Factorización

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Factorización
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UNIDAD 3. FACTORIZACIÓN.
1) CONCEPTO DE FACTORIZACIÓN.
Factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores.
Ejemplo.
Factorización de un polinomio: No todo polinomio se puede factorizar, pues del mismo modo que en
aritmética existen cantidades que solo son divisibles entre ellas mismas y entre la unidad, también en álgebra
existen polinomios con estas mismas características.
En este curso se estudiará la manera de factorizar polinomios cuando si es posible descomponerlos en dos o
más factores.
Los casos que se estudiarán son:
- Factor común monomio.
- Diferencia de cuadrados.
- Trinomio cuadrado.
- Factor común polinomio.
- Trinomio cuadrado perfecto.
- Suma o diferencias de cubos.
2) FACTOR COMÚN MONOMIO.
Procedimiento.
Se obtiene el máximo común divisor de todos los coeficientes de los términos del polinomio, a continuación
se escriben solo la o las letras que se repiten en todos los términos con su menor exponente, formando así el
primer factor que se denominará factor común monomio. Para encontrar el segundo factor, cada término del
polinomio se divide entre el factor común monomio.
Ejemplos. Factorizar.
1) 10b – 30ab2 =
2) 10a2 – 5a + 15a3 =
3) a2 + ab =
4) x2 + x =
5) x3 – 4x4 =
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Nombre
6) ab – bc =
7) 2a2x + 6ax2 =
8) 9a3x2 – 18ax3 =
9) 35m2n3 – 70m3 =
10) 24a2xy2 – 36x2y4 =
11) 4x2 – 8x + 2 =
12) a3 – a2x + ax2 =
13) x3 + x5 – x7 =
14) 34ax2 + 51a2y – 68ay2 =
15) 18mxy2 – 54m2x2y2 + 36my2 =
Ejercicio
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Nombre
3) DIFERENCIA DE CUADRADOS.
Se dice que una cantidad es cuadrado perfecto cuando resulta de multiplicar dos cantidades iguales.
Ejemplos
Una diferencia de cuadrados perfectos es el resultado de multiplicar dos binomios conjugados tal como se vio
en productos notables.
Este caso de Factorización es precisamente lo contrario al caso de productos notables de binomios
conjugados. Ahora se trata de encontrar los dos binomios conjugados a partir de la diferencia de cuadrados.
Procedimiento.
Se extrae la raíz cuadrada a los dos términos, se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia
entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Ejemplos.
1) x2 – y2 =
2) a2 – 4 =
3) 1 – 4m2 =
4) a2 – 25 =
5) 4a2 – 9 =
6) 1 – 49a2b2 =
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Nombre
7) a2b8 – c2 =
8) a10 – 49b12 =
9) 100m2n4 – 169y6 =
10) 196x2y4 – 225z12 =
11) 1 – 9a2b4c6d8 =
12)
1
 9a 2 
4
13)
1 4x 2


16 49
14)
x2
y2z4


100
81
15) 4 x 2n 
1

9
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Nombre
Ejercicio
4) TRINOMIO CUADRADO
Un trinomio cuadrado es un polinomio de tres términos, de segundo grado absoluto. Pueden tener dos
formas:
a) Trinomio cuadrado de la forma x2 + bx + c
b) Trinomio cuadrado de la forma ax2 + bx + c
La diferencia radica en el primer término solamente, el primero tiene coeficiente uno y el segundo tiene
coeficiente diferente de uno.
En el primer término aparece una letra cualquiera elevada al cuadrado, el segundo término tiene la misma
letra que el primero con exponente uno y su coeficiente es una cantidad cualquiera, el tercer término es
independiente del primero y es una cantidad cualquiera.
Ejemplos:
Trinomios de la forma x2 + bx + c
x2 + 5x + 6
a2 – 2a – 15
m2 + 5m – 14
y2 – 8y + 15
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Trinomios de la forma ax2 + bx +c
2x2 + 11x + 5
3a2 + 7a - 6
10n2 – n - 2
7m2 – 23m + 6
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Nombre
5) FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA X2 + BX + C.
Este caso de Factorización es lo contrario al caso de productos notables de binomios con término común. Se
trata entonces de encontrar los dos binomios con el término común.
Ejemplos:
1) x2 + 5x + 6=
2) x2 – 7x + 12 =
3) x2 + 2x – 15 =
4) x2 – 5x – 14 =
5) a2 – 13a + 40 =
6) m2 – 11m – 12 =
7) n2 + 28n – 29 =
8) x2 + 6x – 216 =
9) m2 + 5m – 14 =
10) x2 – 6 – x =
11) c2 + 5c – 24 =
12) a2 + 7a + 6 =
13) 12 – 8n + n2 =
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Nombre
14) x2 + x – 132 =
15) c2 + 24c + 135 =
Ejercicio
6) FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA AX2 + BX + C.
Es el resultado de multiplicar dos binomios cuyos términos pueden ser de cualquier índole.
Ejemplos:
1) 6x2 – 7x – 3 =
2) 20x2 + 7x – 6 =
3) 2x2 + 3x – 2 =
4) 6x2 + 7x + 2 =
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Nombre
5) 6x2 – 6 – 5x =
6) 4a2 + 15a + 9 =
7) 12m2 – 13m – 35 =
8) 8a2 – 14a - 15 =
9) 16m + 15m2 – 15 =
10) 12x2 – 7x – 12 =
11) 20n2 – 9n – 20 =
12) m – 6 + 15m2 =
13) 9x2 + 37x + 4 =
14) 14m2 – 31m – 10 =
15) 20a2 – 7a - 40 =
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Ejercicio
7) FACTOR COMÚN POLINOMIO.
Este caso es muy similar al de factor común monomio, solo que ahora el factor común puede tener dos o mas
términos.
Ejemplos:
1) a(x + 1) + b(x + 1) =
2) 2(x – 1) + y(x – 1) =
3) 2x(n – 1) – 3y(n – 1) }=
4) x(a + 1) – a – 1 =
5) 3x(x – 2) – 2y(x – 2) =
6) 4x(m – n) + n – m =
7) a3(a – b + 1) – b2(a – b + 1) =
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Nombre
8) x(2a + b + c) – 2a - b – c =
9) (x + 1)(x – 2) + 3y(x – 2) =
10) (x2 + 2)(m – n) + 2(m – n) =
Ejercicio
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Nombre
8) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el resultado de multiplicar dos binomios iguales o bien cuando
es el cuadrado de un binomio. Este caso de Factorización es lo contrario al caso de productos notables de
elevar un binomio al cuadrado. Se trata entonces de encontrar el binomio elevado al cuadrado que dé como
resultado el trinomio propuesto.
Ejemplos:
1) m2 + 2m + 1 =
2) 4x2 + 25y2 – 20xy =
3) a2 – 2ab + b2 =
4) x2 – 2x + 1 =
5) a2 – 10a + 25 =
6) 16 + 40x2 + 25x4 =
7) 36 + 12m2 + m4 =
8) a8 + 18a4 + 81 =
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Nombre
9) 4x2 – 12xy + 9y2 =
10) 1 + 14x2y + 49x4y2 =
11) 49m6 – 70am3n2 + 25a2n4 =
12) 121 + 198x6 + 81x12 =
13) 16 – 104x2 + 169x4 =
14)
a2
 ab  b 2 
4
15) a 4  a 2 b 2 
b4

4
Ejercicio
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9) SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.
Se dice que una cantidad es cubo perfecto cuando es el resultado de multiplicar por si misma tres veces la
misma cantidad.
Ejemplos:
El resultado de factorizar una suma o diferencia de cubos perfectos es el producto de un binomio por un
trinomio.
Ejemplos:
1) a3 – 8 =
2) x3 + 1 =
3) 27a3 + b6 =
4) 8x3 – 125 =
5) 27m6 + 64n9 =
6) 1 + a3 =
7) x3 + y3 =
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Nombre
8) a3 – 1 =
9) y3 – 1 =
10) 1 – 8x3 =
11) a3 + 27 =
12) 27a3 – b3 =
13) a3 – 125 =
14) 8a3 + 27b6 =
15) 8x3 – 27y3 =
Ejercicio
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