Grafos parte 2
Transcripción
Grafos parte 2
CAMINOS Y CIRCUITOS En un grafo se puede recorrer la información de diferentes maneras para llegar de un punto a otro. Camino cualquier secuencia de nodos en la que cada par son adyacentes. Circuito (Ciclo) Es un camino del vértice w al vértice w, esto es, un camino que regresa al mismo vértice de donde salió. Circuito simple de longitud n Es aquel camino del vértice w al vértice w que solamente tiene un ciclo en la ruta que sigue Camino simple de longitud n Es una sucesión de aristas que van de un vértice x a un vértice w, en donde las aristas que componen dicho camino son distintos e iguales a n, Esto significa que no se puede pasar dos veces por una misma arista. h Ejemplo: Dado el grafo a c b Recorrido Camino g Camino simple de longitud n e d Circuito {a,b,c,e,d,f} {a,h,a,b,c} {c,e,e,d,c,b} {d,e,g,e,e,d} {e,e} {h,a,b,c,a,h} {c,d,e,c} {a,b,c,d,e,c} {a,h,a} {b,a,c,d,f} f Circuito simple de longitud n L=5 L=5 L=3 L=4 L=1 L=3 L=2 CAMINO DE EULER Es aquel camino que recorre todos los vértices pasando por todos los arcos solamente una vez b a c d h e f g Caminos de Euler: {a,b,e,d,c,f,g,d,h,h,i,g} {g,i,h,h,d,g,f,c,d,e,b,a} i Un camino de Euler siempre inicia y termina en un vértice de grado impar. Si un grafo tiene mas de dos vértices de grado impar no puede tener caminos de Euler. CIRCUITO DE EULER Es aquel ciclo que recorre todos los vértices pasando por todos los lados solamente una vez. Un grafo tiene un camino Euleriano pero no un circuito Euler si y solo si tiene exactamente 2 vértices de grado impar. Un multigrafo conexo tiene un circuito Euleriano si y solo si cada vértice tiene grado par. Algoritmo de Fleury para un circuito de Euler 1. Verificar que es conexo con todos los vértices par 2. Seleccionar un vértice arbitrario 3. Seleccionar una arista a partir del vértice actual que no sea puente ( es decir que no desconecte el grafo), a menos que no haya otra alternativa 4. Desconectar los vértices que están unidos por la arista seleccionada 5. Si todos los vértices ya están desconectados, ya se tiene el circuito de Euler. De otra forma continuar con el paso 3 a Ejemplo de Circuito de Euler c Iniciamos el recorrido en el nodo a y d podemos seleccionar la arista (a,b) o (a,c) ya que no son puentes, consideremos (a,b) a b d b e a b f c d Ahora podemos tomar (b,c), (b,d) o (b,e), seleccionamos (b,c) e d a Circuito (a,b,c) c e f Desconectamos la arista a b f Desconectamos la arista Circuito (a,b) c e f b d c e f a Del vértice actual c se puede seleccionar (c,e) o (c,f) y no (c,a) ya que se desconectaría el grafo, b así seleccionamos (c,e) d Eliminando la arista se tiene e d a Circuito (a,b,c,e) c e f Circuito (a,b,c,e,d) d b c d e f Ahora solo quedan lados puente por lo que habrá que seleccionarlos a a b f Seleccionamos (e,d) a b c b c e (a,b,c,d,e,d,b) f d a c e b f d c e Circuito de Euler (a,b,c,e,d,b,e,f,c,a) f CIRCUITO HAMILTONIANO Se trata de un problema similar al del circuito de Euler, con la diferencia que en lugar de pasar por todos los lados del grafo solamente una vez, en el circuito de Hamilton se pasa por cada vértice solamente una vez. a a b e c f d g h i b e c j f d g h i Circuito de Hamilton {a,b,h,g,e,j,i,f,d,c,a} j Multigrafo: es un grafo con varias aristas entre dos vértices. Un grafo es conexo: Si para cada par de vértices existe un camino que los conecta, en caso contrario diremos que es desconexo. Todo grafo con un punto de corte no es hamiltoniano. Si un multigrafo es euleriano, todo vértice de G tiene grado par. Si un multigrafo G tiene un camino euleriano no cerrado, entonces G tiene exactamente dos vértices con grado impar. Si todos los vértices de un multigrafo conexo tienen grado par entonces dicho multigrafo es euleriano. Si un multigrafo conexo tiene exactamente dos vértices con grado impar, entonces, admite un camino euleriano no cerrado. Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto ISOMORFISMO Se dice que dos grafos G1 y G2 son isomorfos cuando teniendo apariencia diferente son iguales, porque coinciden en: El número de aristas El número de vértices El conjunto de grados Ser o no conexos El número de circuitos de longitud n Tener o no circuito de Euler EJEMPLO: DETERMINAR SI LOS GRAFOS G1 Y G2 SON ISOMORFOS Aplicando una función biyectiva a cada vértice de G se mapea en G y una función biyectiva a cada vértice de G se mapea en G . b 2 a d c f Isomorfos c f e 1 3 e a 5 6 d 4 b TABLA COMPARATIVA DE G1 Y G2 Propiedad G1 G2 Observación Número de vértices 6 6 Número de aristas 10 10 Grados 2,4,4,4,4,2 4,2,2,4,4,4 Coinciden en el mismo número de vértices y de grados 2 y 4. Conexo Si Si para cualquier par de vértices se puede encontrar un camino Camino de Euler No No Todos los vértices son de grado par Circuito de Euler Si Si Todos los vértices tienen grado par Circuitos de longitud n ( en este caso de longitud 3) 6 a,b,d,a b,e,c,b b,d,c,b b,d,e,b c,d,e,c c,e,f,c 6 1,3,5,1 1,6,4,1 1,4,5,1 1,5,6,1 2,4,6,2 4,5,6,4 En lugar de tener longitud 3, se puede ver cuántos circuitos tienen de longitud 4. Pero en cualquier caso deben de coincidir APLICACIONES:COLORACIÓN DE GRAFOS Sea G(V,A) un grafo y sea C un conjunto de colores. La coloración de los vértices V del grafo usando un color del conjunto C se encuentra dada por la función. f: V C tal que f(v1) ≠ f(v2) v1, v2 V adyacentes Esto significa que cada par de vértices adyacentes deberán estar iluminados con un color diferente En la coloración de grafos se busca usar la menor cantidad de colores posible NUMERO CROMÁTICO X(G) 1. 2. 3. Se llama número cromático del grafo G al número mínimo de colores con que se puede colorear un grafo, cuidando que los vértices adyacentes no tengan el mismo color. Pasos para colorear un grafo: Seleccionar el vértice v de mayor grado e iluminarlo con cualquier color del conjunto C Colorear los vértices adyacentes al vértice v verificando que no existan vértices adyacentes del mismo color. En caso de ser necesario intercambiar colores. Si ya están coloreados todos los vértices, terminamos, en caso contrario continuar con el paso 3 Seleccionar el vértice v de mayor grado que ya este coloreado y que todavía tenga vértices adyacentes sin colorear. Regresar al paso 2 CARACTERÍSTICAS DEL NÚMERO CROMÁTICO 5. En general la mayoría de los grafos tienen un X(G)≤n porque se entiende que no están relacionados todos los vértices entre sí. 6. Los grafos bipartitos o bipartitos completos (Kn,m) tienen un número cromático X(G) = 2 c d e b a b Grafo bipartito 7. Todos los árboles de cualquier orden tienen número cromático X(G)=2 o bien se dice que son 2-coloreable a f c e bipartito completo (K2,3) a b c e d f h X(G) = 2 i g j d k EJEMPLO: COLOREO DE GRAFOS Considere que se desea iluminar el siguiente grafo G y que se dispone para ello el conjunto C ={1,2,3,4,5} b a h f c b g e d g e a h f c d CARACTERÍSTICAS DEL NÚMERO CROMÁTICO El número cromático posee las siguientes siete características fundamentales: 1. Un grafo G tiene un X(G) =1 si y sólo si no tiene aristas a 2. El X(G) para un camino o un ciclo de longitud 2 es X(G)=2 ya que se podrán alternar los colores a b c a b X(G) = 2 3. Si el grafo G tiene un ciclo de longitud impar entonces X(G)≥3 b a c a b d c X(G) = 3 4. El número cromático del grafo completo Kn es X(Kn)=n, considerando que un grafo Kn todos los vértices son adyacentes entre sí. X(G) = 1 X(G) = 4 c a e d b X(K4) = 4 f g EJERCICIO Determinar si hay camino de Euler, circuito de euler, circuito hamiltoniano. Colorea el grafo. a b c d e