UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de ciencias

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de ciencias

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de ciencias.
Escuela Profesional de Fı́sica.
Tópicos de investigación I.
Simulacı́ón de radiación electromagnetica usando
el metodo de los momentos (MoM).
Ticse Torres Royer.
Asesor:
Dr. Carlos Javier Solano Salinas
1
Resumen
En este trabajo introducimos los fundamentos del Método de los Momentos,
una poderosa herramienta para la solución de problemas de campo electromagnetico, mostramos una aplicacion a la antena lineal obteniendo el patron
de radiación.
Índice general
1. Introducción
1.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2. Metodo de los momentos (MoM).
2.1. Planteamiento . . . . . . . . . . .
2.2. Metodo de los momentos . . . . .
2.3. Principio de equivalencia . . . . .
2.4. Funciones de base y prueba . . .
2.4.1. Funciones base . . . . . .
2.4.2. Funciones Prueba . . . . .
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3
3
3
5
6
6
7
3. Ecuaciones Integrales
3.1. Ecuación Integral del Campo Electrico(EFIE) . . . . . . . . .
8
8
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.
4. Aplicación a la antena lineal
4.1. Antena lineal . . . . . . . . . . . .
4.2. Ecuacion integral de Pocklington .
4.3. Aplicando el método de momentos
4.3.1. Matriz de impedancia . . .
4.4. Programación . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Patrón de radiación . . . .
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10
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11
12
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5. Resultados
16
Bibliografı́a
21
A. NEC(Numerical Electromagnetics Code)
22
A.1. Ejemplo1. Antena lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
B.
B.1. Diadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2. Código utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
25
25
25
Capı́tulo 1
Introducción
El método de momentos, aplicado a problemas de electromagnetismo,
fue introducido por Roger F. Harrigton in 1967 en su artı́culo, “Matrix
Methods for Field Problems”. La implementación del metodo de momentos
en Lawrence Livermore National Labs durante los 70s, establecio esta tecnica
de solución para el diseño de antenas.
Para determinar la distribución de corriente en una antena lineal resultado
de una exitacion arbitraria puede ser establecido en terminos de una ecuacion
integral. Esta ecuacion emplea una función de Green el cual relaciona un
campo electrico conocido de las condiciones de contorno con una distribución
desconocida de corriente en la antena. El método de momentos (MoM) aplica
expanciones para convertir la ecuación integral en un sistema de ecuaciones
lineales. Funciones de base son usados para la expanción de la corriente y
funciones de prueba para el campo electrico. La distribución de coriente es
luego contruido de los coeficientes de la expanción. Las caracteristicas de la
radiacion de la antena son derivadas luego del calculo de la distribucion dee
corriente.
En este trabajo se implementa el método para el analisis de una antena
lineal. La teoria matemática en el cual es basada es presentada y se derivan
las ecuaciones integrales que describen la corriente en la antena. La solución
de esta ecuacion integral es realizada por el método de momentos el cual se
basa en la expancion de la corriente en un conjunto de funciones base.
1.1.
Objetivo
Estimar la distribución de la corriente y el patrón de radiación en una
antena lineal, implementando un programa para el análisis de la antena
usando el método de momentos.
2
Capı́tulo 2
Metodo de los momentos
(MoM).
2.1.
Planteamiento
Numerosos problemas fı́sicos conducen a ecuaciones integro-diferenciales
que pueden expresarse de la forma:
Lu = v
(2.1)
Donde “u” es un elemento desconocido de un espacio de funciones U , “y“ es
un elemento conocido(prefijado) de un espacio de funciones V (que puede coincidircon U ) y L es un operador integro-diferencial de U en V . La ecuación
(2.1) estará completada con algún tipo de condición de contorno aplicable a
“u”.
En general, “u” constituye la respuesta del sistema fı́sico considerando una
exitación “v”, el operador L representa los fenómenos fı́sicos que relacionan
exitación y respuesta junto a datos tales como geométria del sistema.
En problemas electromagnéticos, la función “v” representa magnitudes de
tipo corrientes, potenciales y campos tanto electricos como magnéticos con
valores impuestos al sistema (condiciones de contorno) y la función “u” suele
representar corrientes, densidades de carga, etc.
2.2.
Metodo de los momentos
El método de los momentos es un procedimiento general para obtener soluciones aproximadas de ecuaciones de la forma (2.1). El primer paso
consiste en representar la función incognita “u” como combinación lineal de
infinitas funciones que se denominan funciones base:
u=
∞
X
In fn
(2.2)
n=1
donde fn son las funciones base y In son coeficientes desconocidos. En la
práctica es imposible trabajar con sumas infinitas , por lo que reducimos el
sumatorio a un numero finito de terminos N.
3
Figura 2.1: Diagrama del Método de los momentos.
u ≈ un =
N
X
In fn
(2.3)
n=1
Las funciones de la forma un estaran contenidas en el espacio funcional Un
definido por la base {u1 ...un }. como se representa en la figura. Si se sustituye
el desarrollo de u (2.3) en (2.1) y por la linealidad del operador.
N
X
In Lfn = v
(2.4)
n=1
Esta expresión es valida si el operador L se puede aplicar sobre las funciones
base, si su eleccion es adecuada , puede obtenerse a partir del generador
L un operador extendido con las mismas propiedades de L que se pueda
aplicarse sobre las funciones base.
El espacio generado por las N funciones In Lfn , en general, no contiene la
funcion v. Por tanto, al sustituir por su aproximación aparecera un error.
N
X
In Lfn − v = eN
(2.5)
n=1
Los coeficientes In deberán escogerse de forma que minimicen la función
error eN .
En el método de los momentos este error se minimiza de la siguiente forma:
1. Se define un producto escalar valido tanto en V como en Lfn .
2. Se definen tantas funciones de peso o prueba, wm linealmente independientes como funciones base N.
3. Se escogen los coeficientes wm de forma que los N productos escalares
de la función error eN por las N funciones de peso se cancelen:
heN , wm i = 0
4
(2.6)
Multiplicando escalarmente (2.5)
N
X
In hLfn , wm i = hv, wm i
(2.7)
n=1
donde m = 1, 2, ..., N , que constituye un sistema de N ecuaciones, una por
cada función de peso, y N incógnitas, los coeficientes In .
sustituyendo los valores obtenidos al resolver (2.7) en (2.3) se obtiene la
solución aproximada buscada.
El conjunto de ecuaciones (2.7) se puede escribir de forma matricial como:
[Z][I] = [V]
(2.8)
donde Z es la matriz del sistema (N × N ), denominada matriz de impedancias, con Zm,n = hwm , Lfn i, I es el vector de pesos incógnita (N × 1),
con In = In y V es el vector columna de valores conocidos (N × 1), con
Vm = hv, wm i .
Despejando el vector de incognitas:
[I] = [Z]−1 [V]
(2.9)
En caso particular de que las funciones base y peso sean idénticas, al
método de los momentos se le suele denominar método de Galerkin.
2.3.
Principio de equivalencia
El problema general que se predende resolver es de la forma representada
en la figura.
Figura 2.2: Problema general de dispersion
El campo electromagnetico total en el medio 1 se puede descomponer en
~ i, H
~ i ) que serı́a generado por las fuentes
un campo incidente o impreso (E
~ s, H
~ s)
suponiendo que no existe obstaculo y un campo inducido o reflejado (E
que es la pertubación debida a la presencia del obstaculo. En el medio 2 no
se realiza ninguna descomposición y el campo recibe el nombre de transmi~ t, H
~ t ).
tido (E
El teorema de equivalencia permite anular el campo en le medio 2 sin modificarlo en el medio 1,
ello implica la introducción una distribución superficial de corrientes electricas y magnéticas en la superficie de separación, cuyo valor puede obtenerse
aplicando las condiciones de frontera.
5
Figura 2.3: Problema equivalente.
~i + H
~ s)
J~s = n
b × (H
(2.10)
~s = n
~i + E
~ s)
K
b × (E
(2.11)
Con esta suposición el campo impreso estará generado por las fuentes
originales, y el campo inducido se deberá a las corrientes superficiales denominadas corrientes inducidas. Para ambos casos se considera espacio infinito,
lineal, homogeneo e isótropo con las caracteristicas del medio 1.
2.4.
Funciones de base y prueba
2.4.1.
Funciones base
Las funciones de base se pueden clasificar en dos categorias [3]:
Funciones definidas en todo el dominio del operador.
Este tipo de funciones se caracteriza por anularse en un número finito
de puntos del dominio. Sobre geometrias particulares estas funciones
permiten obtener un número reducido de incógnitas.
Funciones base de subdominios, es subdividir la antena en pequeños
segmentos y modelar la distribucion de corriente en cada segmento
por una construccion geometrica que puede ser rectangular, triangular
o sinusoidal. La amplitud de estas construciones representa los coeficientes de la funcion expandida.
Varios tipos de funcion base definidas en un subdoinio:
Función base pulso
(
1, si (xn−1 + xn )/2 ≤ x ≤ (xn + xn+1 )/2
Pn (x) =
0, resto
Función base triangulo lineal


(x − xn−1 )/(xn − xn−1 ), si xn−1 ≤ x ≤ xn
Tn (x) = (xn+1 − x)/(xn+1 − xn ), si xn ≤ x ≤ xn+1


0,
resto
Función base triangulo sinusoidal
6


sen β(x − xn−1 )/ sen β(xn − xn−1 ), si xn−1 ≤ x ≤ xn
T Sn (x) = sen β(xn+1 − x)/ sen β(xn+1 − xn ), si xn ≤ x ≤ xn+1


0,
resto
donde β es la constante de variación de fase de la función a representar.
2.4.2.
Funciones Prueba
Análogamente a las funciones base, las funciones de prueba se pueden
clasificar en [3]:
Funciones de prueba definidas en el dominio del operador
Estas funciones no suelen utilizarse en la practica debido a los largos
cáculos que originan.
Funciones de prueba definidas en un intervalo del dominio.
Dentro de esta categorı́a se incluyen las funcuones presentadas anteriormente
y añadimos algunas.
Funciones prueba delta de Dirac δ(x − xn )
La elección de este tipo de funciones han sido utilizadas en el análisis de antenas sencillas, modeladas con subdominios de dimenciones similares, pero
cuando la geometrı́a de la antena se complica o los subdominios tienen dimensiones diferentes los resultados se vuelven inestables.
Funciones de prueba pulso de exitación
Este tipo de funciones intentan mejorar los resultados que se obtiene con las
funciones pulso.
(
R xn2
y(x)/ xn1
y(x)dx, si xn1 ≤ x ≤ xn2
P En (x) =
0,
resto
Presentan la ventaja de permitir una representación exacta de la exitación, salvo en los extremos del intervalo, y el inconveniente de requerir
cálculos mas complicados que la función pulso.
7
Capı́tulo 3
Ecuaciones Integrales
3.1.
Ecuación Integral del Campo Electrico(EFIE)
Para un sistema de cargas y corrientes que varian con el tiempo, podemos
efectuar un analisis de Fourier de la dependencia temporal y tratar de forma
separada cada una de las componentes.Por tanto, no perdemos generalidad
si consideramos que los potenciales, los campos y la radiación debidos a un
sistema localizado de cargas varı́an sinusoidalmente con el tiempo.[2]
ρ(x, t) = ρ(x)e−jwt
−jwt
~ t) = J(x)e
~
J(x,
Para obtener las magnitudes fı́sicas tomaremos la parte real de las expresiones. Los potenciales y campos electromagneticos presentan el mismo tipo
de dependencia con el tiempo.
El campo electrico en función de los potenciales esta dado por:
~ = −∇φ − jwA
~
E
(3.1)
,de la condición de Lorentz:
~ + µjwφ = 0
∇.A
φ=−
~
∇.A
jwµ
luego, tenemos
~ = −jwA
~+
E
1
~
∇(∇.A)
jwµ
(3.2)
Para la dependencia temporal de tipo sinusoidal, el potencial vector es:
Z
−jk|~
r−~
r0 |
µ
0 e
~
~
A=
J(~r )
dv 0
4π
|~r − ~r0 |
reemplazando:
0
−jk|~
r −~
r|
1
µ
~ r0 ) e
J(~
dv 0 +
∇(∇.
0
|~r − ~r |
jwµ
4π
R 0
podemos intercambiar los operadores ∇y dv ,
~ = − jwµ
E
4π
Z
8
Z
−jk|~
r −~
r0 |
~ r0 ) e
J(~
dv 0 )
|~r − ~r0 |
~ = µ
E
4π
Z
0
0
−jk|~
r −~
r|
−jk|~
r −~
r|
1
~ r0 ) e
~ r0 ) e
{−jwJ(~
+
∇[∇.(
J(~
)]}dv 0
|~r − ~r0 |
jwµ
|~r − ~r0 |
(3.3)
~ = φ∇.A
~ + A∇φ:
~
de la identidad ∇.(φA)
0
0
0
−jk|~
r −~
r|
−jk|~
r −~
r|
e−jk|~r−~r | ~ 0
~ r0 ).∇( e
~ r0 ) e
)
=
∇.
J(~
r
)
+
J(~
)
∇.(J(~
|~r − ~r0 |
|~r − ~r0 |
|~r − ~r0 |
0
~ r0 )
∇.(J(~
0
−jk|~
r −~
r|
e−jk|~r−~r |
~ r0 ).∇( e
)
=
J(~
)
|~r − ~r0 |
|~r − ~r0 |
~ r0 ) = 0. Luego usando la identidad ∇(A.
~ B)
~ =A
~ × (∇ × B)
~ +
ya que ∇.J(~
~ × (∇ × A)
~ + (A.∇)
~
~ + (B.∇)
~
~ tenemos que:
B
B
A,
0
0
0
−jk|~
r −~
r|
−jk|~
r −~
r|
e−jk|~r−~r |
~ r0 )×(∇×(∇( e
~ r0 ))
~ r0 ).∇( e
)]
=
J(~
)))
+
(∇(
))×(∇×J(~
∇[J(~
|~r − ~r0 |
|~r − ~r0 |
|~r − ~r0 |
0
~ r0 ).∇)(∇(
+ (J(~
0
e−jk|~r−~r |
e−jk|~r−~r |
~ r0 )
))
+
((∇(
)).∇)J(~
|~r − ~r0 |
|~r − ~r0 |
−jk|~
r −~
r0 |
−jk|~
r −~
r0 |
−jk|~
r −~
r0 |
e
~ r0 ).∇)(∇( e
~ r0 )
~ r0 ).∇( e
)] = (J(~
)) + ((∇2 (
)))J(~
∇[J(~
0
0
|~r − ~r |
|~r − ~r |
|~r − ~r0 |
−jk|~
r −~
r0 |
−jk|~
r −~
r0 |
~ r0 ).∇( e
~ r0 ).∇)(∇( e
∇[J(~
)] = (J(~
))
0
|~r − ~r |
|~r − ~r0 |
sustituyendo en (3.3):
~ = µ
E
4π
Z
µ
~ =
E
4πjwµ
~ =
E
0
0
−jk|~
r −~
r|
1 ~ 0
e−jk|~r−~r |
~ r0 ) e
{−jwJ(~
+
[
J(~
r
).∇]∇(
)}dv 0
|~r − ~r0 |
jwµ
|~r − ~r0 |
Z
0
µ
4πjwµ
Z
0
−jk|~
r −~
r|
e−jk|~r−~r |
~ r0 ).∇∇( e
+
J(~
)}dv 0
|~r − ~r0 |
|~r − ~r0 |
~ r0 )
{−jw(jwµ)J(~
−jk|~
r −~
r0 |
~ r0 ).[(−jw)(jwµ)I + ∇∇] e
{J(~
}dv 0
|~r − ~r0 |
donde I es la diádica unitaria (Apéndice.B1) y ademas k 2 = w2 µ, entonces
~ = − µjw
E
4π
Z
0
−jk|~
r −~
r|
~ r0 ).[I + 1 ∇∇] e
J(~
dv 0
k2
|~r − ~r0 |
(3.4)
esta es la ecuación integral para el campo eléctrico(EFIE). Tambien lo podemos expresar como:
Z
~ = − µjw J(~
~ r0 ).G(~r, ~r0 )dv 0
E
(3.5)
4π
donde G(~r, ~r0 ) = [I +
0|
−jk|~
r −~
r
1
∇∇] e |~r−~r0 |
k2
se le denomina diádica de Green.
9
Capı́tulo 4
Aplicación a la antena lineal
4.1.
Antena lineal
Un dipolo electrico radiante es una antena lineal, que puede ser vista
como un conductor perfecto cilindrico con radio a y longitud l en posicion
a lo largo del eje z alimentada por su centro como se muestra en la figura.
La variable R representa la distancia entre la fuente de corriente y el punto
Figura 4.1: Antena lineal [5]
de observacion del campo. La distribución de coriente Iz (z 0 ) es definido a lo
largo de la longitud de la antena desde z 0 = −L/2 hasta z 0 = L/2. Luego
nosotros podemos asumir que la corriente en el dipolo existe solamente como
una corriente superficial J~s .
I(z)
J~s = Js zb = Js (z)b
z = zb
2πa
(4.1)
Asumimos que a << λ y l >> a, esto es referido como la aproximacion
~ puede ser separado en dos
de hilo delgado [1] . El campo electrico total E
componentes:
~ =E
~i + E
~s
E
(4.2)
10
~ i es debido a la exitacion, que es distindonde, el campo electrico impreso E
tode cero solo en el gap de alimentacion
~ i = V zb, z < |ζ/2|
E
ζ
(4.3)
~ s debido a la corriente inducida en la
y el campo electrico dispersado E
superficie de la antena .
4.2.
Ecuacion integral de Pocklington
~ s se relaciona con la ecuacion (3.4)
El campo E
Z
−jk|~
r −~
r0 |
µjw
~ r0 ).[I + 1 ∇∇] e
~ =−
J(~
dv 0
E
4π
k2
|~r − ~r0 |
reemplazando valores:
√
Z L/2
−jkr (z−z 0 )2 +ρ2
1
e
µjw
0
s
~ =−
I(z )b
z .[I + 2 ∇∇] p
E
dz 0
0
2
2
4π −L/2
k
(z − z ) + ρ
√
Z L/2
−jkr (z−z 0 )2 +ρ2
µjw
1
e
s
0
~ =−
E
I(z )[b
z + 2 zb.∇∇] p
dz 0
0
2
2
4π −L/2
k
(z − z ) + ρ
√
Z L/2
−jkr (z−z 0 )2 +ρ2
∂
e
µjw
1
~s = −
E
I(z 0 )[b
z + 2 ∇] p
dz 0
4π −L/2
k ∂z
(z − z 0 )2 + ρ2
~ la condición de contorno de que su
imponiendo al campo electrico total E
componente tangencial sea cero en cualquier posición sobre la superficie.
~i + E
~ s ).b
(E
z |ρ=a = 0
(4.4)
~ zs |ρ=a = −E
~ zi |ρ=a
E
~ zi = V /ζ en la abertura de
~ zi = 0 en la superficie de la antena y E
donde,E
alimenación.
por tanto
√
Z
0 2
2
µjw L/2
1 ∂
e−jkr (z−z ) +a
V
0
−
(I(z )[b
z + 2 ∇] p
dz 0 ).b
z = − δ(z)
4π −L/2
k ∂z
ζ
(z − z 0 )2 + a2
√
Z L/2
0 2
2
∂ 2 e−jkr (z−z ) +a
4π V 2
0
2
I(z )[k + 2 ] p
dz 0 =
k δ(z)
0
2
2
∂z
jwµ
ζ
(z − z ) + a
−L/2
ademas sabemos que k 2 = w2 µ, luego
√
0 2
2
∂ 2 e−jkr (z−z ) +a
V
p
I(z )[k + 2 ]
dz 0 = −4πjw δ(z)
0
2
2
∂z
ζ
(z − z ) + a
−L/2
Z
L/2
0
2
(4.5)
esta formulacion para la antena lineal es conocida como la ecuacion integral de Pocklington. Las caracteristicas de la radiación son detrminadas del
conocimiento de la distribucion de corriente en la antena Iz (z 0 ), de las diversas tecnicas disponibles para resolver esta ecuacion integral, el método
de momentos es una de las mas populares en la industria.
11
4.3.
Aplicando el método de momentos
El procedimiento de solución se inicia definiendo la desconocida distribución de corriente Iz (z 0 ) in terminos de un conjunto ortogonal de funciones
base. En la figura se muestra algunas construcciones de las funciones base,
Figura 4.2: Funciones base en subdominios.[5]
donde se mantiene la continuidad de la distribucion de corriente a lo largo
de la antena. Discretizamos el dominio fı́sico de las fuentes en un números
N de tramos tomando N + 1 puntos zn0 con separación conastante h = L/N
entonces zn0 = nh con n = 0, 1, 2, ...N . Luego elegimos las funciones base de
tal forma que se asemejen a la distribución de corrriente, elegimos las del
tipo triángulo sinusoidal:
0
I(z ) =
N
X
In fn (z 0 )
(4.6)
n=1
con
 sen k[z 0 −h(n−1)]

, si nh ≤ z 0 ≤ (n − 1)h

sen kh
0
]
fn (z 0 ) = sen k[h(n−1)−z
, si (n + 1)h ≤ z 0 ≤ nh
sen kh


0,
resto
donde n = 1, 2, ..., N − 1. La amplitud de estas funciones representan los
coeficientes de la funcion expandida.
Definimos las funciones de prueba en terminos del delta de Dirac.
Wm = δ(z − zm )
(4.7)
donde zm son los puntos especificos en la antena en el cual las condiciones
de contorno se cumplen, corresponden al punto medio de de cada función
de base. es decir Zm = mh con m = 1, 2, ..., N
12
4.3.1.
Matriz de impedancia
La matriz de impedancia esta dado por
Zm,n = hwm , Lfn i
reemplazando, tenemos
√
)
2 e−jk (z−z 0 )2 +a2
∂
0
2
0
fn (z )[k + 2 ] p
dz dz
∂z
(z − z 0 )2 + a2
−L/2
(Z
L/2
Z
δ(z − mh)
Zmn =
−L/2
√
0 2
2
∂ 2 e−jk (z−z ) +a
fn (z )[k + 2 ] p
|z=mh dz 0
=
0
2
2
∂z
(z − z ) + a
−L/2
L/2
Z
Zmn
Aproximando
L/2
∂2f
∂z 2
0
2
(4.8)
mediante diferencias finitas(Apendice):
∂2f
1
≈ 2 [f (z − h) − 2f (z) + f (z + h)]
∂z 2
h
√
√
√
√
!
"
#
0 2
2
0 2
2
0 2
2
0 2
2
1
2e−jk (z−z ) +a
e−jk (z+h−z ) +a
e−jk (z−z ) +a
e−jk (z−h−z ) +a
p
≈ 2 p
− p
+p
h
(z − z 0 )2 + a2
(z − h − z 0 )2 + a2
(z − z 0 )2 + a2
(z + h − z 0 )2 + a2 z=mh
∂2f
∂z 2
reemplazando
Z
L/2
0
Zmn =
fn (z )[k
−jkRm
2e
Rm
−L/2
Zmn =
1
h2
Z
L/2
fn (z 0 )[
−L/2
1
+ 2
h
e−jkRm−1
e−jkRm
e−jkRm+1
−2
+
]dz 0
Rm−1
Rm
Rm+1
e−jkRm−1
e−jkRm e−jkRm+1
+ (k 2 h2 − 2)
+
]dz 0 (4.9)
Rm−1
Rm
Rm+1
p
donde, Rm = (mh − z 0 )2 + a2
∂2
0
La integral en z 0 se puede resolver asumiendo que (k 2 + ∂z
2 )g(r, r ) se
mantiene uniforme en el subdominio fuente [4]. de donde obtenemos:
Zmn
1 e−jkRm−1,n
e−jkRm,n
e−jkRm+1,n
= 2[
+ (k 2 h2 − 2)
+
]
h
Rm−1,n
Rm,n
Rm+1,n
Z
L/2
fn (z 0 )dz 0
−L/2
(4.10)
p
donde, Rm,n = [(m −
Resolviendo la integral:
Z
L/2
0
0
Z
n)h]2
(nh)
fn (z )dz =
−L/2
(n−1)h
+
a2
Z (n+1)h
senk[z 0 − h(n − 1)] 0
senk[h(n + 1) − z 0 ] 0
dz +
dz
senkh
senkh
nh
tenemos que:
Z
L/2
fn (z 0 )dz 0 =
−L/2
4sen2 ( kh
2 )
ksenkh
reemplazando en (4.10), obtenemos:
Zmn =
1 e−jkRm−1,n
e−jkRm,n e−jkRm+1,n 4sen2 ( kh
2 2
2 )
[
+(k
h
−2)
+
]
(4.11)
2
h
Rm−1,n
Rm,n
Rm+1,n
ksenkh
13
Ahora, llenamos los valores conocidos para el vector columna V , dado por:
Vm = hwm , vi
Vm =
Z
V
δ( z − mh), −4πjw
ς
L/2
δ( z − mh) − 4πjw
Vm =
−L/2
V 0
dz
ς
(
−4jπw Vς , para m =
Vm (z ) =
0,
resto
0
(4.12)
N +1
2
Teniendo Zmn y Vm podemos calcular los coeficientes In de la relación (2.9)
[I] = [Z]−1 [V]
4.4.
Programación
La codificación puede hacerse en cualquier lenguaje de máquina, o usando software como Matemática o Matlab, incluso existen códigos comerciales,
como el NEC (Numerical Electromagnetic Code)[ver apendice A], que es util
en la solución de varios problemas y que emplea las ecuaciones resuelta por
el Método de Momentos pero que tiene limitaciones, principalmente para
estructuras complicadas que requieren qran cantidad de segmentaciones. En
este trabajo usamos el software matemático Matlab por su sencilla manipulación de matrices y la representación de datos y funciones.
A continuación explicamos el prcedimiento seguido para la solución de
nuestro problema.
Primero llenamos la matriz de impedancia Zmn
c1 =1/(2∗ pi ∗ s i n ( 2 ∗ pi ∗h ) ) ;
c2 = 4∗ s i n ( pi ∗h ) ∗ s i n ( pi ∗h ) ;
c3=c1 / c2 ;
Z = zeros (N,N ) ;
f o r m=1:N ;
f o r n=1:N;
Z (m, n)= c3 . / ( h∗h ) ∗ ( exp(−1 j ∗2∗ pi ∗ sqrt ( ( (m−n−1)∗h)ˆ2+ a ˆ 2 ) ) / sqrt ( ( (m−n−1)∗h)ˆ2+ a ˆ 2 ) . . .
+(k∗k+h∗h−2)∗exp(−1 j . ∗ 2 . ∗ pi . ∗ sqrt ( ( (m−n ) . ∗ h)ˆ2+ a ˆ 2 ) ) / sqrt ( ( (m−n ) . ∗ h ).ˆ2+ a ˆ 2 ) . . .
+exp(−1 j . ∗ 2 . ∗ pi . ∗ sqrt ( ( (m−n +1).∗ h)ˆ2+ a ˆ 2 ) ) / sqrt ( ( (m−n +1).∗ h ).ˆ2+ a ˆ 2 ) )
end
end
El llenado del vactor de valores conocidos se logra arreglando los valores
de la ecuación(4.12) en un vector columna Vm . Los coeficientes In de las
funciones base se obtiene al invertir la matriz Zmn y multiplicarla por el
vector Vm .
V=zeros (N, 1 ) ;
V( (N+1)/2) = (−1 j ∗8∗ pi ∗ pi ) . / ( e t a ∗ gap ) ;
Z=Z ;
z = [ Z]ˆ −1;
I = z ∗V
con estos valores podemos tener la distribucion de la corriente a lo largo
del alambre.
14
4.4.1.
Patrón de radiación
El patrón de radiación es una de las caracteristicas más importantes de
una antena, porque describe el comportamiento direccional de la energı́a
que radia. Basicamente es una función que asocia a cada posible dirección
de radiación, un valor proporcional a la densidad de potencia que radia la
antena en dicha dirección. El patrón de radiación de una antena no depende
de la distancia entre un punto y la antena; y simplemente indica la cantidad
de potencia que fluye en cada dirección, referenciada a la potencia que fluye
en otras direcciones. Dado por [4]
F (θ) =
|Nθ (θ)|
|Nθ (π/2)|
R
0
donde: Nθ (θ) = [ I(z 0 )ebz ejkz cosθ dz 0 ].ebθ F (θ) se puede estimar, numerica-
Figura 4.3: vector de radiacion[4]
mente, para un conjunto de k valores
P del ángulo θ. Para ello reemplazamos
I(z 0 ) por su aproximación I(z 0 ) ≈ n In fn (z 0 )
Z X
0
Nθ (θ) = −senθ
In fn (z 0 )ejkz cosθ dz 0
n
con θ = {θ0 , θ1 , . . . , θk }
15
Capı́tulo 5
Resultados
Prueba 1
Descripción
longitud de onda (normalizada)
gap de alimentacion
impendancia intrinseca eel vacio
longitud de la antena
radio transversal de la antena
Voltaje
Número de tramos
Funciones base.
Figura 5.1: funciones base
16
sı́mbolo
λ
ς
p
η = µ/
L
a
V
NT
valor
1
0.01 λ
377
0.5 λ
0.001 λ
1
20
Distribución de los coeficientes In de las funciones base.
Figura 5.2: Distribucion de coeficientes
Distribución de la corriente.
Figura 5.3: Distribucion de corriente
17
patrón de radiación L = 0,5λ .
Figura 5.4: Patron de radiacion
Prueba 2
Mismas condiciones anteriores con longitud de la antena L = 1λ y numero de tramos N T = 80.
Figura 5.5: Distribucion de coeficientes
Distribución de la corriente.
18
Figura 5.6: Distribucion de corriente
patrón de radiación L = λ.
Figura 5.7: Patron de radiacion
19
Conclusiones
Usamos el método de los momentos aplicado a la antena lineal para
poder determinar de forma aproximada la distribución de corriente y el
patron de radiación. La simulación de la antena se realizó con el programa
de Matlab, el patrón de radiación calculado fue de acuerdo a lo esperado;
estas son vaidadas con las simulaciones que se realizaron con el 4Nec2. Al
mismo tiempo, se pueden realizar nuevas implementaciones y mejoras al
código cambiando las funciones base y las funciones de prueba.
20
Bibliografı́a
[1] V.V. Nikolski, Electrodinámica y propagación de ondas de radio, MIR,
Moscú, 1980.
[2] J.D. Jackson, Electrodinámica clásica,2da edición, Jhon Wiley-Sons,
España, 1980.
[3] J. L. Fernándes, Contribución al estudio de antenas en las cercanias de
cuerpos conductores aplicando el método de los momentos y modelado
por hilos.Universidad Politecnica de Madrid, 1985.
[4] A. Zozaya. Caracterización de antenas lineales usando el método de los
momentos. Laboratorio de electromagnetismo aplicado. Universidad de
Carabobo.
[5] The Method of Moments: A Numerical Technique for Wire Antenna
Design. By W.D. Rawle. Smiths Aerospace
http://www.highfrequencyelectronics.com/Archives/Feb06/HFE0206_Rawle.pdf
[6]
http://home.ict.nl/~arivoors/
21
Apéndice A
NEC(Numerical
Electromagnetics Code)
En 1981, G. J.Burge [4], en un rreporte de investigación para Lawrence
Livermore Laboratory, usando un código anterior, llamado AMP(Antena
Modeling Program), desarrolló el código NEC (Numerical Electromagnetics
Code), un programa para el análisis de la respuesta electromagnetica de
antenas y otras estruccturas. El código está construido, empleando el Método
de los momentos, a partir de la solucı́ón de ecuaciones integrales de las
corrientes inducidas en la estructura, tanto para fuentes como para campos
incidentes.
Este programa existen en sus versiones para Unix, Linux y windown, dada la
fecha de origen, está orientado hacia el uso de tarjetas perforadas y Fortan.
no tiene interface gráfica y todo el proceso de visualizacion de resultados
debe hacerse en el post-procesamiento. Usando el núcleo computacionalse
han desarrollado diversas interfaces de mayor sencillez, desafortunadamente
son comerciales. en este trabajo utilizamos el 4nec2 que se puede descargar
directamente del link:
http://home.ict.nl/~arivoors/4nec2zip.zip
4nec2c es un NEC2 completamente libre, herramientas basadas en la creación
visualización, optimización y control en 2D y 3D de la estructura geometrica
de la antena. Permite generar patrones de radiación del campo cercano y
lejano. A continuacion mostramos la aplicación a la antena lineal. [6]
A.1.
Ejemplo1. Antena lineal
Parametros iniciales y geometrı́a:
22
Figura A.1: Ventana principal y geometria
Figura A.2: Patron de radiacion
23
Figura A.3: E(θ)
Figura A.4: E(φ)
24
Apéndice B
B.1.
Diadas
~ B,
~ se lee “vector
Una diada consiste en la yuxtaposición de dos vectores, A
~
~
A veces el vector B” y es denominado producto diático. El resultado de este
producto, que es la misma diada, se puede expresar en forma matricial como
~ y un
el producto de un vector columna con las componentes del vector A
~
vector fila con las componentes del vector B, es decir mediante el producto
~B
~T.
A
 


b1
a1 b1 a1 b2 a1 b3
b 2 
~B
~ = a1 a2 a3 a4   = a2 b1 a2 b2 a2 b3 
A
b 3 
a3 b1 a3 b2 a3 b3
b4
La diádica ∇~r = e1 e1 + e2 e2 + e3 e3 se conoce como diádica unitaria, y se
suele asignar como I.
Propiedades.
~B
~ 6= B
~A
~
En general A
~ A
~B
~ = (C.
~ A)
~ B
~
C.
~ = I.A
~=A
~
A.I
B.2.
Código utilizado
function momentos ( L ,NT)
lambda =1;
gap =0.01∗ lambda ;
eta = 377;
L = lambda ;
a =0.001∗ lambda ;
NT=50;
N=NT−1;
h=L/NT;
k=2∗pi / lambda ;
%% % % % % % % % % % %
c1 =1/(2∗ pi ∗ sin ( 2 ∗ pi ∗h ) ) ;
c2 = 4∗ sin ( pi ∗h ) ∗ sin ( pi ∗h ) ;
c3=c1 / c2 ;
Z = zeros (N,N ) ;
25
f o r m=1:N ;
f o r n=1:N;
Z (m, n)=c3 / ( h∗h ) ∗ ( exp(−1 j ∗2∗ pi ∗ sqrt ( ( (m−n−1)∗h)ˆ2+a ˆ 2 ) ) / sqrt ( ( (m−n−1)∗h)ˆ2+ a ˆ 2 ) . . .
+(k∗k+h∗h−2)∗exp(−1 j . ∗ 2 . ∗ pi . ∗ sqrt ( ( (m−n ) . ∗ h)ˆ2+a ˆ 2 ) ) / sqrt ( ( (m−n ) . ∗ h ).ˆ2+ a ˆ 2 ) . . .
+exp(−1 j . ∗ 2 . ∗ pi . ∗ sqrt ( ( (m−n +1).∗ h)ˆ2+a ˆ 2 ) ) / sqrt ( ( (m−n +1).∗ h ).ˆ2+ a ˆ 2 ) )
;
end
end
%% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
V=zeros (N, 1 ) ;
V( (N+1)/2) = (−1 j ∗8∗ pi ∗ pi ) / ( e t a ∗ gap ) ;
%% % % % %
z = [ Z]ˆ −1;
I = z ∗V;
%% % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
x=−L/2+h : h : L/2−h ;
x=x ’ ;
I=I . ∗ ( abs ( x)>gap ) ;
subplot ( 2 , 2 , 1 )
plot ( x , abs ( I ) , ’ rx ’ )
xlabel ( ’ z \ prime /\ lambda ’ )
ylabel ( ’ I n ’ )
axis ([ −L/2 L/2 . 9 ∗ min( abs ( I ) ) 1 . 1 ∗max( abs ( I ) ) ] )
t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n de l o s c o e f i c i e n t e s ’ )
Nx=10∗NT; % numero de m u e s t r a s de l a c o r r i e n t e
hx=L/ (Nx ) ; % paso para e l computo de l a s f u n c i o n e s b a s e s
x2=linspace ( 0 , L , Nx ) ; % s u b e s p a c i o x ’
i=zeros ( 1 , Nx ) ; % v e c t o r de m u e s t r a s de l a c o r r i e n t e
f 1=zeros (N, Nx ) ;
f 2=zeros (N, Nx ) ;
length ( x2 ) ;
c3=1/ sin ( 2 ∗ pi ∗h ) ;
f o r n=1:N;
f 1 ( n , : ) = sin ( 2 ∗ pi . ∗ ( ( n+1)∗h−x2 ) ) . ∗ ( ( x2 >(n∗h ))&( x2<(h ∗ ( n + 1 ) ) ) ) ;
f 2 ( n , : ) = sin ( 2 ∗ pi . ∗ ( x2 −(n−1)∗h ) ) . ∗ ( ( x2 <(n∗h ))&( x2>(h ∗ ( n − 1 ) ) ) ) ;
i=i+I ( n ) . ∗ c3 . ∗ ( f 1 ( n , : ) + f 2 ( n , : ) ) ;
end
%% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
y=−L/2+hx / 2 : hx : L/2−hx / 2 ;
subplot ( 2 , 2 , 2 )
plot ( y , c3 ∗ ( f 1 ( 1 , : ) + f 2 ( 1 , : ) ) , y , c3 ∗ ( f 1 ( 2 , : ) + f 2 ( 2 , : ) ) , y , c3 ∗ ( f 1 ( 3 , : ) + f 2 ( 3 , : ) ) )
xlabel ( ’ z \ prime /\ lambda ’ )
ylabel ( ’ f n ( z \ prime ) ’ )
axis ([ −L/2 L/2 0 1 ] )
t i t l e ( ’ funciones bases ’ )
legend ( ’ f 1 ( z \ prime ) ’ , ’ f 2 ( z \ prime ) ’ , ’ f 3 ( z \ prime ) ’ )
%% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
subplot ( 2 , 2 , 3 )
plot ( y , abs ( i ) , x , abs ( I ) , ’ rx ’ )
axis ([ −L/2 L/2 min( abs ( i ) ) ∗ . 9 1 . 1 ∗max( abs ( i ))+ eps ∗ 1 0 ] )
t i t l e ( ’ D i s t r i b u c i o n e s de c o e f i c i e n t e s y de c o r r i e n t e ’ )
xlabel ( ’ z \ prime /\ lambda ’ )
legend ( ’ I ( z \ prime ) ’ , ’ I n ’ )
xlabel ( ’ z \ prime /\ lambda ’ )
ylabel ( ’ I n , I ( z \ prime ) ’ )
26
%% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
t h e t a=linspace ( 0 , 2 ∗ pi , 4 0 ) ;
c t h e t a=diag ( cos ( t h e t a ) ) ;
x t h e t a=repmat ( y ’ , 1 , length ( c t h e t a ) ) ∗ c t h e t a ;
i;
N=i ∗exp ( 1 j ∗2∗ pi ∗ x t h e t a ) ; % v e c t o r de r a d i a c i \ ’ { o}n
Atheta=N. ∗ sin ( t h e t a ) ; % A t h e t a en l a zona l e j a n a
subplot ( 2 , 2 , 4 )
polar ( t h e t a , abs ( Atheta ) . /max( abs ( Atheta ) ) ) ;
t i t l e ( ’ p a t r o n de r a d i a c i o n ’ )
27