1.Un triangulo equilátero OAB cuyo lado tiene una longitud a está

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GEOMETRIA ANALITICA- PROF. ANNA LUQUE
[UNEFA]
1.Un triangulo equilátero OAB cuyo lado tiene una longitud a está colocado
de tal manera que el vértice 0 está en el origen, el vértice A esta sobre el eje
de las X y a la derecha Y de 0, y el vértice B está arriba del AB eje X. Hallar
las coordenadas de los vértices A y B y el Área del triángulo.
SOLUCION: Como
= a, la abscisa del punto A es a. También, por estar A
sobre 0 el eje de las X, su ordenada es 0.
vértice A son (a, 0). Si trazamos la altura
Par tanto, las coordenadas del
, perpendicular al lado OA, sabemos,
por la Geometría elemental, que C es el punto medio de
de C es . Como
. Por tanto, la abscisa
es paralela al eje Y, la abscisa del punto B es también
. La
ordenada de B se obtiene ahora muy fácilmente por el teorema de Pitágoras;
dicha ordenada es:
Las coordenadas del vértice son:
El Área del triángulo A=b.h/2 =
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2. Calcular el perímetro del triángulo cuyos vértices son: A(-4,6), B(6,2) y
C(4,-4).
SOLUCIÓN: Sustituyendo valores en la formula de la distancia en cada caso se
tiene:
B C = 6.32
A C = 12.80
A B = 10.77
Por tanto, por conocimientos previos sabemos que el perímetro de una figura es la
suma de la longitud de sus lados, por lo tanto tenemos que:
Perímetro = A B + A C + B C = 29.89 unidades lineales.
3. Determinar todos los puntos de Q que, además de distar 5 unidades del
punto A(1,2), disten 2 unidades del eje de las x. Graficar.
SOLUCION:
2
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Suponiendo que, por lo menos, haya un punto Q(x, y) que satisfaga las
condiciones del enunciado, aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos
se tiene:
Q A = (x -1)² + (y - 2)² = 5²
Pero como la distancia del punto Q al eje de las x debe ser de 2 unidades, dicha
distancia no es más que la ordenada del punto Q, la que puede ser positiva o
negativa, por lo que estamos en obligación de considerar los dos signos y hacer
las correspondientes sustituciones en la ecuación:
Para y = 2, tenemos:
(x - 1)² + (2 - 2)² = 25
( x -1)² = 25
Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros: x - 1= ± 5
De la expresión anterior, se obtiene:
X1 - 1= 5
x1= 6
X2 - 1 = -5
x2= -4.
Así, los dos primeros puntos que resuelven nuestro problema, son:
Q1(6,2);Q2(-4,2)
De la misma manera, ahora para y = -2, tenemos:
(x - 1)² + (-2 - 2 )² = 25
Extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros: x - 1 = ± 3
De la expresión anterior, se obtiene:
X3 = 4
X4 = -2
Por consiguiente, otras dos soluciones del problema están dadas por los puntos:
Q3(4,-2);Q4(-2,-2)
3
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4. Demostrar que los puntos P1(3,3) P2(-3,-3) Y P3(-3
de un triángulo equilátero. Graficar.
,3
) son vértices
Solución: aplicando la fórmula de longitud obtenemos que:
Podemos demostrar que el triángulo es equilátero, ya que todos sus lados son de
igual longitud.
5. Si P1 (- 4. 2) y P2 (4, 6) son los puntos extremos del segmento dirigido P1
P2. Hallar las coordenadas del punto P (x, y) que divide a este segmento en
la razón P1P : PP2 = - 3.
SOLUCION: Como la razón r es negativa, el punto de división P es externo. Si
aplicamos las siguientes fórmulas obtenemos:
Datos:
P1 (- 4. 2)
P2 (4, 6)
r=-3
Sustituimos:
X
Y
Las coordenadas del punto P que dividen al segmento en la razón dada es
P(8,8)
4
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6.Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los
puntos (1, 6 ) y (5, - 2). Graficar.
Solución.
Aplicando la formula de la pendiente obtenemos
La pendiente es negativa.
Para el cálculo del ángulo de inclinación aplicamos;
α arc tg (α)
α arc tg (-2) = 116º 34´.
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Ejercicios Propuestos
1. Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: (- 5, 6);
(3, - 7 ) y ( - 8 , -12). Graficar.
2. La distancia entre dos puntos es 9. Si uno de los puntos es (- 2 , Y) .hallar
el valor de Y.
3. Hallar el punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los
puntos (- 7, - 19).
4. Un cuadrado, de lado igual a 2a, tiene su centro en el origen y sus lados
son paralelos a los ejes coordenados. Hallar las coordenadas de sus
cuatro vértices.
5. Los puntos extremos de un segmento son P1(2, 4) y P2 (8. - 4) .Hallar el
punto P ( x , Y) que divide a este segmento en dos partes tales que P2P
: PPI = - 2.
6. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8 ) y su punto
medio es (4, 3). Hallar el otro extremo.
7. Los extremos de un segmento son los puntos P1(7, 4) y P2(-1, -4).Hallar
la razón P1P : PP2 en que el punto P (1,- 2) divide al segmento.
8. Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2, 5 ) , (4, 2) y(1. 1).
Hallar las coordenadas de los tres vértices.
9. Los vértices de un triángulo son A (- 1. 3 ) , B (3, 5) y C (7, - 1) .Si D es el
punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, demostrar
que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC.
10. Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2, - I ) , (7, - 1) y (7, 3) .
Hallar el cuarto vértice y el área del rectángulo.
11. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1, - 2),(4,- 2) y (4,
2). Determinar las longitudes de los catetos y después calcular área del
triángulo y la longitud de la hipotenusa.
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12. Demostrar que los puntos (0, 0). (3. 4), (8, 4) y (5. 0) son los vértices de
un rombo, y calcular su área.
13. Determinar el ángulo de inclinación de cada una de las siguientes rectas
dirigidas: a) El eje X . b) El eje Y. c) Una recta paralela a1 eje X y dirigida
hacia la derecha. d ) Una recta paralela a1 eje X y dirigida hacia la
izquierda.
14. Dígase la pendiente de cada una de las siguientes rectas dirigidas: a ) El
eje X. b) Una recta paralela a1 eje X y dirigida ya sea a la derecha o a la
izquierda. c ) La recta que pasa por el origen y biseca a1 cuadrante I. d )
la recta que pasa por el origen y biseca a1 cuadrante I1.
15. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinaci6n de la recta que pasa por los
puntos (- 3, 2) y (7. - 3 ) .
16. Los vértices de un triángulo son los puntos (2. – 2), (- 1, 4) y (4. -5) .
Calcular la pendiente de cada uno de sus lados.
17. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos (9 , 2); (11, 6);
, 5) y ( 1 , 1) son vértices de un paralelogramo.
(3
18. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2) . La abscisa de otro
punto de la recta es 4. Hallar su ordenada.
19. Una recta de pendiente - 2 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B.
Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6, ¿cuál es la abscisa de A
y cual la ordenada de B?
20. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º. La recta inicial pasa por
los puntos (- 2. 1) y (9, 7) y la recta final pasa por el punto (3, 9) y por el
punto A cuya abscisa es - 2. Hallar la ordenada de A.
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