Las Matemáticas Chinas - Universidad

Transcripción

Las Matemáticas Chinas
Marı́a Nieves Algarra López
Cruz Enrique Borges Hernández
Isabel Garcı́a Dorta
Verónica Hernández Negrı́n
Begoña Hernández Pérez
16 de octubre de 2004
Índice
1. Introducción histórica
3
1.1. Los orı́genes y el perı́odo formativo: dinastı́as Shāng, Zhōu, Qı́n y Hàn . . . . .
3
1.2. El periodo de desarrollo: Dinastı́as Wèi, Jı̀n, dinastı́as del Norte y Sur, Suı́ y Táng
3
1.3. El perı́odo de esplendor: Dinastı́as Sòng y Yuán . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4. Primera entrada de las matemáticas occidentales: Dinastı́a Mı́ng . . . . . . . . .
5
1.5. El periodo feudal y la segunda entrada de las matemáticas occidentales . . . . .
5
2. Los comienzos de las matemáticas en la antigua China
6
2.1. El origen del concepto de número y de las figuras geométricas . . . . . . . . . .
6
2.1.1. Leyendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.2. Arqueologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2. Sistemas de numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.1. Numeración oracular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.2. Varillas de contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3. El conocimiento matemático en los antiguos textos de antes de la dinastı́a Qı́n
(221 - 206 a.C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1. El Libro de las artes, el Libro del maestro Mò y otros . . . . . . . . . . . 12
2.3.2. La educación matemática y la aparición de los oficiales Sīhuı̀, Fǎsuàn y
Chóurén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. La formación de sistemas matemáticos en la antigua China. Dinastı́a Hàn
(206 a.C. - 220 d.C.)
16
3.1. El clásico de la aritmética del gnomon y las sendas circulares del cielo . . . . . . 16
3.1.1. El diálogo sobre matemáticas entre Róng Fāng y el maestro Chén. . . . . 17
3.1.2. El teorema Gōugŭ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Nueve capı́tulos sobre el arte matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1. Logros en aritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2. Logros en geometrı́a: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3. Logros en álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4. Desarrollo de las matemáticas Chinas
24
4.1. Dinastı́as Wéi, Jı́n, Norte y Sur (221 - 589) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2. Dinastı́as Suı́ y Táng (589 - 907) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
5. Matemáticas durante el periodo de esplendor chino. Dinastı́as Sòng y Yuán
(960 - 1368)
35
5.1. Métodos de extracción de raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2. Trabajos con ecuaciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3. Investigaciones en series finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4. Investigaciones en otras áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.1. Análisis indeterminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4.2. Cuadrados Mágicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4.3. Trigonometrı́a esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5. Intercambio de conocimientos matemáticos durante
este periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6. El ábaco. Dinastı́a Mı́ng (1368 - 1644)
52
7. La primera entrada de las matemáticas occidentales. Dinastı́a Mı́ng (1368 1644)
55
8. Matemáticas durante el periodo feudal de “Puerta cerrada”. Dinastı́a Qı́ng
(1796 - 1911)
63
8.1. Estudio y comentario de las obras antiguas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.2. Investigaciones y desarrollos propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.2.1. Estudio de la trigonometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.2.2. Investigaciones en Teorı́a de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2.3. Suma de series finitas1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2.4. Investigaciones en otras áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9. Segunda entrada de la matemática occidental. Siglo XX
74
9.1. Cambio de mentalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.2. Traducción de textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.3. Nuevo método de enseñanza y los nuevos textos matemáticos . . . . . . . . . . . 75
A. Lista de libros chinos
76
B. Bibliografı́a
78
C. Recurso en red
78
2
1.
1.1.
Introducción histórica
Los orı́genes y el perı́odo formativo: dinastı́as Shāng, Zhōu, Qı́n
y Hàn
Los primeros restos arqueológicos hallados en China datan del 400000 a.C. Pertenecen al
llamado hombre de Pekı́n. Hacia el 200000 a.C. se establece el homo sapiens y finalmente el
homo sapiens sapiens se dispersa y crea varias culturas locales sobre el 50000 a.C. Es probable
que desde tan antiguo prevenga las relaciones jerárquicas tradicionales chinas como el parentesco
y autoridad. En el periodo entre el 8000 a.C. y el 2200 a. C. se comienza el cultivo del arroz
alrededor de los grandes rı́os, la producción de seda y el uso de la cerámica por los Yănsháo y
posteriormente por los Lŏngsháo.
La primera dinastı́a fue los Xiá y posteriormente los Shāng que ostentaron el poder durante
el periodo comprendido entre el 2100 a.C. y el 1040 a.C. De estas primeras dinastı́as procede
los ritos oraculares con huesos de los cuales parece provenir la escritura China. Es también un
periodo de grandes obras públicas y se comienza la edad de los metales. La primera dinastı́a
que unió gran parte del territorio que hoy conocemos como China fue los Zhōu que reinaron
primero bajo el mandato occidental (1.040 a.C. - 771 a.C.) y luego bajo el mandato oriental
(722 a.C. - 221 a.C.). De los primeros podemos destacar la unificación del estado Chino, como
comentábamos anteriormente, ası́ como la difusión de la cultura China por todo el territorio. De
los segundos podemos decir que fue un periodo de desunión y conflictos2 en el terreno polı́tico
y de creación de multitud de corrientes filosóficas, entre ellas la que marcarı́a toda la sociedad
moderna China, el confucionismo.
Tras este periodo de desunión surge el imperio Qı́n (221 a.C. - 206 a.C.). Los avances
militares permitieron el sometimiento de los pueblos cercanos y la reunificación mientras que la
centralización del gobierno, unido a la unificación de la escritura, moneda, pesos, medidas, etc.
permitió un control más eficaz del imperio. Es éste también un periodo en el que se realizan
grandes obras públicas, sobretodo carreteras y canales de irrigación.
A la muerte del emperador Qı́n el imperio cae con él. El testigo lo toma la dinastı́a Han
(206 a.C. - 200 d.C.3 .). Durante este periodo se someten a los pueblos de asia central al control
Chino, se establecen monopolios de y surge la diplomacia. Un hito muy importante que se
producirı́a durante este periodo es la creación de las oposiciones como medio para obtener un
cargo público. Esto promovió la creación de una clase dirigente “culta”.
1.2.
El periodo de desarrollo: Dinastı́as Wèi, Jı̀n, dinastı́as del Norte
y Sur, Suı́ y Táng
La ascensión de la nobleza durante los últimos años del periodo Han unido a las invasiones
“bárbaras4 ” y la ineptitud de los últimos emperadores Han precipitó la caı́da del imperio y su
2
Este periodo es conocido como “Primavera y Otoño”(771 - 484 a.C) y como “Estados combatientes”(484 221 a.C.).
3
A partir de aquı́ las fechas, si no se indica lo contrario, se referirán a d.C.
4
Por bárbaras se entiende extranjeras, principalmente nómadas del norte.
3
división: el norte bajo control mongol y el sur bajo dominio chino. Este es el periodo conocido
como las dinastı́as del norte y del sur (220 - 589).
Durante este periodo se produjo una expansión del budismo lo cual influyó en el arte y en
aspectos socio-polı́ticos de la China de la época. Debido a la fragmentación del imperio y la
diversidad que ello conllevaba se produjo un periodo de innovación y creatividad posteriormente
muy imitado.
La reunificación del imperio la realizó la dinastı́a Sui-Táng (220 - 907) mediante una cuidada
polı́tica de matrimonios de conveniencia. Este método permitió no solo reunificar la china, sino
también controlar los territorios de asia central. Durante este periodo se realizó una reforma
importante en la burocracia, esto es, se crean los seis ministerios principales5 : recursos humanos,
hacienda, ceremonias, ejército, justicia y obras públicas.
1.3.
El perı́odo de esplendor: Dinastı́as Sòng y Yuán
La pérdida del control económico junto con la ambición de algunos miembros de la corte y
las las derrotas militares y/o rebeliones en los territorios “controlados”provoca un periodo de
anarquı́a y fragmentación del imperio. Mediante un golpe de estado la dinastı́a Sòng del norte
y sur (960 - 1220) sube al poder. Inmediatamente se toman medidas para controlar imperio: se
retira de sus puesto a todos los altos cargos militares, se crea el ejército de palacio, se centraliza
la burocracia, se toman medidas para difundir la cultura (creación de escuelas) y se adopta el
neoconfucionismo.
Durante este periodo China goza del liderazgo mundial en prácticamente todos los campo:
tecnologı́a, ciencia, filosofı́a y cultural. Este liderazgo no solo se muestra en los libros publicados
durante este periodo mediante la técnica recién descubierta de impresión en papel, sino en la
construcción de barcos de gran tamaño, en los avances militares (pólvora), inventos de la época
(timones, brújulas...), uso de papel moneda, etc. Aparece también una nueva clase social, los
eruditos, que se une a la agrı́cola, artesana y comerciante.
La industria era muy activa y su mercado era puramente interior, casi exclusivo de palacio,
y autosuficiente. Con la llegada de “aventureros” como Marco Polo y su posterior difusión del
esplendor chino, se produce un aumento del comercio exterior y del intercambio cultural.
En los últimos años del periodo aparecen estados “fuerte” no-chinos en la frontera norte
(Liao, Jin, Yuán) a la vez que el régimen se debilita debido al descontento del ejército con el
modelo neoconfucionista. La ineptitud diplomática fue incapaz de evitar la invasión mongol y la
instauración de la dinastı́a Yuán (1227 - 1368). Los dirigentes de este periodo gobernaban sobre
una extensión de terreno extremadamente grande (prácticamente toda Asia) y no se centraron
en mantener el control sobre sus dominios.
Este periodo se caracteriza por una tolerancia étnico-religiosa muy grande además de un
gran intercambio cultural con occidente por medio de la “ruta de la seda”.
5
Esta organización ministerial permanecerı́a invariante hasta el siglo XX.
4
1.4.
Primera entrada de las matemáticas occidentales: Dinastı́a Mı́ng
Una sublevación militar consiguió recuperar el control del imperio y contener a los Yuán.
Sube al poder la dinastı́a Mı́ng (1368-1644) y instaura un régimen absolutista. Inmediatamente
se procede a instaurar un “código de conducta” y un régimen de violencia y terror. La reforma
llevada a cabo en el sistema tributario para mejorar las condiciones de vida del pueblo y la
corrupción generalizada ocasiona una debilidad económica muy fuerte y que se prolongarı́a
durante siglos.
En lo cultural se vuelve a los modelos Han y Sui-Táng obteniendo resultados exitosos en
campos como la filosofı́a, la literatura o el arte. En contraposición con estas medidas se abandona
la flota, el comercio exterior y el imperio comienza a desinteresarse por los sucesos que ocurren
fuera de sus fronteras. Todo esto unido al periodo renacentista europeo hace perder a China el
liderazgo tecnológico-cultural.
Los manchú invaden China y ocupan el poder sin demasiada dificultad debido a la debilidad
del régimen. Se inaugura ası́ la última dinastı́a, los Qı́ng (1644 - 1911). Se desarrolló una
creciente interés por la cultura clásica y por la cultura introducida durante las misiones jesuitas.
Por este motivo se promueve desde palacio la traducción e impresión de obras occidentales tanto
de matemáticas como de otras ciencias. Este gusto por los libros se complementa con la creación
de grandes enciclopedias de varios centenares de capı́tulos que contenı́an gran parte del saber
de la época. Sin embargo, el contraste es muy fuerte cuando nos damos cuenta del escaso interés
en el comercio marı́timo o exterior que existı́a en la época.
1.5.
El periodo feudal y la segunda entrada de las matemáticas occidentales
Durante el periodo manchú se produce un aumento de población, pero paradójicamente la
productividad de la tierra desciende. No es lo único que desciende en este periodo. La introducción del opio por parte de los ingleses para mejorar la balanza comercial con China unida
a la corrupción (motivada en gran parte por el opio) y la hambruna generalizada desmoralizan
al pueblo. Pero no solo el pueblo ha perdido la confianza en si mismo, también los gobernantes
debido a las humillantes derrotas en las guerras (Guerras del opio) que se sucedieron con las
potencias occidentales por la negativa china a abrir sus fronteras al comercio exterior y por los
posteriores tratados (Tratados desiguales) que dejan a la china imperial al borde de la quiebra
y con la confianza de sus dirigentes muy minada.
Se produce una apertura al exterior motivada por la presión externa y comienza la invasión
cultural en China. En contraposición a esta corriente surge el nacionalismo y comienzan revueltas por todo el paı́s. Tras largos años de levantamientos locales y guerras con las potencias
occidentales la dinastı́a cae. En su lugar se proclama la República Popular China.
5
2.
2.1.
2.1.1.
Los comienzos de las matemáticas en la antigua China
El origen del concepto de número y de las figuras geométricas
Leyendas
Puesto que la civilización china es muy antigua, hay que remontarse mucho tiempo atrás para
poder establecer cuándo surgieron las matemáticas. Es muy difı́cil responder a esta cuestión y
no puede hacerse con precisión, y por ello es por lo que en China han surgido diversas leyendas
que hacen alusión a este tema.
El Libro sobre los ancestros es un antiguo libro sobre la prehistoria china que se encuentra
perdido, pero que conocemos por referencias que hacen de él en otros escritos. En este libro
aparece la leyenda del emperador Amarillo, al cual se le atribuye haber reinado durante los años
2698 - 2598 a.C. Este emperador encargó a varios de sus súbditos que cada uno realizara una
tarea diferente: observar el Sol, la Luna, las estrellas, fijar la escala musical, establecer métodos
para determinar el tiempo y la disposición de las estaciones, y a uno de ellos le encargó crear la
aritmética. Esta leyenda se extendió ampliamente por China, en la antigüedad, y se encuentra
en varios textos antiguos. Atribuirle la creación de la noción de número a una sola persona
es inverosı́mil, puesto que sólo es posible que este concepto se haya ido formando a lo largo
de la historia, gradualmente, según las necesidades de la actividad humana. Existen también
leyendas que hablan de la utilización de quipus6 durante la prehistoria. Estas leyendas dicen
que los hombres prehistóricos usaban varios tipos de nudos para recordar diferentes asuntos y
que luego fueron sustituidos por la escritura. No es descabellado pensar que las tribus chinas
de la Edad de Piedra usaran este método para registrar números, ya que el sistema de nudos
aparece explicado en escritos antiguos.
Otras leyendas atribuyen a diferentes personas la invención de la escuadra y el compás.
Se han encontrado grabados en los que aparecen los personajes de las leyendas usando dichos
instrumentos, uno de ellos data de la época de la dinastı́a Han, alrededor del siglo II d.C.
También se mencionan en relatos de la historia de la dinastı́a Xiá. Por todo esto, se cree que
estos instrumentos, aparecieron en una época bastante temprana, con los que se realizaban
figuras geométricas sencillas.
De todos estos mitos podemos sacar en claro que desde tiempos remotos, los chinos empezaron a tener conciencia de los números y las figuras geométricas.
2.1.2.
Arqueologı́a
Atendiendo a la arqueologı́a se pueden encontrar indicios de los comienzos de las matemáticas
chinas. Según restos encontrados en excavaciones, hace alrededor de 100.000 años, el hombre
de Hé Tào tallaba sus utensilios de piedra en forma de diamante. En la cultura Yăngsháo, más
avanzada (5.000 a.C.), se realizaban diseños de animales y figuras geométricas en los objetos de
cerámica. Algunos de estos dibujos geométricos estaban formados por combinaciones de lı́neas
rectas y triángulos y otros por cı́rculos y lı́neas curvas.
6
Un quipu es un juego de cuerdas anudadas según un sistema codificado que permite llevar la contabilidad,
y que también fue usado por los Incas debido a la necesidad de realizar inventarios.
6
Después de varias decenas de miles de años desde las primeras poblaciones primitivas, surgió una sociedad con estructura de clases (2.000 a.C.). Esta fue la sociedad esclavista que existı́a
durante la dinastı́a Shāng (siglo XVI - XI a.C.), que estaba bastante desarrollada, pues habı́a
una división de las labores dentro de la comunidad. Los chinos es esa época tenı́an una agricultura adelantada y se han encontrado construcciones de planta circular y rectangular que servı́an
para el almacenamiento del grano. Además se extendió el uso del bronce con el que fabricaban
armas y diversos utensilios. De la división de las tareas en la sociedad surgió el comercio, y
con él, el dinero. Se han encontrado monedas con un agujero en el centro que fueron usadas
en esos tiempos. Alrededor del siglo XIV a.C., la dinastı́a Shāng cambió de lugar la capital
y la economı́a y la cultura dieron un paso adelante. Y en las últimas épocas de esta dinastı́a
aparecieron algunas formas de calendario gracias a los requerimientos de la agricultura.
2.2.
2.2.1.
Sistemas de numeración
Numeración oracular
Desde finales del siglo XIX d.C. se ha encontrado una gran cantidad de inscripciones realizadas en conchas de tortuga (más concretamente la concha inferior) y huesos de animales en
excavaciones hechas en la provincia de Hénán. Las investigaciones han mostrado que los nobles
del periodo de la dinastı́a Shāng rendı́an culto a los espı́ritus de sus antepasados y los invocaban
para preguntarles toda clase de cuestiones, como por ejemplo, interrogarles para saber cuáles
eran los tiempos mejores para viajar, recoger las cosechas o celebrar fiestas. Las preguntas que
formulaban eran registradas en conchas y huesos junto con las respuestas recibidas. Todas las
inscripciones que se han encontrado con esta clase de grafı́a son oráculos y por eso, este tipo
de caracteres se denomina escritura oracular.
La forma más temprana de escritura que se ha descubierto en China es la oracular, aunque
también se han encontrado sı́mbolos aislados en la alfarerı́a del periodo Yăngsháo. Es un material valioso para entender mejor el tiempo de la dinastı́a Shāng y gracias a ella tenemos
información escrita de épocas remotas.
Por los restos encontrados, sabemos que durante la dinastı́a Shāng, la gente utilizaba una
escritura de 5.000 caracteres y entre ellos estaban los numerales. A menudo, en estos huesos
oraculares está registrado el número de animales cazados, prisioneros capturados, enemigos
eliminados, animales domésticos ofrecidos en sacrificio a los espı́ritus, etc. También están inscritas fechas y aparecen cómputos de dı́as. Los numerales de la escritura oracular forman un
sistema multiplicativo de base diez, el número menor que se encuentra es el uno, no habı́a
sı́mbolo para el cero, y el mayor es el treinta mil. Los números del uno al diez tienen caracteres
especiales, ası́ como el cien, el mil y el diez mil, los demás números se forman combinando estos
caracteres. Estos son los ideogramas de los números del uno al diez, cien, mil y diez mil en la
escritura oracular, junto con la numeración moderna que se usa actualmente en china, también
llamada numeración estándar, que se deriva de la oracular:
7
Podemos observar que el veinte, treinta,. . . , doscientos, trescientos,. . . , dos mil, tres mil,. . . y
treinta mil se expresan con sı́mbolos compuestos por dos de los anteriores, por ejemplo, el
doscientos, se representa con el sı́mbolo del dos pegado al del cien. En la numeración estándar
se escribe un sı́mbolo a continuación del otro, el doscientos se representa con el sı́mbolo del dos
seguido por el del cien.
De esta manera, en la numeración oracular, el dos mil seiscientos cincuenta y seis, se representa
Además de la escritura oracular se conocen otros tipos de escrituras antiguas posteriores.
Durante la época de la dinastı́a Zhōu (siglo XI - 221 a.C.) aparece la llamada “escritura del
bronce”, denominada de esa forma porque se ha encontrado en grabados hechos en bronce. Los
numerales pertenecientes a este tipo de grafı́a son similares a los oraculares y se utilizaba el
sı́mbolo
(en la escritura moderna es , que significa “y”) para separar las unidades de las
decenas, las decenas de las centenas, etc. En la dinastı́a Hàn (206 a.C. - 221 d.C.) el carácter
usado para las separaciones fue eliminado, y la forma de los números era casi igual a la actual.
8
Actualmente también existen otros dos tipos de números derivados de los estándar, son
los oficiales y los comerciales. Los números oficiales son una versión más decorativa de los
números estándar, que se utilizan en los documentos legales y los billetes de banco para evitar
falsificaciones. Y los números comerciales son una simplificación de los números estándar, y
fueron diseñados en el siglo XVI d.C. para escribir más rápidamente y poder usarlos en el
comercio.
2.2.2.
Varillas de contar
Antiguamente en China, realizar cálculos no implicaba directamente el manejo de numerales
escritos. El medio que se usaba para realizar operaciones eran las varillas de contar. Dichas varas,
hechas de bambú, se utilizaban para operar con ellas, ordenándolas en diferentes configuraciones
sobre el suelo o cualquier superficie plana, para representar números y realizar cálculos con ellos.
Estas varillas se transportaban en un manojo hexagonal que se podı́a llevar cómodamente
en la mano y su longitud ha variado mucho durante el transcurso del tiempo. Desde la dinastı́a
Hàn hasta la dinastı́a Suı̀ ha ido disminuyendo gradualmente desde los 14 cm. a los 7 cm. Esto
se debe, probablemente, a que las varillas pequeñas son más fáciles de manipular.
Con respecto al momento histórico en el que aparecieron, no se sabe nada a ciencia cierta,
sólo que surgieron debido a los requerimientos del desarrollo de la sociedad, el comercio, la
administración y la ciencia, que precisaban de un sistema de cálculo eficiente y rápido, y que
desde el periodo de los Estados Combatientes (481 - 221 a.C.) la gente estaba familiarizada con
ellas, puesto que se ha encontrado cerámica de esta época que tiene marcas hechas con varillas.
Por lo que puede ser que el sistema de notación decimal posicional haya aparecido durante la
época Primavera y Otoño (770 - 476 a.C.) o durante los Estados Combatientes. Las varas de
contar más antiguas que se han encontrado datan de la época de la dinastı́a Hàn.
De este sistema de cálculo se deriva la palabra matemáticas (mecanismo para calcular) en
chino, que se escribe , carácter formado por , que significa “jugar con” y por , que significa
“bambú”, por lo tanto, matemáticas serı́a “jugar con bambú”.
9
2.2.2.1.
Notación decimal posicional
La representación de los números con varillas de contar es un sistema de numeración decimal
posicional. Hay dos maneras de expresar los números del uno al nueve, la forma vertical y la
forma horizontal, y el cero se expresa con un espacio en blanco.
Para formar cualquier número, las unidades se pondrı́an con la forma vertical, las decenas
con la horizontal, las centenas con la vertical, y ası́ alternativamente. Se colocan de derecha a
izquierda, empezando por las unidades, de la misma manera que el sistema de numeración que
se utiliza en occidente hoy en dı́a. Por ejemplo:
Al hacer los cálculos, dejar un espacio para el cero no plantea problemas, pues el calculista
siempre conoce las cantidades con las que está trabajando, la dificultad apareció cuando las
posiciones de las varillas pasaron a ser signos escritos. Entonces sı́ podı́an producirse confusiones
al interpretar los números. Esto se solucionó en 1247 d.C. con la aparición de un signo circular
para esta cifra.
A comienzos de la Era Cristiana aparecieron los números positivos y negativos, que iban
con varillas rojas y negras respectivamente. En la notación escrita, los números negativos se
representaban tachando su última columna.
Nótese que en las cifras del seis al nueve, la varilla de contar situada en la parte superior
simboliza cinco varillas, ası́ no se necesitan más de cinco varas para cada dı́gito, se ahorra
espacio y se trabaja mejor con ellos. De hecho, en este sistema se basó el ábaco chino: cada
cuenta que está por encima de la barra se entiende como cinco cuentas de las de por debajo.
Aunque éste fue un invento muy posterior, su uso se generalizó a mitades del siglo XV d.C.
10
2.2.2.2.
Operaciones aritméticas con las varillas de contar
Las cuatro operaciones aritméticas básicas se usaron en China desde épocas muy tempranas,
aunque es de suponer que se inventaran primero la suma y la resta.
SUMA:
ejemplo: 456+789
Para sumar se representan los números con las varillas en filas y se va sumando de izquierda
a derecha, en este caso se empieza por las centenas, añadir 7 a 4, luego se suman las decenas y
después las unidades, recolocando el resultado en cada paso.
RESTA:
ejemplo: 1245-789
La resta es similar a la suma, se colocan los dos números y se empieza restando de izquierda
a derecha, en este caso comenzamos restando 7 de las centenas, (2-7 no se puede restar, entonces
convertimos una unidad de mil en diez centenas y sustraemos 12-7) y luego hacemos lo mismo
con las decenas y las unidades, recolocando el resultado en cada paso.
La multiplicación y la división están asociadas a la “Rima de los nueve nueves”, que todos
los chinos conocen:
Un uno es uno, un dos es dos, un tres es tres,. . . , un nueve es nueve. Dos dos
son cuatro, dos tres son seis,. . . ”
Como vemos, son las tablas de multiplicar, aunque parece ser que en el pasado esta rima era
un poco diferente, se cree que fue adoptada a lo largo de toda China no mucho después de la
época de Primavera y Otoño o de los Estados combatientes y empezaba con “nueve nueves son
ochenta y uno” y acababa con “dos dos son cuatro”. Y por empezar ası́, se le dio el nombre de
11
“Rima de los nueve nueves”. Se han encontrado tiras de bambú de la época de la dinastı́a Hàn
en la que aparece la rima de está manera, es en el siglo XIII ó XIV d.C., durante la dinastı́a
Sòng, cuando el orden de la rima se invierte y queda como hoy en dı́a, empezando por la tabla
del uno y acabando por la del nueve.
MULTIPLICACIÓN:
ejemplo: 234 · 456
7
Tenemos los dos números colocados como en el diagrama (1). La
fila superior es el multiplicador, la inferior es el multiplicando. Para
multiplicar se pone un número encima del otro, de tal manera que la
cifra de mayor valor del número superior coincida con la de menor valor
del inferior, dejando una fila en blanco en medio de los dos, que será en
la que obtengamos el producto. Seguidamente se multiplica la cifra de
mayor valor del número de arriba, el 2, por cada uno de los dı́gitos de la
fila de abajo, 4, 5 y 6, de izquierda a derecha, sumando el resultado en
la fila del medio después de cada multiplicación. Obtenemos 912, como
podemos observar en el diagrama (2). Se quita el 2 del multiplicador,
para indicar que ya ha sido usado para multiplicar. A continuación
movemos el número inferior un espacio hacia la derecha, situando su
cifra de menor valor, debajo de la segunda cifra de mayor valor del
número superior, el 3, como se aprecia en el dibujo (3), y multiplicamos
el segundo dı́gito de mayor valor del número superior por cada uno de
los dı́gitos de la fila inferior, sumando los resultados en la fila del medio,
obtenemos 10488. Se quita el 3 del multiplicador, y se vuelve a rodar
el multiplicando, como vemos en (4). Usamos el último dı́gito de la
fila superior, 4, para multiplicarlo por cada uno de las cifras de la fila
inferior, sumando los resultados en el medio, obteniendo 106704, que
es el producto que buscábamos y quitamos el 4, como aparece en (5).
El método utilizado para dividir es el mismo que el de la multiplicación, pero a la inversa.
2.3. El conocimiento matemático en los antiguos
textos de antes de la dinastı́a Qı́n (221 - 206 a.C.)
2.3.1.
El Libro de las artes, el Libro del maestro Mò y otros
El Libro de las artes fue escrito por letrados del estado feudal Qı́ en
la época de los Estados Combatientes (475 - 221 a.C.). Trata básicamente sobre técnicas de fabricación de objetos, como coches de caballos,
embarcaciones y arcos y flechas. Además describe pautas y dimensiones
para su elaboración. Por tanto contiene algunos datos sobre fracciones, ángulos, y unidades de
medida.
7
Está escrito con números arábigos para una mejor comprensión.
12
En una parte del libro aparece la lı́nea “una décima parte de una pulgada”, que obviamente
representa una fracción. En épocas posteriores también se usó ese tipo de terminologı́a para
referirse a las fracciones: una décima parte de una pulgada, dos décimas partes de una pulgada,
etc8 .
Las unidades para medir ángulos que se encuentran en este libro son:
jŭ = 90o
xuān = 45o (= 1/2 jŭ)
zhú = 67o 300 (= 1 1/2 xuān)
kē = 101o 150 (= 1 1/2 zhú)
qı́ngzhé = 151o 520 3000 (= 1 1/2 kē)
Aunque también se medı́an ángulos usando arcos de circunferencia. Por ejemplo, nos encontramos el siguiente pasaje, que describe cómo se hacı́an los arcos para los nobles de la dinastı́a
Zhōu:
Hacer arcos para el emperador,
nueve arcos juntos forman una circunferencia.
Hacer arcos para los señores feudales,
siete arcos juntos forman una circunferencia.
Arcos para los oficiales del emperador,
cinco arcos juntos forman una circunferencia.
Arcos para los letrados,
tres arcos juntos forman una circunferencia.
Este es un caso en el que se usa el arco de la circunferencia para medir el ángulo de curvatura
que tiene que tener este arma en cada caso. En esta época, al concepto de ángulo se le daba
mucha importancia.
En el libro mencionado anteriormente también aparece la medida estándar de capacidad, el
fú, que es un recipiente de un pie cúbico9 . También se dan los volúmenes estándar dòu y shēng.
Naturalmente, las medidas que propuso el Libro de las artes sólo se aplicaron en el estado
feudal Qı́, cuando llegó la dinastı́a Qı́n y unificó China, se unificaron las medidas de longitud,
volumen, capacidad y masa. Obviamente, para esto hicieron uso de las matemáticas.
El Libro del maestro Mò es otra obra escrita antes de la dinastı́a Qı́n, se cree que fue
escrita por los discı́pulos del maestro Mò y es conocida también como Cuatro capı́tulos de
Mòzĭ. Contiene una colección de apartados con conceptos y definiciones, y muchos de ellos
tratan de matemáticas, lógica y fı́sica.
8
La pulgada en China ha tenido diferente longitud a lo largo de las distintas épocas de su historia, variando
entre 220 5 y 330 3 mm.
9
El pie, al igual que la pulgada, ha variado de valor a lo largo de la historia china.
13
Este tratado contiene conceptos de geometrı́a:
Igual: Misma altura.
En lı́nea recta: Tres puntos alineados.
Misma longitud: Emparejar de forma exacta.
Centro: Punto a la misma longitud.
Circunferencia: Un centro con la misma longitud.
También contiene la noción de punto, lı́nea, superficie, sólido y las nociones de suma y resta.
Hacia finales del periodo de los Estados Combatientes, algunos sabios empezaron a abstraer
lo que veı́an en el mundo fı́sico y surgió la lógica. Estos pensadores escribieron frases paradójicas
como “un pollo tiene tres patas”, “el fuego no es caliente”, etc. Muchas de estas frases son
absurdas, pero otras tienen un significado matemático, como la siguiente:
Un palo de un pie de largo, le quitamos la mitad cada dı́a y no se terminará en
diez mil generaciones.
Lo que corresponde a la expresión:
1
1
1
1
+ 2 + 3 + · · · + n −→ 1
2 2
2
2
A medida que vamos sumando términos nos vamos aproximando a uno, pero nunca llegamos.
Estos eruditos llegaron con esto al concepto matemático de que un segmento finito de una recta
se puede representar como suma infinita de segmentos finitos.
Muchos libros de texto matemáticos usados actualmente en China, usan frecuentemente el
ejemplo de “tomar la mitad diariamente” para explicar la noción de lı́mite.
2.3.2.
La educación matemática y la aparición de los oficiales Sīhuı̀, Fǎsuàn y
Chóurén
Durante el gobierno de los Zhōu, se establecieron varios cargos públicos, que se dedicaban a
diversas tareas. Uno de ellos era el de oficial Băo Shı̀. Estos oficiales se dedicaban a la educación,
puesto que en esta época ya habı́a un sistema educativo para los niños de la nobleza y se les
enseñaban las seis artes que todo caballero debı́a conocer: rituales, música, arquerı́a, equitación,
caligrafı́a y matemáticas.
El plan de estudios era el siguiente:
6 años: Contar del uno al diez y los puntos cardinales.
..
.
9 años: Trabajar con dı́as y fechas.
14
10 años: Historia, escritura y cálculo.
Los oficiales llamados Sīhuaı̀ eran los encargados de los censos dentro de las fronteras del
imperio, estaban bien organizados y eran los encargados de realizar las estadı́sticas.
Durante los Estados Combatientes, en el ejército habı́an oficiales especializados en hacer las
estadı́sticas militares. También habı́a un rango de la armada llamado Făsuàn. Quien tuviera
este cargo, era el que tenı́a bajo su responsabilidad la distribución del armamento, comida,
el sueldo de los soldados, las entradas de dinero y los gastos realizados por el ejército. Por
supuesto, estos trabajos requerı́an de las matemáticas.
Habı́a también otros oficiales que tenı́an que saber mucho de cálculo para poder realizar su
trabajo, eran los que se dedicaban a la astronomı́a y el calendario. Los oficiales Féng Xiān Shı̀
se dedicaban a computar el calendario y establecer las cuatro estaciones, los Bǎo Zhāng Shı̀
realizaban mapas estelares y determinaban el movimiento de los astros, y los oficiales Chóurén
también eran astrónomos.
15
3.
La formación de sistemas matemáticos en la antigua
China. Dinastı́a Hàn (206 a.C. - 220 d.C.)
En este periodo destacan dos libros importantes, que se verán a continuación.
3.1.
El clásico de la aritmética del gnomon y las sendas circulares
del cielo
Poco después de que la dinastı́a Hàn reemplazara a la Qı́n, hubo un gran incremento en la
capacidad de producción que fue seguido por un rápido desarrollo en varias áreas de la ciencia
y la tecnologı́a. Esto fomentó un gran auge en las matemáticas.
El clásico de la aritmética del gnomon y las sendas circulares del cielo. Es un escrito sobre
astronomı́a y contiene algunos conceptos de matemáticas. Esta obra es consecuencia de una
acumulación gradual de resultados cientı́ficos de los periodos de las dinastı́as Zhōu y Qı́n, y
se cree que fue escrito alrededor del final del siglo II a.C. Este libro ha sido comentado por
matemáticos posteriores, y los contenidos matemáticos que destacan son cálculos sobre agrimensura y cuerpos celestes utilizando el teorema Gōugŭ (Pitágoras) y cálculos con fracciones.
Durante la época Hàn se estudió mucho la astronomı́a, y a finales de esta dinastı́a ya habı́a
tres escuelas que se dedicaban al estudio del cielo: la escuela Zhōubı̀, la Xuān Yè y la Hún Tiān.
Ésta última estaba representada por el escritor, astrónomo, matemático y geógrafo Zhān Héng.
Zhān Héng nació en el año 78 d.C. en el seno de una familia importante,
y fue educado en el confucionismo. Primeramente, estudió literatura y realizó varias obras que le dieron una fama considerable como poeta y escritor,
pero a la edad de treinta años se decantó por los estudios cientı́ficos. En el
año 116 d.C. lo designaron funcionario de la corte del emperador, llegando
a ser, más tarde astrólogo principal y ministro, aunque no eran ambicioso
respecto a ascender en su carrera y pasaba muchas temporadas alejado de
la capital, en soledad, para meditar sobre la naturaleza del universo.
Uno de sus inventos fue el sismógrafo, y como astrólogo principal corrigió el calendario, según sus observaciones, en el año 123 d.C. y fue la primera
persona en construir una esfera celeste. Su teorı́a sobre el universo consistı́a
en que la Tierra era muy pequeña comparada con la inmensidad del universo.
Desde su faceta de matemático investigó sobre los cuadrados mágicos de orden 3×3, que fueron
estudiados por matemáticos de épocas posteriores, y serán explicados más adelante. También
propuso, en un tratado sobre
√ las circunferencias inscritas y circunscritas en un cuadrado, que
se le diera a π el valor de 10 ≈ 30 162 y dio la expresión del volumen de una esfera en función
del volumen del cubo circunscrito. Aunque estos resultados no son muy exactos, su trabajo se
diferencia de los logros matemáticos anteriores en que fue basado en un cálculo teórico y no en
la práctica, como se hacı́a anteriormente. Zhān Héng murió en el año 139 d.C.
La escuela de astronomı́a Zhōubı̀ se dedicó a estudiar y desarrollar una teorı́a llamada Gài
Tiān, que una de las cosas que afirma es que “el cielo es como un paraguas y la Tierra es como
un cuenco al revés”, haciendo referencia a los tamaños de nuestro planeta y la esfera celeste.
16
A continuación se detalla el contenido de El clásico de la aritmética del gnomon y las sendas
circulares del cielo.
3.1.1.
El diálogo sobre matemáticas entre Róng Fāng y el maestro Chén.
En este libro aparece un diálogo entre Róng Fāng y el maestro Chén, en el que el maestro
Chén da su punto de vista sobre los objetivos de las matemáticas y sus métodos, y también
comenta sobre las actitudes que se tienen frente al aprendizaje de las matemáticas. Lo que
aparece en este pasaje no sólo es interesante, sino que tiene un valor pedagógico.
En este discurso del maestro, en primer lugar dice que las matemáticas tienen una amplia
aplicación y, en segundo lugar, recalca la importancia de instruirse en el pensamiento deductivo
e inductivo.
3.1.2.
El teorema Gōugŭ.
El teorema Gōugŭ es el conocido en occidente como teorema
de Pitágoras. Este teorema se usaba mucho para medir distancias,
ello se hacı́a teniendo en cuenta la longitud de un palo vertical
y la sombra que arrojaba, por lo que se considera a uno de los
catetos del triángulo rectángulo, llamado Gŭ, como dicho palo, y
el otro cateto serı́a su sombra, que recibe el nombre de Gōu. A la
hipotenusa se le puso el nombre de Xián. Esto podemos apreciarlo
en la figura. El triángulo rectángulo recibe el nombre de “forma
Gōugǔ”.
En este libro, aparece una de las primeras demostraciones de
este teorema, realizada mediante diagramas, que se ilustra en las
siguientes figuras:
La traducción del texto dice lo siguiente:
Cortemos un rectángulo (por la diagonal), de manera que la anchura sea 3
(unidades) y la longitud 4 (unidades). La diagonal entre los (dos) extremos tendrá entonces una longitud de 5. Ahora, tras dibujar un cuadrado sobre esta diagonal,
circunscribirlo con semirrectángulos como el que ha sido dejado en el exterior, de
modo que se forme una figura plana (cuadrada). Ası́, los (cuatro) semirrectángulos
17
exteriores, de anchura 3, longitud 4 y diagonal 5, forman en conjunto dos rectángulos (de 24 de área); luego (cuando esto se resta de la figura plana cuadrada de área
49), el resto tiene 25 de área. Este proceso se llama “apilamiento de rectángulos”.
En términos de la figura b), el cuadrado mayor ABCD tiene un lado de 3 + 4 = 7 y, consecuentemente, un área de 49. Si a partir de este cuadrado grande se eliminan cuatro triángulos
(AHE, BEF , CF G y DGH), que en conjunto forman dos rectángulos, cada uno de ellos de
área 3 · 4 = 12, nos queda el cuadrado más pequeño HEF G. Implı́citamente tenemos:
(3 + 4)2 − 2 · (3 · 4) = 32 + 42 = 52
Esta demostración es un caso particular, la ampliación de esta prueba a un caso más general
se dio posteriormente.
El teorema Gōugŭ se consideraba muy importante en la época en la que se escribió el libro,
ya que en él se menciona que el emperador no podrı́a gobernar sin el conocimiento de este
teorema. Además aparecen muchos ejemplos de su aplicación, como por ejemplo, calcular la
hipotenusa de un triángulo rectángulo:
Gōu, Gŭ, cada uno multiplicado por sı́ mismo y sumados, y entonces tomando
la raı́z cuadrada obtenemos la hipotenusa.
Es decir: c =
√
a2 + b 2
También hay ejemplos en los que se miden alturas, profundidades y distancias, estas mediciones
en la superficie de la Tierra eran bastante exactas, aunque cuando se aplicaban a la astronomı́a
daban lugar a resultados erróneos.
Con ayuda del gnomon, que es la vara vertical de un reloj de sol, se medı́an alturas como
vemos en la siguiente figura:
El segmento CD es el gnomon, y conocidas las distancias AD, CD y AB, y por semejanza
de triángulos y el teorema Gōugŭ, se averiguaba la altura del árbol.
18
3.1.3.
Fracciones
El clásico de la aritmética del gnomon y las sendas circulares del cielo contiene algunos
cálculos con fracciones relativamente complicados, y aunque no hay duda de que estos cálculos
fueran hechos con varillas de contar, no hay explicaciones en el libro de los sistemas utilizados
para realizarlos.
Todas estas manipulaciones con fracciones eran absolutamente necesarias para el cómputo
del calendario y la astronomı́a, por eso aparecen en el libro dichos cálculos, que tenı́an un nivel
bastante avanzado.
En la computación del calendario, calculaban que un año tiene una duración de 356 14 dı́as
(vemos que usaban números mixtos), esto lo sacaban de consideraban que el Sol se rueda en
su posición un grado cada dı́a, observado desde la Tierra. Sacaron la cuenta de que deberı́an
añadir 7 meses lunares adicionales al cabo de 19 años, por lo que cada año deberı́a tener en
7
meses lunares y por eso el número de dı́as en cada mes lunar deberı́a ser:
promedio, 12 19
1
7
499
365 ÷ 12 = 29
4
19
940
En la última sección del libro, aparece un método para dividir las fracciones anteriores.
Ahora se conoce que en cada mes hay 29 499
dı́as, por consiguiente la Luna se mueve en
490
7
promedio cada dı́a 13 19 grados. Por ello, buscar la posición de la Luna después de 12 meses
lunares requiere más cálculos complicados, de hecho, es equivalente a calcular el resto de la
siguiente división:
(29
7
1
499
· 12 · 13 ) ÷ 365
940
19
4
6612
El resto es: 354 17860
En el libro se calculan el ángulo recorrido por la Luna en un año bisiesto (un año de 13
7
meses solares) y en un año promedio de 12 19
meses lunares.
3.2.
Nueve capı́tulos sobre el arte matemático
Nueve capı́tulos sobre el arte matemático es un tratado matemático que se cree que fue
confeccionado alrededor del siglo I d.C., de autor anónimo, y hasta hace poco, se ha considerado
como el escrito especializado en matemáticas más antiguo que se conservaba, pero en el año 1984
apareció, en una excavación arqueológica, una colección de tiras de bambú en las que estaba
grabado un texto matemático más antiguo que éste. Dicho trabajo tiene por tı́tulo Un libro
sobre aritmética y data de la primera mitad del siglo II a.C. o antes. Está escrito con el mismo
estilo que los Nueve capı́tulos y tiene muchas similitudes con él, incluso aparecen fragmentos
iguales, por lo que es de suponer que este escrito es un antecesor directo suyo. De hecho, Nueve
capı́tulos sobre el arte matemático es una recopilación de lo más básico de todos los trabajos
que se habı́an hecho hasta entonces, puesto que algunos problemas que aparecen en el libro son
muy antiguos, mientras que otros aparecieron más tarde y luego fueron recopilados todos en el
mismo libro. Esto se puede ver en que, por ejemplo, hay ejercicios en los que aparecen medidas
19
usadas en el periodo de los Estados Combatientes, otros en los que salen rangos de la nobleza
que se utilizaban en la dinastı́a Hàn.
El desarrollo gradual de las antiguas matemáticas chinas en los periodos Zhōu y Qı́n y
los posteriores avances realizados en la dinastı́a Hàn, se acumularon hasta formar un sistema completo. Los Nueve capı́tulos es un trabajo representativo del desarrollo de las antiguas
matemáticas, desde la dinastı́a Zhōu hasta la Hàn.
Esta gran obra tuvo una importante influencia en el desarrollo posterior de las matemáticas
y formó su base. Está escrito en forma de preguntas y respuestas, contiene un total de doscientos
cuarenta y seis problemas y está dividido en nueves capı́tulos. Por una parte, el libro se puede
ver simplemente como una colección de ejercicios resueltos, y por otra, se puede usar como
manual para resolver problemas prácticos del mismo tipo que los que aparecen en él, ya que
cada tipo de ejercicios se resuelve con un método determinado.
Esta forma de escribir los libros, en ejercicios resueltos, tuvo una gran influencia posterior,
y a partir de entonces, los escritos matemáticos de la antigua China se escribieron ası́.
Los capı́tulos en los que se divide el texto son los siguientes:
Capı́tulo I “Medición del terreno”.
Su tema central es el cálculo de áreas, y además contiene una detallada discusión
sobre el cálculo con fracciones.
Capı́tulo II “Alpiste y arroz”.
Trata de porcentajes y proporciones relacionados con estos cereales.
Capı́tulo III “Distribuciones proporcionales”.
Se ocupa de la distribución de la propiedad y del dinero según unas normas
prescritas, que conducen, en algunos casos, a realizar progresiones aritméticas y
geométricas, y muchas de las veces, se requiere la regla de tres.
Capı́tulo IV “¿Qué anchura?”
Dada el área del cuadrado o el volumen del cubo, encontrar el lado. En esta
sección se explican los métodos para realizar raı́ces cuadradas y cúbicas.
Capı́tulo V “Un texto de consulta para ingenieros”.
Cálculo de volúmenes de figuras sólidas.
Capı́tulo VI “Justos impuestos”.
Se calcula la manera más justa de cobrar los impuestos, teniendo en cuenta el
tamaño de la población de un lugar y su distancia a la capital.
Capı́tulo VII “Exceso y defecto”.
Problemas con dos incógnitas.
Capı́tulo VIII “Método de las tablas”.
Sistemas de ecuaciones lineales y explicación de los conceptos de número positivo
y negativo.
20
Capı́tulo IX “Gōugŭ”.
Se introduce el método para resolver ecuaciones cuadráticas y aparecen aplicaciones del teorema Gōugŭ.
Vemos que los contenidos de Nueve capı́tulos sobre el arte matemático están ligados a la
vida real y reflejan la sabidurı́a colectiva y las habilidades de la gente en la antigua China.
Este tratado ha sido utilizado como libro de texto durante dinastı́as posteriores y muchos
matemáticos empezaron sus investigaciones haciendo comentarios sobre él. Circuló también por
Japón y Corea y tuvo una gran influencia en la matemática que se desarrolló en estos paı́ses.
Finalmente, la comunidad cientı́fica internacional se ha dado cuenta de este importante trabajo.
3.2.1.
Logros en aritmética.
El trato sistemático de operaciones aritméticas con fracciones, varios tipos de problemas de
proporciones, problemas del tipo “exceso y defecto” y otros problemas difı́ciles son los logros
obtenidos en aritmética con este libro.
Operaciones con fracciones:
Para operar con fracciones se usaron varillas de contar y la representación de éstas tiene su
origen en el método de la división. Los procedimientos que aparecen en el libro son bastante
similares a los que se usan en el presente, en el capı́tulo “Medición del terreno” aparece la simplificación de fracciones, buscar denominadores comunes, comparar dos fracciones con distinto
denominador y la suma, resta multiplicación y división de fracciones.
En la simplificación fracciones, se utilizaba el método de la sustracción sucesiva para encon,
trar el máximo común denominador10 . Si consideramos una fracción reducible de la forma m
n
la regla es la siguiente:
Si los dos números (m y n) pueden dividirse por la mitad, entonces divı́danse.
Si no, colóquese el denominador debajo del numerador y réstese del número mayor
el número menor. Continúese este proceso hasta que se obtenga el divisor común,
“teng”. Simplifı́quese la fracción original dividiendo ambos números por el “teng”.
Para la adición y la sustracción de fracciones es preciso que tengan el mismo denominador.
En el capı́tulo “Medición del terreno”se usa como denominador común el producto de todos los
denominadores, sin embargo, en “¿Qué anchura?” se utiliza el mı́nimo común múltiplo.
Para multiplicar fracciones se utilizaba el mismo método que el actual: numerador por
numerador y denominador por denominador.
En la división se busca un denominador común para el dividendo y el divisor, entonces el
cociente se obtiene tomando el numerador del divisor como denominador y el numerador del
dividendo como numerador.
b d
bc ad
bc
÷ =
÷
=
a c
ac ac
ad
10
El algoritmo de Euclides, que utilizamos actualmente, se deriva de éste método.
21
Proporciones:
En el capı́tulo “Alpiste y arroz” aparecen problemas en los que se hace uso de la regla de
tres, y en “Distribuciones proporcionales” salen problemas del tipo: “Tenemos 5 piezas de caza
y las tenemos que repartir entre oficiales de cinco rangos diferentes: 5, 4, 3, 2 y 1”.
En “Justos impuestos” se estudia la recaudación de impuestos en en proporción directa con
el tamaño de la población de las provincias y en proporción inversa a la distancia a la capital.
Exceso y defecto:
Los problemas de este tipo son como el siguiente:
Un grupo de personas compran en conjunto unas gallinas. Si cada persona dio 9
wen, quedarán 11 wen de sobra después de la compra. Si, en cambio, cada persona
contribuye con 6 wen, quedarán 16 wen a deber. ¿Cuántas personas hay en el grupo
y cuál es el coste de las gallinas?
En términos algebraicos, llamando a las dos contribuciones a y a0 y al exceso y al defecto
(lo que sobra y lo que deben) b y b0 , respectivamente, la solución propuesta en el libro es la
siguiente:
a a0
b b0
=
9 6
11 16
ab0 a0 b
b b0
=
144 66
11 16
ab0 + a0 b
b + b0
=
210
27
ab0 + a0 b
210
=
=7
a − a0
3
b + b0
27
El número total de personas es:
=
=9
a − a0
3
El problema anterior se puede reformular como un sistema de ecuaciones de dos incógnitas,
siendo x el número de personas e y el coste.
El coste total de las gallinas es:
ax − cy = b
a0 x − c0 y = −b0
9x − y = 11
6x − y = −16
Se puede observar que el método sugerido aquı́ es un caso particular de la regla de Cramer
para ecuaciones de dos incógnitas con c = c0 .
3.2.2.
Logros en geometrı́a:
En el libro se muestra que conocı́an las áreas y volúmenes de las figuras geométricas más
comunes como:
Rectángulo A = ab donde a y b son los lados del rectángulo.
22
1
Triángulo A = bh donde b es la base del triángulo y h su altura.
2
Cı́rculo11 A =
PD
donde D es el diámetro del cı́rculo y P su perı́metro.
2 2
Prisma rectangular V = abc donde a es el alto del prisma, b el ancho y c el largo.
1
Pirámide V = a2 h donde a es el lado de la base de la pirámide y h su altura.
3
Cilindro V =
Cono V =
1 2
P h donde P es el perı́metro de la base del cono y h su altura.
36
Esfera V =
3.2.3.
1 2
P h donde P es el perı́metro de la base del cilindro y h su altura.
12
9 3
D donde D es el diámetro de la esfera.
16
Logros en álgebra
Los principales avances en el área del álgebra que aparecen en Nueve capı́tulos sobre el
arte matemático son el método de resolución de sistemas de ecuaciones, la introducción de los
números negativos, los métodos para resolver ecuaciones, los algoritmos para obtener raı́ces
cuadradas y cúbicas y el método para resolver ciertas clases de ecuaciones cuadráticas.
En el capı́tulo VIII, titulado “Método de las tablas”, se resuelven sistemas de ecuaciones,
y el sistema utilizado no es otro que el conocido método de Gauss para resolver sistemas de
varias ecuaciones con varias incógnitas.
En este mismo capı́tulo se introducen los números positivos y negativos. El método que
usaban para sumarlos y restarlos es el mismo que el actual, pero la división y multiplicación
con números negativos no la descubrieron hasta el siglo XIII.
El principio fundamental en que se basan los algoritmos para realizar la extracción de raı́ces
cuadradas y cúbicas que aparecen en los Nueve capı́tulos es justamente el mismo que usamos
actualmente. Y por eso el método para sacar raı́ces cuadradas es casi el mismo que el moderno.
De dicho algoritmo se derivó un método para resolver ecuaciones de segundo grado.
11
En los cálculos que impliquen conocer el valor de π se ha tomado una aproximación π = 3.
23
4.
Desarrollo de las matemáticas Chinas
4.1.
Dinastı́as Wéi, Jı́n, Norte y Sur (221 - 589)
Este periodo se caracteriza por las revueltas de campesinos y levantamientos religiosos, es una etapa de desunión, en la que el territorio se fragmenta.
Sin embargo, para la ciencia fue una época de creatividad e innovación, sobre
todo en el campo de las matemáticas.
En el periodo anterior, aparecieron varios libros que tuvieron una gran
repercusión. Uno de ellos fue el libro Clásico de la aritmética del gnomon
y las sendas circulares del cielo, del cual el matemático Zháo Shuăng hace
un comentario. Zháo vivió, aproximadamente, entre los periodos Wéi y Jı́n.
El capı́tulo más importante de dicho libro es el “Comentario ilustrado del
triángulo rectángulo, cı́rculo y cuadrado”. El texto está escrito con quinientos
caracteres chinos. Contiene veintiún teoremas sobre cuatro sistemas relacionados con los ángulos
rectos de las triángulos y las relaciones con los tres lados. Usando la notación actual se sigue12 :
se obtiene a2 + b2 = c2
Esto es lo mismo, que el llamado Teorema Gōugŭ que aparece en el libro original, cuyo resultado es el Teorema de Pitágoras, muy importante para la historia antigua de las matemáticas,
pues de éste procedieron grandes descubrimientos en geometrı́a.
Desgraciadamente, todos los diagramas de este capı́tulo se han perdido. Sin embargo,
podemos deducir algunos como el Diagrama de la Hipotenusa, el Gōu-gnomon y Gŭ-gnomon.
En el primero se hace una demostración del Teorema de Pitágoras, utilizando la representación
de figuras geométricas en las demostraciones.
Es necesario, para poder demostrar el teorema de Pitágoras en el diagrama anterior que se
verifiquen las siguientes suposiciones:
1. Tanto el área de una figura plana como el volumen del sólido permanecen constante tras
su traslación rı́gida a otro lugar.
2. Si una figura plana o sólida se corta en varias secciones, la suma de las áreas o volúmenes
de las secciones es igual al área o volumen de la figura original.
Si son ciertas, es posible deducir relaciones aritméticas sencillas entre las áreas o volúmenes
de diversas secciones de las figuras planas o sólidas resultantes de disección y reagrupamiento.
12
Usando la notación actual se sigue que gōu = a y gŭ = b.
24
El proceso para la demostración era el siguiente, como indica la figura: tómese un cuadrado
con cada lado igual a la hipotenusa del triángulo original y quite un pequeño cuadrado cuyo lado
sea igual a la longitud del lado horizontal, entonces la parte restante tiene de área c2 − b2 = a2
El gōu-gnomon, como indica la figura anterior, representa el apilamiento de rectángulos. El
desarrollo matemático de esto dos últimas diagramas, gōu-gnomon y gŭ-gnomon, es equivalente
a resolver una ecuación de segundo grado como la siguiente:−x2 + Bx = A
El siguiente matemático destacado es Liú Huī, vivió en la dinastı́a Jı́n,
donde el territorio fue nuevamente unificado. Escribe dos libros, por los que
será reconocido como uno de los matemáticos más ingeniosos de la época. El
primer libro es un comentario de los Nueve capı́tulos sobre el arte matemático, en
el que pretende hacer explicaciones de los textos, añadiendo nuevos métodos y
verificando los cálculos.
Su descubrimiento más destacado es el Método de la división del cı́rculo,
pues crea un nuevo método para calcular π, mediante la razón de la circunferencia de un cı́rculo a su diámetro. Los cientı́ficos chinos, se habı́an preocupado por
encontrar π, pero ninguno habı́a hallado un método para calcularlo. Además se conceptualiza π,
no sólo como la razón de la circunferencia de un cı́rculo, sino como un objeto matemático. Solı́an
tomar π=3, aún sabiendo que este valor no era el correcto, pues no sabı́an como encontrar una
buena aproximación. Las razones por las que π ha despertado tanto interés matemático a lo
largo de la historia son las siguientes: mayor exactitud en los cálculos requeridos en astronomı́a
25
por la construcción del calendario, poder utilizar π para resolver el problema de la cuadratura
del cı́rculo13 y averiguar el del valor del propio π.
Huī usa polı́gonos inscritos para aproximar el cı́rculo y encontrar π. El método de la división
del cı́rculo aparece en un problema de los Nueve capı́tulos sobre el arte matemático, del que
sigue la fórmula S = r 2πr
= r2 π, esto es exacto pues el valor tomado es π = 3. Para aproximar
2
el cı́rculo se parte de un dodecágono inscrito, de forma que el área resultante es menor que el
verdadero valor del área.
El modo correcto de proceder, según Huī es el siguiente: se inscribe un hexágono, y un
polı́gono con el doble de lados que el anterior, en este caso el dodecágono, luego conociendo el
perı́metro de estas dos figuras se aplica el teorema de Pitágoras dos veces, y ası́ se encuentra una
aproximación de π, se continúa partiendo de un dodecágono y el siguiente polı́gono con el doble
de lados (polı́gono de 24 lados), se repite el proceso hasta encontrar una buena aproximación de
π. Verificando los cálculos de Nueve capı́tulos sobre el arte matemático, calculó la longitud de
un polı́gono regular de 96 lados y el área del polı́gono de 192 lados y halló π = 3, 141024, pero
afirmaba que este resultado se podı́a seguir aproximando. Para ello, habı́a que incrementar el
número de lados hasta un número infinito entonces el lı́mite del área del polı́gono regular es el
área del cı́rculo14 .
Finalmente, Huī llegó a encontrar π = 3, 1416, una buena aproximación de π, y la mejor
hasta entonces. En el proceso del cálculo se introduce la noción de lı́mite, desarrollando la teorı́a
y práctica sobre aproximación en los cálculos. Notar que es la primera vez que se utiliza este
concepto para resolver problemas, no sólo para éste en particular sino también es utilizado para
calcular el área de figuras irregulares. Más adelante, el lı́mite jugará un papel muy importante
en el desarrollo del análisis infinitesimal.
También, trabajó con geometrı́a, desarrollando nuevos métodos. Por ejemplo, el problema
de calcular la longitud del lado de un cuadrado inscrito en un triángulo rectángulo cuyos lados
(a, b) adyacentes al ángulo recto son dados, continuando con la fórmula que aparece en los Nueve
ab
Se comprueba que la fórmula es correcta pues
capı́tulos sobre arte matemático se tiene x = a+b
ab = 2∆ABC, reorganizando el triángulo ADEF que aparece en la siguiente figura:
13
Se demostró que era imposible.
Paralelamente, Arquı́mides utilizaba para el cálculo de áreas no sólo polı́gonos inscritos, sino también
circunscritos.
14
26
Ası́, para calcular el volumen de los objetos, procedı́a de forma similar que para hallar el área,
reorganizando varios tipos de figuras tridimensionales llamadas qı́. Este método de combinación
de figuras, es similar a lo que hoy conocemos en geometrı́a plana como traslaciones y rotaciones.
Las figuras que constituı́an el qı́ eran: el cubo, prisma, pirámide y tetraedro, las tres últimas
se relacionan con el cubo. El prisma se define como la mitad del cubo cortado diagonalmente.
La pirámide como 13 del cubo. El volumen del tetraedro era 16 del cubo. Analı́ticamente, para
calcular los volúmenes sigue con la fórmula que aparece en los Nueve capı́tulos sobre el arte
matemático V = 31 h(ab + a2 + b2 ).
Usaba método similares para calcular el volumen de otros cuerpos, como muestra la figura:
Para calcular el volumen de la primera figura usaba dos o cuatro tetraedros con un prisma.
Para la segunda cuatro pirámides y para la tercera empleaba dos cubos, ocho prismas y cuatro
pirámides.
Para calcular volúmenes de secciones planas utilizaban métodos geométricos. Descubre que
la razón del volumen de la esfera respecto del volumen de lo que llamaba “dos paraguas15 ” era
15
Los dos paraguas están formados por la intersección de dos cilindros que circunscriben a la esfera y por la
intersección de ejes que forman ángulos rectos.
27
π : 4. Sin embargo, no calculó el valor de “dos paraguas”, sino que lo dejó indicado para su
resolución por matemáticos posteriores.
Otro descubrimiento que se atribuye a Huī es la notación en base decimal junto con la
4
1
5
1
+ 100
+ 1000
+ 10000
introducción del punto decimal, como por ejemplo 3, 1415 = 3 + 10
De esta forma, continúa con la geometrı́a en su segundo libro: Manual matemático de la isla
del mar. Actualmente, los dos libros de Huī aparecen como independientes, pero en realidad,
el segundo fue una continuación del primero, pues era un desarrollo del capı́tulo que trata del
Gōugŭ. Dicho segundo libro, desarrolla el llamado “método de las segundas diferencias” y recibe
su nombre pues el principal problema que trata es el de calcular la altura y la distancia de una
isla. Gracias a este libro, se posee mayor exactitud, por lo que los mapas son más precisos. Era
muy complicado calcular las distancias entre tierras y rı́os, por lo que dificultaba la construcción
de mapas. En la actualidad se ha encontrado un mapa que utilizaba únicamente el “método de
las segundas diferencias”.
En el método de las segundas diferencias se necesitan básicamente dos observaciones, pero
algunos problemas requieren tres o cuatro, dependiendo de la naturaleza del mismo. Destaca el
problema del cálculo de la altura x y la distancia y, se resuelve de la siguiente forma:
Se toman dos astas AG y EK como se indica en la figura, la altura de las astas es h y la
distancia entre ellas es d. Mientras que las dos astas estén alineadas en el mismo plano vertical,
se toma a1 la distancia del asta EK hasta que estén alineados la cima de la montaña y la
parte superior del asta. Se repite el proceso con el asta AG obteniendo a2 , y de esta forma se
encuentra la altura de la isla y la distancia entre la isla y el asta. Se obtienen las fórmulas:
x=
d
d
h+h y =
a1
a2 − a1
a2 − a1
También, se utiliza este proceso otros problemas similares, como el calcular la altura de un
árbol en una montaña, que requiere tres observaciones.
Otro matemático destacado de este periodo es Zŭ Chōngzhī, junto a su hijo
Zŭ Gĕng. Vivieron en la dinastı́a Norte y Sur. Desde varias generaciones, la
familia de Chōngzhī se habı́a dedicado a la astronomı́a y a la computación del
calendario. Por lo que, se interesa por las matemáticas y hace un estudio del
conocimiento matemático anterior. Destaca por mejorar los métodos utilizados
anteriormente y por corregir errores de los matemáticos anteriores, como por
ejemplo Liú Huī, Liú Xīn, Zhāng Héng y Wáng Fán.
28
Hizo grandes contribuciones al campo de la ciencia y la tecnologı́a. Se interesa por la ingenierı́a y astronomı́a. Descubre graves errores en el calendario de Hé Chéngtián, que era el usado
en aquel entonces. Por lo que construye, con tan solo 33 años, un nuevo tipo de calendario
llamado “Calendario Dá Ming”, que provocó objeciones entre personas muy influyentes por lo
cual no fue aceptado. En defensa de su trabajo, emprende un debate público con Dái Fūaxing16 ,
entre otros, y escribe un ensayo llamado Réplica. El tema del debate era la distinción entere
ciencia y no-ciencia, progresar y conservar. Dái Fūaxing afirmaba que todo debı́a conservarse
igual que en la antigüedad pues ningún humano tiene el derecho de cambiar el calendario, por
lo que acusa a Zŭ Chōngzhī de blasfemo y trabajar en contra de los clásicos. Sin embargo,
Zŭ Chōngzhī afirma que el Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos no eran espı́ritus ni
fantasmas y que conociendo la forma se puede trabajar sin números. Finalmente, su calendario
fue instaurado a los diez años de su muerte. Para la construcción del calendario, calculó el
volumen de la esfera como actualmente conocemos V = 43 πr3 . De esta forma, corrigió el error
que aparecı́a en los Nueve capı́tulos sobre el arte matemático, el nuevo método fue desarrollado
por su hijo.
El método usado por la familia Zŭ es el siguiente: tómese un
pequeño cubo con lado igual al radio de la esfera r. Ésto es 18 del
cubo circunscrito en la esfera. En la figura se tomaba como centro
O y r como radio de la esfera original, construyendo dos cilindros
que corten el lado y las caras frontales del cubo. Ası́, el pequeño
cubo se corta en cuatro partes como se muestra desde la figura
(b) a la (e). En (b), tenemos 81 Huī llamó “dos paraguas cuadrados”, aquı́ lo llamamos “partes del paraguas”. Ahora recombinando cuatro partes se toma un pequeño cubo y la altura h de la
sección cortada. En (f) se tiene un triángulo rectángulo ABC, AB
es el radio r, BC la altura h y AC la longitud del lado de la sección cuadrada a, y por el teorema Gōugŭ se tiene que a2 = r2 −h2
de la que se sigue S = r2 − a2 = r2 − (r2 − h2 ) = h2 Siendo S
la sección cuadrada. Finalmente se obtiene que el volumen de la
parte del “paraguas” es 23 del volumen de un cubo pequeño. Luego
se deduce que el volumen de dos “paraguas” cuadrados es 23 del
volumen de un cubo grande, que es igual al diámetro D, se sigue:
V =
π2 3 4 3
D = πr
43
3
Sin embargo su mayor descubrimiento fue aproximar π a siete cifras decimales, usando la
razón de la circunferencia, a su diámetro, situándolo en este intervalo
3, 1415926 < π < 3, 1415927
De tal manera, que si el radio es de 10 Km., el error es como mucho de mm. Siglos más tarde,
haciendo uso del ordenador se encontrarı́an una aproximación mayor, pero en aquel entonces
esta aproximación era un gran descubrimiento.
16
Cortesano.
29
4.2.
Dinastı́as Suı́ y Táng (589 - 907)
La dinastı́a Suı́ es un periodo de cambios en astronomı́a y en la computación del calendario.
Continuamente, se mejora el calendario, pues los eclipses solares y lunares, requieren saber con
exactitud las posiciones del Sol, la Luna y los cinco planetas conocidos. Anteriormente, se creı́a
que la velocidad de movimiento de los astros siempre era la misma. Sin embargo, en el periodo
anterior, Jiă Kuı́ observa que el movimiento de los astros unas veces es más rápido y otras es más
lento. Sin embargo, fue Zāng Zĭxı́n quien descubre que la trayectoria descrita por los cuerpos
celestes conocidos es una elipse, no que se desplazan a lo largo de una órbita circular, de forma
que los cálculos necesitan una mayor exactitud. Se crea el “método de las segundas diferencias
de interpolación” usado por Liú Zhuó. De esta forma, se pretende predecir los eclipses de Luna
y Sol, por lo que se necesita conocer las posiciones de los astros en el firmamento. Para ello se
necesitan dos observaciones, pues durante el dı́a debido a los intensos rayos de sol era imposible
estudiar las posiciones de otros astros como los cinco planetas conocidos. Se sigue la fórmula
que conocemos como la fórmula de interpolación de Newton.
f (w + s) = f (w) + s∆ +
s(s − 1) 2
∆
2!
Aplicó el método, a lo que se llamó el calendario imperial estándar, usando intervalos de
tiempo iguales.
Posteriormente en el periodo Táng (618-907), el famoso astrónomo Monk Yı́ Xı́ng, usó este
método para sus cálculos, pero tomando intervalos desiguales. Gracias a este método construyó un calendario llamado Dá Yăn.
sL1
d1
f (w + s) = f (w) + s +
L1 L1 + L2
∆1 ∆2
−
L1
L2
s2
−
L1 + L2
∆1 ∆2
−
L1
L2
En los últimos años de este periodo, Xú Áng simplificó la fórmula de Monk construyendo
ası́ un calendario llamado Xuān Ming, simplificando también se obtiene la fórmula de Newton.
s
s2
f (w + s) = f (w) + sd1 + (d1 − d2 ) − (d1 − d2 )
2
2
Se crean Los diez manuales matemáticos, en los cuales se recoge toda la información de la
época, en forma de problemas y métodos para resolverlos. Fueron creados para ser utilizados
por la Academia Imperial y para los exámenes de los soldados. Entre ellos destacan: Nueve
capı́tulos sobre el arte matemático, Clásico de la aritmética del gnomon y las sendas circulares
del cielo, Manual matemático de la isla del mar, Manual matemático del maestro Sūn, etc.
El Manual matemático del maestro Sūn está dividido en tres volúmenes. El primero trata
sobre métodos de multiplicación y división usando palillos; en el segundo se trabaja con fracciones y extracción de raı́ces cuadradas. Ambos libros ponen en práctica el trabajar con palillos,
además en ellos se corrigen algunas erratas que aparecen en los Nueve capı́tulos sobre el arte
matemático. El último volumen recoge problemas difı́ciles de aritmética. Actualmente, hay un
problema de este libro que es muy famoso, el llamado problema del Maestro Sūn. Escrito en
notación algebraica, el problema es el siguiente: dado un número N se divide por m1 y el resto
30
es r1 . Se divide por m2 y el resto es r2 . Se divide por m3 y el resto es r3 ¿Cuánto vale N ? Esto
es equivalente a encontrar N donde:
N ≡ r1 (mod m1 )
N ≡ r2 (mod m2 )
N ≡ r3 (mod m3 )
No es muy difı́cil de resolver. Se deben calcular a1 , a2 , a3 tal que a1 divide a m2 y m3
con resto 1 cuando divide a m1 . a2 divide a m1 y m3 , pero da 1 cuando divide a m2 . a3
divide a m1 y m2 pero da 1 cuando divide a m3 . Entonces, la solución de las congruencias
es a1 r1 + a2 r2 + a3 r3 y se obtiene la solución por sucesivas sustracciones del múltiplo común
de m1 , m2 y m3 . Este problema despertó gran interés por lo que también fue conocido por
otros nombres. Se utilizó para la computación del calendario. Se suponı́a que hacı́a N años,
a medianoche, tuvo lugar el solsticio de invierno, en el que el sol, la luna y los cinco planetas
conocidos estaban en la misma posición. Sin embargo, se sabe que los astros tienen diferentes
periodos de rotación, pero observando N años después en la hora Q del dı́a P del mes M , sus
posiciones y trayectorias son diferentes. Entonces m1 , m2 , m3 ,. . . son los periodos de rotación de
los astros, el Sol, la Luna y los cinco planetas, respectivamente. Usando esto para dividir N años
M meses, P dı́as y Q horas se tiene r1 , r2 , r3 ,. . . que indican el desplazamiento de los cuerpos
celestes, en el mismo orden que antes. Conociendo m1 , m2 , m3 . . . y r1 ,r2 ,r3 . . . podemos calcular
el número total de años N , y ası́ encontrar la solución del problema del Maestro Sūn. Cuando
se empezó a utilizar este método para calcular los años fue llamado Método de Sháng Yuán,
siendo N el número de años. Sin embargo, en el calendario de Zŭ Chōngzhī el método era más
complicado, pues utilizaba once congruencias para N , además los periodos m1 , m2 ,. . . no son
enteros. Desgraciadamente, a pesar de ser tan complicados los métodos se siguieron utilizando.
Otros libros importantes son Cinco clásicos de aritmética, Memorias de algunas tradiciones
del arte matemático y Manual matemático de las cinco secciones del gobierno. Estos tres libros
fueron escritos por Zhēn Luán, que vivió en la dinastı́a Norte y Sur. Era astrónomo dedicado
a la construcción calendárica. Su calendario Tiān Hé fue adoptado oficialmente.
Su primer libro, Manual matemático de las cinco secciones del gobierno trata sobre aritmética aplicada. Estaba dividido en cinco bloques: finanzas, haciendas, armada, aduanas, almacenes.
Cada capı́tulo versaba sobre un bloque. El de haciendas trataba sobre el cálculo de áreas para
cultivar en el terreno. Algunas áreas eran calculadas por métodos de aproximación. El segundo
capı́tulo sobre problemas militares. El tercer capı́tulo trata sobre los problemas de las aduanas
oficiales con el comercio. El cuarto acerca de la comida y la capacidad de los almacenes. El
último sobre finanzas del gobierno. Los últimos capı́tulos de este libro no se rigen por los Nueve
capı́tulos sobre el arte matemático 17 . Se recurre a los métodos de multiplicación, división y
proporción.
En lo Cinco clásicos de aritmética se discuten, como su nombre indica, clásicos del periodo
Hán. No aparece nada relevante en este libro, simplemente se recopilan problemas de aritmética,
pero no se crea un nuevo método.
17
Para sus cálculos no trabajaban con varillas.
31
En Memorias de algunas tradiciones del arte matemático, destaca por la complejidad del
mismo. Se introducen frases budistas, taotistas y mı́sticas en su desarrollo. Se exponen otros
métodos de trabajar con números mediante palillos, pero la idea es impracticable. Se introducen
por primera vez diagramas de filas y columnas, que actualmente se conocen como cuadrados
mágicos. Estos diagramas, se caracterizan por la suma constante de una fila, una columna o
una diagonal. El cuadrado mágico de orden tres es llamado Luò-shū18 , y la suma constante es
15, de esto se siguen las siguientes fórmulas:
S = 1/2n2 (n2 + 1)
s = S/n
S es la suma total de todos los números contenidos en las n celdillas y s es la suma constante
de los números de cada fila, columna o diagonal. La construcción del Luò-shū, es muy sencilla.
Se colocan los nueve primeros números en forma de escalera, de tres en tres, como indica la
figura. Se cambian de lugar los extremos, el 1 y 9, 3 y 7. Se introducen los números en las
celdillas y ası́, ya tenemos el cuadrado mágico.
Además de esta forma también se representa un principio importante de la filosofı́a china: el
equilibrio notable entre dos fuerzas complementarias del yin (femenino) y yang (masculino) en
la naturaleza, representadas por números impares (cuentas blancas) y pares (cuentas negras),
respectivamente, dispuestas alrededor del número central que es el 5 como muestra la figura
siguiente:
Posteriormente, trabajaron con cuadrados mágicos de orden cuatro y cinco. Más adelante
el orden de los cuadrados aumentará notablemente.
El siguiente libro es el Manual matemático de Xiáhóu Yáng sigue usando las varillas de contar. En tres capı́tulos se pueden encontrar ochenta y tres problemas relacionados con situaciones
de la vida diaria. Se recogen las leyes del periodo Táng, en forma de problemas que enunciaban
18
Aunque para su aprendizaje en la escuela se solı́a llamar nueve casas.
32
la legislación de propiedades particulares. Hay problemas de cálculo de dos impuestos de arroz
y dos impuestos de Palacio. Destaca por trabajar con varillas, esto se mantendrá hasta que
muchos siglos después se desarrolló un nuevo instrumento de cálculo, el ábaco.
El Manual matemático de Zhāng Qīujiàn está dividido en varios volúmenes, de los que sólo
se conserva el primero con noventa y dos problemas. En el prefacio de este libro se recomendaba
para personas que no tuvieran miedo de trabajar con multiplicaciones y divisiones, pero que
tuvieran dificultades para encontrar denominadores comunes. Usando la notación del álgebra
moderna, se siguen las siguientes fórmulas:
1. Conociendo el primer término a y el último l, sabiendo que hay n términos, la suma de
los n términos es:
1
S = (a + l)n
2
2. Dados a, n y s, encontrar la diferencia común d:
d=
2s
− 2a /(n − 1)
n
Destacan los problemas con fracciones y la dificultad de las multiplicaciones y divisiones
para encontrar un denominador común. También, se trabaja con sucesiones, series y resolución
de sistemas de dos ecuaciones con tres incógnitas.
Por último, encontramos el libro Continuación de las matemáticas antiguas, compuesto
por veintidós problemas, escrito por Wáng Xiáotōng, astrónomo y matemático. Problemas de
construcción de plataformas y diques de diferentes alturas, reparación de almacenes. Es el
primero en usar el “método del corolario de raı́ces cúbicas”. Se preocupa por la resolución de
ecuaciones de tercer grado.
x3 + ax2 + bx = A
Todo el contenido matemático de los libros anteriores era muy importante, sin embargo en la
Academia Imperial, el número de estudiantes disminuı́a. Se cambiaron las leyes, y se utilizaban
como material didáctico estos libros. El conocimiento de los Diez manuales matemáticos era
fundamental, se debı́a saber resolver los problemas que aparecen en ellos, sin olvidar los libros
importantes de las etapas anteriores como Nueve capı́tulos sobre el arte matemático, Manual
de la isla del mar. Los exámenes para militares consistı́an en la resolución de problemas que
aparecen en los libros.
Este periodo, Táng, en el la China de la época está unificada fue una etapa caracterizada
por la apertura de influencias extranjeras, siendo un renacimiento artı́stico y literario. Sus
principales innovaciones tecnológicas fueron la imprenta y la pólvora. Se introduce el budismo
notablemente, y otras corriente religiosos y razonamientos. Los primeros libros que se introducen
33
son: Métodos de cálculo de la escuela Brahma, Manual matemático de la escuela Brahma y
Cálculo del calendario de la escuela Brahma. Los conceptos que se introducen son en su mayorı́a
conocidos por lo que no despiertan interés. Se introduce la medida de los arcos, tabla de senos
trigonométricos y los numerales hindúes, estos últimos nunca fueron adoptados. Además, los
conocimientos se expanden a Corea y Japón. Con la creación de los Diez manuales matemáticos,
como hecho destacado, se dará lugar a una etapa de esplendor.
34
5.
Matemáticas durante el periodo de esplendor chino.
Dinastı́as Sòng y Yuán (960 - 1368)
Durante las dinastı́as anteriores, las matemáticas se desarrollaron a partir de un sistema que
tenı́a como base los Diez libros de matemáticas clásicos. En este periodo, las matemáticas se
desarrollaron más. La técnica de impresión fue muy desarrollada. A partir de esto, el gobierno
mandó a copiar los libros que se encontraban en la administración, donde se guardaban todos los
trabajos de las dinastı́as anteriores. Se mandó a copiar libros como los Nueve capı́tulos sobre el
arte matemático y otros que fueron utilizados como libros de texto en escuelas y universidades.
En este momento, dinastı́a Sòng, China estaba dividida en dos zonas: la zona norte y la
zona sur. En la zona norte habı́a una estabilidad en las matemáticas que se desarrollaba en la
academia imperial, pero habı́a momentos en los que las matemáticas no se desarrollaban, pues
se consideraban extravagantes y se pensaba que no contribuı́an al avance del paı́s. Sin embargo,
en esta zona, las matemáticas se estabilizaron con el paso de los años. Por otro lado, en la zona
sur, la situación fue distinta. Las matemáticas al inicio de la dinastı́a Sòng estaban estabilizadas
pero llegó un momento que no se continuaron y nunca más se volvieron a estabilizar.
En 1127, con la invasión de los Mongoles, los libros que se encontraban en la
administración fueron destruidos. A partir de aquı́ comienza un nuevo periodo para
la zona norte Mongol (periodo Yuán), mientras que en la zona sur, se encuentra
el periodo Sòng.
Los matemáticos más importantes de este momento fueron Qı́n Jis̆hao y Yáng
Huī en la zona sur y Zhū Shı̀jié y Lĭ Zhı̀ en la zona norte, que reflejaron en sus
trabajos todo el esplendor matemático del momento. Actualmente, los trabajos de
Yáng Huī se conservan incompletos. También destacaron otros matemáticos en la
zona norte durante la dinastı́a Sòng, es decir, antes de la invasión de los Mongoles,
como son Shĕn Kuò, Zhū Ji y Jiă Xiàn, que hicieron contribuciones al campo de
astronomı́a, series y solución de ecuaciones.
Los tratados más destacados de cada uno de éstos matemáticos son los siguientes:
Shĕn Kuò : Ensayos sobre un conjunto de sueños.
Qı́n Jis̆hao : Tratado matemático en nueve secciones.
Lĭ Zhı̀ : Espejo marino de las medidas circulares.
Yáng Huī :
Análisis detallado de los métodos matemáticos de los nueve capı́tulos.
Métodos de cálculo para el uso diario.
Métodos de cálculo.
Zhū Shı̀jié :
Introducción a los estudios matemáticos.
35
Espejo precioso de los cuatro elementos.
Las matemáticas chinas en este periodo Sòng y Yuán constituyen un periodo de gran esplendor matemático, que se desarrolló durante el periodo medieval en Europa. Los campos que se
trataron en este momento fueron muy diversos: métodos de extracción de raı́ces, operaciones con
polinomios, series, análisis indeterminado, cuadrados mágicos y trigonometrı́a esférica; destacando más los tres primeros. Además contribuyeron a avances tecnológicos y avances en la
fabricación de calendarios.
5.1.
Métodos de extracción de raı́ces
Durante las dinastı́as anteriores ya se habı́a desarrollado un método para resolver ecuaciones
del tipo x2 = A y x3 = B. Este método era el “método de abrir el cuadrado”que consistı́a en
extraer raı́ces cuadradas de las ecuaciones, pues todas las ecuaciones ordinarias se pueden
reducir a ecuaciones del tipo x2 + ax = b. Este método se fue desarrollando y llegó a ser
el “corolario de extracción de raı́ces cuadradas”. Por otro lado, el método para solucionar
ecuaciones ordinarias de tipo cúbico x3 + ax2 + bx = c, “el corolario de tomar raı́ces cúbicas” se
desarrolló del método de extraer raı́ces cúbicas. Estos métodos pueden ser encontrados en Los
nueve capı́tulos sobre el arte matemático y El manual matemático de Zhāng Qīujiàn (“corolario
de extracción de raı́ces cuadradas”) y el corolario de tomar raı́ces cúbicas se encuentra en el
libro Continuación de las antiguas matemáticas.
La configuración del conteo con varillas del método que aparece en los Nueve capı́tulos sobre
el arte matemático se explica a continuación:
Se daban cinco filas de arriba abajo:
La primera fila shāng, daba el resultado.
La segunda fila shı́, daba el número dado.
La tercera fila fàng (el cuadrado) daba el coeficiente de x2 .
La cuarta fila, liàn (el lado) daba el término cúbico, coeficiente de x3 .
La quinta fila, yú (la esquina).
El procedimiento era el siguiente:
Colocaban la primera aproximación de la raı́z. Si, por ejemplo, resolvı́an un problema de tipo
x3 = N
x = (a + b + c). Se tomaba la primera aproximación de x en este caso a. Después de
colocar a en la fila del resultado, se desarrollaba aparte el binomio (a+b)3 = a3 +3a2 b+3ab2 +b3
y se colocaban los coeficientes de a en las filas correspondientes. A partir de esto, colocaban la
segunda aproximación de la raı́z (a + b) en la fila resultado y desarrollaban aparte el binomio
((a + b) + c)3 = (a + b)3 + 3(a + b)2 c + 3(a + b)c2 + c3 y colocaban los coeficientes de (a + b) en
las filas correspondientes, y ası́, hasta llegar al tercer lugar de la aproximación de la raı́z c.
36
Los matemáticos de este periodo se dedicaron a buscar métodos para la extracción de
raı́ces de ecuaciones de grados arbitrarios. Jiăn Xiàn introdujo un método para extraer raı́ces
cuadradas y cúbicas que más tarde se generalizó para encontrar raı́ces de grados arbitrarios.
Todos los trabajos de Jiăn Xiàn se encuentran perdidos. Este método se encuentra recopilado
en el libro Reclasificación de los métodos matemáticos de los nueve capı́tulos por Yáng Huī. Este
método es el llamado “método de extracción de raı́ces cuadradas por sucesivas multiplicaciones”.
Éste es más directo que el anterior, pues los cálculos se realizan en la misma distribución de
conteo con varillas.
Veamos el procedimiento para el problema del ejemplo anterior, x3 = N
x = (a + b + c).
Después de conseguir el primer lugar de la raı́z, el método de Jiàn Xiàn dice lo siguiente:
Usando el resultado, a, multiplicando por la varilla de la “esquina”, se consigue el “término
lineal” a. Multiplicando el “término lineal” por la raı́z, a, se consigue el “término cuadrado” a2 ,
multiplicando de nuevo, a, por el “término cuadrado” a2 , y restando esto al “número dado”, se
obtiene el nuevo “número dado” N − a3 . Después de esto, tomar de nuevo la raı́z multiplicada
por la “esquina” y sumarla al “término cúbico” anterior, a3 , dando, 2a; multiplicar esto por el
“término lineal” o el “resultado”, a y añadirlo al coeficiente de x2 , esto es, 2a2 + a2 = 3a2 . De
nuevo, multiplicar por la fila “esquina” y añadir al coeficiente de x, dando 2a + a = 3a. Para
encontrar la segunda aproximación de la raı́z (a + b) se sigue el mismo procedimiento hasta que
se encuentra N − (a + b + c)3 y esta es la raı́z cúbica (a + b + c)3 .
37
Este método es el que actualmente se conoce como el “método de Horner” veamos esto:
Resolveremos el problema (a + b + c)3 = N por el “método de Horner” actual. Esto es,
resolver x3 − N = 0:
1
0
0
−N
1
a
a
a2
a2
a3
−N + a3
a
a
1 2a
2a2
3a2
a
a
1 3a
a
38
1
3a
3a2
−(N − a3 )
1
b
3a + b
3ab + b2
3a + 3ab + b2
3a2 b + 3ab2 + b3
−N + a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
= −(N − (a + b)3 )
1
b
3a + 2b
3ab + 2b2
3a2 + 6ab + 3b2
= 3(a + b)2
1
b
3a + 3b
b
b
b
2
1
3a + 3b
3(a + b)2
−(N − (a + b)3 )
1
c
3a + 3b + c
3ac + 3bc + c2
3(a + b)2 + 3(a + b)c + c2
3(a + b)2 c + 3(a + b)c2 + c3
−N − (a + b + c)3
1
c
3a + 3b + 2c
3(a + b)c + 2c2
3(a + b)2 + 6(a + b)c + 3c3
= 3(a + b + c)2
1
c
3(a + b + c)
c
c
c
Nota: Observar que los restos obtenidos coinciden con las columnas de las distintas aproximaciones de x del método de “extracción de raı́ces por sucesivas multiplicaciones”
El método de Horner fue publicado por Horner en Europa en 1819 y por Ruffini en 1804,
sin embargo, Jiăn Xián introdujo el método de extracción de raı́ces cuadradas y cúbicas por
sucesivas multiplicaciones a mediados del siglo XI, lo que equivale a unos 800 años antes de lo
que se desarrolló en Europa.
Además, el método de la extracción de raı́ces cuadradas y cúbicas por sucesivas multiplicaciones influyó en el desarrollo de las matemáticas durante este periodo.
Jiăn Xiàn buscó un método para encontrar los coeficientes binomiales, pues los necesitaba
para el método de extraer raı́ces de alto grado. Además del método de encontrar los coeficientes
binomiales desarrolló un diagrama para éstos. Este diagrama aparece en Análisis detallado de
los métodos matemáticos en los nueve capı́tulos de Yáng Huī. Se llamaba “La fuente del método
de extracción de raı́ces” y fue desarrollado por Jiăn Xiàn hasta orden seis en el siglo XI. La
configuración de los números es la siguiente:
39
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
1
6
10
15
1
3
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
El número de la fila (n + 1) es el que indica el grado del binomio (a + b)n . El diagrama
se desarrolla a partir del método de extracción de raı́ces por sucesivas multiplicaciones. Para
llegar a los coeficientes del binomio (a + b)6 Jiăn Xiàn usó el método de extracción de raı́ces
por sucesivas multiplicaciones.
Por otro lado, en el trabajo de Zhū Shı̀jié, Espejo precioso de los cuatro elementos, aparece un
diagrama similar desarrollado hasta orden ocho y al lado de cada fila aparecen unos caracteres
que designan ésta. Debajo aparece un comentario que explica la forma de su construcción y los
usos a los que se puede aplicar:
Los números en la fila (n + 1) muestran los coeficientes del desarrollo binómico
de (a + b)n , siendo n un número entero positivo. Los coeficientes unidad a lo largo
del borde en pendiente a la izquierda (la chi shu) y de la lı́nea extrema en pendiente
a la derecha (la yu suan) son los coeficientes del primero y del último término,
respectivamente, de cada desarrollo del binomio. Los números internos ((2)), ((3, 3)),
((4, 6, 4)),. . . , son los términos internos de las ecuaciones binómicas de segundo,
tercero, cuarto,. . . , grados.
Zhū Shı̀jié continúa indicando la estrecha relación que existe entre la construcción del triángulo y la resolución de ecuaciones numéricas de orden superior.
Multiplı́quense los coeficientes de la fila (n + 1) por un valor sugerido para la
raı́z; a continuación, sustráigase la potencia enésima de la fila sugerida de Shi (esto
es, la constante cuya raı́z hay que extraer) y divı́dase la diferencia por el producto
del valor sugerido y del coeficiente para obtener el nuevo valor de la raı́z.
La cresta del pavo real
40
Este diagrama es lo que se conoce en Europa como el triángulo de Pascal, (1623-1662). Por
otro lado, el matemático árabe Al-Kashi en 1427 dio una tabla de coeficientes binomiales y
en 1527, Apianus matemático alemán, también hizo su aportación al triángulo, pero en China,
Jiăn Xiàn desarrolló un “diagrama de la fuente de extracción de raı́ces” unos 400 años antes
que Al-Kashi y unos 500 años antes que la primera aparición del método en Europa, dada por
Apianus.
Después del desarrollo de este diagrama, la resolución de ecuaciones de altos grados se
desarrolló en el siglo XIII, en el cual, el álgebra era la cima del conocimiento matemático chino.
Hasta el momento para resolver ecuaciones cuadradas y cúbicas todos los coeficientes eran
no negativos. Lı́u Jı̀ en su obra Discusión sobre la antigua fuente la cual se encuentra perdida
y lo único que se tiene es una recapitulación de algunos problemas en obras de Yáng Huī.
Estas ecuaciones, con coeficientes negativos, se resolvı́an por el “método de extraer raı́ces por
productos acumulados” o bien por el “corolario de extraer raı́ces cuadradas por sustracciones”.
Además de resolver ecuaciones con coeficientes negativos, se resolvı́an ecuaciones con coeficientes en los términos de altos grados. El método que se usaba es el mismo que el “método de
extracción de raı́ces por multiplicaciones sucesivas”, pero en vez de añadiendo (sumar), lo que
se hace es restar.
Sin embargo, el método de generalización de raı́ces cuadradas por sucesivas multiplicaciones
se dio en el siglo XIII y aparece en el libro Tratado sobre matemáticas en nueve secciones de Qı́n
Jis̆hao. Esta generalización es llamada “método de extracción de raı́ces” pues incluye extracción
de raı́ces de ecuaciones con grados arbitrarios y con coeficientes negativos o no.
5.2.
Trabajos con ecuaciones polinómicas
En el campo de las ecuaciones se consideran dos pasos: el primero es encontrar la ecuación
y el segundo es resolver esa ecuación. Para el segundo paso se tiene el “método de extracción de
raı́ces por sucesivas multiplicaciones” que se vio anteriormente. Para el primer paso, encontrar
la ecuación, se usaba la “técnica del elemento celestial”, y la “técnica de las cuatro incógnitas”
que surgió a partir de la anterior.
La “técnica del elemento celestial” es el método general para obtener una ecuación dadas
unas condiciones. Esto se describe en el Espejo marino de medidas circulares y Nuevos pasos en
los cálculos de Lĭ Zhı̀. Además también se encuentra en los trabajos de Zhū Shı̀jié Introducción
a los estudios de matemáticas y el Espejo precioso de los cuatro elementos, donde generaliza
41
la obtención de ecuaciones de una a cuatro incógnitas. Por tanto, la “técnica del elemento
celestial”, era usada para obtener ecuaciones.
El procedimiento de esta técnica es similar al que se utiliza actualmente en los libros de
álgebra. Además los matemáticos chinos de este periodo sumaban, restaban, multiplicaban
y dividı́an polinomios. Todos los polinomios los expresaban de forma racional, esto es, de la
forma ax2 + bx + c. Si tenı́an un polinomio de forma irracional, eliminaban los cuadrados, o
bien, multiplicaban en cruz.
El origen de esta técnica se sitúa a principios del siglo XIII, finales del XII y se atribuye
al desarrollo social. Por lo que se cree que la técnica se dio de forma local, según el desarrollo
cultural y comercial de cada zona.
La configuración del conteo con varillas era la siguiente:
Para indicar una ecuación polinómica se usaban los caracteres (
primer grado y ( tài) término constante.
yuán) coeficiente de
Los coeficientes del polinomio se escribı́an en columna y, al lado, a la derecha, los caracteres
correspondientes.
Habı́a varias formas, pero en este periodo, la más usada era la forma B, caso 2.
La generalización de la “técnica del elemento celestial” dio lugar a la “técnica de las cuatro
incógnitas”. Esto tuvo lugar por el intento de obtener sistemas de ecuaciones mediante la técnica
anterior. La “técnica de las cuatro incógnitas” se describe en el Espejo precioso de los cuatro
elementos de Zhū Shı̀jié. Las cuatro incógnitas que se consideran en esta técnica son:
x como el elemento celestial.
y como el elemento tierra.
z como el elemento humano.
u como el elemento material.
42
La configuración en el método de conteo con varillas era la siguiente: se colocaba ( ) tài, el
término constante y alrededor del carácter se ponı́an los coeficientes de las distintas incógnitas,
x por abajo, y a la izquierda, z a la derecha y u por arriba del término, esto es:
Para escribir los coeficientes de las distintas incógnitas multiplicadas unas por otras lo que
se hacı́a es:
Si las incógnitas multiplicadas estaban seguidas, se coloca el coeficiente en el cuadrante
que está entre las dos incógnitas dadas.
Si las incógnitas multiplicadas son opuestas en la configuración de conteo con varillas, los
coeficientes se colocan en la diagonal.
Veamos ejemplos de ecuaciones de cuatro incógnitas:
Para resolver estas ecuaciones se usaba el “método de eliminación” que se basaba en el
reemplazo de los distintos elementos. Veamos un ejemplo de este método para tres incógnitas,
que se desarrolla en un trabajo de Zhū Shı̀jié.
Resolvemos el sistema siguiente de tres ecuaciones por “la técnica de las cuatro incógnitas”:
Primera fórmula:
Segunda fórmula:
Tercera fórmula:
43
La explicación dada por Zhū Shijié en su texto original es la siguiente:
Usando la segunda fórmula separando y eliminando. El elemento humano reemplaza la incógnita celestial en las dos fórmulas. La primera fórmula da (después de
sustituir por y 2 desde la tercera fórmula y dividiendo por x)
y la segunda da
Eliminando por reducción del denominador escondido19 , da a la izquierda:
y a la derecha:
Multiplicar la columna interior por cada una dada
La columna exterior dada
Eliminar los productos usados de las columnas interior y exterior. Dividir por cuatro
y obtener la fórmula
Solucionando esta ecuación se consigue que z = 5.
19
Consiste en multiplicar y dividir el polinomio por la constante necesaria para que no haya denominadores
en él.
44
En notación moderna la eliminación final da:
Columna derecha:
Columna izquierda:
Lo cual es equivalente a resolver:
(7 + 3z − z 2 )x + (−6 − 7z − 3z 2 + 3z 3 ) = 0 fórmula izquierda
(13 + 11z + 5z 2 − 2z 3 )x + (−14 − 13z − 15z 2 + −5z 3 + 2z 4 ) = 0 fórmula derecha
Cuando las fórmulas de los lados son puestas −6−7z −3z 2 +z 3 y 13+11z +5z 2 −2z 3 son las
“columnas interiores” y 7 + 3z − z 2 y −14 − 13z − 15z 2 + −5z 3 + 2z 4 son las columnas exteriores.
Luego multiplicando juntas las dos columnas interiores y exteriores, restando y simplificando
tenemos 4(−5 + 6z + 4z 2 − 6z 3 + z 4 ) = 0 Dividiendo por cuatro llegamos a una ecuación
cuadrática que si la resolvemos obtenemos la respuesta z = 5.
5.3.
Investigaciones en series finitas
Las investigaciones en series de igual diferencia en este periodo fueron llevadas a cabo
por Shĕn Kuò, Yáng Huī y Zhū Shı̀jié principalmente. De estas investigaciones se obtuvieron
resultados excepcionales en las series de igual diferencia de altos órdenes.
El orden de una serie es el número de veces que se deben realizar las diferencias entre los
términos de la serie hasta que las diferencias sean un mismo término. Por ejemplo, si se tiene
la serie de los cuadrados, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, . . . hacemos las diferencias y tenemos que:
Serie
1
4
9
16
25
36
...
Primera diferencia
Segunda diferencia
4−1=3
9−4=5
16 − 9 = 7
25 − 16 = 9
36 − 25 = 11
5−3=2
7−5=2
9−7=2
11 − 9 = 2
Por lo que se tiene que la serie es de orden dos. Las primeras investigaciones en este campo
fueron las desarrolladas por Shĕn Kuò con su “teorı́a de los pequeños incrementos”, que se
basaba en problemas de amontonar pilas. Para resolver estos problemas se usaba el “método de
la plataforma rectangular” que consistı́a en contar las cosas que estaban amontonadas a partir
45
de pilas de base rectangular donde hubiera n capas. El primer rectángulo de lo alto serı́a de
ancho a y de largo b y el rectángulo de abajo serı́a de ancho c y largo d; de lo que se obtiene la
fórmula:
S = ab + (a + 1)(b + 1) + . . . + cd =
n
n
[(2b + d)a + (2d + b)c)] + (c − a)
6
6
que viene dada de calcular el volumen de la pila rectangular.
Esta técnica se encuentra en la sección de técnicas del trabajo Ensayos sobre un conjunto
de sueños de Shĕn Kuò. Por otro lado, otros matemáticos también se dedicaron a investigar
en los problemas de amontonar pilas, como por ejemplo el matemático Yáng Huī, pues en sus
trabajos un Análisis detallado de los métodos matemáticos de nueve capı́tulos y Alpha y omega
de una selección sobre aplicaciones de métodos aritméticos. Aparecen cuatro tipos de problemas
de amontonar pilas que se basan en el “método de la plataforma rectangular” de Shĕn Kuò.
Pila rectangular20 o pila de frutas
S = ab + (a + 1)(b + 1) + . . . + cd =
n
n
[(2b + d)a + (2d + b)c)] + (c − a)
6
b
Pila de frutas o pirámide de base cuadrada
S = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 =
n
(n + 1)(n + 1/2)
3
Pilas cuadradas o plataformas cuadradas
n
S = a + (a + 1) + (a + 2) + . . . + b =
3
2
2
2
2
b−a
a + b + ab +
2
2
2
Pila triangular o tetraedro
S = 1 + 3 + 6 + 10 + . . . +
n(n + 1)
n
= (n + 1)(n + 2)
2
6
Todas estas ecuaciones son casos particulares de la primera.
La investigación de las series de diferencias finitas de alto orden, llegó a relacionar los problemas de series finitas de igual diferencia con los problemas de interpolación. Los problemas de
interpolación estaban relacionados con los movimientos del sol, la luna y los cinco planetas que
se conocı́an y eran utilizados en la fabricación de calendarios. Por tanto, las investigaciones en
series de igual diferencia fueron utilizadas en los calendarios. De la observación del movimiento
del sol y de la luna, los astrónomos chinos como Guō Shŏujı̀ng, realizaron Calendarios de trabajos
y dı́as en el cual, de las tablas de valores obtenidas, se sacaron dos series de igual diferencia,
una de orden cuatro “diferencias acumuladas” y otra de orden tres “promedio de las diferencias
acumuladas” que se construı́a dividiendo las diferencias acumuladas por el número de dı́as del
20
Es la misma que la plataforma rectangular de Shĕn Kuò
46
periodo considerado. La generalización de esto, dio lugar a los polinomios de interpolación de
altos grados.
En el Espejo precioso de los cuatro elementos de Zhū Shı̀jié, se encuentran los mejores resultados en el campo de las series, además de la “técnica del elemento celestial” y la “técnica de las
cuatro incógnitas”. Las investigaciones de Zhū Shı̀jié se basaron en los problemas de amontonar
pilas y en las diferencias finitas. Zhū Shı̀jié generalizó la fórmula de las pilas triangulares que
en notación moderna es:
n
X
1
r (r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(r + p − 1) =
p!
r=1
=
1
n(n + 1)(n + 2) · · · (n + p − 1)(n + p)
(p + 1)!
Variando p = 1, 2, 3 . . . se obtienen las distintas pilas triangulares. A estos problemas de
amontonar pilas le añadı́a una capa más y generalizando esto llegó a la fórmula de las pilas con
pico. La fórmula en notación moderna es:
X 1
r r (r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(r + p − 1) =
p!
1
=
n(n + 1)(n + 2) · · · (n + p)((p + 1) + (n + 1))
(p + 2)!
Además encontró más subproblemas de las pilas triangulares, haciendo cambios y operaciones
en la fórmula general de éstos.
En el área del cálculo de las diferencias finitas Zhū Shı̀jié introdujo la fórmula exacta de las
diferencias finitas hasta orden cuatro que aparece en Europa por los trabajos de Newton unos
400 años más tarde.
1
(n)(n + 1)∆2 +
2!
1
+ (n)(n + 1)(n + 2)∆3 +
3!
1
+ (n)(n + 1)(n + 2)(n + 3)∆4
4!
f (n) = n∆ +
Los coeficientes de los distintos órdenes de las diferencias vienen dados por la fórmula de
las pilas triangulares para p = (orden de la diferencia).
Estas investigaciones en el campo de las series de igual diferencia y las diferencias finitas
fueron utilizadas en astronomı́a, pasando ası́ la astronomı́a china a un nuevo nivel en este
periodo.
47
5.4.
Investigaciones en otras áreas
5.4.1.
Análisis indeterminado
Otra área de investigación en este periodo fue el análisis indeterminado. El análisis indeterminado consiste en solucionar problemas de congruencias lineales que en notación moderna
es N ≡ r(mod m). Estos problemas aparecieron en China durante periodos anteriores pues
en el Manual de matemáticas del maestro Sūn, aparece el siguiente problema de congruencias
lineales:
Problema: Tenemos un número desconocido de objetos. Se cuentan en grupos de 5, el resto
es 3 y cuando se cuentan en grupos de 7, el resto es 2. ¿Cuántos objetos hay? Respuesta: 23.
El problema da lugar a la resolución de las siguientes congruencias:
N ≡ 2(mod 3)
N ≡ 3(mod 5)
N ≡ 2(mod 7)
Donde N es el valor entero más pequeño que verifica el problema. Existen varias formas de
solucionarlo. Si las condiciones y los números eran simples, se obtenı́a el conjunto de soluciones
por ensayo y error, pero si las condiciones y los números eran complicados se utilizaba el
“método de encontrar uno por la mayor extensión”, que es un método similar al algoritmo
de Euclides. Este método surgió a partir de la fabricación de calendarios y el problema de
encontrar exactamente el número de años (medidos en dı́as) desde el comienzo del calendario. La
descripción sistemática del problema fue dada por Qı́n Jis̆hao que con el “método de encontrar
uno por la extensión”, resolvı́a problemas de congruencias lineales, como se explica en su trabajo
Tratado matemático en nueve secciones. En notación moderna, este método de Qı́n Jis̆hao puede
ser descrito de la siguiente forma:
Primero sustraer mi repetidamente desde M/mi ası́ que se llega al resultado final G, que
satisface
G ≡ M/mi (mod mi )
Usando la notación moderna el procedimiento que se sigue para resolver estos problemas
por el “método de encontrar uno por la gran extensión” es el siguiente:
mi = GQ1 + R1
G = R1 Q2 + R2
R1 = R2 Q3 + R3
R2 = R3 Q4 + R4
R3 = R4 Q5 + R5
K1
K2
K3
K4
K5
= Q1
= K1 Q2 + 1
= K2 Q3 + K1
= K3 Q4 + K2
= K4 Q5 + K3
48
Rn−2 = Rn−1 Qn + Rn , (Rn = 1) Kn = Kn−1 Qn + Kn−2 . Si Rn−1 = 1 y Kn−1 es impar,
entonces se usa 1 para dividir Rn−1 ası́ que Rn−1 = 1, 0 + Rn , el Q es cero y el resto Rn = 1.
Veamos un ejemplo de esto:
Resolver la siguiente congruencia:
2970a1 ≡ 1(mod 83)
Se tiene que G = 2970 − 35 · 83 = 65 y mi = 83, entonces:
83 = 1 · 65 + 18
65 = 3 · 18 + 11
18 = 1 · 11 + 7
11 = 1 · 7 + 4
7=1·4+3
4=1·3+1
K1
K2
K3
K4
K5
K6
=1
=3·1+1=4
=1·4+1=5
=1·5+4=9
= 1 · 9 + 5 = 14
= 1 · 14 + 9 = 23
Por tanto como R6 = 1 y K6 = 23, se tiene que el valor de a1 = 23 y se verifica que
23 · 2970 ≡ 1(mod 83)
5.4.2.
Cuadrados Mágicos
Durante este periodo, los cuadrados mágicos o diagramas de filas y columnas también fueron
objeto de estudio. Yang Hiú se dedicó a esto en su libro Continuación de los antiguos métodos matemáticos para aclarar lo extraño (propiedades de los números) examina los cuadrados
mágicos hasta el orden 10 × 10. El de orden 7 × 7 Yáng Huī lo denominaba la extensión del
número del diagrama. Durante este periodo al cuadrado mágico de orden 6 × 6 se le domino
“cuadrado mágico central”
Diagrama de números en extensión: (cuadrados mágicos) 9 × 9 suma de columnas, filas y
diagonal es 369.
49
5.4.3.
Trigonometrı́a esférica
Durante las dinastı́as anteriores Suı́ y Táng se introdujeron en China conocimientos sobre
trigonometrı́a esférica desde la India, pero estos no fueron de interés para los matemáticos y
astrónomos chinos de estos periodos.
Aunque en los Nueve capı́tulos sobre el arte matemático se menciona una breve relación
sobre el arco, la sagita y la cuerda, no es hasta el siglo XI cuando realmente se introduce una
fórmula que relaciona el arco, la sagita y la cuerda. Esta fórmula fue dada por Shĕn Kuò y
se llamó “técnica de interceptar cı́rculos” que fue usada por los astrónomos de la época para
calcular “la inclinación hasta el ecuador”, esto es, la longitud y “los grados acumulados a lo largo
del ecuador”, es decir, la latitud. De todos estos cálculos apareció el campo de la trigonometrı́a
esférica.
Sin embargo, estos conocimientos no se siguieron desarrollando, pues con la “técnica de
interceptar cı́rculos” los cálculos que se realizaban eran inexactos, ya que consideraban π = 3.
Hasta el siglo XVII en Europa que usaron como base los conocimientos chinos de trigonometrı́a
esférica de este periodo.
5.5.
Intercambio de conocimientos matemáticos durante
este periodo
En el periodo Sòng y Yuàng el intercambio de conocimientos matemáticos entre China y
el resto del mundo fue mucho mejor que en los periodos anteriores. Con el avance de los de
Mongoles se desarrollaron avances en el intercambio entre China y los paı́ses islámicos durante
el siglo XIII. En el periodo Yuàng se creó un observatorio islámico en la capital. A raı́z de esto,
muchos textos islámicos fueron introducidos en China de los cuales muchos se han perdido
pues no hubo traducción de ellos. Todos estos textos astronómicos islámicos se recogieron en el
Colección de los recopilatorios oficiales del periodo Yuáng en la sección de libros islámicos. Al
mismo tiempo se pasaron los numerales arábigos y métodos de cálculo.
En 1956, en una excavación se encontró una plancha de hierro en la que estaba grabado
un cuadrado mágico de orden 6 × 6 que era utilizado para derrotar los espı́ritus del diablo y
para exorcismos. En esta plancha de hierro, los dı́gitos del cuadrado mágico son similares a los
números llamados “números arábigos” procedentes de paı́ses islámicos.
50
Se ha visto también que los chinos usaban métodos de cálculo en arena o tierra para lo que
utilizaban pizarras de arena o tierra con un palillo de bambú o de hierro, pero los cálculos eran
cortos.
En este periodo también se introdujo el método de escribir los cálculos “cálculos escritos”. Para esto se exponı́a una
cuadrı́cula y se traı́a el multiplicando y el multiplicador por
toda la cuadrı́cula hasta rellenarla. De esta forma se mostraban los cálculos realizados a lo largo de todo el proceso. Este
método también era de Arabia.
Sin embargo, no sólo se introdujeron conocimientos islámicos en China, sino que a la vez, los conocimientos matemáticos
chinos también fueron intercambiados. Cuando los Mongoles
ocuparon Bagdag construyeron un observatorio astronómico,
Maraghah, en el que trabajaron muchos matemáticos y astrónomos que usaban los conocimientos matemáticos chinos en
sus trabajos, como son la descripción de métodos de división,
extracción de raı́ces cuadradas, cúbicas o de grados superiores
y la tabla obtenida por Jiă Xiàn para coeficientes binomiales
del “método de extracción de raı́ces”, pues estos conceptos sólo
habı́an sido mencionados en China en este periodo. Además,
por otro lado, los conocimientos matemáticos chinos influyeron
tremendamente en Corea y Japón, llegándose a transcribir algunos trabajos matemáticos chinos a coreano como de Yáng
Huī, Zhū Shı̀jié y otros trabajos. En Japón, sin embargo, se reescribieron estos textos añadiendo
algunos comentarios. Estas copias han hecho que algunos trabajos matemáticos chinos de este
periodo no se hayan perdido actualmente.
51
6.
El ábaco. Dinastı́a Mı́ng (1368 - 1644)
Como hemos observado anteriormente habı́a un tremendo desarrollo en las matemáticas,
estos logros estaban basados en cálculos con varillas de contar. Algunos de ellos son, por ejemplo,
el “método del elemento celestial” o el “método de las cuatro incógnitas”. Pero por el siglo XV
los matemáticos no comprendı́an estos métodos.
¿Cómo ocurrió esto? Hay muchas razones para ello, pero la más importante fue la necesidad
de la sociedad China en encontrar una aplicación práctica. Además el contenido de muchas de
estas matemáticas era difı́cil y duro de comprender por lo que tantos conocimientos estaban
perdidos.
Durante la dinastı́a Mı́ng se desarrollaron varios tipos de artesanı́as, en particular el comercio y la industria que aumentaron los problemas para los matemáticos en llevar a cabo las
computaciones para el trato con el crecimiento de tamaño y compleja información. Los cuatro
cálculos aritméticos (suma, resta, multiplicación y división) eran demandados para cálculos
rápidos. Bajo estas circunstancias las técnicas de varillas de contar pasaron a la antigüedad
porque llegaron a ser insuficientes en los siguientes conceptos:
1. Las operaciones de multiplicar y dividir requieren una muestra de tres filas desde la parte
de arriba al pie para los cálculos con varillas de contar y esto no es muy conveniente.
2. En los cálculos con varillas de contar las técnicas para sumar y restar exigen continuos
cambios en la configuración.
Como consecuencia, nació una nueva forma de calcular con el ábaco para adaptarse a la
nueva situación.
La aparición del ábaco fue el mayor evento en la historia de las matemáticas chinas. El
aparato de fácil transporte y simple manejo es todavı́a muy utilizado por toda China. En el
52
tiempo de esta invención, el ábaco pasó por Corea, Japón y otros paı́ses asiáticos, donde es
utilizado hoy en dı́a.
Los cálculos con ábaco se desarrollaron desde los cálculos básicos con varillas de contar.
¿Cuáles eran las condiciones requeridas para que los cálculos con varillas de contar evolucionaran en cálculos con ábaco? Describiré tres etapas:
1. La revolución en los cálculos con varillas de contar principalmente supuso la mejora de
técnicas para multiplicar y dividir.
El método de multiplicación y división en los cálculos con varillas de contar requieren
exhibir tres filas: la parte de arriba, centro y la parte de abajo. Los matemáticos en el fin
del Táng trabajaron duro para encontrar un método rápido para multiplicar y dividir,
la configuración de las tres filas podrı́a ser efectiva usando justo una fila de varillas de
contar. Hay algunos ejemplos conservados en el Manual matemático de Xiàhóu Yàng.
2. Las fórmulas de rimas tienen un importante lugar en el curso de la evolución desde los
cálculos con varillas de contar al ábaco. Un ejemplo de problemas en la forma de poema
es el que sigue:
“Tomo una botella con algo de vino para una excursión en el manantial. Al
localizar una taberna doblo ese contenido y bebo uno y nueve décimos dŏu en
la taberna. Después pasando por cuatro tabernas la botella esta vacı́a, ¿cuánto
vino habı́a al principio?”
Además de problemas en la forma de rimas, algunas de las técnicas de cálculo eran
también presentadas en forma de versos. Entre los versos más importantes debemos incluir
el “convirtiendo a decimal” y “versos en división”. Esto era requerido para encontrar el
precio de un liăng de artı́culos con el precio dado por jīn, que son las medidas de peso
usadas en China.
Los “versos en división” tienen una importante marcación en el cambio desde los cálculos
con varillas de contar al ábaco. En los cálculos con varillas de contar la división fue llamada
‘división directa’. Con los ‘versos a decimal’ uno tiene ‘1, va detrás 625’, ası́ recitando
el verso inmediatamente das el cociente. Hoy en dı́a casi todos los chinos conocen estos
versos y muchos de ellos todavı́a son aplicables en división cuando el divisor tiene un sólo
dı́gito.
3. La conclusión de los “versos en división” era una llave para dar un paso en el proceso de
evolución desde los cálculos con varillas de contar a los cálculos con ábaco. Esto es debido
a que el movimiento de la mano no es tan rápido como recitando, y es incluso despacio
cuando comparas con la velocidad de razonamiento en calcular. Una vez llegado a esta
etapa, los cálculos con varillas de contar han llegado al punto donde tuvo lugar el cambio.
Como una consecuencia, las cuentas en un ábaco reemplazaron a las varillas de contar. Al
mismo tiempo las cuentas fueron diferenciadas en altura y compartimentos, en el inferior
las cuentas toman el valor uno y en el superior cinco. Consecuentemente el ábaco tuvo
como modelo los cálculos con varillas de contar.
53
¿Cuándo fue el ábaco introducido? ¿Quién fue ese primer inventor?
Estas dos preguntas permanecen sin una respuesta definitiva en el dı́a de hoy. La situación
descrita muestra que los cálculos con ábaco no fueron la invención de una persona sino el
producto de una era. Fue a través de la necesidad y demandas de la población en su vida diaria
que el ábaco gradualmente se desarrolló y fue finalmente completado.
En este periodo debemos destacar a Chéng Dàwèĭ y su libro Tratado sistemático sobre
aritmética. Dicho libro es un texto práctico matemático que usa como cálculo principal el
ábaco. El libro consta de diecisiete capı́tulos y contiene quinientos noventa y cinco problemas.
La completación del Tratado sistemático sobre aritmética y su amplia distribución señalan
la completación de la evolución desde cálculos con varillas de contar a cálculos con ábaco.
Desde ese tiempo el ábaco llegó a ser el principal aparato para realizar cálculos. Por tanto, los
cálculos con varillas de contar de tiempos remotos fueron gradualmente olvidándose y perdiendo
utilidad.
54
7.
La primera entrada de las matemáticas occidentales.
Dinastı́a Mı́ng (1368 - 1644)
A finales del siglo XVI y comienzos del XVII habı́a un gran desarrollo en la economı́a
por toda China y en algunos comercios habı́an desarrollado varios métodos capitalistas de
producción. Sin embargo, a causa de extrema crueldad y extorsión por las reglas Mı́ng y también
a causa de las guerras que continuaron por bastante número de años desde el fin de la dinastı́a
Mı́ng al comienzo de la dinastı́a Qı́ng, la economı́a fue incapaz de continuar expandiendo y
por un perı́odo bastante largo eso fue estancado. En otra mano la Europa de estos dı́as fue
justamente lo contrario. Durante el siglo XV y XVI, Europa gradualmente cambió desde un
feudalismo a una sociedad capitalista.
Como es bien sabido, el desarrollo capitalista es inseparable de la competición por materiales
crudos, mercados y trabajos. Como consecuencia los paı́ses europeos comenzaron a penetrar el
Extremo Este y China.
Además llegaron a China una multitud de misioneros los cuáles eran en su mayorı́a miembros
de la Sociedad de Jesús21 . La Sociedad de Jesús es una organización católica conservativa
fundada en el siglo XVI por paı́ses sur europeos como una fuerza para la religión Católica
Romana conservadora, los cuáles eran opuestos a la Reformación Protestante.
El sacerdote jesuita más importante que llegó a China fue Matteo Ricci.
En ese tiempo, China estaba preocupada por fortalecer el paı́s económica y militarmente,
por ello, mostró intenso interés en la ciencia y tecnologı́a del occidente.
Los primeros trabajos occidentales traducidos a chino fueron Elementos de geometrı́a de
Euclı́des y la más pura Expresión de aritmética práctica de Clavius.
Vamos a hablar de ello:
Xŭ Guāngqĭ (1562 - 1633), tenı́a conocimientos en astronomı́a y agricultura. Fue la principal figura en la reforma del calendario en el fin de la dinastı́a Mı́ng. Juntos, él y Matteo
Ricci tradujeron los Elementos de geometrı́a o Elementos de Euclı́des compuesto de trece
libros. En 1607 completaron la traducción de los seis primeros libros. No terminaron de
traducirlos para ver si era provechoso para la gente. La traducción terminó en 1857 por
Alexander Wylie y Lĭ Shànlán. Fue el primer trabajo traducido del latı́n en China y se
caracteriza por una deducción lógica.
21
Jesuitas
55
Lĭ Zhīzăo (1565 - 1630) fue recomendado por Xŭ Guāngqĭ para participar en el trabajo de corregir el calendario en el fin de la dinastı́a Mı́ng. La expresión de aritmética
práctica conocida en China como Tratado sobre aritmética europea fue traducida por él
y Matteo Ricci. Dicho libro está compuesto por once capı́tulos. Los cuáles introducen
los conocimientos aritméticos occidentales, además de métodos de cálculo usando papel
y pluma. Otra cosa a destacar es que para calcular fracciones el denominador es puesto
sobre la parte superior con el numerador en la parte inferior.
Como podemos observar, la entrada de las matemáticas occidentales en China era básicamente orientada a corregir el calendario. Veamos por qué:
El calendario chino denominado Dà Tŏng tenı́a muchos errores ası́ que la corrección del
calendario llegó a ser una importante tarea en el fin de la dinastı́a Mı́ng. Además estaba el
calendario Islámico, para la gente islámica, que también tenı́a errores.
Matteo Ricci supo las limitaciones de sus conocimientos, ası́ que él envió varias cartas
a misioneros que supieran de ese tema. Los cuáles no tardaron en llegar. Después de varias
propuestas fallidas el gobierno Mı́ng decretó que el método occidental deberı́a ser adoptado
y por tanto, cambiar el calendario. Poco después el ejército Manchú penetró en China y la
dinastı́a Mı́ng dejó de existir. Al segundo año del comienzo de la dinastı́a Qı́ng el gobierno
decreta la adopción del nuevo calendario basado en el calendario occidental, el cuál fue llamado
Calendario Shı́xiàn.
Hay un montón de matemáticas incluidas en varios libros de calendarios . Lo más importante
es trigonometrı́a plana y esférica y las tablas que son requeridas para tales matemáticas. Además
de Huesos de Napier, divisores Galileanos y varios cálculos ingeniosos.
Los métodos de trigonometrı́a plana y esférica
Las longitudes de segmentos eran usadas para definir el significado de funciones trigonométricas. Por ejemplo en el capitulo siete de la Completa teorı́a de observación:
Cada arco y cada ángulo tiene ocho tipos de lı́neas: seno (zhēng xiàn), tangente (zhēng que xiàn), secante (zhēng gē xiàn), versine22 (zhēng shī), coseno
(yú xiàn), cotangente (yú qiē xiàn), cosecante (yú gē xiàn) y coversine23 (yú shī)24 .
22
(1 − cos x)
(1 − sen x)
24
Los caracteres chinos significan ‘cortando’ en varios sentidos.
23
56
Aquı́ AD es el seno, CH es la tangente, BH la secante, AC el versine, DE el coseno, GF
la cotangente, BG la cosecante y EF el coversine.
Además habı́an varias fórmulas de trigonometrı́a plana. En ese tiempo en Europa tampoco
habı́a notación para funciones trigonométricas, por lo tanto, las fórmulas eran escritas en
palabras. Usando notación moderna esas fórmulas eran equivalentes a:

sen α ·




cos α ·




tan
α ·







tan α =







cot α =








sen2 α +
cosec α = 1
sec α = 1
cot α = 1
 2
 c = a2 + b2 − 2ab cos C
b2 = c2 + a2 − 2ac cos B
 2
a = b2 + c2 − 2bc cos A
sen α
cos α
cos α
sen α
cos2 α = 1
b
c
a
=
=
sen A
sen B
sen C
tan
sen(α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β
cos(α ± β) = cos α cos β ± sen α sen β
o
A−B
a−b
A+B
=
tan
2
a+b
2

sen 2α =




α



 sen 2 =
2 sen α cos α
s
1 − cos α
2
o
sen α = sen(60 + α) + sen(60 − α)
sec α = tan α + tan
90o − α
2
Por otro lado, llegaron a China una multitud de fórmulas de trigonometrı́a esférica. Los
trabajos de Smogulecki y Xuē Fèngzuò trajeron métodos para calcular los lados y ángulos
de triángulos usando logaritmos, ası́ ellos introdujeron funciones trigonométricas logarı́tmicas.
57
Logaritmos:
Los logaritmos fueron inventados por el matemático escocés John Napier (1550 - 1617).
En ese tiempo no eran llamados ‘logaritmos’ sino ‘números correspondientes’ (Bĭ lı̀ shù)
o ‘números poderosos’ (jiă shù).
Los logaritmos fueron originalmente traı́dos para cálculos astronómicos. Los cálculos escritos en varios libros por Smogulecki y Xuē Fèngzuò estaban hechos usando logaritmos.
Ellos introdujeron métodos generales para varios tipos de cálculos trigonométricos logarı́tmicos.
Por ejemplo, la regla del seno:
b
c
a
=
=
sen A
sen B
sen C
fue cambiada a:
log b = log a + log sen B − log sen A
Por otra parte fueron introducidos varios aparatos de cálculo como son:
‘Divisores Proporcionales’ también conocidos como ‘Divisores Galileanos’.
La mayorı́a de ellos están hechos de bronce o marfil, y algunos de ellos estaban hechos en
China. Tienen forma de compás. Hay dos tipos, con ocho puntos o patas poco afiladas.
En sus dos patas son inscritas varias graduaciones. Los ‘Divisores Proporcionales’ fueron
construidos usando el principio de comparación de los lados correspondientes de triángulos
similares y ellos pueden ser usados para varios tipos de cálculos como: multiplicaciones,
divisiones, encontrando el término medio de una proporción, extrayendo raı́ces cuadradas,
raı́ces cúbicas, etc.
Para extraer raı́ces cuadradas o cúbicas requiere usar otro tipo de graduaciones, por ello
habı́an cuatro o cinco filas diferentes de tipos de graduación a lo largo de las dos patas.
58
Un ejemplo de ello es el siguiente:
Para multiplicar 7 por 13 hacemos lo que sigue:
Localizamos la graduación 10 en una pata. Abre los divisores ası́ como construyas la distancia entre la graduación 10 en las dos patas sea 13. Luego localiza
la graduación 70 en las patas y mide la longitud de la base y de esta manera
consigues la respuesta, 7 × 13 = 91.
Otro tipo de cálculo ingenioso traı́do a China durante el fin de la dinastı́a Mı́ng y el comienzo
de la dinastı́a Qı́ng fue el ‘varillas de contar occidental’ (Xī yáng chōu suàn). Este tipo de
cálculos ingeniosos era también conocido como ‘huesos de Napier’.
‘Huesos de Napier’.
Son equivalentes a un tipo de tablas de multiplicación separables. Usando esto, multiplicaciones y divisiones pueden ser cambiadas a sumas y restas.
Para multiplicar 85714 por 1260 se hace lo siguiente:
59
Tomas los huesos 8, 5, 7, 1, 4 y alinéalos. Luego tomas las filas 1, 2 y 6.
Esto es similar al método ‘calculando sobre el suelo’ (lo que es diferente es que
nosotros no tenemos que dibujar ningún cuadrado).
Lo siguiente es sumar los resultados obtenidos.
Otros aparatos a destacar son las ‘reglas occidentales’ y la ‘máquina de cálculo’ o ‘máquina
de Pascal’. De las reglas occidentales habı́an varios tipos: la ‘regla del logaritmo’, la ‘regla del
seno’ y la ‘regla de la tangente’. De acuerdo a la información que se tiene, las ‘máquinas de
cálculo’ llegadas fueron del tipo que inventó Pascal en 1642 y son el distante antepasado del
reciente, no electrónico, calculador de mano.
Después de las matemáticas occidentales que habı́an llegado a China en el fin de la dinastı́a
Mı́ng, varios trabajos matemáticos escritos por Méi Wēndĭng aparecieron sobre el comienzo de la
dinastı́a Qı́ng. Estos trabajos indican que después del estado inicial de la primera introducción
de las matemáticas occidentales, los matemáticos de China en ese tiempo eran capaces de
encajar los varios tipos de métodos de introducción y digerir los conocimientos matemáticos
pasados en China. De estos conocimientos ellos emprendieron más investigaciones.
Este matemático también fue recomendado por un amigo para participar en el trabajo de
escribir el libro del calendario en la historia de la dinastı́a Mı́ng. El dedicó su vida a estudiar
matemáticas y computación calendárica, escribió más de ochenta trabajos. Después de la muerte
de Méi Wēndĭng, Méi Juéchéng compiló sus comentarios escritos en la Colección trabajos de
la familia Méi. En ello, están coleccionados los trabajos de Méi Wēndĭng sobre matemáticas,
astronomı́a y la computación del calendario. Las partes concernientes a matemáticas son:
1. Cálculos con bolı́grafo.
2. Huesos de Napier.
3. Proporcionales divisores.
4. Introduciendo los métodos para extraer raı́ces de grandes grados desde antigua China25 .
25
La mayor es una raı́z de grado 12.
60
5. Teorı́a de series rectangular.
Método de solución de sistemas de ecuaciones lineales desde antigua China.
6. Triángulos de ángulo recto.
7. Explicaciones en geometrı́a.
8. Elementos de trigonometrı́a plana.
9. Cuadrados y cı́rculos. Cubos y esferas.
Problemas sobre inscribir y circunscribir cı́rculos y cuadrados e inscribir y circunscribir
esferas y cubos.
10. Suplemento de geometrı́a.
Problemas de tetraedro regular, octaedro y sólidos regulares.
11. Elementos de trigonometrı́a esférica.
12. Geodesia.
Básicamente sobre pruebas de teoremas geométricos concernientes a cosenos de ángulos
en triángulos esféricos.
13. Observando sólidos.
Teoremas geométricos concernientes a la relación entre triángulos de ángulos rectos sobre
esferas y ángulos esféricos. Qiàndŭ es uno de los sólidos especiales.
Todos sus trabajos eran presentados en su propio lenguaje.
Méi Wénding no solamente sistematizó tratados, editó y describió las matemáticas llegadas.
Él desarrolló todos estos temas. Un ejemplo de ello es el cálculo de los volúmenes de sólidos
regulares con doce superficies.
Él es el primer ejemplo de matemático Chino que asimila las matemáticas occidentales, por
lo tanto, es una figura clave, pues recibe de sus precursores y abre el camino a sus sucesores.
Por otro lado debemos destacar al emperador Kāng Xı́. Fue el segundo emperador de la
dinastı́a Qı́ng, el cuál mostró intenso interés en las ciencias matemáticas26 y dedicó a ello una
considerable cantidad de tiempo. Además pidió a expertos en la materia que le dieran clase. La
compilación de la Colección básica principios de matemáticas era otro evento supervisado por
él.
Este libro fue impreso en el primer año del reinado Yōng Zhīng (1723), pero por ese tiempo
el emperador Kāng Xı́ estaba muerto.
La Colección básica principios de matemáticas tomó los conocimientos de las matemáticas
occidentales que habı́an sido nuevamente introducidas en China y trato eso en un orden y
secuencia lógica. Los libros cubrı́an todos los conocimientos matemáticos en ese momento y por
tanto podı́an ser considerados como una enciclopedia, representando el nivel de matemáticas.
26
Astronomı́a, computación calendárica y matemáticas.
61
Este libro permaneció como un texto obligatorio para aprender matemáticas por un largo
perı́odo. Además era un importante libro de referencias para buscar información matemática.
La Colección básica principios de matemáticas esta dividida en dos volúmenes:
Los contenidos del primer volumen, dividido en cinco capı́tulos, son establecer los objetivos
y comprender el sistema. Los cuarenta capı́tulos del segundo volumen están divididos en partes
especı́ficas y para aplicaciones; además hay cuatro tipos de tablas contenidas en ocho capı́tulos.
El primer capı́tulo del primer volumen es la ‘Fuente de las matemáticas’, el segundo, tercero y cuarto capı́tulo son los ‘Elementos de geometrı́a’. El capı́tulo cinco es la ‘Fuente de
computación en métodos’ y trata multiplicaciones de números naturales, múltiplos comunes,
divisores comunes, proporciones y series aritmética y geométrica.
El segundo volumen esta dividido en cinco largas secciones: ‘Introducción’, ‘Lı́neas’, ‘Superficies’, ‘Sólidos’ y ‘Conclusión’.
La ‘Introducción’ son dos capı́tulos, describe los sistemas de medida de longitudes y pesos.
Contiene los sistemas para fijar el lugar decimal y las cuatro operaciones aritméticas para
enteros y fracciones.
Las ‘Lı́neas’ son ocho capı́tulos y contienen problemas en varios tipos de proporcionalidad,
el “método de calcular por exceso y defecto” y la “técnica de series de rectángulos27 ”.
‘Superficies’ son diez capı́tulos con problemas sobre triángulos, áreas de varias figuras rectangulares, áreas de cı́rculos y sus segmentos, elipses, problemas de extracción de raı́ces, etc.
‘Sólidos’ son ocho capı́tulos, con cálculos de varios volúmenes como: esferas, segmentos de
esferas, elipsoides, etc. Cálculo de longitudes de los lados de varios tipos de sólidos regulares
y sus relaciones con sus diámetros de circunscribir e inscribir esferas y problemas de extraer
raı́ces cúbicas.
La ‘Conclusión’ son diez capı́tulos con el “método de completar el cuadrado” para resolver
ecuaciones cuadráticas. Esto es el álgebra occidental que habı́a sido introducido en China.
Además también trata logaritmos y Divisores proporcionales galileanos.
27
Método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales de la antigua China.
62
8.
Matemáticas durante el periodo feudal de “Puerta
cerrada”. Dinastı́a Qı́ng (1796 - 1911)
8.1.
Estudio y comentario de las obras antiguas
En este periodo se realizaron numerosas ediciones de libros antiguos que estaban perdidos. Se
produjo una búsqueda de los manuales clásicos para su comentario y reedición o para incluirlos
en obras de mayor tamaño como enciclopedias o colecciones. Este esfuerzo despertó un espı́ritu,
entre la comunidad matemática china, de estudio de las obras clásicas antiguas. Este espı́ritu
puede denotar una falta de originalidad o estancamiento, y de hecho en este periodo se produce
un estancamiento, aunque más adelante veremos que también se realizan algunos desarrollos
propios.
Entre las colecciones de libros se realizaron durante este periodo podemos destacar estas
cuatro28 :
Colección de libros antiguos y modernos (Enciclopedia de más de diez mil capı́tulos).
Librerı́a completa de las cuatro ramas de la literatura (Enciclopedia con más de treinta y
seis mil volúmenes).
Diez libros de matemáticas clásicas.
Edición de los trabajos de Qı́n Juĭshao y Lĭ Zhı̀ (matemáticos del periodo Sòng y Yuán).
Una obra muy importante que se recuperó fue el libro Diez manuales matemáticos. Éste,
en particular, fue estudiado y comentado por Lĭ Huàng y Gù Guānguāng lo que permitió su
comprensión por los matemáticos de la época.
Otras obras que ocuparon el interés de los matemáticos fueron los escritos del periodo Sòng
y Yuán como:
Tratado matemático en nueve secciones.
Los libros escritos por Yáng Huı̄ recogidos en la Gran enciclopedia del periodo del reino
de Yăng Lé.
Espejo marino de la medición del cı́rculo y Nuevos pasos en computación recogidos en la
Biblioteca Completade Lĭ Zhı̀.
Este estudio de los escritos de este periodo se completó gracias al descubrimiento de una
copia coreana de Introducción a los estudios matemáticos, con la que fue posible recuperar los
conocimientos de la época.
Otra tarea a la que se dedicaron editores y matemáticos durante este periodo fue a la
creación de biografı́as de matemáticos y astrónomos, tanto chinos como extranjeros (la obra
recoge casi doscientas cincuenta). Esta colección de biografı́as ha sido posteriormente ampliada
en varias ocasiones.
28
En la página 64 se encuentra un cuadro resumen con las diversas obras y su estado en las diversas épocas.
63
64
Museo de palacio
Museo de Palacio
Biblioteca de Shànghăi
Biblioteca de la
universidad de Bĭjīng
Manual matemático
de las cinco secciones
del gobierno
Museo de Palacio
Museo de Palacio
Manual matemático
de Zhāng Qīujiān
Clásico de la
aritmética del
gnomon y las sendas
circulares del cielo
Museo de Palacio
(solo cinco capı́tulos)
Nueve capı́tulos sobre
el arte matemático
Biblioteca Privada de
Jı́ Gŭ (1684)
Manual matemático
del maestro Sūn
Sòng del sur (1213)
Tı́tulo del libro
Edición
Copiado de la Gran
enciclopedia del reino
de Yŏng-lē
Copiado de la edición
Sòng de la familia Máo
Copiado de la Gran
de Yŏng-lē
Copiado de la Gran
de Yŏng-lē
Copiado de la Gran
de Yŏng-lē
Librerı́a completa de
las cuatro ramas de la
literatura (1773)
Editado por Dài Zhèn
Edición Kŏng de los
Diez manuales
matemáticos (1773)
65
Biblioteca de la
universidad de Bĭjīng
Memorias en algunas
tradiciones del arte
matemáticos
No se copió
No se copió
No se copió
Perdido
Aritmética en cinco
clásicos
Perdido
Museo de Palacio
Perdido
Continuación de las
matemáticas antiguas
Manual matemático
de la isla del Mar
Museo de Palacio
Perdido
Manual matemático
de Xı̀a Hóuyáng
Librerı́a privada de
Jı́ Gŭ (1684)
Sòng del sur (1213)
Tı́tulo del libro
Basado en el libro del
gobernador de las dos
Jiāngs
Copiado de la Gran
de Yŏng-lē
Copiado de la Gran
de Yŏng-lē
Copiado de la edición
Sòng de la familia Máo
Copiado de la Gran
de Yŏng-lē
Librerı́a completa de
las cuatro ramas de la
literatura (1773)
Edición Kŏng de los
Diez manuales
matemáticos (1773)
8.2.
Investigaciones y desarrollos propios
Aunque durante este periodo las matemáticas chinas sufrieron un estancamiento y no
gozaron del esplendor de antaño, se realizaron avances muy importante en diversos campos
como: el estudio de la trigonometrı́a, teorı́a de ecuaciones, suma de series, teorı́a de números y
la “Técnica de los conos circulares”.
Muchos de estos descubrimientos ya se habı́an realizado en occidente varios siglos antes.
Esto no le resta mérito, pues una particularidad de la cultura china ha sido su aislamiento del
resto del mundo, por lo que podemos asegurar que estos matemáticos descubrieron de forma
independiente sus resultado. En estos estudios habı́an varios pasos al lı́mite y cálculos complejos,
por lo que podemos asegurar que estos avances apuntaban hacia el desarrollo independiente
del cálculo diferencial e integral de no ser por su introducción por parte de los matemáticos
occidentales en el siguiente periodo.
Veamos con más detalle cada una de los campos en los que trabajaron.
8.2.1.
Estudio de la trigonometrı́a
El misionero jesuita Pierre Jartoux introdujo en China tres de las fórmulas de Gregory. A
saber:
n
Y
2
π = 3+
2
2
2
2
2
3·1 ·3
3·1 ·3 ·5
3·1
+ 2
+
+ ... =
4 · 3!
4 · 5!
43 · 7!
∞
X
(2m + 1)2
3 m=0
4n (2n + 1)!
n=0
∞
X
a5
a7
a2n+1
a3
n
(−1)
+
−
+
.
.
.
=
r sen α = a −
3!r 5!r4 7!r7
(2n + 1)!r2n
n=0
∞
X
a2
a4
a6
a2n
n−1
(−1)
−
+
±
.
.
.
=
2!r 4!r3 6!r6
(2n)!r2n−1
n=1
a
donde α =
r
r(1 − cos α) =
No se conoce si se les fue dada una prueba, pero los matemáticos chinos usaron argumentos
de tipo geométrico para demostrarlas como la técnica “Encontrar la cuerda conocido el arco”
que describimos a continuación:
Intentamos aproximar el arco ADB mediante una lı́nea poligonal de m lados iguales Cm
Definimos la función f (m) = m · Cm longitud de la poligonal.
Lógicamente cuando m se hace muy grande (m → ∞) entonces la longitud de la poligonal
se asemeja mucho a la longitud del arco (m · Cm → C).
Mediante diversos argumentos geométricos los matemáticos de la época consiguieron demostrar
la fórmula para hallar la longitud de la cuerda cuando m es par (en este caso resulta un sumatorio de infinitos términos) y cuando m es impar (en este caso resulta un sumatorio finito). En
la demostración de ambos caso se utilizan diversos pasos al lı́mite y uso del cálculo de series
y sumas finitas que se habı́an desarrollado en los periodos anteriores. A nota de curiosidad, la
fórmula general final que se dio fue la que se obtiene para m = 10000.
66
8.2.2.
Investigaciones en Teorı́a de ecuaciones
El redescubrimiento de los textos Sòng y Yuán y la reintroducción del método de “Completar
los cuadrados” por parte de occidente abrió un nuevo camino en el estudio de la teorı́a de
ecuaciones.
Antes de comenzar con los descubrimientos que se produjeron durante esta época comentemos ciertas particularidades de la matemática china. Los matemáticos chinos consideran que
una ecuación está resuelta cuando existe al menos una raı́z positiva. En notación matemática29 :
Sea P (x) = 0 entonces
P (x) resuelta ⇐⇒ ∃ x0 > 0 / P (x0 ) = 0 en otro caso P (x) no estarı́a resuelta
Durante este periodo se introduce una definición alternativa, ecuaciones completamente
determinadas. Esto es, una ecuación esta completamente determinada cuando existe una única
solución positiva. En notación matemática:
P (x) esta completamente determinada ⇐⇒ ∃| x0 > 0 / P (x0 ) = 0
Si @ x0 > 0 / P (x0 ) = 0 entonces P (x) no se puede resolver
Si ∃ x0 . . . xn / P (x0 ) = . . . = P (xn ) = 0 entonces P (x) no está completamente determinada
En este periodo se descubre la relación entre los coeficientes de la ecuación y la resolubilidad
de la ecuación. Wāng Lái realiza una colección con noventa y seis tipos distintos de ecuaciones
cuadráticas y cúbicas del estilo:
a, b, c, d ∈ R
bx + c = ax2
bx − c = ax2
cx + d = ax3
cx − d = ax3
..
.
completamente determinada
no completamente determinada
completamente determinada
no completamente determinada
..
.
Lo sorprendente es que en los escritos Wāng Lái no se ven indicios que demuestren que
conocı́a el caso general. Sin embargo no tardaron en aparecer otros autores que comienzan a
encontrar reglas pseudoregulares como Lĭ Ruı̀, que resume las noventa y seis tipos de reglas en
tres proposiciones:
Sea P (x) =
n
X
ai xn−i = 0 entonces
i=0
29
A partir de ahora se usará notación matemática moderna pues resulta mucho más cómoda para representar
los conceptos matemáticos descritos.
67
1. Si a0 ·an < 0 ∧ ∃| i ∈ {1 . . . n} / ai ·ai+1 < 0 entonces P (x) completamente determinado.
2. Si a0 · an < 0 ∧ ∃ i, j ∈ {1 . . . n} / ai · ai+1 < 0 ∧ aj · aj+1 < 0 ∧ P (α) = 0 , α > 0
entonces:

— Si a0 . . . a0i > 0 ∀i entonces P (x) completamente

!

n−1

X
determinado.
P (x) = (x−α)
a0k xn−(k+1)
— En caso contrario P (x) no completamente


k=0

determinado.
3. Si a0 · an < 0 entonces P (x) no completamente determinado o no se puede resolver.
Observamos como la segunda proposición es muy compleja y bastante impracticable (aparte
de darse en muy pocos casos).
Cuando Wān Lái vió el trabajo de Lĭ Ruı̀ quedó impresionado por la idea e introduce una
idea similar al actual discriminante. Los resultados a los que llegó pueden resumirse en:
2
x − px + q = 0
x3 − px + q = 0
Si q ≤ ( p2 )2 ⇒ ∃ x > 0 / P (x) = 0
Si q > p2
⇒ @ x > 0 / P (x) = 0
Si q ≤
2p
3
pp
2
≡ p2 − 4q ≥ 0 (discriminante)
⇒ ∃ x > 0 / P (x) = 0 ≡ 4p3 − 27q 2 ≥ 0 (discriminante)
Los estudios de Wān Lái continuaron intentando encontrar una solución al caso general
xn − pxm + q = 0. No se sabe cuando llegaron a manos de Lĭ Ruı̀ estos estudios, pero a partir
de ellos llegó a la siguiente conclusión:
Si los coeficientes de una ecuación P (x) cambian de signo:
a) Una vez, entonces puede haber una solución positiva.
b) Dos veces, entonces puede haber dos soluciones positivas.
c) Tres veces, entonces puede haber una o tres soluciones positivas.
d) Cuatro veces, entonces puede haber dos o cuatro soluciones positivas.
e) . . .
Como se puede observar es una versión “china”de la “Regla de los signos” de Descartes. Estas
investigaciones llegaron incluso más lejos llegando a sospechar la existencia de “no números”
y su presencia siempre emparejadas en las soluciones de las ecuaciones. En cierto sentido se
puede afirmar que descubrieron las raı́ces complejas de las ecuaciones.
68
8.2.3.
Suma de series finitas30
Varios matemáticos chinos se interesaron por el problema de las series finitas. Además de
estudiar y comentar los resultados logrados por los matemáticos del periodo Sòng y Yuán
también destacaron los desarrollos propios hechos por Chén Shı̀rén y Lĭ Shànlán.
Chén Shı̀rén dio la fórmula general de las siguientes sumas (ya conocidas en el periodo Sòng
y Yuán).
n
X
n
X
r (pila de juncos)
r=1
n
X
r(r + 1)
r=1
n
X
r=1
n
X
2
r (pila de juncos, suma parcial)
r=m
n
X
r(r + 1)
(pila triangular, suma parcial)
2
r=m
(pila triangular)
n
X
2
r (pilas cuadradas)
r=m
n
X
r3 (pilas cúbicas)
r2 (pilas cuadradas, suma parcial)
2r−1 (pilas dobles)
r=1
r=1
A las cuales añade las sumas de los términos pares o impares de algunas de ellas, las cuales
dan resultados interesantes como los siguientes:
n
X
(2r − 1) = n2 (pila de juncos, omitiendo los pares)
r=1
n
X
n
(2r − 1)r =
3
r=1
n
X
r=1
n
X
(2r − 1)2 =
1
3
n + n+
2
2
2
(pila triangular, omitiendo los pares)
n
(4n2 − 1) (pilas cuadradas, omitiendo los pares)
3
(2r − 1)3 = n2 (2n2 − 1) (pilas cúbicas, omitiendo los pares)
r=1
Lĭ Shàlán en su libro Suma de pilas de varios tipos hace un estudio en cuatro tipos de series
finitas usando el clásico sistema de “reducción al caso anterior” para afrontar el cálculo de series
complejas. Un resumen de su trabajo en este campo podrı́a ser seguir la estructura propia del
libro, esto es:
30
La traducción palabra por palabra serı́a “suma de pilas finitas”.
69
Capı́tulo 1o “Pilas Triangulares”.
a) Pila Triangular.
X 1
r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(r + p − 1) =
p!
1
=
n(n + 1)(n + 2) · · · (n + p − 1)(n + p)
(p + 1)!
b) Pila Triangular multiplicada por una pila complementaria.
X 1
r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(2r + p − 2) =
p!
1
n(n + 1) · · · (n + p − 1)(2n + p − 1)
=
(p + 1)!
c) Pila Triangular doblemente multiplicada por una pila complementaria.
X 1
r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(3r + p − 3) =
p!
1
=
n(n + 1) · · · (n + p − 1)(3n + p − 2)
(p + 1)!
d ) Pila Triangular triplemente multiplicada por una pila complementaria.
X 1
r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(4r + p − 4) =
p!
1
=
n(n + 1) · · · (n + p − 1)(4n + p − 3)
(p + 1)!
..
.
e) Pila Triangular m veces multiplicada por una pila complementaria. pile31
X 1
r(r + 1)(r + 2) · · · (r + p − 2)(mr + p − m) =
p!
1
=
n(n + 1) · · · (n + p − 1)(mr + p − m + 1)
(p + 1)!
Capı́tulo 2o “Pilas Cuadradas”.
Realizaremos primero unas definiciones previas a fin de compactar lo más posible
la notación.
Definimos:
fpr =
31
1
r(r + 1) · · · (r + p − 1)
p!
Caso general.
70
Aip como la i-ésima componente de la fila p-ésima del siguiente “triángulo32 ”:
1
1
1
4
1
1
1
1
11
26
X
r
s
11
66
···
p
=
1
26
1
XX
|
...
{z
X
rs
}
p veces
a) Pilas cuadradas con una pila complementaria.
" n−i+1 #
X
X
X
rp =
Aip
fpr
b) Cuadrado de una pila cuadrada con una pila complementaria.
X p
r2 similar al caso anterior.
c) Cubo de una pila cuadrada con una pila complementaria.
X
r3
p
=
n
X
r
fp+2
+4
n−1
X
r
fp+2
+
n−2
X
r
fp+2
..
.
Capı́tulo 3o “Pila triangular elevada al cuadrado”.
a) Pila triangular elevada al cuadrado33 .
"
#
p+1
n−i+1
X
X
X
r 2
(f2p
)
(fpr )2 =
(Aip )2
i=1
r=1
Donde Aip denota la i-ésima componente de la fila p-ésima del “triángulo de
pascal”.
32
Este triángulo se obtiene con la siguiente fórmula recursiva:
• A1p = 1 , App = 1
1
• Aip = (p − i + 1)Ai−1
p−1 + iAp−1
33
Esta es la conocida “Identidad de Lĭ Shànlán”.
71
b) Pila triangular elevada al cubo.
..
.
Capı́tulo 4o “Pila triangular modificada”.
a) Pila triangular modificada.
X
rfpr
=
n
X
r
fp+1
+p
r=1
n−1
X
r
fp+1
r=1
b) Segunda pila triangular modificada.
X
r2 fpr =
n
X
r
fp+2
+ (1 + 3p)
n−1
X
r=1
r
fp+2
+ p2
r=1
n−2
X
r
fp+2
r=1
c) Tercera pila triangular modificada.
X
r3 fpr =
n
X
r
fp+3
+ (4 + 7p)
r=1
+ [(2p + 1)2 +
n−1
X
r
fp+3
+
r=1
n−2
X
r
fp+3
2p2 ]
r=1
+ p3
n−3
X
r
fp+3
r=1
Observamos como comienza dando la fórmula general de la “pila triangular”, ya conocida
con anterioridad, y a medida que se progresa en la lectura del libro aumenta considerablemente
la complejidad del término a sumar a la vez que el autor recurre a sistemas más complejos para
reducir las sumas a resolver otras ya conocidos.
8.2.4.
Investigaciones en otras áreas
Dentro de este apartado intentaremos destacar y resumir diversos logros que alcanzaron los
matemáticos chinos en otras ramas.
Teorı́a de números.
• Desarrollo de la “Técnica de encontrar uno por gran extensión” por Zhāng Dūren.
• Definición china de los números primos34 y la descomposición en números primos
por Huáng Zóngxiàn.
• La demostración del “Pequeño teorema de Fermat” y otros resultados básicos por
Lĭ Shànlán.
Estudios de la elipse y el cálculo de su perı́metro.
34
Root numbers
72
Teorema binomial por Dı̀ Xŭ.
∞
X m(i)
m(2) 2
α + ... =
αi
(1 + α) = 1 + m α +
2!
i!
i=0
m
(1)
Desarrollo de la “Técnica de los conos circulares” por Lĭ Shànlán y con ella obtener los
siguientes resultados:
•
Z
h
axn dx =
0
ahn+1
n+1
•
n Z
X
i=1
h
h
Z
i
ai x dx =
0
0
n
X
ai xi dx
i=1
• Cálculo del área del cı́rculo.
• Cálculo del logaritmo natural.
loge n =
n−1
n
1
+
2
n−1
n
2
• Desarrollo de la tangente.
tan a = a +
a3
2a5
+
+ ...
3
3·5
73
1
+
3
n−1
n
3
+ ... =
i
∞
X
1 n−1
i=1
i
n
9.
Segunda entrada de la matemática occidental. Siglo
XX
9.1.
Cambio de mentalidad
Durante este periodo, la gran presión exterior que sufre China por parte de occidente la
obliga a una apertura a “regañadientes” y posteriormente a un cambio de mentalidad. Se produce una apertura hacia occidente, con el objetivo de aprender su ciencia para poder competir
con ellos y modernizar la sociedad china.
Para ello comienza la traducción de libros de ciencia, entre ellos de matemáticas. Se traducen
libros de geometrı́a analı́tica, calculo diferencial e integral, teorı́a de probabilidad, etc. Aparte
de las traducciones también se produce un cambio en la mentalidad popular china, se abole el
uso del ábaco35 y se introduce la notación occidental moderna de cálculo, tanto la simbologı́a
como los algoritmos.
9.2.
Traducción de textos
Dos son los matemáticos que se dedicaron mayoritariamente a la traducción de libros: Lĭ
Shànlan y Huà Héngfāng. Hagamos un breve comentario de los libros más importantes que
tradujeron:
Lĭ Shànlan
• Los elementos (últimos nueve libros). Se trata de la única traducción china completa
del texto.
• Los elementos de Álgebra de A. de Morgan (1835) Fue el primer texto de álgebra
que llegó a China. Esta rama de la matemática fue denominada “conocimiento de
sustituir números36 ” que es el término usado actualmente no solo en China, sino
(convenientemente adaptado) en Japón y otras zonas próximas.
• Dieciocho capı́tulos de Los elementos de geometrı́a analı́tica y diferencial y el Cálculo
integral por E. Loomis (1850), que fue el primer texto de geometrı́a analı́tica y cálculo
en traducirse. Notar que el prólogo está escrito con la notación de Leibniz aunque
en el cuerpo del libro se usa una notación propia que es la que actualmente usada
en China. Fue de los pocos libros de Lĭ Shànlan que se usó como libro de texto.
• Compendio de astronomı́a de Herschel (1849) y algunos capı́tulos de los Principia
de Newton.
• Teorı́a de las secciones cónicas.
Los libros de este autor fueron criticados por ser excesivamente formales y poco prácticos.
Prácticamente se podı́a decir que estaban orientados para la especialización matemática.
35
36
De manera institucional, popularmente se continua usando ampliamente aún en nuestros dı́as.
Knowledge of substituting numbers.
74
Huà Héngfāng
• Álgebra
• Flujos
• Tratado de Trigonometrı́a Plana y Esférica
• Complemento al Álgebra de Wood
• Probabilidad y combinatoria
Sin embargo Huà Héngfāng tradujo libros de una manera más simple y fueron más usados
para la enseñanza que los de Lĭ Shànlan.
9.3.
Nuevo método de enseñanza y los nuevos textos matemáticos
Para llevar a cabo el objetivo de estudiar la ciencia occidental los chinos crean diversos
centros de estudio. En un principio dichos centros tenı́an como misión el estudio de las lenguas
extranjeras, pero pronto aparecen departamentos de matemáticas y otras ciencias. El primer
centro fue el “Foreing Lenguages Institute” al que posteriormente se le unirı́an varios más.
El periodo académico en el instituto era de ocho años. A partir del cuarto comenzaba la
enseñanza matemática. En 1898 se produce una reforma educativa que divide la enseñanza en
etapas. El sistema fue ligeramente modificado durante la revolución.
La cantidad de libros de texto publicada durante esta época es considerable. Las causas de
estos es el “vacı́o” que existı́a pues no habı́an textos susceptibles de ser usados como material didáctico. Los primeros libros obtuvieron fuertes ventas y fueron muchas veces reimpresos
aunque no por su calidad sino por el “vacı́o” anteriormente citado. Una caracterı́stica importante
de estos libros de texto es el uso de la notación occidental tanto numérica como simbólica (con
algunas excepciones) que fue convenientemente adaptada a la escritura china (de derecha a
izquierda, de arriba a abajo).
75
76
Métodos de cálculo para el uso diario
Métodos de cálculo
Book on ancestries
Book of crafts
Book of master Mò
The arithmetical classic of the gnomon and the
circular paths of the heaven
Nine chapters on the mathematical art
Commentary on the arithmetical classic of the
gnomon and the circular paths of the heaven
Commentary on the nine chapters on the mathematical art
Sea island mathematical manual
Master Sūn’s mathematical manual
Memoir on some traditions of matematical art
Libro sobre los ancestros
Libro de las artes
Libro del maestro Mò
Clásico de la aritmética del gnomon y de las
sendas circulares del cielo
Nueve capı́tulos sobre el arte matemático
Comentario del Clásico de la aritmética del
gnomon y de las sendas circulares del cielo
Comentario sobre los nueve capı́tulos sobre
el arte matemático
Manual matemático de la isla del mar
Manual matemático del maestro Sūn
Memorias de algunas tradiciones del arte
matemático
Cinco clásicos de aritmética
Manual matemático de las cinco secciones de
gobierno
Manual matemático de Xiàhóu Yáng
Manual matemático de Zhāng Qīujı̀an
Continuación de la matemáticas antiguas
Ensayo sobre un conjunto de sueños
Tratado matemático en nueve secciones
Espejo marino de las medidas circulares
Análisis matemáticos de los nueve capı́tulos
Arithmetic in the five classics
Mathematical manual of the five goverment departaments
Xiàhóu Yáng’s mathematical manual
Zhāng Qīujı̀an’s mathematical manual
Continuation of ancients mathematics
Dream pool essays
Mathematical teatrise in nine sections
Sea mirror of circle measurements
A detailed analisus of mathematical methods in
the nine chapters
Computing methods for daily use
Methods of computation
Traducción inglesa
Lista de libros chinos
Traducción española
A.
Riyóng suàn fă
Yáng Huī’s suànfă
Xúgŭ suanjīng
Méng qī bĭ tăn
Shúshū jiz̆hāng
Cèyuán hăijı́ng
Xiángjiĕ jiŭzhāng suànfă
Xiàhóu Yáng
Wŭjīng Sùanshù
Wŭ cáo suanjīng
Hĭdŏ suanjīng
Sūnzĭ suanjīng
Shùshù jı̀yi
Commentary on the Jĩuzhāng suànshù
Jĩuzhāng suànshù
Commentary on the Zhōubı̀ suanjīng
Shı̀ Bĕn
Kăo Gōng
Mòzĭ
Zhōubı̀ suanjīng
Tı́tulo original (Pinyin)
77
Introducción a los estudios matemáticos
Espejo preciosos de los cuatro elementos
Calendario de trabajos y dı́as
Construcción de los antiguos métodos
matemáticos para aclarar lo extraño
Tratado sistemático sobre aritmética
Elementos de geometrı́a
Expresión de aritmética práctica
Completa teorı́a de observación
Colección de trabajos de la familia Méi
Colección básica principios de matemáticas
Colección de libros antiguos y modernos
Librerı́a completa
Diez libros de matemáticas clásicas
Suma de pilas de varios tipos
Elementos de álgebra
Elementos de geometrı́a analı́tica y diferencial y cálculo integral
Compendio de astronimı́a
Álgebra
Probabilidades
Combinatoria
Introduction to mathematical studies
Precious mirror of the four elements
Works and days calendar
Continuation of ancient mathematical methods
for elucidating the strange
Systematic treatise on aritmetic
Elements of geometry
Epitome of practical arithmetic
Complete theory of surveying
Collected Woks of the Méi family
Collected basic principles of mathematics
Collection of ancient and modern books
Complete library of four branches of literature
Ten books of mathematical classics
Sum of piles of various types
Elements of algebra
Elements of analytical geometry and of differential and integral claculus
Outlines of astronomy
Algebra
Probabilities
Combinatorics
Tān tiān
Dài shù xué
Jué yı́ shù xué
Gĕ shù shù
Duò jī bĭ lèi
Dài shù xué
ài wéi jī shī jī
Méi shı̀ cóngsushū jı́yào
Shù lĭ jīng yùn
Gŭ jı́n tú shū jı́ chéng
Tóng wén suàn zhĭ
Suànfă tŏngzóng
Suànxué qĭmèng
Sı̀yuán yùjiàn
Shòu shı́ lı̀
Xùgŭ zhāiqi suànfă
B.
Bibliografı́a
Lĭ Yăn y Dù Shı̀rán (1987) Chinese mathematics, a concise history. Oxford, Oxford science
publications.
Gheverghese J.G (1996)La cresta del pavo real. Madrid, Pirámide.
Boyer C.B. (1996)Historia de la matemática. Madrid, Alianza Editorial.
Fairbank J.K. (1996)China: una nueva historia. Barcelona, Andres Bello.
C.
Recurso en red
The MacTutor History of Mathematics archive.
78
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

Las Matemáticas Chinas - Universidad

Transcripción

Documentos relacionados

Ver el Programa de Estudios. - El Centro Nacional de las Artes

Prensa y matemáTICas - Que no te aburran las M@TES