Potencia quinta de un polinomio

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Potencia quinta de un polinomio
Potencia quinta de un polinomio.
Demuestra que si
( a  b  c) 3  a 3  b 3  c 3
entonces
( a  b  c) 5  a 5  b 5  c 5
Fuente: Quora.com: http://www.quora.com/If-a-%2Bb%2Bc-3-a-3-%2B-b-3-%2B-c-3how-can-I-prove-a%2Bb%2Bc-5-a-5-%2B-b-5-%2B-c-5
Solución
Solución:
Desarrollamos el polinomio (a  b  c) 3
(a  b  c) 3  a 3  b 3  c 3  3ab 2  3a 2 c  3b 2 c  3ac 2  3bc 2  6abc
Si (a  b  c) 3  a 3  b 3  c 3 entonces 3ab 2  3a 2 c  3b 2 c  3ac 2  3bc 2  6abc  0
Pero esta última igualdad la podemos escribir como
0  3ab 2  3a 2 c  3b 2 c  3ac 2  3bc 2  6abc  3(a  b)(a  c)(b  c)
Luego (a  b)( a  c)(b  c)  0 . Por lo tanto a  b o a  c o b  c .
Supongamos que a  b .
Entonces
(a  b  c) 5  (b  b  c) 5  c 5 
 c 5  a 5  a 5  c 5  a 5   a  
5
 c 5  a 5   a   c 5  a 5  b   c 5  a 5  b 5
5
5
De la misma manera llegamos al resultado deseado si suponemos a  c o b  c .
Fuente de la solución: Quora.com (Héctor Martín Peña Pollastri)
http://www.quora.com/If-a-%2Bb%2Bc-3-a-3-%2B-b-3-%2B-c-3-how-can-I-provea%2Bb%2Bc-5-a-5-%2B-b-5-%2B-c-5

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