seccion-aurea

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seccion-aurea
Maria Angelica Ortiz Suarez
Ana Maria Rodriguez
SECCION AUREA
Luca Paccioli, matemático del renacimiento la llamaba la divina proporción, Leonardo Da Vinci
sección áurea y Johannes Kepler astrónomo alemán la consideraba una de las dos cosas
perfectas junto al teorema de Pitágoras.
Platón decía: es imposible combinar bien dos cosas sin una tercera, hace falta una relación
entre ellas que los ensamble, la mejor ligazón para esta relación es el todo. La suma de las
partes como todo es la más perfecta relación de proporción.
Vitruvio acepta el mismo principio pero dice la simetría consiste en el acuerdo de medidas entre
los diversos elementos de la obra y estos con el conjunto, ideó una fórmula matemática, para la
división del espacio dentro de un dibujo, conocida como la sección áurea, y se basaba en una
proporción dada entre los lados mas largos y los más cortos de un rectángulo.
Vitruvio estableció una afinidad entre el hombre y las figuras geométricas, al descubrir que el
hombre de pie con los brazos extendidos puede inscribirse en un cuadrado, si separa las
piernas puede inscribirse dentro de un circulo, que tiene como centro el ombligo.
La sección áurea
Sección aurea es una popular denominación de la "división den un segmento en dos partes" de
tal forma que el segmento total a+b es al segmeto mayor b como el segmento mayor b es al
segmento menor a, o sea que:
(a+b) : b = b : a
La denominación "sección áurea" parece haber sido usada por primera vez por el
alemán Adolf Zeising i "Neue Lehre von der Proportionen des Menschlichen
Körpers" (1854). "La proporción divina" (1509) es una famosa obra sobre la sección áurea del
matemático italiano Luca Pacioli con ilustraciones de Leonardo da Vinci. En la obra
"Elementos" de Euclides se le llama a la sección áurea como la "división de un segmento en su
media y extrema razón".
El rectángulo áureo
Un rectángulo áureo, con el lado mayor a+b y el lado menor b dividido según la sección áurea,
se considera en el mundo occidental - por tradición - ser estético para la vista. Un rectángulo
áureo es por eso un formato muy conocido y estandar en la pintura, banderas, paquetes de
cigarrillo, etc. La sección áurea se aplicaba mucho en la enseñanza académica de pintura del
siglo XVII.
Observese que cuando al rectángulo "se le saca" un cuadrado (b por b), el resto
nuevamente vuelve a ser un rectángulo áureo (de altura b y ancho a).
Procedimiento que se puede repetir...
El número de oro
La sección aurea establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el
todo dividido en mayor y menor, esto es un resultado similar a la media y extrema razón. Esta
proporción o forma de seleccionar proporcionalmente un segmento se llama proporción áurea,
se adopta como simbolo de la sección áurea, y la representación en números de esta relación
de tamaños se llama número de oro:
phi = 1,618
La regla de tres
La regla de tres era una herramienta básica para los comerciantes del Quattrocento: servía
para determinar las proporciones de capital, tierras, volumen de grano o cualquier otra clase de
bienes que le correspondía a cada socio, heredero o copropietario ante un total determinado.
Se la conocía entonces como regla de oro o llave del comerciante.
Una regla de tres famosa es la llamada Escala Armónica Pitagórica:
6:8 = 9:12
La proporción áurea a partir del hombre
Los Egipcios descubrieron la proporción áurea por análisis y observación, buscando medidas
que les permitiera dividir la tierra de manera exacta, a partir del hombre, utilizando la mano, el
brazo, hasta encontrar que medía lo mismo de alto que de ancho con los brazos extendidos y
encontraron que el ombligo establecía el punto de división en su altura y esta misma, se
lograba de manera exacta, rebatiendo sobre la bases de un cuadrado, una diagonal trazada de
la mitad de la base a una de sus aristas. La proporción áurea, paso de Egipto a Grecia y de allí
a Roma. Las más bellas esculturas y construcciones arquitectónicas están basadas en dichos
cánones.
Lucca Pacioli
En 1497, un fraile italiano llamado Lucca Pacioli escribió un libro donde se reveló, por fin, el
secreto de la belleza. Se titula "De divina Proportione" (La divina Proporción), y su tema central
es lo que los escolares de nuestros días conocen como "regla de tres". Pacioli se inspiraba en
las ideas de Piero della Francesca, un hombre que hoy conocemos a través de su obra
pictórica, pero que en su tiempo era más conocido por ser el autor de De Abaco, un manual de
matemática para comerciantes.
Cuando Lucca Pacioli escribió La divina Proporción, lo que hizo fue tomar otro tipo de regla de
tres, que, partiendo de una unidad arbitraria permitía la construcción de proporcionalidades
tanto de múltiplos como de submúltiplos (intervalos mayores y menores). Los aficionados (en
particular los fotógrafos) conocen esta relación como sección áurea.
Pacioli decidió que esta relación era una expresión de armonía divina. Geométrica y
algebraicamente es la partición asimétrica más lógica y más importante a causa de sus
propiedades matemáticas y estéticas, razón por la cual fue llamada divina proporción, por
Paccioli.
Para algunos la sección áurea es una proporción natural, que puede encontrarse tanto en las
proporciones del cuerpo humano como en las ramas de los árboles.
En realidad, en la naturaleza no sólo es posible encontrar la sección áurea, sino casi cualquier
otra norma proporcional que uno se proponga: todo depende de las partes que uno elija para
medir.
En los recién nacidos el ombligo divide el cuerpo en dos partes iguales.
En un cuerpo desarrollado normalmente, la relación entre la parte superior del cuerpo de la
cabeza al ombligo y entre esta y la planta de los pies cumple la denominada media y extrema
razón, propia de la sección áurea, es decir:
5:3 = 8:5.
¿Como se deduce el número áureo?
Suponiendo que x=a=AC; y=b=CB; x+y=a+b=AB
Aplicando la regla de tres: x/y=y/(x+y)
Manipulando algebraicamente se obtiene: y(x + y)=x*x
Poniendo AB=1, entonces x+y = 1; y = 1 - x.
Reemplazando y se obtiene una ecuación de segundo grado:
x*x + x - 1=0,
la cual tíene la raiz positiva:
x = 1,618033..., Es lo que se llama Phi o número aureo.
Entonces ya sabe, agregue Phi=1,618... a sus números inconmensurables Pi = 3,141...,
e=2,717...
¿En que se aplica la sección/rectángulo áureo?
En...
- una caja de fósforos
- la gran mayoria de las banderas
- los ventanales
- algúnos formatos del papel (sin embargo no el A4 utilizado en los printers)
- paquetes de leche y otros (Tetra Pak)
- portadas de libros
- conchas marinas (nautilius)
- las ilustraciones de Panorama Cultural (200x321 aprox.)
¿Como comprobar?
Divida la dimensión mayor con la menor: si el resultado es alrededor de 1,62 entonces encontró
una sección de oro.
El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza
El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos,
partes de nuestro cuerpo.
Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.
En la figura se puede comprobar que AB/CD=
dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD=
. Hay más cocientes entre sus medidas que
y CD/CA=
.
Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran
Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la
pirámide y el lado es 2
.
Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho
pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la
Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.
Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro
carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco.
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos y romanos, las
plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci.
Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción
de Luca Pacioli editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas.
En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas
partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el
ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que
coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas
manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta
que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la
punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y
simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea,
pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se
advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama
místico pitagórico.
En la naturaleza, aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las
piñas, la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la formación
de caracolas.
La espiral logarítmica
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado
menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le
quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se
puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos
encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y
naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la
curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica
mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus
encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de
muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las
que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha
del nautilus.
GLOSARIO
Equiangular: Triangulo equiangular Un triangulo equiangular es un triangulo con todos los
angulos congruentes.
Vertice: En Geometría, un vértice es el punto común entre los lados consecutivos de una figura
geométrica, o el punto en común de los dos lados de un ángulo, o el punto en que concurren
tres o más planos, o el punto de una curva, en que la encuentra un eje suyo normal a ella. En
Teoría de grafos, un vértice es uno de los elementos de un grafo. En Geografía, el vértice de
una montaña es su parte culminante. En Geodesia, Topografía y Cartografía, se denomina
Vértice geodésico a un hito situado en el terreno para señalar con precisión la posición.
Dimension: Longitud, extensión o volumen de una línea, una superficie o un cuerpo respectivamente.
Aristas: En Teoría de grafos, las aristas, junto con los vértices, forman los elementos
principales con los que trabaja esta disciplina, siendo consideradas las aristas las uniones entre
nodos o vértices. En Geometría, las aristas son las líneas o segmentos en los que se unen dos
caras.
Geometria: La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del
espacio: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para
solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás,
teodolito, pantógrafo, etc. Una parte importante de la geometría clásica es el estudio de las
construcciones con regla y compás.
BIBLIOGRAFIA
http://www.panoramacultural.net/Suecia/mPaginas/pSelectRecord.cfm?paginaID=199&categori
aID=37
http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm

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