Introducción a la Reología - Laboratorio FIRP

Transcripción

INTRODUCCION A LA REOLOGIA
Contenido
1. VISCOSIDAD
1.1. Introducción........................................................................................... 01
1.2. Esfuerzo de corte................................................................................... 02
1.3. Velocidad de deformación...................................................................... 02
1.4. Ley de Newton de la viscosidad............................................................. 04
2. REOLOGIA
2.1. Definición..............................................................................................
05
2.2. Fluidos newtonianos.............................................................................
05
2.3. Fluidos no newtonianos........................................................................
06
2.3.1. Comportamiento plástico.........................................................
08
2.3.2. Comportamiento pseudoplástico................................................
08
2.4. Fluidos Viscoelásticos....................................................................
11
3. VISCOSIMETROS
3.1. Consideraciones generales...............................................................
12
3.2. Teoría de Viscosímetros capilares.......................................................
13
3.3. Teoría de Viscosímetros rotacionales...................................................
16
3.4. Caso de los fluidos no newtonianos....................................................
18
4. BIBLIOGRAFIA
21
1. VISCOSIDAD
1.1 INTRODUCCION
Para comprender mejor las complejas propiedades de flujo, consideramos la manera en que
fluyen dos materiales comunes. Para asignar valores a las propiedades respectivas, recordemos
que valores altos se refieren a una mayor resistencia al flujo. Así si preguntamos: ¿cuál tiene
mayor viscosidad: la miel o la mayonesa?, los que responden que la mayonesa, argumentan que
esta última no fluye en, por ejemplo, un recipiente invertido, mientras que la miel si lo hace.
Aquellos que dicen que la miel, argumentan que es más difícil batir un vaso con miel que uno
con mayonesa.
Esta no es una paradoja, es simplemente la evidencia de que hay más para discutir en lo
relacionado a la viscosidad.
Entonces, ¿qué es la viscosidad? Simplemente digamos que es la resistencia a fluír de un
material.
Para medir y describir precisamente el flujo de un material es necesario confinarlo, hacer que
ocurra el flujo por medios mecánicos, medir la fuerza requerida para ello y convertir las fuerzas
medidas a valores específicos que puedan ser comparados con otros.
El principio involucrado es el siguiente: imaginemos un plato cuadrado, metálico, anclado
(para evitar su movimiento) y cubierto con una capa delgada de grasa. Ahora imaginemos otro
plato del mismo tamaño que el primero, colocado sobre la superficie opuesta de la capa de grasa
a una distancia h. Para deslizar el plato superior se debe aplicar sobre él una fuerza
(refiriéndonos a movimiento paralelo de los platos). (Fig. 1).
Plato Móvil
F
V
h
Plato Fijo
Fig. 1 Fuerza de cizalla entre dos planos paralelos
Una pequeña fuerza es suficiente para mover el plato en una distancia corta a una velocidad
baja, pero si queremos moverlo a mayor velocidad se necesitará una fuerza mayor.
Por otro lado, se podría observar que es más difícil mover el plato con una capa de grasa
delgada que con una gruesa. Así mismo un plato de mayores dimensiones será más difícil de
mover para igual velocidad y espesor de grasa.
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1
Introducción a la Reología
El asignar valores númericos a estos fenómenos, nos permite operar matemáticamente sobre
estos y el asignar nombres a estas interacciones permite que sean objeto de discusión.
1.2. ESFUERZO DE CORTE
La fuerza F requerida para mover el plato superior se relaciona con el área en contacto con la
sustancia y para llegar a una medida específica es necesario dividir la fuerza total necesaria para
el movimiento por el área en contacto con la sustancia.
A esta relación se le denomina Esfuerzo de Corte (el movimiento entre planos es siempre
referido como "corte" o "cizalla", en inglés "shear").
Las unidades usuales para la fuerza son la dina (1000 dinas equivalen al peso de 1 gramo
aproximadamente), y para el área, el cm2.
La fórmula sería:
⎛ dinas ⎞ F(dinas)
τ⎜
⎟ =
⎝ cm2 ⎠ A(cm2 )
Las unidades análogas en el Sistema Internacional serían:
€
⎛ N ⎞ F(N)
τ⎜ 2 ⎟ =
⎝ m ⎠ A(m2 )
1.3. VELOCIDAD DE DEFORMACION O CIZALLAMIENTO:
€
El cizallamiento ejercido sobre el material es relacionado con la velocidad relativa de
movimiento y la distancia entre platos (h en nuestro caso). A una velocidad, v, dada, mayor
esfuerzo se requiere en una unidad de material cuando los platos están más cercanos. La medida
específica de este trabajo por unidad de material es llamada velocidad o tasa de deformación o
corte, y es definida como la velocidad relativa dividida por la distancia entre platos:
•
γ (s -1) = D =
v(cm/s)
h(cm)
€ DE LA VISCOSIDAD
1.4. LEY DE NEWTON
€
Hemos estudiado, en el ejemplo anterior, el efecto final de la fuerza aplicada sobre el plato,
sin considerar el tiempo.
Supongamos ahora que el sistema esta inicialmente en reposo, y al cabo del tiempo t = 0, la
lámina inferior de la Fig. 2 se pone en movimiento en la dirección x, con una velocidad v.
A medida que transcurre el tiempo el fluido gana cantidad de movimiento, y finalmente se
establece el perfil de velocidad en régimen estacionario (fig. 2, a)-d). Una vez alcanzado dicho
estado estacionario de movimiento, es preciso aplicar una fuerza constante F para conservar el
movimiento de la lámina inferior.
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2
τ<0
Fluido inicialmente en
reposo
τ=0
Lámina inferior puesta
en movimiento
τ pequeño
Formación de la
velociadad en flujo no
estacionario
γ
v
Vz (y,τ)
v
Vz (y)
τ grande
y
Distribución final de
velocidad para flujo
estacionario
x
Figura 2. Desarrollo del perfil de velocidad
Para el flujo laminar se cumple:
F
v
A =h y
ó
•
τ=η. γ
En esta ecuación la constante de proporcionalidad es la viscocidad (η) y del análisis dimensional
resulta:
€
η (=) ML-1 t -1
En el sistema CGS: 1 dina.s/cm2 = 1 poise
En el sistema SI
: 1N.s/m2
= 10 poise
En la práctica también se usa el centipoise: 1 poise = 100 centipoise (cP)
En algunos casos debe utilizarse la viscocidad cinemática:
Viscosidad cinemática (υ) = viscosidad (η) /masa volumétrica (ρ)
cuya unidad en el sistema CGS es el Stokes:
1 Stokes = 1 poise/(1g/cm3) = dina.s.cm3. g-1. cm -2 = cm2. s-1
en el sistema SI: (=) m2. s-1
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3
En la práctica, según los países y tipo de industria, existen otras unidades de viscosidad:
segundos Saybold, segundos ASTM, unidades Brabender, grados Engler, segundos Reedwood…
Si retomamos la ecuación anterior encontramos que es conveniente describirla de una forma
más explícita. El esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección "x" sobre la superficie del fluido,
situada a una distancia constante "y", por el fluido existente en la región donde "y" es menor, se
designa por τyx, y el componente "x" del vector velocidad del fluido, por "vx"
De acuerdo con estos símbolos de ecuación queda:
dvx
τyx = - η dy
Donde el signo "-" se puede explicar, para las coordenadas respectivas, según:
(0 − v)
F
= −η
(y − 0)
A
Es decir, que la fuerza de cizalla por unidad de área es proporcional al gradiente negativo de
la velocidad local. Esta es la Ley de Newton de la viscosidad, y los fluidos que la cumplen se
€ los gases y la mayor parte de los líquidos sencillos, se
llaman fluidos newtonianos (todos
comportan de acuerdo a esta Ley).
En las inmediaciones de la superficie que se mueve, donde y = 0, el fluido adquiere una
determinada cantidad de movimiento en la dirección "x". Este fluido comunica, a su vez, parte de
su cantidad de movimiento a la "capa" adyacente de líquido, dando lugar a que se mantenga en
movimiento en la dirección "x". Por lo tanto tiene lugar una transmisión de cantidad de
movimiento "x" a través del fluido en la dirección "y", y por consiguiente, τyx, puede
interpretarse también como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento "x" en la
dirección "y".
El fenómeno que se estudia, se lo puede considerar como un proceso en el cual, planos
paralelos infinitamente delgados se deslizan uno sobre otro como un paquete de cartas rígidas.
(Ver Figura 3).
Figura 3 Idealización del deslizamiento entre planos
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4
Esta interpretación está en íntima relación con la naturaleza de los fenómenos de transporte y
transferencia, en los cuales el flujo de una variable extensiva es originado por la acción de un
gradiente de potencial. Así mismo, este flujo es favorecido o restringido por la existencia de una
mayor o menor conductividad, la cual es una propiedad intrínseca del material. Por ejemplo si
consideramos la ley de Ohm, de la conductividad, tenemos:
Diferencial de potencial
Flujo de carga
= Conductividad x
Longitud
Area
Que relaciona la densidad de corriente (flujo de carga por unidad de área del conductor), con
el gradiente de potencial (campo eléctrico).
Igualmente para la Ley de Fourier para la conductividad térmica, ley de Fick de difusión
molecular o la transferencia de masa en la que:
Flujo molar
= Coef. transferencia x Gradiente de concentración
Area
y para el caso que nos interesa, de la Ley de Newton, donde la fuerza (MLT -2), es un flujo de
cantidad de movimiento o momento fuerza (MLT -1) y la viscosidad es la conductividad, en
forma perpendicular a la dirección del flujo, de la cantidad de movimiento.
De acuerdo con la última expresión, se deduce que la densidad de flujo viscoso de cantidad
de movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de la velocidad, es decir, que sigue la
dirección de velocidad decreciente (de una región de alta velocidad a otra de baja velocidad).
El gradiente de velocidad puede considerarse, por consiguiente, como una "fuerza impulsora"
de cantidad de movimiento.
2. REOLOGIA
2.1. DEFINICION
Entendiendo como fluido aquella sustancia que no puede soportar un esfuerzo sin ponerse
en movimiento, podemos decir que la reología es "la ciencia del flujo y la deformación", es decir,
la rama de la física que estudia el comportamiento de los fluidos sometidos a diferentes tipos de
esfuerzos. El campo de la reología se extiende desde la mecánica de los fluidos Newtonianos por
una parte, hasta la elasticidad de Hooke por otra.
Para tales estudios se usan aparatos llamados reómetros, que permiten cuantificar los
parámetros inherentes al proceso, para así obtener, mediante gráficas adecuadas, la relación entre
el esfuerzo y el cizallamiento.
2.2 FLUIDOS NEWTONIANOS
Recordemos que cuando la viscosidad es constante, para cualquier valor de τ, el fluido
recibe el nombre de Newtoniano.
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5
•
La representación gráfica de τ vs. γ de un fluido Newtoniano es una recta que pasa por el
origen. (Fig. 4).
τ
€
Newtoniano
α
γ
Figura 4 Fluido newtoniano
La pendiente es la viscosidad (η): η = tgα
y la fluidez se define como:
1/η = 1/tg α
•
Por tanto, basta un par de valores (τ, γ ), para fijar sin lugar a dudas la posición de la recta y
por tanto la viscosidad que depende sólo de la temperatura.
La relación τ = τ (T) entra en el campo de la reología físico-química, y de momento no
vamos a estudiarla. Lo único que nos interesa señalar es que las variaciones de viscosidad con la
temperatura son considerables,€por ejemplo, en el aceite doméstico y por lo tanto, debe siempre
acompañarse al valor de la viscosidad el de la temperatura. Así diremos, la viscosidad del agua a
47 ºC es tal o la de un aceite monomotor a 81 ºC es cual, etc.
Los fluidos (Newtonianos o no), también cambian su viscosidad con la presión. En aceites,
por ejemplo, el incremento de viscosidad sigue aproximadamente una función exponencial
respecto a la presión (factor a ser tomado en cuenta en el diseño de rodamientos, por ejemplo).
2.3. FLUIDOS NO NEWTONIANOS
Son los que no cumplen con la Ley de Newton. Pueden clasificarse en tres grandes grupos:
•
a) La ecuación que relaciona τ vs γ no es lineal: τ = τ ( γ )
•
b) τ es una función más o menos compleja de γ y eventualmente del tiempo: τ = τ ( γ ,t)
c) El comportamiento reológico es el resultante
de un sistema fluido (newtoniano o no), y un
€
sistema elástico: fluidos viscoelásticos.
€
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6
La complejidad reológica aumenta de a) a c).
Además estos grupos son ideales, pues con frecuencia existen fluidos reales complejos que
son combinaciones de varios modelos reológicos.
En los fluidos no-newtonianos la temperatura tiene una enorme importancia ya que a
menudo, pequeñas variaciones de temperatura pueden modificar notablemente el
comportamiento reológico de un fluido de este tipo.
En los fluidos no-newtonianos no puede utilizarse el concepto de viscosidad por dos causas:
a) En general, la consistencia (concepto análogo al de viscosidad, y que relaciona el esfuerzo de
corte con la tasa de deformación), depende de la presión tangencial, y, por lo tanto, no es
constante sino que puede variar entre amplios límites. En oposición a la viscosidad que es
siempre constante (a una temperatura dada).
b) Por otra parte, la consistencia tiene unas dimensiones diferentes de la viscosidad ya que no se
cumple:
•
η = τ /γ
(para fluidos no-newtonianos)
Por esta razón los fluidos no-newtonianos se caracterizan por los reogramas, que son las
representaciones gráficas de sus comportamientos, o bien por sus parámetros reológicos, que
son las constantes de las€ecuaciones que definen ese comportamiento reológico.
Tanto los reogramas como los parámetros reológicos se obtienen a partir de datos
experimentales.
En general se traza primero el reograma, buscando un sistema de escalas que permita la
linealización y, a partir de los datos gráficos, se calculan los parámetros reológicos. En muchos
casos se utilizan solamente reogramas.
En los fluidos no-newtonianos se ha utilizado con frecuencia el concepto de viscosidad
aparente que es la que tendría un fluido newtoniano cuya recta pasara por el mismo punto del
reograma (Fig.5).
τ
A
α
α
γ
Figura 5 Viscosidad aparente y diferencial.
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7
El fluido no newtoniano tiene en A, una viscosidad aparente:
ηap = tg α
La viscosidad aparente es un concepto que se presta a muchos errores como puede deducirse
de la figura. No conviene, pues, usar ciertos aparatos para la medición de viscosidades en
fluidos no-newtonianos.
Otro concepto utilizado es el de viscosidad diferencial que viene dado por el ángulo que
forma la tangente a la curva, en un punto dado, con el eje de abcisas.
ηdif = tg α'
2.3.1 COMPORTAMIENTO PLASTICO
Los fluidos plásticos son aquellos que requieren de un esfuerzo inicial τo para iniciar la
deformación (Fig.6)
τ
A
το
γ
Figura 6 Reograma para un fluido plástico
El reograma mostrado en la figura se refiere a un comportamiento plástico ideal. En este caso
si la tensión de cortadura aplicada es inferior a τo, el producto se comporta como un sólido. Sí es
superior a τo se comporta como un fluido newtoniano.
El caso anterior es el llamado fluido plástico ideal o de Bingham, donde la ecuación de
Newton se transforma en la de Bingham:
τ = τo + η . D
Esta ecuación corresponde a muchas suspensiones concentradas de sólidos.
2.3.2. COMPORTAMIENTO PSEUDOPLASTICO
Corresponde a sistemas fluidos en los que no existe tensión de cortadura umbral. Gráficamente
serán curvas que pasan por el origen (Fig.7). Se han propuesto, varios modelos matemáticos para
estos sistemas, sin embargo, no hay ninguno que incluya a todos.
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8
Figura 7 Reograma para un fluido pseudoplástico
2.3.2.1. Ecuación de Ostwald de Waele o ley de la potencia
•
τ = k ( γ) m
ó
•
log τ = log K + m log γ
donde k es el índice de consistencia (o viscosidad aparente a 1 s -1) y m es el índice de fluidez.
€
Sí m = 1 el fluido es newtoniano
Sí m < 1 es pseudoplástico
Sí m > 1 es dilatante
€
La viscosidad aparente ηap se define por:
•
τ = ηap γ
ó
• m-1
ηap = k γ
La ecuación de Ostwald es sencilla y sirve para interpolar. Tiene el incoveniente que en el origen
•
de coordenadas γ → 0 y τ → 0 y por tanto
€ ηap. está indetermiando
€
•
Normalmente se trabaja con escalas logτ vs. log γ , en los cuales se obtienen reogramas lineales
(Fig. 8).
€
€
m
log k
log γ
Figura 8 Reograma para un fluído pseudoplástico en escala log-log
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Las emulsiones o suspensiones presentan a menudo un comportamiento pseudoplástico. Tal
comportamiento se caracteriza por una disminución de la viscocidad a medida que el
cizallamiento aumenta.
Desde el punto de vista físico esto significa que la resistencia a fluir disminuye cuando la
velocidad de derrame aumenta.
Esto proviene obviamente de la forma en que se orientan las heterogeneidades contenidas en
fluidos complejos como dispersiones y emulsiones.
El índice de fluidez para emulsiones crudo-agua a menudo está en el rango 0.2-0.6, y tiende a
disminuir cuando la concentración de fase dispersa aumenta.
En la fig. 9 se presenta un ejemplo de un reograma log-log, donde se observa un ajuste al
comportamiento pseudoplástico (líneas experimentales con pendientes menores que la de líneas
punteadas correspondientes a fluidos newtonianos)
Figura 9 Comportamiento reológico de emulsiones crudo-agua (Bracho 1982)
2.3.2.2. Otras ecuaciones
Entre otros tenemos los siguientes ajustes:
•
—Ecuación de Steiger-Ory: γ = a τ3 + cτ
con a y c constantes positivas; usada para valores medios y bajos de τ
€
—Ecuación de Ellis:
•
γ = (vo + v1 τn-1) τ = voτ + v1τn
con n > 1 y vo, v1 constantes.
€
Observese que cuando: v1 = 0, es la Ec. de Newton, cuando n = 3, la Ec. de Steiger Ory
y v0 = 0, la Ec. de Ostwald. Esta ecuación no se rectifica en gráficos log-log. Para el cálculo de
parámetros se usa un sistema de 3 ecuaciones.
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10
•
—Ecuación de Eyring: τ = A . Arcsenh [(1/B) γ ]
Este modelo de dos parámetros deriva de la teoría cinética de los líquidos. El modelo de
Eyring predice el comportamiento pseudoplástico para valores finitos de τ, y tiende
€
asintóticamente a la ley de viscosidad de Newton
cuando τ tiende hacia cero, siendo en este caso
η = A/B. A continuación se presenta un sumario de algunos comportamientos de flujo (Fig. 10).
Fig. 10 Modelos reométricos
2.4. FLUIDOS VISCOELASTICOS:
Son los formados por la suma de un componente elástico que absorbe la energía aplicada,
transformándola durante la deformación en energía potencial, de forma que cuando esta cesa, la
deformación vuelve a su estado inicial, y un componente viscoso, que absorbe la energía
aplicada transformándola en calor y fluyendo.
Las emulsiones o slurries con alto contenido de fase interna presentan una cierta rigidez y
pueden por lo tanto exhibir un comportamiento, en algo, semejante a la elasticidad de los sólidos.
Los fluidos viscoelásticos presentan a la vez un comportamiento viscoso (newtoniano o no) y un
comportamiento elástico (hookeano o no). En régimen transitorio, como por ejemplo en las
operaciones de bombeo, tales fenómenos pueden volverse determinantes.
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3. VISCOSIMETROS
3.1. CONSIDERACIONES GENERALES
Según la geometría del sistema y de la parte móvil, los aparatos de medida se clasifican en:
a) Viscosímetros capilares: Aparatos basados en el movimiento laminar del fluido en el
interior de un capilar.
b) Viscosímetro de placas deslizantes: Aparatos basados en el cizallamiento de un fluido
entre placas paralelas.
c) Viscosímetros de caída de bola: Ya sea libre, forzada o en tubo inclinado.
d) Viscosímetros coaxiales con movimiento axial
e) Viscosímetros de cinta.
f) Viscosímetro rotatorio Couette: Aparato basado en el movimiento rotatorio del líquido
entre dos cilindros coaxiales: mientras uno gira se mide el par de torsión en el otro.
g) Viscosímetro rotatorio Stormer: En el que se mide la velocidad a la que gira un cilindro
interno sometido a una tensión dada.
h) Viscosímetro rotatorio normal: En el que la medida se efectúa por reacción entre un
cilindro interno rotatorio y un externo fijo.
i) Viscosímetro Brookfield: Medida por la reacción de un cilindro que gira dentro del
líquido sin ninguna superficie coaxial próxima.
j) Reogoniómetros: Medida simultánea del par de reacción de un cono que gira sobre una
placa y de la presión que el fluido ejerce normalmente a la misma.
k) Viscosímetros ultrasónicos: Se basan en la alteración de un haz de ondas ultrasónicas en
el interior del fluido.
Para la elección del tipo de aparato más adecuado conviene tener en cuenta que no existe
ningún aparato universal que sirva para todo tipo de fluidos. (Téngase en cuenta que los fluidos
newtonianos pueden tener viscosidades comprendidas entre 10-5 y 1014 Poises). Por ello debe
considerarse:
1.- Objeto de la medida:
—Control de materias primas
—Control de productos intermedios
—Control de productos acabados
—Investigación, etc.
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2.- Zona del diagrama reológico que interesa:
—Bajas viscosidades
—Alto esfuerzo cortante, etc.
Los factores para la decisión comprenden:
—Tipo de fluido
—En no newtonianos, zona del diagrama reológico a explorar.
—Precisión necesaria
—Número de medidas al día
—Costo de mano de obra: preparación, medida, limpieza, interpretación de datos…
—Costo de mantenimiento y recalibración
Con los factores señalados, se puede fijar el tipo de viscosímetro. Para la marca, hay que
tener en cuenta el precio, servicio de asistencia post-venta, etc.
3.2. TEORIA DE LOS VISCOSIMETROS CAPILARES
Partimos de las siguientes hipótesis simplificatorias:
—El líquido es incomprensible
—El movimiento del líquido es laminar
—La línea de desplazamiento es paralela al eje del tubo
—El movimiento es en estado estacionario
—No existe deslizamiento en la pared
—Tubo capilar con diámetro mucho menor que la longitud (Ver. Fig. 11)
Figura 11 Viscosímetros capilares
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Sea P la presión sobre el líquido en dinas/cm2, R el radio en cm y L la longitud en cm.
El esfuerzo total sobre el líquido es = (π R2) P
La superficie lateral del tubo es
= 2 π RL
Por lo tanto, sí hacemos un balance de fuerza tenemos
π R2 P1 - π R2 P2 - τR (2 π RL) = 0
ó
τR = ∆P R/2L
Con τR el esfuerzo de corte en la pared del capilar (r = R) y en general:
τrz = r ∆P/2L (para cualquier radio r)
τ rz = τR (r/R)
Es decir:
Sí en un punto a una distancia r del centro, tenemos una velocidad v en la dirección z, y en otro
punto a una distancia r+dr tenemos una velocidad v-dv, entonces:
•
•
τ = f( γ ), con γ = - dv/dr
Q=
El caudal será:
2π
R
0
0
∫ ∫
R
R
vrdr dθ = 2π ∫ 0 v rdr = π ∫ 0 v d(r 2 )
€
€
usando la derivada del producto de la velocidad v por r2 → d(vr2) = v d(r2) + r2 dv
entonces
€
R
R
Q = π ∫ 0 d( vr 2 ) − π ∫ 0 r 2dv
Al integrar entre r=0 y r=R con las condiciones de borde vr2 = 0 en ambos casos entonces
€
R
Q = −π ∫ 0 r 2dv =
∫
R
0
πr 2dr
dv
dr
•
Sí el fluido es newtoniano: η = τ/ γ = (r ∆P/2L)/(-dv/dr)
€
Al integrar esta última ecuación nos queda que para la velocidad en dirección z:
€ 2 - r2) (Distribución parabólica de velocidad)
v = (∆ P/4 ηL) (R
Y por otro lado, sustituyendo en la expresión del caudal e integrando obtenemos:
Q=
Cuaderno FIRP€S520B
πΔP R 4
8ηL
ó
€
η=
πΔP R 4
8QL
14
ecuación de Poiseuille
que también se puede escribir como:
η=
πΔP R 4
t
8VL
donde V es el volumen y t el tiempo
Sí hacemos V = constante (para un aparato dado):
€
η=kt
con k una constante
En la Fig. 12 se puede observar como es la distribución de velocidades y esfuerzos de corte para
el caso estudiado.
r
vz
v rz
z
D
Flujo de Poiseuille
Figura 12 Distribución de velocidades y esfuerzo de corte en tuberia
En los fluidos poco viscosos existe una notable discrepancia entre los valores reales y los
valores determinados por las fórmulas anteriores. Ello es debido a dos causas:
a) No toda la energía aplicada a través de P se emplea en vencer la resistencia viscosa, sino que
una parte queda en forma de energía cinética.
b) Debido a la variación rápida de v en la entrada y salida del capilar la longitud eficaz L del
mismo es mayor que la real:
Leficaz = L+nR,
L >> R y normalmente entre 5 y 10
Por lo que teniendo en cuenta lo anterior, la fórmula de la viscosidad queda:
η=
πR 4 Pt
mρV)
−
8V(L + nR) 8(L + nR)t
siendo m, un factor de corrección entre 1 y 1,5 y ρ la densidad.
€ general y más práctico de flujo por tuberías podemos aplicar estas mismas
En el caso más
ecuaciones, en las que si Q se relaciona con la velocidad promedio:
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15
vprom = Q/S
con S la sección interna de la tubería = π R2
Tendríamos después de algunas simplificaciones:
η=
ΔP R 2
8 v prom L
o escrito de otra forma: η = (∆P D/4L) / (8vprom/D), donde D es el diámetro de la tubería.
€ = τ o esfuerzo de corte en la pared
con (∆P D/4L)
R
y
•
8 vprom/D = γ R o velocidad de corte en la pared
Por lo tanto, la relación experimental del gradiente de presión impuesto y el caudal
transportado permite determinar la relación entre el esfuerzo cortante en la pared, τR y la
€
•
velocidad de corte en la pared γ R y por consiguiente determinar la viscosidad de un fluido
•
newtoniano. Efectuando una gráfica de τR vs. γ R, tendríamos en la pendiente el valor de la
viscosidad.
En todos los casos €
se debe acotar, que los regímenes son suficientemente lentos para obtener
flujos laminares y no turbulentos.
€
3.3. TEORIA DE LOS VISCOSIMETROS ROTACIONALES
CILINDROS CONCENTRICOS (FLUJO DE TIPO COUETTE)
DE
Se consideran las mismas hipótesis simplificatorias que en el caso anterior y además:
—Ausencia de desplazamiento axial
—Ausencia de deslizamiento en la pared de los cilindros (Ver Fig. 13).
R1
R2
Figura 13 Viscosímetros rotacionales
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El cilindro interior es móvil, mientras el cilindro exterior permanece siempre fijo. Se impone
entonces una velocidad de rotación constante Ω al cilindro interior y se mide el torque G
impuesto al eje de rotación.
La repartición de velocidades al interior del líquido verifica:
vθ (R1) = Ω R1
vθ (R2) = 0
Y se define por la ecuación (del movimiento)
R2/r - r/R2
Se obtiene finalmente: v (r) = Ω R1 [R /R
2 €1 - R1/R2
€
•
La velocidad de corte se define por: γ = r
en este caso v(r) = - 2 Ω
R12 R22
2
2
R€
2 - R1
[ drd ⎡⎢⎣1r drd (rv (r))⎤⎥⎦ ] = 0
θ
]
d ⎡ vθ (r) ⎤
dr ⎢⎣ r ⎥⎦
1
r2
Si se hace r = R1, se obtiene el valor de la velocidad de corte en el cilindro interior móvil.
•
R2 2
γR = 2 Ω 2
2
R2 - R1
γR sólo depende de la velocidad de rotación angular.
€
En el caso de cilindros muy cercanos: R2-R1<<R2, se puede escribir:
R1 ≅ R2 ≅ R
∆R = R2-R1 y
γR ≅ - ΩR/ΔR
lo cual es equivalente a suponer una repartición de velocidades lineal:
r-R1
vθ (r) ≅ ΩR2 (R -R )
2 1
Véase Fig. 14
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17
Ω
R1
O
r
Cilindro
móvil
R2
Cilindro fijo
Figura 14
Si se llama Γ el torque ejercido sobre el eje de rotación,
Γ = τrθ(R1) 2 π R1 h R1 (siendo h la altura común de los dos cilindros)
en forma más general para un valor cualquiera de r : R1 ≤ r ≤ R2
Γ = τrθ (r) 2π r h r
o sea τrθ (r) =
Γ
2πhr 2
la repartición del esfuerzo cortante es pues de la forma τrθ = a/r2
En la pared del cilindro móvil:
€
Γ 1
τR =
2πh R12
la viscosidad del fluído es por tanto:
2
2
τp
Γ 1 R2 - R1
η= -γ =
;
R
2πh R12 2Ω R22
€
η=
Γ 1 ⎡ 1
1 ⎤
⎢ 2 − 2 ⎥
4πh Ω ⎣ R1 R 2 ⎦
la viscosidad es de la forma: η = k r /Ω
€
€
€
Con k una constante función de las características del aparato.
3.4. CASO DE LOS FLUIDOS NO NEWTONIANOS:
En los dos casos anteriores, se han considerado fluídos que siguen la Ley de Newton, es decir
•
fluidos cuya viscosidad permanece constante cuando τ y γ varían. En el caso de flujo capilar,
para fluidos no-newtonianos, la velocidad de corte ya no es 8.vprom/D y no se puede establecer
Cuaderno FIRP S520B
€
18
•
directamente la relación entre τ y γ . Sí se supone que el fluido es bien representado por la ley de
la potencia, se puede determinar k y m a partir de curvas experimentales de (D.∆P/4.L) vs.
(8.v/D) en el caso, por ejemplo, de flujo en tubería.
En el caso de flujo entre cilindros concéntricos, la medición del torque, Γ, determina el
esfuerzo cortante, τR y €
la velocidad de rotación Ω, permite calcular la velocidad de corte, τR, sin
necesidad de suponer el fluido newtoniano. Los viscosímetros de tipo Couette permiten
•
establecer, por tanto, directamente el reograma τ vs. γ .
Ecuación de Rabonowistch-Mooney
€
Para el flujo en tubería, se ha desarrollado
una ecuación general que permite obtener el
caudal en función de la expresión del esfuerzo de corte y cuya aplicación comprende cualquier
tipo de fluido sea newtoniano o no. (Ver Fig. 15).
R
R
P2
P1
L
Figura 15 Flujo en tubería
El desarrollo es como sigue:
(π R2 P1) - (π R2 P2) - τR (2π RL) = 0
Q=
2π
R
0
0
∫ ∫
τR = R∆P/2L
τr = r∆P/2L ; τrz = τR r/R
R
R
R
VZ rdr dθ = 2π ∫ 0 VZ rdr = π ∫ 0 VZ 2rdr = π ∫ 0 VZ d(r 2 )
pero d(Vz r2) = 2r Vz dr + r2 dVz → Vz d(r2) = d(Vzr2) - r2 dVz
€
[
Q = π VZr 2 −
o
∫
R 2
0
r dVZ
]
R
0
en la pared r = R, Vz = 0
en el centro r = 0, r2 Vz = 0
€
R
R
dVZ
Q = −π ∫ 0 r 2 dVZ → Q = −π ∫ 0 r 2
dr
por tanto
dr
€
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€
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dVz
R 2
dr = f(τrz) comportamiento del fluido → Q = −π ∫ 0 r f(τrz ) dr
como τrz
como dr =
R dτrz
€τR
=
2
R 2 τ rz
τ2 rz 2
τR r
2
entonces r = 2 R → −π ∫ 0 R 2 f(τrz ) dr
R
τR
τR
€
τR
R dτrz
τ2 rz
→ Q = π ∫ 0 R 2 2 f(τrz )
→
τ
τ
R
R
€
€
Q=
πR 3
τ3R
∫
τR
0
τ2 rz f(τrz ) dτrz
En esta ecuación de Rabinowitsch-Mooney, basta colocar la expresión para la velocidad de corte,
€ f (τ e integrar,
€ para obtener la fórmula para el caudal.
€
rz)
⎡ τrz ⎤1/ n
τrz
(newtoniano) or f(τrz) = ⎢ ⎥ (ley de la potencia)
Por ejemplo f(τrz) =
⎣ K ⎦
η
Q
ΔP R 2
πΔP R 4
=
y VZprom =
Para un flujo newtoniano se encuentra Q =
πR 2
8ηL
€ 8ηL
€
•
4VZprom
R ΔP
con τR =
y γR =
2L
R
€
€
€•
Para una ley de la potencia de relación τ = K γ n, un cálculo un poco mas complejo da:
€ €
1/ n
•
⎛ 3n +1⎞ 4VZprom
n ⎛ τR ⎞
3
Q = πR
⎟
⎜ ⎟ donde τR = R ΔP/2L y γ R = ⎜
⎝ 4n ⎠ R
3n +1 ⎝ K ⎠€
€
€
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€
BIBLIOGRAFIA
(1) Bird B., Warren S., y Lightfoot E. Fenómenos de transporte. Ed. Reverté, España (1964)
(2) Van Wazer J., Lyons J., Kimm K., y Colwell R. Viscosity and flow measurement.
Intersciense Publisher, USA (1963)
(3) Measurement of rheological properties, Contraves. Bulletin T990 e-7906
(4) Briceño M.I. Viscosidad de emulsiones. Cuaderno FIRP S525, ULA, Mérida (1998)
(5) Harrison Mc. D. Absolute viscosity measurement. Haake Inc., N.J.
(6) ROTOVISCO. Haake Viscometers, N.J.
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Texto: Introducción a la Reología
Autor: Orlando ROJAS
Referencia: Cuaderno FIRP S520B
Versión # 2 (1999)
Editado y publicado por:
Laboratorio FIRP
Escuela de INGENIERIA QUIMICA,
UNIVERSIDAD de Los ANDES
Mérida 5101 VENEZUELA
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