1. Estándar 9-6 / Competencia 1

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1. Estándar 9-6 / Competencia 1
1
Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica:
Respuesta a un Desafío (UCV 0402)
Asignatura: Geometría Proporcional
Autor(a)/Universidad: Universidad de Concepción.
Horas presenciales por semana: 5 horas
Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida
formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para
tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para
desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de
su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de
aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes
preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de
la calidad de la educación que ofrece su institución escolar
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso.
El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer y las evaluaciones, han sido
alineadas con los estándares y competencias del perfil de egreso para la formación inicial de
profesores del segundo ciclo básico. Los siguientes estándares y competencias tienen un énfasis
principal en este curso:
Estándar 9
Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidad de trazos, y los utiliza
para fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos. Aplica estos teoremas para
determinar relaciones de semejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar los
teoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas y angulares en la circunferencia.
Comprende y aplica las razones trigonométricas para resolver problemas. Construye
homotecias directas e inversas de figuras. Valora uso de la semejanza de figuras en el arte y la
arquitectura.
Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometría proporcional y semejanza en los
planes de estudio de enseñanza básica y media, y es capaz de organizar el proceso de
aprendizaje de estos contenidos para el nivel de Educación General Básica.
Competencia 1, eje 2:
Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es
responsable de enseñar.
2
El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:
Estándar 6
Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto,
recta, trazo, rayo. Comprende el significado de distintas figuras geométricas tales como ángulo,
polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas
delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través
de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus
propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular,
medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros;
reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el
concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de
triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir
tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la
arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la
humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.
Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos de enseñanza hacia
procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma
comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y
compás en construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidas
geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas.
Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas
presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca
del aprendizaje.
Competencia 2, eje 2:
Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que
enseña y utiliza este conocimiento para planificar su enseñanza.
Competencia 7, eje 2:
Crea experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los estudiantes integrar el
conocimiento, destrezas y métodos de investigación de diversos sectores de aprendizaje.
Competencia 8, eje 2:
Comprende cómo motivar a sus estudiantes para facilitar su aprendizaje a través del uso de
recursos variados (incluidas las TIC’s)
II. Aprendizajes esperados
estándares/competencias)
(los
aprendizajes
claves
para
el
logro
de
los
Conocimiento




Utiliza el concepto de proporcionalidad de trazos en la formulación del teorema de Thales
Aplica el concepto de semejanza para identificar figuras semejantes. Fundamenta con ello
la lectura de planos y mapas.
Utiliza los teoremas de semejanza de triángulos en la deducción de los teoremas de
Euclides y de las relaciones métricas y angulares en la circunferencia.
Reconoce a las razones trigonométricas como constantes de proporcionalidad
involucradas en triángulos rectángulos semejantes.
3


Demuestra y aplica los teoremas de semejanza de triángulos, los teoremas de Euclides y
las relaciones métricas y angulares en la circunferencia.
Identifica los contenidos de enseñanza básica y media relacionados con la semejanza de
figuras estableciendo una secuencialidad en ellas.
Procedimentales




Construye geométricamente la división interior y exterior de un trazo, así como la media,
tercera y cuarta proporcional geométrica. Explicita y fundamenta sus construcciones.
Utiliza el concepto de semejanza de figuras planas para construir figuras semejantes y
homotecias aplicadas a figuras. Fundamenta con ello la lectura de planos y mapas.
Resuelve problemas, tanto geométricos como cotidianos, usando los teoremas de
geometría proporcional.
Analiza textos escolares de matemática para 2do ciclo y evalúa la pertinencia de las
actividades propuestas, relacionadas con la geometría proporcional.
Actitudes

Valora la presencia de la razón áurea en el arte, arquitectura y naturaleza.
III. Lecturas Requeridas:
 Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometría elemental”, Ediciones Universidad
Católica de Chile.
 Cano, O (1963) “Geometría”.
 Clemens, S; O’Daffer, P; Cooney, T (1998) “Geometría”, Pearson / Addison Wesley.
 Coxeter, H. S. M (1989) “Introduction to geometry”, John Wiley & Sons.
 Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria.
 Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley.
 Pogorélov, A. V. (1974) “Geometría elemental”, Editorial Mir.
IV. Otros recursos:
 http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub=
 http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php
 Software GeoGebra (disponible gratuitamente en http://www.geogebra.org/ )
 http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice
 MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”, MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”, MINEDUC, 2da
ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”, MINEDUC, 2da
ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo año básico”,
MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo año básico”,
MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”, MINEDUC, 2da
ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año medio”, MINEDUC,
2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Tercer año medio”, MINEDUC, 2da
4
ed.
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias.
TRABAJO 1: Construcción de figuras semejantes
PUNTOS)
Estándar9-6/Competencia1
(8
Elaboran un informe escrito en el que desarrollan las siguientes actividades:
 Para un trazo dado, construir otro que esté en la razón 2 : 3 .
 En un trazo dado construir la división interior y exterior para la razón 5 : 3
 Construyen geométricamente la cuarta proporcional geométrica de tres trazos dados.
 Dado un cuadrilátero, construir uno semejante, según la razón 2 : 7 .
 Establecer la relación de la semejanza de figuras con la lectura de planos y mapas.
Ejemplifique.
TRABAJO 2: Teoremas de Euclides.
Estándar9-6/Competencia1
(8 PUNTOS)
Elabora un informe en el que desarrolla las siguientes actividades:
 Demuestra los teoremas de Euclides utilizando los teoremas de semejanza de triángulos.
 Resuelve un tangrama que esté diseñado en baso a uno de los teoremas de Euclides, y
reproduce la solución en el informe. Señale el conocimiento matemático presente en ese
tangrama.
 Resuelve un listado de problemas en los que estos teoremas están involucrados.
 Construyen geométricamente la media y tercera proporcional geométrica de dos trazos
dados.
TRABAJO 3: Relaciones métricas y angulares en la circunferencia
Estándar9-6/Competencia1-8
(8 PUNTOS)
Elabora un informe en el que desarrolla las siguientes actividades:
 Construye en GeoGebra (freeware en español) figuras que permitan visualizar los siguientes
teoremas:
o Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia.
o Teorema del ángulo semi inscrito en una circunferencia.
o Teorema de las cuerdas.
o Teorema de la tangente
 Demuestra los teoremas anteriores.
 Resuelve un listado problemas en los que estén involucrados teoremas sobre circunferencia.
TRABAJO 4: Razones trigonométricas
Estándar9/Competencia1
(8 PUNTOS)
Desarrolla una guía de actividades en la que, en la resolución de problemas relacionados con
triángulos rectángulos, reconoce que ciertos problemas son resolubles si se conocieran las
constantes de proporcionalidad (razones trigonométricas) involucradas en los teoremas de
Thales. Resuelve un listado de problemas (geométricos y de aplicación) haciendo uso de estas
razones trigonométricas, con apoyo de tablas o de calculadora.
TRABAJO 5: Geometría proporcional en el arte, arquitectura y naturaleza
Estándar9/Competencia7
(4 PUNTOS)
5
En grupo, investigan sobre la presencia de la razón áurea en el arte, arquitectura y naturaleza,
mostrando además la relación de esta razón con otras áreas de la matemática. Elaboran un
informe con el resultado de sus investigaciones.
TRABAJO 6: Análisis de Textos Escolares con Planes y Programas Oficiales de Matemática
Estándar9/Competencia2 (4 PUNTOS)
En grupo, analizan los planes de estudio de 4to básico a 3ro medio, identificando aquellos
contenidos mínimos obligatorios (CMO) en los que estén involucradas figuras semejantes,
relacionándolos con los aprendizajes esperados. Utilizan textos escolares que incluyan conceptos
de figuras semejantes, analizando la consistencia conceptual y grado de complejidad utilizados
en ellos y se pertinencia con los CMO y aprendizajes esperados de los planes y Programas.
Realizan un informe que contenga el análisis realizado.
VI. EVALUACIONES CLAVES
EVALUACIÓN 1
1. Estándar 9-6 / Competencia 1
2. Justificación:
Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de reconocer en los programas de estudio aquellos
contenidos referidos o relacionados con la semejanza de figuras planas, pues debe comprender
el marco curricular nacional y la forma en la que éste se estructura y articula. Lo anterior justifica
que el o la docente, comprenda con profundidad adecuada la matemática que le corresponde
enseñar: en particular, aquella que se relacione directamente con el tema de proporcionalidad.
3. Pre-requisitos:
Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:
 Comprender y reconocer los conceptos de rectas perpendiculares y paralelas, ángulo,
triángulo.
 Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos de medida
determinada, triángulos con determinadas características y trazos de medida dada. Copiar
ángulos.
 Comprender y aplicar los conceptos de razón y proporción.
4. Descripción breve de la evaluación:
Los profesores en formación deducirán y aplicarán el teorema de Thales y los criterios de
semejanza., demostrando estos últimos.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
Los profesores en formación, en parejas o ternas, identifican en una colección de triángulos,
aquellos que tienen la misma forma. Deducen las relaciones (igualdad en medidas de ángulos
interiores y proporcionalidad de lados) que se producen en estos triángulos utilizando distintos
instrumentos de construcción y/o medición. Establecen, con apoyo bibliográfico, el concepto de
triángulos semejantes.
6
Paso 2: Construyen figuras semejantes.
Individualmente los profesores en formación, construyen triángulos semejantes a otros, explicitan
sus procedimientos y los utilizan para construir polígonos semejantes a otros. Aplican relaciones
de proporcionalidad para construir geométricamente la cuarta proporcional geométrica de tres
trazos dados.
Paso 3:
Individualmente el profesor en formación, dado un triángulo determina la mínima información para
construir uno semejante a otro. Sistematiza sus afirmaciones, establece los teoremas de
semejanza y los demuestra.
Paso 4: Elaboración de un mapa conceptual
Individualmente los profesores en formación, elaborarán un mapa conceptual que relacione entre
otros los conceptos de triángulos semejantes, trazos proporcionales, figuras semejantes, cuarta
proporcional geométrica.
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos,
habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):


Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador).
Textos escolares de Matemática y literatura especializada.
7
Rúbrica de evaluación
Paso
1
(1x)
2
(1x)
3
(1,5x)
4
(1,5x)
Insatisfactorio
(0)
Identifica pares de
triángulos que no tienen
la misma forma, o no
fundamenta su elección.
No construyen
geométricamente ni
triángulos semejantes, ni
polígonos semejantes, ni
la cuarta proporcional
geométrica.
Básico
(3)
Fundamenta la elección de
pares de triángulos con la
misma forma a través de la
congruencia de los ángulos
interiores correspondientes.
Construyen geométricamente
triángulos semejantes sin
explicitar ni fundamentar sus
procedimientos.
No construyen
geométricamente polígonos
semejantes.
No logran identificar la
información mínima
necesaria para construir
un par de triángulos
semejantes.
Establecen proporcionalidad
en los lados e identifican la
cuarta proporcional
geométrica, pero no son
capaces de construirla.
Determinan información
necesaria, pero redundante,
para construir un par de
triángulos semejantes.
Describen sus procedimientos
Elabora sólo una
secuencia de
contenidos.
Elabora un mapa conceptual
estableciendo enlaces entre
niveles de jerarquía contiguos.
Elabora un mapa
cognitivo.
Competente
(6)
Fundamenta la elección de
pares de triángulos con la
misma forma a través de la
congruencia de los ángulos
interiores correspondientes y
deduce la relación de igualdad
de los cuocientes entre las
longitudes de los lados
correspondientes.
Construyen geométricamente
triángulos semejantes
explicitando y fundamentando
sus procedimientos
Destacado
(8)
Fundamenta la elección de pares
de triángulos con la misma forma
a través de la congruencia de
ángulos interiores
correspondientes y
proporcionalidad de las longitudes
de los lados correspondientes.
Construyen geométricamente
polígonos semejantes sin
explicitar ni fundamentar sus
procedimientos.
Construyen geométricamente
polígonos semejantes
explicitando y fundamentando sus
procedimientos
Construyen la cuarta
proporcional sin describir la
construcción en lenguaje
geométrico
Determinan información mínima
necesaria para construir un par
de triángulos semejantes.
Describen sus procedimientos y
enuncian sus resultados.
Justifican sus afirmaciones en
lenguaje no formal.
Elabora un mapa conceptual
estableciendo enlaces entre
niveles de jerarquía contiguos y
no contiguos.
Construyen la cuarta proporcional
y describen la construcción en
lenguaje geométrico.
Puntos
8
Construyen geométricamente
triángulos semejantes
explicitando y fundamentando sus
procedimientos
Determinan información mínima
necesaria para construir un par
de triángulos semejantes
deduciendo los teoremas de
semejanza para triángulos y
demostrándolos.
Elabora un mapa conceptual
estableciendo enlaces entre
niveles de jerarquía contiguos y
no contiguos fundamentando
cada enlace.
TOTAL PUNTOS
8
12
12
40
8
EVALUACIÓN 2
1. Estándar 9-6 / Competencia 1-7-8
2. Justificación:
Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender el origen, enunciar y demostrar
las propiedades métricas en el triángulo rectángulo y en la circunferencia, por cuanto estos
contenidos son parte del currículo escolar, y porque robustece la formación de la disciplina que
enseña, dándole así al profesor una visión de la matemática desarrollada a partir del 2do ciclo.
Así mismo, debe comprender de qué forma los conocimientos de la matemática escolar están
presentes en la realidad social y natural del hombre.
3. Pre-requisitos:
Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:
 Comprender y reconocer los conceptos de triángulo, polígono, circunferencia y los
elementos secundarios de éstos.
 Comprende las relaciones angulares en un triángulo.
 Comprende y aplica los criterios de semejanza de triángulos.
 Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos de determinadas
medidas, y triángulos con determinadas características.
 Comprende y aplica los conceptos de razón y proporción.
4. Descripción breve de la evaluación:
Los profesores en formación deducirán y demostrarán las relaciones métricas, para luego
aplicarlas en la resolución de problemas, tanto geométricos como cotidianos. Además,
investigarán sobre la presencia de la razón áurea, explorando en la red ejemplos y sitios de
aprendizaje.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
En parejas o en grupos de 3, resuelven puzzles o tangramas que les permitan identificar
relaciones métricas relacionadas con los teoremas de Euclides. Enuncian sus resultados e
identifican los elementos del triángulo rectángulo involucrados en estas relaciones. A
continuación, descomponen el triángulo rectángulo en triángulos semejantes, y haciendo uso de
los criterios de semejanza, demuestran los teoremas de Euclides.
Paso 2:
En grupos de 2 o 3 personas, desarrollan una guía de aprendizaje en la que deducen las
relaciones angulares en una circunferencia. A partir de este trabajo, consideran los segmentos
utilizados y reconocen triángulos semejantes presentes en la circunferencia, dibujando los trazos
necesarios para ello, de ser necesario. Identifican relaciones métricas en la circunferencia y las
demuestran.
Paso 3:
Individualmente, resuelven una guía de problemas geométricos referidos a polígonos y
circunferencias, usando las relaciones determinadas en los pasos anteriores y fundamentando
sus afirmaciones.
9
Paso 4:
En parejas o ternas, exploran la red buscando información sobre la presencia de la razón áurea
en el arte, arquitectura o naturaleza. Diseñan una presentación en PowerPoint para presentar a
sus compañeros uno de los sitios, fundamentando el por qué lo seleccionaron, y el uso que le
darían en el trabajo con jóvenes en cuanto a recurso computacional para la enseñanza.
Además, diseñan en un software adecuado una figura que les permita ilustrar geométricamente
algún aspecto de interés asociado a la razón áurea.
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos,
habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):



Instrumentos de construcción geométrica.
Software de geometría dinámica.
Internet y sitios Web.
10
Rúbrica de evaluación
Paso
1
(1x)
2
(1,5x)
3
(1,5x)
4
(1x)
Insatisfactorio
(0)
Básico
(3)
No resuelven
correctamente el
tangrama.
Descomponen el
triángulo rectángulo
en dos triángulos
no semejantes.
Resuelven el tangrama,
pero no identifican los
elementos secundarios del
triángulo que permiten
establecer la relación en
función de ellos.
Descomponen el triángulo
rectángulo en dos
triángulos no semejantes.
Establecen y demuestra las
relaciones angulares, pero
no identifica triángulos
semejantes.
No logran
establecer las
relaciones
angulares en la
circunferencia.
No logran identificar
datos y preguntas,
o bien, hipótesis y
tesis, a partir de los
enunciados. No
resuelven los
problemas.
Resuelven los problemas
por métodos poco
eficientes. No respetan una
estrategia de resolución de
problemas ni utilizan un
lenguaje matemático ni una
escritura ordenada.
No encuentran un
sitio en la red.
Diseñan una figura
que no permite
ilustrar la
construcción de la
razón áurea, o
algún aspecto de
ella.
Muestran un sitio cuya
presentación o contenidos
no son adecuados o
pertinentes, o es
conceptualmente
inconsistente. Diseñan una
figura que no permite
ilustrar la construcción de la
razón áurea, o algún
aspecto de ella.
Competente
(6)
Resuelven el tangrama, y
establecen la relación entre los
elementos del triángulo.
Enuncian sus resultados en
lenguaje no formal.
Descomponen el triángulo
rectángulo en triángulos
semejantes y establecen las
relaciones de proporcionalidad.
Establece y demuestra las
relaciones angulares en la
circunferencia. Identifica
triángulos semejantes y
establece relaciones de
proporcionalidad.
Resuelven los problemas
aplicando las relaciones
métricas, pero tienen
dificultades en escribir sus
procedimientos, ya sea un uso
inadecuado de la escritura
matemática o de la falta de una
estrategia de resolución de
problemas.
Muestran un sitio de interés,
pero no fundamentan su
elección. Describen un uso
tradicional del sitio para la
enseñanza. Diseñan una figura
pertinente en un software
adecuado.
Destacado
(8)
Resuelven el tangrama, y
establecen la relación entre los
elementos del triángulo.
Enuncian sus resultados en
lenguaje formal. Descomponen
el triángulo rectángulo en
triángulos semejantes y
demuestran sus afirmaciones
anteriores.
Establece y demuestra las
relaciones angulares en la
circunferencia. Identifica
triángulos semejantes y
establece relaciones métricas en
la circunferencia.
Resuelven los problemas
aplicando y justificando con
propiedades adecuadas y
pertinentes. Respetan una
estrategia de resolución de
problemas y la escritura formal
propia de la disciplina.
Muestran un sitio de interés,
fundamentando su elección, y
describen un uso consistente
con los enfoques actuales de
enseñanza. Diseña una figura
pertinente, adecuada e muy
ilustrativa en un software
adecuado.
TOTAL PUNTOS
Puntos
8
12
12
8
40
11
VII. PUNTUACION DE LOS PASOS/TRABAJOS PARA LA EVALUACION:
Puntaje de las Evaluaciones Claves
Evaluación clave 1 (estudio del triángulo)
Estándar 6/Competencia 1
Paso 1
8
puntos
Paso 2
8
puntos
Paso 3
12
puntos
Paso 4
12
puntos
_______________________________
TOTAL
40
puntos
Evaluación clave 2 (estudio de los cuadriláteros)
Paso 1
8
puntos
Paso 2
12
puntos
Paso 3
12
puntos
Paso 4
8
puntos
_______________________________
TOTAL
40
puntos
Estándar 6/Competencia 1

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