repaso - Salesianos Alicante

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repaso - Salesianos Alicante
Colegio Don Bosco –Salesianos.
ACTIVIDADES DE REPASO
CURSO 2015/2016
Departamento de Ciencias
J. A. Hernández
Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
1.
Obtener
de
forma
razonada
la
matriz
X
que
verifica
AX  2B  C
siendo:
 2 1
 3 4 
 2 7 
 ; B  
 y C  

A  
  5 0
 1 1 
 13 2 
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Dadas las matrices
 4 0 
1 2 
 2 0
 , B  
 y C  
 .
A  
1
1
2
0




  1 2
Calcular la matriz X que verifica la ecuación
AXB=2C
 2 2 1
 1


 
Sea  2 3 1 la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y  1 la matriz de sus términos
 1
 2 5 1
 


independientes. Se pide : a) Escribe las ecuaciones que forman el sistema.. b) Obtener todas las soluciones del
sistema.
a b
 que
Calcula
la
matriz
verifica
la
ecuación
matricial
siendo
AXB  C
X  
0 c 
2 
1 0 
 1
 1 2 
 , B  
 y C  
 .
A  
1
1

1

3




  3  8
 1 1
 2 1
, B  

Determinar la matriz X que verifica la ecuación AX  I  AB t , siendo I la matriz identidad, A  
  1 1
  1 1
 1 3
 a) Hallar
dada la matriz A  
 4 2
 1 2 
 .
A 1 X  X  
 1 1
8 
6
 c) Resolver la ecuación
b) Resolver la ecuación XA 2  5A  
10

20 

A 1
x
 
Obtener las matrices columna X   y 
z
 
AX  B
que sean las soluciones de la ecuación matricial
siendo
1 1 1 
 1


 
A   0 1 ´1 y B    1 . ¿Cuáles de esas matrices tienen la primera fila nula?
1 2 0 
0


 
8.
x  y  z  2

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 2x  z  3
. Si
x  5 y  7z  4

9.
 1 

2 
2
 3   2 0  1
 X     
 5 
Obtén la matriz X que verifica: 2

1

3
2
4

1
3


  
  3 


(x, y,0)
es una solución calcular x e y.
10. Plantea y escribe el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es
 2 3  1


 4 2 1 
 2 2  1


y cuyo término
3
 
independiente es  0  . Resuelve el sistema.
 1
 
11. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) calcular las matrices
X
e
Y
sabiendo que
5 
 3 1
 0
 3 2
 y 2 X  Y  
 . b) Obtén la matriz inversa de la matriz A  
 . C) Obtén la matriz X tal
X  Y  
4
3

7

3




 2 2
 1 0

que XA  
8 6
12. Dadas las matrices:
 1 2
 2  1
 0 1
 , B  
 y C  
 .
A  
0 3
1 2 
  1 2
1
Resolver la ecuación la matriz
XAB-XC=2C.
Colegio Don Bosco –Salesianos.
ACTIVIDADES DE REPASO
CURSO 2015/2016
Departamento de Ciencias
J. A. Hernández
5 3
 1 1
 y A  B  
 a)
13. Dos matrices A y B satisfacen las siguientes igualdades: A  B  
3
0


  1 0
b) Calcula la matriz X sabiendo que A X A = B
Calcula A y B.
 1 2
2 2 
1 1 
 , B  
 y C  
 a) Halla la matriz X que satisface la ecuación
14. .Se dan las matrices A  
  1 4
 1  1
1  3 
A X – B C X = 3 C.
b) Calcula la matriz inversa de At + B, donde At representa la matriz traspuesta de A.
15. Una persona adquirió en el mercado cierta cantidad de unidades de memoria externa, de lectores de libros electrónicos
y de tabletas gráficas a un precio de 100, 120 y 150 euros la unidad, respectivamente. El importe total de la compra fue
de 1160 euros y el número total de unidades adquiridas 9. Además, compró una unidad más de tabletas gráficas que
de lectores de libros electrónicos. ¿Cuántas unidades adquirió de cada producto?
16. Después de aplicar un descuento del 10% a cada uno de los precios originales, se ha pagado por un rotulador, un
cuaderno y una carpeta 3,96 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que el
precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20% del precio del rotulador. Calcula el precio original de
cada objeto.
17. Cierta persona invierte un total de 7000 € en acciones de las empresas A y B y en un depósito a 12 meses al 1 %.
Pasado un año, vende sus acciones, obteniendo una rentabilidad del 5 % en las acciones de la empresa A y del 3 % en
las de B. El beneficio total de sus tres inversiones es 202 €. Determina qué cantidad destinó a cada inversión si
sabemos que el dinero total destinado a comprar acciones superó en 2600 € al dinero del depósito.
18. En un horno mallorquín se fabrican dos tipos de ensaimadas, grandes y pequeñas. Cada ensaimada grande requiere para su
elaboración 500 g. de masa y 250 g. de relleno, mientras que una pequeña requiere 250 g. de masa y 250 g. de relleno. Se
dispone de 20 kg. de masa y 15 kg. de relleno. El beneficio obtenido por la venta de una ensaimada grande es de 2 euros y
el de una pequeña es de 1,5 euros.
a) ¿Cuántas ensaimadas de cada tipo tiene que fabricar el horno para que el beneficio obtenido sea máximo?
b) ¿Cuál es el beneficio máximo?
19. El dueño de una tienda de golosinas dispone de 10 paquetes de pipas, 30 chicles y 18 bombones. Decide que para venderlas
mejor va a confeccionar dos tipos de paquetes: El tipo A estará formado por un paquete de pipas, dos chicles y dos bombones
y se venderá a 1,5 euros. El tipo B estará formado por un paquete de pipas, cuatro chicles y un bombón y se venderá a 2
euros. ¿Cuántos paquetes de cada tipo conviene preparar para conseguir los ingresos máximos? Determina los ingresos
máximos.
20. Un comerciante quiere invertir hasta 1000 euros en la compra de dos tipos de aparatos, A y B, pudiendo almacenar en total
hasta 80 aparatos. Cada aparato de tipo A le cuesta 15 euros y lo vende a 22, cada uno del tipo B le cuesta 11 y lo vende a 17
euros. ¿Cuántos aparatos debe comprar de cada tipo para maximizar su beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?
x  y  1

x  y  2
21. Sea el siguiente sistema de inecuaciones lineales: 
 x  y  1
x  y  1
a) Resuélvelo gráficamente.
b) Halla el máximo y el mínimo de la función z = 2x + y
22. a)
Representa
gráficamente
el
conjunto
en el conjunto solución de dicho sistema.
de
soluciones
del
sistema
de
inecuaciones:
 3x  2y  0 ; x  2y  1; 5x  4y  16 ; x  y  5  b) Determina los vértices de la región obtenida en el apartado
anterior.
C) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f ( x, y)  3x  y, en dicha región. Determina dicho
valor mínimo
23. Cierto armador se dedica a la pesca de rape y merluza. Las cuotas pesqueras imponen que sus capturas totales no excedan
las 30 toneladas (Tm). Por otro lado, la cantidad de rape como máximo puede triplicar a la de merluza y, además, esta última
no puede superar las 18 Tm. Si el precio del rape es de 15 €/kg y el de la merluza 10 €/kg, ¿qué cantidades de cada especie
debe pescar para maximizar sus ingresos?
24. Un vendedor de libros usados tiene en su tienda 90 libros de la colección Austral y 80 de la Alianza de Bolsillo. Decide hacer
dos tipos de lotes: el lote de tipo A con 3 libros de Austral y 1 de Alianza de Bolsillo, que venderá a 8€ y el de tipo B con 1 libro
de Austral y 2 de Alianza de bolsillo, que venderá a 10€ ¿Cuántos lotes de cada tipo debe hacer para maximizar su ganancia
cuando los haya vendido todos.
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