Investigación: Buscando funciones

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Investigación: Buscando funciones
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Buscando funciones. Modelización
PARA LA PARTE EN GRUPO:
LOS GRUPOS SERÁN :
A:
Jimenez Salas, Julia
Rius Pineda, Ana Valme
Ortega Muñiz, Juan Manuel
Cordero Hermoso, Ana
Dominguez Perez, David
B:
Jimenez Reyes, Antonio José
Clavijo Cordero, Cristina
Romero Nuñez, Alberto
Varela Romero, Ana
C:
Salazar Iglesias José Maria
Barba Galán,Elisabet
Cuevas Perez, Laura
Nuñez Castelar, Manuel
D:
Jimenez Ávarez, Virginia
Garcí Villagran, Rocio
Silva Grao, Alvaro Manuel
Rodriguez Robles, Roberto
EJERCICIOS A REALIZAR:
EXPONENCIALES BANCARIAS Y EL SIGUIENTE:
Cuatro pueblos están situados en una llanura sobre los vértices de un cuadrado de 20 km de lado. Se quiere
dotarlos de carreteras para que se comuniquen entre sí, de modo que en total haya que construir el mínimo
número de kilómetros posible.
Tres ingenieros presentan los siguientes esquemas de proyecto:
a) ¿Cuál de ellos tiene menor longitud
de carreteras?
A
B
A
b) Si el cuarto dibujo representa otro
modelo que tiene x km de tramo central,
¿Qué función será la que me de la
longitud del proyecto?
d) ¿Cuánto tendría que ser x para que el
gasto en carretera construido sea
mínimo?
ENTREGAR EL VIERNES :
DEJARLOS EN MI CASILLERO.
CONSULTAS: [email protected]
Funciones y Gráficas.
I.E.S. Cristóbal Colón
C
D
10 km
D
A
C
B
x km
C
B
A
5 km
C
c) ¿Para qué valores de x está definida
esa función? (Dominio) y ¿cuál es su
imagen?
B
D
D
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Buscando funciones. Modelización ................................................................................................................... 1
Investigación: Buscando funciones. La noria .................................................................................................... 3
Investigación: Buscando funciones. El “Trávelling ........................................................................................... 4
Investigación: Buscando funciones. RecipientesI .............................................................................................. 5
Investigación: Buscando funciones. RecipientesII ............................................................................................ 6
Investigación: Buscando funciones. “Las Piscinas”. Funciones a trozos ........................................................... 7
Investigación: Buscando funciones. “El Carbono 14”. Funciones exponenciales ............................................. 8
Investigación: Buscando funciones. La parábola ............................................................................................... 9
Investigación: Buscando funciones. Interpolación .......................................................................................... 11
Investigación: Buscando funciones. Exponencial en el Bosque ...................................................................... 12
Investigación: Buscando funciones. Exponenciales bancarias......................................................................... 13
Funciones y Gráficas.
I.E.S. Cristóbal Colón
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Investigación: Buscando funciones. La noria
Una noria da una vuelta cada 20 segundos. Se quiere
determinar cómo varia la altura del coche A en función del tiempo. Para
ello vamos a observar la altura durante un minuto.
A
 Pasos:
Paso 1: Haz una tabla, y ayudándote del modelo de Cabri, toma
observaciones cada 5 seg.
Tiempo
5 seg.
10 seg.
15 seg.
20 seg.
....
Ángulo
Altura
Paso 2: Representa esos puntos en una gráfica, de manera que en el eje X indique el tiempo y el eje Y la
altura.
 Investiga:
¿Cuál es la menor y mayor altura que alcanza el coche?
¿Cada cuánto tiempo alcanza la mayor y menor altura?
A lo largo de una vuelta el coche se encuentra dos veces a la misma altura, pero en situaciones
distintas. ¿ Podrías describir esas situaciones?.
 Conjetura:
¿ Podrías predecir la altura al cabo de 18’ y 45``?.
¿ Cómo cambiaría la gráfica si la noria fuese más deprisa?

Generalízalo :
¿ Podrías predecir la altura en cualquier instante t?.
Funciones y Gráficas.
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Investigación: Buscando funciones. El “Trávelling
Un director de cine quiere rodar la última escena de la película,
del siguiente modo: Un personaje inmóvil ve marchar un barco a lo largo
de un río, que discurre en línea recta, y a 40 metros de la persona.
El director proyecta hacer un largo "travelling" manteniendo
igualmente enfocados al barco y al personaje, es decir, teniendo a ambos
siempre equidistantes de la cámara.
P
A
X
cámara
barco
 Pasos:
Paso 1:
Suponemos el origen de coordenadas en la posición inicial del Barco.
Haz una tabla, y ayudándote del modelo de Cabri, toma observaciones.:
Distancia del
Barco al Origen
Distancia de la
cámara al barco.
Paso 2: Representa esos puntos en una gráfica, de manera que en el eje X indique la distancia del barco al
origen y el eje Y la distancia de la cámara al barco.
 Investiga:
¿Cuál es la menor y mayor distancia de la cámara al barco?
Si el barco , se mueve ahora de derecha a izquierda, ¿qué va a ocurrir con la distancia de la cámara
ala barco?
 Conjetura:
¿ Podrías predecir dónde se encontrará la cámara cuando el barco haya recorrido 2 km?.
¿ Cómo cambiaría la gráfica si la distancia inicial , del barco al personaje fuese otra?

Generalízalo :
¿ Podrías predecir la distancia de la cámara al barco en cualquier posición del barco?
Funciones y Gráficas.
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Investigación: Buscando funciones. RecipientesI
Para calibrar un recipiente, de forma que se pueda utilizar para
medir líquidos, es necesario saber de qué manera el volumen del
recipiente en función de la altura que va alcanzando el líquido.
 Pasos:
Paso 1:
Aumenta el volumen del recipiente en cantidades iguales y
observa la altura que alcanza.
Haz una tabla para la toma observaciones.:
Volumen
Altura
Dibuja a escala tu recipiente
Paso 2:
Representa esos puntos en una gráfica, de manera que en el eje X indique la altura y el eje Y el volumen.
 Investiga:
¿A qué tipo de función se parece la gráfica de este fenómeno?
¿Cómo podrías estimar la dependencia funcional a partir de la gráfica?
 Conjetura:
¿Cuál es la dependencia funcional teórica que me da el volumen en función de la altura?

Generalízalo :
¿ Podrías encontrar la fórmula que me da el volumen que ocupa el líquido en función de la altura que
alcanza?.
¿ Cómo cambiaría la gráfica si el recipiente fuese de la misma forma pero más pequeño?
¿Qué volumen corresponderá a una altura de: 5 , 7, 8,10,15 cm?
¿Qué altura alcanzará el líquido cuando el volumen sea 10,35,50, 50, 100 ml?
Funciones y Gráficas.
I.E.S. Cristóbal Colón
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Investigación: Buscando funciones. RecipientesII
Para calibrar un recipiente, de forma que se pueda utilizar para
medir líquidos, es necesario saber de qué manera la altura del líquido
depende del volumen que hay en el recipiente.
 Pasos:
Paso 1:
Aumenta el volumen del recipiente en cantidades iguales y
observa la altura que alcanza.
Haz una tabla para la toma observaciones.:
Volumen
Altura
Dibuja a escala tu recipiente
Paso 2:
Representa esos puntos en una gráfica, de manera que en el eje X indique el volumen y el eje Y la altura.
 Investiga:
¿A qué tipo de función se parece la gráfica de este fenómeno?
¿Cómo podrías estimar la dependencia funcional a partir de la gráfica?
 Conjetura:
¿Cuál es la dependencia funcional teórica entre la altura y el volumen?

Generalízalo :
¿ Podrías predecir a qué altura en el recipiente equivale un volumen V?.
¿ Cómo cambiaría la gráfica si el recipiente fuese de la misma forma pero más pequeño?
Funciones y Gráficas.
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Investigación: Buscando funciones. “Las Piscinas”. Funciones a trozos
Se está llenando una piscina, como la de la figura con una manguera que vierte agua a una velocidad
constante de 100 litros por minuto.
1. Obtén la función que me da la altura que va alcanzando la piscina en función del tiempo que lleva abierto
el grifo
2. ¿Cuánto tiempo necesitará para alcanzar 1,4 m.?
3. ¿Qué altura habrá alcanzado cuando lleva un día funcionando la manguera?
CORTE VERTICAL:
0,5 m
0,5 m
1 m
PLANTA:
10 m
5m
Funciones y Gráficas.
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5m
5m
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Investigación: Buscando funciones. “El Carbono 14”. Funciones
exponenciales
El carbono 14 es una técnica para descubrir la antigüedad de un objeto antiguo (un hueso, un mueble, una
tabla, una pintura...).
Mientras están vivos, los animales y
plantas tienen una cantidad constante de
Carbono 14, pero cuando mueren
disminuye por la radiactividad. El periodo de
semidesintegración del carbono 14 (El
tiempo que tarda un objeto en eliminar la
mitad de Carbono 14 original que
contenía) es de 5570 años.
a) Obtén una fórmula y haz la
gráfica que me da la
cantidad de Carbono 14
que queda en un
objeto, en función del
tiempo que pasa.
b) Imagina que tienes dos
muestras de madera. Una está
cogida de un árbol
reciente y la otra de una muestra de
carbón de leña hallado en las cuevas de Altamira hace 4000 años ¿Qué porcentaje de Carbono
14 tiene cada muestra?
c) ¿Cuánto tiempo tardará un objeto en tener el 25% de la cantidad inicial?, y ek 40%.
d) ¿Cuánto habrá perdido unas pinturas rupestres que se suponen tienen 4500 años?
Nota: Suponer que partimos de una cantidad C0
Se ha sabido que los piojos (pediculus humanus) se reproducen doblando el número cada dos días. Si, en un
cierto instante, hay 8 piojos en la cabeza de un alumno, ¿Cuántos habrá al cabo de ocho días?. ¿Al cabo de
cuántos días habrá mas de mil piojos?
A partir del cuarto día, ese alumno deja de ir al colegio y comienza el tratamiento, en cuyo prospecto se
asegura que cada día de tratamiento se eliminan piojos según la ley N=d 3
Donde d son los días de tratamiento. ¿Cuántos días está sin ir al colegio?
Funciones y Gráficas.
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Investigación: Buscando funciones. La parábola
2.- La bola, golpeada por un jugador de golf, describe una trayectoria de ecuación: y=-x2/8+5x
a) Representa la trayectoria y decide si la bola podría eludir el árbol que hay en el camino, de 20 m de altura,
situado a 36m de donde se encuentra el jugador al lanzarla.
b) Si un pájaro vuela según la recta y= x - 10 , ¿puede darle la bola al pájaro?
3.-Un jugador de baloncesto se dispone a lanzar un tiro parabólico desde su altura máxima de 2 metros. Sabiendo
que la canasta se encuentra a 9 metros del jugador y a 2'9 metros de altura y que la máxima altura que debe
alcanzar la pelota en este trayecto es de 4'5 metros. Calcular que ecuación tiene que seguir la pelota.
b) Si un jugador contrario está situado a 3 metros de él y su máxima altura saltando es de 2'5 metros, ¿Bloqueará
la pelota?
Funciones y Gráficas.
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4.- Cuatro pueblos están situados en una llanura sobre los vértices de un cuadrado de 20 km de lado. Se quiere
dotarlos de carreteras para que se comuniquen entre sí, de modo que en total haya que construir el mínimo
número de kilómetros posible.
Tres ingenieros presentan los siguientes esquemas de proyecto:
a) ¿Cuál de ellos tiene menor longitud
de carreteras?
A
B
A
b) Si el cuarto dibujo representa otro
modelo que tiene x km de tramo central,
¿Qué función será la que me de la
longitud del proyecto?
d) ¿Cuánto tendría que ser x para que el
gasto en carretera construido sea
mínimo?
Funciones y Gráficas.
I.E.S. Cristóbal Colón
C
D
10 km
D
A
C
B
x km
C
B
A
5 km
C
c) ¿Para qué valores de x está definida
esa función? (Dominio) y ¿cuál es su
imagen?
B
D
D
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Investigación: Buscando funciones. Interpolación
1.- Un fabricante de perfumes ha hecho un análisis de las preferencias de los clientes, con objeto de obtener
un beneficio máximo en las ventas. Vende distintos tipos de perfume, todos con el mismo coste de
producción (incluido el envase): 750 ptas. Pero a medida que mejora el envase empeora la calidad del
contenido. Fabrica los tipos A, B, C, D, E, F, G, H. Cada uno de ellos lo vende 100 ptas. más caro que el
precedente. El de tipo D lo vende a 1300 ptas., con un volumen mensual de ventas de 5000 frascos. A medida
que aumente el precio vende 800 frascos menos al mes. Mostrad mediante una tabla su beneficio mensual.
Si se decidiese a fabricar un solo tipo, ¿Cuál le aconsejarías fabricar?
Busca una expresión general, una función, que me de el beneficio en función del precio
correspondiente a los distintos precios de venta.
2.- Se están haciendo pruebas de un dispositivo que permite a los aviones aterrizar en pistas de corta longitud.
Se toma una película del aterrizaje de un avión, midiéndose los tiempos y las distancias recorridas desde el
momento en que toca tierra hasta que se detiene y obtenemos la siguiente tabla:
Tiempo (seg) 0
1
2
3
4
5
6
Distancia (m) 0
100 175 230 270 300 325
Ver si hay alguna fución polinómica que se ajuste a estos datos, y en caso afirmativo escribirla.
3.- En una fábrica se elaboran cables de cobre para conducciones eléctricas; se fabrican con diámetros
diferentes, y su precio viene dado por la siguiente tabla:
Diámetro (m.m)
3
4
5
6
7
8
9
10
Precio (ptas por cada 5 m)
36
80
150
252
392
576
810
1100
Ver si hay alguna función polinómica que se ajuste perfectamente a estos datos. Escríbela. ¿Está
justificado el precio por la cantidad de materia prima empleada?
4.- Una empresa ha anotado sus costes de producción (en euros) en función de las unidades producidas, datos
que se plasman en la siguiente tabla:
Unidades
producidas
Costes en Euros
100
200
300
400
500
52000
84000
136000
208000
300000
El precio de venta de cada unidad es de 520 Euros.
a) ¿Existirá una función que se ajuste al Beneficio de la empresa, en función de las unidades fabricadas?
b) ¿Habrá algún número de unidades que me de el beneficio máximo?
c) ¿Habrá alguna cantidad de unidades que me haga la empresa deficitaria?
5.- Un fabricante vende mensualmente 100 electrodomésticos a 400 € cada uno y sabe que por cada 10 euros
de subida venderá 2 electrodomésticos menos.
a) ¿Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50€?
b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales
c) ¿Cuál debe ser la subida para que lo ingresos sea máximos?
d) Representa la función del apartado b)
e) ¿Cuánto será el precio que tiene que tener un electrodoméstico para que sus ingresos mensuales
superen los 42000 €?
Funciones y Gráficas.
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Investigación: Buscando funciones. Exponencial en el Bosque
En un informe interno de una asociación ecologista enviado a todos sus socios a efectos de contar con
asociados para hacer un día de plantada de árboles, encontramos el siguiente razonamiento:
Si un Bosque crece de manera exponencial y en los últimos 134 años se ha duplicado la masa vegetal,
volverá a duplicarse en los próximos 134 años. Si sabemos que ha aumentado en 10 años el 5,31%.
Podemos asegurar que cada 10 años tendrá el 5,31% más que al comienzo
Cada 10 años su masa se multiplica por 1,0531.
Intentemos explicar matemáticamente esta situación.
 Pasos a seguir:
1.- Identifica la función que nos da la masa vegetal en función del tiempo.
2.- Identifica la función que nos da la tasa de aumento en función del tiempo.
3.- Represéntalas gráficamente.
Funciones y Gráficas.
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Investigación: Buscando funciones. Exponenciales bancarias
Una situación usual para la mayoría de los mortales:
Pedimos en el banco un millón de Ptas. y lo devolvemos en 5 años. Nos dicen que tendremos devolver el
doble de lo que hemos pedido ¿ Qué interés nos están cobrando?
 Pasos:
Paso 1:
¿Cuánto debes al final del quinto año?
Llámale i al interés en tanto por 1.¿ Cuánto debes al final del primer año?
Expresa esa deuda en función del tiempo.
Paso 2:
Si lo que debes el primer año le aplicas de nuevo el interés i. ¿En cuánto se ha convertido la deuda?
Expresa esa deuda en función del tiempo.
Paso 3:
Repite el proceso hasta el quinto año.
Paso 4:
¿Puedes decirme ahora cual es el interés?
 Investiga
¿Cuánto sería la deuda si lo devolvieses a los 10 años?
¿Cuánto sería la deuda si el interés ahora fuese el doble?
 Conjetura:
¿Cuál es la función que da el capital deudor en función del tiempo, el interés y el capital final?
 Generaliza:
Fórmula del Interés Compuesto
Si C es el capital inicial , i es el interés y t es el tiempo en años, ¿ cuál es la función del capital final?
¿Y si el tiempo es en meses?
¿Y en días?
Funciones y Gráficas.
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Investigación: Buscando funciones. Exponencial en la sanidad
Una determinada enfermedad contagiosa es trasmitida por una persona a otras tres al cabo de dos semanas y
ya esa persona no vuelve a contagiar a nadie más.
En una cierta población hay inicialmente siete personas que tienen dicha enfermedad.
a) ¿Cuántas personas serán contagiadas en la octava semana?
b) Haz una gráfica que represente el número de personas que se contagian en función de las semanas
c) Busca la función que da el número de personas que se contagia en la semana x (par)
d) ¿Cuántas personas en total habrán contraído la enfermedad al cabo de ocho semanas?
e) Haz una gráfica que represente el número total de personas contagiadas en función de las semanas
f) Busca la función que da el número total de personas contagiadas en la semana x (par)
g) ¿Cuántas semanas deben transcurrir para que en la última semana se contagien 100.000 personas?
h) ¿Cuántas semanas deben transcurrir para que en la última semana haya 100.000 personas?
i) Si a partir de la décima semana se comienza a vacunar a la población a un ritmo de 4000 personas
por semana, ¿Se controlará la epidemia?. ¿En cuánto tiempo?
Investigación: Buscando funciones. Cuadrática en la sanidad
-Obtenido de Matemáticas del Cuerpo Humano. Ed. Proyecto SurUna peste avanza en un radio de 3 km/día en un terreno con una densidad de población de 90 hab/km2 (Esto
supone que hay 90 habitantes en cada km2 de superfície).
Suponiendo que llegada la peste a una zona, esta contagia al 30% de la población:
¿En cuántos kilómetros cuadrados hay enfermos afectados por la peste al cabo de 1,2,... días?. Busca
una función que de la superfície de terreno afectado por la peste en función de los días que trascurren
b) ¿Cuántos habitantes se habrán contagiado al cabo de 1,2,... días?. Busca una función que de el número
de habitantes contagiados en función del número de días.
c) Haz la gráfica de la función del apartado b)
d) Sabiendo que hay 76341 personas contagiadas, ¿qué tiempo ha transcurrido desde el inicio?
e) ¿Qué radio habrá avanzado la enfermedad si ha contagiado a 100000 personas?.
a)
Funciones y Gráficas.
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