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EQUIPO EDITORIAL
ADMINISTRACIÓN GENERAL DE EDITORIAL
Luis Tuesta Reategui
EDITORA GENERAL
Alida Valencia García
Estimado amigo:
JEFATURA DE EDICIONES
Rolando Bartolo M.
COORDINADOR EDITORIAL
Mario Mendoza Gloria
SUPERVISORA DE ACADEMIAS
Mercedes Nunura Sánchez
COORDINACIÓN DE MATERIALES EDITORIAL
Mónica Camarena Z.
DIRRECIÓN GENERAL DE LÍNEA
Has elegido postular a la UNI, y por ello desde ya te felicitamos, puesto que, sin duda,
eres una persona a la que le gustan los grandes retos. Por tal motivo, la Corporación
Educativa PAMER te brinda el solucionario del examen de admisión UNI 2013 - II, que
es una excelente herramienta que te ayudará a absolver dudas, reforzar conocimientos y
conocer el modelo de preguntas que propone el examen de admisión UNI.
La Corporación Educativa PAMER es conocedora del alto nivel académico que exige la
UNI en su examen de admisión para seleccionar a sus futuros estudiantes. Por esta razón,
presentamos un modelo de preparación enfocado directamente en lo que requiere esta
universidad.
Elena Trujillo
COORDINACIÓN DE MATERIALES
Elizabeth Geronimo Ayala
PROFESORES RESPONSABLES
• John Gonzáles
• Jorge Manrique
• Ruben Quispe
• Aaron Ramos
• Ernesto Quispe
• Deivhy Montiel
PRE PRENSA DIGITAL
• Sergio Hookings Larenas
• Betty Picoy Rosas
• Linda Romero Corrales
• Karina Ubillus López
• Julissa Ventocilla Fernandez
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Sergio Bautista
Juan Ramos
Jesus Bustillos
Carlos Flor Vicente
Adriano Ynfanzon
Veronica Pacherres Ato
Maribel Quispe Condori
Ynes Romero Corrales
Jose Siesquén Aquije
Sara Yañez Urbina
© Derechos Reservados
Ediciones e Impresiones Paz de Corporación Educativa Pamer S.A.C.
Prohibida la reproducción total o parcial de este volumen
Edición 2013
www.pamer.edu.pe
En PAMER trabajamos en equipo y hacemos nuestro tu objetivo. Contamos con un
sistema de tutoría que trabaja arduamente de la mano de cada alumno orientando,
exigiendo y motivando con miras al gran resultado: ¡Que seas un CACHIMBO UNI!
Nuestro equipo de profesores es especialista en preparación UNI y desarrolla un alto
nivel académico con clases dinámicas. A nuestros profesores realmente les interesa que
aprendas y, con la finalidad de que puedas consultar y pedir ayuda cada vez que lo
requieras, te brindan toda la confianza necesaria.
Sin duda, somos un equipo sólido y es por eso que tenemos la seguridad de que este
material que hoy tienes en tus manos te beneficiará. Estamos y estaremos gustosos de
ayudarte siempre que lo necesites.
Tus amigos,
Corporación Educativa Pamer
MATEMÁTICA PARTE 1
1. Sean A, B conjuntos del mismo universo U.
Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I.
Card(A B) = Card(A) + Card(B)
– Card(A B)
II. Card(P(A
B)) = Card (P(A))
+ Card (P(B)) – Card(P(A
B))
4. La función f(x) = ax2 + bx + c es inyectiva
en 2; +
y g(x) = ax2
+ bx + d es inyectiva
en – ; 2 . Halle el valor de 4a + b, sabiendo que a 0 .
A) –2
D) 1
B) –1
E) 2
A) VVV
C) VFF
E) FFF
B)= 0 entonces A = o B = .
B) VVF
D) FFV
K
para x = 3 3 es:
20 3
B) 22 3
C) 24 3
D) 26 3
6. Dada la ecuación:
(log2 2x)2 + (log2 0,5x)2 + (log2 0,25x)2 = 5
El menor valor de sus raíces es:
2, 2i, 4i, 4
B)
4, 4i, 1, i
C)
4, 2i, 2, i
C)
D)
1, i, 3, 3i
E) 3
E)
3, 3i, 4, 4i
3. Sea f :
una función, donde
es el
conjunto de los números racionales, tal que:
I.
f (r + s) = f(r) + f(s)
A) 1
B)
2
D)
3
9. La siguiente figura da la idea de tres planos
interceptándose según la recta L . ¿Cuál(es)
de los sistemas de ecuaciones dados representa a la figura dada?
2
3
B)
I.
II. f (rs)= f(r) f(s)
2x + 3x – z = 1
–x + 5y + 2z = 4
III. f (1)= 1
x + 8y + z = 5
Señale, la alternativa que permite la secuen-
II. x – y + 3z = –2
cia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I.
D) I y II
7. Señale la gráfica que mejor representa a la
función f(x) = y en su dominio.
A)
–2x + 2y – 6z = –4
C)
D)
–x + y – 3z = 2
f(n)= n, n
III. 2x – y + z = 3
–x + 3y – z = 1
II. f(r)= r, r
III. f(nm) = m n, m, n
A) VVV
B) VVF
C) VFF
D) FFV
C i es
inversible.
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
E) I y III
28 3
A)
, entonces 1 +
i =1
P(x) = x 5 + (3 = 3 3) x 4 – 9 3x 3 + 5x + 7 3
E)
2. Encuentre el conjunto solución de la ecuación:
x8 – 257x4 + 256 = 0
Si A es una matriz cuadrada tal que
.
A2 = A, entonces AK = A, K
II. Si B es simétrica, entonces –B2 es antisimétrica.
para algún K
5. El valor numérico de:
A)
I.
III. C es matriz cuadrada tal que CK = 0
C) 0
donde P(A) es el conjunto potencia de A.
III. Si Card(A
10. Sea la sucesión (ak), donde:
8. Dadas las siguientes proposiciones:
x – 2y + 2z = 2
A) Solo I
C) Solo III
E) Solo II
E)
E) FFF
Pág. 4
Pág. 5
B) I y III
D) I, II y III
a k = k Ln 1 +
1
k
Entonces podemos afirmar que:
A) (ak) converge a 1.
B) (ak) converge a Ln 1 +
1
.
k
C) (ak) converge a Ln 2.
D) (ak) converge a 0.
E) (ak) no converge.
11. Sabiendo que se cumple:
a b c=0
a+b+c=1
Halle el valor de:
K=
A) 0
D) 1/2
a 2 + b 2 + c 2 a 3 + b3 + c 3
–
2
3
B) 1/6
E) 1
C ) 1/3
12. Un sistema de n ecuaciones con n incógnitas
se puede expresar como Ax = b, donde A es
una matriz cuadrada de orden n x n, b es
una matriz de orden n x 1 y las incógnitas son
los elementos de la matriz x de orden n x 1. Si
S es el conjunto solución del sistema Ax = b,
entonces podemos afirmar que:
A) S = o S es infinito..
B) Los elementos de S pueden ser hallados
por la regla de Cramer.
C) Si los elementos de b son mayores que 0,
entonces S = o S es un conjunto unitario..
D) Si A es inversible, entonces S es finito.
E) Si los elementos de b son todos iguales a
cero, entonces no podemos utilizar la regla
de Cramer para hallar los elementos de S.
13. Un juego de azar (tipo lotería) consiste en
elegir 5 números diferentes de los primeros
30 números naturales. Cada persona que
participa en este juego compra 26 jugadas
diferentes. Calcule la cantidad mínima de jugadores que se necesita para ganar el juego.
A) 2349
B) 3915
C ) 5481
D) 6264
E) 7047
14. Si los coeficientes del primer y último término
del desarrollo del binomio (3a2x3 + ay4)20
son iguales (a > 0), determine el coeficiente
del décimo octavo término.
A)
190
3 21
B)
380
321
D)
380
320
E)
380
319
190
C)
320
15. Determine la cantidad de números de cuatro
cifras en base 8, que contienen al número tres.
A) 1520
B) 1522
C) 1524
D) 1526
E) 1528
A) 1416
C) 1727
E) 1976
B) 1524
D) 1836
23. Dada la ecuación en el plano complejo:
(1 – i) z + (1 – i) z + 2 = 0
\ {1}
0; cualesquiera, n
arbitrario y MA(n), MG(n) y MH(n) su media
aritmética, media geométrica y media armónica respectivamente. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada
proposición es verdadera (V) o falsa (F), en
el orden dado:
20. Sean a1, a2 ...,a n
I.
M G(n)= n M A(n)MH(n) ; n
II. M A(n)= M H(n)= a1a 2...a n ; n
17. Considere el mayor de los números N cuya
descomposición en sus factores primos de
una cifra es 2a 5 3 m u 3r , sabiendo que
cuando se divide por 40 se obtiene otro número de 54 divisores y además a + u + r < 9.
Calcule la suma de sus cifras.
A) 9
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18
18. Consideremos la expresión:
III.
A)
C)
E)
MATEMÁTICA PARTE 2
21. Calcule el resultado, simplificado de la siguiente expresión:
E = 25 sen5° sen10° sen50° sen70° sen85°
sen110° sen130°
A)
1
4
D) 2
B)
1
2
C) 1
B) 5
D) 7
E) 8
A)
– ;–
B)
– ;
C)
– ;–
1
2
1
2
área del POR
área del RQO
3
2
5
;
2
5
;
2
3
2
1
;
2
D)
– ;–
1
2
1
;
2
E)
– ;–
5
2
3
;
2
A) csc (2 ) + 1
B) csc ( ) + 1
C) sec ( ) + 1
D) sec (2 ) +1
E) sec (2 ) + 2
x
, g(x) = sen(2x), para:
2
28. Sean f(x)=
x
25. En la figura mostrada, las ruedas A y B dan
2n y n vueltas respectivamente (n > 2) desde
su posición inicial, hasta el instante en que
llegan a tocarse; además, rA = 1 u y rB = 9 u.
Calcule D en u.
22. En la figura:
Determine el valor de a de manera que E está
lo más próximo posible a 1,0740.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 6
E) 9
C) 6
27. En la circunferencia trigonométrica adjunta,
determine:
E) 4
E = 0, 3 a + 0, 33 a + 0, 333 a
19. Las raíces cúbicas inexactas de dos enteros
positivos son dos números consecutivos y sus
residuos, en cada caso, son los máximos posibles. Halle la suma de estos números si la
diferencia de sus residuos es 54.
f(x)= 17 arc sec x –
\ {1}
(a1 + a 2)
M A(2) – M G(2)=
4 (M A(2) + M G(2))
VVV
B) VFF
FVF
D) FFV
FFF
A) 4
24. Halle el dominio de la función:
\ {1}
2
16. Al multiplicar un número A de cuatro cifras
por 999 se obtiene un número que termina
en 5352. Calcule la suma de las cifras del
número A.
A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
determine la ecuación cartesiana.
A) 2x + 2y + 1 = 0
B) x + y + 1 = 0
C) 2x – 2y + 1 = 0
D) –x + y + 1 = 0
E) –2x + y + 2 = 0
26. El área de un triángulo cuyos vértices son
A(x; y), B (3; 4) y C(5; –1), es 7 u2. Además
y + 3x = 4 y x > –2. Calcule x + y.
2
3
;2
2
;
Entonces podemos afirmar que:
A) f(x) g(x)
B) f(x)
g(x)
C) f(x) g(x)
m
donde m
n
y n son primos entre sí, calcule m + n.
A) 727
B) 728
C ) 729
D) 730
E) 731
Si a = 3, b = 25, c = 26, tg =
Pág. 6
A) 10 n
B) 15 n + 1
C) 20 n + 2
D) 22 n + 4
E)
Pág. 7
22 n + 6
D) f(x)
g(x)
E) f(x)
g(x), x
x
3
;2
2
2
;
y g(x)
f(x) ,
29. Se da un trapecio en el cual la base menor
mide b. Si la base mayor es 8 veces la base
menor (figura), y se divide trapecio en 3 trapecios semejantes por dos paralelas a las
bases, halle el valor de x (la menor paralela).
32. En un triángulo ABC, AB = 4 u, BC = 6 u.
Se traza DE paralela a BC donde los puntos
D y E pertenecen a los segmentos AB y AC
respecticamente, de modo que el segmento
BE sea bisectriz del ángulo B. Calcule el valor
de BD (en u).
A) 1,8
B) 2,0
C ) 2,2
D) 2,4
E) 2,8
36. En la figura: O, O1, O2, O3 y O4 son centros
de circunferencias, donde A, B, C y D son
puntos de tangencia. Si AO = 1 cm, entonces
el área de la superficie sombreda es:
33. Dos segmentos paralelos en el plano tienen
longitudes 3 cm y 1 cm respectivamente. Si la
distancia entre esos segmentos es de 1 cm,
calcule el radio de la circunferencia que pasa
por los extremos de dichos segmentos.
A) 2b
B) 2,5 b
D) 1,5 b
E) 3,5 b
C ) 3b
30. En la figura, el triángulo ABC recto en B, BH
es la altura, BD es la bisectriz del ángulo ABH
y BE es la bisectriz del ángulo HBC. Si AB = 7 u
y BC = 24 u. Calcule el valor del segmento
DE (en u).
A)
D)
3
2
B)
5
2
9
2
E) 2,5
C)
34. Se colocan ocho monedas de igual radio, tangentes dos a dos, tangencialmente alrededor
de una moneda de mayor radio, entonces la
relación entre el radio de la moneda mayor y
el radio de la moneda menor es:
A)
2
–2
B)
C)
2
–
2– 2
E)
B) 5
E) 9
C) 6
31. Se tiene un triángulo equilátero ABC inscrito
en una circunferencia de radio r = 6 cm, si
M es el punto que divide al arco AB en partes
iguales (M C), entonces el área de la región
triangular AMB en cm2 es:
A) 8 3
B) 9 3
C) 10 3
D) 11 3
E) 12 3
2
2– 2
2
–1
2– 2
2– 2
A) 4
D) 8
7
2
1
2
D)
2
–
2– 2
1
4
A) 1,85
B) 1,90
D) 2,00
E) 2,14
A) 5
D) 2
1
–
8
2
C) Arc tan 2 2
E) Arc tan
B) Arctan(2)
D) Arc tan 3 2
7 2
2
Pág. 8
Pág. 9
B)
10
3
5
E)
3
39. En un semicírculo cuyo radio mide R cm, se
inscribe un triángulo rectángulo ABC ( AC
diámetro) tal que al girar alrededor de la
hipotenusa genera un sólido, cuyo volumen
es la mitad de la esfera generada por dicho
semicírculo. Entonces el área de la superficie
esférica es el área de la región triangular ABC
como:
A)
37. De un recipiente lleno de agua que tiene la
forma de un cono circular recto de 20 cm de
radio y 40 cm de altura, se vierte el agua a un
recipiente cilíndrico de 40 cm de radio, entonces a qué altura, en cm, se encuentra el
nivel del agua en el recipiente cilíndrico.
35. ABCD-EFGH es un hexaedro regular. Si O es
el centro de ABCD y R es punto medio de
HG . Halle la medida del diedro que forman
el plano BRD y la cara EFGH.
A) Arc tan
C) 1,95
38. En un tronco de prisma triangular oblicuo, la
longitud del segmento que une los baricentros
de sus bases es 16 cm. Calcule la longitud de
la menor arista (en cm), si éstas están en
razón de 3, 4 y 5.
A) 4
B) 8
C ) 12
D) 16
E) 48
C)
5
2
8
3
B) 3
D) 16
3
C) 4
E) 8
40. Si el perímetro del desarrollo de la superficie
lateral del octaedro mide 30 u; determine la
superficie lateral del poliedro mencionado.
A) 14 3 u 2
B) 16 3 u 2
2
D) 20 3 u 2
C) 18 3 u
E) 22 3 u 2
RESOLUCIÓN 1
RESOLUCIÓN 2
TEMA: Conjuntos
TEMA: Ecuaciones II
Ubicación de incógnita
Evaluar la veracidad de las proposiciones con
respecto a dos conjuntos: A y B.
Determinar el CS de una ecuación
Segunda proposición:
* Verdadero
En efecto de (I) y (II) tenemos:
f
p
p
1
1
= f(p) " f(1) "
= p "1" =
f
q
f(q)
q
q
x 8 – 257x 4 + 256 = 0
Operación del problema
(x 4 – 1)(x 4 – 256) = 0
(x 2 + 1)(x 2 – 1)(x 2 + 16)(x 2 – 16) = 0
(x +i)(x – i)(x +1)(x – 1)(x +4i)(x – 4i)(x +4)(x – 4) = 0
Aquí reconocemos que:
x = i;x = 1; x = 4i; x = 4
I. Card(A
B)
! CS =
2n(A
B)
B)) = Card(P(A)) + Card(P(B))
– Card(P(A
B))
= 2n(A) + 2(B) – 2n(A
B)
Respuesta: B)
4; 4i; 1; i
Determinar el valor de verdad de las proposiciones
Entonces 2a+c
2a + 2c
2a + 2c – 1
la proposición es falsa: (F)
III. Card(A
B) = 0
Se sabe: Card(A
A=
óB =
B) = 0
A
B=
Luego A y B son disjuntos (no necesariamente son vacíos) la proposición es falsa (F).
Conclusiones y respuesta
Conclusión: VFF
Respuesta: C) VFF
RESOLUCIÓN 4
TEMA: Funciones
Análisis de los datos o gráficos
I. f(r + s) = f(r) + f(s)
II. f(rs) = f(r).f(s)
III. f(1) = 1
2
f(x) = ax + bx + c ; x
Respuesta: B) 22 3
2
RESOLUCIÓN 6
TEMA: Logaritmación en
b
–
=2
2a
– b = 4a
Determinar la menor raíz de la ecuación dada.
! 4a + b = 0
Respuesta: C) 0
n
Pág. 10
Pág. 11
! P(3 3) = 22 3
2
g(x) = ax 2 + bx + d ; x
Como f y g son inyectivas:
Primera proposición:
• Verdadero
En efecto de (I) y (III) tenemos:
f(n) = n.(1)
f(n) = n.1
f(n) = n;
x=3 3
2a+c = 2a + 2c – 1
+
P(x) $ x 5 + (3 _ 3 3)x 4 _ 9 3x 3 + 5x + 7 3
Determinar el valor de 4a + b.
RESOLUCIÓN 3
TEMA: Función
2x + 2y ; x; y
Respuesta: B) VVF
2a+b+c = 2a+b + 2b+c – 2b
• Como: 2x+y
! Valor verdadero = VVF
4; 4i; 1; i
a + b + c = (a + b) + (b + c) – b = a + b + c (V)
II. Card(P(A
Tercera proposición:
* Falso
En efecto según la primera proposición esta
proposición no es verdadera, por ejemplo si
n = 1 # m = 2 se tendrá f(1) = 2
B) = Card(A) + Card(B) – Card(A
TEMA: Funciones
Determinar un valor numérico P(3 3)
Gráfico general:
p
1
1
=f p"
= f(p) " f
; p, q P.E.S.I
q
q
q
RESOLUCIÓN 5
(Log 2(2x)
2
Log 2
x
2
2
x
+ Log 2
4
2
=5
(1 + Log 2x)2 + (Log 2x _ 1)2 + (Log 2x _ 2)2 = 5
2
3(Log 2x) – 4(Log 2x) + 1
=0
(3Log 2x – 1)(Log 2x – 1)
=0
Log 2x =
1
% Log 2 x = 1
3
x=32 % x=2
II. Falso
Porcondición
condiciónB
Por
B= BT, luego supongamos A = –B2
A T = (– B 2)T = – (B 2)T = – (B T)2 = – B 2 = A
esto implica que A es simetrica.
III. Verdadero
Por condición Ck = 0, luego C R+1 = 0 .
I + C + C2 + ... + C k = (C
– I)(C – I)'1
= – I .(C – I)'1
! Menor raíz = x =
3
= – I . (C – I)'1
2
= –I . C–I
Respuesta: B)
3
2
'1
En caso los planos no sean paralelos, son secantes
Por lo tanto:
• El sistema I, corresponde a planos secantes
dos a dos que se intersectan en una recta ya
que el sistema presenta infinitas soluciones.
• El sistema II, las 2 últimas ecuaciones corresponden a planos paralelos.
• El sistema III, corresponde a 3 planos que se
intersectan en un punto, ya que el sistema
tiene una solución.
• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
sup. ab + bc + ac = x, se tiene:
a 2 + b 2 + c 2 = 1 – 2x
•
Por lo tanto:
RESOLUCIÓN 10
TEMA: Sucesiones
K=
RESOLUCIÓN 7
TEMA: Funciones
Así:
Para esbozar la gráfica de la función f es necesario conocer la regla de correspondencia, y como
ésta no se da en el problema no se puede determinar la gráfica de f.
Nota: Falta información
Respuesta: Falta información hace falta
conocer la regla de correspondencia
RESOLUCIÓN 8
TEMA: Matrices
Las propiedades I y III son verdaderas.
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b + c)
(ab + bc + ac) – 3abc
1 – 3x = a3 + b3 + c3
Respuesta: A) Solo I
0
Pues cada factor es no nulo, esto implica que:
I + C + C2 + ....+ Ck es inversible
a b c=0
a+b+c=1
1 – 2x 1 – 3x 1
–
=
2
3
6
Lím a k
k
Respuesta: B)
Respuesta: E) I y III
a k = k.Ln 1 +
RESOLUCIÓN 9
TEMA: Sistema de ecuaciones
1
k
RESOLUCIÓN 12
TEMA: Sistema de ecuaciones
Asociar el gráfico dado con algún sistema de
ecuaciones dados.
1
Lím a k = Lím k Ln 1 +
k
k
k
Ln Lím 1 &
El gráfico dado corresponde a tres planos secantes en una recta.
k
1
k
1
= Lím Ln 1 +
k
k
k
=
k
= Ln e = 1
Por lo tanto la sucesión a k converge a 1.
Determinar el valor de verdad de las proposiciones.
(ax + by + cz = d
Consideremos )
*mx + ny + pz = q
I. Verdadero
Por condición A = A2
Luego A1 = A, A2 = A, A3 = A2 . A =A .A=A,...
Por inducción se prueba Ak = A, K
Si a = b = c = d
m n p q
Respuesta: A) ak converge a 1
se trata de 2 planos coin-
cidentes.
Si a = b = c
m n p
RESOLUCIÓN 11
TEMA: Ecuaciones
Estudio del sistema A x = b
• A x = b (ecuación correspondiente a un sistema de ecuaciones)
• A: Matriz de n×n (matriz de coeficientes lineales)
• b: matriz de n×1 (matriz de términos independientes)
• x: Matriz de incógnitas de n×1
•
En caso A 0, el sistema presenta una solución, esto implica que su conjunto solución S
es unitario.
•
En caso A = 0, el sistema puede presentar
infinitas soluciones o bien no admite solución.
d
q
se trata de 2 planos paralelos.
Pág. 12
1
6
K=
a 2 + b 2 + c 2 a 3 + b3 + c 3
–
2
3
Pág. 13
Por lo tanto, si A 0 (lo que equivale decir, A es
inversible) el conjunto solución S es finito.
(i) t K +1 = CK20 3a 2x 3
K
Respuesta: D) Si A es inversible, entonces S
es finito
20 – K
ay 4
K
Calcule la suma de cifras A.
0,1, 2..., 20
(ii) De coef t1 = Coef t 21
El número mínimo de jugadores que compraron
26 boletos cada uno.
(iii)
20
t18 = C17
2 3
3a x
ay
4
17
380
= 19 x 9 y 68
3
Luego:
x = 5481
Respuesta: C) 5481
RESOLUCIÓN 14
TEMA: Potencia de un polinomio
Coeficiente de T18
A es un número de cuatro cifras
A multiplicado por 999 termina en 5352
20
Coef t1 = coef t 21
a
o
2
3
4
3
3
2
N = 2 - 5 - 7 - 32
Suma de cifras de N es 18.
abcd - 1000 – 1 =...5352
Respuesta: E) 18
Respuesta: E) 380
3 19
RESOLUCIÓN 18
TEMA: Racionales
RESOLUCIÓN 15
TEMA: Numeración
Del total de números de 4 cifras de base 8, restaremos el total de números de 4 cifras que no
utilizan la cifra 3, quedando las que utilizan el 3.
* Total de números de 4 cifras en base 8:
a: 1, 2, 3, ...; 7 (7 valores)
a bcd8
b: 0, 1, 2, ...; 7 (8 valores)
,,,,
c: 0, 1, 2, ...; 7 (8 valores)
Total = 7-8-8-8
= 3584
d: 0, 1, 2, ...; 7 (8 valores)
Sin utilizar cifra 3:
Total = 6 - 7 - 7 - 7= 2058
d=8
c=4
b=6
a=2
A = 2648
!Suma de cifra A es: 2 + 6 + 4 + 8 = 20
Luego, quedan:
Total: 3584 – 2058 = 1526
Determinar el valor de a.
E = 0, 3a + 0, 33a + 0,333a
Respuesta: C) 20
debe ser lo más próximo a 1,0740
RESOLUCIÓN 17
TEMA: Clasificación Z+
Calcule la suma de cifras del mayor N.
• La descomposición canónica de N en factores primos de una cifra.
•
La CD N = 54
40
•
a+u+r<9
Es dado 3a 2x 3 + ay 4
(a – 2) (u + 1) (r + 1) = 18
N = 882 000
abcd - 999 = ...5352
x = cantidad de números de 4 cifras en base 8
que contienen 3.
Total de boletos
N
= (a – 2)(u + 1)(r + 1) - 3 = 54
40
CD
380
Por lo tanto Coef t18 = 19
3
Sea el número de jugadores: x
Para que x sea mínimo, cada jugador compra 26
boletos diferentes y diferentes entre cada jugador.
Total de boletos: 26x
Como se escoge 5 números de 30
3
N
= 2a – 3 - 5 2 - 7u - 3r (D.C.)
40
;
+ 3 20 a 40 = a 20 + a = 3 –1
RESOLUCIÓN 13
TEMA: Análisis combinatorio
RESOLUCIÓN 16
TEMA: Cuatro Operaciones
Se define:
0, 3a + 0, 33a + 0, 333a 1, 0740
3a – 3 33a – 33 333a – 333
+
+
90
900
9000
8667 + 11a
9000
a
1, 0740
1, 0740
9
! El máximo valor de a = 9
De la descomposición:
Respuesta: D) 1526
Pág. 14
N = 2a - 5 3 - m u - 3r
m = 7 (primo de una cifra)
Pág. 15
Respuesta: E) 9
RESOLUCIÓN 19
TEMA: Potenciación - Radicación
II. MA(n) × MH(n) = a1a2...an; n
1.
Es igual a la proposición (I), elevado al exponente n.
(F)
S: suma de dos números cuyas raíces cúbicas son
consecutivas y sus residuos son máximos.
2
RESOLUCIÓN 22
TEMA: Resolución de triángulos
0 1 – i x + yi = x + yi – xi + y = x + y + y – x i
0 1 – i x + yi =
a1 + a 2
III. MA(2) – MG(2) =
4(MA(2) + MG(2))
= x +y – y – x i
+,
= 2 x+y
Multiplicando:
Sean los números A y B y sus raíces cúbicas:
kyk+1
Residuo máximo con A = 3k(k + 1)
Residuo máximo con B = 3(k + 1)(k + 2)
a1 – a 2
2
2
– (MG(2))2 = a1 + a 2
= a1 + a 2
2
2
2 x + y + 2=0
! x + y +1= 0
(F)
A = k 3 + 3k(k + 1) = (k + 1)3 – 1
3
4 MA(2)
3
B = (k + 1) + 3(k + 1)(k + 2) = (k + 2) – 1
Luego: FFF
Respuesta: E) FFF
•
CotA + CotB + CotC = Cot
Respuesta: B) x + y + 1 = 0
... (I)
Dato: 3(k + 2)(k + 1) – 3(k + 1)k = 54
k=8
Luego: A = 93 – 1 = 728
RESOLUCIÓN 21
TEMA: Ángulos múltiples
B = 10 3 – 1 = 999
•
CosA =
323
323
/ CotA =
325
36
•
CosB =
5
5
/ CotB =
13
12
•
CosC = –
Por lo tanto: A + B = 1727
E = 25Sen5. Sen10. Sen50. Sen70. Sen85. Sen110. Sen130.
Cos5.
Sen70.
7
7
/ CotC = –
25
24
Sen150.
Reemplazando en (I):
Respuesta: C) 1727
323
5
7
+
–
= Cot
36
12 24
Sen2 = 2Sen Cos
RESOLUCIÓN 20
TEMA: Promedios
Sen3 = 4Sen Sen 60 –
Determinar si es verdadero (V) o falso (F) cada
proposición.
0,
;n
1
MA(n): media aritmética
MG(n): media geométrica
MH(n): media armónica
I.
E = 24.2Sen5. Cos5. Sen10. Sen50. Sen70. Sen50. Sen70.
E = 4Sen10. Sen50. Sen70. 4Sen10. Sen50. Sen70.
Sea a1, a 2, a 3,..., a n
60 +
solo se cumMG(n) = n MA(n) - MH(n) ; n
ple para: n = 2 o a1 = a2 = a3 = ... = an en
los demás casos no cumple. (F)
E = Sen30. Sen30.
Cot =
625
72
Tan =
72
m
=
655
n
m y n son PESI
m + n = 727
RESOLUCIÓN 23
TEMA: Números complejos
Respuesta: A)
1
4
Pág. 16
1– i z + 1– i z + 2= 0
Pág. 17
3
f x = 17 ArcSec x –
2
x–
3
1
2
5
x
2
1
2
x–
x
3
2
1
2
–1
5
;+
2
Respuesta: B)
Respuesta: A) 727
1
4
TEMA: Función inversa
pf : – ;
E=
RESOLUCIÓN 24
RESOLUCIÓN 25
TEMA: Longitud de Arco
– ;
1
2
5
;+
2
RESOLUCIÓN 28
D = dA + dB + 6 ... (I)
2S = |20 + 3y – x – (–3 + 4x + 5y)| =
TEMA: Funciones trigonométricas
2S = |15 + x| = 14
nv 1
d
2 r
d A 1 2n(2 .1) 1 4 n ...(II)
• 15 + x = –14 / x = –29 # y = 91
Reemplazando (II) y (III) en (I):
D = 22 n & 6
x
2
f(x) = sen
• x > –2
! x + y = –1 + 7 = 6
T=4
g(x) = sen 2x
T=
Respuesta: C) 6
dB 1 n(2 . 9) 1 18 n ...(III)
• 15 + x = 14 / x = – 1 # y = 7
RESOLUCIÓN 27
TEMA: Circunferencia trigonométrica
b x
x2
= / y=
...(1)
x
y
b
y
x
=
/ y2 = 8bx...(2)
y 8b
Respuesta: E) 22 n & 6
(1) en (2):
RESOLUCIÓN 26
x2
b
2
= 8bx
TEMA: Geometría analítica
! x = 2b
Respuesta: A) 2b
f(x) g(x)
sen
x
x
2
2
3
;2
2
;
Respuesta: B) f(x)
y
Sen2
=
1 1 + Cos2
RESOLUCIÓN 29
TEMA: Semejanza
Calcule: MN = x
Respuesta: D) Sec2 + 1
Pág. 18
Pág. 19
RESOLUCIÓN 30
TEMA: Triángulos
sen(2x)
DE = x
g(x)
AB = 7, BC = 24
además: AC = 25
Identificamos los triángulos isósceles BAE y BCD
donde AB = AE = 7 y BC = CD = 24.
! Sx =9 3
Del gráfico:
AD = 1 / AE = 1 + x = 7
!x 1 6
RESOLUCIÓN 33
TEMA: Semejanza
RESOLUCIÓN 34
TEMA: Poligonos regulares
Calcule: R
R
=?
r
Respuesta: B) 9 3
RESOLUCIÓN 32
TEMA: Semejanza
BC = 1, AD = 3 y CH = 1
Piden: BD = x
BC // AD
Respuesta: C) 6
ABCD: Trapecio Isósceles
AT = HD = 1
RESOLUCIÓN 31
TEMA: Área de Regiones Planas
Calcule: A
AMB
= Sx
r=6
mAM = mMB = 60°
Aplicando el teorema de la bisectriz:
CHD: CD = 2
AE 4
=
EC 6
AHC: AC = 5
Teorema del Producto de 2 lados
/ AE = 2k y EC = 3k
2
BDE: Isósceles
BD = DE = x
Reconocemos que el triángulo AOB es triángulo elemental del octógono regular (circunradio = R + r)
5 = (1)(2R)
Puesto que: AB = L 8
tenemos que: AB = OA 2 – 2
2r = R + r
2r
2– 2
=R+r
2– 2
R=
2r
–r
2– 2
MB : L6 / MB = r = 6
Como mAM = mMB
/ AM = MB = 6
DAE
BAC
x 2k
=
6 5k
AMBC: Inscrito
m AMB = 120
x = 2, 4
Sx = (6)(6) Sen120
2
R
=
r
5
!R =
2
2
–1
2– 2
2
Respuesta: B)
Respuesta: D) 2,4
Pág. 20
Pág. 21
5
2
Respuesta: B)
2' 2
'1
RESOLUCIÓN 35
RESOLUCIÓN 36
TEMA: Geometría del Espacio
TEMA: Áreas
Vcono = Vcilíndro
Calcule la medida del diedro PR = x.
Área de la región sombreada = Sx
En el trapecio EBCF
3k + 4k 7k
=
2
2
En el trapecio ANMD
MN =
16 =
de donde k = 4
Del gráfico por segmentos circulares congruentes.
R: Punto medio de HG .
7k
. 2m
2
m + 2m
5k . m +
BE = 3(4) = 12
Respuesta: C) 12
1
20 2 . 40 = 40 2 . h
3
!h =
10
3
RESOLUCIÓN 39
TEMA: Esfera - Teorema de Pappus
10
Respuesta: B)
3
Calcule:
A sup . esférica
A
ABC
RESOLUCIÓN 38
TEMA: Tronco de prisma
TL = LG = a
ET = TG = TH = FT = 2a
Sx =
=
1
2 VSG
2
AE = EH = OT = 2 2 a
OTL: Tanx =
ABC
Piden: Menor arista: BE = 3K
AB = ( 2)
2
ETH: EH = 2a 2
VSG
AD // G1G 2 // MN
Sx = 2
2a 2
a
Por teorema de Pappus:
Respuesta: D) 2
Tanx = 2 2
2
RESOLUCIÓN 37
! x = arctan(2 2 )
TEMA: Sólidos geométricos
/ h=R
A sup . esférica
Respuesta: C) ( 2 2 )
0+h+0
2R . h
1 4
.
R3
= .
3
2
2 3
A
Calcule: h
Pág. 22
Pág. 23
ABC
=
4 R2
R
=4
h
2R h
2
!
A sup . esférica
A
=4
a=3
A SL = 2a 2 3
A SL = 2(3)2 3
ABC
Respuesta: C) 4
RESOLUCIÓN 40
TEMA: Poliedros regulares
Piden: A SL
= A SL
octaedro regular
2p del desarrollo = 30
10a = 30
! A SL = 18 3
Respuesta: C) 18 3
Pág. 24

Academia Pámer

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