = k(θt − rt )dt + σt rt dWt ,
t ≥ 0, k > 0, dWt ∼ N (0, dt).
172
El primer inconveniente que presenta esta ecuación es que las variables aparecen
en forma diferencial, sin embargo, el problema se resuelve de manera simple si
discretizamos en el tiempo (a un dı́a), quedando de la forma siguiente:
p
√
√
rt − rt−1 = k(θt−1 − rt−1 )(t − (t − 1)) + σt−1 rt−1 (t − (t − 1))ε(t−1)1 ,
√
√
rt − rt−1 = k(θt−1 − rt−1 ) + σt−1 rt−1 ε(t−1)1 ,
t ≥ 1, k > 0.
Donde, εt−1 ∼ N (0, 1), conocido también como término de error. Despejando
rt , se obtiene:
rt = kθt−1 + (1 − k)rt−1 +
√
√
σt−1 rt−1ε(t−1)1
t ≥ 1, k > 0
(4)
Para poder obtener de manera aislada el término de error dividimos entre el
√
√
factor σt−1 rt−1 con lo cual se obtiene que:
rt
θt−1
rt−1
= k√
+ (1 − k) √
+ εt−1 ,
√
√
√
√
σt−1 rt−1
σt−1 rt−1
σt−1 rt−1
t ≥ 1, k > 0.
(5)
Si definimos:
yt1 = √
rt
,
√
σt−1 rt−1
zt1 = √
εt1 = ε(t−1)1
θt−1
√
σt−1 rt−1
δ11 = k
y
rt−1
zt2 = √
√
σt−1 rt−1
δ21 = (1 − k).
Ası́, la ecuación (5) se transforma en la siguiente:
yt1 = δ11 zt1 + δ21 zt2 + εt1 . Para t = 1, 2, . . . , N, k > 0 y εt1 ∼ N (0, 1).
(6)
3.2.2 Linealización de la ecuación diferencial del short-term
La siguiente ecuación diferencial a linealizar es la que contiene el término del
short-term, es decir, la media de la tasa corta, θt . De forma similar como en
el inciso anterior dicha linealización se lleva a cabo como sigue: Retomemos la
ecuación (2),
dθt = ν(θ̄t − θt )dt + ς
p
θt dVt ,
t ≥ 0, θ̄, ν > 0, ς > 0, dVt ∼ N (0, dt),
Luego, discretizando en el tiempo con perı́odo de un dı́a queda:
p
p
θt − θt−1 = ν(θ̄t−1 − θt−1 )(t − (t − 1)) + θt−1 (t − (t − 1))ε(t−1)2 ,
p
θt − θt−1 = ν(θ̄t−1 − θt−1 ) + θt−1 ε(t−1)2 ,
t ≥ 1, θ̄, ν > 0.
Donde ε(t−1)2 ∼ N (0, ς 2 ).
173
Haciendo un poco de álgebra para despejar θt :
θt = ν θ̄ + (1 − ν)θt−1 +
Ası́, si dividimos entre
p
p
p
θt−1 ε(t−1)2,
t ≥ 1, θ̄, ν > 0.
(7)
θt−1 , se obtiene:
θt
θ̄
θt−1
= νp
+ (1 − ν) p
+ ε(t−1)2 ,
θt−1
θt−1
θt−1
t ≥ 1, θ̄, ν > 0.
(8)
Si definimos:
yt2 = p
θt
,
θt−1
zt3 = p
1
,
θt−1
θt−1
zt4 = p
,
θt−1
εt2 = ε(t−1)2 ,
δ31 = ν θ̄
y δ41 = (1 − ν).
De este modo la ecuación (8) se transforma en:
yt2 = δ31 zt3 + δ41 zt4 + εt2 . Para t = 1, 2, . . . , N,
θ̄ > 0, ν > 0 ,
(9)
y εt2 ∼ N (0, ς 2 ). Como puede apreciarse esta ecuación ya contiene el término
de error, ε(t−1)2 por separado
3.2.3 Linealización de la ecuación diferencial de la volatilidad
La última ecuación diferencial por linealizar es la que contiene el término de la
volatilidad dada por (3):
√
dσt = µ(σ̄t − σt )dt + η σt dUt ,
t ≥ 0, θ̄ > 0, µ > 0, η > 0, dUt ∼ N (0, dt).
Discretizando en el tiempo nos queda:
√
σt = µσ̄+(1−µ)σt−1 + σt−1 ε(t−1)3 ,
dividiendo entre
√
σt−1 para obtener:
√
t ≥ 1, σ̄ > 0, µ > 0, ε(t−1)3 ∼ N (0, η 2 ),
(10)
σt
µσ̄
σt−1
= √
+ (1 − µ) √
+ ε(t−1)3 ,
σt−1
σt−1
σt−1
(11)
Definiendo:
yt3 = √
σt
,
σt−1
zt5 = √
1
,
σt−1
σt−1
zt6 = √
,
σt−1
εt3 = ε(t−1)3 ,
δ51 = µσ̄
y δ51 = (1 − µ). De este modo la ecuación (11) se transforma en:
yt3 = δ51 zt5 + δ61 zt6 + εt3 . Para
y εt3 ∼ N (0, η 2 ).
t = 1, 2, . . . , N,
σ̄ > 0, µ > 0 ,
(12)
174
En resumen, se tiene el sistema conformado por las ecuaciones (6), (9) y
(12), esto es:
yt1 = δ11 zt1 + δ21 zt2 + εt1 . Para t = 1, 2, . . . , N, k > 0 y εt1 ∼ N (0, 1).
yt2 = δ31 zt3 + δ41 zt4 + εt2 . Para
t = 1, 2, . . . , N,
θ̄ > 0, ν > 0,
y εt2 ∼ N (0, ς 2 ).
yt3 = δ51 zt5 + δ61 zt6 + εt3 . Para
t = 1, 2, . . . , N,
σ̄ > 0, µ > 0 ,
y εt3 ∼ N (0, η 2 ).
Los primeros resultados obtenidos fueron los parámetros estimados mediante 3SLS, (véase apéndice A.1) considerando a la tasa de fondeo gubernamental
como la tasa corta para el perı́odo comprendido entre el 11 de agosto de 2005 y
el 11 de agosto de 2006. Estos resultados se muestran en la Tabla 4.1 y Tabla
4.2 siguientes:
Tabla 4.1
Coeficientes Estimados
Método
k
1−k
ν θ̄
1−ν
µσ̄
1−µ
3SLS
0.151545
0.828704
0.000087
0.998256
0.000085
0.990442
Haciendo un poco de aritmética podemos obtener el valor estimado de los
parámetros requeridos:
Tabla 4.2
Parámetros
θ̄
Método
k
ν
ς
µ
σ̄
3SLS
0.151545
0.001744
0.0500000
0.00011
0.009558
0.0088721
ν
3SLS
0.000237
Aquı́ los parámetros más importantes son k y ς, pues son los determinan
la dinámica de la tasa corta y con ello la obtención de la estructura de plazos.
Vale la pena resaltar que el método 3SLS es adecuado para muestras pequeñas,
es por ello que aquı́ usamos este método econométrico. Nótese de la Tabla 4.1
que la suma de k + (1 − k) ∼
= 0.980249, cuando ésta deberı́a ser exactamente
igual a uno, sin embargo, la aproximación es buena, por lo que podemos omitir
esta pequeña discrepancia.
Es importante mencionar que dos de los supuestos en que se basan las
técnicas de regresión antes mencionadas son: E[ε] = 0 y E[εε0 ] = 0, es decir, el
valor esperado y las covarianzas de los residuales son igual a cero. Los resultados
fueron los siguientes,
  
  
ε1
0.0017480
0
E[ε] =  ε2  =  0.0000033  ∼
= 0
ε3
0.0000046
0


0.00272323 0.00000224 0.00000123
E[εε0 ] =  0.00000224 0.00000001 0.00000002 
0.00000123 0.00000002 0.00000006
175
Dado que la frecuencia de las observaciones es alta (diaria), es de esperarse
que, para este tipo de series, el supuesto de normalidad se viole. Esto puede
mostrarse con una prueba de normalidad Q − Q (véase apéndice A.2). Estamos
concientes que este resultado impone una limitación sobre los parámetros. Sin
embargo consideramos que éstos representan una buena aproximación inicial
para efectos de simulación.
3.3 Estructura de plazos y tasa corta
La obtención de la estructura de plazos se lleva a cabo de forma directa mediante la utilización de la tasa de interés de corto plazo (tasa corta), rs . En la
práctica, la fórmula de valuación al tiempo t de un Bono cupón cero, B(t, T )
con vencimiento en T , viene dada por:
B(t, T ) =
VN
1+
T −t
360
,
rt
donde
B(t, T ), es el valor del Bono en el tiempo t y maduración T .
V N , es el valor nominal del bono ($ 10 pesos para el caso de México),
T , es el plazo o maduración del bono,
rt , es la tasa de interés en el tiempo t.
Sin embargo, en el ámbito académico la expresión que se utiliza para valuar
este tipo de bonos es la siguiente:
B(t, T ) = e−R(t,T )(T −t)
donde, R(t, T ): es la estructura de plazos de la tasa de interés. Cuando la tasa
corta, rs , se considera estocástica, la fórmula de valuación del bono se expresa
mediante:
1 RT
− T −t
rs ds (T −t)
s=t
.
B(t, T ) = e
De esta forma, se tiene que la estructura de plazos y la tasa corta se relacionan
mediante la expresión:
R(t, T ) =
1
T −t
Z
T
rs ds,
s=t
donde, rs , obedece en nuestro caso, al sistema conformado por las ecuaciones
(1), (2) y (3). La manera que se emplea en que se relaciona la tasa corta
con la estructura de plazos es mediante la siguiente aproximación: R(t, T ) =
PT
1
s=t rs .
T −t
4. Simulación Monte Carlo y resultados
El método Monte Carlo es un método numérico que permite resolver problemas
matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias. El método puede
simular cualquier proceso cuya dinámica depende de factores aleatorios. La
simulación Monte Carlo consiste en este caso, en generar una muestra aleatoria
de posibles valores de rt . Una vez obtenidos suficientes valores muéstrales de
176
rt , se prosigue a calcular su media. La media aritmética de los ensayos de simulación en su respectivo plazo nos sirve para construir la estructura de plazos.
Dicho de otra forma, dado que,
T
R(t, T ) =
1 X
rs .
T − t s=t
y rs sigue el geométrico Browniano definido por (1), tal que:
rt = kθt−1 + (1 − k)rt−1 +
√
√
σt−1 rt−1ε(t−1)1
t ≥ 1, k > 0
donde, ε(t−1)1 ∼ N (0, 1). Ası́, una vez estimados los parámetros, podemos
llevar a cabo la simulación de rt , θt y σt mediante las ecuaciones (4), (7) y (10),
esto es:
√
√
rt = kθt−1 + (1 − k)rt−1 + σt−1 rt−1 ε(t−1)1
t ≥ 1, k > 0.
p
t ≥ 1, θ̄, ν > 0.
θt = ν θ̄ + (1 − ν)θt−1 + θt−1 ε(t−1)2 ,
√
σt = µσ̄ + (1 − µ)σt−1 + σt−1 ε(t−1)3 ,
t ≥ 1, σ̄ > 0, µ > 0,
donde ε(t−1)1 ∼ N (0, 1), ε(t−1)2 ∼ N (0, ς 2 ) y ε(t−1)3 ∼ N (0, η 2 ).
Ahora bien, expresando cada ecuación en términos de Brownianos, es decir,
la ecuación (4) queda,
rt = kθt−1 + (1 − k)rt−1 +
donde Wt−1 ∼ N (0, 1), o bien,
rt = rt−1 + (θt−1 − rt−1 )k +
√
√
σt−1 rt−1Wt−1
√
√
σt−1 rt−1 Wt−1
t ≥ 1, k > 0, γ > 0,
(13)
t ≥ 1, k > 0, γ > 0. (14)
La ecuación (7) queda,
θt = ν θ̄ + (1 − ν)θt−1 + ς
donde Vt−1 ∼ N (0, 1),o bien
p
θt = θt−1 + (θ̄ − θt−1 )ν + ς
θt−1 Vt−1 ,
p
θt−1 Vt−1 ,
t ≥ 1, θ̄, ν > 0, ς > 0,
t ≥ 1, θ̄, ν > 0, ς > 0.
(15)
(16)
Y por último la ecuación (10) queda,
√
σt = µσ̄ + (1 − µ)σt−1 + η σt−1 Ut−1 ,
t ≥ 1, σ̄ > 0, µ > 0, η > 0, ,
(17)
t ≥ 1, σ̄ > 0, µ > 0, η > 0,
(18)
donde Ut−1 ∼ N (0, 1), o bien
√
σt = σt−1 + (σ̄ − σt−1 )µ + η σt−1Ut−1 ,
Los Brownianos Wt−1 , Vt−1 y Ut−1 ∼ N (0, 1), se generan a partir de números
aleatorios que se distribuyan normalmente con media cero y varianza uno. Esto
177
se lleva a cabo utilizando el algoritmo de la Inversión Moro (véase apéndice
A.3).
Hay que recordar que entre mayor sea el numero de simulaciones o de
realizaciones, mejor será la precisión de nuestro resultado, ya que si aumentamos
en cien veces las simulaciones aumenta una décima de corrección.
En resumen, el algoritmo propuesto para determinar la estructura de plazo,
R(t, T ), utilizando Monte Carlo, sigue los pasos siguientes:
i) Simular el comportamiento del short-therm, θs , definido por (15).
ii) Simular el comportamiento de la volatilidad, σs , definido por (17).
iii) Simular el comportamiento de la tasa corta, rs , utilizando (13), proponiendo como valor inicial el valor actual de la tasa corta, esto es, r0 = 0.07020 y
continuando hasta la fecha del plazo deseado (T ), en nuestro caso, T = 1825
dı́as. Esto nos da una realización de una trayectoria de la tasa corta.
iv) Repetir n = 100, 000 veces las realizaciones del paso anterior.
v) Calcular el promedio sobre todas las realizaciones de la tasa corta de un
mismo plazo y obtener de este modo la estructura de plazos, que en este
caso será para 1825 dı́as (cinco años).
Este algoritmo, se implementó a través de un programa sustentado en la
plataforma de Visual Basic for Excel.
Los valores iniciales de las variables utilizados para generar la estructura
de tasa corta son: r0 = 0.07020, θ0 = 0.07912, σ0 = 0.01658, θ̄ = 0.050000 y
σ̄0 = 0.0088721.
A continuación se presentan los resultados de la estructura de tasas para
el perı́odo comprendido del 11 de agosto de 2005 y el 11 de agosto de 2006.
Figura 1.- Estructura de plazo de la tasa de fondeo gubernamental durante
el perı́odo 11 de agosto de 2005 y el 11 de agosto de 2006.
Las formas de las estructuras de tasas tienden a cambiar dependiendo de la
información disponible. Esto lo podemos mostrar en nuestro modelo con otro
conjunto de datos. La gráfica siguiente muestra la estructura de plazos para
la tasa de fondeo gubernamental para el perı́odo comprendido entre el 25 de
178
noviembre de 2004 al 18 de enero de 2006, con valores iniciales: r0 = 0.082400,
θ0 = 0.0918607, σ0 = 0.0050556, θ̄ = 0.09481404 y σ̄ = 0.0044715.
Figura 2- Estructura de plazo de la tasa de fondeo gubernamental durante
el perı́odo comprendido entre el 24 de noviembre de 2004 y el 18 de enero
de 2006.
Estos resultados muestran que diferentes formas de las estructuras de plazos
pueden modelarse con el enfoque propuesto. La solución analı́tica de Lin-Chen
(1995), puede mostrar resultados complejos, como ya se ha indicado, esto es,
puede no ser flexible ante cambios en la forma de la estructura de tasas de
interés.
5. Conclusiones
En este trabajo hemos propuesto una metodologı́a de estimación de la dinámica
de tasa corta originalmente propuesta por Lin-Chen( 1995). La metodologı́a
propuesta se basa en métodos econométricos para la obtención de parámetros
y en la simulación de Monte Carlo para generar las estructuras de tasas. Aquı́
hemos mostrado como usar dicha metodologı́a para modelar la estructura de
plazos de la tasa mexicana de fondeo gubernamental.
Los resultados muestran que el modelo es capaz de capturar las tendencias de
mercado. Esto se refleja en las estructuras de plazo obtenidas para diferentes
perı́odos y series de datos. Esta cualidad nos hace creer que el modelo puede
ser útil para modelar las estructuras detasas cortas de manera más realista que
otros modelos.
179
Apéndice
A.1 Parámetros estimados
Tabla A.1.1: Estimación de Parámetros mediante 3SLS, en basa a las series
de la tasa corta, el short term y la volatilidad para el perı́odo comprendido del
11 de agosto de 2005 y el 11 de agosto de 2006.
180
A.2. Pruebas de Normalidad Q-Q
Las siguientes pruebas de normalidad corresponden a los residuales de la tasa
corta, el short term y la volatilidad para el perı́odo comprendido del 11 de
agosto de 2005 y el 11 de agosto de 2006.
181
A.3. Algoritmo de Inversión Moro para generar números aleatorios
que se distribuyen como una normal estándar
Function Moro− NormSInv(u As Double) As Double
’ Calcula los números Normal Standard dado u, el número asociado a la
distribución uniforme (0, 1)
’ Versión VBA del codigo de Moro (1995) en C Dim c1, c2, c3, c4, c5, c6,
c7, c8, c9
Dim x As Double
Dim r As Double
Dim a As Variant
Dim b As Variant
a = Array(2.50662823884, -18.61500062529, 41.39119773534,
-25.44106049637)
b = Array(-8.4735109309, 23.08336743743, -21.06224101826,
3.13082909833)
c1 = 0.337475482272615
c2 = 0.976169019091719
c3 = 0.160797971491821
c4 = 2.76438810333863E − 02
c5 = 3.8405729373609E − 03
c6 = 3.951896511919E − 04
c7 = 3.21767881768E − 05
c8 = 2.888167364E − 07
c9 = 3.960315187E − 07
x = u − 0.5
If Abs (x) < 0.42 Then
r = x2
r = x ∗ (((a(4) ∗ r + a(3)) ∗ r + a(2)) ∗ r + a(1))/((((b(4) ∗ r + b(3)) ∗ r+
182
b(2)) ∗ r + b(1)) ∗ r + 1)
Else
If x > 0 Then r = Log(−Log(1 − u))
If x <= 0 Then r = Log(−Log(u))
r = c1+r ∗(c2+r ∗(c3+r ∗(c4+r ∗(c5+r ∗(c6+r ∗(c7+r ∗(c8+r ∗c9)))))))
If x <= 0 Then r = −r
End If Moro− NormSInv = r
End Function
Bibliografı́a
Enders, Walter, (2004). “Applied Econometric Time Series” 2da Edition. Ed.
Wiley.
Fuente de Datos: Banco de México.
Frances, Philip Hans, (1998). “Time Series for Business and Economics Forecasting” Ed. Cambridge University Press.
Greene, William H., (1998). “Análisis Econométrico”. 3ra Edición. Ed. Prentice Hall Inc.
Hull, John C., (2003). “Options Futures and Other Derivatives” 5ta Edición.
Ed. Prentice Hall.
Manual de e-views, versión 4.1.
Mary Jackson and Mike Staunton, (2001). “Advanced Modelling in Finance
using Excel and VBA” John Wiley & Sons, LTD.
Niederreiter, Harald, et. al., (1999). “Construction of Low-Discrepancy Sequences”, Institute of Discrete Mathematics, Viena, Austria.
Sobolev, Sergei L’vovich, (1976, en ruso). “The Production of Points Uniformly
Distributed in a Multidimensional Cube” Preprint Ipm Akad. Nauk Sssr,
No. 40, Moscow.
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Cada cuadro, gráfica o figura deberá incluir alguna referencia, el origen de la fuente de
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10) La relación bibliográfica deberá presentarse al final del documento, en orden
alfabético de autores y éstas deben ser como:
Casar, J. I., G. Rodríguez y J. Ros (1985). Ahorro y balanza de pagos: un
análisis de las restricciones al crecimiento económico de México. Economía
Mexicana, núm. 7, pp. 21-33.
Cox, J. C, J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). An Intertemporal General
Equilibrium Model of Asset Prices. Econometrica, 53(2), pp. 363-384.
Fuller, W A. (1996). Introduction to Statistical Time Series. 2nd ed., John
Wiley, New York.
Granger, C. W. (1980). Long Memory Relationships and the Aggregation of
Dynamics Models. Journal of Econometrics, 14(1), pp. 227-238.
The
Trouble
with
Rational Expectations and the Problem of Inflation
Stabilization, en R. Fredman y E. S. Phelps (comps.).
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Casar, J. I., G. Rodríguez y J. Ros (1985). Ahorro y balanza de pagos: un
análisis de las restricciones al crecimiento económico de México. Economía
Mexicana, núm. 7, pp. 21-33.
Cox, J. C, J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). An Intertemporal General
Equilibrium Model of Asset Prices. Econometrica, 53(2), pp. 363-384.
Fuller, W A. (1996). Introduction to Statistical Time Series. 2nd ed., John
Wiley, New York.
Granger, C. W. (1980). Long Memory Relationships and the Aggregation of
Dynamics Models. Journal of Econometrics, 14(1), pp. 227-238.
The
Trouble
with
Rational Expectations and the Problem of Inflation
Stabilization, en R. Fredman y E. S. Phelps (comps.).
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