Acta X CAREM
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Acta X CAREM
ACTA DE LA X CONFERENCIA ARGENTINA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA ACTA DE LA X CONFERENCIA ARGENTINA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA Año 2014 X CAREM organizada por la Sociedad Argentina de Educación Matemática, del 6 al 8 de septiembre de 2012, en la Ciudad Autónoma de Buenos Aires, República Argentina. Editora: Daniela Cecilia Veiga Sociedad Argentina de Educación Matemática En la portada: Imagen diseñada por Nora Lerman e imagen de la Sociedad Argentina de Educación Matemática, http://www.soarem.org.ar/ Diseño de portada: Nora Lerman Edición: © 2014. SOAREM. Sociedad Argentina de Educación Matemática. [email protected] ISBN: 978-987-28468-1-7 Derechos reservados. © SOAREM. Sociedad http://www.soarem.org.ar Argentina de Educación Matemática. Se autoriza la reproducción total o parcial, previa cita a la fuente: Veiga, D. (Ed.). (2014). Acta de la X Conferencia Argentina de Educación Matemática, República Argentina, Ciudad de Buenos Aires: SOAREM. Sociedad Argentina de Educación Matemática. Sociedad Argentina de Educación Matemática www.soarem.org.ar COMISIÓN DIRECTIVA SOCIEDAD ARGENTINA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA 2014 Presidente: Cecilia Crespo Crespo Sociedad Argentina de Educación Matemática Vicepresidente 1º: Adriana Engler Vicepresidente 2º: Patricia Lestón Secretaria: Daniela Veiga Prosecretaria: Nora Inés Lerman Tesorera: Christiane Ponteville Protesorera: María Inés Ciancio Vocales: Liliana Homilka Mónica Micelli Daniela Müller Marcel Pochulu Silvia Tajeyán Comisión de Revisores de Cuentas Titulares Andrea Paroni Mabel Slavin Mariana Talamonti Tribunal de Ética Titulares José Luis Rey María Rosa Rodríguez Silvia Seminara Suplente Gloria Robalo Suplente Ángela Pierina Lanza COMITÉ CIENTÍFICO DE EVALUACIÓN Arboleas Fraga, Josefina García Zatti, Mónica Arceo, Cristina González de Galindo, Susana Barbosa, Gabriela Grande, Carlos Basso, Ademir Holgado, Lisa Benzal, Graciela Homilka, Liliana Blanco, Haydeé Jahn, Ana Paula Braicovich, Teresa Jiménez Martínez, Rafael Cadoche, Lilian Kyriakos, Petakos Chiesa, María Alejandra Lerman, Nora Ciancio, María Inés Lestón, Patricia Correa Zeballos, Marta Adriana Lois, Alejandro Crespo Crespo, Cecilia Malheiros, Ana Paula Del Puerto, Silvia Marcilla, Marta Inés Dias, Marlene Martínez Fonseca, Antonio Engler, Adriana Mercau, Susana Esper, Lidia Messina, Vicente Flores, Rebeca Micelli, Mónica Milevicich, Liliana Ramos, Rogelio Minaard, Claudia Rodríguez de Estofán, María Rosa Moreira, Plinio Rodríguez Montelongo, Lucía Moreno, Aníbal Rodríguez, Mabel Müller, Daniela Román, Jorge Nunes, Célia Maria Sánchez Barrera, Julio Moisés Oliva, Elisa Sardella, Oscar Oliveira Groenwald, Claudia Lisete Slavin, Mabel Alicia Orey, Daniel Tajeyan, Silvia Oropeza, Carlos Torrente, Carmen Otero, Rita Torres Alfonso, Aida María Peralta, Silvio Vargas Ricardo, Anelys Pérez de del Negro, María Angélica Veiga, Daniela Cecilia Pochulu, Marce Veliz, Margarita Ponteville, Christiane Villalonga de García, Patricia Ralph, Adlai Vrancken, Silvia Ramírez García, Elsa Acta X Conferencia Argentina de Educación Matemática i Presentación La Sociedad Argentina de Educación Matemática (SOAREM) realizó su Décima Conferencia Argentina de Educación Matemática (X CAREM) en la Ciudad de Buenos Aires en septiembre de 2012. Una vez más, docentes e investigadores de distintos países compartieron sus experiencias con los asistentes a esta reunión. Cada dos años, la SOAREM, convoca a investigadores y docentes de distintos niveles interesados por dar respuestas a las problemáticas que surgen en las clases, indagar novedades académicas y explorar nuevas propuestas áulicas a fin de actualizar y mejorar sus prácticas docentes. Cada vez son más los países que se suman a esta propuesta. En esta oportunidad, la X CAREM, reunió a numerosos docentes de Argentina, Brasil, Chile, Colombia, Costa Rica, Ecuador, España, México, Uruguay y Venezuela. La SOAREM invitó a reconocidos investigadores en el área de la Educación Matemática de Argentina, España y México quienes compartieron con nosotros sus valiosas propuestas, aportes y resultados obtenidos. En esta publicación se presentan algunos de los artículos presentados en la X CAREM luego de ser evaluados y aceptados para su publicación por un selecto grupo de docentes que conforman el Comité Evaluador quienes basaron su dictamen en la calidad de los trabajos presentados en comparación con los niveles internacionales de exigencia que suelen pedirse para eventos académicos de este tipo. En esta ocasión, se organiza la publicación en cuatro capítulos: – El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación. – Propuestas para la enseñanza de la Matemática. – Uso de los recursos tecnológicos en el aula de Matemática. – Pensamiento Matemático Avanzado. Queremos agradecer a los asistentes y ponentes de la X CAREM, ya que ellos hicieron posible que se lleve a cabo con éxito este evento. También, agradecemos el trabajo de los evaluadores, su profesionalismo y dedicación lograron mantener el óptimo nivel académico caracterítico de las propuestas que se exponen en estas reuniones. Agradecemos al Profesorado Sagrado Corazón por confiar, una vez más, en nosotros y brindarnos su apoyo durante la reunión. Queremos también, extender nuestro agradecimiento a todas las instituciones, empresas y personas que brindaron su colaboración a través de recursos materiales y humanos. Daniela Cecilia Veiga Buenos Aires, Argentina. Agosto 2014 ii Acta X Conferencia Argentina de Educación Matemática TABLA DE CONTENIDOS CAPÍTULO I El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación La construcción de “una unidad de análisis sociosistémica” del saber matemático. Una mirada desde la teoría socioepistemológica: el caso de la proporcionalidad y sus repercusiones en el aula Daniela Reyes Gasperini, Ricardo Cantoral Uriza 1 Una mirada geométrica a diseños de pueblos originarios Cecilia Crespo Crespo, Mónica Micelli 11 De lo lineal a lo exponencial Patricia Sureda 20 Problemáticas y creencias de los profesores de matemática que cursan un posgrado. Cómo repercuten en su discurso profesional Nora Lerman, Cecilia Crespo Crespo 34 Las intervenciones docentes en la clase de matemática Gloria Robalo 41 Impacto del sistema de admisión en el rendimiento académico Marta Correa Zeballos, Berta Chahar, Ricardo Gallo, Gregorio Figueroa, Mirtha Moya 46 ¿Formar en etnomatemáticas al futuro profesorado? V. Albanese, M. L. Oliveras, F. J. Perales 57 Tres tipos de obstáculos en la enseñanza - aprendizaje de las matemáticas Carlos E. Correa J., Gonzalo F. Morales Larreátegui 66 Análisis matemático I: hábitos de estudio e interés de los estudiantes de ingeniería Natalia F. Sgreccia, María Elena Schivo, Marta Caligaris 74 iii Acta X Conferencia Argentina de Educación Matemática Recorridos de estudio e investigación en el nivel medio: las funciones racionales María Paz Gazzola, María Rita Otero, Viviana Carolina Llanos 84 Formação continuada de professores dos anos iniciais do ensino fundamental: uma experiência no ensino e aprendizagem da geometria através do Origami Jamille M. Carvalho de Magalhães, Jutta Cornelia Reuwsaat Justo 91 O livro didático na construção da autonomia didática e pedagógica do egresso do curso de Licenciatura em Matemática de Caxias/MA Lélia de Oliveira Cruz, Arno Bayer 98 O processo avaliativo de professores de matemática do ensino médio Célia Maria Espasandin Lopes, Celi Espasandin Lopes 106 Sistema integrado de Ensino e Aprendizagem (SIENA) para apoio a recuperação do conteúdo equações de 1º grau Andrielly Viana Lemos, Carmen Teresa Kaiber 113 Construcción de un modelo que orienta, en el área matemática, el desarrollo de la metacognición Patricia Villalonga de García, Susana González de Galindo, Susana Mercau de Sancho 121 Los signos en matemática P. Sastre Vázquez, R.E. D`Andrea 128 Una reflexión sobre el proceso enseñanza-aprendizaje fundamentos conceptuales de análisis matemático Silvia Ester Busab de Abdelnur de los 135 Perfiles de los estudiantes ingresantes al profesorado en matemática Patricia Caro, Teresa Braicovich, Claudia Reyes 145 Diagnóstico de habilidades matemáticas en alumnos ingresantes Marta Golbach, Analía Mena, Graciela Abraham, Graciela Galindo, María Rosa Rodríguez, Mabel Rodríguez Anido 154 Acta X Conferencia Argentina de Educación Matemática Conceitos e tendências das pesquisas sobre a formação de professores de matemática: análise das investigações no gt 7 do sipem Nilra Jane Filgueira Bezerra, Solange Mussato, Evandro Ghedin, María Clara Silva Forsberg iv 164 OBMEP 2011: un análise del rendimiento en geometría en alumnos de enseñanza media Maurício de Moraes Fontes, Dineusa Jesus dos Santos Fontes 172 La matemática y su enseñanza: creencias de un grupo de estudiantes de primer año de profesorado de matemática Cristina Ochoviet, Mónica Olave, Mario Dalcín 180 Tratamiento del tema función lineal y ecuación de la recta en los libros de texto Mariana Loureiro, Ana Zamagni 188 Sistemas de ecuaciones: tratamiento de la solución en libros de texto de la escuela secundaria Daniela Bruno, Florencia Rivas 195 La propiedad distributiva. Análisis de obstáculos a partir de una ingeniería didáctica Daniela Veiga 203 Aprendizaje cooperativo y desarrollo de habilidades sociales Beatriz Spagni, Lilian Cadoche 212 Incidencia de los sistemas de representación en la conceptualización de la función exponencial Patricia Sureda, María Rita Otero 218 Heurísticas en la educación dialógica de primer año de una escuela secundaria de La Boca Lorena Verónica Belfiori 227 Competencias docentes : repensar nuestras prácticas educativas para el contexto actual Lilian Cadoche, Sonia Pastorelli, Darío Manzoli, Mª. Candelaria Prendes, Hilda Henzenn, Matías Greco 236 Acta X Conferencia Argentina de Educación Matemática v La matemática de un artista: Tobia Ravà Teresa Fernández 245 Diario del profesor: instrumento para analizar la práctica docente de matemática S. González de Galindo, P. Villalonga de García, M. Marcilla, L. Holgado de Mejail 252 El buen profesor, el buen alumno y la buena clase de matemáticas: representaciones sociales que poseen estudiantes de nivel medio superior Gustavo Martínez Sierra, María Patricia Colin Uribe 261 Socioepistemología, empoderamiento docente y problematización del saber matemático: el caso de la proporcionalidad Daniela Reyes-Gasperini, Ricardo Cantoral-Uriza 269 Matemática educativa en el aula de formación docente Cecilia Crespo Crespo, Liliana Homilka, Patricia Lestón 279 Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional en estudiantes de primer año de la universidad Silvia Vrancken, Adriana Engler, Daniela Müller 285 CAPÍTULO II Propuestas para la enseñanza de la matemática De los números a…¡¡los envases!! Mabel Alicia Slavin 295 Construyendo secuencias didácticas para la enseñanza de la matemática Carina Pacini, Lucia Sacco 304 Propuesta de mejora en el aprendizaje del concepto de límite de una función real Natalia F. Sgreccia, María Rosa Romiti, Marta Caligaris 314 Acta X Conferencia Argentina de Educación Matemática Maestros en funciones Mariana Talamonti Baldasarre, Alfredo Raúl Palacios, Sandra Luz Martorelli, Claudia Giménez González vi 323 Interdisciplinariedad entre lingüística y simbolización algebraica. Una propuesta didáctica Carlos Enrique Correa Jaramillo 334 Primeros acercamientos a la división: un estudio sobre estrategias de aprendizaje Marcela Bottazzini, Mario Di Blasi Regner 341 Poesía en la enseñanza de la matemática Patricia Eva Bozzano, Alejandra Leticia Taylor, Liliana Verne 348 Una experiencia de formación por competencias en el ingreso a la Facultad de Ciencias Económicas Carolina Ramos, Elsa Rodríguez Areal de Torino, Carolina Rotger 356 Problemas empresariales con resolución matemática María Rosa Rodríguez, Aldo Mario Sota, Jesús Alberto Zeballos 365 A experiência e a linguagem enquanto componente do processo de construção do conhecimento matemático por pormeio de problemas matematicos na 5º série do ensino fundamental Lêda Ferreira Cabral, César Donizetti Pereira Leite 374 Los primeros aprendizajes de las escrituras numéricas Adriana Marisa Cañellas, María Josefa Rassetto 383 Matemática y química ¿una integración posible? Alejandra Deriard, Carlos Matteucci, Fiorella Maggiorotti 393 Una propuesta de gestión áulica en clases de modelización matemática Nélida Aguirre, Andrea Maero 400 Estrategias de evaluación e insumos didácticos Horacio Caraballo, Cecilia Zulema González 409 Acta X Conferencia Argentina de Educación Matemática El accionar del docente al enseñar matemática a través de resolución de problemas Elisa Petrone, Mariela Cirelli, Natalia Contreras, Natalia Ferrari, Elisabet Reynoso, Natalia Sgreccia vii 418 Alfabetización estadística: aportes para el aula de matemáticas María Inés Rodríguez, María Inés Herrera 428 Los grafos como modelos matemáticos Teresa Braicovich, Patricia Caro, Raquel Cognigni 436 De casi todo, un poquito más Mabel Alicia Slavin, Ana Paula Krompiewski, Matías Samartino, Mónica Torre, Andrés Elizalde 441 Sequência didática para estudos de recuperação com o conteúdo de frações Alexandre Branco Monteiro, Claudia L. Oliveira Groenwald 450 Sequência didática da divisão no conjunto Dos números naturais Tania Elisa Seibert, Claudia L. Oliveira Groenwald, Neide Alves Schaeffer 458 CAPÍTULO III Uso de los recursos tecnológicos en el aula de matemática Matemáticas dinámicas con GeoGebra Agustín Carrillo 467 Las redes sociales e internet, un contexto para enseñar y aprender. Una aplicación de la teoría de grafos para la escuela secundaria Walter Ezequiel Corzo, Matías Guerreros, Federico Alan Maciejowski 489 Un enfoque metodológico a través del aula virtual para alumnos recursantes Margarita Veliz, María Angélica Pérez, Elisa De Rosa 497 Acta X Conferencia Argentina de Educación Matemática Facebook como ferramenta na resolução de questões interdisciplinares Júlio Mateus de Melo Nascimento, Jamille Mineo Carvalho de Magalhães, Jutta Cornelia Reuwsaat Justo, Maria Eloisa Farias, Marlise Geller viii 507 Aspectos positivos y negativos en la implementación de un aula virtual de matemática. Estudio de un caso en la facultad de ciencias económicas de la Universidad Nacional de Jujuy Marisa Angélica Digion, Beatriz del Carmen Autino 517 O desenvolvimento profissional de educação estocástica e tecnológica Celi Espasandin Lopes 526 educadores matemáticos em Calculadora: uma ferramenta de auxílio à aprendizagem Ilisandro Pesente, Clarissa de Assis Olgin, Claudia Lisete Oliveira Groenwald 534 Cyberformação semipresencial de professores de matemática do ensino fundamental: um olhar para os fóruns de discussão Vinícius Pazuch, Maurício Rosa 543 Visualización en R2 del problema de valores propios: una propuesta didáctica usando Matlab Egle Elisabet Haye, María Elina Díaz Lozano 553 Un blog de matemática Marta Bonacina, Alejandra Haidar, Valeria Philippe, Claudia Teti 562 Una propuesta de clase con GeoGebra: el dominio, rango y la transformación de funciones construyendo animaciones Ricardo Rey Monroy, Alexandra Bulla Buitrago, Sandra Rojas, William Alfredo Jiménez 572 ¿El empleo de nuevas herramientas en el aula virtual puede mejorar el rendimiento de los alumnos de cálculo? Lucía Martín de Pero, Elsa Rodriguez Areal de Torino, Raúl Mentz 580 Mathcad, uma possibilidade de ensino de matemática no ensino superior Eliani Retzlaff, Rosangela Ferreira Prestes, Rozelaine de Fátima Franzin, Rita Salete Kusiak 589 Acta X Conferencia Argentina de Educación Matemática ix La experiencia del curso de ingreso virtual de matemática a la FACE-UNT Marta Inés Cirilo, Marta Lía Molina 597 El software GeoGebra como herramienta en las clases de geometría Maurício de Moraes Fontes, Dineusa Jesus dos Santos Fontes 606 Exploração didática do Maple no ensino do Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis Francisco Regis Vieira Alves 612 Geometría analítica con software Raúl David Katz, Pablo Agustín Sabatinelli 622 Explorando jogos online no processo de ensino e aprendizagem da matemática Bruno Grilo Honorio, Lucas Gabriel Seibert, Tania Elisa Seibert 626 Utilizando o JCLIC para criar atividades didáticas eletrônicas de matemática Andrielly Viana Lemos, Alexandre Branco Monteiro 631 Aplicaciones con Graph para la clase de matemática Luis María Córdoba 640 Programación lineal con apoyo de Mathematica y GLP Enrique Vílchez Quesada 645 Las nuevas tecnologías como complemento al trabajo en el aula Daniela Müller 653 CAPÍTULO IV Pensamiento matemático avanzado El teorema del Binomio de Newton en la dinamización de la regla de los cuatro pasos Adriana Engler, Alberto Camacho 663 Acta X Conferencia Argentina de Educación Matemática x Sobre la multiplicación de las rectas en el marco de un recorrido de estudio y de investigación (REI) Viviana Carolina Llanos, María Rita Otero, María Paz Gazzola 673 El discurso matemático escolar del infinito y los conflictos Patricia Lestón 681 Estabilidad de sistemas invariantes modelados por diferenciales Ana Emilia Ferrazzi de Bressan, Juan Carlos Bressan ecuaciones 690 La transformada z como una discretización de la transformada de Laplace Juan Carlos Bressan, Ana Ferrazzi de Bressan 700 Visualización de la geometría algebraica M. Scardigli, A.Cicchini, A. Sara, A.Alvárez 710 Uma Engenharia Didática para o ensino do Cálculo: o caso da identificação de pontos extremantes da função f(x;y) Francisco Regis Vieira Alves 717 Dificuldades envolvendo a noção de demonstração: um estudo de caso Francisco Regis Vieira Alves 726 Hipertexto para aprender funciones trascendentes, una experiencia de cátedra Roxana Scorzo, Adriana Favieri, Betina Williner 735 Conocimiento del contenido y de la enseñanza tridimensional en la formación de profesores Natalia F. Sgreccia, Marta Massa 744 de geometría Uso del álgebra lineal en el modelado de la demanda de transporte: el caso del conglomerado Santa Fe - Santo Tomé Sonia Pastorelli, Eva Casco, Sandra Ramirez 755 Cálculo de la distancia con geometría esférica Alejandra Cañibano, Patricia Sastre Vázquez, Rodolfo D´Andrea 765 Acta X Conferencia Argentina de Educación Matemática xi Rehaciendo el camino hacia la comprensión de variable aleatoria Luisa Andrade, Felipe Fernández 773 Validación y contraejemplo R.E. D`Andrea, P. Sastre Vázquez, A. Cañibano 783 Análise de livros didáticos de matemática brasileiros e os registros de representação semiótica na geometria analítica Joseide Justin Dallemole, Claudia Lisete Oliveira Groenwald 790 Visualización gráfica de hipótesis y desarrollo de pensamiento geométrico en análisis numérico, álgebra lineal y matemática II Elisa S.Oliva, Miguel A.Montoya, María I.Ciancio, Susana B. Ruiz 800 Procedimientos heurísticos en la enseñanza de la lógica Beatriz del Carmen Autino, Marisa Angélica Digión, Lydia María Llanos 810 La enseñanza de la demostración matemática: análisis de significados institucionales y evolución de significados personales Susana Peparelli, Nora Zón 818 Alocação de pontos no plano: um jogo no ensino de matrizes Cristian Douglas Poeta, Joseide Justin Dallemole 827 ¿Primas del compás? Otras herramientas para dibujar curvas Juan Pablo Muszkats 833 La dialéctica de “entrar y salir del tema” en la implementación de un recorrido de estudio e investigación codisciplinar a la microeconomía Verónica Parra, María Rita Otero, María de los Ángeles Fanaro 840 Un problema de minimización resuelto con diferentes herramientas María Inés Ciancio, Susana Beatriz Ruiz, Elisa Silvia Oliva 849 CAPÍTULO I El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación LA CONSTRUCCIÓN DE“UNA UNIDAD DE ANÁLISIS SOCIOSISTÉMICA” DEL SABER MATEMÁTICO. UNA MIRADA DESDE LA TEORÍA SOCIOEPISTEMOLÓGICA: EL CASO DE LA PROPORCIONALIDAD Y SUS REPERCUSIONES EN EL AULA Daniela Reyes-Gasperini, Ricardo Cantoral-Uriza Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. México [email protected], [email protected] Formación de profesores Palabras clave: Unidad socioepistémica. Socioepistemología. Proporcional. Resumen En este taller se trabajará sobre cómo realizar la construcción de una unidad de análisis socioepistémica relativa al saber matemático de la proporcionalidad. Esto permitirá percibir un ejemplo de cómo abordar la problematización del saber desde el enfoque socioepistemológico, mediante el análisis de la noción de la proporcionalidad. La Socioepistemología, como enfoque teórico, se cuestiona en primer término el qué se enseña replanteándose para ello un análisis a profundidad del discurso Matemático Escolar (dME). Éste, grosso modo, se entiende como las ideologías que validan la introducción de un saber matemático a la enseñanza, volviéndolo incuestionable, inamovible, hegemónico. Los participantes transitarán por diversas actividades: reflexionan sobre cómo vive el saber de lo proporcional en la educación secundaria (11-17 años), reconocen la epistemología del saber que privilegia la construcción social del conocimiento mediante las prácticas sociales que lo norman, trabajan con problemas matemáticos y extra matemáticos, organizados en situaciones de aprendizaje que tratan la proporcionalidad y a partir de ellos construyen la unidad de análisis socioepistémica, de estructura sistémica, de los modelos del pensamiento proporcional. Para finalizar, analizan el ―modelo dinámico conceptual‖ del desarrollo del conocimiento matemático basado en los principios de la Teoría Socioepistemológicay desarrollado en (Reyes-Gasperini, 2011). Así, evidenciaremos un aprendizaje que privilegie la validación de distintas argumentaciones, permita la emergencia de diversas racionalidades contextualizadas, que posea un carácter funcional del saber, favorezca una resignificación progresiva considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras de dicho conocimiento, como contrapartida a un dME centrado en objetos matemáticos carente, habitualmente, de sentido para estudiantes y profesores. Planteamiento de la problemática Habitualmente, cuando nos referimos al conocimiento matemático de proporcionalidad, en especial al de proporcionalidad directa, recurrimos a ideas cotidianas coloquiales utilizando expresiones del tipo ―a más-más… a menos-menos…‖, trayendo a nuestra mente el ejemplo claro y sencillo de que si aumenta la cantidad de kilos de manzanas que se compre, aumentará la cantidad de dinero que habrá de pagarse. El empleo del lenguaje coloquial permite la fluidez de un pensamiento matemático situado, que posteriormente deberá resignificarse y, por ejemplo, reflejarse de manera escrita a un nivel de objeto simbólico. 1 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Hasta este momento, nos encontramos en un pensamiento proporcional cualitativo. Piaget e Inhelder (1977) enuncian al respecto que ―la noción de proporción se inicia siempre de una forma cualitativa y lógica, antes de estructurarse cuantitativamente‖ (Piaget e Inhelder, 1977, p. 141). En este paso de lo coloquial a lo simbólico es donde los estudiantes comienzan a cuantificar y enfrentarse a la construcción de ―lo matemático‖, pudiendo considerarse un medio para construir un significado de ―lo proporcional‖ (Reyes Gasperini y Cantoral, 2011). Asociadas a este conocimiento matemático, hay definiciones, métodos, ejemplos, entre otras cuestiones, que conforman al objeto matemático: definida como relación funcional, razón proporcional, gráfica que pasa por el eje de las coordenadas, tabla de valores, o como aquella que responde al método de la regla de tres simple, aquella que responde a ―a más, más; a menos, menos‖, etc. (ver figura 1). Figura 1: La proporcionalidad directa como objeto matemático Si bien el pensamiento cualitativo que refiere a ―a más, más… a menos, menos…‖ es válido en ciertas situaciones, debemos proponer distintos contextos que permitan al individuo o grupo resignificar este saber con el fin de enriquecerlo, ya que, esta significación se limita a las proporcionalidades cuya constante de proporcionalidad es positiva (𝑦 = 𝑘𝑥, 𝑘 ∈ 𝑅+), y propicia que si se le pregunta a un individuo si la función 𝑦 = −𝑥 es de proporcionalidad directa, responda que no ya que su gráfica muestra que cuando x crece y decrece, es decir, es de proporcionalidad inversa, siendo esto, falso (ver figura 2). Figura 2: Representación gráfica de la función 𝑦 = −𝑥 2 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Un taller realizado en el 1er. Congreso Internacional “Las Matemáticas en la Educación Básica y Formación Docente”en Toluca, Estado de México, México, respecto a la problematización del saber de la proporcionalidad nos brindó algunos datos que nos sirven de información de partida para el diseño del presente taller. Las actividades que aquí se exhiben son algunas de las que se abordarán en la propuesta del taller (ver figura 3). Éstas pretenden detectar "qué miran los docentes cuando mirar lo proporcional". 3 Figura 3: Actividades sobre problematización del saber matemático escolar. Si bien trabajaron 27 participantes en este taller, sólo 20 entregaron sus contribuciones y serán estos los que consideraremos para plantear nuestra idea. Del total, 9 (45%) dijeron que era una función de proporcionalidad inversa, de los cuales 6 (30%) justificaron diciendo que "si aumenta x entonces y disminuye". Sólo 2 (10%) contestaron que era de proporcionalidad directa. El resto entra en una categoría por nosotros llamado "otras respuestas". Ninguna respuesta alude a la relación entre las variables. De 16 participantes que entregaron sus producciones, 13 (81%) responden que es de proporcionalidad directa. El 43% justifica diciendo que "al aumentar x, aumenta y", el 25% busca su expresión algebraica y sólo 2 contestan que se debe a un aumento constante. El resto entra en una categoría por nosotros llamado "otras respuestas". Igual que en el caso anterior, ninguna respuesta alude a la relación entre las variables. Como puede observarse, en el primer caso se refleja una supremacía de un pensamiento cualitativo según se refiere en (Inhelder y Piaget,1972) "a más, más - a menos, menos" en los participantes, lo cual, postulamos, los inhibe de poder interpretar a esa función como de proporcionalidad directa. Asimismo, en el segundo caso, la mayoría de sus argumentaciones radican en este mismo pensamiento cualitativo, soslayando la noción de la naturaleza del pensamiento proporcional, la cual radica en la relación que mantienen dos magnitudes cuya peculiaridad es que su razón se mantiene constante, pensamiento más complejo que el anterior (Carretero, 1989; Godino y Batanero, 2002; Vergnaud, 1990). El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación De aquí nos surgen diversas preguntas: ¿qué se trabaja cuando se trabaja el saber de la proporcionalidad en la escuela? ¿Cuáles son las dificultades didácticas -en su formación- o bien, epistemológicas, que provocan que los docentes tengan este tipo de respuestas? ¿Qué es lo que a los estudiantes ―les queda‖ de lo proporcional? ¿Cómo se podría rescatar la naturaleza del conocimiento en situaciones de aprendizaje? Con base en estas preguntas es que se ha diseñado el presente taller. Desarrollo del taller En este taller, a través de distintas actividades que se le propondrán a los participantes, se trabajará sobre la construcción de una unidad de análisis sistémica del saber matemático de la proporcionalidad desde la Teoría Socioepistemológica (Cantoral, 2003). Esto permitirá percibir un ejemplo de cómo se aborda la problematización del saber desde este enfoque, mediante el análisis de una noción de gran importancia: la proporcionalidad. Esta noción es una temática transversal en la educación secundaria, incluso para discutir y construir lo que no es proporcional. La Socioepistemología se cuestiona el qué se enseña en las clases de matemáticas poniendo en tela de juicio el discurso Matemático Escolar (dME) entendiendo a éste, grosso modo, como las ideologías que validan la introducción de un saber matemático a la enseñanza. Los participantes del taller transitarán por diversas actividades, comienzan por la reflexión de cómo vive el saber de lo proporcional en el transcurso de la educación secundaria, luego reconocen la epistemología de este saber donde se privilegia la construcción social del conocimiento a través de las prácticas sociales que lo norman, a continuación trabajan con problemas matemáticos y extra matemáticos, organizados en situaciones de aprendizaje que tratan la proporcionalidad y a partir de ellos construirán la unidad de análisis sistémica de los modelos del pensamiento proporcional. Este modelo nos permitirá evidenciar la limitación sobre el conocimiento matemático de lo proporcional que existe dentro de la educación secundaria, como así también la exclusión provocada por el propio dME el cual posee un carácter utilitario y hegemónico, carece de marcos de referencia para la resignificación, está compuesto de conocimientos acabados y continuos, y posee una atomización en los conceptos (Soto, 2010), exento por completo de una visión de la construcción social del conocimiento matemático, por tanto, excluyente de ella. Para finalizar, analizaremos el modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica (Cantoral, 2011; Reyes-Gasperini, 2011) con el fin de que en conjunto se proponga uno de los tantos ejemplos de cómo podría resignificarse la proporcionalidad (ver figura 4). Decimos uno de los muchos, ya que este no es el modelo, sino que cadaindividuo o grupo diseñará su propio modelo respecto a la vida de cada quien. 4 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 5 Figura 4: Modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica (Cantoral, 2011; Reyes-Gasperini, 2011) Todo este análisis tiene como propósito principal evidenciar cómo puede entenderse un aprendizaje que privilegie la validación de las distintas argumentaciones, que permita la emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas, que posea un carácter funcional del saber, que favorezca una resignificación progresiva considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras de dicho conocimiento, como contrapartida a un dME centrado en objetos matemáticos que carecen, muchas veces, de sentido para estudiantes y profesores. Unidad de análisis sistémica de la proporcionalidad A continuación realizaremos un análisis sistémico de la noción de proporcionalidad considerando su dimensión epistemológica, cognitiva, didáctica y social con el fin de construir una unidad de análisis consistente. Dimensión epistemológica La relación existente entre magnitudes, es el origen de la proporcionalidad, es decir, cuando dos magnitudes eran inconmensurables y no podía encontrarse la unidad de medida, se procedió a relacionar las magnitudes, de ahí nace este conocimiento matemático de las proporciones, de una necesidad de comparar dos magnitudes inconmensurables. Si bien fue Eudoxo de Cnidos (390 A. N. E. –337 A. N. E.), filósofo, astrónomo, matemático y médico griego, discípulo de Platón, quien comenzó a trabajar con la teoría de proporciones, se reconoce que fue Euclides quien reunió los aportes hechos por él en Los Elementos. En el Libro V, de sus XIII Libros, esta obra científica enuncia las siguientes definiciones: 1. Se dice que una magnitud es parte de otra mayor cuando la mide. 2. Se dice que una magnitud es múltiple de otra menor cuando es medida por ella. 3. Razón es una relación cualquiera entre dos magnitudes homogéneas respecto de su cantidad. 4. Se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se puede multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 5. Se dice que la razón de una primera magnitud con una segunda es la misma que la de una tercera con una cuarta cuando, tomando cualquier múltiplo de la primera y de la tercera y de la segunda y cuarta, el múltiplo de la primera es mayor, igual o menor que el de la segunda, según que el de la tercera sea mayor, igual o menor que el de la cuarta. 6. Las magnitudes que tienen la misma razón se llaman proporcionales. 7. Si entre magnitudes igualmente multiplicadas el múltiplo de la primera supera al de la segunda, pero el de la tercera no supera al de la cuarta, se dice que la razón de la primera a la segunda es mayor que la de la tercera a la cuarta. Así continúa con las definiciones sobre las proporciones durante este Libro y en el siguiente, comienza a trabajar las proporciones geométricas, sin embargo, las enunciadas hasta aquí nos servirán para abordar lo que deseamos. Si en la definición 6, Euclides define que las magnitudes proporcionales son aquellas que tienen la misma razón y concibe a la razón, en su definición 3, como una relación cualquiera entre dos magnitudes homogéneas respecto de su cantidad, interpretamos que este tipo de definiciones se encierran, hasta este momento, en un modelo cualitativo, ya que no define qué tipo de relación se mantiene, sino que es respecto a su cantidad y refiere a magnitudes homogéneas. Con esto, puede observarse en particular que la esencia de la proporcionalidad radica en la relación entre magnitudes. Martínez y González (2008) realizan un estudio en el cual concluyenenunciando que la relación ―guarda la misma razón‖ pretende resaltar el hecho que a pesar de que cambien los tamaños de las magnitudes, la relación que se establece entre ellas se conserva, es decir, la razón se mantiene invariante: constante de proporcionalidad. Dimensión cognitiva Comprender cómo opera el pensamiento cognitivo humano en general, nos llevó a cuestionarnos cómo ocurre en los niños. Por tanto, Inhelder y Piaget (1972) serán un gran referente en este caso. Ellos realizan un estudio experimental con niños para comprender cómo se desarrolla el pensamiento de lo proporcional, utilizando, entre otros ejemplos, una situación respecto al equilibrio de la balanza. El objetivo fue estudiar cómo se elabora el esquema de proporcionalidad en relación con el problema del equilibrio. Sus conclusiones en cuanto al esquema de las proporciones enuncian: Conviene recordar en primer lugar que en todos los dominios y no sólo en el caso de nuestras actuales experiencias, la comprensión de las proporciones no aparece antes del nivel III A. Se observa a menudo en los sujetos del subestadio II B la búsqueda de una misma relación en el interior de dos relaciones que se comparan entre sí, pero se concibe que la naturaleza de la relación es aditiva: en vez de la proporción P/P´= L´/L, se tiene entonces una igualdad de diferencias P – P´ = L´– L. La formación de la idea de proporcionalidad supone pues que en primer lugar, se sustituyan las simples relaciones de diferencia por la noción de la igualdad de productos PL = P´L´. Sin embargo importa además señalar 6 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación que este pasaje de la diferencia al producto pocas veces se realiza de entrada bajo una formación métrica: por lo general la cuantificación numérica de la proporción se halla precedida por un esquema cualitativo fundado en la noción de producto lógico, vale decir, por la idea de que dos factores que actúan juntos equivalen a la acción de otros dos factores reunidos. (Inhelder y Piaget, 1972, p. 152, las negritas son nuestras) Posteriormente, Piaget e Inhelder (1977) sintetizan lo anterior focalizando la atención en que para construir el esquema de proporcionalidad cualitativa es necesario que el niño, o sujeto, reconozca un elemento de compensación, es decir, que comprenda que un incremento en una variable independiente da el mismo resultado que un decremento en la variable dependiente. Asimismo, se puede identificar, que la primera aproximación para poder lograr un equilibrio, lo cual nosotros podemos interpretar como hallar una proporción, radica en un pensamiento aditivo. Godino y Batanero (2002) enuncian respecto a dicho modelo que si bien estas estrategias son útiles para enfrentar con éxito ciertos problemas más sencillos, no son válidos en el caso general. Asimismo, hacen explícitoque ―los estudiantes basan su razonamiento intuitivo sobre las razones y proporciones en técnicas aditivas y de recuento en lugar de razonar en términos multiplicativos, lo que indica una diferencia importante‖ (Godino y Batanero, 2002, p. 439). Posteriormente, se le da lugar al modelo multiplicativo. Carretero (1989) trabajó con los diferentes tipos de estructuras multiplicativas en torno a la adquisición de la noción de la proporcionalidad. Su objetivo principal es explorar ―dos tipos de ―estructuras multiplicativas‖ en situaciones problemas que implican una o varias operaciones de multiplicación y/o división‖ (Carretero, 1989, p. 86), entendiendo por ―estructuras multiplicativas‖ al campo o espacio conceptual en donde intervienen relaciones, representaciones y operaciones diferentes, pero en estrecha relación. Según el autor, en estos esquemas se vislumbran dos tipos de razonamiento o derelaciones matemáticas, a saber: Estructura 1: la utilización de un operador escalar que permite trasladar en M2 eloperador que relaciona 1 con b en M1, dándole lugar a la división como operadorinverso. La relación se denomina escalar, ya que aquí está dada entre magnitudeshomogéneas, es decir, de un mismo espacio de medida. Estructura 2: la utilización de un operador función para la multiplicación o división,transfiere en la línea inferior, el operador que une 1 con la magnitud a en la línea superior. La relación se denomina funcional ya que se establece una relación entredos magnitudes heterogéneas. 7 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Figura 5: Estructuras multiplicativas Por tanto, nos encontramos con un modelo aditivo, que precede al modelo multiplicativo escalar, el cual, es menos complejo que el modelo multiplicativo funcional. De estos últimos dos modelos, Lamon (1994, citado en Martínez t González, 2008) realiza también una distinción como estrategias de los estudiantes para hallar el valor faltante de una proporción. El los denomina modelo inter (correspondiente al modelo multiplicativo escalar) y modelo intra (correspondiente al modelo multiplicativo funcional). Vergnaud (1990) trabaja sobre la teoría de los campos conceptuales, considerándolos como un conjunto de situaciones la cual se pueda ―analizar como una combinación de tareas de las que es importante conocer su naturaleza y la dificultad propia‖ (Vergnaud, 1990, p.140). Respecto a la proporcionalidad, compara los campos conceptuales de las estructuras aditivas (aquellas que precisan una adición, sustracción o combinación de ellas) y las estructuras multiplicativas (aquellas que requieren una multiplicación, división o combinación de ellas). Esto le permite generar una clasificación y análisis de las tareas cognitivas y en los procedimientos que potencialmente son puestos en juego en cada una de ellas. Concluye afirmando que ―no es superfluo, por el contrario, resaltar que el análisis de las estructuras multiplicativas es profundamente diferente de las estructuras aditivas.‖ (Vergnaud, 1990, p. 144). Dado este estudio, construimos una unidad de análisis sistémica que sintetiza los modelos de pensamiento proporcional en el siguiente esquema: Figura 6: Modelos del pensamiento proporcional 8 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Dimensión didáctica Hasta ahora, a un nivel didáctico, se siguen privilegiando los métodos de reducción a la unidad, o bien, la regla de tres simple como ejes principales del pensamiento proporcional, lo que hemos visto no ha sido en ningún momento la naturaleza de este saber matemático, ni siquiera, cuando se estudian sus pensamientos. Esto, es un ejemplo de la exclusión de la construcción social del conocimiento provocado por el dME. A modo de ejemplo, se muestra el tratamiento según un libro que pudiera utilizarse en clase, ya que posee muchos ejercicios para resolver. En el taller se trabajarán con más libros para analizar. 9 Figura 7. Libro de secundaria Logikamente (Pisano, 2011, p. 2) Dimensión social Bajo nuestra mirada socioepistemológica, al concebir que los conocimientos se dotan de significados a través de su uso y su funcionalidad, por ejemplo, la noción de proporcionalidad se resignificará en cuanto el individuo pueda reconocer a la proporcionalidad como la relación que existe entre magnitudes tanto homogéneas como heterogéneas cuya peculiaridad es que su razón se mantiene constante. Para ello, consideramos necesario recurrir a los orígenes de la construcción de este conocimiento emergente de la sociedad misma, como así también, a los distintos marcos de referencia en los cuales puede encontrarse (leyes físicas, relaciones entre magnitudes de las áreas de las figuras geométricas, compra-venta en la vida cotidiana, entre muchas otras) para generar situaciones de aprendizaje que privilegien los distintos tipos de razonamientos y pensamientos proporcionales que en este saber matemático subyacen. Como hemos mencionado anteriormente, lo esencial para que este tipo de trabajo con los estudiantes se lleve a cabo, es que se logre la problematización del saber puesto en juego en las interacciones de aula. Esta problematización radica en hacer del saber matemático un problema ―localizando y analizando su uso y su razón de ser‖ (Montiel, 2011, p. 128). Es aquí en donde nosotros proponemos retomar el modelo conceptual del desarrollo del conocimiento matemático, basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica, para dar uno de los muchos ejemplos de cómo podría resignificarse la proporcionalidad. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Decimos uno de los muchos, ya que este no es el modelo, sino que cada individuo o grupo diseñará su propio modelo respecto a la vida de cada quien. Referencias Bibliográficas Cantoral, R. (2003). La aproximación socioepistemológica a la investigación en matemática educativa: una mirada emergente [CD–ROM]. XI Conferencia Interamericana de Educação Matemática (tema Educación Matemática & Desafíos y Perspectivas). Brazil, Blumenau: Universidad Regional de Blumenau. Cantoral, R. (2011). Fundamentos y Métodos de la Socioepistemología. Simposio en Matemática Educativa, 22 – 26 agosto 2011. D. F., México: CICATA del IPN. Carretero, L. (1989). La adquisición de la noción de proporcionalidad según diferentes tipos de estructuras multiplicativas por el niño de 8 a 11 años. Anuario de Psicología 42 (3), 85 – 101. Godino, J. D. y Batanero, C. (2002). Proporcionalidad y su didáctica para maestros. España, Granada: Proyecto de Investigación y Desarrollo del Ministerio de Ciencia y Tecnología. Inhelder, B. y Piaget, J. (1972). El equilibrio de la balanza. En B. Inhelder y J. Piaget (Ed.), De la lógica del niño a la lógica del adolescente. Ensayo sobre la construcción de las estructuras operatorias formales (pp. 142 – 155). Argentina, Buenos Aires: Paidós. Martínez, N. y González, J. (2008). 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CICATA – IPN. México [email protected], [email protected] Niveles Medio y Superior Palabras clave: Pueblos originarios. Diseños artísticos. Geometría. Resumen Este trabajo que se presenta en la modalidad de taller tiene como objetivo estudiar distintas producciones socioculturales de grupos originarios de América desde una mirada geométrica. Producciones de alfarería, cestería, tejidos o pinturas rupestres donde no solo se puede identificar formas geométricas sino también transformaciones como son simetrías, traslaciones y homotecias. Dibujos que a su vez contienen muchos simbolismos para cada cultura. Es a partir de concebir a la matemática como una construcción sociocultural que se puede percibir la geometría presente en estas producciones. El objetivo es hacer un recorrido interiorizándonos en las distintas culturas, sus actividades y producciones, para luego, sobre la base de ellas realizar actividades para trabajar diferentes conceptos geométricos. Con la intención de reflexionar cómo estos conocimientos que surgen en escenarios no académicos pueden llevarse al aula de matemática con una integración con la historia propia de nuestro continente, valorizando sus conocimientos y legado. Introducción En el presente trabajo se recorrerá distintas culturas pertenecientes a los pueblos originarios, centrándose, el mismo, en la actividad del diseño. Entendiendo por pueblos originarios ―a los primigenios habitantes de las culturas indígenas que radican en América desde antes de la llegada de los colonizadores europeos‖ (Mac Lenman y Tappari, 2009, p.15). Siendo esta terminología la preferida por lo integrantes de estos pueblos según el Instituto Nacional de Asuntos Indígenas (INAI). Esta acción de ―diseñar‖ que cada cultura impregnó con sus costumbres, ideas y creencias, haciéndola propia, tiñéndola con su ideología, cosmología o posición social es la que se puede ver en sus utensilios, vasijas, tejidos, en resumen en todas sus pertenencias. Así también, estos diseños se van a ver influenciados por la tecnología que cada pueblo desarrolló. Para iniciar consideramos que es de importancia delimitar qué se entiende cuando se habla de ―diseño‖. Para responder a ello se tomarán las palabras de Belloli quien plantea que ―el diseño es lo concerniente con la abstracción, con el concepto de figura, con la forma estética, con las propiedades de las formas, con la simetría, las proporciones‖ (2008, p.31). La actividad de diseñar no solo se aplica a adornos, objetos, tejidos sino también a viviendas, los campos y las ciudades con sus construcciones, en algunas de las cuales han dejado un legado imponente protegido por la vegetación. En este diseñar, se considera 11 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación como las actividades más destacadas: a la pintura, el grabado, el tejido y la cestería. Cada una de estas actividades se van a ver impregnadas por la cultura de cada lugar, haciéndolas propias y pudiendo distinguirse una de otras, teniendo sus propios detalles, dejando sus huellas en la historia. En este trabajo se irá desarrollando cada uno de ellos tomando algunos ejemplos de distintos pueblos. La idea del taller es partir de este aspecto teórico para desarrollar y diseñar actividades para poder llevar estos conocimientos a las aulas de matemática. Marco teórico En este trabajo se comparte la idea de arte dada por Troncoso quien plantea que ―el arte como un producto social históricamente contingente definible como un sistema semiótico basado en un criterio estético particular y específico de una determinada formación sociocultural o grupo social‖ (2005, p.22). El arte comparte con la matemática esta característica de ser un producto sociocultural según lo entendemos y de ahí partimos para realizar el presente taller. Se entiende a la matemática entonces como una construcción sociocultural, producto del quehacer humano. Producto que se desenvuelve en dos tipos distintos de escenarios: los académicos y los no académicos. Los ejemplos tomados de distintas culturas y analizados desde la geometría provienen de escenarios no académicos pero que a partir de actividades se considera que pueden ser llevados al aula con una finalidad didáctica para trabajar conceptos matemáticos. Es así como la Socioepistemología siendo una aproximación teórica de naturaleza sistémica nos permite tratar los fenómenos de producción cultural. En este caso en particular la difusión del conocimiento está dada por distintas expresiones de arte que se puede analizar desde una visión matemática, con conceptos geométricos específicos. ―La alfarería (…), la cestería y los tejidos muestran en sus dibujos ejemplos de congruencia y simetría que son en esencia parte de la geometría elemental. El desarrollo de la geometría puede haberse visto estimulado tanto por las necesidades prácticas de la construcción y de la agrimensura, como por un sentimiento estético de diseño y orden‖ (Belloli, 2008, p.31). Es así como ―la matemática emerge y se confirma dentro de usos y actividades culturales propias y características de grupos sociales concretos, que marcan al mismo tiempo posibilidades y restricciones para los distintos mundos culturales matemáticos. Las personas constituyen sentidos matemáticos por medio de la autorregulación dentro de sistemas de prácticas culturales que influyen tanto en las metas de las actividades matemáticas como en los procedimientos y mecanismos utilizados para lograr estas metas, en otras palabras puede utilizara para una actividad pero no para otra‖ (Bishop, citado en Belloli, 2008, pp.8-9). A continuación se irán analizando y ejemplificando algunas de estas actividades típicas de los pueblos originarios de América. Arte rupestre Se conoce, bajo el término de arte rupestre, a todas aquellas imágenes que han sido realizadas sobre un soporte rocoso, las técnicas pueden ser variadas: grabados o pinturas. Estas expresiones se pueden encontrar en cuevas pero también en rocas sueltas al aire libre, 12 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación siendo estas las expresiones escritas más antiguas que se conocen. Muchas veces este arte se lo relaciona con rituales, siendo las cuevas donde se encuentran lugares preparados para cereminias. En general, estas pinturas y grabados se pueden encontrar a lo largo de todo el territorio américano. Sus representaciones pueden clasificarse en figuras antropomorfas, figuras zoomorfas, pero hay otras que pueden relacionarse con conceptos geométricos. Estas dos primeras categorias de figuras representan escenas de su vida diaria, como puede ser la caza. Otra representación que se encuentra tanto en cuevas américanas como europeas es la impresión de manos, pero en este artículo se hará foco en las representaciones de orden geométricos para desarrollar diversas actividades en el taller. En la Argentina podemos encontrarla en la ―Cueva de las manos‖, que se encuentra en la provincia de Santa Cruz, las pinturas que allí se encuentran fueron realizadas por los tehuelches y sus antecesores abarcando un periodo histórico de 7.400 a.C. al 1.000 de nuestra era. No solo puede observarse la impresión de manos realizadas en negativo sino que también aparecen animales que podrían tratarse de guanacos, pero entre estas respresentaciones también puede encontrarse figuras geométricas, como zigzag y círculos concentricos (figura 1). ¿Cómo se relaciona este arte tan antiguo con la geometría? Las palabras de Gradin pueden ayudar a acercarse a una respuesta, al respecto plantea que ―un arte rupetre geométrico, denominado de grecas, (…) no puede desvincularse de las costumbres y, consecuentemente, del mundo anímicode los antiguos cazadores del extremo meridional de América‖ (citado en Belloli, 2008, p.34). Entre las figuras que se han detallo pueden encontrarse líneas, zigzag, círculos, pero también figuras cuadrangulares y tríangulos, a continuación se analizarán cada una de ellas, pudiendo ser tanto pinturas como grabados encontrados a lo largo del territorio americano. Se puede afirmar que son producciones culturales, producciones materiales que transmiten las ideas y hechos del momento aunque no podamos decodificarlos fehacientemente su significado, sino solo plantear hipótesis al respecto, pero si se puede percibir patrones que se van repitiendo en distintas pinturas. Figura 1: Cuevas de las manos (Argentina) Las figuras geométricas que se han encontrado en América pueden enumerarse como: circunferencias concéntricas simples o complejos, circunferencias divididas en 4 partes a partir del trazado de dos diámetros perpendiculares. También pueden encontrarse figuras con lados rectos: cuadrados concéntricos, cuadrados con sus diagonales trazadas, rectángulos y rombos. En el caso de líneas no cerradas como en los ejemplos mencionados, pueden hallarse líneas en zigzag, paralelas con orientaciones verticales y horizontales 13 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación primordialmente, cruces (con un ángulo perpendicular), espirales y laberintos. También puede encontrarse puntos agrupados o alineados (Belloli, 2008). Motivos circulares complejos, Cuba (Martínez y Botiva, 2004, p.17) Espirales (Trejos, 2003) Línaes rectas, Colomiba (Martínez y Botiva, 2004, p.46) Figuras cuadrangulares, Chile (Troncoso, 2005, p.27) Cuadro 1: Diseños rupestres Con respecto a las espirales, Martínez y Botiva plantean al respecto que ―la espiral es un símbolo universal al que se le atribuyen gran diversidad de significados: representación de la vida, del movimiento cíclico de la energía, de la rotación de las aguas y los vientos, del pensamiento, etc.‖ (2004, p.48). Otra asociación, al respecto, es con una serpiente, animal considerado un dios para varias culturas americanas. Con una mirada matemática, la espiral puede relacionarse con el infinito porque esa sucesión de líneas curvas puede continuarse infinitamente donde el radio va creciendo si iniciamos desde el punto central. En algunas de estas figuras geométricas puede verse homotecias (en las figuras concéntricas) y eje de simetría (tanto en figuras geométricas como en figuras antropomorfas o zoomorfas). Cerámicas Bajo el nombre de objetos de cerámica se encuentran distintos elementos hechos a partir de la alfarería. Instrumentos de arcilla que no solo tenían un uso domestico sino en algunas culturas relacionados a rituales. Si analizamos estos objetos con una mirada matemática, puede hacerse el estudio en dos niveles: con respecto al espacio, a las dimensiones de dichos objetos, y en otro nivel, con respecto a su superficie y los diseños que estos presentan. Con respecto al espacio: estos cuerpos, en su mayor parte, responden a cuerpos de revolución aunque puede encontrarse cuerpos con características zoomorfas como por ejemplo presentando cabezas de animales o patas. Puede encontrarse distintos recipientes (keros, huacos, aríbalos, vasos ceremoniales, platos, vasijas) los cuales pueden asociarse con cuerpos de revolución, más específicamente: conos truncados, cilindros o semiesferas (Huapaya y Salas, 2008). . 14 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Triángulos y escalones Espiral Triángulos, rectas equidistantes Cuadricula Cuadro 2: Objetos de arcilla Los diseños encontrados en vasos, vasijas y platos presentan, al igual que las pinturas rupestres, diseños que pueden categorizarse en antropomorfas, zoomorfas y geométricas. En esta última categoría prevalecen líneas rectas sobre las cuales se plantea la hipótesis de que éstos derivan de los diseños textiles (punto que se desarrollará más adelante en este trabajo). Puede verse en estos motivos geométricos: puntos, líneas rectas, líneas en zigzag, poligonales (triángulos, cuadrados y rombos), líneas curvas (espirales), circunferencias. Y sobre estas figuras existe una tendencia a generar guardas donde predominan las traslaciones y simetrías. Muchos de estos diseños, tienen un gran valor simbólico para estas culturas asociados a sus creencias religiosas y sobre el mundo que los rodeaba y que intentaban dar explicaciones. Por ejemplo, estos diseños geométricos para los araucanos estarán referidos a su mundo: ―el triángulo sin base será wili waka, la pezuña de vaca; el triángulo completo se convertirá en estribo sitipu; el rombo pequeño será ge waka, ojo de vaca; el cuadrilátero mayor kiiciw choyke, parte posterior del avestruz; la espiral será simple gancho, chokiv‖ (Beniger, citado en Belloli, 2008, p.40). Existen diseños que tienen que ver con conocimiento astronómico y con las ideas que tienen determinados pueblos sobre la creación. Es así como la cruz tendrá un significado importante, previo a la llegada de los españoles. Representa los movimientos celestes. ―El sol, en su marcha diurna, describe la dirección este-oeste. Pero además, en su recorrido anual entre los solsticios, el sol describe la dirección norte-sur‖ (Tomasini, 2005, p. 89). También aparecen diseños con una presencia de escalones, donde predomina la perpendicularidad, como así también el cuadrado es importante para la cultura maya. Entre las líneas curvas aparecen (en platos, pucos y muyunas) circunferencias divididas en potencias de 2, además en 3 y 5. Como en las pinturas rupestres también aparecen circunferencias concéntricas y espirales símbolo de lo cíclico como la vida según estas culturas. Tejidos Se entiende por ―textil o tejido a toda elaboración producida en forma manual y no seriada, realizada exclusivamente en telar‖ (Chertudi y Nardi, 1961, citado en Finkelstein, 2008, p.1). Este oficio es realizado exclusivamente por las mujeres de los diferentes grupos 15 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación aborígenes, la técnica del tejido se enseña de generación a generación dentro de cada núcleo familiar. El uso de los telares (con sus variantes según el pueblo) es previo a la llegada de los españoles a América, como pueden dar evidencia códices mayas y aztecas, y las crónicas de los primeros españoles. Los diseños plasmados en las telas (tejidos, bordados o estampados) muchas veces permiten identificar la pertenencia a un determinado grupo social, a una región geográfica. Pero muchos de estos símbolos expresados en los textiles conforman parte de la memoria colectiva de cada cultura aborigen. ―Entre estos símbolos los más importantes son los relacionados con la serpiente uno de los elementos religiosos de mayor difusión. Tanto, para Mayas como para el pueblo Azteca, la Serpiente Emplumada era una de sus deidades más adorada, conocida por estos últimos como Quetzalcóatl, mientras que para los Mayas se la conocía bajo el nombre de Kukulcan, que era el dios de los cielos. Puede comprenderse así, más en profundidad, el significado que poseen estas guardas en zigzag, como se va entretejiendo su cosmología entre los hilos tensados‖ (Micelli y Crespo Crespo, 2011, p.10). En general, puede observarse en los diseños textiles, algunos conceptos geométricos como paralelismo, perpendicularidad, simetrías, traslaciones, rotaciones, semejanza y proporcionalidad (Huapaya y Salas, 2008). Puede percibirse en distintos diseños la presencia de diferentes guardas. ―La construcción de estas guardas implica una secuencia ordenada de trazado del hilo por encima o debajo de los hilos tensados en el telar (urdimbre). Esta secuencia que se repite una y otra vez, da como resultado una traslación geométrica que puede observarse en la prenda acabada‖ (Micelli y Crespo Crespo, 2011, p.11). Entre las figuras geométricas que pueden encontrarse se hallan, además de las poligonales abiertas que forman este zigzag o cerradas (rombos, paralelogramos, cuadrados, entre otros). Tejidos mayas Zigzag Rombos Rombos Paralelogramos Estrella Cuadro 3: Diseños textiles mayas En el territorio argentino, los Mapuches también tuvieron sus propios diseños cada uno con un significado (cuadro 4), por lo tanto puede decirse que tus tejidos estaban cubiertos de simbolismo. Puede observarse en estos diseños la presencia de figuras simétricas, como así también figuras concéntricas, que darían la idea de infinito, pues una está contenida en otra y así sucesivamente. Estos diseños geométricos (tantos de mayas, incas como también mapuches) se encuentran impregnados de ideas sobre el mundo y sus habitantes como así también sus creencias religiosas. 16 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación CRUZ Símbolo llamado Cruz Andina que en las culturas andinas es el más común y que significa la eternidad de dichas culturas. Generalmente, es un símbolo usado por el ―lonko‖ o jefe de una comunidad indígena. Símbolo del cosmos y el cielo. También representa aspectos de la vida no terrena. WENUMAPU Cuadro 4: Diseños textiles mapuches Cestería Por último, otra actividad que desarrollaron algunos de estos pueblos es la cestería. Entendiendo por cestería a la técnica que consiste en tejidos hechos con la fibra vegetales o de pajas. Mediante estos tejidos se confeccionan distintos objetos que pueden ir desde canastos, tapetes hasta mochilas. Canasto cilíndrico Canasto de base rectangular Tapete elíptico Cuadro 5: Objetos de cestería De la misma forma que se analizó los objetos cerámicos, la producción de la cestería puede estudiarse desde una mirada espacial como así también en el diseño geométrico de los motivos que presentan gracias al tejido de las fibras de distintos colores. Desde el espacio, puede decirse que la mayoría de estos canastos tiene una forma, cilíndrica aunque también se encuentra canastos de base rectangular aunque predominan los de fondo y tapa circulares, como puede verse en las imágenes del cuadro 5, aunque el círculo no es la única figura curva, sino que también se han encontrado fondos elípticos como se aprecia en el tapete del cuadro. Aunque los diseños formarán motivos con líneas escalonadas, puede asociarse a diferentes motivos geométricos. Algunos de forma escalonada (cuadro 6) debido al entrecruzamiento de las tramas, pero en otros la técnica de tejido es diferente y pueden observase motivos circular, como por ejemplo espirales. Diseños escalonados Diseños rectilíneos: zigzag Cuadro 6: Diseños geométricos presentes en la cestería Diseños curvos: espirales 17 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación En estos motivos también puede estudiarse transformaciones geométricas: traslaciones, rotaciones y simetrías. Estas transformaciones pueden encontrarse en la base, pero así también en la superficie lateral del objeto, con lo cual no estarían en un plano sino en una superficie curva mayoritariamente. Algunas actividades propuestas El trabajo que aquí se presenta tiene la modalidad de taller por lo tanto a continuación se detallan algunas de las propuestas que se realizarán en los dos encuentros. 1) ¿Cuáles son los movimientos geométricos que se pueden estudiar en los siguientes diseños basados en arte rupestre? Figura2: Doble reflexión especular (Belloli, 2008) 2) ¿Cómo puede asociarse los diseños rupestres con homotecias geométricas? Menciona ejemplos a partir de lo trabajado. 3) También se aprecian espirales que pueden presentarse solas o también se han encontrado espirales conectadas de diferentes formas ¿Qué movimientos geométricos transforman una especial en la otra? Figura 3: Esperiales contectada (Trejos, 2003) 4) Del Canamayté Cuadrivértice se puede obtener la proporción de varias formas o siluetas Comparen la proporción dada del cuerpo humano a partir del Canamayté, con el dibujo del ―Hombre de Vitrubio‖ de Leonardo da Vinci (1452–1519). ¿Qué conclusiones pueden extraer? Usando el Canamayté, los mayas lograron representar las fases de la luna. Inscriban el cuadrado del Canamayté en una circunferencia. ¿Cómo puede dividirse en 8 dicha circunferencia utilizando ese diseño? 5) González hace referencia a la doble reflexión especular, analiza dicha transformación en las siguientes guardas de los Diaguitas. 18 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación a) b) c) Figura 4: Doble reflexión especular (González, 1998, pp. 41-43) 6) El siguiente es un diseño de cestería realizado por la comunidad de Guacamayas, de Colombia. Analiza y realiza una construcción geométrica con compás que sea similar al diseño presentado. Conclusiones En el presente trabajo se ha analizado objetos realizados por distintas técnicas empleada por los pueblos originarios de América. En estos diseños (pintados, tejidos o estampados) puede verse patrones que se repiten con leves diferencias. Motivos donde aparecen poligonales abiertas y cerradas, líneas rectas o curvas, así como también triángulos, cuadriláteros (rectángulos y rombos) y circunferencias. Además de identificar las figuras geométricas que pueden asociarse, puede analizarse diferentes transformaciones geométricas donde prevalecen: las traslaciones y simetrías. Consideramos que estos diseños pueden llevarse al aula de matemática para poder utilizarlos como un recurso didáctico, llevando a la escuela conocimientos que surgieron en escenarios no académicos. Referencias Bibliográficas Belloli, L. (2008). La matemática de los aborígenes patagónicos. Chubut, Argentina: El Hoyo. Finkelstein, D. (2008). Textiles indígenas e interculturalidad en la Patagonia. En 3º Jornadas de Historia de la Patagonia. San Carlos de Bariloche, Argentina. Huapaya, E y Salas, C. (2008). Uso de las ideas matemáticas y científicas de los Incas en la enseñanza -aprendizaje de la geometría. 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Revista de Antropología Chilena 37(1), pp. 2135. 19 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación DE LO LINEAL A LO EXPONENCIAL Patricia Sureda Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECYT) Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires Tandil, Argentina. [email protected] Resumen Dado que las dificultades que presenta la conceptualización de lo no-lineal, y en particular el estudio delas funciones exponenciales, ya habían sido advertidas por los profesores durante el proceso de enseñanza, y documentadas por algunas investigaciones, en mi trabajo de tesis doctoral realizado bajo la dirección de la Dra. María Rita Otero, nos dedicamos a estudiar la conceptualización de cuatro grupo de alumnos del colegio secundario [15-16 años], cuando estudiaban el campo conceptual de las funciones exponenciales en una dinámica de estudio que priorizó la participación del alumno en la construcción del conocimiento. El análisis de los protocolos, que realizamos a partir de los constructos teóricos propuestos por la Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud (1990, 1996, 2005, 2007, 2008, 2010),nos permite por una parte, mostrar la estrecha relación entre la conceptualización, los sistemas de representación y los invariantes operatorios de los estudiantes; y por otra parte, reconocer a grandes rasgos,un proceso de conceptualización de la función exponencial, que comienza en las respuestas totalmente lineales y se va modificando progresivamente en una dirección primero no lineal, y finalmente exponencial. Aunque esta conceptualización no va más allá del nivel que Vergnaud denomina explicitable, es necesario advertir que la función exponencial es un concepto complejo, y que como toda conceptualización es una tarea de largo aliento que va más allá del tiempo que demandó su estudio en el colegio secundario. Introducción En un principio, las razones de ser de la función exponencial estaban fuertemente vinculadas al desarrollo y estudio de las tablas logarítmicas, pero con el desarrollo del cálculo infinitesimal se transformaron en potentes herramientas teóricas para la modelización de fenómenos relativos a la economía, la biología, la meteorología, el medio ambiente, etc. Finalmente, cuando el uso de la tecnología hizo innecesario el uso de las tablas logarítmicas, las funciones exponenciales y logarítmicas ya ocupaban un espacio relevante en muchas áreas de la matemática. Sin embargo, en la escuela secundaria, cuando la utilización escolar de las calculadoras científicas en las aulas, le quitó sentido a la enseñanza de las tablas logarítmicas, los profesores las dejaron de enseñar. Así, parecería que hay un período de tiempo en la década de los noventa donde la desaparición de las tablas logarítmicas afectó la enseñanza de las funciones exponenciales y logarítmicas en la escuela secundaría, aun cuando éstas nunca fueron quitadas del curriculum. Más tarde, en las últimas reformas educativas (1994; 2010) advertimos un intento, al menos desde el curriculum, por recuperar el sentido de la enseñanza de las funciones exponenciales y logarítmicas en la escuela secundaría, primero a partir de un marcado 20 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación énfasis funcional, y luego mediante su uso como modelos matemáticos. Este último abordaje presentó, y sigue presentando, dificultades de implementación que necesitan ser analizadas. Por ejemplo, la comprensión de modelos como el del crecimiento de la cantidad de dinero puesto a interés compuesto, el crecimiento de la deuda que genera el interés de una tarjeta de crédito; el avance de la epidemias en una población, como fue el caso de la pandemia del virus de la gripe A (H1N1) y del brote de cólera en Haití; o la durabilidad de los efectos de la radiación en el medio ambiente, producida en Japón por las roturas en los generadores nucleares con el reciente sismo; etc., requieren de esquemas exponenciales. Como consecuencia, la compresión de estos acontecimientos se obstaculiza si solo se dispone de esquemas mentales lineales, pues se asimilan los modelos no lineales a los lineales(De Bock, Van Doorem y Verschoffel, 2010; De Bock, Van Dooren; Janssens y Verschaffel,2002; De Bock, Verschaffel y Janssens, 2002; De Bock, Verschaffel y Janssens, 1998;Confrey, 1994; Karrer y Magina, 2000;Villarreal, Esteley, y Alagia, 2005; Sessa y Vilotta, 2008; Ramírez, Chavarría, Borbón, y Alpizar,2010). Los esquemas mentales lineales de las personas son el producto de un largo proceso de construcción que se inicia con su propia participación en situaciones cotidianas que requieren, en su gran mayoría, ser modeladas mediante variaciones lineales. Mientras que los esquemas no lineales, y en particular los exponenciales, son más complejos pues se apoyan parcialmente en las estructuras aditivas y multiplicativas. Pero dado que la escasa participación de las personas en este tipo de situaciones no colabora con su construcción, en el trabajo de tesis doctoral nos interesamos en analizar el proceso de conceptualización de los estudiantes de la escuela secundaria cuando estudian las funciones exponenciales por medio de situaciones problemáticas vinculadas a la capitalización de dinero puesto a interés compuestoen un plazo fijo. El análisis de cómo se capitaliza el dinero puesto a interés compuesto, o de cómo crecen los intereses de la tarjeta, resultan problemas que no sólo son socialmente relevantes, sino que además, resultan difíciles de conceptualizar para aquellos sujetos que solo disponen de esquemas lineales. Así, el abordaje de la función exponencial a partir de un problema de interés compuesto, no sólo permite que el alumno estudie la función exponencial con sentido, sino que además proporciona un contexto, que al poder ser abordado desde diferentes sistemas de representación y de variadas maneras, ofrece una buena cantidad de situaciones para su conceptualización. Conceptualización que estará ligada tanto al diseño de las tareas que compongan cada situación, como a los sistemas de representación que estén involucrados. Referenciales Teóricos La tesis integra dos referenciales teóricos, uno didáctico y uno cognitivo para estudiar la enseñanza de la función exponencial con sentido en la escuela secundaria, y su conceptualización. La Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 1999; 2007; 2009), brinda sustento a las decisiones relativas a la Actividad de Estudio e Investigación (AEI) en los procesos de topogénesis, cronogénesis y mesogénesis; y la Teoría de los Campos Conceptuales (Vergnaud, 1990; 2000; 2007) orienta el análisis de la 21 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación conceptualización. Un punto importante, es que en ambas teorías el concepto de situación tiene el carácter de tarea. Una Actividad de Estudio e Investigación es en principio una organización didáctica que genera un encuentro arreglado de los alumnos 𝑋 con un cierto saber, y esto con ocasión del estudio de una cuestión 𝑄 determinada. En otros términos, la AEI provoca la formación, en el seno de una clase [𝑋, 𝑌], y de un sistema didáctico S (X; Y; Q) la producción de una respuesta R. En forma esquemática: S(X; Y; Q) R Luego, como el sistema didáctico S(X; Y; Q) “fabrica” (notado por la flecha ) el medio M a partir de recursos ya existentes en sus entornos internos y externos, o a partir de recursos creados en su seno; y de que a partir de este “trabajo” (notado por la flecha ) en el medio, es que se va a elaborar y a validar R ; es posible reescribir la expresión de la siguiente manera: [S(X; Y; Q) M R]. Así, en la TAD, el sistema didáctico S ( X , Y ; Q) produce y organiza el medio M con el cuál, dialécticamente, engendra R. Un poco más tarde, Chevallard (2007: 33) explica que una AEI, es estructuralmente idéntica a una reorganización cuaternaria del estudio. Pues la AEI llevada a cabo llama en primer lugar a una síntesis, la cual se completa mediante un trabajo que consiste en ejercicios (en el verdadero sentido del concepto), así como en el estudio de problemas que prueba los límites de la organización matemática cuyos materiales técnicos y tecnológicos-teóricos se habrán producido en las AEI (o de una sucesión de AEI) y que la síntesis habrá acabado de hacer emerger, todo ello llama a los controles que son los que permitirán una evaluación. La evaluación tiene un doble objetivo, por una parte la organización del saber construido, y por otra parte la relación de la clase y de cada uno de los alumnos, con esta organización del saber. Así, el diseño de una AEI para la escuela secundaria debe estar compuesta tanto por las situaciones que permiten producir los materiales técnicos y teóricos de la organización matemática estudiada, en este caso las funciones exponenciales, como por las síntesis, los ejercicios y la evaluación. La Teoría de los Campos Conceptuales (TCC) propuesta por Vergnaud (1990, 1994, 1996, 1998, 2007a, 2007b, 2008, 2010) nos permite estudiar la conceptualización, entendida como piedra angular del desarrollo cognitivo. La conceptualización involucra una relación dialéctica entre las situaciones y los conceptos: las situaciones dan sentido a los conceptos y un mayor desarrollo conceptual del sujeto le permite abordar situaciones más complejas. Para analizar la conceptualización, que es a partir de los esquemas, es inevitable analizar la actividad, de la cual la conducta observable es una parte muy pequeña. Pero aunque el esquema no es una conducta, tiene la función de generar la actividad y la conducta en situación, y por eso es posible analizar la conceptualización de las funciones exponenciales, a partir del análisis de las conductas observables, en particular, de las resoluciones escritas de los alumnos cuando resuelven un problema. Por esta razón, es posible estudiar mediante 22 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación el análisis de las conductas, los esquemas que dirigen las respuestas de los alumnos en situación, y en particular los invariantes operatorios [IO] que hacen operatorio el esquema. Por otra parte, esta teoría postula que si estamos interesados en la enseñanza de conceptos, no debemos reducirlos a sus definiciones, pues es través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver como un concepto adquiere sentido para el sujeto (Vergnaud, 1990: 133). Así, la TCC define al concepto como un triplete de tres conjuntos: C (S; I.O; S.R): La referencia [S]: Es el conjunto de situaciones que le dan sentido al concepto. Para Vergnaud, una situación tiene el carácter de tarea. El significado [IO]: Es el conjunto de invariantes operatorios (conceptos en acto y teoremas en acto) sobre los cuales reposa la operacionalidad de los esquemas. Los conceptos en acto son categorías pertinentes, y los teoremas en acto son proposiciones tenidas como verdaderas. Los conceptos y teoremas se construyen en forma solidaria y pueden ser implícitos o explícitos; más o menos formales; y correctos o incorrectos. Su carácter de IO descansa en que hacen operatorio el esquema. El significante [SR]: Son los sistemas de representación. Es decir, el conjunto de las formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar simbólicamente el concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de tratamiento. El carácter pragmático de la construcción del concepto función exponencial, no permite reducir el significado, ni a los significantes, ni a las situaciones, pues el significado viene dado por ambos (Vergnaud, 1990). Por lo tanto, para estudiar el desarrollo de los conceptos relativos a las funciones exponenciales, es necesario considerar estos tres conjuntos a la vez. Aspectos Metodológicos Para estudiar el campo conceptual de las funciones exponenciales en la escuela secundaria diseñamos una AEI compuesta por diez situaciones de enseñanza, dos situaciones de síntesis, tres conjuntos de tareas y una evaluación. Por otra parte, y debido a que la conceptualización de un concepto está ligada tanto al diseño de las tareas que componen cada situación, como a los sistemas de representación, cada situación fue diseñada teniendo en cuenta cinco sistemas de representación [SR]: el SR Numérico [SRN] que refiere tanto a las tablas como a los cálculos con números; el SR Algebraico de Primer Orden [SRA1] que involucra aquellos procedimientos algebraicos en el que los parámetros se corresponden con la situación. SR Algebraico de Segundo Orden [SRA2] que refiere únicamente a las fórmulas que representan una familia de funciones; el Analítico-Gráfico [SRG] que refiere a la construcción gráfica en ejes cartesianos; y el Verbal Escrito [SRVE] que son las formas lingüísticas escritas. Luego de una prueba piloto, que realizamos en un cuarto año de la escuela secundaria, readaptamoshe implementamos el conjunto de situaciones en dos cursos de cuarto año (1516 años). Luego analizamos los protocolos, y a partir de él tomamos decisiones sobre el ajuste de la propuesta de enseñanza, que debido al nuevo diseño curricular fue necesario considerar también la reubicación de los contenidos en quinto año, e implementarlo en dos 23 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación cursos de quinto año (16-17 años). En total obtuvimos la resolución de 121 alumnos clase a clase, lo que hace un total de 1440 resoluciones.Esta recolección sistemática de los protocolos era indispensable, debido a que para el estudio de la conceptualización necesitábamos acceder a las primeras estrategias formuladas por los estudiantes. Cada intervención la registrábamos mediante un audio general. La implementación nos demandó dos meses y medio de clases, en una escuela de la ciudad que atiende a sectores urbanos medios. Allí llevamos a cabo el estudio piloto y las cuatro implementaciones. El análisis de los 1440 protocolos nos ha permitido describir el proceso de conceptualización en cinco etapas (Sureda y Otero, 2013) según se muestra en la tabla 1. Etapa Lineal Parcialmente No Lineal No Lineal Parcialmente Exponencial Exponencial Indicador Respuesta Lineal en todos los sistemas de representación. Respuesta No Lineal en por lo menos un sistema de representación. Respuesta No Lineal en todos los sistemas de representación. Respuesta Exponencial en por lo menos un sistema de representación. Respuesta Exponencial en todos los sistemas de representación. Tabla 1 La implementación realizada luego en quinto año mostró que el proceso de conceptualización de la función exponencial se desarrolló por las cinco etapas mencionadas. Al finalizar, se les dio a los alumnos un cuestionario para ser contestado en forma individual y anónima, cuyo formato fue tomado de Fanaro (2009). El último ítem era de respuesta abierta para que ellos expresaran su opinión acerca de las clases de matemática. De los 31 alumnos de Ciencias Naturales contestaron la encuesta 29, y de los 28 alumnos de Economía respondieron la encuesta 26. Esta encuesta permitió tener en cuenta la perspectiva de los alumnos al momento de analizar la gestión de la clase. La Gestión en el Aula Para poder llevar a cabo la AEI era necesario gestionar lo que Chevallard denomina la pedagogía de la investigación y del cuestionamiento del mundo en la clase de Matemática. En esta pedagogía, el lugar del profesor y del alumno en la clase, requieren ser radicalmente modificados. Así, el lugar del alumno, antes reducido a la aplicación de técnicas previamente enseñadas, requiere modificarse en una dirección que exige tomar decisiones, asumir la responsabilidad del propio aprendizaje, pensar con otros, etc. La modificación de la topogenesis, por ser una construcción didáctica, y cognitiva-afectiva que comprende nuevas responsabilidades para cada integrante del grupo de clase, requirió de un esfuerzo sostenido en el tiempo. Un dispositivo funcional al desarrollo de una clase de matemática con estas características, se materializó en un Acta de Compromiso y Estudio en Matemática (Otero, 2007) que atendía a las cuestiones afectivas, y mediante la cual se consensuaron las nuevas responsabilidades. Este consenso resulta esencial para que el alumno sea tomado en cuenta. Pero la nueva forma de gestionar el estudio molestó al principio a los alumnos, pues ellos no lograban lidiar con la incertidumbre y la ansiedad 24 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación que les ocasionaba resolver los problemas sin conocer las respuestas. A continuación se presentan dos de las opiniones que formularon los alumnos (figura 1 y figura 2): Figura 1 Figura 2 La primera respuesta caracteriza como muy chocante esta forma de enseñar y remarca el esfuerzo que implicaba hacerse cargo de su propio aprendizaje, al no contar con la explicación del profesor. Sin embargo sobre el final afirma que prefiere esta forma de estudio y no la tradicional. El segundo alumno hace referencia a la importancia de los grupos en la resolución de las situaciones, ya que cuando no entendía les podía preguntar a ellos. Con respecto a la falta de explicación por parte de la profesora comienza quejándose, pero sobre el final reconoce que ésta lo hacía por su propio bien y que las clases estuvieron buenas. Eran diferentes. Estos protocolos nos permiten advertir lo difícil que les resultó a los alumnos el cambio, a la vez que nos permite destacar que a pesar de las dificultades, lo prefieren. Así, sobre el final la mayor parte de los alumnos aceptaron el desafío, y mejoraron su desempeño. Al terminar la AEI, casi la totalidad de los alumnos manifestó la importancia de permitirles pensar por sí mismos y equivocarse. Algunos resultados del Análisis de la Conceptualización Las etapas que se distinguieron en el análisis de la conceptualización son cinco según se describen a continuación. En las etapas: lineal, no lineal y exponencial; se muestran los teoremas en acto característicos a la etapa en cada SR. En las etapas parcialmente no lineal y parcialmente exponencial, no se muestran tablas pues los teoremas en acto, serán alguno de los ya descriptos en las otras etapas. Los teoremas en acto son una reconstrucción del investigador a partir del análisis de las respuestas de los alumnos. Esto implica que son una etiqueta. Como tal los teoremas en acto de los alumnos, que muchas veces son implícitos e 25 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación inconscientes, no son necesariamente literalmente igual al teorema enunciado. Pero sin duda, lo son en el significado. Lineal: Son aquellas producciones que son lineales en todos los SR. Los teoremas en acto lineales para cada SR son los que se muestran en la tabla 2: “La variable dependiente aumenta o disminuye lo mismo cada vez” “La expresión algebraica es 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Donde 𝑥 es la variable independiente; 𝑚 es la pendiente y 𝑏 la ordenada al origen” SRG “La representación gráfica es una curva recta creciente o decreciente” SRVE “Una función es lineal porque la gráfica es una recta” SRN SRA1 Tabla 2 Este tipo de resolución evidencia un sistema de esquemas lineales complejo y completo que se expresa en todos los sistemas de representación. Aunque los teoremas en acto utilizados en los distintos SR se centran en diferentes aspectos de la linealidad, la tabla evidencia que son coherentes entre sí. Parcialmente No Lineal: La respuesta es parcialmente no lineal cuando la resolución es no lineal en al menos un SR, y lineal en el resto. En la figura 3 se muestra como ejemplo de esta etapa, la resolución de un alumno a la primera situación. Situación 1: Un grupo de chicos tiene $12000 para su viaje de egresados y los quieren poner en un plazo fijo a interés compuesto por 30 meses, que es el momento de viajar. Se averiguaron las tasas de algunos bancos y se sabe que: La tasa mensual del Banco 1 es de 0,011 y les permite tener $12132 cumplido el primer mes. La tasa mensual del Banco 2 es de 0,012 y les permite tener $12144 cumplido el primer mes. La tasa mensual del Banco 3 es de 0,013 y les permite tener $12156 cumplido el primer mes. a) ¿Cómo calcularon los bancos ese primer mes? b) Realiza un gráfico aproximado de la variación del dinero en cada banco; calculando al menos tres valores. c) ¿A qué función corresponde la representación gráfica que dibujaste? 26 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 27 Figura 3 En general los alumnos respondieron en forma no lineal en el SRN y linealmente en los demás. Ellos calcularon recursivamente el interés simple, de la siguiente manera. Banco 1 Mes 1: 12000 .0,011+12000=12132. Mes 2: 12132 .0,011+12132=12265,452. Esta acción, germen de una acción exponencial, les permite obtener la capitalización compuesta. Para mostrar cómo varía la cantidad de dinero puesto a interés, dibujan tres rectas y luego afirman que graficaron una función lineal (Figura 3). Las repuestas dadas en los diferentes sistemas de representación son diferentes y contradictorias entre sí. No lineal: La respuesta es no lineal, cuando es no lineal en todos los SR pero todavía no es exponencial. Por ejemplo en el sistema de representación gráfico [SRG] la respuesta no es una recta, pero tampoco es una curva estrictamente creciente. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Los teoremas en acto no lineales para cada SR son los que se muestran en la tabla 3: SRN SRA1 SRG SRVE “El aumento se calcula sobre la cantidad inmediata anterior” “La fórmula es 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1,1% . 𝑥 . Donde 𝑥 es el Monto Anterior” “La representación gráfica no es una recta” “Si el aumento varía cada vez, no es una función lineal” Tabla 3 En esta etapa se advierte un cierto grado de explicitación, pues aun cuando los alumnos no logran la variación exponencial, ellos se dan cuenta de que la variación no es lineal. 28 Parcialmente Exponencial: Son parcialmente exponencial aquellas respuestas que son exponenciales en al menos un sistema de representación, pero no exponenciales en el resto. En las figuras 4, 5 y 6 se muestra como ejemplo de esta etapa, la resolución de un alumno a la segunda situación. En la situación dos se propone la tasa de interés de los tres bancos, el dinero obtenido luego del primer mes de capitalización, y una tabla que muestra la variación de la cantidad de dinero en el primer banco, para los primeros treinta meses. La tabla pone en evidencia que la cantidad de dinero no aumenta lo mismo cada mes, y tiene algunos casilleros vacíos que los alumnos deben completar. En la primera tarea el alumno debe completar los casilleros vacíos y proponer una fórmula. En la segunda tarea tiene que construir tablas similares para los otros dos bancos, y dar las fórmulas. En la tercera determinar dominio e imagen para que sean funciones. Luego, graficarlas en un sistema de ejes cartesianos dado y explicar la diferencia entre este modelo y el anterior. En la figura 4 se muestra cómo este alumno calcula y completa los casilleros usando un procedimiento no lineal. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 29 Figura 4 En la figura 5 se muestra que este alumno escribe la expresión algebraica 𝑀𝑓 = 𝑀𝑖 (1 + 𝑖)𝑡, a la vez que afirma ―si a cada monto lo multiplicamos por 1,011 obtenemos el próximo resultado‖. Esto muestra que la deducción de la fórmula fue generada a partir de la tabla. Figura 5 Luego en el SR gráfico, dibuja tres rectas (Figura 6). Así, este alumno resolvió en forma no lineal en el SRN, exponencialmente en el SRA1 y linealmente en el SRG. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 30 Figura 6 En esta etapa los teoremas en acto que dirigen la acción en los diferentes SR son contradictorios entre sí. Pero los alumnos no lo advierten. Así, el análisis muestra que en un principio las ideas exponenciales y no exponenciales coexisten. Por otra parte, muestra que comprender un problema en un sistema de representación y poder resolverlo, no implica su comprensión en otro, al menos cuando el conocimiento del campo conceptual es incipiente. Exponencial: Las respuestas son exponenciales, cuando son explícitamente exponenciales en todos los sistemas de representación. En esta etapa los alumnos logran diferenciar una función exponencial de una que no lo es, en los cuatro sistemas de representación [SRN, SRA1, SRG y SRVE]. Los teoremas en acto exponenciales para cada SR son los que se muestran en la tabla 4: SRN “El aumento se calcula sobre la cantidad inmediata anterior” SRA1 “La expresión algebraica es: 𝑓 𝑡 = 𝑘 . 𝑎𝑡 + 𝑏. Donde t es la variable independiente; a es la tasa de crecimiento; k la cantidad inicial y 𝑏 la asíntota horizontal” SRG “La representación gráfica de la variación es una curva estrictamente creciente o decreciente, que posee una asíntota horizontal” SRVE “Una función es exponencial porque la variable independiente está en el exponente” Tabla 4 El análisis de los protocolos muestra que la conceptualización de la función exponencial, es una tarea compleja que no se realiza en todos los sistemas de representación a la vez, y que demanda mucho más que los dos meses y medio que demandó la implementación, sobre todo si se quiere llegar a que los alumnos dominen el nivel que Vergnaud llama de formalización, en el proceso de explicitación de los invariantes operatorios (Vergnaud, 2007b:299). El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Conclusiones La base empírica, permite sostener la existencia de una progresividad en la conceptualización de la función exponencial, que va desde los esquemas totalmente lineales, hasta los totalmente exponenciales. No es posible afirmar si el proceso de conceptualización particular de cada alumno, transita necesariamente por cada una de las etapas. Si se ha encontrado que las situaciones que han sido dominadas con anterioridad tienen un peso fundamental en los progresos, retrocesos y recuperaciones del conocimiento que se producen durante dicho proceso. Por ejemplo, en el proceso de conceptualización de los alumnos de quinto año, que ya habían estudiado funciones no lineales, no se observan respuestas vinculadas a la etapa totalmente lineal. A su vez, la descripción muestra que entre la primera y última etapa, las respuestas de los estudiantes en la misma situación, y dependiendo del sistema de representación, están guiadas por invariantes operatorios diferentes. Es decir, esquemas diferentes, a veces lineales, a veces exponenciales. Esto muestra que cuando el conocimiento de un campo conceptual es incipiente, coexisten esquemas contradictorios entre sí para el mismo concepto. Pero, cuando el estudiante sólo estaba en posesión de esquemas lineales, los utiliza coherentemente en todos los sistemas de representación. Esto ha sido magistralmente tratado en la TCC por Gérard Vergnaud, quien ha formulado una definición del concepto como un triplete en la que los sistemas de representación tienen un papel central, aunque no excluyente. Esto resuelve el problema de la reducción de la matemática a un lenguaje, lo cual es falso, y habitualmente escuchado, a la vez que permite contemplar el papel innegable de los sistemas de representación en matemática y la complejidad que supone el dominio de un campo conceptual en esta área, pues los conceptos aparecen en distintos marcos (geométrico, analítico, funcional, etc.) los cuales, tienen cada uno asociados sus propios sistema de representación. En consecuencia, no existe ―el esquema exponencial‖ sino una variedad de esquemas exponenciales que son diferentes según el sistema de representación que se esté utilizando. El dominio pleno del campo conceptual de las funciones exponenciales, deberá involucrar en su enseñanza, los diferentes sistemas de representación ligados al concepto. Así, aunque la conceptualización es más que los sistemas de representación, el estudio del concepto de función exponencial en particular y de conceptos matemáticos en general está necesariamente vinculado con ellos. Finalmente es importante destacar que es posible realizar en las aulas actuales una enseñanza basada en situaciones, un a pesar de las dificultades que conlleva al principio, a profesores y alumnos, adaptarse a una enseñanza en la que cada actor debe tomar lugares tan diferentes a los habituales. Sin embargo vale el esfuerzo, pues, en palabras de Vergnaud (1990: 133) es a través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver como un concepto adquiere sentido para el niño. 31 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Referencias Bibliográficas Chevallard (2009). La notion d‟ingénierie didactique, un concept à refonder.Questionnement et éléments de réponse à partir de la TAD. 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Argentina [email protected], [email protected] Niveles Terciario y Postgrado Palabras clave: Discurso didáctico. Creencias. Problemáticas. Resumen En la Diplomatura de Matemática Educativa (ME) del Instituto Superior del Profesorado (ISP) ―Dr. Joaquín V. González‖, la cual cumple su segundo año lectivo desde que iniciara en marzo de 2011, se ha implementado un sondeo en los alumnos de primer año sobre algunas cuestiones como las siguientes: el significado de la palabra enseñar, qué es una buena clase, qué es ser un buen alumno, entre otras. Al comparar las respuestas de los integrantes de ambas cohortes –profesores en ejercicio cursantes de la materia Perspectivas de la Didáctica de la Matemática-, se han observado ciertas semejanzas que tienen que ver con visiones y creencias comunes que son configuradas por el discurso matemático escolar (DME) en todos sus niveles: discurso disciplinar, discurso pedagógico-institucional, discurso curricular, discurso de los libros de texto y especialmente, el discurso didáctico profesional del docente de matemática. En la presente comunicación se muestran esas similitudes a la vez que se reflexiona sobre la repercusión de esas representaciones en su práctica textual discursiva de aula -discurso didáctico-, como producto de una reconstrucción identitaria individual y colectiva que configuran esa práctica en todas sus dimensiones. Introducción Las respuestas de un sondeo que fue aplicado a los profesores de matemática, cursantes de las dos primeras cohortes de la Diplomatura de ME que se dicta desde 2011 en el ISP ―Dr. Joaquín V. González‖, han permitido analizar cómo el DME incide en el discurso didáctico de estos profesionales. Se pudo inferir que sus representaciones sobre enseñanza y aprendizaje de matemática, perfiles de un buen profesor y de un buen alumno de matemática, del motivo de capacitarse después de la titulación, entre otras, son incompatibles con las exigencias que deben afrontar en la praxis profesional prescripta en los diseños curriculares debido al tipo de formación de grado que han recibido. Asimismo, el DME con todas sus dimensiones, como configurador multidimensional de su identidad y de su práctica textual discursiva, pudo evidenciarse en el sentimiento de adhesión y filiación naturalizada que fue manifestado por la totalidad de los profesores ante una serie de enunciados y textos instruccionales de uso frecuente en el ámbito de la matemática educativa. 34 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Aspectos teóricos y fundamentación DME: Dimensiones y emergentes de la práctica social El DME, como elemento de análisis de la Socioepistemología, ha sido caracterizado como la regulación implícita o explícita de las interacciones y los saberes circulantes entre profesores y alumnos de matemática en la escuela. Por lo tanto, como todo discurso, conforma una práctica social por consistir, justamente, en el conjunto de las restricciones que norman el significado, el uso y los intercambios de esos saberes dentro de una comunidad. El DME está conformado por varias dimensiones o niveles: discurso disciplinar discurso pedagógico-institucional discurso curricular discurso de los libros de texto discurso didáctico profesional del docente de matemática Estas dimensiones del DME, como se mencionó anteriormente, son normativas de la actividad docente y por consiguiente repercuten en la práctica textual discursiva de aula de los profesores de matemática. Son la resultante de la reconstrucción de su identidad individual y colectiva y configuran todas las facetas de su discurso didáctico, el cual se materializa en sus enunciados. Los usos que hacen de los textos instruccionales los profesores de matemática en su praxis discursiva de aula también pueden analizarse en relación con las prácticas sociales pues se rigen por normas que regulan su diseño, su función y sus formas de circulación. Estas maneras recurrentes de generarlos y utilizarlos constituyen un espacio y un marco para su tarea, otorga significado y sentido a la comunidad que los emplea, están reglamentadas por el DME y son prácticas naturalizadas por estos actores, es decir que se reiteran y extienden en el tiempo y generalmente no son analizadas o cuestionadas. Modelo de formación divorciado de las exigencias de intervención Antes de analizar los hallazgos, es oportuno explicar que la teoría de las representaciones sociales elaborada por Moscovici en 1961 y ampliada posteriormente por varios autores, entre ellos Jodelet (1986), supone un producto y un proceso mental de reconstrucción de la realidad con la atribución de un significado específico para el individuo/grupo que se apropia de la misma. Según Abric (1997) una representación, como idea o reflejo de las relaciones complejas que establece un individuo/grupo con un objeto o fenómeno, se ubica en la intersección entre lo social y lo individual y queda conformada por informaciones, opiniones, actitudes y creencias –conscientes o no- y depende del contexto social, ideológico e histórico de referencia. La realidad, así representada, es apropiada (individual o grupalmente), reconstruida (mediante el sistema cognitivo de los sujetos) e integrada (a través de un sistema de valores). 35 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Una de las razones por las cuales a los alumnos de la Diplomatura sus textos instruccionales no les resultan efectivos con sus alumnos es que han tenido un tipo de formación en el nivel superior, donde aún prevalecen prácticas de enseñanza tradicionales perduran en los institutos de formación docente; se evidencian por simple observación de clases y de la mayoría de los materiales didácticos en circulación; sus causas exceden los objetivos de este trabajo-. Parafraseando a Douady (1986) se sintetizarían con la expresión aprendo/aplico en la que se aprecia un modelo de transmisión de conceptos y ejercitación posterior o aplicación para consolidar lo aprendido (ver Fig. 1). 36 Fig. 1 – Representaciones incompatibles (formación de grado vs. exigencia intervención profesional) Pero resulta que las exigencias actuales de intervención pedagógica que los diseños curriculares prescriben -de tipo resolviendo/aprendo- se confrontan con la formación tradicional que han recibido porque se corresponden con enfoques constructivistas. En esta incompatibilidad se aprecia una falencia en su preparación académica, que es necesario suplir mediante, por ejemplo, la formación de posgrado y a la que acceden motu proprio por estar conscientes de que carecen de conocimientos (ellos refieren carencia de ―herramientas‖) para afrontar los problemas cotidianos en sus aulas. Estos resabios formativos en la educación de grado que delinean tanto su identidad profesional como su necesidad de capacitación permanente provocan la contradicción observada al analizar los resultados del cuestionario al que fueron invitados a contestar. Se obtuvieron respuestas en las que prevalecieron las metáforas de transmisión en sus representaciones sobre enseñanza y características de corte constructivista, en cuanto al aprendizaje. Retomando las referencias teóricas ya expuestas, a partir de la manifestación de sus representaciones, estos profesores de posgrado han producido los significados necesarios para intentar comprender, evaluar, comunicar y actuar en su trabajo habitual, pero que no les son de mucha ayuda por los motivos explicados anteriormente. Las representaciones están en consonancia con un modo de pensamiento que se construye de manera mancomunada gracias a procesos de comunicación intergrupal. Esta manera de El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación pensar es de carácter práctico porque configura los comportamientos aceptados en cada comunidad y les permite adquirir gradualmente su propia identidad. Con sus representaciones han sintetizado y organizado la información circulante en su medio para interpretarla y poder participar de esa vida profesional. Han hecho conscientes tanto su identidad como su memoria para diferenciarse de los demás, para guiar sus actos en un proceso constructivo permanente de sus subjetividades. Todo este accionar se desarrolla en los escenarios de su vida diaria porque es allí donde se ratifican como individuos y confirman o no las expectativas que cada sujeto suele tener de cada quien gracias a intercambios y mutuas relaciones de interdependencia (de todo ello surge, por ejemplo su necesidad de hacer el posgrado). Análisis de los datos relevados Cuando se preguntó a los cursantes de la Diplomatura por las siguientes cuestiones respondieron de la forma que se comenta a continuación (ver Fig.2): 1. En cuanto a las condiciones necesarias en la personalidad de un ―buen‖ profesor de matemática, la mayoría manifestó lo siguiente: conocimiento, paciencia, saber escuchar y claridad en sus exposiciones. 2. Con respecto a las razones por las cuales concurrían a capacitarse después de recibidos, las respuestas más frecuentes poseían verbos y expresiones que denotaban carencia y necesidad: actualizarme, mejorar, adquirir herramientas para afrontar mi práctica, compartir experiencias con pares. 3. En relación con el significado de enseñar matemática, sus ideas más destacadas fueron: transmitir, ayudar, interesar, descubrir. 4. Acerca de cuándo se estaría frente a un ―buen‖ alumno de matemática, las características más mencionadas fueron: el que participa, reflexiona, persevera y cuestiona. Es interesante ver en las preguntas 1, 2 y 3 que para ellos mismos, aprender y enseñar supone prácticas de adquisición/transmisión/reproducción que podrían sintetizarse en ―vengo a que me transmitan lo que yo necesito para luego reproducirlo con mis alumnos‖. En este punto se hace evidente la no consciencia sobre cuáles son los enfoques de enseñanza y las teorías de aprendizaje que subyacen en sus respuestas y desde los cuales se posicionan –es oportuno aclarar que los profesores han visto en sus cursos de didáctica durante tránsito por la carrera de profesorado todos estos enfoques y teorías-. Asimismo, al relevar las respuestas a la pregunta 4 se comprende la influencia y presión ejercida sobre ellos por las directivas y recomendaciones didácticas presentes en cuadernillos elaborados por el Ministerio de Educación, diseños curriculares, los libros de texto en circulación, entre otros. 37 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 38 Fig. 2 – Respuestas más frecuentes sobre las visiones de los profesores de posgrado. Textos instruccionales, enunciados del profesor de matemática En consonancia con Lerman y Crespo Crespo (2010) y Lerman (2011), se define un texto como cualquier mensaje con sentido que haya sido emitido, de manera intencional a un interlocutor, tanto de modo escrito como oral, gestual o visual, teniendo presente que hasta la ausencia de mensaje, el silencio, puede ser interpretado como un texto pues igualmente puede estar comunicando algo. A pesar de que las tipologías textuales, por su complejidad, aún están discusión, un texto instruccional se corresponde, según la caracterización de Werlich (1975) con un formato textual de tipo directivo, por lo tanto es normativo, prescriptivo y directivo (aunque conativo también porque induce a realizar algo, se desea obtener una conducta del otro). En palabras de Bronckart (1997, cit. En Riestra 2008) se trata de objetos empíricos lingüísticamente organizados que buscan producir un efecto de coherencia en el destinatario. Según otras clasificaciones y con las cuales se está de acuerdo en este trabajo, los textos instruccionales son un subtipo de los textos descriptivos puesto que no se puede prescribir nada sin describir algo primero. Entre los más comunes, serán considerados los textos o enunciados que genera un profesor de matemática cuando expone a sus alumnos oralmente o en una guía de actividades, los que explican el desarrollo para la deducción de una fórmula, la detallan los pasos a seguir en un razonamiento dentro de una demostración de alguna propiedad, la explicitación de una técnica de resolución de un problema o ejercicio cuando el profesor enseña en el frente, por ejemplo; una recapitulación de la secuencia de pasos para describir un procedimiento o la construcción de una gráfica, de una figura geométrica, etc. Pero también los enunciados del profesor para resolver un examen escrito y las subsecuentes correcciones para los alumnos son considerados aquí como textos instruccionales que pueden observarse en la Fig.3. Al ser presentada esta figura en varias oportunidades a estudiantes de posgrado y a profesores en ejercicio, se ha podido constatar que los profesores reconocen como suyos a la mayoría de los enunciados allí incluidos y comentan que han sido destinatarios de frases o marcas similares en su vida estudiantil por parte de sus profesores formadores. Lo más curioso es que confirmen que actualmente los apliquen con sus propios alumnos sin hacer consciente que la mayor parte del proceso de evaluación que lleva adelante un profesor (selección de contenidos a evaluar, elección de los criterios de evaluación, formatos, El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación extensión y nivel de profundidad de lo que se debe resolver, grilla de corrección, puntajes a otorgar, etc.), en general no es explicitado al alumno que sólo le llegan en forma de párrafos cargados de connotaciones a los cuales reaccionan emocionalmente y que no aportan a una evaluación formativa sino de tipo calificativa. Al problematizar esa parte del proceso evaluativo que es imperceptible para el alumno y naturalizada por el profesor (que se denominará en este trabajo instancia de las ―reglas de peritaje‖), mediante un análisis exhaustivo de algunos de su presencia en los textos instruccionales más frecuentes de la Matemática Educativa, será posible comenzar a visibilizar aquello que no se explota lo suficiente como para obtener mejores resultados en las aulas pero se observa que es moneda corriente. Todos estos enunciados de los profesores deberían ser efectivos desde el punto de vista de la comunicación pragmática porque tienen repercusiones evidentes en el proceso pedagógico que se lleva adelante. En ellos subyace, aunque no siempre de manera explícita para el alumno, el sentido de las nociones tratadas y los procesos involucrados; más aún, tienen una incidencia muy alta en materia deóntica que rige modos de comportamiento en la vinculación pedagógica (qué es lo permitido, lo esperado, lo correcto, importante, etc. y, por supuesto, todo lo contrario). Fig. 3 – Textos directivos ―calificativos‖ propios del discurso didáctico del profesor de matemática Riestra (2008) se refiere a estos enunciados como consignas que se materializan dentro del discurso didáctico del profesor en el aula, organizan la enseñanza, facilitan la actividad de clase y comprueban su alcance gracias a sus capacidades planificativa, directiva y evaluativa, respectivamente. De lo manifestado por esta autora se infiere que dan un marco para la acción al docente, le permiten implementar lo planificado organizadamente y, al mismo tiempo, constatar la efectividad de ese accionar. Conclusiones En el sondeo realizado se han observado: - Semejanzas en las respuestas de ambas cohortes de profesores aún cuando provienen de contextos institucionales-formativos y laborales diferentes. 39 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación - - - - - Respuestas relacionadas con visiones y creencias comunes en un intento por configurar su identidad profesional y reconocerse como miembros de una comunidad que requiere capacitación continua. Estas necesidades surgen del quiebre entre la formación de grado recibida y las exigencias laborales actuales que responden a modelos de enseñanza y aprendizaje de diferentes tradiciones. Los resabios de formación influyen y delinean su identidad profesional e interfieren con el desempeño docente actual. Las presiones que reciben a diario provienen del DME en todas sus dimensiones y repercuten en su discurso didáctico dado que se trata de una práctica social que regula su actividad. Los usos de los textos instruccionales otorgan un espacio y un marco para la acción con significado y sentido para los profesores de matemática pero al estar desfasados debido a las visiones incompatibles sobre enseñanza y aprendizaje no resultan ser del todo efectivos y eficaces en su labor como desearían. Asimismo, el no reparar en la capacidad planificativa, directiva y evaluativa de sus enunciados, siendo estos, dispositivos concretos para la intervención didáctica; quedan sin cuestionar y sin la posibilidad de ser analizados en profundidad para mejorar su elaboración o reformulación y su uso efectivo. Referencias Bibliográficas Abric, J. (1997). Practiques sociales et representations. Psychologie sociale. Presses Universitaires de France: París Atorresi, A. (2005). Construcción y evaluación de consignas para evaluar la escritura como competencia para la vida. Enunciación 10, pp. 4-14. Bajtín, M. (1980). La costruxione dell‘enunciazione. En Il linguaggio come pratica sociale. Bari, Dédalo. Barnes, D. (1976). From comunication to curriculum. Londres: Penguin. Briggs, C. (1986). Learning how to ask. A sociolinguistics appraisal of the rol of the interwiew in social science research. Cambridge University. Cadzen, C. (1991). El discurso en el aula: El lenguaje de la enseñanza y del aprendizaje. Buenos Aires: A-Z. Douady, R. (1986). Dialéctica instrumento-objeto. En Recherches en didactiques des mathématique, 7, 2. París. La Pensée Sauvage, Grenoble. Lerman, N. y Crespo Crespo, C. (2010). Funciones lingüísticas predominantes en argumentaciones gestuales y visuales que se presentan en los escenarios de la matemática educativa. En Veiga, D. (Ed.). (2012). Acta de la IX Conferencia Argentina de Educación Matemática, (pp. 454-461). República Argentina, Ciudad de Buenos Aires: SOAREM. Sociedad Argentina de Educación Matemática. Lerman, N. (2011). Argumentaciones gestuales y visuales en escenarios escolares: su aprovechamiento en la construcción del conocimiento matemático. Tesis de maestría no publicada. CICATA-IPN, México. Riestra, D. (2008). Las consignas de enseñanza de la lengua. Un análisis desde el interaccionismo sociodiscursivo. Buenos Aires: Miños y Dávila. Silvestri, A. (1995). Discurso Instruccional. Buenos Aires: CBC-UBA. Werlich, E. (1975). Typologie der texte. München: Fink. 40 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación LAS INTERVENCIONES DOCENTES EN LA CLASE DE MATEMÁTICA Gloria Robalo ETR11. Argentina [email protected] Nivel Básico (7-12 años) Palabras clave: Intervenciones docentes. Resumen Una vez decidido el objeto matemático sobre el que se trabajará en el aula, el docente inicia una cadena de elecciones y decisiones que conducirán a que los alumnos puedan concretar el certero aprendizaje de las cuestiones vinculadas con ese preciso y ya seleccionado objeto matemático de enseñanza y aprendizaje. Sean estas cuestiones de tipo procedimental o conceptual, es seguro que las elecciones y decisiones del docente son las que van a determinar buena parte de los logros de los alumnos. Esas decisiones incluyen -entre muchas otras- la gran gama de intervenciones orales que el docente llevará adelante durante la clase misma. Durante el desarrollo del Taller trataremos de acercarnos a las respuestas a preguntas sobre las intervenciones docentes tales como: ¿Qué significa intervención docente para el maestro? ¿Realmente espera algunas respuestas y está listo para las otras? ¿Considera de antemano las respuestas que dará y las preguntas que hará, o espera que éstas surjan espontáneamente gracias a su criterio y experiencia? ¿Qué espacio da a la negociación de significados al tomar esas decisiones? ¿Es toda comunicación una intervención docente? ¿Son intervenciones docentes los saludos, las indicaciones de trabajo que no implican razonamiento ni quehacer matemáticos, las expresiones de adhesión, los comentarios ajenos a la labor matemática? Pensando en las intervenciones docentes Una vez decidido el objeto matemático sobre el que se trabajará en el aula, el docente inicia una cadena de elecciones y decisiones que conducirán a que los alumnos puedan concretar el certero aprendizaje de las cuestiones vinculadas con ese preciso y ya seleccionado objeto matemático. Sean éstas cuestiones procedimentales o conceptuales, es seguro que las elecciones y decisiones del docente son las que van determinando buena parte de los logros de los alumnos. La mayoría de las elecciones y decisiones se toman antes del ingreso al aula y resultan ser de diferente índole: significado del objeto matemático; situación fundamental y problemas asociados; ejemplos y contraejemplos; respuestas y producciones de los alumnos que se rescatarán; respuestas y producciones de los alumnos que se descartarán; preguntas que se realizarán en instancias de puesta en común; abordaje de definiciones o reglas; 41 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación problemas y ejercicios para la consolidación; tiempos de implementación general y específicos de cada situación o de cada problema; formas de evaluación para cada asunto a tratar; etc. Una gran variedad de elecciones y decisiones, entonces, se producen antes de la clase en una instancia de programación y anticipación. De la misma manera, existen elecciones y decisiones que deben tomarse a posteriori de la clase, pero hay una gran cantidad de elecciones y decisiones que se producen durante la clase y están vinculadas con el propio devenir de la actividad de aula. Justamente, esas elecciones y decisiones que se producen durante la clase son fundamentales para propiciar que el alumno construya conocimiento, para que lo consolide y para que lo utilice como punto de apoyo para nuevas construcciones. Las tareas que realiza el docente y enmarcan en la definición de intervención docente son muchas (Díaz, 2009): selección de contenidos y tareas, organización de la clase y de cada situación didáctica, anticipación de procedimientos y respuestas, evaluación de las situaciones didácticas y de los progresos de los alumnos. Sin embargo, nos centraremos en aquellas que se relacionan con los intercambios entre el docente y los alumnos y, precisamente, en ese sentido: del docente hacia el alumno. Para empezar, nos preguntamos varias cuestiones que pueden organizar algunas de nuestras dudas. 1) ¿Cuáles de las siguientes son intervenciones docentes? A) Ante un alumno que no da respuesta a la pregunta ―¿cuánto suman los dados?‖, el docente dice ―¿sabés contar? Fijate si te sirve‖ B) Ante un alumno que para resolver 30+40 elige dibujar 30 palitos y 40 palitos, el docente dice “¿pensaste en contarlos ahora?¿cuál es el resultado, entonces?” C) Ante un alumno que ha resuelto correctamente un problema, el docente dice “¡Muy bien!¡Así se hace!” D) Ante un alumno que ha resuelto correctamente un problema, el docente dice “¿De qué manera podés confirmar que está bien resuelto?” E) Ante un alumno que no da respuesta a la pregunta ―¿cuánto suman los dados?‖, el docente dice “sumá los dos valores y decime cuánto te da” 42 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación F) Ante un alumno que para resolver 30+40 elige dibujar 30 palitos y 40 palitos, el docente dice “si fuera 3+4, ¿qué harías?¿te sirve ese resultado?” Está claro que expresiones tales como B) y E) indican al alumno el procedimiento que debe emplear; otras, como C) no permiten al alumno validar su producción; mientras que A, D y F resultan ser expresiones que permiten al alumno construir un conocimiento, elegir un procedimiento de resolución o validar su producción, tres acciones que resultan fundamentales al momento de aprender. Justamente, las intervenciones del docente deben ser tales que aporten a la comprensión del problema que se está estudiando (Santos, 2009), dando pistas para la autocorrección (Santos, 2009) y la resolución y permitiendo desarrollar un nuevo aprendizaje que cuenta con significado para el alumno (Santos, 2009). Por otro lado, la intervención docente ―otorga pistas, guía, persuade y corrige los pensamientos y estrategias de los sujetos‖ (Baquero, 1995, citado por Colque, 2005 p87). Entonces, definimos intervenciones docentes como las interacciones que el docente realiza durante la clase, dirigidas a uno, a varios o a todos los alumnos, con la expresa intencionalidad de favorecer el empleo o la construcción de una noción protomatemática, paramatemática o matemática. Muchas de las intervenciones que lleva adelante el docente en una clase de matemáticas, son espontáneas y no siempre conscientes y voluntarias (Castro, 2007). Las intervenciones del docente deben ser tales que aporten a la comprensión del problema que se está estudiando, dando pistas para la autocorrección y la resolución y permitiendo desarrollar un nuevo aprendizaje que cuenta con significado para el alumno (Santos, 2009). Por otro lado, la intervención docente ―otorga pistas, guía, persuade y corrige los pensamientos y estrategias de los sujetos‖ (Baquero, 1995, citado por Colque, 2005 p87). Hacia una clasificación o hacia varias clasificaciones de intervenciones docentes A la hora de pensar en las intervenciones docentes, es necesario reconocer que existen diferentes situaciones en el aula que nos exigen pensar en intervenciones docentes diferentes. Por ejemplo, no es la misma intervención la que se hará frente a un alumno que no puede iniciar el trabajo que la intervención que el docente hará a un alumno que está avanzando correctamente en la actividad. Entonces, ¿para quiénes tenemos que pensar intervenciones diferentes? Tenemos que pensar diferentes intervenciones para alumnos que no pueden iniciar el trabajo alumnos que inician mal 43 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación alumnos que inician bien En cierta forma, estamos adhiriendo a la posición de Lezama (2003), que distingue dos categorías claras a la hora de clasificar las intervenciones docentes: interacciones de centración e interacciones de desbloqueo. Las intervenciones de centración están dirigidas a devolver al alumno o a los alumnos a la noción de trabajo en aquellas oportunidades en las que el alumno o los alumnos se dispersan de esa noción. El desbloqueo, por su parte, corresponde a aquellos casos en los que el o los alumnos se muestran detenidos frente a la resolución o construcción. Pensando en términos de la situación didáctica y no del proceder del alumno, podemos distinguir dos procesos en los que se potencian muy especialmente las intervenciones docentes: la devolución y la institucionalización (Díaz, 2009). En las situaciones vinculadas con la devolución, la tarea del docente es devolver al alumno el problema (Brousseau, 1988), es decir, devolverle la responsabilidad de resolver ese problema. Estas intervenciones, entonces, deben convertirse en parte de un proceso de negociación (Díaz, 2009) que debe sostenerse hasta el final de la situación didáctica. En el caso de la institucionalización, las intervenciones del docente deben tender a la organización de las producciones de los alumnos, la confrontación y el análisis de las mismas, tanto como el desprendimiento del conocimiento matemático del problema resuelto (Díaz, 2009). En ambos casos, el docente debe extremar cuidados con el fin de preguntar sin inducir respuestas (Díaz, 2009). ¿Cuáles son las características de las intervenciones docentes? Es importante que las intervenciones del docente atiendan a la diversidad de la clase de matemática en el nivel por lo que el docente deberá intervenir de manera diferente con cada alumno atendiendo a su producción (Díaz, 2009). Sin embargo, las intervenciones deben ser tales que permitan sostener la condición orgánica de la clase. Más precisamente, Santos (2009) establece ciertas condiciones para las intervenciones del docente: no deben señalar errores, ni corregir, deben propiciar que el alumno razone sobre lo que ha hecho y sobre cómo lo ha hecho. Las intervenciones del docente están estrechamente relacionadas con su capacidad para formular preguntas, hacer las preguntas adecuadas en cada momento (Santos, 2009), presentar ejemplos y contraejemplos apropiados, etc. Las preguntas no deben ser cerradas, ya que preguntas cerradas pueden generar en el alumno respuestas y hasta estrategias acertadas pero que no mejoren su comprensión (Santos, 2009). De la misma manera, la repetición de preguntas puede desencadenar en un cambio de respuestas que cierre el proceso sin mejorar la comprensión del problema o del asunto matemático en trabajo (Santos, 2009). Este tipo de cuestionamientos ayuda al alumno a ir desarrollando su propia capacidad de cuestionarse (Santos, 2009). 44 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Conclusión A lo largo de esta propuesta, hemos podido: a) Definir la intervención docente b) Clasificar las intervenciones docentes desde - La producción del alumno - La intencionalidad de la intervención - La situación didáctica c) Caracterizar las intervenciones docentes Naturalmente, será necesario profundizar cada una de estas cuestiones y hacer más específica al nivel cada una de las propuestas. Referencias Bibliográficas Brousseau, G. (1988). Los diferentes roles del maestro. En: C. Parra e I. Saez (comp) Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones (pp.65-94). México: Paidós. Castro, A (2007) Intervenciones docentes a propósito de la enseñanza de la matemática en el nivel inicial. En A. Castro, F. Osorio, M. Penchansky, M. Pugliese, M. Spravkin, G. Untoiglich y L .Pescetti. (compl.) Enseñar y entender a los niños pequeños (pp. 3149). Buenos Aires: Novedades Educativas. Colque, G. (2005). Etnografía Educativa y matemática en Caracollo. La Paz: Plural Editores. Díaz, A. (2009). Las intervenciones del docente. En A. Castro, A.Díaz, M. Escobar, A. Fernández, F. Penas, H. Ponce, M. Quaranta, B. Ressia de Moreno, I. Sancha, P. Tarasow, M. Urquiza, C.Vasches, S. Wolman. Enseñar matemática en la escuela primaria (pp. 29-31). Buenos Aires: Tinta Fresca. Lezama Andalón, F. (2003). Un estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas. Tesis de doctorado no publicada, Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional. México. Santos, L. (2009). La evaluación del aprendizaje en matemáticas: orientaciones y retos. En J. Giménez, L. Santos, J. da Ponte (coords.) La actividad matemática en el aula. Homenaje a Paulo Abrantes (pp157-168). Barcelona: Graò Editorial 45 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación IMPACTO DEL SISTEMA DE ADMISIÓN EN EL RENDIMIENTO ACADÉMICO Marta A. Correa Zeballos, Berta J. Chahar, Ricardo R. Gallo, Gregorio R. Figueroa, Mirtha A. Moya Universidad Nacional de Tucumán. Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia. Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Tucumán. República Argentina [email protected], [email protected], [email protected] Investigación Educativa Palabras clave: Evaluación. Ingreso. Sistema de Admisión y Nivelación. Resumen Hasta 2004, el ingreso a la Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la UNT era irrestricto. Esto traía como consecuencia un sobre dimensionamiento académico y administrativo de las cátedras de primer año y como consecuencia una elevada tasa de deserción en los inicios del año lectivo. Esto tenía a posteriori un impacto negativo en indicadores de rendimiento académico, entre otros: tasa egreso – ingreso, permanencia promedio, desgranamiento. Estos y otros fueron los disparadores para que se pusiera en marcha el ―Sistema de Admisión y Nivelación (SAN)‖. En los seis años de vigencia del SAN se observa: a) la tercera parte de los preinscritos no rinde el examen voluntario ni asiste a los cursos de nivelación, b) un reducido número aprueba el examen voluntario de las cuatro materias necesarias para ingresar, c) el número de ingresantes que aprobaron los cursos de nivelación es aproximadamente del 60 %. El objetivo de este trabajo es: ―Mostrar que el SAN mejora significativamente el porcentaje de alumnos regulares y el rendimiento académico en exámenes finales de Matemático I‖. Esta investigación se realiza con dos cohortes anteriores a la implementación del SAN y lo consideramos una indagación del impacto en el corto plazo. Los resultados indican, que la mejora es sustancial en el porcentaje anual de alumnos regularizados en Matemática I, como también el rendimiento académico en exámenes finales. A partir de este análisis se puede inferir que la selección previa realizada con el SAN es, desde este de punto de vista, positiva. Introducción En la Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la Universidad Nacional de Tucumán, el ingreso de estudiantes a primer año de las distintas carreras que se dictan en la misma era irrestricto hasta el año 2004. Esta modalidad traía como consecuencia un sobre dimensionamiento de las estructuras académicas y administrativas de las cátedras de primer año, en particular, y una elevada tasa de deserción, especialmente en los primeros meses del inicio de cada año lectivo. Obviamente que este hecho tenía a posteriori un impacto negativo en los indicadores de rendimiento académico como la tasa egreso – ingreso, tiempo de permanencia promedio en la Facultad hasta la graduación, desgranamiento, etc. Estos y otros fueron los disparadores para que se estudiara y se pusiera en marcha el ―Sistema de Admisión y Nivelación (SAN)‖, desde el año 2005. 46 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación A partir del SAN, para ingresar a la Facultad, se exige la aprobación de cuatro materias: Matemática, Física, Química y Biología. Como contrapartida de esta exigencia la institución, un mes y medio antes de la toma de los exámenes, les ofrece cursos de revisión y nivelación de los tópicos que serán temas de los exámenes en cada una de las asignaturas que deberán rendir. Los aspirantes pueden optar por un examen voluntario antes de iniciar los mencionados cursos. En caso de aprobar las cuatro asignaturas se consideran ingresantes a la facultad. De no aprobar, pueden asistir a los cursos y posteriormente rendir los exámenes obligatorios. En estos seis años de vigencia del SAN se observa que: a) la tercera parte de los preinscritos no rinde el examen voluntario ni inicia los cursos que les ofrece la Facultad, b) un reducido número de alumnos aprueba el examen voluntario de las cuatro materias para ingresar a la facultad, c) el número de alumnos que ingresan no supera el sesenta por ciento (60 %) de los que cursan las cuatro asignaturas. Un efecto inmediato de la puesta en marcha del SAN es la drástica reducción del número de alumnos en primer año, que pasó de más de mil alumnos ingresantes por año a no más de cuatrocientos y como lógica consecuencia el número de comisiones y el número de alumnos por comisión se redujeron notablemente. Por lo expuesto es que creemos se hace necesario plantearnos estudiar otros efectos no tan evidentes como los que acabamos de mencionar. En primer lugar será importante, cuando hayan pasado algunos años más que los ya transcurridos de vigencia del SAN, analizar si hubo cambios en los históricos indicadores de eficiencia globales de la Facultad, esto es lo que consideramos como la investigación de impacto en el largo plazo de la nueva modalidad de ingreso. Quizás con dos o tres años más de presencia del SAN se deba realizar una indagación del impacto de mediano plazo, analizando en el ciclo superior de las carreras si los indicadores de eficiencia cambiaron. Finalmente, una indagación de los efectos que este nuevo sistema tiene en los cursos de primer año, referidos a los porcentajes de alumnos regularizados y la eficiencia en los exámenes finales en, por ejemplo, Matemática I, que es la primera materia cuatrimestral que cursan los nuevos ingresantes, antes y después de la implementación del SAN, lo consideramos un estudio del impacto en el corto plazo. Objetivo Esta investigación tiene por objetivo: ―Establecer si el Sistema de Admisión y Nivelación, implementado en la Facultad de Bioquímica de la UNT desde el año 2005, mejora significativamente el porcentaje de alumnos regularizados y el rendimiento académico en los exámenes finales en la Cátedra de Matemática I‖. Es decir, este trabajo se ocupa solo de analizar el impacto de corto plazo del SAN. Marco Teórico La evaluación ha sido siempre un tema de gran importancia en la educación. Tanto la institución, los educadores, padres y alumnos son conscientes de las repercusiones del hecho de evaluar y ser evaluado. Esto está íntimamente relacionado con la necesidad de alcanzar determinado nivel de calidad educativa, de gerenciar adecuadamente los recursos, 47 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación el tiempo y los esfuerzos para alcanzar un mayor nivel de competencias tanto en el individuo como en la institución. La evaluación en gran medida determina lo que los alumnos aprenden y cómo lo aprenden. Por lo tanto es también una parte importante del proceso enseñanza- aprendizaje ya que, esta información aporta al proceso de retroalimentación hacia el docente, que deberá tomarla para realizar un ajuste del ―qué, cómo, por qué y cuándo enseñar‖. El objetivo prioritario de los alumnos es satisfacer la exigencia de los exámenes. El de los docentes es que la evaluación refleje la aprehensión y maduración de los contenidos que enseñan. Es importante enfocarnos en el concepto de evaluación: Evaluación es una actividad inherente a todo proceso intencional, como la educación, por lo que debe ser sistemática y su objetivo es valorarlo. Calificación es la valoración del logro de los alumnos. Este juicio de valor expresa el grado de suficiencia o insuficiencia en los conocimientos y habilidades del alumno por medio de una prueba o examen. Si la calificación no es usada para tomar alguna decisión respecto del proceso no existe una auténtica evaluación. Por lo tanto la evaluación es un proceso sistemático de identificación, recogida o tratamiento de datos sobre hechos educativos, con el objetivo de valorarlos y a partir de esto tomar decisiones. La evaluación en el ámbito educativo tiene una amplia aplicación no sólo al rendimiento de los alumnos, sino también a los programas educativos, la práctica docente, los centros educativos, el sistema educativo en su conjunto. La evaluación puede resultar un estímulo para la educación, para ello es necesaria una definición clara de los objetivos y las reglas y acciones para lograrlos como así también las posibilidades de recuperación en caso de fracaso. Encontramos que esta problemática es una preocupación constante y permanente en la agenda didáctica de docentes e investigadores. En este marco permanente de transición acordamos que el sistema de evaluación debe estar en concordancia no sólo con la propuesta curricular propiciada desde la cátedra, sino también con la concepción de enseñanza con la que trabajan los docentes en el aula y desde nuestra ya extensa práctica agregamos que debe atender también a las resoluciones y procedimientos que reglamentan la promoción de los alumnos y el currículum universitario en vigencia. Es decir, enseñanza, aprendizaje y evaluación son conceptos que se implican mutuamente, se alimentan, se solidarizan y se nutren unos de los otros. Estas actividades traen aparejadas además las posibilidades de reflexión y retroalimentación de cualquier secuencia de enseñanza y aprendizaje donde juega un papel importante la evaluación. Celman, S. (1998) señala que las prácticas evaluativas se entrelazan en el interior mismo del proceso total y destaca que la evaluación no es ni puede ser un apéndice de la enseñanza ni del aprendizaje; no debe ser concebida como último acto desprendido de las acciones propias de la enseñanza y el aprendizaje. La misma autora (1998), a la que hicimos referencia en el párrafo anterior, también expresa que las diferencias entre las distintas nociones de evaluación educativa radican básicamente en la concepción de educación que se tenga y que esas diferencias se centran en la tarea del 48 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación evaluador, en lo que se evalúa, en el para qué evaluar. Destaca que es impensable un concepto de evaluación que no tenga en cuenta al sujeto, el objeto y práctica de la evaluación. Además refuerza la idea de evaluación educativa, participativa, democrática, tendiente a la comprensión favoreciendo así la formación de docentes críticos y comprometidos. Entre las tendencias actuales sobre evaluación encontramos las que hacen referencia a las formas explícitas de la evaluación, nos centramos en las opiniones de Lipsman, M. (2004) cuando aclara que es importante que los criterios de evaluación sean transparentes, que proporcionen a todos la igualdad de oportunidades y que tales criterios sean públicamente conocidos por los alumnos y que los juicios de valor sean actos de negociación explícita entre todos los implicados. Así mismo remarca y argumenta la idea de que no se puede encontrar un método que se consiga aplicar globalmente, exacto y que dé cuenta fehaciente de las competencias adquiridas por los alumnos y sus procesos de aprendizaje. Giménez Uribe y Samoluk (2007) plantean cinco dimensiones básicas de la evaluación relativas a los cuestionamientos que siempre han dado lugar a diferencias respecto de la definición de evaluación. Ellos distinguen: a) El momento en que se realiza la evaluación que está relacionado con el ―cuándo evaluar‖ y distinguen tres tipos de evaluaciones: la inicial, la continua y la final. b) Los objetivos de la evaluación, que está relacionado con el ―para qué evaluar‖ y se distinguen tres tipos de evaluación: la evaluación diagnóstica; la formativa y la sumativa. i) diagnóstica: se realiza al comienzo del curso académico, de la implantación de un programa educativo, del funcionamiento de una institución escolar, etc. Consiste en la recogida de datos en la situación de partida. Es imprescindible para iniciar cualquier cambio educativo, para decidir los objetivos que se pueden y deben conseguir y también para valorar si al final de un proceso, los resultados son satisfactorios o insatisfactorios. ii) formativa: la evaluación se utiliza preferentemente como estrategia de mejora y para ajustar sobre la marcha, los procesos educativos de cara a conseguir las metas u objetivos previstos. Es la más apropiada para la evaluación de procesos, aunque también es formativa la evaluación de productos educativos, siempre que sus resultados se empleen para la mejor de los mismos. Suele identificarse con la evaluación continua. iii) sumativa: suele aplicarse más en la evaluación de productos, es decir, de procesos terminados, con realizaciones precisas y valorables. Con la evaluación no se pretende modificar, ajustar o mejorar el objeto de la evaluación, sino simplemente determinar su valía, en función del empleo que se desea hacer del mismo posteriormente. c) El evaluador, dimensión que está relacionada con el ―quién evalúa‖ y nos hablan de evaluaciones internas y externas como aquellas que son realizadas por los participantes del proceso de enseñanza-aprendizaje o por una persona o equipo ajeno o no partícipe de la enseñanza, respectivamente. 49 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación d) El objeto de la evaluación, dimensión relacionada con el ―qué evaluar‖: los aprendizajes de los alumnos, el desempeño del docente, los programas educativos, las instituciones educativas, entre otras. e) Instrumentos de evaluación o el ―cómo evaluar‖. Estos instrumentos deben adecuarse a los puntos anteriores, puesto que responderán de manera diferente de acuerdo a cual sea nuestro interés en la información que se recolecta. Por esto, debemos analizar, si el instrumento elegido es idóneo para nuestro propósito. Entre estos instrumentos mencionamos la observación, las entrevistas, los exámenes orales, los exámenes escritos, los trabajos en clase, las comunicaciones. Por otra parte, autores como Santos Guerra (1998) entienden que si bien el proceso evaluador es muy complejo, la evaluación desempeña algunas funciones generales, que clasifica como: de diagnóstico, selección, jerarquización, comunicación y formación. La lectura bibliográfica nos permitió consensuar el concepto de evaluación. Los debates internos en reuniones de cátedra pusieron de manifiesto que la evaluación es una parte fundamental del proceso de enseñanza y aprendizaje, porque la lectura de sus resultados no sólo habla de lo aprendido o no por el alumno, sino también de la eficacia, la pertinencia, las competencias logradas o vacantes, la calidad del programa de estudios, el desempeño del docente en cuanto a criterios de selección, organización y jerarquización de contenidos y actividades. Concertamos además que es posible conocer los alcances y limitaciones de un proyecto educativo a medida que se va ejecutando. De nada sirve hacer el análisis sólo al final, puesto que esto impide mejorar y revisar la práctica que se desempeña en el momento actual. Por otra parte, la revisión de nuestras prácticas nunca es fútil, trivial, o insignificante sino que nos da las herramientas para mejorarlas en el futuro. Pautamos que la evaluación debe mostrarnos los procesos de pensamiento, las habilidades cognitivas logradas y las que están ausentes, los grados de desempeño de los estudiantes, por lo que es muy importante no solo tener en cuenta qué evaluar, sino también cómo, cuándo y mediante qué instrumentos. Concluimos que el proceso evaluativo debe ser planificado de forma rigurosa y con conciencia, debe ser explícito, ofrecer alternativas, ser continuo y permitir la retroalimentación y corrección del proceso. Las actividades requieren de conocimiento y práctica referentes a datos y procedimientos de rutina; continuamos con prácticas referentes a la resolución de problemas típicos de la asignatura Proponemos actividades especiales para los alumnos que adhieran a un régimen especial de seguimiento de la cátedra. Hipótesis La hipótesis de este trabajo es que el nuevo sistema de admisión y nivelación implementado en la Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la UNT, donde los estudiantes deben aprobar los exámenes de Matemática, Física, Química y Biología para ingresar versus el ingreso irrestricto del sistema anterior, mejora sustancialmente el porcentaje de alumnos regularizados y el rendimiento académico en los exámenes finales en la asignatura Matemática I. 50 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Metodología Según Juan Samaja (1993), toda investigación científica se desarrolla bajo dos conceptos: a) La Matriz de Datos, que es una estructura cuatripartita compleja formada por la unidades de análisis, las variables, los valores y el procedimiento adoptado para obtener estos valores. b) El sistema de matrices de datos de una investigación, es decir la complejidad del conocimiento que se quiere aportar obliga a definir matrices centrales (una o más, llamadas matrices coordinadas) y en muchos casos es necesario diseñar matrices de nivel inferior (llamadas subunitarias) y también matrices de nivel superior a las centrales (llamadas matrices supraunitarias). Bajo este presupuesto el desarrollo de una investigación tiene cuatro fases: Diseñar, Llenar, Procesar e Interpretar Matrices de datos. Como el estudio que presentamos es del tipo ―antes y después‖, el trabajo se dividió en dos periodos de tiempo, entre los años 2003-2004, que corresponden a dos años del período de ingreso irrestricto en la institución y el período 2005-2010 correspondiente a la puesta en marcha del SAN. El estudio se divide en dos partes, una que mide el impacto del SAN en los porcentajes de alumnos regularizados y la otra que mide el impacto del SAN en los exámenes finales. En ambos casos la información fue obtenida de una fuente secundaria, pues se usaron los registros de sección alumnos de la Facultad. Para este trabajo se diseñaron cuatro matrices centrales, dos correspondiente al ―antes‖ y dos correspondiente al ―después‖, de la implementación del SAN. En el caso de las dos matrices centrales que muestran el rendimiento académico de los alumnos en los exámenes finales fue necesario definir matrices subunitarias, una para cada año de análisis. Las dos matrices centrales correspondientes al porcentaje de alumnos regularizados, una para cada período considerado, muestran como unidades de análisis los estudiantes cursantes de Matemática I de la Facultad, clasificados según sea el período considerado. En el ―Antes‖ se los divide en dos grupos, 2003 y 2004 y dentro de los mismos, se consideran los que regularizaron la materia al finalizar su desarrollo, lo que implica tener la asistencia exigida y la aprobación de los parciales y los que no consiguieron tal regularidad. De la misma manera se procede con el otro período el ―Después‖ y en este caso se consideran seis grupos uno para cada año desde el 2005 al 2010. Como variable se identifica a los alumnos que regularizaron o no en cada año del período considerado tomados sobre el total de alumnos inscriptos y cursantes. Las dos matrices centrales correspondiente al rendimiento académico en los exámenes finales, muestran como unidades de análisis los estudiantes regularizados de Matemática I (sin considerar recursantes), agrupados de la misma manera que se hizo con las matrices centrales de los alumnos regularizados, y dentro de cada grupo se consideran los alumnos 51 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación que aprobaron el examen final (con calificación cuatro o más de cuatro), los que no aprobaron el final (calificación menos de cuatro), y los que estuvieron ausentes. Como variables se identifican a los alumnos que aprobaron o no el examen final y los que estuvieron ausentes en cada año del período considerado tomados sobre el total de alumnos inscriptos para rendir el examen final. a) Impacto del SAN en los porcentajes de alumnos regulares en Matemática I. En las Tablas 1 se muestran los valores del total absoluto y porcentual de alumnos regulares y no regulares correspondientes a los años bajo estudio antes de la implementación del SAN. Mientras que en la Tabla 2, se presentan los mismos elementos pero, en este caso, para los años del periodo con implementación del SAN. En la Tabla 3 se dan los valores del total absoluto y porcentual de alumnos regularizados y no regularizados pero agrupados en totales para cada período considerado. Tabla 1. Matriz central. Porcentajes de alumnos regulares en el período 2003-2004 2003 Alumnos Regulares Alumnos no Regulares Total 2004 Totales 380 % 51 Totales 378 % 46 358 738 49 100 446 824 54 100 Fuente: Sección Alumnos de la Facultad de Bioquímica Tabla 2. Matriz central. Porcentajes de alumnos regulares en el período 2005-2010 2005 Alumnos Regulares Alumnos no Regulares Total 2006 2007 2008 2009 2010 Total % Tota l % Tota l % Tota l % Tota l % Tota l % 320 64 292 69 297 71 197 47 193 53 181 55 183 503 36 132 54 124 29 220 53 168 47 148 45 100 424 100 421 100 417 100 361 100 329 100 Fuente: Sección Alumnos de la Facultad de Bioquímica Para poder realizar el estudio de tipo antes y después se hace necesario combinar los dos períodos como lo muestra la siguiente tabla y a su vez mostrar el porcentaje de alumnos regularizados antes y después del SAN. Tabla 3. Porcentajes de alumnos regulares en los períodos sin y con SAN 52 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 2003 - 2004 Alumnos Regulares Alumnos no Regulares Total 2005 - 2010 Totales 758 % 49 Totales 1480 % 60 804 1562 51 100 975 2455 40 100 Fuente: Sección Alumnos de la Facultad de Bioquímica Para medir el nivel de significación del impacto que tuvo el SAN con respecto al porcentaje de alumnos regulares, se reorganiza la tabla 3 como se muestra en la tabla 4. Debido a que este estudio es de tipo retrospectivo, para medir la fuerza de asociación entre estas dos variables de tipo cualitativas dicotómicas (antes y después - regulares y no regulares) se usó el test estadístico inferencial denominado ODDS RATIO que proponen Graham, D., Everitt, B. (1995). Para realizar la comparación de los porcentajes de regulares antes y después de la aplicación del SAN se controló que los grupos sean homogéneos con respecto a ciertos factores que podrían tener algún impacto en este análisis. Es así que: 1) El plan de estudio para ambos períodos considerados se puede considerar invariante, puesto que hasta el año 2006 estuvo vigente el plan 1990, desde el año 2007 se reformuló dicho plan, pero los contenidos de la asignatura Matemática I no se modificaron, por lo que efecto plan queda descartado. 2) El régimen de cursado no cambió dado que la materia es cuatrimestral antes y después del SAN, por lo que efecto cursado no tiene influencia en los valores obtenidos. 3) Dado que el plantel de profesores, a cargo del dictado de los tópicos teóricos como el de los contenidos prácticos, no se modificó a lo largo de todos los años bajo estudio tampoco este efecto docente tiene influencia. Tabla 4. Alumnos regulares y no regulares en los períodos con y sin SAN Alumnos Regulares Alumnos no Regulares Total Con SAN 1480 Sin SAN 758 Total 2238 975 2455 804 1562 1779 4017 53 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación P o r c e n t a j e s 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Alumnos no Regulares 2003-2004 2005-2010 Períodos con y sin SAN Gráfico 1: Porcentajes de alumnos que regularizaron y no regularizaron en los períodos con y sin SAN El estadístico calculado es el ODDS RATIO con su intervalo de confianza I del 95% es el siguiente: OR = 1,610067 IC (95%) = ( 1,40501; 1,844996) Este valor para el estadístico, mayor que uno, y el correspondiente intervalo de confianza nos indica que hay evidencia significativa para concluir que el SAN tuvo un impacto positivo en el porcentaje de alumnos regulares. b) Impacto del SAN en el rendimiento académico de los alumnos en los exámenes finales. Para medir el impacto del SAN se considera el total de alumnos inscriptos en los exámenes finales en los años 2003 al 2010. Para este análisis se suprimen los alumnos recursantes. Para poder llegar a las matrices centrales fue necesario considerar matrices subunitarias, una para cada cohorte y se consideraron los alumnos aprobados desaprobados y ausentes en los distintos turnos de exámenes. Tabla 5. Matriz central. Porcentajes de alumnos aprobados, desaprobados y ausentes en los exámenes finales antes de la implementación del SAN Exámenes Finales 2003 2004 Aprobados 278(66%) 257(64%) Desaprobados 92(22%) 90(23%) Ausentes 51(12%) 51(13%) Inscriptos 421(100%) 398(100%) Fuente. Datos suministrados por sección alumnos de la Facultad de Bioquímica Tabla 6. Matriz central. Porcentajes de alumnos aprobados, desaprobados y ausentes en los exámenes finales después de la implementación del SAN 54 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Exámenes Finales 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Aprobados 269(53%) 273(56%) 242(65%) 279(66%) 234(70%) 200(68%) Desaprobado s 145(28%) 122(25%) 78(21%) 75(18%) 71(21%) 40(14%) Ausentes 95(19%) 95(19%) 54(14%) 71(16%) 30(9%) 55(18%) Inscriptos 509(100% ) 490(100% ) 374(100% ) 425(100% ) 335(100% ) 295(100% ) Fuente. Datos suministrados por sección alumnos de la Facultad de Bioquímica 55 Para medir el rendimiento académico se considera el siguiente índice de eficiencia definido como la razón entre el total de alumnos aprobados en los exámenes finales sobre el total de alumnos regularizados. Ap EfC i .100 con i = 2003, 2004,…,2010 R donde EfCi : eficiencia en los finales en la cohorte i; Ap: Total de aprobados en los exámenes finales en la cohorte i y R : Total de alumnos regularizados en la cohorte i. La siguiente tabla muestra el total de alumnos aprobados, regularizados y la eficiencia en los exámenes para las distintas cohortes. Tabla 7. Eficiencia en los exámenes finales 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Ap 278 257 269 273 242 279 234 200 R 380 378 320 292 297 307 263 237 EfCi 73% 67% 84% 93% 81% 91% 89% 84% Del análisis de la tabla 7 se observa que el rendimiento académico de los alumnos en los exámenes finales, medido a través de la eficiencia, mejora sustancialmente a partir del año 2005, período en que se aplicó el SAN. Conclusiones Por todo lo expuesto, y hasta lo que se pudo observar al finalizar este trabajo, podríamos concluir en forma provisoria, que la implementación de este nuevo sistema de admisión y nivelación en la facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la UNT, se puede considerar más eficiente que el tradicional ingreso irrestricto, respecto del porcentaje de alumnos que regularizan Matemática I, considerando que estos porcentajes se toman sobre el total de alumnos inscriptos y que están en condiciones de rendir, es decir tienen el porcentaje de asistencia exigido a clases prácticas. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación También se concluye que el SAN tiene un impacto positivo en el rendimiento académico en los exámenes finales, medido este a través del índice de eficiencia, el que mejora sustancialmente a partir del año 2005. No obstante el equipo de trabajo seguirá monitoreando los resultados y además prevé, cuando hayan transcurridos los años necesarios de vigencia del SAN, encarar los estudios de impacto de mediano y largo plazo a los que se hacen referencia en el último párrafo de la introducción de este trabajo. Referencias Bibliográficas Celman, S. (1998). ¿Es Posible Mejorar la Evaluación y Transformarla en Herramienta de Conocimiento? Buenos Aires: Editorial Paidós. Giménez Uribe, y M. Samoluk, M. (2007). Reflexiones Sobre Evaluación Universitaria. Posibilidades de Revisión y Mejora. Santa Fe: Mat. Didáctico UTN Graham, D. y Everitt, B. (1995). Clinical Biostatistics. New York: John Wiley & Sons Inc. Lipsman, M. (2004). La Innovación en las Propuestas de Evaluación de los Aprendizajes en la Cátedra Universitaria. Santa Fe: Ediciones UNL. Samaja, J. (1993). Epistemología y Metodología. Elementos para una Teoría de la Investigación Científica. Buenos Aires: EUDEBA. Santos Guerra, M. A. (1998). Evaluación Educativa. Un Proceso de Dialogo, Comprensión y Mejora. Buenos Aires: Editorial Magisterio del Plata. 56 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación ¿FORMAR EN ETNOMATEMÁTICAS AL FUTURO PROFESORADO? V. Albanese, M. L. Oliveras, F. J. Perales Universidad de Granada, España [email protected] Etnomatemáticas, Universitario Palabras clave: epistemológicas. Etnomatemáticas. Formación de profesores. Concepciones Resumen En el presente trabajo se delinean consideraciones sobre la factibilidad y oportunidad de realizar una propuesta de aula en cursos de formación inicial de profesores en Argentina, que considere una visión sociocultural del pensamiento matemático bajo la perspectiva de las Etnomatemáticas. El trabajo ha consistido en una revisión actualizada de la producción del área, los proyectos de Etnomatemáticas en el aula realizados en Latinoamérica; después, focalizándose en Argentina, se ha evaluado la conformidad del enfoque y de los propósitos del curso con las indicaciones legislativas vigentes y se han considerado investigaciones existentes sobre las concepciones epistemológicas de las matemáticas en Formación de Profesores. En la base de los anteriores objetivos subyace el indagar las posibilidades de encontrar Etnomatemáticas en manifestaciones de la cultura argentina, contexto en el que se puede reflexionar sobre matemáticas vivas. Presentación de la investigación En el presente trabajo se delinean consideraciones sobre la factibilidad y oportunidad de realizar una propuesta de aula en cursos de formación inicial de profesores en Argentina, que considere una visión sociocultural del pensamiento matemático bajo la perspectiva de las Etnomatemáticas. El curso que pretendemos diseñar tiene como tema central la reflexión sobre la naturaleza y origen de las matemáticas en un contexto práctico, esto es, la búsqueda y reconocimiento de etnomatemáticas en manifestaciones de la cultura argentina. El tema elegido y la metodología se focalizan en promover en el futuro profesor capacidades investigadoras, reflexiones epistemológicas y herramientas de planteamiento de un tipo de didáctica participativa y activa que facilite la construcción y contextualización sociocultural del conocimiento. Marco teórico Se parte del modelo MEDIPSA (Oliveras, 1996), fundamentado en cuestiones epistémicas, sociológicas y antropológicas, respectivamente, sobre la naturaleza del conocimiento, la raíz del fenómeno educativo y sobre todo el relativismo de lo real. La realidad no es única, se construye socialmente a través de diversas realidades contextualizadas en las distintas culturas. El ser humano no es separable de su estructura social y el conocimiento emerge en un contexto sociocultural porque un objeto (en su sentido más extenso) es conocido, 57 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación comprendido en función de la significación que el grupo cultural le atribuye socialmente, por lo que no puede ser abstraído o separado de dicho contexto (Oliveras, 1996). ¿Qué es Matemática? ¿Por qué Etnomatemáticas? En las últimas dos décadas la pérdida de universalidad de las matemáticas y la consideración creciente del condicionamiento del contexto sociocultural en sus prácticas ha dado impulso a un área de investigación, la Etnomatemática, cuyo iniciador fue el investigador y matemático brasileño Ubiratan D‘Ambrosio. Aquí consideramos una caracterización sociológica de las Etnomatemáticas con un matiz algo diferente respecto a la visión clásica de D‘Ambrosio (2008), que las entiende como: los modos, estilos, artes y técnicas (Ticas) de explicar, aprender, conocer, relacionarse con (Matema) el ambiente natural, social y cultural (Etno). Consideramos las etnomatemáticas como multimatemáticas vivas (Oliveras, 2006). ¿En qué sentido son multi y vivas? Creemos que las etnomatemáticas son multi porque especificamos tres distintos niveles de etnomatemáticas dependiendo del foco en el sujeto que las hace: 1) una forma personal-individual de pensar; 2) un producto social y cultural; 3) una ciencia. En su base hay personas que piensan y cada una tiene una forma individual de pensar matemáticas (nivel 1). Pero las personas viven, actúan e interactúan en un entorno sociocultural que condiciona sus formas de pensar, así que cuando ellas se agrupan crean una producción culturalmente elaborada que implica el uso consensuado de un sistema de normas y significados compartidos (nivel 2). Obviamente hay múltiples grupos y contextos donde las personas se juntan, y eso hace que se desarrollen múltiples productos socioculturales. Cuando aquellas son profesionales dedicados especialmente al estudio de las matemáticas, estas comunidades de expertos generan unos productos socioculturales que, por su formalidad, adquieren la connotación de ciencia (nivel 3). Hay que aclarar que los científicos no siempre crean la ciencia sino a veces validan, formalizándolos, los productos socioculturales de comunidades de no científicos para que logren la connotación de ciencia (Oliveras, 2006; D‘Ambrosio, 2008; Rosa y Orey, 2003). Estos procesos del pensamiento personal, de crear productos socioculturales y de generar ciencia, son procesos que fluyen en continua evolución, y siguen vigentes en la realidad cotidiana: es en este sentido que los consideramos vivos. En esta perspectiva la noción de cultura tiene un rol central. La cultura es ―lo que el hombre ha añadido al mundo, con el trabajo, la lucha creativa y recreativa.‖ (Geertz, citado en Oliveras, 1996). Sus manifestaciones se concretan en 1) mentifactos: la lengua, lo mítico, las tradiciones artísticas y el folklore, 2) sociofactos: aspectos vinculados a las relaciones entre individuos, 3) artefactos: aspectos de la tecnología material (Albanese, 2011; Gavarrete, 2009). El curso que pretendemos diseñar parte de todas estas concepciones, focalizándose en Etnomatemáticas. Objetivos El objetivo de este trabajo es evaluar la factibilidad y la oportunidad de realización de un curso de formación de profesores, con el enfoque epistemológico presentado. Se consideran los tres objetivos específicos: 58 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación O.1. Identificar, mediante una revisión actualizada de la producción del área, los proyectos de Etnomatemáticas en el aula realizados en Latinoamérica. O.2. Evaluar la conformidad del enfoque y de los propósitos del curso con las indicaciones legislativas vigentes. O.3. Establecer relaciones con las investigaciones existentes sobre las ―concepciones epistemológicas de las matemáticas‖ en Formación de Profesores. En la base de los anteriores objetivos subyace el indagar las posibilidades de encontrar Etnomatemáticas en manifestaciones de la cultura argentina, contexto en el que se puede reflexionar sobre matemáticas vivas. Metodología Se ha realizado una búsqueda bibliográfica relacionada con los objetivos específicos. Para el O.1 se ha realizado un Estado de la Cuestión que, sin tener la pretensión de ser completo, sí tiene la intención de dar una mirada a lo que se está desarrollando en varios países de Latinoamérica en el tema de las Etnomatemáticas llevadas a las aulas. Se ha decidido no considerar los trabajos realizados en Brasil por su singularidad. Ello se debe a la fuerte influencia que el desarrollo de la Educación Popular de Freire y a la presencia tan relevante de las Etnomatemáticas, que crearon un contexto muy diferente a lo de los países hispano hablantes. Además se ha llevado a cabo una búsqueda de trabajos sobre Etnomatemáticas en manifestaciones culturales relevantes de la cultura argentina. El propósito es disponer de un abanico de posibilidades que permita justificar el desarrollo de actividades didácticas basada en la búsqueda o reconocimiento de etnomatemáticas en este país. Para el O.2 se ha hecho un estudio de los documentos legislativos de la última reforma educativa argentina iniciada en el 2006 para averiguar si, según las Indicaciones oficiales, se consideran valorables el enfoque y las intenciones de nuestra propuesta. Además, para el O.3 se han considerado investigaciones precedentes sobre concepciones epistemológicas de los profesores y consideraciones sobre la relevancia y la oportunidad de inducir un cambio en estas concepciones. La búsqueda para el O.1 y O.3 se ha realizado en revistas científicas, actas de congresos realizados en Latinoamérica durante los últimos diez años, textos específicos e Internet a través de los motores de búsqueda www.google.com y www.scholar.google.com. Para el O.2 se han tomado todos los documentos oficiales publicados en la Web del Ministerio de Educación (http://portal.educacion.gov.ar), del Ministerio de Ciencias Tecnología e Innovación (http://www.educaciencias.gov.ar) y del Instituto Nacional de Formación Docente (http://cedoc.infd.edu.ar) de la República Argentina. Algunos hallazgos Etnomatemáticas y Educación en Latinoamérica La influencia de la Etnomatemática se puede ubicar a diferentes niveles del sistema educativo. Aquí consideramos solo los del nivel Universitario y de la formación de profesores inicial y continua, que consideramos más acordes con nuestros objetivos. 59 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación En México se desarrollan varios programas de Bachillerato Integral Comunitario, (BIC) que promueven una educación intercultural en los pueblos indígenas (Pérez Díaz, 2008), mientras a nivel de formación inicial de profesores en la Universidad Pedagógica Nacional del Distrito Federal existe una Licenciatura en educación indígena, donde se imparte un curso de Matemática y Educación Indígena que incluye un modulo de Etnomatemática (Universidad Pedagógica Nacional, 2010). En Colombia se lleva a cabo un seminario de Etnomatemática en la Universidad del Valle en Santiago de Cali, destinado a los estudiantes de la Licenciatura en Matemática y Física del cercano pueblo de Buenaventura (Aroca, 2010). Este es el trabajo más próximo al curso que nos proponemos desarrollar. En Venezuela se realiza una experiencia de capacitación en Etnomatemática a docentes de Educación Básica originarios de tres comunidades indígenas en el estado Amazonas (Martínez, 2012). Los docentes han llevado a cabo proyectos inspirados a objetos y prácticas propios de la cultura para el desarrollo de propuestas didácticas. En Costa Rica, el programa Siwä-Pakö promueve en 2011, a nivel de formación continua, un Bachillerato de I y II ciclo con énfasis en Lengua y Cultura Cabécar, donde se imparte un Curso de Etnomatemáticas para formar Maestros de Entornos Indígenas (CEMEI) (Oliveras y Gavarrete, 2012). El modelo concebido para este curso (MOCEMEI) es un referente de primer orden para este trabajo. En Argentina, en la Universidad Nacional del Noreste en Chaco, se realiza, a nivel de formación continua, experiencias de capacitación de docentes en Etnomatemáticas (Santillán y Zachman, 2009). Posteriormente, a nivel de formación inicial, se introducen en el tercer año del profesorado de matemática experiencias didácticas para reconsiderar la construcción del conocimiento matemático bajo una perspectiva sociocultural con enfoque Etnomatemático (Santillán, 2011). Etnomatemáticas en manifestaciones de la cultura argentina En Argentina hay investigaciones en Etnomatemáticas que constatan la presencia de Geometría en las danzas folklóricas (Sardella, 2004), en varias manifestaciones artísticas y decorativas de las culturas indígenas (Sardella, 2001) y en los diseños textiles de los pueblos originarios (Micelli y Crespo, 2011). Además hay varias formas de artesanías, tradicionales y urbanas (Fiadone, 2003; Servetto et al., 1998; Maronese, 2004) y, en algunas, como en las artesanías de trenzados (Osornio, 1934), se ha detectado presencia de Etnomatemáticas (Albanese, 2011; Castagnolo, 2012). La Ley de Educación e investigaciones precedentes En el año 2006 se aprueba en Argentina la ley de Educación Nacional, vigente en el momento de desarrollo de esta investigación, que imprime a todo el sistema educativo grandes cambios con la meta de otorgar homogeneidad a las políticas educativas muy diferenciadas que existían en el país. Ello conllevó una gran proliferación legislativa a nivel nacional y provincial y se instituye un ente coordinador que se ocupe de homogeneizar la 60 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación formación docente, el Instituto Nacional de Formación Docente (ISFD). Seguidamente exponemos lo más pertinente para nuestro trabajo. La constitución en el 2007 de la Comisión Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias Naturales y la Matemática (CNMECNM) responde a una de las prioridades de las políticas educativas puestas en marcha el año anterior. Del Informe Final de agosto del 2007 se infiere que el foco de las innovaciones se sitúa en asociar el proceso de educación, visto como construcción del conocimiento, al proceso que ha llevado a la construcción del mismo por parte de los científicos profesionales: se ―estima que una de las tesis centrales que debe orientar la enseñanza es que las ideas que produce la ciencia están indisolublemente ligadas con la forma en que son producidas‖ (CNMECNM, 2007, p. 10). La Comisión sostiene que la educación tradicional, que consiste en una trasmisión de conocimiento, ignora el proceso de la generación de las ideas por parte de la comunidad científica. Se apunta a que la educación siga el cambio de paradigma que ha llevado el pensamiento científico positivista hacia una concepción constructivista del conocimiento. Entonces se promueve la tesis de que ―la construcción del conocimiento científico en el aula debe reflejar de alguna manera la construcción del conocimiento científico por los investigadores profesionales‖ (CNMECNM, 2007, p. 11). En esta nueva concepción de la enseñanza ―el alumno elabora o construye en forma activa su conocimiento y deja de ser un recipiente pasivo a la espera de material que le llega de afuera. Y el docente debe convertirse en facilitador y guía de este aprendizaje activo de sus alumnos‖ (CNMECNM, 2007, p. 11). En el Informe se insiste también en la idea de recuperar la actividad de modelización que se relaciona con el desarrollo de la capacidad de abstracción, la experimentación y el trabajo en equipo. La Comisión alerta que las experiencias innovadoras ―se centran en el campo de las ciencias y solo unas pocas en el campo de la matemática‖ (CNMECNM, 2007, p. 19) y llama la atención sobre la necesidad de incluir contenidos curriculares socialmente significativos y contextualizados respecto a la vida cotidiana e incentivar la búsqueda y análisis crítico de la información. Además releva que en las innovaciones curriculares juega un papel fundamental la formación docente (inicial y continua). Otra fuente de reflexión es el documento que recoge los Núcleos de Aprendizaje Prioritarios (CFCE, 2006) relativos al nivel medio, o Tercer Ciclo de la Educación General Básica, por la materia de Matemática. Por Núcleos de Aprendizaje Prioritarios se entiende el conjunto de ―saberes centrales, relevantes y significativos, que, incorporados como objetos de enseñanza, contribuyan a desarrollar, construir y ampliar las posibilidad cognitivas, expresivas y sociales que los niños ponen en juego y recrean cotidianamente en su encuentro con la cultura‖ (CFCE, 2006, p. 12). En el documento se percibe la relevancia que adquiere la interculturalidad, advirtiendo que por cultura diversa no se entiende solo la de los pueblos indígenas, sino también la de gremios de culturas rurales y urbanas. Por lo tanto se promueve ―un enfoque intercultural que privilegie la palabra y dé espacio para el conocimiento, valoración y producción 61 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación cultural de poblaciones indígenas del país y de las más variadas formas de expresión cultural de diferentes sectores en poblaciones rurales y urbanas‖ (CFCE, 2006, p. 11). Se recomiendan contextos ricos y variados para promover el sentido crítico y la creatividad. Se nota la intención clara de complementar el, así dicho, saber universal, con los diversos saberes socioculturales hacia una integración equilibrada ―entre saberes conceptuales y formas diversas de sensibilidad y expresión; entre dominios y formas de pensar propios de saberes disciplinarios específicos y aquéllos comunes que refieren a cruces entre disciplinas y modos de pensamiento racional‖ (CFCE, 2006, p. 14). En los Lineamentos Curriculares Nacionales para la Formación Docente Inicial del 2007 (CFE, 2007) se insiste en la necesidad de que la práctica docente se realice en armonía con las dimensiones de los contextos socioculturales locales. El docente tiene que comprometerse a reflexionar, comprender y entonces vincular su enseñanza a las culturas y sociedades contemporáneas. Se entiende ―la docencia como práctica de mediación cultural reflexiva y crítica, caracterizada por la capacidad para contextualizar las intervenciones de enseñanza en pos de encontrar diferentes y mejores formas de posibilitar los aprendizajes de los alumnos‖ (CFE, 2007, p. 8). En este sentido el docente necesita ampliar su horizonte cultural más allá de los contenidos estrictamente curriculares, considerando las diversidades de contextos existentes a nivel local, para poder organizar situaciones de aprendizaje dialogando con la realidad, utilizando el contexto sociocultural como fuente de enseñanza y haciendo que los alumnos se involucren de manera activa en su propio proceso de aprendizaje. Se destaca la importancia de realizar actividades de campo en las escuelas y en la comunidad para desarrollar la capacidad de observación, análisis y sistematización de las informaciones relevadas: ―el campo de la formación en la práctica constituye un eje integrador en los diseños curriculares, que vincula (…) al análisis, reflexión y experimentación práctica en distintos contextos sociales e institucionales‖ (CFE, 2007, p. 17). Las prácticas, además que espacio de aprendizaje, tienen que ser ocasión de experimentar alternativas de actuación y de implementación de innovaciones. Pero también en las clases mismas del Instituto de formación es importante que se experimenten diferentes construcciones metodologías, que se vivan experiencias distintas de aprendizajes de las disciplinas, según el nivel y modalidad para el que se quiera formar el docente. La idea es que ―los futuros docentes tenderán a enseñar de la forma en que se les ha enseñado. Por ello, es importante favorecer la posibilidad de experimentar modelos de enseñanza activos y diversificados en las aulas de los Institutos‖ (CFE, 2007, p. 22). Esta última concepción es válida también por la matemática. Palabras de los mismos formadores en enseñanza de la matemática confirman que ―se enseña como se ha sido enseñado‖. Bajo la convicción que el aula del Instituto de formación docente juega el papel formativo de referencia en acto, los formadores manifiestan la intención de ―enseñar como después se quiere que enseñen‖ (Sessa, 2011, p. 67). A pesar de la sensibilidad al problema, hay casos en que se registra incoherencia entre la intención y la actuación de los formadores. Todo esto se desaloja de los resultados sobre la Encuesta para los formadores 62 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación de los Institutos de Formación Docente de las carreras de Profesorados en Matemática llevada a cabo en el 2009 por un equipo de especialistas en enseñanza de la Matemática, coordinado por la Doctora Carmen Sessa. Otro resultado de esta encuesta, interesante para nuestro trabajo, es que el 72% de la población de formadores del país (la muestra es de 696 formadores) se plantea el problema de presentar en sus clases alguna ―actividad artesanal y exploratoria para cada tema concreto y cada proceso de enseñanza (...) y de abordar procesos de formalización con participación plena de los alumnos a partir de la exploración‖ (Sessa 2011, p. 34). Más de la mitad de los formadores registra la relación de la Matemática con sus aplicaciones y reconoce esta ciencia como producto histórico y sociocultural. El 7% de formadores enfatiza sobre el rol activo de los alumnos, la importancia de la interacción colectiva en el aula, y la mirada crítica del docente sobre sus propias prácticas. Además la encuesta trata de cómo se imparten los cursos de Metodología de investigación recomendados por los Lineamentos. Los resultados destacan un panorama variado y fructífero que delinea la presencia de un espacio importante de reflexión sobre los procesos de enseñanza perfilados como ―asuntos a estudiar‖, que deja entrever una actitud positiva hacia la investigación educativa. Concepciones epistemológicas de los profesores De los cursos de Epistemología se debería vislumbrar cuánto llega a la clase de las actuales concepciones sobre la relación del pensamiento matemático con el contexto sociocultural en el que se desarrolla. La idea es que ―la Matemática es una construcción social, colectiva, y los resultados de la comunidad de matemáticos de una época, sus ―productos‖, son productos culturales‖ (Sessa, 2011, p. 134). Además la Matemática se considera parte de la ―cultura en la cual esa comunidad está inmersa y, al mismo tiempo, se reconoce condicionada por esa cultura en cuanto al tipo de problemas que enfrenta, los modos de trabajo y el tipo de regulaciones y normas‖ (Sessa, 2011, p. 134). Sin embargo, los resultados han marcado una tendencia diferente porque una buena parte de los formadores ha manifestado que este aspecto prevalece como una herramienta de motivación, mientras la dimensión histórica de la Matemática ofrecería una ocasión especial para presentarla como una producción social y cultural. Si se expone la multiplicidad de formas, procedimientos, enfoques o normas que son productos del proceso contextualizado en diversos momentos (situaciones históricas y geográficas), se priva a la Matemática de la connotación de conocimiento eterno y universal. En analogía se replantea la clase como un entorno donde se construye cooperativamente Matemáticas entendida como una producción, de impronta sociocultural, en evolución adentro del contexto. Por último señalamos la encuesta de Caputo y Denazis (2010) a docentes del Profesorado en Matemática de la Universidad Nacional del Noreste Argentino. Ellos destacaron que casi el 70%, de 35, muestra una marcada postura formalista, algunos más platónica, otros racionalista, mientras el restante poco más del 30% ―ostenta posturas propias de la posmodernidad, tales como que la validación del conocimiento científico se basa, no en la lógica de justificación, sino en el acuerdo y consenso de la comunidad científica 63 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación correspondiente, una tendencia al relativismo cognitivo (no existen verdades absolutas)‖ (Caputo y Denazis, 2010, p. 476). Conclusiones Consideramos que lo que hemos encontrado responde a los objetivos planteados. Con respecto al objetivo O.1, nombramos investigaciones precedentes que presentan experiencias de aula con base en la perspectiva Etnomatemática que desarrollan muchos aspectos interesantes y afines a nuestros propósitos, y cuyas metodologías y contenidos serán antecedentes importantes para nuestro futuro trabajo. Encontramos también evidencias de la presencia de Etnomatemáticas en manifestaciones de la cultura argentina e intuimos posibilidades de ampliar esta muestra. Con respecto al objetivo O.2, el curso resulta conforme a las directrices legislativas que promueven una visión constructivista de las matemáticas y la importancia del contexto sociocultural en su aprendizaje, y detectamos una clara invitación a intervenir en cursos de formación de profesores para promover estos elementos. Para las investigaciones sobre las concepciones epistemológicas de los profesores se intuye la necesidad de que se actúe en la formación con la intención de mostrar concepciones de las matemáticas que tengan en cuenta una impronta sociocultural de construcción contextualizada del conocimiento. Creemos poder llevar a cabo una propuesta de aula en perspectiva Etnomatemática, en tanto que no contradice a la legislación sino que coincide con sus principios fundamentales. En cuanto a la factibilidad de la misma, consideramos los aportes de las experiencias de las investigaciones realizadas, en Etnomatemáticas y en Formación de Profesores, muy valorables. Creemos que con estas experiencias previas disponemos de las herramientas conceptuales y metodológicas para crear un modelo contextualizado de un curso que se adapte a los requerimientos de las instituciones encargadas de la formación de profesores de matemáticas del país. Referencias Bibliográficas Albanese, V. (2011). Etnomatemáticas en Artesanías de Trenzado. (Tesis de Maestría no publicada). Universidad de Granada: España. Aroca, A. (2010). Una experiencia de formación docente en Etnomatemáticas: estudiantes afrodescendientes del Puerto de Buenaventura, Colombia. Educaçao de Jóvens e Adultos, 28(1), 87-96. Caputo, L. & Denazis, J. M. (2010). Algunas concepciones epistemológicas de docentes de un profesorado en matemática. En: Blanco, H. (Ed.). (2010). 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Correa J., Gonzalo F. Morales L. UTPL. Ecuador [email protected], [email protected] Palabras clave: Obstáculos epistemológicos. Obstáculos ontogenéticos. Obstáculos didácticos. Resumen El proceso educativo se lleva a cabo en un ambiente de relación entre personas. En esta relación, hay momentos en que una persona ejerce de emisor de la comunicación y otra persona lo hace como receptor de la misma. Los problemas de la comunicación pueden deberse al emisor, al receptor y/o al carácter del mensaje o información. Muchas veces la información recibida es bien comprendida por el receptor. Sin embargo, al extrapolar esa información, se aplica a situaciones en que ya no tiene validez, por lo que se cometen errores inductivos por parte del receptor. Son los errores de origen epistemológico. Si el receptor no ha llegado al grado de maduración que se requiere para comprender y asimilar una información, va a caer en errores de origen ontogenético, que solamente los superará madurando neurofisiológicamente, es decir, madurando en edad y madurando en el desarrollo intelectual. Finalmente, existen los errores de origen didáctico, los cuales se producen por una errónea información por parte del emisor, que bien pueden provenir del texto como del profesor. Introducción Un aspecto importante en la enseñanza de las matemáticas es el atinente a los obstáculos de diversa naturaleza que se presentan y que conducen a errores de diferente orden. Descubrir el origen y las características de esos errores permitirá encontrar caminos pertinentes para su eliminación, así como reorientar las acciones de aula con propuestas didácticas más apropiadas. Nos vamos a referir aquí a tres tipos de obstáculos relacionados con su origen, sin que esto signifique agotar todas las posibilidades. Ruiz (2 003), a más de señalar que la teoría sobre los obstáculos epistemológicos tiene sus raíces en la obra del filósofo y epistemólogo Bachelard (1 983), cita a Brousseau (1 998) como el primero que introduce la noción de obstáculo en la didáctica de las matemáticas. Tomamos de ella la clasificación para hablar de los obstáculos de origen epistemológico, los de origen ontogenético y los de origen didáctico. Obstáculos de origen epistemológico Los obstáculos de origen epistemológico están ligados al trabajo de construcción del conocimiento y los saberes matemáticos, especialmente aquellos que tienen que ver con la simbolización o, lo que llamaríamos, la sintaxis y la significación en matemáticas. El ―lenguaje‖ específico utilizado en un determinado campo se lo traslada y se lo aplica mecánicamente en otro campo. Veamos unos ejemplos. 66 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación La experiencia con números naturales nos lleva a concluir que el cuadrado de un número es mayor o igual que dicho número. Y en realidad, solamente para el 1 su cuadrado es igual, mientras que para los demás casos, el cuadrado es mayor que el número. Este conocimiento, que es correcto en este caso, se convierte en un error cuando se trata de números decimales positivos menores que 1, como el caso de 0,3 cuyo cuadrado es 0,09. Cuando se trata de la raíz cuadrada de un número se comete el error inverso, ya que se aplica el conocimiento correcto de que la raíz cuadrada de todo número natural es menor o igual que el número, a números decimales positivos menores que 1, en que ya no se puede decir lo mismo. Al enseñar la escritura de números fraccionarios mixtos, el profesor indica que el número cinco enteros y dos tercios se escribe así: 5 2/3. Mas, cuando se inicia el estudio del álgebra, una escritura como a b/c indica multiplicación de a por b/c, de tal forma que, siendo la misma estructura de simbolización en ambos casos, su significado es diferente, lo cual provoca una confusión persistente en los estudiantes no muy atentos a esa diferencia de significado. Quizás, entonces, sea más preciso escribir 5 + 2/3 que 5 2/3. En este mismo orden de cosas podemos hablar de la confusión entre expresiones como fx 2; f 2 x 2 ; (fx) 2; f(x); [f(x)] 2; f(x 2). Y también aquellas en trigonometría: sen x; sen 2 x; sen x 2 ; (sen x) 2; sen 2 x 2; sen (x + y); sen x + y; sen x + sen y; etc., o en los referentes a funciones logarítmicas: log (x + y); log x + log y ; log x + y ; log x n ; (log x)n ; L(x); L (x)n ; {L(x)}n ; etc., en que algunas formas son idénticas en su estructura pero tienen diferente significación o, son diferentes en su forma pero expresan lo mismo. No es raro que se repita continuamente el error de escribir (sen x)2 = sen 2 x 2 porque se toma como modelo la expresión (ab) 2 = a 2 b 2 . En sí mismo, se considera que la expresión sen x representa la multiplicación de dos cantidades: sen y x, como acertadamente ocurre con ab. En el estudio del álgebra ordinaria, los estudiantes llegan al conocimiento de que (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2. Este conocimiento, que es válido en ese campo, se convierte en un obstáculo cuando se refiere al campo de las matrices, pues se trata de una estructura algebraica diferente en la que no hay la propiedad conmutativa del producto de matrices. El estudiante deberá familiarizarse con los nuevos conceptos para entender que, en matrices, (A + B) 2 = A 2 + AB + BA + B 2 o que (A – B) 2 = A 2 - AB – BA + B 2 ; expresiones en la cuales los productos AB y BA no son, necesariamente, iguales y no se las puede reducir. También ocurre que si AB = O no necesariamente implica que A = O o que B = O, como sí ocurre en álgebra ordinaria. 67 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Al tratar los diferentes sistemas de numeración, surge también un obstáculo debido al manejo exclusivo de la base decimal, que conforma la idea de que el significado de los numerales es absoluto, lo que dificulta entender el significado de los símbolos en otra base. A un buen porcentaje de estudiantes les resulta incómodo entender un número como el 101 en base 2 porque están tan adaptados a leer en base 10 que funden en un solo concepto el número y el numeral. En aritmética surgen obstáculos del mismo orden en casos como: 3/7 + 2 en que se suma el 3 y el 2 y se coloca el mismo denominador 7. O en la suma 3/5 + 2/7 en que se suele sumar numeradores y denominadores entre sí, colocando como respuesta 5/12. En la literatura sobre juegos matemáticos se suele encontrar una alusión a un error debido al olvido de una restricción de la ley cancelativa de la multiplicación. Se trata de lo siguiente: Demostrar que 2 = 1. Para ello, se procede de la siguiente manera: Sea a = b. Multiplicando ambos miembros por a: a 2 = ab. Restamos ahora b 2 en ambos miembros y obtenemos: a 2 – b 2 = ab – b 2. Procedemos a factorar ambos miembros: (a + b) ( a – b) = b (a – b). Cancelamos el factor a – b en ambos miembros y nos queda: a + b = b. Si ahora hacemos a = b = 1, tenemos que 1 + 1 = 1, es decir, 2 = 1 que era lo que queríamos demostrar. Verdaderamente, la deducción es impecable. Solamente que hay un error epistemológico: la ley cancelativa tiene una restricción: no se puede cancelar el factor cuando es cero. Y, si hemos partido del supuesto de que a = b, entonces el factor a – b es igual a cero, con lo cual no hay cómo aplicar esta ley. Podríamos agregar los errores derivados de la concepción única de una operación, por ejemplo la resta no es sólo quitar, también puede entenderse como completar, no responde sólo a la pregunta ¿si a 7 le quitamos 5 cuanto queda? Sino también cuanto le falta a 5 para llegar a 7. Esto ocurre también con las demás operaciones inversas de división y raíz. En todos estos casos, los errores cometidos no se deben en manera alguna a falta de conocimiento. La razón de la confusión está más bien en la aplicación de conceptos, procedimientos, principios, leyes, axiomas, escritura y significados que son válidos en un campo, pero que se vuelven inaplicables en otros campos porque cambian de significación o porque hay restricciones. El grado de persistencia de estos errores es tal que se requiere de una reorientación igual de persistente que empiece por diferenciar de manera clara los conceptos, procedimientos, restricciones, involucrados y los campos en que son aplicables. Obstáculos de origen ontogenético Los obstáculos de origen ontogenético están ligados al desarrollo neurofisiológico de los sujetos (Ruiz, 2003). Según los estudios, especialmente de Piaget (1979), existe una evolución genética de las estructuras mentales mediante etapas diferenciadas pero continuas Así, por ejemplo, damos a un niño dos bolitas de pasta para modelar de las mismas 68 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación dimensiones y peso. A una de ellas se la convierte en una especie de salchicha. Pues bien, el niño cree que la cantidad de materia ha variado, al igual que el peso y el volumen. Hacia los 7 años admite la conservación de la materia. Hacia los 9 reconoce la conservación del peso. Y hacia los 11 años reconoce la conservación del volumen. Castelnuovo (1970) hace referencia a otra situación similar: se presenta al niño dos recipientes cilíndricos de vidrio iguales, conteniendo uno agua roja y el otro agua azul, al mismo nivel. Si se traslada el agua del segundo recipiente a un tercero también de vidrio pero más delgado, y si se le pregunta al niño si el primero y el tercer recipiente contienen la misma cantidad de agua, dirá que no. El sentido de conservación de la masa llegará a una edad de siete años, más o menos. Uno de los ponentes recuerda la conversación sostenida con un amigo en la que reclamaba la falta de comprensión de una profesora de los primeros años. La profesora había colocado en la pizarra un 5 pequeño y un 2 grande. Luego les preguntó a las niñas ¿cuál de los dos números es mayor? Las niñas contestaban que el 2 y la profesora no lograba hacerles entender que el 5 es mayor que el 2. Si la profesora hubiera comprendido que una cosa es el significante (es decir, el símbolo, el numeral) y otra es el significado (el número), hubiera estado en mejores condiciones de indicar la diferencia de categorías y conceptos y de afrontar la situación. Pero ahora veo algo que todavía en ese momento de la conversación no lo vi: al igual que la noción de conservación de la materia, debe haber una edad antes de la cual no será posible distinguir las nociones de significado y de significante y sería inútil pretender que los niños las comprendan, pues no se ha formado aún en ellos la estructura mental que permita hacer la diferencia. Con el paso del tiempo, estas nociones asoman en los niños de manera ―natural‖. Queda planteado este problema de tipo ontogenético para una investigación al respecto. Ruiz (2003) alude a un ejemplo propuesto por Briand, J, y Chevalier, M. C. (1995) referente a la conservación de las colecciones de los objetos, que dice: ―Dadas las dos situaciones siguientes: Colección A Colección A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Colección B Colección B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 alumnos de una determinada edad admiten perfectamente que, en la primera situación, las dos colecciones A y B tienen la misma cantidad de elementos, mientras que en la segunda, sólo por tener la colección B sus elementos más expandidos, les conduce a afirmar que la cantidad de elementos de B es mayor que la de A. En este caso, la percepción espacial de la colección se impone a la lógica numérica. Se trata de errores cometidos por alumnos que están en un estadio del desarrollo cognitivo caracterizado por la falta de conservación de las cantidades‖. 69 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Independientemente de las críticas que puedan hacerse a la teoría de Piaget, es claro que hay etapas de formación de las estructuras del pensamiento. Por ejemplo: no es posible que un niño de 7 años pueda realizar una argumentación abstracta, de tipo lógico-formal , así como tampoco es posible que un niño de dos años pueda comprender el concepto de número u oración gramatical. Obstáculos de origen didáctico Hay también obstáculos de origen didáctico. Son aquellos que se producen en el ejercicio y las decisiones del docente o en el tratamiento generalizado de ciertos temas, así como en la presentación de los temas en los textos escolares. Pueden surgir debido a la dificultad de explicación o a la falta de comprensión de los conceptos, las nociones, los procedimientos, etc., por parte de los docentes y de los autores. He aquí un procedimiento que provoca confusiones en los estudiantes y que se encuentra hasta en los textos de matemáticas. Se trata de la resolución de ecuaciones. Muy pocos profesores y muy pocos textos la explican desde los axiomas de las igualdades. Más bien se dan ―reglas‖ entre las que se cuenta aquella de que ―cuando se pasa una cantidad de un miembro a otro, se la pasa con signo contrario‖. En primer lugar, nunca se hace una distinción entre los signos de cantidad (+ y -) y los signos de operación (+, - , x, /, etc.). Así, el estudiante cambia el signo del coeficiente al ―pasarlo‖ de un miembro a otro y, de la igualdad 2x = 7, deduce la siguiente: x = 7 – 2, o también: x = 7 / -2. Una explicación más aclaratoria sería si a la regla se la enuncia así: ―cuando se pasa una cantidad de un miembro a otro, se la pasa con el signo de la operación contraria‖. O mejor aún: ―cuando se pasa una cantidad de un miembro a otro, se la pasa haciendo la operación inversa‖. Pero esto es solamente cortar el nudo gordiano y no resolverlo. El problema de fondo estriba en que se aplica una regla ―práctica‖ que elimina el razonamiento deductivo para introducir un concepto arbitrario que no tiene ningún apoyo matemático, lo cual trataré de explicar a continuación. Una igualdad matemática expresa la equivalencia de dos valores. Este concepto tiene un ejemplo o equivalencia física en el equilibrio de una balanza de dos platillos. Nuestra experiencia sensorial nos permite captar los axiomas que luego serán aplicados en la igualdad matemática, por ejemplo: si sumamos un mismo peso (o masa) a los dos platillos de la balanza, se mantendrá el equilibrio. Igual cosa si restamos pesos iguales en cada platillo. Axiomas que los podemos generalizar, con las restricciones del caso, de la siguiente manera: ―si hacemos una misma operación en los dos platillos de la balanza, se mantendrá el equilibrio‖. 70 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Ahora bien, es artificioso e incomprensible sostener que se pueda ―pasar‖ pesos de un platillo a otro sin que se altere el equilibrio. De cualquier manera que se haga ese ―pase‖. Y, consecuentemente, lo mismo ocurre con una igualdad matemática. La falta del conocimiento o del manejo de los axiomas de las igualdades ha hecho que se invente una regla ―práctica‖ que introduce tergiversaciones en los conceptos matemáticos. Claro que una regla como la indicada ayuda a salir del paso a los docentes. Pero genera conocimientos, conceptos y procedimientos totalmente alejados del correcto manejo de las matemáticas. Tomemos la ecuación 3x + 7 = 13. La analogía de esta igualdad con una balanza de dos platillos nos permite decir que en un platillo hay 3 pesas iguales desconocidas y una pesa de 7 unidades, mientras que en el otro platillo hay una pesa de 13 unidades. Podemos, entonces, retirar 7 unidades de cada platillo sin que se altere el equilibrio. Matemáticamente lo expresamos así: 3x + 7 – 7 = 13 – 7 que, luego de realizar operaciones, queda: 3x = 6. Si ahora tomamos la tercera parte de cada platillo, es decir, una de las pesas desconocidas en el primer platillo y la tercera parte de 6 en el segundo platillo, no se perderá el equilibrio de la balanza y lo expresaremos así: 3x / 3 = 6 / 3, es decir, x = 2. Las reglas ―prácticas‖ no expresan, muchas veces, lo que realmente se quiere que expresen. Y aun en el caso de que estén bien construidas, su utilización propende a un aprendizaje mecánico y memorístico, alejado del conocimiento ágil, razonado, metódico, deductivo, creativo, de las matemáticas. Una pequeña confusión en la aplicación de la regla y los resultados serán totalmente equivocados. Mientras que el conocimiento de los axiomas y el manejo adecuado de los mismos, permite, no solamente resolver acertadamente las ecuaciones, sino la formación de un razonamiento deductivo que podrá ser aplicado a diferentes circunstancias, habilitando al estudiante para que pueda llegar al estadio de desarrollo cognitivo que le corresponde. Podríamos poner también el ejemplo de la resta vertical, donde, cuando no alcanza la cifra del minuendo para restar la cifra del sustraendo se pide ―prestado‖ de la cifra siguiente, en el siguiente paso esa unidad que se pidió al minuendo se la devuelve al sustraendo aumentándolo en 1, lo correcto sería no hablar de ―préstamo‖ sino restarle 1 a la cifra del minuendo puesto que ya se la consideró para aumentar la cifra anterior. Otro error didáctico que podemos encontrar hasta en libros muy serios de matemáticas es el que se refiere a los ejes del plano cartesiano. Sabemos que el conjunto de los reales es un conjunto ordenado que va desde – hasta + , es decir, hay un solo sentido. Por otro lado, la recta numérica es una recta dirigida, por lo que tiene también un solo sentido de los 71 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación dos que puede tener una recta, lo cual se simboliza con una cabeza de flecha hacia uno de los lados. Convencionalmente, se ha considerado la escala horizontal o eje de las x con sentido hacia la derecha. Por lo tanto, solamente se debe colocar la cabeza de flecha hacia la derecha. Sin embargo, hay docentes y libros que colocan la cabeza de flecha en los dos sentidos, lo cual lleva a pensar al estudiante que los números negativos parten desde el cero y van hacia la izquierda y que los números positivos parten desde el cero y van hacia la derecha. Esto lo coloca al cero como doble punto de partida dando lugar a una construcción mental que lleva a equívocos como, por ejemplo, pensar que el – 8 es mayor que el – 3 porque está más distante de cero. Igual cosa ocurre con el eje vertical. En el tema de conjuntos podemos encontrar algunos errores como los siguientes: a) La determinación de un conjunto. Cuando se trata de determinar un conjunto, los docentes suelen proponer ejemplos como los siguientes: el conjunto de ideas de una persona; la naturaleza es un conjunto; el conjunto de agua de un recipiente. En ninguno de estos ejemplos se encuentra bien determinado el conjunto porque tampoco están bien determinados los elementos concretos que pertenecen al conjunto. b) La definición de conjunto infinito. Se suele confundir un conjunto infinito con un conjunto numeroso cuyos elementos no se avanzan a contar, es decir, la confusión se basa en la imposibilidad física de contar los elementos. Se propone, entonces, equivocadamente, el ejemplo de los granos de arena o el conjunto de las gotas de agua del mar como conjuntos infinitos. ¿Qué decir del conjunto de las estrellas del firmamento? ¿Es finito o infinito? La respuesta depende de si el universo es finito o infinito, respectivamente. Según cálculos de científicos, se ha llegado a determinar que el universo está constituido por alrededor de 1082 átomos. De ser así, el conjunto de las estrellas del universo sería finito, aunque su número sería sumamente grande. No solamente surge el error de confundir un conjunto numeroso con un conjunto infinito debido a la imposibilidad de contar sus elementos, sino también cuando se piensa que un conjunto está creciendo continuamente, lo cual es equivocado, ya que es necesario considerar estático al conjunto. Así, se da como ejemplo de conjunto infinito el conjunto de plantas del planeta, porque se piensa que continuamente está creciendo el número de ellas. c) La definición de subconjunto. El error proviene de confundir un elemento (que se lo debe considerar indivisible como elemento) y las partes de ese elemento cuando en un segundo momento se lo define como conjunto. Por ejemplo: si se considera el conjunto unitario A = {árbol}, es costumbre proponer subconjuntos como B = {ramas, raíces, frutos, flores} en donde el conjunto B sería: {partes del árbol}. Realmente solo se pueden determinar 2 subconjuntos de A: el conjunto vacío y el conjunto {árbol}. (Se supone que el conjunto A está bien definido puesto que se refiere a un árbol concreto. De otra manera, no estaría bien definido). La confusión proviene de considerar al árbol como elemento y como conjunto a la vez. 72 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación En este apartado, Ruiz hace alusión a que la presentación ostensiva que llevan a cabo los profesores de las figuras geométricas, constituye un verdadero obstáculo didáctico para los procesos de prueba y demostración en geometría. Los alumnos mantienen durante mucho tiempo una profunda confusión entre el simple dibujo que <muestra>, basta con mirar, y la construcción geométrica fundada en propiedades, proporciones y teoremas geométricos. (Ruiz, 2003, p. 54) Conclusión Los conocimientos que adquirimos conforman en nosotros ciertas estructuras mentales que nos permiten luego utilizarlos en situaciones similares. Pero esta extrapolación no siempre es satisfactoria y aplicable y caemos en errores que, al no ser detectados y rectificados tempranamente, se convierten en obstáculos difíciles de vencer y que indisponen el ánimo para continuar adelante. Estos errores son normales e inevitables y no debemos desalentarnos, especialmente nosotros como docentes. Lo correcto es enfrentarlos y descubrirlos. Así pues, cada vez que un estudiante nos dé una respuesta equivocada, busquemos qué y cómo es lo que ha entendido para poder reorientarlo adecuadamente. Ese análisis nos permitirá darnos cuenta del origen de ese obstáculo y proponer una explicación nueva que evite caer en el mismo error a nuevos estudiantes. En el caso de los errores ontogenéticos, debemos tener presente que no todos los estudiantes tienen el mismo ritmo de crecimiento y desarrollo cognitivo. La presentación paciente, profusa y detallada de ejercicios y ejemplos permitirá una maduración de sus estructuras mentales. Finalmente, los obstáculos de origen didáctico son los más lamentables, pues se supone que los docentes deberíamos estar preparados como para no caer en errores de esa naturaleza. En todo caso, la consulta en diferentes fuentes, los debates, los cursos de mejoramiento docente, la asistencia a eventos de todo orden, etc., nos ayudarán a rectificar nuestros errores y sustentar mejor nuestros conocimientos. Referencias Bibliográficas Bachelard, G. (1983). La formación del espíritu científico. México: Siglo XXI. Briand, J. & Chevalier, M. C. (1995). Les enjeux didactiques dans l‟enseignement des mathématiques. París: Hatier. Brousseau G. (1998). Théorie des Situations Didactiques, Grenoble, La Pensée Sauvage. Castelnuovo. E. (1 970). Didáctica de la matemática moderna (p. 23). México: Trillas. Piaget. J. (1979). Seis estudios de psicología (p. 72). Barcelona: Seix Barral. Ruiz. M. (2003). En Chamorro M. (Coord.) Didáctica de las Matemáticas (pp. 52 – 55). Madrid: Pearson Prentice Hall. 73 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación ANÁLISIS MATEMÁTICO I: HÁBITOS DE ESTUDIO E INTERÉS DE LOS ESTUDIANTES DE INGENIERÍA María Elena Schivo, Natalia Sgreccia, Marta Caligaris Grupo Ingeniería & Educación, Facultad Regional San Nicolás, Universidad Tecnológica Nacional. Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura, Universidad Nacional de Rosario. Argentina [email protected], [email protected], [email protected] Nivel Universitario Palabras clave: Material de estudio. Software libre. Motivación. Resumen Este trabajo forma parte de una tesis de Maestría en proceso en la que se ha propuesto realizar una experiencia en el aula para analizar la incidencia de ciertos recursos didácticos en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de Análisis Matemático I en carreras de Ingeniería de la Facultad Regional San Nicolás (FRSN) de la Universidad Tecnológica Nacional (UTN). La experiencia se llevó a cabo utilizando material didáctico interactivo confeccionado para este fin, con el software libre GEOGEBRA con la intención de favorecer la visualización dinámica de los conceptos fundamentales y propiciar la participación colectiva a través de la discusión teórica del tema tratado. Se aplicó en el curso de Ingeniería Electrónica, mientras que en la especialidad Mecánica se desarrollaron los mismos contenidos en forma tradicional (sin uso de software). En este trabajo se describe sintéticamente el proyecto de tesis y se presentan algunos resultados obtenidos en encuestas de opinión aplicadas a los alumnos, referidos al material de estudio que utilizan, el grado de dificultad que les presenta la materia, el interés que tienen por la materia, su participación en clase, algunos hábitos de estudio y dedicación fuera de la clase. Si bien se pudieron apreciar algunas mejoras en estos aspectos luego de la experiencia en aula, las mismas requieren continuar fortaleciéndose a partir de próximas implementaciones. Introducción Dentro de la formación básica de un futuro ingeniero, juegan un papel muy importante los conocimientos matemáticos y la forma en que se enseñaban antes pareciera no funcionar ahora. En la actualidad, no es igual el modo en que los alumnos acceden al conocimiento. Entonces, quienes enseñan Matemática para Ingeniería deben reflexionar acerca de la incorporación de innovaciones metodológicas en el aula. Este trabajo forma parte de una tesis de Maestría en Docencia Universitaria en la que se ha propuesto realizar una experiencia en aula para analizar la incidencia de ciertos recursos didácticos en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de Análisis Matemático I en carreras de Ingeniería de la Facultad Regional San Nicolás (FRSN). 74 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación La experiencia se llevó a cabo en el desarrollo de la unidad ―Derivada y aplicaciones‖, utilizando material didáctico interactivo de diseño propio. Se aplicó en el curso de Ingeniería Electrónica, mientras que en la especialidad Mecánica se desarrollaron los mismos contenidos en forma tradicional (sin uso de software). El objetivo de la experiencia es el de comparar los resultados en el aprendizaje de los alumnos de ambas especialidades y tratar de detectar cambios después de estudiar la unidad didáctica mencionada con y sin uso de software. Se pretende contribuir a optimizar la formación de los futuros ingenieros, analizando si con la incorporación de la tecnología como recurso didáctico, los alumnos: mejoran su rendimiento académico; se forman representaciones mentales más adecuadas de los conceptos fundamentales; modifican sus preferencias por el material de estudio que utilizan; manifiestan una disminución en la dificultad que les presenta Análisis Matemático I; adquieren una actitud más activa en su participación en clase; aumentan su interés por la materia y la dedicación a la misma fuera de clase. En este trabajo se describe sintéticamente el proyecto de tesis y se presentan algunos resultados surgidos del análisis de las encuestas de opinión aplicadas a los alumnos de las dos especialidades antes y después de llevar a cabo la experiencia. Fundamentación Desde la práctica docente, se observa que los alumnos de primer año muestran dificultades en el aprendizaje de Análisis Matemático I. Es significativo el porcentaje de estudiantes que desaprueban los parciales y finales de esta materia, como también de los que abandonan su cursado o la recursan. Probablemente este problema se produzca por la conjunción de múltiples factores, lo que lleva a revisar algunas cuestiones referidas a los procesos de enseñanza y de aprendizaje de dicha materia en este tipo de carreras. En cuanto a las clases de Análisis Matemático I, es habitual que se desarrolle en forma tradicional: el profesor explica los conceptos en el pizarrón con una exposición más o menos dialogada, el alumno toma notas y luego debe estudiar dichos conceptos por libros o apuntes de cátedra. Ahora, para que los estudiantes de primer año recurran a los libros de texto, deben tener el hábito adquirido, lo que no se condice con lo que se observa en muchos de ellos. Los adolescentes, en la actualidad, están acostumbrados a manejarse interactivamente en su vida diaria. Si tienen dudas sobre algún conocimiento, no es común que recurran a libros, por más completas que sean sus bibliotecas familiares. Lo habitual es que quieran resolver el problema con algún buscador de Internet. Entonces habría que cuestionar si es lógico esperar buenos resultados en el aprendizaje actual, con el libro de texto o los apuntes de cátedra como únicos recursos didácticos para que el alumno estudie. Por otro lado, Análisis Matemático I tiene características particulares que aportan una dificultad extra a su aprendizaje con respecto a otras ramas de la Matemática, porque es dinámico: estudia el cambio y el movimiento; trata cantidades que se aproximan a otras cantidades. Esto hace que su enseñanza y su aprendizaje se dificulten si sólo se utilizan, para la visualización de estos conceptos, imágenes estáticas por mejores que éstas sean. 75 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación La visualización matemática es el proceso de formar imágenes (mentales, o con lápiz y papel, o con la ayuda de la tecnología) y usar esas imágenes efectivamente para el descubrimiento y entendimiento matemático (Zimmermann y Cunningham, 1991). Zimmermann (1990, citado en Hitt, 2003) afirma que, conceptualmente, el papel del pensamiento visual es tan fundamental para el aprendizaje del Análisis Matemático que es difícil imaginar un curso exitoso de esta materia que no enfatice los elementos visuales del tema si se tiene la intención de promover un entendimiento conceptual. De Guzmán (1996) sostiene que en un libro se transmite normalmente sólo el producto final, la imagen última con todos los elementos acumulados en ella, lo que resulta muchas veces engorroso de interpretar. Hoy se dispone de la computadora y de programas con capacidades de representación interactiva que permiten cambiar la presentación de los contenidos favoreciendo la visualización y aumentando el interés por la materia. Mandujano (2005) expone las ventajas de usar software en la enseñanza de la Matemática. En especial pone énfasis en las animaciones, pues considera que éstas permiten visualizar mejor los conceptos matemáticos y captar el interés de los alumnos. En el proyecto de tesis se propuso, en primera instancia, indagar sobre el método de enseñanza del Análisis Matemático I en la FRSN focalizando la atención en los recursos didácticos que se utilizan habitualmente para favorecer la visualización dinámica de los conceptos fundamentales de la materia. En segundo término, se proyectó analizar si incide favorablemente en el aprendizaje de dicha asignatura la incorporación de la tecnología para una adecuada visualización dinámica de los contenidos involucrados y detectar posibles modificaciones en el interés de los alumnos por la materia después de estudiar la unidad didáctica de ―Derivada y aplicaciones‖ con el uso de software, en un caso, y en forma tradicional en el otro. Desarrollo El proyecto de tesis fue presentado a fines de 2010 y aprobado para su realización a principio de 2011, año en que se realizó el trabajo de campo. Actualmente está en la instancia de análisis de resultados obtenidos. La investigación se llevó a cabo en dos etapas. En la primera se analizaron ciertas características actuales de los procesos de enseñanza y de aprendizaje de Análisis Matemático I en la FRSN, focalizando la atención en los recursos didácticos que utilizan tanto los docentes para enseñar como los alumnos para estudiar. Esta primera etapa se efectivizó mediante un diseño no experimental con alcance descriptivo, según la clasificación de Bravin y Pievi (2008), y en la misma se consideraron como participantes de la investigación a todos los profesores de Análisis Matemático I de la FRSN y a los alumnos que cursaron primer año de Ingeniería Electrónica y Mecánica en el año 2011. Las técnicas de recolección de la información en esta primera parte comprendieron entrevistas personalizadas a los docentes y encuestas de opinión a los alumnos. 76 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación En la segunda etapa de la investigación se realizó una experiencia en aula con dos grupos diferenciados de participantes (control y testigo), para observar posibles cambios en los resultados de los procesos de enseñanza y de aprendizaje, a partir de la modificación de algunas estrategias didácticas que favorezcan la visualización de ciertos conceptos. En esta etapa se utilizó un diseño cuasi – experimental, según la clasificación de Bravin y Pievi (2008). El curso correspondiente a la carrera de Ingeniería Mecánica actuó como grupo de control y en él se desarrolló la unidad didáctica ―Derivada y aplicaciones‖ de una manera tradicional, es decir, por medio de explicaciones orales o escritas en pizarrón por parte del docente a cargo de la parte teórica. La especialidad de Ingeniería Electrónica actuó como grupo testigo y, en ésta, la misma unidad didáctica se desarrolló utilizando material didáctico interactivo especialmente confeccionado para este fin, con el software libre GEOGEBRA con la intención de favorecer la visualización dinámica de los conceptos fundamentales y propiciar la participación colectiva a través de la discusión teórica del tema tratado. Una vez finalizada la enseñanza de la unidad didáctica, se aplicó nuevamente a los alumnos de las dos especialidades de Ingeniería un cuestionario con escala de tipo Likert (Hernández Sampieri, Fernández Collado y Baptista Lucio, 2006), con las mismas características que el de la primera etapa. También se propuso realizar un análisis comparativo de las puntuaciones obtenidas por las dos especialidades en los dos trabajos prácticos y en el examen parcial correspondiente a la unidad didáctica, así como de las respuestas a determinadas preguntas conceptuales que figuraban en el mismo. Particularmente en este trabajo se describen y analizan algunos de los resultados obtenidos con el procesamiento de la información lograda a partir de las respuestas de los estudiantes a las encuestas de opinión en las dos etapas: antes del desarrollo de la unidad didáctica ―Derivadas y aplicaciones‖ (Etapa 1) y después del desarrollo de dicha unidad (Etapa 2). Las encuestas están divididas en dos partes. La primera contiene un cuestionario con escala de tipo Likert con cinco opciones de respuesta por ítem -yendo desde ―muy de acuerdo‖ (opción A) hasta ―muy en desacuerdo‖ (opción E) y la segunda parte con tres preguntas abiertas. El cuestionario utilizado en la Etapa 1 para las dos especialidades se presenta en la Figura 1. Contiene 19 afirmaciones, de las cuales 17 son de dirección positiva, lo que significa que es más favorable la respuesta cuanto mayor es el grado de acuerdo. Para su análisis fueron codificadas numéricamente de la siguiente forma: 5 = muy de acuerdo, 4 = de acuerdo, 3 = ni de acuerdo ni en desacuerdo, 2 = en desacuerdo, 1 = muy en desacuerdo. Las preguntas 7 y 10 son de dirección negativa ya que la primera interroga sobre la utilización de la Web para buscar los contenidos teóricos de la materia y no se ha recomendado en clase ningún sitio que no sea la Web sobre funciones de la página de la Facultad y la segunda se refiere a la dificultad que les presentan los contenidos teóricos de la materia y por lo tanto es más favorable la respuesta, en ambos casos, cuanto mayor es el grado de desacuerdo. Estas dos últimas fueron codificadas numéricamente para su análisis con la siguiente escala: 1 = muy de acuerdo, 2 = de acuerdo, 3 = ni de acuerdo ni en desacuerdo, 4 = en desacuerdo, 5 = muy en desacuerdo. El índice obtenido para cada respuesta surge de calcular el promedio de las respuestas obtenidas. 77 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación ABCDE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 Concurro a la biblioteca para solicitar la bibliografía recomendada Utilizo libros para estudiar los contenidos teóricos de la materia Utilizo los apuntes de la cátedra para estudiar Utilizo las notas que tomo en clase para estudiar Utilizo algún software para la materia Entiendo las explicaciones sobre los conceptos teóricos que da la profesora Utilizo la Web para buscar los contenidos teóricos de la materia He recurrido al sitio Web sobre funciones de la página de la Facultad Entiendo los gráficos que realiza la profesora en el pizarrón Me resultan difíciles los contenidos teóricos de la materia Me interesan los contenidos de la materia desarrollados hasta el momento Me resulta entretenido estudiar los contenidos teóricos Me interesa asistir a las clases teóricas Participo en las clases teóricas Si me pierdo en las explicaciones de la profesora, le pido que vuelva a explicar Necesito ampliar fuera de clase las explicaciones que da la profesora Asisto a las clases de consulta que da la profesora Estudio los contenidos que la profesora enseña, antes de la próxima clase Acostumbro a planificar el tiempo que le dedico al estudio de la teoría En caso de haber respondido afirmativamente la pregunta 5, indica cuál y para qué lo utilizas Si utilizas otros materiales de estudio no mencionados, indica cuáles y para qué Realiza cualquier comentario que creas pertinente Figura 1. Cuestionario suministrado a los alumnos de las especialidades Electrónica y Mecánica en la Etapa 1 La escala Likert sirve para medir actitudes. La valoración de la actitud de los alumnos según el índice obtenido en cada respuesta, se consideró de acuerdo con la Tabla1. Actitud Favorable Neutra Desfavorable Valor del índice 5 a 3,26 3,25 a 2,75 2,74 a 1 Tabla 1. Valoración de la actitud de los alumnos según el índice obtenido en cada respuesta 78 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Resultados A continuación se describen y analizan algunos de los resultados obtenidos a partir del procesamiento de la información recabada contemplando las respuestas de los estudiantes a las encuestas. Para el análisis de resultados se agruparon las preguntas de la primera parte de las encuestas tomadas en las dos etapas en cuatro grupos, según el tema a que hacen referencia: Primer grupo: materiales que los alumnos utilizan para estudiar (preguntas 1 a 5, 7 y 8). Segundo grupo: grado de dificultad que les presenta la materia (preguntas 6, 9 y 10). Tercer grupo: interés que los estudiantes tienen por la materia y su participación en clase (preguntas 11 a 15). Cuarto grupo: hábitos de estudio y la dedicación de los estudiantes a la materia fuera de la clase (preguntas 16 a 19). En la Etapa 1 fueron encuestados 20 alumnos de Ingeniería Electrónica y 37 de la especialidad Mecánica. En la Etapa 2 fueron encuestados 19 alumnos de Ingeniería Electrónica y 28 alumnos de Ingeniería Mecánica. En lo que se refiere al primer grupo de respuestas, referidas al material que los alumnos utilizan para estudiar, no se observan cambios significativos en ninguna de las dos especialidades después de llevar a cabo la experiencia, excepto en lo que se refiere a la utilización de software para la materia que ha sido un logro importante de la experiencia en la especialidad Electrónica. En este aspecto, mientras que el índice para Mecánica se mantiene reflejando una actitud desfavorable, el correspondiente a Electrónica pasa de manifestar una actitud desfavorable a una favorable. En cambio, las dos especialidades siguen manteniendo de una etapa a otra la actitud: desfavorable hacia la concurrencia a biblioteca para solicitar libros para estudiar la materia; neutra hacia la utilización de libros para estudiar; favorable hacia la utilización de los apuntes de la cátedra y las notas que toman en clase. Con respecto al cuarto grupo de respuestas, referidas a los hábitos de estudio y dedicación a la materia fuera de la clase, las dos especialidades mejoran de una etapa a otra los valores en los siguientes aspectos: estudiar los contenidos que se les enseñan, antes de la próxima clase. En Electrónica el índice correspondiente a este aspecto sufre un leve aumento pero se mantiene en una actitud desfavorable. Para Mecánica el aumento es mayor pasando a reflejar una actitud neutra. planificar el tiempo que le dedican al estudio de la teoría. El índice correspondiente a Electrónica continúa reflejando una actitud neutra mientras que el de Mecánica sufre un aumento más notorio pasando de una actitud neutra a una favorable. En este aspecto se ven más organizados los alumnos de la especialidad Mecánica. 79 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Con respecto a la necesidad de ampliar fuera de clase las explicaciones que da la profesora y la asistencia a las clases de consulta, los resultados en la segunda etapa son negativos con respecto a la Etapa 1 para las dos especialidades. También persiste en las dos especialidades la no concurrencia a las clases de consulta que se dan en días y horarios determinados. Sí se observan cambios significativos de una etapa a otra, en el segundo y tercer grupo de respuestas. En la Figura 2 se presenta una comparación entre los índices obtenidos para las dos especialidades, referida a las afirmaciones del segundo grupo de análisis, grado de dificultad que les presenta la materia, en la Etapa 1 y en la Etapa 2. En ambos casos es un gráfico de columna doble (una para cada especialidad). En el eje horizontal se representan cada una de las afirmaciones que componen este segundo grupo de análisis y en eje el vertical los índices respectivos. Figura 2. Comparación de los índices obtenidos para las respuestas en las Etapas 1 y 2 de los alumnos de las dos especialidades, referidas al grado de dificultad que les presenta la materia Como se puede apreciar en la Figura 2, en la Etapa 1 las dos especialidades muestran similitud en cuanto a la comprensión de las explicaciones y a la comprensión de los gráficos que realiza la profesora en el pizarrón. Los índices indican una actitud favorable con valores muy parecidos (entre 4,00 y 4,50). En cambio, existe una leve diferencia entre las dos especialidades en cuanto a los índices correspondientes a la dificultad que les presentan los contenidos teóricos. Mientras que la especialidad Electrónica refleja una actitud neutra (con un índice de 3,10) los estudiantes de la especialidad Mecánica muestran una actitud más favorable (con un índice de 3,51). Al ser una respuesta de dirección negativa indicaría que los contenidos desarrollados con anterioridad a la unidad didáctica de ―Derivadas y aplicaciones‖, en general, les resultaron más fáciles a los estudiantes de Mecánica que a los de Electrónica. Para la Etapa 2, como se puede observar en la Figura 2, con respecto a la comprensión de las explicaciones, el índice correspondiente a Electrónica asciende con respecto a la primera etapa pasando a ser superior al de Mecánica, aunque éste se mantiene reflejando una actitud favorable. 80 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación En la comprensión de los gráficos es donde se observa la mayor diferencia entre una etapa y otra. Mientras que el índice correspondiente a Electrónica asciende de 4,25 a 4,95, el correspondiente a Mecánica desciende de 4,40 a 3,89. Con respecto a la dificultad que les presentan los contenidos teóricos de la materia, en ambas especialidades los índices reflejan una mejora con respecto a la Etapa 1 aunque el aumento en el índice es mayor para Electrónica. En la Figura 3 se presenta, con gráficos de las mismas características que los de la Figura 2, una comparación entre los índices obtenidos para las dos especialidades, referida a las afirmaciones del tercer grupo de análisis, interés por la materia y su participación en clase, en las Etapas 1 y 2. En la Etapa1, como se puede apreciar en la Figura 3, las dos especialidades muestran similitud en su actitud favorable (con un índice cercano al valor 4,00), en el interés por los contenidos teóricos de la materia y en la asistencia a las clases teóricas de la asignatura. Otra característica similar que tienen las dos especialidades es que los resultados obtenidos en el interés por los contenidos teóricos o la asistencia a las clases son sensiblemente superiores a los obtenidos cuando se interroga a los estudiantes sobre si les resulta entretenido estudiar los contenidos teóricos. Ambas especialidades muestran una actitud neutra siendo mínimamente más alto el índice correspondiente a Electrónica. Figura 3. Comparación de los índices obtenidos para las respuestas en la Etapa 1 y 2 de los alumnos de las dos especialidades, referidas al interés por la materia y su participación en clase En cambio, existen diferencias entre las dos especialidades en cuanto a: La participación en clase. Mientras que en la especialidad Electrónica el índice muestra una actitud con tendencia a favorable (3,35), el índice de Mecánica refleja una actitud más bien neutra (2,78). El pedido de esclarecimiento si se pierden en las explicaciones que brinda la profesora. Para la especialidad Electrónica, el índice referido a este aspecto muestra una actitud favorable (con un valor cercano a 4) mientras que el correspondiente a Mecánica refleja una actitud neutra (no superando los 3 puntos). Lo anterior permitiría concluir que los estudiantes de Mecánica se ven a sí mismos con una actitud más pasiva en clase que los de Electrónica. 81 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación En la Etapa 2, según se puede ver en la Figura 3, es donde se observan las mayores diferencias entre una especialidad y otra. Las mismas se dan en los siguientes aspectos: Interés por los contenidos teóricos de la materia. Mientras que en la especialidad Electrónica el índice correspondiente asciende a un valor que refleja una actitud favorable (con un índice de 4,37), para Mecánica desciende de una etapa a otra (ubicándose en un valor de 3,39). Interés por asistir a las clases teóricas. El índice correspondiente aumenta a 4,47 para Electrónica y disminuye para Mecánica a 3,92. Entretenimiento al estudiar los contenidos teóricos. El índice correspondiente a este aspecto tuvo un significativo aumento para Electrónica (llegando a un valor de 4,10), que indica una actitud muy favorable. En cambio para la especialidad Mecánica disminuye pasando de manifestar una actitud neutra a una desfavorable. Este aspecto es donde se observa la mayor diferencia entre las dos especialidades en la segunda etapa. Pedido de esclarecimiento si se pierden en las explicaciones que brinda la profesora. El índice correspondiente disminuye de una etapa a otra para Electrónica y aumenta para Mecánica. Si se tiene en cuenta este último resultado y además que, en cuanto a la participación en las clases teóricas, el índice aumenta en las dos especialidades, siendo mayor el aumento para la especialidad Mecánica. Se podría pensar que los alumnos de Electrónica no se han visto en la necesidad de pedir tantas aclaraciones mientras que los de Mecánica sí. Conclusiones De acuerdo con los resultados anteriores se podría señalar que la experiencia llevada a cabo en la especialidad Electrónica ha sido muy positiva en cuanto a que los alumnos: adquieran el hábito de acompañar con el uso de software el estudio de la materia; mejoren en la comprensión de las explicaciones y de los gráficos que se realizan en clase para explicar ciertos conceptos e interpretaciones geométricas; aumenten el interés que tienen por los contenidos teóricos de la materia, la asistencia a las clases teóricas y su participación activa en ellas; les resulte más entretenido estudiar los contenidos teóricos. Los aspectos anteriores no se han modificado o han desmejorado en algunos casos para la especialidad Mecánica durante el desarrollo, en forma tradicional, de la unidad correspondiente a ―Derivadas y aplicaciones‖. Con respecto a la dificultad de los contenidos desarrollados, p odría decirse que en ambos cursos, la unidad de ―Derivadas y aplicaciones‖ les ofreció un grado de dificultad menor que la anterior, de ―Funciones‖. Está en proceso de análisis si esta manifestación de los alumnos concuerda con los resultados obtenidos en los parciales y trabajos prácticos conceptuales. En cuanto al material que utilizan para estudiar, según las respuestas de los alumnos de las dos especialidades, persiste en la mayoría de ellos la actitud de no concurrir a la biblioteca para solicitar la bibliografía recomendada y son pocos los que manifiestan utilizar libros de texto. Por sus respuestas parecería que se limitan a usar sólo los apuntes de la cátedra y las notas que toman en clase como material de estudio. 82 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Las respuestas referidas a los hábitos de estudio y dedicación a la materia fuera de la clase están lejos de ser los deseables para el nivel universitario. Los índices correspondientes a Mecánica son ligeramente superiores a los de Electrónica en las dos etapas. Aunque los alumnos de Electrónica aumentaron su interés por la materia y el entretenimiento al estudiarla, después de realizada la experiencia, esto todavía no se refleja en mejoras en su dedicación. Se puede concluir que, si bien se pudieron apreciar algunas mejoras en estos aspectos luego de una experiencia en aula con materiales especialmente diseñados, las mismas requieren continuar fortaleciéndose a partir de próximas implementaciones. Referencias Bibliográficas Bravin, C. y Pievi, N. (2008). Documento Metodológico Orientador para la Investigación Educativa. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación e Instituto Nacional de Formación Docente. De Guzmán, M. (1996). El Rincón de la Pizarra. El papel de la visualización. Madrid, España: Pirámide. Hernández Sampieri, R., Fernández Collado, C. y Baptista Lucio, P. (2006). Metodología de la investigación (4ta. ed.). México DF: McGraw Hill. Hitt, F. (2003). Una reflexión sobre la construcción de conceptos matemáticos en ambientes con tecnología. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, X (2). Mandujano, J. (2005). Enseñanza del cálculo con animaciones. En J. Lezama, M. Sánchez y J. Molina (Eds.). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 18, 771 - 777. México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Zimmermann, W. y Cunningham, S. (1991). Visualization in Teaching and Learning Mathematics. MAA Notes, 19. 83 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación RECORRIDOS DE ESTUDIO E INVESTIGACIÓN EN EL NIVEL MEDIO: EL CASO DE LAS FUNCIONES RACIONALES María Paz Gazzola, María Rita Otero, Viviana Carolina Llanos Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECYT), Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Bs. As., Tandil, Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET) [email protected], [email protected], [email protected] Nivel Medio Palabras clave: Recorrido de Estudio e Investigación (REI). Funciones Racionales. Nivel Medio Resumen En este trabajo presentamos el diseño y algunos resultados parciales de la implementación de un nuevo dispositivo didáctico, los Recorridos de Estudio e Investigación (REI) introducidos por Chevallard (2004, 2007, 2009). Estos dispositivos apuestan a la introducción de una nueva epistemología escolar que remplaza el paradigma de la ―monumentalización‖ de los saberes por un paradigma de cuestionamiento del mundo. El REI diseñado permite estudiar las funciones racionales en el nivel medio. Se presentan algunos protocolos de los estudiantes que nos permiten caracterizar la Organización Matemática construida y se describe el diseño de la Organización Didáctica. Introducción En la actualidad, la enseñanza de la matemática se ha reducido al estudio de respuestas en lugar de cuestiones, lo que conduce al conocido fenómeno de la pérdida de sentido y monumentalización del saber (Chevallard, 2004, 2007). Este fenómeno didáctico llamado monumentalización del saber consiste en enseñar obras matemáticas como objetos ya creados, transparentes e incuestionables, a las que precisamente por su carácter monumental, solo se los puede visitar. El constructo Recorrido de Estudio e Investigación (REI), propuesto por Chevallard, es un dispositivo didáctico que maximiza la reconstrucción funcional de la matemática, como respuesta a situaciones problemáticas y que sitúa a las cuestiones Q en primera línea, como punto de partida del saber matemático. En trabajos recientes (Llanos y Otero, 2010, Otero, Llanos, 2011) proponen un REI que parte de la cuestión generatriz Q0: ¿Cómo operar con curvas cualesquiera si solo se dispone de la representación gráfica de las mismas y de la unidad en los ejes? Las posibles respuestas a la cuestión Q involucran la tecnología del cálculo geométrico y generaron diferentes recorridos de estudio, como parte del REI (Otero, Llanos, 2011). Si se trata de la multiplicación de dos rectas, se genera un primer recorrido que permite reconstruir la Organización Matemática (OMFPD) relativa a la función polinómica de segundo grado en el marco geométrico, geométrico analítico y algebraico funcional. Si se trata de varias rectas o combinaciones entre parábolas y rectas o entre parábolas, etc., se construye un recorrido de estudio que permite reconstruir la OMFP de las funciones polinómicas en el cuerpo de los reales. (Otero, Llanos, 2011; Llanos, Otero, Bilbao, 2011). Por último, si se trata de la división de rectas, o de rectas y parábolas, o parábolas y rectas, o entre parábolas, se 84 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación construye un recorrido, que permitiría construir la OMFQ de las funciones racionales (Otero, Llanos, 2011, Gazzola, Llanos, Otero 2011). Esta presentación se refiere al tercer recorrido, con el cual se pueden estudiar las funciones racionales en el nivel medio. Por cuestiones de espacio, presentaremos parcialmente el diseño y algunos resultados de la implementación del REI. Vamos a referirnos a cómo los estudiantes obtienen la representación gráfica y la representación algebraica de las funciones raciones, mediante la tarea de elaborar la respuesta a una pregunta que otorga sentido al estudio. Marco Teórico Adoptamos como referencial teórico la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) de Yves Chevallard (1999, 2004, 2007, 2009), que ha definido con precisión los fenómenos denominados: monumentalización del saber y pérdida de sentido de las cuestiones que se estudian en la escuela media y ha propuesto los Recorrido de Estudio e Investigación (REI) como dispositivos didácticos para enfrentar estos problemas e instalar algunos elementos de la pedagogía del cuestionamiento del mundo (Otero, Llanos, 2011) . Un REI es un modelo general para el diseño y análisis de los procesos de estudio funcionales, esto es, de los procesos de estudio que permiten generar y desarrollar las praxeologías. Al inicio de un REI hay una cuestión Q con un fuerte poder generador, que se denomina cuestión generatriz, la cual es capaz de generar numerosas cuestiones derivadas, cuyo estudio llevará a la (re)construcción de un gran número de praxeologías matemáticas, que surgirán como respuesta a las cuestiones que han requerido de su construcción. Se genera así, una cadena de cuestiones y de respuestas que son el corazón del proceso de estudio P= (Qi;Ri)1≤i≤n, siendo Qi todas las cuestiones que habitan dicho corazón ♥ y Ri las respuestas a estas cuestiones (Chevallard, 2007). La gestión de los REI, exige a los profesores de matemática y a los alumnos un cambio radical en su relación con el saber, pues este deja de ser algo que se sabe de antemano, para volverse una construcción (o reconstrucción) de común acuerdo, en el transcurso de la clase. Metodología La investigación es de corte cualitativo, etnográfico y exploratorio. Se quiere describir el dispositivo diseñado y su implementación analizando si permite construir las propiedades fundamentales de las funciones racionales con sentido para los estudiantes. Hay pocas investigaciones donde se llevan a cabo recorridos de estudio e investigación sin la creación de cursos alternativos a los habituales. En nuestro caso, el contexto es una escuela y dos aulas concretas del secundario, donde se busca desplazar la enseñanza tradicional. Los cursos fueron seleccionados intencionalmente por el equipo de investigación en el mismo Establecimiento Educativo, se trata en total de (N=59) estudiantes de 5 to Año. Las implementaciones fueron realizadas por los investigadores, realizando observación participante y no participante. Durante las implementaciones, se obtuvieron todos los protocolos escritos de los estudiantes, los cuales se retiran clase a clase, se escanean y se devuelven en la clase inmediata siguiente, para garantizar la continuidad de trabajo y para que ellos dispongan 85 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación permanentemente de sus producciones. En todas las clases, se tomaron registros de audio ―generales‖ que se completan con las notas de campo del profesor y de los observadores del equipo que no están a cargo del grupo de clase. Las funciones racionales Este posible REI derivado de Q0, se genera cuando las curvas con las que se opera corresponden a funciones polinómicas, originando la reformulación Q3.1: ¿Cuál es la gráfica más razonable que surge del cociente de dos funciones polinómicas si sólo se dispone de la representación gráfica de las mismas y la unidad en los ejes? A partir de esta pregunta, se engendran numerosas cuestiones derivadas que permitirán el estudio de las características de las funciones racionales, con sentido para los estudiantes. Se ingresa así en un camino alejado del tratamiento tradicional escolar de la función racional, donde las representaciones gráfica y algebraica, se imponen por definición. En este REI los estudiantes construirán la representación gráfica, analizando y validando sus características. Para abordar esta cuestión el profesor propone dos situaciones, en la Situación 1 la gráfica de q resulta de la división geométrica de dos rectas mientras que en la Situación 2, se trata de una recta y una parábola. En ambos casos se requiere: ¿Cuál podría ser la gráfica más razonable para q? ¿Qué características de la gráfica de q podrías justificar? De esta manera, el REI comienza -igual que los recorridos que lo preceden- en el marco geométrico-funcional. La figura 1 presenta las situaciones 1 y 2. Figura 1: Gráficas correspondientes a las situaciones 1 y 2 Los estudiantes obtienen la curva más razonable para q identificando en primera instancia sus signos y los puntos seguros de q (relativos a los ceros, el uso del uno, el menos uno y la intersección de las funciones graficadas, donde q vale uno). Para obtener otros puntos seguros los estudiantes reformulan la técnica de la construcción geométrica que usaron en los recorridos anteriores, construyendo triángulos semejantes que aprovechan el dato de la unidad y formulando las proporciones correctas para cada ordenada del punto que desean obtener. Es decir que en este recorrido, hay que trabajar la técnica utilizada para la multiplicación de segmentos y adaptarla al cociente de los mismos. Como la multiplicación es conmutativa los estudiantes pueden utilizar indistintamente cualquier segmento para comenzar la construcción y obtener por resultado la multiplicación entre ellos, pero como la división no es conmutativa, es necesario repensar y validar una construcción diferente. Surge además, la necesidad de estudiar una característica fundamental de las funciones racionales: el caso en que el divisor es cero. 86 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Entonces, se identifican los puntos donde la función divisor se hace cero y se analiza el posible comportamiento de la gráfica razonable para q en los puntos próximos al ―cero del denominador‖, debido a que en este punto no se puede obtener la gráfica de q. Llegados a esta instancia, los estudiantes y el profesor establecen un consenso acerca de cómo identificar este ―problema‖ en la gráfica y sus variantes: que dividendo y divisor sean cero simultáneamente o no, lo cual permite entre otras cosas analizar la existencia de q y sus asíntotas. El estudio deriva también en el análisis de si la gráfica hallada para q corresponde a la representación gráfica de una función o no. Para responder a esta cuestión, los estudiantes deben volver sobre la definición de función, y así pueden concluir que dicha definición se cumple para cualquier punto menos para aquel o aquellos donde la función denominador se hace cero, sin tener en cuenta, por el momento, lo que sucede en ese punto con la función numerador, situación que se analiza más adelante. De esta manera la gráfica realizada se corresponde con la representación gráfica de una función si excluimos del dominio los valores que anulan al denominador. Los protocolos de los alumnos A22 y A24 muestran como los estudiantes obtienen la representación gráfica de q, identificando los signos, los puntos seguros y realizando la construcción geométrica para la obtención de nuevos puntos seguros. Se puede apreciar, además cómo identifican la asíntota vertical –como una recta por la cual la función ―no pasa‖- pero como se desconoce esta noción la anotan con signos de pregunta. Se aprecian también las proporciones que usan la unidad y establecen la pertinencia de los triángulos construidos. A22 A24 Figura 2: protocolos correspondientes a los alumnos A22 y A24 respectivamente. Los estudiantes se preguntan por ―fórmulas‖ que les permitan calcular los valores de q, como ya han hecho en los REI precedentes, formulan así la cuestión Q3.2: ¿Qué posible representación algebraica resulta del cociente de funciones polinómicas? Dicha cuestión se estudia a partir de las situaciones 3 y 4, en las cuales se retoman los gráficos utilizados en las situaciones 1 y 2, agregando la información de los valores en los ejes y proponiendo algunos puntos pertenecientes a las funciones representadas gráficamente. Estas situaciones proponen los interrogantes: ¿Cuál es la expresión 87 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación algebraica de q?, ¿es q una función? En la figura 2 se muestran las situaciones 3 y 4 que constituyen el ingreso al marco algebraico-funcional. 88 Figura 3: Gráficas correspondientes a las situaciones 3 y 4 Los estudiantes determinan primero las representaciones algebraicas de las curvas individuales, tarea con la que están familiarizados por los recorridos anteriores, e identifican a partir de las gráficas de qué función se trata. Luego realizan la división por diferentes caminos y encuentran dos obstáculos: en la situación 3, la división no es exacta, y los estudiantes no saben cómo proceder con el resto -expresan esto con signos de pregunta-; en cambio, en la situación 4 la división no puede realizarse, pues se trata del cociente de una función polinómica de primer grado por una función polinómica de grado dos. Así, expresan q como el cociente de las funciones cuyas representaciones algebraicas determinaron anteriormente y deciden que a lo sumo pueden obtener las expresiones de las r funciones polinómicas r y s y expresarlas como q . s Se retoma también el problema de si la expresión de q corresponde a una función o no, lo cual conduce a los estudiantes a establecer un dominio de validez para que q sea una función. Lo que hemos consignado puede observarse en los protocolos de los alumnos A39 y A49 de la figura 4. A39 A49 Figura 4: protocolos correspondientes a los alumnos A39 y A49 respectivamente. Una vez producida la institucionalización de la función racional y de sus condiciones de existencia, se ingresa al problema de las asíntotas y los ceros. En las situaciones que continúan se retoma el análisis de los ceros de las funciones racionales y se realiza un El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación análisis en profundidad de las asíntotas (horizontales, verticales y oblicuas) y de los puntos de discontinuidad, junto con un estudio de los casos de simplificación. El recorrido transita también por construir, explicar y justificar una técnica para realizar las operaciones con funciones racionales, tanto en el marco algebraico como analítico funcional, ingresando también en el estudio de las ecuaciones e inecuaciones racionales. Conclusiones Las implementaciones realizadas en los dos cursos de 5to Año de la escuela secundaria, muestran algunos resultados auspiciosos, tanto para la caracterización de la Organización Matemática como para el diseño de la Organización Didáctica, pues no solo permiten recuperar algunas técnicas construidas en los recorridos precedentes y adaptarlas a las nuevas situaciones, y así también obtener otras que permiten completar la OM relativa a las funciones racionales, sino que además, una enseñanza por REI instala modificaciones importantes en el contrato didáctico. En lo referente a la OM, la implementación del REI ha permitido obtener la gráfica de q en el marco geométrico-gráfico utilizando la técnica del cálculo geométrico, identificando los puntos notables, los signos y analizando lo que ocurre en los puntos próximos a las asíntotas tanto verticales como horizontales. Con relación al marco algebraico- funcional, se obtienen posibles representaciones para q mediante el cálculo algebraico del cociente de polinomios. Esto, no presentó problemas a los estudiantes pues obtienen la expresión algebraica de las funciones polinómicas representadas gráficamente en forma polinomica y si es posible, factorizada, y luego posibles representaciones algebraicas de q. Los resultados han ganado viabilidad por los recorridos precedentes, aunque estos no son imprescindibles, pero si no existieran se afectaría la cronogénesis y la topogénesis. En lo referente a la OD, una enseñanza por REI introduce cambios radicales en el contrato de estudio vigente en las instituciones escolares, con implicaciones fuertes en la topogénesis. El REI demanda a los estudiantes generar el conocimiento, compartirlo, decidir cómo y por donde seguir. Esto a su vez, exige resistencia a la frustración originada en las incertidumbres, y aceptar el papel de un profesor que comparte las responsabilidades sin asumir una posición dominante ni autoimponerse un papel de garante del saber y conocedor ―por definición‖, el profesor es un media más en la clase. La mediación del profesor es ejercida fundamentalmente desde el diseño de las situaciones y la gestión del REI sus dialécticas inherentes. Estos cambios en el contrato también están viabilizados por la participación de los estudiantes en otros REI. Referencias Bibliográficas Chevallard, Y. (1999) El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19/2, pp. 221-266. Chevallard, Y. (2004) Vers une didactique de la codisciplinarité. Notes sur une nouvelle épistémologie scolaire. Recuperado el 12 de febrero de 2014 de http://yves.chevallard.free.fr 89 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Chevallard, Y. (2007). Passé et présent de la théorie anthropologique du didactique. Recuperado el 12 de febrero de 2014 de http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/rubrique.php3?id_rubrique=8 Chevallard, Y. (2009). La notion de PER : problèmes et avancées. Recuperado el 12 de febrero de 2014 de http://yves.chevallard.free.fr/ Gazzola, M.P.; Llanos, V.C.; Otero, M.R. (2011). Funciones Racionales en la secundaria: primeros resultados de una actividad de estudio e investigación (AEI). Actas del I Congreso Internacional de Enseñanza de las Ciencias y la Matemática (I CIECyM) y del II Encuentro Nacional de Enseñanza de la Matemática (II ENEM) pp. 494-500. Tandil. NIECyT, Facultad de Ciencias Exactas. UNCPBA. Recuperado el 12 de febrero de 2014 de http://iciecymiienem.sites.exa.unicen.edu.ar/actas Llanos, V. C.; Otero, M. R. (2010). ―Evaluar y calificar: algunas reflexiones en torno a las actividades de estudio e investigación (AEI)‖. Actas 2do Congreso Internacional de Didácticas Específicas: Poder, disciplinamiento y evaluación de saberes. pp. 1-6. Recuperado el 12 de febrero de 2014 de http://www.unsam.edu.ar/escuelas/humanidades/didacticas_cede_2010/actas.htm Llanos, V. C; Otero, M. R. (2011). Evolución de una AEI como producto de investigación al cabo de seis implementaciones consecutivas. Actas del I Congreso Internacional de Enseñanza de las Ciencias y la Matemática (I CIECyM) y del II Encuentro Nacional de Enseñanza de la Matemática (II ENEM) pp. 501-508. Tandil. NIECyT, Facultad de Ciencias Exactas. UNCPBA. Llanos, V. C.; Otero, M. R.; Bilbao, M. P. (2011). Funciones Polinómicas en la Secundaria: primeros resultados de una Actividad de Estudio y de Investigación (AEI). Revista Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias. Año 6 nº1, pp. 102112. Argentina. Recuperado el 12 de febrero de 2014 de http://www.exa.unicen.edu.ar/reiec/. Otero, M. R.; Llanos, V. C. (2011). Enseñanza por REI en la Escuela Secundaria: desafíos, incertidumbres y pequeños logros al cabo de seis implementaciones. Actas del I Congreso Internacional de Enseñanza de las Ciencias y la Matemática (I CIECyM) y del II Encuentro Nacional de Enseñanza de la Matemática (II ENEM) pp. 15-23. Tandil. NIECyT, Facultad de Ciencias Exactas. UNCPBA. Recuperado el 12 de febrero de 2014 de http://iciecymiienem.sites.exa.unicen.edu.ar/actas 90 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL: UMA EXPERIÊNCIA NO ENSINO E APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA ATRAVÉS DO ORIGAMI Jamille Mineo Carvalho de Magalhães, Jutta Cornelia Reuwsaat Justo Universidade Luterana do Brasil, Canoas. Brasil [email protected], [email protected] Educação continuada Palavra-chave: Origami. Educação Matemática. Geometria. Formação Continuada. Resumo Apresentamos um recorte de uma pesquisa de mestrado que vem sendo realizada com professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental sobre a potencialidade do uso de jogos para a aprendizagem matemática através de atividades de formação continuada em serviço. Neste texto, apresentamos um encontro de formação realizado com a comunidade de aprendizagem constituída de professoras dos anos iniciais, na qual trabalhamos com construções em origami, buscando rever conteúdos e apresentar conceitos de Geometria. O encontro foi videogravado e na sua análise encontramos novas aprendizagens ou ressignificação de conceitos geométricos, como também verificamos a potencialidade do uso do origami para auxiliar na aprendizagem da Matemática. Introdução Apresentamos neste artigo uma atividade de formação na qual trabalhamos com construções em origami, buscando rever conteúdos e apresentar conceitos de geometria. A atividade foi realizada com oito professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental de uma escola pública na região metropolitana de Porto Alegre, RS. Trabalhando o origami, desenvolvemos conceitos primitivos de geometria (ponto, reta e plano), como também formas planas e espaciais e elementos geométricos como: face, aresta, vértice, entre outros. A atividade de formação que iremos relatar e analisar nesse texto faz parte da pesquisa de mestrado, da primeira autora com orientação da segunda, que ainda se encontra em andamento. A pesquisa de mestrado tem como problema de investigação: ―Quais as concepções de professores dos Anos Iniciais, antes e após atividades de formação, sobre a potencialidade do uso de jogos para a aprendizagem matemática?‖ Ao verificarmos qual a relação pessoal que cada professor apresenta com a Matemática, estamos investigando suas concepções iniciais sobre a potencialidade no uso de jogos para auxiliar na aprendizagem. Ministramos encontros de formação teóricos e práticos no próprio âmbito escolar, envolvendo jogos e textos com teorias de aprendizagem. Além desses encontros, estamos planejando aulas junto com os professores nas quais eles utilizam jogos com suas turmas de alunos. Por fim, pretendemos socializar com todos os participantes da pesquisa o material coletado no início da investigação, nos encontros de formação, nos planejamentos, na utilização dos jogos em aula, promovendo uma discussão sobre o que vivenciamos para verificar se houve alguma ressignificação nas concepções dos professores sobre a potencialidade do uso de jogos para a aprendizagem matemática. 91 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación A pesquisa constituiu um grupo colaborativo de aprendizagem que discute e estuda em conjunto, formando o que optamos por denominar como uma comunidade de aprendizagem, pois consideramos que o trabalho em desenvolvimento no nosso grupo atende aos requisitos definidos por Ruiz (2003) para a constituição de uma comunidade de aprendizagem: En las comunidades de aprendizaje, destacan três componentes: aprendizaje de colaboración, aprendizaje del maestro y aprendizaje del estudiante. El elemento esencial de las comunidades de aprendizaje es la tendencia a aprender trabajando juntos para mejorar la educación. Los profesores se comprometen a trabajar y aprender juntos enfocando su actividad colectiva en el aprendizaje del estudiante. (Ruiz, 2003. p. 235) Em nossa comunidade de aprendizagem estamos trabalhando e aprendendo juntas preocupadas com a aprendizagem dos alunos da Escola e das professoras participantes da pesquisa. A comunidade de aprendizagem é constituída pela pesquisadora primeira autora deste texto e por oito professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Formação em Matemática para Professores dos Anos Iniciais Preocupa-nos a formação matemática dos professores dos Anos Iniciais, pois os mesmos apresentam diversas dificuldades com essa disciplina. Os professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental necessitam ter domínio deste conteúdo, que, segundo Justo (2009), sem o conhecimento didático do professor e sobre o conteúdo a ser ensinado, a aprendizagem não alcança todo o seu potencial. Com isso, acreditamos que os professores dos anos iniciais, quando tem uma formação específica em matemática, podem passar a ter um domínio dos conteúdos a serem ensinados e maior segurança no uso de recursos didáticos, favorecendo os processos de ensino e de aprendizagem. Assim, Defendemos a posição de que, sendo os professores da Educação Infantil e dos Anos Iniciais as primeiras pessoas que oficialmente ensinarão às crianças as primeiras noções de matemática, é fundamental que estes sejam profissionais qualificados e tenham uma relação positiva com este componente curricular para que possam auxiliar numa constituição forte de uma aproximação satisfatória das crianças com a matemática e para o desenvolvimento dos conceitos matemáticos de seus alunos. (Justo, 2009, p. 56). Chamorro (2005) também demonstra essa mesma preocupação com as consequências nos processos de ensino e de aprendizagem quando o professor não tem o domínio do conteúdo: El elevado fracaso que se constata en el aprendizaje de las Matemáticas tiene raíces muy profundas y una pluraridad de causas de diferente naturaleza; raíces ligadas tanto a la dificultad y abstracción de algunos conceptos matemáticos como a la a menudo deficiente enseñanza en la escuela, que tiene mucho que ver con el frecuente desconocimiento de los procesos de aprendizaje de las Matemáticas y de sus técnicas específicas de enseñanza. (Chamorro, 2005, p. 40) 92 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Acreditamos que uma formação específica em matemática para professores dos anos iniciais é de grande importância, para que os seus alunos tenham seu primeiro contato formal com a Matemática de forma mais segura, pois o professor poderá ter um maior domínio da disciplina ao abandonar seus medos e dificuldades que demonstram em depoimentos: Professora J ―eu prefiro não ensinar matemática porque para mim é difícil ensinar o que não sei.‖ Professora M: ―sabe isso que a J falou me preocupa muito, como é que a gente vai ensinar algo que a gente não sabe ou não aprendeu ou não sabe buscar onde, como fazer se não foi aprendido, como ensinar.‖ Professora A: ―para mim é muito difícil ensinar [Matemática] o que não tenho segurança‖ Observando os depoimentos das professoras propomos em nossa formação continuada momentos para superar as dificuldades e medos, para que as professoras possam ensinar os conteúdos com segurança. Com essa perspectiva, enfatizamos o uso de jogos nas aulas de Matemática como uma metodologia de ensino. Neste trabalho, apresentamos um dos encontros de formação no qual usamos o origami como um recurso para este propósito. Origami na sala de aula O origami possui elementos a serem explorados nas aulas de Matemática, alguns exemplos são os que abordamos durante a formação: um pouco da história do origami e abordagens geométricas. O origami é uma técnica que é transmitida há milênios entre gerações que tem sua origem incerta. Zanolini, Vano e Barusso (2009) afirmam que Os registros de sua origem não são claros, há a ideia de que teria surgido na China com a criação do papel, ideia que é descartada, pois há evidências de que a função do papel na China era só para escrever. No Japão, o papel foi introduzido pelos monges budistas coreanos, por volta de 610. (Zanolini; Vano; Barusso, 2009, p.15). Sabe-se que o origami era utilizado como passatempo e diversão, passando a ser considerado como arte: a arte de dobrar papel. O seu nome de origem orikami, explica isso: ori significa dobrar e kami significa papel. A construção de origami, ao ser realizada cada dobra no papel, possibilita explorar elementos, conceitos e técnicas de Geometria de forma concreta, o que pode contribuir para uma relação facilitada na aprendizagem dos conteúdos de geometria. Novak (2012) apresenta contribuições do origami no ensino de Geometria: Em essência, a aplicação do origami na prática pedagógica contribui para o docente aliar a abordagem dos conteúdos de Geometria com um material concreto e ao desenvolvimento das habilidades do educando, como a motora, originária da manipulação do papel, por exemplo. (Novak, 2012, p. 17). 93 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Paiva e Bezerra (2012) também apontam as contribuições que o origami pode proporcionar para a aprendizagem da Geometria: O Origami pode fornecer aos alunos um rico material através do qual ampliarão seus conhecimentos geométricos. Na realização dos origamis os alunos tornam-se familiarizados com os triângulos, características dos quadriláteros, movimentos de transformação e múltiplas linhas de simetria dentro da mesma figura, noções de retas perpendiculares, congruência, bissetrizes de ângulos, dentre outros. (Paiva; Bezerra, 2012, p. 02). No encontro de formação trabalhamos com o origami e em cada dobra realizada buscamos explorar as características das figuras geométricas e linhas que surgiam durante a construção. Para realizar as construções em origami e fazer uma exploração geométrica escolhemos três origamis: o copo, o cubo e a caixa. Essas construções são consideradas fácil, média e difícil, respectivamente, e nos proporcionaram uma atividade repleta de elementos, formas e conceitos da Geometria que foram explorados e enfatizados ao passar de uma construção para outra. Antes da realização desse encontro tivemos outro no qual verificamos antecipadamente como e o que essas professoras trabalhavam de Geometria em suas aulas. Constatamos que o trabalho de Geometria se resumia a apresentar aos alunos algumas formas geométricas como o círculo, o quadrado, o retângulo e o triângulo. Assim, selecionamos os origamis que iríamos construir durante o encontro de formação para explorar as formas que elas já trabalhavam, passar a reconhecer mais formas e tratar os elementos geométricos por seus respectivos nomes, pois verificamos também a ausência deste conhecimento. O encontro de formação em que usamos como recurso o origami foi videogravado. Passamos a relatar alguns momentos desse encontro. Nas três construções realizadas durante a formação, partimos de um papel com formato retangular e o transformamos em quadrangular. Antes dessa transformação, foi perguntado às professoras ―o que é isso?‖ e, em seguida, as professoras responderam a pergunta quase a um só tempo. Destacamos duas respostas: Professora R: ―Um retângulo verde‖. Professora A: ―Eles [os alunos] vão dizer que é uma folha‖. Partindo dessas respostas, foi construído com as professoras quais as características do retângulo, suas propriedades e elementos. Fizemos essa construção de conceitos, características e discussão com todas as figuras geométricas que surgiram durante todas as dobraduras. Durante a primeira construção, enquanto as professoras repetiam algumas dobras, falamos sobre a incerteza da origem do origami e de algumas lendas que existem em torno dele. O primeiro origami que fizemos foi o copo. Construímos junto um pequeno vocabulário geométrico que as professoras não conheciam, ou haviam esquecido. Para essas palavras novas ou relembradas, definimos os seus significados e conceitos. Foram elas: vértice, lado, 94 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación face, aresta, eixo, ângulo, simetria, diagonal, plano, perímetro, área, trapézio, quadrilátero, pentágono e octógono. Durante a construção do copo e do vocabulário, as professoras fizeram colocações a respeito do que estávamos vivenciando. Destacamos algumas: Ao construímos o conceito de vértice, a professora T disse ―é mesmo lembrei‖ e a professora M ―claro que é vértice, a gente se acostuma a chamar por outro nome e esquece‖. Sobre as formas geométricas destacamos o comentário da professora Si ―o trapézio que é quadrilátero e o pentágono só vou trabalhar com eles assim pelo nome certo‖ e a professora M complementou a fala da professora Si dizendo que ―concordo que a gente deve desde cedo ensinar aos alunos o nome correto das figuras e dos elementos, não chamarei mais de ponta vou usar sempre vértice‖. Podemos verificar aqui nessas falas das professoras de que algumas já conheciam os termos, porém não os usavam e elas também já demonstram a preocupação de passar a ensinar os seus alunos os nomes corretos. No entanto, torna-se relevante ressaltar que mais importante que ensinar a nomenclatura das formas e elementos geométricos é trabalhar as suas características e propriedades. Quando estávamos discutindo sobre área e perímetro, já com o copo construído, a professora Si olhou para o copo que já havíamos medido com o auxílio da régua e disse ―perímetro, hmmm, qual é o perímetro? 36 hmmm‖. Ela demonstrou satisfação ao saber o que era o perímetro. As professoras começaram a falar que era viável utilizar essa construção com seus alunos, mas a professora K falou que não sabia se os seus alunos iriam acompanhar essa construção e a professora M respondeu ―mas eu acho que desde cedo a gente tem que usar os nomes corretos e você pode trabalhar as formas com eles‖. A professora K respondeu que ―é, aí numa série a frente ele já se apropriou [referindo-se ao nome das figuras geométricas]‖ e a professora M completa ―isso, sempre vai ter um que aprende que sempre vai além‖. Observamos nesse momento que as professoras percebem a importância de ensinar Geometria de maneira mais sistemática e que é possível construir esse conhecimento com os alunos dos Anos Iniciais, sobre essa percepção das professoras durante a formação e possível incorporação dessa proposta metodológica a suas práticas Ibernón (2009) destaca que ―Se o(a) professor(a) aceita que possa aprender a partir da observação, poderá perceber que a mudança é possível e que esta vai-se tornando efetiva a partir de sucessivas observações, pois favorece a mudança em suas estratégias de atuação como a aprendizagem dos alunos.‖ No segundo origami construído, o cubo, seguimos com a mesma metodologia de a cada figura ou elemento que ia aparecendo discutirmos suas propriedades, características e definições. Percebemos que, a partir deste origami, todas já usavam os nomes corretos como: vértice, lado, eixo e diagonal. Durante essa construção falamos também sobre fração. Exploramos um pouco a ideia de fração durante as dobras no papel, porém não estendemos o assunto para focar no trabalho da Geometria. Aproveitamos para lembrar que podemos combinar os conteúdos e trabalhar em nossas aulas. Foi o que fizemos. Estávamos trabalhando Geometria e utilizamos Fração, quando necessário. Durante a construção do cubo, apareceu uma nova forma geométrica: o paralelogramo. Perguntamos às professoras que forma era essa. Logo a professora M falou ―paralelogramo‖ e a professora Si ―nunca tinha visto esse‖. Nesse momento, a professora 95 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Sa falou algumas características do paralelogramo ―tem os lados de frente paralelos, eles não se encontram e tem quatro lados‖. Percebemos que uma professora expôs sua falta de conhecimento e as colegas respeitaram e começaram a contribuir com o que sabiam e todas juntas exploramos as características, propriedades e elementos do paralelogramo. Ao final da montagem do cubo com as professoras, elas falaram sobre o processo vivenciado: Professora R: ―Ai que legal! Adorei um de cada cor [cada face do cubo tinha duas cores] e ainda mais com a Geometria que vimos‖. Professora A: ―Esse é difícil‖. Professora M: ―mas se a gente guardar os modelos e anotar os passos fica fácil e se a gente construir mais vezes nem precisa guardar nada‖. Professora R: ―É, adorei! É só fazer mais!‖ Professora K: ―Show de bola! Adorei a miscigenação das cores‖. Professora A: ―É acho que se eu fizer mais eu consigo‖. Percebemos aqui mais uma vez que as professoras estão à vontade expondo suas dificuldades e que o grupo está trabalhando e respeitando umas às outras e se ajudando mutuamente. Na construção da caixa não foi diferente. Exploramos a Geometria, trabalhamos sempre chamando tudo pelo nome correto, utilizando o vocabulário que havíamos construído. Em um momento da construção, a pesquisadora se referiu ao vértice como ponta e logo a professora Si corrigiu, dizendo ―professora, ponta não, vértice‖ e a pesquisadora respondeu ―muito obrigada, Si! o nome é vértice, então, nada de ponta‖. Todas as professoras ficaram repetindo vértice e a professora M disse ―olha como é importante. A gente já está se dando conta dos nomes corretos‖. Percebemos aqui que o uso do vocabulário correto já começou a fazer sentido para essas professoras. Ao fim das três construções, foi solicitado às professoras que falassem sobre todo o processo vivenciado e todas trouxeram relatos positivos. Professora Si: ―Aprendi muito hoje, lembrei de coisas e conheci outras e vou fazer com meus pequenos‖. Professora M: ―A geometria que a gente trabalhou hoje me fez ficar pensando que eu não sei nada. Eu achava que sabia muito e a gente não expõe a geometria assim para trabalhar com nossos alunos. Isso é uma coisa que é legal para todo mundo que está aqui e é uma coisa que entra ali no currículo da escola e tem recomendações na Prova Brasil. Os alunos chegam ao quinto ano e eles não tiveram uma base, não sabem os nomes das figuras, não se importam. Eu acho uma coisa legal para trabalhar e diminuir isso.‖ Percebemos a importância que as professoras reconheceram na formação continuada realizada na escola, o que também é verificado na pesquisa de Justo (2009, p. 5) ―[...] Os resultados [positivos] evidenciam a importância de políticas e de ações continuada de professores em exercício no próprio âmbito escolar, em que o coletivo dos professores esteja envolvido.‖ Com o envolvimento das professoras na oficina de origami observamos 96 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación que elas acreditam que podem ensinar melhor seus alunos, podendo assim usar o origami como um recurso para o ensino da Geometria. Considerações Finais Durante o encontro de formação apresentamos uma forma concreta e lúdica de ensinar geometria partindo da realidade das aulas das professoras. Acreditamos que dessa forma o ensino e a aprendizagem da Geometria podem ser significativos para as professoras e para os alunos. Em nossa formação, contamos com um grupo participativo que se respeita e colabora umas com as outras, o que reforça o grupo como uma comunidade de aprendizagem, pois buscamos aprender preocupadas com a aprendizagem dos alunos. Acreditamos também na importância de uma formação continuada específica na área da Matemática para essas professoras dos Anos Iniciais, já que o currículo da formação inicial não é suficiente para que superem suas dificuldades e medos para com a Matemática. Assim, pretende-se levar essas professoras, que são as pessoas que formalmente apresentam a Matemática no início da vida escolar, a formalizá-la de maneira mais segura e livre de medos ou dificuldades. Constatamos em nossa formação continuada que as professoras polivalentes construíram conceitos e vivenciaram uma metodologia de ensino, conheceram elementos da geometria fazendo uso do origami, dentre o que foi construído temos os conceitos de: vértice, lado, face, aresta, eixo, ângulo, simetria, diagonal, plano, perímetro, área, trapézio, quadrilátero, pentágono e octógono. Dessa forma, buscando um melhor ensino e uma melhor aprendizagem. Referências Chamorro, M. d. (2005). Herramientas de análisis en Didáctica de las Matemáticas. In: M. d. Chamorro, & M. d. Chamorro (Ed.), Didáctica de las Matemáticas (pp. 39-62). Madrid: Pearson Educación. Imbernón, F. (2009). Formação permanente do professorado novas tendências. São Paulo: Cortez. Justo, J. C. (2009). Resolução de problemas matemáticoa aditivos: possibilidades da ação docente. Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre. Novak, T.; Passos, A. (2012). A utilização do origami no ensino da geometria: relatos de uma experiência.Site <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/7194.pdf>, acessado em: 05/abril/2012. Paiva, P.; Bezerra, M. (2012). O origami no ensino de geometria: uma experiência em sala de aula. Site <http://www.sbemrn.com.br/site/II%20erem/comunica/doc/comunica17.pdf>, acessado em: 02/abril/2012. Ruiz, E. M. (2005). Creación y Desarrollo de Comunidades de Aprendizaje: hacia la mejora educativa. Revista Educacíon, 337, 235-250. Zanolini, E. d., Vano, M. d., & Barusso, M. G. (Julho/Dezembro de 2009). Origami como recurso pedagógico: experiência didática com criança do ensino fundamental. OMNIA Humanas, 2(2), 13-20. 97 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación O LIVRO DIDÁTICO NA CONSTRUÇÃO DA AUTONOMIA DIDÁTICA E PEDAGÓGICA DO EGRESSO DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DE CAXIAS/MA Lélia de Oliveira Cruz, Arno Bayer Universidade Luterana do Brasil, Canoas. Brasil [email protected], [email protected] Formação de professores de Matemática Nível Posgrado Palavras-chave: Livro didático. Formação de professores. Autonomia didática e pedagógica. Resumo O trabalho em epígrafe consiste num estudo sobre o livro didático na construção da autonomia didática e pedagógica do egresso do curso de Licenciatura em Matemática de Caxias/MA. A abordagem é um recorte da pesquisa realizada para a dissertação de mestrado, que tem como problemática central, compreender ―como os saberes construídos na formação inicial no Curso de Licenciatura em Matemática do CESC/UEMA contribuem para a constituição e o desenvolvimento da atividade docente do egresso?‖ Apresentam-se, neste estudo, os resultados parciais da investigação sobre a contribuição do livro didático na construção da autonomia didática e pedagógica do egresso do curso de Licenciatura em Matemática, na visão dos egressos do curso citado e que estão na docência. Introdução É impossível falar de qualidade de ensino, sem falar da formação do professor. Estas questões constituem a espinha dorsal de diversas pesquisas. Neste texto, destaca-se a compreensão dos professores egressos do Curso de Licenciatura em Matemática do Centro de Estudos Superiores de Caxias/Universidade Estadual do Maranhão (CESC/UEMA), quanto à contribuição do livro didático na construção da autonomia didática e pedagógica do professor de Matemática. A investigação aqui delineada partiu da necessidade de compreender o papel desempenhado pelo livro didático de Matemática no processo docente educativo, enquanto instrumento mais popular à disposição dos alunos e dos professores e que vem assumindo inúmeras funções no processo de ensino e de aprendizagem, ao longo das décadas. Para tanto, analisou-se o posicionamento de 39 professores que estão na docência e são egressos do curso objeto da investigação. A análise foi realizada a partir dos dados compilados nos questionários. Referencial Teórico O homem, em todo percurso da humanidade, teve como tarefa reconstruir os saberes socialmente organizados, a fim de construir a sua própria identidade profissional. O que Tardif chama de ―epistemologia da prática profissional‖, ou seja, ―[...] o estudo do conjunto de saberes utilizado realmente pelos profissionais em seu espaço de trabalho cotidiano para desempenhar todas as suas tarefas‖ (Tardif, 2007, p. 255). 98 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Tendo em vista este conjunto de saberes que são produzidos dentro da dinâmica da docência, buscou-se analisar a contribuição do livro didático na construção da autonomia didática do professor de matemática, por entender que esta categoria está dialeticamente relacionada com a formação de professor. Os pressupostos anteriormente abordados foram decisivos neste estudo sobre o livro didático e a formação do professor de matemática. O referencial consultado é fundamentado nos pesquisadores: Freitag (1993), Gérard & Roegiers (1998), Silva Junior (2008), entre outros. Este referencial permitiu a análise dos dados coletados nos questionários dos professores pesquisados para caracterizar a função do livro didático. Entre elas pode-se destacar: recurso didático pedagógico, guia curricular, orientador de aprendizagem, fonte de pesquisa e estudo para professor e aluno. As funções destacadas estão em consonância com a definição: [...] para ser didático um livro precisa ser usado de forma sistemática no ensino-aprendizagem de um determinado objeto de conhecimento já consolidado como disciplina e é publicação dirigida tanto aos professores quanto aos alunos, que não apenas organiza os conteúdos a serem ensinados como também indica a forma como o professor deve planejar suas aulas e tratar os conteúdos com os alunos (Silva Junior, 2008, p. 2). O autor destaca, com muita propriedade, o papel que o livro didático ocupa na educação atualmente, sem esquecer a importância do mesmo para a formação dos alunos, que muitas vezes só dispõem deste recurso para estudo e aprofundamento da aprendizagem. Assim como, muitos professores adotam-no como instrumento imprescindível para sua atuação docente. Estes buscam no livro didático o aprofundamento dos conteúdos, que não foram alcançados na formação inicial (graduação) e que são necessários ao exercício da docência, confirmando como é destacado: [...] o único com o qual o professor pode contar para tratar as conseqüências de uma formação inicial deficiente agindo com o objetivo de colocar novos assuntos no contexto escolar da prática pedagógica e este mesmo livro didático deve estar estruturado para suprir às necessidades dos professores (Silva Junior, 2008, p. 5). O livro didático, historicamente, no percurso de formação inicial, constituiu-se uma fonte relevante de consulta do licenciando. Assim, o livro didático precisa estar estruturado de modo qualitativo, considerando o conhecimento cientifico, para contribuir na formação teórica deste profissional. Permitindo que o mesmo se desenvolva profissionalmente a partir da compreensão do que deve ser o trabalho docente, categoria que necessita ser compreendida como exercício da docência que passa pela construção da autonomia didática e pedagógica. Entende-se que a formação precisa ter um caráter de continuidade, sendo o curso de graduação, o início da construção da autonomia didática e pedagógica do professor, pois é na prática docente, nas interações que estabelece com seus pares e alunos, e com o livro 99 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación didático, que o professor se constitui profissionalmente, culminando assim, com as palavras de Almir Sater e Renato Teixeira na sua música Tocando em Frente, ―[...] cada um de nós compõe sua própria história. E cada ser em si carrega o dom de ser capaz [...]‖. Nesta dimensão, a autonomia didática e pedagógica se constitui a partir do desenvolvimento pessoal e profissional. Considerou-se a premissa que a autonomia didática e pedagógica se consolida no exercício da profissão docente, é que se organizou a questão que esta em foco: qual a contribuição do livro didático na construção da identidade profissional do professor de matemática, egresso do CESC/UEMA? Na viabilidade de compreender a contribuição do livro didático na construção da identidade profissional do professor de Matemática, optou-se por uma retomada breve do percurso histórico do processo de implantação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), a partir dos documentos oficiais. O programa de distribuição de obras didáticas aos estudantes da rede pública de ensino no Brasil teve início em 1929, com outra denominação. Com o passar dos anos, o programa foi sendo aperfeiçoado, tendo diferentes nomes e formas de execução. No momento atual, é conhecido como PNLD, atendendo à Educação Básica brasileira. Foi feito um recorte dos últimos 80 anos, para enfatizar a importância da criação da Comissão do Livro Técnico e do Livro Didático (COLTED), que tinha como objetivo: ―[...] coordenar as ações referentes à produção, edição e distribuição do livro didático‖ (Brasil, 2012, p. 1). Contudo, no ano de 1971 o Instituto Nacional do Livro (INL) passou a desenvolver o Programa do Livro Didático para o Ensino Fundamental (PLIDEF), programa que assumiu ―[...] as atribuições administrativas e de gerenciamento dos recursos financeiros até então a cargo da COLTED‖ (Brasil, 2012, p.1). Em 1985, mediante publicação do Decreto nº 91.542, de 19/8/85, o PLIDEF deu lugar ao Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), que tem dentre outros objetivos: adquirir e distribuir livros didáticos para alunos da Rede Pública de Ensino; oferecer a alunos e professores de escolas públicas do Ensino Fundamental, de forma universal e gratuita, livros didáticos e dicionários de Língua Portuguesa de qualidade, para apoio ao processo ensino-aprendizagem (Brasil, 2012, p. 3). Vale ressaltar que em 2004 foram distribuídos de forma integral livros didáticos para todo Ensino Fundamental, o que veio também ocorrer com o Ensino Médio, somente em 2008. Pela própria forma como foram desenvolvidos os critérios de avaliação e seleção dos títulos, tendo como suporte o trabalho das Universidades, o livro didático, com PNLD, passou a ter qualidade, o que anteriormente era questionado por diversos pesquisadores, conforme: Peguem um livro científico do século XVIII e vejam como está inserido na vida cotidiana. O autor dialoga com o leitor como um 100 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación conferencista. Adota os interesses e as preocupações naturais. Por exemplo: quer alguém falar de trovão? Começa-se por falar com o leitor sobre o medo do trovão, vai se mostrando que esse medo não tem razão de ser, repete-se mais uma vez que, quando o trovão reboa o perigo já passou, que só o raio pode matar (Bachelard, 1996, p. 31). A implantação do PNLD, em que disponibiliza títulos selecionados a partir de critérios previamente estabelecidos, permite que o professor da Educação Básica, da rede pública de ensino, escolha os livros didáticos que irão trabalhar no triênio seguinte, tendo como parâmetro a necessidade do aluno e os objetivos organizados para as series. Um dos riscos que o uso do livro didático pode apresentar e tornar-se a única fonte de referência, ideia que é balizada por Freitag, quando destaca que o livro didático é visto de forma errônea pelos professores ao ser concebido com único recurso pedagógico, conforme afirma ―[...] o critério absoluto de verdade o modelo da existência a ser adotado em classe‖ (Freitag, 1993, p. 124). Nesta abordagem o livro didático tem assumido diversas funções o que interfere na construção da identidade profissional do professor. Pesquisa O projeto de pesquisa, no qual este trabalho se insere, compreende várias etapas de investigação: aplicação de questionários e entrevistas semi-estruturada com professores egressos do Curso de Matemática do Centro de Estudos Superiores de Caxias/Universidade Estadual do Maranhão - CESC/UEMA que estão no exercício da docência, entrevista com egressos do Curso de Matemática que não estão na docência e com alunos que estão cursando os últimos períodos da graduação. Para melhor situar a historia e o desenvolvimento do curso, será também realizada análise documental dos projetos pedagógico de implantação e reformulação. Abordagem aqui apresentada considera a importância do livro didático de Matemática na construção da autonomia didática e pedagógica do ponto de vista dos professores. Neste intuito, o referido artigo, analisou cinco questões dos questionários respondidos por 39 professores em exercício de docência egressos do curso em foco. Foi perguntado aos professores, ―quais as contribuições do livro didático na constituição da autonomia didática e pedagógica do professor de matemática?‖. Com base nas respostas, foram obtidos os resultados expressos na figura 01. 101 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 102 Figura 01 Fonte: A Pesquisa Com relação ao primeiro questionamento, verificou-se que apareceu uma variedade de contribuições ou funções do livro didático, na opinião dos professores. Contudo, sobressaíram as expressões: ―enriquece e contribui no desenvolvimento da docência‖ (23%); ―transmitir conhecimento, servir de suporte para estudar e resolver exercícios‖ (10%); ―desenvolve habilidades e orienta atividade docente‖ (10%); “organização dos conteúdos” (8%); “principal instrumento do trabalho pedagógico” (8%). O que totaliza em 59%, dando possibilidade de inferir que a concepção dos professores é: o livro didático é o principal referencial para o ensino e a aprendizagem. Vale ressaltar que apenas dois professores tiveram opinião negativa em relação à importância do livro didático, visto que, afirmaram que o mesmo contribui ―muito pouco‖ e dois professores deixaram de responder. Os demais apontaram apenas aspectos positivos quanto à contribuição do livro didático para a constituição da autonomia do professor. Dando continuidade a análise, traz-se a seguinte pergunta: ―na sua concepção o livro didático contribui para o êxito da aprendizagem dos alunos?‖ Com base nas respostas apresentadas na figura 02, verifica-se que 85% dos professores pesquisados acreditam na importância do livro didático para o êxito da aprendizagem dos alunos – o que corresponde a 33 professores (as), somente 15%, ou seja, três professores (as), demonstraram sentimento negativo, não acreditando na contribuição do livro didático de Matemática, para a aprendizagem dos alunos. Figura 02 Fonte: A Pesquisa El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación A questão seguinte indagou a concepção dos egressos, quanto ao êxito do livro didático na aprendizagem dos alunos. Conforme podemos observar na figura 03, foram pontuadas diversas concepções, ou seja, o livro didático desempenha inúmeras funções na aprendizagem dos alunos, dando o caráter de instrumento insubstituível. 103 Figura 03 Fonte: A Pesquisa Quanto ao desenvolvimento das atividades do professor, foi feita a seguinte pergunta: ―qual a contribuição do livro didático para o desenvolvimento das atividades do professor?” As respostas dadas estão expressas na figura 04. Figura 04 Fonte: A Pesquisa Considerando a figura anterior, fica clara a contribuição do livro didático para o êxito do professor no desenvolvimento das atividades docentes. Conforme podemos destacar as seguintes expressões: ―Através das atividades propostas e como suporte de pesquisa‖, ―Sugestão de leitura, aprofundar e ampliar conteúdo‖, ―Com roteiro de conteúdo, exercícios e no planejamento‖ e ―Planejamento e organização de aulas, leitura dos alunos‖. Tais respostas caracterizam a importância que os pesquisados atribuem a este instrumento para exercício da docência. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Somente 5% dos professores pesquisados afirmaram que o livro didático ―não contribui‖. Com base nos resultados, torna-se evidente o sentimento positivo por parte do professor em relação à contribuição que o livro didático proporciona a prática docente. Na última questão, que versou sobre o uso que o professor faz do livro didático em sala de aula, foi perguntado: ―de que forma você utiliza o livro didático em sala de aula? (Marque uma alternativa)‖, foram apresentadas as seguintes opções de resposta: ―Para resolver exercícios; Para pesquisar e aprofundar os conhecimentos trabalhados em aula; Para introduzir os conhecimentos a serem trabalhados; Como referencial principal para desenvolver suas aulas; Outros. Os professores deram as seguintes respostas, conforme figura 05. Figura 05: Fonte: A Pesquisa Considerando as respostas, 49% dos professores pesquisados utilizam o livro didático ―para pesquisar e aprofundar os conhecimentos trabalhados em aula‖, enquanto que 18%, ou seja, sete professores usam o livro ―como referencial principal para desenvolver suas aulas‖, para introduzir os conhecimentos a serem trabalhados 10% e para resolver exercícios 8%. Vale ressaltar que 15% dos professores marcaram todas as opções e justificaram que usam todas as modalidades apresentadas em um momento ou outro na sala de aula. As respostas permitem concluir que todos dos professores investigados usam o livro didático de uma forma, ou de outra para desenvolver suas atividades docentes. O que pode ser confirmado com o pensamento de Dante:―[...] como matéria-prima para todos esses desenvolvimentos, o livro didático torna-se essencial‖ (Dante, 1996, p. 90), neste sentido o livro didático continua assumindo o papel de principal recurso para a construção, organização e reorganização dos saberes dos alunos e dos professores. Considerações Finais O estudo realizado permitiu esclarecer que o livro didático continua contribuindo para a construção da autonomia didático pedagógica do professor de Matemática, bem como, destaca os aspectos mais relevantes do ponto de vista dos professores investigados quanto ao uso que fazem do livro didático. Os pressupostos apontados pelos professores nesta pesquisa, quanto à importância do livro didático na construção da autonomia didática e pedagógica, passa também pela formação continuada. Ressalta-se ainda, que muitos professores contam apenas com o livro didático para aprofundar conhecimentos, pesquisar métodos de ensino e outras. Neste sentido, a contribuição do livro didático na formação 104 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación docente, tanto na inicial quanto na continuada é realizada dentro do ideário da sua prática pedagógica. O estudo, sobre a contribuição do livro didático de Matemática, não se encerra aqui, muito ainda precisa ser feito, para desvelar a importância deste recurso para a formação continuada dos professores e para entender o papel da relação dialética na formação e prática pedagógica. Referências Bachelard, G. (1996). A formação do espírito científico p. 31. Rio de Janeiro: Contraponto. Brasil, (2012). Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação/Programas - Livro Didático – Histórico do livro didático, Brasília. Acessado em: 12de fevereiro de 2012 de http://www.fnde.gov.br/index. php/pnld-historico. Brasil, (2012). Histórico do livro didático, Brasília. Acessado em: 06 de fevereiro de 2012 de Disponível em: http://www.fnde.gov.br/index. php/pnld-historico. Brasil, (2012). Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação/Programas - Livro Didático – Histórico do livro didático, Brasília. Disponível em: http://www.fnde.gov.br/index. php/pnld-historico, acessado em: 12/022012 Dante, L. R. (1996). Livro didático de Matemática: uso ou abuso? In: Em Aberto. Brasília, v.26, n.69, p.52-58. Gérard, F.M., Roegiers, X. (1998). Conceber e avaliar manuais escolares. in BRASIL. Guia de livros didáticos PNLD 2008: Matemática (2007) Brasília: MEC,(Anos Finais do Ensino Fundamental). ISBN 978-85-98171-97-5. p.11. Freitag, C. B.W. F.; Motta V. R. (1993). O livro didático em questão. 3ª ed. São Paulo: Cortez. p. 124. Sater, A; Teixeira, R. Tocando em Frente. (1992). In: SATER, A. Almir Sater ao vivo. n. 50.1392-464237 Columbia/Sony Music, 1 CD. Faixa 2. Silva Junior, C. G. da., Regnier, J. C. (2008). Livros didáticos e suas funções para o professor de Matemática no Brasil e na França. In: 2 SIPEMAT: Simpósio Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, Recife PE : Brasil. Tardif, M. (2007). Saberes docentes e formação profissional, 8 ed.; Petrópolis, RJ: Vozes. p. 255 105 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación O PROCESSO AVALIATIVO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO Célia Maria Espasandin Lopes, Celi Espasandin Lopes Universidade Cruzeiro do Sul. São Paulo – Brasil [email protected] Palavras Chave: Avaliação. Formação de professores. Educação matemática. Ensino médio. Resumo Este artigo se refere à parte de uma pesquisa de mestrado que está sendo desenvolvida junto a quatro professores de Matemática do Ensino Médio que atuam em uma escola da rede estadual de Ensino do Estado de São Paulo no Brasil. Trata-se de uma pesquisa de intervenção com análise qualitativa e interpretativa. O objetivo deste estudo é analisar as práticas avaliativas dos professores de matemática do ensino médio a partir da realização de encontros semanais em horário comum de trabalho pedagógico. Para construir os dados foram aplicados questionários e realizadas pesquisas individuais e semiestruturadas. Estão sendo construídos estudos de caso, nos quais se busca evidenciar que um processo reflexivo sobre a prática avaliativa permite ao professor redimensionar sua ação docente. As análises iniciais indicam a pouca percepção dos professores de considerarem a prática avaliativa intrínseca ao processo de ensino e aprendizagem. A prática avaliativa deles tem se centrado em um processo de avaliação sobre os alunos, sem possibilitar a eles serem protagonistas do processo e adquirirem clareza sobre a aprendizagem matemática deles. Outro aspecto que também emerge se refere ao fato dos professores não considerarem os eixos norteadores da ação educacional relacionados às habilidades e focalizarem as ações avaliativas apenas nos eixos de conteúdos matemáticos. Introdução O contexto educacional brasileiro tem sido marcado por políticas públicas que promovem a realização de várias avaliações externas. Enquanto isso, nas escolas da Educação Básica os professores tem o desafio de envolver os alunos em atividades escolares que privilegiem a aquisição de conhecimento. Perrenoud (1999) alerta-nos sobre nossas ações docentes, lembrando que nem todos os alunos estão predispostos a aprender e nossa intervenção é fundamental para envolvê-los no processo de ensino e aprendizagem através da avaliação formativa. Os bastidores das escolas públicas estaduais paulistas tem sido pautado nos resultados de avaliações internas e externas e na implementação de nova proposta curricular e material didático. Frente a isso os professores lidam com os dilemas que se impõem a sua prática docente e consequentemente as suas ações avaliativas. A escassez de pesquisas que analisem a avaliação da aprendizagem matemática, em particular, no ensino médio torna relevante a realização dessa pesquisa. 106 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Considera-se aqui a avaliação como um elemento integrante e regulador da prática educativa permitindo uma coleta sistemática de informações que, uma vez analisadas, apoiam a tomada de decisões à promoção da qualidade das aprendizagens. A avaliação incide sobre as aprendizagens e competências definidas, o que direciona a refletir sobre o processo de avaliação frente ao compromisso de educar para a compreensão humana. O processo de avaliação deve ser desenvolvido em conjunto com os alunos, e o foco do trabalho docente deve ser o desenvolvimento do aluno, daí a necessidade de sinalizar as dificuldades e os avanços que ele apresenta durante o processo de ensino e aprendizagem. Ao pensarmos a avaliação não podemos desconectá-la da prática pedagógica, pois isso apenas seria possível em um processo burocrático e não educativo. Hoffman (2000) alerta para o quanto a avaliação no ambiente escolar está carregada de um significado muito diferente da avaliação no nosso cotidiano. Ao fazer essa consideração ela nos chama atenção para o quanto à avaliação da escola ocorre em um tempo determinado, no dia do conselho, no dia do entregar notas, nos dias de provas... Para a autora não há como separar o agir e o pensar, mas parece que na escola insistimos em dois momentos separados: o tempo de agir (dar aulas, explicações, fazer exercícios, corrigir tarefas...) e o tempo de refletir, julgar resultados (corrigir, verificar, atribuir notas e conceitos, fazer pareceres...). O processo de avaliação faz parte da formação humana, não se limita apenas a momentos para se aprovar ou se reprovar os alunos. O aluno precisa ter a percepção de que ao desenvolver um trabalho ou ao realizar uma prova é o momento de sistematização de sua aprendizagem. A escola deve ter uma proposta que incentive essa visão, pois o aluno deve ser coautor do processo de ensino e aprendizagem. Para Muniz (2009), os professores ao compartilharem as responsabilidades da prática avaliativa com seus alunos, de forma organizada e sistematizada, procurando torná-los protagonistas dessa prática, geram um novo equilíbrio na relação entre o professor e o aluno, provocando em todos novos comportamentos direcionados para uma avaliação emancipatória. Ao sentir-se gestor de seu processo de avaliação, o aluno passa a conscientizar-se do valor de cada momento do processo que ele vivenciava para aprender e percebe que o resultado final é consequência de todos os resultados obtidos durante um determinado período de estudo. Dessa forma, a prática educativa deve prever uma diversidade de procedimentos que auxilie o aluno no seu processo de aprendizagem, promovendo a investigação, aguçando a curiosidade na busca do conhecimento. Avaliar apenas quantitativamente se corre o risco de não se ter clareza sobre a aprendizagem especifica em cada disciplina e pode ser um incentivo ao não interesse pelo 107 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación conhecimento, os estudantes podem se preocupar apenas com a nota que lhe foi atribuída e não obter clareza sobre sua aprendizagem sobre as áreas de conhecimento. Mais do que expressar ao aluno uma nota ou um conceito, uma aprovação ou uma retenção, a escola tem a responsabilidade de sinalizar ao aluno quais os conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais ele foi capaz de adquirir e quais ele ainda necessita investir. A prática avaliativa deve possibilitar ao aluno e ao professor uma reflexão sobre os resultados obtidos nos diversos instrumentos avaliativos (provas, trabalhos, seminários, auto-avaliação...). As decisões sobre o processo de avaliação da escola deve ser amplamente discutida pela equipe pedagógica a fim de se fazer ajustes constantes sobre as práticas avaliativas. O processo de avaliação não pode ser um simples trabalho burocrático e preso a um cálculo bem elaborado e/ou uma ficha avaliativa superficial é preciso que este seja capaz de apontar os avanços que o aluno apresenta no desenvolvimento de cada área, bem como, as suas habilidades e competências adquiridas em cada área de conhecimento. Assim, é preciso refletir sobre o sentido fundamental da ação avaliativa o qual requer movimento e transformação, tem que se traduzir em um processo de acompanhamento e regulação do ensino e aprendizagem, ou seja, uma avaliação formativa (Santos et al, 2010). Essa perspectiva requer uma compreensão de avaliação como ação coletiva e consensual, em uma concepção investigativa e reflexiva, pois esta é que marca a busca pelo conhecimento. Uma postura cooperativa entre professor/aluno e aluno/aluno se faz necessária na ação educativa, bem como, a consciência crítica e responsável de todos sobre o cotidiano, assumir essa perspectiva é assumir que a escola é um espaço de aprendizagem, de busca e encontro do conhecimento, de aquisição de cultura, de transformação social. Tais pressupostos são norteadores do desenvolvimento dessa investigação, a qual será descrita a seguir. Contexto da pesquisa Esta pesquisa está sendo desenvolvida na E. E. Professora Amália Garcia Ribeiro Patto, situada na cidade de Tremembé, interior do Estado de São Paulo. Atualmente a escola funciona nos períodos matutino, com 8 classes, e, no período noturno com 4 classes, as quais são ocupadas por turmas de 1ª, 2ª e 3ª séries do ensino médio. O corpo discente de aproximadamente 280 alunos e uma equipe docente de 18 professores nas diversas áreas de atuação. Nesta investigação estão envolvidos 4 professores de Matemática, dois deles tem a carga de trabalho composta por 5 aulas no período da manhã e, os outros dois, com 4 aulas semanais nas turmas do período noturno. Em 2008 a Secretaria de Estado da Educação de São Paulo apresentou uma proposta curricular de Matemática para o Ensino Fundamental e Médio. Essa proposta apresenta-se com o objetivo de garantir em todas as escolas da rede estadual uma base comum de conhecimentos e competências. Os princípios centrais, desta Proposta Curricular, são: 108 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Uma escola que também aprende; O currículo como espaço de cultura; As competências como referência para a aprendizagem; A prioridade para a competência da leitura e da escrita; A articulação das competências para aprender; A articulação com o mundo do trabalho. A Proposta Curricular do Estado de São Paulo (São Paulo, 2008, p. 19) adota como competências para aprender, as mesmas cinco competências formuladas no referencial teórico do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) que são: I. Dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das Linguagens Matemática, Artística e Científica. II. Construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artística. III. Selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações problemas. IV. Relacionar informações, representadas em diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir argumentação consistente. V. Recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaborar propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sociocultural. O objetivo principal da proposta curricular, de Matemática, é que se consiga o mapeamento de informações importantes da rede, e organizá-las em narrativas significativas em todo o território disciplinar. Para tanto, os currículos devem ser utilizados para o desenvolvimento das competências pessoais dos alunos. Assim, as competências básicas elencadas por esta proposta curricular, são as mesmas formuladas pelo ENEM: eixo expressão/compreensão; eixo argumentação/decisão; e, eixo contextualização/abstração. Os conteúdos disciplinares de Matemática para o Ensino Médio estão organizados em quatro eixos temáticos: Números; Geometria; Grandezas e Medidas; e, Tratamento da Informação. Eles estão dispostos por série e por bimestre, conforme tabela a seguir: 1ª Série 1º Bimestre Números e Sequências: Conjuntos numéricos Regularidades Numéricas sequências Progressões Aritméticas e Geométricas 2ª Série Trigonometria: Fenômenos Periódicos Funções trigonométricas Equações e inequações Adição de arcos 3ª Série Geometria analítica: Pontos Reta Ponto e reta Circunferência: equação Retas e circunferência Cônicas: noções e 109 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 2º Bimestre Funções: Relação entre duas grandezas Proporcionalidade Função 1º grau Função 2º grau Função exponencial Função logarítmica 3º Bimestre 4º Bimestre Geometria-trigonometria Razões trigonométricas no triângulo retângulo Polígonos regulares Resolução de triângulos não retângulos Matrizes, Determinantes e sistemas lineares: Matrizes Noção de determinantes Resolução de sistemas lineares Análise combinatória e probabilidade Raciocínio combinatório: Princípio multiplicativo e aditivo Probabilidade Simples Arranjos, combinações e permutações Probabilidade da reunião e/ou intersecção de eventos Distribuição binomial de probabilidade: Triângulo de Pascal e Binômio de Newton Geometria métrica Elementos de geometria de posição Poliedros, prismas e pirâmides Cilindros, cones e esferas aplicações Equações algébricas e números complexos: Equações polinomiais Números complexos Propriedades das raízes – equação polinomial Relações de Girard Estudo de Funções: Qualidade das funções Gráficos Composição: translações e reflexões Inversão Estatística: Gráficos estatísticos; cálculo e interpretação de índices estatísticos Medidas de tendência central mediana, moda, média Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão Elementos de amostragem Tabela 1 - Conteúdo matemático indicado na proposta curricular do Estado de São Paulo Considerando as recomendações desta proposta o processo de avaliação da aprendizagem matemática deveria contemplar os três eixos relacionados às habilidades e os quatro eixos referentes aos conteúdos matemáticos. Complementa essa ideia as considerações feitas no documento do NCTM (1991) quando a avaliação deve estar de acordo com três princípios gerais: (i) compatibilidade entre formas e instrumentos de avaliação e as várias componentes do currículo – finalidades, objetivos, conteúdos, processos matemáticos e experiências de aprendizagem; (ii) a diversidade de modos e instrumentos, que permitam recolher dados convergentes a partir de fontes diversas; e (iii) a adequação dos métodos e práticas de avaliação em relação ao tipo de informação pretendido, ao fim a que se destina e ao nível de desenvolvimento e maturidade do aluno. Esses princípios revelam a complexidade do processo avaliativo em matemática o qual também é destacado por Lopes (2011) ao afirmar que a escola deverá se organizar de maneira a dar condições necessárias aos estudantes de desenvolverem habilidades e competências necessárias para a compreensão de uma nova sociedade de natureza complexa, competitiva e carente de valores morais e éticos e de cidadãos críticos e reflexivos, conscientes de seu papel na família e na sociedade, e da importância que a Matemática representa na construção do conhecimento científico ao longo da história da 110 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación humanidade, e da necessidade da apropriação desse conhecimento para atuar numa sociedade altamente tecnológica. Neste contexto essa pesquisa busca responder a seguinte questão: Como os professores de matemática aplicam seus conhecimentos profissionais para redimensionarem suas ações avaliativas? A busca pela resposta dessa questão encontra-se pautada nas seguintes questões norteadoras: Como acontece a prática avaliativa em matemática nas salas de aula do ensino médio? Quais as principais dificuldades encontradas pelos professores na avaliação da aprendizagem matemática? Os professores apresentam ações avaliativas diferenciadas em relação aos eixos temáticos de matemática? Os professores consideram a avaliação de habilidades relativas aos três eixos norteadores da ação educacional previstos na proposta curricular (expressão/compreensão; argumentação/decisão; contextualização/abstração)? Para desenvolver essa investigação a partir desses questionamentos, elaboramos um processo metodológico descrito a seguir. Procedimentos metodológicos A metodologia expressa a trajetória realizada pelo pesquisador ao investigar questões que decorrem de suas inquietações. Trata-se de um caminho do pensamento e uma prática utilizada na abordagem da realidade, na qual as concepções teóricas, as técnicas e a criatividade do investigador constituem condições primordiais para o processo investigativo (Minayo, 1998). Para Goldenberg (1998) é uma orientação para o trabalho de investigação que requer criatividade, disciplina e organização por parte do investigador. Dessa forma, esta pesquisa desenvolve-se pela metodologia qualitativa a qual será utilizada para viabilizar o alcance dos objetivos propostos, pois a abordagem qualitativa, no campo da educação, permite ao investigador tratar melhor o conjunto de expressões humanas, presentes nas relações, nos processos, nos sujeitos e nas representações. Os dados dessa investigação estão sendo construídos junto a quatro professores de matemática em encontros semanais. Para a construção dos dados elaboramos um questionário para traçar o perfil de cada professor e mapear a concepção e prática avaliativa de cada um deles. Depois, elaboramos e fizemos entrevistas semiestruturadas para investigar como o conhecimento profissional de cada um deles define o processo de avaliação adotado. Para complementar os dados, estão sendo realizadas videogravações dos encontros, recolha de narrativas dos professores, recolha de registros dos alunos e anotações no diário de campo. No processo de análise dos dados utilizamos a técnica da triangulação a fim de garantir maior rigor ao processo analítico. Será realizada a triangulação de múltiplos instrumentos (narrativas do professor, diário de campo, registros dos alunos) e agentes (professor, pesquisador, aluno). A seguir, apresentamos alguns indícios emergentes das análises iniciais sobre os dados produzidos até o momento. Considerações finais As análises iniciais indicam a pouca percepção dos professores de considerarem a prática avaliativa intrínseca ao processo de ensino e aprendizagem. A prática avaliativa deles tem 111 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación se centrado em um processo de avaliação sobre os alunos, sem possibilitar a eles serem protagonistas do processo e adquirirem clareza sobre a aprendizagem matemática deles. Os resultados convergem para as considerações de Lopes (2010) de que um processo de avaliação precisa explicitar os objetivos propostos para o ensino e a aprendizagem; as capacidades que se pretende desenvolver durante o processo pedagógico; e quais conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais serão considerados. Os resultados que emergem desse processo devem ser utilizados para direcionar a intervenção pedagógica do professor, a fim de melhorar a aprendizagem, e para o aluno rever suas ações durante os estudos. Outro aspecto que também emerge se refere ao fato dos professores não considerarem os eixos norteadores da ação educacional relacionados às habilidades e focalizarem as ações avaliativas apenas nos eixos de conteúdos matemáticos. Dessa forma, o processo de intervenção dessa pesquisa está sendo encaminhado para que os professores redimensionem suas práticas avaliativas considerando a avaliação como parte integrante do processo de ensino e aprendizagem e que tem a participação do aluno como coautor na análise de sua aprendizagem, assumindo a perspectiva da avaliação reguladora da aprendizagem. Referências Bibliográficas Goldenberg, M. (1997). A arte de pesquisar: como fazer pesquisa qualitativa em Ciências Sociais. Rio de Janeiro: Record. Hoffman, J. (2000). Avaliação Mediadora: Uma Prática da Construção da Pré-escola a Universidade. 17.ª ed. Porto Alegre: Mediação. Lopes, C. E. (2010). Discutindo ações avaliativas para as aulas de Matemática. In: Lopes, C. E. & Muniz, M. I. S. (Orgs.). O processo de avaliação nas aulas de Matemática. Campinas/SP: Mercado de Letras. Lopes, C. E. (2011). Os desafios e as perspectivas para a Educação Matemática no Ensino Médio. Trabalho encomendado pelo GT19- Educação Matemática, para apresentação na 34ª Reunião Anual da ANPED. Natal. Minayo, M. C. S. (org.). (1996). Pesquisa social: teoria, método e criatividade. 6ª ed. Petrópolis, Rio de Janeiro: Vozes. Muniz, M. I. S. (2009). A prática avaliativa nas aulas de matemática: uma ação compartilhada com os alunos. Dissertação de Mestrado, Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo/SP. National Council of Teacher of Mathematics – NCTM. (1991). Normas para o currículo e a avaliação em Matemática escolar. Lisboa: APM e IIE. Perrenoud, P. (1999). Avaliação: da excelência à regulação das aprendizagens, entre duas lógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1999. Santos, L. (org.). (2010). Avaliar para Aprender: relatos de experiências de sala de aula do pré-escolar ao ensino secundário. Porto: Porto Editora. São Paulo. (2008). Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática. Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio. Coord. Maria Inês Fini. São Paulo: SEE. 112 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación SISTEMA INTEGRADO DE ENSINO E APRENDIZAGEM (SIENA) PARA APOIO A RECUPERAÇÃO DO CONTEÚDO EQUAÇÕES DE 1º GRAU Andrielly Viana Lemos, Carmen Teresa Kaiber Universidade Luterana do Brasil- ULBRA, Brasil. [email protected], [email protected] Nivel Básico Introdução Este trabalho tem como objetivo apresentar o Sistema Integrado de Ensino e Aprendizado (SIENA) como uma ferramenta que possibilite a recuperação de conteúdos sobre equações de 1º grau, por meio de uma sequência didática organizada para esse fim. Faz parte de uma pesquisa de mestrado em andamento, que busca investigar em que medida uma sequência didática, com o tema equações de 1º grau, disponível no SIENA, favorece o processo de ensino e aprendizagem na recuperação de conteúdos, para alunos do 7º ano do Ensino Fundamental. O SIENA foi desenvolvido pelo Grupo de Estudos Curriculares de Educação Matemática (GECEM), da Universidade Luterana do Brasil (ULBRA), em convênio com o Grupo de Tecnologias Educativas, da Universidade de La Laguna (ULL), de Tenerife na Espanha. Sistema integrado de ensino e aprendizagem - SIENA O SIENA é um sistema inteligente que serve de apoio ao desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem de qualquer conteúdo, uma vez que permite disponibilizar testes adaptativos a serem realizados pelos estudantes, a partir dos quais o sistema gera um mapa individualizado que apresenta o desempenho dos mesmos. De acordo com Groenwald e Ruiz (2006, p.26) este sistema é ―capaz de comunicar informações sobre o conhecimento dos alunos em determinado tema, tem o objetivo de auxiliar no processo de recuperação de conteúdos matemáticos, utilizando a combinação de mapas conceituais e testes adaptativos‖. Ainda, segundo os autores, o SIENA foi desenvolvido através de uma variação dos tradicionais mapas conceituais, que nessa perspectiva é denominado de Grafo Instrucional Conceitual Pedagógico - PCIG (Pedagogical Concept Instructional Graph), o qual permite a planificação do ensino e da aprendizagem de um tema específico. No PCIG os conceitos são colocados de acordo com a ordem lógica em que devem ser apresentados ao aluno, sendo desenvolvido segundo relações do tipo ―o conceito A deve ser ensinado antes do conceito B‖, começando pelos nodos (conceitos no grafo) dos conceitos prévios, seguindo para os conceitos fundamentais, até atingir os nodos mais abrangentes. O PCIG está ligado a testes adaptativos que geram um mapa individualizado do desempenho dos estudantes. A cada nodo do PCIG pode ser vinculada uma sequência didática que serve para recuperar os conceitos avaliados no teste de cada nodo. A figura 1 mostra o esquema básico de funcionamento do SIENA. 113 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Figura 1 – Esquema do SIENA Um teste adaptativo informatizado é administrado pelo computador, e procura ajustar as questões do teste ao nível de habilidade do aluno. Segundo Costa (2009) esse tipo de teste procura encontrar um teste ideal para cada estudante. Para tal a proficiência do indivíduo é estimada interativamente durante a administração do teste e, assim, são selecionados os itens que mensurem eficientemente a proficiência do examinado. Um dos diferencias dos testes adaptativos é que cada estudante recebe um teste com questões diferentes variando, também, o número de questões apresentadas, dependentes do desempenho do estudante. Por exemplo, se alternar entre errar e acertar as questões, o aluno terá que responder um número maior de questões. No SIENA, o banco do teste adaptativo é composto por questões, as quais são cadastradas para cada nodo do PCIG, com o objetivo de avaliar o grau de conhecimento individual do aluno naquele conceito. As questões cadastradas são de múltipla escolha, sendo necessário definir para cada uma: o grau de relação com o conceito; o grau de dificuldade; a resposta correta; a possibilidade de responder a pergunta considerando exclusivamente sorte ou azar; a estimativa do conhecimento prévio do aluno sobre esse conceito; tempo para o aluno responder a pergunta (em segundos). Ressalta-se que, em cada nodo, devem ser disponibilizadas um número suficiente de perguntas, de diferentes níveis de dificuldade. A progressão do aluno para o próximo nodo ocorre sempre que alcançar uma nota igual ou superior ao estipulado, pelo professor, no teste. Quando o estudante não obtém a aprovação em um nodo o sistema não prossegue, pois considera que esse conceito é necessário para a compreensão do seguinte, abrindo para o estudante a possibilidade de realizar uma recuperação. Nesta investigação a recuperação será realizada por meio de sequências didáticas específicas, estabelecidas para cada nodo, desenvolvidas com o objetivo de proporcionar a retomada de conceitos e procedimentos referentes a equações de 1º grau. Após o estudo da sequência, o estudante refaz o teste e obtendo aprovação passa para o nodo seguinte. Em todos os nodos do PCIG, o sistema mostrará através de seu banco de dados, um o mapa individualizado do desempenho do estudante, onde constam as perguntas realizadas, quais foram respondidas corretamente e a estimativa estabelecida, pelo sistema do teste realizado. A figura 2 apresenta exemplo de um banco de dados de um teste realizado por um estudante. Nele identificam-se as questões respondidas pelo aluno, suas respostas, representadas pelos números 0, 1, 2, 3 e 4, se o aluno acertou (true) ou errou (false), o tempo que ainda resta para responder e a pontuação obtida em cada questão. 114 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Figura 2- Exemplo do banco de dados de um teste adaptativo de um nodo. É importante ressaltar que, no SIENA, têm-se duas opções de utilização. Na primeira, os alunos estudam os conteúdos dos nodos do PCIG e, posteriormente, realizam o teste para verificar seu desempenho que, em última análise, fornece informações sobre o nível de domínio sobre o tema em questão. Na segunda opção, oportuniza-se aos alunos, primeiro, a realização do teste e, se houver necessidade, os nodos nos quais apresentaram baixo desempenho são estudados. Nessa segunda opção, é possível realizar uma recuperação individualizada para os estudantes que não conseguiram alcançar a média estipulada para avançar no PCIG. Cada aluno realizará a recuperação, a partir das sequências didáticas, somente nos conceitos que apresentarem dificuldades. Nos nodos em que o aluno apresentar um desempenho satisfatório não há necessidade de realizar a sequência de recuperação, podendo avançar para outro nodo do PCIG. O funcionamento do SIENA já foi testado e validado em pesquisas realizadas por Murlick (2009) e Dallamole (2011). Em Murlick (2009) o objetivo era a validação do sistema e investigar como se deve planejar uma sequência didática eletrônica para recuperação de conteúdos sobre o Conjunto dos Números Naturais com alunos da 5ª série do Ensino Fundamental. A autora ressalta como pontos positivos da experiência o fato de que cada aluno avançou no PCIG de acordo com o seu ritmo de trabalho, caracterizando uma recuperação individualizada e o interesse dos alunos pelas atividades que tinham interação com o computador. Em Dallamole (2011), a investigação centrou-se nas possíveis dificuldades que alunos de Licenciatura em Matemática apresentam em relação à conversão entre registros de representação semiótica no conteúdo de Geometria Analítica, bem como as possíveis contribuições do SIENA para a identificação destas dificuldades. Segundo a autora, o SIENA mostrou-se eficiente na identificação das dificuldades individuais dos estudantes contribuindo ―[...] na recuperação dos conceitos nos quais estes alunos apresentaram dificuldades.‖ (Dallemole p.12, 2011) Já no âmbito de uma investigação de iniciação científica, o SIENA foi utilizado com o objetivo de implementar (desenvolver/aplicar e avaliar) um cenário de investigação com o tema Multiplicação com Números Naturais. Esta pesquisa foi desenvolvida por Lemos, Groenwald e Seibert (2011) e a partir da mesma foi possível verificar que o sistema pode contribuir para que seja realizada uma recuperação de conteúdos. 115 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Assim, questiona-se em que medida uma sequência didática, disponível no SIENA, favorece o processo de ensino e aprendizagem na recuperação de conteúdos relativos a equações de 1º grau. Deve-se a escolha desse tema (equações de 1º grau), ao fato do mesmo se constituir em conteúdo no qual os estudantes apresentam dificuldades de aprendizagem, como também, por ser um conteúdo bastante abrangente, utilizado para resolução de problemas em diversos contextos, o que o torna presente em vários momentos ao longo da educação básica (Freitas, 2002). Equações de 1º grau e a recuperação de conteúdos Os estudos, no Brasil, referentes a equações de 1º grau, seu ensino e aprendizagem, apontam que este é um conteúdo no qual os alunos apresentam dificuldades, tanto no que se refere à compreensão de conceitos quanto à utilização de procedimentos para resolução. As dificuldades apresentadas pelos alunos devem-se ao fato de que as aprendizagens se dão de forma mecânica, onde prevalecem as ―regras‖ ao invés da compreensão do significado de uma equação e de sua solução. Outro aspecto que gera dificuldade refere-se à interpretação do sinal ―x‖ que na aritmética, é da operação de multiplicação e na álgebra, se transforma na incógnita ―x‖. A transição do pensamento aritmético para o algébrico, evidenciando o trabalho com equações, também se constitui em dificuldade para os estudantes (Freitas, 2002; Celso & Duarte, 2009). Perante as dificuldades citadas se volta à atenção para que seja realizada uma retomada desse conteúdo, no sentido de possibilitar uma recuperação a qual se constitui em direito dos alunos garantido por lei, conforme a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) nº 9394 (Brasil, 1996). Sobre recuperação a referida Lei, no artigo 13, indica que ―os docentes incumbir-se-ão de estabelecer estratégias de recuperação para os alunos de menor rendimento.‖. Assim, acredita-se que o desenvolvimento de uma sequência didática para a recuperação deste conteúdo, disponível no SIENA, com uma abordagem voltada para a construção de conceitos e procedimentos, pode se constituir em um ambiente facilitador para a recuperação de conteúdos e a superação das dificuldades dos alunos, no que se refere a equações do 1º grau. Sequência didática disponível no SIENA Apresenta-se a sequência didática desenvolvida no SIENA sobre equações de 1º grau. A mesma é constituída pelo PCIG, questões para os testes adaptativos e as sequências didáticas específicas para a recuperação dos conceitos e procedimentos de cada nodo. Sequências didáticas, segundo Dolz e Schneuwly (2004), é um conjunto de atividades organizadas, de maneira sistemática, planejadas para o processo de ensino e aprendizagem de um conteúdo. No caso do presente trabalho, a sequência didática desenvolvida visa à recuperação de conteúdos, a qual se entende como parte do processo de ensino e aprendizagem, devendo ocorrer ao longo deste. 116 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación O PCIG O Grafo Instrucional Conceitual Pedagógico–PCIG, apresentado na figura 3, foi construído a partir de estudos e levantamentos bibliográficos, onde se buscou identificar os conceitos fundamentais para o ensino e aprendizagem de equações de 1º grau. 117 Figura 3 – Grafo com os conceitos (nodos) a serem trabalhados nas equações de 1º grau Questões para os testes adaptativos A construção do banco de questões a serem utilizados nos testes adaptativos teve como foco a resolução de problemas. Sobre a importância da resolução de problemas Groenwald, Kaiber e Mora (2004) ressaltam que o avanço na tecnologia e as rápidas mudanças sociais impedem que se faça uma previsão exata de quais habilidades são úteis para preparar um aluno, logo, é necessário educar para resolver situações novas com habilidades de resolver problemas, criatividade, iniciativa e autonomia. As questões foram selecionadas de livros didáticos de Matemática do 7º ano, a partir de uma análise detalhada dos problemas e exercícios propostos nos mesmos. Os livros analisados e utilizados, tanto para a seleção de questões, como para o desenvolvimento do material de estudo das sequências didáticas foram: Projeto Araribá (2007), Projeto Radix (Ribeiro, 2009), Tudo é Matemática (Dante, 2009), entre outros. A figura 4 apresenta um exemplo de questão de nível básico, referente ao trabalho com equações de 1º grau, utilizada no teste. Figura 4 – Exemplo de questão do teste resolução de equações de 1º grau Sequências didáticas especifícas As sequências didáticas específicas desenvolvidas para as recuperações dos nodos, são constituídas por materiais de estudo, salvos em HTML, atividades criadas nos software Scratch e JClic, utilização de jogos e objetos de aprendizagem, os quais passam a ser descritos. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Material de estudo Os materiais de estudo presentes nas sequências didáticas específicas foram construídos com o objetivo de retomar as ideias e conceitos de cada nodo, os quais são trabalhados a partir de situações problemas, buscando a compreensão dos conceitos e procedimentos. Na figura 5 é apresentado um exemplo de material de estudo do nodo situações problemas. 118 Figura 5- situação problema nodo conceito de equação de 1º grau Jogos online e Objetos de Aprendizagem (OA) Nas sequências didáticas específicas foram utilizados jogos online com a intenção de colocar os alunos em contato com o conteúdo de forma interativa e lúdica. Quanto ao uso dos objetos de aprendizagem optamos pelo uso da balança interativa, desenvolvida pela Rede Interativa Virtual de Educação (RIVED), já que segundo Filho, Freire, Fernandes e Leite (2008), as situações propostas na balança interativa, como descobrirem valores desconhecidos, permitem que os alunos desenvolvam o raciocínio lógico, pois os mesmos estabelecem estratégias para descobrir os valores, deixando de realizar por tentativa e erro. Nas figuras 6 e 7 apresentam-se imagens do OA e de um jogo online utilizado na sequência didática. Figura 6 – Balança interativa Figura 7 – Jogo online Atividades no software Scratch e JClic Foram utilizadas atividades do software Scratch, sendo este uma ferramenta freeware de criação de jogos, animações e histórias. Estas atividades foram utilizadas com o objetivo dos alunos exercitarem e compreenderem o processo de resolução das equações de 1º grau. A figura 8 apresenta um exemplo de uma atividade do Scratch. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Figura 8 - Atividade do Scratch adaptada e traduzida Objetivando retomar e aprofundar aspectos do que foi trabalhado no material de estudo foram utilizadas, nas sequências didáticas específicas, atividades criadas no software JClic. Este é um programa para a criação, realização e avaliação de atividades educativas multimídia, desenvolvido na plataforma Java. As atividades podem ser apresentadas em forma de problemas, palavras-cruzadas, quebra-cabeça, jogo da memória, caça-palavras, associação de conjuntos, exercícios com texto, entre outros. Na figura 9 apresenta-se um exemplo de atividade do JClic. No caso específico dessa atividade, o aluno deve relacionar as questões com as respectivas respostas que estão no quadro logo abaixo. O aluno tanto pode resolver o problema e, posteriormente, relacionar às soluções encontradas às respostas, como pode, por tentativa, encontrar as respostas corretas. Como a solução das atividades deve ser registrada, pelos estudantes, por escrito (ou o trabalho pode ser registrado mediante gravação em áudio e vídeo) as soluções baseadas unicamente em tentativa podem ser identificadas. Figura 9 – Exemplos de atividade de associação Considerações finais Considera-se que o Sistema Integrado de Ensino e Aprendizagem – SIENA é um sistema que pode se constituir em ambiente que possibilite uma recuperação de conteúdos de forma individualizada, uma vez que são disponibilizados testes adaptativos aos alunos os quais encaminham para a realização de recuperações através das sequências didáticas específicas, quando necessário. Com esse objetivo desenvolveu-se a sequência didática para equações de 1º grau, aqui apresentada, utilizando materiais de estudos, atividades lúdicas, objetos de aprendizagem, jogos e atividades online. Entende-se que estes elementos articulados podem se constituir em caminhos possíveis que possibilitem aos alunos com dificuldades em equações de 1º grau, a ampliação e aprofundamento de seus conhecimentos e a superação das dificuldades. 119 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación A realização de uma avaliação prévia da sequencia didática, por um grupo de professores, está oportunizando uma qualificação desta, já que as sugestões propostas pelo grupo estão sendo analisadas e discutidas para serem incorporadas a sequência. Nesse momento, as sugestões apresentadas estão sendo analisadas e incorporadas à mesma, quando pertinentes. Após esse processo, considera-se que a sequência estará finalizada e pronta para ser trabalhada com os alunos, sendo esta a próxima fase a ser desenvolvida na investigação. Referências Celso, N.; & Duarte, J. (2009). Dificuldades na resolução de equação do 1° grau. 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Dissertação de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, Universidade Luterana do Brasil, Canoas, Rio Grande do Sul, Brasil. Projeto Araribá. (2007). Matemática. 7º ano. (2ª. ed.). São Paulo: Moderna. Ribeiro, J. S. (2009). Projeto Radix: matemática. 7º ano. (2ª. ed.). São Paulo: Scipione. 120 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO QUE ORIENTA, EN EL ÁREA MATEMÁTICA, EL DESARROLLO DE LA METACOGNICIÓN Patricia Villalonga de García, Susana González de Galindo, Susana Mercau de Sancho Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia. Universidad Nacional de Tucumán [email protected], [email protected] Todos los niveles educativos Palabras clave: Matemática. Evaluación. Metacognición. Modelo. Resumen Este artículo es un avance del Proyecto ―Estrategia didáctica que valoriza la regulación continua del aprendizaje en aulas multitudinarias de Matemática‖ del Consejo de Investigaciones de la Universidad Nacional de Tucumán, cuyas integrantes son docentes de Matemática de primer año de una Facultad de ciencias. El objetivo del Proyecto es diseñar e implementar una estrategia didáctica que valorice la evaluación formativa superando la limitación de realizar sólo evaluación sumativa en cursos masivos. Se juzgó conveniente incluir actividades que no requieran de la intervención continua del profesor y favorezcan la interacción social en el aula. En primer lugar se decidió realizar una investigación en enseñanza de la Matemática a partir de teorías de enseñanza y aprendizaje, de metodologías de investigación educativa y de concepciones sobre qué es la Matemática como ciencia y qué es aprender y enseñar Matemática. En un trabajo previo se presentaron conceptos medulares de teorías del aprendizaje significativo, de los Estándares de evaluación del aprendizaje de la Matemática del National Council of Teachers of Mathematics y lineamientos de Jorba y Casellas para la regulación y autorregulación del aprendizaje. En este artículo se presentan distintas perspectivas con respeto a la naturaleza de la metacognición. El estudio realizado permitió sentar las bases para construir un modelo que orienta el diseño de actividades matemáticas que favorecen el desarrollo de la metacognición. Introducción Matemática I es una asignatura del primer cuatrimestre de primer año de una Facultad de Ciencias. En ella se desarrollan principios básicos del Cálculo Diferencial e Integral en una variable. El proceso de enseñanza aprendizaje presenta numerosas dificultades, entre ellas: las aulas son multitudinarias, la relación docente-alumno es insuficiente (aproximadamente 1/400 en clases teóricas y 1/70 en clases prácticas), el currículo es de tipo técnico y no responde a las pautas brindadas por los estándares curriculares y de evaluación para Matemática del National Council of Teachers of Mathematics (N.C.T.M). Con respecto a la evaluación del aprendizaje puede afirmarse que la función de control, totalmente legítima, está sobredimensionada, subordinando a las demás funciones pedagógicas de la evaluación: de dirección del proceso de enseñanza y aprendizaje, predictiva, reguladora de la actividad del alumno y formativa (González Pérez, 2000). Frente a esta realidad, para favorecer aprendizajes significativos y superar la limitación de realizar sólo evaluación sumativa, se consideró conveniente diseñar e implementar una estrategia didáctica que: a) valorizara la evaluación formativa, priorizando la formación de 121 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación los procedimientos generales del quehacer matemático, b) integrara la regulación en las situaciones de aprendizaje, proponiendo actividades que no requirieran de la intervención continua del profesor y favorecieran la interacción social en el aula y c) recurriera al empleo de un material instruccional impreso, elaborado en base a principios vigentes en educación Matemática. Para conseguir este objetivo se tomaron como guía las pautas para evaluar el aprendizaje presentadas en un trabajo anterior, fundadas en la psicología cognitiva (Villalonga, González, Holgado, Marcilla, y Mercau, 2009). Se estudió, además, la naturaleza de la metacognición. Estos principios teóricos son las bases del modelo contruido en este artículo para favorecer el desarrollo metacognitivo en las clases de Matemática. Marco teórico La bibliografía ofrece distintas perspectivas con respecto a la naturaleza de la metacognición (Flavel, 1976, citado en Mateos, 2001; Brown, 1978, citado en Mateos, 2001; Lipson y Wixon, 1983, citado en Mateos, 2001; Zimmerman, 1989, citado en Mateos, 2001; Karmiloff-Smith, 1992, citado en Mateos, 2001). En este estudio se presenta, entre las conceptuaciones convencionales, a la de Flavell, quien plantea que: La metacognición se refiere al conocimiento que uno tiene acerca de los propios procesos y productos cognitivos o cualquier otro asunto relacionado con ellos, por ejemplo, las propiedades de la información relevantes para el aprendizaje…La metacognición hace referencia, entre otras cosas, a la supervisión activa y consecuente regulación y organización de los procesos en relación con los objetos o datos cognitivos sobre los que actúan, normalmente al servicio de alguna meta u objetivo concreto (Flavell, 1976, citado en Mateos, 2001, p.232). En esta caracterización de la metacognición, Flavell se refiere tanto al conocimiento de la propia actividad cognitiva del sujeto, como al control que él ejerce sobre la misma. En este modelo, el control que una persona tiene sobre su actividad cognitiva depende de acciones e interacciones entre cuatro componentes: las metas cognitivas (objetivos cognitivos), el conocimiento metacognitivo, las experiencias metacognitivas y las estrategias cognitivas y metacognitivas (Mateos, 2001). El conocimiento metacognitivo abarca tres variables de la actividad cognitiva: la persona, la tarea y las estrategias. La variable persona se refiere a los conocimientos y creencias que un sujeto tiene sobre las características de su propia cognición y las de otras personas, que son relevantes para realizar una tarea que demanda algún tipo de actividad cognitiva. En el conocimiento metacognitivo intervienen variables intraindividuales, interindividuales y universales. Las intraindividuales comprenden intereses, habilidades, motivaciones, recursos, experiencias y estados de ánimo que pueden afectar la realización de la tarea. Por ejemplo, saber que para entender una definición es necesario ir comprendiendo el significado de cada uno de los términos que la componen. Las variables interindividuales permiten apreciar diferencias individuales entre los sujetos. 122 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Por ejemplo: saber que puede resultar más difícil realizar el estudio analítico de una función que a otro compañero. Las variables universales son características de las personas como seres cognitivos. Por ejemplo, saber que con el paso del tiempo nos olvidamos los contenidos que no usamos. La variable tarea se refiere al conocimiento que posee el alumno sobre cómo es la naturaleza de la tarea y su nivel de exigencia. Por ejemplo: saber que es más fácil aprender las reglas de derivación que aprender a graficar una función derivable que satisfaga simultáneamente varias condiciones. La variable estrategias se refiere al conocimiento de la efectividad relativa de los procedimientos alternativos para abordar una tarea. Por ejemplo: el alumno sabe que dado el resultado de una integral, si debe verificar que es correcto, podrá efectuar la comprobación de manera más directa aplicando el concepto de antiderivada que resolviendo la integral. Estos tres aspectos (persona, tarea y estrategias) pueden interactuar para desarrollar el conocimiento metacognitivo. Otro aspecto de la metacognición que Flavell considera en su modelo son las experiencias metacognitivas: ―son experiencias (ideas, pensamientos, sensaciones o sentimientos) que acompañan a la actividad cognitiva, relacionadas con el progreso hacia las metas, que pueden llegar a ser interpretadas conscientemente‖ (Mateos, 2001:24). Por ejemplo, cuando no podemos recuperar información que conocemos, decimos ―la tengo en la punta de la lengua‖. Este tipo de experiencia consciente frecuentemente ocurre cuando falla la cognición, en situaciones en que resulta difícil recordar, comprender, resolver o percibir. Probablemente las mismas escaseen cuando la actividad cognitiva ocurre de manera fluida. Con respecto al componente de las estrategias, Flavell distingue las estrategias cognitivas de las metacognitivas. ―Las estrategias son cognitivas cuando se emplean para hacer progresar la actividad cognitiva y son metacognitivas cuando su misión es supervisar ese progreso‖ (Mateos, 2001:24). Por ejemplo: intentar fijar el enunciado de un teorema sería una estrategia cognitiva. El análisis de cada uno de los términos del enunciado estableciendo conexiones con contenidos previos estudiados y cuestionarse, además, si es válido el recíproco de dicho teorema es una estrategia metacognitiva. Puede ocurrir que una misma actividad tenga las dos funciones, cognitiva y metacognitiva. En el ejemplo presentado, cuando el alumno recuerda y aprehendió el enunciado del teorema efectuó las dos funciones. El conocimiento metacognitivo o componente declarativo de la metacognición comprende el conocimiento de los recursos cognitivos propios, de las exigencias de la tarea y de las estrategias que pueden emplearse. A su vez, el control metacognitivo o componente procedimental de la metacognición, incluye de acuerdo a la mayoría de las propuestas de la literatura, los procesos de: planificación de las estrategias necesarias para llevar a cabo la tarea, supervisión y regulación del empleo que se realiza de las mismas y de su efectividad, autocontrol de los progresos alcanzados en el aprendizaje y evaluación de los resultados alcanzados (Mateos, 2001). Algunos autores opinan que debería reservarse el término metacognición para referirse sólo al componente declarativo excluyendo el componente procedimental de los procesos de regulación (Paris y Winograd, 1990, citado en Mateos, 2001). Sin embargo otros prefieren 123 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación mantener el término para referirse a las dos áreas, pero inevitablemente especifican el campo de problemas que están estudiando al usar dicho término (Baker, 1994, citado en Mateos 2001). Lester (citado en Mirela, Páez y Gómez, 2010) caracteriza un modelo cognitivometacognitivo de Resolución de problemas matemáticos que permite interpretar resultados de experiencias didácticas. Está integrado por dos componentes que interactúan continuamente entre sí: el componente cognitivo y el metacognitivo. El componente cognitivo, basado en el modelo de Polya, incluye cuatro variables: ―orientar (comportamiento estratégico para comprender el problema); organizar (planear el comportamiento conforme al plan previamente establecido); ejecutar (regular el comportamiento conforme al plan previamente establecido) y verificar (evaluar las decisiones tomadas y los resultados del plan)‖ (Mirela, Páez y Gómez, 2010: 407). El componente metacognitivo, inspirado en el modelo de Flavell, comprende las variables: persona, tarea y estrategia recién caracterizadas (Mirela, Páez y Gómez, 2010: 407). Un alumno que practica la metacognición se autoevalúa permanentemente, evalúa sus estrategias de aprendizaje tomando conciencia de la calidad de los distintos tipos de procesos que pone en juego al aprender. En consecuencia, puede percibir si comprendió en profundidad el significado de una definición o la demostración de un teorema, advierte que tiene dificultad para aprender un tema más que otro, conoce los medios para lograr la tarea propuesta, puede determinar si las metas que se propone son consistentes con sus capacidades. Las concepciones más recientes integran nuevos aspectos a la metacognición. Incluyen a los fenómenos de naturaleza cognitiva fenómenos de naturaleza psicológica, otorgando un papel relevante a las variables motivacionales y afectivas (Flavell, 1987). Estas nuevas perspectivas estudian la relación entre la metacognición y la teoría de la mente, el aprendizaje autorregulado, la motivación y el cambio conceptual (Mateos, 2001). Consideran que el aprendizaje no sólo depende de las estrategias específicas de la tarea y del control que se realiza sobre ellas, sino también de la motivación que tenga el sujeto para aprender. Un alumno motivado tendrá percepción de su propia competencia, autoevalúa expectativas de autoeficacia, atribuirá causas a sus éxitos y fracasos, y comprenderá cuáles son las demandas y objetivos de la tarea. El aprendizaje autorregulado será el resultado de la interacción de la cognición, la metacognición y la motivación. Si bien el proceso de aprendizaje es único e irrepetible para cada ser humano, nadie aprende solo, sino que necesita de los demás para construir el conocimiento. El trabajo grupal es potente para las instancias autoevaluativas, ya que permite a cada estudiante la autosocioconstrucción del conocimiento, además de favorecer la percepción de lo que cada uno aporta y recibe del grupo. También, la autoevaluación ayuda a construir la auto-imagen dentro del grupo y atempera las dificultades que surgen. Resulta evidente la importancia de la autoevaluación como vía para acrecentar la valoración propia y la independencia. Además, contribuye a aumentar la capacidad de autodeterminación, tan importante para el desarrollo de la creatividad. El empleo de técnicas autoevaluativas, permite trabajar sobre la denominada zona de desarrollo potencial de Vigotsky (Fernández de Alaíza García- 124 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Madrigal, 2001). Este tipo de tarea da lugar a un espacio socialmente construido donde se interconectan las intenciones, productos etc., de quienes intervienen en la apropiación de la cultura, lográndose así una enseñanza que favorece el desarrollo. Además, la autoevaluación concede al alumno un papel protagónico en la enseñanza, ya que mediante estrategias de autocontrol y autovaloración, lo conducen a ser el responsable de su propio aprendizaje. Para lograr que se internalice la autoevaluación el docente debe enseñarla (Palou de Maté, 1998). Las siguientes acciones del docente favorecen en el estudiante los procesos de autoevaluación: discutir con los estudiantes los objetivos y criterios de autoevaluación, exigir invariablemente al estudiante la fundamentación de sus afirmaciones, promover una actitud de autointerrogación permanente, hacer un intercambio con los alumnos de los procesos internos de autoevaluación, generar espacios grupales donde los alumnos verbalicen las estrategias puestas en juego para aprender, realizar la valoración de los resultados. Con respecto a la valoración de los resultados, mediante la revisión de la tarea, el alumno compara las acciones realizadas según indicadores dados, expresados esencialmente en los objetivos. La valoración del resultado, implica la autovaloración del proceso de realización de la tarea, así como de la calificación, si es que ésta se ha convenido previamente con el grupo de estudiantes. Así, se puede aumentar la objetividad de los alumnos, reduciendo la subvaloración o sobrevaloración características de las fases iniciales de la técnica de autoevaluación. En coincidencia con los principios enunciados en este marco teórico, Jorba y Casellas (1997) aconsejan que para promover la metacognición deben incluirse en el material de aprendizaje instrumentos para explorar: a) Las estructuras de acogida: Ideas previas y grado de alcance de los prerrequisitos de aprendizaje, representaciones que se hacen los estudiantes de las tareas propuestas y actitudes y hábitos adquiridos relacionados con el aprendizaje de la Matemática, b) la comunicación de los objetivos y la representación que se hacen de los mismos los estudiantes, c) el dominio, por parte de los alumnos, de los criterios de realización de la tarea o criterios procedimentales, los que evidenciarían la realización de las operaciones de anticipación y ejecución de la acción, d) si se favorece la apropiación, por parte de los alumnos, de los criterios e instrumentos de evaluación del aprendizaje y e) la capacidad de los estudiantes para realizar actividades metacognitivas y de autorregulación de sus aprendizajes. En un trabajo previo se estudiaron los siguientes principios orientadores de la evaluación del aprendizaje de la matemática sostenidos por: Piaget, Ausubel, Moreira, Jorba y Casellas, Vigotsky y seguidores, los estándares del National Council of Teachers of Mathematics y publicaciones científicas relativas a las tendencias actuales en enseñanza y evaluación de las ciencias (N.C.T.M, 1989, 1995, 2000; Jorba y Casellas, 1997; Hernández Fernández, Delgado Rubí y Fernández de Alaíza García-Madrigal, 2001; Alonso, Gil y Martínez Torregosa, 1992; Villalonga, González, Holgado, Marcilla, y Mercau, 2009). La evaluación del aprendizaje debe: 125 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación a) retroalimentar el proceso de enseñanza aprendizaje, informando al estudiante de los progresos logrados en el aprendizaje, b) optimizar la comunicación entre los participantes, c) desempeñar una función motivadora y educativa, d) formar a los alumnos como aprendices independientes mediante el empleo de técnicas autoevaluativas, e) enfatizar objetivos y contenidos destacados por el currículo y por los estándares de evaluación del N.C.T.M, que sean motivantes y coherentes con el nivel de desarrollo del estudiante, f) promover la igualdad de oportunidades, brindando un trato diferenciado a cada estudiante según sus características, potencialidades y limitaciones, ofreciéndole oportunidades para evaluar e incrementar su potencia matemática (N.C.T.M., 1995), g) ser un proceso en el que todos los implicados tengan información sobre él, conozcan los criterios de evaluación e interpreten los resultados de la misma, h) promover inferencias válidas acerca de aprendizajes significativos de la Matemática, i) ser un proceso coherente con lo enseñado, j) ser una herramienta valiosa para la toma de decisiones para la enseñanza y el aprendizaje, k) tender a la formación integral del estudiante. De esta manera, se pretende que el profesor evalúe el proceso de construcción del conocimiento que desarrollan sus alumnos, desde el inicio y durante el proceso de aprendizaje, considerando contenidos conceptuales, actitudinales y procedimentales. Se interpreta que la evaluación deberá estar orientada a la valoración y análisis cualitativo de los procesos, con una finalidad crítica, formativa y educativa (Moreira, 2008; González Pérez, 2000). Modelo guía para construir actividades matemáticas que favorezcan el desarrollo de la metacognición En base al marco teórico enunciado, fue posible identificar algunos criterios que debieran guiar la práctica de un docente de Matemática para promover en los estudiantes capacidades para realizar actividades metacognitivas y de autorregulación de sus aprendizajes: El docente en sus clases debe desarrollar actividades matemáticas que: Criterio 1: revisen el grado de alcance de los prerrequisitos de aprendizaje e ideas previas. Criterio 2: favorezcan la comunicación de los objetivos. Criterio 3: promuevan la conexión entre contenidos. Criterio 4: desarrollen en el estudiante la flexibilidad para expresar los contenidos empleando distintos sistemas de representación semiótica de la Matemática: verbal, simbólico o gráfico. Criterio 5: desarrollen la potencia matemática del estudiante (N.C.T.M., 1995). Criterio 6: aprovechen el error como medio para promover el aprendizaje. Criterio 7: permitan apreciar la utilidad de la Matemática en la vida diaria y en las ciencias. Criterio 8: ayuden al estudiante a tomar conciencia de los logros alcanzados en su aprendizaje. Criterio 9: favorezcan la apropiación de los criterios de evaluación. Criterio 10: fomenten la interacción social en el aula. Criterio 11: promuevan una actitud positiva hacia la Matemática. 126 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Referencias Bibliográficas Alonso, M., Gil D. y Martínez Torregosa, J. (1992). 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Facultad de Agronomía. Azul. Universidad Católica Argentina. Facultad de Química e Ingeniería. Rosario. Santa Fe. Argentina. [email protected], [email protected] Nivel Superior. Lenguaje Matemático Palabras clave: Signos. Lenguaje matemático. Significado. Interpretación. Resumen El lenguaje matemático es un elemento clave en el proceso de compresión de los objetos matemáticos. El lenguaje de la Matemática es preciso, está sujeto a reglas exactas y no comunica su significado, salvo por la interpretación exacta de sus símbolos. El uso que se realiza de los signos en la educación matemática está ligado a la interpretación que se haga de ellos, por lo tanto es importante estudiar la relación existente entre los signos y los sujetos que los utilizan en los contextos específicos que les sirven para establecer su significado. En este trabajo se realiza una revisión sobre las diferentes concepciones sobre el significado de los signos, con el objetivo de brindar elementos teóricos que contribuyan de base para analizar y comprender las formas en que los estudiantes adquieren el significado de los signos matemáticos. Introduccion Los signos tienen dos contenidos: 1) eidético y 2) operacional. En un sistema, un signo ‗significa‘, designa algo; todo sistema lo es porque sus signos poseen una carga semántica interior, ya que cuando se utiliza el signo es para comunicar algo a alguien, y el contenido de esta comunicación es, precisamente, el contenido eidético del signo. Por otro lado, un signo posee sentido operacional, en el sentido de que se sabe cómo puede ser utilizado‖. (De Lorenzo 1989, 186). El sentido operatorio de un signo resulta de las relaciones y de las reglas sintácticas existentes en una lengua y que establecen cómo los signos se combinan en expresiones, y cómo pueden ser modificadas. El sentido eidético resulta de las reglas de significación y de determinación que establecen las relaciones existentes en una lengua entre los signos y los conceptos y los objetos representados por tales conceptos (Klaus 1969, Rastier 2005). Tanto el conocimiento de las relaciones entre los signos y los objetos denotados por ellos (semántica), como el de las relaciones entre los signos entre sí (sintaxis), son muy importantes en relación a la correcta utilización del lenguaje matemático. Sin embargo, es necesario no olvidar que tanto un manejo correcto de la semántica como de la sintaxis contribuirán adecuadamente a la formación del estudiante, siempre y cuando éste sea capaz de interpretar correctamente el significado de los signos que utiliza. Así para asegurar que se produce un correcto uso de los signos matemáticos, un factor sumamente trascendental es tener la certeza que previamente que se haya logrado la apropiación del significado de los mismos. Esto pone de manifiesto la importancia de estudiar la forma en la cual se produce la interpretación, es 128 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación decir de investigar en la pragmática desde un marco de una semiótica tridimensional, (signo, referente y sujeto) donde el eje se centra en el sujeto como interpretante. Todo signo es una representación de algo. Así, representar es la operación más específica del signo. Sin embargo, esta representación sólo tiene existencia en la mente de quien la interpreta. Los signos funcionan como herramientas que hacen posible que pensemos, incluso también en lo que no vemos ni tocamos. Pensar es el principal modo de representar, e interpretar un signo es descubrir su significado. Se conoce un signo cuando se puede inferir lo que él significa. Este significado no sólo comprende los aspectos cognitivos sino también las actitudes, los valores, las emociones y todo tipo de connotaciones socioafectivas y culturales. En este trabajo se realiza una revisión sobre las diferentes concepciones sobre el significado de los signos, con el objetivo de brindar elementos teóricos que contribuyan de base para analizar y comprender las formas en que los estudiantes adquieren el significado de los signos matemáticos. ¿Qué se entiende por signo? El término ―signo‖ se emplea en vocabularios y contextos muy diversos. Eco (1995) lo define como algo que significa algo para alguien. Para Niño Rojas (1998) el signo existe si significa algo sobre algo de alguien y para alguien. Tanto Eco (1995) como Niño Rojas (1998) ofrecen definiciones sencillas, en las cuales se exteriorizan los tres elementos principales que definen al signo: el significante, el significado y el intérprete. Según la perspectiva de Avila (1990) se convierte en signo un hecho perceptible cuando se lo toma como representante de otro hecho distinto de sí mismo. Charles Sanders Peirce (1839-1914) y Ferdinand de Saussure (1857-1913) fueron quienes sentaron las bases para el desarrollo de la ciencia semiótica actual. Según Vitale, A. (2002), ambos se ocuparon del signo y del símbolo en la misma época, sin entablar contacto directo entre ellos y ambos autores son referencia constante en el estudio semiótico y semiológico. El trabajo de ambos es complementario: mediante la semiótica Peirce estudió los procesos de lógica y pensamiento; y Saussure mediante la semiología estudió los procesos de semántica e interpretación de los signos lingüísticos Concepción dualista del signo Saussure (1945) sentó las bases de la semiología desde el estudio de la lingüística y la fonética; alcanzando por extensión a todo sistema de signos comunicativos; como ritos simbólicos, conductas de cortesía o señales convencionalmente aceptadas. Saussure, (1945) concibió al signo lingüístico como una ―entidad psíquica de dos caras‖, compuesta por un concepto o significado y por una imagen acústica o significante. El signo lingüístico no une una cosa y un nombre, sino un concepto y una imagen acústica. Saussure afirma que el signo lingüístico es arbitrario, es decir que el vínculo que une al significante (signo) con su significado es completamente arbitrario, inmotivado, y que no mantiene ninguna relación natural con el objeto designado. De este modo, las letras que 129 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación componen una palabra han sido ligadas entre sí por ninguna relación objetiva. De aquí que el signo en sí mismo y su significado carecen de motivación lógica. Al hablar de imagen acústica, no se refiere al sonido material, físico, sino a la imagen psíquica que el hablante-oyente se forma de los sonidos que le sirven de medio para la producción de los signos lingüísticos. Es de hacer notar que Saussure excluyó de su definición de signo lingüístico tanto el objeto mismo, la cosa nombrada o significada (el referente) como la efectiva materialidad física del propio signo. Por lo tanto, para Saussure, el signo lingüístico es una entidad psíquica une un significado (el concepto) con un significante (la imagen acústica), los cuales son tan solidarios el uno del otro, como las dos caras de una moneda. Concepción triádica del signo Para Peirce (1904) no es posible pensar sin utilizar los signos. Este autor estableció, utilizando como marco de referencia la lógica del pensamiento, las bases de la semiótica, entendiendo a ésta como un proceso lógico de interpretación del signo. Según Peirce (1904) es imposible conocer a una cosa (objeto), en sí misma. Para él se conoce a través de signos (representamen, o sea lo que representa), los cuales se manifiestan en la mente del observador (interpretante) al percibir la cosa; signos que para ser interpretados son reconvertidos en otro sistema de signos. Así, la semiosis resulta de la operación entre tres elementos: el signo (representamen), el objeto y el interpretante. Según esta óptica, la semiótica es una vertiente de la lógica, por lo cual todos los contenidos mentales son signos, y todos los procesos mentales son procesos de semiosis. La función representativa del signo no reside en su vínculo material con el objeto ni en que sea una representación del objeto, sino en que sea considerado como signo por un pensamiento. Ese signo creado es al que Peirce llamó interpretante del primer signo. Este signo está en lugar de algo, su objeto. El objeto es aquello por lo que está el signo, aquello que representa. Este tercer elemento convierte a la relación de significación en una relación triádica, pues el signo media entre el objeto y el interpretante, el interpretante relaciona el signo y el objeto, y el objeto funda la relación entre el signo y el interpretante. Todo signo es un representamen. El interpretante es el signo equivalente o más desarrollado que el signo original, causado por ese signo original en la mente de quien lo interpreta. Signo matemático Vergnaud, (1983 a; 1988; 1990; 1993; 1997), define concepto como un triplete de tres conjuntos C = (S, I, R) donde: 1) S es un conjunto de situaciones que dan sentido al concepto; 2) I es un conjunto de invariantes (objetos, propiedades y relaciones) sobre las cuales reposa la operacionalidad del concepto, o un conjunto de invariantes que pueden ser reconocidos y usados por los sujetos para analizar y dominar las situaciones del primer conjunto; 3) R es un conjunto de representaciones simbólicas (lenguaje natural, gráficos y diagramas, sentencias formales, etc.) que pueden ser usadas para indicar y 130 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación representar esos invariantes y, consecuentemente, representar las situaciones y los procedimientos para lidiar con ellas. El primer conjunto (de situaciones) es el referente del concepto, el segundo(de invariantes operatorios) es el significado del concepto, en cuanto al tercero (de representaciones simbólicas) es el significante. Es claro entonces que para estudiar el desarrollo y el uso de un concepto, a lo largo del aprendizaje o de su utilización, es necesario considerar esos tres conjuntos simultáneamente. Según Vergnaud, conceptos y símbolos son dos caras de la misma moneda y se debería siempre prestar atención al uso que los alumnos hacen de los símbolos a la luz del uso que hacen de los conceptos. Skemp (1999) al estudiar los símbolos matemáticos utilizó la idea de estructuras superficiales y estructuras profundas. Consideró que las estructuras superficiales son las formas de los símbolos y éstos se hallan concebidos para transmitir significados que son las estructuras profundas. En relación a la formación del concepto, una fuente de dificultades es la falta de comprensión de las estructuras profundas. Es así que Orton (1998) recomienda que el símbolo sea introducido como la etapa final de una secuencia de aprendizaje que se desarrolla a partir de la ―personificación‖ concreta del concepto. De la misma forma, las ideas matemáticas deben ser secuenciadas y presentarse de forma tal que facilite el uso del conocimiento conceptual existente. También sugiere que se emplee con mucha más frecuencia el lenguaje oral antes de expresar las ideas en un simbolismo abreviado. Para Skemp (1980) el término símbolo es sinónimo de representación. Este autor diferencia dos formas de símbolos matemáticos: símbolos visuales y símbolos verbales (nodos de imaginación). En los primeros incluye los ‗diagramas de todas clases‘, en particular las figuras geométricas; en los segundos incluye la lengua natural y los símbolos algebraicos, a los cuales visualiza como una especie de ―taquigrafía verbal‖ (palabra hablada como escrita). Skemp, (1980) estudia la importancia que tiene los símbolos en la formación de conceptos en general y de los matemáticos en particular. Según este autor: ―Un símbolo es un sonido, o algo visible, conectado mentalmente a una idea. Esta idea es el significado del símbolo. Sin una idea ligada, un símbolo es vacío, carente de significado‖ (Skemp, 1980, p.74). Sfard (2000), intentando revelar por qué la Matemática resulta tan difícil para muchos, describe la siguiente circularidad: si el significado es función del uso, uno debe manipular un concepto para entenderlo (en este caso, manipular símbolos para comprenderlos y comprender cómo pueden facilitarnos la tarea), pero por el otro lado, ¿cómo podemos usar algo sin entenderlo? Sfard afirma que es precisamente esa circularidad lo que establece una seria trampa para los alumnos, pero es al mismo tiempo el combustible del proceso de aprendizaje. Este autor afirma que en este proceso, las formas y los significados, tal como son practicadas y vivenciadas por los alumnos, serían como dos piernas que hacen posible el caminar hacia adelante debido a que no están nunca en el mismo lugar, y en cada momento una de ellas esta por delante de la otra. 131 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Expresiones algebraicas Es común que se asimilen las locuciones ―expresiones algebraicas‖ con “lenguaje simbólico‖, como si estas dos expresiones fueran sinónimas. Así, cuando el docente solicita que se escriba un problema en términos de ecuaciones, en general, se refiere a esta acción como “paso del lenguaje natural al lenguaje simbólico”. Sin embargo, en el marco teórico de Peirce, las expresiones algebraicas no son símbolos, sino que son iconos. Según Peirce (1895): […] una fórmula algebraica es un icono, convertido en tal por las reglas de conmutación, asociación y distribución de los símbolos. Puede parecer a primera vista que llamar icono a una expresión algebraica es una clasificación arbitraria, que podría también, o mejor, considerarse como un signo convencional compuesto. Pero no es así, pues una gran propiedad distintiva del icono es que por su observación directa pueden descubrirse más verdades relativas a su objeto que aquellas que bastan para determinar su construcción. De este modo, por medio de dos fotografías puede trazarse un mapa, etc. Dado un signo convencional u otro signo general de un objeto, para deducir alguna verdad distinta a aquella que significa explícitamente, es necesario, en todos los casos, reemplazar ese signo por un icono. Esa capacidad de revelar la verdad inesperada es precisamente aquello en lo que consiste la utilidad de las fórmulas algebraicas, de modo que el carácter icónico es el que prevalece. (Peirce, 1895, CP 2.279) Si la expresión algebraica surge de escribir un problema en términos de ecuaciones, cada letra que conforma la misma representa una cantidad concreta, la cual es consecuencia de la convención establecida por quien traduce. Aun, cuando no haya interpretante, cada letra representa una cantidad, puesto cualquier interpretante que no conozca la convención establecida, asignará las letras a las cantidades adecuadas, ya que la expresión algebraica en su conjunto va a requerir que se asigne a cada una la cantidad correspondiente. Los signos +, =, etc., en las expresiones algebraicas, son símbolos en el sentido de Peirce. Resumiendo: 1) La expresión algebraica globalmente considerada es un icono, 2) las letras son índices y los signos +, =, etc. son símbolos. Conclusiones Los signos son un instrumento de información, conocimiento, comprensión, de gnosis. La función primera del signo es la de aparecer a la mente como una fuente de interpretación de aquello que expresa. El ámbito de utilidad del signo es la mente, el intelecto; pues la mente puede reconocerlo, discriminarlo, ordenarlo, decodificarlo, tomar información de él y asimilarlo: esto es comprensión, formación de conceptos. Ante la presencia de un problema, los alumnos no deberían arrojarse de inmediato sobre los símbolos, sino que es deseable que adquieran el hábito de mirar el problema con sentido común, que bosquejen un gráfico o una figura. El docente es quien debe estimular la descripción de lo que ven y el razonar sobre ello. Ante la dificultad de los estudiantes para producir razonamientos informales, es el profesor el responsable de mostrarles cómo esos razonamientos son producidos, y que se puede ganar con ellos. Si el docente no les provee a esas actividades un ―sello de aprobación‖, entonces en el mejor de los casos el uso 132 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación espontáneo del sentido común y la búsqueda de significados quedarán relegados a una preferencia mínima. De lo expuesto anteriormente nacen las siguientes sugerencias para docentes, pretendiendo con ellas facilitar a los estudiantes el acercamiento a la apropiación del significado de los signos matemáticos: 1) Exponer cuándo y cómo los signos pueden y deben ser usados con el objeto de exhibir relaciones, generalidades y demostraciones que de otra manera permanecerían ocultas e invisibles. 2) Presentar actividades para desarrollar la capacidad para ‗manipular‘ y ‗leer a través‟ de expresiones simbólicas. 3) Evitar manipulaciones simbólicas automáticas. 4) Mostrar que es posible establecer relaciones simbólicas que expresen cierta información (verbal o gráfica) dada. 5) Diseñar actividades para desarrollar la capacidad de seleccionar una representación simbólica adecuada al problema. 6) Crear conciencia de la necesidad de revisar los significados de los símbolos durante la actividad matemática. 7) Realizar actividades que impliquen comparar significados con las intuiciones acerca de los resultados esperados y con la situación misma del problema. 8) Mostrar que los símbolos pueden desempeñar roles distintos en distintos contextos. Referencias Bibliográficas Ávila, R. (1990). La lengua y los hablantes. México: Trillas. De Lorenzo, J. (1989) Introducción al estilo matemático. Madrid: Tecnos. Eco, U. (1995). Semiótica y filosofía del lenguaje. Barcelona: Lumen. Klaus, G. (1969). Semiotik und Erkenntnistheorie [Semiótica y teoría del reconocimiento]. Berlín. Niño Rojas, V. M. (1998). Los procesos de la comunicación y del lenguaje. Santafé de Bogotá. Peirce, C. S. (1895). That categorical and hypothetical propositions are one in essence, with some connected matter. Collected Papers of Charles Sanders Peirce. Traducción castellana de Sara F. Barrena. Fuente textual en CP 2.274-308. Peirce, C. S. 1987. Obra lógico-semiótica. Edición de Armando Sercovich. Madrid: Taurus Rastier, F. (2005). Semántica Interpretativa. México: Siglo XXI. Saussure, F. (1945). Curso De Lingüística General. Buenos Aires. Editorial Losada. Sfard, A. (2000). Symbolizing mathematical reality into being: How mathematical discourse and mathematical objects create each other. In P. Cobb, K. E. Yackel &K. McClain (Eds.), Symbolizing and communicating: perspectives on Mathematical Discourse, Tools, and Instructional Design. Mahwah, NJ: Erlbaum, pp. 37-98). Skemp, R (1980). Psicología del aprendizaje de las matemáticas. Madrid: Ediciones Skemp, R. (1999). Psicología del aprendizaje de las matemáticas. (Tercera edición). Madrid: Morata. 133 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Vergnaud, G. (1983b). Multiplicative structures. In Lesh, R. and Landau, M. (Eds.)Acquisition of Mathemtics Concepts and Processes. New York: Academic Press Inc.pp. 127-174. Vergnaud, G. (1988). Multiplicative structures. In Hiebert, H. and Behr, M. (Eds.).Research Agenda in Mathematics Education. Number Concepts and Operations in the Middle Grades. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum. pp. 141-161. Vergnaud, G. (1993). Teoria dos campos conceituais. In Nasser, L. (Ed.) Anais do 1ºSeminário Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro. pp. 1-26. Vergnaud, G. (1997). The nature of mathematical concepts. In Nunes, T. & Bryant, P. (Eds.) Vergnaud. G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique desMathématiques, 10 (23): 133-170. 134 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación UNA REFLEXIÓN SOBRE EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LOS FUNDAMENTOS CONCEPTUALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO Silvia Ester Busab de Abdelnur Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología, Universidad Nac. de Tucumán. Argentina [email protected] Nivel Universitario Palabras clave: enseñanza-aprendizaje, estándares, encuesta. Resumen Los Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática representan la opinión del NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) acerca del contenido básico del currículo escolar de matemáticas y la evaluación del currículo como del aprendizaje. Constituyen el punto de referencia sobre lo que debe saber y ser capaz de hacer un estudiante con lo que aprende. Cálculo I es una asignatura del primer cuatrimestre de primer año del plan de estudios de las carreras de Ingeniería, de la Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología de la Universidad Nacional de Tucumán, y su contenido es el Cálculo Diferencial en una variable. Con el objetivo de realizar una reflexión sobre el proceso de enseñanzaaprendizaje, se administró una encuesta a los estudiantes de Ingeniería Electrónica y Biomédica, al finalizar el cursado de la materia. Se diseñó la encuesta teniendo como referentes los Estándares curriculares para el último nivel (que hacen referencia a los fundamentos conceptuales del Análisis Matemático) y los Estándares de Evaluación. En este trabajo se analiza los resultados obtenidos en la encuesta. Introducción Cálculo I es una asignatura de las Ciencias Básicas (Matemática), del primer cuatrimestre de primer año, de las carreras de Ingeniería que se cursan en la Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología de la Universidad Nacional de Tucumán. En ella se desarrollan los conceptos del Cálculo Diferencial en una variable. Aunque debido al excesivo número de alumnos las clases teóricas son del tipo magistral dialogada, el docente intenta no ser el protagonista principal, fomentando la actividad del alumno y la comunicación. Para las clases prácticas se constituyen comisiones de aproximadamente 40 estudiantes, lo que favorece la interacción entre el docente y los alumnos y entre los alumnos entre sí. Si bien se enseña el Análisis como un saber histórico, se trata de algún modo y en alguna medida, de hacer participar a los estudiantes en el proceso de elaboración del conocimiento científico, con sus dudas e incertidumbres, lo cual requiere de ellos una forma de abordar el aprendizaje como un proceso constructivo, de búsqueda de significados e interpretación (Pozo y Gómez Crespo, 2000). Con el objetivo de evaluar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura, se diseñó e implementó una encuesta a los alumnos, para conocer sus opiniones sobre distintos 135 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación aspectos relativos a las metodologías de enseñanza y evaluación vigentes en la asignatura. La encuesta fue elaborada teniendo como referentes los Estándares curriculares para la Educación Matemática para el último nivel (que incluyen los fundamentos conceptuales del Análisis) y los Estándares de evaluación del NCTM (National Council of Teachers of Mathematics). Los citados estándares constituyen un valioso material no sólo para su utilización sino para la reflexión, de cara al mejoramiento de la enseñanza y del aprendizaje de la matemática. En el presente trabajo se analiza los resultados obtenidos en la encuesta. Marco teórico El estudio del Enfoque Cognitivo con la Teoría Psicogenética de Piaget y del Enfoque Histórico Cultural de Vigotsky (Moreira,1997; Pozo, 1994), junto al análisis de los Estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemática (NCTM,1989) y de los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM, 2000), permitieron elaborar el marco teórico de referencia. Los aportes de estas teorías fueron: a) Teoría Psicogenética de Piaget Piaget establece una distinción entre aprendizaje en sentido estricto por el que se adquiere del medio información específica, y aprendizaje en sentido amplio que consiste en el progreso de las estructuras cognitivas por procesos de equilibración. Piaget considera que el primer tipo de aprendizaje depende del segundo, o sea, el aprendizaje de conocimientos específicos depende por completo del desarrollo de estructuras cognitivas generales, que él formaliza en términos lógicos. La Psicología de Piaget es genética, analiza la formación de las nociones y operaciones en el curso del desarrollo del sujeto, para así lograr una comprensión profunda de los estados finales del desarrollo mental y un conocimiento preciso de sus mecanismos formativos. Sin duda, resulta necesario al docente el conocimiento de esos procesos ya que su objetivo es provocarlos mediante situaciones de aprendizaje y actividades adecuadas. b) Enfoque Histórico Cultural de Vigotsky Vigotsky parte de la premisa de que el desarrollo cognitivo no puede ser entendido sin referencia al contexto social y cultural en el que él ocurre. La afirmación de que los procesos mentales superiores del individuo tienen origen en procesos sociales es uno de los pilares de su teoría. Para Vigotsky los significados provienen del medio social externo, pero deben ser asimilados o interiorizados por cada sujeto concreto. El vector del desarrollo y del aprendizaje iría desde el exterior al interior del sujeto, sería una internalización o transformación de las acciones externas, sociales, en acciones internas, psicológicas. La adquisición de conocimiento comienza siendo objeto de intercambio social, es decir, se inicia siendo interpersonal para después hacerse intrapersonal o internalizarse. c) Estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemática - Principios y Estándares para la Educación Matemática Son el producto de un trabajo interinstitucional, consensuado y mancomunado de instituciones y personalidades destacadas en el campo de la enseñanza de la matemática. 136 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Representan la opinión del NCTM acerca del contenido básico del currículo escolar de matemática y de la evaluación del currículo como del aprendizaje, sirviendo como guía para su revisión. Dan una visión coherente de lo que significa poseer ―cultura matemática‖ en un mundo sustentado por ordenadores, en el que aumenta día a día las aplicaciones de la matemática a los más diversos campos. Estándares de educación matemática Los estándares son juicios de valor basados en un concepto amplio y coherente del proceso educativo que surge de varios factores: las metas sociales, las metas escolares, la investigación sobre enseñanza-aprendizaje y la experiencia personal. Los estándares (NCTM,1989) están divididos en cuatro categorías referentes a: los tres niveles educativos (Estándares curriculares) y evaluación (Estándares de evaluación). Cada categoría contiene entre trece o catorce estándares. Los estándares describen los contenidos matemáticos que deberían incluirse en el currículo y las actividades de los alumnos asociadas con dichos contenidos. Dos principios generales guían esta descripción: el conocimiento debería surgir de las mismas situaciones de problema y el aprendizaje debiera lograrse a través de una implicación activa con la matemática. Los estándares del tercer nivel, que corresponde al último nivel educativo escolar, incluye como un contenido curricular a los ―Fundamentos conceptuales del Análisis‖ que es el contenido central de la asignatura Cálculo I. Los Estándares para la Educación Matemática establecen cinco objetivos generales para los estudiantes: 1) que aprendan a valorar la matemática, 2) que se sientan seguros de su capacidad para hacer matemáticas, 3) que lleguen a resolver problemas matemáticos, 4) que aprendan a comunicarse mediante las matemáticas, 9) que aprendan a razonar matemáticamente. El currículo debe impregnarse de estos objetivos y de estas experiencias hasta que se conviertan en algo cotidiano en la vida de los estudiantes. Los estándares curriculares y de evaluación reflejan la idea de cómo conseguir los objetivos enunciados anteriormente. a) Estándares curriculares: Los cuatro primeros estándares curriculares de cada categoría se refieren a procesos matemáticos: Resolución de Problemas, Comunicación, Razonamiento y Conexiones Matemáticas. Estándar curricular 1: Las Matemáticas como Resolución de Problemas El currículo de matemática debe incluir métodos para que los alumnos sean capaces de: usar enfoques de resolución de problemas para investigar y entender contenidos matemáticos; para resolver problemas dentro y fuera de la matemática; para formular modelos matemáticos a situaciones de problema del mundo real. Estándar curricular 2: Las Matemáticas como Comunicación Asimismo, debe propiciar actividades que favorezcan en los estudiantes un desarrollo continuo del lenguaje y del simbolismo para comunicar ideas matemáticas, 137 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación permitiéndoles ser capaces de: formular definiciones y expresar generalizaciones obtenidas por medio de la investigación; expresar ideas matemáticas en forma oral y escrita; leer en forma comprensiva presentaciones matemáticas; apreciar la potencia de la notación matemática. Estándar curricular 3: Las Matemáticas como Razonamiento El currículo de matemáticas debe incluir experiencias variadas y numerosas que refuercen las destrezas de razonamiento lógico para que los alumnos sean capaces de: elaborar y demostrar conjeturas; formular contraejemplos; comprender argumentos lógicos; juzgar la validez de un argumento; apreciar el papel que cumplen las dos formas de razonamiento (inductivo, deductivo). Estándar curricular 4: Conexiones Matemáticas El plan debe detallar conexiones e interacción entre diversos temas matemáticos para lograr que los estudiantes: reconozcan representaciones equivalentes de un mismo concepto; utilicen las conexiones entre diferentes temas matemáticos y entre las matemáticas y otras materias. Los restantes estándares curriculares son específicos de cada categoría y subrayan el área de contenido o un contenido específico que es necesario desarrollar. Una premisa de los estándares es que los conceptos, los procedimientos y los procesos intelectuales estén interrelacionados. b) Estándares de evaluación: Respecto a los estándares de evaluación, los que enfatizan algunos aspectos de la evaluación a los que debe prestarse atención, los mismos se agrupan en tres secciones. Los tres estándares de la sección Evaluación General discuten los principios pertinentes a cualquier forma de evaluación y valoración. Los siete estándares sobre Evaluación de los Alumnos consideran los aspectos del conocimiento matemático que debe ser evaluado, según se desprende de los Estándares Curriculares. Los cuatro estándares de la sección Evaluación del Programa plantean la valoración de la coherencia de un programa de matemáticas con respecto a los Estándares. De los cuatro estándares de evaluación que se enuncian a continuación, los tres primeros constituyen la sección Evaluación General, mientras que el cuarto corresponde a la sección Evaluación de los Alumnos y hace referencia a los restantes de dicha sección. Estándar de evaluación 1: Coherencia Los métodos que se usen para evaluar el aprendizaje de los alumnos deben ser coherentes con el currículo en cuanto a: objetivos y contenidos matemáticos; énfasis relativo que se dé a diversos temas y procesos y a sus relaciones; enfoques y actividades docentes. Estándar de evaluación 2: Fuentes múltiples de evaluación Las decisiones sobre el aprendizaje de los alumnos deben basarse en la convergencia de información obtenida a partir de diversas fuentes. Estas fuentes deben abarcar tareas que: requieran distintos tipos de pensamiento matemático; presenten el mismo concepto o procedimiento matemático en contextos y situaciones de problema diferentes. 138 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Estándar de evaluación 3: Métodos y formas adecuadas de evaluación Los objetivos de la evaluación son: identificar las áreas que presentan dificultad; recoger datos para la programación docente; poner calificaciones; valorar un programa. Estos objetivos indican los métodos e instrumentos a emplear. Estándar de evaluación 4: Potencia matemática La evaluación del conocimiento matemático de los estudiantes debe dar información sobre su capacidad de utilizar la información para: analizar; razonar; formular y resolver problemas; conectar conceptos; comunicar ideas. Metodología Se elaboró una encuesta con doce ítems (ver Apéndice). El estudio se apoya en estadísticas sobre las respuestas al cuestionario. Los ítems fueron formulados para conocer las opiniones de los alumnos sobre ciertas componentes del proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Cálculo I, con el objeto de revisar las mismas: los ―procesos matemáticos‖ (resolución de problemas, comunicación, razonamiento y conexiones matemáticas) y ―evaluación‖ (coherencia, objetivos, potencia matemática). Cada dimensión de estas dos variables, relativa a algunos de los estándares, fue medida a través de algún o algunos ítems de respuestas cerradas con tres alternativas de elección. Se optó por ítems de respuesta cerrada por considerarlos más operativos, tanto para el alumno que los cumplimentaba como para el análisis de los datos que se obtuvieran. Para cada dimensión se consideró como unidad de análisis a las respuestas dadas a los ítems relacionados con ella (Samaja, 2003; Vieytes, 2004). El cuestionario fue administrado el antepenúltimo día de clases de la materia Cálculo I y respondido por 107 alumnos de las carreras de Ingeniería Electrónica y Biomédica, los que constituían el total de estudiantes de las citadas carreras que asistieron a clase en dicha oportunidad. Se estudió la validez de contenido del instrumento a través del juicio de expertos. Para favorecer la confiabilidad, el cuestionario fue respondido en forma anónima disponiendo cada alumno del tiempo necesario para hacerlo. Los nueve primeros ítems constituyeron la Primera parte de la encuesta (relativa a los estándares curriculares) y los tres últimos la Segunda parte (relativa a los estándares de evaluación). Primera parte de la encuesta La definición operacional de la variable ―procesos matemáticos‖ (McMillan y Schumacher, 2005), quedó determinada por las dimensiones e indicadores que pueden apreciarse en la Tabla I. Los resultados obtenidos en la Primera parte de la encuesta se presentan en la Tabla II, en la que se indican las frecuencias absolutas y las porcentuales de las distintas dimensiones, basándose en la opinión de los alumnos. 139 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Ambas tablas se muestran a continuación: Tabla I: Definición operacional de la variable ―procesos matemáticos‖ Variable Dimensión Las matemáticas como Comunicación (Estándar curricular 2) (ítems 1,2,3) Las matemáticas como Razonamiento (Estándar curricular 3) (ítems 4,5) Procesos matemáticos Las matemáticas como Resolución de Problemas (Estándar curricular 1) (ítems 6,7) Las matemáticas como Conexiones (Estándar curricular 4) (ítems 8,9) Indicadores ―Muy Adecuado‖: Si la respuesta fue Muy bueno o Sí o Muchas veces. ―Regularmente Adecuado‖: Si la respuesta fue Regular o Más o menos o Pocas veces. ―Inadecuado‖: Si la respuesta fue Malo o No o Nunca. ―No responde‖:Si ninguna opción fue elegida. ―Muy Adecuado‖: Si la respuesta fue Mucha o Muchas veces. ―Regularmente Adecuado‖: Si la respuesta fue Poca o Pocas veces. ―Inadecuado‖: Si la respuesta fue Malo o No o Nunca. ―No responde‖: Si ninguna opción fue elegida. ―Muy Adecuado‖: Si la respuesta fue Muchas veces. ―Regularmente Adecuado‖: Si la respuesta fue Pocas veces. ―Inadecuado‖: Si la respuesta fue Nunca. ―No responde‖:Si ninguna opción fue elegida. ―Muy Adecuado‖: Si la respuesta fue Continuamente o Muchas veces. ―Regularmente Adecuado‖: Si la respuesta fue De vez en cuando o Pocas veces. ―Inadecuado‖: Si la respuesta fue Nunca. ―No responde‖: Si ninguna opción fue elegida. Tabla II: Resultados de la Primera parte de la encuesta Muy Adecuado Comunicación (Estándar 2) Razonamiento (Estándar 3) Resolución de Problemas (Estándar 1) Conexiones Matemáticas (Estándar 4) Ítem 1 Ítem 2 Ítem 3 Ítem 4-a Ítem 4-b Ítem 5 Ítem 6 Ítem 7 81(76%) 70(65%) 59(55%) 35(33%) 29(27%) 9(8%) 20(19%) 25(23%) Regularmente Adecuado 26(24%) 20(19%) 44(41%) 63(59%) 69(65%) 48(45%) 57(53%) 58(54%) Ítem 8 Ítem 9 66(62%) 42(39%) 37(34%) 62(58%) Inadecuado No responde 0 17(16%) 1(1%) 9(8%) 9(8%) 50(47%) 30(28%) 20(19%) 0 0 3(3%) 0 0 0 0 4(4%) 2(2%) 3(3%) 2(2%) 0 Distribución de frecuencias, de las distintas dimensiones, según respuesta de los alumnos 140 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Interpretación de los resultados de la Primera parte de la encuesta De la Tabla II se puede apreciar que: - Para la dimensión ―Comunicación‖, el mayor porcentaje corresponde a la categoría ―Muy Adecuado‖ en los tres ítems (total de ítems establecidos para medirla). - Para la dimensión ―Razonamiento‖, en los ítems 4-a y 4-b, el mayor porcentaje se visualiza en la categoría ―Regularmente Adecuado‖. - Para la dimensión ―Resolución de Problemas‖, se registra el más alto porcentaje en la categoría ―Regularmente Adecuado‖ en los dos ítems (total de ítems para medirla). - Para la dimensión ―Conexiones Matemáticas‖, el mayor porcentaje se visualiza en la categoría ―Muy Adecuado‖ en el ítem 8 y en la ―Regularmente Adecuado‖ en el ítem 9. Así, los resultados estarían indicando que para los estudiantes, el proceso de enseñanzaaprendizaje de la asignatura Cálculo I favorece el desarrollo del lenguaje formal y simbólico (Comunicación) y las conexiones entre los diferentes temas de la materia (Conexiones). En una medida menor, la destreza para realizar demostraciones, formular contraejempos (Razonamiento), para modelar y resolver situaciones problemáticas del mundo real (Resolución de Problemas) y para conectar los conceptos matemáticos con los de otras asignaturas (Conexiones). Segunda parte de la encuesta La definición operacional de la variable ―evaluación‖ quedó determinada por algunos aspectos a los que debe prestarse más atención, que se presentan en la Tabla III: Tabla III: Definición operacional de la variable ―evaluación‖ Variable Dimensión Subdimensión Coherencia de la evaluación con el currículo (Estándar evaluación 1) (ítem 10) Evaluación Objetivos de la evaluación (Estándar evaluación 3) (ítem 11) Evaluación de la potencia matemática (Estándar evaluación 4) Razonamiento Análisis Indicadores ―Muy Adecuado‖: Si la respuesta fue Mucha. ―Regularmente Adecuado‖: Si la respuesta Poca. ―Inadecuado‖: Si respondió Nada. ―No responde‖: Si ninguna opción fue elegida. ―Muy Adecuado‖: Si la respuesta fue qué saben, qué aplican y calificar. ―Regularmente Adecuado‖: Si la respuesta fue qué saben y calificar. ―Inadecuado‖: Si la respuesta fue sólo calificar. ―No responde‖: Si ninguna opción fue elegida. ―Muy Adecuado‖: Si la respuesta fue Alta. ―Regularmente Adecuado‖: Si la respuesta fue Mediana. 141 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación (ítem 12) Conexión de conceptos Aplicación a resolución de problemas ―Inadecuado‖: Si la respuesta fue Baja. ―No responde‖: Si ninguna opción fue elegida. Los resultados obtenidos al procesar la Segunda parte de la encuesta, según opinión de los estudiantes, pueden apreciarse en la Tabla IV que se muestra a continuación: Tabla IV: Resultados de la Segunda parte de la encuesta Coherencia Item 10 Muy Adecuado 85(79%) Objetivos Item 11 35(33%) 50(47%) 22(20%) 0 Razonamiento Item12-a 79(74%) 27(25%) 1(1%) 0 Análisis Item12-b 73(68%) 32(30%) 1(1%) 1(1%) Conexión de ideas Resolución de problemas Item12-c 70(65%) 34(32%) 2(2%) 1(1%) Item12-d 74(69%) 28(26%) 2(2%) 3(3%) Potencia matemática Regularmente Adecuado 21(20%) Inadecuado 0 No responde 1(1%) Distribución de frecuencias, de las distintas dimensiones, según respuesta de los alumnos Interpretación de los resultados de la Segunda parte de la encuesta De la Tabla IV se puede observar que: - Para la dimensión ―Coherencia‖, el más alto porcentaje se registra en la categoría ―Muy Adecuado‖. - -Para la dimensión ―Objetivos‖, el mayor porcentaje corresponde a la categoría ―Regularmente Adecuado‖. - Para la dimensión ―Potencia matemática‖, en las cuatro subdimensiones ―Razonamiento‖, ―Análisis‖, ―Conexión de conceptos‖ y ―Resolución de problemas‖, se observa el más alto porcentaje en la categoría ―Muy Adecuado‖. Los resultados estarían mostrando que para los alumnos, en la asignatura Cálculo I existe un buen grado de consistencia entre las actividades solicitadas en los parciales y las desarrolladas en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Además, las tareas de parciales requieren en gran medida de razonamiento, análisis, conexión de conceptos y resolución de problemas, favoreciendo la evaluación de la potencia matemática de los estudiantes. Conclusiones generales Los resultados obtenidos nos permiten vislumbrar el cumplimiento en gran medida del Estándar curricular 2, seguidamente del Estándar curricular 4 y en una medida menor de los Estándares curriculares 1 y 3. 142 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Respecto a los estándares de evaluación contemplados en este estudio, los resultados obtenidos respaldarían el cumplimiento en alto grado del Estándar de evaluación 1 y Estándar de evaluación 4; en menor grado del Estándar de evaluación 3. Ésto nos compromete como docentes de la disciplina Matemática a buscar estrategias y recursos para lograr que nuestros estudiantes amplíen las destrezas de razonamiento lógico, la capacidad de planteamiento de problemas y las estrategias de resolución de los mismos. Asimismo, incorporar como un propósito de la evaluación, la valoración de la capacidad que tienen los alumnos de aplicar lo que han aprendido a situaciones nuevas y en otros contextos. Referencias Bibliográficas McMillan, J. H. y Schumacher, S. (2005). Investigación educativa. Madrid: Pearson, Moreira, M.A. (1997). Enfoques teóricos: Monografías sobre teorías de aprendizagem e encino. Porto Alegre: Universidad Federal do Río Grande do Sul, Brasil. N.C.T.M. (1989). Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación Matemática. Sevilla: Sociedad Thales, N.C.T.M. (2000). Principios y estándares para la Educación Matemática. Sevilla: Sociedad Thales. Pozo, J.I. y Gómez Crespo, M.A. (2000). Aprender y enseñar ciencia (2da ed.). Madrid: Morata. Pozo, J.I. (1994). Teorías cognitivas del aprendizaje (3a ed.). Madrid: Morata. Samaja, J. A. (2003). Epistemología y Metodología. Elementos para una teoría de la investigación científica (3a ed. 3a reimp.). Buenos Aires: Eudeba. Vieytes, R. (2004). Metodología de la investigación en organizaciones, mercado y sociedad. Buenos Aires: Editorial de las Ciencias. 143 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Apéndice: Encuesta Esta encuesta es anónima. Tus respuestas relativas a tu experiencia como alumno de la asignatura Cálculo I servirán para revisar componentes del proceso de enseñanzaaprendizaje. Muchas gracias. Consigna: En cada punto selecciona una de las opciones. Marca con una X. 1) Consideras que el manejo del lenguaje matemático formal y simbólico adquirido en este curso es: Muy Bueno Regular Malo 2) ¿El grado de simbolismo matemático usado está en consonancia con tu nivel de madurez matemático? Sí Más o menos No 3) ¿El contexto áulico favoreció la comunicación, la colaboración, el planteamiento de problemas? Muchas veces Pocas veces Nunca 4) Consideras que has adquirido destreza para: a) Realizar demostraciones Mucha Poca Nada b) Formular contraejemplos Mucha Poca Nada 5) ¿Has formulado vos mismo alguna conjetura matemática?: Muchas veces Pocas veces Nunca 6) ¿Has modelado situaciones o fenómenos del mundo real mediante una ecuación matemática que define una función (construcción de modelos matemáticos)? Muchas veces Pocas veces Nunca 7) ¿Has usado conceptos de Cálculo I para la resolución de situaciones problemáticas de las ciencias físicas y del mundo real? Muchas veces Pocas veces Nunca 8) ¿Has establecido conexiones entre diferentes temas de la asignatura? Continuamente De vez en cuando Nunca 9) ¿Has conectado conceptos matemáticos de la asignatura con conceptos de otras materias? Muchas veces Pocas veces Nunca 10) ¿Consideras que hay coherencia entre las tareas realizadas durante el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura y las actividades solicitadas en los parciales que se usan para evaluar el aprendizaje? Mucha Poca Nada 11) Consideras que el docente utiliza la evaluación: Para comprobar qué saben los alumnos sobre lo enseñado, lo que pueden aplicar en situaciones nuevas y para asignar una calificación. Para comprobar qué saben los alumnos sobre el material enseñado y para asignar una calificación. Solamente para asignar una calificación 12) La resolución de los parciales requiere: a) Capacidad de razonamiento Alta Mediana Baja b) Capacidad de análisis Alta Mediana Baja c) Capacidad para conectar conceptos Alta Mediana Baja d) Capacidad para aplicar lo que se sabe a la resolución de problemas Alta Mediana Baja 144 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación PERFILES DE LOS ESTUDIANTES INGRESANTES AL PROFESORADO EN MATEMATICA Patricia Caro, Teresa Braicovich, Claudia Reyes Universidad Nacional del Comahue. Argentina [email protected], [email protected] Nivel Universitario Palabras clave: estudiantes – ingresantes – perfiles - profesorado Resumen En este trabajo se presentan los resultados de una encuesta que fuera realizada a los ingresantes (año 2012) a la carrera de Profesorado en Matemática de la Facultad de Economía y Administración de la Universidad Nacional del Comahue, carrera que se dicta en la ciudad de Neuquén. Esta encuesta fue realizada a los estudiantes que ingresaron este año y la finalidad fue detectar grupos de individuos con características semejantes a las que serán llamadas ―perfil del estudiante‖, para luego proponer una serie de actividades que permitan lograr un mejor acompañamiento y desempeño en sus años de estudio universitario. Se realizó un análisis estadístico descriptivo para la descripción de los 30 alumnos encuestados, se realizaron gráficos univariados de las variables consideradas importantes para este estudio, pruebas Chi Cuadrado de Independencia para determinar asociación entre las distintas variables cualitativas y luego de determinar estas asociaciones se utilizó Análisis Factorial de Correspondencias Múltiple, mediante el cual se pudieron determinar los distintos perfiles entre los estudiantes ingresantes. Introducción En la Facultad de Economía y Administración, que se encuentra en la sede central, la ciudad de Neuquén, de la Universidad Nacional del Comahue se dicta la carrera de Profesorado en Matemática. Se ofreció a los ingresantes, igual que en los últimos años, un curso de nivelación no obligatorio. Esta encuesta fue realizada a los ingresantes de este año y tuvo por finalidad detectar grupos de individuos con características semejantes a las que serán llamadas ―perfil del estudiante‖, para luego proponer actividades que permitan lograr un mejor acompañamiento y desempeño en sus años de estudio universitario. Se realizó un análisis estadístico, solamente descriptivo, para describir a los 30 alumnos encuestados, se realizaron gráficos univariados de las variables consideradas importantes para este estudio, pruebas Chi Cuadrado de Independencia para determinar asociación entre las distintas variables cualitativas y luego de determinar estas asociaciones se utilizó Análisis Factorial de Correspondencias. En el siguiente punto se presenta la metodología de trabajo, en el siguiente los resultados obtenidos junto con el análisis correspondiente y por último las conclusiones. 145 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Desarrollo del trabajo Las encuestas fueron entregadas a los ingresantes a la carrera de Profesorado en Matemática y todas fueron devueltas respondidas en su totalidad. Objetivos Los objetivos al realizar esta encuesta fueron: Determinar cuáles son las variables referentes a saberes y características previas que mejor explica el perfil del ingresante dentro del profesorado en Matemática. Hallar asociaciones entre la información propia del entrevistado (sexo, edad, trabajo) y las variables referidas a los hábitos de estudio, repercusión en la vida social, elección de la carrera, proyectos a futuro. Para luego, a partir de los perfiles, determinar el tipo de acompañamiento que se podría hacer a estos alumnos para mejorar el desempeño en su carrera universitaria. Encuestas La misma tiene variables correspondientes a información general, a formación, a hábitos y también referidas a la elección de la carrera. En la base de datos se encontraron variables de distinta naturaleza: dicotómicas, categóricas multiestado y cuantitativas continuas. En los casos en los que la variable multiestado tomaba una gran cantidad de categorías diferentes se fueron recategorizando a un número menor para un mejor tratamiento y fácil comprensión. De la misma forma se procedió con las variables cuantitativas. En este primer estudio se utilizaron aquellas variables de respuestas cerradas, dejándose para una segunda instancia, abordada con mayor profundidad, aquellas preguntas de respuesta abierta. En la siguiente tabla se presentan en detalla las variables, su codificación y las categorías adoptadas: Tabla 1: Variables utilizadas en el estudio N° Variable Codificación 1 Rango de Edad RE Estado Civil EC Horas de Estudios HS_EST Trabaja TRAB 5 Nivel de Educación de la madre ED_MAD 6 Nivel de Educación del padre ED_PAD Con quién vive FLIA 2 3 4 7 Categorías Menos de 20 años Entre 20 y 25 años Más de 25 años Soltero Casado Hasta 2 horas (2_EST) Más de 2 y hasta 4 (4_EST) 5 horas o más (5 O MÁS_EST) Si Trabaja No Trabaja Primaria Incompleta (PI) Primaria Completa (PC) Secundario o más (SOM) Primaria Incompleta (PI) Primaria Completa (PC) Secundario o más (SOM) Nuclear Monoparental Propia 146 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Utiliza Computadora COMPU 9 Cantidad de libros en su vivienda LIBR 10 Acostumbra a leer libros, novelas, revistas, etc. LEE Tuvo Matemática MAT Elección de la carrera ELEC Futuro FUT 8 11 12 13 Extendida Solo) Si No Menos de 10 (< 10 LIB) Entre 10 y 50 (10-50 LIB) Más de 50 (>50 LIB) Lee_Poco Lee Lee_Mucho En los 3 años En los 4 años En los 5 años En los 6 años Vocación Vocación y rédito económico Rédito económico Todas Otros Enseñanza Secundaria (Sec.) Enseñanza Universitaria (Uni) Materiales y Métodos Se aplicaron cálculos de porcentajes correspondientes a las categorías de las variables cualitativas, representadas en diagramas de torta (gráficos univariados). Siguiendo a Escofier y Young (1984), se realizaron pruebas Chi cuadrado de independencia para determinar asociación entre las variables cualitativas. Para determinar asociaciones entre categorías de más de dos variables cualitativas se utilizó Análisis Factorial de Correspondencias Múltiple, considerando trabajos de Baccalá (2008) y Lebart y otros (1995). Se utilizó el paquete estadístico INFOSTAT y para manejo de bases de datos se utilizó el programa EXCEL. Resultados de la encuesta Se presentan los resultados organizados en los tres siguientes puntos. Estadísticas univariadas Se representan, mediante diagramas de torta, los resultados correspondientes a las variables cualitativas referidas a: información general, formación y a hábitos. 147 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 4,0 (%) ESTADO CIVIL SEXO (%) 27,0 F 73,0 M CASAD O NIVEL DE EDUCACIÓN DE AMBOS PADRES RANGO DE EDAD 13% 96,0 AMBOS CON PI AMBOS CON PC CON PC o S0M CON PI o S0M Menos de 20 30% 57% Entre 20 y 25 Más de 25 NIVEL DE EDUCACIÓN DEL PADRE NIVEL DE EDUCACIÓN DE LA MADRE PRIMARIA INC 30% 40% PRIMARIA INC PRIMARIA COM SECUNDARI O O MÁS 23% PRIMARIA COM 30% 148 67% SECUNDARIA O MÁS 10% MATEMÁTICA PREVIA EN ALGÚN AÑO DEL SECUNDARIO (%) 37,0 ¿En todos los años del secundario tuvo matemática? 3% 10% En 3 años NO 63,0 En 4 años SI 87% En todos los años El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación ¿CUÁNTOS LIBROS HAY EN EL HOGAR? 17% 33% 10% menos de 10 libros entre 10 y 50 libros 50% Utilizan computadora? No utiliza computadora 90% Si utiliza computadora más de 50 libros Acostumbras leer libros, novelas, revistas, etc. 37% 23% LEE_POCO LEE 40% ¿Utiliza la biblioteca como lugar para estudiar? LEE_MUCHO No la utiliza para estudiar 43% 57% Si la utiliza para estudiar Niveles de significación entre las variables en estudio Se presentan, en una tabla de doble entrada, los niveles de significancia entre las 13 variables cualitativas consideradas en la encuesta, utilizando pruebas Chi cuadrado para los cruces de estas variables se obtuvieron cruces no significativos - indicados en azul- y cruces significativos -indicados en rojo, con un nivel de significancia inferior a 0,05. Tabla 2: Niveles de significación entre las 13 variables en estudio Análisis Factorial de Correspondencias Múltiple A partir de los cruces presentados en la tabla anterior, sólo se consideraron las variables significativamente estadísticas para el análisis de correspondencia múltiple que se trabajaron en tres gráficos distintos para poder definir los perfiles de estos alumnos. 149 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Dichas representaciones en los ejes factorías se presentan a continuación 150 Las variables Lee – Hs. Estudio – Rango edad – Trabaja A partir de los cruces de las variables que se realizaron se pueden establecer tres grupos o perfiles de alumnos, a saber: Grupo N°1: Se caracteriza por tener edad inferior a 25 años, por lo general no trabajan y acostumbran a leer casi nunca, una o dos veces al mes y dedican a lo sumo 4 horas de estudio diarias. Grupo N°2: Se observan edades que superan los 25 años, acostumbran a leer 1 o más veces por semana, trabajan y dedican hasta 2 horas al estudio diarias. Grupo N°3: Este grupo le dedica 5 o más horas diarias al estudio y leen casi todos los días, no se observa asociación con la edad pero por lo general su perfil se asocia a las personas que no trabajan. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 151 Las variables Elección de la carrera – Nivel de educación de la madre – Rango de edad – Computadora A partir de estos cruces de las variables se pueden establecer dos grupos o perfiles de alumnos, a saber: Grupo N° 1: Alumnos con edades que no superan las 25 años, por lo general utilizan computadora para comunicación, búsqueda de información, realización de trabajos prácticos etc. También se detecta que su elección por el profesorado en matemática se debe a su vocación, otras razones que no especificaron y algunos casos aislados por rédito económico. Esta elección en este grupo se asocia significativamente al nivel de educación de la madre (secundario o más). Grupo N° 2: Se encuentran alumnos mayores de 25 años, cuyas madres tienen la primaria incompleta y por lo general no utilizan computadora. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 152 Las variables Estado civil – Hs. Estudio – Nivel de educación del padre - Futuro A partir de estos cruces de las variables se pueden establecer dos grupos o perfiles de alumnos, a saber: Grupo N° 1: Los alumnos cuyos padres poseen un nivel de educación, escuela primaria completa y secundaria completa o más, tienen una visión de futuro más amplia, es decir piensan a futuro trabajar en el secundario, en la universidad e incluso realizar trabajos de investigación. Por lo general dedican alrededor de 4 horas diarias al estudio. Grupo N° 2: Los alumnos cuyos padres no han culminado la educación primaria piensan en trabajar solamente en la escuela secundaria. Además le dedican a lo sumo 2 horas diarias al estudio. Conclusión Final A partir de las encuestas, sus respuestas y el análisis realizado se considera que: Ayudaría a estos estudiantes el hacer talleres o cursos de comprensión de textos, pues son muchos los que no tienen hábitos de lectura y debería ofrecerse en distintos horarios, pues en los grupos que no tienen el hábito de la lectura hay muchos que trabajan. Sería importante ofrecer talleres de técnicas de estudio para generar en ellos el hábito del estudio y una mejor organización de sus tiempos. En estos sería importante una fuerte base en comprensión de textos, interpretación de consignas y resolución de problemas. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Desde las primeras materias se debería hacer hincapié en la existencia de problemas abiertos en matemática, esto ayudaría a ampliar probablemente su visión de la carrera, además de dar clases en la escuela media, tal vez puede interesarles dar clases en nivel superior o universitario e incluso participar de proyectos de investigación. Sería importante trabajar con softwares educativos desde las primeras materias de la carrera, pues se tiene un grupo de estudiantes de más de 25 años que no usa computadora, también se puede pensar en ofrecer talleres de computación en distintas franjas horarias ya que algunos de ellos trabajan. Por otro lado, un 50 % de los encuestados respondieron que no habían escuchado hablar de demostraciones matemáticas en la escuela media, esto nos plantea una incertidumbre: ¿La concepción de estos estudiantes es que ―hacer matemática‖ equivale a ―hacer cálculos‖? En estos casos creemos que en instancias anteriores de su educación no han sido trabajadas las conjeturas, las validaciones e incluso las justificaciones. Para estos alumnos sería muy importante realizar talleres referidos a la enseñanza de lo que realmente es: ―hacer matemática‖. Por último ya modo de cierre se está evaluando diseñar una encuesta para este mismo grupo de alumnos que sería realizada una vez que ellos hayan terminado este año académico, esto sería un instrumento que nos permita re-evaluar todo lo que ha sido considerado. Referencias Bibliográficas Baccalá, N. (2008). Análisis Factorial de Correspondencias. Universidad Nacional del Comahue. San Carlos de Bariloche. Río Negro. Escofier, B., Young, G. (1984). Analyse factorielle multiple. París: Cahiers du Buro, 2, ISUP. Lebart, L., Morineau, A., y Piron, M. (1995). Satistique Exploratoire Multidimensionnelle. Paris: Dunod. 153 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación DIAGNOSTICO DE HABILIDADES MATEMÁTICAS EN ALUMNOS INGRESANTES Marta Golbach, Analía Mena, Graciela Abraham, Graciela Galindo, María Rosa Rodríguez, Mabel Rodríguez Anido Facultad Regional Tucumán. Universidad Tecnológica Nacional. Argentina [email protected], [email protected] Nivel Universitario Palabras clave: Habilidades. Matemática. Diagnóstico. Alumnos. Resumen Las nuevas concepciones en el campo de la educación matemática hacen un mayor hincapié en el desarrollo del pensamiento lógico-formal. Por ello, la importancia del aprendizaje significativo y el desarrollo de algunas habilidades generales o procedimientos matemáticos. El presente trabajo tiene por objetivo mostrar los resultados de la investigación realizada con el fin de diagnosticar el nivel de desarrollo de habilidades matemáticas alcanzadas por los alumnos ingresantes que cursaban la asignatura Álgebra y Geometría Analítica en el periodo lectivo 2010 en la Facultad Regional Tucumán. La información se recolectó a través de un instrumento diseñado especialmente, prueba diagnóstica, que se aplicó a una muestra aleatoria de alumnos, cuya resolución implicó la puesta en práctica de ciertos procesos cognitivos que integran el grupo de habilidades generales, imprescindibles en Matemática. La misma pretendía evaluar los prerrequisitos de aprendizaje de Cónica y Sistemas de Ecuaciones Lineales. El marco teórico se elaboró a partir del Sistema Básico de Habilidades Matemáticas definido por Hernández Fernández y otros. Respecto al comportamiento cognitivo global se observó que un bajo porcentaje de alumnos poseen un buen nivel de conocimientos matemáticos, se destaca el nivel alcanzado en el desarrollo de las habilidades conceptuales, siendo insuficiente en las restantes, entre ellas las habilidades traductoras, heurísticas y metacognitivas. Introducción La enseñanza de la matemática debería proporcionar al estudiante las herramientas que le permitan prepararlo para insertarse en el mundo laboral e integrarse en la sociedad, con capacidad de pensamiento crítico y con habilidades para resolver problemas diversos, acorde a la dinámica de la sociedad misma. Las nuevas concepciones en el campo de la educación matemática hacen mayor hincapié en el desarrollo del pensamiento lógico-formal. Por ello, la importancia del aprendizaje significativo y el desarrollo de algunas habilidades generales o procedimientos matemáticos. Autores como De Sánchez (1991), sostiene que el aprendizaje de la Matemática, además de estimular el razonamiento, desarrolla habilidades generales que permite al alumno actuar y resolver una gran variedad de situaciones de la vida diaria. Este artículo es un avance del Proyecto de investigación ―Actualización Epistémica y Didáctica de la Matemática. Sistema de Autorregulación y Autoevaluación en la Estructuración de Nuevo Material Didáctico‖ sustentado en las concepciones 154 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación constructivistas del aprendizaje. En trabajos anteriores se analizaron las actitudes, los errores más frecuentes ligados al proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática y se investigó en qué medida los alumnos que cursan la asignatura Álgebra y Geometría Analítica, son autorreguladores de sus aprendizajes. Actualmene se encuentran en etapa de elaboración los materiales curriculares correspondientes a la unidad de Cónica y de Sistemas de Ecuaciones Lineales con una serie de estrategias didácticas y actividades que favorecen el aprendizaje significativo, propician la autoevaluación y la regulación continua del aprendizaje, lo cual contribuirá en la formación de un estudiante independiente. El objetivo de esta investigación fue, diagnosticar el grado de desarrollo de ciertas habilidades o procedimientos generales matemáticos alcanzado por los alumnos ingresantes a la carrera Ingeniería en Sistemas de Información de la Facultad, a partir de una prueba diagnóstica. Se pretendía con la misma evaluar, previo a implementar las experiencias, los prerrequisitos de aprendizaje de los temas Cónica y Sistemas de Ecuaciones Lineales. Marco teórico En este trabajo se considera la clasificación propuesta por Hernández Fernández, Delgado Rubí y Fernández de Alaíza (2001). Estos autores definen un Sistema Básico de Habilidades Matemáticas, a través de las cuales es posible resolver problemas matemáticos en su acepción amplia. Dichas habilidades están fundadas en el principio de que ―no se puede separar el saber, del saber hacer, porque siempre saber es saber hacer algo, no puede haber un conocimiento sin una habilidad, sin un saber hacer‖ (Talízina, 1984). Sostienen que el grupo de habilidades generales imprescindibles para el trabajo en Matemática son: Interpretar, Identificar, Recodificar, Calcular, Algoritmizar, Graficar, Definir, Demostrar, Modelar, Comparar, Resolver, Optimizar, Aproximar. Los procedimientos o habilidades se pueden agrupar según el tipo de función que realizan: Habilidades Conceptuales - Definir: Establecer mediante una proposición las características necesarias y suficientes del objeto de estudio. - Demostrar: Establecer una sucesión finita de pasos para fundamentar la veracidad de una proposición o su refutación. - Identificar: Distinguir el objeto de estudio matemático sobre la base de sus rasgos esenciales. Es determinar si el objeto pertenece a una determinada clase de objetos que presentan ciertas características distintivas. La formación de esta habilidad complementa al sujeto de un recurso teórico insustituible para la toma de decisiones y la resolución de problemas contribuyendo, por lo tanto, a la formación de un pensamiento matemático riguroso, reflexivo y profundo. - Comparar: Es establecer una relación entre dos entes matemáticos de un mismo conjunto o clase, asociándolos según determinadas características comunes a ambos. Habilidades Traductoras - Interpretar: Atribuir significado a las expresiones matemáticas de modo que éstas adquieran sentido en función del propio objeto matemático o en función del fenómeno o problemática real de que se trate. 155 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Modelar: Es asociar a un objeto no matemático un objeto matemático que represente determinados comportamientos, relaciones y características propias. En la actualidad la formación de esta habilidad es fundamental. - Recodificar: Es transferir la denominación de un mismo objeto de un lenguaje matemático a otro. Es expresar el mismo tipo de objeto a través de formas diferente. Habilidades Operativas - Graficar: Representar relaciones entre objetos matemáticos, tanto desde el punto de vista geométrico como de diagramas o tablas y recíprocamente asignar las relaciones existentes a partir de su representación gráfica. - Algoritmizar: Plantear una sucesión estricta de operaciones matemáticas que describan un procedimiento conducente a la solución de un problema. - Aproximar: es sustituir un objeto por otro el cual se considera un modelo suyo. - Optimizar: Encontrar el objeto que maximiza o minimiza en algún sentido la clase de objetos a la que pertenece o el método óptimo de resolución de determinado problema. - Calcular: Es una forma existencial de un algoritmo que puede llevarse a cabo de forma manual, verbal (oral o escrita), mental, y mediante el uso de tablas, calculadoras y computadoras. Habilidades Heurísticas y Metacognitivas - Resolver: Es encontrar un método o vía que conduzca a la solución de un problema matemático. La formación de esta habilidad es una necesidad imperiosa puesto que en ella confluyen recursos cognitivos, metacognitivos y heurísticos. La habilidad de ―resolver‖ un problema presenta un carácter relativo y subjetivo porque aunque el problema esté resuelto para la ciencia y para el profesor, puede ser considerado sin resolver para el estudiante si no conoce las vías de solución. Metodología La población bajo estudio estuvo constituida por los alumnos, del ciclo lectivo 2010, que cursaban la asignatura "Álgebra y Geometría Analítica", ubicada en el primer año de la carrera Ingeniería en Sistemas de Información de la Facultad Regional Tucumán de la Universidad Tecnológica Nacional. Para realizar la experiencia se seleccionó una muestra de 235 alumnos de un total de 600 mediante un muestreo aleatorio de comisiones de los tres turnos de dictado. La metodología utilizada es la propia de un diseño exploratorio descriptivo y la investigación realizada fue no experimental y de corte transversal (Hernández Sampieri, 1998). Métodos y Técnicas de Recolección de Datos La información se recolectó a través de un instrumento que se diseñó especialmente para esta investigación. Consistió en una prueba diagnóstica con contenidos matemáticos previos que se aplicó a los estudiantes seleccionados al inicio del cursado de la asignatura. El objetivo fue establecer el grado de desarrollo de ciertas habilidades o procedimientos generales a partir de dicha prueba. Se pretendía con la misma evaluar, previo a implementar las experiencias, los prerrequisitos de aprendizaje para encarar el estudio de los temas Cónica y Sistemas de Ecuaciones. 156 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Estuvo compuesta por tres ejercicios y dos situaciones problemáticas vinculadas a la vida real, presentadas en lenguaje coloquial y gráfico (Ver Anexo 1). Los ejercicios fueron seleccionados para detectar el grado o nivel de las habilidades de recodificar, comparar, identificar, interpretar, modelar y resolver, que integran un Sistema Básico de Habilidades Matemáticas (Hernández Fernández et al, 2001). La ―eficiencia‖ del instrumento utilizado en la investigación fue valorada durante el período de aplicación. Se garantizó la ―validez de contenido‖ sometiéndolo a la opinión de tres docentes universitarios de Matemática (jueces expertos), abocados a la investigación en educación. La ―validez de construcción‖ fue avalada por el marco teórico. La confiabilidad de las mediciones fue ratificada por una doble calificación realizada por el mismo evaluador en distintos períodos de tiempo. La segunda de ellas, no tuvo ninguna referencia acerca de los resultados anteriores, ni modificación de criterios. De los resultados se observó muy poca variabilidad entre una observación y otra para el mismo individuo (Mc Millan y Schumacher, 2005). Como se sabe, el lenguaje simbólico y el desarrollo gráfico son agentes esenciales en el proceso de adquisición del conocimiento. Por ello, es necesario detectar el grado o nivel de la habilidad Recodificar, que se midió en la prueba diagnóstica a través del ejercicio N° 1, que contaba de 4 (cuatro) apartados referidos a la transferencia del lenguaje coloquial al simbólico. El ejercicio N° 2 constaba de 5 (cinco) apartados de respuesta objetiva (verdadero o falso) a los fines de detectar el grado o nivel de desarrollo de la habilidad Comparar, que está presente en todo quehacer matemático. Para detectar el grado o nivel de desarrollo de la habilidad Identificar se consideró un tercer ejercicio de 3 (tres) apartados, referidos al reconocimiento de una función. En el cuarto ejercicio se les planteó la resolución de una situación problemática de la vida real, mediante un enunciado gráfico, con el fin de detectar el grado o nivel de desarrollo de la habilidad Interpretar. Es de vital importancia que el estudiante no sólo interprete un enunciado sino que también analice el significado de la respuesta obtenida. Para medir el grado de desarrollo de las 4 (cuatro) habilidades antes mencionadas se consideraron 5 (cinco) niveles según el número de apartados realizados correctamente, tomando como indicador al cociente: n número de apartados correctos N número total de apartados 157 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Dimensión Recodificar Habilidades Matemáticas Comparar Indicadores x=n/N 1 Medida Nivel Muy Alto 0,75 x 1 Nivel Alto 0,5 x 0,75 Nivel Medio 0,25 x 0,5 Nivel Bajo x0,25 Nivel Muy Bajo Identificar Interpretar Tabla N ° 1: Indicadores y medidas de las habilidades matemáticas de recodificar, comparar, identificar e interpretar En el quinto ejercicio se planteó la resolución de una situación problemática, mediante un enunciado expresado en lenguaje coloquial, con el fin de detectar el grado o nivel de desarrollo de las habilidades de modelar, resolver e interpretar, considerándose para cada una de ellas los siguientes indicadores y medida. Estos se muestran en la tabla N° 2. Dimensión Modelar Resolver Interpretar Indicadores Medida No Hizo/ Hizo Mal 0 Hizo Bien 1 Tabla N° 2: Indicadores y medidas de las habilidades de modelar, resolver e interpretar En la resolución de la prueba diagnóstica, el alumno tuvo que recurrir a procesos que requerían el uso del lenguaje simbólico, ubicación de sistemas de referencia y utilización de esquemas de razonamientos lógico-matemáticos correspondientes al pensamiento lógico formal. Análisis de los Resultados De los 235 alumnos seleccionados en la muestra, el 60% (141) fueron varones, el 76% (179) manifestó que no trabaja y el 61% (144) cursaba la materia por primera vez. Del análisis de los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica respecto de los niveles alcanzados por los alumnos en las habilidades de Recodificar, Comparar e Identificar se pudo observar en tabla N° 3, que el mayor porcentaje corresponde al nivel Alto en la habilidad recodificar y casi duplica en el mismo nivel a las otras habilidades. Esto nos llevó a pensar que la habilidad traductora de recodificar está incorporada en la mayoría de los alumnos, a pesar de ser pocos en el nivel muy alto. El porcentaje de alumnos que alcanzaron los niveles ‗medio‘ y ‗alto‘ en las habilidades conceptuales de identificar y comparar fueron similares, concentrándose en estos dos niveles la mayoría de los alumnos. 158 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Niveles Alcanzados Muy Alto Recodificar (% de alumnos) 10 Comparar (% alumnos) 12 Identificar (% alumnos) 8 Alto 63 34 27 Medio 19 38 35 Bajo 3 7 16 Muy Bajo 5 9 14 Tabla N° 3: Distribuciones Porcentuales de los Niveles de las Habilidades Recodificar, Comparar e Identificar. El siguiente gráfico de barras muestra estos resultados: 159 Niveles de las Habilidades Matemáticas 70% 60% 50% 40% Recodificar 30% Comparar Identificar 20% 10% 0% Muy Bajo Bajo Medio Alto Muy Alto Gráfico N° 1: Distribuciones Porcentuales de los Niveles de las Habilidades Recodificar, Comparar e Identificar Al analizar la variable Interpretar, con los mismos indicadores y medidas que las tres anteriores, se observa en la tabla N° 4 que los alumnos no logran interpretar correctamente el enunciado del problema, ya que sólo un 18% alcanzó los niveles ‗medio‘ y ‗alto‘. Esto pone en evidencia las dificultades que tienen los estudiantes en la resolución de un problema planteado en forma gráfica. O sea que, muy pocos alumnos saben atribuir significado matemático a una situación problemática de la vida real, mostrando un escaso nivel de desarrollo en la habilidad traductora de interpretar a diferencia de la de recodificar. Interpretar Muy Alto Alto Medio Bajo Muy Bajo Total Alumnos (Porcentaje) 4 14 4 2 76 100 Tabla N° 4: Distribución Porcentual de los Niveles de la Habilidad Interpretar Se sabe que resolver un problema enunciado en lenguaje coloquial significa modelar, es decir generar una representación matemática útil de una situación real, para luego resolver e El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación interpretar los resultados obtenidos. Del análisis de los resultados surgió que el 70% de los alumnos no logró interpretar el enunciado ni la modelación del problema. Esto refleja el escaso desarrollo de la habilidad de construir modelos matemáticos a partir de un enunciado. Es preocupante el bajo desempeño de los alumnos, que nos induce a pensar que no han desarrollado satisfactoriamente la capacidad, que de acuerdo a la teoría piagetiana del desarrollo de la inteligencia, caracteriza el pensamiento lógico formal. Niveles Alcanzados No hace/ Mal Bien Modelar % Alumnos 70 30 Resolver % Alumnos 76 24 Interpretar % Alumnos 83 17 Tabla N° 5: Distribución Porcentual de los Niveles de las Habilidades Modelar, Resolver e Interpretar Estos resultados se muestran en el siguiente gráfico: Niveles de las Habilidades Matemáticas 100% 80% Modelar 60% Resolver 40% Interpretar 20% 0% No hace/Mal Bien Gráfico N° 2: Distribución Porcentual de los Niveles de las Habilidades Modelar, Resolver e Interpretar Por ende es necesario enseñar a los estudiantes a usar la metodología para la resolución de problemas, que les permita entender su razonamiento y aumentar la confianza en sus habilidades matemáticas. Luego se analizó el comportamiento de la variable que involucra el resultado final de la prueba y se le asignó el nombre de ―Puntaje Total‖, cuyo análisis descriptivo fue: N 235 Media Mediana 5,34 5,00 Mín Máx 0,00 10,00 1er Cuartil 4,25 3er Cuartil 6,75 Dist. Intercuartil 2,50 Desv Estándar 2,06 Tabla N° 6: Análisis descriptivo de la variable ―Puntaje Total‖ El promedio de 5,34 fue alcanzado especialmente con el desarrollo de los ejercicios 1 a 3, que mostraron los niveles de las habilidades que operan directamente con los conceptos. Si se considera que un buen rendimiento académico debiera ser de siete (7) o más, el que se obtuvo con esta prueba no es el esperado. También, se ve que aproximadamente el 25% de los alumnos obtuvo 4,25 o menos, mientras que aproximadamente el 25% de los alumnos obtuvo 6,75 o más. Debido a los resultados obtenidos se quiso indagar si existían algunas 160 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación otras razones que justifiquen el comportamiento de esta variable. Para ello se agruparon los datos según fueran alumnos inscriptos o reinscriptos. El análisis descriptivo de la variable ―Puntaje Total‖ obtenida con la prueba diagnóstica aplicada a los alumnos inscriptos fue: N 145 Media Mediana Mín Máx 5,78 5,50 1er 3er Cuartil Cuartil 0,00 10,00 4,25 7,25 Dist. Intercuartil 3,00 Desv.Estándar 2,14 Tabla N° 7: Análisis descriptivo de la variable ―Puntaje Total‖ obtenida por los alumnos que cursaban por primera vez la asignatura 161 Mientras, que para los alumnos reinscriptos fue: N 90 Media Mediana Mín Máx 4,66 4,75 0,00 9,00 1er Cuartil 3,75 3er Cuartil 5,25 Dist. Intercuartil 1,50 Desv.Estándar 1,75 Tabla N° 8: Análisis descriptivo de la variable ―Puntaje Total‖ obtenida por los alumnos reinscriptos De ambas tablas se observa que los valores de la media, mediana y máximo son menores en el grupo de los recursantes. También, la desviación estándar y la distancia intercuartil son menores, lo que significa que los puntajes en este grupo presentan menor variabilidad. Se observa claramente en el diagrama tipo caja para cada grupo. 12 10 PUNTAJE TOTAL 8 6 4 2 0 Min-Max 25%-75% -2 Inscriptos Reinscriptos Median value CONDICION Gráfico N°3: Box Plott del Puntaje Total clasificado según su condición de Inscriptos o Reinscriptos Los Box Plott de la variable puntaje total para los dos grupos muestran que puede ser considerada una variable aleatoria normal. Por ello, para comparar las medias se puede realizar un test paramétrico de comparación de medias de los dos grupos, bajo el supuesto de que las varianzas de las poblaciones son desconocidas y distintas. Se obtiene para el estadístico del test el valor F = 1,487703 con p-value = 0,043023 por lo que se rechaza la hipótesis nula al 5%. Es decir las medias de los dos grupos son diferentes. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Conclusiones Las habilidades analizadas en este trabajo son las indispensables para resolver situaciones problémicas en Matemática. Si bien, más de la mitad de los alumnos obtuvo un grado alto de desarrollo en las habilidades comparar e identificar, se observaron marcadas deficiencias en el grado de desarrollo de las habilidades traductoras, heurísticas y metacognitivas. En cuanto al comportamiento cognitivo global de los estudiantes de la muestra, se puede señalar que un bajo porcentaje de alumnos posee un buen nivel de conocimientos matemáticos necesarios para el aprendizaje de los nuevos contenidos. Esto obstaculiza el aprendizaje, dado que los conocimientos previos son una cuestión sustancial en la comprensión de los nuevos conceptos, limitando sus posibilidades de aplicación. Se considera imprescindible fortalecer el desarrollo y permanencia de las habilidades cognitivas y dar buenos andamiajes que aseguren un mayor dominio de las mismas. Para dar respuestas superadoras se trabajó en el diseño e implementación de secuencias didácticas basadas en distintas estrategias de revisión, elaboración y organización con actividades que requieran el uso de las mismas y contribuyan a su dominio. Actualmente se encuentra en proceso de elaboración un nuevo material didáctico basado en estrategias metacognitivas que propician la autorregulación y la autoevaluación del aprendizaje, correspondientes a la unidad de Cónica y de Sistemas de Ecuaciones Lineales a fin de acrecentar la capacidad del estudiante de aplicar los conocimientos de manera independiente y creadora, requisitos indispensables para un desempeño eficiente, tanto en sus estudios universitarios como en el ejercicio de su futura labor profesional. Referencias Bibliográficas Coll, C., Pozo, J., Saravia, B., Valls, E. (1992). Los contenidos en la Reforma Enseñanza y Aprendizaje de Conceptos, procedimientos y Actitudes. Madrid, España: Santillana. Delgado Rubí, J. R. (1995). Un Sistema de Habilidades para la Enseñanza de la Matemática. Memorias de la IX Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa. La Habana, Cuba. Delgado Rubí, J. R. (2001). Los procedimientos generales matemáticos. En Cuestiones de Didáctica de la Matemática. Conceptos y procedimientos en el educación Polimodal y Superior, pp. 69-87. Argentina: Homo Sapiens. De Sánchez, M. A. (1991). Desarrollo de habilidades del pensamiento. Razonamiento verbal y solución de problemas. México: Trillas. Hernández Fernández, H.; Delgado Rubí, J. y Fernández de Alaíza, B. (2001). Cuestiones de Didáctica de la Matemática. Conceptos y procedimientos en la educación Polimodal y Superior. Argentina: Homo Sapiens. Hernández Sampieri, R. (1998). Metodología de la Investigación. México: McGraw Hill. Interamericana Editores. S. A de CV. Mc Millan, J.H. y Schumacher, S. (2005). Investigación Educativa. España: Pearson Addison Wesley. Talízina, N. (1984). Citada por Pérez Pantaleón, G. 1997. Un sistema didáctico para la enseñanza de la matemática en la carrera de Arquitectura sustentado en el enfoque histórico-cultural y aspectos de la psicología cognitiva. Tesis de maestría no publicada. La Habana: Universidad de la Habana. Cuba. 162 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Proyecto de Investigación – UTN PRUEBA DIAGNÓSTICA – Abril de 2010 Anexo 1 Datos Personales 1.-Apellido y Nombre:......................................................................... Comisión Nº:.......... 2.-Título Secundario: a) Técnico Bachiller Perito Mercantil Otro, indique............... b) Año de Ingreso:.................. Año de egreso:...................... 3.- En la carrera de ISI es: Inscripto Reinscripto 4.- Trabaja actualmente: Si No 1) Escriba en forma simbólica los siguientes enunciados: a) El siguiente de un número par....................................... b) El cuádruple de un número más 3 unidades............................................... c) El doble de un número disminuido en 7 unidades..................................... d) La tercera parte del doble de un número........................................ 2) Indique si la igualdad es verdadera o falsa para todos los números reales. Si es falsa, escríbala correctamente: a) ( a – b) 2 = a 2 – b 2 b) a+a=2a c) a.a=2a d) a(3a–6)=3a2–6 e) ( x + y ) ( x + y) = x 2 + 2 x y + 4 3) Dada f (x) = – a) b) c) 4) 2 3 + 4 x, complete: el valor de la pendiente es................ el valor de la ordenada al origen es................... el nombre que recibe su gráfica es........................ En una finca destinada para el cultivo de frutas, la distribución es la siguiente: PERAS MANZANAS NARANJAS BANANAS Si se sabe que la superficie destinada a bananas es de 160 m2, ¿qué superficie tiene la finca?. 5) Un hotel alquila habitaciones dobles a $32 por día y las habitaciones simples por $26 diarios. Si un día se alquilan 23 habitaciones para un total de $688, ¿Cuántas habitaciones de cada tipo se alquilaron? 163 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación CONCEITOS E TENDÊNCIAS DAS PESQUISAS SOBRE A FORMAÇÃO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA: ANÁLISE DAS INVESTIGAÇÕES NO GT 7 DO SIPEM Nilra Jane Filgueira Bezerra, Solange Mussato, Evandro Ghedin, Maria Clara Silva Forsberg Instituto Federa de Educação, Ciência e Tecnologia de Roraima (IFRR). Universidade Luterana do Brasil (ULBRA). Universidde Estadual de Roraima (UERR). Universidade do Estado do Amazonas (UEA). Brasil [email protected], [email protected], [email protected], [email protected] Pós-Graduação Palavras-chave: Ambiente Virtual de Aprendizagem. Educação Matemática. Formação de professores. Resumo Este artigo visa apresentar a evolução teórica de uma pesquisa de doutorado que trata sobre a formação continuada de professores de Matemática em um Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA). Neste sentido, apresentamos alguns conceitos pertinentes à literatura sobre a formação de professores que ensinam Matemática, o que dizem as pesquisas sobre essa formação, como atualmente se configura as tendências destas pesquisas no Brasil a partir de dados do SIPEM, que categorizamos por tema apresentados em cada seminário. Trata-se de uma pesquisa bibliográfica apoiada em Fiorentini (2009), Bicudo (1999), Bicudo e Borba (2009), Nacarato (2008), Ponte (1997) entre outros. Como resultado, nossa pesquisa apontou que há uma extensa literatura nacional e internacional e diversas pesquisas realizadas sobre a formação continuada de professores na área de Educação Matemática, entretanto ainda são muito incipientes as investigações que abordam sobre a formação continuada de professores de Matemática utilizando um AVA, sobretudo quando comparamos com a quantidade de pesquisas que apresentam outro foco na formação de professores. Introdução Este estudo tem por objetivo relatar e discutir os conceitos e as pesquisas com foco na formação continuada de professores de Matemática. O ponto de partida é a formação de professores que ensinam matemática no âmbito geral, entretanto busca-se apresentar com mais detalhes as pesquisas dessa área que envolvem as tecnologias, dando ênfase às que utilizam um Ambiente Virtual de Aprendizagem. Para tanto fizemos um mapeamento dos resultados de pesquisas apresentadas no Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM). Esta pesquisa fará parte da nossa pesquisa de doutoramento fundamentada na Teoria da Atividade, cujo objetivo é investigar se a formação continuada de professores de Matemática do Estado de Roraima, a partir da utilização do Sistema de Gerenciamento de Cursos (SGC) Moodle, favorece o seu desenvolvimento profissional. Com vistas a apresentar um corpo teórico a pesquisa, surgem alguns questionamentos que serviram como questões norteadoras do presente estudo: Quais são os pressupostos da 164 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación formação de professores no Brasil, em especial a formação continuada de professores que ensinam Matemática? O que dizem os pesquisadores sobre essa formação? Quais são as tendências de pesquisas desenvolvidas no Grupo de Trabalho GT7 ―Formação de Professores que ensinam Matemática‖ da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM)? Dentre essas tendências, qual o design das investigações que tratam a formação continuada em Ambiente Virtual de Aprendizagem? A formação de professores tem sido ao longo de muitas décadas tema de discussões em congressos, seminários, encontros e outros eventos na área da Educação. A SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática institucionalizou no I Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM), no ano 2000, grupos de trabalhos com o objetivo de reunir pesquisadores de instituições nacionais e internacionais no intuito de compartilhar pesquisas e firmar parcerias em projetos e/ou grupos de pesquisas. Foram doze GTs constituídos, dentre os quais o GT7 ficou designado para agregar pesquisadores que investigam a formação de professores que ensinam Matemática, isto é, pesquisas com foco na formação de professores de todos os níveis de ensino. Embora o GT 7 se reúna em outros encontros da área, como no Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM), por exemplo, e ainda exista o GT 19, Educação Matemática, da Associação Nacional de Pós-Graduação e Pesquisa em Educação (ANPEd) no qual são recebidos trabalhos de todas as linhas de pesquisa, optou-se em analisar as produções apresentadas e discutidas nos SIPEMs, pois este se constitui em um dos mais importantes eventos da área de Educação Matemática no país, atraindo, cada vez mais, pesquisadores de diferentes países. A formação do professor de matemática: discutindo alguns conceitos Iniciamos apresentando o conceito de desenvolvimento profissional. Na literatura há diversos autores que abordam essa perspectiva. São discutidos, por exemplo, os ciclos da carreira, as dimensões do desenvolvimento profissional e os diversos fatores que influem no processo (Burden, 1991; Feiman-Nemser e Floden, 1986; Fullan e Hargreaves, 1992; Hargreaves e Fullan, 1992; Ponte (1997), no Brasil (Pimenta, 1994; André, 2001; Ludke, 2003; Fiorentini et al., 2002), entre outros. Considera-se pertinente aqui apresentar um conceito dado por Ponte. Para ele, ―Desenvolvimento profissional é entendido como sendo composto por todos os movimentos empreendidos pelo professor, que levam à reestruturação de sua prática pedagógica, partindo da reflexão, ação e nova reflexão‖ (Ponte, 1997, p. 44). Ponte esclarece que grande parte dos trabalhos que são realizados sobre formação, integra a ideia de desenvolvimento profissional, porém salienta que é possível indicar diversos contrastes entre as lógicas da formação e do desenvolvimento profissional. O primeiro contraste relaciona-se com a ideia de formação como sinônimo de frequentar cursos, enquanto que o desenvolvimento profissional ocorre por diferentes formas, tais como estudos, reflexões, leituras, atividades com projetos, socialização de experiências, etc. O segundo contraste, na concepção de Ponte, é que na formação ocorre um movimento de fora para dentro, ou seja, cabe ao professor assimilar os conhecimentos e as informações que lhes são transmitidos. Já no desenvolvimento profissional, o movimento se dá de dentro para fora, isto é, ao 165 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación professor cabem as decisões fundamentais referentes às questões que quer considerar, aos projetos que pretende empreender e a forma como deseja executar. O terceiro contraste associa-se com as prioridades enquanto na formação há prioridade naquilo em que o professor é carente, já no desenvolvimento profissional a prioridade é dada às potencialidades do professor. Como quarto contraste, Ponte ainda relata que a formação é vista de forma compartimentada, separada em assuntos ou disciplinas e o desenvolvimento profissional concebe o professor como um todo, nos seus aspectos cognitivos, afetivos e relacionais. Para finalizar, Ponte salienta que a formação fica apenas na teoria, enquanto que o desenvolvimento profissional considera a teoria e a prática de forma interligada (1997). Outro conceito discutido nas pesquisas sobre formação de professores é o de necessidades formativas. Há uma crítica comum entre os professores, a falta de participação dos mesmos no planejamento das atividades de formação. Como consequência, essas atividades abordam temas excessivamente teóricos e divergentes das atividades que devem ser desenvolvidas no dia-a-dia de sala de aula. Tudo isso resulta em frustração e descrença em relação às ações de formação continuada. Nuñes (2003) ressalta que uma formação de professores sem direção e sem conhecimentos das suas necessidades reais não se ajusta às mudanças e nem favorece o seu desenvolvimento profissional. Adota-se aqui a concepção de necessidades formativas tomada por Rodrigues, numa perspectiva construtivista. Esse autor compreende a necessidade com caráter mais interpretativo, como ―[...] um fenômeno menos subjetivo e eminentemente social, elaborado por um sujeito particular, num contexto espaço-temporal-singular‖ (Rodrigues, 2006, p. 15). É importante que a análise da necessidade formativa leve em consideração as reais necessidades do professor e a articulação das ações de formação com as expectativas dos mesmos. O ensino reflexivo é outro conceito presente nas pesquisas que tratam sobre a Formação de Professores, este tem como um dos precursores Donald Schon, embora esse movimento tenha vindo de John Dewey, filósofo da educação, Schon (1995) fez essa temática ser mais conhecida na educação e aplicada também na educação Matemática. Esse ensino considera como premissa fundamental que as crenças, valores, as suposições que os professores internalizam sobre o ensino, aprendizagem, alunos, conteúdo curricular estão na base de sua prática em sala de aula. A reflexão oportuniza o professor a conscientizar-se das crenças, valores suposições subjacentes à sua prática, bem como também avaliarem a sua atuação com vistas ao alcance de metas estabelecidas (Mizukami, 1996). É de fundamental importância resgatar o saber docente, os saberes da experiência que emergem do cotidiano escolar e que podem servir como referência para o professor de Matemática na construção de sua cultura profissional. Essa prática reflexiva proposta por Schon (1995) explicita duas maneiras de como o conhecimento em ação é desenvolvido e adquirido: a reflexão na ação e a reflexão sobre a ação. Esse autor salienta que a reflexão na ação é a que ocorre simultaneamente à prática, 166 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación na interação com as experiências, permitindo ao professor dialogar com a situação, elaborando um diagnóstico rápido para que assim possa tomar decisão. Já a reflexão sobre a ação refere-se ao pensamento deliberado e sistemático, que ocorre após a ação, ou seja, quando o professor faz uma pausa para refletir sobre a prática. Tendências investigativas das pesquisas em educação matemática no gt 7 do SIPEM Nessa seção apresenta-se um mapeamento das pesquisas com foco na formação de professores apresentadas nos SIPEMs. A opção por realizar o levantamento nesse evento se deu pelo fato do SIPEM se constituir como um espaço oficial para o encontro dos pesquisadores em Educação Matemática no Brasil. A constituição da área Educação Matemática é relativamente nova, a criação da Sociedade Brasileira de Educação Matemática - SBEM, no ano de 1988, foi o marco inicial para a consolidação desta área. De acordo com Bicudo (1999, p. 10), a Educação Matemática é uma área de investigação em construção. É vista como uma subárea ou subtemas das duas categorias mais amplas, tidas tradicionalmente como áreas do saber humano denominadas Educação e Matemática. O SIPEM é um dos principais eventos da área, teve sua primeira realização no ano de 2000, na cidade Serra Negra, SP, contando com a participação de 124 pesquisadores da Educação Matemática. A criação deste encontro (idealizado pela SBEM) deveu-se a necessidade de ―abertura‖ de espaço para uma discussão mais aprofundada entre os pesquisadores. A partir desse encontro, que contou com a participação de pesquisadores em Educação Matemática de outros países, decidiu-se pela formação de 12 grupos de trabalho e a realização trienal do evento. Assim, coletou-se os dados nos Anais de todos os SIPEM realizados, sendo o I SIPEM, na cidade de Serra Negra – SP, em 2000, o II SIPEM (Santos – SP, 2003), o III SIPEM (Águas de Lindóia – SP, 2006) e o IV SIPEM (Taguatinga – BSB, 2009). Com os dados, mapeou-se as pesquisas apresentadas como comunicação oral do GT 7, formação de professores, e avaliou-se as tendências e perspectivas das pesquisas. O GT 7, segundo Nacarato e Paiva (2008, p. 8), ―[...] se constituiria em um grupo cooperativo de pesquisadores para discutir e analisar pesquisas sobre os saberes profissionais e formação de professores que ensinam Matemática‖. A Tabela 1 sumariza as categorias derivadas das pesquisas apresentadas nos SIPEM, essas categorias foram criadas a partir das temáticas de cada evento e das análises dos trabalhos apresentados. Tabela 1 - Categorias organizadas por temas apresentados nas pesquisas do GT 7 do SIPEM CATEGORIAS Formação de professores que ensinam Matemática Avaliação de projeto e/ou políticas públicas de formação de professores Questões relativas à licenciatura em Matemática (formação inicial) Nº (%) I SIPEM, 2000 Nº (%) II SIPEM, 2003 Nº (%) III SIPEM, 2006 - Nº (%) IV SIPEM, 2009 - 02 6,90 - - 05 17,24 04 13,79 - - - - 03 10,34 - - - - - - 167 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Saberes docentes Trabalhos colaborativos Formação do formador de professores Apontamento de agendas de pesquisas Pesquisas que tangenciam a formação de professores: formação docente e questões relativas à Educação Matemática. Professor que atua nas séries iniciais Pesquisas realizadas com participantes de cursos e/ou projetos Formação docente e sua relação com ambientes computacionais. Crenças, concepções e atitudes dos professores que ensinam Matemática. Formação de professores no contexto das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) Desenvolvimento profissional/prática reflexiva. História oral Pesquisas teóricas que envolvem análise em revista da área e em produção monográfica Processos formativos: formação inicial e continuada/ análise de grupos de pesquisas em Educação Matemática. Estágio na licenciatura em Matemática Necessidades Formativas Total 03 02 01 10,34 6,90 3,45 06 04 - 20,70 13,79 - 7 2 21,87 6,25 05 01 19,23 3,85 02 6,90 - - - - - - 11 37,93 03 10,34 - - - - 168 - - 04 13,79 - - - - - - 03 10,34 - - - - - - 03 10,34 - - 01 3,85 - - 02 6,90 5 15,63 04 15,38 - - - - 2 6,25 - - - - - - 5 15,63 01 3,85 - - - - 2 2 6,25 6,25 02 7,69 - - - - 7 21,87 09 34,61 - - - - - - 02 7,69 29 100 29 100 32 100 01 26 3,85 100 Fonte: Anais do I, II, III E IV SIPEM – Livro de Resumos. Há uma dispersão muito grande em relação às temáticas apresentadas no I SIPEM (Tabela 1). Existe um excessivo número de pesquisas que se encontram na fronteira de estudos sobre formação de professores, são os que envolvem formação docente, porém abordam El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación questões mais gerais em relação à Educação Matemática, perfazendo um total de aproximadamente 38 % (Tabela 1). Sendo o primeiro seminário, os grupos de trabalhos, provavelmente ainda em fase de constituição, não se centraram em critérios apurados para enviarem os trabalhos ao GT. Já no II SIPEM o GT7 contou com a apresentação de 29 trabalhos. A dispersão dos temas do GT 7, ainda é alta (Tabela 1), porém alguns focos começaram a se delinear, tais como pesquisas sobre os saberes docentes e trabalhos colaborativos. Outro destaque são os trabalhos referentes à avaliação de projetos e programas de formação docente e a presença de pesquisas com foco em ambientes computacionais. O III SIPEM contou com 32 trabalhos (Tabela 1), e surgem novos focos tais como, desenvolvimento profissional, prática reflexiva, crenças e concepções dos professores que ensinam matemática. Nota-se claramente que as pesquisas referentes à saberes docente aumentaram gradativamente nos eventos, demonstrando a preocupação dos pesquisadores da área de Educação Matemática em assuntos discutidos num âmbito mais geral sobre formação de professores. Finalmente, no IV SIPEM, 26 trabalhos foram apresentados (Tabela 1). Nesse, duas novas temáticas são integradas. Os estudos sobre estágios na licenciatura em Matemática e as necessidades formativas. Assim, pode-se ressaltar que alguns eixos que caracterizam as pesquisas sobre Formação de Professores começam a ser consolidados nas pesquisas do GT7 do SIPEM tais como: saberes docentes, crenças e concepções dos professores que ensinam Matemática, processos formativos – as questões relativas à formação inicial e continuada, desenvolvimento profissional e a prática reflexiva. Uma questão fundamental e pouco explorada nas pesquisas apresentadas diz respeito a formação de professores com foco nas TICs (6%) e a formação de formadores de professores (3,4%). Podemos supor que os trabalhos que envolvem as tecnologias podem estar no GT 6 - Educação Matemática: novas Tecnologias e Educação à Distância, porém as pesquisas sobre o formador do formador, ainda são incipientes. Formação continuada de professores de matemática e as tecnologias A formação continuada do professor de matemática apesar de relevante, o conhecimento produzido sobre esse processo, em nível de Brasil, ainda é escasso, principalmente quando essa formação requer o uso das tecnologias. As produções recentes na comunidade de educação matemática brasileira sobre esse enfoque, destaca-se os trabalhos de Miskulin, Silva e Rosa (2009), Richit e Maltempi (2009), Mariano (2008), Maltempi (2008), Bairral (2007), Zulatto (2007) e Garcia e Penteado (2006). Esses trabalhos evidenciam propostas de formação de professores (inicial e continuada), mediadas por tecnologias em ambientes virtuais de aprendizagem. Além disso, o uso das tecnologias na Educação possibilita a interlocução entre professores de realidades educacionais e geográficas diversas, ampliando as possibilidades da formação profissional docente, tal como propõe Valente e Almeida (2007). É inegável que as tecnologias, principalmente os ambientes virtuais de aprendizagem, fazem parte do 169 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación cotidiano de formação de professores pelo país, especialmente nestes últimos anos. Este contexto sinaliza uma mudança nas formas de ensinar e aprender que certamente poderá trazer benefícios à educação e promover o desenvolvimento profissional aos docentes. Outra potencialidade das TIC‘s, auxiliada principalmente pela internet é a possibilidade da interatividade. Sobre isso Primo (1998) ressalta que essas novas tecnologias podem propiciar especificamente uma interatividade mútua em que se tem a criação de um cenário para a problematização, um ambiente virtual onde acontecerão diversas atualizações, a fim de se chegar ao saber. Tardif (2005) destaca o papel da interatividade como objeto do trabalho do professor. Dentre as TIC‘s que auxiliam essa interatividade estão um conjunto de ferramentas, chamado Sistema de Gerenciamento de Cursos (SGC) que utiliza as vantagens da internet e insere os estudantes no ambiente virtual mediado por um professor. Os SGC‘s são ambientes de aprendizagem que fornece ao professor ferramentas para que ele crie um curso onde é possível compartilhar materiais de estudo, manter discussões, aplicar testes de avaliação e pesquisas de opinião, coletar e revisar tarefas e registrar notas, dentre estes ambientes destaca-se o Moodle. Estudando essas potencialidades, Carvalho (2009) vislumbra a possibilidade dessas ferramentas serem aliadas à formação do professor. Considerações finais A análise do conteúdo de 116 artigos publicados no GT 7 do SIPEM no período de 2000 a 2009, permitiu identificar uma significativa preocupação com a formação de professores que ensinam Matemática, os temas abordados nas pesquisas são ancorados nos diversos conceitos existentes na literatura que trata sobre a formação de professores. O mapeamento aqui descrito representa apenas uma parte da produção nacional, principalmente porque a pós-graduação em Educação Matemática no Brasil vem se expandindo de forma significativa e há muitos grupos de pesquisas envolvidos com a temática da formação do professor, entretanto esse recorte nos dá uma ideia geral do direcionamento das investigações realizadas pelos pesquisadores sobre a formação docente em Matemática. Comparando os quatro seminários, concluiu-se que, os temas em consolidação, na áreas são i) saberes docentes, ii) crenças e concepções dos professores que ensinam Matemática, e iii) processos formativos – as questões relativas à formação inicial, continuada e análises de grupos de pesquisa em Matemática. Contudo, foi perceptível a ausência de trabalhos com foco na formação do professor formador, de 116 artigos analisados apenas quatro contemplava essa temática; foram raros também as pesquisas que tratam sobre a formação do professor de Matemática e as Tecnologias. Encontramos na nossa análise apenas seis. Sumarizando as considerações acerca dos conceitos e tendências das pesquisas sobre a formação dos professores que ensinam Matemática apresentadas ao longo desse artigo, reforça-se a necessidade desse profissional engajar-se em atividades formativas, que lhe propiciem o desenvolvimento profissional e a atualização dos saberes docentes. Destaca-se também a potencialidade das ferramentas das tecnologias na formação de professores de Matemática e a possibilidade da criação de ambientes capazes de promover uma formação de modo compartilhado e que não contemple apenas os conteúdos matemáticos, mas, sobretudo, as questões pedagógicas e metodológicas. 170 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Referências Bicudo, M. A. V. (1999). Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora UNESP. (Seminário & Debates). Bicudo, M.A.V. & Borba, M.C. (2009). Educação matemática: pesquisa em movimento. 2 ed. São Paulo: Cortez. Carvalho, A. M. (2009). Significados do trabalho coletivo no processo de formação inicial de docentes em educação Matemática Digital. Dissertação (Mestrado em Educação). Programa de Pós-Graduação em Educação - Mestrado e Doutorado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia. Maltempi, M. V. (2008) Educação matemática e tecnologias digitais: reflexões sobre prática e formação docente. In: Acta Scientiae (ULBRA), v.10, p.59-67. Mariano, C. R. (2008). Indícios da cultura docente revelados em um contexto online no processo da formação de professores de matemática. 162 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Universidade Estadual Paulista, Rio Claro. Miskulin, R. G. S.; Silva, M. C.; Rosa, M. (2009). Formação Continuada de Professores de Matemática: o Desenvolvimento de Comunidades de Prática Baseadas na Tecnologia. Revista Iberoamericana de Tecnologia en Educación y Educación en Tecnologia, v.3, p.63-69. Mizukami, M. G. N. (1996). Docência, trajetórias pessoais e desenvolvimento profissional. In: Reali, M. M. R. et al. Formação de professores: tendências atuais. São Carlos: Edufiscar. Nacarato, A. M; Paiva, M. A. V. A. (2008). Formação do professor que ensina matemática: estudos e perspectivas a partir das investigações realizadas pelos pesquisadores do GT 7 da SBEM. In:Nacarato, A. M; PAIVA, M.A.V (orgs.). A formação do Professor que ensina Matemática. Belo Horizonte: Autêntica. Ponte, J. P. (1997). Perspectivas de desenvolvimento profissional de professores de Matemática. In J. P. Ponte, C. Monteiro, M. Maia, L. Serrazina, & C. Loureiro (Eds.), Desenvolvimento profissional de professores de Matemática: Que formação? (pp. 193211). Lisboa: SPCE. Primo, A. F. T.. Interação Mútua e Interação reativa: uma proposta de estudo. In: XXI Congresso da Intercom - Recife, PE, de 9 a 12 de setembro de 1998. Disponivel em: <http://usr.psico.ufrgs.br/~aprimo/pb/intera.htm>. Acesso em: agosto de 2011. Richit, A.; Maltempi, M. V. (2009). Educação a Distância e Formação Continuada de Professores de Matemática: um olhar sob a perspectiva da teoria dialética. CONGRESSO IBEROAMERICANO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - CIBEM, 6, Puerto Montt. Anais. Rodrigues M. A. P. (2006). Análises de Práticas e de necessidades de formação. Lisboa, Portugal: Direcção-Geral de inovação e desenvolvimento curricular, (Coleção Ciência da Educação, v. 50). Tardif, M; Lessard, C. (2005). O Trabalho Docente. Elementos para uma teoria da docência como profissão de interações humanas. Petrópolis (RJ), Ed. Vozes. Valente, J. A. Almeida, M. E. B. (2007). Formação de Educadores a Distância e Integração de Mídias. São Paulo: Avercamp. 171 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación OBMEP 2011: UN ANÁLISE DEL RENDIMIENTO EN GEOMETRÍA EN ALUMNOS DE ENSEÑANZA MEDIA Maurício de Moraes Fontes, Dineusa Jesus dos Santos Fontes Escola Técnica Magalhães Barata – ETEMB-PA. Brasil [email protected], [email protected] Medio. Pensamiento Geométrico Palabras clave: OBMEP. Rendimiento. Geometría. Alumnos. Enseñanza Media. Resumen Una de las ramas de las Matemáticas más bella es la Geometría por su importancia en el contexto social del alumno y por su capacidad de desarrollar el razonamiento de los chicos y chicas de cualquiera nivel educativo. La presente investigación tiene como objetivo Diagnosticar el rendimiento de Geometría de los alumnos de la Enseñanza Media en la OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas). La metodología utilizada ha sido la Cuantitativa con Estudio Descriptivo. La muestra ha sido compuesta de 250 alumnos de una escuela pública de Enseñanza Media en Belém – Pará – Brasil. Ha sido aplicada la prueba en data marcada de acuerdo con las orientaciones de la comisión organizadora de la OBMEP con veinte ítems de los cuales serán analizados solamente los ítems correspondientes a la geometría. Los resultados son preocupantes en vista del número de aciertos hayan sido muy bajo. Introducción La Geometría es un tópico de las Ciencias Matemáticas inserida de forma muy clara en el cotidiano de los discentes de todos los niveles educativos. Para Andrade y Manrique (2007, p. 1) ―la geometría está presente en nuestro cotidiano en las formas de las construcciones, de los objetos, en las innúmeras imágenes con los cuales nos deparamos diariamente‖. De forma general, la presencia de la geometría está por toda parte, basta mirar al derredor que encontramos objetos de las más variadas formas y tamaño. Por eso, es inaceptable que algunos docentes no trabajaren los contenidos de una asignatura tan importante para el desarrollo cognitivo de los alumnos. Las Orientaciones Curriculares para la Enseñanza Media en Brasil recomienda que ―la enseñanza de la matemática puede contribuir para que los alumnos desarrollen habilidades relacionadas a la representación, comprensión, comunicación, investigación y, también a la contextualización sociocultural‖ (Brasil, 2006, p. 69). Los documentos de diversos países recomiendan la enseñanza de la geometría entre ellos destacamos el NCTM (2002) citado por Gamboa y Ballestero (2010) que señala cuatro objetivos generales hacia la enseñanza de la geometría: Analizar las características y propiedades de figuras geométricas de dos y tres dimensiones y desarrollar razonamientos matemáticos sobre relaciones geométricas. Localizar y describir relaciones espaciales mediante coordenadas geométricas y otros sistemas de representación. 172 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas. Utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la modelización geométrica para resolver problemas. En virtud del expuesto arriba, esa investigación tiene como objetivo Diagnosticar el rendimiento de Geometría de los alumnos de la Enseñanza Media en la OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) en el año de 2011. Breve Histórico de la OBMEP La Olimpíada Brasileira de Matemática de las Escuelas Públicas (OBMEP) se inició en 2005 y viene creciendo de forma grandiosa. En 2011, cerca de 18,7 millones de alumnos si inscribieron en la competición y más de 98% de los municipios brasileños estuvieron representados. En este año fueron inscriptos 19,1 millones de alumnos de 46. 728 escuelas. Los sucesivos recodes de participación hacen de la OBMEP la mayor Olimpíada de Matemática del mundo. El objetivo principal de la OBMEP es estimular el estudio de las Matemáticas y revelar talentos en el área. De entre las realizaciones de la OBMEP se destaca: La producción y distribución de material didáctico de cualidad, también disponible en el sitio web de la OBMEP (http://www.obmep.org.br/) ; El Programa de Iniciación Científica Jr. (PIC), medallistas para el estudio de las matemáticas durante un año, con beca del CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico); El Programa de Iniciación Científica – Magíster (PICME), para medallistas que están cursando la graduación con beca del CNPq (IC) y CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nivel Superior) (Magíster); La preparación especial para competiciones Internacionales (PECI), que prepara medallistas de oro seleccionados por la excepcionalidad de sus talentos para competiciones internacionales; La movilización de Coordinadores Regionales para la realización de actividades como seminarios con docentes y ceremonias de premiación; La OBMEP es constituida de los niveles Nivel 1 (alumnos matriculados en el 6º o 7º año de la Enseñanza Fundamental), Nivel 2 (alumnos matriculados en el 8º o 9º año de la Enseñanza Fundamental) y Nivel 3 (alumnos matriculados en cualquier año de la Enseñanza Media) cada uno con dos fases: La primera fase es de una prueba objetiva con veinte cuestiones. La segunda fase es una prueba de seis cuestiones subjetiva. En ese informe los alumnos que han participado están inseridos en el Nivel 3. Marco Teórico El presente informe está fundamentado en investigaciones anteriores como las de Fontes y Fontes (2011) que desarrollaron una investigación en una escuela pública de Belém – Pará – Brasil con dos clases de la primera serie de la Enseñanza Media (alumnos de quince años en media), una con veintisiete alumnos y otra con veintinueve discentes en el turno de la tarde. La Metodología empleada en la investigación ha sido la Cuantitativa con estudio Descriptivo. Ha sido aplicado un cuestionario con cinco cuestiones sacadas del libro de los 173 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación profesores Giovanni Júnior y Castrucci. La opción de sacar las cuestiones del libro de los autores arriba ha ocurrido porque es uno de los libros recomendados por el Ministerio de la Educación y Cultura – MEC, de acuerdo con el programa Nacional del Libro Didáctico – (PNLD 2011 – 2013), para las escuelas públicas de Brasil. Los resultados muestran que los discentes presentan poco conocimiento de Semejanza de Figuras Planas. Gamboa y Ballestero (2010) realizaran una investigación en 2008 con doscientos treinta y tres estudiantes de tres instituciones educativas de secundaria en Costa Rica. La técnica de coleta de dados ha sido un cuestionario con veintinueve preguntas relacionadas con informaciones generales, su opinión con respecto al que significa aprender geometría, tópicos que han tenido mayor dificultad, tipos de dificultades presentadas al estudiar geometría, estrategias metodológica empleada por los docentes y estrategias de estudio y uso de tecnología. Los resultados muestran que las clases de geometría están embasada en el sistema tradicional, los tópicos que ellos presentan más dificultades fueron ángulos entre dos rectas paralelas y una transversal, semejanza de triángulos, teorema de Thales, rectas notables de un triángulo (altura, mediana, mediatriz, bisectriz) y triángulos (clasificación, desigualdades triangular, ángulo externo, entre otros). En general, según los alumnos las principales dificultades que encontraran en la enseñanza de geometría fueron: resolver problemas algébricamente, calcular perímetros, áreas y volúmenes, debido a no identificaren cual formula aplicar y dificultades para interpretar lo que dice un problema. Cuanto a la estrategia de enseñanza los docentes utilizan el cuadro, la tiza el piloto y borrador, material fotocopiado y libros didácticos. Andrade y Manrique (2007) en su investigación Composición y Descomposición de figuras geométricas planas por alumnos de enseñanza media hicieron una pesquisa con treinta discentes de una escuela pública de la ciudad de San Paulo que buscaron responder a dos preguntas: ¿qué dificultad el alumno presenta en el cálculo de área de figuras planas? y ¿se el alumno sabe descomponer una figura en varias otras, será que él consigue relacionar la figura principal con las de la descomposición y a área total con las áreas de las figuras de la descomposición? La investigación ha sido desarrollada en dos etapas. La primera etapa compuesta de un estudio diagnóstico, que permitió verificar si los alumnos tienen conocimientos de figuras geométricas planas y los procedimientos asociados al cálculo de área. De acuerdo con los autores la mayoría de los alumnos reconocen las figuras geométricas plana y pueden hacer la relación entre figura y la expresión algébrica. Después del estudio diagnóstico los autores hicieron una secuencia didáctica compuesta de cinco actividades. La secuencia tuvo duración de cuatro horas con grupos de tres alumnos. Los autores afirman que los alumnos tuvieron bajo desempeño en cuasi todas las cuestiones. Metodología La metodología aplicada en el presente estudio ha sido la Cuantitativa con Estudio Descriptivo, pues de acuerdo con McMillan y Schumacher (2005) ―la investigación que emplea una modalidad de investigación descriptiva refiere simplemente un fenómeno existente utilizando números para caracterizar individuos o un grupo. Evalúa la naturaleza de las condiciones existentes‖. 174 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación La presente investigación ha sido desarrollada en una Escuela Pública de Belém – Pará – Brasil con un total de 250 estudiantes de enseñanza media distribuidos en once turmas con veintitrés discentes en media en cada turma. La escuela participa del Proyecto OBMEP. Los docentes responsables por la preparación de los alumnos para la Olimpiada trabajan aulas extras para contemplar los contenidos exigidos en el proyecto. Los discentes de esta investigación están en la Enseñanza Media y participan en el Nivel 3 de la OBMEP. La aplicación del instrumento (prueba con veinte cuestiones objetivas sobre tópicos de Enseñanza Media) corresponde a la primera fase de la OBMEP realizada en 16/08/2011. La Investigación ha sido realizada por medio de las siguientes etapas: La primera etapa ha sido compuesta por un levantamiento bibliográfico con el propósito de conocer estudios anteriores acerca de la enseñanza de la Geometría. En ese levantamiento hemos hallado estudios como los Andrade y Manrique (2007), Gamboa y Ballestero (2010) y Fontes y Fontes (2011). La segunda etapa se constituyó en la selección de las cuestiones propuestas por la OBMEP para aplicarlas a los alumnos. En ese recorte para efecto de analice sólo interesa las cuestiones de geometría de la prueba de la OBMEP (ver anexo). La tercera etapa ha sido la da aplicación de las cuestionario propuestas por la OBMEP. Y la cuarta etapa ha sido la recopilación y análisis de los resultados que han sido dispuestos en gráficos que serán presentados en tópicos posteriores. Resultados De los alumnos que han participados de nuestra investigación hubo predominancia de discentes del sexo masculino con 69,6% aproximadamente y el restante aproximadamente 30,4% de las chicas. Los resultados de las cuestiones aplicadas a los alumnos serán presentados abajo: 80 60 40 20 0 Cuestión 1: Número de alumnos por alternativa A B C D E 67 42 74 54 13 Fuente: Pesquisa de campo 175 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 80 60 40 20 0 Cuestión 2: Número de alumnos por alternativa A B C D E 24 74 63 59 30 Fuente: Pesquisa de campo 80 60 40 20 0 Cuestión 3: Número de alumnos por alternativa 176 A B C D E 45 73 41 29 62 Fuente: Pesquisa de campo 100 80 60 40 20 0 Cuestión 4: Número de alumnos por alternativa A B C D E 38 52 83 44 33 Fuente: Pesquisa de campo 80 60 40 20 0 Cuestión 5: Número de alumnos por alternativa A B C D E 39 52 68 42 49 Fuente: Pesquisa de campo 80 60 40 20 0 Cuestión 6: Número de alumnos por alternativa A B C D E 33 31 71 66 49 Fuente: Pesquisa de campo El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Análisis y Discusión de los Resultados Los resultados demuestran cierta preocupación, haya visto que, en la primera cuestión sólo 16,8% de los discentes marcaran la alternativa correcta, o sea, letra B. La referida cuestión trabaja conceptos básicos de perímetro y del Teorema de Pitágoras. La segunda cuestión, se refiere a una aplicación de Área de Figuras Planas, donde solamente 25,2% de los discentes tuvieron éxito marcando la alternativa C. El bajo rendimiento de los alumnos en cuestiones de área de figuras planas también es mencionado por Andrade y Manrique (2007, p. 5) que afirman que ―los alumnos, aunque en la tercera serie de la enseñanza media, tienen muchas dudas referentes al cálculo de área de triángulos‖. La tercera cuestión, se refiere a una aplicación de semicircunferencias tangentes inscriptas en un cuadrado, donde es exigido del alumno la habilidad de visualización para detectar una aplicación directa del Teorema de Pitágoras. Aproximadamente 25% de los discentes marcaran la alternativa correcta que es letra E. La cuarta cuestión, es una aplicación de la geometría espacial, en particular, una Pirámide de base cuadrada. La cuestión trabaja en el alumno la habilidad de visualización de una figura planificada. Sólo 15,2% de los discentes acertaran la alternativa correcta letra A. Ese bajo resultado en la cuarta cuestión refuerza la orientación de Gamboa y Ballestero (2010, p. 140) ―la enseñanza de la geometría debe centrarse en desarrollar, en el estudiantado, habilidades para la exploración, visualización, argumentación y justificación, donde más que memorizar puedan descubrir, aplicar y obtener conclusiones‖. La quinta cuestión, trata de una aplicación de Semejanza de Triángulos, donde 19,6% de los alumnos marcaran la alternativa correcta letra E. Ese bajo rendimiento en problemas de Semejanza de Figuras Planas ha sido verificado en la pesquisa de Fontes y Fontes (2011), que afirman: los resultados obtenidos en esta investigación muestran que los discentes están ingresando en la Enseñanza Media con poco o casi ningún conocimiento de geometría, en este caso en particular sobre Semejanza de Figuras Planas. La mayoría de los alumnos que participaron de esa investigación relató que no ha sido enseñado el tópico de Semejanza de Figuras Planas en el nono año de la Enseñanza Fundamental. (p. 285) Y por último la sexta cuestión, trata de Descomposición de Figuras Planas donde solamente 26,4% de los alumnos marcaran la alternativa correcta letra D. Ese bajo resultado en descomposición de figuras planas también ha sido encontrado en la pesquisa de Andrade y Manrique (2007, p. 9) ―(…) la mayoría de los alumnos demuestra mucha dificultad, en relación al cálculo de área de figuras que necesitan de descomposición y composición. Más precisamente, cuando se trata de figuras con áreas achuradas o sombreadas, resultado de la sobre posición de dos o más figuras geométricas planas‖. 177 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Conclusiones La enseñanza de la geometría es mucho importante para los chicos y chicas desarrollaren el pensamiento espacial, sin embargo, no es eso que estamos evidenciando en las escuelas públicas en Brasil. Los bajos resultados en los procesos selectivos para acceder a las universidades en Brasil tiene dejado preocupado las autoridades educacionales. Eses resultados son reflejos de la mala formación del cuerpo docente de las escuelas públicas, las constantes huelgas de los profesores buscando mejor salarial y la posición de la geometría en los libros textos de las ciencias matemáticas. Eso es preocupante, haga visto que se el profesor no aprende en la universidad la geometría, no va enseñar lo que no aprende y eso tiene pasado de generación a generación tornándose un circulo vicioso. Esperamos que ese recorte venga a contribuir con colegas preocupados con la enseñanza de la geometría para una reflexión profunda de la importancia de esa parte de las ciencias matemáticas tan importante en el razonamiento geométrico de los discentes en todos los niveles de la enseñanza. Referencias Bibliográficas Andrade, J. B. y Manrique, A. L. (2007). Composição e Decomposição de Figuras Geométricas Planas por alunos do Ensino médio. En: Encontro Nacional de Educação Matemática, 10. Belo Horizonte. Brasil. (2006). Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias/ Secretaria de Educação Básica: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 135p. (Orientações Curriculares para o Ensino Médio; volume 2), Brasília. Fontes, M. M. y Fontes, D. J. S. (2011). Estudo Diagnóstico de Semelhança de Figuras Planas. En: Campos, T. M. M., D‘Ambrosio, U., Kataoka, V. Y., Karrer, M., Lima, R. N. de y Fernandes, S. H. A. A. (Eds.). Seminário Internacional de Educação Matemática, 3, 278 – 287. São Paulo. Gamboa, R. y Ballestero, E. (2010). La Enseñanza y Aprendizaje de la Geometría en secundaria, la perspectiva de los estudiantes. Educare, XIV (2),123 – 142. Universidad Nacional Heredra, Costa Rica. McMillan, J. H. y Schumacher, S. (2005). Investigación Educativa. Madrid: Person. 178 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación ANEXO 1ª Questão: Na malha retangular abaixo, o perímetro da figura A é 158 cm e o da figura B é 144 cm. Qual é o perímetro da figura C? a) 125 cm b) 144 cm c) 160 cm d) 172 cm e) 175 cm 2ª Questão: Márcia cortou quatro tiras retangulares de mesma largura, cada uma de um dos lados de uma folha de papel medindo 30 cm por 40 cm. O pedaço de papel que sobrou tem 68% da área da folha original. Qual é a largura das tiras? a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm 3ª Questão: Na figura, os dois semicírculos são tangentes e o lado quadrado mede 36 cm. Qual é o raio do semicírculo menor? a) 8 cm b) 9 cm c) 10 cm d) 11 cm e) 12 cm 4ª Questão: A figura representa uma pirâmide de base quadrada cujas arestas medem 1 m. Uma formiga e uma aranha estão nas posições indicadas, a 25 cm dos vértices A e B, respectivamente. Qual é a menor distância que a aranha deve percorrer para chegar até a formiga, andando somente sobre as faces triangulares da pirâmide? 1 3 3 5 4 a) 1 m b) c) d) e) 2 2 3 5 5ª Questão: Na figura, AEFD é um retângulo, ABCD é um quadrado cujo lado mede 1 cm e os segmentos BF e DE são perpendiculares. Qual é a medida, em centímetros, do segmento AE? 3 1 5 8 a) 2 b) c) 2 d) e) 2 2 5 6ª Questão: A figura mostra um retângulo de área 42 cm2 com os pontos médios dos lados em destaque. Qual é a área, em cm2, da região cinza? a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 179 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación LA MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA: CREENCIAS DE UN GRUPO DE ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE PROFESORADO DE MATEMÁTICA Cristina Ochoviet, Mónica Olave, Mario Dalcín Consejo de Formación en Educación [email protected] Nivel terciario Palabras clave: Formación de profesores. Creencias. Matemática. Resumen La Formación de Profesores de Matemática en el Uruguay se ha apoyado desde sus inicios en tres pilares fundamentales que en forma simultánea configuran la formación inicial de un futuro docente: la formación disciplinar, la formación en la Didáctica de la Matemática y la práctica docente, y la formación en las Ciencias de la Educación. En este estudio trabajamos con estudiantes de primer año de profesorado y analizamos sus creencias hacia la matemática y su enseñanza, apoyándonos en las consideraciones teóricas presentadas en Ernest (1989). A nivel metodológico, se utilizó un diseño que contaba con situaciones novedosas como la de tener que asistir a una obra de teatro y realizar un comentario sobre ella. Los resultados que presentamos dan cuenta de cómo impacta en el estudiante nuestra labor docente en el aula, aportan importantes elementos para la reflexión sobre nuestras prácticas y nos plantean los desafíos que implica la formación inicial de un docente de Matemática. Introducción La asignatura Introducción a la Didáctica de la Especialidad Matemática es uno de los grandes desafíos del nuevo plan de formación de profesores de matemática diseñado en el marco del Sistema Único Nacional de Formación Docente 2008. Este curso es el primero que introduce al estudiante, futuro docente, en el mundo de la reflexión pedagógica desde una perspectiva crítica. Según consta en el documento curricular vigente, el hilo conductor del curso consiste en un análisis sucesivo de todos los aspectos que el estudiante ha construido sobre su propia experiencia en relación al aprendizaje de la matemática. El propósito es abrirle diferentes perspectivas que le permitan volver a pensar a la matemática, su aprendizaje y su enseñanza, para comenzar a construir su ―ser‖ docente con mayor autonomía. En este estudio presentamos el análisis de algunas respuestas vertidas por los estudiantes en la primera prueba parcial de la asignatura. En esta primera prueba se utilizó un diseño que contaba con situaciones novedosas como la de tener que asistir a una obra de teatro y realizar un comentario sobre ella. Estas respuestas son las que tomamos en cuenta en este trabajo porque dan cuenta de las creencias de los estudiantes hacia la matemática, hacia su enseñanza y aprendizaje, y ponen en evidencia la vocación de los estudiantes que ingresan a la carrera. Los resultados obtenidos muestran la importancia de la asignatura en el primer año de la formación inicial. Planteo de la problemática Señalamos a continuación algunas de las problemáticas que el curso de Introducción a la Didáctica en el primer año de la formación inicial de profesores de matemática pretende abordar y la importancia de las mismas. Creencias sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática Hay un factor determinante que interviene en la consolidación del ―ser‖ docente, que tiene que ver con las experiencias previas del estudiante. Diversos autores señalan que ya en los primeros años 180 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación escolares los estudiantes construyen una imagen del rol docente. Esta imagen se perpetúa y consolida a través de los años, establece creencias y proporciona modelos docentes. En el caso de la enseñanza de la matemática, predomina el modelo normativo. Según Charnay (1988), en este modelo el docente aporta las nociones y los ejemplos. El alumno escucha, aprende y presta atención, para luego aplicar el saber a situaciones similares a las que le mostró su docente. La pedagogía es el arte de comunicar, de traspasar un saber Este modelo asume acríticamente que enseñar es transmitir y aprender es absorber para luego reproducir. Romper con este modelo, para tener en cuenta cómo aprenden los estudiantes realmente, implica romper con las creencias más arraigadas acerca de cómo se aprende; creencias que se refuerzan en las vivencias que el futuro profesor ha experimentado como estudiante. Los estudiantes de profesorado deberían comenzar a hacer concientes las creencias que han incorporado a lo largo de sus años de estudio para deconstruirlas, desnaturalizarlas y poder reflexionar sobre ellas. Creencias acerca de qué es la matemática Existe otra problemática que incide fuertemente en la formación del ―ser‖ docente de matemática que refiere a las creencias que tienen los estudiantes de profesorado acerca de qué es la matemática y de qué se trata la actividad matemática. Estas creencias se forjan a través de la experiencia que el estudiante, futuro profesor, ha vivenciado en las aulas. Muchas personas continúan creyendo hoy en día que la matemática es exacta e infalible. Esta creencia en un futuro profesor puede conducirlo a plantear a sus estudiantes una matemática estática. Según Albert (1998) la siguiente idea ilustra bien esta postura: “Tú no vas a inventar (o demostrar) lo que ya está inventado (o demostrado), hazlo como te digo”, diría un profesor a su alumno. Con lo cual la actividad del estudiante se reduce a la memorización y mecanización para aprobar exámenes, y la del profesor a dar un enfoque desvinculado de todo contexto histórico o social y con excesivo énfasis en el desarrollo de habilidades algorítmicas. Consideraciones teóricas Ernest (1989), señala que los cambios en la educación matemática no podrán tener lugar a menos que los docentes cambien sus creencias, fuertemente arraigadas, sobre la matemática, su enseñanza y su aprendizaje. Sostiene que estos cambios en las creencias están asociados a la autonomía y la reflexión por parte de los docentes de matemática. Si bien la enseñanza de la matemática depende de múltiples factores, aquellos que inciden fuertemente son: - los esquemas mentales de los docentes, particularmente el sistema de creencias concernientes a la matemática y su enseñanza y aprendizaje; - el contexto social en el que se desarrolla la enseñanza, en especial las restricciones y oportunidades que provee; - el nivel de los procesos reflexivos de los docentes. Según Ernest, estos factores determinan la autonomía del profesor de matemática y por tanto la posibilidad de realizar innovaciones en la educación que dependen de la autonomía del profesor para una implementación exitosa. Este autor establece que los componentes clave de las creencias de un profesor de matemática son: - su visión o concepción de la naturaleza de la matemática; - su modelo o visión de la naturaleza de la enseñanza de la matemática; - su modelo o visión de los procesos de aprendizaje de la matemática. Respecto de la naturaleza de la matemática, Ernest distingue una visión instrumentalista, una platónica y una visión dinámica. Desde la perspectiva instrumentalista, la matemática es un conjunto de hechos, reglas y métodos, concebidos como entidades separadas. La visión platónica es 181 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación estática y concibe a la matemática como un cuerpo consistente de conocimientos. Desde esta perspectiva la matemática se descubre, no se crea. La visión dinámica de la matemática la concibe como un proceso de investigación a través del cual se obtienen resultados provisionales y no productos terminados, sus resultados están abiertos a la revisión y se ubican en un contexto social y cultural. Ernest señala que el modelo de enseñanza del profesor de matemática, refiere a las concepciones que un profesor tiene sobre su rol en el aula, sobre las acciones que emprende y sobre las actividades que formula en relación a la enseñanza de la matemática. Estos modelos de enseñanza están asociados con los modelos mentales de los profesores sobre el aprendizaje de la matemática y consecuentemente con los comportamientos y las actividades que se espera que los estudiantes realicen para aprender matemática. También con la idea que un profesor tiene de lo que es una actividad apropiada de aprendizaje. En estos modelos entran en tensión concepciones opuestas como ser: - el aprendizaje como construcción activa en contraposición a la recepción pasiva del conocimiento; - la autonomía del estudiante versus su actitud pasiva frente al conocimiento. En base a las consideraciones anteriores aportadas por Ernest (1989), es que sostenemos la importancia que tiene este primer curso de Introducción a la Didáctica, ya que es el primero que introduce al estudiante, futuro docente, en el mundo de la reflexión pedagógica desde una perspectiva crítica. Se espera que sea un curso removedor, inspirador, que abra múltiples perspectivas para comenzar a construir el ―ser‖ docente. Método En la primera prueba parcial de Introducción a la Didáctica, se propusieron actividades que entendimos permitirían a los estudiantes una nueva visita a la matemática posibilitando una visión desde diferentes perspectivas. El objetivo fue proporcionar un ―ambiente‖ favorable para volver a pensar a la matemática, su aprendizaje y su enseñanza, en forma indirecta. Con esto último nos referimos a que la formulación de las consignas no dirigía la reflexión en forma explícita y directa, hacia la enseñanza y aprendizaje de la matemática. En particular, la actividad que consideramos en este estudio, consistió en ver la obra de teatro ―Leonardo y la máquina de volar‖ de Humberto Robles. Cada estudiante debía realizar un breve comentario acerca de lo que le hizo sentir y pensar la obra, y señalar si apreciaban matemática en ella. De un total de aproximadamente ciento veinte pruebas parciales recibidas, se seleccionaron solamente las respuestas a la consigna anterior y de ellas las que reflejaban: - creencias acerca de qué es la matemática; - creencias sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática; - vocación hacia la docencia. Las respuestas que solamente aludían a consideraciones de la obra en sí misma no fueron tenidas en cuenta para el presente estudio. Análisis de las respuestas de los estudiantes En primer lugar reportaremos las respuestas de los estudiantes que evidencian sus creencias acerca de qué es la matemática. Para preservar el anonimato de las producciones designaremos a quienes las elaboraron como: Estudiante 1, Estudiante 2, etc. Como se verá, varios de los estudiantes demuestran sorpresa de poder acceder a algo de matemática a través de una obra de teatro. Estudiante 1 182 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación ―Al comienzo, debido a la ambientación y el nombre de la obra, todos pensábamos que iba a ser bastante aburrido y no podríamos encontrar nada que estuviera relacionado con la didáctica ni la matemática; pero, ya desde el comienzo nos lograron atrapar, porque estábamos muy ansiosos por saber de qué se trataba.‖ Obsérvese cómo las palabras de este estudiante evidencian que a priori, los alumnos no pensaban encontrar matemática en la obra, lo que podría estar dando cuenta de que la matemática únicamente se hace presente en las aulas y que las únicas necesidades sociales matemáticas son las que se derivan de la educación formal. Lo que Chevallard, Bosch y Gascón (1997) llaman ―la enfermedad didáctica‖ refiriéndose a una matemática que solamente aparece para satisfacer necesidades matemáticas de origen didáctico. Estudiante 2 ―En la obra dice, o por lo menos yo entendí esto, que todo razonamiento es válido sólo si es comprobado con un razonamiento que sea matemático. Esta frase realmente me impresionó porque me hizo ver que no sólo se trata de hacer ecuaciones, que es lo primero que se nos viene a la mente cuando pensamos en las matemáticas, sino que tiene un alcance que no podemos imaginar, está en todas partes, en el millón de cosas que podemos observar en un segundo.‖ La visión de esta estudiante da cuenta de una visión instrumentalista de la matemática. Aparentemente antes de ver la obra pensaba que la matemática se reducía solamente al trabajo con ecuaciones. ¿Qué sucede con los estudiantes que comparten esta idea y no logran cambiarla en su pasaje por la formación inicial? Estudiante 3 ―`Leonardo y la Máquina de Volar´ me hizo recordar y reflexionar con respecto a la matemática, de cómo la misma esta presente hasta en las pequeños cosas, ya sea por números, medidas, signos o cálculos. Pensé en la cantidad de elementos que hoy tenemos y usamos y que un día se necesitó la matemática para construirlos.‖ Estudiante 4 ―Pude ver cómo no solamente la física y la química se relaciona con la matemática, sino también otras ciencias y disciplinas, incluyendo el arte como por ejemplo la pintura, el dibujo y la escultura. Por último vemos cómo la obra clarificó la importancia de la matemática en nuestras vidas cotidianas y cómo desde tiempos inmemoriales estuvo presente en la historia de la humanidad.‖ Para los estudiantes 3 y 4 la obra dio lugar a una reflexión acerca de la matemática como construcción histórico-social y a su relación no sólo con las disciplinas que la consideran como una herramienta. Las respuestas de estos estudiantes nos invitan a pensar si la presentación que se hace de la matemática a nivel de la enseñanza media muestra a esta disciplina en toda su dimensión o por el contrario ofrece una visión muy restringida de ella. Estudiante 5 ―En lo personal tomé la obra con un reinicio en mi cabeza, sacando de ella ese pensamiento de que hay una sola manera de enseñar matemática, que solo basta con leer los libros y saber de manera mecánica cómo resolver un ejercicio planteado en clase.‖ Esta respuesta nos alerta sobre las creencias de nuestros estudiantes. Deja en claro que muchos estudiantes ingresan a la formación de profesores creyendo que hay una sola manera de enseñarla y que además la matemática consiste en saber resolver de manera mecánica un ejercicio, que además, 183 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación está planteado en clase. La respuesta de este estudiante da cuenta, al igual que la del estudiante 1, de la ―enfermedad didáctica‖. La visión de este estudiante es la de una matemática instrumental: la matemática es un conjunto de hechos, reglas y métodos. Estudiante 6 ―En la obra no aparecen descriptas las fórmulas ni la mención de algunos aspectos, pero también podríamos suponer que está también en las dimensiones de las alas de la máquina, en los pesos de los materiales, como la tela de las alas que son mencionadas cuando descubren que determinado material es más liviano que otro que habían elegido para construir estas, en la altitud necesaria para lanzarse, y en la trayectoria que habría que hacer para poder volar, la de espiral, copiando al cuervo o al tornillo antes mencionados.‖ La respuesta de este estudiante evidencia que, a priori, el único lenguaje para expresar la matemática es aquel que utiliza fórmulas. También refleja una creencia de que la matemática consiste en dar fórmulas. La obra de teatro parece abrirle otra perspectiva. Estudiante 7 ―La obra me hizo pensar que hay otras formas diferentes de percibir la matemática, no sólo se ve en las aulas educativas, sino que nos muestra cuánto hay de matemática en la vida cotidiana.‖ Este estudiante hace explícito, lo que en los estudiantes 1 y 5, aparece en forma implícita. Este estudiante creía que la matemática solamente aparece en las aulas de matemática y aparentemente durante su pasaje por la enseñanza media no tuvo oportunidades de ver a la matemática relacionada con la vida cotidiana. Estudiante 8 ―La obra de teatro muestra un nuevo enfoque de la matemática, una matemática aplicada a la vida cotidiana. También con ella, se observa a la disciplina no como algo acabado sino como algo que requiere una constante búsqueda como forma de superación. […] Por otro lado, también nos proporciona conceptos matemáticos con los que estamos en contacto diariamente, pero que sólo aparecen abordados como contenidos programáticos sin incursionar más allá del aula, sin mostrarnos qué tan cerca de ellos estamos día a día; entre ellos el concepto de simetría, volumen, poliedros. […] Pero, en lo que más me hizo pensar la obra, es en la importancia de la matemática en la vida, y en lo equivocados que estamos cuando al hablar de matemáticas la reducimos a fórmulas, teoremas y problemas que no trascienden el aula. Debemos aprender a observar con ojos matemáticos, con espíritu crítico, enraizarnos en la búsqueda constante de la verdad, una verdad no acabada sino perfeccionable. Debemos ser Arquímedes de nuestros propios sueños, luchar por ellos, pues no está errante quien está fijado a una estrella.‖ Esta respuesta da cuenta de un importante proceso de reflexión motivado por lo que el estudiante ha visto en la obra de teatro. Evidencia una evolución de una visión instrumentalista de la matemática hacia una visión dinámica. Consideramos que este proceso que ha iniciado este estudiante debe ser sostenido a través de todas las asignaturas que componen el diseño curricular, ya que no es suficiente haberlo iniciado: debemos tener en cuenta también que en los futuros profesores no solamente inciden sus experiencias 184 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación pasadas en relación al conocimiento matemático sino también las experiencias que les proporcionamos, día a día, los formadores durante los cuatro años de su formación inicial. En síntesis, las respuestas de estos estudiantes dan cuenta de que su visión de la matemática al ingresar a la carrera de profesor es la de una disciplina de corte instrumental (un conjunto de reglas, fórmulas y métodos), que vive encerrada en las aulas y que se conecta muy poco con el mundo que nos rodea. Sin duda, cambiar esta realidad es un gran desafío que se abre ante los profesores formadores de la especialidad matemática. Reportaremos a continuación las respuestas de los estudiantes que evidencian sus creencias en relación a la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. Si bien algunas de las respuestas anteriores también brindan información sobre estos aspectos, las que seleccionamos lo hacen de manera más explícita. Estudiante 9 ―He ido a ver la obra de teatro recomendada y debo decir que me encantó. En el contenido de la obra sí pude percibir matemática en ella. Hubo en determinado momento en que Leonardo le dice a su discípulo, Francesco, que la matemática no se enseña sino que se debe de motivar a las otras personas de razonar para que ellas solas saquen sus propias conclusiones. Eso en particular me hizo pensar muchísimo en la tarea que debemos cumplir como futuros docentes que aspiramos a ser, en particular me percaté que no es un solo transmitir de conocimientos sino es ayudar a desarrollar la capacidad de razonar, garantizando al individuo la adquisición de conocimientos, habilidades y destrezas que contribuyan a un desarrollo intelectual armónico, que le permita su incorporación a la vida cotidiana, individual y social.‖ Esta respuesta nos muestra que para este estudiante la matemática consistía en transmisión, creencia ya reportada en las consideraciones de Ernest (1989), y de ahí la forma en que lo impacta lo que Leonardo le dice a su discípulo. También parece despertar en él la conciencia de que en un futuro su rol será el de contribuir a la formación integral de las personas a través de la enseñanza de la matemática. Estudiante 3 ―Podemos pensar en el vínculo pedagógico, alumno-profesor, el primero no como un receptor pasivo de conocimientos, el que ―no posee luz‖, sino éste como ―protagonista‖ dinámico de dicho proceso de aprendizaje; y el profesor no como un inoculador de conocimientos y supuesta sabiduría sino también como un participante activo y crucial en esta díada.‖ Este estudiante refleja en su respuesta las tensiones señaladas por Ernest (1989), el estudiante como mero receptor versus el estudiante como constructor activo de su aprendizaje, y el profesor como transmisor en contraposición a su rol como facilitador. Entendemos que la obra de teatro permitió llevar a un nivel conciente estas tensiones. Estudiante 5 ―El hecho de darnos cuenta que la matemática es mucho más que eso y que está en tantas cosas y lugares, nos da mil ideas de cómo estudiar conceptos comunes que aprendemos en el aula con variados métodos, […] ‖ Estudiante 10 ―La propuesta dispuesta en la obra, es una idea muy buena, ya que, en mi opinión, vincularla con matemáticas sería abrir otro camino más dinámico y diferente que no conocía; demostrando otra 185 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación forma de enseñar matemáticas, porque como especificaron (en la obra), la matemática está presente en todos los aspectos de la vida, y que sin ella muchas situaciones no podrían ser explicadas.‖ Estudiante 11 ―En fin, la propuesta de ir a ver esta obra me pareció una forma nueva de conocer y ver la matemática y darme cuenta de que hay formas de encarar el tema para que llegue mejor a los alumnos que no son las convencionales.‖ Para estos estudiantes la matemática guardaba poca conexión con el mundo que nos rodea. Esta creencia es producto de la forma en que la matemática es presentada en el aula y explica también, de alguna manera, porqué muchos docentes la circunscriben a la aplicación de reglas y fórmulas. Las reflexiones de estos estudiantes nos invitan a pensar acerca de la importancia de mostrar a los futuros profesores una matemática dinámica, ligada a sus múltiples aplicaciones e inmersa en un contexto social y cultural. Nuevas perspectivas como las que les muestra la obra de teatro abren nuevas posibilidades en el futuro ejercicio de la profesión docente. Estudiante 8 ―Por otra parte, nos permite mirar más allá de lo que nuestros ojos perciben con un simple vistazo, nos enseña a observar meticulosamente, admitiendo al error como un obstáculo a sortear no como un problema que no me permite seguir adelante. Como planteaba Leonardo en la obra ―hay que volar, ..., empezar de nuevo, ..., volver a nacer‖. […] A su vez, nos muestra lo importante que es trabajar con otros, lo enriquecedor que es una discusión, un trabajo en equipo.‖ En esta respuesta aparece una importante reflexión acerca del estatus del error en la enseñanza. Parecería que para este estudiante el error era vivido como un problema, consecuencia natural del carácter condenatorio que tienen habitualmente los errores en las aulas de matemática. El cambio en la consideración del error que manifiesta esta estudiante es ineludible en el ejercicio de la docencia. En síntesis, las respuestas de estos estudiantes evidencian que al ingresar a la formación docente concebían a la enseñanza como un proceso de transmisión en el que el estudiante juega un papel pasivo. Esta creencia se sostiene en las experiencias que han tenido estos estudiantes como alumnos, en el tipo de matemática que se les ha ofrecido y en la manera en que se la han enseñado. Reflexiones finales Las respuestas dadas por los estudiantes reafirman particularmente, dos de los objetivos marcados para la asignatura Introducción a la Didáctica: analizar críticamente las experiencias personales relativas a la enseñanza y aprendizaje de la matemática, y comenzar a construir el ―ser‖ docente desde una perspectiva crítica. Queda planteado para nosotros, como docentes de Didáctica de la especialidad Matemática, el desafío de favorecer este proceso. Referencias Bibliográficas Albert, A. (1998). Introducción a la epistemología en Matemática Educativa. México: Escuela Normal Superior Veracruzana Dr. Manuel Suárez Trujillo, México. 186 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Charnay, R. (1988). Aprender (por medio de) la resolución de problemas. En C. Parra e I. Saiz (Compiladoras) (1995), Didáctica de Matemáticas. Aportes y reflexiones, pp. 51-63. Buenos Aires: Paidós Educador. Chevallard, Y., Bosch, M., Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Cuadernos de educación 22. Barcelona: Editorial Horsori. Ernest, P. (1989). The Impact of Beliefs on the Teaching of Mathematics. En P. Ernest (Ed.), Mathematics Teaching: The State of the Art, pp. 249-254. London: Falmer Press. Sistema Único Nacional de Formación Docente 2008. Recuperado el 8 de febrero de 2014 de http://www.oei.es/noticias/IMG/pdf/SUNFD_2008_uruguay.pdf. 187 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación TRATAMIENTO DEL TEMA FUNCIÓN LINEAL Y ECUACIÓN DE LA RECTA EN LOS LIBROS DE TEXTO Mariana Loureiro, Ana María Zamagni Instituto Superior del Profesorado ―Dr. Joaquín V. González‖. Argentina [email protected], [email protected] Palabras clave: función lineal, ecuación de la recta, discurso matemático escolar Resumen En esta investigación se estudia el desarrollo de los temas función lineal y ecuación de la recta en el discurso escolar de los libros de texto para enseñanza secundaria. Los ejemplares se analizaron describiendo como tratan los textos cada tema, en forma teórica, la ejercitación y si están explicitadas las diferencias entre los mismos. Hemos encontrado que los libros presentan diferentes enfoques para los mismos temas y del análisis de los mismos se puede reconocer que el no aclarar las diferencias entre función lineal y ecuación de la recta puede provocar problemas cognitivos posteriores derivados de los obstáculos didácticos que de este discurso de desprenden. Introducción La presente investigación tiene interés en identificar las propuestas de los libros de texto de escuela media acerca del tema función lineal y ecuación de la recta. Entendemos que estos dos temas generan confusión en los alumnos de escuela secundaria pudiendo escucharse en las aulas preguntas como las que se proponen a continuación: - ¿Puedo hablar de x=5 como ecuación de una recta cuando no es una función? ¿Se pueden llamar variables a x e y en la ecuación de la recta? ¿Qué ocurre cuando hablamos de función como relación entre cosas que varían y a la ecuación de la recta como un objeto estático? Creemos que la mayoría de los textos no tratan el tema de forma que el estudiante pueda comprenderlo de manera autónoma. En general no presentan mucha teoría y priorizan la ejercitación, lo que no es suficiente para aclarar las distintas situaciones que puedan presentarse al desarrollar los contenidos. La investigación se ha realizado comparando cuatro libros de texto para segundo año de escuelas de la Ciudad de Buenos Aires o tercer año de escuelas secundarias. Los focos de atención que guiaron la indagación fueron: - Modo en el cual se definen de los conceptos involucrados. Explicitación de la diferencia entre función lineal y ecuación de la recta. Uso erróneo o poco apropiado de los conceptos. Si bien es cierto que estas cuestiones que pueden llevar a obstaculizar la construcción de dos nociones tan complejas como la de función lineal y la de ecuación de la recta pueden presentarse en el aula por un problema didáctico a través del discurso matemático escolar del docente o del discurso matemático escolar de los textos, en esta investigación nos enfocaremos sólo en el segundo, teniendo en cuenta que en gran medida son estos libros los que los docentes consultan al momento de pensar sus clases. 188 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Fundamentación teórica El presente trabajo está enmarcado en el análisis del discurso matemático escolar de los libros de textos en referencia al tema función lineal y ecuación de la recta y cómo su tratamiento influye en el aprendizaje de los estudiantes. ―El discurso matemático escolar es aquel que atiende a la formación de consensos en la noosfera en torno a un saber escolar y a aspectos relativos a su tratamiento y características, incluyendo aspectos de organización temática y profundidad expositiva‖ (Castañeda, 2006, p.255). Los elementos del discurso escolar se presentan en las explicaciones del docente en clase y en los libros de texto, así como en los documentos de currícula. ―Las obras escolares son un apartado del discurso matemático escolar, por lo cual están sujetas a las restricciones de la noosfera y moldean su contenido de acuerdo con las exigencias de la sociedad‖ (Chevallard, citado en Castañeda, 2006, p.255). Estamos de acuerdo con la idea que presenta Chevallard en relación a la influencia externa en los libros de texto pero no podemos identificar a qué responde, tarea que quedará pendiente para un análisis futuro. En esta presentación el análisis tiene en cuenta si los textos seleccionados tratan cada contenido de diferente forma en cuanto al tipo de explicaciones, tipo de ejemplos o actividades, y en cuanto a la componente epistemológica, si existen diferencias en las definiciones, utilización de los conceptos y argumentaciones. Análisis de los textos Para llevar a cabo la investigación se analizará cada texto por separado describiendo el desarrollo que realizan de los temas a tratar. Texto 1 MATEMÁTICA 3, Equivalente a 3º E.S. /2º CABA. (2009) Editorial: Puerto de Palos. Capítulo 4 – Funciones: Comienza el tema función lineal con una página de contenido teórico, definiendo la función: Una función es lineal cuando su fórmula es: a es un número real denominado pendiente y ax b b es un número real denominado ordenada al origen A continuación se muestra con ejemplos que función cumplen los parámetros en la representación de la recta y para determinar la raíz muestra el cálculo algorítmico que la determina. Luego presenta cuatro páginas con ejercicios variados: Graficar a partir de la fórmula e identificar pendiente, ordenada, raíz y si es creciente o decreciente. Hallar la fórmula a partir de las gráficas. Identificar imagen y preimagen Problemas donde a partir del enunciado hay que realizar el gráfico, hallar la fórmula, graficar y/o armar tablas. 189 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación El tema ecuación de la recta comienza también con una página de teoría pero no presenta una definición, sólo dice: Para escribir la ecuación de la recta se necesita conocer la pendiente y la ordenada al origen y presenta la siguiente fórmula: y m x b Mediante ejemplos se muestra cómo se determina la ecuación a partir de la pendiente y de un punto dado y en un segundo ejemplo a partir de dos puntos planteando un sistema de ecuaciones (tema que se desarrolla anteriormente). Define cuándo dos rectas son paralelas y cuando son perpendiculares en relación a sus pendientes. Las siguientes seis páginas son de ejercicios en los que hay que hallar la ecuación de la recta con distintos datos y luego graficarla. Al final de cada tema hay una página de integración y una autoevaluación. No se aclara específicamente cuál es la diferencia entre función lineal y ecuación de la recta, utiliza diferente letra para identificar la pendiente, para la función lineal la identifica con la letra a mientras que para la ecuación de la recta utiliza la letra m, pero no puede saberse si ese cambio de letra tiene algún significado en sí mismo. En la ejercitación se manifiesta la diferencia en considerar a x e y como variables para la función lineal o como puntos de coordenadas en la ecuación de la recta. Texto 2 MATEMÁTICA ES.3 – (2008) Editorial: Tinta fresca Capítulo 4 – Algunos tipos de funciones: Se presenta el tema con cuatro problemas, el enunciado en forma coloquial, una tabla de valores y varias preguntas como se observa en el siguiente ejemplo: 190 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 191 Página 52 – Capítulo 4 No presenta teoría sólo algunas aclaraciones en los recuadros de los márgenes, en ningún momento presenta la fórmula. En referencia a ecuación de la recta la presentación es similar pero en los recuadros del margen habla de variables y variación de una respecto de la otra: Para saber como continúa una recta es importante analizar cuánto varía la variable dependiente por cada unidad que varía la variable independiente. De igual forma, considerando las variaciones de y respecto de x, define la pendiente de una recta. Muestra tablas, gráficos y determina los puntos por coordenadas. Se muestra una fórmula general de la ecuación de la recta, en uno de los recuadros al margen, que se debe utilizar para responder las preguntas de los ejercicios. A continuación hay dos páginas que mediante problemas muestran cuáles rectas son paralelas y cuáles perpendiculares a una recta dada, encontrándose la definición de paralelismo y perpendicularidad de acuerdo a cómo se modifica la pendiente. Al final de esta parte presenta cuatro problemas de aplicación relacionados con cuadriláteros y un recuadro al margen con breves definiciones de los mismos sin distinción de clasificación. En este mismo capítulo se tratan también funciones cuadráticas, polinómicas, homográficas y definida por tramos. Al final del capítulo hay dos páginas con ejercicios correspondientes a todos los tipos de funciones tratadas en el mismo. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Mediante la presentación de los problemas hay muchas cuestiones que no quedan del todo claras, incluso con las aclaraciones al margen se confunden algunos conceptos. Cuando trata el tema ecuación de la recta considera a x e y como variables y como puntos de coordenadas. Texto 3 MATEMÁTICA 9 – (2005) Editorial: Kapelusz Norma Capítulo 5: ―Ecuaciones e inecuaciones‖ Capítulo 6: ―Funciones‖ El capítulo 5 está divido en dos partes (es un poco confusa esta división, los subtemas están encabezados por títulos de diferente tamaño y color de letra). La primera de estas partes abarca ―sistemas de ecuaciones y rectas‖. Luego de abordar los sistemas de ecuaciones en una hoja (una página para la teoría que desarrolla únicamente el método de reducción por sumas y restas, y otra para la práctica), en la siguiente hoja y media página más desarrolla el tema ―Rectas‖. En la primera página, teórica, hay tres ejemplos que contienen lenguaje coloquial, algebraico y una representación gráfica cada uno (una recta oblicua, una vertical y otra horizontal) de cómo representarlas gráficamente mediante el cálculo de la raíz y la ordenada al origen (en el caso de la oblicua) y sólo con una explicación en los otros casos. A continuación se define a la recta como: el conjunto de soluciones de una ecuación lineal con dos variables ax+by=c” y se agrega que: si b≠0 la ecuación se puede escribir y=-a/b x + c/b si b=0 la recta es vertical y la ecuación se puede escribir x=c/a. A continuación se explica con un ejemplo y un gráfico, cómo encontrar la ecuación de una recta dados dos puntos pertenecientes a ella, mediante el planteo de un sistema de ecuaciones, que no se resuelve, se da la solución y se escribe la ecuación de la recta que se buscaba, indicando que uno de esos valores se llama ―pendiente‖ y el otro ―ordenada al origen‖. Comienza luego un párrafo (un cuarto de página.) con ejercicios que piden: graficar rectas (con ecuaciones implícitas), escribir otras (implícitas también) en la forma y=mx+b, y escribir la ecuación de varias rectas dados dos puntos. Luego se desarrolla otra página completa de teoría, que retoma los sistemas de ecuaciones bajo el título ―Intersección de rectas‖. Allí se analizan tres ejemplos: dos rectas que se cortan, dos coincidentes y dos paralelas. En el primer ejemplo se define al punto de intersección entre las dos rectas como la solución del sistema del ejemplo (que no se resuelve, sólo se menciona su solución y se muestra un gráfico); para concluir definiendo formalmente: el conjunto de soluciones del sistema ax+by=c a‟x+b‟y=c‟ es la intersección de las rectas ax+by=c; a‟x+b‟y=c. Los siguientes dos ejemplos son del mismo tenor, y también se aclara que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Luego, hay una serie de ejercitación en media página que pide: resolver tres sistemas y corroborar las soluciones gráficamente, hallar el punto de intersección de cuatro pares de rectas y graficarlas, decidir en cuatro casos si los pares de rectas se cortan o son paralelas o son coincidentes, y otros tres que integran dos conceptos (determinar ecuaciones de rectas con encontrar intersecciones entre ellas). 192 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación En el capítulo 6 se analizan varias funciones sin fórmulas (lineales, cuadráticas, polinómicas, homográficas, definidas por partes, parte entera, irracionales, trigonométricas, etc) pero sin explicitar sus nombres. Se analizan sus gráficos y algunas fórmulas, pero el centro es el estudio de la función en sí misma, no se habla de la función lineal como tal. Entre los problemas hay algunos de encuentro, que implican seguir resolviendo sistemas de ecuaciones. Texto 4 MATEMÁTICA 8 – (2002) Editorial: Kapelusz Capítulo 7: ―Funciones‖ El capítulo comienza con una introducción histórica del tema (una carilla), continúa con análisis de gráficos (tres carillas), y dedica 8 carillas más al concepto de función y ejercicios relacionados. El siguiente tema es ―Función lineal‖. La primera página es teórica y comienza mostrando dos ejemplos sin ningún tipo de lenguaje algebraico, uno del consumo en una factura de Metrogas con el detalle de la misma y una representación gráfica del costo en función del consumo, y otro sobre la velocidad de un móvil, con un pequeño texto que narra un recorrido a determinada velocidad y la representación gráfica de la distancia recorrida en función del tiempo. A continuación se expresa que: en ambos ejemplos el crecimiento o decrecimiento de la función es uniforme, y que esto es lo que ocurre en las funciones lineales. Se indica la fórmula general de la función lineal utilizando ―f(x)‖ como notación (pero en todos los ejemplos y ejercicios posteriores se usa la notación ―y=‖), se indica cuál es la pendiente, cuál la ordenada al origen, y se calculan ambas para el ejemplo de la velocidad junto con la fórmula de dicha función. Hay un recuadro que destaca que la pendiente indica la inclinación de la recta y la describe como el cociente entre el incremento de ―y‖ y el incremento de ―x‖ apoyándose en el gráfico de la situación de velocidad (no se usa el lenguaje algebraico), en donde se remarca con llaves el aumento de unidades en ―x‖ y la disminución de unidades en ―y‖ en un punto determinado. Hay otro recuadro que indica que ―una función lineal es de proporcionalidad directa cuando su gráfico pasa por el punto (0;0)‖ y que ―la razón y/x es la constante de proporcionalidad‖, con un ejemplo y sin ningún gráfico. Siguen 4 carillas y media de ejercicios y problemas. De las 16 actividades, 9 son problemas que incluyen situaciones de la vida cotidiana (consumo de gas, recaudación de fondos, relación entre capacidad y peso, densidad, relación entre precio y peso, el IVA, porcentajes y velocidades) y una situación geométrica (comparación entre función área y función perímetro de un cuadrado. Las 7 restantes son estrictamente matemáticas, entre las que se pide: graficar rectas y compararlas (para obtener como conclusiones las condiciones de paralelismo y perpendicularidad), relacionar gráficos con sus fórmulas, identificar de entre varias fórmulas las que sean de proporcionalidad directa y determinar su constante Conclusiones En general los cuatro textos tienen enfoques diferentes para los mismos temas (incluso los que son de la misma editorial). 193 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Uno trata ecuación de la recta y funciones en general, otro habla de función lineal pero no identifica ecuación de la recta y los otros dos tratan los dos temas sin aclarar las diferencias específicas, incluso en uno se confunde el concepto de variable para la ecuación de la recta. Sólo en uno de los textos se menciona que es posible una ecuación como por ejemplo: x 5 (muestra la recta vertical), pero no se aclara que esto no puede ser una función lineal, ya que es el texto que analiza varias funciones en general pero sin explicitar sus nombres. En los otros textos que tratan los dos temas no aclaran esta situación que es uno de los ejemplos con el que se podría diferenciar la ecuación de la recta con la función lineal. Hay temas que resulta difícil tratar con profundidad para el nivel en que están planificados en la currícula, puede ser un ejemplo la diferencia entre función lineal y ecuación de la recta. Si bien las representaciones gráficas son iguales y existe una correspondencia entre los valores de x e y determinada por una fórmula, el concepto presenta algunas diferencias, en la función es importante la variación de una variable dependiente respecto de otra que es independiente y además debe cumplir con las condiciones que la definen como función, por ejemplo la ecuación x=constante no cumple con la definición de función y sin embargo es la ecuación de una recta. A veces no aclarar conceptos por su dificultad puede producir obstáculos cognitivos posteriores para los alumnos a los que intentamos simplificarles la tarea. Un interrogante a plantear sería si es necesario, en escuela media, tratar los temas por separado si no se identifican las diferencias conceptuales. Referencias Bibliográficas Berio, A., Dumón, L., Mastucci, S., Prandini, M., Quirós, N., Sciotti, F., Tajes, G., Vázquez, S., (2009). Matemática 3. Boulogne: Puerto de Palos. Castañeda, A. (2006). Formación de un discurso escolar: el caso del máximo de una función en la obra de L'Hospital y María G. Agnesi. Revista latinoamericana de investigación en matemática educativa 9 (2), (pp. 253-265). Illuzzi, M., Menéndez, S. (2002). Matemática 8. Buenos Aires: Kapelusz Norma. Kurzrok, L., Altman, S., Arnejo, M., Comparatore, C. (2008). Matemática Es.3. Ciudad de Buenos Aires: Tinta fresca ediciones S.A. Seveso de Larotonda, J., Wykowski, A., Ferrarini, G. (2005). Matemática 9. Buenos Aires: Kapelusz Norma. 194 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación SISTEMAS DE ECUACIONES: TRATAMIENTO DE LA SOLUCIÓN EN LIBROS DE TEXTO DE LA ESCUELA SECUNDARIA Daniela Bruno, Florencia Rivas Instituto Superior del Profesorado ―Dr. Joaquín V. González‖. Argentina [email protected], [email protected] Nivel Medio Palabras clave: Sistemas de ecuaciones. Solución. Libro de texto. Resumen En este trabajo, se pretende analizar el tratamiento que se le da a la solución dentro del tema de ―Sistemas de ecuaciones‖ en los libros de texto de la escuela secundaria. Resulta fundamental analizar las causas que originan las dificultades que presentan los alumnos respecto a la resolución de sistemas de ecuaciones. Para comprender dichas dificultades consideramos necesario analizar los libros de texto de la escuela media ya que forman parte de las fuentes de saber consultadas por la mayoría de los docentes y de los alumnos. Luego del análisis de los textos, concluimos que el tratamiento que le dan a la solución es inexistente y que le dan mucha importancia al proceso algorítmico que no lleva a comprender el significado de la solución. Introducción La problemática a abordar en este trabajo es el análisis de las dificultades que presentan los alumnos respecto a la resolución de sistemas de ecuaciones, centrándonos en el significado que posee la solución en la resolución del sistema. Aunque existen diversas maneras de trabajar el tema, se puede decir que los alumnos resuelven los sistemas únicamente de forma algorítmica, sin darse cuenta qué es lo que resuelven y a qué quieren llegar. Según Caronia (2008) Tan pronto los estudiantes de álgebra aprenden a manejar un método formal de resolución de ecuaciones tienden a abandonar el uso de la sustitución para la verificación. Este tipo de error otros autores lo consideran como:‖falta de verificación en la solución‖. (P 29) Esta idea presentada en el párrafo anterior, se justifica en el desarrollo de este trabajo, analizando algunos libros de texto utilizados en la escuela media. Consideramos que, en general, se propicia el trabajo algorítmico, obligando a los alumnos a resolver los sistemas por un método en particular, sin que ellos decidan cuál es el más conveniente y sin dar mayor relevancia a la solución. Los estudiantes, en general, no comprenden la solución del sistema: no verifican si es correcto o no el resultado obtenido, o si la solución corresponde a la respuesta del problema que genera el sistema. Una de las propuestas que podrían revertir esta situación es 195 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación …pensar en actividades significativas que no estén orientadas exclusivamente a la resolución del algoritmo y que, por el contrario, atiendan y apoyen los procesos comprensivos que deberían sustentar esas resoluciones. (Caronia, 2008,p 34) En base a esto, el objetivo de la investigación es reflexionar acerca del tratamiento que se le da al tema de sistemas de ecuaciones en la escuela secundaria. A partir de ello, se tratará de hipotetizar cuál es la forma más viable de presentar este tema para que los alumnos lo comprendan en su totalidad sin centrarse solamente en el proceso algorítmico. Referentes teóricos Este artículo se ha desarrollado bajo la noción del discurso matemático escolar ya que se analiza la presentación del concepto de sistemas de ecuaciones lineales en libros de textos de la escuela secundaria. Tal como explica Reséndiz (2006): ―el discurso es el vehículo que transporta la mayoría de los aprendizajes surgidos en el salón de clases, ya que sus aspectos están poblados de diferentes lenguajes que unos emiten y otros intentan interpretar correctamente‖ (p 443), se considera que el discurso matemático resulta de suma importancia para entender las dificultades presentes en los alumnos en el proceso de sus aprendizajes. Los libros de texto escolares son una herramienta importante para analizar el discurso ya que ellos aportan un conocimiento socialmente aceptado por docentes y alumnos. Además, se considera que: El libro de texto en el ámbito escolar cumple, entre otras funciones, la de fuente de consulta del saber que se estudia, así como la de organizador en la creación de programas de estudio, estructuración de cursos y seminarios, o de situaciones específicas en la preparación de clases, elaboración de problemarios, guías de estudio o exámenes. Con una mirada más profunda, se puede advertir una doble naturaleza en las obras de texto: como una obra de texto, referida a los elementos de estructura y organización, y a aquellos tocantes a su contenido, es decir, al discurso que contiene. (Castañeda, 2006, p 254) Al analizar el tratamiento que realizan los libros de textos de la escuela secundaria acerca del concepto de sistema de ecuaciones, se observa que cada autor presenta el contenido desde su perspectiva e ideología. Ello se refleja en la presentación del tema, la ejercitación propuesta y los temas seleccionados según las exigencias sociales del contexto (Castañeda, 2006). Si bien el discurso matemático escolar constituye el espacio donde se construyen, negocian e interpretan los significados en la interacción social que se realiza en la escuela, por lo tanto construir conocimiento en interacción requiere del lenguaje utilizado socialmente (Reséndiz, 2006), se observa que en la realidad esto no ocurre. Los libros de texto utilizan un lenguaje propio de la Matemática despersonalizado en el que no se evidencia que los 196 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación conceptos fueron construidos socialmente sino que, se lo presenta como un saber finamente construido. Análisis de los libros de texto Texto 1 analizado: (2009). Logonautas Matemática 3. Buenos Aires: Puerto de Palos. Presentación del tema ―Sistemas de ecuaciones‖ se encuentra dentro del cuarto capítulo del libro, llamado ―Funciones‖, de un total de ocho capítulos. Dentro de este capítulo, en la tercera unidad, luego de los conceptos de Función, Función Lineal y Función Cuadrática, se introduce el concepto analizado. Se presenta una definición no del todo correcta acerca de sistema de ecuaciones: ―Dos ecuaciones de primer grado, con dos incógnitas cada una, determinan un sistema de ecuaciones cuando la solución del sistema está formado por los valores de x e y que verifican las dos ecuaciones simultáneamente‖. Luego presenta un ejemplo y a continuación, de manera sintética, se presentan tres métodos de resolución (igualación, sustitución y reducción por sumas y restas) con sus correspondientes pasos, tomando como modelo el mismo sistema de ecuaciones. Asimismo se presenta la solución gráfica de los sistemas de ecuaciones con el ejemplo trabajado anteriormente. Tipo de ejercitación La ejercitación contenida en el libro comienza con un ejercicio de opción múltiple sobre las posibles soluciones de un sistema. Luego, se presentan seis sistemas indicando el método que se debe aplicar para su resolución con su correspondiente verificación. A continuación se presentan otros seis sistemas para resolver por el método que el alumno considere más conveniente. La siguiente actividad plantea la resolución de dos problemas matemáticos y tres de la vida cotidiana mediante el planteo del correspondiente sistema de ecuaciones. Otro ejercicio propuesto consiste en la resolución de dos problemas geométricos, en los que se pide calcular el perímetro o las medidas de los ángulos interiores de dos figuras geométricas cuyos datos se presentan para que los alumnos formen el correspondiente sistema. 197 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 198 Registros de representación Las representaciones gráficas del libro son escasas y no aportan a las explicaciones dadas. Aportes teóricos El libro presenta la teoría del tema con explicaciones reducidas y no del todo correctas. Las mismas no conducen a un aprendizaje significativo y muchas de las actividades planteadas resultan complejas para los alumnos de acuerdo a los conceptos y ejemplos presentados. Asimismo se les presenta como actividad el planteo del sistema correspondiente a un problema sin haberlo trabajado anteriormente con un ejemplo. Tratamiento de la solución La clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales por el número de soluciones aparece al principio de una actividad, con una definición muy abreviada sin ejemplificarlas y a continuación, se pretende que los alumnos, a través de siete ejercicios, clasifiquen el sistema de acuerdo a la solución hallada. La siguiente actividad consiste en que, dada la representación gráfica de dos rectas secantes, los estudiantes encuentren el sistema compatible a ella. Luego se solicita, dada una de las ecuaciones que conforman un sistema, que se encuentre la otra solución para que cumplan ciertas condiciones acerca de compatibilidad o incompatibilidad. La actividad que El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación continúa consiste en responder acerca de la verdad o falsedad de ciertas afirmaciones dado un sistema de ecuaciones. Por último, las actividades consisten en trabajar sobre el valor que debe tomar el coeficiente de una de las ecuaciones del sistema para que sea compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Para finalizar el tema se presenta cuatro actividades de integración de los contenidos vistos. 199 Texto 2 analizado: (1998). Matemática 8 E.G.B. Buenos Aires: Nuevas Propuestas S.R.L. Presentación del tema El contenido de ―Sistemas de ecuaciones lineales‖ se encuentra en la unidad nº 10 de un total de 16 unidades. Al comenzar la unidad titulada ―Sistema de ecuaciones‖ se presenta un problema de la vida cotidiana y luego se plantea de forma algebraica el enunciado. A continuación, se proponen distintas soluciones que verifican la primera ecuación del sistema pero no la otra. De esta manera, se quiere explicar que la solución del sistema debe verificar simultáneamente a las dos ecuaciones que conforman el sistema de ecuaciones. El libro explica tres métodos de resolución: sustitución, igualación y reducción por sumas y restas. Para explicar cada método se presenta un sistema para resolver. A medida que se resuelve el sistema se enumeran los pasos que los alumnos deben aplicar. Luego de haber llegado a una solución, se verifica si los valores de ―x‖ y de ―y‖ satisfacen a los dos ecuaciones que conforman el sistema. Este procedimiento solamente se realiza en el primer método, es decir que no se prioriza la verificación del sistema. En cada método se resuelve un sistema diferente al método anterior. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 200 Tipo de ejercitación Al finalizar cada método, se presentan seis sistemas de ecuaciones y problemas para plantear y resolver. El libro indica el método que el alumno debe aplicar y, además, los sistemas están planteados de la misma manera. En la última página del capítulo, el libro presenta seis sistemas para resolver analítica y gráficamente, pero no indica el método a que el alumno debe aplicar. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Registros de representación Se presenta un sistema de ecuaciones y se explica que, si es necesario, se debe despejar la ecuación para que resulte la fórmula de una función lineal (y = ax+b). Se resuelve con el método de igualación y luego se representan las rectas. A continuación, se presenta otro ejemplo y además, se grafican sistemas indeterminados e incompatibles. Aportes teóricos La clasificación de los sistemas de ecuaciones según la cantidad de soluciones se explica resolviendo dos sistemas de ecuaciones para presentar los sistemas indeterminados e incompatibles. Los sistemas compatibles determinados no se explica, pero se describe lo siguiente: ―Todos los sistemas que hemos tratado hasta ahora con compatibles determinados pues tienen una única solución‖. Conclusiones Del análisis de los dos libros de texto se puede concluir que el concepto de sistemas de ecuaciones se presenta de formas completamente distintas aunque en ninguno de los libros se focaliza el tratamiento de la solución. Los libros le dan suma importancia al proceso algorítmico de resolución, presentando extensa ejercitación. Asimismo, dentro de la importancia que los textos brindan a los métodos de resolución, se puede observar que la explicación es estructurada. De esta manera, no facilitan que los alumnos puedan lograr un aprendizaje significativo del tema. Además, las dificultades observadas en las aulas también pueden atribuirse a las elecciones didácticas en base a las cuales el docente trata este concepto, como así también de la elección de los libros de texto en lo que se apoyan. Si un docente basa sus clases en la 201 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación repetición de lo que plantean alguno de estos libros, entonces estará perdiendo (y estará haciendo perder a sus alumnos) de una de las características más determinantes de un sistema de ecuaciones: la existencia de una solución que simultáneamente verifica dos igualdades. Referencias Bibliográficas Berio, A., Dumón, L., Mastucci, S., Prandini, M., Quirós, N., Sciotti, F., Tajes, G. y Vázquez, S. (2009). Logonautas Matemática 3. Buenos Aires: Puerto de Palos. Caronía, S., Zoppi, A., Polasek, M., Rivero, M. y Operuk, R. (2008). Un análisis desde la didáctica de la matemática sobre algunos errores en el álgebra. Premisa 10 (39), 27-35. Catañeda, A. (2006). Formación de un discurso escolar: El caso del máximo de una función en la obra de L`Hospital y María G. Agnesi. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 9 (2), 253-265. Jesé, F. (1998). Matemática 8 E.G.B. Buenos Aires: Nuevas Propuestas S.R.L. Reséndiz, E. (2006). La variación y las explicaciones didácticas de los profesores en situación escolar. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 9 (3), 435-458. 202 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. ANÁLISIS DE OBSTÁCULOS A PARTIR DE UNA INGENIERÍA DIDÁCTICA Daniela Cecilia Veiga Instituto Superior del Profesorado ―Dr. Joaquín V. González‖ Buenos Aires. Argentina [email protected] Nivel Medio Palabras clave: Propiedad Distributiva. Obstáculos. Ingeniería Didáctica Resumen La propiedad distributiva es uno de los contenidos matemáticos que se enseña desde los primeros años de la escolaridad y se retoma en los años sucesivos determinando su dominio de validez en las distintas operaciones matemáticas. A pesar de tratarse de un contenido ampliamente desarrollado a lo largo de toda la educación media, los errores que cometen los alumnos persisten año tras año, incluso en niveles universitarios. En este trabajo, se realiza el relevamiento de los obstáculos a los que se enfrentan los alumnos al aplicar la propiedad distributiva en diversos contextos de la enseñanza de la matemática, en nivel medio y la categorización y análisis de los mismos a partir de las herramientas que brinda la ingeniería didáctica. Introducción Desde los primeros años de escolaridad, los alumnos aprenden a reconocer y aplicar diversas propiedades numéricas. Desde un primer momento, emplean naturalmente la propiedad conmutativa y reconocen sin dificultad que esta propiedad no siempre es válida. Por ejemplo, en el caso de la sustracción y división. Otro tanto ocurre con la propiedad asociativa. Fácilmente reconocen sus alcances y limitaciones en la resolución de cálculos que involucren las cuatro operaciones básicas. No obstante, la propiedad distributiva es un caso particular que trae aparejado una gran cantidad de obstáculos en el aprendizaje y comprensión de otros conceptos matemáticos. En general, una vez que los alumnos tienen su primer encuentro con la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y sustracción, la hacen extensiva a casi todos los cálculos que se presentan dentro de la matemática. De esta manera, aplican la propiedad en casos como los siguientes: división respecto a la adición y sustracción (por derecha y por izquierda); potenciación respecto a la adición y sustracción; radicación respecto a la adición y sustracción; logaritmos, entre otras. La propiedad distributiva tiene características particulares y presenta una serie de restricciones según se trate de sumas, restas, divisiones, productos, potencias o raíces. 203 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Es sabido que los alumnos presentan grandes dificultades en este punto. Intentan generalizar la propiedad distributiva en cualquier situación que se les presente olvidando las condiciones que se deben cumplir para que dicha propiedad sea válida. Cabe preguntarse el origen de este error para poder generar estrategias que permitan abordarlo. ¿Cuáles son las causas por las cuales los alumnos generalizan la aplicación de la propiedad distributiva en diversos casos? ¿Qué tipo de obstáculos encierra la propiedad distributiva? ¿Cuáles son las respuestas de los docentes frente a estos errores? ¿Cómo influyen estas respuestas en la construcción del conocimiento matemático dentro del esquema cognitivo del alumno? En este artículo, se pretende aproximar las respuestas de las preguntas planteadas, mediante el relevamiento de los obstáculos a los que se enfrentan los alumnos al aplicar la propiedad distributiva en diversos contextos de la enseñanza de la matemática, en nivel medio y la categorización y análisis de los mismos a partir de las herramientas que brinda la ingeniería didáctica. En primer lugar, en esta investigación se sostiene fuertemente la idea de que frente a un error es necesario indagar sobre su origen, como punto de partida, a fin de pensar y generar estrategias que permitan resolverlo. Resulta imposible erradicar un obstáculo fuertemente arraigado en el alumno, si no se estudian previamente, las causas que lo originan. En el caso particular de la propiedad distributiva, se trata de un concepto trabajado desde los primeros años de la escuela media; y sin embargo, trae aparejado una serie de errores constantemente presentes en las clases de matemática, aún en niveles terciarios y universitarios. Lo llamativo es que los docentes, detectamos regularmente estos errores y frecuentemente, proponemos un contraejemplo con la ilusión de dar por terminada esta dificultad. Sin embargo, los errores persisten a pesar de nuestros esfuerzos. Quizás, el desafío sea la búsqueda de nuevas estrategias para superar esta dificultad. Para dar sentido un objeto matemático no es suficiente con mostrar un contraejemplo, cosa que los profesores hacen usualmente. Por eso parece razonable recurrir también a otras situaciones que creen esquemas fáciles de recuperar, por estar apoyados en distintos esquemas de representación y no solamente en argumentos formales. La superación de los obstáculos es ciertamente difícil puesto que el conocimiento que tiene el alumno le ha sido útil en múltiples ocasiones. Aún así, su aparición es interesante ya que su superación va a implicar la adquisición de un conocimiento nuevo y mejor. (Ruano, Socas y Palarea, 2008, p. 73). Objetivos planteados El presente trabajo se propone los siguientes objetivos: – Detectar las dificultades relacionadas a la aplicación de la propiedad distributiva en dos grupos de alumnos correspondientes a los últimos años de la escuela media y a los primeros del nivel terciario. 204 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación – – Recopilar diversas investigaciones realizadas al momento que permitan fundamentar los obstáculos en la comprensión y aplicación de la propiedad distributiva. Realizar una propuesta acerca del abordaje de este tema en la escuela secundaria que permitan superar los obstáculos detectados. Análisis Preliminar: dificultades, errores y obstáculos En primer lugar, resulta fundamental retomar las ideas de dificultades, obstáculos y errores en la enseñanza de la matemática y sus interrelaciones, desarrollados por Socas (1997) quien considera que las dificultades pueden tener su origen en el desarrollo cognitivo del alumno, en el currículo de matemática o bien, en los métodos empleados en la enseñanza. Por otra parte, conocer el origen de las dificultades permitirá buscar y desarrollar estrategias que permitan superarlas. La evidencia de estas dificultades es la existencia de obstáculos presentes en el aprendizaje de los alumnos que se ponen de manifiesto en forma de errores. De esta forma, se concluye que los errores pueden tener diferentes orígenes y por lo tanto, ―va a ser considerado como la presencia en el alumno de un esquema cognitivo inadecuado y no solamente como consecuencia de una falta específica de conocimiento o de un despiste‖ (Socas, 1997, p. 125). En este aspecto, Socas (1997) agrupa las causas principales de los errores algebraicos en tres grupos según su origen: Obstáculo Ausencia de sentido Actitudes afectivas y emocionales Origen Naturaleza abstracta de las herramientas algebraicas Errores algebraicos con origen en la aritmética Uso de la propiedad distributiva Procedimientos (uso inapropiado Uso de recíprocos de ―fórmulas‖ o reglas) Cancelación Lenguaje algebraico Excesiva confianza, distracciones, bloqueos, olvidos, creencias, etc. De la misma manera, Brousseau (1983) considera como obstáculo ―aquel conocimiento que ha sido en general satisfactorio durante un tiempo para la resolución de ciertos problemas, y que por esta razón se fija en la mente de los estudiantes, pero que posteriormente este conocimiento resulta inadecuado y difícil de adaptarse cuando el alumno se enfrenta a nuevos problemas‖. Por su parte, el autor hace una clasificación de los obstáculos de acuerdo a su origen: Cognitivos: relacionados con las características del desarrollo del alumno. Didácticos: relacionados con la elección y desarrollo del método de enseñanza. Epistemológicos: relacionados con las características propias del conocimiento matemático. Respecto a las dificultades, Socas (1997) propone la siguiente clasificación: 205 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Dificultades asociadas a la complejidad de los objetos las matemáticas: relacionadas con la comprensión y comunicación de objetos matemáticos. Socas (1997) sostiene que muchas dificultades tienen su origen en el lenguaje que se emplea en las clases de matemática. Por un lado, el uso de palabras que adquieren diferentes significados en el lenguaje habitual y en la matemática. Por otro lado, el uso de términos específicos de la matemática que resultan ser poco familiares. Y al mismo tiempo, el uso de palabras de igual significado dentro y fuera de la matemática genera incertidumbre en los alumnos. Dificultades asociadas a los procesos de pensamiento matemático: relacionadas con las características del razonamiento lógico propio de la matemática que no tiene nada que ver con los métodos deductivos formales. El alumno puede desarrollar el pensamiento lógico al resolver una situación problemática. El punto es que muchas veces, los problemas planteados se resuelven desde una ―lógica escolar‖ muy diferente a la ―lógica social‖ y esto ocasiona serias dificultades en el aprendizaje del alumno. Dificultades asociadas a los procesos de enseñanza desarrollados para el aprendizaje de las Matemáticas: relacionadas con el currículo y los métodos de enseñanza empleados. ―El currículo debe estar organizado considerando las habilidades necesarias para desarrollar capacidades matemáticas que definen la competencia de un alumno en Matemáticas, la necesidad de contenidos anteriores, el nivel de abstracción requerido y la naturaleza lógica de las matemáticas escolares‖ (Socas, 1997, p. 135) Dificultades asociadas a los procesos de desarrollo cognitivo de los alumnos: relacionados con el proceso de aprendizaje y desarrollo intelectual del alumno que brindan información relevante acerca de las características del razonamiento que se constituye esencial a la hora de diseñar propuestas didácticas. Dificultades asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las Matemáticas: relacionadas con los sentimientos de tensión y miedo como consecuencia de diversas experiencias vividas en las clases de matemática. DISEÑO DE LA SECUENCIA Características de los grupos Para organizar el trabajo, se divide a la población donde se realizará la experiencia en dos grupos. Grupo A: formado por un quinto año de un colegio de nivel medio, conformado por 30 alumnos. La mayor parte de los mismos van a continuar sus estudios en nivel universitario. Son muy trabajadores y responden bien a las actividades y consignas. Son muy organizados para trabajar individualmente en clase. Grupo B: formado por un quinto año de un colegio de nivel medio, conformado por 25 alumnos. En general, presentan grandes dificultades para la comprensión de consignas y el trabajo en clase. Dependen, en gran parte, de las explicaciones dirigidas por el docente. Actividad propuesta 206 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación La actividad está planteada en el marco de una evaluación diagnóstica que se realiza anualmente al comenzar el año. Esta evaluación se desarrolla durante la primera semana de clases. En este trabajo, se analizan los resultados obtenidos en una de las actividades diseñadas para evaluar los conceptos y estrategias de los alumnos en la resolución de operaciones con expresiones algebraicas. Se entregó a cada alumno una fotocopia con la actividad. La consigna es discutir con otro compañero las posibles soluciones a cada actividad y luego, se realizará una puesta en común. El tiempo destinado a esta actividad fue de un módulo de clase de 80 minutos: Actividad: Indicar, en cada caso, la/s opción/es correcta/s. JUSTIFICA TU ELECCIÓN: (n.e.c.: ninguna de las opciones es correcta) El objetivo de esta actividad es detectar el uso generalizado de la propiedad distributiva los en la resolución de diversas operaciones con expresiones algebraicas. Análisis a priori Con la actividad (a), se espera que los alumnos sumen correctamente expresiones algebraicas y extraigan el factor común en la expresión obtenida para seleccionar la opción correcta. En la actividad (b), se presenta una situación en la que para poder determinar la equivalencia de dos expresiones, de debe hacer un trabajo algebraico con ambas expresiones. Normalmente, las opciones dadas corresponden a operaciones acabadas. En este caso, se espera que los alumnos adviertan la equivalencia simplificando las operaciones presentadas en las soluciones. En las actividades (c), (d), (e) y (f), se espera detectar el uso incorrecto de la propiedad distributiva generalizándola para el caso de la potenciación y radicación. Se descarta la posibilidad de que los alumnos no resuelvan las actividades debido a que se presentan operaciones con expresiones algebraicas sencillas que no evidencian 207 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación dificultades y por otro lado, el estilo de actividad de opciones múltiples invita a una resolución rápida. Puede ocurrir que algunos alumnos no sepan justificar su elección. Generalmente, las justificaciones traen aparejadas serias dificultades. Por esta razón, se permite el trabajo grupal y se les explicó a los alumnos que se aceptarán justificaciones algebraicas y coloquiales. Experimentación En la siguiente tabla, se dan los porcentajes de las respuestas obtenidas en los grupos A y B. Cabe aclarar que en el enunciado quedaba abierta la posibilidad de más de una opción correcta en cada ejercicio. Las celdas sombreadas corresponden a las respuestas correctas: Actividad a b c d e Opción A A B 7,4 13,6 0 4,5 92,6 95,5 37 27,3 3,7 9,1 Opción B A B 44,4 54,4 0 0 0 0 7,4 13,6 59,3 63,6 Opción C A B 0 4,5 44,4 9,1 70,4 54,5 7,4 13,6 55,5 59,1 N.E.C A 48,1 55,5 0 48,1 11,1 B 22,7 86,4 0 40,9 4,5 No resuelve A B 0 0 0 0 0 0 7,4 13,6 0 0 Comentarios de la experimentación: Ni bien se les da la consigna de la actividad, los alumnos comienzan a leer la fotocopia e intentan resolverlo en forma individual. Recién en la actividad (c) comienzan a consultar y debatir con otros compañeros. - Actividad A Los alumnos que seleccionaron la opción ―n.e.c.‖ justificaron su elección explicando que la opción correcta sería ― 8x 2 ‖. La mayor parte de los alumnos del grupo A seleccionaron esta opción. Esta elección puede tener dos explicaciones. Por un lado, no advertir la presencia del factor común en la expresión, dificulta la visualización de la equivalencia con la expresión ― 2 4 x 1 ‖; por otro lado, se evidencia una de las categorías que utilizan Caronía, Zoppi, Polasek, Rivero y Operuk, (2008) en la clasificación de los errores en álgebra. En este aspecto, los autores se refieren ―al orden en que efectúan las operaciones‖. En general, los alumnos tienen fuertemente arraigada la idea aritmética de que el orden de las operaciones es siempre de izquierda a derecha. En este caso particular, muchos alumnos descartaron la posibilidad de aplicar la propiedad distributiva (claramente válida) en la expresión ― 2 4 x 1 ‖ por tratarse de una ―respuesta‖ y no de un ―cálculo a resolver‖. En cambio, en el grupo B muchos alumnos advirtieron que al aplicar la propiedad distributiva en la expresión ― 2 4 x 1 ‖, se llegan a expresiones equivalentes. 208 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación - Actividad B En esta actividad, se revierte la situación anterior. El grupo A advierte claramente que al agrupar términos semejantes en la opción (c), se obtiene una expresión equivalente a la dada. Sin embargo, el grupo B determina que ninguna de las opciones dadas es correcta porque al aplicar la propiedad distributiva se obtiene ― 2 x 2 y ‖. 209 - Actividad C En general, no presentaron dificultad para señalar la equivalencia entre las expresiones ― x 2 2 2 ‖ y ― x 2 4 ‖. No obstante, se advierte la generalización de la propiedad distributiva al seleccionar la opción x 22 ‖ que Socas (1997) tipifica como ―error de procedimiento‖ originado por el uso inapropiado de fórmulas y procedimientos válidos en otros contextos y que, frente al problemas no familiares, los hacen extensivos. Es decir, lo emplean linealmente ―ya que sus experiencias anteriores son compatibles con la hipótesis de linealidad‖. Es notable que muy pocos alumnos expresaran que la opción (c) no es válida porque la potenciación no es distributiva respecto a la suma. Muchos, al marcar la opción (a) descartaron la posibilidad de la existencia de otra opción. - Actividad D En primer lugar, llama la atención que es la única actividad que algunos alumnos no se animaron a dar una opción correcta. Si bien muchos alumnos no supieron justificar su elección, resultan particularmente interesantes las justificaciones que aparecen en esta actividad aún conduciendo a la respuesta correcta. Igual que en la actividad anterior, algunas tienen que ver con la aplicación incorrecta de propiedades. Y otras, evidencian el uso de la verificación como estrategia válida justificar la equivalencia o no, de expresiones algebraicas. Respecto al justificación íntimamente verificación adquirido en uso de ejemplos para la de la elección, está relacionado al proceso de de ecuaciones fuertemente años anteriores. Es lo que El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Caronía y otros (2008) denominan ―la posibilidad de control de sus resultados‖. No obstante, se observa que el uso de ejemplos triviales, en algunos casos, conduce a conclusiones erróneas. - Actividad E La mayor parte de los alumnos no tuvo dificultad en advertir la equivalencia entre las expresiones ― 9 x 9 y ‖ y ― 9 x y ‖. Sin embargo, gran parte de estos alumnos descartaron la posibilidad de aplicar la propiedad distributiva de la radicación respecto del producto. Y en tal caso, sólo calculan la raíz a la parte numérica. Caronía y otros (2008) hacen referencia a este error como ―la no-aceptación de la falta de cierre‖. Relacionado con la idea aritmética, fuertemente arraigada, de que los cálculos tienen como respuesta un número concreto. Por esta razón, calculan la raíz cuadrada sólo a la parte numérica y no a la literal. Por otro lado, un solo alumno recurre a un ejemplo para justificar la opción correcta. Análisis a posteriori - En ningún caso los alumnos proponen la extracción del factor común para justificar la equivalencia de expresiones. Por el contrario, todos aplican la propiedad distributiva. - Resulta llamativo que gran parte de los alumnos no adviertan que al agrupar términos semejantes, en la actividad (b), se obtienen expresiones equivalentes. - Se confirma el uso generalizado de la propiedad distributiva en casos no válidos. - Sorprendió el uso de ejemplos para justificar las elecciones en cada actividad. Sin embargo, durante el desarrollo de la clase muchos alumnos que proponían ejemplos y contraejemplos se quedaban con la incertidumbre de no poder determinar una solución ―exacta‖ a la expresión dada. Podían asegurar que ninguna de las planteadas era correcta, pero no podían determinar otra expresión que sea equivalente a la original. - Al hacer la puesta en común, se expuso el ejemplo trivial propuesto por uno de ellos que determinaba como válida una equivalencia que no lo era. En ese momento, se originó una discusión que rápidamente dio lugar a un contraejemplo y finalmente, se discutió acerca de la validez del uso de ejemplos para justificar equivalencias válidas e inválidas. - Respecto a la actividad (d), que algunos alumnos no se animaron a responder, se justificaron explicando que el año anterior tuvieron grandes dificultades con las ecuaciones exponenciales. Socas (1997), ubica esta dificultad en la categoría ―asociadas a actitudes afectivas y emocionales hacia las Matemáticas‖. 210 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Conclusiones Resulta evidente que el trabajo con la propiedad distributiva en la educación media, requiere una revisión urgente por parte de los docentes. Según Pochulu (2012), algunas de las causas que determinan errores persistentes en las clases de matemáticas son: uso de algoritmos sin fundamentos teóricos; uso de reglas poco trascendentales como requisitos indispensables para la ejecución de cálculos aritméticos o resolución de ecuaciones; desarrollos muy apegados a lo algebraico; abordaje de contenidos descontextualizados y poco articulados con los restantes; entre otras. La experiencia indica que la mayor parte de las dificultades surgen cuando intervienen operaciones matemáticas como la radicación y potenciación. Los principales errores en su aplicación tienen que ver con la generalización del uso de la propiedad distributiva en contextos en lo que no es válida. Por lo tanto, se propone retomar este concepto en diversos contextos y a lo largo de toda la escolaridad a fin de enriquecer la adquisición de este concepto con diversos enfoques. Por otro lado, se sugiere el uso de construcciones geométricas que fundamenten las equivalencias algebraicas básicas. Y, al mismo tiempo, diseñar actividades que den sentido al uso de estas equivalencias. Finalmente, resulta fundamental tener presente que el uso de contraejemplos como herramienta para explicar la no equivalencia entre expresiones algebraicas puede traer como consecuencia el uso incorrecto de la propiedad si el alumno propone un caso particular. El uso de contraejemplos es muy común en las clases de matemática, no obstante la mayor parte de los docentes no se detienen a analizar las características cognitivas y epistemológicas que hay detrás de este concepto. Referencias Bibliográficas Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques el les problèmes en mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques 4 (2), 165-198. Caronía, S.; Zoppi, A.; Polasek, M.; Rivero, M.y Operuk, R. (2008). Un análisis desde la didáctica de la matemática sobre algunos errores en el álgebra. Premisa 10 (39), 27-35. Pochulu, M. (sf). Análisis y categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que ingresan a la universidad. Recuperado el 7 de mayo de 2012 de http://cimm.ucr.ac.cr/ciaem/articulos/universitario/experiencias/An%C3%A1lisis%20y %20categorizaci%C3%B3n%20de%20errores%20en%20el%20aprendizaje%20de%20 la%20matem%C3%A1tica%20en%20alumnos%20que%20ingresan%20a%20la%20un iversidad.*Pochulu,%20Marcela.%20*Pochulu,%20M.%20An%C3%A1lisis%20y%20 categorizaci%C3%B3n%20de%20errores%20en%20el...200.pdf Ruano, R.; Socas, M. y Palarea, M. (2008). Análisis y clasificación de errores cometidos por alumnos de secundaria en los procesos de sustitución formal, generalización y modelización en álgebra. PNA 2 (2), 61-74. Socas Robayna, M. (1997). Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las Matemáticas en la Educación Secundaria. En L. Rico y otros (Ed.). La educación Matemática en la Enseñanza Secundaria (pp. 125-154). Barcelona: ICE/Horsori. 211 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación APRENDIZAJE COOPERATIVO Y DESARROLLO DE HABILIDADES SOCIALES Beatriz Spagni, Lilian Cadoche Facultad de Humanidades y Ciencias. Facultad de Ciencias Veterinarias Universidad Nacional del Litoral Observatorio Social. Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional Santa Fe. Argentina. [email protected], [email protected] Nivel Universitario Palabras clave: Aprendizaje cooperativo. Habilidades sociales. Estadística. Educación en valores. Resumen Deseamos compartir con nuestros colegas, algunos resultados obtenidos en la tesis de Maestría de la autora de este trabajo titulada ―Desarrollo de Habilidades Sociales en un entorno de Aprendizaje Cooperativo en Estadística en Ingeniería‖. El trabajo de campo que cimenta la investigación fue realizado en la Cátedra de Probabilidad y Estadística ubicada en el segundo nivel de la currícula de las distintas especialidades de Ingeniería de la Universidad Tecnológica Nacional, Facultad Regional Santa Fe. La enseñanza técnica universitaria actual atraviesa ciertas problemáticas en función de las distintas transformaciones que experimenta el mercado laboral y que contribuyen al éxito de los profesionales formados en sus aulas. Entre las exigencias formuladas por las empresas, a la hora de contratar un profesional, podemos destacar: iniciativa en las tareas a realizar, facilidad para comunicarse, excelentes relaciones interpersonales y una fuerte predisposición para el trabajo en equipo. Constituyen éstos, valores humanos que, a pesar de estar mencionados en las currículas de las asignaturas de las carreras universitarias, muy rara vez el docente realiza acciones directas para desarrollarlos. Los valores humanos son las características ―buenas‖ que nos diferencian y permiten ser más solidarios, generosos y comprensivos. La primera y más notoria de todas estas cualidades es el altruismo, entendido como solidaridad. Ser altruista significa dar prioridad al bien del conjunto por sobre el propio y es justamente en esta premisa sobre la que se construye el Aprendizaje cooperativo. Introducción En la Universidad se plantea la necesidad de modificar los métodos de enseñanza y aprendizaje actuales para desarrollar valores, actitudes, habilidades, destrezas y aprendizajes significativos, en los que docentes y alumnos interactúen en forma cooperativa, transformándose el acto educativo, en un intercambio rico en contenidos conceptuales pero también en experiencias de interrelación grupal, de mutua confianza, de intercambio asertivo de ideas, de comunicación efectiva y eficiente. En general estos contenidos están expresados en los diseños curriculares de las asignaturas y en los planes de estudio de las carreras, pero generalmente no son plasmados en las clases. (Serrano y Calvo, 1994). 212 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Nuestra experiencia consistió en aplicar el método de Aprendizaje Cooperativo en el aula de Estadística para intentar mejorar tanto las habilidades sociales como el rendimiento académico de los alumnos. El Aprendizaje Cooperativo es uno de los métodos de enseñanza y aprendizaje que sustentan su teoría en el principio que el alumno no aprende solo; que por el contrario, la actividad del sujeto durante dicho proceso está mediada por la influencia de los demás. Aunque este método no es nuevo en nuestro sistema educativo es ahora, con el advenimiento de nuevas tendencias, cuando se lo está revalorizando, sobretodo en algunas Universidades de América Latina. La cooperación consiste en trabajar juntos para alcanzar objetivos comunes. Es importante que los alumnos comprendan que el éxito del grupo depende del esfuerzo conjunto de todos. La consigna es trabajar juntos para potenciar el resultado individual. Numerosos estudios sobre el tema, muestran que el objetivo grupal de maximizar el aprendizaje de todos los miembros del grupo, motiva a los alumnos a esforzarse más, aunque el trabajo cooperativo es intrínsecamente más complejo que el individual porque se trata de aprender no sólo contenidos conceptuales específicos sino también habilidades necesarias para el trabajo en equipo. Responsabilizarse del propio aprendizaje y el de los demás es una tarea difícil y la comprensión de que si uno de ellos fracasa, entonces fracasan todos, transforma a la propuesta cooperativa en un gran desafío tanto intelectual como social. Una de las premisas de la cooperación es que cada miembro es individualmente responsable de una parte del trabajo y el resultado no puede completarse a menos que todos los miembros trabajen juntos, en otras palabras los integrantes del grupo son interdependientes y esta interdependencia positiva potencia el desarrollo de competencias intelectuales pero también sociales y/o afectivas. Creemos que, más allá de enseñar, en la Universidad debemos ―educar‖, entendiendo por ―educación‖ al conjunto de actividades, formal o informalmente institucionalizadas, dirigidas a formar sujetos según los principios socialmente ―valiosos‖ (Romero, 2001). Metodología Acordamos con Del Rincón (1995) cuando afirma que en Ciencias Sociales la diversidad metodológica posibilita el estudio de la realidad social desde diferentes puntos de vista, ya que ninguna perspectiva metodológica por si sola responde totalmente a todas las preguntas que pueden formularse en el contexto de la sociedad donde en el futuro se insertará el profesional. Pensamos que nuestra investigación toma algunos elementos de tres paradigmas sin llegar a comprometerse exclusivamente con ninguno de ellos. Estos paradigmas son: el positivista, el interpretativo y el sociocrítico. 213 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación El paradigma positivista está presente porque se busca explorar una realidad mediante la observación. El paradigma interpretativo, porque se busca construir un nuevo conocimiento. El paradigma sociocrítico porque se busca el cambio social. En esta investigación educativa los enfoques metodológicos que se aplicaron básicamente fueron: el cuantitativo y el de investigación-acción. Coincidimos con Elliot (2000) en el concepto de la investigación-acción como el estudio de una situación social con miras a mejorar la calidad de la acción dentro de ella, realizando la investigación al mismo tiempo que se interviene. Descripción de la experiencia realizada Se utilizaron planillas de observación de clases, que permitieron el seguimiento del desarrollo de las competencias comunicación, confianza, liderazgo y resolución de conflictos en los alumnos. Estas planillas de observación fueron diseñadas y están altamente validadas por los estudios que sobre el tema viene realizando, se vienen realizando desde hace ya varios años (Cadoche 2005, 2010). Se dividió a los alumnos en grupos de cuatro integrantes cada uno. Los participantes de la experiencia fueron 36 estudiantes, con una edad promedio entre 19 y 20 años, 4 mujeres y 32 varones. Cada grupo era supervisado por un tutor, encargado de organizar el trabajo y de realizar valoraciones sobre las habilidades: comunicación, confianza, liderazgo y resolución de conflictos. Se intentó concientizar a los alumnos en el sentido que era muy importante que ellos lograran adquirir conocimientos técnicos específicos, como también competencias sociales y valores humanos que les permitirían mejorar su potencial tanto para su futuro profesional como para su vida personal y afectiva. El trabajo en equipo favorecería la adquisición de estos conocimientos y valores. Debíamos tratar que los alumnos se apoyaran mutuamente, que tuvieran mayor voluntad, que entendieran que la unión de sus fuerzas podía conseguir mejores resultados tanto en lo cognitivo como en lo personal y/o afectivo. La meta era lograr que del trabajo en grupo pasaran al trabajo en ―equipo‖, entendiendo y aceptando sus roles y obligaciones pero también las ventajas y beneficios que esta interacción cooperativa podía ofrecerles y que rápidamente vieran las ventajas de esta forma de trabajo en su rendimiento académico. Se realizó una evaluación continua que consistió en trabajos prácticos grupales, trabajos prácticos individuales, 4 parciales y una nota especial otorgada en función del desarrollo que habían adquirido los alumnos en sus habilidades sociales. La idea que sostuvimos durante toda la propuesta de intervención fue que los alumnos se sintieran participando en una experiencia en la que tanto su ―ingenio‖ como su ―genio‖ 214 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación pusieran valor a su trabajo. En todo momento debíamos motivar a los alumnos para que enseñaran lo que sabían a los demás integrantes del equipo. Debían entender que la suma del total los llevaría a lograr un aprendizaje más significativo y de mejor calidad del que podrían obtener si trabajasen en forma individual. Somos conscientes que, el hecho de la aplicación de esta experiencia en una sola materia y en un solo cuatrimestre, es una limitante importante para la obtención de resultados realmente significativos. Pero de todas maneras consideramos que nuestros resultados fueron buenos y que vale la pena transmitirlos. Conclusiones La experiencia resultó buena, aunque con limitaciones, que ya fueron señaladas en el ítem anterior. En la tabla siguiente se muestran los valores promedio de los resultados obtenidos por el grupo de alumnos en cada uno de los cuatro parciales aplicados. Parcial Primero Segundo Tercero Cuarto Media aritmética(*) 63,46 62,94 63,92 66,53 Tabla 1: Resultados de las evaluaciones parciales Fuente: Elaboración propia (*)Calculada a partir de las notas obtenidas por todos los alumnos (Máximo 100 puntos) Nota: Es importante destacar que el cuarto Parcial presenta un promedio más alto, a pesar de que los temas evaluados en ese último Parcial, Test de Hipótesis y Regresión y Correlación, son más complejos que los que se evaluaron en los parciales anteriores. A medida que avanzaba el cuatrimestre, se notaba que los alumnos iban adquiriendo mayor confianza en sí mismos y además, por el tipo y calidad de las preguntas que realizaban, tanto durante las clases semanales como en las clases de consulta previas al parcial, se ponía de manifiesto su mayor dedicación y gusto por el estudio, acompañados por una mayor comprensión de los contenidos. Realizamos un estudio de correlaciones bivariadas con las 5 variables de interés en nuestro estudio: comunicación, liderazgo, confianza, resolución de conflictos y calificaciones. Este análisis arrojó como resultado una matriz de cinco filas por cinco columnas, cada una correspondiente a las cinco variables antes mencionadas. En cada celda se registró el valor del coeficiente de correlación de Pearson. Este coeficiente toma valores entre -1 y 1. A medida que el valor del coeficiente se aproxima a 1 significa que la asociación entre ese par de variables es más fuerte. A medida que se acerca a -1 215 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación significa que la asociación es más débil y si tiende a 0, implica que no hay correlación entre esas dos variables. Los coeficientes de correlación más significativos se observaron entre los siguientes pares de variables: Tabla 2: Valores significativos de los coeficientes de correlación de Pearson Confia nza r = 0, 681 Liderazgo Confia nza r = 0, 662 Comunicación Confia nza r = 0, 659 Calificación fina l Lide razgo r = 0, 486 Comunicación r = 0, 480 Resolución de conflictos r = 0, 468 Resolución de conflictos Resolución de conflictos Calificación fina l 216 Es importante destacar que un alumno que logra desarrollar confianza, tanto en sí mismo como hacia los demás, logrará, según nuestro estudio, un mejor rendimiento académico. Finalmente, se realizó un estudio de Escalamiento óptimo. La técnica estadística ―Escalamiento óptimo‖ arroja, entre otros resultados, un diagrama visual de dos dimensiones en el cual se pueden observar las relaciones de las variables en estudio en función de cercanías de agrupamiento, es decir aquellas variables que presentan comportamientos similares, tienden a aglutinarse. De acuerdo a los resultados obtenidos las variables: Comunicación, Liderazgo, Confianza y Resolución de conflictos fueron categorizadas de la siguiente forma: No hubo desarrollo. Hubo un leve desarrollo. Hubo un importante desarrollo. Hubo un franco desarrollo. Se realizaron distintos escalamientos introduciendo y eliminando, según el caso, distintos valores de la variable ―calificación final del alumno‖. A continuación mostramos el resultado obtenido considerando solamente las calificaciones 5, 6 y 9: Gráfico 1 Diagrama visual de dos dimensiones arrojado por la técnica de escalamiento óptimo relacionando las calificaciones de 5, 6 y 9 con las habilidades sociales: comunicación, liderazgo, confianza y resolución de conflictos El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 217 Mostramos la relación entre la calificación y la habilidad confianza. La calificación 5 no se encuentra asociada a un buen desarrollo en confianza. La calificación 6 se encuentra asociada a un leve desarrollo en confianza. La calificación 9 se encuentra asociada a un importante desarrollo en confianza. Con esta técnica hemos validado, en cierta forma, los resultados obtenidos con el estudio de correlaciones bivariadas. Volviendo con una mirada crítica sobre nuestras prácticas pedagógicas y atentos a las transformaciones del campo laboral, deseamos contagiar a nuestros colegas docentes la curiosidad para la aplicación del Método de Aprendizaje Cooperativo como herramienta que favorece tanto el rendimiento académico como el desarrollo de habilidades sociales en nuestros alumnos. Referencias Bibliográficas Cadoche, L. (2005). Socioconstrucción del conocimiento: Una propuesta de aprendizaje cooperativo. REDVET. Revista electrónica de Veterinaria, 6. Recuperado el 10 marzo de 2009 de www.veterinaria.org/revistas/redvet/n101005.html. Cadoche, L y otros (2010). Un entorno de aprendizaje cooperativo. Revista Novedades educativas. Nº 230. Argentina. Del Rincón, D.; Arnal, J.; Latorre, A.; Sans, A. (1995). Técnicas de investigación en ciencias sociales. Madrid: Dykinson. Elliot, J. (2000). La investigación-acción en Educación. Madrid: Morata. Romero, S. (2001). Compendio preparado por el autor para el Seminario N° 3 ―Teorías del Aprendizaje‖, en el marco de la Maestría en Docencia Universitaria de la Universidad Nacional del Litoral. Serrano, J.M. y Calvo, M.T. (1994). Aprendizaje cooperativo. Técnicas y análisis dimensional. España: Caja Murcia Obra Cultural. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación INCIDENCIA DE LOS SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN EN LA CONCEPTUALIZACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Patricia Sureda, María Rita Otero Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología (NIECYT), Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Bs. As. Tandil. Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas(CONICET) [email protected], [email protected] Nivel Medio Palabras clave: Conceptualización. Sistemas de Representación. Enseñanza. Secundaria. Resumen Este trabajo forma parte de una tesis doctoral (Sureda, 2012)en la que se estudia el proceso de conceptualización de cuatro grupos de alumnos del colegio secundario [121 alumnos de 15-16 años],que estudian el campo conceptual de las funciones exponenciales en una dinámica de estudio que prioriza la participación del alumno en la construcción del conocimiento. En particular, se utilizan los constructos teóricos propuestos por la Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud (1990, 2007, 2008, 2010),para describir las respuestas de algunos alumnos cuando seles proponen problemas que se resuelven utilizandofuncionesexponenciales. El análisis de los datosmuestraque la construcción de los invariantes operatorios exponenciales sucede en forma progresiva, a medida que se avanza en el estudio del campo conceptual, y no en todos los sistemas de representación a la vez.Así, aun cuando un alumno resuelva exponencialmente en un sistema de representación,no implica que pueda resolverloexponencialmente enunsistema de representación diferente. Introducción La importancia de la enseñanza de la función exponencial en la escuela secundaria está ligada a su relevancia en la comprensión de situaciones cada vez más cercanas a cualquier ciudadano actual. Por ejemplo, el aumento del dinero puesto a interés compuesto, el crecimiento de la deuda que genera el interés de una tarjeta de crédito; o el avance de las epidemias en una población, etc., requieren de funciones exponenciales más o menos complejas. Perola compresión de estos acontecimientos se obstaculiza si solo se dispone de esquemas mentales lineales, pues en principio se asimilan los modelos no lineales a los lineales(Confrey, 1994; Karrer y Magina, 2000; Villarreal, Esteley y Alagia, 2005; Ramirez, Chavarría, Borbón y Alpizar, 2010). Por esta razón,y con el propósito de analizar el proceso de conceptualización de la función exponencial, se implementó un conjunto de situaciones problemáticas diseñadas para enseñar la función exponencial. Por otra parte, y debido a que el estudio de las funciones no puede reducirse a un único sistema de representación (Douady, 1986; Janvier, 1987; Duval, 1993; García y Llinares, 1994), el diseño de las situaciones y el análisis de la conceptualización, involucra los diferentessistemas de representación. 218 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Preguntas de la Investigación 1. ¿Qué invariantes operatorios dirigen las estrategias de un alumno del colegio secundario, cuando resuelve un problema exponencial, en diferentes sistemas de representación? 2. ¿Cómo se modifican los invariantes operatorios de este alumno, a medida que avanza en el estudio del campo conceptual? Marco Teórico La Teoría de los Campos Conceptuales (TCC) propuesta por Vergnaud (1990, 2007, 2008, 2010) permite estudiar la conceptualización, entendida como piedra angular del desarrollo cognitivo. La conceptualización involucra una relación dialéctica entre las situaciones y los conceptos: las situaciones dan sentido a los conceptos y un mayor desarrollo conceptual del sujeto le permite abordar situaciones más complejas. El análisis de la conceptualización, que es a partir de los esquemas pasa inevitablemente por el análisis de la actividad, de la cual la conducta observable es una parte muy pequeña. Pero como no es posible tener acceso a la parte no observable de la actividad, el análisis de la conceptualización de las funciones exponenciales, debe llevarse a cabo necesariamente a partir del análisis de las conductas observables, en particular, de las resoluciones escritas de los alumnos cuando resuelven un problema. Porque aunque el esquema no es una conducta, tiene la función de generar la actividad y la conducta en situación. Por esta razón, resulta posible estudiar mediante el análisis de las conductas, los esquemas que dirigen las respuestas de los alumnos en situación, y en particular los invariantes operatorios que hacen operatorio el esquema. Por otra parte,esta teoría postula que si se está interesado en la enseñanza de conceptos, no se los debe reducir a su definición, pues es través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver como un concepto adquiere sentido para el sujeto(Vergnaud, 1990: 133). Así, la TCC define al conceptocomo un triplete de tres conjuntos: C (S; IO;SR): La referencia [S]: Es el conjunto de situaciones que le dan sentido al concepto. Para Vergnaud, una situación tiene el carácter de tarea. El significado [IO]: Es el conjunto de invariantes operatorios (conceptos en acto y teoremas en acto) sobre los cuales reposa la operacionalidad de los esquemas. Los conceptos en acto son categorías pertinentes, y los teoremas en acto son proposiciones tenidas como verdaderas. Los conceptos y teoremas se construyen en forma solidaria y pueden ser implícitos o explícitos; más o menos formales; y correctos o incorrectos. Su carácter de IO descansa en que hacen operatorio el esquema. El significante [SR]: Son los sistemas de representación. Es decir, el conjunto de las formas lingüísticas y no lingüísticas que permiten representar simbólicamente el concepto, sus propiedades, las situaciones y los procedimientos de tratamiento. El carácter pragmático de la construcción del concepto función exponencial, no permite reducir el significado,ni a los significantes,ni a las situaciones, pues el significado viene dado por ambos. Por lo tanto, al estudiar el desarrollo de los conceptos relativos a las funciones exponenciales, se consideran estos tres planos a la vez. 219 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Metodología Para estudiar elcampo conceptual de las funciones exponencialesen la escuela secundaria se diseñó un conjunto de 12 situaciones de enseñanza, tres conjuntos de tareas y una evaluación. Luego de una prueba piloto, el conjunto de situaciones fuereadaptado e implementado en cuatro cursos de cuarto año (15-16 años), de la cual se obtuvieron las resoluciones de 121 alumnos clase a clase, lo que hacen un total de 1440 resoluciones.Esta recolección sistemática de los protocolos resulta indispensable, debido a que para el estudio de la conceptualización se necesita acceder a las primeras estrategias formuladas por los estudiantes.Cada intervención se registró mediante un audio general.La implementación demandó dos y meses y medio de clases, en una escuelade la ciudad que atiende a sectores urbanos medios. Allí se llevó a cabo el estudio piloto y cuatro implementaciones. Por razones de espacio, en este trabajo se analizan las estrategias que utiliza un alumno para resolver los problemas exponenciales, y cómo se modifican a medida que avanza en el estudio del campo conceptual. La decisión sobre la elección de un único estudiante responde a dos razones. Por una parte, al propósito del trabajo, que es mostrar en pocas páginas cómo se modificaron las primeras estrategias a medida que se avanzaba en el estudio. Y por otra parte, a que los resultados que se muestran en este trabajo, podrían haberse mostrado mediante cualquiera de los otros protocolos, pues es un rasgo que se advierte en todos los alumnos, y a lo largo de toda la implementación. Análisis de los Datos y Resultados Parciales La implementación del conjunto de situaciones, se realizó luego de que los alumnos habían estudiado las funciones lineales vinculadas al interés simple, habían calculado porcentajes y la tasa de interés en el modelo lineal.Dado que las primeras tres situaciones refieren a un problema vinculado con la capitalización de dinero puesto a interés compuesto; se comenzó la implementación con una conversación, donde se acordó que al poner una cierta cantidad de dinero a interés compuesto, por ejemplo con una tasa de interés del 1%, cada mes se obtenía un 1% más que el mes anterior. Convenido esto, se les propuso la primera situación. En la situación se les daba la tasa de interés de tres bancos y el dinero obtenido luego del primer mes de capitalización. La primera tarea consistía en explicar cómo se había calculado la cantidad de dinero para el primer mes. En la segunda tarea debían calcular la cantidad de dinero para tres meses cualesquiera y representar gráficamente la variación del dinero en un sistema de ejes coordenados dado. Finalmente se les pedía que expresaran qué función habían graficado. Así, se tiene que este primer problema debía ser abordado a partir de cuatro sistemas de representación [SR]: El sistema de representación numérico [SRN] que refiere a los cálculos con números, el algebraico de primer orden [SRA1] que involucra aquellos procedimientos algebraicos en el que los parámetros se corresponden con la situación, el analítico-gráfico [SRG] que refiere a la construcción gráfica en ejes cartesianos, y el verbal escrito [SRVE] que son las formas lingüísticas escritas.A continuación se presentan y describen las resoluciones del alumno A19a tres situaciones. En la primera situación, este alumno calcula el dinero para los primeros tres meses mediante el cálculo recursivo del interés simple, que calculado mes a mes le permite 220 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación obtener en forma adecuada el monto de dinero. Así, se tiene que en el sistema de representación numérico [SRN], las acciones de A19 no son lineales y parecen estar dirigidas por la proposición “En el interés compuesto la ganancia también es el monto inicial”, escrita en el borde superior de la hoja.Esta proposición que el estudiante admite como verdadera y que parecen guiar sus acciones en este sistema de representación [SRN] es lo que Vergnaud (1990) denomina ―teorema en acto‖. Luego en la expresión algebraica que propone 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥. 0,011 se advierte su intento por determinar la expresión algebraica del interés compuesto, pero en la que sólo logra algebrizar el procedimiento de cálculo, pues la variable (𝑥) no tiene dependencia. Esta acción parece estar guiada por el mismo teorema en acto. Luego, una vez que calculó la cantidad de dinero, para los primeros tres meses, en forma no lineal, representa la variación de la cantidad de dinero en el banco mediante tres rectas, como si la variación fuera lineal.Al preguntarle a qué función corresponde la representación gráfica, él responde quees una función lineal. Así, mientras en los sistemas de representación numérico y algebraico de primer orden [SRN y SRA1] las resoluciones de este alumno parecen estar guiadas por teoremas en acto no lineales, la construcción gráfica [SRG] y la respuesta predicativa [SRVE] parece estar guiada por teoremas en acto lineales. 221 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación SRN SRA1 SRG SRVE T.A.N: ―En el interés compuesto la ganancia también es el monto inicial‖ T.A.N: ―En el interés compuesto la ganancia también es el monto inicial‖ T. A.G: ―La representación gráfica del crecimiento del dinero puesto a IC es una recta‖ T. A.G: ―La representación gráfica del crecimiento del dinero puesto a IC es una recta‖ No Lineal No Lineal Lineal Lineal La situación dos es similar a la primera, pero con la diferencia que en ésta se ha añadido una tabla dondese muestra cómo varía la cantidad de dinero en el primer banco, para algunos meses. En el siguiente protocolo se muestran algunos de los espacios de la tabla, completados por A19, donde se advierte que en los sistemas de representación numérico y algebraico de primer orden [SRN y SRA1], los cálculos realizados por este alumno siguen siendo dirigidos por teoremas en acto no lineales. Luego, una vez que el grupo de clase acuerdaque 𝑀𝑓 (𝑡) = 𝑀𝑖 . 1 + 𝑖 𝑡 es la expresión algebraica que permite calcular el dinero puesto a interés compuesto, y que por lo tanto la cantidad de dinero no aumenta lo mismo cada mes, los alumnos se dedican a construir la representación gráfica,que cómo se muestra a continuación, en el caso de A19son tres rectas. Así, se tiene que las estrategias de A19 son dirigidas por teoremas en acto no 222 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación lineales cuando calcula o formula una expresión algebraica [SRN y SRA1] perocuando dibuja la variación del dinero en ejes cartesianos (sistema de representación gráfico [SRG]), son lineales. Y esto aún después de acordar que el dinero no variaba linealmente. SRN T.A.N: ―El dinero puesto a IC no aumenta lo mismo cada mes‖ No Lineal SRA1 SRG T.A.N:―El dinero puesto a IC no aumenta lo mismo cada mes‖ T. A.G: ―La representación gráfica del crecimiento del dinero puesto a IC es una recta‖ Exponencial Lineal Luego de acordar la expresión del interés compuesto, y de estudiar la función exponencial de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑘. 𝑎 𝑥 mediante diversos problemas, en la situación siete se planteaun problema también vinculado al interés compuesto, mediante el cual se pretendíageneralizar la función exponencial de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑘. 𝑎 𝑥 + 𝑏. La situación presenta un problema en la cual además del dinero que se pondrá a interés,se agrega una cierta cantidad dinero que no será puesto a interés. Como se muestra en la resolución deA19, los alumnos proponen la expresión algebraica 𝑓 𝑡 = 5000 . (1 + 0,013)𝑡 + 2000y calculan el dinero para cada mes sin dificultades. Pues la resolución, en estos dos sistemas de representación [SRN y SRA1]es única, sistemática y organizada, es decir, no se advierte más de una estrategia, ni formulaciones inconclusas. En términos de la TCC la acción del estudiante en cada uno de estos SR ha sido organizada por un esquema disponible, en particular por teoremas y conceptos en acto previamente construidos (Vergnaud, 1990). 223 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 224 Sin embargo, la representación gráfica de la variación del dinero parece en parte guiada por teoremas en acto exponenciales, y en parte no lineales.Pues aun cuando no dibuja rectas, sigue priorizando la construcción de la gráfica mediante la unión de puntos, aun cuando estos no le permitan una grafica estrictamente creciente, como es el caso de esta función exponencial. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Así, es posible advertir un progreso en la conceptualización de este alumno que transita desde lo lineal a lo no lineal, y desde allí a lo exponencial en cada sistema de representación. Discusión Mediante los protocolos arriba presentados se intenta mostrarque la construcción de los invariantes operatorios exponenciales sucede en forma progresiva, a medida que se avanza en el estudio del campo conceptual, y no en todos los sistemas de representación a la vez. Por ejemplo, en la primera situación, luego de convenir que el dinero puesto a interés compuesto no aumenta lo mismo cadavez, A19calcula la cantidad de dinero en forma no lineal, pero dibuja rectas en el sistema de representación gráfico [SRG]. En la segunda situación A19 dibuja otra vez rectas para representar cómo varía el dinero en el banco, aun luego de acordar con el grupo de clase la expresión algebraica exponencial, y de convenir que el dinero no aumentaba en forma lineal.Esto muestra que cuando el conocimiento de un campo conceptual es incipiente, el alumno no logra utilizar las conclusiones obtenidas en un sistema de representación, en otro.Así, se advierte que la conceptualización de la FE, es también progresiva en cada sistema de representación, lo cual requiere tanto de un tiempo de construcción, como de tareas que la propicien. Esto es coherente con la TCC, que define al conceptocomo un triplete de tres conjuntos: C (S; IO;SR), en la que los sistemas de representación [SR] tienen un papel central, aunque no excluyente. Finalmente, hacia el final de la implementación el alumno logra resolver en forma más o menos exponencial en los diferentes sistemas de representación. Desde la descripción de las respuestas, es posible advertir que la conceptualización de la función exponencial en general, y en cada sistema de representación, en particular, es una tarea enormemente compleja, y de largo aliento que va más allá de los dos meses y medios que demandó la implementación.En consecuencia, el análisis de la conceptualización de las funciones exponenciales, requerirá en el futuro, de un más profundo estudio del desarrollo de la conceptualización en cada sistema de representación. Reflexiones Finales Un aspecto relevante de este trabajo ha sido mostrar la complejidad del proceso de conceptualización de la función exponencial y su relación con los SR, sobre todo en un contexto escolar. Habitualmente, los SR aparecen como transparentes para el grueso de los docentes, e incluso para los matemáticos, que son sus creadores. Es habitual que un concepto matemático se introduzca en la escuela secundaria siempre por la definición, a la cual se agrega, ―que notaremos como...‖. Esto lleva a que operen trágicas reducciones de lo matemático a lo notacional, y que muchos estudiantes sean ―castigados‖ y frustrados en función de esto, pues enunciar la notación parece ser todo lo que se está dispuesto o es necesario a hacer para construir un concepto. La contracara, es reconocer que los SR son parte de los conceptos y que es necesario construirlos en la medida en que devienen necesarios y funcionales, dentro de una cierta situación. 225 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Referencias Bibliográficas Confrey, J. y Smith, E. (1994). Exponential functions, rates of change, and the multiplicative unit. EducationalStudies in Mathematics 26 (2-3), p. 31-60. Douady, R. (1986). Juego de Campos y Dialéctica Herramienta–Objeto. Recherches en Didactique des Mathemathiques 7, 5-31. Duval, R. (1993). Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 5, Estrasburgo. García, M. y Llinares, S. (1994). Algunos referentes para analizartareas matemáticas. Suma18, 13-23. Janvier, C. (1987). Translation processes in mathematics education,en Janvier, C. (Eds.). Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. 27-32. Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum A.P. Ramirez, G., Chavarría, J., Borbón, A. yAlpizar, G. (2010). Análisis de las conceptualizaciones erróneas en conceptos de ecuaciones exponenciales y logarítmicas: un estudio con estudiantes universitarios de primer ingreso. Actas del sexto CIEMAC. 1-8. Sureda, P. (2012). Enseñanza de las Funciones Exponenciales en la escuela secundaria. Aspectos Didácticos y Cognitivos. Tesis Doctoral.Facultad de CienciasExactas. U.N.C.P.B.A. Tandil. Buenos Aires. Argentina Vergnaud, G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, 10 (23). 133-170. Vergnaud, G. (2007). Forma operatoria y forma predicativa del conocimiento. En Otero M. R.; Elichirebehety I.; Fanaro, M.; Corica, A. & Sureda, P. (Eds.) Primer Encuentro Nacional sobre Enseñanza de la Matemática. Tandil. Buenos Aires, Argentina. ISBN 978-950-658-183-1. I-XVII. Vergnaud, G. (2008). Comunicación personal con María Rita Otero. Functions, concepts and schemes. Vergnaud, G. (2010). Comunicación personal con María Rita Otero. Université Paris 8. Villarreal, M. E., Esteley, C. B., &Alagia, H. R. (2005). As produções matemáticas de estudantes universitários ao estender modelos lineares a contextos não-lineares. BOLEMA - Boletim de Educação Matemática, 18 (23), 23-40. 226 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación HEURÍSTICAS EN LA EDUCACIÓN DIALÓGICA DE PRIMER AÑO DE UNA ESCUELA SECUNDARIA DE LA BOCA Lorena Verónica Belfiori Instituto William C Morris. Argentina [email protected] Nivel Medio Palabras clave: Educación dialógica. Heurísticas. Interpretación. Resumen Al enseñar matemática al igual que cualquier otra materia, debemos tomar una posición epistemológica y ser coherente con ella tanto en la forma de enseñar como en la manera de guiar a nuestros alumnos para que estudien. Al resolver los ejercicios se suele mostrar una única forma sin tener en cuenta todos los posibles caminos que podríamos haber implementado para llegar a la respuesta y sobre todo, nunca se suele indicar los intentos fallidos que tuvieron los matemáticos cuando se enfrentaron a un problema ni los procedimientos erróneos que aplicaron para demostrar un teorema ni el tiempo que les llevó hacerlo. Así se da la impresión de que en matemática todo es perfecto y de resolución única e inmediata sin detenernos en la importancia de las heurísticas que pueden utilizar nuestros estudiantes. Proponemos realizar una educación dialógica en la cual los educandos empleen distintas estrategias para solucionar situaciones problemáticas de la matemática, fomentar en ellos su práctica y enseñarles la importancia de las mismas. Buscando ofrecerles a nuestros aprendices herramientas para ser ciudadanos libres, críticos y pensantes usamos el estudio de heurísticas para realizar el siguiente trabajo en el cual analizamos la producción durante tres años consecutivos de los alumnos en cursos de primer año de escuela secundaria en una institución en La Boca. Introducción Cuando enseñamos algún tema de matemática, ya sea por costumbre, ya sea por seguir la metodología de algún libro de texto o por reproducir la ideología de una corriente pedagógica, solemos introducir los contenidos a desarrollar a través de una situación problemática bien armada con la que se obtienen como resultados números exactos, llegando así a una respuesta sin mucha discusión. Mostramos una forma de resolver los ejercicios sin tener en cuenta todos los posibles caminos que podríamos haber implementado para llegar a la respuesta y sobre todo, nunca indicamos los intentos fallidos que tuvieron los matemáticos cuando se enfrentaron a un problema ni los caminos erróneos que aplicaron para demostrar un teorema ni el tiempo que les llevó hacerlo. Solemos dar la impresión de que en matemática todo es perfecto y de resolución única e inmediata sin detenernos en la importancia de las heurísticas que pueden utilizar nuestros estudiantes. Transmitimos de esta manera la idea equivocada de una matemática cerrada, rígida y sólo apta para algunos genios iluminados. Pero el hacer matemática va más allá de meros 227 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación resultados numéricos o geométricos, tiene relación con todo el proceso existente entre la lectura de un problema y la obtención de la respuesta, tiene que ver con todo lo que está en el medio, con todo lo que forma parte de la solución, siendo de gran importancia ese camino a veces sinuoso y no tan directo como aparenta ser en los libros de texto o en las clases expositivas. Si continuamos con esta visión, se nos tornará muy dificultosa la tarea de transmitirles a nuestros educandos el gusto por la matemática. La educación bancaria, aquella que sólo permite a los alumnos ser receptores y repetidores de lo que dice el profesor en vez de ser partícipes de la construcción de sus propios conocimientos, lo único que genera es más pavor por esta ciencia, la cual ya, de por sí, tiene la fama de ser difícil de aprender. Además, es poco frecuente en la escuela secundaria presentar ejemplos ilustrativos de aplicaciones reales, en cambio, son muy habituales los modelos que muestran seudoaplicaciones. Es decir, la matemática se presenta divorciada del contexto y pierde representatividad en los alumnos. Cuando descontextualizamos los problemas y planteamos resolver ejercicios puramente matemáticos, nos encontramos con muchos estudiantes que pierden el interés por la materia o utilizan la repetición de mecanismos para resolverlos sin tener la más mínima idea del porqué hacerlo de esa forma y no de otra. Como docentes debemos estar atentos a esa pérdida de reflexión y comprensión para evitar que los escolares se conviertan en autómatas en vez de personas libres, críticas y reflexivas. Siguiendo las ideas de Paulo Freire quien pregonaba una educación dialógica con el fin de transformar a nuestros educandos en ciudadanos con capacidad de elección y criticismo, proponemos implementar en las clases de matemáticas ejercicios que vayan más allá de los resultados puramente numéricos, fomentando en los chicos de esta manera el análisis de los resultados obtenidos y de los caminos recorridos para hallarlos incluyendo los procedimientos que no los condujeron a la respuesta correcta o simplemente a una respuesta. Buscando ofrecerles a nuestros alumnos herramientas para ser ciudadanos libres, críticos y pensantes usamos el estudio de heurísticas para realizar el siguiente trabajo en el cual analizamos la producción durante tres años consecutivos de los colegiales en cursos de primer año de escuela secundaria en una institución en La Boca. Una vez por semana las clases de matemática cuentan con la presencia extra de otra profesora de la materia. Durante las mismas se trabaja bajo la modalidad de aula taller, los alumnos separados en grupos de cuatro personas se enfrentan a situaciones problemáticas que deben resolver explicitando absolutamente todo lo que se les ocurre para hacerlo y todos los intentos realizados sin importar que estos conduzcan o no a la respuesta. Educación dialógica La educación dialógica propone ser un buen profesor en el sentido de formar a nuestros educandos como ciudadanos socialmente movilizados y políticamente activos para lo cual es necesario reformular la teoría del conocimiento sobre la que se sostienen la pedagogía y 228 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación la didáctica escolares. Por eso, la toma de posición epistemológica se centra en la comprensión del proceso de enseñanza-aprendizaje como un acto de conocimiento, y el conocimiento no se transmite sino que se construye. Y son los alumnos, precisamente, quienes deben construirlo. De ahí que los docentes debamos aprender a poner en práctica en forma coherente, lo que no es fácil, pero sí posible, el carácter gnoseológico de la educación. En este sentido, las relaciones de enseñanza-aprendizaje con nuestros aprendices deberán cambiar sustancialmente. Es necesario entender a la educación como un acto de conocimiento porque la única forma de pensar en el diálogo, es decir, en la existencia de sujetos libres y autónomos, es a partir de individuos que realmente conocen, y no que reciben en forma pasiva paquetes prefabricados de información. Por ello se educa en pos de formar sujetos competentes para darle forma propia a la información y no ser formados por ella. Además, porque sólo sobre la base de individuos intelectualmente autónomos, es decir, críticos, es posible pensar en ciudadanos movilizados y realmente participativos en el plano socio-político. La educación dialógica se concibe como una pedagogía superadora de las relaciones educativas bancarias, ya que es necesario que los alumnos se asuman como sujetos, aprendiendo a rechazar la posición inculcada por la educación tradicional de meros recipientes pasivos de datos y conocimientos preelaborados. A través del uso de heurísticas propias los estudiantes deben ser reflexivos y construir su propio conocimiento dándole forma a su aprendizaje. Lens (2001) nos recuerda que toda información debe ir precedida de cierta problematización porque sin ella deja de ser un momento fundamental del acto de conocimiento y se convierte en la sola transferencia de los contenidos desde los profesores hacia los alumnos. Contrariamente a esto, en la educación tradicional del sistema primero se explica y, luego, con suerte, si el grupo de alumnos tiene cierto interés y deseos de aprender, suelen aparecer algunas problematizaciones pero si eso no ocurre, como en la mayoría de las aulas, las problematizaciones brillarán por su ausencia. Heurística en matemática En matemática, la heurística existe desde la Grecia antigua. Muchos de sus métodos son usados desde matemáticos griegos como Pitágoras. Sin embargo, la formalización y el alto grado de rigor en esta ciencia le han restado importancia al estudio del descubrimiento, considerándolo más bien de interés para la psicología. Aunque existe el campo de la teoría de la demostración, éste nada tiene que ver con encontrar patrones de demostración o reglas para probar teoremas. Podemos definirla como la capacidad de un sistema para realizar de forma inmediata innovaciones positivas para sus fines. La capacidad heurística es un rasgo característico de los humanos, desde cuyo punto de vista puede describirse como el arte y la ciencia del descubrimiento y de la invención o de resolver problemas mediante la creatividad y el pensamiento lateral o divergente. 229 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Una excepción en su estudio es el trabajo pionero de George Polya (1887-1985), matemático de origen húngaro, quien dedicó gran parte de su labor (además de sus investigaciones originales en la teoría de funciones y probabilidad) a desarrollar una teoría heurística para la resolución de problemas en matemática y a dar descripciones detalladas de varios de sus métodos. Históricamente, la noción de heurística se le atribuye a Pappus (300 d.c.), quien propone la rama de estudio denominada "analyomenos", que bien puede traducirse como "el tesoro del análisis" o "el arte de resolver problemas". Dos son las estrategias principales que se planteaban para resolver problemas en geometría: la primera consiste en asumir que la solución está dada y se trabaja "desde atrás" hasta encontrarse con algo ya conocido o que se sabe verdadero. La otra es "hacia adelante": se empieza considerando el conocimiento matemático (axiomas y teoremas ya probados) y se trabaja hacia el resultado. A estos dos métodos se les denomina análisis y síntesis respectivamente. 230 Pero esos métodos no son los únicos. Marino y Rodríguez (2009) exponen la siguiente organización de heurísticas: Descriptores generales Heurísticas Trabajar hacia adelante Planificar Activar experiencia previa Trabajar empezando por el final Recurrir a teoría relacionada Razonar por analogía Realizar un dibujo Seleccionar una representación adecuada para el Reinterpretar el problema problema en un lenguaje diferente Descripción Abordar el problema partiendo de las condiciones y los datos dados. Suponer que se tiene una solución y analizar sus características. Recordar y utilizar teoría relacionada con el problema que puede ser útil para su resolución. Recordar problemas resueltos anteriormente, cuya resolución resulte útil para abordar la resolución del nuevo problema. Realizar una descripción gráfica del problema mediante una figura, un diagrama o un gráfico. Traducir el problema en un lenguaje diferente al dado que facilite el abordaje: del simbólico al coloquial o al numérico, etc. Reducir a problemas ya Realizar alguna variación en el problema que permite resueltos transformarlo en otro ya conocido. Modificar el problema Reducir a un problema más sencillo Realizar una simplificación para obtener un problema semejante pero más sencillo, cuyo abordaje ayude a resolver el problema original. El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Dividir el problema en subproblemas Examinar casos particulares Descomponer en subproblemas, analizarlos independientemente y luego, recombinar las soluciones parciales para formular una solución general. Introducir un elemento auxiliar Presentar algún elemento que no fue dado en el enunciado del problema (como cambio de variables, construcción auxiliar, etc.) Analizar casos sistemáticamente (Inducción) Analizar casos límites o especiales Asignarle valores a los parámetros del problema, para extraer pautas y realizar una generalización que permita avanzar en la resolución. 231 Considerar valores extremos para explorar la gama de posibilidades. Analizar ejemplos Considerar valores cualesquiera que sirvan para ejemplificar y explorar el problema. Verificar utilizando distintos registros de representación Verificar la respuesta usando un registro de representación distinto de aquel en el que se produjo dicha respuesta. Examinar la solución obtenida Verificar usando casos particulares Verificar la respuesta en casos particulares. Resistencia al reconocimiento del valor de las heurísticas Cuando estamos frente a nuestros alumnos y les pedimos que liberen su imaginación y comiencen a resolver las situaciones que les planteamos escribiendo absolutamente todos los caminos que siguieron, incluso los que no los llevaron a la respuesta, ellos se niegan. Suelen entregarnos una hoja en blanco o con la resolución que consideran correcta sin explicitar todo lo que pasó entre que se les dio el problema y llegaron a esa solución. Ocurre esto debido a la gran presión generada por la calificación, presión existente en el inconsciente reforzado por la idea de que la respuesta debe ser únicamente la correcta. Esto se acentúa aún más cuando los educandos utilizan libros de matemáticas especializados en los que se presentan las demostraciones o resultados sin nunca explicarse porqué o cómo el matemático escogió y usó un método y no otro para obtener la solución. Esto no se considera parte de la prueba sino más bien de la sagacidad del matemático quien guarda para sí la ruta que lo llevó a su solución. Además, en las demostraciones no hay rastros de los intentos fallidos para obtener la prueba. Cualquiera que haya resuelto un problema sabe que al hacerlo es muy común intentar varios caminos antes de encontrar el exitoso. Los chicos entienden la matemática como un rompecabezas: ―No hay reglas acerca de cómo deben ser resueltos los rompecabezas. La única regla concierne el producto final: todas las piezas deben estar en su lugar y el dibujo debe aparecer correctamente‖ (Velleman, 1994, p. 82). De esta forma se hace una clara distinción entre ―la explicación de los procesos del pensamiento para construir una prueba y la justificación de la conclusión‖ El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación (Velleman, 1994, p. 88). Mientras que lo primero se considera de interés y competencia solo para la psicología, lo segundo es la actividad principal en el quehacer matemático. Concordamos con Polya en que las matemáticas tienen varios aspectos. Pero …desgraciadamente, para muchos estudiantes son un conjunto de reglas rígidas que hay que aprenderse antes del examen final y que pueden olvidarse después ... Para un matemático involucrado en la investigación, el quehacer en matemáticas es muchas veces como un juego de adivinanza: hay que adivinar el teorema matemático antes de probarlo, hay que adivinar la idea de la demostración antes de escribir en detalle la prueba rigurosa ... La primera adivinanza puede estar lejos de la verdad, pero después de varios intentos y modificaciones, seguidos por la observación y analogía, se llega a una conjetura más atinada … El resultado del pensamiento creativo de un matemático es el razonamiento demostrativo, una prueba rigurosa, pero la prueba se descubre por medio del razonamiento plausible, adivinando. (Polya, 1968, p.158) Importancia de valorar las heurísticas Se vive en un mundo que no es sino que está siendo, como indicaba Freire (1985); en una realidad en constante construcción en la cual el educador aprende al enseñar y el educando enseña al aprender. En este mundo dinámico, nuestros estudiantes son protagonistas y las heurísticas que aplican en la resolución de problemas son parte de su actuar. Además, podemos pensar en el aprendizaje como una búsqueda interminable de objetos esquivos que se evaporan o pierden su brillo cuando se alcanzan. (Bauman, 2009) Consideramos que, en esa búsqueda inacabada, donde deben subsistir educadores y educandos, una posibilidad para el docente es utilizar las habilidades propias de cada joven para permitirles asumir un rol comprometido con la sociedad y el mundo en el que les ha tocado vivir, fomentar la creatividad para tener acceso a una diversidad de proyectos propios en pos de la construcción de un mundo mejor para todos, incentivarlos al trabajo colaborativo en relaciones simétricas con sus pares, evitando rivalidades y predominios de ciertas ideas impuestas por sobre otras, valorar el trabajo que realizan en tanto y cuanto transformadores de espacios y, transformar las clases de matemática en verdaderos ámbitos de discusión, exploración y construcción de conocimiento dando especial cabida al análisis de resultados y por sobre todo, a la reflexión crítica que los mismos ameritan. Trabajo realizado Para realizar el siguiente trabajo analizamos la producción durante tres años consecutivos de los alumnos en cursos de primer año de escuela secundaria en una institución en La Boca. Una vez por semana las clases de matemática cuentan con la presencia extra de otra profesora de la materia. Durante las mismas se trabaja bajo la modalidad de aula taller, los estudiantes separados en grupos de cuatro personas se enfrentan a situaciones problemáticas que deben resolver explicitando absolutamente todo lo que se les ocurre para hacerlo y todos los intentos realizados sin importar que estos conduzcan o no a la respuesta. 232 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Basándonos en la búsqueda de darle a nuestros educandos herramientas para ser ciudadanos libres, críticos, reflexivos y pensantes comenzamos las clases del aula taller con situaciones simples en las cuales la respuesta al problema no es exactamente la respuesta obtenida de realizar un cálculo matemático sino que exige la interpretación de la misma. Por ejemplo, se les pide que resuelvan en forma individual la siguiente situación: ―Todos los años antes de finalizar el ciclo lectivo, todos los alumnos y profesores de la institución festejamos un día de campo. Para ello debemos contratar micros que tienen una capacidad para 40 personas sin incluir el asiento del chofer. Por cada micro deben viajar dos profesores. Sabiendo que a la escuela concurren 500 estudiantes, ¿cuántos profesores van al día de campo? ¿Cuántos micros deben contratarse?‖ En este tipo de situaciones, los escolares suelen no tener dificultades para encarar el problema: todos saben que deben realizar una división. Prontamente se ponen a dividir y dar como respuesta el cociente de esa división. Pero, ¿es correcto haber dividido por 40?, los que lo hicieron por 38, ¿cómo interpretan el resto? Esas cuestiones, que tal vez parezcan muy simples, son las que deben aprender a leer. Con una puesta en común rápidamente se comprende la necesidad de pensar e interpretar en vez de actuar mecánicamente, y como dicen ellos ―comienzan a calentar motores‖ para luego intentar resolver verdaderos problemas aplicando distintas heurísticas. Muchas situaciones del mundo real presentan problemas que requieren decisiones y soluciones; resolver un problema requiere una formulación matemática detallada. Etimológicamente esta palabra proviene del griego ―‖ , su significado es: lanzar, arrojar; así, un problema es algo con lo que un individuo inteligente con suficiente interés se enfrenta. Un ser humano está ante uno cuando desea obtener algo y no conoce en forma inmediata qué acción o serie de acciones debe llevar a cabo para conseguirlo. El objetivo puede ser abstracto (probar una propiedad, demostrar un teorema) o bien, concreto (lograr una meta en cualquier deporte, ganar en un juego, adquirir un bien, etc.); de tal forma, el objetivo puede ser un objeto físico como un conjunto de símbolos; en tanto que las acciones en procura de la obtención de tales metas u objetivos incluyen acciones físicas, actividades ligadas a la percepción y también otras estrictamente mentales, tales como: evocaciones, comparaciones, juicios, etc. Los distintos problemas planteados a nuestros alumnos los motivan a utilizar diversas heurísticas. Ejemplificaremos sólo algunos. Entre las situaciones problemáticas que les proponemos a nuestros educandos están aquellas que les permiten emplear como primera heurística la selección adecuada de una forma de representación del problema que les permite realizar una descripción gráfica del mismo mediante una figura, un diagrama o un gráfico. Por ejemplo el siguiente enunciado, de origen árabe, que data del siglo XI. ―A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, una frente a la otra. Sus alturas son de 20 y 30 pies, y la distancia entre sus troncos (que suponemos verticales) es de 50 pies. En la 233 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación copa de cada palmera hay un pájaro. Ambos descubren simultáneamente un pez en la superficie del río justo entre las palmeras. Los pájaros se lanzan a la vez y volando directamente hacia el pez, lo alcanzan al mismo tiempo. Si los pájaros vuelan a la misma velocidad ¿A qué distancia de la palmera más alta apareció el pez?‖ La mayoría de los chicos pasan del lenguaje coloquial al gráfico, hacen diagramas e intentan resolver analizando ejemplos. Un problema que no resulta muy fácil de resolver para los chicos es el siguiente: ―En un campeonato internacional de ajedrez, cada maestro debió jugar exactamente una vez con cada uno de sus adversarios. Si en total se jugaron 45 partidas y la cantidad de maestros es un número par, ¿Cuál fue el número de maestros que participó del campeonato?‖ En este caso, la mayoría de los educandos comenzaron a resolver el problema por tanteo. Algunos pocos armaron diagramas de árbol y los menos trataron de pasar el enunciado a una ecuación. Sólo un escolar planteó un razonamiento por analogía comparando este problema con un campeonato de fútbol (en realidad planteó un isomorfismo sin saberlo). Conclusiones Lo que se buscó fue que los educandos realicen un aprendizaje significativo de los temas utilizando la resolución de problemas y la aplicación de heurísticas para llevarlo a cabo. Se plantea una educación dialógica porque es a través de ella que los alumnos comienzan a pensar por sí mismos alejándose de los vicios del bancarismo. Cabe destacar que cambiar esta manera de dar las clases y de interpretar la educación no es nada fácil, pues tanto padres, docentes como alumnos están muy acostumbrados a la educación tradicional y, a veces hasta exigen que se vuelva a ella. En cuanto al uso de heurísticas, los estudiantes son reacios a mostrar su manera de interpretar los problemas y a dejar constancia de todos los caminos recorridos para resolverlos. Suelen borrar los intentos fallidos porque aún temen obtener una calificación baja si muestran los procedimientos erróneos. Es un arduo trabajo hacerles entender, y que nos crean, que las respuestas correctas no son siempre las primeras que se nos ocurren y que tampoco tienen porqué serlas. La presión por la nota, considerada desde el punto de vista bancario, está tan internalizada que cuesta que los educandos actúen en forma libre, reflexiva y crítica aplicando sus propias heurísticas. Cuando se enfrentan a la obligación de resolver un problema, la mayoría de los chicos pasan del lenguaje coloquial al gráfico o a una ecuación, hacen diagramas e intentan resolver analizando ejemplos. Muy pocos dividen el problema en subproblemas. Casi ninguno realiza verificaciones una vez alcanzada alguna respuesta y es mínima la cantidad de alumnos que trabajan empezando por el final. De todas maneras, de la presente experiencia podemos concluir que con trabajo continuo en la línea de la educación dialógica y la utilización de heurísticas, los estudiantes se acostumbran a no tener miedo a pensar por sí mismos, a ser críticos de sus procedimientos 234 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación y a compartirlos con sus compañeros formándose lentamente como ciudadanos libres y reflexivos. Referencias Bibliográficas Bauman, Z. (2009) El arte de la vida. De la vida como obra de arte. Barcelona: Editorial Paidós Cassibba, R; Poliszuk, J. (2006) Educación matemática y exclusión social. En Boletín Las matemáticas en la enseñanza media. N° 37 año 4. Disponible en www.matematicaparatodos.com Freire, P (1985) Reflexión crítica sobre las virtudes del educador. Buenos Aires: Editorial Búsqueda. Lens, J. (2001) Paulo Freire: su praxis pedagógica como sistema. Instituto Paulo Freire (IPF) de San Pablo. UNCPBA. Buenos Aires: Editorial Yagüe. Marino y Rodríguez. (2009). Un estudio exploratorio sobre heurísticas en estudiantes de un curso de matemática de nivel pre-universitario. Paradigma, XXX, 2, 165-187. Polya, G (1968) Mathematics and Plausible Reasoning. Volume II Patterns of Plausible Inference. Princeton University Press. Velleman, D. (1994). How to Prove it. A Structured Approach. Cambridge University Press. 235 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación COMPETENCIAS DOCENTES: REPENSAR NUESTRAS PRÁCTICAS EDUCATIVAS PARA EL CONTEXTO ACTUAL Lilian Cadoche, Sonia Pastorelli, Darío Manzoli, Mª. Candelaria Prendes, Hilda Henzenn, Matías Greco Fac. de Ciencias Veterinarias. Universidad Nacional del Litoral. Fac. Reg. Santa Fe. Universidad Tecnológica Nacional. Argentina [email protected] Nivel Universitario Palabras clave: Formación por competencias. Docentes. Integración. Conocimientos. Resumen Analizar la formación docente y las prácticas que producen resultados satisfactorios es un debate siempre vigente, tensionado por las exigencias de un sistema que requiere de actualización, experticia, tolerancia y resignación casi en el mismo nivel. Los docentes vemos agotadas nuestras fuerzas e insatisfechas, muchas veces, nuestras aspiraciones. Los más dinámicos hacen esfuerzos por adecuar programas, contenidos, actividades, metodologías, que, finalmente, redundan en un rendimiento exitoso de no más del 33% de nuestros alumnos. Para impulsar una reflexión y una relectura de la actividad pedagógica hoy se habla de la ―formación por competencias”. Este modelo apunta a pensar en una formación integral, que propicie tanto el ―saber‖, como el ―querer‖, ―poder‖ y ―hacer‖. Coronado (2009, p.19), al hablar de competencias docentes habla de “un conjunto integrado y dinámico de saberes, habilidades, capacidades, actitudes y valores puestos en juego en la toma de decisiones, en el desempeño concreto del profesor en el aula”. El concepto de competencias docentes remite a la articulación integrada de conocimientos que propone, no un escenario más complejo para una actividad sobre exigida sino, por el contrario, una resignificación del acto de enseñar poniendo en valor actividades y esfuerzos, haciendo énfasis en los objetivos praxeológicos de la formación invisibilizados o poco articulados con los epistémicos. En este ensayo reflexionamos respecto de las competencias necesarias en la formación del docente de Matemática y proponemos buscar mecanismos de adecuación de nuestros deseos de satisfacción personales con los de nuestra tarea cotidiana y los deseos de satisfacción de los alumnos a quienes va dirigido nuestro esfuerzo. Introducción El debate sobre la formación docente y las condiciones que permiten procesos de enseñanza y aprendizaje satisfactorios, es rico, dinámico y siempre vigente. A veces motivado por inquietudes reales, a veces por modas importadas, a veces de prácticas exitosas que anhelamos repetir… Ahora bien, hoy se habla de ―Formación por competencias‖, lo que desemboca en ¿qué competencias? ¿Cómo formo en competencias?, e inexorablemente : ¿qué competencias necesito tener como docente?. 236 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Y aunque los cambios, modas o ―nuevos enfoques‖ puedan generarnos algunas molestias o confusiones, esta acción de repensar el acto educativo, “pone un nuevo énfasis sobre los objetivos praxeológicos de la formación (esto es, relacionados con la acción en busca de la satisfacción, y según prioridades), invisibilizados, o poco articulados con los epistémicos‖ (Coronado, 2009, p.12) El enfoque de la ―Formación por competencias‖ construye un espacio estimulante para abordar cuestiones de la formación docente continua y en servicio, entendiendo ésta como un proceso de interacción abierto, cooperativo, dialógico y flexible destinado al desarrollo de la profesionalidad docente en y desde su contexto cotidiano, buscando mecanismos de satisfacción personal con la tarea cotidiana y de satisfacción de los alumnos a quienes va dirigido nuestro esfuerzo. Esta tarea puede dejarnos agobiados y rendidos o, por otro lado, estimularnos a buscar nuevos recursos, métodos o estrategias que permitan encontrar sentido y valor a nuestro esfuerzo. Se trata de asumir el rol de docente, como profesión, como trabajo, como origen de nuestros recursos económicos, pero también como fuente de satisfacción personal y estímulo para el crecimiento como seres humanos. ¿A que llamaremos competencia? En este contexto, entenderemos por competencia al ―conjunto integrado y dinámico de saberes, habilidades, destrezas, actitudes y valores puestos en juego en la toma de decisiones, en el desempeño concreto del sujeto, en un determinado espacio (profesional, laboral, etc.” (Coronado, 2009,p.19). Implica tanto un saber, como la habilidad, motivación y destreza para actuar en función de dicho conocimiento de una manera ajustada, reflexiva y creativa a la situación y el contexto. Y en este concepto se destaca ante todo la integración y articulación de saberes en contextos cambiantes. Se pueden poseer distintas capacidades, habilidades o dominios cognoscitivos pero estos recursos no son competencias si no están integrados. La competencia no es una disposición previa a la acción (talento natural), sino que se adquiere, se desarrolla y consolida en ella. Ya generada, se constituye en recurso para futuras acciones y se suma al capital profesional del sujeto, ampliando sus posibilidades de acción. “En la competencia es indisociable el saber, de su puesta en marcha, por lo cual, los incidentes, los problemas o las situaciones de la práctica son oportunidades necesarias para el mantenimiento, enriquecimiento, complejización y desarrollo de las competencias” (Le Boterf, 1995,p.56). 237 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Competencias Docentes Cuando hablamos específicamente de Competencias Docentes no hablamos de competencias académicas, ni de aquellas asociadas a quienes poseen títulos docentes específicos, sino del que ejerce la docencia, esto es, su trabajo es la docencia. Las competencias docentes implican, entre otros, un conjunto de desempeños en lo que hace al diseño, planificación, organización, atención a emergentes, ejecución, evaluación y ajuste de una ―propuesta didáctica‖ intencional, articulada y coherente, inserta en contextos inciertos y cambiantes. El concepto de ―competencia‖ asociado a la educación ha sido objeto de cuestionamientos porque se vincula inmediatamente a la noción de ―demanda del mercado‖. Recurriendo a Zabalza (2003), coincidimos que no se trata solo de generar dispositivos formativos para proporcionar trabajadores al mercado , sino de dotar al futuro trabajador de herramientas y recursos, de competencias polivalentes que incrementen su capacidad para tomar decisiones entorno a su propio proyecto laboral, en el marco de la realidad político-social-económica en la que se haya inserto. Habilidades, destrezas y conocimientos que le permitan moverse, mutar, migrar y/o reciclarse dentro del sistema laboral. En este esquema se concibe a la enseñanza dentro de un paradigma que la define como ―una actividad compleja, contextualizada y cargada de valores, que requiere en muchas ocasiones, actuaciones de tipo ético o político. Una actividad situada social e históricamente, que involucra a instituciones y sujetos con sus condicionamientos y determinaciones‖(Ruiz Bueno, 2001, p.59). Resumiendo, la complejidad del contexto sociocultural, los acelerados cambios, la emergencia de problemáticas inéditas en el campo educacional, plantean desafíos renovados a los docentes que tienen que estar cada vez más flexibles y abiertos al aprendizaje, como también a desaprender modalidades de trabajo que se tornan inadecuadas. Y estas demandas de estrategias didácticas diseñadas, planificadas y ejecutadas con una intencionalidad formativa, conducen al campo laboral, y por ello la necesidad de ―repensar‖ al docente como profesional competente para integrar la teoría y la práctica en, de y para el trabajo. Se trata de mirar el desarrollo de nuestras competencias docentes como un proceso que nos ayude a perfeccionarnos profesionalmente, a cumplir con el mandato social que nos legitima y encontrar satisfacciones en lo que hacemos. Las competencias docentes son competencias profesionales por ello en su definición es preciso interrogar a la profesión y sus marcos epistemológicos y valores y a quienes la ejercen en tanto trabajadores respecto a qué hacen, cómo lo hacen y cómo saben que lo que hacen está bien hecho. ¿Qué significa la introducción del enfoque por competencias para la formación docente?: Un aporte para asegurar la pertinencia de las propuestas formativas 238 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Una vía para el acercamiento a las demandas internas (del sujeto como profesional preocupado por su desempeño) y externas , tanto de la institución educativa , como de la sociedad y sus destinatarios. La superación de métodos de formación que generan conocimiento inerte o anecdótico, para centrarse en la actividad de los sujetos y en su potencial para utilizar sus conocimientos para la resolución de problemas. Un énfasis en la importancia de aportar experiencias para construir profesionalidad. Un intento por mejorar, más que la eficacia o excelencia, la laboriosidad y productividad, la preocupación por los condicionamientos del contexto, los resultados y el servicio. Una propuesta La competencia docente es básicamente una competencia social tiene que ver con participar significativamente en lo institucional y político, con mediar profesionalmente las interacciones que derivan en el propio desarrollo personal, y fundamentalmente, del otro el alumno - ; ser un agente de cambio, un transmisor y un recreador de cultura. Por eso la propuesta de profesionalización desde un enfoque de competencias que alentamos desde ensayo responde a un conjunto de premisas y principios: ―La formación docente continua responde a una inquietud manifiesta de los mismos, es un emprendimiento individual y colectivo. Como dispositivo, constituye una oportunidad para la expansión o ampliación de la profesionalidad de base. El docente en ejercicio es competente, cualquiera sea su experiencia, pero esta competencia puede enriquecerse por la formación. La formación no forma o desarrolla ya que esto es atribución del sujeto; es solo una oportunidad sistematizada para enriquecer, ampliar, debatir, consolidar, las que el sujeto posee. La formación debe incidir en la relación del sujeto con su trabajo, en la forma en que percibe, analiza, organiza, reformula, cómo sobrelleva las tensiones y enfrenta los desafíos del porvenir. El plan es alentar a diseñar estrategias, elaborar materiales, etc. , que pongan en evidencia la integración de conocimientos, habilidades y valores‖ (Coronado, 2009, p.96) Competencias específicas didáctico-pedagógicas en el aula de Matemática Recorreremos brevemente las competencias asociadas específicamente a la tarea didácticopedagógica para detenernos en su reflejo en la actividad en el aula de Matemática. Competencia General Diseñar, conducir y evaluar los procesos de enseñanza y aprendizaje observando, comprendiendo, aplicando y resignificando los marcos epistemológicos integradores de la educación, teniendo como meta que los alumnos desarrollen sus capacidades cognitivas, sociales y afectivas. En esta competencia general diferenciamos: 239 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación (1)Programar: Diseñar y estructurar un Programa analítico acorde al diseño curricular, la normativa institucional y las necesidades de formación de los alumnos. Programar en el aula de Matemática: Proponemos hacer foco en las competencias de: Seleccionar: aquí se vuelve imprescindible la consulta a un texto actualizado, tecnológicamente asociado a potencialidades que apelen a distintos registros y permitan el ensayo repetido, la búsqueda de caminos de solución alternativos, etc. Jerarquizar: no es imprescindible que todo contenido deba ser expuesto en el aula y desarrollado sin permitir la incorporación de lecturas de otros autores, libros, etc. El docente debe jerarquizar los contenidos para mostrar aquellos relevantes, en palabras de Perkins(1999) ―tópicos generativos‖ ricos en conexiones y disparadores de nuevos interrogantes Recortar: Inevitablemente no todo concepto puede ser incluido en la planificación para la enseñanza y el aprendizaje en el aula, sin embargo, sería menester recuperar la protección epistemológica de los contenidos a desarrollar. En el afán de administrar los tiempos siempre escasos, el docente relega a un lugar secundario (cuando no ausente) a la formalización teórica. Estudios revelan que esa desprotección del razonamiento que conduce a una propiedad o a una fórmula produce aprendizajes frágiles o ritualizados que, frente a nuevos desafíos, no permiten su recuperación y aplicación. No toda la teoría, pero si la necesaria para enmarcar las posibles derivaciones prácticas que la misma propone. Integrar: el proceso de integración es no solo necesario sino imprescindible. El aprendizaje de teorías, métodos de resolución, fórmulas, demandan de su inclusión en un entorno más complejo que permitan ver sus vínculos con esta y otras disciplinas. No alcanza con que sea útil aquí y ahora en esta clase para este problema, es preciso que su aprendizaje sea flexible para que pueda ser recuperado en otro espacio en el que sus alcances tengan validez y permitan hallar el resultado buscado. Diseñar, comunicar: Es saludable, necesario y recomendable que todo aquello que sea el producto del trabajo del docente para transformar conocimientos en objetos de aprendizaje sea conocido por los alumnos. El programa debería ser una cocreación permanente entre el docente y los resultados de su práctica educativa, en comunicación diaria con los alumnos, sus opiniones, reacciones, aprendizajes y errores. No hacemos hincapié en este ensayo en la acción de comunicar como ―competencia docente‖ porque forma parte de otra propuesta del mismo grupo de trabajo pero en esta ―comunicación‖ el docente acerca sus representaciones al alumno, establece los códigos de interacción, induce las formas de aproximación al saber sabio con su imprompta, sus intencionalidades educativas y hasta su ideología. (2) Planificar: Desarrollar un plan de trabajo anual o semestral para el espacio curricular que contemple tiempos, recursos, actividades a llevar a cabo e instancias de evaluación y recuperación. 240 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Planificar en el aula de Matemática Cuando hablamos de programar nos encontramos afuera del aula, con el corpus de conocimientos que deben ser incluidos en la propuesta educativa. Cuando planificamos bajamos al espacio de aula, con sus tiempos, sus limitaciones de espacio, sus códigos de interacción con los alumnos, su carga del aquí y ahora con estos actores, con estas circunstancias. Por lo tanto la planificación debe ser flexible, adecuada a cada contexto, con los recursos, tiempo y espacio disponibles. Es un quehacer cotidiano, que se estructura desde el programa pero que de manera circular se retroalimenta de los avances diarios. ¿Cuándo enseñar? ¿de qué manera? ¿a quiénes? ¿con qué recursos?, son las respuestas que hay que hallar para planificar una actividad que debe plasmar en acciones el proyecto que estipula la programación. En el aula de Matemática diseñar una estrategia que interese, motive y estimule la participación, es hoy no una posibilidad sino una necesidad. Son nuevas cabezas con formas de reflexionar, interpretar y elaborar contenidos y procedimientos distintos a aquellas que integraban las aulas digamos, diez años atrás. El impacto de la imagen, la inmediatez, la posibilidad de respuestas instantáneas a casi cualquier tema vía internet, exige que el docente revise sus propuestas para asegurar teorías ricas que ofrezcan comprobaciones empíricas estimulantes, pero además con anclaje a una realidad movilizadora, que no necesariamente tiene que ser con los inevitables ―problemas de aplicación‖, ficciones elaboradas para usar los conceptos sin demasiada creatividad, sino con propuestas que reten al aprendizaje ritual para invitar a relacionar, reflexionar críticamente, buscar varios caminos de abordaje y incluso de cambiar de paradigma (del positivismo de la medida y la precisión, a la hermenéutica con su cuota de incertidumbre y posibilidad de resultados abiertos). En la planificación como competencia docente se destacan la posibilidad de seleccionar, ordenar, secuenciar, prever, elaborar, diseñar, comunicar. Es una competencia porque es un guión abierto a la improvisación que debe integrar lo que establece el programa con las posibilidades reales que presenta el contexto, como mapa de ruta, y es en ella donde es más perceptible la profesionalidad docente. Detrás, antes, de la práctica áulica es donde se despliega gran parte del trabajo docente. Para los docentes de Matemática más que en otras disciplinas hay que estar preparado para habilitar a los alumnos a plantear sus dudas, a darles ―permiso‖ para hablar, debatir, criticar para que el dudoso prestigio del que goza la materia -―es solo para inteligentes‖- se despegue del imaginario colectivo para transformarse en una actividad rica, divertida y estimulante que establece las bases de muchas de las realizaciones identificadas hoy como grandes progresos humanos. (3)Producir actividades, materiales y entornos de instrucción Diseñar actividades, entornos y materiales educativos conforme a criterios de relevancia, congruencia y funcionalidad. Producir actividades, materiales y entornos de instrucción en Matemática Esta competencia se identifica como tal porque nadie mejor que el profesor puede seleccionar, diseñar, redactar, desarrollar, formular, analizar, sintetizar, prever, elaborar y comunicar actividades, materiales didácticos y entornos de enseñanza y aprendizaje que 241 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación resulten exitosos no solo porque el rendimiento promedio medido por estándares convencionales así lo manifiesta, sino porque, tanto el propio profesor como sus alumnos se identifican y comprometen con el intento educativo. El docente competente elabora material que incluye teorías, lemas y teoremas indiscutibles y tal vez abstrusos, pero enfatiza la riqueza de su demostración para otras demostraciones y/o reflexiones lógicas. Utiliza con frecuencia anclajes históricos para volver creaciones humanas a abstracciones supuestamente alejadas del mundo real. Se esfuerza por emplear recursos de su entorno, procurando acercar la materia al sujeto, sus intereses y motivaciones; no ya por un programa prefijado sino por un proceso interactivo donde objeto de aprendizaje y aprendiz se imbrican, se enriquecen, y producen resultados que cumplen los objetivos didácticos pero además satisfacen las expectativas internas de sus actores. Diseñar entornos de aprendizaje cooperativo, de aprendizaje en servicio, de resolución de proyectos grupales, de integración de equipos interdisciplinares pueden ser propuestas que cambien el tradicional espacio de interacción docente-alumno-matemática en otro más flexible, abierto a la discusión y a la creatividad, con el empleo de múltiples registros, con fortalezas en las representaciones gráficas pero sin recostarse en ellas como único estímulo. Es un imperativo hoy la inclusión de tareas que apelen a todos los sentidos a los que la matemática puede movilizar: el sonido, la imagen, la armonía estética, la multiplicidad de formas de resolución de problemas que en la actualidad, con la ayuda de la informática son accesibles, prácticos y divertidos. (4)Guiar el proceso de enseñanza y aprendizaje Conducir el proceso de enseñanza y aprendizaje desarrollando un guión de clase y afrontando los emergentes propios de la dinámica de trabajo del entorno de aprendizaje seleccionado. Guiar el proceso de enseñanza y aprendizaje en Matemática Aquí el docente competente organiza, desarrolla, comunica, promueve, ajusta, controla, adapta su propuesta didáctica al alumno. Es esta una competencia clave para el profesor de Matemática. La disciplina ―per se‖ es de difícil captación inmediata, sea por sus altos niveles de abstracción o por las pocas (aparentes) oportunidades que ofrece para emitir opiniones o debatir entorno de sus conceptualizaciones. Sabemos, por propias experiencias, que el aprendizaje de la Matemática es generador o de grandes ―odios‖ o de grandes ―amores‖. Suscita entusiasmo en quiénes disfrutan de sus algoritmos y su potencialidad para transformar en igualdades algebraicas o sistemas o gráficos el enunciado de problemas aparentemente ajenos a sus procesos de abstracción pero también genera rebeliones, negaciones y hasta disgusto en aquellos que la consideran una creación odiosa de algunos trasnochados que elaboraron argumentos farragosos para transformar en símbolos inentendibles, problemas cotidianos o de aplicación a otras disciplinas. El docente debe generar confianza y voluntad de trabajo además deseos de aprender. Su propuesta debe ser dinámica, adaptada a cada circunstancia, cada particularidad del tema, el contexto, sus recursos, los conocimientos previos, etc. 242 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Es una competencia porque sin dudas si debe promover aprendizajes , organizados , adaptados y controlados, debe responder integrando saberes disciplinares con competencias sociales que le permitan empatía con sus alumnos, confianza , capacidad para la resolución de conflictos, comunicación eficaz, condiciones sin las cuales sus intervenciones resultarán vacías y mudas para los oídos de sus alumnos. En esta tarea la interrogación para corregir y controlar ayuda, promueve y desarrolla condiciones para el intercambio asertivo de ideas. Un buen docente desde esta propuesta es también un buen mediador, un ―periodista‖ que interroga de modo que en la misma pregunta haya posibilidad de aprendizaje. El docente debe captar tópicos centrales, interpretar oportunidades de aplicación y advertir las consecuencias que podrían ocasionar el desconocimiento o uso incorrecto de conceptos o procedimientos. (5) Evaluar Diseñar y planificar instancias e instrumentos de evaluación que permitan recolectar evidencias de conocimientos, desempeños y competencias transversales conforme a criterios de objetividad, transparencia y flexibilidad. Evaluar en el aula de Matemática El docente tiene entre sus tareas ineludibles la de controlar y legitimar conocimientos. El proceso de evaluación es uno de los más difíciles, muchas veces injusto y delicado que debe desarrollar. Su habilidad para realizar esta tarea se evidencia cuando planifica evaluaciones acordes a los contenidos compartidos, cuando busca evidencia de conocimientos que ha consensuado , cuando elabora, diseña, administra , revisa , en función del material que ha elaborado o elegido, los métodos que ha ensayado, los procedimientos que ha afianzado entre sus alumnos. En Matemática el lugar de la interpretación es inestable e impreciso, razones por las cuales es preciso haber revisado problemas anteriores, analizado variables, enfatizado la validez del método para las condiciones adecuadas, contrastado teoría con ejemplos que le den fortaleza, resuelto problemas que tengan ricas derivaciones y oportunidades de aplicación con otras variable y/o datos. El examen debe ser un instrumento tanto de recuperación de aprendizajes como de enseñanza. El error es tan ilustrativo como el acierto si se lo comparte, si se debate acerca del porque de su aparición, si se lo toma como una posibilidad y no como un desastre. La retroalimentación a partir del proceso de valoración es también una competencia que no se debe descuidar. El nuevo planteo didáctico, el nuevo material o la nueva interacción docente-alumno debería retomar los problemas observados en las evaluaciones para corregir caminos insistentemente errados y mostrar los detalles que permitirían que estos no se repitan. Cuando el docente competente se pregunta ¿qué aprendieron mis alumnos? debería preguntarse también ¿qué necesitan aprender? ¿qué necesito aprender yo?. Las estrategias o técnicas de evaluación deberían contemplar las consignas que se han consensuado en el aula; si se solicitan interpretaciones, críticas, respuestas que no han sido compartidas o planteadas a priori es posible que el resultado de esa valoración no sea el 243 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación esperado, no por falta de conocimientos sino por desacuerdos entre consignas y prácticas realizadas. Es en esos detalles importantes donde es preciso fijar acuerdos, regular expectativas, desafiar a la creatividad pero sobre la base de acuerdos preestablecidos y no esperar resultados sobresalientes de propuestas regulares, ni resultados insuficientes de propuestas bien elaboradas. Del equilibrio entre lo entregado, practicado y consensuado dependerá el éxito de la empresa educativa. Referencias Bibliográficas Coronado, M. (2009). Competencias docentes: ampliación, enriquecimiento y consolidación de la práctica profesional. Buenos Aires: Noveduc Le Boterf, G. (1995): De la compètence : essai sur un attracteur étrange. París : Editions d´Organisation. Perkins, D. (1999). La escuela inteligente. Barcelona: Gedisa. Ruiz Bueno, C. (2001). La evaluación de programas de formación de formadores en el contexto de la formación en y para la empresa. Tesis de doctorado no publicada, Universidad Autónoma de Barcelona. España Zabalza, M. (2003). Competencias docentes del profesorado universitario. Madrid: Narcea 244 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación LA MATEMÁTICA DE UN ARTISTA: TOBIA RAVÀ Teresa Ema Fernández I.S.F.D.yT. N° 39. Vicente López. Buenos Aires Universidad Nacional de La Matanza. Argentina [email protected] Niveles Medio y Superior Palabras Claves: Números. Pitagórico. Cabalá. Gematría. Resumen Si los artistas del Renacimiento buscan la belleza ideal en geometría a través de las relaciones numéricas para lograr el equilibrio y la armonía, la medida y el orden, Tobia Ravá desarrolla un camino simbólico, construido en diferentes niveles de lectura. El artista recrea los lugares reales, la naturaleza, lo meteorológico, al hombre, utilizando un lenguaje codificado. A través de una transliteración gemátrica, entre los números y las veintidós letras del alfabeto hebreo, trasmitiendo sus sentires, y su tradición. En Tobía Ravá existe un fuerte sentido de la historia y la recuperación del pasado, así como la atención a la belleza y el respeto por la naturaleza, y su fascinación por la ciencia, expresada en su utilización de la matemática para plasmar su obra. La búsqueda de Tobia Rava consiste en reconstruir las imágenes con una combinación de números y cabalá, a través de la gematría. En cada número de la serie, en cada objeto trata de reconstruir una palabra judía y a la vez representa cuadros mágicos y la serie de Fibonacci, entre otros ―elementos‖ matemáticos. En el espacio de las representaciones Ravá asocia a cada letra un número y un símbolo; a la creación, una explosión única en la que los dígitos y la semántica ponen en marcha el espacio pictórico, traducido en el lienzo mediante un ―puntillismo pitagórico‖. Introducción Tobia Ravà (Padova, 1959), reside en Venecia. . Comenzó a dibujar en lápiz y tinta. Luego asistió a la Escuela Internacional de Gráfica de Venecia y comenzó con el grabado, xilografía y litografía.Se graduó en Semiología del arte en la Universidad de Bolonia. Fue discípulo de Humberto Eco. Pinta desde 1971 y ha expuesto desde 1977 en muestras personales y colectivas en Italia, Bélgica, Croacia, Francia, Alemania, España, Brasil, Argentina, Japón y Estados Unidos. Está presente en colecciones privadas y públicas, en Europa, Estados Unidos, América Latina, y en Extremo Oriente. Ha investigado sobre la conjunción del arte con la semiología, sobre la iconografía hebraica, fue el promotor del grupo Triplani y está entre los socios fundadores (1998) del Concierto de Arte Contemporáneo, asociación cultural que se propone reunir artistas con la misma afinidad, para recalificar al hombre, poniéndolo en sintonía con el ambiente y el arte contemporáneo. 245 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación En 1999 comenzó un ciclo de conferencias, invitado por la Universidad y el Instituto superior del Arte, por su actividad en el contexto de la cultura hebraica, de la lógica matemática y del arte contemporáneo. Un matemático que mira una pintura de Ravá, en especial, se sentirá atraído de inmediato y distraído a la vez, por la profusión de cifras y números, y tratará de buscar el mensaje que hay detrás de estos números y lo considerará, , como un verdadero artista ―pitagórico‖. Un artista que lleva hasta el extremo la máxima pitagórica de que ―el número es la esencia de todas las cosas‖. Recordemos que Pitágoras y los pitagóricos soñaban con poder captar la esencia del universo bajo la forma de números enteros, imaginándose que mediante los mismos podían explicarse todos los misterios del universo, de todas las cosas. Predominan en su obra las letras hebreas y los números. Cada elemento se construye, asociando a cada letra un número y un símbolo. Ravá dice que cuando comienza con una imagen que le interesa ésta es real, una persona física, un animal, un paisaje o una situación meteorológica o algo que ya tiene su propia historia. En un momento posterior la imagen se convierte en abstracta a través de números y palabras. Si los artistas del Renacimiento buscan la belleza ideal en la geometría a través de las relaciones numéricas para lograr el equilibrio y la armonía, la medida y el orden, Tobia Ravá desarrolla un camino simbólico, en una reconstrucción de la realidad a través de un cifrado, examina la realidad usando un lenguaje codificado con referencia a los números, construida en diferentes niveles de lectura, por gematría, que es el cálculo de la equivalencia numérica de las letras, palabras o frases y la transliteración de las 22 letras del alfabeto hebreo. y sobre esta base lograr un aumento de la comprensión de la interrelación entre los diferentes conceptos y explorar la relación entre palabras e ideas. Se asume en estas técnicas que la equivalencia numérica no es una coincidencia. De momento que el mundo fue creado a través del "habla" de Dios, cada letra representa una fuerza creativa diferente. Por lo tanto, la equivalencia numérica de dos palabras revelan una conexión interna entre los potenciales creativos de cada una. Ravá se las arregla para transmitir sentires y demás, a través de la simple utilización de números y letras del alfabeto hebreo. Sorprende con la secuencia de Fibonacci, y los cuadrados mágicos. Consiguió crear obras en las que el arte le habla a nuestros ojos y mentes. 246 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación En síntesis, en la obra plástica de Tobia Ravà los rostros son número, los paisajes naturales son número, la luna es número, los paisajes urbanos son número, los objetos cotidianos son número, ..., TODO ES NÚMERO. Así las cosas, en el universo artístico de Ravà la armonía de las imágenes, la policromía de las escenas, el ambiente, la luz, se percibe por el observador a través de un vehículo matemático: el número. Ravà, aplica la técnica del puntillismo, pero en su caso ―puntillismo aritmético‖. El mundo que nos es mostrado por él, es el Pitagórico en una parte y lo que mejor lo sintetiza es el lema: "todo es número en la naturaleza, y cualquier arte que quiere dar testimonio debe ser sincero a la verdad aritmética del universo ―. También nos muestra el mundo de la cabalá. Sus obras, cada elemento se construye con una lógica de diversificación de los valores cabalísticos numéricos y conceptos relativos a los diferentes niveles del alma humana, la magia y las ecuaciones para los valores numéricos de los conceptos fundamentales de la mística judía. (Tengamos en cuenta que la palabra hebrea Cabalá es por lo general traducida como la ―tradición recibida‖. En este sentido, Cabalá comunica la continuidad de una tradición que ha sido transmitida de generación en generación. Pero, originalmente, en la Torá, Cabalá proviene del verbo que significa ―corresponder‖.). Los cuadros de Tobía Ravá pueden ser comprendidos como algo que se puede reducir a una serie de números, de colores que se combinan entre sí en una variedad sin fin para formar el cielo, el agua, la tierra, plantas, ríos, carreteras, casas,. Los números que se pueden ver en la pintura de Ravá no se han puesto allí al azar, simplemente para añadir un poco de "color". Debemos prestar atención no a un solo dígito, sino tal como leemos las palabras y no las letras que componen un texto. Al mismo tiempo, también debemos prestar atención a los elementos visuales de la pintura, y tratar de traducir estos números de acuerdo con sus equivalencias. Todo esto puede parecer algo complicado, pero así es precisamente cómo funciona el mundo y la ciencia. Es posible disfrutar de las obras de Ravá sin ir muy profundo, disfrutando de sus aspectos superficiales, de los colores, las formas o de una forma científica, interpretando sus cuadros. Como dice Tobía Ravá: ―La obra de arte es como un cóctel, que no es esencial para los bebedores saber exactamente todos los ingredientes, lo que importa es el resultado final, lo que debe dar a los sentimientos, puede ser agradable, o un estado de embriaguez o aturdimiento, tal vez de disgusto, pero no ser indiferente.‖ Observemos algunas de sus obras: 247 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Enigma emozionante, 2001 resina, emulsión y témpera acrilica, 37,5 x 31,3 collezione privata Cambs GB 248 Congiunzione, 1996 alchidico e tempera acrilica, emulsioni e resine su tavola, 47,5x 57 alberoisola 2007, resine e tempere acriliche su tela El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Ulivo interiore 2003 Alchidici e tempera acrilica su tavola 45x39 249 codice iniziatico acriliche 2007,resine e Por último su escultura ―Infinito Leviatan‖, y una breve interpretación: Cada elemento de los peces se construye con una lógica diversificada cabalística: tempere El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación La cola está formada por los valores numéricos y conceptos relacionados con los diferentes niveles del alma humana; transliterado con la gematría. Las branquias son cuadrados mágicos. El resto del cuerpo está formado por el desarrollo de ecuaciones para los valores numéricos de conceptos de la mística judía. El siguiente, es un cuadro con las equivalencias del alfabeto hebreo, nuestro alfabeto y la numeración: Con el tiempo, las investigaciones cabalísticas se extendieron a otras culturas, por ejemplo la griega: 250 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Más tarde, el latín también impuso su alfabeto y valoración: LETRA VALOR LETRA VALOR LETRA VALOR A 1 J 10 S 100 B 2 K 20 T 200 C 3 L 30 U 300 D 4 M 40 V 400 E 5 N,Ñ 50 W 500 F 6 O 60 X 600 G 7 P 70 Y 700 H 8 Q 80 Z 800 I 9 R 90 Hasta acá una síntesis de mi investigación sobre este artista contemporáneo. Ahora, está en cada uno de nosotros, su aplicación en el aula. Ya sea como un disparador, o como el principal contenido de una clase. Observando las diferentes obras, podremos trabajar perspectiva, aritmética recreativa, etc. Queda para una posterior investigación, el desarrollo de la cabalá y las relaciones matemáticas. Referencias Bibliográficas Laitman, M. (2001). Conceptos Básicos de Cabalá. Israel. Laitman Kabbalah Publishers Meavilla Seguí, V. (2007). Las matemáticas del arte. España. Editorial Almuzara 251 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación DIARIO DEL PROFESOR: INSTRUMENTO PARA ANALIZAR LA PRÁCTICA DOCENTE DE MATEMÁTICA S. González de Galindo, P. Villalonga de García, M. Marcilla, L. Holgado de Mejail Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia, UNT. Argentina. [email protected], [email protected] Niveles Medio y Universitario Palabras claves: Metacognición. Estrategia didáctica. Diario del profesor. Resumen Este trabajo es un avance del Proyecto ―Estrategia didáctica que valoriza la regulación continua del aprendizaje en aulas multitudinarias de Matemática‖ del Consejo de Investigaciones de la Universidad Nacional de Tucumán. Esta estrategia recurre al empleo de un material curricular elaborado ad hoc. Pretende ajustar la enseñanza a los progresos y procesos de aprendizajes del alumno, concibiéndolo como participante intencional y activo. Para evaluar globalmente la estrategia, que fuera implementada en 2010 en un curso multitudinario de primer año universitario, se recogió información mediante una encuesta a alumnos, observación sistemática participante de las clases, análisis de las actividades desarrolladas y rendimiento académico de los estudiantes. El diario del profesor, instrumento resultante de la observación participante de las clases, posibilitó el análisis de la práctica docente. En este artículo se investiga si la misma respondió a los criterios derivados del marco teórico elaborado en un trabajo previo, siguiendo principios de teorías cognitivas. Se concluyó que la metacognición es una habilidad que se puede enseñar, pero siendo conscientes que su aprendizaje se consigue a largo plazo siempre que el alumno sea responsable de su propio aprendizaje. Introducción La asignatura Matemática I se desarrolla en el primer cuatrimestre de primer año de las cuatro carreras que se cursan en la Facultad de Bioquímica, Química y Farmacia de la Universidad Nacional de Tucumán. Su currículo, informado por intereses de tipo técnico, abarca los contenidos sostenes del Cálculo Diferencial e Integral de una variable. Hasta el año 2008 las clases teóricas multitudinarias eran del tipo magistral dialogada, la actividad del alumno se centraba en completar espacios en blanco en una guía elaborada por el docente, a posteriori de los cuestionamientos planteados por el profesor. La evaluación se realizaba a través de dos pruebas parciales y un examen final integrador. La ausencia de actividades que promovieran la evaluación y regulación de los procesos cognitivos que el estudiante activa al realizar alguna tarea matemática, constituía la falencia más notable de las metodologías de enseñanza y evaluación vigentes en este curso masivo. Por ello, se decidió incluir durante el proceso educativo, actividades metacognitivas, es decir actividades reflexivas de auto observación, conocimiento y control del propio sistema cognitivo (Mateos, 2001). Se elaboró entonces, el Proyecto ―Estrategia didáctica que 252 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación valoriza la regulación continua del aprendizaje en aulas multitudinarias de Matemática‖ que fuera aprobado por el Consejo de Investigaciones de la Universidad Nacional de Tucumán. En este Proyecto se pretende analizar si ciertos aspectos relacionados con el diseño y aplicación de una estrategia didáctica (condiciones didácticas y/o pedagógicas, rol del profesor, libro de texto empleado, presentación de los contenidos matemáticos, inclusión de actividades que favorecen el automonitoreo y la autorregulación) generan en los alumnos habilidades metacognitivas. De acuerdo a las conclusiones a las que se arriben sería posible sugerir mejoras en la enseñanza de los contenidos matemáticos, basadas en la promoción y empleo eficiente de procesos metacognitivos durante el aprendizaje. La estrategia didáctica, implementada en el año 2010, recurrió al empleo de un material curricular elaborado ad hoc sobre los contenidos relativos a ―Límite de una función de una variable‖ por ser eje vertebral del Cálculo Diferencial e Integral (González de Galindo y Villalonga de García, 2010). En la elaboración de este material se consideraron los criterios para la enseñanza y evaluación del aprendizaje, derivados de un marco teórico basado en enfoques cognitivos (Villalonga, González, Holgado, Marcilla y Mercau, 2009). La implementación de la guía en el aula se llevó a cabo en seis horas reloj (tres clases). Los estudiantes que participaron fueron alrededor de cuatrocientos. Durante las clases el docente estimuló los cuestionamientos, la formulación de hipótesis, la conexión entre contenidos y el cambio entre las distintas representaciones semióticas (Coll y Solé, 1992). El modelo de trabajo seleccionado puso énfasis en la naturaleza individual y colectiva del proceso de aprendizaje. Se decidió alternar espacios de trabajo independiente, destinados a la reflexión del alumno sobre sus estructuras cognitivas, con otros destinados a la interacción cooperativa entre los estudiantes. El trabajo en el aula estuvo planificado para ser desarrollado en seis momentos: 1) indicaciones del docente y lectura de la actividad de la guía, 2) reflexión personal, 3) discusión intra grupo, 4) discusión plenaria, 5) formalización de conceptos y 6) resolución de situaciones problemáticas (González de Galindo, Marcilla y Villalonga de García, 2006). Para evaluar globalmente la estrategia implementada se recogió información mediante: encuestas a alumnos, observación sistemática participante de las clases, análisis de las actividades desarrolladas y rendimiento académico de los alumnos. En este artículo se presenta el análisis de los registros del diario del profesor, instrumento resultante de la observación participante de las clases. El docente volcó en él tanto lo ocurrido en el aula como sus propias interpretaciones e impresiones. Marco teórico En trabajos previos se tomaron lineamientos medulares: a) de la teoría clásica de Ausubel y enfoques actuales de diversos seguidores: Novak, Gowin, Vergnaud, Maturana y Moreira, b) de los Estándares de evaluación del aprendizaje de la Matemática del National Council of Teachers of Mathematics, c) de los procesos de regulación y autorregulación del aprendizaje de Jorba y Casellas y d) de la naturaleza de la metacognición. Con estos fundamentos teóricos se construyó un modelo orientador a seguir para favorecer, en el 253 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación estudiante, el desarrollo de capacidades metacognitivas y de autorregulación del aprendizaje de la Matemática (NCTM, 1995; Jorba y Casellas, 1997; Mateos, 2001; Villalonga, González, Holgado, Marcilla, y Mercau, 2009). Dicho modelo se sintetiza en los siguientes criterios: El docente en sus clases debe desarrollar actividades matemáticas que: Criterio 1: revisen el grado de alcance de los prerrequisitos de aprendizaje. Criterio 2: favorezcan la comunicación de los objetivos. Criterio 3: promuevan la conexión entre contenidos. Criterio 4: desarrollen la flexibilidad para expresar los contenidos empleando distintos sistemas de representación semiótica de la Matemática: verbal, simbólico o gráfico. Criterio 5: desarrollen la potencia matemática del estudiante. Criterio 6: aprovechen el error como medio para promover el aprendizaje. Criterio 7: evidencien la utilidad de la Matemática en la vida diaria y en las ciencias. Criterio 8: ayuden al estudiante a tomar conciencia de los logros alcanzados. Criterio 9: favorezcan la apropiación, por parte del estudiante, de los criterios de evaluación. Criterio 10: fomenten la interacción social en el aula. Criterio 11: promuevan una actitud positiva hacia la Matemática. Metodología El marco teórico elaborado originó una serie de interrogantes relativos a procesos metacognitivos que el docente debiera estimular durante sus clases: ¿se promueven las conexiones entre los contenidos?, ¿se pone énfasis en la transformación entre distintos sistemas de representación semiótica, ¿se estimula la interacción social en el aula?, ¿se evidencia la importancia del valor instructivo del error?, ¿se desarrollan actividades que permiten tener una visión de la Matemática como herramienta útil para resolver problemas de las ciencias y de la vida diaria?, ¿se reflexiona acerca de cómo estudiar Matemática? Estas preguntas llevaron a enunciar la siguiente hipótesis: ―Durante las clases de Matemática I el docente estimula en los alumnos el desarrollo de procesos metacognitivos‖. Dado que el objetivo de este estudio fue la descripción, en base a las notas de campo, de los aspectos más relevantes del proceso de enseñanza y aprendizaje en cuanto a procesos metacognitivos, esta investigación puede caracterizarse como un estudio de tipo descriptivo, no experimental (Hernández Sampieri, Fernández Collado y Baptista Lucio, 2000). La vertiente interpretativa del mismo se completará posteriormente, al triangular los resultados que se obtengan con los logrados de la encuesta a los estudiantes (Santos, 1998). Instrumento de recolección de datos: El diario del profesor A partir de la observación participante de las clases, el docente volcó en el diario las acciones que tuvieron lugar en el aula, sus propios pensamientos, interpretaciones e impresiones, elaborando de esta manera las notas de campo (Porlán y Martín, 2000). Se consideraron las siguientes técnicas para recordar detalles: prestar atención, reproducir mentalmente las observaciones y escenas, tomar las notas tan pronto como resulte posible, grabar un resumen o bosquejo de la observación sólo si hubiera retraso entre el momento de la observación y el registro de las notas de campo (Taylor y Bogdan, 1987). 254 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Sistema de observaciones Siguiendo a Hernández Sampieri, Fernández Collado y Baptista Lucio (2000) se elaboró el siguiente sistema de observaciones (González de Galindo y Villalonga de García, 2007): a) Se definió con precisión el universo de aspectos, eventos o conductas a observar, constituido en esta investigación por los siguientes: realizar conexiones entre contenidos, ejercitar la flexibilidad de transformación entre sistemas de representación semiótica de la Matemática, interactuar socialmente en el aula, utilizar el valor instructivo del error, realizar aplicaciones en las cuales el alumno perciba la utilidad de la Matemática, realizar actividades que favorezcan el aprender a aprender. b) Extraer una muestra representativa de los aspectos, eventos o conductas a observar. En este caso, la mirada estuvo puesta en lo evidenciado por el docente durante sus clases, en el sentido de favorecer: la conexión entre contenidos, la transformación entre los distintos lenguajes de la Matemática, la interacción social en el aula, el valor instructivo del error, la visión útil de la Matemática y el desarrollo de alumnos autónomos, es decir la toma de conciencia de la forma en que debe estudiarse esta disciplina. c) Establecer las unidades de observación: éstas fueron las notas del diario. d) Establecer y definir variables y dimensiones de observación (ver Tabla 1). e) Elaborar la hoja para codificar los datos de cada clase. f) Realizar los análisis apropiados. A partir del objeto real de estudio, se diseñó el siguiente objeto modelo: El objeto modelo de la investigación Se construyó el objeto modelo tomando como base la concepción ternaria de ciencia sostenida por Pierce y Samaja (Villalonga de García y Colombo de Cudmani, 2006). Samaja (2003) considera que cualquier dato de una investigación empírica, posee una estructura compleja invariante de cuatro componentes: unidad de análisis, variables, valores e indicadores. Esta estructura se denomina matriz de datos. El indicador es el procedimiento que se aplica a cada dimensión de la variable para efectuar su valoración. Tales procedimientos incluyen desde el empleo de un indicio perceptivo simple, hasta la construcción de escalas o números índices que combinan muchos ítems o dimensiones. Samaja sostiene que para describir un objeto complejo (en principio, todo objeto de estudio en el área educativa es complejo) es conveniente realizarlo mediante un sistema de matrices de datos, el que puede ser considerado como una clase especial de modelo. En este sistema al conjunto de variables escogidas para describir el objeto de estudio se denomina espacio de atributos. El objeto modelo de la investigación queda delimitado por las unidades de análisis escogidas para la indagación, mediante la aplicación de un espacio de atributos propio de cada tipo de unidad de análisis. En base a estos principios se definen a continuación los elementos del sistema de matrices de datos de este estudio. La unidad de análisis fue la nota de campo que el profesor escribió en su diario. 255 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Las variables, definidas a continuación en forma conceptual y operacional, fueron: Conexión entre contenidos: capacidad de los alumnos para establecer vínculos entre distintos conceptos y procedimientos. Los valores e indicadores para esta variable fueron: Alto: Si los alumnos, ante una pregunta del docente o al resolver una situación problemática, lograron la mayoría de las veces conectar los distintos contenidos relacionados con el tema; Medio: Si fue similar el número de veces que lograron conectar contenidos, con las veces que no lo hicieron; Bajo: Si en raras ocasiones lograron conectar los distintos contenidos. Transformación entre sistemas de representación semiótica de la Matemática: habilidad de los alumnos para cambiar el registro de representación semiótica (verbal, simbólico o gráfico), destreza puesta en evidencia al resolver los problemas o en las respuestas a preguntas formuladas por el docente. Los valores e indicadores para esta variable fueron: Alto: Si los alumnos lograron la mayoría de las veces hacer las transformaciones requeridas entre distintas representaciones semióticas; Medio: Si fue similar el número de veces que lograron hacer las transformaciones requeridas entre representaciones, con la cantidad de veces que no lo hicieron; Bajo: Si los alumnos, en raras ocasiones, lograron hacer las transformaciones requeridas. Interacción social en el aula: relaciones que se establecen entre los alumnos en el aula, durante el transcurso de las actividades de aprendizaje. Los valores e indicadores de esta variable fueron: Alto: si la mayoría de las actividades fueron desarrolladas en pequeños grupos; Medio: si fue similar el número de actividades encaradas en pequeños grupos con las resueltas en forma individual; Bajo: si la mayoría de las actividades fueron desarrolladas en forma individual. Valor instructivo del error: Oportunidades en las que el docente se vale del error para favorecer la construcción de significados recurriendo a procesos reflexivos. Los valores e indicadores de esta variable fueron: Aprovechado: Si el docente constató que siempre aprovechó el error para favorecer el aprendizaje; Medianamente aprovechado: Si el docente constató que sólo a veces aprovechó el error para favorecer el aprendizaje; Desaprovechado: Si el docente constató que nunca se aprovechó el error. Utilidad de la Matemática: desarrollo de actividades que permiten ver la importancia que tiene la Matemática por su aplicación a otros campos del saber, no sólo a nivel científico sino en la vida diaria. Los valores e indicadores de esta variable fueron: Alto: si se logró desarrollar al menos una actividad de aplicación de los contenidos desarrollados en la clase; Bajo: si no se desarrolló ninguna actividad de aplicación de los contenidos. Aprender a aprender: importancia concedida a procesos metacognitivos dirigidos a formar alumnos autónomos, sobre la base de una educación que potencia la conciencia sobre los propios procesos cognitivos y la autorregulación de los mismos de manera tal que les conduzca a autodirigir su aprendizaje y transferirlo a otros ámbitos de su vida. Contribuyen a este proceso actividades que contemplen los criterios 1, 2, 5, 8, 9, 11. Los 256 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación valores e indicadores de esta variable fueron: Alto: si se logró desarrollar en la clase al menos una actividad metacognitiva diseñada para tal fin por el docente; Bajo: si no se desarrolló en la clase ninguna actividad metacognitiva diseñada por el docente. La Tabla 1 corresponde al objeto modelo diseñado para esta investigación (Samaja, 2003). Resultados Al analizar el diario del profesor se valorizó no sólo la descripción de lo ocurrido, sino las interpretaciones e impresiones del docente-observador. Estas permitirían descubrir las razones profundas de su comportamiento (Kunzevich y Hosanna, 2005). Conexión entre contenidos: El valor del indicador en dos clases fue Alto y en la otra fue Medio. Las preguntas del docente obtuvieron en general las respuestas esperadas. En algunos casos fueron contestadas parcialmente por los alumnos. Algunas notas de campo fueron: “Me esforcé toda la clase para hacerlos razonar y felizmente respondieron bien”, “Hoy, por suerte, conseguí que interconectaran los distintos contenidos que iban surgiendo al desarrollar la clase y se expresaron correctamente”. TABLA 1: Objeto Modelo de la investigación Unidad de análisis La nota del diario Variable Valor e indicador Alto: Si la mayoría de las veces los alumnos conectaron los distintos contenidos involucrados en el tema Conexión entre Medio: Si fue similar el número de veces que lograron contenidos conectar contenidos, con las veces que no lo hicieron. Bajo: Si en raras ocasiones lograron conectar los distintos contenidos. Alto: Si los alumnos lograron la mayoría de las veces hacer las transformaciones requeridas entre distintas Transformación representaciones semióticas. entre sistemas de Medio: Si fue similar el número de veces que lograron representación hacer las transformaciones requeridas entre distintas semiótica de la representaciones semióticas, con la cantidad de veces Matemática que no lo hicieron. Bajo: Si en raras ocasiones lograron hacer las transformaciones entre representaciones semióticas. Alto: si la mayoría de las actividades fueron desarrolladas en pequeños grupos. Interacción social en Medio: si fue similar el número de actividades encaradas el aula en pequeños grupos con las resueltas en forma individual. Bajo: si la mayoría de las actividades fueron desarrolladas en forma individual. Aprovechado: Si el docente constató que siempre aprovechó el error para favorecer el aprendizaje. Valor instructivo del Medianamente aprovechado: Si el docente constató que 257 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación error sólo a veces aprovechó el error para favorecer el aprendizaje. Desaprovechado: Si el docente constató que nunca se aprovechó el error para favorecer el aprendizaje. Alto: si se logró desarrollar al menos una actividad de Utilidad de la aplicación de los contenidos desarrollados en la clase. Matemática Bajo: si no se desarrolló ninguna actividad de aplicación de los contenidos desarrollados en la clase. Alto: si en la clase se logró desarrollar al menos una Aprender a aprender actividad metacognitiva diseñada para tal fin por el docente. Bajo: si no se desarrolló en la clase ninguna actividad metacognitiva diseñada para tal fin por el docente. Transformación entre sistemas de representación semiótica de la Matemática: El valor de esta variable para la primera clase fue Bajo; para las restantes fue Medio. Los alumnos fueron mejorando en la habilidad para cambiar de un registro de representación semiótica a otra (verbal, simbólico o gráfico). La mayor dificultad radicó en la transformación del registro simbólico al gráfico. Algunas notas fueron: “Muy pocos alumnos sabían interpretar gráficamente el valor f(a)”, “Algunos alumnos no pudieron leer con corrección los símbolos empleados para denotar límites laterales y límites al infinito. Evidenciaron dificultades para pasar del lenguaje simbólico al verbal”, “Hoy lograron desarrollar gran parte de las actividades que requerían transformaciones entre distintos registros”. Interacción social en el aula: El valor del indicador de esta variable para todas las clases. fue Alto. Tuvo muy buena acogida la sugerencia de trabajar en grupos durante el desarrollo de las clases teóricas. Los alumnos naturalmente establecieron relaciones con sus compañeros durante el transcurso de las actividades de aprendizaje. Figuran en el diario repetidas veces notas como la siguiente: “Me dio gusto verlos intercambiar opiniones dentro del grupo, para luego comunicar sus conclusiones al resto de la clase”. Valor instructivo del error: En todas las clases el valor del indicador fue Aprovechado. Ante la presencia de un error, se pone en evidencia en el diario la preocupación del docente por inducir a los alumnos a recordar y relacionar conceptos, hasta que brindaban la respuesta correcta. Son frecuentes notas como la siguiente: “No desaproveché ninguna oportunidad para realizar la gestión de los errores en los que incurrieron los alumnos”. Utilidad de la Matemática: El valor para una clase fue Baja, para las restantes fue Alta. Aunque las notas evidencian preocupación permanente por resolver actividades de aplicación a las Ciencias y a la vida diaria, cuestiones de tiempo limitaron el número de las que pudieron realmente resolverse. Una de las notas fue: “Sólo alcanzó el tiempo para resolver uno de los tres problemas de aplicación que había planificado resolver en clase”. Aprender a aprender: Sólo en dos clases el valor del indicador fue Alto. El desarrollo de los contenidos teóricos limitó el tiempo que se pretendía dedicar a promover procesos metacognitivos y de autorregulación. Algunas notas fueron: “Hoy logré darme tiempo para que los alumnos 258 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación trabajaran sobre la noción intuitiva de límite, analizando el significado matemático de cada una de las partes que componen dicha noción. Me pareció que por primera vez reflexionaban sobre cómo debían estudiar Matemática”, “Los alumnos trabajaron con el instrumento diseñado para controlar el logro de los objetivos y contenidos del tema”, “Fue novedad que el docente compartiera criterios de evaluación”. Conclusiones El análisis de las notas de campo registradas en el diario del profesor y los valores de los indicadores para cada una de las variables, mostrarían que con la nueva estrategia metodológica, se cumplirían en gran medida los criterios establecidos. Resultó satisfactoria la importancia concedida a la interacción social en el aula y al valor instructivo del error. Es necesario proponer más actividades que requieren la transformación entre diversos lenguajes matemáticos, que evidencien la utilidad de la Matemática, así como las que permiten reflexionar sobre cómo debe estudiarse esta disciplina. Se impone equilibrar cantidad de contenidos con calidad de la enseñanza. El análisis de las notas del diario puso en evidencia la concepción de educación sostenida por el docente. Aún en clases masivas hay una intención manifiesta de alejarse de la clase magistral dialogada, asumiendo el docente la función de facilitador de aprendizajes, valorizando la zona de desarrollo próximo y recurriendo a estrategias que permiten desarrollar habilidades matemáticas metacognitivas (Coll y Martí, 1994; Montero, 1992). Este estudio permite entrever que la metacognición es una habilidad que se puede enseñar, pero siendo conscientes que su aprendizaje se consigue a largo plazo siempre que el alumno sea responsable de su propio aprendizaje. Posteriormente se triangularán las conclusiones de este trabajo con las obtenidas de la encuesta implementada a los alumnos que participaron de la experiencia. Referencias Bibliográficas Coll, C. y Martí, E. (1994). ―Aprendizaje y desarrollo: la concepción genético cognitiva del aprendizaje‖. En: Coll C., Palacios, J. y Marchesi, A. Desarrollo psicológico y educación, II. Psicología de la educación, 121 - 139. Madrid: Alianza Editorial. Coll, C. y Solé I. (1992). ―La interacción profesor/alumno en el proceso de enseñanza y aprendizaje‖. En Coll, C., Palacios, J. y Marchesi, A.: Desarrollo psicológico y educación, II. Psicología de la educación, 121 - 139. Madrid: Alianza Editorial. González de Galindo, S. y Villalonga de García, P. (2010). ―Metacognición: Diseño de un material curricular para aulas multitudinarias‖. REIEC (Revista electrónica de Investigación en Educación en Ciencias), Vol. 5 Nº 2, 58-68. González de Galindo, S. y Villalonga de García, P. (2007). 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Taylor, S. y Bogdan, R. (1987). Introducción a los métodos cualitativos de investigación. La búsqueda de significados. Buenos Aires: Editorial Paidos. Villalonga de García, P. y Colombo de Cudmani, L. (2006). Construcción del objeto modelo para un estudio de evaluación del aprendizaje de la matemática. Premisa. Revista de la Sociedad Argentina de Educación Matemática. Año 8-Nº 30, 28-37. Villalonga, P., González, S., Holgado L., Marcilla, M. y Mercau, S. (2009). Pautas para diseñar actividades evaluativas basadas en teorías de aprendizaje significativo: desde Ausubel hasta Moreira. Memorias del 10º Simposio de Educación Matemática. Volumen CD. Editora: EMAT. Argentina. 260 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación EL BUEN PROFESOR, EL BUEN ALUMNO Y LA BUENA CLASE DE MATEMÁTICAS: REPRESENTACIONES SOCIALES QUE POSEEN ESTUDIANTES DE NIVEL MEDIO SUPERIOR Gustavo Martínez Sierra, María Patricia Colin Uribe CICATA - CECyT NB - Instituto Politécnico Nacional. México [email protected], [email protected] Nivel Medio Palabras clave: Representaciones sociales. Clase de matemáticas. Buena clase. Buen maestro. Resumen En este trabajo se identifican las valoraciones, relacionadas con la matemática escolar, que realizan estudiantes de nivel medio superior respecto de ellos mismos, sus maestros y de las clases. Para ello se realiza una investigación que busca conocer las representaciones sociales que los estudiantes poseen sobre el buen profesor, el buen alumno y la buena clase de matemáticas Para la recolección de la información se trabajó con 67 estudiantes, a quienes se les aplicó un cuestionario con preguntas abiertas y se les realizó entrevistas grupales en equipos de 3 o 4 integrantes. Las repuestas del cuestionario fueron analizadas localizando dimensiones que concentren un significado particular con la intención de organizar categorías que permitan establecer jerarquías de los contenidos y ubicar el campo de la representación. Las entrevistas grupales contribuyeron a esclarecer el significado de las palabras, frases y nociones de sentido común utilizadas por los estudiantes. De manera general se puede resumir que para los estudiantes un buen alumno de matemáticas es aquel que puede resolver problemas de matemáticas en poco tiempo y utilizando la razón. Un buen profesor es aquel que sabe enseñar paso a paso y hace entretenida la clase; mientras que una buena clase de matemáticas es donde se aprende sin aburrirse y se resuelvan muchos ejercicios prácticos. Introducción La presente investigación pretende contribuir a aquellas investigaciones que se han planteado la necesidad de conocer a los estudiantes y recuperar sus opiniones y experiencias en el ámbito escolar. Por ejemplo, Guzmán y Saucedo (2007), mencionan que en la actualidad las investigaciones referidas a los estudiantes han ampliado la problemática al pasar de tomarlos en cuenta para conocer si aprenden en las aulas o para identificar los grupos socioeconómicos a los que pertenecen, a tomarlos en cuenta para adentrarse en el campo de sus experiencias de la escuela, de sus procesos subjetivos a través de los cuales viven y dan sentido a lo que la escuela les ofrece. En particular, la presente investigación es una contribución a la línea de investigación que busca identificar el conocimiento de sentido común asociado a las matemáticas escolares. Dicha línea parte de la idea de que el núcleo del conocimiento de sentido común es que la enseñanza de las matemáticas por parte del profesor, produce aprendizaje matemático por parte del alumno. Pero, en el marco del sentido común ¿Qué es aprender matemáticas? 261 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación ¿Qué son las matemáticas? ¿Qué es enseñar matemáticas? ¿Existe una relación diferente a la de causa-efecto entre enseñanza y aprendizaje? Dada la naturaleza de los objetos sociales involucrados, las respuestas a estas preguntas son inherentemente relativas al contexto y los grupos sociales que construyen la realidad social reflejada en el conocimiento de sentido común. Es por ello que hemos optado por realizar algunas investigaciones que buscan conocer las representaciones sociales (entendidas como expresiones del conocimiento de sentido común) que algunos actores educativos tienen acerca de las matemáticas, su aprendizaje y su enseñanza. Pero ¿Cuándo este proceso tiene éxito? ¿Cómo debería ser la enseñanza? ¿Bajo qué condiciones ocurre el aprendizaje? Las respuestas a estas preguntas, en el marco del conocimiento de sentido común, se constituyen como el deber ser del sistema didáctico en el ideal de cómo debe funcionar el proceso de enseñanza-aprendizaje o el ideal de cómo debe ser el maestro y el estudiante en la clase de matemáticas. En particular el presente es un estudio que indaga las valoraciones asociadas a las matemáticas. Así, lo que se plantea como objetivo de esta investigación es el conocer el deber ser del sistema didáctico, como expresión del conocimiento de sentido común. Conocer las valoraciones que estudiantes de nivel medio superior tienen sobre ellos mismos y sobre los maestros en la clase de matemáticas, sería una vía de acceso al deber ser. Es por ello que de manera particular se ha implementado la presente investigación que busca conocer las representaciones sociales que estudiantes de nivel medio superior poseen sobre el buen profesor, el buen alumno y la buena clase de matemáticas Marco teórico Los valores, forman parte de los objetos y acciones que el ser humano persigue por considerarlos deseables o apreciables. En general valor es todo aquello que deber ser objeto de preferencia o de elección (Abbagnano, 2004). De manera general dentro de este rubro se encuentran: la salud, riqueza, poder, amor, virtud, belleza, inteligencia, cultura, entre otros. Los valores son significados socialmente construidos agregados a las características de los objetos y las acciones; es decir, son atribuciones hechas por un individuo mediado por un grupo social. Así, la existencia de un valor es el resultado de la interpretación que hace una persona o grupo de la utilidad, deseo, importancia, interés, belleza del objeto o la acción (Frondizi, 1992). Valorar los comportamientos es saber que uno puede hacer ciertas cosas que están ―bien‖ o ―correctas‖ y otras que, por el contrario, son ―malas‖ o ―incorrectas‖. Es decir, la valía del objeto es en cierta medida, atribuida por el sujeto, en acuerdo a sus propios criterios e interpretación, producto de un aprendizaje, de una experiencia, la existencia de un ideal, e incluso de la noción de un orden natural que trasciende al sujeto en todo su ámbito. De acuerdo con Gutiérrez (1993) los valores son: 1) bipolares (siempre se pueden mencionar por pares: bondad-maldad, belleza-fealdad, verdad-falsedad, etc.). El valor negativo es sólo una privación del correspondiente valor positivo (sólo el valor positivo existe efectivamente; el valor negativo sólo es una privación del correspondiente valor negativo), 262 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación 2) trascendentes, es decir, sólo se dan en toda su perfección en su propia esencia; pero en su existencia real se dan con una gama muy variada de perfección, 3) preferibles; es decir que atraen o inclinan hacia sí mismos la voluntad del hombre que las capta y 4) son objetivos; ya que se dan en las cosas o las personas independientemente de que sean conocidos, o no, por alguien en particular. En contraposición a la idea de objetivad antes señalada se encuentra el acto de valorar (una persona o un grupo asigna valor a un objeto); que se considera como algo subjetivo, o sea, depende de las personas que juzgan. Así, la valoración, desde un punto de vista intersubjetivo, puede ser entendida como la representación social de lo que es bueno o malo. Las representaciones sociales constituyen una modalidad particular del conocimiento de sentido común, cuya especificidad reside en el carácter social de los procesos que las producen y abarcan el conjunto de creencias, conocimientos y opiniones producidas y compartidas por los individuos de un mismo grupo, en relación a un objeto social en particular (Guimelli, 2004, p. 63). Una representación social permite guiar la acción de las personas ante un objeto social específico. Es por ello que el estudio de las representaciones sociales adquiere particular relevancia, ya que la manera en que se producen y transforman ayudará entender el comportamiento humano. La representación funciona como un sistema de interpretación de la realidad que rige las relaciones de los individuos con su entorno físico y social, debido a que determina sus comportamientos o sus prácticas. Es una guía para la acción, orientan las acciones y las relaciones sociales. Es un sistema predecodificación de la realidad puesto que determina un conjunto de ―anticipaciones y expectativas‖ (Abric, 2004, p. 12). En otros términos, la representación social es un conocimiento práctico. Éste, al dar sentido (dentro de un incesante movimiento social) a acontecimientos y actos que terminan por ser habituales para nosotros, forja evidencias de nuestra realidad consensual, pues ―participa en la construcción social de nuestra realidad‖ (Jodelet, 1986, p. 473). De esta manera, las representaciones sociales se caracterizan por su carácter significante y compartido, donde su génesis son las interacciones y sus funciones obedecen a fines prácticos y son, así, una forma de conocimiento elaborada socialmente y compartida con un objetivo práctico que concurre a la construcción de una realidad común para un conjunto social, cuya función es la elaboración de los comportamientos y la comunicación entre los individuos. Las representaciones sociales son ―sistemas cognoscitivos en los que es posible reconocer la presencia de estereotipos, opiniones, creencias, valores y normas que suelen tener una orientación actitudinal positiva o negativa‖ (Araya, 2001, p. 11). Metodología La investigación fue realizada con un enfoque cualitativo, e intenta explicar la manera en que las personas significan su realidad, partiendo del supuesto, establecido anteriormente, de que la realidad se construye socialmente. Esta perspectiva se centra en la experiencia del actor social y su subjetividad como fuente para la comprensión de la realidad. 263 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación La metodología de la investigación consta de la aplicación de un cuestionario compuesto por preguntas abiertas, con el objetivo de no delimitar las respuestas de los participantes y permitir que expresen abiertamente sus opiniones, reduciendo al mínimo la influencia del cuestionario. Se propusieron dos preguntas con el objetivo de conocer la representación social de las matemáticas, de su enseñanza y su aprendizaje: 1) para ti ¿Qué es un BUEN PROFESOR DE MATEMATICAS? y 2) para ti ¿Qué es una BUENA CLASE DE MATEMATICAS? En el cuestionario presentado a los estudiantes, las letras mayúsculas fueron utilizadas para enfatizar el objeto social de interés en cada pregunta. Para esta investigación contamos con la participación de un Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos (CECYT) del Instituto Politécnico Nacional, los cuales son instituciones planificadas como centros de preparación de educación Media Superior, orientados a la instrucción profesional técnica y preuniversitaria. Se decidió trabajar con una muestra no estadística de 67 estudiantes de quinto semestre de un CECyT orientado al área de Física y Matemáticas en la ciudad de México, Distrito Federal, y en el cual se ofrecen las especialidades técnicas de computación, mantenimiento industrial, plásticos y sistemas automotrices. El tronco común en el área de matemáticas, consta de seis cursos que dedican cinco horas/clase a la semana: Algebra, Geometría y Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Probabilidad y Estadística. Al momento del trabajo de campo de la presente investigación, los estudiantes estaban cursando la parte final del curso de Cálculo integral. Trabajar con estudiantes que cursaban el quinto semestre, se debió a que pretendíamos conocer la representación social de estudiantes con cierto éxito escolar reflejado con su permanencia en el centro educativo y así conocer la representación social ―propia‖ de la institución, de manera indirecta y bajo la hipótesis de que parte de su éxito se debe a la interiorización de las representaciones de la institución educativa donde llevaron a cabo su vida escolar por más de dos años. Para fines de comunicación con los estudiantes, se les explicó que el objetivo su participación como informantes era para realizar un ―estudio de opinión‖ relacionado con las matemáticas. Los estudiantes fueron identificados con las etiquetas An (con n de 1 hasta 67). La etiqueta En identifica a alguno de los dos entrevistadores en los grupos focales. Resultados A partir de las respuestas otorgadas por los estudiantes, se identificaron varias categorías; entendidas cada una como una representación social. En lo que sigue F significa la frecuencia con que la representación fue identificada en el universo de los 67 estudiantes. En cada categoría se ponen algunos ejemplos de las frases generadas por los estudiantes. BUEN PROFESOR Un buen profesor sabe enseñar/transmitir/explicar (F=16) A31: El que sabe explicar. 264 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación A20: Alguien que sabe cómo explicar las cosas y además de cómo lograr recordar cosas olvidadas sin perder mucho tiempo además de no hacer tan pesada la clase. A12: Aquel que te explica todos y cada uno de los ejercicios y temas sobre la materia. A4: Que te da el conocimiento para poder resolver ejercicios con un buen método. A66: Aquel que es capaz de transmitir ideas y conceptos de manera que el alumno los digiera rápidamente. A24: Aquel que mediante sus clases sabe transmitir lo que ha aprendido y que sus alumnos realmente lo entiendan. A6: El que enseña bien el tema, explicando claramente y resolviendo dudas. A25: Quien explica detalladamente y resuelve dudas sobre el tema. Un buen profesor tiene un buen “trato personal” (F=11) A22: […] Que sea paciente, accesible comprensivo. A30: Es aquel que imparte su clase con paciencia, tolerancia, y con un nivel eficiente de preparación. A3: El que sabe explicarte cuantas veces sea necesario, el que tiene paciencia, el que sabe del tema y lo domina. A13: Aquel que nos enseña la clase con amabilidad, con gusto, con entrega… que tenga dominio sobre la materia, para que la imparta bien. A10: Una persona lista, expresiva, concisa, tolerante. A43: Aquel profesor que no se desespera y te cumple, aquel que te explica con peras y manzanas los temas a tratar. Un buen maestro enseña de una forma fácil/sencilla/clara/divertida (F=9) A9: Es aquel que nos enseña alguno de los tantos temas de matemáticas de una forma sencilla y divertida, preguntando si tenemos dudas o algo así. A28: Es alguien que te da o explica todos sus conocimientos para que tú los aprendas de la forma más fácil y clara. A29: Aquella persona que se sabe dar a entender y explica de manera fácil y comprensible. A50: Aquel que se esfuerza para que los alumnos las comprendan y no se les hagan difíciles. A52: Que no se harte de explicar y lo haga de una forma clara para que no veas los temas tan complicados. A43: Aquel profesor que no se desespera y te cumple, aquel que te explica con peras y manzanas los temas a tratar. Un buen maestro explica paso a paso y cuantas veces sea necesario (F=7) A53: El que te pone buenos ejemplos y te explica a detalle cada caso, el que conoce no sólo el tema que vayas a ver sino muchos para aclarar cualquier duda. A54: Aquel maestro que explica bien un ejercicio o el tema visto en clase, además de que sepa muy bien realizar ejercicios explicando paso a paso. A56: Aquel que no enseñe los temas rápidamente, sino que se tome el tiempo para aclarar dudas o repasar los temas complicados. 265 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación A60: Es aquel que hace la clase amena, dinámica y sobre todo CLARA y trata de llegar al resultado por el camino más fácil lo explica todo de una forma ni muy rápida ni muy lenta digamos que en un tiempo medio (me chocan los profesores que se sacan las cosas de la manga y explica muy rápido). Un buen maestro sabe matemáticas y sabe explicar (F=7) A47: El que domina perfectamente las matemáticas y sin problema puede explicarlas a cualquier persona. A58: Una persona que domina a ―perfección‖ los temas y que sabe transmitir de una manera correcta el conocimiento. A59: Es el profesor que entiende lo que está explicando y sabe dar a entender a los demás es decir a los alumnos lo que está diciendo. Un buen maestro es el que tiene conocimientos (F=5) A15: Es la persona que debe de tener todos los conocimientos sobre la materia. A14: Lo más importante, ya que de ahí viene todo el conocimiento. A48: Alguien con el quien se pueda dialogar, para una cuestión sobre su clase y que domine a la perfección todos los temas a ver. A53: El que te pone buenos ejemplos y te explica a detalle cada caso, el que conoce no sólo el tema que vayas a ver sino muchos para aclarar cualquier duda. A3: El que sabe explicarte cuantas veces sea necesario, el que tiene paciencia, el que sabe del tema y lo domina. BUENA CLASE Una buena clase no es aburrida y dinámica (F=15) A4: En la que no estás aburrido […] A6: Aquella en la que no se hace frustrante ni tediosa, […]. A7: Una clase en donde no se te hagan tediosas y aburridas las matemáticas además de un profesor que lleve a cabo su clase dinámicamente y entendible. A9: Es aquella en la que podemos estar sin aburrirnos […]. A10: En aquella donde se aprende de una manera dinámica […] A12: Aquella que es amena […] A13: […] pero con cierta dinamicidad (sic.), que no sea aburrida…esa sería una buena clase. A16: Una clase que es dinámica […]. A21: Es una clase llena de enseñanza y diversión. A32: Una clase entretenida, […]. En una buena clase hay aprendizaje sin aburrimiento (F=12) A22: En la que un maestro logra que aprendas algo pero sin hacerlo aburrido o monótono. A21: Es una clase llena de enseñanza y diversión. A27: Dar lo mejor de conocimientos, que sea divertida y didáctica y no aburrida. A33: Una clase divertida y que le entienda. A34: Que aprendas pero que no sea aburrida. A36: En la que aprendes, no te aburres y quedas satisfecho. A48: Que no sea aburrida y que aprenda lo más posible. 266 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación A40: Aquella en la cual aprendo, me rio, me divierto, pongo atención […]. En una buena clase hay muchos ejercicios y participación de estudiantes (F=10) A1: La que está enriquecida de ejercicios y de mucha participación de mis compañeros. A3: […] y ejercicios para contestar, revisando respuestas para saber si lo hacemos bien. A13: Es aquella en la cual nos hacen pensar para solucionar un problema […]. A15 Es cuando todo el salón está bien atento a ella, haciendo ejercicios sobre el tema y participando en la misma. A16: […] y donde muestren ejemplos del tema visto. A17: Aquella en la que aprendes y aplicas conocimientos en un problema. A62: Una clase donde haya silencio y se pase a resolver ejercicios al pizarrón de manera constante. En una buena clase aprendes (F=10) A6: […] y en la cual se quedan los conocimientos aprendidos. A9: […] y entendiéndole a los temas que se expongan en ella. A11: Entenderle a lo que explica el maestro. A17: Aquella en la que aprendes y aplicas conocimientos en un problema. A19: Que sea didáctica y que aprendamos. A24: Aquella en la cual aprendes algo nuevo. A29: Es un lugar en donde se enseñan a detalle las matemáticas. A31: Donde aprendes de manera Explicación paso a paso / Buena explicación (F=8) A30: Es aquella que se imparte paso a paso de cómo llegar a un resultado ―x‖. A55: Una clase en donde te explique paso a paso el procedimiento y no se salten pasos. A59: Es una clase en la que sea claro y preciso lo enseñado. A60: Explicar claramente. A67: Una buena clase es con un buen material didáctico con una buena enseñanza o explicación por parte del profesor. A41: Que utiliza métodos prácticos accesibles a sus alumnos y que te toma en cuenta. A56: Aquella que el maestro antes de iniciar clase aclare el tema anterior. A61: Que no dure 2 hrs completas y que se base en ejemplos sencillos antes de pasar a ejercicios más complejos. Conclusiones De manera general se puede resumir que para los un buen profesor es aquel que sabe enseñar paso a paso y hace entretenida la clase; mientras que una buena clase de matemáticas es donde se aprende sin aburrirse y se resuelvan muchos ejercicios prácticos. Referencias Bibliográficas Abric, J.C. (2004). Prácticas sociales y representaciones. México: Ediciones Coyoacán. 267 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Araya, S (2001). La equidad de género en la educación. La Ventana 13, 159-187. Abbagnano, N. (2004). Diccionario de filosofía. México: Fondo de Cultura Económica. Berger, P. y Luckmann, T. (2006). La construcción social de la realidad. Argentina: Amorrutu. Frondizi, R. (1992). ¿Qué son los valores? México: Fondo de Cultura Económica Gutiérrez, R. (1993). Introducción a la ética. México: Editorial Esfinge. Guimelli, C. (2004). 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Socioepistemología. Empoderamiento docente. Proporción Resumen Dadas las características del discurso Matemático Escolar (dME), que norma la matemática escolar y excluye a los actores de la construcción social del conocimiento matemático a causa de su centración en los objetos matemáticos carentes de significado para los estudiantes, la Socioepistemología se replantea qué aprenden nuestros estudiantes y bajo este cuestionamiento se propone un rediseño del dME. Como uno de los mecanismos didácticos que debe acompañar dicho rediseño postulamos al empoderamiento docente, este proceso tiene como fin provocar modificaciones en la práctica docente que incorporen la noción del aprendizaje que privilegie la validación de las distintas argumentaciones, permita la emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas, posea un carácter funcional del saber, favorezca una resignificación progresiva considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras de dicho conocimiento. En este trabajo presentamos una investigación en la que construimos una unidad de análisis socioepistémica con base en las dimensiones epistemológica, cognitiva, didáctica y social, de la noción de la proporcionalidad, lo cual nos permitió evidenciar el cambio de práctica de un docente como producto del cambio de relación al saber matemático a través de la problematización del saber y las actitudes de liderazgo. En síntesis, se evidencia que la unidad de análisis sistémica del saber matemático con base en un estudio Socioepistemológico permitirá en un futuro evaluar la existencia del empoderamiento docente considerando a la problematización del saber como punto de partida. Introducción El creciente interés por el estudio de la formación docente en el campo de las matemáticas y su repercusión en Latinoamérica con la Matemática Educativa, es evidente (Ball, Thames y Phelps, 2008; Carrillo, Climent, Contreras y Muñoz-Catalán, 2007; da Ponte, Quaresma y Branco, 2012; Llinares, Valls y Roig, 2008; Montiel, 2009; Passos, Nardi y Arruda, 2009; Reyes-Gasperini, 2010). Las investigaciones que a esta temática refieren se sustentan en reflexiones que llamaremos clásicas: estudios sobre concepciones, creencias; sobre el contenido pedagógico del conocimiento, el contenido del conocimiento para la enseñanza; sobre las prácticas de los docentes a través del análisis de las tareas propuestas, el tipo de discurso en el aula y los 269 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación roles asumidos por los docentes y profesores; conocimientos teóricos y prácticos que deben tener los docentes, entre otras. Sin embargo, en los estudios que nosotros abordamos, concebimos que estos tópicos no bastarán si nuestro objetivo principal es un cambio profundo en la educación matemática, pues asumimos que estos enfoques no ―problematizan el saber‖, lo que consideramos está en el núcleo de la acción didáctica: llamaremos a esto el estudio de la naturaleza del saber matemático enseñado. Asumiendo la Teoría Socioepistemológica (Cantoral, 2003) afirmamos, a contracorriente de lo que suele afirmarse en el medio, que es en el propio discurso Matemático Escolar (dME) donde radica el mayor conflicto del aprendizaje de las matemáticas. ¿A qué nos referimos con el dME? Desde los años ´90 con los trabajos de Chevallard (1999) hemos entendido que la matemática escolar es el producto de un largo proceso de selección y reorganización mediada por procesos sociales, la transposición didáctica, que lleva al saber sabio, reconstruido hacia el saber enseñado, es decir, el saber matemático sufre modificaciones adaptativas de forma progresiva con el fin de seleccionar, organizar y estructurar los conocimientos matemáticos que serán incluidos en las unidades temáticas de la escuela. Hasta aquí, podemos afirmar que el dME puede, en este momento, sufrir modificaciones; la pregunta que nos compete ahora es ¿qué caracteriza al dME? Es sabido que la manera de abordar la matemática en el sistema educativo, ocurre mediante la centración en los objetos matemáticos, concebidos estos como entidades abstractas que son ejemplificadas y ejercitadas; eludiendo en el tratamiento didáctico la construcción del conocimiento matemático por parte del estudiante, esto es, se concibe que las matemáticas tratan con objetos abstractos, anteriores por tanto a la praxis social y en consecuencia externas al individuo, siendo el profesor quien comunica ―verdades preexistentes‖ a sus alumnos, normado por el dME (Cantoral, 2003). Se ha documentado en estudios recientes que el dME posee un carácter utilitario y hegemónico, carece de marcos de referencia para la resignificación, está compuesto de conocimientos acabados y continuos, y posee una atomización en los conceptos (Soto, 2010), exento por completo de una visión de la construcción social del conocimiento matemático (CSCM), por tanto, excluyente de ella. Entonces, ¿por qué no se cuestiona y modifica ese saber matemático en el currículo? Es por eso que la Socioepistemología se cuestiona el qué y no sólo el cómo aprenden nuestros estudiantes, pero… ¿Qué tipo de modificaciones debemos plantearnos? La Socioepistemología se plantea el estudio de la CSCM como fundamento del qué se aprende. Para ello, en primer lugar, estudia la naturaleza del saber matemático, entendiendo a éste desde el posicionamiento del ser humano que actúa en la construcción de sus sistemas conceptuales; en segundo lugar, se ocupa del estudio de las prácticas sociales como normativas de la actividad humana y como base de la construcción de los sistemas conceptuales por parte del ser humano, problematizando las causas que lo conducen a hacer lo que hace (Covián, 2005); por último, se ocupa de caracterizar las articulaciones con evidencia empírica situada, de nociones y términos del modelo socioepistemológico (Cantoral, 2006); todo esto con el fin de incidir en el sistema educativo. Para ello se debe trabajar con los actores de este sistema, excluidos de la CSCM, empezando por los docentes 270 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación que realizan la labor en las aulas y cuestionarnos cuáles serán las acciones que les permitirá comprender, asimilar, asumir, aceptar y sumarse a la nueva propuesta del dME. Es por esto, que nuestra investigación, más que discutir los aspectos pedagógicos, metacognitivos, identitarios, reflexivos o de autovaloración, se replantea un camino alternativo para incidir en la práctica docente: la problematización del saber. He aquí nuestra pregunta de investigación: ¿qué produce el cambio en la práctica de un docente que contemple el aprendizaje de la matemática con base en el modelo dinámico conceptual del conocimiento matemático (Reyes-Gasperini, 2011) el cual radica en los principios teóricos de la Socioepistemología (Cantoral, 2011)? (Ver figura 1) Figura 1. Modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático (Reyes-Gasperini, 2011) con base en los principios teóricos de la Socioepistemología (Cantoral, 2011). En este trabajo presentamos una investigación en la que construiremos una unidad de análisis socioepistemológica con base en las dimensiones epistemológica, cognitiva, didáctica y social, de la noción de la proporcionalidad, es decir, una unidad de análisis sistémica del saber matemático de lo proporcional. Esto nos permitió evidenciar el cambio de práctica de un docente como producto del cambio de relación al saber matemático a través de la problematización del saber y las actitudes de liderazgo. Este proceso que vive el docente lo hemos denominado: proceso de empoderamiento docente. Empoderamiento Con el fin de poder caracterizar el fenómeno del empoderamiento docente, se han analizado lo que las distintas comunidades de conocimiento entienden por empoderamiento y desde allí, construir la correspondiente a nuestra disciplina. Desde un enfoque psicosocial (Martín Maruri, 2011), social (Silva Dreyer y Martínez Guzmán, 2007), feminista (Camacho, 2003), desde la Psicología Comunitaria (Montero, 2006), o también, desde un enfoque educativo (Howe y Stubbs, 1998, 2003; Stolk, de Jong, Bulte y Pilot, 2011), se encuentran elementos transversales, a saber: entienden al empoderamiento como un proceso del individuo en colectivo, que parte de la reflexión para consolidarse en la acción, que se produce desde el individuo sin la posibilidad de ser otorgado y, por sobre todas las cosas, transforma la realidad. En particular, los proyectos que tienen como objetivo impulsar el empoderamiento docente 271 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación (Howe y Stubbs, 1998, 2003; Stolk, de Jong, Bulte y Pilot, 2011) se focalizan en darle al docente herramientas para que realicen nuevas situaciones para el aula poniendo como punto importante la contextualización, ya sea mediante el conocimiento (conocer que existe) de nuevas investigaciones relacionadas con el tema a abordar, como así también, mediante la muestra de situaciones que brinden un contexto a lo que ellos ya conocen. Todo con el objetivo de que obtengan una actitud de liderazgo, confianza y mejora en sus prácticas para la enseñanza, enfatizando el hecho de que adquieran el poder de tomar las riendas de su propio crecimiento. Sin embargo, si bien nosotros coincidimos plenamente con los resultados que se esperan, consideramos que este tipo de análisis se reduce a una interpretación pedagógica, mientras que nuestra intención es adentrarnos en la parte central de lo que puede fungir como potencial para el empoderamiento docente, es decir, comenzar por la propia problematización del saber puesto en juego por parte de los docentes. (Howe y Stubbs, 1998; Montero, 2006) y logren hacer de su práctica, una profesión. El empoderamiento y su relación al saber: el caso de la proporcionalidad Para guiar esta sección, nos haremos la siguiente pregunta: ¿qué produce el empoderamiento docente? Para dar respuesta a ello construiremos una unidad de análisis sistémica, con base en la Socioepistemología, de la noción de la proporcionalidad. En primer lugar, realizamos un análisis de la dimensión epistemológica. El surgimiento de la noción de proporción, como respuesta al problema de medir magnitudes inconmensurables, se hace explícito en Los Elementos de Euclides. En el Libro V define que las magnitudes proporcionales son aquellas que tienen la misma razón y concibe a la razón, en su definición 3, como una relación cualquiera entre dos magnitudes homogéneas respecto de su cantidad. Es decir, la relación ―guarda la misma razón‖ pretende resaltar el hecho que a pesar de que cambien los tamaños de las magnitudes, la relación que se establece entre ellas se conserva, es decir, la razón se mantiene invariante: constante de proporcionalidad. En cuanto a su dimensión cognitiva, existen investigaciones que analizan esta noción matemática. En ellas se evidencia que hay distintos tipos de pensamientos proporcionales, según su complejidad y desarrollo. Su comienzo proviene de un pensamiento proporcional cualitativo. Piaget e Inhelder (1977) enuncian al respecto que ―la noción de proporción se inicia siempre de una forma cualitativa y lógica, antes de estructurarse cuantitativamente‖ (p. 141). En este paso de lo coloquial a lo simbólico es donde los estudiantes comienzan a cuantificar y enfrentarse a la construcción de ―lo matemático‖, pudiendo considerarse un medio para construir un significado de ―lo proporcional‖ (Reyes-Gasperini y Cantoral, 2011). Posteriormente, respecto al pensamiento, Inhelder y Piaget (1972) mediante un experimento con balanzas en donde debía buscarse el equilibrio, afirman que en el individuo logra la localización de una relación entre las magnitudes intervinientes (subestadio II B), pero se concibe que la naturaleza de la relación es aditiva: ―en vez de la proporción P/P´= L´/L, se tiene entonces una igualdad de diferencias P – P´ = L´– L. La formación de la idea de proporcionalidad supone pues que en primer lugar, se sustituyan las simples relaciones de diferencia por la noción de la igualdad de productos PL = P´L´.‖ 272 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación (subestadio III A) (Inhelder y Piaget, 1972, p. 152). Godino y Batanero (2002), enuncian respecto al modelo aditivo que si bien este tipo de estrategias son útiles para enfrentar con éxito ciertos problemas más sencillos, no son válidos en el caso general. Aquí puede darse como ejemplo el caso de 𝑦 = −𝑥, en la cual no se cumple el pensamiento sustentado en ―a más, más… a menos, menos…‖. Carretero (1989), trabajó los diferentes tipos de estructuras multiplicativas. En su estudio concluye que ―la división es, evidentemente una operación más difícil que la multiplicación, a pesar de la estructura multiplicativa que subyace‖ (Ibídem, 1989, p. 95). Vergnaud (1990) trabaja sobre la teoría de los campos conceptuales comparando los de las estructuras aditivas (aquellas que precisan una adición, sustracción o combinación de ellas) de las estructuras multiplicativas (aquellas que requieren una multiplicación, división o combinación de ellas). Esto le permite generar una clasificación y análisis de las tareas cognitivas y en los procedimientos que potencialmente son puestos en juego en cada una de ellas. Concluye afirmando que el análisis de las estructuras multiplicativas es profundamente diferente de las estructuras aditivas. Dado este estudio, construimos una unidad de análisis sistémica que sintetiza los modelos de pensamiento proporcional en el siguiente esquema: Figura 2: Modelos del pensamiento proporcional Hasta ahora, a un nivel didáctico, se siguen privilegiando los métodos de reducción a la unidad, o bien, la regla de tres simple como ejes principales del pensamiento proporcional, lo que hemos visto no ha sido en ningún momento la naturaleza de este saber matemático, ni siquiera, cuando se estudian sus pensamientos. Esto, es un ejemplo de la exclusión de la CSCM provocado por el dME. Bajo la mirada socioepistemológica, con base en su dimensión social, se concibe que los 273 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación conocimientos se dotan de significados a través de su uso y su funcionalidad. En este caso, la noción de proporcionalidad se resignificará en cuanto el individuo pueda reconocer a ésta como la relación que existe entre magnitudes cuya peculiaridad es que su razón se mantiene constante (reconocimiento de su naturaleza). Para ello, es necesario recurrir a los orígenes de la construcción de este conocimiento emergente de la sociedad misma como respuesta a la inconmensurabilidad, como así también, a los distintos marcos de referencia en los cuales puede encontrarse (leyes físicas, relaciones entre magnitudes de las áreas de las figuras geométricas, compra-venta en la vida cotidiana, entre muchas otras) para generar situaciones de aprendizaje que privilegien los distintos tipos de razonamientos y pensamientos proporcionales que en este saber matemático subyacen. Análisis parcial de la evidencia empírica Con base en la unidad de análisis sistémica de los seis modelos del pensamiento proporcional, evidenciaremos cómo un docente modifica su práctica en cuanto a su relación al saber, a través de la problematización del saber matemático. Problema matemático planteado por el docente a los estudiantes. Tabla 1. Interacción docente-estudiantes previa problematización del saber. [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] P P E1 P E1 P E1 P E19 P ¿Qué representa el 80? ¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién? El valor… representa… mmm No sabe ¿verdad? Representa la constante de proporcionalidad ¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad? Porque 240 entre 3 es 80 Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19? De una hora El valor de una hora. Ponle, una hora por favor En la línea [227], el adverbio ―pero‖, el cual se utiliza como enlace que une dos oraciones cuyos significados se contraponen, se restringen o se limitan, y enfatizando nuevamente en la pregunta de ―¿qué representa el 80?‖, da evidencia de que el docente no reconoce la relación entre lo que plantea E1 en la línea [226] y la noción de constante de proporcionalidad. Se denota su aceptación a la respuesta dada por E19, lo que muestra que el docente reconoce a la constante de proporcionalidad como aquella que está dada por el procedimiento de reducción a la unidad. 274 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Discusión con el docente con base en la problematización del saber en donde se retomaron los pensamientos, las dificultades y la naturaleza del saber de la proporcionalidad. Tabla 2. Interacción docente-estudiantes luego de la problematización del saber. [112] P [113] E1 [114] P [115] P [116] E1 [117] P [118] E1 [119] P [120] E1 [121] P [122] E1 [123] P [124] Y para comprobar comprobar que hay proporcionalidad ahí… ¿cómo le podríamos hacer? ¿Cómo podríamos verificar? Con una tabla… con una gráfica… A ver, permíteme (el docente se acerca al pizarrón y dibuja la tabla, encerrando a los números que E1 había colocado allí) Dónde o cómo presientes que esto… bueno ya me dices que esto es una tabla, la tabla ¿Del qué? Del tres (el profesor, en el pizarrón con E1, toma el plumón y comienza anotar) Del tres… Este valor y este que está aquí (3,1), este valor y este que está aquí (6,2), ¿Cómo podemos decir que son… que hay una proporcionalidad, dame una justificación, qué otra forma? ¿Cómo podremos comprobar esa proporcionalidad? Dividiendo Ok, ¿qué valor y qué valor vas a dividir? Voy a dividir 3 entre 1 y da igual a 3; 6 entre 2, me da igual a 3; si divido 9 entre 3 me da igual a 3 y 12 entre 4 da igual a 3 y así, todos me tienen que dar 3. Y eso ¿qué me indicará? Que es la tabla del 3 Eso que acabas de hacer tú, eso exactamente la relación ¿qué? La relación que estableció ella, entre estos dos, entre estos dos, entre estos dos (señala los pares ordenados)… y aquí, aquí la tienen (señala los resultados de las divisiones que daban 3) sale el mismo valor, ¿sí? Y por esa simple y sencilla razón… Son proporcionales Aquí, se observa cómo el docente mantiene un interacción dialéctica en búsqueda de hacer emerger las argumentaciones de ―¿por qué es proporcional?‖, retando a los estudiantes mediante retroalimentaciones sucesivas de las argumentaciones de cada uno, (Cantoral et al., 2006), en donde, en este caso, sí se contempla la relación entre las magnitudes, evidenciando que la razón entre ellas se mantiene constante. Por tanto, la constante de proporcionalidad ya no se simplifica a la reducción a la unidad, sino que comienza a analizarse como una relación entre las magnitudes. (Cantoral y Reyes-Gasperini, 2012) 275 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Conclusiones Dadas las características del dME que excluye de la CSCM a causa de su centración en los objetos matemáticos carentes de significado para los estudiantes, la Socioepistemología se replantea qué aprenden nuestros estudiantes y bajo este cuestionamiento se propone un rediseño del dME. Postulamos que es el empoderamiento docente uno de los mecanismos didácticos que debe acompañar dicho rediseño con el fin de modificar la práctica docente e incorporar la noción del aprendizaje en donde se privilegie la validación de las distintas argumentaciones, se permita la emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas, se posea un carácter funcional del saber, se favorezca una resignificación progresiva considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras de dicho conocimiento (ver figura 1). El proceso de empoderamiento se caracteriza puntualmente por las actitudes de liderazgo y por la problematización del saber matemático. La primera, visible ante la toma de iniciativa de cambios en la práctica. La segunda, hasta ahora invisible, en este trabajo se hace palpable al incorporar el ―uso del saber‖ mediante la unidad de análisis sistémica de la proporcionalidad, en donde se evidencia que el docente modifica su relación al saber incorporando aquellos modelos de pensamiento que refieren a la naturaleza del saber (ver figura 2) hasta el momento desconocidos por él. En síntesis, se evidencia que la unidad de análisis sistémica del saber matemático con base en un estudio Socioepistemológico permitirá en un futuro evaluar la existencia del empoderamiento docente considerando a la problematización del saber como punto de partida. Referencias Bibliográficas Ball, D., Thames, M. y Phelps, G. (2008). Content Knowledge for Teaching: What Makes it Special? 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Recherchers en Didactiques des Mathématiques 10 (2), 133 – 170. 278 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación MATEMATICA EDUCATIVA EN EL AULA DE FORMACION DOCENTE Cecilia Crespo Crespo, Liliana Homilka, Patricia Lestón Instituto Superior del Profesorado ―Dr. Joaquín V. González‖. Argentina [email protected], [email protected], [email protected] Nivel Superior Palabras clave: Diagnóstico institucional. Problemática. Revisión bibliográfica. Resumen El siguiente trabajo presenta la propuesta y ejecución de introducción de la Matemática Educativa y los resultados de la investigación en esta disciplina al seno de un Instituto de Formación Docente de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires. El trabajo con los futuros docentes en este sentido tiene por objetivo lograr que reconozcan un campo disciplinar propio como primer paso hacia la construcción de la identidad docente como profesionales de la educación, esperando que sea ese reconocimiento el que conduzca hacia las mejoras que nuestras escuelas necesitan. Partimos de la base de una concepción social vinculada con la educación con una mirada precientífica (Gascón, 1998) e intentamos que esa mirada gire hacia una educación profesionalizada (Montiel, 2010). En esta oportunidad, presentamos un primer acercamiento en base a la detección de problemáticas. Introducción La formación docente en la Argentina está centralizada mayormente en los Institutos de Formación Docente, más conocidos como Profesorados, que son instituciones terciarias no universitarias orientadas específicamente a la formación de profesionales de la educación en distintas disciplinas. En el caso de este trabajo, nos centraremos en el Profesorado de Matemática del Instituto Superior del Profesorado ―Dr. Joaquín V. González‖ de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires. Este Instituto de más de 100 años de historia ha ido evolucionando, tratando de acercarse a la realidad de las escuelas, y en especial, a la evolución de las didácticas específicas de cada una de las disciplinas. Desde el año 2005, el Profesorado de Matemática ha incorporado en su Diseño Curricular un eje transversal a la formación docente, el Eje de Aproximación a la Realidad y de la Práctica Docente, que tiene por objetivo principal articular los conocimientos propios de la disciplina, en este caso, la matemática; y los conocimientos generales de la formación docente, como son la Pedagogía, Psicología y otras disciplinas que hacen a la tarea docente. Desde ese eje, y en particular, desde uno de esos espacios, Trabajo de Campo II, es que nos permitimos mirar cómo la Matemática Educativa impacta y modifica la mirada de los futuros docentes desde una primera aproximación a las escuelas medias y a las clases de matemática que en ellas se dan. Entendemos como formadoras de docentes que la Matemática Educativa necesita insertarse en los Profesorados, no sólo como conocimiento que le es propio a los docentes, y en este caso, a los futuros docentes; sino como disciplina que permite formar la mirada y el pensamiento, y que será luego sustento a la hora de tomar decisiones y ejecutar la actividades específicas que le corresponderán en sus clases. 279 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Un momento decisivo para que la investigación en Matemática Educativa y sus resultados impacten de manera al sistema educativo lo constituye la formación docente. Los resultados de investigación en ME, sean teóricos o prácticos, no son inmediatamente transferibles al aula, ni adoptados por el profesor de manera transparente. Implementar un diseño innovador, producto de la investigación, debe considerar a la escuela como un escenario que impone ciertas condiciones en su funcionamiento y al profesor como la figura en se deposita la mayor responsabilidad de la actividad didáctica escolarizada. (Montiel, 2010, p. 71) Las decisiones que los docentes toman en sus aulas son resultado de lo que su formación ha sido. Es desde ese lugar que en el Profesorado de Matemática se introduce a la matemática educativa como disciplina científica: no interesa en este caso formar investigadores, sino formar profesionales de la educación que puedan enfrentar sus clases con un bagaje de conocimientos que les de posibilidades de reflexión y acción sistematizada, fundada en un campo de conocimiento que les permita comprender, analizar y modificar lo que en el aula se encuentren. Consideramos como elementos para esta propuesta algunas investigaciones anteriores en la misma línea sobre la formación docente y el rediseño del discurso matemático escolar de los Profesorados (Homilka, 2008, 2011, Crespo Crespo, Homilka, Lestón, 2011). La Socioepistemología como teoría para la formación docente Si bien la Matemática Educativa es una disciplina aún joven, los docentes que se encuentran en las aulas, en su gran mayoría, siguen alejados de sus producciones y resultados. Parte de las causas de ello se deben, según entendemos, a que los Profesorados hasta hace algunos años mantenían una concepción de la docencia que tenía más de artesanía que de profesión. Antiguamente se consideraba que la enseñanza de las matemáticas era un arte y, como tal, difícilmente susceptible de ser analizada, controlada y sometida a reglas. Se suponía que el aprendizaje dependía sólo del grado en que el profesor dominara dicho arte y, al mismo tiempo, de la voluntad y la capacidad de los alumnos para dejarse moldear por el artista. Esta es, todavía, la idea dominante en la cultura corriente y representa una ―concepción‖ precientífica de la enseñanza que sigue siendo muy influyente en la cultura escolar. (Gascón, 1998, p. 9) Esta concepción es la que se sostenía, y en algunos casos aún es sostenida por algunos docentes en la formación docente. Se ponía en evidencia a través de diseños curriculares en los cuales la matemática ocupaba el lugar central de la currícula, complementada solamente con algunas disciplinas que colaboraban a la organización y gestión de la clase. Lamentablemente, la concepción social de la educación sigue siendo esta a la que Gascón (1998) llama precientífica. Y es esa concepción la que los alumnos traen cuando ingresan al Profesorado. El objetivo primordial de las actividades que se realizan en Trabajo de Campo II es provocar un cambio en esa concepción, reconociendo que lo que acontece dentro de 280 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación una clase debe ser observado y analizado desde un marco teórico que permita modificarlo en pos de su mejora. Es en ese sentido que entendemos que la Socioepistemología aporta elementos que permiten esas acciones antes mencionadas. Las cuatro componentes de la construcción social del conocimiento que la Socioepistemología considera permiten abordar sistémicamente el hecho educativo. Y dejar a alguna de ellas de lado, sin considerar, resultaría incompleto. Lo que ocurre dentro del aula en relación a un conocimiento matemático tiene que ver con la interacción entre personas, con capacidades de aprendizaje propias de su edad y formación previa, que comparten códigos y escenarios; interacción que mantienen alrededor de un conocimiento con una epistemología que lo define y caracteriza, y que se presenta de acuerdo a las decisiones que algún docente ha tomado. Las investigaciones que hemos desarrollado a fin de ―hacer ver‖ la postura descrita, han seguido una aproximación sistémica que permite tratar con las cuatro componentes fundamentales de la construcción social del conocimiento, a saber; su naturaleza epistemológica, su dimensión sociocultural, el plano cognitivo y los modos de transmisión vía la enseñanza. Esta aproximación múltiple ha sido nombrada como el acercamiento socioepistemológico (Cantoral, 2001, p. 65) Esta teoría, que es la elegida por la cátedra que consideramos para la experimentación de este trabajo; no sólo entendemos que hace aportes a la formación sino que reconoce la importancia de lo que ocurre en las aulas. El reconocimiento del rol del docente en la construcción de una teoría resulta una innovación para la investigación: los docentes nos hemos acostumbrado a ―recibir‖ sugerencias y acciones que serán recetas para la mejora de nuestras clases, pero pocas veces nuestras sugerencias han sido escuchadas o al menos, consideradas para el crecimiento de una teoría. Es ese, creemos, uno de los elementos que la hace tan atractiva para nosotras, como formadoras de profesores, así como accesible para los futuros docentes: saberse importantes, saberse protagonistas de la mejora de la realidad educativa hace que se sientan invitados a formar parte del cambio. Nuestro enfoque ante esta problemática, exige de una incesante interacción entre la elaboración teórica y la evidencia empírica; para lo cual nos auxiliamos permanentemente de investigaciones sobre la formación de profesores y sobre las condiciones de la enseñanza en las aulas escolares y los laboratorios. Nos interesa sobremanera esclarecer las condiciones del aprendizaje de ideas complejas en situación escolar con la finalidad de usar dicho conocimiento en la mejora de los procesos educativos. (Cantoral y Farfán, 2003, p. 29) Son los docentes los que están en las aulas, son los profesores los que pueden relevar problemáticas y dar evidencias de las dificultades y complejidades de la tarea educativa. Es necesario que los futuros profesores entiendan eso y que comprendan que gran parte de lo que tendrán que hacer es utilizar una mirada crítica y una teoría que haga que esa crítica se convierta en construcción. 281 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación La propuesta para los futuros docentes El tema central del espacio curricular Trabajo de Campo II sobre la cual estamos trabajando en esta oportunidad es el relevamiento del funcionamiento de una escuela secundaria. Los estudiantes preparan inicialmente un proyecto de relevamiento de datos para luego adentrarse en una escuela y poder realizar lo que se denomina un diagnóstico institucional. Dentro de ese diagnóstico, uno de los elementos de observación es la clase de matemática, y el eje de la observación debe ser la detección de una problemática propia de la matemática escolar que sea analizable desde la Matemática Educativa. El solo hecho de introducir la idea de problemática resulta desafiante: los alumnos del Profesorado entienden que los problemas por los cuales los alumnos de la escuela no aprenden algo siempre se sustenta en las limitaciones de los alumnos para comprender o de los docentes para enseñarlo. Resulta difícil que cambien esa mirada, ya que, una vez más, se sostiene en la concepción precientífica de la que antes hablábamos (Gascón, 1998). Una de las estrategias desarrolladas para lograr que la mirada gire de las personas a los conocimientos matemáticos se basó en proponer a los estudiantes que reflexionaran sobre sus propias experiencias en el tiempo que llevan en el Profesorado, y que pensando en materias dictadas por profesores que ellos consideran como buenos docentes, identificaran conocimientos que no hayan logrado construir, aún cuando ellos mismos pusieron de su parte todo lo que requería la materia. Sorprendentemente, cuando comenzaron a pensar en ejemplos, encontraron muchos conceptos matemáticos que no habían logrado construir; a pesar de tener docentes comprometidos y una actitud positiva hacia ese aprendizaje. Algunos de los ejemplos que mencionaron fueron: - Los números complejos y las dificultades para reconocerlos como una ampliación del conjunto de los números reales: no se reconocen como números, sino como vectores o expresiones algebraicas con las que se opera algorítmicamente - La definición formal de los conjuntos numéricos como clases de equivalencia de una relación de equivalencia: resulta forzado, innecesario, excesivamente formal, arbitrario y poco vinculado con la tarea real que se hace con los números. Esa posibilidad de que los alumnos comprendieran que una problemática trasciende a las personas involucradas fue lo que permitió que luego, en base a las clases que observaron en la escuela secundaria, pudieran identificar problemáticas de la matemática escolar. Esas problemáticas debían finalmente ser analizadas desde las investigaciones a las que ellos tuvieran acceso (de revistas, tesis, memorias de congresos, actas, entre otras). Y fue ese análisis el que esperamos les diera la fuerza para entender que lo que ocurre en las aulas puede mejorar, si se lo trata sistémicamente. Las problemáticas de la escuela media En este apartado presentaremos algunas de las problemáticas detectadas por los futuros profesores en los recorridos que hicieron por las escuelas. En el caso de esta cátedra que tomamos como modelo, los alumnos se organizan en grupos y observan varias clases, de las cuales luego se reconstruye un relato de clase (Loya, 2009). De todas las clases que se observan al seno de cada grupo, se selecciona una, y de esa se considera una problemática 282 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación que presentan inicialmente como una descripción, y que finalmente se analiza a la luz de las investigaciones. A continuación presentamos algunas de las problemáticas detectadas por los estudiantes. - Trabajo con figuras prototípicas, que se evidencian en las dificultades de determinar el ancho y alto de un rectángulo cuando es presentado en distintas posiciones. Los estudiantes esperan que el lado más largo sea la base del rectángulo, y cuando eso no ocurre, no logran identificar los elementos de la figura. - Ecuaciones cuadráticas sencillas, del tipo , no logrando aceptar que tiene dos soluciones. Los estudiantes muestran dificultades para aceptar que dos números diferentes, ambos elevados al cuadrado, pueden producir el mismo resultado. - Operaciones con números negativos. Los alumnos presentan confusión al operar con números negativos en particular, confundiendo el signo propio de un número negativo y el símbolo de la diferencia. - Traducción del lenguaje coloquial al simbólico. Los estudiantes presentan serias dificultades para poder interpretar matemáticamente lo que comprenden en lenguaje coloquial. - Uso del lenguaje simbólico para la generalización de propiedades. Los alumnos no comprenden el significado de los símbolos ni la necesidad de su uso y en cambio, traducen literalmente en palabras el enunciado de la propiedad. Estas problemáticas que los futuros docentes presentaron surgieron en distintos cursos y colegios; en escenarios similares pero distintos en sí mismos. Sin embargo, en la puesta en común de las problemáticas ninguno de los futuros docentes se sintió ajeno o desconectado con lo que sus compañeros contaban. Estas dificultades, observables en cualquier colegio y en cualquier curso, les permitieron terminar de comprender que lo que ocurre en un aula, que lo que se presenta como dificultad no sólo tiene relación con las personas. El reconocimiento de la existencia de problemáticas observadas en una clase particular, pero extrapolables a cualquier otra clase terminaron por hacerles comprender la importancia de mirar más allá de las personas, de contemplar que las explicaciones deben buscarse en muchas fuentes y que las posibilidades de acción con vistas a mejoras deben estar sostenidas por una mirada científica y profesional. Conclusiones Entendemos que la formación docente es el camino para el cambio. Sabemos que la realidad educativa de nuestra región, y de la Argentina en particular, está pasando por una crisis. Pero esperamos que de la crisis surja una propuesta de mejora. Las mejoras tendrán lugar en las aulas, y los protagonistas serán los docentes que están en esas aulas. Pero los docentes solos no pueden lograr un cambio de la magnitud y profundidad que nuestra realidad necesita. La investigación, los investigadores, las teorías, y los campos disciplinares como la Matemática Educativa son las fuentes de las cuales los docentes toman las herramientas para construir una clase de matemática más exitosa. Es tarea de los formadores de docentes acercarles a los futuros profesores ese campo disciplinar y la posibilidad no sólo de conocerlo sino de interactuar con él, de intervenir en su crecimiento y de lograr que lo que ellos vivan en sus aulas llegue a la investigación. 283 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Desde este lugar de una materia de segundo año de Profesorado, sabemos que no podemos hacer todo lo que hay por hacer, pero nos alcanza con cumplir con dos objetivos que nos planteamos y que nos resultan vitales para el impacto de la investigación en el aula: ayudar a que nuestros alumnos miren en una clase de matemática al conocimiento en lugar de a las personas; y permitir que la matemática educativa esté viviendo en las aulas en que se forman los Profesores que pronto estarán en las aulas. Las escuelas recibirán a esos docentes y, con suerte, les permitirán impactar en el sistema educativo desde sus aulas. Rescatamos además el impacto que la Socioepistemología como teoría tiene en esos futuros docentes: el reconocimiento del aula, de la tarea docente, de las acciones y decisiones de los profesores, de las evidencias y de las propias necesidades de acercamiento al aula hacen que para nuestros alumnos la teoría sea no sólo accesible sino elegible. Nuestros alumnos encuentran en las investigaciones e investigadores descripciones y elementos atractivos, con los cuales pueden conectarse y empatizar. No les están diciendo qué hacer, les están mostrando qué y cómo mirar para poder decidir qué hacer. Esa es la concepción que tenemos de lo que debe ser la formación docente pensada desde un lugar de formación de profesionales de la educación. Referencias Bibliográficas Cantoral, R. (2001) Sobre la articulación del Discurso matemático escolar y sus Efectos Didácticos. En G. Beitía (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 14, 70-81. México: Grupo Editorial Iberoamérica. 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Influencia de las prácticas docentes en la visión de estudiantes y profesores de matemática acerca de la matemática en el aula y las decisiones didácticas. Tesis de Maestría en Matemática Educativa no publicada. Centro de Investigaciones en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, México. Homilka, L. (2011). La formación del profesor de matemáticas en una sociedad educativa. En P. Lestón (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 24, 711-720. México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Montiel, G. (2010). Hacia el rediseño del discurso: formación docente en línea centrada en la resignificación de la matemática escolar. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 13 (4 – I), 69-84. 284 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación DESARROLLO DEL PENSAMIENTO Y LENGUAJE VARIACIONAL EN ESTUDIANTES DE PRIMER AÑO DE LA UNIVERSIDAD Silvia Vrancken, Adriana Engler, Daniela Müller Facultad de Ciencias Agrarias. Universidad Nacional del Litoral. Argentina [email protected], [email protected], [email protected] Nivel: Medio - Terciario - Universitario ciclo Básico Palabras clave: Variación. Cambio. Representaciones. Funciones. Resumen Con la finalidad de favorecer la comprensión de conceptos y procedimientos asociados a las funciones y al cálculo, nos propusimos generar acciones que propicien el desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional en nuestros estudiantes de primer año de la universidad. Como parte del pensamiento matemático avanzado, el término pensamiento variacional se utiliza con la intención de profundizar en lo que se refiere al aprendizaje y manejo de funciones como modelo de situaciones de cambio. La formación del pensamiento variacional implica en primer lugar el tratamiento de situaciones variacionales. Las preguntas fundamentales son: qué varía, cómo varía lo que varía, cómo se relacionan los cambios. En relación a los procesos cognitivos implicados, las situaciones deben ser tales que los alumnos no necesiten sólo recurrir a la memoria para responderlas, sino que los lleven a que validen, modifiquen o construyan argumentos. En este sentido resulta fundamental el tratamiento y conversión entre distintas representaciones de las funciones. Presentamos la producción de un grupo de alumnos al resolver tres actividades preparadas especialmente para tratar de desarrollar estos elementos en el aula. Intentamos resaltar los argumentos de los estudiantes al abordar el estudio de la variación. En particular, trabajar con funciones facilita que emerjan de manera natural estrategias y argumentos de tipo variacional. Su desarrollo permite a los estudiantes significar los conocimientos que ponen en juego y construir nuevo conocimiento matemático. Poder identificar el fenómeno de cambio, describirlo, interpretarlo, predecir su comportamiento, cuantificarlo, son indicadores del pensamiento variacional que pretendemos desarrollar. Introducción A través de la matemática, las ciencias interpretan diversos fenómenos físicos y sociales, utilizando métodos cuantitativos y cualitativos que favorecen la resolución de problemas y la toma de decisiones. Los conocimientos matemáticos aparecen en situaciones, no solamente relacionadas con las ciencias, sino también surgidas de la vida diaria. La matemática juega un rol importante cuando es necesario cuantificar o medir cualquier fenómeno y las variaciones que se producen. Se crean modelos abstractos para describirlos y la medición del cambio de esos fenómenos es un aspecto esencial de la variación. En el marco de la educación matemática se han realizado en los últimos años numerosas investigaciones que resaltan la importancia de la noción de variación, tanto por su relación con diversos conceptos matemáticos (rapidez de variación, función, derivada, integrales, 285 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación ecuaciones diferenciales, etc.) como porque permite caracterizar un estilo propio de pensamiento (Cantoral y Farfán, 2003). El pensamiento variacional pone especial atención en la identificación y el entendimiento de los fenómenos de cambio. Su desarrollo implica todos los procesos propios del pensamiento matemático avanzado, desde la representación y visualización, hasta los procesos de abstracción (la generalización, el análisis, la síntesis, la inducción y la deducción), cuando el foco de estudio son los procesos de variación y cambio. En los estándares básicos de competencias desarrollados en Colombia por el Ministerio de Educación Nacional (2006, p. 66) se señala: […] este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos. Agregan que uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir, desde la educación primaria, distintos caminos y acercamientos significativos para la comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos, para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico y, más adelante, del cálculo diferencial e integral. Cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y la matemática misma. A partir de lo expuesto nos propusimos generar acciones que propicien el desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional en nuestros estudiantes de primer año de la universidad, de manera de favorecer la comprensión de conceptos y procedimientos asociados a las variables, las funciones y diferentes contenidos del cálculo diferencial. Desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional Como parte del pensamiento matemático avanzado, el término pensamiento variacional se utiliza con la intención de profundizar un poco más en lo que se refiere al aprendizaje y manejo de funciones como modelo de situaciones de cambio. Se trata de desarrollar una forma de pensamiento que identifique de manera natural fenómenos de cambio y que sea capaz de modelarlos y transformarlos. Está relacionado con la capacidad para dar sentido a las funciones numéricas, manejándolas de manera flexible y creativa, para entender, explicar y modelar situaciones de cambio, con el propósito de analizarlas y transformarlas. Distintos elementos dan cuenta del desarrollo del pensamiento variacional. Implica en primer lugar el tratamiento de situaciones variacionales. Las preguntas fundamentales son: qué varía, cómo varía lo que varía, cómo se relacionan los cambios. Específicamente, entendemos por una situación variacional al conjunto de problemas que requieren de un tratamiento variacional tanto desde el punto de vista de las funciones cognitivas de quienes las abordan como desde la perspectiva matemática y epistemológica. 286 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Estudiar la variación de un sistema o cuerpo significa ejercer nuestro entendimiento para conocer cómo y cuánto cambia el sistema o cuerpo dado. Es en este sentido que nos referimos a los argumentos de tipo variacional. Decimos que una persona utiliza o comunica argumentos y estrategias variacionales cuando hace uso de maniobras, ideas, técnicas, o explicaciones que de alguna manera reflejan y expresan el reconocimiento cuantitativo y cualitativo del cambio en el sistema u objeto que se está estudiando (Cantoral, Molina y Sánchez, 2005). En relación a los procesos cognitivos implicados, las situaciones deben ser tales que los alumnos no necesiten sólo recurrir a la memoria para responderlas, sino que los lleven a que validen, modifiquen o construyan argumentos. El tratamiento y conversión entre distintos sistemas de representación resulta fundamental para el reconocimiento de los rasgos característicos del comportamiento variacional de las funciones. Duval (1998, 2006) expresa que la actividad matemática se basa siempre en alguna secuencia de cambios sucesivos de una representación a otra. El uso de distintas representaciones para un mismo objeto aumenta la capacidad de pensamiento del sujeto sobre ese objeto y por lo tanto su conocimiento del mismo. En base a esto, adoptamos la premisa de que los sistemas de representación no sólo son necesarios para comunicar conocimiento sino que resultan imprescindibles para la actividad cognoscitiva del pensamiento. Algunas actividades y las producciones de estudiantes Sabiendo que el significado y el sentido acerca de la variación se establecen a partir de situaciones problemáticas cuyos escenarios son los referidos a fenómenos de cambio, propiciamos el desarrollo de actividades que favorezcan la construcción de significados, tanto de los conceptos como de los procesos, basados siempre en ideas variacionales. Con la finalidad de introducir los contenidos correspondientes al estudio de funciones (crecimiento, extremos, concavidad, puntos de inflexión), diseñamos e implementamos una serie de situaciones consistentes en problemas, ejercicios, preguntas, relacionados entre sí, que den oportunidad al alumno de moverse a través de distintos sistemas de representación, partiendo de las ideas que posee sobre la variación y el cambio. Para su elaboración consideramos actividades propuestas por Salinas, Alanís, Pulido, Santos, Escobedo y Garza (2003), aunque los enunciados y consignas fueron adaptados. Los fenómenos analizados en el contexto de las situaciones problemáticas diseñadas, son de naturaleza tal que permiten advertir, de manera intuitiva, ciertos aspectos de las razones de cambio de las magnitudes involucradas. Esta información se puede interpretar a partir de los comportamientos de las magnitudes y está presentada a través de representaciones algebraica (ley de la función), numérica (tabla), gráfica (representación en un sistema de coordenadas) y verbal. Ligado al análisis de estos acercamientos al comportamiento de las magnitudes, se verán surgir nociones como la de concavidad de una curva, máximos y mínimos, así como la de punto de inflexión. Al momento de resolver las actividades, los alumnos ya habían desarrollado los contenidos referidos a funciones, como así también estudiado la definición de derivada, su 287 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación interpretación física como razón de cambio y la relación de esta razón con la pendiente de la recta tangente, siempre desde un punto de vista variacional. Presentamos la producción de un grupo formado por dos alumnos y analizamos sus argumentos al abordar el estudio de la variación en tres situaciones distintas. La figura 1 corresponde a la resolución de una actividad en la que se analiza el comportamiento de una magnitud que crece cada vez más rápido, por lo que permite abordar la problemática del crecimiento cuando la razón de cambio no es constante. 288 Figura 1 El primer inciso permitió realizar a los alumnos un análisis del cambio que sufre la cantidad de agua contenida en el recipiente a medida que transcurre el tiempo. ―La descripción de la manera que las magnitudes se comportan en la situación, es el acercamiento cualitativo al fenómeno que permitirá sacar algunas conclusiones y hacer las El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación primeras predicciones de lo que sucederá con los elementos involucrados con el transcurso del tiempo‖ (Castiblanco, Urquina, Acosta y Rodríguez, 2004, p. 18). De manera obvia, el nivel de agua aumenta, pero es posible apreciar de manera intuitiva que a medida que pasa el tiempo, el nivel de agua crece cada vez más lentamente. Observamos cómo los alumnos describieron verbalmente la relación entre las variables involucradas, utilizando vocabulario que refleja el comportamiento variacional. Los siguientes incisos ayudaron a, según el nivel de comprensión de la situación planteada, confirmar o complementar el análisis, trabajando desde los registros numérico y gráfico. La medición de los cambios constituye el análisis cuantitativo de la situación. En el inciso b) se presenta la expresión algebraica de la función. Los alumnos debían utilizarla para completar la tabla. La representación numérica les permitió determinar diferentes medidas de las magnitudes involucradas en la situación de cambio. Al completar la segunda fila con los valores h correspondientes a la altura del agua, pudieron reconocer que el nivel de agua no crece a razón constante con respecto al tiempo. Observamos cómo utilizaron la diferencia para calcular los incrementos de la altura del agua y cómo argumentaron teniendo en cuenta estos resultados, refiriéndose a la ―variación del agua‖. Las diferencias indican el cambio de la variable como un proceso de variación, por lo tanto constituyen el elemento básico que permite analizar cuantitativamente el comportamiento de las funciones. A partir del tratamiento realizado en los registros verbal y numérico, no tuvieron dificultades para convertir la información al registro gráfico. Dado que el nivel de agua crece cada vez más lento, la gráfica debe tener determinada forma, lo que se corresponde con una característica del tipo de comportamiento que se está analizando. El reconocimiento de la gráfica exige centrar la atención en el comportamiento lineal o curvo y en la manera en que cambia la gráfica de acuerdo a la forma del recipiente. El papel de los ejes cartesianos como referencia para la representación del comportamiento de algún fenómeno, es primordial para la resignificación del fenómeno mismo, pues de ellos depende la interpretación de las relaciones que se pretendan expresar, o bien, el significado mismo de lo que una gráfica expresa (Méndez y Gómez, 2011, p. 58). En el trabajo presentado notamos cómo los alumnos reconocieron la gráfica correspondiente a la situación planteada, apareciendo por primera vez la expresión ―cada vez menor‖ al referirse al comportamiento del crecimiento. La representación geométrica pedida en el inciso d) los llevó a asociar el cambio de las variables involucradas con longitudes de segmentos. Observamos que dibujaron correctamente y relacionaron la medida de los segmentos verticales con los cambios de la variable dependiente, lo que les permitió corroborar que dichos cambios son ―cada vez más chicos‖. 289 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación En el inciso e) aparecen las razones de cambio instantáneas, relacionando los cambios de la altura con los cambios del tiempo en cualquier instante t. Vemos, en la explicación verbal de los alumnos, cómo relacionaron el signo de la razón de cambio con el crecimiento de la función y cómo relacionaron el comportamiento de ambas variables. La última respuesta permite terminar de analizar toda la situación en la que el nivel de agua crece con respecto al tiempo transcurrido. Aunque la razón de cambio es siempre positiva, no es constante, lo que nos permite caracterizar el crecimiento y, a la vez, diferenciarlo de otros tipos de crecimiento. Observamos cómo el contexto se convierte en una herramienta que permite el análisis de la variación, propiciando de esta manera el desarrollo de procesos de pensamiento. A continuación presentamos la resolución de una actividad que permite considerar la importancia de analizar fenómenos donde la gráfica se presente más que como una simple representación de puntos, como una forma de describir su comportamiento (Figura 2). En la mayoría de los casos las gráficas son usadas como una forma de representación de la información. Generalmente las asociamos a una tabla de datos, por lo que el encontrar los puntos que representen a dicha tabla es suficiente para dibujar la gráfica. Sin embargo, en muy pocos casos se analiza la potencialidad de mirar a las gráficas como una forma de interpretar el comportamiento de cierto fenómeno (Méndez y Gómez, 2011, p. 54). Se representa en este caso una combinación de comportamientos. La función describe el crecimiento de la cantidad de células con respecto al tiempo, pero un crecimiento diferente en distintos intervalos. Las preguntas persiguen el análisis cualitativo de las magnitudes involucradas. Figura 2 290 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Su resolución requirió identificar el intervalo donde el crecimiento es más lento, que se corresponde con el tramo de la gráfica que abre hacia abajo, mientras que cuando el crecimiento es cada vez más rápido la gráfica abre hacia arriba. Esto puede observarse si se piensa en el cambio que sufre la pendiente de la recta tangente a la curva, es decir, la derivada, que en este caso representa la variación de la cantidad de células con respecto al tiempo. El trazado de rectas tangentes ayuda a observar el comportamiento variacional de la función, al relacionar las pendientes de las distintas rectas en cada instante. A partir de la gráfica que modela el fenómeno, es posible reflexionar también sobre el punto de inflexión que se forma. Es en este punto donde cambia la forma en la que varía el tamaño de la población. Se combina el tratamiento del comportamiento global y local del fenómeno. El inciso a) pretende la relación entre el signo de la razón de cambio y el crecimiento de la función. Observamos que los alumnos justificaron teniendo en cuenta el signo de las pendientes de las rectas tangentes. No analizaron el comportamiento diferente en t 8, instante en que la recta tangente es vertical y la razón de cambio no está definida. Consideramos que asociaron crecimiento con razón de cambio positiva en cada instante. Sin embargo, sí reconocieron el cambio de comportamiento del crecimiento en ese valor, considerándolo en las respuestas de los siguientes incisos. Notamos en el inciso b) que fueron capaces de identificar los dos intervalos en donde el comportamiento es diferente y analizar que en el primero el número de células ―crece más rápidamente‖ mientras que en el segundo ―crece más lentamente‖. En el inciso c) observaron las características gráficas que describen estos comportamientos: ―abre hacia arriba‖, ―abre hacia abajo‖. La respuesta del último inciso los ayudó a identificar el valor de t donde el comportamiento de la función cambia y a relacionar este comportamiento con la forma de la gráfica. A continuación presentamos la resolución de una actividad que presenta, nuevamente de manera gráfica, un fenómeno que manifiesta diferentes comportamientos. En este caso se agrega la dificultad de que la magnitud involucrada experimenta un crecimiento en determinados intervalos, mientras que en otros intervalos decrece. La resolución del equipo se muestra en la figura 3. Figura 3 291 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación Dado que la situación corresponde al movimiento de una partícula, no fue sencillo relacionar el comportamiento de la gráfica con el proceso representado. En actividades resueltas con anterioridad, los alumnos habían desarrollado los aspectos relacionados al crecimiento de la gráfica a través del registro tabular. Si al transcurrir el tiempo t, la gráfica de la posición crece, entonces la partícula está avanzando. Si la gráfica decrece, la partícula está retrocediendo. Es posible profundizar el análisis si observamos que a medida que transcurre el tiempo, la razón de cambio de la posición con respecto el tiempo no es constante. Esto es posible inducirlo a partir de la representación gráfica, dado que no es una recta. Observamos en la resolución del inciso a) que, sin tener en cuenta los extremos de los intervalos, los alumnos describieron correctamente el comportamiento de la partícula, determinando los intervalos donde ―se mueve hacia la derecha‖ y ―se mueve hacia la izquierda‖. En el inciso b) distinguieron aproximadamente los intervalos en los que la partícula acelera y desacelera a partir del comportamiento de las pendientes de las tangentes a la curva. Que puedan observar que ―…siendo la pendiente más inclinada, es mayor velocidad‖ es un logro muy importante para introducir el estudio de la función a partir del análisis del comportamiento de la derivada. Reflexiones Hemos observado cómo, a partir del análisis de la variación en distintas situaciones, los alumnos describieron el comportamiento de los fenómenos, resaltando los aspectos variacionales. En particular, trabajar con funciones facilita que emerjan de manera natural estrategias y argumentos de tipo variacional. Su desarrollo permite a los estudiantes significar los conocimientos que ponen en juego. Ellos hacen uso de sus conocimientos previos, los cuales son replanteados dentro de la situación, adquiriendo nuevos sentidos y profundizando en su significado. Esto facilita la construcción de nuevo conocimiento, como por ejemplo en este caso, las nociones de concavidad y punto de inflexión, sin necesidad de llegar a formalizar los conceptos. Un problema común es la falta de vinculación entre las distintas representaciones de una función. Los estudiantes suelen describir verbalmente de manera correcta lo que sucede en un fenómeno, en otros casos pueden construir una gráfica a partir de datos observados, o resolver un problema a partir de la expresión analítica de la función. Sin embargo, la conversión de un sistema de representación a otro, ocasiona dificultades. La exigencia de las producciones escritas favorece el tratamiento y conversión entre distintas representaciones. La calidad de la comprensión de la situación de variación dependerá de las relaciones que el estudiante pueda establecer entre las mismas. La valoración de las actividades desarrolladas en clase, atendiendo básicamente al efecto que tienen en el desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional de nuestros estudiantes, 292 El pensamiento del profesor, sus prácticas y elementos para su formación se constituye en el punto de partida para el rediseño y adecuación de las situaciones inicialmente planteadas. Esto se convierte en un proceso continuo, en la búsqueda de mejorar el entendimiento de las nociones relacionadas a las funciones y el cálculo. Referencias Bibliográficas Cantoral, R. y Farfán R. (2003). Situaciones de cambio, pensamiento y lenguaje variacional. En R. Cantoral, R. Farfán, F. Cordero, J. Alanís, R. Rodríguez y A. Garza. Desarrollo del pensamiento matemático (pp. 185-203). México: Trillas. Cantoral, R., Molina, J. y Sánchez, M. (2005). Socioepistemología de la Predicción. En J. Lezama, M. Sánchez y J. Molina (Eds.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 18, 463-468. México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. Castiblanco, A.; Urquina, H.; Acosta, E. y Rodríguez, F. (2004). Pensamiento Variacional y Tecnologías Computacionales. Ministerio de Educación Nacional de Colombia. Serie Documentos. Colombia: Enlace Editores Ltda. Duval, R. (1998). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. En F. Hitt (Ed.), Investigaciones en Matemática Educativa II (pp. 173201). México: Grupo Editorial Iberoamérica. Traducción de: Registres de représentation sémiotique et functionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. Vol. 5 (1993). Duval, R. (2006). Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para cambiar el registro de representación. La Gaceta de la RSME (9) 1, 143-168. Traducción del francés: Humberto Quesada. Méndez, C. y Gómez, K. (2011). Situaciones de Aprendizaje para profesores. Llenado de recipientes. En R. Farfán (coord.). El desarrollo del pensamiento matemático y la actividad docente (pp. 54-63). Recuperado el 5 de marzo de 2012 de http://www.proyectosmatedu.cinvestav.mx/situaciones/docs/LIBRO_DPM_2011.pdf Ministerio de Educación Nacional (2006). Estándares básicos de competencias. Colombia: Magisterio. Salinas, P.; Alanís, J.; Pulido, R.; Santos, F.; Escobedo, J. y Garza, J. (2003). Elementos del Cálculo. Reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza. México: Trillas. 293 CAPÍTULO II Propuestas para la enseñanza de la matemática Propuestas para la enseñanza de la matemática DE LOS NÚMEROS A…¡¡LOS ENVASES!! Mabel Alicia Slavin Instituto Superior de Formación Técnica Nº 75.Tandil. Argentina. [email protected] Nivel Inicial. Nivel E.P.B. 1º Ciclo y 2º Ciclo. Nivel E.S.B. Palabras clave: Contar. Armar. Volumen. Calcular. Resumen El escaso conocimiento sobre las funciones de los números, la idea de cantidad y de continuidad y sus relaciones con las figuras con el que ingresan los estudiantes al nivel terciario, debido al no tratamiento de estos temas en la formación secundaria, establece la posibilidad de generar algunas representaciones de los números naturales que conduzcan a la necesidad de su aprendizaje para poder relacionarlo con la vida cotidiana. Es necesario entonces, aprender a manejar la visualización y sus técnicas, y traer al aula las representaciones pitagóricas de los números. Clasificando números se puede llegar a la idea de sucesión y a través de ella, se pueden lograr representaciones de números ubicados en planos paralelos, esta idea de volumen es una interesante manera de llegar a la obtención de envases que se encuentran fácilmente en los sitios habituales de compras. Este trabajo consiste en una propuesta basada en ―armar‖ números a partir de la forma más elemental de los números planos: es decir el número triangular. Las combinaciones de números triangulares dan lugar a números de distinto orden y la combinación de estos genera volúmenes de uso cotidiano que en realidad surgen, comercialmente, de la cortadura de un cilindro. Así surge la interdisciplinariedad ya que se puede hacer referencia a la conservación de los alimentos y al cuidado del ambiente mediante el uso de envases reciclables. Introducción Esta propuesta tiene como objetivo abordar el concepto de número y su representación geométrica. Se basa en la idea pitagórica de representar los números por medio de puntos dispuestos en modo de formar figuras. A cada figura le corresponde un número y viceversa. Se genera así una aritmética geométrica: los números figurados planos. La primera configuración plana corresponde a los números triangulares y sus combinaciones, entre otras, generan los números pentagonales equiláteros. Combinando números figurados que correspondan a la misma sucesión se obtienen los números sólidos, es aquí donde se puede observar la generación de un volumen que se puede también obtener como cortadura de un cilindro. Esta situación audazmente intuitiva y visual permite manipular, sirve para informar, ayuda a la reflexión, puede entretener, divertir, asombrar, plantear dudas y proponer caminos de descubrimiento y de invención. 295 Propuestas para la enseñanza de la matemática Aquí aparece la idea de modelización como un recurso pedagógico, deliberadamente propuesto para orientar al niño y/o al adolescente en la adquisición de saberes y prácticas curriculares valiéndose de una actividad cercana a ellos y elegida por ellos: la manipulación. Aquí es donde se presenta la idea de realizar una combinación interesante de símbolos y signos convencionales que sirvan de intermediarios entre las diferentes áreas del conocimiento. Se pretende de esta manera que los futuros docentes sean innovadores en su desempeño profesional y pierdan el miedo a la interdisciplinariedad (Palacios, 1998). Es necesario que los alumnos encuentren la utilidad de los contenidos matemáticos ya que no se puede continuar con la pedagogía del siglo XIX mezclada con la tecnología del siglo XXI. En síntesis, se trata de favorecer la creatividad y motivar a los estudiantes de los diferentes niveles, mostrándoles aplicaciones reales de la matemática, poniendo a su alcance recursos y ejemplos de la vida diaria, enseñándoles a utilizar técnicas ya aprendidas (o no) en un contexto cotidiano (Litwin,2008). Consideraciones sobre la propuesta Una propuesta educativa con excesivos contenidos específicos, sin vinculación aparente entre ellos, no deja de ser un mapa cultural formado por ―islas‖ de información incapaces de conducir al pensamiento como objetivo de la educación. La educación en general y, la educación matemática en particular, no consisten sólo en impartir conocimientos, sino en promover ciertas actitudes y aptitudes mentales en las personas. En todo momento se debe tratar de lograr un pensamiento eficaz, la capacidad de comunicar el pensamiento, de formular juicios y de discriminar valores. Esta idea lleva a definir al proceso de resolución de problemas como el pensamiento reflexivo crítico mediante el cual un individuo encuentra una salida para dar respuesta a la perplejidad que el problema le provoca (Sadovsky, 2005). Aquí aparece el lenguaje que permite analizar y expresar el pensamiento. (Palacios, 1998) El lenguaje lo socializa y lo comunica. Todo individuo es capaz de jugar con los signos: combinarlos, unirlos, elaborar una síntesis, así la palabra permite objetivar, aclarar, resolver problemas. Por lo tanto la unidad de los conocimientos entre sí y de éstos con la vida cotidiana es un objetivo al que se debería enfocar. El conocimiento es un todo. Todas las ciencias que lo forman tienen relaciones recíprocas y actúan entre sí, se completan y equilibran unas con otras. 296 Propuestas para la enseñanza de la matemática Para esto se necesita un docente que vaya más allá de los aprendizajes concretos, debe guiar a sus alumnos para que lleguen a aprender a pensar, a adquirir capacidades de relación y de reflexión. Comúnmente se dice que la matemática es una ciencia formal, en el sentido de que lo que se enseña es válido para todos los conjuntos posibles que con ciertas relaciones constituyen el aspecto formal de las cosas, lo permanente es la forma, es decir, el modelo, lo inmaterial. Esta propuesta consiste en trabajar el lenguaje de los números y su representación. Aquí aparecen signos que deben ser iguales entre ellos y no necesariamente las cifras que utilizamos habitualmente. Si a esto se le agrega un orden surge la representación de los números por medio de puntos dispuestos en modo de formar figuras. La figura constituye una disposición geométrica que presupone un orden mensurable (Palacios, 2003). Partiendo de los números naturales se pueden obtener las configuraciones para los números triangulares, que según la clasificación de Nicómaco de Gerasa, es la forma más elemental de los números planos .Las combinaciones de éstos llevan a las configuraciones de los distintos números poligonales planos. Siguiendo la clasificación de Diofanto de Alejandría se pueden obtener configuraciones de números triangulares heterómecos, si se considera que dos de los lados posean sólo una unidad más que el otro; se forma de esta manera una configuración triangular isósceles. Estas configuraciones son fundamentales para generar el edificio de los números poliédricos. Este es un terreno muy fértil para la búsqueda de relaciones que llevarán a la ley de formación de cada una de las sucesiones que se establezcan. Apariencias, circunstancias, distribución de numerales, estas figuras surgidas de los números son el necesario contorno donde el docente puede establecer la relación con la vida cotidiana. Las representaciones en planos paralelos de los números poligonales dan lugar a la visualización de volúmenes conocidos por los alumnos. Surge el modelo y naturalmente su elaboración comercial .Aparece un nuevo protagonista: el cilindro y sus cortaduras (Gómez, 2002). Planteada de esta forma la situación de aprendizaje llevará a los alumnos a dominar ámbitos del saber y del saber- hacer complejos, preservando su significado cultural. Esto implica una actividad mental comprometida desde el punto de vista del alumno, y resulta educativamente útil cuando promueve formas de pensamiento y de aproximación al conocimiento cada vez más avanzadas. Las prácticas pedagógicas en las que se involucra el trabajo cooperativo facilitan la transferencia de hábitos y saberes a nuevas situaciones sociales. (Bixio, 2010) Esto conducirá al estudiante a desarrollar el gusto por hacer uso de sus propias competencias, de 297 Propuestas para la enseñanza de la matemática implicarse en el proceso de construcción del propio conocimiento, del propio saber, de la propia educación. Aquí aparecen dos palabras clave: motivación y volición, no siempre presentes, la motivación es necesaria para garantizar la disposición del alumno pero la volición es lo que permite pasar a la acción (D'Amore, 2008). Este tipo de situaciones hace que los alumnos, cazadores de contenidos, los busquen, los incorporen, los hagan propios, los elaboren, los manipulen. Es en la reelaboración de los contenidos donde surge el conocimiento que el alumno pondrá de manifiesto en su vida social, en sus conversaciones, en sus juegos. (Sarlé, 2010) Los llevará a otro campo de acción, los usará transversalmente y es esta transversalidad la que pone de manifiesto su creatividad, su inventiva. Para obtener esto, se deben proponer al alumno situaciones de este tipo, donde se privilegie la búsqueda de alternativas vividas por el alumno en forma natural y contextualizada. (Ricotti, 2005) Uso del material El material preparado para esta propuesta consiste en tres estructuras ―numéricas‖ y los correspondientes envases comerciales. Las estructuras ―numéricas‖ surgen luego de realizar una serie de manipulaciones con elementos adherentes en un pizarrón magnético. Aquí se trabaja la sucesión de los números naturales y las diferentes configuraciones de los números triangulares: triangular equilátero, triangular isósceles rectángulo. Se obtienen las estructuras de los números triangulares planos combinando bolitas de madera. Por apilamiento, es decir el trabajo en diferentes planos, se obtienen los números sólidos. Sólo se trabaja con los números piramidales triangulares, los números prismales pentagonales y los números piramidales triangulares heteromecos. Se genera un cilindro y se realizan las diferentes cortaduras que darán lugar a los envases comerciales de leche chocolatada, crema de leche y jugo que se pueden asociar a las estructuras de los números sólidos. Intenciones pedagógicas Descubrir las estructuras de los números poligonales planos. Encontrar las leyes de formación de las sucesiones de números figurados planos. Diferenciar número de figura. 298 Propuestas para la enseñanza de la matemática Establecer relaciones de sucesión de números figurados planos –sucesión de números figurados sólidos. Armar y calcular volúmenes. Diferenciar sucesiones con ley de formación y sucesiones por recurrencia. Abstraer conceptos y relaciones. Integrar el lenguaje propio del pensamiento visual. Utilizar gráficos, esquemas y dibujos. Facilitar la concentración, debido a la situación de modelización. Generar iniciativas y dejar de lado el aburrimiento. Facilitar el intercambio con otros. Favorecer el placer al superar obstáculos. Fomentar la tolerancia al error, esto evitará frustraciones. Diferenciar entre medio y fin, el proceso es más relevante que el resultado por alcanzar. Respetar reglas impuestas por el grupo. Implementación La versatilidad del material nos permite la utilización del mismo desde la sala de 5 (cinco), del Nivel Inicial hasta el último año de la E.S.B. (3º año). Algunas sugerencias para el uso del material (cada docente establecerá el esquema que le convenga de acuerdo con los conocimientos y dificultades de su grupo de alumnos): NIVEL INICIAL (Según los Diseños curriculares y Documentos que figuran en la bibliografía) (Desde sala de 5) Posibilidad de construir números. (Desde sala de 5) Buscar la mayor cantidad posible de combinaciones para el mismo número. (Todas las salas) Configuraciones libres. (Desde sala de 5) Formar la escala ascendente de los números naturales. (Desde sala de 5) Contar y sumar. (Desde sala de 5) Reconocer figuras en los envases. (Desde sala de 5) Reconocer traslaciones. (Desde sala de 5) Reconocer letras más comunes. (Desde sala de 5) Reconocer la utilidad de los envases descartables. (Desde sala de 5) Noción de fracción. Reconocimiento de unidad y de cuarto. E.P.B. PRIMER CICLO (Desde 1º año) Reconocimiento de figuras. 1 1 , ) 2 4 (Desde 1º año) Encontrar equivalencias de fracciones entre diferentes envases. (Desde 1º año) Identificar simetrías. (Desde 1º año) Armar los envases (jugo). (Desde 1º año) Reconocer fracciones en los envases ( 299 Propuestas para la enseñanza de la matemática (Desde 2º año) Encontrar las simetrías en las configuraciones numéricas. (Desde 3º año) Diferenciar figuras. (Desde 2º año) Intentar el cálculo mental de los números sólidos. (Desde 3º año) Comenzar con la idea de volumen. SEGUNDO CICLO (Desde 4º año). Reconocer y clasificar los números (pares, impares) (Desde 4º año) Encontrar las sucesiones de los números figurados planos. (Desde5º año) Diseñar nuevas configuraciones (números cuadrados). (Desde 4º año) Reconocer los envases y encontrar otras utilidades. (Desde 6º año) Calcular volúmenes de los distintos envases. (Desde 5º año) Calcular perímetros y superficies de los envases. (Desde 4º año) Encontrar equivalencias entre los diferentes envases. E.S.B. (Desde 1º año). Comenzar el trabajo de proporcionalidad. (Desde 1º año). Establecer relaciones entre las superficies de las distintas figuras. (Desde 2º año) Encontrar el valor exacto de las longitudes de los volúmenes. (Desde 2º año) Reconocimiento de la existencia de distintas sucesiones. (Desde 3º año). Encontrar la ley de formación de cada sucesión. (Desde 2º año) Realizar el desarrollo de los elementos de las sucesiones de los números sólidos. (Desde 2º año) Intentar la construcción de nuevos volúmenes. (Desde 3º año) Encontrar la fórmula de recurrencia de las sucesiones. (Desde 3º año).Llegar a la idea intuitiva de límite. (Desde 1º año) Realizar piezas a partir de las combinaciones de los números triangulares El material El material que se sugiere puede ser construido por lo mismos niños y/o adolescentes, ya que constituye en sí mismo un problema no convencional que exige la puesta en marcha de habilidades manuales y destrezas en el uso de herramientas (estos aspectos han dejado de ser tenidos en cuenta en estas últimas modificaciones de la enseñanza básica). Se prevé que los materiales puedan ser económicos y posibles de conseguir en cualquier contexto social, no por desconocer u oponerse a las nuevas tecnologías, sino para presentar opciones que alternen su uso. (Ricotti, 2005) Con estas estructuras y volúmenes, el número racional se trabaja desde lo visual buscando una fuerte reflexión sobre las relaciones existentes entre los lados que delimitan las configuraciones geométricas que representan a los diferentes números figurados. Para profundizar se calculan áreas y perímetros, apelando a propiedades y teoremas para iniciar la formalización. (Villela, 2001) La experimentación con el material lleva a las propiedades de las figuras, esto le dará significatividad a los resultados y a la necesidad de ordenar datos para obtener representaciones claras de las medidas. 300 Propuestas para la enseñanza de la matemática Los alumnos pueden generar la idea de volumen, con la posibilidad de deducir cómo encontrar su valor numérico a partir de la idea de ―apilar‖. Aquí surge la diferencia entre volumen y capacidad al intentar calcular el valor que tiene ésta en los envases generados. Este material que deja un margen total de libertad al docente para que de acuerdo con sus capacidades, gustos y/o estilos decida cómo, cuando y para qué utilizarlo, solo pretende ser el comienzo de vivencias diferentes, de expresiones enriquecedoras que hagan más apasionante la clase de matemática. El uso de la imagen, tan popular en los medios de comunicación actuales, será necesario para lograr el entendimiento con miras a un aprendizaje más directo. Los diseños Las estructuras Los envases Comentarios finales El aprendizaje es un juego de conservación y de transformación. Este juego necesita de un adulto capaz de aceptar la fuerza de la argumentación de sus estudiantes, un adulto osado, audaz, que pueda permitirles crecer a sus alumnos. (Bixio, 1999) Un adulto que pueda conservar los universos simbólicos construidos y a la vez sea capaz de abrir grietas en los saberes conseguidos para generar un espacio donde sea posible la transformación y aplicación de esos saberes simbólicos. Tomando la idea de conservación y transformación de la cultura es posible soñar, tener la ilusión de que es posible, con los recursos de que se dispone, lograr que los niños/adolescentes se animen a pensar y usar la matemática como una herramienta útil. 301 Propuestas para la enseñanza de la matemática Pensemos que el presente se puede modificar, debemos darnos el margen de libertad necesario y tener el coraje suficiente para dar comienzo a la acción. Los obstáculos/desafíos son las condiciones de trabajo con las que nos enfrentamos. Esto nos da la posibilidad de imaginar herramientas que nos permitan intervenir, comparar, juzgar, decidir, romper, elegir y considerarse capaces de grandes acontecimientos que dignifiquen la tarea cotidiana. Freire nos alienta a compenetrarnos y comprender la realidad. El docente debe asumir sus convicciones, estar disponible al saber, ser sensible a la belleza de la práctica educativa y asumir sus limitaciones. (Freire, 2008) Pasión de trasmitir y pasión de aprender. El objetivo general de la educación matemática debería ser la creación de espacios, espacios de producción de conocimiento a partir de situaciones cotidianas, espacios que pongan en juego los formatos habituales y generen zonas flexibles, espacios donde el conocimiento colectivo nos implique como productores de ese conocimiento. ¿Cómo podemos hacer? Se debe pensar acerca de lo que se enseña, para qué se hace y buscar fundamentos que avalen la elección de los contenidos que se desarrollan en cada ciclo. Esta reflexión debería conducir al planteo de problemas que favorezcan la creatividad y motiven al estudiante mostrándole las aplicaciones cotidianas que tiene la matemática. (Gómez, 2002) Se debe lograr que el alumno de cualquier nivel educativo, observe y se de cuenta que la matemática está presente en todas las actividades humanas, que entienda su presencia y su aplicación. Este enfoque pretende un cambio fundamental en la concepción del papel del docente, una modificación en su perfil formativo y una manera distinta de prepararse en la utilización de recursos y tecnologías. (Bixio, 2006) Este es el desafío que presentan situaciones como las que se han planteado en este trabajo. La matemática no es un conjunto de conocimientos aislados sino que responden a finalidades y propósitos determinados. Es preciso que el docente muestre su utilidad más allá del ámbito puramente matemático. (Villela, 2004) El docente debe enseñar la matemática como una contribución al estímulo de la inteligencia y las inquietudes de todos los miembros de una sociedad. Por esto ―El aprendizaje es la interpretación y reinterpretación de las experiencias vividas. Si las experiencias son buenas…seguramente se querrá continuar con ellas” Referencias Bibliográficas Bixio, C. (1999).Enseñar a aprender .Rosario: Homo Sapiens Ediciones. 302 Propuestas para la enseñanza de la matemática Bixio, C. (2006). ¿Chicos aburridos? El problema de la motivación en la escuela. Rosario: Homo Sapiens Ediciones. Bixio, C. (2010).Maestros del siglo XXI. Rosario: Homo Sapiens Ediciones. D'Amore, B. y otros. (2008).Competencias y matemática. Bogotá: Cooperativa Editorial Magisterio. Diseños curriculares para la Enseñanza Primaria Básica. (2000, 2003)La Plata: Subsecretaría de Educación. DGCyE. Diseños curriculares para la Enseñanza Secundaria Básica. (2007, 2008 ,2009)La Plata: Subsecretaría de Educación. DGCyE. Documentos de la Revista de Educación. (2003).Orientaciones didácticas para el Nivel Inicial 1º Parte .La Plata: Subsecretaría de Educación. DGCyE. Documentos de la Revista de Educación. (2003).Orientaciones didácticas para el Nivel Inicial 2º Parte .La Plata: Subsecretaría de Educación. DGCyE. Freire, P. (2008).Pedagogía de la Autonomía. Buenos Aires: Siglo Veintiuno Editores. Gómez, J. (2002). De la enseñanza al aprendizaje de las matemáticas. Barcelona: Edit. Paidós. Litwin, E. (2008).El oficio de enseñar. Condiciones y contextos. Buenos Aires: Edit. Paidós. Palacios, A. y otros. (1998).Interdisciplina para armar. Buenos Aires: Edit. Magisterio del Río de la Plata. Palacios, A., Catarino, G. (2003).Pitágoras de Samos y sus redonditos de sumota. Buenos Aires: Edit. Lumen. Ricotti, S. (2005).Juegos y problemas para construir ideas matemáticas. Buenos. Aires: Novedades Educativas. Sadovsky, P. (2005). Enseñar matemática hoy. Buenos. Aires: Libros del Zorzal. Sarlé, P. (2010).Lo importante es jugar. Rosario: Homo Sapiens Ediciones Villela, J. (2004).Didáctica de la matemática .Buenos Aires: Jorge Baudino Ediciones. Villella, J. (2001).Uno, dos, tres…geometría otra vez. Buenos. Aires: Aique. 303 Propuestas para la enseñanza de la matemática CONSTRUYENDO SECUENCIAS DIDÁCTICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA Carina Pacini, Lucia Sacco Instituto superior de Formación Docente y Técnica nº 127. Argentina [email protected], [email protected] Nivel Terciario Palabras clave: Secuencia didáctica. Experiencias formativas. Prácticas docentes. Resumen La Educación Matemática cuenta con múltiples orientaciones que la enriquecen y ofrecen posibilidades de tomar componentes desde diferentes abordajes teóricos. Este trabajo presenta una secuencia didáctica de un contenido específico de la asignatura Análisis Matemático I, de 2do año del Profesorado en Matemática del ISFD Nº 127. El propósito es compartir la experiencia entre el docente de AMI y los docentes de Fundamentos de la Matemática, quien brinda el aporte del marco teórico que fundamenta la propuesta y el de Computación con el aporte de las Nuevas Tecnologías como recurso para aprender Matemática. Para la fundamentación se han considerado tres líneas de la Didáctica de la Matemática. El Enfoque Cognitivo con tres conceptos como son concepciones espontáneas, imagen conceptual y definición conceptual. La Escuela Anglosajona con elementos teóricos centrales como son la noción de problema y la de modelización como proceso continuo para la resolución de problemas. Y la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD), la cual se centra en cuestiones de validación, enfoque necesario para la formación docente. Se considera que como formadores de futuros docentes de matemática, es preciso brindar una propuesta educativa que incluya no sólo conocimientos de un contenido matemático específico, sino herramientas que aporten a su futura tarea. Se pretende, que a través del desarrollo de esta secuencia didáctica, sea posible el análisis conjunto entre docentes y alumnos respecto de prácticas docentes apropiadas a llevar a cabo, que sirvan de ejemplo o modelo y, simultáneamente, caracterizar otras que no lo son. Introducción El Proyecto de Mejora de la Formación Docente inicial de profesores para el nivel secundario, disponible en el Centro de Documentación Virtual del INFD, señala que las experiencias formativas que ha de brindar la nueva formación docente habrán de favorecer la comprensión de los temas centrales de cada campo, en contrapartida a la mera acumulación de contenidos, pensar en los desafíos profesionales al intentar enseñar de manera significativa esos contenidos, a los nuevos sujetos de la escuela secundaria. Un tema central y bastante estudiado es el de ―aprendizaje docente‖. Este tema pone el acento en un enfoque de la formación que se refiere al proceso personal de construcción de identidad que debe realizar cada futuro docente, a la construcción de la base conceptual necesaria para enseñar y a la construcción de un repertorio de formas docentes apropiadas para las situaciones de enseñanza que deberá enfrentar. Como se advierte este enfoque se contrapone al concepto de ―preparación específica 304 Propuestas para la enseñanza de la matemática para algo‖ y en lo posible con herramientas a prueba de fuego. Más bien, sostiene que el aprendizaje docente es una tarea que cada profesor comienza durante el período de su formación inicial, sigue con cierto nivel de inseguridad en los primeros dos o tres años de docencia y continua haciendo durante el resto de su vida profesional, aun cuando el aprendizaje del experto cambie en términos de focos de atención o necesidades (Ávalos, 2005, p.14). Este trabajo presenta la experiencia llevada a cabo con alumnos de 2do año del Profesorado en Matemática del ISFD Nº127, la cual resulta importante porque revela aspectos significativos a tener en cuenta con respecto al abordaje de los contenidos matemáticos, con un trabajo integrado e interdisciplinar y atiende a los nuevos lineamientos curriculares. La problemática trabajada en la secuencia didáctica que permite el desarrollo de los contenidos matemáticos planificados, es: La vinculación entre la recta tangente a una curva y la existencia de máximos o mínimos de funciones escalares. Marco teórico Esta propuesta ha sido diseñada considerando que en la actualidad, la educación matemática cuenta con múltiples enfoques que brindan la posibilidad de tomar elementos desde diferentes abordajes teóricos a la hora de diseñar secuencia didácticas. En primer lugar se definen cada una de las palabras claves presentadas en el resumen de este trabajo. Se define secuencia didáctica a toda propuesta concreta del docente a implementar directamente en el aula, con la intención de lograr determinadas competencias en el alumno, a partir del abordaje de contenidos específicos. Dicha secuencia se basa en un trabajo progresivo, de complejidad creciente, para intervenir en clase, teniendo en cuenta la participación activa de los alumnos. Se denomina experiencias formativas a la experiencia escolar que subyace en las formas de enseñar del docente, en la organización misma de las actividades de enseñanza, en las relaciones institucionales que respaldan el proceso educativo y en la práctica docente (Rockwell, 1995). Al hablar de práctica docente, como actividad real, se hace referencia a aquella práctica desarrollada por sujetos cuyo accionar se construye alrededor de los procesos de enseñanza y de aprendizaje, fundantes del quehacer educativo, los que suponen determinados procesos de circulación de conocimiento (Achilli, 2006). Se han considerado tres líneas de la Didáctica de la Matemática como relevantes para esta experiencia. En primer lugar, el Enfoque Cognitivo de la Didáctica de la Matemática, el cual ofrece tres conceptos relevantes, las concepciones espontáneas, la imagen conceptual y la definición conceptual. El concepto concepciones espontaneas indica lo que un sujeto concibe de un término matemático, previo a la enseñanza del mismo. La palabra utilizada adquiere un significado para el alumno a partir de su uso cotidiano. La imagen conceptual se refiere a las representaciones visuales, simbólicas o propiedades que están presentes en 305 Propuestas para la enseñanza de la matemática el alumno y que están referidas al concepto que se trabaja, y definición conceptual es la dada por el docente en el momento de trabajar un concepto determinado. En segundo lugar, el Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), método de aprendizaje instituido en el principio de utilizar problemas como punto de partida para la adquisición e integración de nuevos conocimientos. El aprendizaje está centrado en el alumno, donde este trabaja en pequeños grupos, en el que adquiere conocimientos, actitudes y habilidades a través de situaciones de la vida real y donde los docentes acompañan guiándolos (Barrows, 1996). La característica más relevante del ABP es el uso de problemas como punto de partida para la adquisición de conocimientos nuevos, como también, la concepción del estudiante como protagonista de la gestión de su aprendizaje, en contraposición a lo que se venía realizando tradicionalmente de exponer primero la información y posteriormente intentar aplicarla en la resolución de un problema. En los procesos de enseñanza y aprendizaje intervienen una amplia gama de funciones, entre las que podemos mencionar: motoras, cognitivas, memorísticas, lingüísticas y prácticas. La asociación e interacción de estas es lo que permite llegar al nivel conceptual que posibilita la abstracción, los razonamientos y los juicios. El docente en el ABP adopta diferentes roles siendo el principal de tutor porque que facilita y anima al estudiante a realizar actividades de reflexión y análisis para que identifique sus propias necesidades de aprendizaje. En tercer lugar, se considera la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) que se centra en cuestiones de validación, enfoque necesario para la formación de futuros formadores. Esta teoría hace referencia a la búsqueda e invención de situaciones propias de los diversos conocimientos matemáticos enseñados en el aula, el estudio y la clasificación de sus diferencias y la determinación de sus efectos sobre las concepciones de los alumnos. Es importante mencionar que la Teoría de Situaciones está sustentada en una concepción constructivista, en el sentido piagetiano del aprendizaje, concepción que es caracterizada por Brousseau (1986). De esta manera el alumno aprende adecuándose a un medio que es factor de dificultades y desequilibrios, como lo hace la sociedad en la que esta inserto. La Matemática, en tanto como actividad humana, conlleva al planteo y búsqueda de soluciones de situaciones problemáticas. Y es en esta búsqueda donde se construyen y desarrollan los objetos matemáticos. La actividad matemática incluye exploraciones, aproximaciones, formalización y presentación de resultados como producto acabado. En ese encuadre, se reconoce como una de las actividades relevantes a la modelización, la cual incluye análisis, adaptación y uso de modelos matemáticos conocidos, como la creación de conocimientos matemáticos para describir, simplificar y/o manipular el objeto de estudio. El lenguaje simbólico empleado, para expresar los problemas y las soluciones encontradas, tiene un rol tanto en lo que respecta a representaciones como también en lo que respecta a 306 Propuestas para la enseñanza de la matemática la comunicación, permitiendo al docente saber si el alumno a logrado respuestas valederas a partir de la comprensión de conceptos matemáticos abordados. Por último, como bien se expresa en el documento Proyecto de Mejora para la formación inicial de profesores para el nivel secundario (PM): Comprender un objeto matemático significa haber transitado por diversas experiencias que le permitan al estudiante producir, organizar y re-organizar la red de relaciones que se deben establecer en la resolución de una situación problemática que ―obliga‖ al funcionamiento del objeto, los procedimientos o técnicas que se despliegan para resolverla, las definiciones, propiedades, argumentos que validan las acciones realizadas, todas ellas soportadas y reguladas por el lenguaje simbólico, propio de la Matemática, y la lengua natural (PM, 2010, p. 122). Los Núcleos Problematizadores Se considera, como formador de futuros formadores, necesario implementar prácticas que brinden oportunidades a los futuros docentes de adquirir ciertas competencias profesionales, como pueden ser la toma de decisiones sobre la Matemática a enseñar y la disposición de herramientas que le permitan dar respuestas a interrogantes sobre los objetos matemáticos a enseñar. Por ejemplo, ¿Por qué son necesarios y se deben enseñar estos contenidos?, ¿Qué tipo de problemas resuelven?, ¿Qué instancias de argumentación y validación son posibles de implementar?, ¿Qué contextos ayudan a comprender semejanzas y diferencias entre el objeto matemático en estudio y otros vinculados a él? Los Núcleos Problematizadores presentados en el documento permiten definir lineamientos sólidos para el tratamiento y análisis riguroso de todas estas cuestiones que hacen al desarrollo en clase de los temas matemáticos. Por ello, para comenzar el trabajo de diseño de esta secuencia, se ha considerado analizar cuáles de las preguntas incluidas en cada núcleo se ajustan mejor al análisis del tema elegido. A continuación se señalan algunas de las respuestas formuladas, las cuales sirven para iniciar la primera etapa del diseño, aquello que el docente debe preguntarse en el momento de iniciar la elaboración de una secuencia didáctica, es decir, partiendo de fundamentos teóricos, formularse hacia donde se quiere llegar. Desde el Núcleo Problematizador ―Lo geométrico‖, la pregunta ―¿Qué propiedades y/o elementos son invariantes bajo ciertas condiciones?‖ en referencia al contenido matemático a abordar en la secuencia, ha llevado a considerar que la determinación de la recta tangente a una curva, como modo de describir matemáticamente la variación de los procesos que modelizan situaciones reales, permite proponer actividades donde los alumnos pueden determinar que propiedades y/o elementos se mantienen invariantes, o no, y las condiciones bajo las cuales se cumple esa situación. 307 Propuestas para la enseñanza de la matemática De la misma manera, se consideran preguntas de cada uno de los demás Núcleos Problematizadores. Del núcleo, ―Lo analítico‖, ¿Cómo aproximar funciones? ¿Cómo obtener la mejor aproximación lineal de una función?, proponiendo actividades en las cuales, los alumnos asimilen el conocimiento de cómo obtener la ecuación de la recta tangente a gráficas de distintas funciones, de manera tal, que ese conocimiento, contribuya al aprendizaje de lo que significa realizar aproximaciones numéricas en las cercanías del punto de tangencia. Considerando además, el uso de software de geometría dinámica, el cual permita, al alumno, realizar exploraciones, formular conjeturas y validar las distintas soluciones obtenidas analíticamente (PM, 2010). Según Pardini (2007), las nuevas enseñanzas requieren nuevos recursos y la utilización de distintos paquetes de software libre que, en general, son herramientas útiles y fáciles de obtener por los alumnos. En este contexto, la utilización de aplicaciones de software libre puede colaborar en la innovación pedagógica pues permite que los alumnos tengan, a su disposición, las mismas herramientas que el profesor. Para el Núcleo Problematizador ―Lo algebraico‖, y de la misma manera planteada en el primer núcleo, se pueden proponer actividades que desde el lenguaje coloquial, los alumnos deban realizar traducciones de manera progresiva, como puede ser del lenguaje gráfico al algebraico, sin desestimar el desarrollo de la intuición racional que se logra desde la visualización de gráficas y permita a los alumnos aproximarse, gradualmente, al concepto que se quiere enseñar. Parece oportuno mencionar que en el modelo educativo de van Hiele, cuando se diseñan experiencias de aprendizaje, es necesario analizar el lenguaje empleado por los alumnos para referirse a los conceptos objeto de estudio. Y uno, como formador de futuros formadores, debe realizar ese análisis del lenguaje, a fin de discernir si el alumno ha logrado o no internalizar el concepto. En referencia a los contenidos a tratar, van Hiele plantea, tal como hacen referencia otros autores, en los últimos años de secundaria y comienzos de la universidad, se expone el concepto de aproximación local relacionado con todos los procesos de paso al límite, tales como el de recta tangente a una curva plana en un punto dado sobre ella, el de derivada de una función en un punto, el de continuidad de una función en un punto, la convergencia de sucesiones y de series. Esta exposición se hace de manera intuitiva a partir de definiciones con palabras evitando la simbología necesaria que requiere un tratamiento riguroso (Duarte, A. y Bedoya Beltrán, 2006). Por último, considerando los Núcleos Problematizadores, ―Lo numérico y lo aritmético‖ y ―Lo probabilístico y lo estadístico‖, las preguntas ¿Qué camino permite ir de lo finito a lo infinito? y ¿Cómo se puede predecir el valor de una variable bajo condiciones de incertidumbre?, permiten considerar, por ejemplo, que el trabajar con actividades, donde se propone a los alumnos agregar más términos al polinomio de Taylor, brinda la posibilidad de reconocer que a mayor cantidad de términos utilizados, mejor es la aproximación a la función dada (PM, 2010). 308 Propuestas para la enseñanza de la matemática Una propuesta interesante A continuación se presenta la secuencia diseñada por el grupo de docentes de Análisis Matemático I, Computación y Fundamentos de la Matemática y aplicada durante el segundo cuatrimestre del año 2011, en segundo año del Profesorado en Matemática del ISFD Nº127 de la ciudad de San Nicolás. Para esta secuencia en particular, los propósitos programados son: Plantear situaciones que se emplee la recta tangente como aproximación a una curva, gráfica de una función, y su relevancia en el momento de estudiar en profundidad dicha función. Trabajar aspectos didácticos para la implementación en el aula de los contenidos de esta unidad didáctica. Plantear situaciones en la que los alumnos, a través del uso de un software geométrico, reconozcan la relación entre crecimiento y decrecimiento de una función, intervalos de concavidad y convexidad y el signo de la derivada primera y segunda. Una vez analizadas las preguntas centrales de los núcleos que responden, o se vinculan con el contenido matemático, cómo se relaciona la tarea presentada con los mismos y cómo se evidencia el método propio de la Matemática, se han considerado otras preguntas que sirvan como elementos constitutivos de la secuencia didáctica a diseñar. De tal manera que las actividades propuestas tengan en cuenta cómo se comunica lo trabajado, si se contempla el uso de los lenguajes natural y simbólico, si se utilizan las TIC o no, de lo que aporta su uso a la comunicación o adquisición de información y al aprendizaje de la Matemática, como así también, si incluyen algún tipo de reflexión didáctica que el estudiante se lleve, tanto sobre el trabajo que él realizó en clase como para su futuro trabajo relacionado con el nivel medio. En primer lugar, definida la problemática vinculada con una unidad del programa de Análisis Matemático I, de 2do año del Profesorado en Matemática, se procede a establecer vínculos y relaciones con conocimientos previos, realizando una articulación horizontal y vertical con otras asignaturas. Se considera oportuno comunicar a los alumnos, estas relaciones entre los contenidos matemáticos a ser abordados a través de la presentación de un organizador gráfico o mapa de los mismos, el cual permita visualizar relaciones entre conocimientos previos y nuevos conocimientos. Se retoma lo trabajado sobre derivada de una función escalar en un punto, su interpretación geométrica y el concepto de función derivada abordado en clases previas. Se trabaja, además, la aproximación lineal de funciones en un punto, a través de la función correspondiente a la recta tangente en dicho punto, es decir, L( x) f (a) f (a) . ( x a) Posteriormente, se retoma el concepto de función creciente y decreciente y se lo relaciona con el signo de la derivada primera. Luego, se definen extremos relativos de la función 309 Propuestas para la enseñanza de la matemática (máximo y mínimo relativo), máximos y mínimos absolutos, condición necesaria para existencia de extremos, punto de inflexión, punto crítico de una función y condición suficiente para que en un punto crítico exista extremo relativo o punto de inflexión. La secuencia se divide en cinco clases. La primera clase se desarrolla en el gabinete de computación. Se comienza con un interrogatorio inicial que tiene como objetivo promover el diálogo, la explicación entre pares, la argumentación, la indagación, dando la oportunidad a cada alumno de tomar una actitud reflexiva en cuanto a sus saberes previos. Ya habiendo trabajado con los alumnos con el software GeoGebra en clases previas a esta secuencia, se les propone en esta clase, la resolución de actividades, de forma individual, utilizando nuevamente, como recurso didáctico, el programa mencionado. Antes de finalizar la clase se efectúa la corrección. Una manera de realizar, dicha corrección, es proponer que un alumno socialice al resto su trabajo. Mientras tanto, el docente, podrá identificar nociones previas erróneas y enfatizar conclusiones arribadas, destacando el uso adecuado y pertinente del software, en esta oportunidad como soporte geométrico. Con estas actividades se pretende que el alumno/a logre revisar lo trabajado sobre crecimiento y decrecimiento de una función y la linealización, analizando si es posible vincularlos con extremos relativos y absolutos de una función. El uso de un recurso tecnológico, en esta oportunidad, tiene como objetivo reforzar su utilización, facilitar la tarea de graficar y promover la reflexión sobre sus ventajas y desventajas. Para ello, se plantean preguntas para el análisis didáctico del uso del software, como por ejemplo, ¿Cuáles son las dificultades y los aportes de trabajar con un software geométrico? La segunda clase se desarrolla en el aula. Una vez finaliza la correcciones de las actividades de tarea, se propone una actividad, mediante la cual se intenta relacionar contextos en los que la derivada pueda ser una herramienta necesaria para resolver situaciones reales. A través de las situaciones problemáticas planteadas, se pretende que el alumno logre reconocer la importancia de la derivada en el proceso de modelización, relacionar contextos en que la derivada pueda ser una herramienta necesaria para resolver situaciones reales y aceptar la necesidad del uso de herramientas informáticas. Durante la tercera clase, se plantea a los alumnos que realicen actividades para el cierre del tema, con el propósito de profundizar sobre los temas concavidad, convexidad y punto de inflexión. En primer lugar se realiza la correción de cada una de las situaciones problemáticas propuestas como tarea la clase anterior, a partir del registro realizado por cada grupo en el que han expresado sus conclusiones. Para ello se invita a los alumnos a realizar en el pizarrón, algunas de las actividades propuestas para socializar deducciones y razonamientos. Como cierre de esta clase se propone como actividad a realizar, en el seno de cada grupo, la confección de un instrumento de evaluación, que permita realizar una coevaluación de los contenidos abordados hasta el momento. Se indican pautas que el instrumento debe cumplir. Se da un tiempo para que los grupos propongan la actividad de evaluación, luego de debatir entre los integrantes, y para finalizar se hace una puesta en común a fin de 310 Propuestas para la enseñanza de la matemática seleccionar, entre todos, aquellos instrumentos que mejor se ajusten a la propuesta inicial. Se considera que esta puesta en común, como estrategia de enseñanza, les permite la construcción de argumentaciones para su futuro trabajo como docente en la confección de instrumentos de evaluación. En este momento, el docente, debe estar atento para realizar el cierre del tema, estableciendo el status matemático de los conocimientos construidos, a partir de las actividades propuestas por los distintos grupos. Para finalizar, se lleva a cabo la actividad de revisión para la autoevaluación del alumno, detallada en los instrumentos de evaluación. Durante la cuarta clase de la secuencia los estudiantes realizan un parcial en forma grupal, debidamente pautada, y en la quinta clase se realiza la devolución. Como complemento a la evaluación del proceso y de los resultados, se considera utilizar la técnica del portafolio como instrumento. Al comenzar la secuencia se indica a los estudiantes que cada uno de ellos deberá realizar, cronológicamente, el guardado de todos los trabajos que realicen, ya sean manuscritos como también los digitalizados. También, se les dará a conocer los criterios de evaluación que diariamente, en cada una de las actividades llevadas a cabo, se tendrán en cuenta. Por tal motivo es importante, desde el comienzo de la secuencia, tener en claro el qué, el para qué y el cómo se va a evaluar, lo que lleva a proponer actividades que pongan de manifiesto los conocimientos previos de los alumnos. Logros obtenidos La autoevaluación admite reflexionar en cuanto a las actividades propuestas en el desarrollo de la secuencia didáctica, permitiendo modificar lo necesario para que los alumnos logren construir aquellos contenidos no construidos, en el momento oportuno. Es por ello que para el análisis y evaluación de las actividades, o desempeños de los estudiantes, se utiliza una matriz analítica instruccional conocida como rúbrica (Pogré y Lombarda, 2004). La misma relaciona tres niveles de desempeño de los estudiantes (regular, medio y muy bueno) con dimensiones con criterios e indicadores de evaluación, que a su vez están relacionados con las intenciones educativas planteadas. En la dimensión de los contenidos los criterios fueron la calidad de la bibliografía utilizada y las relaciones que establece entre los conceptos, la articulación vertical y horizontal que realiza. En la dimensión del método se tuvo en cuenta la creatividad, las formas de resolución de problemas, la aplicación de los métodos propios del análisis matemático. Y por último, en la dimensión de la comunicación, el rigor del lenguaje matemático utilizado, el modo como expresa los resultados, los instrumentos que utiliza y la presentación formal de los trabajos (a través del portafolio individual realizado). 311 Propuestas para la enseñanza de la matemática En la Tabla 1 se presentan los resultados obtenidos al finalizar la implementación de las cinco clases que constituyen la secuencia didáctica. De acuerdo a los resultados se ha considerado seguir trabajando en lo que respecta a la comunicación. Nivel de desempeño de los alumnos Regular Dimensión Total de alumnos evaluados 23 2 (8,7%) Contenidos 4 (17,4%) Método 8 (34,8%) Comunicación Bueno Muy bueno 13 (56,5%) 11 (47,8%) 10 (43,4%) 8 (34,8%) 8 (34,8%) 5 (21,7%) Tabla 1: Resumen de resultados Conclusiones La pregunta que motiva el accionar diario, como docentes del Profesorado de Matemática es, ¿Cómo abordar los contenidos matemáticos que deben ser enseñados a futuros formadores? Este es uno de los interrogantes que ha llevado a reflexionar en cuanto al accionar en el aula, movilizando a los docentes a trabajar en forma conjunta y a diseñar secuencias que permitan enriquecer el proceso de enseñanza y aprendizaje en el nivel superior. En el hacer diario, el docente debe tomar una postura crítico-reflexiva de su accionar frente al alumno y a partir de allí, analizar de que manera secuencia sus clases, selecciona y segmenta los recursos que van a tener un papel relevante en la composición de las mismas, y su proceder frente al grupo de alumnos con el que va a trabajar. El abordaje de los contenidos propuestos, al inicio de la secuencia, deben contribuir a que cada alumno, futuro formador, realice diariamente actividades de comprensión, es decir, que pueda explicar con sus palabras, justificar sus decisiones, ejemplificar, aplicar conocimientos a situaciones diversas, realizar deducciones necesarias, generalizar, etc. Para que ellos logren desarrollar al máximo sus potencialidades, hay que acompañarlos y guiarlos en la construcción de nuevas representaciones de lo ya aprendido. La forma de presentación de los temas por parte del docente, debe ser pensada teniendo en cuenta los objetivos propuestos en la secuencia y los recursos más convenientes a ser utilizados como soporte al trabajo en el aula, para contribuir en generar en los alumnos, aprendizajes significativos para su formación. Además, componer las clases de manera tal, que el alumno acceda a la utilización, en el momento que se lo requiera, de distintos recursos que las TIC brinda, sin perder de vista el por qué, el cuándo y el cómo de su utilización. 312 Propuestas para la enseñanza de la matemática Referencias Bibliográficas Achilli, E. (2006). Investigación y Formación Docente. Rosario: Laborde Editor. Ávalos, B. (2005). Las instituciones formadoras de docentes y las claves para formar buenos docentes. En L. Rendón, D. Rojas García (comp.) El desafío de formar los mejores maestros. Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional. Barrows, H.S. (1996). Problem-Based learning in medicine and beyond: Abrief overwiew. In ilkerson, L., & Gijselaers, W.H. (eds) Bringing Problem-Based Learning to Education: Theory and Practice. (pp. 3-12). San Francisco. Jossey-Bass Publishers. Brousseau, G (2007). Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Trad. de Dilma Fregona. Buenos Aires: Libros del Zorzal. Duarte, Agudello y Bedoya Beltrán. (2006). Los mapas conceptuales en las fases de aprendizaje del modelo educativo de Van Hiele. Actas Memoria CMC 2006. Volumen 1. Colombia. Pardini, A. (2007). Fundamento del uso de software libre en la universidad pública. Enseñando Matemática con herramientas alternativas. Jornadas de Enseñanza e Investigación Educativa en el campo de las Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. Pogré, P., y Lombarda, G. (2004). Escuelas que Enseñan a Pensar: Enseñanza para la comprensión un marco teórico para la acción, 1era edición, (pp. 94-98). Buenos Aires: Educación papers editores. Proyecto de Mejora de la Formación Docente inicial de profesores para el nivel secundario. Recuperado el 10 de febrero de 2014 en http://cedoc.infd.edu.ar/upload/Matematica.pdf Rockwell, E. (1995). La Escuela Cotidiana. De huellas, bardas y veredas: una historia cotidiana en la escuela. México: Fondo de Cultura Económica. 313 Propuestas para la enseñanza de la matemática PROPUESTA DE MEJORA EN EL APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL María Rosa Romiti, Natalia Sgreccia, Marta Caligaris Grupo Ingeniería & Educación. Facultad Regional San Nicolás. Universidad Tecnológica Nacional. Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura. Universidad Nacional de Rosario. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Argentina [email protected], [email protected], [email protected] Nivel Universitario Palabras clave: Registros semióticos. Tratamientos. Conversiones. Límites. Resumen El trabajo diario y sus resultados llevan a reflexionar sobre lo complejo que resulta, por una parte enseñar y, por otra, comprender y apropiarse del concepto de límite, que se desarrolla en la asignatura Análisis Matemático I de las carreras de Ingeniería. En la Facultad Regional San Nicolás de la Universidad Tecnológica Nacional (FRSN-UTN) éste es el primer concepto en el que los alumnos necesitan un significativo manejo simbólico, abstracto y visual. Teniendo como referente principal la teoría de Duval sobre los registros de representación semiótica (gráfico, natural y simbólico) y sus vinculaciones con la Matemática, se está llevando a cabo una tesis de Maestría con el propósito de analizar el desempeño de los alumnos en la asignatura Análisis Matemático I frente a los distintos registros de representación y sus conversiones, en el estudio del concepto de límite de una función real a variable real. A partir del análisis de los datos recogidos en el trabajo de campo realizado en el primer cuatrimestre del año 2011 en la FRSN, en esta ponencia se presenta una propuesta de mejora para la asignatura. La misma incluye actividades que involucran de manera relativamente equitativa tanto los tratamientos de los tres registros como las conversiones entre pares de ellos. El análisis del desempeño de los alumnos en la experiencia llevada a cabo sirvió de puntapié para la detección de aspectos a mejorar en la propuesta de actividades de la materia. Introducción El trabajo diario y sus resultados llevan a reflexionar sobre lo complejo que resulta, por una parte enseñar y, por otra, comprender y apropiarse del concepto de límite, que se desarrolla en la asignatura Análisis Matemático I de las carreras de Ingeniería. Dicho concepto es relevante no sólo para plantear otros contenidos del Análisis Matemático I, como los del Cálculo Diferencial e Integral, sino también en los que se apoyan en ellos para su formalización y comprensión, incluso para otras ciencias, como Física. Desde la experiencia áulica, docentes de primer año de la FRSN, con respecto al desempeño de los estudiantes, compartimos el siguiente diagnóstico: Desconocimiento de ciertos símbolos matemáticos. La mayoría de los ingresantes no tienen manejo simbólico, ya sea porque no lo conocen o porque no lo recuerdan. Desde el inicio 314 Propuestas para la enseñanza de la matemática del cursado en Análisis Matemático I, la unidad de funciones reales les ocasiona dificultades a los estudiantes y cometen errores. Éstas se agravan particularmente cuando se introduce límite y continuidad de funciones. Preferencia de ciertas actividades en detrimento de otras. Por lo general los estudiantes prefieren actividades rutinarias donde aplican técnicas o realizar representaciones gráficas antes que proponer leyes que verifiquen determinadas condiciones. Hacer que los alumnos lean y expliquen un texto donde prevalecen los símbolos matemáticos es más difícil y provoca mayor resistencia que pedir que realicen cálculos. Dificultades para justificar el valor de verdad de las proposiciones matemáticas. En las actividades que requieren justificar la veracidad o falsedad de una proposición, son pocos los que logran expresarse en forma completa y ordenada. A este diagnóstico compartido se incorpora el siguiente obtenido en la unidad previa al concepto de límite, la de funciones reales. Resultó pertinente realizar un estudio para recoger información acerca de cuál es el desempeño de los alumnos en los registros gráfico, natural y simbólico, ya que con éstos se trabajaría en la próxima unidad. Entre los resultados obtenidos, el registro gráfico fue en el que mejor se desenvolvieron los alumnos. Si bien en el desempeño en el registro simbólico no fue bueno, lo que llamó la atención fue el bajo rendimiento en el lenguaje natural (en su versión escrita), siendo -paradójicamenteéste el lenguaje habitual de comunicación entre las personas. Teniendo en cuenta el diagnóstico anterior y la complejidad intrínseca a la enseñanza y aprendizaje del concepto de límite, se está llevando a cabo una tesis de Maestría que pretende analizar el desempeño de los estudiantes de las especialidades Industrial (turno tarde) y Electrónica de la carrera de Ingeniería de la FRSN-UTN con los distintos tipos de registro de representación, así como sus preferencias, en el concepto de límite, ubicado en la unidad de límite y continuidad de funciones de la asignatura Análisis Matemático I. A partir del análisis de los datos recogidos en el trabajo de campo realizado en el primer cuatrimestre del año 2011 en la FRSN se presenta en esta ponencia una propuesta de mejora para la práctica de ejercitación para alumnos de la asignatura. La misma incluye actividades que involucran de manera relativamente equitativa tanto los tratamientos de los tres registros como las conversiones entre pares de ellos, en ambos sentidos. También se tuvieron en cuenta, para la elaboración de las actividades, los errores y omisiones por parte de los alumnos que han sido detectadas durante el transcurso de la experiencia llevada a cabo. Fundamentación Los avances científicos exigen al universitario la capacidad de ―reciclar‖, en el sentido de completar, sus conocimientos constantemente. Para algunas especialidades de Ingeniería, los cambios son tan rápidos que la mitad de lo que el alumno aprende puede estar obsoleto en tan sólo un par de años. Para ser capaces de asumir y asimilar estos cambios, el estudiante debe poseer una sólida formación de base. 315 Propuestas para la enseñanza de la matemática Entre las características sobre el perfil del Ingeniero Tecnológico, se distinguen la de un profesional capaz de desenvolverse en un plano de máximo nivel en la industria y en la sociedad, que debe poseer capacidad de creatividad, comunicación pluridisciplinaria y responsabilidad social, y debe promover y facilitar tanto la investigación como el estudio para el mejoramiento y desarrollo tecnológico ( http://www.frsn.utn.edu.ar/). El pensamiento lógico es fundamental para resolver problemas profesionales del proceso productivo en el cual el ingeniero se desempeña. De acuerdo con ello, resultan ser muy pocas las materias en los planes de estudio de Ingeniería que no utilizan la Matemática. En este sentido, esta ciencia es una herramienta de trabajo y al mismo tiempo una disciplina básica fundamental en la formación para esta profesión. Con base en estas consideraciones, los objetivos de la enseñanza de la Matemática para futuros ingenieros deberían ser, en términos generales, los de desarrollar una serie de competencias que les permitan lograr una amplia comprensión de los conceptos y principios matemáticos, razonar con claridad, comunicarse eficazmente y reconocer aplicaciones matemáticas específicas. El nivel de conocimientos matemáticos que el alumno reciba a través de la enseñanza universitaria debe permitirle adoptar una postura crítica y creativa ante un problema dado y brindarle las herramientas de razonamiento necesarias para su resolución. Esto hace que se cuestione cómo debe ser la Matemática que se le enseña. Este trabajo se encuadra teóricamente en el enfoque planteado por Duval (1999) sobre los registros de representación semiótica (gráfico, natural y simbólico) y su incidencia en la Matemática. Este autor sostiene que las acciones de tratamiento (transformación en un mismo registro) y de conversión de registros (transformación de un registro a otro) son imprescindibles en la actividad matemática. Asevera que una representación puede funcionar verdaderamente como tal, es decir, permitirles el acceso al objeto representado, sólo cuando se cumplen dos condiciones: que dispongan de al menos dos sistemas semióticos diferentes para producir la representación de un objeto o de una situación y que ―espontáneamente‖ puedan convertir de un sistema semiótico a otro las representaciones producidas, sin siquiera notarlo. Cuando alguna de estas dos condiciones no se cumple, la representación y el objeto representado se confunden y no se pueden reconocer dos representaciones diferentes de un mismo objeto (Duval, 1999). La enseñanza en general, y este concepto en particular, debe orientarse a promover un aprendizaje reflexivo, proponiendo el trabajo no sólo de tratamiento sobre distintos registros sino también de conversiones entre ellos. Metodología de la investigación Teniendo en cuenta las características de la investigación y la forma en que se analizaron los resultados obtenidos, se utilizó un enfoque cualitativo (Hernández Sampieri, Fernández Collado y Baptista Lucio, 2006). Los métodos cualitativos suelen resultar más apropiados para el campo educativo en general, según lo demuestra la práctica misma de la investigación. 316 Propuestas para la enseñanza de la matemática Las técnicas de investigación utilizadas fueron cuestionarios abiertos para la recolección de datos asociados a las producciones de los alumnos y análisis de contenido en cuanto a la práctica existente de la asignatura. De acuerdo a los objetivos de la investigación, asociados a la identificación de los niveles de desempeño de los alumnos en los distintos registros, se realizó un estudio de alcance exploratorio-descriptivo, de tipo longitudinal, con un diseño no experimental. Desarrollo El estudio se ha focalizado en dos especialidades de Ingeniería que presentan características diferentes: Industrial, en la que la mayoría proviene de escuelas donde la formación en Matemática no es el fuerte, y Electrónica, en la cual la generalidad de sus ingresantes proviene de escuelas técnicas, lo que les brinda una mejor preparación en los conocimientos básicos necesarios para estudiar Ingeniería. Durante el primer cuatrimestre del año 2011 se llevó a cabo la experiencia en la FRSN, con 15 alumnos de Electrónica y 18 de Industrial. Los trabajos prácticos especialmente diseñados se aplicaron semanalmente desde el día 17 de mayo de 2011 hasta el día 14 de junio de 2011. Se dispusieron los alumnos de ambas especialidades en un mismo salón con el objetivo de garantizar equidad en la experiencia. Los trabajos prácticos se diseñaron de la manera más completa posible, de acuerdo al marco teórico de referencia en cuanto a tratamientos y conversiones incorporadas. Así fue que los alumnos se vieron involucrados por primera vez (sin trabajo en las clases teóricoprácticas habituales de la materia) en actividades de tratamiento en los registros natural (en su versión escrita) y simbólico con predominio conceptual. También se incorporaron en los trabajos prácticos todas las conversiones entre los registros mencionados, aun aquellas que no se habían trabajado ni figuraban en la cartilla de práctica de la asignatura. Se han clasificado los desempeños de los alumnos de Ingeniería Electrónica y de Ingeniería Industrial en actividades de tratamiento en los registros gráfico, natural y simbólico, y también se han examinado sus desempeños en las conversiones entre registros. Los registros considerados fueron: Registro gráfico: contempla representaciones de funciones en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales y bocetos informales que prescindan de un sistema de referencia. Está vinculado al concepto de visualización de Zimmermann (1990; citado en Hitt, 2003) quien afirma que conceptualmente el papel del pensamiento visual es tan fundamental para el aprendizaje del Análisis Matemático que es difícil imaginar un curso exitoso de esta materia que no enfatice los elementos visuales del tema si se tiene la intención de promover un entendimiento conceptual. Registro natural: se lo asocia a la lengua materna, primera lengua que una persona aprende y que se emplea como modo de expresión habitual en los diversos ámbitos de la vida corriente, para realizar descripciones, explicaciones, argumentaciones, deducciones, etc., con el objetivo de comunicarse. Puede emplearse en forma oral o escrita, considerándose en este trabajo esta última. 317 Propuestas para la enseñanza de la matemática Registro simbólico: la Matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal, a veces denominado algebraico, que sigue una serie de convenciones propias. En este trabajo se contempla el lenguaje simbólico integrado por dos partes: registro simbólico con predominio procedimental, en el que el alumno deba aplicar, para resolver un problema planteado, estrategias sencillas o rutinarias, y registro simbólico con predominio conceptual, en donde el alumno necesite conocer y manejar los símbolos propios matemáticos de las definiciones de límite. En este tipo de ejercitaciones es necesario trabajar con mayor rigurosidad para entender la lógica de las definiciones y/o propiedades. Se trata de una instancia en la que se involucra un pensamiento más formal y comprensivo que la anterior. Además, se tuvo en cuenta el término conversión entre registros como el pasaje de uno a otro indistintamente, por ejemplo: conversión ―simbólico-gráfico‖ significará convertir del registro simbólico al gráfico y viceversa. Si es necesario destacar una de ellas, se indicará con la frase ―en este sentido‖; por ejemplo, si se menciona solamente la conversión del simbólico al gráfico, se indicará: conversión ―simbólico-gráfico (en este sentido)‖. Para obtener conclusiones se consideró que una persona comprende efectivamente un cierto contenido cuando logra desempeñarse satisfactoriamente en los tres registros considerados, tanto en su tratamiento por separado como en las conversiones entre pares involucradas. En general se consideró el desempeño ―satisfactorio‖ (realiza la actividad solicitada en forma completa y correcta en su totalidad), ―parcialmente satisfactorio‖ (realiza la mitad o más de la actividad solicitada en forma correcta), ―totalmente insatisfactorio‖ (resuelve en forma incorrecta la totalidad o la mayoría de la actividad, o incluso no resuelve), indicando que para cada actividad específica las particularidades respectivas. Propuesta de mejora A partir de la experiencia realizada en ambas especialidades se propone: 1°.- En cuanto a la cantidad y variedad de registros: en la propuesta de enseñanza incluir actividades que involucren de manera relativamente equitativa tanto los tratamientos de los tres registros así como las conversiones entre pares de ellos (en ambos sentidos). 2°.- En cuanto a la devolución de las correcciones: en el seguimiento de los aprendizajes darles los trabajos corregidos a los alumnos lo más pronto que sea posible y explicar en clase los grupos de errores cometidos. 3º.- En cuanto a la extracción de fotocopias: una vez entregados los trabajos e indicados en clase los errores cometidos en general, debe permitirse extraer fotocopias de los mismos para que cada alumno pueda analizar su trabajo en detalle y con tranquilidad en otro momento y, si lo requiere, realizar consultas puntuales sobre su propia producción en horarios extras a la clase. A continuación, primeramente se muestra el relevamiento de las principales características relativas al tópico en cuestión de la cartilla de actividades existente al momento en la asignatura y luego se proponen actividades complementarias a implementar según punto 1º. 318 Propuestas para la enseñanza de la matemática Límite De un total de 71 ejercicios, 43 son sobre límite finito para variable finita y 28 para límites (finito o infinito) para variable infinita y límite infinito para variable finita, que se detallan a continuación: Límite finito para variable finita Actividades de tratamiento: Tratamiento gráfico: 0 (ninguno) Tratamiento natural: 0 (ninguno) Tratamiento simbólico con predominio procedimental: 37 Tratamiento simbólico con predominio conceptual: 0 (ninguno) Actividades de conversiones: Conversión simbólico-gráfico: 6, siendo 2 simbólico a gráfico y 4 gráfico a simbólico Conversión natural-simbólico: 0 (ninguno) Conversión gráfico-natural: 0 (ninguno) Límites (finito o infinito) para la variable infinita y límite infinito para variable finita Actividades de tratamiento: Tratamiento gráfico: 0 (ninguno) Tratamiento natural: 0 (ninguno) Tratamiento simbólico con predominio procedimental: 25 Tratamiento simbólico con predominio conceptual: 0 (ninguno) Actividades de conversiones: Conversión simbólico-gráfico: 1, siendo simbólico a gráfico Conversión natural-simbólico: 2, siendo 1 natural a simbólico y 1 simbólico a natural Conversión gráfico-natural: 0 (ninguno) Como puede observarse, en la práctica existente sobre límite prevalece la inclinación a actividades de tratamiento simbólico, con connotación a su vez fuertemente procedimental. Incluso son pocas las propuestas de conversiones entre los distintos registros que en ella figuran. Esto concuerda con lo que sostiene Hitt (2003) en que el sistema simbólico (con predominio procedimental) suele ser el de preferencia de los docentes. También Zimmermann (1990; citado en Hitt, 2003) hizo referencia al énfasis en el trabajo algebraico por parte de los docentes. Algunas actividades propuestas Se tuvo en cuenta que la mayor cantidad de errores que los alumnos cometieron fue en el tratamiento en el lenguaje simbólico con predominio conceptual y el registro natural, así como en la conversión natural-simbólico (en este sentido) y simbólico-gráfico (en este sentido). También, en justificaciones de verdaderos o falsos y en proponer leyes con determinadas condiciones. A continuación se presentan los enunciados de algunas actividades que se diseñaron para intentar mejorar la propuesta de práctica de la asignatura en cuanto a la diversidad de registros (tratamientos y conversiones) que involucra. Representar gráficamente una función que no posea límite en un punto de su dominio. (Conversión natural-gráfico (en este sentido)). 319 Propuestas para la enseñanza de la matemática x2 x 1 . (Conversión x 1 Formular con tus palabras la siguiente expresión: lim simbólico-natural (en este sentido)). Representar en un gráfico el siguiente resultado: lim f ( x) f ( x0 ) . (Conversión x 1 x x0 simbólico-gráfico (en este sentido)). Justificar gráficamente que no existe lim x 0 x x . (Conversión simbólico-gráfico (en este sentido)). Siendo f la función real cuya ley es: f(x)= x2, calcular lim h 2 f (h) f (2) . f (h 4) (Tratamiento simbólico conceptual). Explicar con palabras lo siguiente: a) Por qué puede no existir el límite de una función en un punto. Pensar un caso para explicarlo. (Tratamiento natural). b) Qué es el límite de una función en un punto. (Tratamiento natural). Teniendo en cuenta la definición de límite finito para variable finita en forma simbólica y la siguiente proposición: 0, 0 , tal que, para todo x , si 0 x 1 , entonces x 2 1 se pide reconocer de qué función se trata y a qué valor tiende la variable independiente. (Tratamiento simbólico con predominio conceptual). Dar un ejemplo de la ley de una función de dominio real, que no posea límite finito en algún valor de su dominio. Justificar la elección. (Conversión natural-simbólico (en este sentido)). Corregir el siguiente texto para que esté completa la definición de límite finito para variable finita en el punto x=a de una función f definida en un conjunto A. Dada una función f : D f R , x = a punto de acumulación del dominio, se dice que: lim f ( x) l 0, ( ) 0 , tal que, para todo x, si 0 x a , x a entonces f ( x) l . (Tratamiento simbólico conceptual). Teniendo en cuenta los símbolos: , , , 0, ( ), , , f ( x), f ( x0 ), , se pide construir la definición, en forma simbólica, para el resultado lím f ( x ) f ( x0 ) . x x0 (Tratamiento simbólico conceptual). Dada la siguiente afirmación: Si f: A → R verifica lim f ( x) lim f ( x) y que x x0 x x0 lim f ( x) entonces la función no presenta un salto en x0. Indicar si algún símbolo x x0 sobra y por qué. (Conversión simbólico-natural (en este sentido)). El teorema del encaje establece: Sea I un intervalo a I y sean f, g y h funciones definidas en I, exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que x I tenemos g ( x) f ( x) h( x) y que lim g ( x) lim h( x) L lim f ( x) L x a Dado el enunciado anterior, se pide: x a x a 320 Propuestas para la enseñanza de la matemática Transcribir la hipótesis y la tesis en símbolos. (Tratamiento simbólico con predominio conceptual). Explicar el enunciado en palabras. (Conversión simbólico-natural (en este sentido)). Representar gráficamente una función que cumpla con el enunciado. (Conversión natural-gráfico (en este sentido)). Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar la respuesta. a) f(x)=tg(x) tiene límite en todo x R b) Si lim f ( x) f ( x0 ) la función puede presentar un salto en x0 x x0 c) Si f ( x0 ) L entonces lim f(x) L x x0 321 d) Si el lim f(x) L entonces f ( x0 ) L x x0 e) Si f ( x0 ) no está definida entonces el lim f ( x) no existe x x0 Representar gráficamente una función y=h(x) que verifique, simultáneamente, las condiciones que se indican: lim h(x) 4 lim h(x) 3 lim h(x) lim h(x) - x x 0 x 0 x 0 (Conversión simbólico-gráfico (en este sentido)). Explicar por qué no existe lim cos x (Conversión simbólico-natural (en este sentido)). Dar ejemplos de otras funciones que se comporten de la misma forma. (Conversión natural-simbólico (en este sentido)). Dar un ejemplo de una ley de una función f, en la que no existe lim f ( x) . (Tratamiento simbólico conceptual). Sea la siguiente gráfica correspondiente a una función: x x I) Se pide realizar extensiones para cada uno de los siguientes casos: (Tratamiento gráfico) a) Que la función decrezca infinitamente cuando nos acercamos al cero. Justificar la elección. b) Que posea asíntota horizontal por derecha. Justificar la elección. c) Que no exista el límite en el origen. II) Sin extender la gráfica, explicar en palabras si es posible analizar el límite en x=0. (Conversión gráfico- natural (en este sentido)). Expresar en palabras lo siguiente: a) Qué significa que una función posee una asíntota vertical en un punto. Analizar una de las posibilidades. (Tratamiento natural). Propuestas para la enseñanza de la matemática b) El significado de la siguiente expresión: simbólico-natural (en este sentido)). Analizando la siguiente proposición: M 0 (M ) 0 tal que para todo x D f si 0 < |x + 3| < δ entonces lim f ( x) (Conversión x 1 x 32 >M, explicar con palabras la situación planteada. (Conversión simbólico-natural (en este sentido)). Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar la respuesta. a) Si f es una función periódica el límite cuando x , puede existir. b) Si f ( x0 ) L entonces lim f ( x) puede ser . x x 0 c) Si lim f ( x) 0 , entonces la función es nula. x Dar un ejemplo de la ley de una función que verifique: a) Crecer indefinidamente cuando la variable independiente se acerca al origen y decrecer indefinidamente cuando la variable independiente se acerca a uno. b) Poseer asíntota vertical en el origen y poseer como dominio todos los reales. c) Poseer asíntota horizontal y vertical. d) Estar definida en todos los reales y presentar asíntotas verticales en los valores (Conversión natural-simbólico (en este sentido)). k con k 2 Comentarios finales Claro está que una propuesta de práctica no es el único elemento que interviene en los procesos de enseñanza y aprendizaje en estas comisiones de Ingeniería. De todos modos aquí, sin desconocer el complejo entramado en el que se inscriben tales procesos, se pretende optimizar el potencial de la propuesta didáctica como facilitador de los aprendizajes de los futuros ingenieros. Consecuentemente se considera propicio incorporar a la cartilla existente otras actividades para confeccionar una propuesta de práctica que atienda a los tres registros y a las conversiones entre pares de registros de una manera que sea lo más equitativa posible entre los mismos. Así, se incorporaron 28 actividades a la propuesta original y, en caso que el docente requiera hacer un recorte, indicará a los alumnos cuáles deberán consultar en horarios extra áulicos. Se ha podido constatar que poseer información sobre el nivel de desempeño de los estudiantes en relación con los tratamientos y conversiones entre registros contribuye a idear propuestas de mejora para optimizar su desenvolvimiento en la unidad de referencia. Referencias Bibliográficas Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Cali: Universidad del Valle. Hernández Sampieri, R., Fernández Collado, C. y Baptista Lucio, P. (2006). Metodología de la investigación (4ta. ed.). México DF: McGraw Hill. Hitt, F. (2003). Una reflexión sobre la construcción de Conceptos Matemáticos en Ambientes con Tecnología. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, X (2), 216-217. 322 Propuestas para la enseñanza de la matemática MAESTROS EN FUNCIONES Mariana Talamonti Baldasarre, Alfredo Raúl Palacios, Sandra Luz Martorelli, Claudia Giménez González Instituto EUREKA. Educación del pensamiento. La Plata. Argentina [email protected] Niveles inicial, primario, secundario y superior Palabras clave: Invariantes. Patrones. Recursos. Función. Resumen Este acto reflexivo merece iniciarse con la anécdota de Dyer (1992), la misma da cuenta de que un profesor le dice a sus compañeros que llevan más de 30 años dando clase, "¿Han estado ustedes realmente enseñando 30 años, o han estado enseñando un año 30 veces?" Reformulemos la cuestión: ¿La carpeta de nuestro trabajo áulico ha pasado a ser un invariante ―matemático‖ con el transcurso de los años? ¿Cómo en diferentes grupos de alumnos de culturas institucionales disjuntas se exponen idénticas clases de matemática? La propuesta es tratar de intentar que cada hora de clase sea una función exclusiva de interacción entre alumnos y docentes, lo cual implica claro está, el desarrollo de un trabajo creativo en pos de cumplir con nuestra vocación. Si bien es cierto que cuando se habla de creatividad generalmente se piensa en las diversas expresiones del arte, y que pocas veces se ve a la matemática como un área creativa, el alcance de esta creatividad no se refiere solo al modo de utilizar los recursos sino también al tipo de actividades que han de proponerse. Rescatemos lo creativo de la matemática, alejemos esa idea de que el aprendizaje, para que se logre, tiene que ser desagradable, aburrido o formalísimo; no estamos hablando de incorporar ilustraciones absurdas en los textos para hacer creer que así es divertido aprender matemática, sino que se trata de otra cuestión mucho más profunda, queremos que cada alumno vaya construyendo su propio conocimiento. Introducción El recuerdo de una charla de café entre Alfredo R. Palacios y Jaime Barylko nos abre camino hacia esta introducción. -¿Por qué no nos enseña a pensar?- me dijeron los padres de un colegio a quienes les hablaba de este tema. -No, no se puede enseñar a pensar-repliqué-, pero lo que se puede hacer es estimular el pensamiento, dejarlo fluir, cuando tu hijo, tu alumno, de pronto se sale del libreto establecido y dice alguna idea propia, o una fantasía. Ahí es donde hay que estar alerta para prestarle atención y motivarlo. Pero la sociedad, y la escuela a menudo, lejos de motivar eso que es la diferencia, la reprime, la anula. Y después dicen: ―hay que enseñar a pensar. 323 Propuestas para la enseñanza de la matemática No, no hay que enseñar, hay que dejar pensar, provocar el pensamiento, aceptar al que pronuncia ideas extrañas a las establecidas en los manuales. Hay que educar para pensar, que es educar para no repetir, por más que todos digan lo mismo. Si todos dicen algo atinado, es bueno; y si no es verdadero, hay que atreverse a decir que es falso. Cuando se piensa, toda situación aunque parezca ya sucedida es nueva. Cuando se repite, que es lo contrario, toda situación, aunque sea nueva, parece vieja, ya conocida, y se le aplican las respuestas que ya experimentamos en otra época. Para pensar queridos amigos, hay que tener atrevimiento.(Palacios, Martorelli, Talamonti Baldasarre, 2011, contratapa) ¿Por qué se sigue concibiendo a la matemática como una ciencia en que únicamente existe la repetición y la algoritmización extrema? Nos es muy útil el empleo de colecciones de objetos o universos seleccionados de acuerdo con una ordenada distribución de sus propiedades; la regularidad de la misma nos facilitará la elaboración de actividades que exijan reglas, multiplicándose de esta manera, las situaciones propicias para estimular el desarrollo de las capacidades del pensamiento del estudiante. La puesta en escena de la propuesta didáctica que exponemos en el primer acto consta de tres actividades a realizar en tres tipos de universos totalmente diferentes ofreciendo así oportunidades para: el desarrollo de la capacidad de identificar, en especial identificar invariantes y patrones de formación, el desarrollo de la capacidad de representación gráfica, en particular de la construcción geométrica de espirales. propiciar el rescate de recursos didácticos que han caído en desuso como material estructurado e instrumentos de geometría. ACTO I- maestros que cuestionan. En el reestreno de recursos didácticos de antaño, vamos al rescate de invariantes y patrones Ficha1__________________________________Completamos formularios Esta es la reproducción de un formulario utilizado comúnmente 324 Propuestas para la enseñanza de la matemática NOMBRE Y APELLIDO:………………………………………………….…………………………….…… SEXO……………… ESTADO CIVIL……………………………… EDAD……………... D.N.I./L.C./L.E………...……….…………….. DIRECCIÓN:………………………………… LOCALIDAD:……………………………………PROVINCIA………………………………….………….. CARGO O PROFESIÓN:……………………………………………………………………….…………….. LUGAR DE TRABAJO:……………………………………………………………………………….……… ¿Qué diferencias encontrarías entre el formulario en blanco y el mismo formulario completado con tus datos personales? Presentamos ahora un formulario ya completo: NOMBRE Y APELLIDO: Laura López SEXO: femenino ESTADO CIVIL: casada EDAD: 44 años D.N.I./L.C./L.E: 13.000.013 DIRECCIÓN: Corrientes Nº 348-2º C LOCALIDAD: Capital Federal PROVINCIA: -------- CARGO O PROFESIÓN: Docente LUGAR DE TRABAJO: Jardín de Infantes nro. 16. Teniendo en cuenta todas las cualidades mencionadas en el formulario, ¿cuáles recibieron respuestas coincidentes y cuáles no si comparases este último presentado con uno que lleve tus datos? ¿Qué elementos componen la situación que acabás de analizar? Pues bien, los tres elementos componentes de dicha situación, son objeto, atributo y valor, nada más parecido que hablar de objeto, sustantivación y adjetivación. ¿Por qué? Pues el objeto es aquel de quien se dice algo, en este caso, el objeto es la persona humana; el atributo es lo que le es propio a dicho objeto, en este caso, a la persona humana le es propio llevar un nombre, un apellido, etc. y valorizar ese atributo, no es más que adjetivarlo, particularizarlo, por ejemplo Laura es valor del atributo nombre. 325 Propuestas para la enseñanza de la matemática Ficha 2___________________________________________Jugamos con Dienes Un universo muy adecuado para trabajar sobre los atributos es el universo de los llamados bloques lógicos, material estructurado ideado y estudiado por Zoltan P. Dienes. Este tipo de material estructurado permite variadas actividades lúdicas que necesitan una cierta forma de razonamiento e implican la resolución de situaciones problemáticas en cuanto que la solución es posible y se obtendrá por medios intelectuales, o sea que el sujeto no logra vencer las dificultades de la situación por el único desenvolvimiento de una habilidad adquirida automáticamente, en cuya caso se trataría de una adaptación o un aprendizaje. Se aprecia entonces la importancia de estos juegos en lo que al desarrollo de la inteligencia se refiere, aunque no se imponga el fin preciso de la elaboración de un concepto. Te proponemos que analices el material presentado y luego completes una tabla similar a la siguiente considerando los ATRIBUTO VALOR cuatro atributos más destacados: ¿Todas las combinaciones posibles de esos Forma atributos están representadas en el universo de los Color Tamaño bloques? Espesor ¿Cuántas piezas representan cada posible combinación en la que se considere uno y sólo un valor de cada atributo y en la que figuren todos los atributos? En virtud de ello, ¿cuántos elementos tendrá entonces el universo de estos bloques? Los bloques Dienes dan el paso ahora a los instrumentos de geometría, otros de los recursos guardados en el ―galpón de los recuerdos‖. Ficha 3____________________________________Geometrizamos patrones ¿Qué tiene en común una galaxia, un Nautilus, una piña, una serpiente enroscada…? Están presentes en nuestro entorno, sí, pero además de eso todas estas cosas tienen en común su forma de espiral; forma compartida por realidades sustancialmente distintas que van desde el entorno natural, ajeno a la creatividad humana, hasta el entorno artificial que el hombre ha creado con su ciencia, su tecnología y sus artes. Es por esta diversidad de situaciones en las que aparecen las espirales en la naturaleza y en el arte y por la belleza de esta curva que ahora los invitamos a participar de esta actividad en espiral. La propuesta es: Descubrir patrones, identificando así invariantes. 326 Propuestas para la enseñanza de la matemática Identificar la forma de espiral en entornos observables variados. Comparar distintas espirales para así poder establecer sus diferencias y semejanzas y determinar así sus características esenciales. Clasificar los distintos tipos de espirales. Formular una hipótesis acerca de los procedimientos de construcción de cada una de ellas. Construir espirales siguiendo instrucciones dadas en términos geométricos. En la búsqueda de patrones Se dice que Buda dio una vez un sermón sin pronunciar ninguna palabra sino que simplemente sostuvo una flor ante los que estaban allí presentes. Este famoso ―Sermón de la flor‖ podría decirse que fue una prédica en el lenguaje de los patrones de formación, el idioma silencioso de las flores. ¿De qué habla el modelo de una flor? Si la observamos detenidamente hallaremos en ella una unidad y un orden comunes a todas las demás creaciones naturales y hasta muchas creaciones artificiales. Observá detenidamente las ocho imágenes que se proyectarán. ¿A qué objeto asociarías cada una de las imágenes anteriores? ¿Qué podés decir acerca de la forma que ellas reproducen? ¿Identificás algún patrón en especial? Si la respuesta es sí, ¿cuál es dicho patrón? ¿Cómo lo definirías? Si bien estas imágenes tienen mucho en común, ¿advertís diferencias entre unas y otras? De la observación a la clasificación Estamos de acuerdo entonces en que, una espiral es una curva plana engendrada por un punto que se desplaza alrededor de otro punto y se aleja de él en cada vuelta. Hemos visto que existen distintos tipos de espirales y si analizamos detenidamente la definición de espiral podemos descubrir cuáles son las características esenciales, características invariantes de una curva para que sea espiral y cuáles son las variables que pueden darse sin que la curva deje de ser una espiral. Determiná entonces cuáles son dichos invariantes y cuáles no. Ahora observá las siguientes imágenes de espirales (Antón, J. L., González Ferreras, F, González García, C., Llorente J., Montamarta, G., Rodríguez, J.A., Ruiz, Mª J., 1994), tratando de encontrar semejanzas para así poder determinar diferentes clases. 327 Propuestas para la enseñanza de la matemática 328 Según las semejanzas encontradas, enumerá las diferentes clases en que las agruparías, enunciando las características propias de cada clase; luego trabajaremos sobre algunas de ellas. De la clasificación a la construcción Las espirales de varios centros. Compará las espirales de más de un centro y tratá de conjeturar acerca del proceso de construcción. A- Espiral de dos centros. Seguí las siguientes instrucciones para construir la espiral de dos centros. 1. Trazar un segmento AB y prolongarlo en ambos sentidos. 2. Con centro en A y radio igual a la longitud del segmento AB, trazar una semicircunferencia que corte a la prolongación del segmento AB en un punto que llamaremos C. 3. Con centro en B y radio igual a la longitud del segmento BC, trazar otra semicircunferencia que corte a la prolongación del segmento AB en un punto que llamaremos D. 4. Este proceso continua indefinidamente alternando los centros A y B de las sucesivas circunferencias. En estas espirales, ¿quién determina la medida de separación entre dos semicircunferencias consecutivas? . B-Espiral de tres centros. En este caso partimos de un triángulo equilátero, cuyos vértices harán las veces de centros de la espiral. 1. Trazar un triángulo ABC y prolongar sus lados. Propuestas para la enseñanza de la matemática 2. Con centro en A y radio igual a la longitud del lado del triángulo, trazar un arco de circunferencia que pase por C y corte a la prolongación del lado AB. 3. Con centro en B y radio igual al doble de la longitud del lado, trazar otro arco de circunferencia que corte a la prolongación del lado BC. 4. Y con centro en C y radio el triple de la longitud del lado, trazar otro arco de circunferencia que corte a la prolongación del lado AC. 5. Este proceso continua indefinidamente alternando los centros A, B y C. ¿Cuánto mide la separación entre dos arcos de circunferencia? ¿Qué ángulo mide cada uno de esos arcos? C-Espiral de más de tres centros. Aplicando el principio de reversibilidad, te proponemos ahora que expliques el proceso de construcción de una espiral de cuatro centros y luego que la construyas. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES O ARQUIMEDIANA. A- Esta espiral se presenta en muchas situaciones de la vida cotidiana, tal como el borde de una alfombra enrollada, un rollo de papel o la cinta de un video cassette. Su nombre se debe a quien hizo un estudio detallado de esta espiral por primera vez: Arquímedes. Te proponemos un procedimiento para construirla. 1. Trazar tantas circunferencias concéntricas como cantidad de espiras o vueltas se quiera que tenga la espiral; el radio de la primera circunferencia es igual al paso o separación entre espiras, en cambio el de la segunda circunferencia es igual al doble del paso y así siguiendo con cada circunferencia. 2. Dividir estas circunferencias concéntricas en un determinado número de partes iguales, por ejemplo ocho y enumerar desde 0 hasta 8 cada radio que las divide. 3. Dividir el radio de la primera circunferencia en ocho partes iguales y enumerarlas desde cero (centro) hasta el 8. 4. Trazar arcos concéntricos de radios 0-1, 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8 hasta cortar a los radios que tienen igual número. 5. Los puntos así obtenidos son puntos de la espiral; uniéndolos se obtiene la primera espira de la espiral. 6. De manera análoga se construye la segunda espira. ¿Cómo es el paso de la espiral? ¿Por qué podés afirmarlo? ACTO II: cuestiones de maestros. Hacia el concepto matemático de función Para la puesta en escena del segundo acto se hace necesario el libro siguiente: Palacios, A. R, Martorelli, S. L., Talamonti Baldasarre, M. (2011) CUESTIONES DE MAESTROS. Hacia el concepto matemático de función. Buenos Aires: LUMEN. A modo de ejemplo de lo que se realizará en el taller, mostramos la siguiente actividad en la cual, una vez definida una operación de pensamiento, se propone ejercitación para su puesta en escena. 329 Propuestas para la enseñanza de la matemática Interpretar: implica un proceso por el cual damos y extraemos cierto significado de nuestras experiencias. Para trabajar esta operación de pensamiento es bueno ofrecer a los alumnos gráficas, tablas, cartas, planos, imágenes, mapas, informes, poemas, cuentos etc. El manejo de datos de material que se encuentra a mano como los concernientes a la comunidad local, ingresos, productos, etc., hace que los alumnos vayan asimilando nociones de gran importancia para el desenvolvimiento de su vida, no olvidemos que estamos acostumbrados a generalizar sin fundamentación suficiente. Te acercamos aquí algunas fichas de trabajo del libro CUESTIONES DE MAESTROS. Hacia el concepto matemático de función. Al pie de cada una encontrarás las operaciones de pensamiento que se proponen desarrollar y que favorezcan el aprendizaje del lenguaje lógico–matemático para alcanzar la comprensión del concepto matemático de función. Ficha N°1: Pintá las peceras en las que hay por lo menos un pez. Pintá los floreros en los que hay a lo sumo una flor. Pintá las manos que muestran a lo sumo un dedo extendido. Pintá las manos que muestran por lo menos un dedo extendido. 330 Propuestas para la enseñanza de la matemática Ficha N°2: Observá las imágenes en la pantalla y respondé: 1. ¿De cada elefante del conjunto A sale, por lo menos, una flecha que llega a una manzana del conjunto B? SI NO 2. ¿De cada elefante del conjunto A sale, por lo menos, una flecha que llega a una manzana del conjunto B? SI NO 3. ¿De cada elefante del conjunto A sale, a lo sumo, una flecha que llega a una manzana del conjunto B? SI NO 4. ¿De cada mono del conjunto C sale, por lo menos, una flecha que llega a una banana del conjunto D? SI NO 5. ¿De cada mono del conjunto C sale, a lo sumo, una flecha que llega a una banana del conjunto D? SI NO 6. ¿A cada taza del conjunto E le corresponde, por lo menos, una tetera del conjunto F? SI NO 7. ¿A cada taza del conjunto E le corresponde, a lo sumo, una tetera del conjunto F? SI NO 8. ¿A cada caracol del conjunto G le corresponde, por lo menos, una hoja del conjunto I? SI NO 9. ¿A cada caracol del conjunto G le corresponde, a lo sumo, una hoja del conjunto I? SI NO 10. ¿De cada payaso del conjunto J sale, por lo menos, una flecha que llega a un globo del conjunto K? SI NO 11. ¿De cada payaso del conjunto J sale, a lo sumo, una flecha que llega a un globo del conjunto K? SI NO 12. ¿A cada bruja del conjunto L le corresponde, por lo menos, un hada del conjunto M? SI NO 13. ¿A cada bruja del conjunto L le corresponde, a lo sumo, un hada del conjunto M? SI NO 14. ¿De cada castillo del conjunto S sale, por lo menos, una flecha que llega a un dragón del conjunto T? SI NO 15. ¿A cada castillo del conjunto S le corresponde, a lo sumo, un dragón del conjunto T? SI NO 331 Propuestas para la enseñanza de la matemática 16. ¿A cada pulpo del conjunto V le corresponde, por lo menos, un pez del conjunto W? SI NO 17. ¿De cada pulpo del conjunto V sale, a lo sumo, una flecha que llega a un pez del conjunto W? SI NO Ficha N°3: Observá las anteriores relaciones de correspondencia establecidas entre conjuntos e intentá clasificarlas. ¿qué criterios podés utilizar? 332 Registrá aquí tu clasificación evocando simbólicamente cada relación, por ejemplo A B. CLASE CLASE CLASE CLASE Ficha N°4: En esta ficha te mostramos una clasificación de todas las relaciones trabajadas hasta ahora. Observá que hay dos clases: clase 1 y clase 2. escribí la propiedad que permitió formar la clase en cada uno de los casos. CLASE 1 CLASE 2 Ficha N°5: Trabajando con el mismo conjunto de relaciones, te proponemos realizar una nueva clasificación. Construí cada una de las clases utilizando la propiedad correspondiente. CLASE 3 De cada elemento del conjunto de partida sale, por lo menos y a lo sumo, una flecha que llega a un elemento del conjunto de llegada. CLASE 4 No es cierto que de cada elemento del conjunto de partida sale por lo menos y a lo sumo, una flecha que llega a un elemento del conjunto de llegada. Si bien nos detuvimos en estas operaciones no relativizamos la importancia de otras como formular críticas, traducir, buscar suposiciones, imaginar, reunir y organizar datos, formular hipótesis, aplicar hechos y principios a nuevas situaciones, tomar decisiones, diseñar proyectos e investigaciones, codificar, etc. Propuestas para la enseñanza de la matemática Pensar implica una forma de enfrentar una situación nueva, significa examinar las alternativas existentes y tratar, a veces, de ensayar nuevas hipótesis. El pensar trata de un hábito práctico que puede conservarse. Subrayar la importancia del pensamiento implica dar un gran paso inicial para el mejoramiento de la condición humana. A modo de reflexión de la práctica docente ¿Qué recursos didácticos utilizamos frecuentemente? ¿Resignificaríamos el uso de los instrumentos de geometría en nuestras clases? ¿Por qué? ¿Conocemos el diseño curricular actual? Si es así, ¿qué exige el diseño curricular al respecto? ¿Estamos de acuerdo con ello? Conclusiones Según las expectativas a lograr pautadas en los objetivos del taller, podemos arribar a las siguientes conclusiones: 1- Se trabajó con instrumentos de geometría que habitualmente caen en desuso en las escuelas a la hora de desarrollar geometría, proponiéndose el uso de estos recursos por medio de un contenido diferente y presentado bajo una metodología que propicia el desarrollo de las habilidades del pensamiento. 2- Se alertó sobre el mal uso del lenguaje; cuestión que invade el lenguaje disciplinar y deteriora la precisión y evocación de los conceptos que cada término define. 3- Se logró observar, comparar, identificar, interpretar, construir, clasificar, etc, sobre diferentes entornos, logrando así una variabilidad perceptual que impide la construcción de un concepto aferrado a sólo un universo de elementos. Referencias Bibliográficas Antón, J. L., González Ferreras, F, González García, C., Llorente J., Montamarta, G., Rodríguez, J.A., Ruiz, Mª J. (1994), Taller de matemáticas. Narcea Ediciones-Madrid. Dyer, W. (1992) Tus zonas erróneas. Barcelona: Ediciones Grijalbo. Palacios, A. R, Martorelli, S. L., Talamonti Baldasarre, M. (2011) cuestiones de maestros. Hacia el concepto matemático de función. Buenos Aires: Lumen. 333 Propuestas para la enseñanza de la matemática INTERDISCIPLINARIEDAD ENTRE LINGÜÍSTICA Y SIMBOLIZACIÓN ALGEBRAICA. UNA PROPUESTA DIDÁCTICA Carlos Enrique Correa Jaramillo Universidad Técnica Particular de Loja. Ecuador. [email protected] Nivel medio Palabras clave: Significante. Significado. Simbolización. Interdisciplinariedad. Resumen El presente trabajo se basa en actividades didácticas realizadas de forma empírica con estudiantes que empiezan el estudio del álgebra, y se refiere a las nociones lingüísticas de significante y de significado, las mismas en las que me voy a apoyar, interdisciplinariamente, para la introducción a la simbología algebraica. Para ello, me he servido primeramente de dibujos de objetos materiales y tangibles, empezando por el sentido de la vista y continuando con los demás, así como con otras percepciones psicológicas como las emociones, los sentimientos, las concepciones, de tal forma que permitan distinguir claramente las dos nociones de significante y significado y que van a utilizarse en la simbolización de objetos ideales como son los algebraicos. Al hacerlo, se toma a elementos de diferente índole del entorno de los estudiantes y que son asequibles a los mismos, procediendo de lo concreto y tangible a lo abstracto e intangible. Una vez aprehendidas estas dos nociones, es posible abordar el estudio de la simbología algebraica de manera fluida y sin complicaciones de conceptos más definidos y precisos, propios de las matemáticas, y a los que deberá llegarse posteriormente, después de una etapa intuitiva. Fundamentación El inicio del aprendizaje del álgebra es una etapa tan complicada como el inicio del aprendizaje de las primeras letras y los números. En ambos momentos el estudiante se enfrenta a situaciones totalmente nuevas, pues no ha habido un conocimiento previo de los elementos que entran en juego. Cuando se aprende la resta, por ejemplo, ya se conocen los números naturales y la operación de adición, es decir, ya se tienen las dos nociones sobre las que se asienta la resta. Posteriormente, la multiplicación y la división de números naturales se basarán en estos conocimientos previos. De igual forma, el aprendizaje de los números racionales y de los reales, se basa en esos primeros conocimientos. A su vez, lo nuevo en la suma de números decimales está en la introducción de la coma para separar la parte entera de la parte decimal, porque los saberes sobre la escritura posicional de los números o el algoritmo para sumarlos ya fueron adquiridos al aprender la suma de números enteros. Una situación distinta deviene cuando tenemos que utilizar una simbología diferente a la usual para las cantidades cuando entramos al aprendizaje del álgebra. Para nosotros, los adultos, es fácil entender que una letra puede representar una cantidad. Pero esto es así por cuanto ha habido un desarrollo de la inteligencia, debido tanto a la edad cuanto al conocimiento. Según Piaget (1978), hay etapas del desarrollo de la inteligencia, según las cuales, no se puede adelantar aprendizajes que corresponden a etapas posteriores. Por ejemplo, no se puede 334 Propuestas para la enseñanza de la matemática enseñar a un niño de ocho años a que haga deducciones formales. Ayudarlos a los estudiantes a avanzar en el conocimiento tomando en cuenta la etapa de desarrollo en que se encuentran es el compromiso que todo docente debe tener presente en el ejercicio de su vocación. En nuestra práctica didáctica en la enseñanza del álgebra, nos hemos encontrado con casos de estudiantes para quienes la simbolización algebraica les ha provocado verdaderos problemas en su comprensión y dificultades en lo posterior. Todo ello debido a fallas en diversos ámbitos, muchas de las cuales han sido inconscientes, pero que pueden preverse y corregirse. Según Ruiz (2003), los errores y obstáculos que se presentan en la enseñanza de esta ciencia han sido estudiados por Brousseau, quien dice que el error no se produce solamente debido a la ignorancia del tema, a la incertidumbre, o al azar, como se postulaba en las teorías empiristas o conductistas del aprendizaje; sino que es producto de un conocimiento anterior que ejerce su acción en nuevas situaciones en las que se revela falso o no aplicable debido a que son otras condiciones. De manera que es factible identificar el origen de estos errores puesto, que no se producen espontáneamente. En este sentido, queremos dar un aporte para determinados momentos de enseñanza de la simbolización. Como lo anota igualmente Ruiz (2003, p. 53), ―El origen de los obstáculos puede ser: epistemológico, ontogenético y didáctico‖. Los obstáculos de origen epistemológico son aquellos ligados al saber anterior, es decir, se basan en conocimientos anteriores que ya no son válidos para una nueva situación. Los de origen ontogenético se refieren a aquellos que tienen que ver con el desarrollo neuropsicológico de los estudiantes. Finalmente, los de origen didáctico tienen relación con los errores que comete el profesor. (Ruiz; 2003) Consideramos que, de alguna manera, los obstáculos en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la simbolización algebraica, están ligados a los tres orígenes. Veamos: en el caso de los errores de origen epistemológico, existen en el estudiante conocimientos previos relativos a la asignación de palabras estables, definitivas, para nombrar a los objetos, con la consecuente escritura también estable. El pensamiento del estudiante se ha modelado para que piense que las letras no pueden servir para representar cantidades. El conocimiento anterior es un obstáculo para el nuevo conocimiento. En lo referente a los obstáculos de origen ontogenético, nos encontramos con que el estudiante no ha logrado todavía diferenciar el significante del significado. Es, por lo tanto, necesario que adquiera las nociones claras de esta estructura mental y lingüística para que admita lo relativo y convencional de la simbolización como para utilizar letras en vez de números. Y, en tercer lugar, existe el error didáctico de utilizar mal las palabras por parte del profesor cuando, por ejemplo, se refiere a los numerales con el término de número. Esto, lingüísticamente hablando, es posible hacerlo siempre y cuando se distingan de forma clara los dos conceptos. 335 Propuestas para la enseñanza de la matemática Además, hay tópicos que no han sido tomados en cuenta en la enseñanza tradicional. Por ejemplo, la referencia al entorno, la interdisciplinariedad, la creatividad, la actividad y construcción propia de los conceptos por parte del estudiante, la formación de valores, etc., los mismos que el profesor debe integrarlos en el desarrollo del tema para dar una educación integral y no una enseñanza compartimental, aislada, focalista. Estas consideraciones me llevaron a pensar en una propuesta didáctica integradora que tome en cuenta, básicamente, la interdisciplinariedad de las ciencias, la teoría de los obstáculos en la enseñanza de matemáticas y la teoría del desarrollo intelectual de Piaget (1979). 336 Desarrollo de la propuesta Luego del saludo y del inicio formal de la clase, les presento a los estudiantes el siguiente dibujo: y les pregunto ―¿qué ven ustedes aquí?‖ La respuesta inmediata es: ―una casa‖. Les presento a continuación otro dibujo: y repito la pregunta. La respuesta no se hace esperar: ―Es un árbol‖. Entonces les digo: ―Hablando en lenguaje cotidiano, está bien decir que es una casa y que es un árbol; pero hablando en términos propios, debemos decir que es el DIBUJO de una casa y que es el DIBUJO de un árbol‖. Y les explico acerca de la diferencia que hay entre el objeto, que vemos que es uno solo, y el dibujo, que puede presentarse de diferentes maneras. Una cosa es la representación o dibujo (al que le diremos que es el ―significante‖) y otra cosa es el concepto del objeto representado (es decir, el ―significado‖ de ese dibujo), el mismo que se forma en el cerebro de cada uno. Propuestas para la enseñanza de la matemática Ampliando el ámbito de la experiencia, les indico que hay cómo representar no solamente objetos visibles, sino también fenómenos audibles. Entonces emito un sonido vocálico como la ―a‖ y les digo que ese sonido físico, que lo perciben con el oído, puede representarse así: ―A‖, o ―a‖, etc. Les hago ver que cada uno hace unos rasgos diferentes del símbolo pero que todos ellos representan lo mismo. Les amplío la información para indicarles que, en griego, el símbolo es y se lla ma ―alfa‖ y que, en hebreo, el símbolo se llama ―aleph‖. Paso a señalar que esta simbolización se hace con todos y cada uno de los sonidos de un lenguaje, lo que se concreta en el alfabeto respectivo. Aprovecho también la oportunidad para hablar algo acerca del lenguaje, estableciendo una relación interdisciplinaria entre lenguaje y matemáticas. Por ejemplo, les digo que las letras, los signos ortográficos, los signos de interrogación y de exclamación, etc., son los significantes que utilizamos en el lenguaje para significar las diferentes nociones del mismo, y que en matemáticas utilizamos los numerales, los signos de operaciones, el signo de igualdad, etc., para estas nociones matemáticas (sin hablar todavía de letras que representan números). Lenguaje y matemáticas se parecen porque expresan significados mediante significantes. Ambas asignaturas tienen su propia ortografía y su propia sintaxis. Pero no solo podemos simbolizar sonidos emitidos por el ser humano. La humanidad ha llegado a inventar un código consistente para los sonidos musicales. Además, el pentagrama contiene símbolos no solo de los sonidos o notas musicales, sino también de su duración, del ritmo, etc. Amplío de este modo la relación interdisciplinaria de las ciencias. A más del ámbito de la representación de los objetos materiales y de los sonidos, podemos representar órdenes, mandatos, normas. Para hacer notar este ámbito, les pregunto a los estudiantes si han visto algún símbolo que signifique ―no fumar‖, ―pare‖, ―virar a la derecha‖, ―no virar a la derecha‖, ―no rebasar‖, ―hacer silencio‖ (en una clínica u hospital), ―arrojar los papeles en el cesto‖, ―no utilizar celulares‖, ―no fotografiar‖. Ellos toman conciencia de la pregunta, reflexionan y luego me sorprenden con otros tantos casos e inquietudes. Poco a poco van observando la cultura de simbolización que hemos construido. En el pizarrón les dibujo después un corazón sangrando con una flecha clavada en él y les pregunto sobre su significado. No tardan en contestarme que se trata de un corazón enamorado. Les indico que el amor es una manifestación de nuestra psique y que podemos simbolizar también otras manifestaciones psicológicas, artísticas, culturales, filosóficas, éticas. Así, por ejemplo, el teatro se representa mediante dos máscaras, la una sonriendo y la otra llorando; la justicia se representa mediante una mujer vendada con una balanza y una espada; la música mediante una lira; a Jesucristo mediante una cruz; la institución de la Cruz Roja mediante una cruz de ese color, la misma que los árabes lo hacen con una media luna. Y podemos distinguir símbolos de marcas de productos; los símbolos patrios; los símbolos de instituciones del Estado; de grupos musicales; de las diferentes mitologías; etc. Después de toda esta visión panorámica, paso a focalizar la atención en la aritmética, para que estén listos, en su momento, a abordar el álgebra. Les digo algo como lo siguiente: ―Voy a hacer en la pizarra el siete‖. Y dibujo el numeral VII romano. Esto les causa un poco de sorpresa porque 337 Propuestas para la enseñanza de la matemática esperaban a que colocara el símbolo 7 arábigo, que es más común, y me sirve, con todo lo anterior, para que puedan diferenciar la cantidad y su numeral, es decir, entre significado y significante de un número en particular. Les digo que también lo puedo simbolizar con el numeral arábigo. Les muestro otros numerales inventados por diferentes culturas en diferentes tiempos. Con esto intuyen también el aspecto histórico de la construcción matemática. Hago referencia a otros símbolos aritméticos de operaciones que ya conocen como el ―más‖, el ―menos‖, el ―por‖, o de relaciones como el ―igual‖, el ―mayor que‖, el ―menor que‖. Les hago notar que la operación de potenciación tiene una forma singular de simbolizarla: mediante un número pequeñito en la parte superior derecha de la base. Con lo cual está preparado el camino para entrar en el ámbito del álgebra. En este momento paso a proponerles un reto para su creatividad que, en un comienzo, los deja sorprendidos. Les digo: ―Puesto que los símbolos son un invento del ser humano para representar objetos, cantidades, ideas, nociones, acciones, sentimientos o cualquier otra cosa, les pido que inventen un símbolo totalmente nuevo para el siete. No debe ser, por ejemplo, un asterisco, una estrella, un caracol u otro que ya antes se haya visto o hecho‖. Y espero al primero que tome la iniciativa. Después de pocos instantes se atreve a pasar al pizarrón un primer estudiante y dibuja su significante esperando mi aprobación, la misma que le doy inmediatamente. Esto abre las puertas para que sigan pasando los demás, cada quien con uno más sofisticado que otro. Cuando todos han pasado les digo que estoy frente a personas creativas, lo que aumenta su autoestima y su satisfacción. He conseguido el objetivo fundamental: que los estudiantes puedan separar las nociones de significante y significado y que, concretamente para álgebra, puedan entender que se puede asignar a los números, significantes diferentes a los usuales. Les digo, a continuación, que yo también voy a hacer un significante para el siete, aunque no es tan original como el de ellos, pues se lo usa para el lenguaje. E inmediatamente hago en el pizarrón la letra equis. Luego escribo: x+1= y les pregunto por la respuesta. Me dicen: ―ocho‖. Constato así que han empezado a comprender la simbolización algebraica. Para realizar un refuerzo, les propongo que completen el segundo miembro de igualdades como las siguientes: x+8= x+x= x 2= x2+3= x2-9= x 2+ x = x2-x+1= x 3= 338 Propuestas para la enseñanza de la matemática x 3- x 2 = Puedo agregar otra letra que represente, supongamos, al cinco. Escojo la letra y. Coloco en el pizarrón: y+6= x+y= x2+y= x+y2= Casi todas las respuestas que obtengo son satisfactorias. Para que puedan adaptarse a la significación variable de los símbolos algebraicos, les hago ver que es posible que otra persona haya tomado la letra x para representar al nueve, lo que es completamente válido para él y para quienes han convenido en que así sea. Lo que debemos aceptar es que en el contexto mío, la letra x represente al siete y, en el contexto de la otra persona, represente al nueve. Podemos ir más allá y quedar de acuerdo en que nosotros mismos podemos considerar la simbolización de manera pasajera y no permanente. Convendremos en que en cada momento y dentro del mismo discurso o situación, le asignaremos un valor momentáneo a cada letra, para asignarle otro valor en otra situación o problema. Con el afán de integrar esta última parte sobre la representación momentánea del número con la inmediatamente anterior sobre la simbolización primera, les propongo ecuaciones sencillas de primero y segundo grado para que las resuelvan, como las siguientes: x+4=6 x – 7 = 10 x 2 = 25 x 2 – 3 = 10 x2+x=6 logrando un buen nivel de comprensión. Considero también el aspecto lúdico en la enseñanza de las matemáticas y les presento en el pizarrón lo siguiente: @ - $ = % + + + % - € = $ ----------------------------------&$ - % = @ y les pido que encuentren los valores representados de acuerdo a las condiciones que se indican. Termino la clase pidiéndoles que ellos mismos propongan expresiones algebraicas utilizando la mayor cantidad de letras a las que deben asignarles un valor, así como para todas las operaciones que conocen. 339 Propuestas para la enseñanza de la matemática Conclusión Esta experiencia me ha arrojado un resultado alentador ya que he constatado empíricamente una diferencia significativa con el método tradicional, ya que el aprendizaje del simbolismo algebraico resulta bastante fácil de esta forma, aparte de que he logrado algunos otros objetivos de la educación, entre otros: la interdisciplinariedad, la utilidad de la ciencia, el desarrollo de la creatividad, la referencia al entorno, etc. Conviene plantear ahora una investigación formal por cuanto los resultados nos llevan a pensar que se puede conseguir un método más eficaz para la enseñanza de la simbolización algebraica y por cuanto, también, se vuelve indispensable la experimentación para controlar las variables extrañas y llegar a validar la hipótesis utilizando una metodología aceptada y mediante decisiones basadas en la experimentación científica. Referencias Bibliográficas Piaget, J. ( 1 978). Problemas de psicología genética. Barcelona: Ariel Piaget, J. ( 1 979). Seis estudios de psicología. Barcelona: Editorial Seix Barral S. A. Ruiz, M. (2 003). Aprendizaje y Matemáticas. En Chamorro M. (Coord.). Didáctica de las Matemáticas. Madrid: Ed. Pearson Prentice Hall. 340 Propuestas para la enseñanza de la matemática PRIMEROS ACERCAMIENTOS A LA DIVISIÓN: UN ESTUDIO SOBRE ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE Marcela Fabiana Bottazzini, Mario Di Blasi Regner Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional General Pacheco. Licenciatura en Enseñanza de la Matemática. Buenos Aires. Argentina [email protected] Nivel educativo básico Palabras clave: Aprendizaje de la división. Primeras estrategias. Cálculo mental. Experiencias de aula. Resumen En este trabajo se exploran en el ámbito del aula, las estrategias que utilizan los alumnos de 8 y 9 años de la escuela primaria en sus primeros acercamientos a la construcción del concepto de división. Enmarcado en una perspectiva constructivista, se propone un enfoque interpretativo para exponer las conclusiones del mismo. Los marcos de referencia del trabajo son la TSD de Brousseau (2007), la concepción de aprendizaje constructivista de Piaget, las representaciones semióticas de Duval (1993) y TCC de Vergnaud (2007). La propuesta apostó a poner énfasis en las decisiones que los alumnos tomaran frente a las situaciones presentadas, las estrategias que produjeran, las comunicaciones verbales o escritas que dieran cuenta de las estrategias que usaran. Para el análisis de las estrategias de los alumnos fueron consideradas tanto sus producciones escritas como lo que comunicaron gestual y verbalmente. Para ello fueron grabadas sus intervenciones y filmado el trabajo de aula. De los resultados de la implementación de la investigación se puede concluir que los diseños fueron apropiados. Los alumnos en principio se valieron de objetos concretos para armar sus estrategias de resolución. Cuando los números en juego superaron los objetos que tenían para representar la situación, buscaron complementar la estrategia agregando otros objetos de otra clase. En pocas oportunidades las producciones escritas dieron cuenta de los procedimientos que utilizaron los alumnos en la construcción del concepto. Las últimas estrategias en usarse fueron los procedimientos que involucraron a la multiplicación. El cálculo mental jugó un papel determinante en el proceso de construcción de las operaciones aritméticas. La calculadora se incorporó a la actividad matemática de manera natural sin que esto signifique una invasión en la generación de estrategias. Introducción Si la Matemática que propone Sadovsky, Patricia (2005) en su libro ―Enseñar matemática hoy‖ supone proponerle a los alumnos situaciones que ellos visualicen como complejas pero al mismo tiempo posibles, que los inviten a pensar, a explorar, poner en juego, probar, conectarse con sus compañeros, confrontarlos a formular conjeturas, ensayar maneras de validarlas, producir formas de representación, buscar herramientas y crear estrategias ¿por qué la construcción del concepto de división a menudo se identifica exclusivamente con el uso del algoritmo sintético?. ¿Qué estrategias usan los alumnos en ocasiones de resolución de situaciones presentadas cuando se construye el concepto de división? ¿Se retoman las 341 Propuestas para la enseñanza de la matemática producciones de los alumnos en pos de la evolución de las estrategias? ¿Por qué muchas veces en ocasiones de aula se comunica el procedimiento de cálculo de la división (algoritmo sintético), para luego usarlos en problemas que le dan significado y no el proceso inverso? Estas cuestiones fueron cimiento de este trabajo. Si el quehacer matemático cuenta con herramientas como calculadora, cuentas y cálculo mental, tal como lo propone Ressia de Moreno, B. (2009), y entendemos que un alumno dispone de conocimiento matemático no solamente cuando sabe hacer cuentas, tiene repertorios de cálculos mentales aditivos y multiplicativos y sabe operar con calculadora, sino cuando puede tomar la decisión de cuál de éstas herramientas es la más adecuada para resolver el problema en juego. ¿Por qué enfatizamos en el aprendizaje de sólo una herramienta en lugar de hacer convivir y evolucionar todas? El quehacer matemático no es otra cosa que pensar, ensayar, explorar, interactuar, explicar, discutir, argumentar, preguntar, plantear nuevos problemas y esto no se da espontáneamente. El docente debe planificar la tarea, elegir los problemas, gestionar la clase promoviendo el análisis de las resoluciones que circulan, haciendo reflexionar acerca de los procedimientos usados, discutiendo la validez de los caminos seleccionados y sobre la manera de registrarlos. A la hora de hacer matemática, los alumnos tienen que tomar decisiones y construir estrategias que resuelvan las situaciones presentadas. Si se trata de problemas donde se ve involucrado el concepto de división: ¿pueden resolverlos en un entorno sin algoritmo sintético de la división? Y una vez provistos de éste ¿Qué rol ocupa dentro de las producciones para resolver problemas? ¿Qué rol desempeña la estimación, en la construcción del concepto de división en niños de esta edad? Metodología Esta investigación estuvo orientada a explorar y describir las estrategias que usa el alumno de 8 y 9 años de la escuela primaria, en sus primeros acercamientos a la construcción del concepto de división. Este diseño retomó lo propuesto por expertos para reproducir un ámbito de quehacer matemático y analizar las estrategias que usan los alumnos en el camino de la producción de conocimientos. En función de este marco constructivista, se diseñaron situaciones de clases para implementar y gestionar el proceso de construcción del objeto matemático en juego. Las mismas siguieron los lineamientos propuestos por Itzcovich, Horacio (2007) en el trabajo con la multiplicación y la división: reparto, agrupamiento, problemas que responden a organizaciones rectangulares con cantidades variables en función de la dinámica de aula y la edad de los niños. La gestión de aula se llevó a cabo con 30 alumnos de entre 8 y 9 años en una escuela de gestión pública del distrito de Malvinas Argentinas en el conurbano bonaerense. En un aula paralela fueron presentadas las situaciones para verificar la pertinencia de los enunciados y el impacto en los niños (para que a la hora de implementar el diseño no hubiese imprevistos y pudieran anticiparse los ajustes necesarios). También como proceso de anticipación, con anterioridad se llevaron al aula las cajas matemáticas con cartas, calculadoras, fichas, lápices de colores, fibrones etc. 342 Propuestas para la enseñanza de la matemática Fueron consideradas tanto sus producciones escritas como lo que comunicaron gestual y verbalmente en las situaciones de clase, para ello fueron grabadas sus intervenciones, y filmado el trabajo de aula. El análisis de las estrategias desplegadas por los alumnos se realizó en base a: las afirmaciones construidas a partir de las evidencias registradas en forma escrita, oral o gestual y la teoría a cargo de expertos que sustentaba dichas afirmaciones y ―contextualizaban‖ dichas evidencias. Para explicitar los datos escritos, orales y gestuales que se transformarían en evidencias se diseñó un cuadro de doble entrada que fusionara la mirada didáctica de la clase con las representaciones y registros obtenidos en la prueba de campo. Para no perder de vista ningún aspecto de la clase que fuera relevante, se registraron las intervenciones del docente, las comunicaciones de los alumnos y las puestas en común. ACERCA DE LOS REGISTROS ACERCA LA TSD DE REGISTRO GESTUAL REGISTRO ORAL PRODUCCIÓN ESCRITA ACCIÓN FORMULACIÓN VALIDACIÓN Evidencias de trabajo de campo De acuerdo con Panizza (2009), se debe estimular en el aula el uso de procedimientos que no sean los convencionales. Producción escrita Cuando la situación presentada fue armar un jardín rectangular de 32 plantitas ubicadas de a 8 por fila, esta alumna para dar cuenta de la estrategia implementada hizo uso de una organización rectangular donde planificó el jardín de la situación. Este tipo de gráfico es más ordenado y se ve el reparto equitativo. Este es un procedimiento no convencional como propone Mabel Panizza (2009). 343 Propuestas para la enseñanza de la matemática ―lo escrito no sólo cumple una función comunicativa sino que es sostén del pensamiento y de la producción de nuevas relaciones‖ (Sadovsky, 2004). Producción escrita Respecto de un problema propuesto, repartir 40 cartas entre los integrantes del grupo, en un grupo de 5 niños, la producción escrita muestra una estrategia de un cociente parcial surgido de la intuición, 4 cartas a cada alumno, es decir cada sumando indica lo que se reparte a cada niño, y luego ajustan la estrategia y vuelven a repetirla. Sin embargo a pesar de implementar una estrategia exitosa, este alumno no pudo dar respuesta correcta a la situación. Horacio Itzcovich (2007) propone algunos lineamientos para la gestión de las clases donde deben coexistir los conceptos de multiplicación y división. En el proceso de construcción el autor espera que los alumnos elaboren dibujos, realicen conteos, se apoyen en sumas y restas hasta aproximarse a la solución por multiplicaciones. En las producciones a la vista vemos que Evelyn recorre todos los lineamientos propuestos por el autor, y encuentra en algunas instancias oportunidad de usar tanto multiplicaciones como el algoritmo sintético de la división. Es decir pudo evolucionar en la dirección propuesta por el autor. Producciones escritas de Evelyn 344 Propuestas para la enseñanza de la matemática Sin embargo Guadalupe no pudo evolucionar en sus estrategias por más costosas que le resultaran y siempre se desempeñó dentro del mismo campo conceptual: el aditivo. Sus estrategias se sostuvieron siempre por sumas y restas, en algunas oportunidades apoyadas en el uso de la calculadora. 345 Producciones de Guadalupe En las primeras situaciones presentadas se expresaba en forma oral la necesidad de escribir cómo habían pensado la estrategia y que trataran de volcarlo en el papel. Para Mónica Campos (2006), la generación de estrategias difiere de poder representar los procedimientos a través de una cuenta. En la producción escrita que observamos, el procedimiento llevado a cabo está dado por el dibujo y no por la cuenta. La estrategia fue el uso de la calculadora y la misma está dibujada en la mesa en la misma disposición que el grupo organizó el trabajo. No siempre lo escrito da cuenta de las estrategias usadas: Leo es uno de los alumnos que recurrió en cada situación a cálculos mentales. De acuerdo con Rafael Roa (2001), el cálculo mental es flexible, personal, depende de los conocimientos de los números y sus Propuestas para la enseñanza de la matemática propiedades de quien lo practica. De acuerdo con María del Carmen Chamorro (2003) el cálculo mental hace necesaria la retención momentánea de resultados intermedios. Sin embargo La producción escrita del alumno no se acercó a los procedimientos llevados a cabo. 346 Producciones escritas de Leo Algunas conclusiones Siempre los alumnos intentaron poner en cuentas cada situación presentada. Las primeras estrategias que utilizaron se corresponden con manipulación de material. Las estrategias usadas dieron cuenta del conjunto de experiencias vividas y los esquemas elaborados. La suma fue la operación más cercana que encontraron para modelizar las situaciones. Hicieron uso de la estrategia de base reparto 1 a 1 (Falcón, N. 1997). Pocas veces lo registrado en forma escrita fue imagen de las estrategias usadas y pocas veces a pesar de haber utilizado estrategias acertadas pudieron producir una respuesta. Una parte de la producción de los alumnos quedó fuera del conocimiento de la docente. Propuestas para la enseñanza de la matemática Referencias Bibliográficas Brousseau, G. (2007). Traducción Fregona, D. Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Buenos Aires: Del Zorzal. Campos, M. (2006). El desarrollo, sentido y técnica para la multiplicación. Trabajo presentado en XIII Jornadas Nacionales de Educación Matemática. Córdoba: Instituto superior de formación docente. Chamorro, M. (coord.). Belmonte Gómez, J.; Llinares, S.; Ruiz Higueras, M.; Vecino Rubio, F. (2003). Didáctica de las Matemáticas para primaria. Madrid: Pearson Educación. Duval, R. (1993). Registres de représentation sémiotique et functionnemente cognitif de la pensée. 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Buenos Aires: Paidós. Ressia de Moreno, B. (2009a). En Castro, A; Diaz, A; Escobar, M; Fernández, A.; Penas, F.; Ponce, H.; Quaranta, M.; Ressia de Moreno, B.; Sancha, I.; Tarasow, P.; Urquiza, M.; Vasches, C.;Wolman, S. Enseñar Matemática en la escuela primaria. (pp. 97-102). Buenos Aires: Tinta fresca. Ressia de Moreno, B. (2009b). En Panizza, M. (comp.); Bartolomé, O; Broitman, C.; Fregona, D. ; Itzcovich, H.; Quaranta, M.; Ressia de Moreno, B.; Saiz, I.; Tarasow, P.; Wolman, S. Enseñar Matemática en el nivel inicial y en el primer ciclo de la EGB. Análisis y propuestas. (pp. 73-128). Buenos Aires: Paidós. Roa, R. (2001). Algoritmos de cálculo. En Castro, E. (editor). Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. (pp 231-254). Madrid: Síntesis. Sadovsky, P. (2004). La Enseñanza de La división. Revista digital La educación en nuestras manos. Nº 15. Disponible en: www.mecaep.edu.uy/ Sadovsky, P. (2005). Enseñar matemática hoy. Miradas, sentidos y desafíos. Buenos Aires: Del Zorzal. 347 Propuestas para la enseñanza de la matemática POESÍA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA Patricia Eva Bozzano, Alejandra Leticia Taylor, Liliana Verne Colegio Nuestra Señora Del Valle. Liceo Víctor Mercante UNLP. Instituto Hijas de La Cruz. Argentina. [email protected], [email protected], [email protected] Niveles Básico y Medio Palabras clave: Poesía. Imaginación. Matemática. Aprendizaje. Resumen La matemática es fundamentalmente un lenguaje de carácter universal necesario para fundamentar fenómenos físicos y comprender el universo; sirve al hombre para desarrollar sus actividades cotidianas y estar despiertos en situaciones difíciles de resolver considerando el maravilloso estímulo de la imaginación, motor en la escritura, motor en la investigación y motor en el arte. ‖Imaginación, humano camino infinito que no se cansa‖ (Taylor, 2012, inédito) Cuando a diario los docentes nos proponemos iniciar las distintas actividades que invitan a nuestros estudiantes a recorrer los procesos y correspondientes etapas para el aprendizaje de la Matemática, encontramos con mucha frecuencia resistencia por parte de algunos, y en algunas ocasiones sentimientos de derrota anticipada. En tales situaciones, ¿es posible decidir con criterio por alguna actividad lúdica como inicio de procesos de aprendizaje que torne a la clase tradicional en una clase dinámica e interesante? ¿Logrará el alumno descubrir así nuevos intereses y talentos? ¿ será beneficioso para elevar la autoestima académica del alumno? ¿se producirá un cambio observable en los logros alcanzados por el alumno? El presente informe dará cuenta de dos propuestas áulicas llevadas a cabo, los correspondientes resultados obtenidos y las primeras respuestas a los interrogantes planteados, siempre teniendo como eje la presencia de la Poesía en la enseñanza de la Matemática. Introducción La Matemática está presente de diversas formas y produce una relación directa entre la belleza natural y el arte del hombre. Dijo el lógico y filósofo inglés Bertrand Russell: ―La Matemática cuando se la comprende bien, posee no solamente la verdad sino también la suprema belleza‖ (Russell, 1945 c.p. Amster, 2007, p. 23). Además, podemos encontrar conceptos matemáticos en poesía y en prosa; algunos escritores los toman para enriquecer el texto y usar un lenguaje reflexivo o senti-pensante, es decir un lenguaje que tiene la capacidad de expresar lo que se siente y lo que se piensa. Pablo Amster, doctor en Matemática dijo, en uno de sus comentarios: ―Como sea, se puede afirmar que la Matemática produce belleza; una belleza no pictórica, escultórica, musical o literaria, sino una belleza matemática‖ (Amster, 2007, p 22). Con el objetivo de estimular a los alumnos, sorprenderlos y lograr en la clase de Matemática una fábrica de ideas, producciones y sueños, tornándola una clase dinámica, interesante, original, abriendo desde la asignatura ventanas a nuevos caminos, aspiraciones 348 Propuestas para la enseñanza de la matemática que iluminan la frescura de los jóvenes; pues ―los jóvenes, como fresias en los últimos suspiros del invierno, florecen antes‖ (Taylor, 2011, p.42). Justificación Al encontrarnos frente a estos jóvenes, el punto de partida consiste en ser capaces de rescatar el interés de los mismos para lograr su participación activa en el proceso de aprendizaje, para luego conducirlo al cuestionamiento disciplinar y enfrentarlo al conflicto cognitivo invitándolo a resolver a partir del conocimiento requerido sin dejar de vincularlo con la gratificación inmediata. En torno a la condición de que el alumno logre un aprendizaje efectivo, la participación activa del mismo es primordial. En palabras de Gardner (1997), la meta del docente es el logro de la automotivación del alumno por el aprendizaje (Gardner, 1997). Objetivo Ganar el interés del alumno, estimularlo y sorprenderlo siendo la clase una fábrica de ideas, producciones y sueños, como punto de partida; y lograr su participación activa en los procesos de aprendizaje para conducirlo al descubrimiento de nuevos intereses y nuevos caminos. Hipótesis Hacer uso de estrategias que estimulan el pensamiento heurístico o creativo del alumno en respuesta a sus inquietudes resulta beneficioso para que éste se muestre interesado, y lo sostenga al menos en el corto plazo, en participar activamente en los procesos de aprendizaje de la Matemática, posibilitando el crecimiento del canal de comunicación que propicia el diálogo intergeneracional que guía hacia el pensamiento crítico. Marco teórico Para tomar una decisión de enseñanza, debe hacerse en función del requerimiento del proceso de aprendizaje que se pretende estimular y en función de su naturaleza. Usando como guía los planteos provistos por la tecnología de la enseñanza y la psicología cognitiva, se decidió remitirse a la relación entre la Matemática y la Poesía. Invocando nuevamente a Russell y sus palabras, quien afirmó: ―El verdadero espíritu de deleite, la exaltación, el sentido de ser más que hombre, piedra de la más alta excelencia, con toda seguridad puede hallarse en las matemáticas al par que en la poesía‖. (Russell, B., citado por Zapico, I. y varios, 2006, p. 12), nos apoyamos en ellas para llevar a cabo las propuestas. Consideramos también importantes los aportes llevados a cabo por el psicólogo estadounidense Howard Gardner, padre de la teoría de las Inteligencias Múltiples. Teoría tenida en cuenta para la evolución del modelo educativo, pues toma en consideración las potencialidades innatas de cada individuo. Según sus palabras, la inteligencia es una serie de habilidades cognoscitivas que trabajan juntas, aunque como entidades semiautónomas. Ellas son ocho: musical, cinético-corporal, lógico-matemática, lingüística, espacial, interpersonal, intrapersonal y de relación con la naturaleza. La teoría indica las líneas de acción pedagógica a tomar adaptadas a las características de cada alumno y, además, nos 349 Propuestas para la enseñanza de la matemática proporciona el marco suficiente para el planteo y desarrollo de la propuesta aquí presentada. No menos destacadas son las ideas aportadas por el Dr. Bernard Charlot, pedagogo e investigador, quien afirma que hacer matemática no consiste en una actividad que permita a un grupo pequeño de elegidos por la naturaleza o por la cultura, el acceso a un mundo muy particular por su abstracción, por el contrario bien puede ser la invitación a una búsqueda consciente y responsable de herramientas y /o recursos que beneficien los distintos procesos de enseñanza-aprendizaje de la Matemática (Charlot, 1986). Metodología Con el fin de estimular a los alumnos con la presencia de disparadores, sorprenderlos y lograr de la clase una fábrica de ideas, producciones y sueños, una clase dinámica, interesante, original descubriendo en ellos nuevos intereses y talentos, abriendo desde la asignatura ventanas a nuevos caminos, aspiraciones tras un período observación y registro de aproximadamente tres años, surge un plan de exploración junto a la Investigación-acción de diseño longitudinal con enfoque cualitativo que tiene como unidad de análisis a alumnos del nivel secundario básico de un colegio secundario y una escuela de pre-grado, dependiente de una Universidad Nacional, ambos pertenecientes a la ciudad de La Plata. Destinatarios: alumnos con edades entre los 11 y 13 años. ACTIVIDAD PROPUESTA A: Consigna: leer un poema o aforismo, ilustrar usando elementos geométricos, comentar y aprender geometría. Secuencia: se presentan textos breves (aforismos, pensamientos, breves poemas) con la propuesta de ser interpretados con un dibujo usando elementos geométricos. Luego, los dibujos que surgen son analizados junto a los alumnos reconociendo elementos primitivos de la geometría, compartiendo comentarios y arribando a conclusiones y definiciones. Resultados esperados: siguiendo las prescripciones para la enseñanza se pretende que el alumno logre un aprendizaje significativo de la Geometría. Ejemplo 1: ―Si tienes un punto alrededor del cual se aquietan tus ansias, tu mundo girará alrededor de ese punto‖ (Osman, 2008, p.21). Algunas ilustraciones que surgieron: 350 Propuestas para la enseñanza de la matemática Figura 1 Figura 2 Figura 3 Reflexiones generadas: (Fig. 1, fig. 2, fig. 3) El punto puede ser un objetivo, una meta, un sueño, la ubicación de uno mismo en el universo… Conclusiones: la guía apropiada dio lugar a que surjan conceptos tales como: elementos primitivos de la geometría euclidiana. Punto. Recta. Semirrecta. Conjunto de puntos. Ángulo. Plano. Circunferencia. Lugar geométrico. Circunferencias concéntricas. Ejemplo 2: ―Eje. Cordón de ideas. Pirámide invertida. Todo Y nada en este punto azul‖ (Taylor, 2012, inédito). Reflexiones generadas: se analizan los elementos geométricos y los comentarios relacionando contenidos previos de la asignatura y resaltando la idea de espacio, de universo, de conjunto, de cuerpo y otros que puedan surgir en un importante espacio para reflexionar integrando, además, conocimientos de Astronomía, Física y Filosofía. Conclusiones: la guía apropiada dio lugar a que surjan conceptos tales como: Punto. Plano. Recta. Pirámide. Espacio. Conjunto. Ejemplo 3: ―En ese punto, en esa suspensión de las cosas, puede uno sentir el orden de los sentidos‖ (Benialgo, 2005 c.p. Taylor, 2011, p. 96). Reflexiones generadas: usando diferentes colores resaltando la imagen que produce al leer este profundo texto se analizan las interpretaciones y los comentarios abordando la idea del punto como concepto filosófico, astronómico y teológico, como principio y fin, como todo y nada, como creación, como explosión de colores, como unión de sentidos, como intersección de vidas, logrando una clase flexible y un espacio importante para el diálogo intergeneracional. Conclusiones: la guía apropiada dio lugar a que surjan conceptos tales como: Elementos primitivos de la Geometría Euclidiana. Punto. Recta. Plano. Espacio. Orden. Conjuntos. 351 Propuestas para la enseñanza de la matemática Ejemplo 4: Vi, de la ventana, cuatro luces titilando. Volaban en la ribera de la noche. Orlaban el cuerno de la luna, la oquedad de la piedra, la espuma de la fronda. Dije… son cuatro luciérnagas escapándole al frescor de la noche. Dije… son cuatro rubíes replicando el fulgor de la luna. Dije… son las lágrimas de un ángel. Dije... Son… las cuatro letras que forman tu nombre (Benialgo, 2012, inédito). Reflexiones generadas: Este hermoso poema se puede analizar desde una mirada astronómica teniendo en cuenta los cuerpos y elementos celestes que aparecen en él. Da lugar a conceptos matemáticos como número, orden, conjunto numérico, ubicación de un punto en un plano, ubicación de un punto en el espacio, sistemas de referencia como el plano cartesiano, proyecciones planas de cuerpos en el espacio, circunferencias concéntricas, curvas, superficie sombreada, fases de la Luna. Además, considerando las conocidas constelaciones o agrupaciones de estrellas en el cielo, se puede estimular al alumno a la investigación de conceptos de Astronomía Elemental como polo sur celeste, estrellas circumpolares, rotación alrededor de un punto, rotación axial, medidas aparentes, posiciones aparentes de cuerpos celestes en la esfera celeste y otros teniendo en cuenta la curiosidad que surja durante la actividad. Se logra así un espacio para reflexionar, un encuentro con la poesía, una clase sin estructuras y abierta a la curiosidad de los alumnos. Conclusiones: la guía apropiada dio lugar a que surjan conceptos tales como: Número natural, conjuntos numéricos, cuerpos geométricos, esfera, proyección plana, cuerpos celestes, rotación, figuras geométricas, superficie, cuadriláteros. Resultados. El uso de aforismos reflexivos o breves poemas con un lenguaje senti-pensante desarrolla la imaginación y la creatividad en los alumnos; además, en el proceso de aprendizaje, crece el canal de comunicación que propicia el diálogo intergeneracional logrando un espacio importante al pensamiento crítico. ACTIVIDAD PROPUESTA B, ESTUDIO DE CASO: Tras un período de aproximadamente 3 meses de trabajo con actividades de aprendizaje cooperativo en un grupo de alumnos de 11-12 años, observación y registro; primero se visualizó, luego se efectuó la entrevista requerida, del caso de un alumno con calificaciones 352 Propuestas para la enseñanza de la matemática bajas que declaraba no servir para hacer matemática, en cambio ser excelente para literatura. Frente al desafío de ganar el interés del alumno, como punto de partida, para lograr su participación activa en los procesos de aprendizaje, se diseñó un pequeño proyecto áulico partiendo de los intereses y capacidades; como la teoría de Gardner indica, se establecieron las líneas de acción pedagógica a tomar adaptadas a las características del alumno: inteligencia lingüística. Siguiendo, además, las ideas aportadas por el experto en educación Fernando Alberca, autor del libro 'Todos los niños pueden ser Einstein' defiende la hipótesis de que hay una causa detrás de cada fracaso escolar, de modo que si a ese niño que saca malas notas se le motiva de la manera adecuada pasa de un fracaso enorme a sobresaliente (Alberca, 2011). Fernando Alberca sostiene que todos los niños tienen dentro de sí el potencial necesario para convertirse en un genio, sólo hace falta motivarlos de la manera adecuada para que lo desarrollen (Alberca, 2011). Consigna: leer con atención, contar las letras de cada palabra obteniendo así las primeras veinte cifras de un número muy conocido. Interpreta con tus palabras el poema. Averigua de qué número se trata. Ese número, ¿con qué figura geométrica estudiada se relaciona? ¿Te atreves a crear otro poema con las mismas reglas? De ser así, hazlo. ―Soy y seré a todos definible mi nombre tengo que daros cociente diametral siempre inmedible soy de los redondos aros.‖ (Golmayo, s.f. c.p. Bozzano, 2010, p.129). Proceso: luego de la puesta en común, fueron unos pocos los que aceptaron el desafío de crear un poema con estas características. Se completó la actividad, en primer lugar con el nombre del poema: Pi o el gran enigma circular, validando las respuestas dadas por los alumnos. Se continuó por un recorrido histórico de la Poesía y Matemática, presentando a los alumnos otros ejemplos y otros autores; acompañada con Investigación Bibliográfica, definición y características del número PI, interpretación consensuada del poema; finalizando con actividades diseñadas concernientes al cálculo de áreas de superficies compuestas y/o combinadas por círculos. A la espera de muestras de interés y entusiasmo, un único alumno presentó su producción poética. Se demoró un par de clases en socializar su logro con el resto de los alumnos, pues aún no confiaba en su capacidad cognitiva. La decisión se respetó. Transcurridas dos clases, a pedido del propio alumno, se organizó en la clase de Matemática, una presentación especial de su creación. Se tituló: LA BELLEZA EN LA MATEMÁTICA. 353 Propuestas para la enseñanza de la matemática Los espíritus libres, son capaces de crear… Los artistas, al igual que los matemáticos, son seres con espíritus libres… Son muchos los espíritus libres que han enfocado sus creaciones en una fusión artísticamatemática: BORGES, NIENMEYER, LEWIS CARROL, ESCHER, DA VINCI,… Hoy tenemos entre nosotros un espíritu con ansias de ser libre, dando sus primeros pasos mediante su creación…… ―Vos a este o estos necesitás, el número tocar, con dedos calcular, universal siempre inmedible. ¿qué es? que contando sabe‖ (F. P., 2011, inédito). ¡Gracias Universo, por permitirnos complacernos y disfrutar de tan fecunda producción! Resultados observados: satisfecho y explícitamente sorprendido, al igual que sus compañeros, el alumno hizo pública su respuesta al desafío cognitivo propuesto, mostrando interés y tomando una posición de protagonista en su propio aprendizaje, que no abandonó el tiempo restante hasta finalizar el correspondiente ciclo escolar. A partir de que se suscitó el conflicto académico y el correspondiente ajuste implementado, el alumno comenzó a transitar por un camino de automotivación por el aprendizaje, acompañando el transitar por calificaciones que fueron aumentando sucesivamente. Frente a las primeras observaciones de dificultades presentada por el alumno ante problemas que requieren conocimiento procedimental, se transitó por un camino que condujo a paulatinas y notables mejoras observables en el alumno, en sus distintas etapas y procesos de aprendizaje hasta el final del ciclo escolar, respondiendo al modelo de aprendizaje que se define como una consecuencia del acto de pensar y como comprensión profunda que involucre el uso flexible y activo del conocimiento. Surgieron dos puntos importantes a destacar, por un lado quedó en evidencia que el pensamiento heurístico o creativo y el pensamiento racional, no resultaron antagónicos sino complementarios. Por otro lado, la propuesta propició en el alumno la autovaloración y automotivación por su aprendizaje, sin detenerse ante el concepto o procedimiento requerido en cada situación, por el contrario, supo encontrar el lugar protagónico ante su aprendizaje de la Matemática. En cada paso dado, reproducía su redescripción representacional (RR) alcanzando así el cambio conceptual requerido. Finalmente el alumno alcanzó el nivel de logros esperados concernientes a conocimientos conceptuales y procedimentales, acercándose notablemente a nivel de experto. Conclusiones El uso de aforismos reflexivos o breves poemas con un lenguaje senti-pensante desarrolla la imaginación y la creatividad en los alumnos; además, en el proceso de aprendizaje, crece el 354 Propuestas para la enseñanza de la matemática canal de comunicación que propicia el diálogo intergeneracional logrando un espacio importante al pensamiento crítico. El resultado de las experiencias aquí expuesta muestra como la interacción entre dos disciplinas aparentemente muy distintas y que han fascinado a muchos, presentan múltiples puntos de contacto que son descubiertos durante el desarrollo de la clase por los alumnos como protagonistas de su propio aprendizaje. Rescata el interés del alumno por la gratificación inmediata, logrando su participación activa en el proceso de aprendizaje de la Matemática. Referencias Bibliográficas Amster, P. (2007). La Matemática como una de Las Bellas Artes. Buenos Aires: Siglo XXI Editores Armstrong, T. (1999). Las inteligencias múltiples en el aula. Buenos Aires: Manantial. Bozzano, P. E. (2010) ¿Atolondrados por PI? En H. Blanco (Ed), Acta de la VIII Conferencia Argentina de Educación Matemática, 129-135. Buenos Aires: Sociedad Argentina de Educación Matemática. Cabrera, L. (2012, 3 de febrero). Cómo convertir a un niño en un genio. El Mundo. Recuperado el 10 de Febrero de 2012 de http://www.elmundo.es/elmundo/2012/02/03/espana/1328290018.html Charlot, B. (1986). La epistemología implícita en las prácticas de enseñanza de las matemáticas. Conferencia dictada en Cannes, Francia. Gardner, H. (2011, 11 de mayo). Howard Gardner, ―padre‖ de las ocho inteligencias, Príncipe de Asturias de las Ciencias Sociales. 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Mendoza: Nueva Armonía. Taylor, A.L. (2011). Analema de Otoño. La Plata: La Terminal Gráfica. Zapico, I. y varios autores. (2006). Matemática en su salsa. Buenos Aires. Lugar Editorial 355 Propuestas para la enseñanza de la matemática UNA EXPERIENCIA DE FORMACIÓN POR COMPETENCIAS EN EL INGRESO A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Carolina Ramos, Elsa Rodríguez Areal de Torino, Carolina Rotger Facultad de Ciencias Económicas. Universidad Nacional de Tucumán. Argentina [email protected], [email protected], [email protected] Nivel educativo Universitario Palabras clave: Ingresantes. Competencias matemáticas. Actitud. Resumen Las políticas que tienen como objetivo favorecer el ingreso y la permanencia en el sistema educativo de nuestro país intentan garantizar la equidad, aunque no siempre atienden la calidad, muchas veces descuidada. En la última década los docentes universitarios fueron tomando conciencia de la importante brecha existente entre contenidos disciplinares y competencias que los ingresantes a las distintas facultades deberían haber adquirido en el nivel secundario, y los que realmente adquirieron. Ante este hecho la universidad abandonó una postura de espectadora, asumiendo la responsabilidad de mejorar las condiciones iniciales de sus ingresantes. Dando respuesta a esta problemática en esta Facultad se implementó el ―Programa de Desarrollo de Competencias‖, durante el primer cuatrimestre de 2011. Estuvo destinado a aquellos alumnos que no habían superado las condiciones de ingreso durante febrero del mismo año, y tuvo como objetivo fortalecer el desarrollo de competencias generales y específicas matemáticas, necesarias en el primer año. Se muestran aquí los resultados obtenidos por los estudiantes en el módulo de matemática del mencionado Programa, además de sus creencias sobre cuánto han aprendido con el curso y sobre algunas de sus actitudes frente al estudio. Dichos resultados permiten concluir que hoy no sería suficiente brindar a los estudiantes una preparación para el desarrollo de competencias matemáticas y generales relacionadas al saber aprender. Corregir el desfasaje entre lo que los alumnos saben y lo que creen saber, y generar actitudes responsables en ellos es, posiblemente, el nuevo desafío al que se enfrentan los docentes universitarios de cursos iniciales. Fundamentación En los últimos años, los alumnos ingresan a la universidad sin haber desarrollado aún muchas de las capacidades básicas y desconociendo contenidos disciplinares necesarios para comenzar exitosamente los estudios superiores. Muchas de estas competencias deberían haberse adquirido y ejercitado en el nivel medio, como la lectura e interpretación de textos, el razonamiento lógico matemático, la capacidad de análisis, de síntesis y de argumentación. (Tuning, 2007). En Argentina, ha aumentado la matrícula en el nivel superior durante las últimas décadas. Sin embargo, las políticas de acceso y permanencia de estudiantes en el sistema universitario sin restricciones, la inadecuada preparación recibida en la escuela media y otros factores, trajeron como consecuencia serias fallas en los alumnos para desenvolverse competentemente al iniciar su carrera universitaria. Esta debilidad queda en evidencia en 356 Propuestas para la enseñanza de la matemática los resultados de las evaluaciones de calidad de la educación (Zalba, M. E.; Gómez de Erice, M.; Alfonso, V.; Deamici, C.; Gutierrez, N.; Irustia, E.; Lacon, N. Matilla, M. y Sayavedra, C., 2006) y trajo como consecuencia un incremento de la tasa de deserción de los alumnos en la Universidad (Yañez, D.; Cerisola; J. A.; Gutiérrez, J.; López Cleip, A. B.; Amoroso, M. T. y Kreisel, L. O., 2008). Investigaciones recientemente realizadas en universidades nacionales, muestran que las variables de mayor poder explicativo del desempeño de los alumnos en los primeros años son, por un lado, el promedio del secundario considerado como una medida del valor del capital humano proporcionado por la escuela media y, por otro lado, el desempeño en los ciclos iniciales. Además, en los resultados de estos estudios se observan las serias dificultades que los alumnos ingresantes tienen para aprobar estos cursos, ya sean de ingreso, nivelación o las primeras materias de la carrera, lo que trae como consecuencia la imposibilidad de comenzar los estudios superiores o el abandono o retraso en los mismos. (Porto, 2007). En la última década los docentes universitarios fueron tomando conciencia de la importante brecha existente entre contenidos disciplinares y competencias que los ingresantes a las distintas facultades deberían haber adquirido en el nivel secundario, y los que realmente adquirieron. En busca de una solución a la problemática expuesta, que atienda la equidad y la calidad, y puesto que el resultado en los cursos iniciales incidiría en el posterior desempeño de los alumnos, se propuso la implementación de acciones compensatorias y niveladoras para los ingresantes a la Facultad de Ciencias Económicas de la UNT (FACE), basadas en la formación por competencias, mediante el ―Programa de desarrollo de competencias (en la segunda instancia de ingreso a la FACE 2011)‖, que intentó integrar conocimientos, habilidades, actitudes y valores. Este programa fue elaborado por la Mg. Lic. Elsa Rodriguez Areal de Torino y la Lic. Carolina Ramos y aprobado por el Consejo Directivo de la misma, para ser implementado en el primer cuatrimestre de 2011. Por otro lado, investigaciones recientes, como las realizadas por Ragout de Lozano, S. y Cárdenas, M. (2003) muestran la existencia de otra brecha: ―entre lo que los alumnos creen saber y lo que hacen cuando se les pide que hagan lo que creen saber‖. Con el fin de evaluar algunos resultados, producto de la aplicación de dicho Programa, se analizaron: el rendimiento de los estudiantes en el módulo de Matemática, sus creencias a cerca de cuánto habían aprendido con ese curso y algunas de sus actitudes frente al estudio, como el tiempo dedicado a éste, la adhesión a las actividades propuestas y la constancia en el trabajo. Se espera que las conclusiones permitan efectuar los ajustes necesarios en el Programa a fin de lograr mejores resultados en futuras experiencias. Descripción del Programa aplicado 357 Propuestas para la enseñanza de la matemática El Programa estuvo destinado a los alumnos ingresantes que no habían aprobado la evaluación del Curso de Ingreso de febrero 2011. Su objetivo fue lograr en este grupo de alumnos el desarrollo de competencias generales y específicas matemáticas necesarias para un eficaz y eficiente desempeño en el estudio de las diferentes carreras de la FACE. Constó de dos módulos de dictado simultáneo: Desarrollo de Competencias Generales necesarias en el primer año de la FACE. Desarrollo de Competencias Específicas Matemáticas necesarias en el primer año de la FACE. El primero tuvo por objetivo ofrecer a los alumnos las herramientas necesarias para el desarrollo de algunas de las competencias generales definidas para la educación superior por el Proyecto Tuning - América Latina, relativas al saber ser (habilidades personales), al saber convivir (habilidades interpersonales y de comunicación) y al saber aprender (habilidades intelectuales). El segundo módulo tuvo por objetivo ofrecer a los alumnos las herramientas necesarias para el desarrollo de competencias y saberes específicos matemáticos. Estas competencias son: pensar y razonar; representar; comunicar; emplear lenguaje y símbolos propios de la matemática; realizar operaciones con números y expresiones algebraicas; argumentar y resolver problemas. Los contenidos desarrollados fueron: conjuntos; números reales; logaritmo; porcentaje; expresiones algebraicas enteras y fraccionarias; ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita; la recta, la parábola, sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Descripción de la experiencia en el Módulo de Matemática, su implementación Esta experiencia se llevó a cabo durante los meses de abril, mayo y junio de 2011. Los 309 alumnos inscriptos se organizaron en seis comisiones de 50 estudiantes aproximadamente. El módulo de desarrollo de competencias matemáticas se desarrolló en 24 encuentros, dos por semana. En estos encuentros se propusieron a los alumnos actividades individuales y grupales para favorecer la resignificación de contenidos de matemática básica y el desarrollo de algunas competencias específicas matemáticas. Se emplearon estrategias de enseñanza que combinaron la exposición del docente con la realización de tareas individuales o grupales por parte de los alumnos (lectura de textos matemáticos, resolución de ejercicios y problemas, detección y análisis de errores) y algunas técnicas participativas. Se elaboraron materiales impresos para cada módulo con actividades que favorecieran el desarrollo de los diferentes saberes y competencias. Se llevó a cabo una evaluación permanente y formativa, a través de sus producciones escritas individuales y grupales y de sus intervenciones orales durante los encuentros. Además, a fin de que los estudiantes pudieran reunir los requisitos institucionales para 358 Propuestas para la enseñanza de la matemática comenzar sus estudios de grado en la FACE, se realizó una evaluación sumativa que consistió en tres actividades integradoras individuales. Cada uno de estos evaluativos se aprobaba de manera independiente con una nota no menor a cuatro. Los contenidos evaluados en cada uno fueron: conjuntos, números reales, logaritmo y porcentaje, en el primer evaluativo; expresiones algebraicas enteras y fraccionarias, ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita, en el segundo; recta, parábola y sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, en el tercero. Las condiciones de ingreso establecidas por la FACE consistieron en aprobar al menos dos de los tres evaluativos de cada Módulo y contar con el 80% de asistencia a cada uno de estos Módulos. El último día de clase se aplicó una encuesta para conocer la opinión de los alumnos sobre la utilidad del curso, sus creencias en cuanto a su nivel de conocimientos matemáticos antes y después del curso, así como también para recabar información sobre algunos de sus hábitos de estudio. Resultados obtenidos Para esta experiencia, de los 309 inscriptos, se analizaron sólo los datos correspondientes a los 256 alumnos que contaron con el 80% de asistencia a ambos Módulos (una de las dos condiciones de ingreso). Gráfico I: Creencias de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 sobre su nivel de conocimientos antes de realizar el curso de Matemática. Antes del curso 80% 60% 40% 20% Mal 71% 64% Bien 56% 41% 35% 28% 1% 3% 1% Contenidos 1er. evaluativo Contenidos 2do. evaluativo Contenidos 3er. evaluativo Muy bien 0% En este gráfico se puede observar que los contenidos más complejos para los estudiantes se encuentran en el 3er. evaluativo. Aunque ellos sostienen en general, estar mal preparados en todos los casos, con porcentajes superiores al 55%. 359 Propuestas para la enseñanza de la matemática Gráfico II: Creencias de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 sobre su nivel de conocimientos después de realizar el curso de Matemática. 360 Aquí se puede apreciar la percepción que tienen los alumnos de su nivel de conocimientos relacionados con los contenidos de Matemática desarrollados en el curso. En todos los casos, y con porcentajes superiores al 60%, dicen estar bien preparados. Además se puede observar que el porcentaje más alto de alumnos que sostienen estar mal preparado, aunque sólo es un 15%, corresponde nuevamente a los contenidos del 3er. evaluativo. Gráfico III: Creencias de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 sobre su nivel de conocimientos antes y después de realizar el curso de Matemática (contenidos del 1er. evaluativo). Contenidos 1er. evaluativo 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 67% 64% Antes Después 35% 3% Mal 30% 1% Bien Muy bien Mientras que el 64% de los estudiantes asegura tener una mala preparación antes del curso, se puede observar que el 97% sostiene estar bien o muy bien preparado en los contenidos correspondientes al 1er. evaluativo, luego de haber asistido al curso. Propuestas para la enseñanza de la matemática Gráfico IV: Creencias de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 sobre su nivel de conocimientos antes y después de realizar el curso de Matemática (contenidos del 2do. evaluativo). Contenidos 2do. evaluativo 80% Antes 62% 56% 60% 41% 34% 40% 4% 20% Después 361 3% 0% Mal Bien Muy bien En este gráfico se puede observar que el 56% de los alumnos sostiene estar mal preparado en los contenidos correspondientes al 2do. evaluativo, antes de comenzar con el curso y el 96% asegura haber conseguido una buena o muy buena preparación al finalizar el mismo. Gráfico V: Creencias de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 sobre su nivel de conocimientos antes y después de realizar el curso de Matemática (contenidos del 3er. evaluativo). Contenidos 3er. evaluativo 80% 71% Antes 70% Después 60% 28% 40% 15% 20% 15% 1% 0% Mal Bien Muy bien En este gráfico se puede observar que el 85% de los alumnos sostiene estar bien o muy bien preparado en los contenidos correspondientes al 3er. evaluativo, luego de finalizado el curso. Este porcentaje es levemente menor al que se presenta en los anteriores evaluativos. Esto se debería, como ya se dijo, al grado de complejidad mayor que ofrecen estos contenidos y al desisterés que mostraron los estudiantes durante el estudio de los mismos ya que para algunos de ellos la asistencia al 3er. evaluativo ya no era obligatoria. Además, es justamente en los contenidos de este evaluativo donde se encuentra el mayor porcentaje de alumnos, un 71% , que considera estar mal preparado antes del curso. Propuestas para la enseñanza de la matemática Gráfico VI: Cantidad de horas diarias dedicadas al estudio de los contenidos de Matemática de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011. Gráfico VII: lectura del material recomendado antes de cada encuentro de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011. 9% 3% del 10% Lectura material 0% recomendado antes de Nunc cada encuentro a 27% Casi nunc a 51% En el gráfico VI se puede observar que practicamente el 50% de los aspirantes dice no estudiar o estudiar hasta horas diarias, y en el gráfico VII se aprecia que el 13% no lee nunca o casi nunca el material recomendado antes de cada clase, mientras que el 51% sólo lo hace a veces. Gráfico VIII: Opinión de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 sobre el curso de Matemática. Opinión de los alumnos sobre el curso 100% 80% 60% 40% 20% 0% 86% 0% 1% 0% 13% 0% Aquí se puede destacar que el 99% de los aspirantes opina que el curso de Matemática les resultó medianamente o muy útil. Para presentar los resultados obtenidos por los alumnos en cada uno de los tres evaluativos, calificados con notas de 0 a 10, se consideró la siguiente escala: Mal: calificación menor a 4. (Los alumnos ausentes fueron calificados con 0). Bien: calificación mayor o igual a 4 y menos que 7. Muy bien: calificación mayor o igual que 7. 362 Propuestas para la enseñanza de la matemática Gráfico IX: Desempeño de los aspirantes a ingresar a la FACE – UNT Año 2011 clasificados según las calificaciones obtenidas en cada una de las tres instancias de evaluación de Matemática. MATEMÁTICA 69% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Mal Bien 52% 44% 37% Muy bien 35% 19% 26% 13% 5% Contenidos 1er. Contenidos 2do. Contenidos 3er. evaluativo evaluativo evaluativo En el gráfico IX se observa que el porcentaje más alto, un 69%, de mal desempeño (o desaprobado) se obtuvo en el 3er. evaluativo, mientras que el mayor porcentaje de aprobados se presenta en el 1er. evaluativo, con un 63%. Además, se puede apreciar que el rendimiento de los alumnos fue empeorando con el trascurrir de los evaluativos. La explicación de este hecho se encontraría en dos cuestiones: la primera, los alumnos que ya tenían aprobados los dos primeros evaluativos, no asistieron al tercero pues, por reglamentación, éste no era obligatorio para ellos; la segunda, el aumento progresivo en la complejidad de los conceptos desarrollados. Conclusiones Se pudo observar que los alumnos ingresan a la universidad con una preparación deficiente debido, por un lado, al desconocimiento de conceptos, procedimientos, técnicas de estudio y competencias lingüísticas, y por otro lado a la falta de hábitos de estudio y de una actitud responsable de compromiso, esfuerzo y constancia. Esto se debe, posiblemente, no sólo a la crisis que vive la enseñanza secundaria sino a la cultura del facilismo e inmediatez en la que está inmersa nuestra sociedad. Es notable la brecha existente entre lo que los alumnos saben y lo que creen saber. Se considera que esto podría agravar aún más la problemática de los ingresantes, pues esta distorsión de la realidad les impide reconocer la necesidad de fortalecer el estudio desarrollando buenos hábitos, dedicándole más tiempo y realizando en mayor medida las actividades propuestas. Si bien puede decirse que esta experiencia fue altamente positiva, se hace necesario redoblar los esfuerzos para concientizar a los alumnos sobre la importancia del compromiso y la constancia. Sólo así lograrán incorporar buenos hábitos de estudio, que serán los que les permitirán aprender conceptos específicos de diferentes áreas. En particular, para que puedan adquirir conceptos y desarrollar competencias matemáticas. Los estudiantes son protagonistas de su proceso de aprendizaje, los docentes están llamados ahora a lograr que ellos reconozcan y asuman ese protagonismo. 363 Propuestas para la enseñanza de la matemática Corregir la distorsión de la realidad y generar actitudes responsables y positivas hacia el estudio en los alumnos es, posiblemente, el nuevo desafío al que se enfrentan los docentes universitarios de cursos iniciales. Referencias Bibliográficas Porto, A. (2007). Mecanismos de admisión y rendimiento académico en los estudiantes universitarios. Estudio comparativo para estudiantes de Ciencias Económicas. La Plata. Argentina. Edulp. Ragout de Lozano, S.; Cárdenas, M. (2003). Una asignatura pendiente: desarrollar las habilidades intelectuales de nuestros estudiantes. Recuperado el 4 de abril de 2012 de: http://www.herrera.unt.edu.ar/revistacet/anteriores/nro23/pdf/n23doc01.pdf TUNING-AMÉRICA LATINA (2007). Reflexiones y Perspectivas de la Educación Superior en América Latina. Informe final 2004-2007. España: Publicaciones de la Universidad de Deusto. Yañez, D.; Cerisola; J. A.; Gutiérrez, J.; López Cleip, A. B.; Amoroso, M. T. y Kreisel, L. O. (2008). Deserción, Graduación y Duración real de las carreras en la Universidad Nacional de Tucumán 1976-2005. Informe Estadístico Nº 78. Tucumán, Argentina: Cátedra de Estadística Facultad de Ciencias Económicas y Dirección de Estadísticas Universitarias. UNT. Zalba, M. E.; Gómez de Erice, M.; Alfonso, V.; Deamici, C.; Gutierrez, N.; Irustia, E.; Lacon, N. Matilla, M. y Sayavedra, C. (2006). Competencias para el ingreso y permanencia en la universidad: una propuesta para la articulación curricular entre el nivel superior y el nivel medio de enseñanza. La experiencia de la Universidad Nacional de Cuyo. En K. Dokú y L. González (Comp.). Currículo universitario basado en competencias. Barranquilla, Colombia: Ediciones Uninorte 364 Propuestas para la enseñanza de la matemática PROBLEMAS EMPRESARIALES CON RESOLUCIÓN MATEMÁTICA María Rosa Rodríguez, Aldo Mario Sota, Jesús Alberto Zeballos Universidad Nacional de Tucumán. Argentina [email protected] Niveles Terciario y Universitario Palabras clave: Modelo matemático. Optimización. Decisiones económicas. Resumen El notable avance de las Ciencias Económicas en el campo de la investigación aplicada se dio a partir del uso creciente del lenguaje matemático. En consonancia con ello, el objetivo de este trabajo es modelar matemáticamente un problema de optimización, estructurando formalmente un saber empírico y resignificando epistemológicamente al saber matemático. Se integra la teoría con la práctica y los conocimientos matemáticos con los costos, beneficios y óptimo mesoeconómico. Se utilizan representaciones geométricas que explican con áreas de figuras planas temas económicos de interés. Con ello, intentamos generar en estudiantes y usuarios un nuevo significado operativo, predominando una metodología que explica y predice fenómenos económicos. Explicar acabadamente y predecir con exactitud es el desiderátum del conocimiento científico. En las ciencias empíricas, este es un ideal inalcanzable y la Matemática ayuda en la persecución de ese ideal. Ahora bien ¿es cierto que los empresarios tienen en cuenta los resultados de las investigaciones de economistas y matemáticos? Aparentemente no, se guían menos por los análisis económicos que por una suerte de intuición. Según estas reflexiones, ¿qué restaría para la docencia matemática? En este trabajo hemos propuesto modelos matemáticos para determinar los costos y beneficios, que permitirán a los docentes de Matemática de las Ciencias Sociales utilizarlo para promover el desarrollo de un pensamiento no lineal y una cierta intuición racional, capacitando a sus alumnos para encontrar múltiples alternativas de solución. Introducción Según un enfoque socio-formativo, el objetivo de la enseñanza-aprendizaje de la Matemática consiste en formar personas competentes para el abordaje de tareas y resolución de problemas mediante números, algoritmos, procesos lógicos, estimación de resultados, construcción de modelos matemáticos y utilización de procedimientos del cálculo. Aquí se enfatiza la comprensión, la transferencia y la interrelación de conceptos, principios, teoremas, etc.; antes que la acumulación de datos inconexos, que adquieren nueva significación cuando se les confiere contenidos empíricos al cuantificar o dotar de relaciones formales a hipótesis y leyes de otros ámbitos científicos (Cantoral, 2006). Procedimiento instrumental que recibe comúnmente la denominación de ―Modelo matemático‖. El objetivo de este trabajo es mostrar una solución matemática a problemas de costos y beneficios de una empresa. Tomamos como ejemplo de aplicación la industria citrícola de la provincia de Tucumán. Para lo cual, utilizamos representaciones geométricas que explican con áreas de figuras planas importantes conceptos económicos, dotando de valor 365 Propuestas para la enseñanza de la matemática epistémico a la técnica de esas representaciones geométricas. Con ello intentamos generar en el estudiante y usuarios un nuevo significado operativo de tal técnica, predominando una tecnología que explica con figuras geométricas una veracidad económica (Covián, 2006). El estudio de dichos costos y beneficios nos lleva a plantear un modelo de optimización a nivel mesoeconómico. Demanda y Oferta Agregadas Cuando se estudian los beneficios sociales se debe tener en cuenta, fundamentalmente, la Demanda Agregada. Esta depende básicamente de ciertos factores relevantes: ingreso de la población, precio de los bienes demandados, de los sustitutivos, de los complementarios, gustos de la población, clima, entre otras variables. La curva de oferta agregada muestra la cantidad de producción que desean ofrecer las empresas a los diferentes niveles de precios. Resume las relaciones entre el mercado de bienes y el de factores (Sota, 1988). En este trabajo presentamos, en primer lugar, un modelo simple de ―Costos y Beneficios‖ y luego exponemos un modelo de Óptimo a nivel Mesoeconómico, basado en conceptos algebraicos y geométricos elementales, ya que las gráficas de Demanda y Oferta Agregadas, consideradas en este análisis, son rectas. Para casos más generales, cuando sus gráficas son líneas curvas, se apela a cálculos avanzados, como el Cálculo Integral. Uno u otro modelo revelan acabadamente las relaciones matemáticas entre costos y beneficios, tanto de productores como de consumidores. El segundo modelo es más abstracto y formal; mientras que el primero es más intuitivo. Las cantidades demandadas y las ofrecidas dependen de innumerables variables. Entre ellas, es fundamental para la Economía el precio. Razón por la cual, para los economistas el precio se ha constituido en la variable independiente, desde los tiempos de Alfred Marshall (1912). No obstante, el precio es graficado en el eje de las ordenadas, mientras que la cantidad producida de un bien en el eje de las abscisas. A pesar de ello el precio no pierde su condición de variable independiente. De todos modos resulta indiferente tomar la cantidad demandada como una variable dependiente del precio o a la inversa. La Economía, por otra parte, limita el uso de los elementos matemáticos a los reales no negativos. Es absurdo pensar los bienes y servicios en cantidades o precios negativos (Fischer et alii, 1989). Los gráficos siguientes muestran las relaciones entre precio y cantidad con las restricciones aludidas. 366 Propuestas para la enseñanza de la matemática Cuando p = 0 : Cuando c = 0 : c = cm (cantidad máxima) p = pm (precio máximo) “saciedad” ―abstinencia” El área de pm0cm = Beneficio, es la expresión en pesos del valor que la sociedad asigna al consumo de bienes a los niveles de saciedad y abstinencia. Una disminución (o aumento) en el precio implica un incremento (o diminución) en la cantidad demandada. Modelo Matemático para Costos y Beneficios La superposición de los gráficos de Demanda y Oferta muestra las relaciones geométricas y analíticas de los siguientes conceptos: DA = Demanda Agregada de bienes y/o servicios por parte de la comunidad. OA = Oferta Agregada de bienes y/o servicios para la comunidad. pm = precio de abstinencia, cm = cantidad de saciedad pe = precio de equilibrio. a = coeficiente angular o pendiente de DA. b = coeficiente angular o pendiente de OA. ce = cantidad de equilibrio, so = costos constantes. E = Punto de equilibrio u Óptimo Social. 367 Propuestas para la enseñanza de la matemática 368 En el punto de equilibrio E, la comunidad demanda la cantidad ce y está dispuesta a pagar el precio pe. Geométricamente, el Ingreso en el punto E es 0pmEce y el Costo es OsoEce En consecuencia, el Beneficio será gráficamente soEpm Parte del Beneficio constituye el excedente de los consumidores peEpm y el área soEpe representa el excedente de los productores. La expresión matemática de las ecuaciones lineales de la Demanda y Oferta Agregadas son: Cd = pm – a . p y Co = so + b . p En equilibrio se igualan cd con co y en consecuencia el precio de equilibrio será: pm so pe = ab El Beneficio representado por el área del soEpm se puede estimar, calculando el área del 1 triángulo de base = pm – so y altura = ce Bs = ( pm – so ) ce 2 El Costo está representado geométricamente por el área de la figura 0ceEso pe so Cs = ce ( ) 2 El excedente de los consumidores es la diferencia entre la cantidad máxima que estarían dispuestos a pagar por la cantidad del bien que demandan y la que pagan realmente (Allen, 1978). Gráficamente, es el área situada entre la recta de la Demanda Agregada y una línea 1 horizontal que corresponde al precio de equilibrio. Ex C = ( pm – pe ) . ce 2 El excedente de los productores es la diferencia acumulativa entre el precio y el costo marginal de producción (Allen, 1978). Gráficamente, es el área situada entre la recta de la Oferta Agregada y la línea horizontal correspondiente al precio de equilibrio. Propuestas para la enseñanza de la matemática 1 ( pe – so ) . ce 2 Este modelo matemático puede aplicarse a cualquier industria: azucarera, minera, petroquímica, agroalimentaria, del bioetanol, del biodiesel, etc. Ex P = Aplicación a la Industria Citrícola El trabajo de campo abarcó el periodo 1991 – 2005, que constituye el de mayor representatividad de la situación actual en la industria citrícola mundial. En ese lapso se produjeron los mayores cambios sociales y los más avanzados procesos tecnológicos. De la información recogida se seleccionó: producción de materia prima (MP) limón, cantidad obtenida de coproductos (jugo, aceite esencial y cáscara seca) y sus respectivos precios expresados en dólares USA (U$S). Ello nos permitió estimar: 1) Demanda Agregada de MP limón por parte de la industria citrícola en el largo plazo (período 1991 / 2005) 2) Oferta agregada de los coproductos que provee la agroindustria citrícola en el largo plazo (período 1991 / 2005) Siendo que la Demanda Agregada de la MP limón tiene una relación condicionada técnicamente con la Oferta Agregada, estimamos ambas funciones con la intención de medir aproximadamente los Costos y Beneficios que presenta la industria citrícola de Tucumán, en un horizonte de largo plazo y con proyecciones que sintetizamos así: 369 Propuestas para la enseñanza de la matemática El precio máximo de la materia prima limón de U$S 96,70 por Tonelada es hipotético ante el supuesto de que por distintas razones la cantidad producida de limón sea nula. Cd = pm – a . p → Cd = 96,70 – 0,00006 . p Es posible calcular el Excedente mínimo como Productor Demandante de Limón porque de los datos obtenidos se observa que los precios se mantuvieron constantes en U$S 70 por Tonelada en Argentina, durante los años 1991 – 2001, correspondientes a la vigencia del Plan de Convertibilidad El Excedente Mínimo como Productor Demandante de MP = Ex Pm =Área de ABC = U$S (96,70 - 70) 453.000 Tn = = U$S 6.047.550 que ocurrió entre los años 1995 y 1996 2 El Excedente Máximo como Productor Demandante de MP = Ex PM = Área de AED = U$S (96,70 - 47,25) 831.600 Tn = = U$S 20.561.310 que ocurrió entre 2001 y 2002 2 El Excedente Máximo como Productor Demandante de limón se dio entre los años 2001 y 2002 debido a una fuerte devaluación, que estimuló la exportación de coproductos al resto del mundo. Para graficar la Oferta Agregada de los coproductos, es necesario realizar un cambio de escala porque las variables asumen otra significación, comensurable con las variables del gráfico de la Demanda Agregada. Ellas son Produción de Coproductos y PPP (Precio Promedio Ponderado). 370 Propuestas para la enseñanza de la matemática En este gráfico el punto J es equivalente a E, punto de equilibrio u óptimo. Ante la presencia de varios coproductos de distintos precios y rendimientos (de esa única MP limón) es necesario calcular el Precio Promedio Ponderado (PPP), que resulta del cálculo del precio de cada coproducto, ponderado por la cantidad producida de cada uno. Co = so + b . p → Co = 1200 + 0,004 . p Es posible calcular el Excedente mínimo como Productor Industrial de coproductos sobre la base de la producción mínima que ocurrió entre los años 1995 – 1996. El Excedente Mínimo como Productor Oferente de coproductos = Ex Cm = Área de FGH = U$S (1430 - 1200) 53.000 Tn = = U$S 6.095.000 que ocurrió entre los años 1995 y 1996 2 Donde 53.000 Tn = 11,7 % de 453.000 Tn de MP El Excedente Máximo como Productor Oferente de coproductos = Ex CM = Área de FIJ = U$S (1.620 - 1.200) 97.300 Tn = = U$S 20.433.000 que ocurrió entre 2001 y 2002. 2 Donde 97.300 Tn = 11,7 % de 831.600 Tn de MP En consecuencia los Beneficios de la agroindustria citrícola (denominado análisis mesoeconómico), calculados anualmente, se computan sumando los excedentes mínimos y máximos respectivamente. Estimamos estos Beneficios como Mínimos y Máximos, dentro del período tenido en cuenta para el estudio (1991-2005), obteniendo los siguientes resultados: Excedente Productor Demandante MP Excedente Oferente de Coproductos Beneficio Social Mínimo (Años 1995 1996) U$S 6.047.550 Máximo (Años 2001 2002) U$S 20.561.310 U$S 6.095.000 U$S 20.433.000 U$S 12.142.550 U$S 40.994.310 La demanda límite de MP limón, en el ―precio cero‖ llegaría a una producción hipotética de 1.629.600 Tn. Para ello necesitaríamos contar con casi 43.000 hectáreas aptas de tierra, si se considera el rendimiento máximo alcanzado en el año 2005 de 38 Tn/Ha de limón. Ampliar la frontera agrícola, significa habilitar un 26 % más de Has, es decir, pasar de 34.000 Has dedicadas al cultivo del limón a demandar 9.000 Has adicionales, a un precio promedio de U$S 6.000/Ha. Esto llevaría a una inversión de U$S 54.000.000 que resultaría casi imposible de concretar en los próximos 10 años. Estos cálculos corroboran que el modelo propuesto representa razonablemente la Demanda de limón en el largo plazo y la frontera entre una producción límite de 1.629.600 Tn y un precio máximo de U$S 96,70/Tn. Es probable que el precio de las tierras aptas para el cultivo (Tucumán va llegando a su frontera agrícola) se incrementen en gran medida debido a la demanda que provocan las 371 Propuestas para la enseñanza de la matemática inversiones para el cultivo de granos (maíz, soja) y caña de azúcar, que constituyen la materia prima para la producción de biocombustibles (bioetanol y biodiesel). Estas inversiones, con promociones fiscales y demanda asegurada ya comenzó en el año 2010. Ahora bien ¿cuál es la escala relevante de producción, es decir, entre qué límites de máxima y mínima debería ubicarse la cantidad de coproductos elaborados, para estar dentro del tamaño económico o, dicho de otra manera, encontrar el Óptimo Mesoeconómico? Y ¿cuáles serían los niveles de actividad, precios y costos que determinen el Beneficio Máximo? En función de ese Beneficio Máximo ¿podremos calcular los costos e ingresos marginales que sean compatibles con los óptimos antes señalados? La función de Ingreso se ajusta por una función polinomial de grado 2. Del gráfico surge que los costos se igualan con los ingresos en los puntos de equilibrio, bajo las premisas del análisis económico, conocido como ―teoría de la firma‖. También, se observa que la curva de ingreso marginal va decreciendo como un reflejo de los mercados de competencia imperfecta. En efecto, para vender más hay que resignar precios. Además, la industria citrícola tendría una escala relevante de producción entre E1 y E2 que corresponde a una producción mínima de poco más de 40.000 Tn de coproductos que requieren demandar casi 350.000 Tn de MP limón y una producción máxima de aproximadamente 97.000 Tn de coproductos que demandarían unas 830.000 Tn de MP. Los precios mínimos y máximos de los coproductos oscilarían entre U$S 1.200/Tn. y U$S 1.600/Tn. 372 Propuestas para la enseñanza de la matemática El Óptimo Mesoeconómico se daría en una producción que oscila entre 65.000 Tn y 74.000 Tn de coproductos, que requerirían entre 550.000 Tn y 630.000 Tn de MP limón, respectivamente porque en la zona óptima, existe un punto donde se igualan los costos marginales e ingresos marginales del sector, ya que la recta tangente a la curva de Ingreso resulta paralela a la recta que define los costos. Conclusiones Los modelos matemáticos constituyen una versión simplificada de la realidad, a la que procuran explicar razonablemente y con el mayor grado posible de aproximación, considerando las características y variables más relevantes de los fenómenos. El notable avance de las Ciencias Económicas en el campo de la investigación aplicada se dio a partir del uso creciente del lenguaje matemático. Ahora bien ¿es cierto que los empresarios tienen en cuenta los resultados de las investigaciones de economistas y matemáticos? Aparentemente no, se guían menos por los análisis económicos que por una suerte de intuición. Según sus propias manifestaciones, hacen una apreciación lo más ajustada posible de sus costos y a esa magnitud le agregan un porcentaje, que imaginan aceptable por la demanda de los consumidores. Entonces, ¿es inútil estudiar matemática, análisis económico, elaborar modelos, etc.? Explicar acabadamente y predecir con exactitud es el desiderátum del conocimiento científico. En las ciencias empíricas, este es un ideal inalcanzable y la Matemática ayuda en la persecución de ese ideal. Según estas reflexiones, ¿qué restaría para la docencia matemática? En este trabajo hemos propuesto modelos matemáticos para determinar los Costos y Beneficios, que permitirán a los docentes de Matemática de las Ciencias Sociales utilizarlo para promover el desarrollo de un pensamiento no lineal y una cierta intuición racional, capacitando a sus alumnos para encontrar múltiples alternativas de resolución. Referencias Bibliográficas Allen, R. (1978). Análisis Matemático para Economistas. Madrid: Aguilar. Cantoral, R., Farfán, R., Lezama, J. y Martínez, G. (2006). ―Socioepistemología y Representación‖. Revista Relime. México: CLAME. Covián, O. (2006). ―Estudio de la Construcción Social del Conocimiento Matemático en el Ejercicio de Prácticas de Profesionales‖. Resúmenes de la X Escuela de Invierno en Matemática Educativa. Tlaxcala: Red de Cimates. Fischer, S., Dornbusch, R. y Schmalensee, R. (1989). Economía. Madrid: Mac Graw Hill. Sota, A. M. (1988). Manual de Costos. Tucumán: Ediciones El Graduado. 373 Propuestas para la enseñanza de la matemática A EXPERIÊNCIA E A LINGUAGEM ENQUANTO COMPONENTE DO PROCESSO DE CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO POR MEIO DE PROBLEMAS MATEMATICOS NA 5ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL Lêda Ferreira Cabral, César Donizetti Pereira Leite UNESP/Rio Claro. Brasil [email protected] Nível Básico Palavras-chave: Linguagem. Construção do Conhecimento. Aprendizagem Significativa. Resolução de Problemas. Resumo Este texto apresenta reflexões sobre as possibilidades da linguagem enquanto componente na aprendizagem de conceitos e ideias inerentes a problemas matemáticos da 5ª série do Ensino Fundamental. A análise foi realizada com base nas perspectivas teóricas de Vygotsky, Bakhtin e Benjamin. A investigação aqui descrita apresenta resultados de uma pesquisa qualitativa desenvolvida com alunos e professores do Ensino Fundamental, os dados foram constituídos através de observação, entrevista e questionários. Focamos o contexto histórico de problemas matemáticos e seu uso desde tempos remotos até nossos dias. Problemas este que considere além dos processos cognitivos, questões de natureza sócio-político-cultural, onde a sala de aula é observada nos seus múltiplos aspectos. O artigo fundamenta-se, entre outros nas concepções de Vygotsky, Bakhtin e de educadores da Educação Matemática como Ubiratam D'Ambrósio, Maria Bicudo, bem como nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), reconhecendo que o aluno é agente de cultura, um ser ativo e criador. Algumas preocupações nesse sentido contribuíram para o desenvolvimento dessa investigação que contou com o estudo da linguagem enquanto componente do processo de construção do conhecimento matemático, tendo foco a metodologia de Resolução de Problemas na perspectiva da aprendizagem significativa. Assim, apresento um recorte desta investigação que aponta a relevância da linguagem na aprendizagem significativa de matemática. Os achados revelaram que o uso de problemas, possibilita a utilização de diferentes esferas da linguagem e pode levar o educando a construir determinadas estratégias de soluções que muitas vezes difere das costumeiramente apresentadas como solução em um ambiente formal. Introdução O presente trabalho traz algumas reflexões sobre as possibilidades da linguagem enquanto componente na aprendizagem dos conceitos e ideias matemáticas por meio de problemas matemáticos na 5ª série do Ensino Fundamental. Ao investigar o processo de conhecimento no espaço pedagógico, com base na perspectiva histórico-cultural do desenvolvimento humano, a sala de aula é considerada em seus múltiplos aspectos. Para tanto o trabalho fundamenta-se, entre outros nas perspectivas teóricas de Vygotsky, Bakhtin e Benjamin e de pesquisadores da Educação Matemática como Ubiratam D'Ambrósio, bem como nos Parâmetros Curriculares Nacionais. 374 Propuestas para la enseñanza de la matemática Neste sentido, focamos o contexto histórico de problemas matemáticos e seu uso desde tempos remotos até nossos dias. Algumas preocupações nesse sentido contribuíram para o desenvolvimento dessa investigação que contou com o estudo da linguagem enquanto componente do processo de construção do conhecimento matemático, tendo como foco utilização de problemas matemáticos na perspectiva da aprendizagem significativa. Assim, apresento um recorte desta investigação que aponta a relevância da linguagem na aprendizagem significativa de matemática. As ideias de Larrosa nos levam a pensar na educação como associação que vai além do par teoria / prática, fazendo nos considerar uma associação não menos importante como perceber a educação a partir do par experiência/ sentido. Para defender a ideia de sentido o autor argumenta que pensar não é só racionar, mas, sobretudo dar sentido as coisas, e ao que somos, experiência concebida como algo que nos passa, o que nos acontece, o que nos toca (Larrosa, 2002) Pautados nas ideias de Bakhtin podemos pensar na dinâmica da sala de aula, bem como na relação professor-aluno como uma relação dialógica onde se enfrentam dois sujeitos. Neste sentido a construção do conhecimento passa a ser uma construção partilhada, coletiva, onde o outro é sempre necessário. Entendo o outro como sendo o professor ou mesmo qualquer um dos alunos, depende da situação (Freitas, 1996). A aprendizagem acontece a partir da interação de dois sujeitos: o professor e o aluno. Assim o conhecimento é elaborado, disputado no concreto das interlocuções. E a linguagem é o lugar dessa construção; a palavra, a ponte por onde transitam significados (Freitas, 1996). Nessa linha de pensamento, a utilização de problemas em sala pode configurar-se como uma estratégia de ensino que valoriza as questões sócio-político-cultural dos educandos, ou seja, considera a experiência vivida dos educandos. O pensamento Bakhtiniano nos permite pensar a linguagem como produção de sentidos, o que se aproxima do pensamento de Vygotsky que dá ênfase na questão da linguagem como uma relação dialética entre sujeito e objeto, pensando o homem em sua totalidade e sua singularidade e ambos os autores falam de um homem histórico. Do pensamento Vygotsky percebemos que a linguagem é apresentada como uma construção histórica (Vygotsky, 1989). Assim, as diversas estratégias utilizadas pelos seres humanos para solucionar seus problemas, sejam eles matemáticos ou não, também evidencia a historicidade humana e mudanças nas formas de manifestação fruto das vivencias e experiências. Na perspectiva de Bakhtin, o dialogo não se restringe a uma relação face a face, mas ele é muito mais amplo. Onde há diálogo entre pessoas, entre textos, autores, disciplinas escolares, escola e vida. Nesse contexto a escola deve ser levada para dentro das paredes da escola: vida do aluno, vida do professor, vida da comunidade, do país (Freitas, 1996). Nesse contexto, o uso de problemas matemáticos possibilita as diferentes formas de dialogo, pois os alunos utilizam estratégias de linguagem que manifestam seu pensamento e 375 Propuestas para la enseñanza de la matemática dessa forma estabelecem comunicação. Os Parâmetros Curriculares Nacionais definem um problema matemático como ―uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado, ou seja, a solução não está disponível de início, mas é possível construí-la‖ (Brasil, 1998, p. 41). Neste sentido o uso das diversas estratégias de escritas para solucionar problemas matemáticos está intimamente ligado às experiências de cada indivíduo. Nesta linha de pensamento para Augustine (1976) resolver problemas é o processo de reorganizar conceitos e habilidades, aplicando-os a uma nova situação, atenta a um objetivo. Já Carvalho (1994) reitera que problema é uma situação onde ocorre um desequilíbrio, ou seja, que exige uma solução não imediata, mas para a qual dispõe-se de meios intelectuais para a resolução. Para ele não se aprende matemática para resolver problemas e, sim se aprende matemática resolvendo problemas, diante dessa perspectiva, qualquer situação que vise favorecer o aprendizado deve constituir-se em situaçãoproblema para o aluno a que destina, ou seja, a proposta de tarefas feitas pelo professor deve ser interessante para que crie na classe um clima de pesquisa, de busca de solução para os problemas que emergirem. Ambos os autores citados concordam que um problema deve se constituir um desafio para o aluno e que o mesmo esteja no nível de suas capacidades intelectuais. Uma vez que apresentar a um aluno uma situação problema que não esteja dentro de suas possibilidades de resolução pode constituir-se em desestímulo para este aluno. Neste sentido, a utilização de problemas pode configurar-se como um método bastante eficiente para um ensino-aprendizagem significativo da matemática, tendo foco as diversas esferas da linguagem. Podemos perceber o movimento de mudança que o ensino de Resolução de Problemas, foi passando enquanto campo de pesquisa em Educação Matemática, desde o inicio de sua investigação de forma sistemática sob a influência de Polya, nos Estados Unidos, na década de 60. No fim da década de 70 quando essa área ganha espaço no mundo inteiro o que culminou com o movimento a favor do ensino de resolução de problemas. Nesta dinâmica em 1980 nos Estados Unidos é editada uma publicação do NCTM – National Council of Teachers of Mathematics – An Agenda for Action: Recommendations for School Mathematics of the 1980‘s1, que era um chamamento às pessoas e grupos a buscar uma melhor educação matemática para todos (Onuchic, 1999). Interfaces entre Matemática e Linguagem No que tange a abordagem dos conceitos matemáticos e sua construção por meio da resolução de problemas corroboramos com o pensamento de (Pironel, 2002), que nos diz que a abordagem da Resolução de Problemas, como uma metodologia de ensinoaprendizagem de Matemática, preocupa-se muito mais com a aprendizagem de um campo de conceitos matemáticos por parte dos alunos do que com o aprender a resolver problemas, apesar de que, enquanto aprende matemática, o aluno aprende também a resolver problemas. Onde se faz uso da resolução de um determinado problema ou de uma 376 Propuestas para la enseñanza de la matemática situação problema a fim de que o aluno possa construir sua própria aprendizagem, com significado e compreensão. O sentido de experiência neste trabalho corrobora com o seguinte pensamento: Para explicar o sentido da experiência, Larrosa decompõe a palavra em três partes: ―ex-per-iência‖. Ex tem o sentido de ―por para fora‖, per significa ―percurso, permanência, perigo/risco/aventura‖ e iência diz respeito a ―conhecimento‖. Com base nisso, o autor distingue ‗experiência‘ de ‗experimentação‘. Enquanto a primeira é imprescritível, irreptível e idiossincrática, a segunda é prescritível, repetível e pode ser refeita por qualquer indivíduo. Na experiência não é possível prever onde se vai chegar. (Gonçalves, 2006, p. 140) Nesse contexto a utilização de problemas em sala pode configurar-se como uma estratégia de ensino que valoriza as questões sócio-político-cultural dos educandos, ou seja, considera a experiência vivida dos educandos, o que corrobora com a perspectiva Bakhtiniana que nos diz: O desconhecimento da natureza do enunciado e a relação diferente com as peculiaridades das diversidades de gênero do discurso em qualquer campo da investigação linguística redundam em formalismo e em uma abstração exagerada, deformam a historicidade da investigação, debilitam as relações da língua com a vida. Ora, a língua passa a integrar a vida através de enunciados concretos (que a realizam); é igualmente através de enunciados concretos que a vida entra na língua. (Bakhtin, 2003, p. 264-265). A natureza do enunciado está diretamente ligada à vivência de mundo dos sujeitos, o que poderá ser decisivo no processo de produção do conhecimento. A natureza do enunciado tem ligação estrita com a palavra que na perspectiva de Bakhtin está sempre carregada de um conteúdo ou de um sentido ideológico ou vivencial (Bakhtin 1997b citado por Sampaio, 2008). Pautado nesses estudos tomamos como base a ideia de que todo conhecimento [...] deve conter um mínimo de contra senso, como os antigos padrões de tapetes ou de frisos ornamentais, onde sempre se pode descobrir, nalgum ponto, um desvio insignificante de seu curso normal. Em outras palavras: o decisivo não é o prosseguimento de conhecimento em conhecimento, mas o salto que se dá em cada um deles (Benjamim, W, 2004). Essa fala de Walter Benjamin é um convite a pensar a aprendizagem de crianças que é carregada de significados, pois o processo de aprendizagem na criança é singular. Precisamos levar em conta suas características, e isso implica todas as áreas de conhecimento. A resolução de problemas para Dante (2000) promoverá no aluno o desenvolvimento da autoconfiança, criatividade e um prazer por pesquisas e novas descobertas que implicará numa capacidade de aprender, além de criar significados dos conceitos de matemática. 377 Propuestas para la enseñanza de la matemática Fundamentado nos estudos de Polya (1986) entendemos que o estudante deve adquirir tanta experiência pelo trabalho independente quando lhe for possível. Mas se ele for deixado sozinho, sem ajuda ou com auxílio insuficiente, é possível que não experimente qualquer progresso. Neste sentido o educando só aprendem a pensar por si próprios se tiverem oportunidade de explicar os seus raciocínios em sala de aula ao professor e aos colegas. Pois só, negociando soluções é que se aprende a respeitar sentimentos e ideias de outras pessoas. Para Martins (1994, p. 85) a releitura traz muitos benefícios, oferece subsídios consideráveis, principalmente a nível racional, pode apontar novas direções de modo a esclarecer dúvidas, evidenciar aspectos antes despercebidos ou subestimados, apurar a consciência crítica acerca do texto, propiciar novos elementos de compreensão. Neste contexto, a abordagem de situações problemas em todos os níveis de ensino, pode contribuir no desenvolvimento de habilidades cognitivas, afetivas e motoras, além de competências e habilidades matemáticas tão importantes no contexto atual. O artigo foi desenvolvido tendo como base resultados de pesquisa bibliográfica e de campo. A bibliográfica segundo Zentgraf (2001) investiga o problema a partir do referencial teórico existente em documentos e publicações. A pesquisa de campo conforme Lakatos e Marconi (2007) é aquela utilizada com o objetivo de conseguir informações e/ou conhecimentos acerca de um problema para o qual se procura uma resposta, ou de uma hipótese que se queira comprovar, ou, ainda, descobrir novos fenômenos ou as relações entre eles. Para compor o cenário da investigação foram selecionados estudantes da 5ª série de uma escola pública da rede municipal de ensino do município de Caxias, estado do Maranhão para participar das atividades de pesquisa. As atividades desenvolvidas junto aos estudantes selecionados constituíram-se de aplicação de situações problema. Onde foram realizadas observações das estratégias dos estudantes no processo de resolução dos problemas, atividades de pesquisas de preços, grupos de trabalhos para construção de tabelas, análise das suas conjecturas e conclusões, o seu desempenho e as suas dificuldades no desenvolvimento das atividades propostas, a sua criatividade e as suas concepções prévias em relação a abordagem dos conceitos. As respostas nos excertos a seguir podem corroborar com o seguinte pensamento: Texto sobre texto, discurso sobre discurso, encontro de saberes, de experiências, de culturas, de sujeitos. Conhecimento produzindo vida, vida produzindo conhecimento. Conhecimento que gera compromissos de transformação e constitui o sujeito enquanto cidadão. Fazer do trabalho pedagógico uma elaboração conjunta, não de formas predeterminadas de representar, significar e conhecer o mundo, mas formas culturalmente elaboradas. Observar, aprender e compreender a dinâmica dessa relação acaba sendo um dos trabalhos que se colocam para o professor no cotidiano da sala de aula. (Freitas, 1996, p. 173). 378 Propuestas para la enseñanza de la matemática Ainda nessa linha de pensamento acreditamos que perspectiva teórica de Bakhtin, Vygotsky e Benjamin pode contribuir para o entendimento das respostas dos alunos quando nos apresentam seu pensamento, uma vez que estes autores nos oferece uma construção teórica que coloca a linguagem como ponto de partida na investigação das questões humanas e sociais, além de ser também um desvio que permite que as ciências humanas transitem para fora dos paradigmas cientificistas, priorizando uma abordagem ético-estético da realidade. (Jobim e Souza, 1994). Assim apresento uma analise de dois excertos que nos revelou algumas estratégias de resolução de problemas diferenciadas e que muitas vezes não são consideradas validas na matemática formal. Figura 1- Solução apresentada por uma aluna. As respostas dos alunos nos revelam que um problema como este desenvolve no aluno iniciativa, espírito explorador, criatividade, tirando-o de uma situação passiva e receptiva, colocando-o como um agente ativo e construtor no processo de ensino-aprendizagem. Segundo Bakhtin (2000, p.279) ―cada esfera de utilização da língua elabora seus tipos relativamente estáveis de enunciados‖. Ou seja, isso implica que cada tipo de situação de interação, da língua impregna em si sentidos e significados, o uso da língua em matemática em especial é de fundamental importância e no uso de situação problemas, há um dialogo constante com os diferentes usos da linguagem. Isso contribui para a aprendizagem, pois o conhecimento avança quando o aluno enfrenta situações interessantes e desafiadoras sobre as quais ainda não havia parado para pensar, quando tem a oportunidade de trocar ideias e experiências de aprendizagens com outros, compartilhando e defendendo seu ponto de vista. Na perspectiva vygotskiana, ensinar o que o aluno já sabe ou aquilo que está totalmente longe de sua possibilidade de aprender é totalmente ineficaz. A escola desempenhará bem 379 Propuestas para la enseñanza de la matemática seu papel, na medida em que, partido daquilo que a criança já sabe (o conhecimento que ela traz de seu cotidiano, suas ideias a respeito dos objetos, fatos e fenômenos, suas ―teorias‖ acerca do que observa no mundo), se ela for capaz de aplicar e desafiar a construção de novos conhecimentos (Rego, 1995). É necessário que o professor permita que os alunos tenham o máximo de experiências com resolução de problemas dos mais variados tipos, predominando-se os problemas abertos que exigem do aluno mais criatividade, experimentação de estratégias e raciocínio, o que facilitará consequentemente a compreensão básica das estratégias a serem adotadas para a resolução de problemas posteriores, conforme demostrados nos excertos apresentados. Figura 2- Solução apresentada por uma aluna. A partir das respostas e dos relatos dos alunos podemos perceber que com a realização da atividade de pesquisa de preços, foram trabalhados os conceitos e ideias relacionados a economizar, somar e conhecer os preços dos alimentos. Com essa atividade observa-se que os alunos adquiriram várias habilidades de caráter acadêmico e social, pois aplicaram os conhecimentos matemáticos em situações cotidianas, onde a matemática tornou-se um instrumento eficaz nessa pesquisa. Os alunos afirmaram que a exploração de situações como a medição das dependências da escola facilita a compreensão e torna mais prazerosa a aula de matemática. Algumas Conclusões A utilização de problemas matemáticos pode despertar a criatividade, o raciocínio e o uso de diferentes estratégias de linguagem, fruto de suas experiências e vivencias. A abordagem de problemas também privilegia as experiências sócio-político-culturais. Neste sentido, buscou-se abordar algumas impressões que podem surgir quando pensamos no par experiência/ sentido, quando consideramos as formas de produzir sentido das 380 Propuestas para la enseñanza de la matemática crianças para as coisas e principalmente o que as crianças nos apresentam ou ainda como nos apresentam no processo de conhecimento, quando é respeitada em sua singularidade. Nesta linha de pensamento, podemos dizer que o uso das diversas estratégias de escritas para solucionar problemas matemáticos está intimamente ligado às experiências de cada indivíduo, cabendo a escola explorar o universo dos estudantes, pois despertam a curiosidade e o interesse dos alunos, e promove a aprendizagem significativa de conceitos e ideias matemática. Além disso, é de extrema importância que o professor de matemática utilize a metodologia de resolução de problemas, pois auxilia no desenvolvimento competências e habilidades matemáticas tão importantes no contexto atual. Referências Augustine, C. H. d‘. (1976). Métodos Modernos para o ensino de Matemática. Tradução de Maria Lucia F. E. Peres. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico. bakhtin, M. (2000). Estética da criação verbal. 3.ed.Tradução de Maria Ermantina Galvão. São Paulo: Martins Fontes. Bakhtim, M. (2003). Estética da criação verbal. Trad. Paulo Bezerra. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes. Benjamin, W. (2004). Obras escolhidas II. Rua de mão única. São Paulo: Editora Brasiliense. Brasil. (1998). Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF. Lei nº 9424, de dezembro de 1996. (1996). Lei que dispõe sobre Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional. Brasília. Carvalho, D. L. (1994). Metodologia do ensino de Matemática. 2 ed. São Paulo: Cortez. D‘Ambrósio, U. (1996). Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas, SP. Papirus. Dante, L. R. (2000). Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Editora: Ática. Faraco, C. A. (1996). O dialogismo como chave de uma antropologia filosófica. In Faraco et alii (org.) Diálogos com Bakhtin. Curitiba: Editora UFPR, p. 165-187. Freire, P. (1994). A importância do ato de ler (em três artigos que se completam). São Paulo: Autores Associados/Cortez. Freitas, Maria Tereza Assunção. (1996). Bakhtin e a psicologia. In: FARACCO, TEZZA e CASTRO (orgs.). Diálogos com Bakhtin. Curitiba: Ed. da UFPR. Gonçalves, T. O. (2006). A constituição do Formador de professores de Matemática: a prática formadora. Belém, CEJUP. Jobim E Souza, Solange. (1994). Infância e Linguagem: Bakhtin, Vygotsky e Benjamin. Campinas, SP: Papirus. Larrosa, J. B. (2002). Notas sobre a experiência e o saber da experiência. Revista Brasileira de Educação. São Paulo, (19) p. 20-28. Marconi, M. A. Lakatos, E.M. (2007). Técnicas de pesquisa: planejamento e execução de pesquisas, amostragem e técnicas de pesquisa, elaboração, análise e interpretação de dados. 6ed. -2. reimpr. – São Paulo: atlas. Martins, Maria Helena. (1994). O que é leitura- 19 ed. – São Paulo: Brasiliense. 381 Propuestas para la enseñanza de la matemática Onuchic, L.R. e Allevato N. S. G. (1999). Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: Bicudo, M. A. V.(Org.) Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectiva (p.199-218) São Paulo: UNESP. Pironel, M. A. (2002). Avaliação integrada no processo de ensino-aprendizagem da Matemática. 193 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, Brasil. Polya, G. (1986). A arte de resolver problemas: um novo enfoque do método matemático. Tradução e adaptação Heitor Lisboa de Araújo. –Rio de Janeiro: Interciência. Rego, T.C. (1995). Vygotsky: Uma Perspectiva Histórico-Cultural da Educação. Petrópolis, RJ: Vozes. Sampaio, C. S. (2008). Alfabetização e Formação de professores: aprendi a ler (...) quando misturei todas aquelas letras ali. Rio de janeiro: Wak editora. Vygotsky, L.S. (1989). Pensamento e linguagem. 2. ed. São Paulo: Martins Fontes. Zentgraf, Maria Christina. (2001). Pesquisa em educação. Rio de Janeiro: UFRJ. 382 Propuestas para la enseñanza de la matemática LOS PRIMEROS APRENDIZAJES DE LAS ESCRITURAS NUMERICAS Adriana Marisa Cañellas, María Josefa Rassetto Universidad Nacional del Comahue. Facultad de Ciencias de la Educación. Argentina. [email protected] Nivel preescolar Palabras clave: Notaciones numéricas. Nivel inicial. Enseñanza. Aprendizaje. Resumen Los adultos alfabetizados estamos acostumbrados a interpretar y producir escrituras numéricas que resulta difícil darnos cuenta que detrás de estas notaciones existe una construcción alcanzada con muchísimo esfuerzo por el hombre en el transcurso de su historia. Por más que los niños se encuentren con esta herencia cultural lograda, no escapan a la construcción cognitiva de comprender, producir y utilizar estas escrituras convencionalmente. La educación formal tiene un lugar privilegiado en este punto, es necesario un proceso didáctico que abarca desde el nivel inicial continuándose en posteriores instancias educativas. Esta ponencia se encuadra en el proyecto investigativo Lenguajes en enseñanza de las ciencias. Fundamentos y estrategias, siendo su objetivo general Analizar modalidades de lenguajes empleados en distintos contextos educativos para construir fundamentos y estrategias en la enseñanza de la ciencia. Los interrogantes de esta investigación, particularmente sobre las notaciones numéricas, fueron conocer cómo los niños realizan sus primeras escrituras numéricas; cómo evolucionan en sus aprendizajes y cómo hacen uso de estos conocimientos sociales. Es decir, cómo los alumnos manifiestan el recorrido desde las primeras marcas hacia la numeración convencional, mientras conceptualizan. Se analizaron variadas producciones escritas sobre cantidades y escrituras numéricas en salas de 4 y 5 años de Neuquén. Como resultados se observó que muchos niños manifiestan maneras particulares de registrar cantidades, algunos realizan marcas pictográficas, otros registros icónicos, pero a medida que van creciendo usan mayoritariamente el símbolo numérico convencional. Las respuestas alcanzadas son aportes para la enseñanza del número y la numeración escrita en el nivel inicial. Introducción A partir de investigaciones anteriores consideramos la importancia de ubicar a niños pequeños en diversos escenarios donde tengan la necesidad de resolver situaciones involucrando sus conceptos espontáneos en el campo de los conocimientos científicos (Cañellas y Rassetto, 2011). En este sentido, resulta prioritario analizar el lugar que ocupan los conceptos científicos en prácticas de enseñanza. Cabe destacar que la educación inicial tiene una responsabilidad esencial en el desarrollo cognitivo de los sujetos, ya sea porque propicia la interacción de los niños con los conocimientos considerados válidos socialmente como así también, le otorga significaciones a las diferentes expresiones del lenguaje y les ofrece estrategias de resolución a los problemas que afrontan en su entorno. La teoría sociocultural le asigna a la escuela un rol significativo en el desarrollo de los procesos psicológicos superiores, ya que en ella se abordan los aprendizajes intencionales. Esta ponencia se enmarca en el proyecto de investigación Lenguajes en enseñanza de las ciencias. Fundamentos y estrategias, el cual tiene como objetivo general Analizar modalidades de lenguajes que se emplean en distintos contextos educativos para construir 383 Propuestas para la enseñanza de la matemática fundamentos y estrategias en la enseñanza de la ciencia. Desde esta perspectiva, planteamos como objetivos específicos Interpretar las conceptualizaciones de los niños sobre la numeración escrita teniendo en cuenta sus representaciones gráficas. Los interrogantes que guiaron este trabajo de investigación, en particular sobre las notaciones numéricas, fueron conocer cómo los niños realizan sus primeras escrituras numéricas; cómo evolucionan en sus aprendizajes y cómo hacen uso de estos conocimientos sociales; es decir, cómo los alumnos dan cuenta del camino que están recorriendo desde las primeras marcas hacia la numeración convencional, mientras se da su comprensión. Referentes teóricos Los humanos poseen la capacidad de dejar marcas permanentes de manera intencional para dar a conocer una información usando un sistema de representación externo. Bajo este concepto se encuentra la escritura alfabética, las notaciones musicales, el dibujo, las fotografías, los mapas, la notación numérica, las imágenes, los diagramas, los modelos a escala o los medios informáticos (Martí, 2006). Las representaciones semióticas son objetos materiales que se refieren a otra realidad, por ejemplo el símbolo numérico remite a la numerosidad de una cierta colección. Para poder entender la función de representación que poseen las notaciones numéricas, y así poder hacer uso de ellas, se deben sobrepasar tres obstáculos, según Martí (2006), ―(…) su carácter arbitrario, el hecho de que no representan más que la cantidad (y no otros aspectos cualitativos de la situación) y que son signos compilados que no muestran de manera explícita las informaciones de numerosidad‖ (p. 72). A estas notaciones también se le atribuyen funciones de comunicación, de memoria y de registro. Son diversas las investigaciones sobre las notaciones numéricas. Algunas de ellas se inclinan más por conocer cómo el niño comprende estas notaciones desde un punto de vista psicológico, como Aglio y Martini (1995); Hughes (1987); Martí (2006); Sastre y Moreno (1980); Scheuer, Bressan y Merlo de Rivas (2001); Scheuer, Sinclair, Merlo de Rivas y Tièche Christina (2000); Sinclair, Siegrist y Sinclair (1982); Tolchinsky (1995). La mayoría de estos estudios señalan que los niños transitan un largo camino en la construcción de estos conocimientos, van progresando desde marcas sin sentido aparente, pasando por representaciones pictográficas e icónicas hasta llegar al símbolo numérico. Otros estudios hacen hincapié en la génesis histórica de la construcción del número y de los sistemas de numeración por parte de la humanidad, algunos de ellos son los de Conant (1994); Dantzing (1971); Guedj (1998); Ifrah (1987); Smith y Ginsburg (1994). También existen investigaciones donde el interés se encuentra puesto en la enseñanza y el aprendizaje de estos conceptos en el marco escolar, como son los trabajos de Brissiaud (1993); Lerner (2000); Lerner, Sadovsky y Wolman (1994); Sastre y Moreno (1980); Terigi y Wolman (2007); Wolman (2000); entre otros. La construcción de las notaciones numéricas no es espontánea, responde a una construcción histórica, cultural y cognitiva. Para su enseñanza escolar es necesario disponer de 384 Propuestas para la enseñanza de la matemática estrategias de reconstrucción de determinadas prácticas culturales para que, en correspondencia con el desarrollo cognitivo, se avance en las conceptualizaciones sobre el número y la numeración. No se trata de que los alumnos recorran exactamente el camino histórico de la invención de estos conocimientos, es necesario plantear una génesis artificial (Brousseau, 2007) de construcción conceptual que requiere de intervenciones didácticas acordes a las edades, a los contextos culturales, a diversos intereses que puedan manifestar los niños. Los sistemas de notaciones numéricos Los investigadores que estudiaron el origen y significado de los números en diferentes culturas reconocen que primero fue el lenguaje y antes de pasar a la escritura el hombre necesitó contar objetos. Primero fue el uno, dos...y muchos, para luego utilizar los dedos de una mano. La escritura significó un gran salto en la civilización, hubo que encontrar símbolos para las palabras y los números. Según Guedj (1998), el hombre en la construcción de la numeración necesitó de un triple sistema de representación: visual, oral y escrito. Esto da origen, respectivamente, a las numeraciones figuradas, habladas y escritas. Alvarado y Brizuela (2006) afirman que los sistemas gráficos son diferentes de otras manifestaciones pictóricas o gráficas. El dibujo es una actividad gráfica individual sin condicionamientos, pero, según estas autoras, ―(…) escribir implica enfrentarse con una convención social preexistente que demanda ceñirse a sus reglas de composición e interpretación, y a las funciones que socialmente se le han otorgado‖ (p. 9). Los símbolos numéricos son considerados sistemas de notaciones. Existen distintas formas de nombrar y de representar externamente un número. Tolchinsky (1995) afirma que los numerales pueden decirse en forma oral, utilizando símbolos lingüísticos; pueden escribirse por medio de palabras escritas; pueden escribirse usando cifras, es decir utilizando el sistema de notación numérica; también pueden representarse gestualmente en el lenguaje de señas para sordos. Martí (2006) considera a las notaciones numéricas como objetos semióticos y describe sus numerosas características que hacen que estas representaciones externas sean tan particulares y se diferencien de otras manifestaciones gráficas. Para este autor toda representación semiótica tiene como función principal representar otra realidad, en el caso del símbolo numérico remite a la numerosidad de una cierta colección. Las notaciones tienen funciones de comunicación, memorización y registro. Es fuerte la presencia en nuestra cultura de las notaciones numéricas, tal es así que lo tomamos como algo natural, sin reparar en el largo y dificultoso camino recorrido para lograr la construcción actual (Chamorro, 2005). Es preciso suponer que los niños también tendrán una ardua tarea en comprender, producir y utilizar el sistema de numeración y aquí la escuela tiene un rol esencial (Martí, 2006). Habrá que reconocer la complejidad cognitiva que conlleva el aprendizaje de las notaciones numéricas; considerar diversas estrategias de enseñanza y se pensar en un proceso a largo plazo cuyo origen fue la interacción temprana con el lenguaje oral y escrito. 385 Propuestas para la enseñanza de la matemática Resultados: De las marcas al número escrito en el jardín Para el logro de los objetivos planteados en esta investigación y en el contexto del marco teórico seleccionado, la estrategia metodológica es cualitativa. Las técnicas de recolección de datos incluyen observación y registro etnográfico de clases. Las clases y los registros que se han analizado provienen de diferentes actividades realizadas por docentes y por alumnas residentes de la carrera de Profesorado de Educación Inicial en escuelas públicas de la ciudad de Neuquén. Los trabajos recolectados para su análisis fueron 87; 51 de sala de 5 años y 36 de sala de 4 años. También se analizaron cuatro secuencias de clases, tres de sala de 5 y una de sala de 4 años. A continuación se muestran los resultados de dos secuencias (El supermercado y La canasta). En ellas se manifiesta cómo los niños interactúan con los números y la numeración escrita cuando resuelven problemas de registros de cantidades y escrituras de números. El supermercado Esta secuencia didáctica contó con tres clases (cada una en distinto día, después de la visita a un supermercado). A continuación se describe brevemente cada clase y se agregan algunos fragmentos de las mismas, donde se observan diálogos entre la maestra (M) y niños (N) y se comentan algunas tareas realizadas: 1° clase: Los alumnos identificaron números escritos en distintos envases. Estos símbolos son portadores de información sobre el producto (precio, cantidad que contiene, peso, capacidad, código de barras, información nutricional, etc.). De esta información numérica la maestra decidió tomar el precio para trabajar la lectura y escritura del símbolo numérico; la comparación de escrituras numéricas y el uso del símbolo monetario peso. En el primer momento los niños identificaron distintos números escritos, especialmente el precio. En un segundo momento fueron ―remarcadores de precios‖, escribieron números. Por último, en una puesta en común, los alumnos mostraron sus productos con los precios que ellos les asignaron. La maestra pidió que comparen los precios de un mismo producto, determinando así cuál es más barato o más caro. En ronda, la maestra les entrega envases de productos (yerba, galletitas, té, dulces, yogurt, sopas, jabones, leche, etc.). M: Vamos a buscar todos los números que están en sus cajas, envases. N: ¡Cincuenta pesos!!! (Se adelantan a responder). N: Nueve, cinco, nueve, cero,… M: ¿Alguien sabe cuánto cuesta esto? (mostrando un paquete de harina) ¿o este producto? (mostrando una caja de leche). Nacho: Tenes que fijarte en el papelito de arriba (hace referencia al adhesivo que se pega con el precio). M: ¿Cuál? A ver Nacho… Nacho: El amarillo (y lo señala). M: ¿Y cómo sabes que ahí está el precio? Nacho: Porque está el número. En el segundo momento de la clase los alumnos realizaron escrituras numéricas: M: Ahora van a ser “remarcadores de precios”, les van a poner el precio a sus productos. Los niños en papelitos blancos escribieron el precio de cada producto. 386 Propuestas para la enseñanza de la matemática M: ¿Cuánto sale tu arroz? N: Tres pesos (muestra el precio que colocó: 3oo) M: ¿Y la pasta dentífrica? N: Un peso con cincuenta (muestra el papel que dice: 1,50) En el cierre la maestra pidió que leyeran los números escritos y compararan dichas notaciones: M: A ver Vladimir… ¿cuánto sale tu caja de té? Vladimir: Cincuenta M: ¿Y dónde dice cincuenta? Yo veo muchos números ahí. No sé el precio. Vladimir: Acá (señalando el papel que pegó con el precio). M: Acá tengo una caja de té que sale cuatro pesos y esta otra que sale cincuenta pesos. También ésta que sale cinco pesos. Observen bien, ¿cuál es la más barata? ¿La de Vladimir es la más barata o la más cara? N: ¡No! ¡Es la más cara! M: ¿Por qué es la más cara? N: Porque tiene más números (señala el precio). M: Tamara, ¿cuánto salen tus galletitas? Tamara: Cinco pesos. M: ¿Y las tuyas Tomás?, ¿cuánto salen? Tomás: Cinco pesos. M: ¿Cuál de estas dos es más cara? N: ¡Empate! ¡Cinco y cinco! 2° clase: Los alumnos fueron ―cajeros‖ (vendedores) y compradores, usando dinero similar al original. La intención de la maestra fue trabajar con escrituras numéricas, uso del dinero y sumas muy sencillas en contextos sociales, como es una situación de compra-venta. 3° clase: En esta clase la tarea consistió en ser ―diseñadores gráficos‖, tenían que elaborar un catálogo de ventas. Para esto eligieron distintos productos y les colocaron sus nombres y sus respectivos precios, pegándolos en hojas abrochadas. La maestra les entrega a cada grupo (de tres niños) unas hojas blancas que simulan ser las revistas, y varios recortes con imágenes de productos. M: Ustedes van a ser “diseñadores gráficos” y van a armar un “catálogo de ventas”, van a pegar productos. Al lado de cada producto tienen que colocarle el nombre y el precio. M: Ponele precio, Lautaro. ¿Cuánto vale eso? Lautaro: Cinco. M: Ignacio, ponele precio a los productos. Ignacio: Ahí está. Sale cuatro. M: ¿Cuánto sale el dulce de leche? Lautaro: Cincuenta y dos pesos. En el cierre de la clase, la maestra los convoca en ronda para mirar las revistas que han elaborado, entre todos leen las ofertas. M: Nacho, ¿cuánto sale la gaseosa? Nacho: Catorce. M: ¿Y cuánto sale la lavandina? N: Cuatro pesos. 387 Propuestas para la enseñanza de la matemática Al analizar lo realizado por los alumnos, podemos afirmar que: Usaron correctamente los números y las letras según su función. Más de la mitad de los alumnos usaron el signo monetario peso junto al número. Casi todos emplearon muy bien el signo peso de manera oral al dar un precio. Ningún número que indicaba un precio empezó con la cifra cero. En general manifestaron que para los productos más caros se usan más cifras en el precio. Algunos alumnos consideraron la escritura de los centavos en los precios. Se encontraron registros como 7oo; 3oo; 12oo. Un alumno leyó ―un peso con cincuenta centavos‖. Los números están bien escritos en la gran mayoría de las escrituras, es decir, de izquierda a derecha, alineados, como respetando un renglón imaginario. La canasta Este juego consiste en tirar un dado común y juntar tantas fichas como muestra el mismo. La maestra pide que vayan anotando cuántas fichas saca cada uno en cada tirada, ya que se harán dos tiradas por día, durante tres días. Cuando termina el juego se determina cuántos puntos tiene cada niño, recurriendo a los registros diarios. La intención del docente es que los alumnos tengan la necesidad de registrar cantidades, y que, cuando hayan acumulado varias anotaciones, puedan reunir esas cantidades representadas y/o símbolos numéricos. A continuación presentamos algunos registros de las dos tiradas del primer día de juego: Selena: Esta alumna recurrió a un registro icónico, es decir, cada palito está representando un punto del dado. Se observan con claridad las dos tiradas: Aldana: Cada tirada del dado se encuentra bien diferenciada y se observa el uso del símbolo numérico convencional. Luján: Esta niña ha utilizado el signo más (+), además de dibujar las cantidades del dado al lado de las notaciones numéricas. Es interesante ver que expresa su registro como una suma de cantidades y que al final de la misma coloca el resultado obtenido en las dos tiradas: 6. 388 Propuestas para la enseñanza de la matemática En general, en este estudio, se pueden confirmar las tendencias de otras investigaciones sobre este mismo tema (Brissiaud, 1993; Hughes, 1987; Scheuer et al. 2000; Sinclair, Siegrist y Sinclair, 1982). Los niños más chicos recurren a representaciones icónicas (han simbolizado las cantidades usando correspondencia uno a uno entre cada objeto y una marca, como pueden ser dibujos, rayitas, circulitos, etc.) y son poco frecuentes las notaciones numéricas convencionales. Pero cuando se trata de niños que están en salas de 5 años en el segundo cuatrimestre del año tienden a realizar escrituras convencionales y menos de índole arbitrario. Se observa en la tabla: Salas 4 años 5 años Sin respues ta 0 0 Respuesta idiosincrás ica 16,6 5,9 Respuesta pictográfic a 11,1 7,8 Respues ta icónica Repuesta simbólica 41,6 25,5 22,2 49 Otras respuesta s 8,3 11,7 Total % registros 100 100 Si bien no se puede determinar la existencia de una secuencia en el desarrollo cognitivo de los niños participantes en correspondencia con la secuencia de las categorías de análisis utilizadas, inferimos que en primer lugar se dan las representaciones gráficas más primarias para luego dar paso a los registros simbólicos numéricos. Con respecto a la evolución histórica del número, las investigaciones afirman que el hombre primitivo pasó del uso de colecciones de muestra con objetos al uso del símbolo numérico convencional, dando cuenta así de su evolución cognitiva; Martí (2006). Es decir, los niños recorren un camino muy similar al del hombre primitivo en sus construcciones numéricas, aunque en contextos muy diferentes. La enseñanza de las notaciones numéricas El niño, en su cotidianeidad, se encuentra con abundante información numérica escrita y también escucha y participa de conversaciones sobre estas informaciones numéricas. A veces necesita hacer escrituras que se le requieren en algunas tareas familiares o sociales. Va tomando conciencia de que existe un saber convencional, de que existen símbolos que sirven para decir ―algo‖ de los números, de las cantidades. No obstante el hecho de que el número y la numeración existan desde hace muchísimo tiempo y sean ampliamente usados, no significa que los niños puedan construirlos con relativa facilidad. Para Chamorro (2005) estos conocimientos tienen una característica muy particular: son saberes ―naturalizados‖, y aclara esta idea diciendo ―Las actividades de contar o de designar los números parecen formar parte de la naturaleza humana y, socialmente, se considera que, para realizarlas, no hay ―nada que saber‖‖ (p. 96). Pero la escuela no puede ―naturalizar‖ estos conceptos, tiene que pensar en un proceso de enseñanza donde se contemplen los conocimientos que los niños van elaborando en su entorno y propiciar actividades donde se involucre el número y la numeración en distintas circunstancias para otorgarle significado. Es importante que el docente considere un tiempo de confrontación, discusión y reflexión sobre las distintas producciones de los alumnos. Las representaciones que realizan los niños sobre el papel son huellas perdurables, por esto resulta más conveniente hacerlos reflexionar sobre sus propias escrituras o ajenas que hacerlo sobre producciones orales. Es 389 Propuestas para la enseñanza de la matemática así como se van apropiando de estos saberes socialmente válidos, mientras van reconstruyéndolos ellos mismos sin memorizarlos sin comprensión. En definitiva el alumno produce y construye conocimientos numéricos y así les otorga significado a través de los problemas que le permite resolver eficazmente. La enseñanza tiene que considerar simultáneamente los dos aspectos que presentan las notaciones numéricas: su naturaleza conceptual y su construcción sociocultural (Fayol, 1985, Scheuer et al., 2000). Los niños hacen el esfuerzo de articular los conocimientos numéricos que perciben de su ambiente social con las construcciones cognitivas numéricas. La escuela tiene que asumir con responsabilidad su rol de crear un ambiente donde las notaciones tengan presencia y sean significativas, suministrando múltiples referencias de producciones y de prácticas notacionales. Chamorro (2005) menciona dos concepciones didácticas para la enseñanza de la numeración. Una de ellas es ―por la práctica‖, se trata de comunicarle al alumno por medio de la escritura convencional su forma definitiva, acabada; y, con posterioridad, se abordan los fundamentos de la escritura para su comprensión. La otra, con la cual acordamos, es la que trabaja con una génesis artificial de la numeración. Mientras que el alumno tiene la necesidad de realizar representaciones de cantidades, comprende e interpreta esas y otras escrituras. Sabemos que las nociones de número y su designación se encuentran estrechamente ligadas. Wolman (2000) no acuerda con que sólo la repetición de la escritura de los números, uno a uno, tratando de hacer el trazado correcto, conlleve a la comprensión de lo notacional. Lo que propone es dar situaciones a los alumnos en las que sea necesaria la utilización de los números; que cuenten objetos; busquen e interpreten números; realicen anotaciones numéricas; y, por último, reflexionen sobre las producciones realizadas. Así afirma su pensar ―En síntesis, no proponemos que los niños los aprendan presentándolos de a uno y de acuerdo con el orden en que se encuentran en la serie, sino a través de los problemas para los cuales la utilización de números o procedimientos numéricos constituye la herramienta para resolverlos‖ (p.167). Es necesario involucrar a los alumnos en una propuesta didáctica que abarque un encadenamiento de situaciones, no actividades aisladas. Se trata de proponer ―una pequeña génesis artificial del concepto‖ para que el niño construya por sí mismo un conocimiento nuevo (Brousseau, 2007). A diferencia de la génesis histórica, la génesis escolar se produce con una intencionalidad de enseñanza, involucra conocimientos que ya existen en la cultura, toma como referencia la construcción histórica para reconocer los problemas a los que ha dado respuesta el conocimiento que se desea enseñar. En el caso de la numeración, Chamorro (2005) afirma que (…) el alumno debe comprender para qué sirve e interpretarla al mismo tiempo que la aprende. Didácticamente se considera preciso encontrar una génesis que le permita crear y comprender el concepto de numeración a la vez que va construyendo el número. (p. 121) 390 Propuestas para la enseñanza de la matemática Los niños en el camino de las escrituras numéricas En las actividades expuestas se observa cómo los alumnos muestran una evolución de sus conocimientos sobre las representaciones de cantidades y el uso de los símbolos numéricos convencionales cuando tienen la oportunidad de enfrentarse a un problema. Los niños evidencian una evolución en el proceso de aprendizaje que va desde la comprensión del número hacia las representaciones simbólicas convencionales, no de manera lineal, sino estableciendo acercamientos en diversos sentidos. Los alumnos encuentran en su entorno diversas situaciones numéricas, pero, esto no es suficiente para abarcar las cuantiosas posibilidades que presenta la numeración escrita, es por esto que es fundamental la intencionalidad escolar puesta en juego en el tratamiento de estos saberes socio-culturales y conceptuales. La enseñanza escolar tiene que asumir con responsabilidad su rol de crear un ambiente donde las notaciones tengan presencia y que su uso sea significativo. Referencias Bibliográficas Aglio, F. y Martini, A. (1995). Rappresentazione e notazione della quantità in età prescolare. Età evolutiva. 51. 30-44. Alvarado, M. y Brizuela, B. (2006). Haciendo números. Buenos Aires: Paidós. Brissiaud, R. (1993). El aprendizaje del cálculo. Más allá de Piaget y de la teoría de conjuntos. Madrid: Aprendizaje Visor. Brousseau, G. (2007). Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Buenos Aires: Libros del Zorzal. Cañellas, A. y Rassetto, M. (2011). Magnitudes y medidas. Aportes para la educación infantil. Neuquén: Educo. Chamorro, M. del C. (2005). Didáctica de las matemáticas. Madrid: Pearson Educación. Conant, L. (1994). El arte de contar. En J. Newman. El mundo de las matemática (pp. 2029). Tomo 4. Barcelona: Editorial Grijalbo. Dantzing, T. (1971). El número lenguaje de la ciencia. Buenos Aires: Sudamericana S. A. Fayol, M. (1985). Número, numeración, enumeración. ¿Qué se sabe de su adquisición? Revue francaise de pedagogie. 70. 59-77. Traducción para el P.T.F.D. Ministerio de Educación y Cultura de la Nación. Buenos Aires. Guedj, D. (1998). El imperio de las cifras. Barcelona: Ediciones Grupo Zeta. Hughes, M. (1987). Los niños y los números. Barcelona: Editorial Planeta. Ifrah, G. (1987). Las cifras. Historia de una gran invención. Madrid: Alianza Editorial. Lerner, D. (2000). La matemática en la escuela. Aquí y ahora. Buenos Aires: Aique. Lerner, D., Sadovsky, P. y Wolman, S. (1994). El sistema de numeración: un problema didáctico. En C. Parra e I. Saiz (comps). Didáctica de la matemática. Aportes y reflexiones (pp. 95-184). Buenos Aires: Paidós. Martí, E. (2006). Las primeras funciones de las notaciones numéricas. Una mirada evolutiva. En M. Alvarado y B. Brizuela (comps). Haciendo números (pp. 51-80). Buenos Aires: Paidós. Sastre, G. y Moreno, M. (1980). Descubrimiento y construcción de conocimientos. Barcelona: Editorial Gedisa. Scheuer, N., Bressan, A. y Merlo de Rivas, S. (2001). Los conocimientos numéricos en niños que inician su escolaridad. En N. Elichiry (comp.). ¿Dónde y cómo se aprende? Temas de psicología educacional (pp. 99-122). Buenos Aires: Editorial Eudeba. 391 Propuestas para la enseñanza de la matemática Scheuer, N., Sinclair, A., Merlo de Rivas, S. y Tièche Christinat, C. (2000). Cuando ciento setenta y uno se escribe 10071: niños de 5 a 8 años produciendo numerales. Revista Infancia. 90. 31-50. Sinclair, A., Siegrist, F. y Sinclair, H. (1982). Las ideas de los niños pequeños sobre el sistema de numeración escrita. Paper presentado en la Nato Conference on the Acquisition of Symbolic Skill, Universidad de Keele. Traducción de Flavia Terigi. Smith, D., y Ginsburg, J. (1994). De los números a los numerales y de los numerales al cálculo. En J. Newman. El mundo de las matemáticas (pp. 30-55). Tomo 4. Barcelona: Editorial Grijalbo. Terigi, F. y Wolman, S. (2007). Sistema de numeración: consideraciones acerca de su enseñanza. Revista Iberoamericana de Educación. 43. 59-83. Tolchinsky, L. (1995). Dibujar, escribir, hacer números. En A. Teberosky y L. Tolchinsky, (comp.). Más allá de la alfabetización (pp. 215-241). Buenos Aires: Aula XXI. Santillana. Wolman, S. (2000). La enseñanza de los números en el nivel inicial y en el primer año de la EGB. En A. Kaufman (comp.). Letras y números (pp. 161-256). Buenos Aires: Santillana. 392 Propuestas para la enseñanza de la matemática MATEMATICA Y QUÍMICA ¿UNA INTEGRACIÓN POSIBLE? Alejandra Deriard, Carlos Matteucci, Fiorella Maggiorotti Instituto Superior de Formación Docente y Técnica n° 24 Bernardo Houssay. Argentina [email protected], [email protected], [email protected] Modelos Matemáticos Nivel Medio Superior. Palabras clave: Matemática. Química. Integración. Obstáculos. Resumen Con la finalidad de establecer vínculos entre distintas áreas del conocimiento, se propone utilizar herramientas de la Matemática e Informática en una clase de Química de Escuela Secundaria Técnica, además de ahondar en distintas formas para procesar la información disponible. Se analiza el impacto de esta propuesta en los alumnos participantes. El siguiente relato narra una experiencia surgida en el seno de las clases de Química de 5 to año en la Escuela de Enseñanza Técnica N° 3 de Berazategui, Provincia de Buenos Aires durante los ciclos lectivos 2010 y 2011 con alumnos de entre 16 y 19 años. La intencionalidad del mismo se centra en hacer una aproximación a la matemática a través de una situación particular de la Química, proponiendo la integración de conocimientos de ambas ciencias, y sus aplicaciones, y mostrando los obstáculos presentados por los alumnos en la resolución, a la vez que muestra las limitaciones y facilidades de utilizar alguna herramienta informática en la resolución de problemas de este tipo, en este caso Excel. Introducción El siguiente relato narra una experiencia surgida en el seno de las clases de Química de 5 to año en la Escuela de Enseñanza Técnica N° 3 de Berazategui, Provincia de Buenos Aires durante los ciclos lectivos 2010 y 2011 con alumnos de entre 16 y 19 años. La intencionalidad del mismo se centra en hacer una aproximación a la matemática a través de una situación particular de la Química, proponiendo la integración de conocimientos de ambas ciencias, y sus aplicaciones, y mostrando los obstáculos presentados por los alumnos en la resolución, a la vez que muestra las limitaciones y facilidades de utilizar alguna herramienta informática en la resolución de problemas de este tipo, en este caso Excel. Supone trabajar con alumnos que ya conocen, según la curricula vigente, los temas de química orgánica tales como: hidrocarburos saturados, formulación y nomenclatura de alcanos, propiedades físicas en relación con la estructura; de matemática: construcción e interpretación de tablas y gráficos, análisis y elementos de la función lineal; de física: cálculo de errores relativos, absolutos y porcentuales. Esta propuesta se incluye dentro de las Narrativas Pedagógicas regidas por el Manual de Capacitación sobre Registro y Sistematización de Experiencias Pedagógicas de Suarez, Ochoa y Dávila. 393 Propuestas para la enseñanza de la matemática Desarrollo de la experiencia Durante el año 2010, en un curso de Química Orgánica de la EETN° 3 de Berazategui, al trabajar el tema de ―Propiedades Físicas de Alcanos, en relación con su estructura‖, se propone a los alumnos resolver los siguientes ítems, indicándoles que el trabajo puede resolverse de manera grupal, y que pueden utilizarse herramientas informáticas (Excel) si así lo quisieren: 1- Construir una tabla que contenga los valores de las temperaturas de ebullición de los primeros quince alcanos no ramificados, utilizando como fuente de investigación libros de texto o búsqueda en la web. 2- Construir la gráfica que relacione temperaturas de ebullición de los alcanos de la tabla anterior en función del número de átomos de carbono de cada alcano. (Puede utilizarse papel milimetrado en A4) 3- ¿A partir de la gráfica, podrían construir una recta que manifieste comportamientos promedio similares a la función original? En caso de ser posible constrúyanla. 4- Puesta en común de las conclusiones. 5- Hallar la fórmula matemática de las rectas obtenidas 6- Transcribir la tabla que fue confeccionada en el punto 1 agregando una columna donde figuren las temperaturas de ebullición de los alcanos calculadas mediante la ecuación de la recta hallada. 7- Analizar cuantitativamente en qué intervalo de números de átomos de carbono del alcano, la ecuación de la recta hallada se aproxima más a la realidad graficada en la curva. Con respecto al ítem 1, se puede destacar que fue de sencilla resolución para aquellos alumnos que optaron por la búsqueda en la web mientras que para los que optaron por la búsqueda en libros de textos se notaron dificultades al momento de hallar la información debido a que muchos alumnos efectuaron una búsqueda aleatoria de la misma mientras que pocos recurrieron a los respectivos índices temáticos y/o alfabéticos de los textos. Al pasar al ítem 2, se esperaba que los alumnos resolvieran el problema utilizando recursos informáticos o bien con lápiz y papel. En el primer caso, se observó que, pese a que los alumnos tenían conocimientos de Excel, se encontraron con dificultades al momento de completar la matriz de datos para obtener la gráfica pretendida, lo cual indica que, pese a poseer la herramienta informática no fueron capaces de utilizarla en el contexto pedido. Quienes recurrieron a la representación en lápiz y papel, encontraron como mayor dificultad la elección de la escala adecuada, para efectuar correctamente la representación solicitada. Si bien se sabe que dicha dificultad se presenta en clases de matemática habitualmente, también se es consciente de que se sortea trabajando sobre rangos de variabilidad discretos, cosa que en este caso era complicado de realizar, debido a que el rango de valores a representar era muy amplio. 394 Propuestas para la enseñanza de la matemática Ante estas dificultades, el docente orientaba mediante preguntas para llegar a la resolución como por ejemplo: ¿recurriste al tutorial de Excel? ¿Cómo adaptarías los datos de tu tabla al uso del papel milimetrado? ¿Es posible utilizar la misma escala para ambas variables? ¿Cómo lo justificarías? En este proceso de devolución, denominado así por Brousseu, se observó que luego de las orientaciones, los alumnos logran avanzar efectivamente en sus respuestas. Durante la resolución del ítem 3, teniendo en cuenta las respuestas presentadas en el ítem anterior, los alumnos que graficaron con Excel se encontraron con la dificultad de no recordar cómo utilizar dicho recurso, a lo que el docente vuelve a insistir con las preguntas orientadoras expresadas anteriormente. Los alumnos que trabajaron manualmente se encontraron con una mayor dificultad, la de tener que aproximar las áreas debajo y encima de la curva para lograr una recta promedio que ―mantenga‖ los valores aproximados, cosa que con el método informático no sucede debido a que el software provee una herramienta adecuada para resolver sin dificultad. Durante la puesta en común de las conclusiones, los alumnos que trabajaron con Excel destacaron que todos obtienen la misma recta mientras que los que resolvieron manualmente observan que se producen variaciones en sus rectas, las que son mostradas en la pizarra, discutiendo sobre el grado de aproximación entre las mismas. A continuación se solicitó a los alumnos que trabajaron con Excel que intenten justificar matemáticamente los posibles procedimientos realizados por el software para resolver el ítem. Para tal justificación, se les dio la posibilidad de intercambiar ideas con el resto de la clase, para establecer conclusiones. Durante la resolución del ítem 5, aquellos alumnos que trabajaron manualmente, hallando la pendiente mediante el cociente incremental y armando la fórmula e identificando la ordenada al origen del gráfico, encontraron una posible solución, aunque en algunos casos podía diferir la ecuación de la recta hallada al surgir ella de diferentes gráficos de recta. Aquellos alumnos que utilizaron Excel no tuvieron mayores dificultades ya que el mismo software les proporcionó la ecuación. El ítem 6 fue resuelto sin dificultad mientras que las dificultadas presentadas en el ítem 7 fueron la no interpretación la consigna, la no identificación de métodos posibles de resolución, requiriendo la intervención del docente indicando que recuerden los conceptos de error absoluto, relativo y porcentual; a la vez que debe hacerlo en la pizarra. Pasado este bloqueo, los alumnos resolvieron sin dificultad. Se realizó luego la puesta en común final en donde efectivamente se pudo observar que hay correlación entre la estructura de los alcanos y la temperatura de ebullición, tal como se venía analizando en otras clases. Luego la discusión se centró en la utilidad de herramientas matemáticas e informáticas para enriquecer los conceptos específicos de Química. 395 Propuestas para la enseñanza de la matemática Se dialogó también enfatizando acerca de las limitaciones del modelo matemático utilizado además de las ventajas del uso del software como instrumento de resolución alternativo. Conclusión De esta experiencia se pueden extraer distintas conclusiones. -Se observa que los alumnos quedan asombrados ante la facilidad y posibilidad de la utilización de conceptos sencillos matemáticos para resolver cuestiones vinculadas a la Química. -El trabajo realizado muestra lo escasamente significativo que resultan ciertos tratamientos de temas en matemática sin aplicación a situaciones específicas y de cómo se puede modificar esta realidad, de acuerdo a lo anticipado por Regine Douady en la Dialéctica Instrumento Objeto, quien expresa que un conocimiento sólo será transformado en objeto matemático cuando previamente pueda utilizarse como herramienta de resolución, para luego ser reutilizado, como resultó en la experiencia narrada. -La experiencia les permitió, además, descubrir y reconocer que poseían una cantidad de información y de saberes que no recordaban poseer. Estos saberes lograron ser recontextualizados correctamente gracias a las preguntas orientadoras utilizadas por el docente durante el proceso de devolución. Por lo dicho anteriormente, la experiencia narrada aporta una mirada integradora de los saberes enseñados, los que al aparecer en situaciones de aprendizaje nuevas se transforman, al ser reutilizados en nuevos contextos, en saberes efectivamente aprendidos. Por lo anteriormente expresado, estamos convencidos de que sólo en el sentido de que algo diferente suceda con las prácticas instauradas, es que podremos avanzar en las formas de enseñar y aprender cualquier área del conocimiento. La documentación narrativa de las experiencias pedagógicas como la presente nos propone otras formas de trabajo áulico, sin desmedro de las habituales, brindando la posibilidad de anticipar y de volver sobre lo hecho para la reformulación, ampliación y transformación de la propia práctica docente. Anexo tutorial excell 1) Confeccionamos una tabla con dos columnas. Una tendrá como referencia: Numero de átomo de carbono, siendo la segunda columna: Temperatura de ebullición. 2) Se vuelcan los datos del número 1 al número 15, con sus temperaturas correspondientes. 3) Una vez finalizada, seleccionar toda la tabla con el clic izquierdo del Mouse, y manteniendo la selección, ir a la opción: ―insertar‖, darle clic a la opción: ―gráfico‖. 4) se verá una pantalla como la siguiente, en la cual se debe seleccionar la opción: ―XY (Dispersión)‖. La ventana dará opciones para el gráfico, seleccionar la opción deseada, y darle clic en ―siguiente‖. 396 Propuestas para la enseñanza de la matemática 397 5) La ventana que sigue presentará las siguientes opciones: Dar siguiente, dejando las opciones marcadas, por defecto. 6) Elegir en la ventana próxima, la opción deseada, y dar clic en siguiente: Propuestas para la enseñanza de la matemática 7) Por último, elegir, ―finalizar, y automáticamente aparecerá el grafico en la hoja de cálculos. Para realizar la recta promedio, será necesario en el gráfico, dar clic con el botón derecho, en uno de los puntos del gráfico. Quedarán marcados todos los puntos en color amarillos, y darán las siguientes opciones: Seleccionar la opción, ―Agregar línea de tendencia‖. 398 Propuestas para la enseñanza de la matemática Seleccionar la opción ―lineal‖, y darle clic en ―Aceptar‖. Quedará dibujada la recta promedio. Para que el programa vuelque la ecuación de la recta en cuestión, se tendrá que dar clic con el botón derecho, sobre ella, y seleccionar: ―Formato de línea de tendencia‖. Luego en la pestaña ―Opciones‖, tildar ―Presentar ecuación en el gráfico‖, y luego ―Aceptar‖. 399 Quedará en la hoja de cálculo, la tabla de valores confeccionada, y su correspondiente gráfico: Referencias Bibliográficas Brousseau G. (2007). Iniciación al Estudio de las Situaciones Didácticas. Ciudad: Buenos Aires. Ediciones El Zorzal. Argentina. Douady R. (1984). Relación Enseñanza Aprendizaje. Dialéctica Instrumento Objeto. Juego de Marcos. Cuaderno de Didáctica de las Matemáticas n°3. Ciudad: París. Ediciones IREM. Universidad de París VII. Francia. Suarez D, Ochoa L, Dávila P. (2003). Manual de Capacitación sobre Registro y Sistematización de Experiencias Pedagógicas.- La documentación Narrativa de Experiencias Escolares (Módulo II). Documento Curricular del Ministerio de Educación de la Nación. Argentina. Financiado por OEI. Ciudad: Buenos Aires. Ediciones Ministerio de Educación. Argentina Propuestas para la enseñanza de la matemática UNA PROPUESTA DE GESTIÓN ÁULICA EN CLASES DE MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Nélida Aguirre, Andrea Maero Universidad Nacional de Río Cuarto. República Argentina [email protected] Nivel Universitario Palabras clave: Modelización. Proyectos. Gestión. Práctica docente. Resumen Existe una tendencia en los educadores de pensar que si se enseña matemáticas con cierta formalidad y amplitud teórica, los estudiantes serán capaces de aplicar matemáticas a otras áreas y contextos sin una enseñanza adicional. Sin embargo, hay evidencias de que esto no necesariamente ocurre en la realidad. Si pretendemos que los estudiantes adquieran competencia en modelización, ella debe estar presente de manera explícita en la enseñanza y aprendizaje de la matemática. De la misma manera, como consecuencia de una formación tradicional que se focaliza enteramente en los temas matemáticos puros, los docentes pueden tener dificultades para crear ambientes, situaciones y actividades para la aplicación y modelación. Y si queremos que los docentes de matemáticas sean capaces de dar lugar a la modelación de manera eficiente en su enseñanza, ellos necesitan tener la oportunidad de desarrollar la capacidad durante su formación. En el marco de la asignatura Modelos Matemáticos, correspondiente al tercer año de la carrera de Profesorado en Matemática, hemos desarrollado un Proyecto de Innovación e Investigación para el Mejoramiento de la Enseñanza de Grado (PIIMEG) que, entre otros objetivos, nos propusimos brindar a los estudiantes el ámbito necesario para: Desarrollar la capacidad de planear, implementar y evaluar actividades de modelización a partir de situaciones reales de su elección e interés. Aprender contenidos disciplinares con significado. Ejercitar el rol de la futura práctica profesional. En este trabajo haremos una descripción de las tareas realizadas y una síntesis de los resultados obtenidos de su implementación. Introducción Nuestro punto de partida es considerar que el rol esencial de la actividad matemática consiste en construir modelos de la realidad que se quiere estudiar para dar respuesta o mejor respuesta a los problemas que se plantean en ese ámbito. Bosch, García, Gazcón & Higueras (2006) señalan que ―la modelización no es sólo una dimensión de la actividad matemática, sino que la actividad matemática es, en esencia, una actividad de modelización‖ (p.14). Esto deja ver el posicionamiento que tenemos frente a la matemática y, desde el punto de vista de la enseñanza, podemos decir que lo que se piensa respecto a la ciencia matemática y sus procesos de construcción, condicionarán el tipo de enseñanza que se desarrollará. 400 Propuestas para la enseñanza de la matemática El hecho de dar el papel protagonista al estudio de problemas y a la búsqueda de respuestas a cuestiones específicamente formuladas, nos sitúa en contraposición directa al modelo docente tradicional en el que las asignaturas se organizan en torno a los contenidos conceptuales y los ejemplos o aplicaciones se enseñan como ilustraciones de lo mostrado previamente. Además del conocimiento de conceptos y procedimientos matemáticos que los alumnos, futuros docentes de matemática, adquieren como resultado de la enseñanza, ellos se forman una idea acerca de qué es la matemática y de cómo se resuelven las tareas matemáticas. Idea que, por otra parte, está muy influenciada por la concepción que sobre la matemática se posee en la institución en que aprenden esos conceptos y procedimientos. Estamos en condiciones de afirmar, compartiendo con Barquero, B., Bosch, M. & Gascón, J. (2010) que en las instituciones educativas, la epistemología dominante es ―aplicacionista‖, y se asigna a la modelación matemática un papel secundario. Por otro lado, la noción de lo que es la matemática y cómo se trabaja en matemáticas determina en gran medida el modo en que los alumnos desarrollarán a futuro su práctica docente. Por ello, es altamente probable que un profesor de matemática no adopte la modelización como estrategia de enseñanza si en su formación esa actividad no fue contemplada, siendo esta una de las razones por las que la modelación matemática suele estar ausente en las aulas del nivel medio. Uno de los desafíos que enfrentan las instituciones de formación de profesores es el desarrollo de planes de estudios que permitan estrechar la brecha entre la matemática pura y aplicada, otorgando un papel de relevancia a la modelización matemática y a los contextos en la conformación de significado. Existe una tendencia en los educadores de pensar que si se enseña matemáticas con cierta formalidad y amplitud teórica, los estudiantes serán capaces de aplicar matemáticas a otras áreas y contextos sin una enseñanza adicional. Sin embargo, hay evidencias de que esto no necesariamente ocurre en la realidad. Si pretendemos que los estudiantes adquieran competencia en modelización, ella debe estar presente de manera explícita en la enseñanza y aprendizaje de la matemática. Desde el año 2001, se ha incorporado en el Plan de Estudios de la Carrera de Profesorado en Matemática, que se imparte en el Departamento de Matemática de la Universidad Nacional de Río Cuarto, la asignatura Modelos Matemáticos. Y desde ese momento se ha venido trabajando por impartir a los estudiantes la concepción filosófica que subyace a todo proceso de modelización. En el marco de esta asignatura, de aproximadamente diez alumnos en promedio, hemos desarrollado un Proyecto de Innovación e Investigación para el Mejoramiento de la Enseñanza de Grado (PIIMEG) que, entre otros objetivos, nos propusimos brindar a los estudiantes el ámbito necesario para: 401 Propuestas para la enseñanza de la matemática Desarrollar la capacidad de planear, implementar y evaluar actividades de modelización a partir de situaciones reales de su elección e interés. Aprender contenidos disciplinares con significado. Ejercitar el rol de la futura práctica profesional. En este trabajo haremos una descripción de las tareas realizadas, la metodología empleada y una síntesis de los resultados obtenidos de su implementación. Descripción de la innovación En la asignatura Modelos Matemáticos se estudian modelos determinísticos, discretos y continuos, lineales y no lineales. Para la elección de los modelos, se tienen en cuenta problemas que surgen esencialmente de la biología de poblaciones, ecología, finanzas, sociología y de la vida cotidiana. Los contenidos incluyen, desde las técnicas más simples de modelación, tales como la obtención de una tabla de datos, pasando por el ajuste de curvas hasta la elaboración de modelos, enfatizando la importancia de la traducción de un lenguaje usual al lenguaje matemático y viceversa. Mientras que el subproceso de llevar una situación–problema del mundo real a un modelo matemático es algunas veces llamado modelización matemática, es costumbre usar también esa noción al proceso entero, involucrando todo en él: identificar el problema en el mundo real, generar el modelo matemático, resolverlo, validar su solución en la situación original, analizar limitaciones, realizar simulaciones y predicciones. Esta última posición es la que se adopta en el Proyecto. Con respecto al concepto de modelo matemático, se han planteado distintas definiciones cada una de las cuales hace referencia en gran medida a la visión que se tiene de la matemática en relación con el mundo real. Se adopta la siguiente definición de modelo, obtenida a partir de la de Giordano, F., Weir, M., Fox, W. (2003): Un modelo matemático es una construcción matemática dirigida a estudiar un sistema o fenómeno particular del ―mundo real‖. Este modelo puede incluir gráficas, símbolos, simulaciones y construcciones experimentales. Un modelo es, por lo tanto, una representación más sencilla o la idealización de una realidad más compleja y se crea con el objetivo de obtener una mayor comprensión o nuevos conocimientos sobre el mundo real mediante la investigación de propiedades. Indudablemente la selección de situaciones reales a modelizar es uno de los puntos más fuertes que presenta la modelización por la motivación que genera en quien aprende. Para que el estudiante se sienta motivado a aprender unos contenidos de forma significativa es necesario que pueda atribuir sentido a aquello que se le propone. Eso depende de muchos factores personales pero también depende de cómo se le presente la situación de aprendizaje, lo atractiva e interesante que le resulte como para implicarse activamente en un proceso de construcción de significados. Por eso, uno de los retos de los participantes del 402 Propuestas para la enseñanza de la matemática Proyecto fue decidir no sólo cuáles iban a ser los contenidos a trabajar, sino debatir también la metodología para conseguir esos contenidos. Es posible incluir diversas situaciones que vinculen las matemáticas a la realidad a través de la modelación y las mismas pueden ser organizadas como experiencias de aprendizaje en muy diversas formas. Una de estas formas, es el trabajo en proyectos y en ella se basó la innovación. El aprendizaje basado en proyectos es una estrategia de enseñanza en el que los estudiantes planean, implementan y evalúan situaciones que tienen aplicación en el mundo real más allá del aula de clase. Con las actividades de modelación basadas en proyectos pretendimos brindar a los estudiantes la oportunidad de aplicar matemáticas a situaciones de la vida real que implicaran: interactuar con el medio cuando se requiera de trabajo extra-clase, recorrer el proceso de modelación matemática, desde la elaboración de una idea inicial a la discusión de resultados parciales y finales, la posibilidad de ser activos en una construcción por etapas, desarrollar habilidades en investigación. Para que esto fuera posible, debimos crear ambientes de enseñanza, situaciones, diseñar actividades y materiales así como implementar instrumentos de evaluación apropiados. Ambiente de aprendizaje Para involucrar a los alumnos en la comprensión de un problema fue esencial proponer enunciados que los lleve a involucrarse en su resolución, sin que el texto anticipe un único procedimiento. En este sentido, los contextos de los problemas debían ser significativos para los alumnos; es decir, implicar un desafío que pudieran resolver en el marco de sus posibilidades cognitivas y de sus experiencias sociales y culturales previas. Por otra parte, las situaciones trabajadas debían ofrecer una variedad de tipos de respuestas. Para la planificación de las actividades se tuvieron en cuenta las siguientes cuestiones: Nivel educativo al que estaba dirigida la propuesta. Identificación de un tema factible de despertar el interés de los estudiantes, con el fin de formular un problema a resolver con el uso de modelos. Grado de accesibilidad de los contenidos disciplinares matemáticos implicados, de los métodos matemáticos a usar y del contexto extramatemático. Inclusión de situaciones en las que los estudiantes pudieran transitar por las distintas fases del proceso de modelación. Para la realización eficaz de cada uno de los Proyectos se explicitaron tanto los objetivos que se perseguían, como los aspectos a evaluar y los criterios a utilizar en la evaluación. Así, las actividades en Proyectos contuvieron los siguientes elementos: Descripción de la situación o problema que el proyecto busca entender o resolver. 403 Propuestas para la enseñanza de la matemática El objetivo del proyecto (lo que se pretende que los estudiantes hagan: investigar, realizar encuestas, recomendaciones, etc.). Lista de criterios de calidad que el proyecto debe cumplir. Guías o instrucciones para desarrollar el proyecto (tiempo de realización, metas a corto plazo). Listado de los participantes y roles que se les asignaron (miembros del equipo, miembros de la comunidad, expertos) Modo de evaluación del desempeño de los estudiantes. En el aprendizaje por proyectos se evaluó tanto el proceso de aprendizaje como el producto final. El trabajo basado en Proyectos es retador y complejo ya que implica utilizar un enfoque interdisciplinario y estimular el trabajo cooperativo. Para que el alumno estuviera motivado para la realización de la tarea, debimos establecer lo que consideramos una distancia óptima entre lo que el alumno ya sabe y el nuevo contenido de aprendizaje, ya que si la distancia es excesiva, el estudiante se desmotiva porque cree que no tiene posibilidades de asimilar o de atribuir significado al nuevo aprendizaje y si la distancia es mínima también se produce un efecto de desmotivación porque conoce ya, en su mayor parte, el nuevo material que ha de aprender. Cuando el alumno disfruta realizando la tarea se genera motivación ya que afloran emociones positivas que contribuyen a sostener la persistencia y el esfuerzo requerido en su realización hasta finalizarla con eficacia y calidad. Es sabido que el ambiente de aprendizaje está condicionado por la relación de poder establecida y por los papeles que se le atribuyen a los alumnos y al docente. En ello tiene mucha incidencia el tipo de tareas que el docente suele proponer, el modo en que anima (o no) a los alumnos a manifestar dudas u opiniones, las oportunidades que les da para que argumenten y justifiquen sus ideas. Todos estos aspectos encierran mensajes implícitos sobre el papel que el profesor atribuye a los alumnos en el aprendizaje y sobre sus expectativas con relación a sus capacidades. La enseñanza y aprendizaje de la modelización exige que los alumnos interactúen entre sí y con el profesor. Por esta razón, en las clases los alumnos tuvieron una participación activa y el docente cumplió el papel de organizador y dinamizador del aprendizaje. Haciendo preguntas a los alumnos y cuestionándolos, el docente pudo detectar las dificultades que se presentaban en el nivel de comprensión de los conceptos y de los procesos matemáticos, les ayudó a pensar y los motivó a participar. El docente alentó a que los alumnos tuvieran la iniciativa de formular problemas, hicieran preguntas y conjeturas y presentaran soluciones, exploraran ejemplos y contraejemplos en la investigación sobre una conjetura, y que utilizaran argumentos matemáticos para determinar la validez de las afirmaciones, intentando convencerse a sí mismo y a los demás. Los alumnos d