13. Calor y energía - IES Cerro del Viento

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13. Calor y energía
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Calor y energía
PRESENTACIÓN
La termodinámica es una de las áreas de la física donde los sistemas tienen comportamientos
no lineales, donde la energía no se conserva y se degrada y donde la línea del tiempo está dirigida
por una magnitud física. Dominar estos conceptos es una labor complicada, pero introducirlos
y familiarizarse con ellos es un objetivo al alcance de un alumno de bachillerato.
OBJETIVOS
• Repasar los fundamentos básicos de la teoría cinético-molecular de la materia.
• Diferenciar claramente calor y temperatura.
• Saber cómo se transfiere la energía entre los cuerpos.
• Saber cuáles son los efectos que el calor causa sobre los cuerpos.
• Saber de qué depende la sensación de frío o de calor que tenemos cuando tocamos objetos
situados en una misma habitación.
• Conocer la experiencia de Joule y su importancia para comprender los fenómenos
relacionados con el calor.
• Entender el concepto de entropía y su relación con la teoría cinética y la flecha del tiempo.
CONTENIDOS
CONCEPTOS
• Termodinámica. Sistemas formados por muchas partículas. Sistemas termodinámicos.
• Relación entre energía, temperatura y calor.
• El principio cero de la termodinámica.
• Temperatura. Medida de la temperatura: termómetros. Significado microscópico
de la temperatura.
• El cero absoluto. ¿Por qué usamos la escala Kelvin?
• Transferencias de energía. Calor y trabajo.
• Efectos del calor.
– Aumento de la temperatura: el calor específico.
– Cambios de estado: calor latente.
– Dilatación de sólidos, líquidos y gases.
• El calentamiento global del planeta.
• Mecanismos de transmisión del calor.
– Transmisión de calor por conducción.
– Transmisión de calor por convección.
– Transmisión de calor por radiación.
• Conservación de la energía: el primer principio de la termodinámica.
• La energía interna. El principio de conservación de la energía.
• El equivalente mecánico del calor: la experiencia de Joule.
• El segundo principio de la termodinámica: la entropía.
• Entropía y la segunda ley de la termodinámica. Entropía y probabilidad.
• La entropía y el desorden. La entropía y la flecha del tiempo.
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쮿 GUÍA DE FÍSICA Y QUÍMICA 1.° Bachillerato 쮿 MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 쮿
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PROGRAMACIÓN DE AULA
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PROCEDIMIENTOS, • Interpretar gráficas y tablas.
DESTREZAS
• Resolver problemas numéricos en los que tiene lugar un equilibrio térmico.
Y HABILIDADES
• Interpretar esquemas en los que se indica el flujo de energía entre dos cuerpos o sistemas.
• Interpretar esquemas en los que se muestran las partículas que forman la materia
y su movimiento, y relacionar este movimiento con la temperatura.
• Calcular de manera cuantitativa los efectos que causa el calor: dilatación de cuerpos,
cambios de estado o aumento de temperatura.
• Elaborar gráficas que muestren el aumento de temperatura o los cambios de estado
que se producen en una sustancia en función del tiempo.
• Interpretar gráficos de líneas, barras o sectores relacionados con el calentamiento global
de la Tierra.
ACTITUDES
• Adoptar hábitos encaminados a ahorrar energía.
• Valorar las medidas tomadas por los organismos correspondientes y encaminadas
a solucionar el problema del calentamiento global.
• Mostrar gusto por buscar explicaciones racionales a los fenómenos que se producen
en la naturaleza.
EDUCACIÓN EN VALORES
1. Educación medioambiental
El calentamiento global del planeta es un problema serio en nuestros días. En una unidad donde el calor
es el protagonista no podemos dar la espalda a este asunto, aunque muchos de los tópicos que aparecen
al abordarlo caen fuera del mundo de la física.
Es particularmente importante destacar a los alumnos que no basta con comprometerse a lograr algo.
Los compromisos adoptados a nivel internacional deben cumplirse. Algunos países recibieron fuertes críticas
por no suscribir el compromiso de Kioto, pero las críticas deberían ser las mismas para aquellos
que se comprometieron y que no están cumpliendo sus promesas.
2. Educación para el consumo responsable
Cuando la energía se degrada se transforma en calor. Y es difícil transformar el calor de nuevo en energía.
Para conseguirlo es necesaria una fuente a temperatura menor y no resulta energéticamente rentable cuando
la fuente se consigue artificialmente. La idea de pérdida efectiva de energía cuando se convierte en calor genera
responsabilidad medioambiental sobre el alumno y favorece un consumo responsable.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1. Interpretar gráficas y tablas relacionadas con el calentamiento de una sustancia.
2. Resolver problemas numéricos en los que tiene lugar un equilibrio térmico.
Con cambios de estado o sin ellos.
3. Relacionar el movimiento microscópico de las partículas que forman la materia
con la temperatura.
4. Explicar el concepto de entropía y relacionarlo con los conceptos de probabilidad
y de flecha del tiempo.
5. Calcular de manera cuantitativa los efectos que causa el calor: dilatación de cuerpos,
cambios de estado o aumento de temperatura.
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PROBLEMAS RESUELTOS
EQUILIBRIO TÉRMICO
PROBLEMA RESUELTO 1
Se mezclan 50 g de agua a 60 °C con amoniaco a 30 °C. Calcula la temperatura final de la mezcla.
a) Si la cantidad de amoniaco es 100 g, halla la temperatura final de la muestra.
b) Si la temperatura final de la muestra es 40 °C, calcula la cantidad de amoniaco.
Datos: calores específicos en J/(kg ⋅ K): agua = 4180; amoniaco = 4700.
Planteamiento y resolución
a) Cuando se mezclan los 50 g de agua a 60° con los 100 g de amoniaco a 30 °C el agua cede calor al amoniaco
hasta que las temperaturas de ambos se igualan de manera que:
⏐Qcedido⏐ = ⏐ Qabsorbido⏐
O bien:
⏐cagua ⋅ magua ⋅ ΔT⏐ = ⏐camoniaco ⋅ mamoniaco ⋅ ΔT⏐ →
→ 4180 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,05 kg ⋅ ⏐t − 60⏐°C = 4700 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,1 kg ⋅ ⏐t − 30⏐ °C
Como la temperatura de equilibrio es mayor que 30 °C y menor que 60 °C, se tiene:
4180 ⋅ 0,05 ⋅ (60 − T) = 4700 ⋅ 0,1 ⋅ (T − 30) → 209 ⋅ (60 − T) = 470 ⋅ (T − 30) →
→ 12 540 + 14 100 = 679 ⋅ T → T = 39 °C
Y por tanto:
T = 312 K
b) Las ecuaciones del equilibrio térmico establecen de nuevo que el calor cedido por el agua ha de ser igual,
en valor absoluto, al absorbido por el amoniaco:
⏐Qcedido⏐ = ⏐ Qabsorbido⏐
Como la temperatura final de la muestra es 40 °C, se tiene que:
⏐cagua ⋅ magua ⋅ ΔT⏐ = ⏐camoniaco ⋅ mamoniaco ⋅ ΔT⏐ →
→ 4180 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,05 ⋅ ⏐40 − 60⏐ °C = 4700 J/(kg ⋅ K) ⋅ mamoniaco ⋅ ⏐40 − 30⏐ °C →
→ 4180 = 47 000 ⋅ mamoniaco → mamoniaco = 0,089 kg
El agua se mezcla con 89 g de amoniaco.
ACTIVIDADES
1
El calor específico del asfalto
es de 920 J/(kg ⋅ K). Si un tramo de carretera
tiene 6 toneladas de asfalto y recibe
del Sol 500 000 J, calcula el aumento
de temperatura que experimenta,
suponiendo que no se produce intercambio
de calor con la atmósfera
ni con el subsuelo.
3
Sol.: 36,4 °C.
Sol.: 11 K.
4
2
580
Se ponen en contacto 50 g de hierro
a 10 °C, 80 g de cobre a 30 °C y 100 g
de plomo a 50 °C. Calcula la temperatura
final.
Datos de calores específicos en J/ (kg ⋅ K):
hierro = 450; cobre = 385; plomo = 127.
Sol.: 27 °C.
Una sustancia con calor específico 0,2 cal/(g ⋅ °C)
que está inicialmente a 70 °C se pone
en contacto con la misma cantidad de otra
sustancia de calor específico 0,5 cal/(g ⋅ °C).
La temperatura final cuando se llega
al equilibrio es de 46 °C. Calcula la temperatura
inicial de la segunda sustancia.
Se rodea un cubito de hielo de 30 g a −20 °C
con un papel de aluminio de a −3 °C.
Si la temperatura final es de −18 °C, calcula
la masa del papel de aluminio con el que
se rodeó al cubito de hielo.
Datos de calores específicos en cal/(g ⋅ K):
hielo = 0,55; aluminio = 0,212.
Sol.: 10,4 g.
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PROBLEMAS RESUELTOS
CAMBIOS DE ESTADO
PROBLEMA RESUELTO 2
Un vaso contiene 200 g de agua a 20 °C. Se añade un cubito de hielo de 20 g que está a −10 °C.
a) Calcula la temperatura final cuando se llegue al equilibrio térmico.
b) ¿Cuánto hielo a −10 °C habría que haber añadido para congelar completamente los 200 g de agua?
Datos: calores específicos: agua = 1 cal/(g ⋅ °C); hielo = 0,5 cal/(g ⋅ °C);
calor latente de fusión del hielo = 80 cal/g.
a) Dadas las cantidades y temperaturas iniciales, parece razonable suponer que el estado final será
agua líquida a una temperatura por encima de 0 °C.
El calor absorbido por el hielo es igual, pero de signo contrario, al calor cedido por el agua:
Qabs(hielo) = −Qced(agua)
Sustituyendo los datos:
mhielo ⋅ chielo ⋅ (Tf − T0) + mhielo ⋅ Lfusión + mhielo ⋅ cagua ⋅ (Tf − T0) = magua ⋅ cagua ⋅ (T0 − Tf) →
→ 20 ⋅ 0,5 ⋅ [0 − (−10)] + 20 ⋅ 80 + 20 ⋅ 1 ⋅ (tf − 0) = 200 ⋅ 1 ⋅ (20 − Tf) → Tf = 10,45 °C
b) Ahora la temperatura final es conocida, 0 °C, y la incógnita pasa a ser la masa de hielo:
Qabs(hielo) = −Qced (agua)
Sustituyendo los datos:
mhielo ⋅ chielo ⋅ (tf − t0) + mhielo ⋅ Lfusión + mhielo ⋅ cagua ⋅ (tf − t0) = magua ⋅ cagua ⋅ (t0 − tf) →
→ mhielo ⋅ 0,5 ⋅ 10 + mhielo ⋅ 80 = 200 ⋅ 1 ⋅ 20 → mhielo = 47,06 g
ACTIVIDADES
1
Un día de tormenta en el Polo Norte se han
alcanzado los 39 °C bajo cero. Un termómetro
ha estallado debido a la congelación del
mercurio que contenía. Aplicamos vapor
de agua a 100 °C mediante una pistola que
dispara 5 mg de vapor por segundo. ¿Cuál era
la cantidad de mercurio del termómetro si
hemos necesitado 3 s para licuar el mercurio
y llevarlo a 20 °C?
Datos: calor específico del agua = 1 cal/(g ⋅ °C);
calor específico del mercurio = 0,035 cal/(g ⋅ °C);
calor latente de fusión del
mercurio = 2,82 cal/g; calor latente
de vaporización del agua = 540 cal/g.
Temperatura de fusión del mercurio = −39 °C.
Sol.: 1,9 g.
2
3
El foco de un sistema de destilación aplica
sobre el matraz 50 cal por segundo.
Suponiendo que todo el calor se emplee
en calentar los 250 g de un orujo con un 40 %
de alcohol, calcula el tiempo que tarda
en evaporarse el alcohol del orujo.
Datos: calores específicos: agua = 1 cal/(g ⋅ °C);
alcohol = 0,58 cal/(g ⋅ °C); calor latente
de vaporización del alcohol = 216 cal/g;
temperatura de ebullición del alcohol = 78 °C;
temperatura inicial del orujo = 20 °C.
Sol.: 11 min y 13 s.
4
Si ponemos en contacto 50 g de hielo a −5 °C
con 10 g de vapor a 110 °C, ¿cuál será la
temperatura cuando se llegue al equilibrio?
Sol.: 38,75 °C.
¿Cuál era la temperatura inicial de 8 g de vapor
que añadidos a 100 g de agua consiguen que
su temperatura pase de 5 a 60 °C?
Datos: calores específicos: agua = 1 cal/(g ⋅ °C);
vapor = 0,5 cal/(g ⋅ °C); calor latente
de vaporización del agua = 540 cal/g.
Sol.: 315 °C.
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PROBLEMAS RESUELTOS
DILATACIÓN
PROBLEMA RESUELTO 3
Un alumno de primero de Bachillerato empuja un huevo cocido de 4,001 cm de diámetro a través
del cuello de un matraz del laboratorio de 4 cm de diámetro de su instituto. El profesor le pide
que extraiga el huevo del matraz utilizando únicamente calor. El alumno calienta el cuello del matraz
hasta conseguir una dilatación del diámetro del cuello de 0,01 mm. Si la temperatura ambiental
es de 20 °C, ¿qué temperatura alcanza el cuello del matraz?
Dato: coeficiente de dilatación lineal del vidrio: α= 8 ⋅ 10−6 °C−1.
Cuando una corona circular se dilata, lo hace tanto el material como
el «agujero»; de manera que la longitud de la circunferencia exterior
y la interior aumentan en igual proporción que su diámetro. Y ambas
lo hacen según el coeficiente de dilatación lineal del material.
El problema plantea cuántos grados debe calentarse el cuello para
que haya una dilatación de 0,1 cm sobre los 4 cm del diámetro.
Diámetro
G
F
Como la longitud varía con la temperatura según:
L = L0 ⋅ (1 + α ⋅ ΔT)
Entonces:
4,1 cm = 4 cm ⋅ (1 + 8 ⋅ 10−6 °C−1⋅ (Tf − 20 °C)) → (Tf − 20 °C) = 31,25 °C → Tf = 51,25 °C
El cuello del matraz alcanza los 51,25 °C de temperatura.
Resulta quizá más sencillo volcar el matraz para que el huevo tapone su cuello y calentar
el aire para que la presión empuje el huevo.
ACTIVIDADES
582
1
La diferencia de temperatura diurna y nocturna
en el desierto puede superar los 60 °C.
¿En qué proporción aumenta el tamaño
de los granos de arena del desierto
con respecto al volumen que ocupan
durante la noche?
Coeficiente de dilatación lineal del cuarzo:
α= 0,4 ⋅ 10−6 °C−1.
Sol.: 0,0072 %.
2
¿Cuánto se contrae una chapa de acero
de un metro cuadrado de un avión cuando
pasa de la temperatura ambiente a nivel
del mar, 20 °C, a la temperatura troposférica
de −5 °C?
Coeficiente de dilatación lineal del acero:
α= 1,2 ⋅ 10−5 °C−1.
Sol.: Se contrae 9 cm2 o un 0,09 %.
3
Calcula cuánto se dilata un disco de aluminio de
radio 1 m si se aumenta 100 °C su temperatura.
a) Primero estima la dilatación del radio
del círculo.
b) Después calcula la dilatación
con el coeficiente de dilatación superficial,
que es el doble que el lineal.
c) ¿Cuál es la diferencia?
Coeficiente de dilatación lineal del aluminio:
α= 2,4 ⋅ 10−5 °C−1.
Sol.: a) 0,015098 m2.
b) 0,015080 m2.
c) La diferencia es de 18 mm2, o sobre
la dilatación un 0,0018 %.
4
¿Cuál es el calor específico de una sustancia
que se dilata 1 milímetro por cada metro
cuando la temperatura aumenta 50 °C?
Sol.: α = 2 ⋅ 10−5 °C−1.
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EXPERIENCIA EN EL AULA
CALOR Y ENERGÍA
Calentando agua en papel y otros incendios...
Objetivo
Comprobar el comportamiento
de algunas sustancias cuando
se exponen a una fuente
intensa de calor.
Material
• Un mechero Bunsen.
• Un pie y una rejilla para calentar.
• Papel.
• Un poco de agua.
PROCEDIMIENTO
¿Crees que se puede calentar agua en un recipiente de papel?
Presta mucha atención a la hora de realizar las siguientes experiencias.
1. Intenta colocar un papel en la llama, o la rejilla, de un mechero
Bunsen. Al calor de la llama, el papel prende y se quema.
2. Construye un recipiente con el papel, como el que se muestra
en la figura.
3. Llénalo con un poco de agua.
4. Coloca sobre la rejilla al calor del mechero. ¿Qué pasa?
Sorprendentemente el papel, ¡no se quema! Cuando el agua
se consuma empezará la combustión del papel.
CUESTIONES
1
¿Sabes por qué no se quema el papel? Elige la respuesta correcta.
a) Porque el papel es especial.
b) Porque el calor de la llama se invierte en evaporar el agua del recipiente, que es una operación
menos costosa energéticamente hablando que quemar el papel.
c) Porque el mechero emite una llama con una temperatura menor que la necesaria para quemar
el papel.
d) Porque la rejilla no conduce bien el calor.
e) Porque la rejilla conduce mejor el calor que el agua que hay dentro del recipiente.
2
¿El agua es una sustancia conductora del calor? Aporta pruebas que justifiquen tu respuesta.
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EXPERIENCIA DE LABORATORIO
CALOR Y ENERGÍA
Curva de calor del agua
Material
Objetivo
• Un mechero Bunsen.
• Un pie y una rejilla.
• Un vaso de precipitado.
Dibujar experimentalmente
la curva de calor del agua.
• Un termómetro.
• Un reloj o cronómetro.
• 100 g de hielo.
PROCEDIMIENTO
La curva de calor del agua es la curva de temperatura frente al tiempo
que se obtiene cuando se calienta una cantidad de agua en estado
sólido (hielo) con una fuente que irradia calor constante hasta
que el agua, después de licuarse, se evapora.
1. Prepara el montaje del dibujo.
2. Introduce el termómetro entre el hielo.
3. Enciende el mechero.
4. Pon el cronómetro en marcha y mide la temperatura inicial.
5. Cada dos o tres minutos toma medida de la temperatura
y anótala en la tabla.
t (min)
T (°C)
CUESTIONES
584
1
¿Qué ocurre con la temperatura mientras el hielo se funde?
2
Cuando el hielo se ha derretido, la temperatura va aumentando hasta alcanzar un valor
en el que se estabiliza de nuevo. ¿Por qué?
3
Dibuja una gráfica con los valores obtenidos y a continuación interpreta los diferentes tramos
que aparecen en la gráfica.
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APLICACIONES
CALOR Y ENERGÍA
CIENCIA Y TÉCNICA
Té, infusiones y equilibrio térmico
Los termopares
Un termopar es la unión, o soldadura,
de dos conductores diferentes. Cuando se calienta la soldadura, el termopar
genera una fuerza electromotriz que
depende de los materiales del termopar y de la diferencia de temperatura
entre la soldadura caliente y el extremo
libre o soldadura fría.
Esta situación es consecuencia del voltaje que genera el calor en la soldadura
de los conductores, efecto Peltier, y la
diferencia de potencial que se genera
en un conductor sometido a un gradiente de temperatura, efecto Thomson.
Como la corriente generada en un termopar depende solo de los conductores y del gradiente de temperatura, la
medida de corriente generada en un
termopar permite averiguar temperaturas. Un pirómetro es un aparato que
mide temperaturas mediante un termopar. Los pirómetros se usan para medir las altas temperaturas de los cuerpos celestes, o como medida de
seguridad en las calderas de gas... Sin
embargo, la precisión de su medida no
suele superar el grado centígrado.
Un aplicado alumno decide hacer un descanso en una tarde de estudio y tomarse
una infusión. Dispone de un vaso de agua (5 °C) y uno de té caliente (85 °C). El
alumno no quiere aguar su infusión y decide calentar su té introduciéndolo con el
vaso de plástico dentro del agua. Como el calor específico de agua e infusión es
prácticamente el mismo, si no hay pérdida de calor, el equilibrio térmico se alcanza
a 45 °C y el té no se puede beber aún. ¿Puede el alumno enfriar el té por debajo de
la temperatura de equilibrio?
En contra de la intuición de los jóvenes científicos, la respuesta correcta es sí. El
proceso que debe seguir el alumno para enfriar su infusión por debajo de los 45 ° C
es el siguiente:
1. Se separa la mitad del té y se introduce en la mitad del agua, y se aparte el resto
de té y agua. Las mitades que se ponen en contacto alcanzan el equilibrio térmico a 45 °C.
85 °C
5 °C
5 °C
85 °C
2. Después se introduce el té templado en agua fría (5 °C-45 °C), y el té caliente en
agua templada (45 °C-85 °C).
45 °C
85 °C
5 °C
45 °C
3. En el equilibrio la mitad de agua y de té están a 25 °C, y las otras mitades, a 65 °C.
Ahora hay que meter el té caliente (65 °C) en el agua fría (25 °C) y su temperatura en el equilibrio térmico será 45 °C.
65 °C
25 °C
65 °C
25 °C
4. Las dos mitades de té tienen temperaturas de 25 °C y 45 °C, y su equilibrio térmico es 35 °C; una temperatura perfecta para realizar la ingestión.
25 °C
45 °C
Té
45 °C
65 °C
Agua
CUESTIONES
1
Generaliza el proceso descrito haciendo cuatro partes de té y ocho de agua.
2
¿Qué temperatura alcanzaría el té si se opera como describes en el apartado anterior?
3
¿Por qué este planteamiento no contradice el segundo principio de la termodinámica?
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CURIOSIDADES Y ANÉCDOTAS
CALOR Y ENERGÍA
HISTORIA DE LA CIENCIA
Heike Kamerlingh-Onnes
Temperaturas extremas
¿Como podemos alcanzar temperaturas realmente bajas? ¿Hasta qué temperatura
podemos bajar? ¿Cuál es la temperatura más alta que podemos conseguir?
La temperatura está relacionada con la energía cinética de los átomos y, por tanto,
existe un límite en el descenso de la temperatura que corresponde al reposo absoluto de estos. Ese límite son los 0 K, equivalentes a −273 °C aproximadamente.
Nos podemos acercar a dicha temperatura utilizando gases licuados, principalmente nitrógeno y helio. Podemos mantener nitrógeno líquido en un vaso Dewar (esencialmente un termo) correctamente aislado del exterior. Su temperatura de ebullición es de 77 K, unos 196 °C bajo cero. Si echamos dentro del vaso una fruta o una
hoja de lechuga, se congelará instantáneamente y se volverá frágil como un cristal,
de manera que podremos reducirla con facilidad a polvo. Si en lugar de nitrógeno
utilizamos helio líquido, su temperatura de ebullición es de solo 4,2 K, unos 269 °C
bajo cero, solo 4 grados por encima del cero absoluto de temperatura.
Este científico holandés que vivió entre 1853 y 1926 fue el verdadero impulsor del estudio de las bajas temperaturas. Investigó a fondo las propiedades
de gases y líquidos a muy diferentes
temperaturas y presiones y en 1894
fundó el Laboratorio Criogénico de Leiden (Holanda). En 1908 consiguió por
primera vez licuar helio e intentó, aunque sin éxito, fabricar helio sólido. No
sería hasta 1926 cuando uno de sus
discípulos lo logró.
La evaporación del helio a bajas presiones permite enfriar una muestra hasta solo
0,7 K. Si queremos ir aún más allá hay que recurrir a un proceso llamado desimantación adiabática, con el que se logra llegar hasta 0,002 K. Utilizando diversas técnicas combinadas se ha conseguido llegar a la temperatura de solo 800 trillonésimas
de kelvin.
En el otro extremo la temperatura más alta jamás alcanzada en la Tierra es de dos mil
millones de grados conseguida en el laboratorio nacional de Sandía, en Estados Unidos, mediante una máquina llamada máquina Z diseñada para producir enormes
cantidades de rayos X. Los científicos aún están tratando de comprender cómo se
pudo conseguir semejante temperatura, ya que no era el objetivo del experimento.
Para comprender mejor la magnitud del logro, conviene recordar que la temperatura en el interior del Sol es de unos 15 millones de grados.
El disponer de helio líquido permitió a
Kamerlingh-Onnes descubrir que a muy
bajas temperaturas algunos materiales
se vuelven superconductores, lo que
significa que dejan de ofrecer resistencia al paso de la corriente eléctrica.
En 1913 Kamerlingh-Onnes fue galardonado con el premio Nobel de Física.
CUESTIONES
586
1
¿Cuál es la temperatura más baja que alcanza el congelador de tu frigorífico?
2
Busca información sobre las temperaturas más alta y más baja alcanzadas de manera natural
en la Tierra y compáralas con las obtenidas en laboratorio.
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BANCO DE DATOS
CALOR Y ENERGÍA
Calor específico
Sustancia
Calor específico [J/(kg · K)]
Sustancia
Calor específico [J/(kg · K)]
Plomo
127
Asfalto
Oro
129
Amoniaco
4700
Estaño
228
Gasolina
2220
Plata
232
Etanol
2440
Cobre
385
Hidrógeno (gas)
Cinc
390
Mercurio
Hierro
450
Aceite de girasol o de oliva
Aluminio
897
Argón
Magnesio
1020
Grafito
710
920
14300
139
≈1600
520
Vapor de agua
2080
Arena
835
Hielo
2114
Ladrillo
840
Agua
4181
Madera
≈480
Oxígeno (gas)
918
Nitrógeno (gas)
1040
≈500-800
Vidrio
Mármol
880
Calor latente
Sustancia
Temperatura
de fusión (°C)
Calor latente
de fusión (kJ/kg)
Temperatura
de ebullición (°C)
Calor latente de
vaporización (kJ/kg)
−114
105
78
846
Acetona
−94
96
56
524
Mercurio
−39
12
157
285
Agua
0
334
100
2260
Benceno
5
127
80
396
Estaño
232
59
2270
3020
Plomo
327
22
1750
880
Aluminio
659
375
2300
9220
Cobre
1083
214
2360
5410
Oro
1064
65
3080
1738
Hierro
1530
293
3050
6300
Platino
1772
101
3827
2405
Alcohol etílico
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FICHA 1
AMPLIACIÓN sin soluciones
CAMBIOS DE FASE. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Veamos un ejemplo y luego un ejercicio en el que se produce un cambio de fase. Veremos que como cualquier
problema físico podemos estudiarlo desde un punto de vista energético, en el que la cantidad total de energía
no cambia, pero sí se transforma. La energía que aparentemente se pierde la gana otra parte del sistema,
y viceversa.
1. EJERCICIO RESUELTO
Estudiemos qué ocurre cuando mezclamos dos fases de un mismo elemento en un recipiente
que se encuentra aislado (no existen pérdidas y/o ganancias de calor que no sean los propios
del sistema).
Agregamos 250 g de hielo a 0 °C a 600 g de agua a 18 °C.
(Datos: calor específico del agua: ce : 1 cal/(g · °C) , calor latente de fusión
del hielo: Lf = 80 kcal/kg.)
a) ¿Cuál es la temperatura final del sistema?
b) ¿Qué cantidad de hielo queda cuando el sistema alcanza el equilibrio?
SOLUCIÓN
a) Sabemos que mientras se produce un cambio de estado, la temperatura del sistema permanece
constante aunque sigamos calentando y, como el hielo se funde a 0 °C y va a sobrar hielo,
el sistema se encontrará a 0 °C.
b) Antes de calcular pensemos qué es lo que va a ocurrir: al entrar en contacto el agua y el hielo,
el agua se enfriará, debido a que se desprenderá de energía en forma de calor, justo la cantidad
que absorbe el hielo que hace que se derrita.
Qdesprende el agua = Qabsorbe el hielo
Calculamos Qdesprende el agua:
Qdesprende el agua = ma ⋅ ce ⋅ ΔT = 600 g ⋅ 1
→ Qdesprende el agua
cal
g ⋅ °C
= −10 800 cal = −10,8 kcal
⋅ (0 − 18) ° C →
El signo menos solo indica que se desprende de calor.
La anterior cantidad de calor la absorbe el hielo para fundirse cumpliéndose la siguiente expresión conocida:
Qabsorbe el hielo = Lf ⋅ mh
Donde:
• Lf: calor latente de fusión.
• mh: masa de hielo fundida.
Despejando mh:
Como la masa de hielo que se funde es menor que la masa inicial de hielo, es que queda hielo sin fundir.
Por tanto, llegado al equilibrio a 0 °C quedarían sin fundirse:
250 g − 135 g = 115 g de hielo
Y habría:
600 g + 135 g = 715 g de agua
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FICHA 2
NOMBRE:
1
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CURSO:
FECHA:
Una bala de 2,65 g de plomo se encuentra a 31,4 °C. La bala se dispara a 240 m/s contra un gran bloque
de hielo que se encuentra a 0 °C y se queda incrustada en él. ¿Qué cantidad de hielo se ha derretido?
Datos: calor latente de fusión del hielo = 334,4 J/kg; calor específico del plomo = 0,030 kcal/(kg ⋅ °C).
Despreciamos el rozamiento.
SOLUCIÓN
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FICHA 3
EQUILIBRIO TÉRMICO
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Imagina que introducimos una cucharilla de plata de 50 g a temperatura ambiente (25 °C)
en un recipiente con 200 g de agua a 80 °C. Si el conjunto no intercambia energía
con el exterior, calcula la temperatura final de equilibrio.
ce plata = 235 J/(kg · K); ce agua = 4180 J/(kg · K).
SOLUCIÓN
Cuando dos cuerpos a diferente temperatura se ponen en contacto, el de mayor temperatura cede calor
al de menor temperatura hasta que las temperaturas de ambos se igualan:
⏐Qcedido⏐ = ⏐Qabsorbido⏐
En este caso el agua está más caliente y cede calor a la cucharilla:
⏐cagua ⋅ magua ⋅ ΔT⏐ = ⏐ccucharilla ⋅ mcucharilla ⋅ ΔT⏐ →
→ 4180 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,2 kg ⋅ ⏐t(°C) − 80 °C⏐ = 235 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,05 kg ⋅ ⏐t(°C) − 25 °C⏐
Recordamos que 1 °C = 1 K.
4180 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,2 kg ⋅ (80 − t) °C = 235 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,05 kg ⋅ (t − 25) °C →
→ 836 ⋅ (80 − t) = 11,75 ⋅ (t − 25) → 66880 + 293,75 = 847,75 ⋅ t → t = 79 °C
Y, por tanto:
T = t + 273 = 3352 K
2
Dos sustancias A y B se ponen en contacto. El calor específico de A es el doble que el de B.
La masa de B es el triple que la de A. La temperatura inicial de A es de 0 °C y la temperatura final
de equilibrio es 32 °C. Calcula la temperatura inicial de B.
SOLUCIÓN
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EQUILIBRIO TÉRMICO
NOMBRE:
3
FICHA 4
CURSO:
FECHA:
El amoniaco líquido es una de las sustancias con calor específico más elevado: 4700 J/(kg ⋅ K).
Por el contrario, el calor específico del plomo es de solo 127 J/(kg ⋅ K). Si mezclamos 1 kg
de amoniaco a −50 °C con una cierta cantidad de plomo a −40 °C y la temperatura final
es de −48 °C, ¿cuál era la cantidad inicial de plomo?
SOLUCIÓN
4
Al agitar con una varilla el agua de un vaso se produce un trabajo de 700 J. Considerando que solo
el 80 % del trabajo pasa en forma de calor al agua y que la temperatura de esta ha subido 3 °C,
calcula la cantidad de agua que hay en el vaso.
SOLUCIÓN
5
Se ponen en contacto 50 g de hierro a 20 °C, 70 g de aluminio a 30 °C y 80 g de un material desconocido
a 50 °C. Si la temperatura final resulta ser de 40 °C, calcula el calor específico del material desconocido.
ce hierro = 440 J/(kg ⋅ K); ce aluminio = 900 J/(kg ⋅ K).
SOLUCIÓN
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FICHA 5
CAMBIOS DE ESTADO
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Luis trata de estudiar para los exámenes de junio, pero hace calor y le resulta difícil concentrarse.
Va a la cocina y añade dos cubitos de hielo de 20 g cada uno a los 250 g de agua que hay
en su vaso. Luis espera a que se alcance el equilibrio térmico. ¿A qué temperatura beberá
el agua? (Se supone que no hay intercambio de calor con el ambiente.)
Temperatura inicial del agua = 25 °C; temperatura inicial del hielo = −5 °C; cagua = 1 cal/(g · °C);
chielo = 0,5 cal/(g · °C); Lf (hielo) = 80 cal/g.
SOLUCIÓN
El calor que cede el agua al disminuir su temperatura hasta la temperatura de equilibrio t es:
Qcedido = cagua ⋅ magua ⋅ ΔT = 1 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 250 g ⋅ (t − 25) °C = 250 ⋅ t − 6250 cal
Para derretir 20 g de hielo y ponerlo a temperatura t se necesita que el hielo alcance la temperatura de fusión,
se funda y su masa, ya líquida, alcance la temperatura de equilibrio. En cada uno de los tres estadios:
• Q1 = chielo ⋅ mhielo ⋅ ΔT = 0,5 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 20 g ⋅ (0 − (−5)) °C = 50 cal
• Q2 = Lf (hielo) ⋅ mhielo = 80 cal/g ⋅ °C) ⋅ 20 g = 1600 cal
• Q3 = cagua ⋅ mhielo ⋅ ΔT = 1 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 20 g ⋅ (t − 0) °C = 20 t (t en °C)
El calor que absorbe el hielo es:
Qabsorbido = Q1 + Q2 + Q3 = 50 cal + 1600 cal + 20 ⋅ t = 1650 cal + 20 ⋅ t
En el equilibrio térmico el calor que cede el agua y el que gana el hielo son iguales y de signos contrarios:
⏐Qcedido⏐ = ⏐Qabsorbido⏐ → 6250 cal − 250 ⋅ t = 1650 cal + 20 ⋅ t → t = 17 °C
La temperatura final del agua que bebe es 17 °C.
6
El aluminio es un metal ligero, resistente y buen conductor. Su punto de fusión está en 660 °C, y el de ebullición,
en 2470 °C. Calcula la cantidad de calor necesaria para convertir en gas 50 g de aluminio sólido a 20 °C.
Datos: cAl (sólido) = 900 J/(kg ⋅ K); Lfusión (Al) = 388 J/g; cAl (líquido) = 1170 J/(kg ⋅ K); Lvapor (Al) = 10 800 J/g.
SOLUCIÓN
7
En una cafetería un cliente pide un vaso de leche caliente. El camarero echa en el vaso 200 mL de leche
a 20 °C y después añade vapor de agua a 100 °C hasta que la temperatura sube a 60 °C. Calcula la cantidad
de vapor que el camarero añadió a la leche.
cleche = 0,94 cal/(g ⋅ °C); Lv (agua) = 540 cal/g; cagua = 1 cal/(g ⋅ °C); dleche = 1,06 g/cm3.
SOLUCIÓN
continúa 앶앸
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FICHA 6
CAMBIOS DE ESTADO
NOMBRE:
8
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CURSO:
FECHA:
Echamos 200 g de hielo a −20 °C en un recipiente que contiene 100 g de agua a 30 °C. Si se funde todo el hielo,
¿cuál será la temperatura final de la mezcla? Si no se funde todo el hielo, ¿qué cantidad quedará sin fundir?
cagua= 1 cal/(g ⋅ °C); chielo= 0,5 cal/(g ⋅ °C); Lf (hielo) = 80 cal/g.
SOLUCIÓN
9
Una sustancia funde a 200 °C. Su calor específico en estado sólido es de 0,3 cal/(g ⋅ °C),
y en estado líquido, de 0,5 cal/(g ⋅ °C). Al aplicar 48 000 cal a 100 g de sustancia hemos pasado
de sólido a 100 °C a líquido a 300 °C. Calcula el calor latente de fusión de dicha sustancia.
SOLUCIÓN
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FICHA 7
DILATACIÓN
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Para cocinar a la plancha una empresa fabrica láminas de hierro cuyas dimensiones son 20×30 cm
a temperatura ambiente. Si el coeficiente de dilatación del hierro es α= 1,2 ⋅ 10−5 °C−1, calcula
la superficie que alcanzará una de sus láminas cuando al usarla se caliente hasta los 90 °C.
SOLUCIÓN
La lámina de hierro tiene una superficie de 0,06 m2 a 20 °C de temperatura. Como β 2α:
β 2 ⋅ α = 2,4 ⋅ 10−5 °C−1
Se tiene que:
S = S0 ⋅ (1 + β ⋅ ΔT) = 0,06 m2 ⋅ [1 + 2,4 ⋅ 10−5 °C−1 ⋅ (90 − 20) °C] = 0,0601 m2 → 601 cm2
10
Se ha fabricado un cable de cobre de 20 m de longitud a 15 °C. Cuando la temperatura del cable
sube hasta 60 °C, su longitud aumenta en un 0,075 %. Calcula el coeficiente de dilatación lineal del cobre.
SOLUCIÓN
11
Un gas se ha calentado, pasando su temperatura de 25 a 90 °C. Si inicialmente su densidad era
de 0,9 kg/m3, calcula su densidad a la temperatura actual.
SOLUCIÓN
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FICHA 8
TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN
NOMBRE:
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CURSO:
FECHA:
La fabricación de termómetros de mercurio fue prohibida en la Unión Europea en 2006 debido a los riesgos
para la salud y para el medio ambiente que supone la contaminación por mercurio. Se basaban
en un pequeño depósito y un tubo capilar muy delgado por el cual se dilataba el mercurio al subir
la temperatura. Si el bulbo estaba lleno con 40 cm3 de mercurio a 20 °C, ¿qué volumen subiría
por el tubo capilar cuando T = 38 °C? Coeficiente de dilatación lineal del mercurio: 6 ⋅ 10−6 °C−1.
SOLUCIÓN
continúa 앶앸
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FICHA 9
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
13
Lee el siguiente texto y completa los huecos en blanco.
14
Una tubería de una fábrica por la que sale vapor de agua está cubierta con un material aislante de 1,5 cm
de grosor. El material tiene una conductividad térmica de 0,200 cal/(cm ⋅ °C ⋅ s). ¿Cuánta energía se pierde
cada segundo cuando el vapor que sale está a 200 °C y el tubo se encuentra en el exterior a una temperatura
de 20 °C? La tubería tiene una sección circular de 800 cm de perímetro y mide 50 m de largo.
SOLUCIÓN
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AMPLIACIÓN con soluciones
FICHA 1
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Veamos un ejemplo y luego un ejercicio en el que se produce un cambio de fase. Veremos que como cualquier
problema físico podemos estudiarlo desde un punto de vista energético, en el que la cantidad total de energía
no cambia, pero sí se transforma. La energía que aparentemente se pierde la gana otra parte del sistema,
y viceversa.
Estudiemos qué ocurre cuando mezclamos dos fases de un mismo elemento en un recipiente
que se encuentra aislado (no existen pérdidas y/o ganancias de calor que no sean los propios
del sistema).
Agregamos 250 g de hielo a 0 °C a 600 g de agua a 18 °C.
(Datos: calor específico del agua: ce = 1 cal/(g · °C) , calor latente de fusión
del hielo: Lf = 80 kcal/kg.)
a) ¿Cuál es la temperatura final del sistema?
b) ¿Qué cantidad de hielo queda cuando el sistema alcanza el equilibrio?
SOLUCIÓN
a) Sabemos que mientras se produce un cambio de estado, la temperatura del sistema permanece
constante aunque sigamos calentando y, como el hielo se funde a 0 °C y va a sobrar hielo,
el sistema se encontrará a 0 °C.
b) Antes de calcular pensemos qué es lo que va a ocurrir: al entrar en contacto el agua y el hielo,
el agua se enfriará, debido a que se desprenderá de energía en forma de calor, justo la cantidad
que absorbe el hielo que hace que se derrita.
Qdesprende el agua = Qabsorbe el hielo
Calculamos Qdesprende el agua:
Qdesprende el agua = ma ⋅ ce ⋅ ΔT = 600 g ⋅ 1
→ Qdesprende el agua
cal
g ⋅ °C
= −10 800 cal = −10,8 kcal
⋅ (0 − 18) ° C →
El signo menos solo indica que se desprende de calor.
La anterior cantidad de calor la absorbe el hielo para fundirse cumpliéndose la siguiente expresión conocida:
Donde:
• Lf: calor latente de fusión.
• mh: masa de hielo fundida.
Despejando mh:
Qabsorbe el hielo
10,8 kcal
mh =
=
= 0,135 kg = 135 g de hielo se funde
Lf
80 kcal/kg
Como la masa de hielo que se funde es menor que la masa inicial de hielo, es que queda hielo sin fundir.
Por tanto, llegado al equilibrio a 0 °C quedarían sin fundirse:
250 g − 135 g = 115 g de hielo
Y habría:
600 g + 135 g = 715 g de agua
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FICHA 1
NOMBRE:
1
CURSO:
FECHA:
Una bala de 2,65 g de plomo se encuentra a 31,4 °C. La bala se dispara a 240 m/s contra un gran bloque
de hielo que se encuentra a 0 °C y se queda incrustada en él. ¿Qué cantidad de hielo se ha derretido?
Datos: calor latente de fusión del hielo = 334,4 J/kg; calor específico del plomo = 0,030 kcal/(kg ⋅ °C).
Despreciamos el rozamiento.
SOLUCIÓN
1. Describimos sin ecuaciones ni cálculos la transformación energética que se produce.
La bala lleva energía cinética debida a su velocidad y la pierde al incrustarse en el hielo,
pues se queda parada (v = 0).
Esta energía cinética, al ser el rozamiento despreciable, la absorbe el hielo en forma de calor
y se funde en parte.
2. Escribimos mediante una ecuación lo descrito en el apartado 1.
Queda la ecuación:
Ecinética bala = Qabsorbido por el hielo
3. Calculamos la energía de la bala.
Sustituyendo en la expresión anterior:
Ecinética bala =
→ Ecinética bala
1
1
2
mbala ⋅ vbala
= ⋅ 0,002 65 ⋅ (240)2 (m/s)2 →
2
2
= 76,32 J
4. Aplicamos la transformación energética para calcular cuánto hielo se derrite.
Hay un cambio de fase de sólido a líquido en el hielo. La energía cinética de la bala la absorbe
el hielo en forma de calor para fundirse.
Qabsorbido por el hielo = 76,32 J
Cumpliéndose la siguiente expresión conocida:
Despejando mh
mh =
Qabsorbe el hielo
Lf
=
76,32 J
334,4 J/kg
= 0, 228 kg
Por tanto:
228 g de hielo se derriten
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FICHA 2
EQUILIBRIO TÉRMICO
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Imagina que introducimos una cucharilla de plata de 50 g a temperatura ambiente (25 °C)
en un recipiente con 200 g de agua a 80 °C. Si el conjunto no intercambia energía
con el exterior, calcula la temperatura final de equilibrio.
ce plata = 235 J/(kg · K); ce agua = 4180 J/(kg · K).
SOLUCIÓN
Cuando dos cuerpos a diferente temperatura se ponen en contacto, el de mayor temperatura cede calor
al de menor temperatura hasta que las temperaturas de ambos se igualan:
En este caso el agua está más caliente y cede calor a la cucharilla:
⏐cagua ⋅ magua ⋅ ΔT⏐ = ⏐ccucharilla ⋅ mcucharilla ⋅ ΔT⏐ →
→ 4180 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,2 kg ⋅ ⏐t(°C) − 80 °C⏐ = 235 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,05 kg ⋅ ⏐t(°C) − 25 °C⏐
Recordamos que 1 °C = 1 K.
4180 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,2 kg ⋅ (80 − t) °C = 235 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,05 kg ⋅ (t − 25) °C →
→ 836 ⋅ (80 − t) = 11,75 ⋅ (t − 25) → 66880 + 293,75 = 847,75 ⋅ t → t = 79 °C
Y, por tanto:
T = t + 273 = 3352 K
2
Dos sustancias A y B se ponen en contacto. El calor específico de A es el doble que el de B.
La masa de B es el triple que la de A. La temperatura inicial de A es de 0 °C y la temperatura final
de equilibrio es 32 °C. Calcula la temperatura inicial de B.
A
SOLUCIÓN
Los cuerpos A y B tienen diferente temperaturas, 0 °C y t(°C) positiva,
y se ponen en contacto.
Para alcanzar el equilibrio térmico en el sistema el cuerpo B cede calor
al cuerpo A hasta alcanzar la temperatura de equilibrio, 32 °C.
Como:
B
0 °C
A
B
I = 32 °C
Se tiene:
⏐cB ⋅ mB ⋅ ΔT⏐ = ⏐cA ⋅ mA ⋅ ΔT⏐ →
→ cB ⋅ 3 ⋅ mA ⋅ ⏐32 − 0⏐ = 2 ⋅ cB ⋅ mA ⋅ ⏐32 − t(°C)⏐
O bien:
cB ⋅ 3 ⋅ mA ⋅ (32 − 0) = 2⋅ cB ⋅ mA ⋅ (t − 32) →
→ 3 ⋅ 32 = 2t − 64 → t = 80 °C
El cuerpo B tenía una temperatura inicial de 353 K.
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FICHA 2
EQUILIBRIO TÉRMICO
NOMBRE:
3
CURSO:
FECHA:
El amoniaco líquido es una de las sustancias con calor específico más elevado: 4700 J/(kg ⋅ K).
Por el contrario, el calor específico del plomo es de solo 127 J/(kg ⋅ K). Si mezclamos 1 kg
de amoniaco a −50 °C con una cierta cantidad de plomo a −40 °C y la temperatura final
es de −48 °C, ¿cuál era la cantidad inicial de plomo?
SOLUCIÓN
El plomo, a −40 °C, tiene mayor temperatura inicial que el amoniaco, −50 °C. Así que al ponerse
en contacto los dos cuerpos es el plomo el que cede calor al amoniaco hasta alcanzar la temperatura
de equilibrio. Como:
resulta:
⏐cplomo ⋅ mplomo ⋅ ΔTcedido⏐ = ⏐camoniaco ⋅ mamoniaco ⋅ ΔTabsorbido⏐ →
→ 127 J/(kg ⋅ K) ⋅ mplomo ⋅ ⏐−48 − (−40)⏐ °C = 4700 J/(kg ⋅ K) ⋅ 1 kg ⋅ ⏐−48 − (−50)⏐ °C →
→ 1016 ⋅ mplomo = 9400 → mplomo = 9,25 kg
La cantidad de plomo que se mezcla con el amoniaco es 9,25 kg.
4
Al agitar con una varilla el agua de un vaso se produce un trabajo de 700 J. Considerando que solo
el 80 % del trabajo pasa en forma de calor al agua y que la temperatura de esta ha subido 3 °C,
calcula la cantidad de agua que hay en el vaso.
SOLUCIÓN
El calor absorbido por el agua es el 80 % del trabajo que realiza la varilla:
Qabsorbido =
80
100
⋅ 700 J = 560 J
Ese calor absorbido por el agua, positivo, se emplea en elevar su temperatura 3 °C. Como el calor específico
del agua es 4180 J/(kg ⋅ K) se tiene:
Qabsorbido = cagua ⋅ magua ⋅ ΔT → 560 J = 4180 J/(kg ⋅ K) ⋅ magua ⋅ 3 °C → magua = 0,045 kg
La cantidad de agua del vaso es 45 g.
5
Se ponen en contacto 50 g de hierro a 20 °C, 70 g de aluminio a 30 °C y 80 g de un material desconocido
a 50 °C. Si la temperatura final resulta ser de 40 °C, calcula el calor específico del material desconocido.
ce hierro = 440 J/(kg ⋅ K); ce aluminio = 900 J/(kg ⋅ K).
SOLUCIÓN
Suponiendo que el sistema está aislado y no hay pérdidas de energía, los tres materiales alcanzarán
el equilibrio térmico cuando sus temperaturas se igualen a 40 °C. Tanto el hierro como el aluminio
absorben calor del material desconocido:
Qabsorbido = chierro ⋅ mhierro ⋅ ΔT + caluminio ⋅ maluminio ⋅ ΔT →
→ Qabsorbido = 440 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,05 kg ⋅ (40 − 20) °C + 900 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,07 kg ⋅ (40 − 30) °C = 1070 J
El calor lo cede el material desconocido:
Qcedido = cmaterial ⋅ mmaterial ⋅ ΔT → Qcedido = cmaterial ⋅ 0,8 kg ⋅ (40 − 50) °C = −8 ⋅ cmaterial
Como el calor cedido por el material ha de ser igual en valor absoluto al absorbido por hierro y aluminio, se tiene:
⏐Qcedido⏐ = ⏐Qabsorbido⏐ → 8 ⋅ cmaterial = 1070 → 8 ⋅ cmaterial = 133,75 J/(kg ⋅ K)
El calor específico del material desconocido es 133,75 J/(kg ⋅ K).
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FICHA 3
CAMBIOS DE ESTADO
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Luis trata de estudiar para los exámenes de junio, pero hace calor y le resulta difícil concentrarse.
Va a la cocina y añade dos cubitos de hielo de 20 g cada uno a los 250 g de agua que hay
en su vaso. Luis espera a que se alcance el equilibrio térmico. ¿A qué temperatura beberá
el agua? (Se supone que no hay intercambio de calor con el ambiente.)
Temperatura inicial del agua = 25 °C; temperatura inicial del hielo = −5 °C; cagua = 1 cal/(g · °C);
chielo = 0,5 cal/(g · °C); Lf (hielo) = 80 cal/g.
SOLUCIÓN
El calor que cede el agua al disminuir su temperatura hasta la temperatura de equilibrio t es:
Qcedido = cagua ⋅ magua ⋅ ΔT = 1 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 250 g ⋅ (t − 25) °C = 250 ⋅ t − 6250 cal
Para derretir 20 g de hielo y ponerlo a temperatura t se necesita que el hielo alcance la temperatura de fusión,
se funda y su masa, ya líquida, alcance la temperatura de equilibrio. En cada uno de los tres estadios:
• Q1 = chielo ⋅ mhielo ⋅ ΔT = 0,5 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 20 g ⋅ (0 − (−5)) °C = 50 cal
• Q2 = Lf (hielo) ⋅ mhielo = 80 cal/g ⋅ °C) ⋅ 20 g = 1600 cal
• Q3 = cagua ⋅ mhielo ⋅ ΔT = 1 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 20 g ⋅ (t − 0) °C = 20 t (t en °C)
El calor que absorbe el hielo es:
Qabsorbido = Q1 + Q2 + Q3 = 50 cal + 1600 cal + 20 ⋅ t = 1650 cal + 20 ⋅ t
En el equilibrio térmico el calor que cede el agua y el que gana el hielo son iguales y de signos contrarios:
⏐Qcedido⏐ = ⏐Qabsorbido⏐ → 6250 cal − 250 ⋅ t = 1650 cal + 20 ⋅ t → t = 17 °C
La temperatura final del agua que bebe es 17 °C.
6
El aluminio es un metal ligero, resistente y buen conductor. Su punto de fusión está en 660 °C, y el de ebullición,
en 2470 °C. Calcula la cantidad de calor necesaria para convertir en gas 50 g de aluminio sólido a 20 °C.
Datos: cAl (sólido) = 900 J/(kg ⋅ K); Lfusión (Al) = 388 J/g; cAl (líquido) = 1170 J/(kg ⋅ K); Lvapor (Al) = 10 800 J/g.
SOLUCIÓN
Para convertir 50 g de aluminio en gas el aluminio tiene que alcanzar la temperatura de fusión, fundirse, alcanzar
la temperatura de ebullición y pasar a estado gaseoso. En cada uno de los cuatro estadios se emplea un calor:
• Q1 = caluminio ⋅ maluminio ⋅ ΔT = 900 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,02 kg ⋅ (660 − 20) °C = 11 520 J
• Q2 = Lfusión (Al) ⋅ maluminio = 388 J/g ⋅ 20 g = 7760 J
• Q3 = caluminio ⋅ maluminio ⋅ ΔT = 1170 J/(kg ⋅ K) ⋅ 0,02 kg ⋅ (2470 − 660) °C = 42 354 J
• Q4 = Lvapor (Al) ⋅ maluminio = 10 800 J/g ⋅ 20 g = 216 000 J
El calor total empleado es:
Qabsorbido = Q1 + Q2 + Q3+ Q4 = 11 520 J + 7760 J + 42 354 J + 216 000 J = 277 634 J
7
En una cafetería un cliente pide un vaso de leche caliente. El camarero echa en el vaso 200 mL de leche
a 20 °C y después añade vapor de agua a 100 °C hasta que la temperatura sube a 60 °C. Calcula la cantidad
de vapor que el camarero añadió a la leche.
cleche = 0,94 cal/(g ⋅ °C); Lv (agua) = 540 cal/g; cagua = 1 cal/(g ⋅ °C); dleche = 1,06 g/cm3.
SOLUCIÓN
El calor que cede la masa mvapor (en gramos) del vapor de agua al licuarse es negativo e igual a:
Q1 = −Lv (agua) ⋅ mvapor = −540 mvapor
Además, una vez licuada el agua, que disminuye su temperatura de 100 a 60 °C, cede más calor a la leche:
Q2 = cagua ⋅ mvapor ⋅ ΔT = 1 cal/(g ⋅ °C) ⋅ mvapor ⋅ (60 − 100) °C = −40 mvapor
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FICHA 3
CAMBIOS DE ESTADO
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
El calor total cedido por el agua es:
Qcedido = Q1 + Q2 = −540 ⋅ mvapor − 40 ⋅ mvapor = −580 mvapor
Este calor lo absorbe la leche, que se calienta hasta alcanzar la temperatura de equilibrio:
Qabsorbido = cleche ⋅ mleche ⋅ ΔT = 0,94 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 200 g ⋅ (60 − 20) °C = 7520 cal →
→ ⏐Qcedido⏐ = ⏐Qabsorbido⏐ → 580 ⋅ mvapor = 7520 → mvapor = 12,97 g
8
Echamos 200 g de hielo a −20 °C en un recipiente que contiene 100 g de agua a 30 °C. Si se funde todo el hielo,
¿cuál será la temperatura final de la mezcla? Si no se funde todo el hielo, ¿qué cantidad quedará sin fundir?
cagua= 1 cal/(g ⋅ °C); chielo= 0,5 cal/(g ⋅ °C); Lf (hielo) = 80 cal/g.
SOLUCIÓN
Para fundir el hielo se necesita calentarlo primero para que alcance la temperatura de fusión:
Q1 = chielo ⋅ mhielo ⋅ ΔT = 0,5 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 200 g ⋅ [0 − (−20)] °C = 2000 cal
Y añadir el calor de fusión:
Q2 = Lf (hielo) ⋅ mhielo = 80 cal/g ⋅ 200 g = 16 000 cal
Ese calor debe tomarlo del agua, que puede ceder sin congelarse el calor de enfriamiento, como mucho, hasta 0 °C.
Q3 = cagua ⋅ magua ⋅ ΔT = 1 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 100 g ⋅ (0 − 30) °C = −3000 cal
Pero el calor que cede el agua es menor en valor absoluto que el calor que necesita absorber el hielo para fundirse,
así que no se funde todo el hielo, y la temperatura final de la mezcla, con dos estados diferentes del agua, será de 0 °C.
Sea m1 la masa del hielo que se funde: mhielo = m1 + m2.
Entonces, el calor de fusión de esa masa es: Q'2 = Lf (hielo) ⋅ mhielo = 80 ⋅ mvapor
y el calor total absorbido es: Qabsorbido = Q1 + Q'2 = 2000 cal + 80 mvapor
El calor que cede al agua al alcanzar los 0 °C es: Qcedido = Q3 = −3000 cal
Se emplea en calentar el hielo a 0 °C y fundir m1 gramos.
Por tanto:
⏐Qcedido⏐ = ⏐Qabsorbido⏐ → 3000 cal = 2000 cal + 80 cal/g ⋅ mhielo → mhielo = 12,5 g
Del hielo original se funden 12,5 g, y 187,5 g de hielo quedan sin fundir.
9
Una sustancia funde a 200 °C. Su calor específico en estado sólido es de 0,3 cal/(g ⋅ °C),
y en estado líquido, de 0,5 cal/(g ⋅ °C). Al aplicar 48 000 cal a 100 g de sustancia hemos pasado
de sólido a 100 °C a líquido a 300 °C. Calcula el calor latente de fusión de dicha sustancia.
SOLUCIÓN
Para pasar la sustancia de estado sólido a 100 °C a estado líquido a 300 °C primero debe alcanzar
la temperatura de fusión, 200 °C; después debe fundirse y, por último, calentarse hasta
alcanzar la temperatura de 300 °C. En cada tramo el calor absorbido es:
Calor necesario para alcanzar la temperatura de fusión:
Q1 = csólido ⋅ m ⋅ ΔT = 0,3 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 100 g ⋅ (200 − 100) °C = 3000 cal
Calor necesario para fundirse:
Q2 = Lf ⋅ m = 100 ⋅ Lf
Calor necesario para calentar el líquido:
Q3 = clíquido ⋅ m ⋅ ΔT = 0,5 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 100 g ⋅ (300 − 200) °C = 5000 cal
El calor absorbido en el proceso es:
Qabsorbido = Q1 + Q2 + Q3 = 3000 cal + 100 ⋅ Lf + 5000 cal = 8000 cal + 100 Lf
Y tiene que ser igual que el calor que se le aplica:
48 000 cal = 8000 cal + 100 ⋅ Lf → Lf = 400 cal/(g ⋅ °C)
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FICHA 4
DILATACIÓN
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
Para cocinar a la plancha una empresa fabrica láminas de hierro cuyas dimensiones son 20×30 cm
a temperatura ambiente. Si el coeficiente de dilatación del hierro es α= 1,2 ⋅ 10−5 °C−1, calcula
la superficie que alcanzará una de sus láminas cuando al usarla se caliente hasta los 90 °C.
SOLUCIÓN
La lámina de hierro tiene una superficie de 0,06 m2 a 20 °C de temperatura. Como β 2α:
β 2 ⋅ α = 2,4 ⋅ 10−5 °C−1
Se tiene que:
S = S0 ⋅ (1 + β ⋅ ΔT) = 0,06 m2 ⋅ [1 + 2,4 ⋅ 10−5 °C−1 ⋅ (90 − 20) °C] = 0,0601 m2 → 601 cm2
10
Se ha fabricado un cable de cobre de 20 m de longitud a 15 °C. Cuando la temperatura del cable
sube hasta 60 °C, su longitud aumenta en un 0,075 %. Calcula el coeficiente de dilatación lineal del cobre.
SOLUCIÓN
La longitud de un cable que se somete a un cambio de temperatura cambia según: L = L0 ⋅ (1 + α ⋅ ΔT).
Si el cable tiene una longitud a 15 °C de 20 m y su longitud a 60 °C aumenta un 0,075 %, la longitud a esta
temperatura es:
L = 1,075 ⋅ L0 = 21,5 m → L = L0 ⋅ (1 + α ⋅ ΔT ) → 21,5 m = 20 ⋅ [1 + α ⋅ (60 − 15) °C] →
→ 0,075 = 45 ⋅ α → α = 0,0017 °C−1
El coeficiente de dilatación lineal del cobre es: α = 0,0017 °C−1.
11
Un gas se ha calentado, pasando su temperatura de 25 a 90 °C. Si inicialmente su densidad era
de 0,9 kg/m3, calcula su densidad a la temperatura actual.
SOLUCIÓN
El volumen de un gas aumenta con la temperatura según la expresión: V = V0 ⋅ (1 + α ⋅ ΔT). Siendo α igual para
todos los gases y de valor 1/273 °C−1.
Los 0,9 kg de masa que ocupan 1 m3 a 25 °C ocuparán cuando la temperatura llegue a 90 °C un volumen:
⎛
⎞
m
0, 9 kg
1
=
= 0,73 kg/m3
V = 1⋅ ⎜⎜1+
° C−1 ⋅ 65 ° C⎟⎟⎟ = 1,24 m3 → d =
⎜⎝
⎟
V
124
, m3
⎠
273
12
La fabricación de termómetros de mercurio fue prohibida en la Unión Europea en 2006 debido a los riesgos
para la salud y para el medio ambiente que supone la contaminación por mercurio. Se basaban
en un pequeño depósito y un tubo capilar muy delgado por el cual se dilataba el mercurio al subir
la temperatura. Si el bulbo estaba lleno con 40 cm3 de mercurio a 20 °C, ¿qué volumen subiría
por el tubo capilar cuando T = 38 °C? Coeficiente de dilatación lineal del mercurio: 6 ⋅ 10−6 °C−1.
SOLUCIÓN
El volumen a 20 °C de mercurio es 40 cm3, y el coeficiente de dilatación volumétrica es aproximadamente tres veces
el coeficiente de dilatación lineal:
γ 3 α = 1,8 ⋅ 10−5 °C−1 → V = V0 ⋅ (1 + γ ⋅ ΔT) = 40 cm3 ⋅ [1 + 1,8 ⋅ 10−5 °C−1 ⋅ (38 − 20) °C] →
→ V = 40,013 cm3
El volumen de mercurio que sube por el tubo capilar cuando la temperatura pasa de 20 °C a 38 °C es 0,013 cm3.
Si la sección del tubo capilar es 0,005 (diámetro: 0,8 mm) el mercurio asciende 2,6 cm.
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FICHA 5
NOMBRE:
CURSO:
FECHA:
La transferencia de calor por conducción es uno de los procesos por el cual el calor se transfiere, en este caso,
por colisión de las partículas internas que forman un objeto:
Cada átomo está físicamente «unido» de alguna manera a sus vecinos a través de enlaces. Cuando se le transfiere calor
a una de las partículas, esta vibra más rápido. Cuanto más vibra la partícula, los enlaces entre los átomos vibran más,
y estas vibraciones pasan al siguiente átomo, que hace vibrar al siguiente, y así sucesivamente.
La energía se transfiere así a todo el sólido y la temperatura total aumenta.
CALOR
CALOR
1. El calor hace que las moléculas
y los átomos se muevan
rápido en un objeto.
CALOR
2. Las partículas «más calientes»,
es decir, las que se mueven más
rápido, chocan con otras
moléculas «más frías»
(que se mueven más lentas)
y las aceleran, haciendo
que se calienten.
3. Este proceso se repite
constantemente hasta que
el objeto en cuestión alcanza
el equilibrio.
El calor pasa de una partícula a otra y de un lado a otro de un sólido solo si existe una diferencia de temperatura
entre dos puntos de ese sólido.
Para un material cualquiera, la cantidad de calor transferido por unidad de tiempo, llamada tasa de transferencia
de calor para la conducción P, viene dada por la siguiente expresión:
P=
⎛ T − Tv
ΔQ
= K ⋅ A ⋅ ⎜⎜ h
⎜⎝ L
Δt
⎞⎟
⎟⎟
⎟⎠
(1)
Donde:
• ΔQ: calor transferido. Se mide en julios.
• Δt: tiempo transcurrido. Se mide en segundos.
• P: calor transferido por unidad de tiempo. Se mide en
J
= W.
s
J
.
m ⋅ °C ⋅ s
Th: temperatura del lado más caliente. Se mide en °C.
Tv : temperatura del lado más frío. Se mide en °C.
A: área o superficie total del material. Se mide en m2.
L: anchura del material. Se mide en m.
• K: conductividad térmica del material. Se mide en
•
•
•
•
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FICHA 5
NOMBRE:
CURSO:
Habrá una transferencia de calor del lado caliente al frío en el sentido que
indica la flecha, según indica la imagen que representa a un trozo de
material:
Cuanto mayor es la conductividad térmica del material, K, mejor conductor
del calor es el material y, cuanto menor sea K, mejor será el material
como aislante térmico.
La efectividad del aislamiento térmico se mide a través de otra cantidad
llamada resistencia térmica R:
R=
L
K
FECHA:
L
Th
Transferencia de calor
Si Th > Tv
Tv
Se mide en m2. °C/W.
13
Lee el siguiente texto y completa los huecos en blanco.
a) El calor es una forma de energía Se puede transferir de tres formas distintas. Estas formas de transferir calor
son por conducción, convección y radiación La conducción es un proceso por el cual se transfiere energía
a través de las vibraciones de las partículas.
b) Las moléculas que se encuentran a un lado del cuerpo con temperatura más alta vibran de manera más rápida.
Estas moléculas chocan con otras y transfieren parte de su energía a estas moléculas menos energéticas situadas
en la parte más fría del cuerpo. De este modo la energía se transfiere de modo conductivo desde una región
de mayor temperatura a una región menor temperatura.
c) Los materiales que son buenos conductores térmicos son buenos conductores del calor. Los metales son
buenos conductores térmicos porque tienen un gran número de electrones que son libres para moverse,
son los llamados electrones de conducción. Están continuamente en movimiento, ya que no están ligados
a ningún átomo o molécula en particular. Los aislantes térmicos son materiales con una baja conducción
del calor. Los elementos no metálicos son aislantes térmicos porque, en general, no conducen el calor.
14
Una tubería de una fábrica por la que sale vapor de agua está cubierta con un material aislante de 1,5 cm
de grosor. El material tiene una conductividad térmica de 0,200 cal/(cm ⋅ °C ⋅ s). ¿Cuánta energía se pierde
cada segundo cuando el vapor que sale está a 200 °C y el tubo se encuentra en el exterior a una temperatura
de 20 °C? La tubería tiene una sección circular de 800 cm de perímetro y mide 50 m de largo.
SOLUCIÓN
1. Pasamos la conductividad térmica K al sistema internacional de unidades. (Recuerda que 1 cal = 4,18 J.). Tenemos:
K = 0,2
102 cm 4,18 J
J
⋅
= 83,6
1m
m ⋅ °C ⋅ s
cm ⋅ ° C ⋅ s
1 cal
cal
⋅
2. Escribimos el resto de los datos del problema en las unidades adecuadas y calculamos el área A:
Th = 200 °C; Tv = 20 °C; L = 1,5 cm = 0,015 m de ancho del aislante
A = área de la superficie de la tubería:
C = 800 cm = 8 m⎫⎪
2
⎬ A = C ⋅ l = 8 m ⋅ 50 m = 400 m → Es la superficie total de la tubería
l = 50 m
⎭⎪⎪
3. Sustituimos en la fórmula (1) y hallamos cantidad de calor transferido por unidad de tiempo P:
⎛ 200 ° C − 20 ° C ⎞⎟
⎛ T − Tv ⎞⎟ ⎛
⎞⎟
J
ΔQ
⎟⎟ →
⎟⎟ ⋅ ( 400 m2 ) ⋅ ⎜⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜83, 6
P=
= K ⋅ A ⋅ ⎜⎜ h
⎜⎝ L ⎟⎠ ⎝⎜
⎜⎝
0,015 m
m ⋅ ° C ⋅ s ⎟⎠
Δt
⎠⎟
→ P = 4,02 ⋅ 106 J/s = 402 MW
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PRUEBAS DE EVALUACIÓN
CALOR Y ENERGÍA
PRUEBA DE EVALUACIÓN 1
1
Isabel toma todos los días una taza de té de 125 cm3 a 60 °C, con un poco de leche a 10 °C.
Si la mezcla la toma a 40 °C, ¿cuánta leche añade a la infusión cada día?
cté = 1 cal/(g ⋅ °C); cleche = 0,9 h cal/(g ⋅ °C)
2
Se añaden 8 g de vapor a 120 °C en un vaso con 50 cm3 de agua a 30 °C.
¿Cuál es la temperatura final de equilibrio?
• cagua = 1 cal/(g ⋅ °C).
• cvapor = 0,46 cal/(g ⋅ °C).
• Lv (agua) = 540 cal/g.
3
El calor específico del cobre es 390 J/(kg ⋅ K). Un cable de cobre de 0,1 cm2 de sección se calienta al paso
de la corriente eléctrica que circula por él. Si al absorber 5000 J el cable pasa de 20 a 70 °C,
¿cuál es la longitud del cable? dcobre = 8,96 g/cm3.
4
Un puente de acero tiene juntas de dilatación cada 20 m. ¿Cuál es el tamaño mínimo
de la separación de las juntas en las noches de invierno si las temperaturas
anuales oscilan en un rango de 50 °C?
αacero = 11 ⋅ 10−6 °C−1.
5
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¿Cómo consiguen los termos mantener durante más tiempo la temperatura de comidas y bebidas?
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PRUEBAS DE EVALUACIÓN
CALOR Y ENERGÍA
PRUEBA DE EVALUACIÓN 1: SOLUCIONES
1
Cuando se mezclan dos sustancias a diferente temperatura, la de mayor temperatura, el té, cede calor
a la de menor temperatura, la leche, que lo absorbe hasta alcanzar la temperatura de equilibrio, 40 °C.
Suponiendo que la densidad del té, como su calor específico, coincide con la del agua, se tiene:
⏐Qcedido⏐ = ⏐ Qabsorbido⏐ → ⏐cté ⋅ mté ⋅ ΔT ⏐ = ⏐cleche ⋅ mleche ⋅ ΔT⏐ →
→ 1 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 125 ⋅ ⏐40 − 60⏐ = 0,94 cal/(g ⋅ °C) ⋅ mleche ⋅ ⏐40 − 10⏐ → mleche = 89 g
Para templar el té Isabel añade 89 g de leche. Como la densidad de la leche es 1,03 g/cm3, la cantidad
de leche es 86 cm3.
2
Al entrar en contacto con el agua del vaso, el vapor se enfría, se condensa y se enfría aún más hasta alcanzar
la temperatura de equilibrio. Durante este proceso, y en cada tramo, cede calor al agua del vaso:
• Q1 = cvapor ⋅ mvapor ⋅ ΔT = 0,46 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 8 g ⋅ (100 − 120) °C = −73,6 cal
• Q2 = −Lv (agua) ⋅ mvapor = −80 cal/g ⋅ 8 g = −640 cal
• Q3 = cagua ⋅ mvapor ⋅ ΔT = 1 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 8 g ⋅ (t − 100) °C = 8 t − 800
Luego:
Qcedido = Q1 + Q2 + Q3 = −73,6 cal – 640 cal + (8 t – 800) = −1513,6 + 8 t
El calor que absorben los 50 cm3, o 50 g, de agua hasta alcanzar la temperatura de equilibrio es:
Qabsorbido = cagua ⋅ magua ⋅ ΔT = 1 cal/(g ⋅ °C) ⋅ 50 g ⋅ (t − 30) °C = 50 t − 1500
Cuando el equilibrio térmico se alcanza:
⏐Qcedido⏐ = ⏐Qabsorbido⏐ → 1513,6 − 8 ⋅ t = 50 ⋅ t − 1500 → 58 t = 3013,6 → t = 52 °C
La temperatura final de la mezcla es 52 °C.
3
El cobre emplea el calor que absorbe el cable en calentarse desde 20 °C hasta 70 °C, luego:
Qabsorbido = ccobre ⋅ mcobre ⋅ ΔT → 5000 cal = 390 cal/(g ⋅ °C) ⋅ mcobre ⋅ (70 − 20) °C →
→ mcobre = 0,256 kg = 256 g
Esta masa corresponde a un volumen de cobre igual a:
Vcobre =
mcobre
256 g
=
= 29 cm3
dcobre
8, 96 g/cm3
Este volumen se distribuye en un cilindro de sección s = 0,1 cm2 y longitud L:
Vcobre = s ⋅ L → 29 cm3 = 0,1 cm2 ⋅ L → L = 290 cm
La longitud del cable es de 2,9 m.
4
La dilatación de cada pieza de 20 m de acero cuando la variación de temperatura es de 40 °C es:
5
En un termo clásico la botella interior, de cristal, es apreciablemente menor
que la carcasa exterior, y entre ellas se ha hecho el vacío. Así, el calor de la comida
o bebida no se puede trasmitir al exterior por convección, porque no hay líquido
entre la botella y la carcasa; ni por conducción, porque no hay material entre
la botella y la carcasa. La única manera en que la comida o bebida puede
intercambiar calor con el exterior es por radiación y, por tanto, la transmisión
de calor es más lenta.
Contenido
L = L0 ⋅ (1 + α ⋅ ΔT) = 20 ⋅ (1 + 11 ⋅ 10−6 °C−1 ⋅ 50) = 20,011 m
La separación mínima entre las piezas de acero del puente tiene que ser 11 mm (aunque en cada junta
de dilatación hay dos piezas de acero, también hay juntas de dilatación a ambos lados de cada pieza).
Vacío
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Notas
608

13. Calor y energía - IES Cerro del Viento

Transcripción

Documentos relacionados

Catálogo de Productos de empresas