Capitalización Compuesta

Transcripción

Fundamentos de Administración y Gestión
Curso 2011-2012
Tema 10: Capitalización Compuesta
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CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
TEMA 10
1.
2.
3.
4.
5.
Introducción.
Cálculo del montante en capitalización compuesta
Fraccionamiento del tanto en capitalización compuesta.
Equivalencia de tantos
Tanto nominal anual (Jk)
1. INTRODUCCIÓN:
La característica fundamental de la capitalización compuesta es que los intereses son productivos, es
decir, que se acumulan al capital principal para producir nuevos intereses.
Así, en cada periodo, los intereses se calculan sobre el capital inicial más los intereses acumulados
hasta el comienzo de dicho periodo, ya que pasan a formar parte del capital prestado.
Este tipo de capitalización se utiliza para periodos de tiempo superiores al año.
2. CALCULO DEL MONTANTE EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA:
Sea C0 el capital invertido a un tanto unitario de interés compuesto anual “i” durante 1,2,….n años.
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El interés de cada periodo es el resultado de multiplicar el tanto unitario de interés “i” por el capital
inicial al comienzo de ese periodo.
Los intereses de cada periodo son superiores a los del periodo anterior, ya que se calculan sobre un
capital cada vez mayor.
El capital final de cada periodo es la suma del capital al comienzo del periodo más los intereses
correspondientes a ese periodo.
El capital final o montante en capitalización compuesta es:
Cn = C0 (1 + i )n
El prestatario recibe una cantidad C0, y transcurridos “n” periodos, paga el montante Cn, es decir, el
capital recibido en el prétamo más todos los intereses que se hayan ido acumulando.
Cuando el capital inicial invertido es 1 u.m, C0 = 1, el montante final será Cn = (1 + i )n
Por tanto (1 + i)n es el valor final que se obtiene al invertir una unidad monetaria a un tanto unitario de
interés compuesto anual “i” durante “n” periodos anuales.
Gráficamente:
Desde ahora consideraremos que (1 + i ) n es el FACTOR DE CAPITALIZACIÓN, en capitalización
compuesta; factor que sirve para trasladar capitales de un momento dado a otro posterior.
Si queremos calcular el valor final de C0 en lugar de 1 u.m, bastará multiplicar C0 por
(1 + i )n.
A. CALCULO DEL CAPITAL INICIAL:
Partimos de la fórmula general del montante:
Cn = C0 ( 1 + i )n
Si de la expresión despejamos Co:
Cn
Co = -------------- = Cn (1 + i)-n
(1 + i)n
Siendo (1 + i )-n el FACTOR DE ACTUALIZACIÓN y que servirá para trasladar capitales de un
momento dado a otro anterior.
Gráficamente:
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B. CALCULO DEL TIEMPO:
Si de la expresión
despejamos “n”:
Cn = C0 ( 1 + i )n
Ln Cn – Ln Co
n = --------------------------Ln (1 + i)
C. CALCULO DEL TANTO:
Se trata de calcular el tanto unitario de interés compuesto anual “i” al que se invirtió un capital inicial C0
durante “n” años, sabiendo que alcanzó un montante de Cn
i = (Cn/Co)1/n - 1
Ejercicios:
1. Calcular el montante que se obtiene al invertir160 € al 6% de interés compuesto anual durante 3
años.
2. Compré una participación en un Fondo de inversión por 150 € hace 4 años. Si se ha revalorizado
en un 8 % anual. ¿Cuánto vale hoy?
3. Calcular el capital que, invertido al 4 % de i.c.a durante 10 años, alcanzó al cabo de los mismos
un montante de 1480 €.
4. Averiguar el precio que un artículo tenía hace 4 años, si ha crecido a razón de 6 % anual
compuesto y hoy vale 170 €.
5. Calcular el tiempo que estuvo invertido un capital de 1.000 € al 6 % de i.c.a, si se obtuvo un
montante de 1790 €
6. Un capital de 2000 € invertido al 7 % de i.c.a alcanzó un montante de 2805 € ¿Cuánto tiempo
estuvo invertido?
7. Calcular el tanto unitario de interés compuesto anual al que se invirtió un capital de 3000 €
durante 4 años, sabiendo que alcanzó un montante de 4500€
8. Aporté a un Plan de Jubilación 2700 € al cumplir los 55 años. Si al cumplir los 65 años recibo
5.000 € ¿En qué tanto por ciento anual compuesto e ha revalorizado dicho Plan?
3.- FRACCIONAMIENTO DEL TANTO:
Consideramos el año dividido en “k” partes, y designamos al tanto correspondiente a cada k-ésimo
periodo por ik.
Entonces, si el tanto es ik, el tiempo “n” también tenemos que expresarlo en k-ésimos periodos y el
número de periodos a considerar será “n . k”
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Para k = 1
Para k =2
Para k = 3
Para k = 4
Para k = 12
La expresión Cn = C0 (1 + i )n
Tanto
i1 anual
i2 anual
i3 anual
i4 anual
i12 anual
Tiempo
n años
2. n semestres
3 . n cuatrimestres
4. n trimestres
12 . n meses
se transformará en
Cn = (1 + ik)n . k
Ejercicios:
1. Calcular el montante que se obtiene al invertir un capital de 200 € durante 5 años al 4 % de
interés compuesto semestral.
2. Calcular el montante que se obtiene al invertir un capital de 6.000€ purante 4 años:
a. Al 5 % de interés compuesto semestral.
b. Al 10 % de interés compuesto anual
4. EQUIVALENCIA DE TANTOS EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA:
Dos tantos son equivalentes cuando aplicados al mismo capital inicial durante el mismo tiempo,
producen el mismo interés o se obtiene el mismo capital final o montante.
a. Cn= C0 (1 + i)n
b. Cn= C0 (1 + ik)n . k
Como el interés ha de ser igual, igualando ambas expresiones y despejando “i”
i = ( 1 + ik)k – 1
ik = (1 + i)1/k
Ejercicios:
1. Determinar el tanto de interés compuesto anual equivalente l 5 % semestral.
2. Con los datos del ejercicio anterior comprobar la equivalencia de los tantos para un capital de
1.000 € invertido durante 3 años.
3. Hallar la evolución de un capital de 100 € invertido durante 1 año y determinar su valor final.
a. Al 10 % de interés compuesto anual.
b. Al 5 % de interés compuesto semestral.
5. TANTO NOMINAL (JK):
(NO)
El tanto nominal Jk, es aquel que se obtiene al multiplicar el tanto K- ésimal ik por el número de késimos periodos
Jk = k . i k
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Jk puede expresarse indistintamente como tanto nominal convertible, o acumulable o capitalizable k
veces al año.
Así por ejemplo J2 es:
- Tanto nominal capitalizable por semestres.
- Tanto nominal convertible 2 veces al año.
- Tanto nominal acumulable 2 veces al año.
- Tanto anual capitalizable o acumulable por semestres.
Cn = C0 ( 1 + Jk/k)n . k
Ejercicios:
1. Calcular el montante que se obtuvo al invertir un capital de 70.000 € al 8% nominal capitalizable
por semestres, durante 5 años.
2. Determinar el tanto efectivo anual al que se realizó la inversión anterior.
3. Una persona aporta a un Fondo de Pensiones de 12.000 €. Supuesta una revalorización del 7 %
anual compuesto ¿Qué capital podrá recibir al cabo de 10 años?
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Ejercicios
1. Calcular el montante que se obtiene al invertir160 € al 6% de interés compuesto anual durante 3
años.
2. Compré una participación en un Fondo de inversión por 150 € hace 4 años. Si se ha revalorizado
en un 8 % anual. ¿Cuánto vale hoy?
3. Calcular el capital que, invertido al 4 % de i.c.a durante 10 años, alcanzó al cabo de los mismos
un montante de 1480 €.
4. Averiguar el precio que un artículo tenía hace 4 años, si ha crecido a razón de 6 % anual
compuesto y hoy vale 170 €.
5. Calcular el tiempo que estuvo invertido un capital de 1.000 € al 6 % de i.c.a, si se obtuvo un
montante de 1790 €
6. Un capital de 2000 € invertido al 7 % de i.c.a alcanzó un montante de 2805 € ¿Cuánto tiempo
estuvo invertido?
7. Calcular el tanto unitario de interés compuesto anual al que se invirtió un capital de 3000 €
durante 4 años, sabiendo que alcanzó un montante de 4500€.
8. Aporté a un Plan de Jubilación 2700 € al cumplir los 55 años. Si al cumplir los 65 años recibo
5.000 € ¿En qué tanto por ciento anual compuesto e ha revalorizado dicho Plan?.
9. Calcular el montante que se obtiene al invertir un capital de 200 € durante 5 años al 4 % de
interés compuesto semestral.
10. Calcular el montante que se obtiene al invertir un capital de 6.000€ durante 4 años: a.- Al 5 % de
interés compuesto semestral. b.- Al 10 % de interés compuesto anual.
11. Determinar el tanto de interés compuesto anual equivalente l 5 % semestral.
12. Con los datos del ejercicio anterior comprobar la equivalencia de los tantos para un capital de
1.000 € invertido durante 3 años.
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