determinantes

Comentarios

Transcripción

determinantes
DETERMINANTES
Ejercicios resueltos.
1 0
1.- Calcula el determinante  
1 1
1 0
1
0
2 -1
0
1
1 1 -1
0
Solución:
Lo desarrollamos por los elementos de la 2ª columna que es la que más ceros tiene:
1 0 1 1
-1 1 1 -1 1 1
1 0 1 0

 (1) A32  1. A42  1 1 0  1 1 0  2  4  6
2 -1 0 1
1 -1 0
2 0 1
1 1 -1 0
Los determinantes de orden 3 que han resultado se resuelven por la regla de Sarrus.
a 1 a  2 a  3
2.- Calcula aplicando propiedades de los determinantes:
Solución:
a 1 a  2 a  3
1
1
1
1
2
3
a a
1 1
1
2
a
1
2
3
1
1
1
1
2
3
1 1 1
11 1
1  a 1 1 1  0  a.0  0  0
3
3
1
2
1
2 3
Lo hemos descompuesto en suma de dos determinantes por los sumandos de la 1ª fila (7ª propiedad)
y después hemos tenido en cuenta que cuando hay dos filas o dos columnas iguales el valor del
determinante es cero.
1
a
bc
3.- Prueba sin desarrollar que 1
b
c  a =0
1
c
ab
Solución.
Si a la 3ª columna le sumamos la 2ª resulta:
1
a
bc
1
a
bca
1
a
1
1
b
ca =1
b
c  a  b  ( a  b  c) 1
b
1 0
1
c
ab
c
abc
c
1
1
1
1
4.- Demuestra la siguiente propiedad de los determinantes:
Si a una fila o columna se le suma una combinación lineal de las restantes, el valor del determinante
no varía, es decir, Det ( A1 , A 2 , A3 )  Det ( A1  A 2  A3 , A 2 , A3 )
Solución:
Det ( A1  A 2  A3 , A 2 , A3 )  Det ( A1 , A 2 , A3 )  Det (A 2 , A 2 , A3 )  Det ( A3 , A 2 , A3 ) 
 Det ( A1 , A 2 , A3 )  .Det ( A 2 , A 2 , A3 )   .Det ( A3 , A 2 , A3 )  Det ( A1 , A 2 , A3 )  0  0 
 Det ( A1 , A 2 , A3 )
 2 1 0


5.- Halla la inversa de A   - 1 3 4 
 0 5 1


Solución: Hallamos el determinante de la matriz dada aplicando la regla de Sarrus y se obtiene
A  33 luego existe la matriz inversa porque es distinto de cero.
Calculamos los adjuntos Aij de la matriz dada:
3 4
-1 4
1 3
A11 
 17 ;
A12  
 1 ; A13 
 5
5 1
0 1
0 5
1 0
2 0
2 1
A21  
 1 ;
A22 
 2;
A23  
 10
5 1
0 1
0 5
1 0
2 0
2 1
A32  
 8 ; A33 
7
A31 
4;
-1 4
-1 3
3 4
La inversa se obtiene tomando la traspuesta de los adjuntos obtenidos y dividiendo por el
determinante de A:
-1
4 
 - 17

33
33
33 
 1
1
-8 
2
A 
33
33
33 


- 10
7 
 5
33
33 
 33
1
1
6.- Desarrolla dando el resultado en forma de producto de factores. a
a
1
b
2
b
c
2
c2
Solución:
Es un determinante de Vandermonde de orden 3 y, por tanto, se pueden calcular dando el resultado
en forma de producto.
Se le resta a cada fila la anterior multiplicada por a:
1
1
1
1
1
1
ba
ca
1
1
a
b
c  0 b-a
c-a

 (b  a)(c  a)

b
(
b

a
)
c
(
c

a
)
b
c
a2 b2 c2
0 b 2 - ab c 2  ac
 (b  a)(c  a)(c  b)
2
1
7.- Prueba que 1
1
1
1
1 a
1
1  ab
1 b
Solución:
Sumamos a cada fila la 1ª cambiada de signo y se llega fácilmente:
1
1
1
1 1
1
a
0
1 1 a 1  0 a
0
 ab
0
b
1
1 1 b 0
0 b
2
8.- El determinante 4
8
a
5
a 2 13 vale cero para a = 3. Comprueba que es así sin desarrollarlo.
a3
35
Solución:
Si a = 3, la 3ª columna es suma de la 1ª y la 2ª, luego el determinante vale cero ya que la citada
columna es combinación lineal de las otras dos.
3
Ejercicios propuestos.
1
1
1.- Calcula el valor del determinante de Vandermonde log3
(log3)
1
log30
2
(log30)
log300
2
(log300) 2
2.- Escribe en forma de determinante de segundo orden la relación sen 2 x  cos 2 x  1
2

3.- Halla la inversa de la matriz A siendo A   0
2

3

1
- 1
4
1
2
4.- Utiliza las propiedades de los determinantes para probar que
1 a 1
1
1 1 1
1 1 b
1
 abc(1    )
a b c
1
1
1 c
7.- Los números 338, 728 y 221 son múltiplos de 13. Demuestra sin desarrollar que el determinante
3 3
8
2 2
1 es múltiplo de 13.
7
2
8
a
a 
a


8.- Estudia para qué valores de a tiene inversa la matriz A   2
a  1 a - 1
 - 2a - 1 0
a 

10.- Resuelve el determinante de Vandermonde de orden cuatro:
1
1
1
1
a
b
c
d
a 2 b2 c2 d2
a 3 b3 c3 d3
1
11.- Resuelve la siguiente ecuación:
1
1
1
2 -1
1
2
x
1
3
4
x
1 -7
3
0
Sol. x = 4; x = -13
m m m m
12.- Desarrolla haciendo previamente ceros:
m c
c
c
m c
b
b
m c
b
a
Sol. m(c – m)(b – c)(a – b)
4

Documentos relacionados