1. Estándar 9-6 / Competencia 1
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1. Estándar 9-6 / Competencia 1
1 Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica: Respuesta a un Desafío (UCV 0402) Asignatura: Geometría Proporcional Autor(a)/Universidad: Universidad de Concepción. Horas presenciales por semana: 5 horas Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso. El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer y las evaluaciones, han sido alineadas con los estándares y competencias del perfil de egreso para la formación inicial de profesores del segundo ciclo básico. Los siguientes estándares y competencias tienen un énfasis principal en este curso: Estándar 9 Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidad de trazos, y los utiliza para fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos. Aplica estos teoremas para determinar relaciones de semejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar los teoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas y angulares en la circunferencia. Comprende y aplica las razones trigonométricas para resolver problemas. Construye homotecias directas e inversas de figuras. Valora uso de la semejanza de figuras en el arte y la arquitectura. Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometría proporcional y semejanza en los planes de estudio de enseñanza básica y media, y es capaz de organizar el proceso de aprendizaje de estos contenidos para el nivel de Educación General Básica. Competencia 1, eje 2: Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es responsable de enseñar. 2 El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso: Estándar 6 Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el significado de distintas figuras geométricas tales como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas. Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos de enseñanza hacia procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y compás en construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidas geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje. Competencia 2, eje 2: Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña y utiliza este conocimiento para planificar su enseñanza. Competencia 7, eje 2: Crea experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los estudiantes integrar el conocimiento, destrezas y métodos de investigación de diversos sectores de aprendizaje. Competencia 8, eje 2: Comprende cómo motivar a sus estudiantes para facilitar su aprendizaje a través del uso de recursos variados (incluidas las TIC’s) II. Aprendizajes esperados estándares/competencias) (los aprendizajes claves para el logro de los Conocimiento Utiliza el concepto de proporcionalidad de trazos en la formulación del teorema de Thales Aplica el concepto de semejanza para identificar figuras semejantes. Fundamenta con ello la lectura de planos y mapas. Utiliza los teoremas de semejanza de triángulos en la deducción de los teoremas de Euclides y de las relaciones métricas y angulares en la circunferencia. Reconoce a las razones trigonométricas como constantes de proporcionalidad involucradas en triángulos rectángulos semejantes. 3 Demuestra y aplica los teoremas de semejanza de triángulos, los teoremas de Euclides y las relaciones métricas y angulares en la circunferencia. Identifica los contenidos de enseñanza básica y media relacionados con la semejanza de figuras estableciendo una secuencialidad en ellas. Procedimentales Construye geométricamente la división interior y exterior de un trazo, así como la media, tercera y cuarta proporcional geométrica. Explicita y fundamenta sus construcciones. Utiliza el concepto de semejanza de figuras planas para construir figuras semejantes y homotecias aplicadas a figuras. Fundamenta con ello la lectura de planos y mapas. Resuelve problemas, tanto geométricos como cotidianos, usando los teoremas de geometría proporcional. Analiza textos escolares de matemática para 2do ciclo y evalúa la pertinencia de las actividades propuestas, relacionadas con la geometría proporcional. Actitudes Valora la presencia de la razón áurea en el arte, arquitectura y naturaleza. III. Lecturas Requeridas: Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometría elemental”, Ediciones Universidad Católica de Chile. Cano, O (1963) “Geometría”. Clemens, S; O’Daffer, P; Cooney, T (1998) “Geometría”, Pearson / Addison Wesley. Coxeter, H. S. M (1989) “Introduction to geometry”, John Wiley & Sons. Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria. Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley. Pogorélov, A. V. (1974) “Geometría elemental”, Editorial Mir. IV. Otros recursos: http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub= http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php Software GeoGebra (disponible gratuitamente en http://www.geogebra.org/ ) http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo año básico”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año medio”, MINEDUC, 2da ed. MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Tercer año medio”, MINEDUC, 2da 4 ed. V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. TRABAJO 1: Construcción de figuras semejantes PUNTOS) Estándar9-6/Competencia1 (8 Elaboran un informe escrito en el que desarrollan las siguientes actividades: Para un trazo dado, construir otro que esté en la razón 2 : 3 . En un trazo dado construir la división interior y exterior para la razón 5 : 3 Construyen geométricamente la cuarta proporcional geométrica de tres trazos dados. Dado un cuadrilátero, construir uno semejante, según la razón 2 : 7 . Establecer la relación de la semejanza de figuras con la lectura de planos y mapas. Ejemplifique. TRABAJO 2: Teoremas de Euclides. Estándar9-6/Competencia1 (8 PUNTOS) Elabora un informe en el que desarrolla las siguientes actividades: Demuestra los teoremas de Euclides utilizando los teoremas de semejanza de triángulos. Resuelve un tangrama que esté diseñado en baso a uno de los teoremas de Euclides, y reproduce la solución en el informe. Señale el conocimiento matemático presente en ese tangrama. Resuelve un listado de problemas en los que estos teoremas están involucrados. Construyen geométricamente la media y tercera proporcional geométrica de dos trazos dados. TRABAJO 3: Relaciones métricas y angulares en la circunferencia Estándar9-6/Competencia1-8 (8 PUNTOS) Elabora un informe en el que desarrolla las siguientes actividades: Construye en GeoGebra (freeware en español) figuras que permitan visualizar los siguientes teoremas: o Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia. o Teorema del ángulo semi inscrito en una circunferencia. o Teorema de las cuerdas. o Teorema de la tangente Demuestra los teoremas anteriores. Resuelve un listado problemas en los que estén involucrados teoremas sobre circunferencia. TRABAJO 4: Razones trigonométricas Estándar9/Competencia1 (8 PUNTOS) Desarrolla una guía de actividades en la que, en la resolución de problemas relacionados con triángulos rectángulos, reconoce que ciertos problemas son resolubles si se conocieran las constantes de proporcionalidad (razones trigonométricas) involucradas en los teoremas de Thales. Resuelve un listado de problemas (geométricos y de aplicación) haciendo uso de estas razones trigonométricas, con apoyo de tablas o de calculadora. TRABAJO 5: Geometría proporcional en el arte, arquitectura y naturaleza Estándar9/Competencia7 (4 PUNTOS) 5 En grupo, investigan sobre la presencia de la razón áurea en el arte, arquitectura y naturaleza, mostrando además la relación de esta razón con otras áreas de la matemática. Elaboran un informe con el resultado de sus investigaciones. TRABAJO 6: Análisis de Textos Escolares con Planes y Programas Oficiales de Matemática Estándar9/Competencia2 (4 PUNTOS) En grupo, analizan los planes de estudio de 4to básico a 3ro medio, identificando aquellos contenidos mínimos obligatorios (CMO) en los que estén involucradas figuras semejantes, relacionándolos con los aprendizajes esperados. Utilizan textos escolares que incluyan conceptos de figuras semejantes, analizando la consistencia conceptual y grado de complejidad utilizados en ellos y se pertinencia con los CMO y aprendizajes esperados de los planes y Programas. Realizan un informe que contenga el análisis realizado. VI. EVALUACIONES CLAVES EVALUACIÓN 1 1. Estándar 9-6 / Competencia 1 2. Justificación: Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de reconocer en los programas de estudio aquellos contenidos referidos o relacionados con la semejanza de figuras planas, pues debe comprender el marco curricular nacional y la forma en la que éste se estructura y articula. Lo anterior justifica que el o la docente, comprenda con profundidad adecuada la matemática que le corresponde enseñar: en particular, aquella que se relacione directamente con el tema de proporcionalidad. 3. Pre-requisitos: Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de: Comprender y reconocer los conceptos de rectas perpendiculares y paralelas, ángulo, triángulo. Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos de medida determinada, triángulos con determinadas características y trazos de medida dada. Copiar ángulos. Comprender y aplicar los conceptos de razón y proporción. 4. Descripción breve de la evaluación: Los profesores en formación deducirán y aplicarán el teorema de Thales y los criterios de semejanza., demostrando estos últimos. 5. Describa los pasos de la evaluación en detalle Paso 1: Los profesores en formación, en parejas o ternas, identifican en una colección de triángulos, aquellos que tienen la misma forma. Deducen las relaciones (igualdad en medidas de ángulos interiores y proporcionalidad de lados) que se producen en estos triángulos utilizando distintos instrumentos de construcción y/o medición. Establecen, con apoyo bibliográfico, el concepto de triángulos semejantes. 6 Paso 2: Construyen figuras semejantes. Individualmente los profesores en formación, construyen triángulos semejantes a otros, explicitan sus procedimientos y los utilizan para construir polígonos semejantes a otros. Aplican relaciones de proporcionalidad para construir geométricamente la cuarta proporcional geométrica de tres trazos dados. Paso 3: Individualmente el profesor en formación, dado un triángulo determina la mínima información para construir uno semejante a otro. Sistematiza sus afirmaciones, establece los teoremas de semejanza y los demuestra. Paso 4: Elaboración de un mapa conceptual Individualmente los profesores en formación, elaborarán un mapa conceptual que relacione entre otros los conceptos de triángulos semejantes, trazos proporcionales, figuras semejantes, cuarta proporcional geométrica. 7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros): Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador). Textos escolares de Matemática y literatura especializada. 7 Rúbrica de evaluación Paso 1 (1x) 2 (1x) 3 (1,5x) 4 (1,5x) Insatisfactorio (0) Identifica pares de triángulos que no tienen la misma forma, o no fundamenta su elección. No construyen geométricamente ni triángulos semejantes, ni polígonos semejantes, ni la cuarta proporcional geométrica. Básico (3) Fundamenta la elección de pares de triángulos con la misma forma a través de la congruencia de los ángulos interiores correspondientes. Construyen geométricamente triángulos semejantes sin explicitar ni fundamentar sus procedimientos. No construyen geométricamente polígonos semejantes. No logran identificar la información mínima necesaria para construir un par de triángulos semejantes. Establecen proporcionalidad en los lados e identifican la cuarta proporcional geométrica, pero no son capaces de construirla. Determinan información necesaria, pero redundante, para construir un par de triángulos semejantes. Describen sus procedimientos Elabora sólo una secuencia de contenidos. Elabora un mapa conceptual estableciendo enlaces entre niveles de jerarquía contiguos. Elabora un mapa cognitivo. Competente (6) Fundamenta la elección de pares de triángulos con la misma forma a través de la congruencia de los ángulos interiores correspondientes y deduce la relación de igualdad de los cuocientes entre las longitudes de los lados correspondientes. Construyen geométricamente triángulos semejantes explicitando y fundamentando sus procedimientos Destacado (8) Fundamenta la elección de pares de triángulos con la misma forma a través de la congruencia de ángulos interiores correspondientes y proporcionalidad de las longitudes de los lados correspondientes. Construyen geométricamente polígonos semejantes sin explicitar ni fundamentar sus procedimientos. Construyen geométricamente polígonos semejantes explicitando y fundamentando sus procedimientos Construyen la cuarta proporcional sin describir la construcción en lenguaje geométrico Determinan información mínima necesaria para construir un par de triángulos semejantes. Describen sus procedimientos y enuncian sus resultados. Justifican sus afirmaciones en lenguaje no formal. Elabora un mapa conceptual estableciendo enlaces entre niveles de jerarquía contiguos y no contiguos. Construyen la cuarta proporcional y describen la construcción en lenguaje geométrico. Puntos 8 Construyen geométricamente triángulos semejantes explicitando y fundamentando sus procedimientos Determinan información mínima necesaria para construir un par de triángulos semejantes deduciendo los teoremas de semejanza para triángulos y demostrándolos. Elabora un mapa conceptual estableciendo enlaces entre niveles de jerarquía contiguos y no contiguos fundamentando cada enlace. TOTAL PUNTOS 8 12 12 40 8 EVALUACIÓN 2 1. Estándar 9-6 / Competencia 1-7-8 2. Justificación: Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender el origen, enunciar y demostrar las propiedades métricas en el triángulo rectángulo y en la circunferencia, por cuanto estos contenidos son parte del currículo escolar, y porque robustece la formación de la disciplina que enseña, dándole así al profesor una visión de la matemática desarrollada a partir del 2do ciclo. Así mismo, debe comprender de qué forma los conocimientos de la matemática escolar están presentes en la realidad social y natural del hombre. 3. Pre-requisitos: Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de: Comprender y reconocer los conceptos de triángulo, polígono, circunferencia y los elementos secundarios de éstos. Comprende las relaciones angulares en un triángulo. Comprende y aplica los criterios de semejanza de triángulos. Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos de determinadas medidas, y triángulos con determinadas características. Comprende y aplica los conceptos de razón y proporción. 4. Descripción breve de la evaluación: Los profesores en formación deducirán y demostrarán las relaciones métricas, para luego aplicarlas en la resolución de problemas, tanto geométricos como cotidianos. Además, investigarán sobre la presencia de la razón áurea, explorando en la red ejemplos y sitios de aprendizaje. 5. Describa los pasos de la evaluación en detalle Paso 1: En parejas o en grupos de 3, resuelven puzzles o tangramas que les permitan identificar relaciones métricas relacionadas con los teoremas de Euclides. Enuncian sus resultados e identifican los elementos del triángulo rectángulo involucrados en estas relaciones. A continuación, descomponen el triángulo rectángulo en triángulos semejantes, y haciendo uso de los criterios de semejanza, demuestran los teoremas de Euclides. Paso 2: En grupos de 2 o 3 personas, desarrollan una guía de aprendizaje en la que deducen las relaciones angulares en una circunferencia. A partir de este trabajo, consideran los segmentos utilizados y reconocen triángulos semejantes presentes en la circunferencia, dibujando los trazos necesarios para ello, de ser necesario. Identifican relaciones métricas en la circunferencia y las demuestran. Paso 3: Individualmente, resuelven una guía de problemas geométricos referidos a polígonos y circunferencias, usando las relaciones determinadas en los pasos anteriores y fundamentando sus afirmaciones. 9 Paso 4: En parejas o ternas, exploran la red buscando información sobre la presencia de la razón áurea en el arte, arquitectura o naturaleza. Diseñan una presentación en PowerPoint para presentar a sus compañeros uno de los sitios, fundamentando el por qué lo seleccionaron, y el uso que le darían en el trabajo con jóvenes en cuanto a recurso computacional para la enseñanza. Además, diseñan en un software adecuado una figura que les permita ilustrar geométricamente algún aspecto de interés asociado a la razón áurea. 7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros): Instrumentos de construcción geométrica. Software de geometría dinámica. Internet y sitios Web. 10 Rúbrica de evaluación Paso 1 (1x) 2 (1,5x) 3 (1,5x) 4 (1x) Insatisfactorio (0) Básico (3) No resuelven correctamente el tangrama. Descomponen el triángulo rectángulo en dos triángulos no semejantes. Resuelven el tangrama, pero no identifican los elementos secundarios del triángulo que permiten establecer la relación en función de ellos. Descomponen el triángulo rectángulo en dos triángulos no semejantes. Establecen y demuestra las relaciones angulares, pero no identifica triángulos semejantes. No logran establecer las relaciones angulares en la circunferencia. No logran identificar datos y preguntas, o bien, hipótesis y tesis, a partir de los enunciados. No resuelven los problemas. Resuelven los problemas por métodos poco eficientes. No respetan una estrategia de resolución de problemas ni utilizan un lenguaje matemático ni una escritura ordenada. No encuentran un sitio en la red. Diseñan una figura que no permite ilustrar la construcción de la razón áurea, o algún aspecto de ella. Muestran un sitio cuya presentación o contenidos no son adecuados o pertinentes, o es conceptualmente inconsistente. Diseñan una figura que no permite ilustrar la construcción de la razón áurea, o algún aspecto de ella. Competente (6) Resuelven el tangrama, y establecen la relación entre los elementos del triángulo. Enuncian sus resultados en lenguaje no formal. Descomponen el triángulo rectángulo en triángulos semejantes y establecen las relaciones de proporcionalidad. Establece y demuestra las relaciones angulares en la circunferencia. Identifica triángulos semejantes y establece relaciones de proporcionalidad. Resuelven los problemas aplicando las relaciones métricas, pero tienen dificultades en escribir sus procedimientos, ya sea un uso inadecuado de la escritura matemática o de la falta de una estrategia de resolución de problemas. Muestran un sitio de interés, pero no fundamentan su elección. Describen un uso tradicional del sitio para la enseñanza. Diseñan una figura pertinente en un software adecuado. Destacado (8) Resuelven el tangrama, y establecen la relación entre los elementos del triángulo. Enuncian sus resultados en lenguaje formal. Descomponen el triángulo rectángulo en triángulos semejantes y demuestran sus afirmaciones anteriores. Establece y demuestra las relaciones angulares en la circunferencia. Identifica triángulos semejantes y establece relaciones métricas en la circunferencia. Resuelven los problemas aplicando y justificando con propiedades adecuadas y pertinentes. Respetan una estrategia de resolución de problemas y la escritura formal propia de la disciplina. Muestran un sitio de interés, fundamentando su elección, y describen un uso consistente con los enfoques actuales de enseñanza. Diseña una figura pertinente, adecuada e muy ilustrativa en un software adecuado. TOTAL PUNTOS Puntos 8 12 12 8 40 11 VII. PUNTUACION DE LOS PASOS/TRABAJOS PARA LA EVALUACION: Puntaje de las Evaluaciones Claves Evaluación clave 1 (estudio del triángulo) Estándar 6/Competencia 1 Paso 1 8 puntos Paso 2 8 puntos Paso 3 12 puntos Paso 4 12 puntos _______________________________ TOTAL 40 puntos Evaluación clave 2 (estudio de los cuadriláteros) Paso 1 8 puntos Paso 2 12 puntos Paso 3 12 puntos Paso 4 8 puntos _______________________________ TOTAL 40 puntos Estándar 6/Competencia 1