Prueba 2 SegundoSemestre2006 - Tongoy

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Prueba 2 SegundoSemestre2006 - Tongoy
Universidad Católica Del Norte
Facultad de Ingeniería y Ciencias Geológicas
Departamento de Ingeniería de Sistemas y Computación
Ingeniería Civil Industrial
II Semestre 2006
Segunda Prueba de Estadística Aplicada 1 (CC-401)
8 de Noviembre
Profesor: Carlos Monardes C.
Ayudantes: Hernán Cáceres V., Carlos Contreras Ch.
Problema Nº1
(20%)
Durante el transcurso de un día, una máquina produce tres ítems del mismo tipo, uno en la mañana, uno
en la tarde y uno en la noche. La calidad de cada ítem es medida como buena (B), mala (M) o pésima
(P). Según datos históricos de la máquina, la mitad de los ítems producidos son de buena calidad, y de
la mitad restante, hay dos veces más productos malos que pésimos.
Un ítem B producido genera ingresos para la compañía por $2, uno M por $1 y uno P no genera
ingresos. Sea X : el ingreso diario (en $) para la compañía por productos producidos por la máquina en
cuestión. Asuma que la calidad de los ítems producidos es independiente de los anteriores.
a) Describa el espacio muestral de este experimento aleatorio y asocie a cada resultado el valor
correspondiente de la v.a. definida anteriormente, asociando su correspondiente probabilidad de
ocurrencia. Utilice números exactos (enteros o fraccionarios), no aproxime usando decimales. (2
ptos.)
b) Encuentre la pmf de X. Calcule E(X) e interprételo basándose en su definición. Utilice números
exactos (enteros o fraccionarios), no aproxime usando decimales. (1 pto.)
c) ¿Cuántas días, como mínimo, tendrían que pasar para que la compañía pueda asegurarse que la
probabilidad de que el último día haya sido el primero en que la compañía haya recibido ingresos
por $6 sea de al menos un 95%?. (1,5 ptos.)
d) ¿Cuántas días, como mínimo, tendrían que pasar para que la compañía pueda tener una confianza
del 90% de que en al menos uno de esos días se obtuvo ingresos por al menos $4?.(1,5 ptos.)
Nota Problema Nº1: Sea claro, en cada inciso, en la definición de las v.a. así como de las
distribuciones que siguen éstas. En medida de lo posible trabaje con fracciones. Cuando use números
con decimales aproxímelos a 4 decimales.
Problema Nº2
(25%)
El número de micros de la línea 103, que pasan por el paradero de la UCN pude considerarse como un
Proceso Poisson. Por experiencia podemos afirmar que durante una hora, en promedio pasan 5 micros
de dicha línea. Ya sea porque nadie hace parar al micro, porque el chofer del mismo no quiso
detenerse, o porque hay otro micro en el paradero de la UCN, el micro pasa por el paradero de la UCN
sin detenerse. De hecho, se ha estimado que sólo el 80% de las veces un micro de dicha línea se detiene
en dicho paradero.
a) Calcule la probabilidad de que en una hora pasen 5 micros y se detengan en el paradero por lo
menos 3. (2 ptos.)
b) Encuentre la distribución de probabilidad del número de micros 103 que se detienen en el paradero
de la UCN, por lapso de tiempo. No lo deduzca en forma lógica, demuéstrelo. (2 ptos.)

xn
x
[Sugerencia: Recuerde que e   ]
n 0 n !
Son las 13:00 hrs., y no hay ningún micro de dicha línea ni en el paradero ni pasando por éste,
c) ¿A que hora se espera que se detenga en el paradero el siguiente micro de dicha línea? (1 pto.)
d) ¿Cuál es la probabilidad de que se detengan dos micros en el paradero antes de las 13:30 hrs.? (1
pto.)
Nota Problema Nº2: Sea claro, en cada inciso, en la definición de las v.a. así como de las
distribuciones que siguen éstas. Cuando use números con decimales aproxímelos a 4 decimales. No
olvide entregar una respuesta cuando corresponda.
Tiempo Total: 150 minutos.
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Problema Nº3
(25%)
Una empresa de fletes cobra a cada cliente de acuerdo a los kilómetros recorridos en cada viaje. Cobra
10 dólares por un viaje menor de 10 km; 20 dólares por un viaje entre 10 y 20 km, y para un viaje que
supera los 20 km cobra 2 dólares el km menos 20 dólares. La cantidad de kilómetros recorridos en cada
viaje es una v.a. X con la siguiente función de densidad de probabilidad:
 x
0  x  25
 375

 30  x
fX  x  
25  x  30
75

d .o. f .
 0


La empresa tiene dos choferes. El primero se encarga de los viajes entre 10 y 20 km y el segundo de los
restantes.
a) ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad de la cantidad de dólares cobrados a cada cliente
por cada viaje realizado? ¿De qué naturaleza es esta v.a.? (2 ptos.)
b) ¿Cuánta es la cantidad esperada de dólares que cobra la empresa a cada cliente por viaje realizado?
¿y cuál es su desviación estándar? (2 ptos.)
c) ¿Cuál es el kilometraje esperado para un viaje cualquiera realizado por el primer chofer? ¿y cuál es
su desviación estándar? (2 ptos.)
Nota Problema Nº3: Plantee claramente lo pedido, y tenga cuidado de la nomenclatura utilizada.
Trabaje con números exactos, es decir, fracciones, número mixto y raíces (no con decimales) en el
desarrollo del problema. Sólo el resultado final puede aproximarlo 4 decimales.
Problema Nº4
(30%)
Una gran panadería vende pan a un precio de $10 el kg. El costo del pan es de $8 el kg. Todo el pan no
vendido que queda al final del día, es rematado a mitad de precio. Suponga que en promedio se
demandan 500 kg. de pan al día, con una desviación de 100 3 kg.
a) ¿Cuánto pan debe producir diariamente la panadería para que pueda ser plenamente satisfecha la
demanda de ese día con una confiabilidad del 95 %?. No se preocupe por un asunto de capacidad,
ya que esta panadería la tiene. (1,5 pto.)
b) Responda nuevamente la letra a), suponiendo que la distribución de la demanda es normal.
(Sugerencia: ¿Le parece apropiada la distribución normal?. Si la distribución no le parece adecuada
modifíquela de tal forma que esté acorde al contexto del problema). (1,5 ptos.)
c) Si se sabe que la distribución de la demanda es rectangular (o uniforme continua), ¿cuántos kg. de
pan aconsejaría ud. a la panadería que produzca diariamente si ésta desea maximizar su utilidad
esperada? (3 ptos.)
Nota Problema Nº4: Defina todas las v.a. que utiliza a lo largo del problema. Sea claro en los
sustentos teóricos (teoremas) en los que se basan sus cálculos y argumente los motivos por los cuales es
posible utilizarlos. No olvide dar una respuesta como corresponde. Trabaje con números exactos y sólo
en el resultado final aproxime 4 decimales sus cálculos.
¡¡¡BUENA SUERTE!!!
Tiempo Total: 150 minutos.
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