fracciones algebraicas (460288)

Transcripción

Fracciones equivalentes
Dos fracciones algebraicas son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores específicos a
sus números literales. l valor de una fracción no varía si el numerador y el denominador se multiplican (o
dividen) por una misma cantidad no nula.
Ya que la división entre un número es equivalente a la multiplicación por su recíproco, tenemos que:
Entonces las fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor, pero distintos numerador y
denominador. Por ejemplo
son fracciones equivalentes porque
Para obtener fracciones equivalentes se aplican las siguientes propiedades:
edad 1: Se multiplican numerador y denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero, la fracción no
varía.
Tanto 3 como 4 se han multiplicado por 10
Tanto 5 como 7 se han multiplicado por x
edad 2: Se dividen numerador y denominador de una fracción por un mismo número, distinto de cero, la fracción no
varía.
Tanto 400 como 500 se han divido entre 100
Tanto 7a2 como 9a2 se han divido entre a2
Fracciones equivalentes multiplicando numerador y denominador por los valores dados:
2
5
x
4x
x-3
x2
x2+x-3
Fracciones equivalentes a las dadas dividiendo numerador y denominador:
2
5
x
4x
x2
20x2
El reciproco de un número
El reciproco de un número de un número es igual a la unidad dividido por dicho número. Por ejemplo, el
inverso de 5 es 1/5. Asimismo, el reciproco de 2/3 es 3/2, porque 3/2=12/3
edad 1. Las fracciones a/b y b/a son reciprocas; esto es, el reciproco de una fracción se obtiene permutando
numerador y denominador.
edad 2. El producto de dos recíprocos es la unidad. Por ejemplo
,
edad 3. Para dividir por un número o una fracción se multiplica por el reciproco. Por ejemplo
,
edad 4. Para resolver una ecuación con un coeficiente fraccionario se multiplican los dos miembros por la fracción
reciproca. Por ejemplo para resolver la ecuación
, se multiplican ambos miembros por
. Es decir
de donde x = 15
Forma estándar de una fracción
se escribe como
se escribe como
se escribe como
Las formas
fracciones.
y
se escribe como
se escribe como
se escribe como
se llaman formas estándar de una fracción y sirven para escribir respuestas que incluyen
4.3 SIMPLIFICACIÓN
Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o totalmente simplificados, cuando no
existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a
sus términos más sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en
común. Este proceso se llama también cancelación de factores comunes:
Ejemplo
Simplificar la fracción
SOLUCIÓN: Primeramente factorizaremos el numerador y el denominador y luego cancelaremos los factores
comunes a ellos:
Para reducir una fracción algebraica a expresión algebraica mixta o entera, se divide el numerador entre el
denominador. Si la división es exacta la fracción equivalente es una expresión algebraica entera. Si la división
no es exacta, se prosigue la división hasta que el primer término del resto sea de menor grado que el primer
termino del divisor y al cociente así obtenido se le añada una fracción cuyo numerador es el resto cuyo
denominador es el divisor.
Ejemplo
Reducir a expresión algebraica entera la fracción algebraica
SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos
xy
-18x3y
12x2y2
6xy3
-6xy3
Así pues
=
Ejemplo
Reducir a expresión algebraica mixta la fracción algebraica
2x
4
-2x
3x3-4x-3
-8x2 - 6x +1
8x2
6x +1
-6x +1
1
Como la división no es exacta tendremos
Ejemplo
Reducir a expresión algebraica mixta la fracción
-3
Como la división es inexacta. Tendremos
=
Ejemplo
Reducir a su mínima expresión
SOLUCIÓN: El m.c.d. de los dos términos del quebrado es
Ejemplo
Reducir a su más simple expresión
SOLUCIÓN:
Ejemplo
SOLUCIÓN:
Ejemplo
SOLUCIÓN:
, entonces:
Para reducir una expresión algebraica mixta a fracción algebraica, se multiplica la parte entera por el
denominador y el producto resultante se le suma algebraicamente el numerador. El resultado así obtenido es
el numerador de la fracción algebraica. El denominador de la fracción algebraica es el mismo que el de la
expresión algebraica mixta.
Ejemplo
Reducir
a fracción algebraica
SOLUCIÓN: Tendremos:
Que es el numerador de la fracción algebraica.
Así pues,
Ejemplo
Reducir
Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues,
Ejemplo
Reducir
Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues,
Fracciones Irreducibles
Un fracción es irreducible cuando su numerador y denominador no tienen más factores (divisores), comunes
que la unidad.
Por ejemplo
no es irreducible porque x es un factor común al numerador y denominador (es un divisor de
ambos). Eliminando x por división resulta 3/7, que sí es irreducible.
Para hallar la fracción irreducible de una dada.
1.- Descomponer en factores sus términos (numerador y denominador).
2.- Dividir ambos términos por cada factor común.
Ejemplo
Reducir:
Soluciones
edad 1: Si dos expresiones son exactamente iguales su cociente es 1
,
Propiedad 2: El cociente de dos binomios opuestos es -1.
,
,
Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores monomios comunes
Ejemplo
Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores binómicos comunes
Ejemplo
Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores binómicos opuestos
Ejemplo
a)
b)
c)
d)
Fracciones que tienen al menos un término trinómico
Ejemplo
a)
b)
c)
Fracciones algebraicas con mínimo común denominador
Reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en convertirlas en fracciones
equivalentes que tengan el menor denominador posible.
Para reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador se procede del modo siguiente:
a) Se simplifica al máximo las fracciones dadas.
b) Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores, que será el mínimo común denominador de las
fracciones equivalentes.
c) Para hallar los numeradores de las fracciones equivalentes se divide al mínimo común denominador
anteriormente obtenido entre cada uno de los denominadores y los cocientes resultantes se multiplican por
cada uno de los numeradores respectivos.
Ejemplo
Para reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas:
SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo
común múltiplo de los denominadores. Para ello descomponemos factorialmente los coeficientes
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
40
20
10
5
1
2
2
2
5
Es decir 32
48
40
=25
=243
=235
m.c.m.= 2535
=480
Así pues el mínimo común denominador será: 480x4
A continuación dividiremos el mínimo común denominador entre cada uno de los denominadores. Tendremos:
480x4  32x3 = 15x
480x4  48x2 = 10x2
480x4  40x4 = 12
Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos:
15x  3 = 45x
10x2  5 = 20x2
12  7 = 84
Por consiguiente:
=
Ejemplo
Reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas:
común múltiplo de los denominadores. Para ello, en primer lugar descomponemos factorialmente los
coeficientes.
54
27
9
3
1
2
3
3
3
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
81
27
9
3
1
3
3
3
3
Es decir 54
64
81
m.c.m.= 2634
=233
=26
=34
=5184
Así pues, el mínimo común denominador (m.c.d.) será: 5184(x2-y2)
Enseguida dividir el m.c.d. entre cada uno de los denominadores:
5184(x2-y2):54(x+y)=96(x-y)
5184(x2-y2) : 64(x2-y2) = 81
5184(x2-y2):81(x-y)=64(x+y)
Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos
96(x-y)  5 = 480(x-y)
Por consiguiente:
Ejemplo
81  3 = 243
=
64 (x+y)  4 = 256 (x+y)
Reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas:
común múltiplo de los denominadores. Para ello, en primer lugar descomponemos factorialmente los
coeficientes.
80
2
72
2
64
2
Es decir 80
40
2
36
2
32
2
72
=2332
20
2
18
2
16
2
64
=26
10
2
9
3
8
2
5
5
3
3
4
2
2
2
1
1
m.c.m.= 26325
=245
=2880
1
Así pues, el mínimo común denominador será: 2880(x y z )
2 2 3
Se divide el m.c.d. entre cada uno de los denominadores:
2880(x2y2z3): 80xy2 = 36xz3
2880(x2y2z3) : 72y2z3 = 40x2
2880(x2y2z3): 64x2z2 = 45y2z
Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos
36xz3 3z = 108xz4
40x2  5x = 200x3
45y2z 3y = 135y3z
Por consiguiente:
=
Ejemplo
Reduce a su mínimo común denominador las siguientes fracciones:
SOLUCIÓN: El m.c.m. de
Ahora :
Por lo tanto las fracciones quedan así:
Ejemplo
Reduce a su menor común denominador las siguientes fracciones:
SOLUCIÓN: Factorizas primero ambos denominadores
m.c.m. de
Ahora
Quedando las fracciones de la manera siguiente:
Ejemplo
Reduce a su menor común denominador las siguientes fracciones:
SOLUCIÓN: Factorizando los denominadores
m.c.m. de los denominadores:
Con lo cual los quebrado quedan de la manera siguiente:
4.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto es irreducible
a) Multiplicar los numeradores, obteniéndose el numerador del producto.
b) Multiplicar los denominadores, obteniéndose el denominador del producto.
Ejemplo
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto se puede simplificar
1) Descomponer en factores los polinomios que figuran en los numeradores y denominadores.
2) Dividir por los factores comunes del numerador y denominador.
3) Multiplicar los factores restantes.
Ejemplo
a)
b)
c)
d)
e)
Ejemplo
Calcula el producto de
SOLUCIÓN: Multiplicamos entre sí los numeradores y los denominadores. A continuación simplificamos la
fracción que resulte.
Ejemplo
Calcula el producto de
SOLUCIÓN:
Ejemplo
Multiplica
SOLUCIÓN:
4.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para dividir una fracción se multiplica por la fracción recíproca
Ejemplo
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
g)
h)
Ejemplo
Dividir
entre
SOLUCIÓN: Como se ha indicado, invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación.
4.7 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores comunes.
Procedimiento
1) Poner el denominador común y sumar algebraicamente los numeradores.
2) Reducir la fracción que resulte.
Al sumar algebraicamente los numeradores encerrar cada polinomio numerador en un paréntesis precedido del
signo que corresponde a su fracción.
Ejemplo
a)
b)
c)
Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores distintos.
Para sumar o restar fracciones con denominadores diferentes, primero las convertimos a fracciones que
tengan el mismo denominador. Cuando los denominadores son opuesto multiplicamos una de ellas por 1,
escrito en la forma
, para obtener un común denominador.
Ejemplo
Sumar
SOLUCIÓN:
Cuando los denominadores de dos o más fracciones son distintos, en ocasiones es necesario multiplicar una o
más fracciones por 1, escrito en la forma adecuada, para obtener un común denominador.
Ejemplo
Sumar
SOLUCIÓN:
Ejemplo
Sumar
SOLUCIÓN:
Ejemplo
Sumar
SOLUCIÓN:
Ejemplo
Efectúa la siguiente operación:
SOLUCIÓN: El m.c.m. de los denominadores:
entonces:
Ejemplo
SOLUCIÓN: Los enteros los convertimos en quebrados poniéndoles a la unidad como denominador:
m.c.m. de los denominadores:
Ejemplo
SOLUCIÓN: Primero factorizaremos los denominadores:
el m.c.m. de los denominadores es:
luego:
. Ahora:
Ejemplo
Sumar
SOLUCIÓN: Factorizamos el denominador y determinados el común denominador:
El mínimo común denominador
A continuación escribimos cada fracción con su denominador en forma factorizada, y convertimos las
fracciones en unas que tengan el denominador común
. Por último, sumamos las fracciones.
Ejemplo
Restar
SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD=
Ejemplo
Hacer las operaciones indicadas
SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD=
En este caso se puede simplificar el resultado final
4.8 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS
Se le llama fracción compleja o compuesta, a cualquier forma fraccionaria que tenga fracciones en el
numerador o el denominador. Con frecuencia es necesario representar una fracción compleja en la forma de
fracción simple
Se entiende por simplificación de una fracción compleja su transformación a una fracción simple, reducida en
términos a sus términos más sencillos, que sea equivalente a ella. Pueden usarse dos métodos.
Uno: Consiste en transformar el numerador y denominador en fracciones simples (si es necesario) y luego
proceder como en la división de fracciones.
Otro: Que generalmente es más sencillo, consiste en obtener una fracción simple multiplicando el numerador y
el denominador originales por el menor denominador común de todas las fracciones.
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Utilizaremos el primer método, o sea la división de una fracción simple entre otra:
Ejemplo
Simplificar la misma fracción compleja
SOLUCIÓN: Utilizaremos ahora el segundo método. Multiplicaremos el numerador y denominador por el
denominador común de todas las fracciones:
Factorizamos los denominadores de la fracción
m.c.d. (denominadores): (x+1)(x-1)(x+3)
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Ahora aplicaremos el segundo método.
Como 2x2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2), resulta que el menor denominador común de las fracciones del
numerador y el denominador es (2x + 1)(x - 2), tenemos
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Multiplicamos por x2 el numerador y el denominador, por ser el m.c.m. de las fracciones incluidas
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores =
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x2
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x-1
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x-4
Ejemplo
Simplificar
SOLUCIÓN: Dividimos una fracción simple entre otra
Ejemplo
Simplificar la fracción
SOLUCIÓN: Obtenemos una fracción simple multiplicando el numerador y el denominador originales por el
menor denominador común de todas las fracciones. Como
denominador común de las fracciones del numerador y denominador es
el numerador y denominador por
, tenemos:
, resulta que el menor
. Por tanto, multiplicando

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