equilibrio donan

Escuela "José A. Balseiro" 2014
Modelado en Neurociencias
Mecanismos iónicos del potencial de membrana
Yimy Amarillo
Octubre 2014
Nota: Las expresiones matemáticas sombreadas son pistas (usualmente vistas en
transparencias anteriores) para entender la deducción propuesta en cada transparencia
Células Excitables
Neurona
Fibras musculares
Condrocitos
Osteocitos
Eritrocitos
Células epiteliales
La Neurona: Unidad Funcional del Sistema Nervioso
Propiedades intrínsecas
• Determinan las propiedades
electrofisiológicas de las neuronas
• Pueden ser moduladas por influencias
intrínsecas o extrínsecas
• Controlan la excitabilidad neuronal
• Promueven la actividad oscilatoria
Fundamentos del Transporte Iónico a Través de
Membranas Biológicas
Potencial de reposo de la membrana
• Distribución desigual de iones a ambos lados de la membrana
• Permeabilidad selectiva de la membrana
Intracelular
Extracelular
Difusión
Intracelular
Extracelular
Intracelular
Extracelular
Difusión
Difusión
Potencial
eléctrico
Potencial
eléctrico
Movimiento de Partículas e Iones en solución
• Ley de Fick
• Ley de Ohm (Kohlrausch)
• Relación entre difusión y movilidad de
Einstein
• Principio de neutralidad de cargas
Movimiento de partículas en solución
1a ley de Fick
Difusión de partículas (moléculas)
J diff = − D
∂[C ]
∂x
Jdiff = flujo de difusión (moléculas/sec-cm2)
D = coeficiente de difusión (cm2/sec)
[C] = concentración del soluto (moléculas/cm3)
x = posición
Movimiento de partículas cargadas (iones) en solución bajo la influencia de un
campo eléctrico
Ley de Ohm (Kohlrausch)
J drift = ∂elE
J drift
∂V
= − µz[C ]
∂x
Jdrift = flujo de cargas (moléculas/sec-cm2)
∂el = conductividad eléctrica (moléculas/V-sec-cm)
E = campo eléctrico (V/cm) =
µ= movilidad (cm2/V-sec)
z = valencia del ión
∂V
∂x
Relación entre difusión y movilidad de Einstein (1905)
La fuerza friccional ejercida por el medio fluido es la misma para difusión de
moléculas neutras que para moléculas cargadas eléctricamente en condiciones
de equilibrio térmico
kT
D=
µ
q
k = constante de Boltzmann (1,38 X 10-23 joules/°K)
T = temperatura absoluta (°K)
q = carga de la molécula (C)
Principio de neutralidad de cargas
En un volumen dado, la carga catiónica total es aproximadamente igual a la
carga aniónica total.
[ ]
C
A
[
]
z
e
C
=
z
∑ i i ∑ j e Cj
i
j
En los sistemas biológicos se cumple siempre con la notable excepción del interior
de la membrana debido a la separación de carga, sin embargo, la fracción de iones
no compensados que se requieren para producir una diferencia de potencial
significativa es mínima por lo tanto el principio no es violado.
Ejemplo:
Calcular la fracción de iones no compensados a cada lado de la membrana que
se requieren para producir una diferencia de potencial de 100 mV en una célula
esférica de 25 µm de radio. Las concentraciones de iones en el interior y exterior
de la célula es de 0.5 M.
[C ]int = [C ]ext = 0.5M
r= 25 µm
Ejemplo:
Calcular la fracción de iones no compensados a cada lado de la membrana que
se requieren para producir una diferencia de potencial de 100 mV en una célula
esférica de 25 µm de radio. Las concentraciones de iones en el interior y exterior
de la célula es de 0.5 M.
r= 25 µm
A = 4πr 2
3
Vol = πr 3
4
Área = 7,85 x 10-5 cm2
Volumen = 6.5 x 10-8 cm3
Ejemplo:
Calcular la fracción de iones no compensados a cada lado de la membrana que
se requieren para producir una diferencia de potencial de 100 mV en una célula
esférica de 25 µm de radio. Las concentraciones de iones en el interior y exterior
de la célula es de 0.5 M.
Área = 7,85 x 10-5 cm2
Volumen = 6.5 x 10-8 cm3
Capacitancia típica = 1µF/cm2
(se necesitan 10-6 culombios
no compensados a
r= 25 µm
cada lado de la membrana
para producir 1 V a través de
1cm2 de membrana)
q (1cm 2 )
e = 1.6 x 10-19 C
n=
e
Se requieren 6.5 x 1011 iones para
cargar 1 cm2 de membrana a 100
mV
Se requieren 4.7 x 107 iones
no compensados
Ejemplo:
Calcular la fracción de iones no compensados a cada lado de la membrana que
se requieren para producir una diferencia de potencial de 100 mV en una célula
esférica de 25 µm de radio. Las concentraciones de iones en el interior y exterior
de la célula es de 0.5 M.
r= 25 µm
Área = 7,85 x 10-5 cm2
Volumen = 6.5 x 10-8 cm3
Se requieren 6.5 x 1011 iones para
cargar 1 cm2 de membrana a 100
mV
Se requieren 4.7 x 107 iones
no compensados
[C ]int = [C ]ext = 0.5M
El numero total de iones en la célula
es 2 x 1013
Ejemplo:
Calcular la fracción de iones no compensados a cada lado de la membrana que
se requieren para producir una diferencia de potencial de 100 mV en una célula
esférica de 25 µm de radio. Las concentraciones de iones en el interior y exterior
de la célula es de 0.5 M.
r= 25 µm
Área = 7,85 x 10-5 cm2
Volumen = 6.5 x 10-8 cm3
Se requieren 6.5 x 1011 iones para
cargar 1 cm2 de membrana a 100
mV
Se requieren 4.7 x 107 iones
no compensados
El numero total de iones en la célula
es 2 x 1013
La fracción de iones no
compensados es 2.35 x 10-5 o
0.00235% !!!!!!!!
El movimiento de iones a lo largo de un gradiente de concentración cuando hay
influencia de un campo eléctrico es:
J = J drift + J diff
∂V
∂[C ]
= − µz[C ]
−D
∂x
∂x
Ohm
Usando la relación de Einstein:
D=
Fick
kT
µ
q

∂V µkT ∂[C ] 


[
]
J = − µz C
+

∂x
q ∂x 

Ecuación de Nernst-Planck (para flujo de iones)
Dividiendo por el número de Avogadro:

∂V µkT ∂[C ] 

J = − µz[C ]
+
∂
x
q
∂
x


J
− µz[C ] ∂V µkT ∂[C ]
J=
=
−
NA
N A ∂x N A q ∂x
∂V
RT ∂[C ] 

J = − uz[C ]
+u

∂x
F ∂x 

Ecuación de Nernst-Planck (forma molar)
k=
Donde
u=
µ
NA
(Movilidad molar)
R
NA
F = eN A
Como la corriente es el producto entre el flujo iónico y su carga, la ecuación de
Nernst-Planck para densidad de carga se obtiene multiplicando el flujo molar por
la carga molar total
∂V
RT ∂[C ] 

+u
J = − uz[C ]

∂
∂
x
F
x


∂V
∂[C ] 
 2
I = J ⋅ zF = − uz F [C ]
+ uzRT

∂x
∂x 

Ecuación de Nernst-Planck (para densidad de carga)
Donde J es el flujo molar y se expresa en mol/sec-cm2,
R es la constante de los gases (1.98 cal/˚K-mol)
F es la constante de Faraday (96480 C/mol)
u = µ/NA es movilidad molar (cm2/V-sec-mol)
I es la corriente (A/cm2)
La ecuación de Nernst-Plank provee una expresión de la corriente iónica en términos
de los gradientes de concentración y de potencial eléctrico.
Es importante saber las condiciones en las cuales la corriente iónica es cero (o sea
cuando la membrana está en reposo)
∂V
∂[C ] 
 2
[
]
+ uzRT
I = − uz F C
=0
∂x
∂x 

∂V − RT 1 ∂[C ]
=
→
∂x
zF [C ] ∂x
Cambiando variables
V2
∫
V1
RT [C ]2 d [C ]
dV = −
zF ∫[C ]1 [C ]
∫
x2
x1
dV
RT
dx = −
dx
zF
Por lo tanto
∫
x2
x1
d [C ]
dx
[C ]dx
RT [C ]2
ln
V2 − V1 = −
zF [C ]1
En el caso de membranas…
Si definimos el potencial de membrana
Vm = Vint − Vext
El potencial de membrana al cual la corriente neta aportada por el ion i es cero es:
Vm ( I i = 0) = Vint − Vext
RT [C ]ext
=
ln
= Ei
zF [C ]int
Ecuacion de Nernst
Donde Ei es el potencial de equilibrio para la especie ionica i
A 20 ˚C y para un catión de valencia = 1
[
C ]ext
Ei = 58mV log
[C ]int
A 37 ˚C
[
C ]ext
Ei = 62mV log
[C ]int
Potencial de equilibrio
Intracelular
Extracelular
Difusión
Potencial
eléctrico
RT [C ]ext
Ei =
ln
zF [C ]int
Ecuación de Nernst
𝐸𝐸𝑁𝑁𝑁𝑁 = 35.3 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐸𝐸𝐾𝐾 = −90.8 𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐸𝐸𝐶𝐶𝐶𝐶 = −90.8 𝑚𝑚𝑚𝑚
¿Cómo se mantiene el gradiente electroquímico?
¿Cómo se mantiene el gradiente electroquímico?
Transporte activo a través de membranas
• El transportador iónico mas importante en membranas biológicas
• intercambia 3 iones Na+ hacia afuera por 2 K+ hacia adentro (electrogénico)
• funciona mediante la hidrólisis de ATP
• es el principal responsable de la asimetría en la distribución del sodio y el potasio a
través de la membrana
• se puede bloquear con cianuro y ouabaina
¿Cómo se mantiene el gradiente electroquímico?
Transporte activo a través de membranas
• Se encuentra en la membrana plasmática y en el retículo endoplásmico
• requiere Mg++ como cofactor
• funciona mediante la hidrólisis de ATP
• bombea Ca++ hacia afuera de la célula y hacia el interior del retículo
• importante en la homeóstasis del Ca++ intracelular
¿Cómo se mantiene el gradiente electroquímico?
Transporte activo a través de membranas
• Intercambia 3 Na+ hacia adentro por 1 Ca++ hacia afuera
• usa la energía provista por el transporte de Na+ a favor del gradiente
• NO funciona mediante la hidrólisis de ATP
• la principal función es mantener bajo el Ca++ intracelular
¿Cómo se mantiene el gradiente electroquímico?
Transporte activo a través de membranas
• bombea Cl- y HCO3- fuera de la célula
• usa la energía provista por el transporte de Na+ a favor del gradiente
• NO funciona mediante la hidrólisis de ATP
• la principal función es mantener bajo el Cl- intracelular y elevar el pH intracelular
¿Cómo se mantiene el gradiente electroquímico?
Transporte activo a través de membranas
• Transporta neurotransmisores dentro de vesículas
• usa la energía provista por el transporte de Na+ a favor del gradiente
• NO funciona mediante la hidrólisis de ATP
¿Cómo se mantiene el gradiente electroquímico?
Distribución pasiva
Distribución pasiva
• Permeabilidad selectiva de la membrana
• NO transporte activo
1
m
−n
+m

 Aint
 Cext

 + m  =  −n 
 Aext 
 Cint 
1
n
Equilibrio de Donnan
Para una membrana exclusivamente permeable a K+ y Cl- :
[K ]
[K ]
+
ext
+
int
[
Cl ]
=
[Cl ]
−
int
−
ext
En la mayoría de células hay un exceso de aniones en el citoplasma que no son
Permeables (proteínas, SO4-2) y debido al principio de neutralidad:
∑ z e[C ] = ∑ z e[C ]
C
i
A
j
i
i
[K ] = [Cl ] + [A ]
+
−
int
−
int
int
[K ]
[K ]
+
Combinando con la regla de Donnan
+
int
−
y
2
ext
ext
[Cl ]
=
[Cl ]
+
int
−
ext
[ ] + [A ] [K ]
= [Cl ] + [A ] [Cl ]
= K+
2
+
−
ext
int
[K ]
[Cl ]
[K ]
y
+
−
2
int
ext
−
2
int
int
−
−
int
int
Entonces
[K ] > [K ]
+
+
int
ext
y
[Cl ]
−
ext
[ ]
> C−
int
j
[ ]
= Cl −
ext
j
Ejemplo:
En un sistema hipotético con dos compartimentos separados por una membrana
selectivamente permeable a K+ y Cl- pero impermeable a una especie aniónica A- y
carente de un sistema activo de transporte calcular, según las condiciones dadas,
en que dirección se mueve cada ion y cuales son las concentraciones finales en
equilibrio para cada ion en cada uno de los compartimentos
I
AK+
Cl-
100
150
50
II
0
150
150
I
AK+
Cl-
100
150
50
II
0
150
150
• cada compartimento esta en electroneutralidad
• Cl- no está en equilibrio electroquímico por lo tanto tiende a difundir de II a I
• Inicialmente 50 mM de Cl- tienden a moverse de II a I sin embargo se viola la
electroneutralidad
• Para satisfacer la electroneutralidad se deben mover iguales cantidades de Cl- y
K+ de II a I
I
AK+
Cl-
100
150
50
0
150
150
[K ] = [Cl ]
[K ] [Cl ]
−
+
Usando la regla de Donnan
II
II
I
−
+
II
I
Se puede calcular la cantidad de KCl (X) que se mueve
X = 30mM
I
AK+
Cl-
100
180
80
II
0
120
120
150 + X 150 − X
=
150 − X
50 + X
[K ]
[K ]
≠
[K ]
[K ]
=
[K ]
[K ]
≠
+
ext
+
int
[K ]
+
int
= 125mM
+
ext
+
[Cl ]
−
int
+
ext
+
int
........ = 1200
[Cl ]
[Cl ]
= 0.02
[Cl ]
[Cl ]
......... = 75
−
int
−
KCl + H2O in
ext
int
= 2.4mM
[Cl ]
[Cl ]
−
int
−
ECE
ext
−
int
−
ext
KCl + H2O out
ECl = −65mV
EK = −65mV
ECl = −63.5mV
EK = −98mV
Vm = E K = ECl = −98.5mV
ECl = −134mV
EK = −98mV
Hodgkin y Horowicz 1959 en
fibras musculares de rana
Int
(a)
Ext
A-
?
0
K+
125
2.5
Cl-
2.4
120
(d)
(b)
Int
Int
Ext
Ext
0
A-
?
125
2.5
K+
125
2.5
2.4
30
Cl-
0.6
30
A-
?
K+
Cl-
0
H2O
H2O
ECl = EK = −98mV
Int
A-
?
K+
ClH2O
Ext
Int
0
A-
?
125
10
K+
132
2.4
120
Cl-
9
Ext
H2O
ECl = EK = −65mV
0
10
120
Movimiento de iones a través de membranas biológicas
Permeabilidad
Permeabilidad (definida empíricamente)
J = − P∆[C ]
Ley de Fick
d [C ]
J = −D
dx
Asumiendo que [C] cae linealmente
respecto de x
d [C ] ∆[C ]β
=
dx
l
Donde β es el coeficiente de partición
agua/lípido para el ión i
e igualando
D = D*
Donde D* es el coeficiente de
difusión dentro de la membrana
entonces
J = −D
∆[C ]D * β
J =−
l
por lo tanto
J = − P∆[C ]
D*β
P=
l
Por la relación de Einstein entre difusión y movilidad
kT * u * RT
D =
µ =
q
F
*
entonces
P=
βu * RT
lF
d [C ]
dx
d [C ] ∆[C ]β
=
dx
l
Un modelo clásico del flujo de iones a través de la membrana plasmática
(modelo de Goldman-Hodgkin-Katz o de campo constante)
Asumimos:
• El movimiento de iones a través de la membrana obedece la ecuación de
Nernst-Plank
• Los iones se mueven a través de la membrana de forma independiente
(no interactúan)
• El campo eléctrico en la membrana es constante (el campo eléctrico decae
linealmente a través de la membrana)
dV
V
E=−
=−
dx
l
∂V
∂[C ] 

I = − uz 2 F [C ]
+ uzRT

∂
∂
x
x


Después de varias sustituciones e integrando
− zFV


2
RT
u * z FVβ  [C ]ext e
− [C ]int 
I=
− zFV


l
e RT − 1


 [C ]int − [C ]ext e −ξ
I = PzFξ 
−ξ
1
−
e

ya que:
P=
βu * RT
lF
Y definiendo



Ecuación GHK
para corriente
zVF
ξ=
RT
La ecuación de GHK predice que la corriente es una función no lineal del voltaje
excepto cuando la relación [C]ext/[C]int es 1
Si conocemos a cuales iones es permeable la membrana podemos calcular el
potencial de reposo de la célula igualando la corriente a cero
Para una célula permeable solo a K+, Na+ y Cl- tenemos:
 [C ]int − [C ]ext e −ξ
I = PzFξ 
1 − e −ξ

I = I K + I Na + I Cl
[
K ] − [K ]
= P zFξ
+
+
int
1 − e −ξ
K
+ PCl
−ξ
e
ext
+ PNa
[
Na ] − [Na ]
zFξ
+
−
int
1 − e −ξ
+
int
1 − e −ξ
[
Cl ] − [Cl ]
zFξ
−



−ξ
e
ext
−ξ
e
ext
Cuando la corriente es cero (en reposo)
I =0
zVF
ξ=
RT
[ ]
[ ]
RT PK K +
ln
V=
F
PK K +
[ ]
[ ]
+
+
P
Na
ext
Na
+
+
P
Na
int
Na
[ ]
[ ]
−
+
P
Cl
ext
int
Cl
−
+
P
Cl
int
ext
Cl
La “famosísima” ecuación GHK para voltaje en reposo
Ejemplo: potencial de reposo del axón gigante de calamar
La relación entre las permeabilidades: PK : PNa : PCl = 1 : 0,03 : 0,1
Las concentraciones son (en mM):
[K]
Intracelular
Extracelular
400
10
[Na] 50
460
[Cl]
540
40
[ ]
[ ]
RT PK K +
ln
V=
F
PK K +
Vrep = 58 log
[ ]
[ ]
+
+
P
Na
ext
Na
+
+
P
Na
int
Na
[ ]
[ ]
−
+
P
Cl
int
ext
Cl
−
int + PCl Cl ext
1(10) + 0,03(460) + 0,1(40)
= −70mV
1(400) + 0,03(50) + 0,1(540
Ejercicio:
Calcular la contribución de la bomba Na+-K+ al potencial de reposo
del axón gigante de calamar
Sea
Ii = corriente pasiva
Ip =corriente generada por la bomba
r = relación entre iones de Na+ y de K+ intercambiados por la bomba= 1,5
[K]
Intracelular
Extracelular
400
10
[Na] 50
460
[Cl]
540
40
Vrep = 58 log
[ ]
[ ]
RT PK K +
ln
V=
F
PK K +
[ ]
[ ]
+
+
P
Na
ext
Na
+
+
P
Na
int
Na
1(10) + 0,03(460) + 0,1(40)
= −70mV
1(400) + 0,03(50) + 0,1(540
[ ]
[ ]
−
+
P
Cl
int
ext
Cl
−
int + PCl Cl ext
Ejercicio:
Calcular la contribución de la bomba Na+-K+ al potencial de reposo
del axón gigante de calamar
Sea
Ii = corriente pasiva
Ip =corriente generada por la bomba
r = relación entre iones de Na+ y de K+ intercambiados por la bomba= 1,5
En reposo(estado estacionario):
Es decir
I total = I i + I p = 0
I Na + I NaP = 0
I K + I KP = 0
rI KP + I NaP = 0
o
rI K + I Na = 0
[ ]
[ ]
[
[
RT rPK K + ext + PNa Na +
V=
ln
F
rPK K + int + PNa Na +
P
rep
V
]
]
ext
int
1,5(1)(10) + 0,03(460)
= 58 log
= −76,6mV
1,5(1)(400) + 0,03(50)
Sin bomba
Vrep
(1)(10) + 0,03(460)
= 58 log
= −68,2mV
(1)(400) + 0,03(50)
Contribución de la bomba : -6.4 mV
Propiedades eléctricas de las
membranas excitables
Capacitancia
La membrana plasmática (celular) es un condensador
La capacitancia (C) es una medida de la cantidad de carga (Q) que es necesario
transferir de un conductor a otro para obtener una determinad diferencia de
potencial (V) entre ellos
Q
C=
V
Se mide en Faradios (F)
Un condensador de 1.0 F requiere que +1.0 culombio de carga se deposite en un
conductor y -1.0 en el otro para cargarse a 1 V.
1 culombio = 6,241 509 629 152 650×1018 cargas elementales
El paso de carga por un condensador ideal es simplemente la remoción de carga de
un conductor y la acumulación en el otro.
Derivando respecto al tiempo la ecuación anterior se obtiene la tasa de cambio del
potencial bajo una corriente C
dV I C
=
dt
C
en el caso de un condensador formado por dos placas paralelas como es el caso de
la membrana:
C=
εε 0 A
d
≅ 1µF / cm 2
Donde: ε = constante dieléctrica del aislante (los lípidos)
ε0 = polarizabilidad del espacio libre (8.85 x 1012 CV-1m-1)
A = área de los conductores (la superficie de la membrana)
d = ancho de la membrana = 23 Å
La alta capacitancia de la membrana enlentece la respuesta de voltaje a la
aplicación de corriente
dV I C
V
=
=−
dt
C
RC
La solución de esta ecuación diferencial lineal es:
V = V0 e
 t 
−

 RC 
= V0 e
 t
− 
 τ
→ τ m = RmCm
en membranas biológicas
dVm (Vm − Er )
I m = I C + I i = Cm
+
dt
Rm
dVm
= Cm
+ Gm (Vm − Er )
dt
Corriente iónica
Cuando un solo ion es responsable por Ii entonces reemplazamos Er por Ei
(potencial de equilibrio para el ion i)
por ejemplo:
I Na = g Na (Vm − E Na )
“Driving Force”
Cuando varios iones son responsables por Ii entonces reemplazamos Er por Vrev
(potencial de reversión de la corriente)
I x = g x (Vm − Vrev )
Vrev es el potencial al cual la corriente cambia de polaridad
Conductancia de membrana (Gm)
1
Gm =
Rm
para una membrana lineal (relación I/V lineal):
I
I i = Gm (Vm − Ei )
“Chord conductance”
Ii
Gm =
Vm − Ei
Ei
“Slope conductance”
Gm =
Chord conductance
dI i
dVm
=
Slope conductance
V
Para una membrana no lineal:
Consideremos primero que la corriente solo es función no lineal del voltaje
I i = F (V )
entonces
F (V )
(V − Er )
Chord conductance
=
Slope conductance
dI i
=
= F´(V )
dV
Cuando la corriente es función no lineal tanto del voltaje como del tiempo
I i = f (V , t )
Usualmente se analiza la corriente en los puntos marcados * e ∞ (antes y después
de que el proceso tiempo-dependiente ocurra)
Conductancia instantánea (a tiempo *)
I i* = f (V , t * )
Chord conductance instantánea
I i*
f (V , t * )
G =
=
V − Er V − Er
*
m
Slope conductance instantánea
dI i*
=
= f ´(V , t * )
dV
Conductancia en el estado estacionario (a tiempo ∞)
I i∞ = f (V , t = ∞)
Chord conductance en el estado estacionario
∞
I
f (V , ∞)
∞
i
Gm =
=
V − Er
V − Er
Slope conductance en el estado estacionario
dI i∞
=
= f ´(V , ∞)
dV
Conductancias iónicas
donde
I i = g i (V − Ei )
RT [C ]ext
Ei =
ln
zF [C ]int
aplicando lo visto hasta aquí
I i = f (V , Ei , t )
Para conductancias pasivas (que siguen el gradiente electroquímico)
I i = f (V , Ei , t ) = 0
I i = f (V , Ei , t )
>0
<0
Cuando
Cuando
V = Ei
> Ei
V
< Ei
o sea que para conductancias iónicas individuales, chord conductance es
siempre positiva y la corriente cruza el eje de voltaje (I=0) SOLO una vez.
Modelo de conductancias en paralelo
I = I C + I K + I Na + I Cl
dV
+ g K (V − EK ) + g Na (V − E Na ) + g Cl (V − ECl )
I =C
dt
y
dV
=0
dt
en reposo
I total = 0
entonces
g K EK + g Na E Na + g Cl ECl
V=
g K + g Na + g Cl
Propiedades no lineales de las membranas excitables
•Dependencia del voltaje
•Dependencia del tiempo
Rectificación
De entrada
De salida
Modelos de rectificación
Modelo del campo contante (GHK)
− zVF

z 2 F 2  [C ]int − [C ]ext e RT
V
I=P
− zVF
RT 
1 − e RT






Se asume:
• El movimiento de iones a través de la membrana obedece la ecuación de
Nernst-Plank
• Los iones se mueven a través de la membrana de forma independiente
(no interactúan)
• El campo eléctrico en la membrana es constante (el campo eléctrico decae
linealmente a través de la membrana)
El modelo GHK provee relaciones I/V que rectifican de acuerdo al gradiente
electroquímico
I
Para cationes:
[C]
[C]
[C ]ext
[C ]int
V
>1
I
[C]
[C]
[C ]ext
[C ]int
<1
V
Lo opuesto para aniones
Cuando esto no se cumple se habla de rectificación anómala y GHK no es aplicable
Modelo de barreras de energía (Eyring rate theory)
Abordaje termodinámico en el cual los coeficientes de transición en una reacción
química se describen en términos de barreras de energía que los reactantes deben
superar
En el caso de corrientes iónicas, se asume que cada ión que se mueve de un lado a
otro de la membrana debe superar barreras de energía. En el modelo más simple,
solo hay una barrera.
Según la ley de acción de masas para reacciones químicas:
J inward = k1β [C ]ext
J outward = k 2 β [C ]int
Donde k1 y k2 son coeficientes de cambio
y β es el coeficiente de partición
En equilibrio termodinámico los coeficientes k se relacionan con la energía libre
de activación estándar (ΔG0) mediante la constante de Boltzmann
R
k=
NA
k1 = Ae
k 2 = Ae
−
∆G0
RT
−
∆G0
RT
donde A es una constante característica
de la reacción y las energías libres
estándar son iguales en las dos
direcciones
Cuando se aplica un campo eléctrico a la membrana, la barrera de energía es
influenciada por un factor δzFV donde δ es un factor de asimetría que representa
la influencia fraccional de V sobre ∆G de manera que:
k1 ≠ k 2
entonces
k1 = Ae
−
k 2 = Ae
( ∆G0 + (1−δ ) zFV )
RT
−
( ∆G0 −δzFV )
RT
donde
k0 = Ae
−
∆G0
RT
= k0e
= k0e
−
δzFV
RT
(1−δ ) zFV
RT
La corriente neta a través de la membrana es:
I = zF ( J outward − J inward )
J inward = k1β [C ]ext
J outward = k 2 β [C ]int
k1 = k0 e
−
k 2 = k0e
reemplazando:
δzFV
(1−δ ) zFV
−


RT
RT
− [C ]ext e
I = zFβk0 [C ]int e



(1−δ ) zFV
RT
δzFV
RT
Cuando δ = 0 (la barrera en
el exterior de la membrana)
zFV
−


RT
I = zFβk0 [C ]int − [C ]ext e



Cuando δ = 1 (la barrera en
el interior de la membrana)
zδFV

I = zFβk0 [C ]int RT − [C ]ext 


δzFV
(1−δ ) zFV
−


RT
RT
− [C ]ext e
I = zFβk0 [C ]int e



El modelo de barreras de energía se puede usar para formular relaciones I/V con
rectificación hacia afuera o hacia adentro independientemente del potencial de
reversión de la corriente (a diferencia del modelo GHK)
[C]ext/[C]int variable, δ = 0,5 y K0 = 1
[C]ext fijo
[C]int variable
[C]ext variable
[C]int fijo
Ejemplo del uso del modelo de barreras de energía (un canal de sodio)
Hille 1975
Modelo de la compuerta (modelo de Hodgkin y Huxley)
• desarrollado para describir la no linealidad de la membrana tanto en voltaje como
en tiempo
• las corrientes iónicas fluyen a través de algún tipo de estructura especializada
(poros) con compuertas que están controladas por “partículas activadoras” (gating
charges or particles)
• el movimiento de las partículas activadoras se puede describir mediante el modelo
de barreras de energía
A diferencia del modelo de barreras de energía, en el modelo HH las barreras
de energía son para las partículas activadoras moviéndose en la membrana
en vez de para iones atravesando la membrana
Se asume:
• los poros en la membrana sufren cambios conformacionales (de abierto a
cerrado o viceversa) en respuesta a variaciones del campo eléctrico
(V )
β

→
abierto
cerrado

←
α (V )
donde α(V) y β(V) son
coeficientes de cambio
• la reacción entre los estados abierto y cerrado es de primer orden
Dependencia del voltaje
y = probabilidad de que la partícula esté en el estado permisivo
1-y = probabilidad de que la partícula esté en el estado NO permisivo
(Activación por despolarización o por hiperpolarización)
Al igual que para k1 y k2 en el modelo de barreras de energía:
α (V ) = Ae
( ∆G0 −δzFV )
−
RT
= α 0e
β (V ) = Ae
δzFV
( ∆G0 + (1−δ ) zFV )
−
RT
= β 0e
RT
(1−δ ) zFV
−
RT
k1 = k0 e
−
k 2 = k0e
(1−δ ) zFV
RT
δzFV
RT
Para cinética de primer orden la probabilidad de que la partícula esté en el estado
permisivo para el estado estacionario es:
y∞ =
por lo tanto
α (V )
=
y∞ (V ) =
α (V ) + β (V )
=
1
1+ e
zFV
−
RT
α
ver después
α +β
α 0e
α 0e
δzFV
RT
si
Esta es la función de activación del canal
δzFV
RT
+ β 0e
(1−δ ) zFV
−
RT
α 0 = β0
=
α0
α 0 + β 0e
−
zFV
RT
Voltaje dependencia de α, β y y∞
Canal activado por despolarización
Canal activado por hiperpolarización
Dependencia del tiempo
El modelo de la compuerta asume una reacción de primer orden entre los estados
abierto y cerrado
β

→
a
b
←

α
y
(1 − y )
entonces
dy
= α (1 − y ) − βy
dt
en el estado estacionario
dy
= 0 = α (1 − y∞ ) − βy∞
dt
por lo tanto
y∞ =
α
α +β
Re-arreglando y substituyendo
y∞ =
α
α +β
dy
= α (1 − y ) − βy = α − (α + β ) y = y∞ (α + β ) − (α + β ) y
dt
dy
= (α + β )( y∞ − y )
dt
por lo tanto
dy (−1)
∫ y∞ − y = (−1)∫ (α + β )dt → ln( y∞ − y) = −(α + β )t + C
y
y = y∞ − Ae − (α + β )t
Aplicando la condición límite
y0 = y (t = 0)
y = y∞ − Ae − (α + β )t
Entonces:
y0 = y∞ − A ⋅ 1 → A = y∞ − y0
por lo tanto:
[
y (t ) = y∞ − ( y∞ − y0 )e − (α + β )t
]
o
[
(
y (t ) = y0 + ( y∞ − y 0 ) 1 − e − (α + β )t
)]
Si hay un número P de partículas independientes que controlan el paso de
iones a través del canal entonces:
Y (t ) = [ y (t )]
P
Ejemplo
Voltage-clamp
Ejemplo:
La corriente de membrana de una neurona sujeta a un pulso de voltaje controlado
(voltage-clamp) resulta de una corriente de fuga (leak) y una corriente voltaje y
tiempo dependiente (I(V,t)) que sigue una cinética de primer orden
_
I y (V , t ) = I y (V ) y (V , t )
dy
= ( y∞ (V ) − y (V , t ) / τ y
dt
y (V , t ) =
y∞ (V ) =
τy =
_
I y (V ) =
variable de activación
valor en estado estacionario de y(V,t)
constante de tiempo de y(V,t)
corriente máxima
(completamente activada)
a. ¿Es la corriente voltaje y tiempo dependiente activada por
despolarización o por hiperpolarización?
b. ¿Es de entrada (inward) o de salida (outward)?
c. ¿Cuál es el valor aproximado de τ?
d. ¿Cuál es la amplitud de la corriente leak?
e. ¿Cuál es la amplitud de la corriente máximamente activada?
f. ¿Cuál es el valor de la corriente I(V,t) si el pulso fuera a -40 mV?
Potencial de acción
Ecuaciones de Hodgkin-Huxley
Alan Hodgkin
Andrew Huxley
Premio Nóbel 1963 en fisiología y medicina.
calamar – axón gigante: 0.5 mm
bloqueadores de
canales de K+
bloqueadores de canales de Na+
¿Para qué voltage-clamp?
1. Dado que
dV
I =C
+ Ii ,
dt
manteniendo el voltaje constate se
elimina la corriente capacitiva y se puede medir directamente la corriente
iónica
2. Al mantener el voltaje constante se puede medir la dependencia del
tiempo de las conductancias sin la influencia de parámetros
dependientes de voltaje
3. En el caso del axón gigante de calamar al insertar 2 alambres a todo lo
largo de la preparación, esta es isopotencial en todos los puntos (spaceclamped)
Corriente medida con voltage-clamp en axón gigante de calamar
Componente transitorio temprano y un componente estacionario tardío
Separación de las corrientes de Na+ y K+
Determinación de las conductancias (gNa, gK)
¿Se relacionan las corrientes iónicas con las conductancia mediante la ley de Ohm?
I i = g i (V − Ei )
Para V1
I Na1 (V1 , t1 ) = g Na (V1 , t1 )(V1 − E Na )
Para V2
I Na 2 (V2 , t1 ) = g Na (V2 , t1 )(V2 − E Na )
*
*
El paso de V1 a A2 es “instantáneo”
Por lo tanto
g Na (V1 , t1 ) = g Na (V2 , t1 )
*
Relación I/V instantánea (INa)
I Na 2 − I Na1 = g Na (V1 , t1 )(V2 − V1 )
La ley de Ohm predice que la relacion (I2-I1) versus (V2-V1) es lineal, lo cual es
cierto en el axón gigante del calamar (I1 y V1 son constantes)
Interceptos entre INa1 e INa2
I Na1 (V ) = I Na 2 (V , V1 , t1 )
Sólo si
V = V1
o
V = E Na
Relación I/V instantánea (IK)
I Na (V , t )
g Na (V , t ) =
(V − E Na )
I K (V , t )
g K (V , t ) =
(V − EK )
dV
Im = C
+ I K + I Na + I L
dt
Im = C
dV
+ g K (V , t )(V − E K ) + g Na (V , t )(V − E Na ) + g L (V − EL )
dt
gK y gNa son controladas por “gating particles”
g K (V , t ) = YK (V , t ) g K
g Na (V , t ) = YNa (V , t ) g Na
g Na
y
gK
Conductancias máximas
De las mediciones hechas de gNa y gK, HH encontraron que YNa y YK no siguen
exponenciales simples y propusieron:
g K (V , t ) = YK (V , t ) g K = n 4 g K
g Na (V , t ) = YNa (V , t ) g Na = m 3 hg Na
Donde n, m y h son variables de activación (n y m) e inactivación (h) (gating)
activación por despolarización (m y n)
activación por hiperpolarización (inactivación por despolarización) (h)
Recordando la cinética de y(t)
dy
= α (1 − y ) − βy
dt
y∞ =
α
α +β
entonces
αn
dn
= α n (1 − n) − β n n
dt
n∞ =
αn + βn
1
τn =
αn + βn
dm
= α m (1 − m) − β m m
dt
αm
m∞ =
αm + βm
1
τm =
αm + βm
dh
= α h (1 − h) − β h m
dt
h∞ =
αh
αh + βh
1
τh =
αh + βh
Recordando el modelo de gating
[
(
y (t ) = y0 + ( y∞ − y 0 ) 1 − e − (α + β )t
)]
sus soluciones son:
−t



τ
n(t ) = n0 + (n∞ −n 0 )1 − e n 





−t


m(t ) = m0 + (m∞ −m 0 )1 − eτ m



−t



τ
h(t ) = h0 + (h∞ −h 0 )1 − e h 





h0 > h∞
mientras que




o
−t


τh
h(t ) = h∞ + (h∞ −h 0 )e 


m∞ > h0
y
n∞ > n0
El modelo también provee una descripción cuantitativa del la dependencia de
voltaje de las conductancias
α n (V ) = α n0 e
γzFV
RT
(1−γ ) zFV
−
0
RT
n
β n (V ) = β e
α m (V ) = α m0 e
β m (V ) = β m0 e
−
β h (V ) = β e
0
h
−
RT
(1−γ ) zFV
RT
α h (V ) = α e
0
h
γzFV
γzFV
RT
(1−γ ) zFV
RT
α n (V )
n∞ (V ) =
α n (V ) + β n (V )
τ n (V ) =
1
α n (V ) + β n (V )
m∞ (V ) =
α m (V )
α m (V ) + β m (V )
τ m (V ) =
1
α m (V ) + β m (V )
α h (V )
h∞ (V ) =
α h (V ) + β h (V )
τ h (V ) =
1
α h (V ) + β h (V )
HH midieron
τ n ,τ m,τ h , n∞ , m∞
αn =
βn =
n∞
τn
(1 − n∞ )
τn
y
h∞
αm =
βm =
y calcularon los αs y βs con estas relaciones
m∞
τm
(1 − m∞ )
τm
αh =
βh =
h∞
τh
(1 − h∞ )
τh
Luego HH graficaron los valores de α y β versus voltaje y las ajustaron (“fitearon”) a
ecuaciones empíricas
0.01(− V + 10 )
α n (V ) =
 −V10+10 
e
− 1



α m (V ) = 0.1
(− V + 25)
 −V10+ 25 
e
− 1



α h (V ) = 0.07e
−V
20
β n (V ) = 0.125e
β m (V ) = 4e
β h (V ) =
−V
80
−V
18
1
 −V10+30 

e
1
+




El potencial de acción es debido a un
cambio abrupto en la permeabilidad de la membrana
Potencial de acción en el axón gigante de calamar
dV
Im = C
+ g K n 4 (V − E K ) + g Na m 3 h(V − E Na ) + g L (V − EL )
dt
Hodgkin and Huxley 1952