Problemas resueltos

Transcripción

Problemas resueltos

FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C.
INTRODUCCIÓN
La presente antología, se ha realizado de manera que pueda usarse
como complemento de las actividades a realizar con sus respectivos
docentes, o como manual para el curso de Matemáticas Financieras; es
muy importante que los docentes, nos hagan saber sus comentarios y
sugerencias, para retroalimentar los temas y subtemas contenidos en el
programa de estudios.
Cada unidad empieza con los objetivos , un sumario del capítulo,
desarrollo de los temas, problemas resueltos y problemas propuestos; en
próxima edición, se anexaran las tablas para la amortización, formularios
generales y los resultados de los ejercicios propuestos.
Es muy importante recalcar el buen uso del manejo de las
calculadoras, para llevar a buen termino, la solución de los ejercicios que
se proponen. El uso de las literales empleadas varían de un autor a otro y
de un docente a otro; pero sin duda alguna todas llegan al mismo
resultado.
Sin más que agregar y esperando sus comentarios se despide de
ustedes.
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO A.C.
ÍNDICE
UNIDAD 1. INTERÉS SIMPLE.
1.1. Objetivos.
1.2. Definiciones.
1.3. Fórmulas básicas.
1.4. Cálculo de interés simple y monto.
1.5. Cálculo de la tasa de interés.
1.6. Cálculo del valor presente.
1.7. Ejercicios propuestos.
1.8. Interés simple exacto y ordinario.
1.9. Cálculo del tiempo exacto y aproximado.
1.10. Ejercicios propuestos.
1.11. Pagarés.
1.12. Ejercicios propuestos
1.13. Ecuaciones de valor a interés simple.
1.14. Descuento simple.
1.15. Descuentos de pagarés.
1.16. Problemas propuestos.
UNIDAD 2. INTERÉS COMPUESTO.
2.1. Introducción.
2.2. Definición.
2.3. Monto compuesto con períodos de capitalización fraccionarios
2.4. Tasa nominal y efectiva de interés.
2.5. Aproximación de la tasa de interés.
2.6. Aproximación del tiempo.
2.7. Problemas resueltos.
2.9. Valor presente.
2.10. Valor presente para el caso de un período
de conversión fraccionario.
2.11. Ecuaciones de valor a interés compuesto.
2.12. Tiempo equivalente.
UNIDAD 3. ANUALIDADES.
3.1. Introducción.
3.2. Clasificación de las Anualidades.
3.3. Anualidades simples ciertas ordinarias.
3.3.1. Valor de las Anualidades.
3.3.2. Monto y valor actual de las Anualidades
Simples Ciertas Ordinarias.
3.3.3. Problemas resueltos.
3.3.4. Problemas propuestos.
3.3.5. Cálculo de la renta en una anualidad cierta ordinaria.
3.3.6. Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad.
3.3.7. Cálculo de la tasa de interés de una anualidad
simple cierta ordinaria.
3.4. Anualidades Anticipadas.
3.4.1. Introducción.
3.4.2. Símbolos utilizados en las anualidades anticipadas.
3.4.3. Monto y valor actual de las anualidades
simples ciertas anticipadas.
3.5. Anualidades diferidas.
3.5.2. Símbolos utilizados en las anualidades diferidas.
3.5.3. Valores de las anualidades diferidas simples ciertas.
3.6. Anualidades diferidas.
3.6.2. Símbolos utilizados en las anualidades generales.
3.6.3. Conversión de una anualidad general ordinaria
en una anualidad simple.
3.6.4. Monto y valor actual de las anualidades.
3.6.5. Cálculo de la renta en una anualidad general cierta ordinaria.
3.6.6. Otros métodos de cálculo de los valores de las anualidades.
3.6.9. Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad general.
3.6.10.
Cálculo de la tasa de interés de una anualidad general.
3.6.11.
Problemas resueltos.
3.6.12.
Problemas propuestos.
3.7. Anualidades generales anticipadas.
3.8. Anualidades variables.
3.9. Anualidades continuas.
3.10. Anualidades a interés continuo.
3.11. Anualidades a interés continuo con pagos en flujos continuos.
UNIDAD 4. AMORTIZACIÓN.
4.1. Introducción.
4.2. Tablas de Amortización.
4.3. Interés en el valor de un bien adquirido.
4.4. Extinción de deudas consolidadas.
4.5. Fondos de Amortización.
4.6. Tablas de fondos de amortización.
UNIDAD 5. DEPRECIACIÓN.
5.1. Introducción.
5.2. Conceptos.
5.3. Método de Línea Recta.
5.4. Método de Porcentaje Fijo.
5.5. Método de Suma de Dígitos.
5.6. Método de Depreciación por Unidad de Producción o Servicio.
5.7. Método por fondos de Amortización.
5.8. La Depreciación en las épocas inflacionarias.
5.9. Resumen.
UNIDAD 6. BONOS.
6.1. Definiciones.
6.2. Precios del bono en una fecha de pago de intereses.
6.3. Compra a premio o descuento.
6.4. Precio del bono comprado entre fecha de pago de interés.
6.5. El precio cotizado de un bono.
6.6. Tasa de redituabilidad.
6.7. Bonos con fecha opcional de redención.
6.8. Un bono de anualidad.
6.9. Emisión seriada de bonos.
Bibliografía.
OBJETIVOS
1

Enseñar los factores que entran en juego
en el cálculo del interés simple.

Capacitarlo para manejar estos factores.

Aplicarlos en la solución de problemas
frecuentes en las matemáticas financieras.
SUMARIO
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
Objetivos.
Definiciones.
Fórmulas básicas.
Cálculo de interés simple y monto.
Cálculo de la tasa de interés.
Cálculo del valor presente.
Ejercicios propuestos.
Interés simple exacto y ordinario.
Cálculo del tiempo exacto y aproximado.
Pagarés.
Ecuaciones de valor a interés simple.
Descuento simple.
Descuentos de pagarés.
1. INTERÉS SIMPLE
1.1
OBJETIVOS
 Capacitarlo para manejar estos factores y aplicarlos a la solución de
problemas.
 Aprender definiciones, manejar conceptos y factores básicos que serán
utilizados en esta unidad.
1.2
DEFINICIONES
 Es la cantidad pagada por el uso de dinero obtenido en préstamo.
 Es la cantidad producida por la inversión del capital.
 Es el producto del capital, por la tasa de interés, por el tiempo, su
unidad es $,en donde la tasa y el tiempo, sus tasas deben de ser
congruentes.
 Es cuando únicamente el capital gana intereses por todo el tiempo que
dura la transacción, al interés vencido al final del plazo se le conoce
como interés simple.
1.3 FORMULAS BÁSICAS
I= C i t ……………(1)
I= S - C…………….(2)
S= C + I……………(3)
S= C + C i t
S= C ( 1 + i t)……..(4)
NOTACIÓN :
I = interés simple ($) C =.
C = capital
($)
S
( 1 + i t) 2
S = Monto……….. ($)
¡ = Tasa de interés (%)
t = Tiempo
(días, meses, años)
1.4 CALCULO DEL INTERÉS SIMPLE Y MONTO
Ejemplo 1.
( I
Y
S)
Determinar el interés simple sobre $ 750 al 4% durante ½ año.
¿Cuál será el monto?
En éste caso c = $750, ¡ = 0.04 y t = ½ año ó 6/12, por lo cual:
Solución a).
I= C i t ………………………..(1)
I= ($ 750) (0.04) (1/2)
I= $ 15
S= C + I ……………………….(3)
S= $750 + $15
S= $ 765.00
Solución b)
S= C ( 1 + i t)…………………..(4)
S= $750 [ 1 + (0.04)(6/12) ]
S= $ 765.00
I = S – C…………………………(2)
I = $765 - $750
I = $ 15
1.5 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS (i)
Ejemplo 2.
¿ A que tasa de interés simple, el monto de $ 2,000 será $ 2110 en
un año ?
3
En este caso S= $2110, c= $ 2,000, t= 1 año, i =?, por lo cual:
I=s–c
I = $2110 - $2,000
I = $110
I=Cit
I
Ct
= i
$ 110
= i
($2000)(1 año)
0.055 = i
5½%= i
calculo del tiempo ( t )
Ejemplo 3.
¿En que tiempo el monto de $2000 será $2125 al 5% de interés simple?
En este caso: s= $ 2125, C= $2000, i = 5%, t =? Por lo cual :
I=S–C
I =$ 2125 - $ 2000
I = $125
I=Cit
I = t
C i
$ 125 = t
($2000)(0.05)
4
1.25 = t
1 ¼ años = t
1 año 3 meses = t
1.6 CALCULO DEL VALOR PRESENTE ( C)
Encontrar el valor presente, al 6% de interés simple, de $1,500 con
vencimiento en 9 meses.
En este caso, s=$1500, l=0.06, t=9/12, c=? Por lo cual:
c=
c=
c=
5
1+ i t
$ 1500
1+(0.04 (9/12)
$1435.41
1.7 EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Encontrar el Interés simple y el monto de $1000
(a) al 41/2 durante 1 año
(c) al 31/2% durante ½ año
durante 15 meses
(b) al 51/4 durante 2 años
(d) al 6% durante 8 meses
durante 10 meses.
(e) al 4%
(f) al 5%
2.- ¿A que tasa de interés simple?.
(a) el monto de $4000 será $4900 en 3 años
(b) el monto de $720 será $790 en 10 meses
3.- X compro un radio en $1245 Dio un anticipo del 10% y a cargo pagar
el resto en 3 meses, más un cargo de $10 ¿Que tasa de interés simple
pago?
4.- ¿En que tiempo el monto de $4000 será $4250 al 5% de interés
simple?
5. -¿En que tiempo se duplica una cantidad de dinero en BANAMEX al t%
5
de interés simple?
6. - ¿Qué suma debe ser al 5% para tener $1000 después de 8 meses?
EJERCICIOS GRUPO 2
1. Encontrar el Monto y el interés simple de.
(a) $ 7,500 durante 9 meses al 51/2%
(c) $ 6000 durante 5 meses
al 6%.
(b) $ 18,000 durante 10 meses al 41/2% (d) $ 9000 durante 4 meses
al 33/4%.
2. Hallar la tasa de interés sabiendo que el monto de $16,500 es:
(a) $16,775 en 4 meses
(b) $17,050 en 10 meses
3 Que capital produce en 8 meses
(a) 480 al 6%
(b) 500 al 5%
4 En qué tiempo un capital de $3,000
(a) produce $900 al 71/7% de interés simple
(b) alcanza un monto de $3,450 al 5% de interés simple
EJERCICIOS GRUPO 3
1 Calcular el interés simple de
(a) $2000 durante 3 años al 0.75% mensual
(b) $10,000 durante 4 años al 5% semestral
(c) $25,000 durante 1 año 3 meses al 6% semestral
(d) $4,000 durante 2 años 3 meses al 0.5% mensual
2 Calcular el interés Exacto de:
6
(a) $7000 durante 105 días al 8%
(b) $4000, el 16 de Nov. Si fue firmado el 16 de julio del mismo año.
(c) $6000 durante 4 meses el 9%
3 El propietario de una casa recibe el 15 de Mayo de 1998 las 3 ofertas
que se detallan.
¿Cuál es la mejor, si el rendimiento es del 9%?
(a) $60,000 al contado y un pagaré al 10 de Sep. De 2000 por $32,600.
(b) $30,000 a 120 días y $63,500 al 180 días.
(c) $20,000 al contado y un pagare con intereses del 8% por $71,000 a 120
días.
4 Una persona descuenta un pagaré al $20,000 el 15 de Mayo con
vencimiento el 13 de Agosto y recibe solo $19,559.90 ¿A qué tasa de
descuento racional o matemático le fue descontado el pagare?
5 Una persona debe $20,000 c/venc. A 3 meses, y $16,000 con
vencimiento a 8 meses propone pagar su deuda mediante 2 pagos
iguales a un vencimiento a 6 meses y 1 año respectivamente.
Determinar el valor de los nuevos pagares con el 8% de rendimiento.
( tome como fecha focal dentro de un año)
1.8 INTERÉS SIMPLE EXACTO Y ORDINARIO
INTRODUCCIÓN:
DOS PROBLEMAS TÍPICOS DE INTERÉS SIMPLE SON:
(a) Hallar el interés simple sobre $2000 al 5% durante 50 días
(b) Hallar el interés sobre $1500 al 6%, del 20 de Marzo de 1999 al 11 de
Mayo del 2000.
Estos dos problemas resuelven aplicando I=cit. sin embargo, debido
a las variaciones en las practica comercial, pueden darse dos respuestas
diferentes en el primer problema y no menos de cuatro en el segundo. La
diversidad de resultados se origina en las diferentes practicas para estimar
t.
DEFINICIÓN
-
El interés simple Exacto: (ISE) se calcula sobre la base del año de
7
365 días.
(366 en años bisiestos).
-
El interés Simple Ordinario (ISO) se calcula con base en un año de
360 días. El uso del año de 360 días simplifico algunos cálculos, sin
embargo, aumento el interés cobrado por el acreedor.
EJEMPLO 5
(a) Determinar el interés exacto y ordinario sobre $ 2000 al 5%, durante 50
días.
En este caso, c=$2000, i=0.05, t=50 días, por lo cual.
ISE=c i t
= ($2000) (0.50) (50/365)=$13.70
ISO=c i t
=($2000)(0.05) (50/360)=$13.89
1.9 CALCULO DEL TIEMPO, EXACTO Y APROXIMADO
DEFINICIÓN:
 Calculo Exacto del Tiempo: como su nombre lo indica, es el numero
exacto de días, tal como se encuentra en el calendario; aplicando la
siguiente formula, en base a la tabla I.
(Dff-Dfi) + (dif. Años x 365) + (bisiestos)
 Calculo aproximado del tiempo: se hace suponiendo que cada mes
tiene 30 días y cada año 360 días; y se obtiene restando la fecha final
de la inicial.
 Debe pasar por año bisiesto y por todo el mes de febrero para
considerarlo.
EJEMPLO 5
a) Hallar el interés Exacto Ordinario, con tiempo exacto y aproximado de:
$1500 al 6% del 20 de Marzo de 1999 al 11 de Mayo del 2000.
Tiempo exacto por formula:
(131-79) + (1x365) + (1)
8
+ 52+ 365 + 1 = 418 t. exacto
Tiempo Exacto por calendario:
11+30+31+30+31+31+30+31+30+31+31+29+31+30+11=418
M A M J J A S O N D E F M A M
Tiempo Aproximado:
11:05:00
20:03:99
41: 04 00
20: 03 99
21: 01 1
x30 x360
21+30+360= 411
tiempo aproximado
ISE c/t. exacto = c i t
= (1500)(0.60)(418/366)= $102.79
por que paso por todo febrero
en año bisiesto
ISE c/t. APROXIMADO = C i t
= ($1500) (0.60) (411/366) = $101.06
ISO c/t. EXACTO = C i t
= ($1500 (0.06) (418/360) = $104.50 (SISTEMA BANCARIO)
=Cit
= ($1500) (0.60) (411/360)= $102.75
EL ISO c/tiempo exacto es el método que produce mayor interés ¿Con cual
cobra el banco y con cual paga el banco?.
1
2
3
4
Determinar en forma aproximada y exacto el tiempo transcurrido de la
fecha de tu nacimiento al día de hoy.
Determinar en forma aproximada y exacta el tiempo transcurrido
entre el 25 de enero de 1998 al 15 de Mayo del 2000.
Determinar en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido
entre el 15 de septiembre de 1999 al 15 de febrero del 2000.
Comparar el interés exacto y ordinario sobre $2,500 al 5% del 15 de
9
5
6
7
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Abril al 25 de Julio de 1999, con tiempo aproximado.
Determinar, de acuerdo con el sistema bancario, el interés simple
sobre $4280 al 6% del 21 de Marzo al 25 de julio del 2000.
Determinar, de acuerdo al sistema bancario, el interés simple sobre
$3575 al 43/4% durante 80 días.
Hallar el interés Simple Ordinario y exacto de.
$900 durante 120 días al 5%
3000 durante 146 días al 3%
$1000 del 6 de agosto de 1999 al 14 de Diciembre del 2000 al 4%
1750 del 10 de junio de 1998 al 1 de noviembre de 1998 al 5%
$2500 del 21 de Enero de 1999 al 13 de agosto del 2000 al 41/2%
$2000 del 18 de octubre de 1999 al 6 de febrero del 2000 al 51/4%.
1.11 PAGARÉS
DEFINICIÓN: un pagaré es una promesa escrita de pago de una
determinada cantidad de dinero, con intereses o sin ellos, en una fecha
dada, suscrita por un deudor a favor de un acreedor. En un pagaré
intervienen los siguientes elementos.
- Plazo: Es el tiempo especificado explícitamente en el documento
(numero de meses) o (numero de días).
- Valor Nominal. Es al suma Estipulada en el documento.
- Fecha de Vencimiento: Es la fecha en al cual debe ser pagada la
deuda.
- Valor de Vencimiento: Es la suma que debe ser pagada en la fecha de
vencimiento.
En un pagaré, en el cual no se estipule intereses, el valor nominal es igual
al valor del vencimiento; en caso contrario, el valor al vencimiento siempre
será mayor que el valor nominal.
Para determinar la fecha de vencimiento de un pagaré procederemos como
sigue:
(a) Si el plazo esta dado en meses, el tiempo se determinara
aproximadamente.
(b) Si el plazo este dado en días, el tiempo de determinara exactamente.
10
EJEMPLO 6
En una pagaré firmado el 15 de Enero, con vencimiento de 3 meses
por $5,000 con un interés del 6%
Fecha
plazo
15/01 3 meses
fecha de vencimiento
valor al vencimiento
15 de abril
S=c (1+ i t)
S= $5,000[1+(0.06)(3/12)]
S= $5075
1
Determinar para cada uno de los siguientes pagarés la fecha de
vencimiento y el valor al vencimiento.
Suma Nominal
Fecha
plazo
Tasa de interés
a)
$2500
1 de Marzo 4 meses
6%
b)
$3000
15 de junio
150 días
4%
2
Determinar la fecha de vencimiento y el valor al vencimiento de cada
una de los siguientes pagarés.
Valor nominal
a) $2000
b) $3000
c) $1250
d) $2500
e) $1600
f) $3200
g) $1500
h) $2750
Fecha
25 de abril
5 de marzo
10 de junio
1 de enero
10 de febrero
28 de nov.
5 de agosto
5 de julio
Plaza
3 meses
8 meses
4 meses
7 meses
120 días
45 días
60 días
135 días
Tasa de interés
51/2%
5%
6%
4%
7%
8%
6%
6%
3. Un pagaré a 10 meses por $3,000 al 6%, es suscrito el día de hoy.
Determinar su valor dentro de 4 meses, suponiendo un rendimiento de
5%.
11
1.13 ECUACIONES DE VALOR
Definición: en algunas ocasiones es conveniente para un deudor
cambiar el conjunto de sus obligaciones por otro conjunto. Para efectuar
esta operación, tanto el deudor como el acreedor deben de estar de
acuerdo con al tasa de interés que han de utilizarse y en la fecha que se
llevará a cabo.
EJEMPLO 7
En la fecha, B debe $1,000 por un préstamo con vencimiento en 6
meses, contratado originalmente a 11/2 años a la tasa de 4% y debe,
además, $2,500 con vencimiento en 9 meses, sin intereses.
El desea pagar $2,000 de inmediato y liquidar el saldo mediante un
pago único dentro de un año. Suponiendo un rendimiento de 5% y
considerando la fecha final dentro de un año, determinar el pago único
mencionado.
Fecha focal
6 meses
1060
DIAGRAMA
DE TIEMPO 0
$2,000
$2500
6
9
3 meses
12 meses
2000[1+(0.05)(1)]x=1060[1+(0.05)(6/12]+2500[1(0.05)(3/12]
$2100+ x =$1086.50+$2531.25
X =$1086.50+$2531.25 - $2100
X =$1517.75
EJERCICIOS GRUPO 6
1
Determinar el valor de las siguientes obligaciones, el día de hoy,
suponiendo una tasa de 4% de interés simple: $1000 con vencimiento
12
2
3
4
el día de hoy, $2000 con vencimiento en 6 meses con intereses del
5% y $ 3000 con vencimiento en un año con intereses al 6%. Utilizar el
día de hoy como fecha focal.
Resolver el problema anterior, considerando que la fecha focal esté un
año después.
X debe $500 con vencimiento en 2 meses, $1,000 con vencimiento en
5 meses y $1500 con vencimiento en 8 meses. Se desea saldar las
deudas mediante 2 pagos iguales, uno con vencimiento en 6 meses y
otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos
pagos suponiendo un interés del 6%, tomando como fecha focal la
fecha al final de 10 meses.
X debe a Y $1000 pagaderos dentro de 6 meses, sin intereses, y $
2000 con intereses del 4% por 1 ½ años, con vencimiento dentro de 9
meses. Y esta de acuerdo en recibir 3 pagos iguales, un inmediato, y
otro dentro de 6 meses y el tercero dentro de un año. Determinar el
importe de cada pago utilizando como fecha focal la fecha dentro de
un año, suponiendo que Y espera un rendimiento del 5% en la
operación.
1.14 DESCUENTO SIMPLE
INTRODUCCIÓN
El valor presente C de una cantidad S con vencimiento a una fecha
posterior, puede ser interpretado como el valor descontado de S. A la
diferencia del monto con el capital se le conoce como descuento simple de
S a una tasa de interés, o sea el descuento racional sobre S.
DEFINICIÓN :
El descuento simple, es aquel que se descuente sobre una cantidad
(S) del cuál se obtiene el valor presente u otorgado, ya descontado.
Al descuento bancario, se le conoce frecuentemente como interés
por adelantado.
FORMULAS :
D= S d t....................................(1)
C= S –D ...................................(2)
13
C= S – Sdt
C= S (1- d t)..............................(3)
Ejemplo Nº 8
Hallar el descuento simple sobre una deuda de $ 1500 con
vencimiento en 9 meses a una tasa de descuento del 6% ¿cuál es el valor
presente de la deuda?
Por lo tanto, S= $ 1500, d= 0.06, t = 9/12 meses,
D= Sdt
D = ($1500)(0.06)(9/12)
D = $ 67.50 ( descuento simple )
C = S-D
C = $1500 - $67.50
C = $ 1432.50 ( valor presente).
NOTACIÓN :
D = Descuento simple o racional ($)
S = Monto ($)
d = tasa de descuento (%)
t = tiempo (días, meses, años )
c = valor presente ($)
1.15 DESCUENTO DE PAGARÉS
INTRODUCCIÓN
Un pagaré puede ser vendido una o más veces antes de la fecha de
vencimiento. Cada comprador descuenta el valor del documento al
vencimiento desde la fecha de la venta hasta la fecha de vencimiento a su
tasa de descuento fijada.
Ejemplo Nº 9
¿Cuál es el importe de la venta del siguiente pagaré, al señor tomas
14
Martínez. 5 meses antes del vencimiento, a la tasa de descuento del 8%?
DIAGRAMA DE TIEMPO
1/1
4/1
9/1
____________________________________________________________
Valor nominal
Importe de la venta
Valor al vencimiento
$3000
$ 2,977.33
$3080
- Descuento por 5 meses al 8%
a)
I=Cit
I = ($3000)(0.04)(8/12)
I = $ 80
valor al vencimiento
S = C+I
S = $ 3000+ $ 80
S = $ 3080
b)
El periodo de descuento es 5 meses
D=Sdt
D = ($3080) (0.08) (5/12)
D = $ 102.67
c)
Tomas Mtz; le paga a Pérez $ 2977.33 y obtiene la posesión
del documento. Sí Mtz. La conserva hasta el vencimiento ( 1 de
septiembre) recibirá de Jaime p. García el valor al vencimiento,
o sea $ 3080.00
Importe de venta
C= S-D
C = $3080-$102.67
C = $ 2977.33
1.16 PROBLEMAS PROPUESTOS
1. ¿Cuál es el valor actual de una serie de bonos que totalizan $1200 y
cuyo vencimiento es dentro de un mes, suponiendo una tasa de interés del
6%? ¿Cuál es el descuento racional?
2. Determinar el valor al 1º de mayo de un pagaré, sin intereses, de $1500
pagadero el 15 de junio, suponiendo una tasa de interés simple de 5%
¿cuál es el descuento racional?
3. Hallar el valor actual, al 5% de descuento simple de:
15
(a) $1000 con vencimiento en 1 año.
(b) $1200 con vencimiento en ½ año.
(c) $800 con vencimiento en 3 meses.
4. Un banco carga el 6% de interés por adelantado (6% de descuento
simple). Si x firma un documento por $2000 a 5 meses. ¿Qué cantidad
recibirá el banco?
5. ¿Qué tasa de interés simple paga x, en el problema 4?
6. Determinar el valor del documento a 5 meses que x debe firmar con el
objeto de recibir $2000 del banco, del problema 4.
7. Un pagaré de $ 1000 a tres meses, sin intereses, firmado el 5 de mayo
fue descontado el 26 de junio al 6%. Determinar el valor de la transacción.
8. Un documento por $2500 a 6 meses, con intereses al 6%, fechado el 20
de marzo, fue descontado el 7 de julio al 5%. Hallar el importe de la
operación.
9. un documento por $3000 a 240 días con intereses al 5%, fechado el 10
de Agosto de 1997 fue descontado el 16 de febrero de 1998 al 4%. Hallar
el importe de la operación.
EJERCICIOS GRUPO 8
1. Una hipoteca tiene un valor de $1200 al vencimiento. Determinar su
valor 5 meses antes del vencimiento. Suponiendo un rendimiento de 4
½ % de interés simple.
¿Cuál es el descuento racional?
2. X recibirá un dividendo de $750 el 14 de junio ¿cuál es su valor el 30
de Abril suponiendo un rendimiento de 5% de interés simple? ¿Cuál es
el descuento racional?
3. Un documento por $600 establece 5% de interés simple por 120 días.
Si B descuenta el documento 30 días antes del vencimiento para
obtener 4% de interés simple ¿cuál es el descuento?
4. Determinar el descuento simple sobre:
16
(a)
(b)
(c)
(d)
$3500 por 60 días al 4% de descuento simple.
$5000 por 90 días al 3 ½ % de descuento simple.
$1200 por 4 meses al 5% de descuento simple.
$2500 del 5 de marzo al 10 de abril, al 6% de descuento
simple.
(e) $4000 del 10 de octubre al 13 de noviembre, al 5½% de
descuento simple.
(f) $ 3000 del 15 de septiembre al 30 de octubre, al 4 ½ % de
descuento simple.
5: Un banco carga el 6% de interés simple por adelantado (o sea el 6% de
descuento simple). En prestamos a corto plazo. Determinar la cantidad
recibida por una persona que solicite.
17
OBJETIVOS
2

Capacitarlo para manejar los factores que
intervienen en los cálculos del interés
compuesto

Enseñar los análisis matemáticos que
conducen al desarrollo de las fórmulas para
el cálculo de montos, tasas y tiempo.

Aplicarlos en la solución de problemas
frecuentes en las matemáticas financieras.
SUMARIO
Unidad 2. Interés Compuesto.
2.13. Introducción.
2.14. Definición.
2.15. Monto
compuesto
con
períodos
de
capitalización fraccionarios
2.16. Tasa nominal y efectiva de interés.
2.17. Aproximación de la tasa de interés.
2.18. Aproximación del tiempo.
2.21. Valor presente.
2.22. Valor presente para el caso de un período de
conversión fraccionario.
2.23. Ecuaciones de valor a interés compuesto.
18
2.24. Tiempo equivalente.
2. INTERÉS COMPUESTO
2.1 INTRODUCCIÓN
En aquellas transacciones que abarcan un periodo largo de tiempo, el
interés puede ser manejado de dos maneras:
(1) A intervalos establecidos, el interés vencido se paga mediante
cheque o cupones. El capital que produce los intereses permanece
sin cambio durante el plazo de la transacción. En este caso, estamos
tratando con intereses simples.
(2) A intervalos establecidos, el interés vencido es agregado al capital
(por ejemplo en las cuentas de ahorro). En este caso, se dice que el
interés es capitalizable o convertible en capital y en consecuencia,
también gana interés. El capital aumenta periódicamente y el interés
convertible también aumenta periódicamente durante el periodo de
transacción. La suma vencida al final de la transacción es conocida
como monto compuesto. A la diferencia entre el monto compuesto y
el capital original se le conoce como interés compuesto.
Ejemplo 1.
(a) Hallar el interés simple sobre $ 1000 por 3 años al 5% de
interés simple. Hallar el interés compuesto sobre $ 1000 por 3
años y el interés de 5% es convertible anualmente en capital.
(a) l = Cit = 1000(0.05) 3 = $ 150.00
(b) El capital original es $ 1000.
El interés por un año es 1000(0.05) = $50
El capital original del primer año es
1000 + 50 = $1050.
El interés sobre el nuevo capital por un año es
1050(0.05) = $52.50
El capital al final del segundo año es 1050 + 52.50 = $1102.50
El interés sobre el nuevo capital por un año es:
1102.50(0.05) = $52.12
El capital al final del tercer año es 1102.50+55.12 = $1157.62
El interés compuesto es 1157.62 – 1000 = $ 157.62
19
2.2 DEFINICIÓN
El interés puede ser convertido en capital anualmente,
semestralmente, trimestralmente, mensualmente etc. El número que el
interés se convierte en un año se conoce como frecuencia de conversión.
El periodo de tiempo de interés se establece entre dos conversiones
sucesivas se conoce como período de interés o conversión. La tasa de
interés se establece normalmente como tasa anual. Por “interés al 6%” se
extiende que el 6% se convierte anualmente de otra forma, la frecuencia de
conversión se indica expresamente, esto es, 4% convertible
semestralmente, 5% convertible trimestralmente, etc.
En problemas que implican interés compuesto, tres compuestos son
importantes (a) el capital original, (b) la tasa de interés por periodo y (c) el
número de periodos de conversión durante todo el plazo de la transacción.
Ejemplo 2.
Una cierta cantidad es invertida durante 8 años al 7% convertible
trimestralmente. El periodo de conversión es 3 meses; la frecuencia de
conversión es 4. La tasa de interés por periodo de conversión es
Tasa anual de intereses
Frecuencia de conversión
=
0.07 = 0.0175 ó 1 3/4
4
El número de periodos de conversión es
(numero dado de años) (frecuencia de conversión) = 8 ½ x 4 = 34
EL MONTO COMPUESTO. Sea un capital C invertido a la tasa i por
periodo de conversión y designemos con S al monto compuesto de C al
final de n periodos de conversión. Puesto que C produce Ci de interés
durante el primer periodo de conversión, al final de dicho periodo produce a
C + Ci= C (1 + i). En otras palabras, el monto de un capital al final de un
periodo de conversión se obtiene multiplicando en capital por el factor (1 +
i). En consecuencia, al final del segundo periodo de conversión el capital es
20
c(1 + i) (1 + i) = C (1 + i)2 al final del tercer periodo de conversión, el monto
es C (1 + i)2 (1 + i) = C (1 + i) y así sucesivamente. La sucesión de montos.
C(1 + i), C (1 + i) 2, C (1+i) 3
Forma una progresión geométrica cuyo n-esimo término es
S = C (1+i) n
El factor (1+ I) n es el monto compuesto de A a la tasa i por periodo,
por n periodos de conversión y será conocido como monto compuesto de
1. Para una i y una n dadas, el monto compuesto puede ser obtenido
mediante al teorema binominal utilizando logaritmos. En caso de tasas
comunes de interés, el valor puede ser leído directamente de tablas
preparadas específicamente. Para el cálculo de S aproximado a centavos,
utilizaremos únicamente tantos decimales como dígitos tenga C expresado
en centavos. Este procedimiento en ocasiones causará un error de un
centavo.
Ejemplo 3.
Si se invierten $1000 durante 8 ½ al 7% convertible trimestralmente,
tenemos que, C = 1000, i = 0.0175, n= 34 y
S = C(1 + i) n = 1000 ) 1.0175) 34
= 1000)1.803725) = $1803.72
El interés compuesto es 1803.72 --- 1000 = $803.72
Ejemplo 4.
El 20 de marzo de 1945, se invirtieron $ 200 en un fondo que pagaba
el 5% convertible semestralmente, ¿Cuál era el importe del fondo el 20 de
septiembre de 1961?.
C = 200, i = 0.025, n = 33 y
S = C (1 + i) n = 200(1.025) 33 = 200(2.25885) = $451.77
2.3
MONTO COMPUESTO CON PERIODOS DE CONVERSIÓN
FRACCIONARIOS
La formula (1) se deriva con la suposición de que n es entero. En
21
teoría puede ser aplicable para n entero o fraccionario. Al evaluar la
formula cuando n es fraccionario, en ocasiones se utilizaran las tablas IV y
VI; en otros casos será necesario utilizar los logaritmos.
Ejemplo 5.
Hallar el monto compuesto (teórico) de $ 3000 en 6 años 3 meses al
5%
En este caso C = 3000 i = 0.05 y n 25/4 por tanto.
S = 3000(1.05) 23/4 3000(1.05) 6 (1.05) ¼
En la practica raramente se aplica el procedimiento anterior. En su
lugar se determina el monto compuesto correspondiente a los periodos de
conversión y se aumenta con interés simple por el periodo fraccionario de
conversión a la tasa anual estipulada. A menos que se diga otra cosa,
deberá entenderse en futuras aplicaciones que este último sistema será el
utilizado.
Ejemplo 6.
Resolver el ejemplo anterior aplicando interés simple en el periodo de
conversión fraccionario.
Aplicamos interés compuesto por 6 periodos (años) e interés simple
sobre el monto compuesto por ¼ año, es decir
S= 3000(1.05) 6 (1+1.05 (1/4))
= 3000(1.340096) (1.0125) = $ 4070.54
Nota: Esta regla es más practica para simplificar los cálculos,
produce un resultado ligeramente mayor que la regla teórica.
2.4 TASAS NOMINAL Y EFECTIVA DE INTERESES
Se dice que dos tasas anuales de interés con diferentes periodos de
conversión son equivalentes si se producen el mismo interés compuesto al
final de un año.
Ejemplo 7.
22
Al final de una año el monto compuesto de $100 al
(a) 4% convertible trimestralmente es 100 (1.01) 4 = $104.06
(b) 4.06% convertible anualmente es 100(1.0406) = $104.06
Por tanto, 4% convertible trimestralmente y 4.06% convertible
anualmente son tasas equivalentes.
Cuando el interés es convertible más de una vez en un año, la tasa
anual dada se conoce como tasa nominal anual o simplemente tasa
nominal. La tasa de interés efectivamente ganada en un año se conoce
como tasa efectiva anual o como tasa efectiva. En el ejemplo 7 (a), 4% es
la tasa nominal mientras que en (b) 4.06 es la tasa efectiva. Como se
mostró, 4.06 es la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal de 4%
convertible trimestralmente.
Ejemplo 8.
Hallar la tasa efectiva de interés i equivalente a una tasa nominal de
5% convertible mensualmente.
En un año el monto de 1 a la tasa efectiva i será 1 + i y al 5% convertible
mensualmente será (1 + 0.05/12) 13
Haciendo
vemos que
1 + i = (1 + 0.05/12) 12
i = (1+ 0.05/12) 12 - 1
= 1.05116190 - 1 = 0.05116190 o sea 5.116%
Ejemplo 9.
Hallar una tasa nominal j convertible trimestralmente equivalente a
una tasa efectiva de 5%.
En un año, el monto de 1 a la tasa j convertible trimestralmente es (1
+ j/4) y al 5% efectivo es 1.05. Haciendo
4
(1 + j/4) 4 = 1.05
vemos que
1 + j/4 = (1.05) ¼
Por tanto,
j = 4 [(1.05)1/4 -1 ]
= 4(0.01227223) = 0.04908892 o sea 4.909%
23
Nota: Ciertos autores definen y tabulan valores de
jp ( a la tasa i) = p [ (1 +i) 1/p - 1) ]
2.5 APROXIMACIÓN DE LA TASA DE INTERÉS
Dados C, S y n en la ecuación (1), puede ser aproximada ya sea
interpolando en la tabla IV o utilizando logaritmos.
Ejemplo 10.
¿A que tasa nominal j convertible semestralmente el monto de $100
será $215 en 15 ½ años?
En este caso C = 100, S = 215, n = 31. Será i = j/2; de la ecuación
(1) tenemos:
215
215 = 100(1 + i) 31
y (1 + i) 31 =
100
= 2,1500
En la tabla IV encontramos que (1.025) 31 = 2.15000677, por lo cual
i = 0.025 y j = 2i = 0.05 o sea 5%
Ejemplo 11.
¿A que tasa nominal j convertible trimestralmente el monto de $1250 será
$1900 en 10 años?
En este caso C = 1250, S = 1900, n = 40; de (1) tenemos que,
1900 = 1250 (1 + i) 40
y (1+i) 40 = 1900
1250
= 1,5200
Aproximado a cuatro decimales las cifras de la tabla IV, tenemos que
(1.01)40 = 1.4889 y (1.0125)40
= 1.6436, cercano a 1.5200. Vemos
claramente que la tasa i buscada debe estar entre 1% y 1 ¼ % estando
mas cerca de 1%. Ahora, coloquemos a continuación junto a cada
paréntesis rectangular la diferencia de las dos cantidades indicadas. (En
este caso escribimos i – 0.01 = x)
0.01
1.4889
24
0.0311
0.025
i
0.125
X
0.0025
0.1547
1.5200
1.6436
0.0311
0.0311
0.1547
0.1547
De la proporción
=
encontramos que
por tanto
i = 0.01 + x = 0.01050 y j = 4i = 0.0420 y 4.20%
= 00050,
Ejemplo 12
Resolver el ejemplo 11, usando logaritmos.
De la igualdad 1900=1250 (1+i) 40 tenemos
Log 1900=log 1250+40 log (1+i)
Por tanto
Log (1+ I) = log 1900 – log 1250 = 3278574 – 3096910
40
40
= 0.04546
De donde
1+ i = 1.01052
o sea 4.208%
i = 0.01052
y j = 4i = 0.04208
2.6 APROXIMACIÓN DEL TIEMPO
Conocidos C, S e, i, el tiempo n de la formula (1) puede ser calculado
interpolando en la tabla IV o aplicando logaritmos.
Ejemplo 13.
¿En que tiempo el monto de $2000 será $ 3600 al 4% convertible
semestralmente?
C= 2000, S= 6350, i = 0.02; de la formula (1) tenemos
25
3650
2000
3650 = 2000 (1.02)n y (1.02) n =
= 1.8250
En la tabla IV, encontramos
(1.02) 30 = 1.81136158 y (1.02) 31 = 1.84758882
Es decir, que el tiempo requerido esta entre 30 y 31 periodos de
conversión, o sea entre 15 y 15 ½, existiendo un monto ligeramente mayor
en la cuenta. Si el interés se carga por periodos de conversión
fraccionarios, el tiempo puede ser estimado en forma similar a la del
ejemplo 11. La información se maneja así:
1
30
n
31
x
0.0362
1.8114
1.8250
1.8476
0.0135
De la relación x = 0.0136 , x = 0.38 y n = 30 + x = 30.38, periodos de
1 0.0362
conversión. El tiempo es 15,19 años, aproximadamente.
2.7 PROBLEMAS RESUELTOS
1. Una cierta cantidad es invertida por 6 años, 7 meses, al 6% convertible
mensualmente. Hallar la tasa de interés i por el periodo de conversión y
él numero de periodos n.
El periodo de conversión es un mes; la frecuencia de conversión es 12.
Por tanto, i = 0.06/12 = 0.005 o sea ½ % y n = 6 x 12 + 7 = 79 periodos
de conversión.
2. Una cierta cantidad es invertida al 8% convertible trimestralmente, del
10 de octubre de 1954 al 10 de enero de 1962. Hallar la tasa de interés
i por el periodo de conversión y el numero de periodos n.
El periodo de conversión es 3 meses; la frecuencia de conversión es 4.
26
Por tanto, i = 0.08/4 = 0.02 o sea 2% y
Año
1962
1954
Restando
7
Mes
1
10
3
n = 7 x 4 + 1 = 29 periodos de conversión
3. X obtiene un préstamo de $ 600 acordando pagar el capital con interés
de 3% convertible semestralmente. ¿Cuánto debe al final de 4 años?
C = 600, i = 0.015, n = 8, por tanto
S = C (1+ i )n = 600 (1.015)n = 600 (1.12649) = $675.89
4. Acumulado $ 2500 por 5 ¼ años al 4% convertible mensualmente.
C = 2500, i = 0.04/12 = 0.01/3, n = 63; ya que
S = C (1 + i ) n = 2500 (1 + 0.01/3) 63 = 2500 (1.233247) =
$3083.12
NOTA: Escribimos i = 0.01/3 puesto que de otra forma i seria un
décimo ilimitado.
5.
El 1º de Febrero de 1948, X obtuvo un préstamo de $ 2000 al 5%
¿Cuánto debía el 1º de agosto de 1960?
C = 2000, i = 0.0125, n = 50; ya que,
S = C (1 + i)n = 2000 (1.0125) 50 = 2000 (1.861022) = $3722.04
6. Seis años después de que X abrió una cuenta de ahorros con $ 2500
ganados intereses al 2 ½ % convertible semestralmente, la tasa de
interés fue elevada al 3% convertible semestralmente. ¿Cuánto había
en la cuenta 10 años después del cambio en la tasa de interés?
En los primeros 6 años C = 2500, i = 0.025, n = 12, y S =
2500(1.0125)12
En los siguientes 10 años C = 2500(1.0125)12, i = 0.025, n = 20, Por
tanto,
S =
C = 2500(1.0125)12
(1.015)20 = 2500(1.160755)(1.346855) =
27
$3908.42
7. Acumular $ 2000 por 6 años, al 4.2%, convertible trimestralmente.
C = 2000, i = 0.0105, n = 24 y S = 2000(1.0105)24
Es este caso no nos sirve la tabla IV por lo cual S se determina
usando logaritmos.
Log S = log 200 + 24 log 1.0105
= 3.301030 + 0.108871 = 3.409901 y S = $ 2569.80
8. Hallar el monto compuesto de $ 1000 por 20 años al 5%, convertible
mensualmente.
C = 1000, i = 0.05/12, n = 240 y
S = 1000(1 + 0.05/12)240
= 1000(1 + 0.05/12)150 (1 + 0.05/12)90
= 1000(1.865822)(1.45358) = $ 2712.64
9. La tabla dada a continuación, nos da el monto de $ 1 a interés simple y
a interés compuesto al 6%. El crecimiento comparativo se ilustra en la
grafica adjunta.
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Monto a interés
simple
1,000
1,060
1.120
1,180
1,240
1,300
1,360
1,420
1,480
1,540
1,600
Monto a interés
compuesto
1,000
1,060
1,124
1,191
1,262
1,338
1,419
1,504
1,594
1,689
1,791
10. Hallar el monto compuesto teórico de, (a) $ 500 por 7 años, dos
meses; al 4 ½ %; (b) $ 1500 por 6 años, 7 meses; al 5.2%, convertible
semestralmente.
28
(a) C = 500, i = 0.045, n = 43/6, y
S = 500(1.045)43/6 = 500(1.045)7(1.045)1/6
= 500 (1.36086)(1.00736)
= $ 685.44
(b) C = 1500, i = 0.026, n = 79/6, y S = 1500(1.026) 79/6
log S = log 1500 + 79/6 log 1.026
= 3.176091 + 0.146776 = 3.322867 y
S = $2103.10
11. Hallar el monto compuesto de, (a) $ 500 por 7 años, 2 meses al 4 ½ %;
(b) $ 1500 por 6 años, 7 meses; al 5.2%, convertible semestralmente.
(a) Utilizamos interés compuesto por 7 periodos de conversión e
interés simple por dos meses, con lo cual
S = 500(1.045) 7 (1 + 0.045/6)
= 500(1.36086)(1.0075) = $ 685.53
(b) Utilizamos interés compuesto por 13 periodos de conversión e
interés simple por 1 mes, con lo cual
S = 1500(1.026) 13 (1 + 0.025/12) = 1500(1.026) 13(1.0043)
Log S = log 1500 + 13 log 1.026 + log 1.0043
= 3.176091 + 0.144911 + 0.001864 = 3.322866 y S = $ 2103.10
12. Hallar la tasa efectiva i equivalente a j = 0.0525 convertible
trimestralmente.
En un año, el monto de la tasa es 1 + i y la tasa j = 0.0525 convertible
trimestralmente es (1.0131225) 4;
Igualando
1 + i = (1.013125) 4
encontramos
i = (1.013125) 4 – 1
Ahora
log (1.0131) 4 = 4(0.0056523) = 0.022609
Y
(1.0131) 4 = 1.0534
Por tanto
i = 0.0534 o sea 5.34%
29
13. Hallar la tasa nominal j, convertible mensualmente, equivalente al 6%
convertible semestralmente.
En un año, el monto de $1 a la tasa nominal j, convertible
mensualmente, es (1 + j/12) 12 y al 6% convertible semestralmente es
(1.03) 2. Haciendo
(1 + j/12) 12 = (1.03) 2
encontramos 1 + j/12= (1.03) 1/6
y
j = (12 ) (1.03) 1/6 -1 = 12(0.00493862) =
0.05926344 o sea 5.926%
14. Hallar la tasa nominal j, convertible semestralmente, equivalente al
4.2% efectivo.
En un año, el monto de $1 a la tasa nominal j, convertible
semestralmente, es (1 + j/2); y al 4.2% efectivo es 1.042.
Igualando
(1 + j/2) 2 = 1.042
tenemos
j = 2 [(1.042) ½ - 1]
Aplicando logaritmos, log (1.042) ½ = ½ (0.0178677) = 0.0089338
Y (1.042) ½ =1.02078, por tanto
j = 2[1.02078 - 1] = 0.04156 o sea 4.156%
15. Hallar la tasa de interés i por periodo de conversión y él numero n de
periodos de conversión cuando se invierte un capital C:
(a) por 5 años al 4%
(b) por 8 años al 5%
(c) por 6 años al 4 ½% convertible semestralmente
(d) por 10 años al 3 ½ convertible semestralmente
(e) por 5 ½ años al 4% convertible trimestralmente
(f) por 6 años 9 meses, al 6% convertible trimestralmente
(g) del 10. de enero de 1960 al 1º. Julio de 1971 al 5% convertible
30
semestralmente.
(h) Del 15 de marzo de 1947 al 15 de septiembre de 1963, al 3 ½
(i) Del 18 de agosto de 1948 al 18 de febrero de 1957, al 6%
(j) Del 20 de enero de 1955 al 20 de julio de 1962, al 6%
convertible mensualmente.
(k) Del 30 de septiembre de 1947 al 30 de marzo de 1963, al 3%
Resp.
(a) i = 0,4 n = 5.
(b) i = 0.05, n = 8
(c) i = 0.0225, n = 12
(d) i = 0.0175, n = 20
(e) i = 0.01, n = 22
(f) i = 0.015, n = 27
(g) i = 0.025, n= 23
(h) i = 0.0175, n = 31
(i) i = 0.015, n = 34
(j) i = 0.005, n = 90
(k) i = 0.0025, n = 186
16. (a) Comparar el monto simple y el monto compuesto de $ 100 por un
año al 6%. Sacar conclusiones (b) Comparar el monto simple y el
monto compuesto de $100 por 5 años al 6%. Sacar conclusiones.
17. Hallar el monto compuesto de $ 100 al 5% por (a) 10 años, (b) 20
años. (c). 30 años. En forma aproximada ¿cuándo el monto
compuesto es el doble del capital original?. Resp. (a) $169.89, (b)
$265.33, (c) $432.19, después de 15 años.
18. Hallar el monto compuesto de:
(a) $750 por 6 años al 4% convertible semestralmente.
(b) $750 por 6 años al 4% convertible trimestralmente.
(c) $1500 por 8 ½ años al 3% convertible trimestralmente.
(d) $1500 por 7 años 8 meses al 5% convertible mensualmente.
Resp. (a) $951.18 (b) $952.30 (c) $1919.46 (d) $2199.00
19. Un padre coloca $ 500 en una cuenta de ahorros al nacer su hijo, Si la
cuenta paga el 2 ½% convertible semestralmente, ¿cuánto habrá al
cumplir 18 años el hijo?.
Res. $781.97
20. Se estima que un terreno boscoso cuyo valor es de $ 75.000
31
aumentara su valor cada año en 4% sobre el valor del año anterior
durante 12 años. ¿Cuál será su valor al final de dicho plazo? Res.
$120.077.42
21. Una póliza total de $10.000 cuyo vencimiento fue el 1º. De mayo de
1962, fue dejada en la compañía de seguros al 3 ½% convertible
anualmente. ¿Cuál fue su valor el 1º. De mayo de 1970? Res. $
13.169.09
22. X desea un préstamo de $ 2000 por 2 años. Le ofrecen el dinero al (a)
5% convertible trimestralmente, (b) 5 8/8 % convertible
semestralmente, (c) 5 ½ % de interés simple. ¿Qué oferta debe
aceptar? Res. (a).
23. Acumular $ 2000 por 6 años al 6.4% convertible semestralmente.
Res. $2918.70
24. Acumular $ 1500 por 7 ½ años al 5.2% convertible trimestralmente.
Res. $ 2209.90
25. Mediante la regla practica, hallar el monto compuesto de:
(a) $1000 por 8 años, 5 meses al 4% convertible semestralmente.
Res. $ 1395.67
(b) $1500 por 6 años, 10 meses al 5% convertible trimestralmente.
26. ¿Qué tasa convertible anualmente es equivalente al 6% convertible
trimestralmente? Res. 6.136%
27. Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente al 5%
convertible semestralmente. Resp. 4.969%
28. Hallar la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 5%
convertible semestralmente Resp. 4.949%
29. Hallar la tasa nominal convertible semestralmente a la cual el monto
de $ 2500 es $ 3250 en 5 años. Resp. 5.312%
30. Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente a la cual el monto de
$3500 es $500 en 5 ½ años. Resp. 6.849%
32
31. Hallar la tasa nominal convertible mensualmente a la cual el monto de
$3250 es $400 en 8 años.
32. Cuantos años se necesitaran para que:
(a) $1500 aumenten al doble, al 6% convertible trimestralmente?
(b) El monto de $ 2500 sea $ 6000 al 5% convertible
semestralmente?
(c) El monto de $ 4000 sea $5000 al 4% convertible
mensualmente?
(d) El monto de $4000 sea $7500 al 4.6% convertible
trimestralmente
Resp.(a) 11.64, (b) 17.73, (c) 5.59, (d) 13.74
2.9 EL VALOR PRESENTE
A la tasa i, por periodo de conversión, de un monto S con
vencimiento en n periodos de conversión es la suma C tal que invertida
ahora a la tasa dada de interés alcanzaría el monto S después de n
periodos de conversión. Del capitulo 7 tenemos,
S = C (1 + i)n
De donde,
C = S(1 + i)-n
En la tabla V se dan valores para el factor de descuento (1 + i)-n, para
diferentes tasa y plazos. Cuando no es aplicable la tabla V, deben utilizarse
logaritmos.
Ejemplo 1.
Hallar el valor presente de $ 2000 pagaderos en 6 años, suponiendo
un rendimiento a la tasa de 5% convertible semestralmente.
S = 2000, i = 0.025, n = 12 de (1) tenemos
C = S (1 + i) –n – 2000(1.025)-12 = 2000(0.743556) = $1487.11
Ejemplo 2.
33
Hallar el valor presente de $2000, pagaderos en 6 años, suponiendo
un rendimiento a la tasa de 5% convertible semestralmente.
S = 500, i = 0.011, n = 21 por tanto
C = 500(1.011)-21
Log C = log500 – 21 log 1.011
= 2.698970 – 0.099775 = 2.599195
C = $397.37
PARA HALLAR EL VALOR PRESENTE de un pagare con interés,
hallar:
(a) El monto de la deuda al vencimiento.
(b) El valor presente del monto encontrado en (a.
Ejemplo 3.
Suponiendo una tasa de rendimiento efectivo de 4% hallar el valor
presente de una deuda de $ 2500 contratada con intereses al 6%
convertible trimestralmente, pagadera en 8 años.
(a) El valor al vencimiento es
S = 2500 (1.015)82 = 2500(1.610324) = $4025.81
(b) El valor presente de $ 4025.81 pagadero en 8 años al 4% efectivo
es:
C = 4025.81(1.04)-8 = 4025.81(0.730690) = $2941.62
2.10 VALOR PRESENTE PARA EL CASO DE UN PERIODO DE
CONVERSIÓN FRACCIONARIO
Cuando el tiempo en una parte fraccionaria del periodo de
conversión, el valor presente puede ser encontrado en forma similar al
caso del interés compuesto mediante la regla teórica y la regla practica.
34
Ejemplo 4.
Hallar el valor presente de $3000 pagaderos en 8 años 10 meses
suponiendo un rendimiento de 4% convertible trimestralmente.
S = 3000, i = 0.01, n = 106/3; por tanto C = 3000(1.01) –106/3
Regla teórica. Haciendo uso de las tablas V y VII tenemos
C = 3000(1.01) – 106/3 = 3000 (1.01) –35 (1.01) –1/3
= 3000(0.705914)(0.996689) = $2110.73
Regla practica. En este caso n =106/3 = 35 1/3 descontamos S por 6
periodo (él numero mayor entero de periodos de conversión más próximo
al plazo dado) y le sumamos interés simple por 36 – 35 1/8 = 2/8 de
periodo de conversión, es decir por dos meses, por tanto.
C = 3000(1.01)-36 (1 + 0.04/6) = 3000(0.698925)(3.02/3)
= $2110.75
2.11 ECUACIONES DE VALOR
Una ecuación de valor se obtiene igualando en una fecha de
comparación focal, la suma de un conjunto de obligaciones con otro
conjunto de obligaciones. En él capitulo 4 se hizo notar que cuanto se trata
con interés simple, dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en
una cierta fecha pueden no serlo en otra distinta. Cuando se trata con
interés compuesto, dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en
una fecha también lo son el cualquier otra.
Ejemplo 5.
M debe a N $1000 pagaderos en 2 años y $3000 pagaderos en 5
años. Acuerdan que M liquide sus deudas, mediante un pago único al final
de 3 años sobre la base de un rendimiento de 6% convertible
semestralmente.
1000
0
1
2
3000
3
4
35
5 años
Designemos con X el pago requerido. Tomando el final del tercer año
como fecha focal, la deuda de $ 1000 está vencida en un año y su valor es
1000 /1.03)2, la deuda de $3000 vence en dos años y su valor es 3000
(1.03)-4, mientras que el valor del pago X es X en la fecha local. Igualando
la suma de los valores de las deudas con el valor del pago único en la
fecha focal tenemos.
X = 1000(1.03)2 + 3000 (1.03)-4
Tomando la fecha inicial como fecha focal, la ecuación de valor es:
(b)
X (1.03)-4 = 1000 (1.03)-4 + 3000(1.03)-10
Tomando el final del quinto año como fecha focal, la ecuación de valor
es:
(c)
X (1.03)4 = 1000(1.03)6 + 3000
(a)
Nótese que las tres ecuaciones de valor son equivalentes, por
ejemplo (b) puede ser obtenida de (a) multiplicando esta ultima (1.03)-6 y
(c) puede ser obtenida de (b) multiplicando esta por (1.03)10. Sin embargo,
si tomamos 100 años después como fecha focal, la ecuación de valor
correspondiente puede ser obtenida de (b) multiplicando esta por (1.03)300.
De todas las ecuaciones que puedan formarse (a) es visiblemente la más
simple para determinar X. Utilizándola tenemos
X = 1000(1.03)2 + 3000(1.03)-4
= 1000(1.060900) + 3000( 0.888487) = $ 3726.36
Ejemplo 6
M debe $1000 pagaderos en 1 año y $3000 pagaderos en 4 años.
Acuerda pagar $2000 de inmediato y el resto en 2 años. ¿Cuánto tendrá
que pagar al final del 2º año suponiendo un rendimiento de 5% convertible
semestralmente?
1000
0
2000
1
3000
2
3
X
36
4 años
Designemos con X el pago requerido. Tomando como fecha focal el
final del 2º año, la deuda de $ 1000 está vencida 1 año y su valor es 1000
(1.025)8, mientras que la deuda de $3000 vence en 2 años y su valor es
3000 (1.025)-4 Analógicamente el pago de $2000 está vencido dos años
de la fecha focal y su valor es 2000 (1.025)4, mientras que el pago X vale
X. Igualando la suma del valor de los dos pagos y de las dos deudas,
tenemos
2000(1.025)4 + X = 1000(1.025)2 + 3000(1.025)-4
Por tanto,
X = 1000(1.025)2 + 300081.025)-4 – 2000(1.025)-4
= 1050.62 + 2717.85 – 2207.63 = $1560.84
2.12 TIEMPO EQUIVALENTE
La fecha en la cual un conjunto de obligaciones, con vencimiento en
fechas diferentes, puede ser liquidado mediante un pago único igual a la
suma de las distintas deudas, se conoce como fecha de vencimiento
promedio de las deudas. El tiempo por transcurrir hasta dicha fecha se
conoce como tiempo equivalente.
Ejemplo 7.
¿Cuál es el tiempo equivalente para el pago de unas deudas de
$1000 con vencimiento de 1 año y $3000 con vencimiento en 2 años
suponiendo un rendimiento de 4% convertible trimestralmente?
0
1
2
3
4
5
6
4m 7
4000
8
periodos de conversión
(trimestre)
Designemos con x (años) el tiempo equivalente. Tomando el día de
hoy como fecha focal, la ecuación de valor es
400081.01)-4 = 1000(1.01)-4 + 3000(1.01)-8
Entonces: (1.01)-4 =1000(1.01)-4 + 3000(1.01)-8 = 3731.43 = 0.9328575
4000
4000
37

3
OBJETIVOS
Reconocer, definir y clasificar los diferentes
tipos de anualidades.

Identificar y manejar los distintos factores que
intervienen en las anualidades.

Aplicarlos en la solución de problemas de
montos o valores futuros, valores actuales,
rentas de anualidades, tasas de interés y
tiempos o plazos.
SUMARIO
38
Unidad 3. Anualidades.
3.1.
Introducción.
3.2.
Clasificación de las Anualidades.
3.3.
Anualidades
Simples
Ciertas
Ordinarias.
3.3.1. Valor de las Anualidades.
Simples Ciertas Ordinarias.
3.3.5. Cálculo de la renta en una Anualidad
Simple Cierta Ordinaria.
3.3.6. Cálculo del tiempo o plazo de una
anualidad.
3.3.7. Cálculo de la tasa de interés de una
anualidad simple cierta ordinaria.
3.4.
Anualidades Anticipadas.
3.4.2. Símbolos utilizados en las Anualidades
Anticipadas.
Simples Ciertas Anticipadas.
3.4.4. Problemas Resueltos.
3.4.5. Problemas Propuestos.
3.5.
Anualidades Diferidas.
3.5.2. Símbolos utilizados en las Anualidades
Diferidas.
3.5.3. Valores de las Anualidades Diferidas
Simples Ciertas.
3.5.4. Problemas Resueltos.
3.6.
Anualidad General Caso Especial.
3.6.2. Símbolos utilizados en las anualidades
generales.
3.6.3. Conversión de una anualidad general en
una anualidad simple.
3.6.4. Monto y valor de las anualidades
generales ciertas ordinarias.
3.6.5. Cálculo de la renta de una anualidad
general cierta ordinaria.
3.6.6. Otros métodos de cálculos de los valores
de las anualidades.
3.6.9. Cálculo del tiempo o plazo de una
anualidad general.
3.6.10. Cálculo de la tasa de interés de una
anualidad general.
3.6.12. Problemas propuestos
3.7.
Anualidades Generales Anticipadas.
3.8.
Anualidades Variables.
3.9.
Anualidades Continuas.
3.10. Anualidades a interés continuo.
3.11. Anualidades a interés continuo con
pagos en flujos continuos.
3. ANUALIDADES
3.1 INTRODUCCIÓN
En matemáticas financieras la expresión anualidad se emplea para
indicar el sistema de pago de sumas fijas a intervalos iguales de tiempo.
Por costumbre se usa la palabra anualidad, que en un sentido propio de las
finanzas no significa pagos anuales sino simplemente pagos a intervalos
regulares de tiempo. Así son anualidades los dividendos sobre acciones,
los fondos de amortización, los pagos a plazos, los pagos periódicos de las
compañías de seguros y en una forma más general, los sueldos y todo tipo
de rentas son anualidades.
39
Definición. Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos
iguales.
3.2 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES
Los factores financieros que intervienen en las anualidades y sus
formas de pago, determinan diferentes tipos de anualidades. Para su
estudio ordenado es necesario clasificarlas y definirlas.
Renta. El valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta.
Período de pago o período de la renta. El tiempo que se fija entre
dos pagos sucesivos en el período de pago o período de la renta.
Tiempo o plazo de una anualidad. El intervalo de tiempo que
transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el final del último
es el tiempo o plazo de una anualidad.
Renta anual. La suma de los pagos hechos en un año es la renta
anual.
Tasa de una anualidad El tipo de interés que se fija es la tasa de
una anualidad y puede ser nominal o efectiva.
Las anualidades según su tiempo se agrupan en dos clases que son:
anualidades ciertas y anualidades eventuales o contingentes. Son
anualidades ciertas aquellas anualidades cuyas fechas, inicial y terminal se
conocen por estar estipuladas en forma concreta. Anualidades
contingentes son aquellas en las que el primer pago o el ultimo, es decir la
fecha inicial y/o la fecha final dependen de algún suceso previsible pero
cuya fecha de realización no se puede fijar.
Anualidades perpetuas o perpetuidades Son una variación de las
anualidades ciertas en las que la duración del pago es ilimitada.
Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad, se
originan las anualidades
ordinarias o vencidas y las anualidades
anticipadas. Una anualidad es ordinaria o vencida si el pago de la renta se
hace al final del periodo de pago. Es anticipada si el pago se efectúa al
40
principio del período de pago.
De acuerdo con las definiciones anteriores las anualidades se
clasifican en la siguiente forma:
ANUALIDADES CIERTAS
Ordinarias o vencidas
Anticipadas
Diferidas
Perpetuas
Perpetuas diferidas
Diferidas
Perpetuas
Perpetuas diferidas
ANUALIDADES EVENTUALES
O
CONTINGENTES
Ordinarias o vencidas
Diferidas
Perpetuas
Perpetuas diferidas
Anticipadas
Diferidas
Perpetuas
Perpetuas diferidas
Cada una de las distintas formas de anualidades presenta variantes
en la forma de calcular sus valores, según el número de pagos en el año y
número de períodos de capitalizaciones anuales que estipule el tipo de
interés.
Si el período de capitalización coincide con el período de pago se
dice que las anualidades son anualidades simples.
3.3 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ORDINARIAS.
Son aquellas cuyo período de pago coincide con el período de
capitalización.
3.3.1 VALOR DE LAS ANUALIDADES
El valor de las anualidades calculado a su terminación es el monto de
ella. El valor de la anualidad calculado a su comienzo es su valor actual o
41
presente. Estos valores se pueden también calcular en fechas intermedias,
en tal caso se refiere a: monto de la parte vencida o valor actual de las
anualidades por vencer. Así por ejemplo una renta de $ 2000 pagaderos
cada final de año durante 6 años tendrá un monto S al finalizar los 6 años y
tendrá un valor actual o presente A en su fecha inicial.
0
1
2
3
4
5
A
2000
2000
2000
2000
2000
parte vencida - fecha intermedia - parte por vencer
6
2000
S
Transcurridos 2 años se tiene una fecha intermedia que separa la
parte vencida de la anualidad de la parte por vencer tal como se muestra
en el gráfico.
El cálculo de los valores de la anualidades se puede hacer
comenzando con un caso general que incluya las diferentes formas de
anualidades. Pero desde un punto de vista didáctico es conveniente guiar
el aprendizaje, comenzando por los casos de más frecuente aplicación
para finalizar con un tratamiento general de ellas; de acuerdo con este
método hemos desarrollado los acápites que siguen.
3.3.2 MONTO Y VALOR ACTUAL DE LAS ANUALIDADES
SIMPLES CIERTAS ORDINARIAS
Este tipo de anualidades es el más frecuente y por esto cuando se
dice simplemente anualidad, se supone que se trata de una anualidad
simple cierta ordinaria. La tasa de interés es por lo general una tasa de
interés nominal anual. En caso de que la tasa no sea nominal se aclarará
diciendo tasa efectiva anual. Si la tasa dada es nominal, sin especificación
de período de capitalización, la tasa efectiva en el período de pago es el
cociente entre la tasa nominal y el número anual de pagos.
Símbolos que se utilizan en las anualidades
R=
i=
j=
m=
pago periódico de una anualidad o renta.
tasa efectiva por período de capitalización.
tasa nominal anual.
numero de capitalizaciones en el año.
42
j(m)=tasa nominal con m períodos de capitalizaciones en el año.
n = número de períodos de pago.
S = monto de una anualidad.
A = valor actual o presente de una anualidad.
Cálculo del monto. Los pagos R efectuados al final de cada período
ganan interés compuesto hasta la fecha final. Estableciendo la ecuación de
equivalencia para la fecha final como fecha focal, tendremos
0 1
2
3
n - 1 n períodos
R
R
R
Cada pago efectuado al final de período capitaliza los intereses en
cada uno de los períodos que le siguen. El primer pago acumula durante
(n-1) períodos, el segundo durante (n-2) períodos y así sucesivamente
hasta el último pago que no gana intereses ya que su pago coincide con la
fecha de término.
Los montos respectivos de los pagos R comenzando por el último
serán R,R(1+i),R(1+i)2, ,R(1+i)n-2 + R(1+i)n-1.
El monto total S de la anualidad es igual a la suma de los montos
producidos por las distancias rentas R, o sea:
S=R+R(1+i)+R(1+i)2+...+R(1+I)n-2+R(1+I)n-1
Los términos del segundo miembro forman una progresión
geométricamente de n términos, razón (1+i) y primer término R. Aplicando
la fórmula de la suma dada en 0.11 se tiene:
S=
A(rn – 1)
;
r-1
S=
R[(1 – i)n – 1]
(1 – i) - 1
(1 – i)n – 1
S=R
i
43
Si el valor de cada pago R es de una unidad monetaria, el monto S
corresponderá al monto de una anualidad de uno por período y se expresa
con el símbolo s n i que se lee s sub n al i, sustituyendo este símbolo en la
fórmula (26a) se obtiene:
sn
(1 – i)n – 1
i
i=
S=Rsn
i
Los valores de s n i = se pueden calcular utilizando logaritmos. En la
práctica los cálculos se efectúan utilizando tablas que tienen tabulados
estos valores. La tabla V incluida al final de este libro, tiene los valores de s
n i calculados para las tasas y números de períodos que se utilizan en los
problemas que se presentan en esta obra. Algunos autores expresan i en
tanto por ciento y escriben, por ejemplo, s 20 3% para expresar el monto de
1 en 20 periodos al 3% efectivo en el periodo. Nosotros utilizaremos la
expresión decimal y escribiremos s 20 0.03 .
Valor actual o presente de una anualidad es aquella cantidad A de
dinero que con sus intereses compuestos, en el tiempo de la anualidad,
dará un monto equivalente al monto de la anualidad.
Formando la ecuación de equivalencia, utilizando como fecha focal la
fecha final, se tiene:
0
1
R
n –1 n per
2
R
R
A
A(1 + i)n = S
R
R
S
(1 – i)n – 1
A(1 + I) = R
i
n
(1 – i) – 1
A=R
(1 + I)-n
i
1 – (1 + I )-n
A=R
i
n
Si el valor de cada pago R es de una unidad monetaria, el valor
actual A es el valor actual de una anualidad de 1 por período y se expresa
con el símbolo a n i ( a sub n al i ), sustituyendo este símbolo en (27ª) se
44
obtiene:
a ni=
1 – (1 + I )-n
i
A = Ra n i
Los valores de a n i se pueden calcular por logaritmos; en la práctica
se utiliza para los cálculos, tablas que tienen tabulados estos valores. La
tabla VI incluida al final de este libro, tiene los valores de a n i de uso
frecuente en los problemas que se ofrecen en esta obra. En la misma
forma que el símbolo s n i el valor de i se acostumbra expresarlo en % y en
decimal y se escribe a 20 3% para expresar el monto de 1 en 20 periodos al
3 %. Nosotros utilizaremos la forma decimal o sea el tanto por uno que
hemos venido usando en los capítulos anteriores y escribiremos a 10 0.03 .
3.3.3 PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo 1. Una persona que viaja fuera de su localidad deja una
propiedad en alquiler por 5 años, con la condición que se pague $ 9000 por
trimestre vencido que serán consignados en una cuenta de ahorros que
paga 8% nominal anual. Hallar el monto en los 5 años y el valor actual del
contrato de alquiler.
S = Rs n i
0.08
R = 9000; j = 0.08; m = 4; i=
=0.02; n= 4*5=20
4
S= 9000s 20 0.02 ; en tabla V, s 20 0.02 = 24,29736980
S = 9000(24,29736980) = $ 218.676,33
A= Ra n i = 9000a 20 0.02
En tabla VI, a 20 0.02 = 16,35143334
A= 9000(16,35143334) = $ 147.162,90
Ejemplo 2. Tasas que no figuran en las tablas.
Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 5000 pagadera
semestralmente durante 7 años 6 meses al 8,6 % capitalizable
semestralmente.
R = 5000; j= 0.086; m=2; i=
0.086
1
= 0,046; n = 7 (2)= 15
2
2
45
S 5000s 15 0,043
Para I= 0,043 sn i no figura en la tabla y es necesario calcular aplicando
logaritmos o utilizando una calculadora.
n
S= R (1 + i) – 1 = 5000
i
(1 + 0,043)15 – 1
0,043
Se calcula primero (1,043)15
X = (1,043)15
log X = 15log1,043
log X = 15(0,018284) = 0,274260
X= 1,88049
S= 5000
0,88049
1,88049 - 1
= 5000
0,043
0,043
S=$102.382,55
1-(1 + i)-n
Valor actual A=
5000
i
1- (1,043)-15
0,043
logX = -15log)1,043) = -15(0,018284) = -0,274260
logX = 9,725740 – 10
X= 0,53179
A=5000
1-0,53179
=5000
0,043
0,46821
0,043
A= $ 54.443,02
Ejemplo 3. Número de períodos mayores que el máximo de las
tablas.
Cuan do el número de períodos es mayor que el máximo de las
tablas, los valores se calculan aplicando los métodos que se indican en los
problemas 8 y 18 de este capítulo.
En este ejemplo desarrollaremos una solución que es de uso
frecuente. Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de $ 100
mensuales pagaderos durante 15 años al 9% nominal convertible
mensualmente.
0,09
46
R= 100; j=0,09; m=12; i=
12
=0,0075; n=15(12)=180
S= 100s 180 0,0075
S=100
(1 + 0,0075)180 - 1
0,0075
(1,0075)180 =(1,0075)100(1,0075)80 utilizando la tabla I
(1,0075)180 =2,11108384(1,81804398) = 3,83804327
S= 100
2,83804327
= $ 37.840,57
0,0075
valor actual A = 100ª180 0,0075
A=100
1 – (1 + 0,0075)-180
0,0075
(1,0075)-180 = (1,0075)-100(1,0075)-80 utilizando la tabla II
(1,0075)-180 = 0,47369033(0,55004170)=0,26054942
A= 100
1 – 0,26054942
0,0075
=100
0,73945058
0,0075
A=$ 9859,34
Problemas resueltos
1.Una persona deposita $2000 al final de cada año durante 15 años en una
cuenta de ahorros que paga el 8% de interés. Hallar el monto al efectuar el
último pago.
R= 2000; i =0,08; n = 15
S=Rsn i = 2000s 15 0,08
S= 2000(27,15211393) = $54.304,23
47
2. Una persona desea comprar una renta de $20.000 pagadera
semestralmente durante los próximos 10 años. Hallar a la tasa del 6% el
costo de la anualidad.
R= 20.000; j=0,06; m=2; i=0,03; n =2(10)=20
A= Ran i = 20.000a 20 0,03
A=20.000(14,87747486)=$297.549,50
3. Una compañía vende neveras con una cuota inicial de $1000 y 16
cuotas mensuales de $500. Si se carga el 15% con capitalización mensual,
hallar el valor de contado.
valor de contado = cuota inicial + valor actual de las mensualidades
valor de contado = cuota inicial + Ra n
i
cuota inicial = 1000; R=500; n=16; j=0,15; m=12;
i=
0,15
12
=0,0125
valor de contado = 1000 + 5000ª 16 0,0125
valor de contado = 1000 + 500(14,42029227)=$ 8210,15
4. Una persona debe pagar una anualidad de $6000 trimestral durante 10
años. Si no efectúa los 4 primeros pagos,¿cuánto debe pagar al vencer la
quinta cuota para poner al día su deuda, si la tasa de la operación es del
10% con capitalización trimestral?
Se calcula el monto parcial hasta el quinto pago.
0
1
5
30 periodos
s
s
48
S= monto parcial; R=6000; j=0,10; m=4; i= 0,10 / 4 =0,025; n =5
S= 6000s5 0,025 = 6000(5,25632852)=$31.537,97
5. Una persona debe pagar durante 10 años una anualidad de $5000
semestrales pactados al 8%. Al efectuar el noveno pago desea liquidar el
saldo con un pago único ¿Cuánto debe pagar en la fecha del noveno pago
para liquidar la deuda?
0
1
9
20 periodos
A`
Al efectuar el noveno pago quedan 20 – 9=11 pagos
Pago único= R +A`(R es el valor de cada anualidad y A` el valor actual de
los 11 pagos pendientes)
R=5000; j=0,08; m=2; i=0,08 / 2 = 0,04 Pago único = 5000 + 5000ª11 0,04 =
5000 + 5000(8,76047671) = 48.802,38
6.Al cumplir su hijo 10 años, el padre decide consignar semestralmente en
una cuenta de ahorros que paga el 9% nominal, la cantidad de $2000. Si
hace estas consignaciones durante 5 años consecutivos, calcular la
cantidad que tendrá en su cuenta el hijo al cumplir 21 años.
0
1
2
10 años
3
11
23 años
11 años
15 años
21 años de edad
S`
S
Primero se calcula el monto S` de las consignaciones durante 5 años.
R= 2000; j=0,09; m=2; i= 0,09/2=0,045; n=11
S`= 2000s 11 0,045 = 2000(13,84117879)
S´=$ 27.682,36
El monto cuando el hijo cumple 15 años, hecho el último pago, es de
$ 27.682,36 y esta suma gana interés compuesto durante 12 periodos
hasta que el hijo cumpla 21 años de edad.
S=C(1 + i )n
C=$ 27.682,36; i=0,045; n=2(6)=12
S=$27.682,36(1+0,045)12
S=$27.682,36(1,69588143)=$46.946
7. Demostrar que (1+i)s n i =s n + 1 i –1
49
(1 – i)n= – 1
(1 – i)n+1 – (1+i)
i
i
(1 + i)n+1 – 1
(1 + i)n+1 – 1-i
i
(1+i)s n i =
=
i
i
(1+i)s n i =s n+1 i –1i
(1+i)s n i = (1+i)
8. Demostrar que a h+k i = a h i + (1+i)-h a k i
a h+k i =
1 – (1+I)-h-k
i
1 – (1+I)-h-k + (1+I)-h-(1+I)-h-k
a h+k i =
i
1 – (1+I)-h (1+i)-h[1+(1+i)-k]
a h+k i =
+
i
i
a h+k i = a h i + (1+i)-h a k i
3.3.4 PROBLEMAS PROPUESTOS
9. Calcular el monto y el valor actual de las siguientes anualidades ciertas
ordinarias:
a) $ 2000 semestrales durante 81/2 años al 8% capitalizable
semestralmente.
b) $ 4000 anuales durante 6 años al 7,3% capitalizable anualmente.
c) $ 200 mensuales durante 3 años 4 meses capitalizable
mensualmente, al 8% con capitalización mensual.
10. Una persona deposita $5000 cada final de año en una cuenta de
ahorros que abona el 8% de interés. Hallar la suma que tendrá en su
cuenta al cabo de 10 años al efectuar el último depósito.
11. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las
siguientes condiciones: $20.000 de contado, $ 1000 por mensualidades
vencidas durante 2 años 6 meses y un ultimo pago de $ 2500 un mes
después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo utilice el 9% con
50
capitalización mensual.
12. calcular el valor de contado de un equipo industrial comprado así: $
6000 de 4 contado y 12 pagos trimestrales de $ 2000 con 12% de interés
capitalizable trimestralmente.
13. ¿ Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente
plan: $ 14,000 de cuota inicial, $ 1600 mensuales durante 2 años 6 meses
con un último pago de $2500 si se carga el 12% con capitalización
mensual?
14. Una mina en explotación tiene una producción anual de $8.000.000 y
se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor actual de la
producción, si el rendimiento del dinero es del 8%.
15. En el problema 14 si se estima que al agotarse la mina habrá activos
recuperables por valor de $1.500.00 encontrar el valor actual incluidas las
utilidades si éstas son el 25% de la producción.
16. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad.
a) $400.00 de contado
b) $190.00 de contado y $50.00 semestrales durante 21/2 años.
c) $210.00 de contado y $20.00 trimestrales durante 3 años
¿Que oferta es más conveniente si el interés es 12% nominal anual?
17. Un señor puso al nacer a su hija y en cada uno de sus sucesivos
cumpleaños $ 1500 en una cuenta que abona el 8%. Al cumplir su hija 12
años aumentó sus consignaciones a $3000. Calcular la suma que tendrá a
su disposición la hija al cumplir 18 años.
18. Demostrar que s h+k i = s h i + (1 + i)h s k i.
19. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que
abona el 6% de interés capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la
cuenta al cabo de 20 años.
20. ¿ Cuál es el valor actual de una renta de $500 mensuales que se
recibirá durante 15 años? Calcular con el 6% capitalizable mensualmente.
Hacer el cálculo (a) utilizando la tabla II, (b) utilizando la fórmula
desarrollada en el problema 18.
51
21. Demostrar que s h+k i = (ah i + s k i )(1+i)h
22. Demostrar que:
(a) (1+i)a n i = a n-1 i + 1
(b) (1+i)sn i = s n+1 i - 1
23. Demostrar que para h >k; s h – k i = s h i - (1+i)h a k i
24. Demostrar que para h>k; s h-k i = (1+i)-k s h i - a k i
25. Demostrar que para h>k; a h-k i = a h i –(1+i)-hs k i
26. Demostrar que :
1
sn+mi
1 / sn
i
=
1/ sn i S m
i+
(1 + i) m
3.3.5 CÁLCULO DE LA RENTA EN UNA ANUALIDAD SIMPLE,
CIERTA ORDINARIA
Es frecuente e importante la necesidad de conocer el importe de los
pagos periódicos para lograr un determinado resultado, así por ejemplo: ¿
Cuál es el pago mensual que se debe hacer para cancelar el valor de una
propiedad en un cierto número de años? ¿Qué cantidad de dinero habrá
que colocar, periódicamente, en un fondo de amortización, para cancelar
una obligación a largo plazo?¿Con qué cuotas periódicas se puede
cancelar una mercancía, conocido el valor de contado y la tasa de interés?
Dos son los problemas que se presentan, según se conozca: El
monto a cancelar en fecha futura o el valor actual que se debe de cancelar
mediante pagos periódicos.
(a)
Cálculo de la renta cuando se conoce el monto
De la fórmula (26b) S= Rs n i
Se obtiene
R= S 1 / s n i
52
El símbolo 1 / s n i recibe el nombre de factor del fondo de
amortización y es el valor de la renta de una anualidad cuyo monto
ascenderá a una unidad monetaria después de n pagos a la tasa i por
período de pago. El valor de este factor, para las tasas que con frecuencia
se utilizan en esta obra se encuentran en la tabla VIII para valores de n
desde 1 hasta 100.
(b) Cálculo de la renta cuando se conoce el valor actual.
De la formula (27b) A= Ra n i
Se obtiene R= A 1/ a n i
El símbolo a n i recibe el nombre de factor de amortización y es el valor de
la renta de una anualidad que amortiza una deuda de una unidad
monetaria en n pagos a la tasa de i por período de pago.
En esta obra no hemos incluido la tabla para los valores del factor de
amortización; el lector deberá calcular los valores de 1 /a n i utilizando la
tabla VII que tiene los valores de 1 / s n i y aprovechando la siguiente
relación:
De (26a) s n i = (1+i)1 –1 / i
Se obtiene 1/ s n i = i / (1+i)n –1
De (27a) a n i = 1-(1+i)-n / i
Se obtiene 1/a n i = i/ 1-(1+i)-n
Sumando i al valor de 1/ s n i se obtiene
i + 1 / s n i = i / [(1+i)n –1]+i = i+i(1+i)n-1 / (1+i)n-1
i +1 / s n i = i/ 1-(1+i)n de donde
1/ a n i = 1/ s n i + i
Los valores de 1/ a n i se obtienen sumando i al correspondiente valor
de 1 / 1/ s n i
Ejemplo 4.
53
Calcular los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de
ahorros que paga el 8% con capitalización semestral, para obtener en 5
años un capital de $20.000
R= S 1/ s n i
S= 20.00; j ) 0,08; m=2; i= 0.04; n=10
R= 20.00 1/ s 10 0,04 =20.00(0.08329094)
R= $ 1665,82
Ejemplo 5.
Calcular los pagos por semestres vencido, necesarios para cancelar
el valor de $ 100.00 de una propiedad comprada a 8 años plazo con el
interés del 9% capitalizable semestralmente.
R= A 1/ a n i
A= 100.00; j=0,09; m=2; i= 0,09/2=0,045 n=8*2=16
R = 100.000 (1/
a
16 0,045) = 100.000 ( 1/ s 16 0,045 + i)
1/ s 16 0,045 = 0,04401537
1/ s 16 0,045 = 0,04401537 + 0,045 = 0,08901537
R = 100.000(0,08901537)
Pagos semestrales = R = $ 8901,54
3.3.6
CALCULO DEL
ANUALIDAD
TIEMPO
O
PLAZO
DE
UNA
Si en (26a) o (27a) se conocen el monto S o el valor actual
A, la tasa y la renta R, se puede calcular el valor de n o sea el
numero de pagos.
54
Utilizando logaritmos, (26a) y (27a) se pueden resolver para n
así por ejemplo:
(26a)
S = R ( (1 + i)n – 1)/1)
Si = R (1 + i)n – R
R (1 + i)n = Si + R
log R + n log (1 + i) = log (Si + R)
n log (1 + i) = log (Si + R) – log R
n = (log (Si + R) – log R)/ log (1 + i)
En la práctica el cálculo de n se efectúa utilizando ecuaciones
de equivalencia o interpolando entre dos valores de las tablas.
Ejemplo 6. ¿Cuántos pagos semestrales de $ 600 se deberán
hacer para cancelar una deuda de $ 4500 con el 7% de interés
capitalizable semestralmente?
$ 4500 es el valor actual de la deuda; para el cálculo del número
de pagos aplicamos:
A = Ra n
i
A = 4500; R = 600; j =0,07; m = 2; i = 0.07/2 = 0.035
4500 = 600 a n
an
0.035
0.035
= 4500 / 600 = 7,5
En la tabla VI columna del 3 ½% no existe para n entero el
valor 7,5 ya que este valor se encuentra comprendido entre:
as
0.035
= 6,87395554 y
a9
0.035
= 7,60768651
Si por algún motivo se necesita calcular un valor decimal
aproximad del numero de periodos, se puede proceder por
interpolación así:
a 9 corresponde 7,60768651 a n corresponde
a 8 corresponde 6,87395554 a 8 corresponde
1 es a
0,73373097 como n – 8 es a
55
7,50000000
6,87395554
0,62604446
1/0,73373097 = n – 8 / 0,62604446
n – 8 = 0,62604446/0,73373097 = 0,853
n = 8,853 periodos semestrales
En las actividades financieras se acostumbra dar soluciones
practicas optando por cualquiera de las dos alternativas que se
expresan a continuación:
(a)
Aumentar el pago correspondiente al ultimo periodo
entero (en nuestro caso el 8).
Utilizar el entero superior, efectuando un pago menor
en el ultimo periodo. (en nuestro ejemplo se trabajaría
con 9 periodos efectuando un pago menor al final del
noveno periodo)
(b)
Estas soluciones no enteras dan origen a las anualidades
impropias o variables que son aquellas cuyos pagos o rentas no son
iguales.
Si en nuestro ejemplo optamos por la alternativa (b) se tendrá
que efectuar un ultimo pago menor que los anteriores y suficiente
para cancelar exactamente el saldo remanente que queda después
de efectuar los 8 primeros pagos. Para calcular el valor del ultimo
pago se plantea una ecuación de equivalencia. Escogiendo la fecha
inicial como fecha focal, tendremos para A = 4500; r = 600; j = 0,07; m
= 2; i = 0.07/2 = 0,035 ; n = 9
0
4500
1
2...
8
9
600
600
600
X
periodos
4500 = 600 a 8 0.035 + X (1 + 0,035) –9
4500 = 600(6,87395554) + X(0,73373097)
4500 = 4124,37 + 0.73373097X
X = (4500 – 4124,37) / 0,73373097
= $ 511,94
La anualidad, en este caso impropia, esta formada por 8 pagos
semestrales de $ 600 c/u y un ultimo pago de $ 511,94 al final del
56
noveno semestre
Para el cálculo del ultimo pago pudimos
interpolación hecha anteriormente y tendríamos:
(0,62604446 / 0,73373097)(600) = 511,94
aprovechar
la
Para demostrar que las dos formas de cálculo son iguales basta
observar que 0,62604446 = 7,5000000 – 6,87395554 y que
(600)(0,62604446/0,73373097)=((7,500000-6,87395554)
/0,73373097)(600) =(4500 – 4124,37) / 0,73373097 = $ 511,94
Observe también que a 9 i - a 8 i = ( 1 + i)-9
Demostración [(1 – (1 + i)-9) /i ] - [(1 – (1 + i)-8) /i ] = [(1 + i)-8 - (1 +
i)-9 ] /i
a9
i
-a8
i
= ( 1+ i)-9 [ (1 + i) – 1] / i = (1 + i)-9
Para una demostración general de que la interpolación obtenida
multiplicada por la renta es igual al valor encontrado por medio de
ecuaciones de equivalencia, estudie el problema 54.
De lo anterior podemos enunciar: Cuando el valor a n i = A / R
es resuelto por interpolación, la parte decimal de n es la parte de la
renta R que se debe pagar en el final del período, que corresponde
al entero superior, para cubrir totalmente el valor de la anualidad.
3.3.7
CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS
ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA
DE
UNA
La tasa i de una anualidad puede ser incógnita cuando se
conocen los demás elementos de una anualidad; por lo general los
valores de i correctos desde un punto de vista matemático, resultan
ficticios en la práctica. Así por ejemplo si el calculo da para i el
57
valor 7,32563%, desde el punto de vista matemático es correcto,
pero tal valor no es utilizado en la practica y se tomara como tasa
aproximada el valor 7 1/3%.
La tasa aproximada de interés se acostumbra calcularla por
interpolación con lo que se obtienen valores suficientemente
aproximados para cualquier propósito. Este método lo ilustraremos
con el ejemplo que sigue:
Ejemplo 7.
Una compañía de seguros ofrece por un pago inmediato de $
90,000.00 una renta de $ 5000 pagadera durante 30 años al
comprador o a sus herederos. ¿Qué tasa de interés abona la
compañía de seguros?
an i =A/R
A = 90.000; R = 5000; n = 30
a 30 i = 90.000 / 5000 = 18
Para encontrar los valores de a n i entre los cuales se halle
comprendido el valor 18,000000, buscamos en la tabla VI en la línea
correspondiente a n = 30. Estos valores son:
para
a 30
para
a 30
= 17,29203330; i = 0,04
i
i
= 18,39204541; i = 0,035
Observe que mientras los valores de a 30 i aumentan, lo valores
de i disminuyen. Para nuestro valor a 30 i = 18 calculamos i por
interpolación.
a
0,035 corresponde 18,39204541 a i corresponde
a
0,040 corresponde 17,29203330 a 0,040 corresponde 17,29203330
-0,005 es a
1,10001211 como i – 0,040 es
a
18,00000000
0,70796670
- 0,005 / 1,10001211 = i – 0,040 / 0,70796670
58
i – 0,040 = (-0,005)(0,70796670) / 1,10001211 = - 0,003218
i = 0,036782
tasa = 3,6782 (tasa matemática)
tasa = 3 ¾% (tasa práctica o real)
Ejemplo 8.
Una persona ha depositado al final de cada mes $ 1000 en
una cuenta de ahorros; al cabo de 5 años tiene en su cuenta la
suma de $ 70.542 ¿Qué tasa nominal promedio ha ganado?
sn
i
=S/R
S = 70.542; R = 1000; m = 12; n = 5(12) = 60 periodos
Para encontrar los valores de s 60 i entre los cuales se halle
comprendido el valor ; de s 60 i = 70,542 / 1000 = 70,542; buscamos
en la tabla V en la línea correspondiente a n = 60.
Estos valores son:
Para i = 0,005; (1/2 %); s 60 i = 69,77003051
Para i = 0,00583; (7/2 %); s 60 i = 71,59290165
Para nuestro valor s 60 i = 70,542 calculamos i por interpolación
a 0,00583 corresponde 71,59290165
a i
a 0,00500 corresponde 69,77003051
a 0,005 corresponde 69,77003051
0,00083
es a
corresponde 70,54200000
1,82287114 como i – 0,005
es
a 0,77196949
0,00083 / 1,82287114 = (i – 0,005) / 0,77196949
i – 0,005 = 0,00083 (0,77196949) / 1,82287114
i – 0,005 = 0,00035
i = 0,00535 (mensual)
tasa = 0,00535 (12) = 0,0642 (matemática)
59
tasa = 6 ½% nominal anual (practica)
9.- Un comerciante vende televisores en $ 6500 precio de contado.
Para promover sus ventas idea el siguiente plan de ventas a plazos
con cargo del 1% mensual de interés. Cuota inicial de $ 1200 y el
saldo en 18 abonos mensuales. ¿Cuál es el valor de las
mensualidades?
R = A/an
i
A = 6500 - 1200 = 5300; n = 18; i = 0,01
R = 5300 / a 18 0,01 = 5300 / 16,39826858
R = $ 323,20 valor cuota mensual
10.- Para mantener en buen estado cierto puente es necesario
repararlo cada 6 años con un costo de $ 85.000. El concejo del
municipio al cual pertenece el puente decide establecer una reserva
anual para proveer los fondos necesarios para las reparaciones
futuras del puente. Si esta reserva se deposita en una cuenta que
abona el 8% de interés, hallar el monto de la reserva anual.
R = S/an
i
S = 85.000; i = 0,08; n = 6
R = 85.000 / s 6
0,08
= 85.000 / 7,33592904
R = $ 11.586,81
11.- Una obligación se debe cancelar en 4 años con pagos
semestrales de $ 10.000. El deudor conviene con su acreedor en
cancelar la deuda en 6 años con abonos semestrales. Hallar el valor
de los nuevos pagos si la tasa pactada es del 10% convertible
semestralmente.
60
Designemos por X los nuevos pagos y establezcamos la
ecuación de equivalencia utilizando como fecha focal la flecha inicial.
0
1
2
10.000
X
X
8
...
10.000
X
10.000
10.000 a 8
X
=
0,05
= X a 12
10.000
a
8
0,05
9
10
11
12
X
X
X
X
0,05
= 64632,1276 /
0,05
/
a
12
8,86325164
X = $ 7292,15
12.- Un empleado puede ahorrar $ 800 mensuales e invertirlos en
una compañía financiera que abona el 9% convertible mensualmente.
¿En cuanto tiempo juntara $ 55.000? Calcular el tiempo y el deposito
final.
S = R sn
i
S = 55.000; R = 800; j = 0,09; m = 12; i = 0,0075
sn
0,0075
= 55.000 / 800 = 68,75
En la tabla V en la columna de i = 0,0075; (3/4%) encontramos
s 55
0,0075
= 67,76883409 y s 56
0,0075
= 69,27710035
 sea que el empleado debe hacer 55 depósitos de $ 800 y un
ultimo deposito X al final del mes 56. para determinar el valor de
X planteamos una ecuación de equivalencia escogiendo como
fecha focal el final del mes 56.
0
1
2
55
61
56
...
800
800
800
55.00 = 800 s 55
0,0075
X
(1 + 0,0075) + X
En el problema 7 demostramos que s n i (1 + i) = s
sea X = 55.000 – 800 (s 56 0,0075 - 1).
X = 55.000 – 800 (68,27710035) = 55.000 – 54.621,68
X = $ 378,32
n+1
i
- 1 o
Si este mismo problema se resuelve por interpolación se tiene
a 56 corresponde 69,27710035
a n
1 es a
n – 55
1,50826626 como
es
a
0,98116591
1 / 1,50826626 = (n – 55) / 0,98116591
n – 55 = 0,98116591 / 1,50826626 = 0,6505
La interpretación de la parte decimal, o fracción de periodo, es
distinta de la interpretación dada en el ejemplo 6.6 para a n i = A/R;
en efecto, si en la proporción
1 / 1,50826626 = (n – 55) / 0,98116591
reemplazamos: 1,50826626 = s 56
0,98116591 = s n i - s 55 i
n- 55 = 0,6505 = (s n
pero s n
- s 55 i
i
= S/R; s 56
i
i
- s 55
- s 55
i
i
) / ( s56
= s 55 i (1 + i) + 1; s 56
de donde: 0,6505 = (S/R - s 55 i ) / ( s 55
/( s 55 I + 1)
62
i
i
i
i
- s 55 i)
- s 55 i = s 55 i (1 + i) + 1
(1 + i)+1 - s 55
i
) = [S/R - s 55 i]
como
is 55 i +1 = i [(1+i)55 - 1 / i] + 1 = (1 + i)55
luego
i)55
[0,6505 = S/R - s 55 i ] / (1 + i)55 = ( S – R s 55 i ) / R (1 +
o sea
0,6505 R(1 + i )55 = S - R s 55
para
R = 800; i = 0,0075
520,40(1 + 0,00785)55 = S - R s 55
i
0,0075
S - R s 55 i es el saldo final de 55 periodos y es igual a 0,6505
R(1 + i)55 que es el valor al cabo de 55 periodos de 0,6505 R
pagados en la fecha inicial de la anualidad. En nuestro caso el pago
inicial seria de $ 520,40.
Para una demostración general estudie el problema 55. de lo
anterior podemos enunciar:
Si el valor s n i = S/R es resuelto por interpolación la parte
decimal de n es la parte de la renta R que se debe pagar en la
fecha inicial para cubrir el valor total de la anualidad en un numero
de periodos igual al entero que resulta de despreciar la parte
decimal de n.
13. Cierta maquina puede ser comprada con $ 4590 al contado o
$ 450 de cuota inicial y 18 cuotas mensuales de $ 280 c/u,
calcular (a) la tasa nominal de interés cargado, (b) la tasa
efectiva de interés cargado.
(a)
a n i = A/R
A = 4590 – 450 = 4140; n = 18; m = 12; R = 280
a
18 i
= 4140 / 280 = 14,785714
En la tabla VI encontramos que para n = 18; a
63
18
0,02
=
14,99203125 a 18 0,025 = 14,35336363 sea que i esta comprendido
entre 2% y 2 ½% y la tasa nominal entre 24% y 30%. Para afinar el
resultado procedemos por interpolación.
a 0,020 corresponde
14,99203125
a i
a 0,025 corresponde
14,35336363
a 0,025 corresponde 14,35336363
-0,005
i – 0,025
es a 0,63866762 como
es
a 0,43235037
-0,005 / 0,63866762 = (i – 0,025) / 0,43235037
i – 0,025 = -0,005(0,43235037) / 0,6386676 = 0,0033847
i = 0,0216153
Tasa anual convertible mensualmente = 0,0216153 (12)(100) =
25,93836%
Tasa práctica = 26% convertible mensualmente.
(b)
Designando por i la tasa efectiva se tiene para j = 0,26; m = 12
aplicando (20)
i = (1 + 0,26/12)12 - 1
i = 29,33%
14.- Una persona compra una póliza que le asegura una renta de
$20.000 cada final de año durante los próximos 15 años. Desea
cambiar su póliza por otra que le asegure una renta de $ 30.000.
¿Durante cuanto tiempo recibirá la nueva renta, si la tasa de interés
es 8%?
Formamos una ecuación
actuales en la fecha inicial.
20.000 a
a
n 0,08
15 0,08
de
equivalencia
= 30.000 a
= 20.000 a
15 0,08
64
n 0,08
/ 30.000
con
los
valores
a
n 0,08
= [20.000 (8,55947869) / 30.000] = 5,706319
En la tabla VI columna del 8% encontramos a 7 0,08 =
5,20637006 y a 8 0,08 = 5,74663894 entre estos valores interpolamos
a
8 corresponde
5,74663894
a n
a
7 corresponde
5,20637006
a 7
1
es a 0,54026888 como
i–7
es
a
0,49994894
1/ 0,54026888 = (n – 7 ) / 0,49994894
(n – 7 ) = 0,49994894 / 0,54026888 = 0,9253704
n = 7,9253704
Recibiría la renta de $ 30.000 durante 7 años y un pago final al
terminar el octavo año de 0,9253704(30.000) = $ 27.761,11
15.- ¿Cuando se debe depositar al final de cada trimestre, en un
fondo de inversiones que abona el 10% convertible
trimestralmente para acumular $ 50.000 al cabo de 5 años?
16.- ¿Una compañía debe redimir una emisión de obligaciones por $
3.000.000 dentro de 10 años y para ello establece reservas
anuales que se depositaran en un fondo que abona el 7%.
Hallar el monto de la reserva anual.
17.- ¿Qué suma debe depositar anualmente en un fondo que abona
el 6%, para proveer la sustitución de los equipos de una
compañía que tienen un costo de $ 8.000.000 y una vida útil de
6 años, si el valor de salvamento se estima en 15% del costo?
18. Enrique Pérez compro una casa cuyo valor es de $ 180.000 al
contado. Pago % 50.000 al contado y el saldo en 8 pagos
iguales por trimestre vencido . si en la operación se le carga el
10% de interés nominal, hallar el valor de los pagos
trimestrales.
65
19. Una maquina que vale $ 18.000 de contado, se vende a plazos
con una cuota inicial de $ 3000 y el saldo en 18 cuotas
mensuales,
cargando
el
16%
de
interés
convertible
mensualmente. Calcular el valor de las cuotas.
20. Sustituir una serie de pagos de $ 10000 al final de cada año,
por el equivalente en pagos mensuales vencidos, con un interés
del 8% convertible mensualmente.
21. Sustituir una serie de pagos de $ 10000 al principio de cada
año, por el equivalente en pagos mensuales vencidos con un
interés del 8% convertible mensualmente.
22. Una persona sustituye un seguro total de $ 300.000 por una
renta anual, con la condición de que se pagara a el o a sus
herederos durante 20 años. Si la compañía de seguros opera
con el 7% de interés, hallar el valor de la renta anual.
23. El valor actual de una renta de $ 10000 por año vencido es de
$ 100.000. si la tasa de interés es del 6%, calcular el tiempo
indicando la solución matemática y la solución practica.
24. El valor actual de una renta de $4000 por trimestre vencido es
de $ 60.000. Si la tasa de interés es del 7% convertible
trimestralmente, hallar el tiempo indicando la solución matemática
y la solución practica.
25. El monto de una renta de $ 10000 por año vencido es de $
100000. si la tasa de interés es del 6% calcular el tiempo
indicando la solución matemática y la solución matemática y la
solución práctica
26. El monto de una renta de $ 4000 por trimestre vencido es de $
60.000. si la tasa de interés es del 8% convertible
trimestralmente, calcular el tiempo indicando la solución
matemática y la solución práctica
27. Una deuda de $ 20000 con interés del 10% capitalizables
semestralmente se conviene en cancelarla con pagos semestrales
de $ 4000, encontrar el numero de pagos y el valor del pago
final.
28. Una persona compra maquinaria por valor de $ 60.000 y
conviene en pagar $ 15000 como cuota inicial y el saldo en
cuotas de $ 12000 trimestrales con el 12% convertible
trimestralmente. Encontrar el numero de pagos y el valor del
pago final.
29. Un empleado puede ahorrar $ 350 mensuales. Si los consigna
66
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
en una cuenta de ahorros que paga el 8% convertible
mensualmente, (¿en cuanto tiempo y con que pago final lograra
ahorrar $ 30.000?
¿Qué interés deben producir unas imposiciones de $ 300
mensuales para que se conviertan en $ 4500 en un año?
Un televisor cuyo valor de contado es de $ 48000 se puede
adquirir con un pago inicial de $ 800 y 12 pagos mensuales de
$ 400 cada uno. Hallar la tasa convertible mensualmente que se
carga.
¿Qué tasa nominal convertible trimestralmente se debe establecer
para que 24 depósitos de $500 trimestrales den un monto de $
16000 al efectuar el ultimo pago?
Una persona necesita reunir $ 10000 en 8 años y con este fin
hace depósitos iguales cada fin de año en un banco que abona
el 6% de intereses. Transcurridos 4 años el banco eleva la tasa
al 8% Hallar el valor de los depósitos anuales antes y después
de que el banco elevara la tasa de interés.
Una persona deposita hoy $ 10000 en una cuenta de ahorros
que abona el 8% de interés. Transcurridos 3 años decide hacer
nuevos depósitos cada final de años de modo que transcurridos
5 años tenga al efectuar el ultimo deposito $ 60000 Hallar el
valor de los depósitos anuales
Los dueños de una mina de carbón desean vender acciones
pagando el 12% de dividendos anuales. Se estima que la mina
producirá $ 400000 de utilidad anual durante los próximos 10
años después de los cuales estará agotada. Para cubrir el valor
de las acciones acumular reservas anuales e un fondo de
amortización que abona el 8% de interés. Hallar el valor máximo
de las acciones que pueden emitir.
Demostrar que cuando el valor a n i = A/R es resuelto por
interpolación para el valor de n, la parte decimal de n es la
parte de la renta R que se debe pagar en el final del periodo
que corresponde al entero superior a n; para cubrir totalmente el
valor de la anualidad.
Sugerencia: Demuestre primero que a n + 1 i – a n
i
= (1 + i)n+i
37. Demostrar que cuando el valor a n i = S/R es resuelto por
interpolación para el valor de n la parte decimal de n es la
parte de la renta R que se debe pagar en la fecha inicial, para
67
cubrir el valor total de la anualidad en un numero de periodos
igual al entero que resulta de despreciar la parte decimal de n.
Sugerencia: Demuestre primero que s n + 1 i – s n i = (1 + i)n
38. El beneficiario de una póliza de seguro por $ 200.00 recibirá $
20.000 de inmediato y posteriormente $ 10.000 cada 3 meses. Si
la compañía paga el 8% convertible trimestralmente, hallar el
numero de pagos de $ 10.000 y el pago final tres meses
después el ultimo pago completo.
39. En el problema anterior, ¿qué suma adicional se debería agregar
al ultimo pago de $10.000 para cancelar totalmente el beneficio?
40. ¿Qué oferta es mas conveniente por una propiedad que vale $
100.000: (a) $ 35.000 al contado y 12 pagos mensuales de $
3000. (b) $ 35.000 al contado y un pago de $ 75.000 a un año
plazo.
3.4 ANUALIDADES ANTICIPADAS
3.4.1 INTRODUCCIÓN
En los negocios es frecuente que los pagos periódicos se efectúen al
comienzo de cada periodo; tal es el caso de la renta de terrenos, edificios y
oficinas cuyo alquiler se paga a principio de periodo. Las ventas a plazos
suelen estipular una serie de pagos al comienzo de los periodos
convenidos en el contrato de venta. En los seguros ya sean dótales, de
vida o de protección contra riesgos, las pólizas, por lo general estipulan
que el asegurado debe pagar sus cuotas o primas de seguro, al comienzo
de cada periodo. En estos casos se usa la expresión “el pago vence a
principio del periodo”.
Definición: Una anualidad anticipada e inmediata esa una sucesión
de pagos o rentas que se efectúan, o vencen, al principio del periodo de
pago.
En este capitulo estudiaremos las anualidades simples ciertas
anticipadas. Las distintas variantes que se presentan según él numero de
periodos de capitalización y él numeró de pagos en el año se estudiaran en
él capitulo correspondiente al tratamiento general de las anualidades.
68
Para comparar las anualidades anticipadas con las anualidades
vencidas es muy útil el siguiente diagrama.
Anualidades
1
1
2
2
3
n-2
vencidas
n-1
Anualidades
n
n-1
n
anticipadas
3.4.2
SÍMBOLOS UTILIZADOS
ANTICIPADAS
EN
LAS
ANUALIDADES
Todos los símbolos tienen el mismo significado que el definido en las
anualidades ordinarias o vencidas así:
R = pago periódico o renta
i = tasa efectiva por periodo de capitalización
J = tasa nominal anual
M = numero de capitalizaciones en el año
J(m)= tasa nominal con m capitalizaciones en el año
N = numero de periodos de pago
S = monto de una anualidad
A = valor actual o presente de una anualidad
Algunos autores utilizan los símbolos: a 
para el valor actual o
presente de una anualidad anticipada de una unidad monetaria por periodo
durante n periodos a la tasa i por periodo.
S

para el monto de una anualidad anticipada de una unidad
69
monetaria por periodo durante n periodos a la tasa i por periodo.
Nosotros no consideramos necesario utilizar estos dos últimos
símbolos ya que no se requieren nuevas formulas para él calculo de los
valores de las anualidades anticipadas ni tablas distintas de las que ya
hemos descrito. Daremos algunas relaciones útiles para él calculo del
monto y del valor actual de las anualidades anticipadas y explicaremos
diferentes métodos para obtenerlas.
3.4.3 MONTO Y VALOR ACTUAL DE LAS ANUALIDADES
SIMPLES CIERTAS ANTICIPADAS
Existen diferentes formas para calcular tanto el monto como el valor
actual de las anualidades anticipadas, de estas daremos dos formas que
consideramos las más simples y las de mayor utilidad en el planteamiento
de los problemas. Sea el diafragma de una anualidad anticipada de R por
periodo.
-1
0
1
2
R
R
R
n-2
R R
n-1
n
R
S
Observemos que al agregar el ultimo pago R se obtiene el monto de
una anualidad vencida de R por periodo pagadera durante n+1 periodos su
monto es Rsn+1 i, restando a este valor el ultimo pago R que se habia
agregado se obtiene el monto de una anualidad anticipada de R por
periodo pagadero durante n periodos.
S= Rsn+1 i - R
S= R(sn+1 i - 1)
El mismo resultado se puede obtener planteando la siguiente
ecuacion de equivalencia, utilizando como fecha focal el final del periodo n1; vease el diagrama, en el se advierte que el pago R en el periodo n-1 se
puede considerar como el ultimo pago de una anualidad vencida que se
indica en el periodo –1
70
S(1+i)-1 = Rs n i
S= Rs n i (1+i) reemplazando el valor s n i
Se tiene S= R(1+i)n-1 (1+i)= R (1+i)n+1-1-i
i
i
S=R[1+i)n+1-1-i]= R[(1+i)n+1-1-1]
i
i
i
S= R (s n+1 i -1)
(s n+1 i -1) es el monto de una anualidad anticipada de una unidad
monetaria pagada durante n periodos a la tasa i por periodo.
Calculo del valor actual. Si en el diagrama suprimimos el primer
pago R se tiene una anualidad vencida de R por periodo pagadera durante
n-1 periodos.
0
1
2
n-1
n
....
R
A
R
R
R
Su valor actual es R n-1 i. Agregando a este valor el primer pago R
que se había suprimido se obtiene el valor actual de una anualidad
anticipada de R por periodo pagadera durante n periodos.
A= Ra n-1 i + R
A= R (an-1 i + 1)
Este mismo resultado se puede obtener planteando la siguiente
ecuación de equivalencia, utilizando como fecha focal la fecha inicial.
A – R = Ra n-1 i
A= Ra n-1
i
+ R
A = R (a n-1 i + 1)
71
(a n-1 i + 1) es el valor actual de una anualidad anticipada de una unidad
monetaria pagadera durante n periodos a la tasa i por periodo.
El tratamiento de los problemas que involucran anualidades
anticipadas, por lo general, no es diferente a lo tratado en los problemas de
las anualidades vencidas. En todo caso recomendamos al lector plantear
las ecuaciones de equivalencia y no atenerse a la simple aplicación de las
formulas, ya que estas resultan muy limitadas ante la gran variedad de
problemas que frecuentemente se presentan en matemáticas financieras.
Ejemplo 1. Una compañía deposita al principio de cada año $20,000
en una cuenta de ahorros que abona el 7%. ¿A cuanto ascenderán los
depósitos al cabo de 5 años?
S= R sn+1 i - 1
R= 20,000; i= 0,07; n=5
S= 20,000(s6 0,07 –1)= 20,000(6,15329074), ver tabla V
S= $123,065,81
Ejemplo 2. Una compañía alquila un edificio en $4000 mensuales y
propone al propietario pagarle el alquiler anual a principio de cada año, con
la tasa del 12% convertible mensualmente. Hallar el valor del alquiler anual.
A= R an-1 i +1
R= 4000; j= 0,12; i= 0,01; n=12
A = 4000(a11 0,01 +1 = 4000 (11,36762825), ver tabla VI
A = $45,470,51
1. El dueño de una propiedad avaluada en $400,000 recibe por ella las
siguientes ofertas: (a)$100,000 al contado y el saldo en 6 pagos
trimestrales de $55,000 cada uno. (b) 20 pagos mensuales de $22,000
72
cada uno, efectuando el primer pago de inmediato. Tasa de interés del
12% nominal. ¿Qué oferta le conviene mas?
Se calcula el valor actual de cada oferta.
(a) A = 100,000 + 55,000 a 6 0,03
A = 100,000 + 55,000(5,41719144)
A = $397,945,50
(b)
A = 22,000(a 20-1 0,01 + 1) = 22.000 (18,2260085)
A = $400.972,20
Es preferible la oferta (b.
2. Un comerciante vende neveras a $7500 al contado. Promueve su venta
a plazos en 18 meses sin cuota inicial, con un recargo del 24%
convertible mensualmente. Hallar la cuota periódica o renta.
A = R an-1
i
+1
R=A
a n-1 i +1
A = 7500; j = 0,24; m=12; n=18
R=
7500
15,29187188
= $ 490,45
3. Un comerciante estima que puede aumentar sus ventas, ofreciendo
televisores que valen $4200 de contado en cuotas mensuales de $300
cada una y sin cuota inicial. Hallar él numero de cuotas si se carga el
18% de intereses convertibles mensualmente.
A = R (a n-1 i +1)
A= 4200; R= 300; j= 0,18; m = 12; i = 0,015
4200 = 300 a n-1
a n-1
0,015 +1
= 4200 -1 = 13
300
0,015
73
En la tabla VI columna del 1 ½ %, el valor 13 esta comprendido entre
a 14 0,015 y a15 0,015 cuyos respectivos valores son: 12,543381150 y
13,34323301. Como en el ejemplo 6.6, procedemos por interpolación.
a 15 corresp... 13,34323301
a 14 corresp... 12,54338150
1
es a
0,79985151
a n-1 corresp... 13,00000000
a 14 corresp... 12,54338150
como
1
n-15 es a 0,45661850
=
n-15
0,79985151
0,45661850
n-15 = 0,45661850 = 0,57087909
0,79985151
n = 15,57087909 respuesta matemática.
Respuesta practica: 15 pagos de $300 y un ultimo pago al principio
del periodo 16 de 0,57087909(300)=$171,26.
4. Una deuda de $40,000 se cancela con 10 pagos trimestrales, por
trimestre anticipado, de $4450.¿qué tasa de interés se ha cargado?
A = R (a n-1 i +1)
A = 40.000; R = 4450; m = 4; n = 10
40.000 = 4450 (a 10-1 i + 1)
a9
i
a9
i
= 40.000
4450
- 1
= 8,98876400 – 1 = 7,98876400
Buscamos en la tabla VI en la línea correspondiente a n = 9, los valores
más próximos a 7,98876400 son: a 9 0,025 = 7,97086553 y a 9 0,02 =
8,16223671; para nuestro valor calculamos i por interpolación.
A 0,020 corresp... 8,16223671 a
i
corresp... 7,98876400
74
A 0,025 corresp... 7,97086553 a 0.025 corresp... 7,97086553
- 0,005 es a 0,19137118
como i – 0,025 es a 0,01789847
-0,005 =
0,19137118
i - 0,025
0,01789847
i - 0,025 = (-0,005)0,01789847 = 0,0004671
0,19137118
i = 0,0245329
j = 4(0,0245329)
tasa matemática = 9,813%
tasa practica = 9 5/6%
5.
Resolver el problema 1 planteando una ecuación de equivalencia para
cada oferta.
6.
Resolver el problema 3 planteando una ecuación de equivalencia.
7.
Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 15 años
plazo con pagos $3000 mensuales por mes anticipado; Si la tasa de
interés es del 12% convertible mensualmente.
8.
Calcular el valor de contado de un equipo medico que se vende a dos
años de plazo, con el 9% de interés convertible trimestralmente; Con
pagos trimestrales anticipados de $4000 y un ultimo pago de $3200 a
los 2 años 3 meses.
9.
Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad: (a)
$400.000 de contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales
durante 21/2 años; (c) $20.000 por trimestre anticipado durante 3
años y un pago de $250.000 al finalizar el cuarto año. ¿qué oferta
debe preferir si la tasa de interés es del 8%?
75
10. Para establecer un fondo de $1.000.000 se consigna a principio de
cada año $120.000 en una cuenta de ahorros que abona el 8%.
Calcular el tiempo, utilizando algoritmos.
11. ¿Cuál es el valor actual de una renta de $500 depositada a principio
de cada mes durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el
9% convertible mensualmente?(Véase el problema 20 del capitulo 6).
12. Un comerciante vende maquinas de tejer a $12.500 precio de contado.
Para promover sus ventas decide venderlas en 18 plazos mensuales
cargando el 2% mensual de intereses. ¿Cuál es el valor de las
mensualidades?
13. ¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año en un fondo
que abona el 6%, para proveer la sustitución de los equipos de una
compañía que tienen un costo de $2.000.000 y una vida útil de 5 años,
si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo?
14. Sustituir una serie de pagos al principio de cada año, por el
equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9%
15. Sustituir una serie de pagos al principio de cada año, por el
equivalente en pagos mensuales anticipados, con un interés del 9%
3.5 ANUALIDADES DIFERIDAS
3.5.1 INTRODUCCIÓN
Es frecuente en los negocios que algunas circunstancias obliguen a
76
que el primer período de pago comience en una fecha futura, hasta
después de transcurrido un cierto tiempo desde el momento inicial o de
convenio. Es decir no coincide la fecha inicial de la anualidad con la fecha
del primer pago. En estos casos se dice que la anualidad es diferida.
Definiciones una anualidad diferida es una anualidad cuyo plazo
comienza después de transcurrido un intervalo de tiempo.
Intervalo de aplazamiento es el tiempo que transcurre entre la fecha
inicial, o fecha de valoración de la anualidad, y la fecha del primer pago.
Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el
tiempo que corresponde a un periodo de pago. Así por ejemplo: si dentro
de 2 años se efectuara el primer pago de una anualidad vencida de $R por
semestre y cuyo plazo es de 3 años, tendremos
0
1
2
3
4
5
6
R
R
R
R
R
R
R
7
8
9
10
Semestres
F = fecha inicial de la anualidad vencida
Tiempo transferido = 3 periodos semestrales
Tiempo o plazo de la anualidad = 7 periodos
Tiempo total = tiempo diferido más tiempo de la anualidad.
Por lo general las anualidades diferidas se analizan como anualidades
ordinarias o vencidas; de manera que en los problemas al hablar de una
anualidad diferida se supone que es vencida.
3.5.2
SÍMBOLOS
DIFERIDAS
UTILIZADOS
EN
LAS
ANUALIDADES
Los símbolos utilizados en las anualidades diferidas tienen el mismo
significado que los utilizados en las anualidades estudiadas en los
77
capítulos 6 y 7. Algunos autores separan para su análisis dos grupos de
anualidades diferidas anticipadas, y utilizan los mismo símbolos
pero encerrados en un recuadro así,
Nosotros no utilizaremos estos símbolos porque consideramos que
no son necesarios, y además nuestra experiencia nos ha permitido apreciar
que su uso es perjudicial, debido a que en el tratamiento de los problemas
crea confusiones a los estudiantes de matemáticas financieras.
3.5.3 VALORES DE LAS ANUALIDADES DIFERIDAS SIMPLES
CIERTAS
Para el cálculo de los valores no se requieren nuevas formulas ni
tablas distintas de las que ya hemos descrito en los capítulos anteriores. El
lector debe comprender la importancia de analizar los problemas utilizando
diagramas que le permitan determinar cuidadosamente el tiempo diferido y
el tiempo de pago; para luego plantear las ecuaciones de equivalencia que
conducen a la correcta solución. No es conveniente memorizar formulas o
procedimientos ya que estos resultan inútiles ante la gran variedad de
problemas que suelen representarse. El lector debe desarrollar su propia
imaginación y creatividad en el tratamiento de los problemas.
Cálculo del valor actual. Sea una anualidad vencida, diferida k
periodos, de $ R por período pagaderos durante n periodos a la tasa i por
periodo. Dibujando un diagrama se tiene:
0
1
2
k
k+1
k+2

k + n - 1 k + n periodos


A
R
R
Tiempo
R
R
Tiempo de anualidad
diferido
Formando una ecuación de equivalencia, utilizando como fecha focal el
final del período k , se tiene, siendo A el valor actual o presente en la fecha
inicial,
¬
A (1+i )k = Ra n
i
¬
78
De donde A = R (1+i )-k a n
i
Otro método para calcular el valor de las anualidades diferidas, consiste en
tratarlas como diferencia entre dos anualidades no diferidas, así:
0 1
períodos
2
k-1
k

A1 R
0
R
2
II
k + n -2
k + n -1 k + n
R
R
R
k + n -2
k + n -1 k + n

R
1
k+1
R
k-1
R
k

A2 R
0
R
1
R
2
k-1

III
R
k
k+1

A3
R
R
¬
¬
EL VALOR ACTUAL DE I ES
EL VALOR ACTUAL DE II ES
A1 = Ra k+n
A2 = Ra k i
EL VALOR ACTUAL DE III ES
A3 = A1 - A2
¬
A3 = Ra k+n
R
R
i
¬
i - Ra k i
De donde el valor actual A de la anualidad diferida k período es:
¬ Ra¬
A = R( a k+n
i -
k I
)
En el problema 8 del capitulo 6 se demostró que
a k+n = a k
i
+(1+i) -k a
k
i
sustituyendo en la formula 33 se tiene
79
A = R [ ak i + (1+i) –k an i - ak i ]
A = R (1+i) –k a n i
o sea
La formula (34) ofrece algunas ventajas para el calculo y por esto es
mas utilizado que la formula (33).
Ejemplo 1. calcular el valor actual de una renta de $5000
semestrales si el primer pago se debe de recibir dentro de 2 años y el
ultimo dentro de 6 años, si la tasa de intereses es del 8% convertible
semestralmente.
Dibujemos el diagrama que corresponde a las condiciones del
problema.
0
1
2
3
4
5
6
11
12 semestres
¨¨ ¨¨
A
5000 5000 5000
5000 5000
El intervalo es de 3 periodos y el tiempo de pago tiene 9 periodos
A = R (a k+n i
a
k
R= 5000; j= 0.08; m= 2;
i)
I=0.04;
k= 3; n; 9
A = 5000(a12 0,04 – a 13 0,04)
A = 5000(9,38507376 – 2,77509103) = 5000(6,60998273)
A = $ 33,049,91
Si aplicamos la formula (33) el calculo se desarrolla así:
A = r(1+i) –k a n i
A = 5000(0,88899636)(7,43533161)
80
A = $ 33.049,91
Cálculo del monto. El monto de la anualidad diferida es el propio
monto de la anualidad correspondiente al tiempo de pago. Su cálculo fue
tratado en los capítulos 6 y 7.
Calculo de la renta. Para el cálculo de la renta se despeja, según el
caso, el valor R en la formula (33) o en la fórmula (34)
Utilizando la fórmula (33) A = r(1+ i) –k a n i , despejando R se tiene
A(1+i) k
R=
ani
Utilizando la fórmula (34) R = (a n + k i - a k i ), despejando R se tiene
A
R=
a n+k i - a k
i
Ejemplo 2. Al cumplir un joven 12 años, su padre deposita $ 50.000
en un fondo universitario que abona el 8% , para que al cumplir el hijo 18
años reciba una renta anual suficiente para costear 4 años sus estudios
universitarios. Hallar el costo anual de los estudios.
0 1
2
3
4
5
6
A
A = $ 50.000; i = 0,08;
7
8
9
R R R
k = 5; n = 4
50.000
R
50.000
R=n
=
a5 + 4
0,08
-a 5
0,08
6,246888791 – 3,99271004
81
50.000
R=
= $ 22.181,04
2,25417787
Cálculo del tiempo. Estos problemas del cálculo del tiempo son
poco frecuentes. Hay dos tiempos distintos que pueden calcularse: el
tiempo diferido y el tiempo de la anualidad.
Para el tiempo diferido se tiene:
A = R(1+i) –k a n i
(1+i)
–k
A
=
R a ni
R a ni
k
(1+i) =
A
Luego se produce como en los capítulos anteriores, por la
interpolación o aplicando logaritmos.
Para el tiempo de la anualidad se tiene:
A = R(1+i) –k a n i
A(1+i) k
a ni =
R
Luego se procede por interpolación o aplicando logaritmos.
Ejemplo 3. Alguien deposita en un banco que abona el 7%, la suma
de $ 100.000, para que dentro de 5 años le pague una renta de $ 20.000
anuales; hallar el número de pagos.
82
A = R(1+i) –k a n i
0 1
2
3
4
5
6
A
R R
R R R
A = $ 100.000;
R= 20.000
i = 0,07; k = 4
–4
100.000 = 20.000(1+0,07) an 0,07
100.000(1+0,07) –4
an 0,07 =
= 5(1,31079601)
20.000
Este valor esta comprendido entre a 9
= 7,0235854;
0,07 =
6,15123255 y a 10
0,07
luego por interpolación
a 10 corresponde 7,02358154 a n corresponde 6,55398005
a 9 corresponde 6,51523225 a 9 corresponde 6,51523255
1
es a 0,50834929 como n – 9 es a
0,03874780
1
0,50834929
=
n-9
0,03874780
0,50834929
n-9 =
= 0,0762227
0,03874780
Respuesta matemática n = 9,0762227
Respuesta práctica: 9 pagos anuales de $ 20.000 y un último pago al
final del décimo año de $ 20.000(0,0762227) = $ 1524,46.
Cálculo de la tasa. Rara vez se presentan en la práctica problemas
en los que sea necesario calcular la tasa de una anualidad diferida. Para el
cálculo de la tasa, las fórmulas que hemos estudiado conducen a
ecuaciones de grado superior, que en la mayoría de los casos es necesario
resolver por tanteos.
83
Ejemplo 4. Una persona entrega $ 39.000 a un banco con el objeto
de que dentro de 5 años le inicie el pago de 12 anualidades de $ 6000.
hallar la tasa de interés que abona el banco.
A = R(1+i) –k a n i
0 1
2
3
4
5
6
15
6000 6000
A = 39.000
R= 6000
16
6000 6000
k = 4; n = 12
39.000 = 6000 (a 12 +4 i - a 4 i )
39.000
a 16 i - a 4 i =
=6,5
6000
Procediendo por tanteo en la tabla VI, se busca, restando
mentalmente los valores para n = y n = 4, el valor que más se aproxime a
6,5. Así se encuentra que está comprendido entre las siguientes
diferencias.
Para la tasa del 6%
6,6407866
a
16 0,06
Para la tasa del 6 ½ %. a
6,34196558
- a
16 0,065
4 0,06
- a
= 10,10589527 – 3,46510661 =
4 0,065
= 9,76776418 – 3,42579860 =
Respuesta práctica: La tasa está comprendida entre 6% y 6 ½ %. En
el caso que se desee o sea necesaria una mayor aproximación, se procede
por interpolación lineal.
1. Alguien desea establecer un fondo, de manera que un hospital que
estará terminado dentro de 5 años, reciba para su funcionamiento una
renta anual de $ 25.000 durante 20 años. Hallar el valor del fondo si gana
84
el 8% de interés.
A = R(1+i) –k a n i
0 1
2
R= 25.000;
3
4
5
6
23
R
R
R
24 25 años
R
R
I= 0,08 K = 4; n = 21
A=25.000 = a 25
0,08
- a
4 0,08
)
A = 25.000 (10,67477619 – 3,31212684)
A = $ 184.066,23
2. Una persona deposita hoy $ 60.000 en un banco que abona el 7% para
dentro de 5 años se le comience a pagar una renta que se le cancelará
semestralmente durante 10 años. Hallar la renta semestral que recibirá.
0
1
2
9 10 11
29
30 semestres
60.000
A= 60.000;
R
R
R
R
J=0,07; M=2 ; I= 0,35; K = 9; n = 21
A=60.000 = a 21+ 9 0,35 - a 9 0 ,035 R=(18,39204541-7,60768651)
60.000
De donde R =
=$ 5563,61
10.78435890
3. una persona deposita en un banco $ 500 cada final de mes durante 4
años consecutivos. Hallar la suma que tendrá en su cuenta 7 años después
del último depósito, si el banco abona el 6% convertible mensualmente.
85
0
1
500
2
500
47
48
500
500
49
132 meses
x
R= 500; n= 48; i= 0,005. no hay intervalo diferido; esta es una anualidad
vencida cuyo monto S queda diferido K períodos para su cobro, K = 84.
Para el cálculo establecemos una ecuación de equivalencia utilizando la
fecha final como fecha focal
X=500s 48 0,005 (1 + 0,005 ) 84 = 500(54,09783222)(1,5203664)
X= $ 41.124,35
4. Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de
ingeniería muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso
demorarán 6 años. Se estima que los yacimientos en explotación
rendirán una ganancia anual de $ 2.400.000. suponiendo que la tasa
comercial de interés es del 8% y que los yacimientos se agotaran
después de 15 años continuos de explotación, hállese el monto de la
renta que se espera obtener.
5. En el problema 4 hállese el valor de utilidad que se espera obtener, en
el momento de la adquisición de los yacimientos.
6. una ley de incentivos para la agricultura, permite a un agricultor adquirir
equipos por valor de $ 80.000 para pagarlos dentro de 2 años con 8
cuotas semestrales. Si la ley fija el 6% de interés para estos préstamos,
hallar el valor de las cuotas semestrales.
7. Una compañía frutera sembró cítricos que empezarán a producir dentro
de 5 años. La producción anual se estima en $ 400.000 y que ese
rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años. Hallar con la tasa
del 6% el valor actual de la producción.
8. ¿Con cuánto se puede comprar una renta de $ 10.000 trimestrales
pagadera durante 15 años, debiendo comenzar el primer pago dentro
de 12 años, si la tasa de interés es de 8% capitalizable
trimestralmente?
9. Alguien deposita $ 100.000 en un banco, con la intención de que
86
dentro de 10 años se le pague a él o a sus herederos una renta de
cada mes. ¿Durante cuántos años se pagará esta renta si el banco
abona el 6% convertible mensualmente?
10. Hallar el precio de contado de una propiedad comprada con el siguiente
plan: Una cuota inicial de $ 30.000; 6 pagos trimestrales de $ 10.000
debiendo efectuar el primer pago dentro de un año y un pago final de $
25.000 6 meses después de pagada la última cuota trimestral. Calcular
con el 12 % convertible trimestralmente.
11. Una deuda contraída al 8% nominal, se debe cancelar con 8 cuotas
semestrales de $ 20.000 c/u, con la primera cuota a pagar dentro de 2
años. Sustituirla por una obligación equivalente pagadera con 24
cuotas trimestrales, pagándose la primera cuota de inmediato.
12. Una compañía concesionaria de la explotación de un hotel, por 15 años
contados desde su inauguración; el hotel será puesto en servicio dentro
de 2 años. Se estima que los ingresos brutos mensuales serán de $
250.000. hallar con la tasa del 12 % convertible mensualmente, el valor
actual de los ingresos brutos.
13. En el problema 12 hallar el monto de los ingresos brutos que se
esperan obtener.
14. Por un pago de inmediato de $ 180.000 una compañía de seguros
ofrece pagar, transcurridos 10 años, una renta de $5500 al comienzo
de cada mes durante 5 años. Hallar la tasa aproximada que paga la
compañía.
15. Una deuda de $ 30.000 con interés del 12% capitalizable
semestralmente, se conviene en cancelarla de inmediato con pagos
semestrales de $ 5000. hallar el número de pagos y el valor final del
pago final.
16. Un empleado consigna $ 300 a principios de cada mes en una cuenta
de ahorros que paga el 8% convertible mensualmente.¿En cuánto
tiempo y con qué pago final logrará ahorrar $ 30.000?
17. un televisor cuyo valor de contado es de $ 4000 se puede adquirir con
12 pagos mensuales anticipados de $ 400 cada uno. Hallar la tasa de
interés que se carga.
18. ¿A que tasa nominal, 25 depósitos trimestrales de $ 500 por trimestre
anticipado, darán un monto de $ 16.000 tres meses después de
efectuado el último pago?
19. Deducir de fórmula del monto para anualidades anticipadas, utilizando
las propiedades de las progresiones geométricas.
87
20. Deducir la fórmula del valor actual para anualidades anticipadas,
utilizando las propiedades de las progresiones geométricas.
OBJETIVOS
88
4

Aprender los esquemas principales de
amortización de deudas y a combinarlos
para crear nuevos sistemas.

Aprender los métodos para calcular el valor
de cuotas de amortización, las tasas de
interés, saldos insolutos y a preparar
cuadros de amortización.

Aplicarlos para manejar los sistemas de
amortización que ofrecen las corporaciones
financieras.
SUMARIO
Unidad 4. Amortización.
4.1. Introducción.
4.2. Tablas de Amortización.
4.3. Interés en el valor de un bien adquirido.
4.4. Extinción de deudas consolidadas.
4.5. Fondos de Amortización.
4.6. Tablas de fondos de amortización.
4. AMORTIZACIÓN
4.1 INTRODUCCIÓN
Se dice que un documento que causa intereses está amortizado
89
cuando todas las obligaciones - contraídas (tanto capital como intereses)
son liquidadas mediante una serie de pagos (generalmente iguales),
hechos en intervalos de tiempos iguales.
Ejemplo 1.
Una deuda de $5000 con intereses al 5% convertible semestralmente
se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales R en los próximos 3
años, el primero con vencimiento al término de 6 meses. Hallar el pago.
R
0
1
5000
períodos de interés
R
R
R
R
R
2
3
4
5
6
Los 6 pagos R constituyen una anualidad cuyo valor presente es
$5000. Por tanto
Ra6.025  5000 yR  5000
1
a6.025
 $907.75
Amorticemos una deuda A amparada con un documento que
causa intereses, mediante una serie de n pagos de R cada uno, tal como
en el ejemplo 1. Cada pago R se aplica en primer lugar para el pago del
interés vencido en la fecha del pago; la diferencia se utiliza para disminuir
la deuda. En consecuencia, la cantidad disponible para disminuir la deuda
aumenta con el transcurso del tiempo.
La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como
saldo insoluto o capital insoluto en la fecha. El capital insoluto al inicio del
plazo es la deuda original. El capital insoluto al final del plazo es 0 en
teoría, sin embargo, debido a la práctica de redondear al centavo más
próximo, puede variar ligeramente de 0. El capital insoluto justamente
después de que se ha efectuado un pago es el valor presente de todos los
pagos que aún faltan por hacerse.
4.2 TABLA DE AMORTIZACIÓN
Para efectos contables es conveniente preparar una tabla que
muestre la distribución de cada pago de la amortización respecto a los
intereses que cubre y a la reducción de la deuda.
90
Ejemplo 2.
Construir una tabla de amortización para la deuda del ejemplo 1.
Período
1
2
3
4
5
6
Totales
(a)
(b)
(c)
Capital
Interés vencido
insoluto al
al final del
Pago
principio del
período
período
5000,00
125,00
907,75
4217,25
105,43
907,75
3414,93
85,37
907,75
2592,55
64,81
907,75
1749,61
43,74
907,75
885,60
22,14
907,75
446,49
5446,50
(d)
Capital pagado
al final del
período
782,75
802,32
822,38
842,94
864,01
885,61
5000,01
La tabla se llena por renglones como sigue: El capital insoluto (a) al
principio del primer período es la deuda original de $5000. El interés
vencido (b) al final de ese mismo período es 5000(0,025)=$125. El pago
semestral (c) es $907,75, de los cuales se utilizan $125 para el pago del
interés vencido y $907,75 – 125=$782,75 se utilizan para el pago del
capital (d). Al principio del segundo período del capital insoluto (a) es 5000782,75=$4217,25. Al término de este período el interés vencido (b) es
4217,25(0,025)=$105,43. Del pago (c) de $907,75-105,43=$802,32 para
pago del capital (d). Al principio del tercer período, el capital insoluto (a) es
4217,25.802,32=$3414,93 y así sucesivamente.
Cuando tiene que hacerse un gran número de pagos, debe revisarse
la tabla ocasionalmente durante su elaboración.
Ejemplo 3.
En el ejemplo 1, hallar el capital insoluto justamente después del 4°
pago y comparar con la cifra de la tabla del ejemplo 2.
El capital insoluto P justamente después del 4° pago es el valor
presente de los 6-4=2 pagos que aún faltan por hacerse. En consecuencia
P=907.75a2.025=$1749.62
91
4.3 INTERÉS EN EL VALOR DE UN BUEN ADQUIRIDO
Cuando se compra un bien mediante una serie de pagos parciales, el
interés del comprador del bien, en cualquier tiempo, es aquella parte del
precio del bien que ha pagado. Al mismo tiempo, el interés del vendedor
del bien, es aquel que queda por pagarse, esto es, el capital insoluto en la
fecha. Claramente vemos que Interés del comprador + interés del vendedor
= precio de venta.
Ejemplo 4.
M compra una casa en $25.000 paga $10.000 de cuota inicial y el
saldo lo amortiza con intereses al 6% convertible mensualmente, mediante
pagos iguales al final de cada mes en los próximos 10 años. ¿Cuál es el
interés justamente después de hacer el 50° pago periódico?
El pago periódico es R  15.000
1
a120.005
 $166.53 El capital insoluto
Justamente
después
del
50°
pago
periódico
es
166.53ª70.005=$9815.18. Del precio de venta de $25.000, M debe aún
$9815.18. Su interés en la propiedad es 25.000-9815,18=15.184,82.
4.4 EXTINCIÓN DE DEUDAS CONSOLIDADAS
Cuando una deuda contraída mediante la emisión de bonos con
intereses en amortizada, cada pago se aplica para cubrir los intereses
correspondientes vencidos y para redimir un cierto número de bonos. Los
pagos periódicos no pueden permanecer iguales, sin embargo tienen que
ser lo más similares que sea posible. Por ejemplo, si la denominación de
los bonos es $100 y se dispone de $712,86, serán redimidos 7 bonos; si se
dispone de $763,49, se redimirán 8 bonos.
Ejemplo 5.
Construir una tabla para la liquidación mediante 6 pagos anuales, lo
mas iguales posible, de una deuda de $30.000 contraída mediante la
emisión de bonos de $100 con intereses al 5%.
92
La deuda de $30.000 con intereses al 5%, será liquidada mediante 6
pagos anuales iguales de
R  30.000
1
a6.05
 $5910,52
Al término del primer año, el cargo por intereses es 30.000(0.05).
Quedan disponibles 5910,52-1500=$4410.52 para el retiro de 44 bonos.
Quedan ahora 300-44=256 bonos que representan un capital insoluto al
principio del segundo año de $25.600. Al final del segundo año, el cargo
por intereses es 25.000(5,05)=$1280. Hay disponibles 5910.52-1280$4630.52 para el retiro de 46 bonos. Quedan ahora 256-46=210 bonos,
que representan un capital insoluto al principio del tercer año de $21.000 y
así sucesivamente.
TABLA QUE MUESTRA LOS PAGOS PARA LA EXTINCIÓN DE UNA
DEUDA CONSOLIDADA
Período
1
2
3
4
5
6
Totales
Capital
insoluto al
principio del
período
30.000,00
25.600,00
21.000,00
16.100,00
11.000,00
5.600.00
Interés
vencido
Número de
bonos
retirados
Pago
periódico
1500,00
1280,00
1050,00
805,00
550,00
280,00
5465,00
44
46
49
51
54
56
300
5.900,00
5.880,00
5.950,00
5.905,00
5.950,00
5.880,00
35.465,00
4.5 FONDOS DE AMORTIZACIÓN
En el método de fondo de amortización para liquidar una deuda, el
acreedor recibe el interés pactado en su vencimiento y el valor nominal de
la deuda al término del plazo. Con el objeto de poder hacer el último pago,
el deudor crea un fondo por separado en el cual hace depósitos periódicos
iguales durante el plazo, de tal forma que justamente después del último
depósito, el fondo importa el valor de la deuda original. Es de suponerse
93
que el fondo gana intereses, pero no necesariamente a la misma tasa que
carga el acreedor.
Ejemplo 6.
Una deuda de $5000 con vencimiento al término de 5 años, sin
intereses, va a ser liquidada mediante el sistema de fondo de amortización.
Si se van a hacer 5 depósitos anuales iguales, el primero con vencimiento
en un año, en un fondo donde gana el 3%, hallar el importe de cada
depósito.
El monto de los 5 depósitos anuales de R cada uno, justamente
después de efectuado el último es $5000; por tanto
Rs5.03  5000
R  5000
y
1
s5.03
 $941,78
Ejemplo 7.
Una deuda de $5000 que devenga intereses al 5% convertible
semestralmente va a ser liquidada mediante el método de fondo de
amortización. Si se van a hacer 8 depósitos semestrales iguales, el primero
con vencimiento en 6 meses, en un fondo que paga el 3% convertible
semestralmente, hallar, (a) el importe R de cada depósito, y
(b) el costo semestral C de la deuda.
(a)
R  5000
1
s8.015
 $592,92
(b) El cargo semestral por intereses es 5000(0,025)=$125. El costo
semestral de la deuda es el cargo por intereses más el depósito periódico
en el fondo de amortización, en consecuencia
C  125  592,92  $717,92
4.6 TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
El crecimiento del fondo de amortización del ejemplo 7 se muestra en
94
la siguiente tabla:
TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
Período
(a)
Aumento de
interés
1
2
3
4
5
6
7
8
Totales
0
8,89
17,92
27,08
36,38
45,82
55,82
65,13
256,62
(b)
Depósito
592,92
592,92
592,92
592,92
592,92
592,92
592,92
592,92
4743,36
(c)
(d)
Incremento al Importe del
fondo
fondo al final
del período
592,92
592,92
601,81
1194,73
610,84
1805,57
620,00
2425,57
629,30
3054,87
638,74
3693,61
648,32
4341,93
658,05
4999,98
4999,98
Al final del primer período se efectúa un depósito (b) de $592,92 y
constituye tanto el incremento al fondo (c) como el importe del fondo (d) al
final del primer período. Al final del segundo período el aumento por
intereses (a) es 592,92(0,015)=$8,89, el depósito (b) es $592,92 y el
incremento en el fondo (c) es 8,89+592,92=$601,81, y el importe del fondo
(d) es 592,92+601,81=$1194,73. Al final del tercer período, el aumento por
interés (a) es 1194,73(0,015)=$17,92, el depósito (b) es $592,92, el
incremento en el fondo (c) es 17,92+592,92=$610,84, y el importe del
fondo (d) es ahora 1194,73+610,84=$1805,57, y así sucesivamente.
La diferencia de $0,02 en la última cifra de (d) es debida al redondeo
de cada cifra a la centena. Al construir una tabla de fondo de amortización
es recomendable comprobar las cifras ocasionalmente.
Ejemplo 8.
En el ejemplo 7, hallar : (a)El importe del fondo justamente del 5°
depósito; (b) cuánto del incremento al fondo por el 6° depósito es debido a
intereses.
(a) El importe del fondo justamente después del 5° depósito es 592,92
s5,015=$3054,88
(b) El aumento por intereses al efectuarse el 6° depósito es el interés
95
producido en un período por el monto en el fondo justamente después
del
5°
depósito,
en
consecuencia,
el
incremento
es
3054,88(0,015)=$45,82.
1.- Un comerciante pide un préstamo de $20,000 para renovar la tienda.
Acuerda amortizar la deuda, capital e intereses al 4 ½%, mediante pagos
anuales iguales por lo próximos 8 años, el primero con vencimiento en un
año. Hallar, (a) el costo anual de la deuda, (b) el capital insoluto
justamente después del 6º. Pago, y (c) en cuanto se reduce la deuda con
el 4º. pago.
(a) el pago anual es
R  20,000
1
 $3032.19
a
s .. 045
(b) el capital insoluto justamente después del 6º. pago es 3032.19
a 2.045  $5678.28
(c) el capital insoluto justamente después del 3er. pago es 3032.19
a5.045  $13,311.24 El interés vencido cuando sea hecho el 4º.pago es
13,311.24(0.045)=$599.01. El 4º. Pago reduce la deuda en 3032.19599.01=$2433.18.
2.- Una deuda de $3600 con intereses al 6% convertible semestralmente
se va a amortizar mediante pagos semestrales de $900 cada uno, el
primero con vencimiento al término de 6 meses, junto con un pago parcial
final si fuera necesario. Construir una tabla. Hallar en forma independiente
el capital insoluto justamente después del tercer pago.
Tal como en el capítulo 10, tenemos
900 an.03=3600 y an.03=4
Por lo que, la tabla XIII, vemos que se requieren 4 pagos completos.
La construcción de la tabla es similar a la del ejemplo 2.
Período
Capital
insoluto al
principio del
Interés
vencido al
final del
96
Pago
Capital
pagado al
final del
período
3600,00
2808,00
1992,24
1152,01
286,57
1
2
3
4
5
Totales
período
108,00
84,24
59,77
34,56
8,60
295,17
período
792,00
815,76
840,23
865,44
286,57
900,00
900,00
900,00
900,00
295,17
3895,17
3600,00
El capital insoluto requerido puede encontrarse sin que sea necesario
determinar primero el pago final (parcial).
De la línea de tiempo
3600
0
P
1
2
3
4
5
tenemos que el capital insoluto P justamente después del tercer pago es
P=3600(1.03)3-900 s3.03
=3600(1.092727)-900(3.09090)=$1152.01
3.- Una deuda de $500.000 distribuida en 100 bonos de $1000,500 bonos
de $500 y 1500 bonos de $100 que pagan intereses de 4% convertible
semestralmente, será amortizada en los próximos 5 años mediante pagos
semestrales lo más iguales posible. Construir una tabla.
Si los pagos semestrales fueran iguales, cada uno sería de
R  500.000
1
a10.02
 $55.663,26
No hay ninguna estipulación sobre la distribución de la suma
disponible en cualquier período entre las tres denominaciones. En la tabla
dada a continuación, $35.000 de la suma disponible se han utilizado para
redimir 10 de los bonos de $1000 y 50 de los bonos de $500.
Período
Capital
Interés
Número de bonos
Pago
insoluto
vencido
redimidos
Semestral
$1000 $500 $100
97
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
500.000,00
454.300,00
407.700,00
360.200,00
311.700,00
262.300,00
211.900,00
160.500,00
180.000,00
54.500,00
Totales
10.000,00
9.086,00
8.154,00
7.204,00
6.234,00
5.246,00
4.238,00
3.210,00
2.160,00
1.090,00
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
100
56.622,00
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
500
107
116
125
135
144
154
164
175
185
195
1500
55.700,00
55.686,00
55.654,00
55.704,00
55.634,00
55.646,00
55.638,00
55.710,00
55.660,00
55.590,00
556.622,00
Una deuda de $100,000 en forma de bonos de $1000 que devengan
intereses al 3% se amortizaran durante los próximos 5 años mediante
pagos anuales lo más iguales posibles. Los bonos están cotizados en el
mercado de valores a 90. Construir una tabla.
Decir que un bono está cotizado a 90 significa que un bono de $1000
puede ser comprado. En consecuencia el valor presente de la deuda es
pagopor int erés
30
1

 0.03 . El pago
precio
900
3
$90,000 y la tasa de interés es
semestral igual, necesario para liquidar la deuda seria.
R  90,000
1
a
5.03
1
3
 1
2 1
1  
 90,000
 


 a5.03 3  a5.03 a5.03  
=90,000(0.2204391)=$19.839052
El interés vencido al final del primer año es 100,000(0.03)=$3000.
Quedan disponibles 19.839,52 – 3000=16.839,52 con lo cual pueden
redimirse 19 bonos de $900 cada uno. La tabla completa es la siguiente
Periodo
Capital
Insoluto
Interés
Vencido
Numero de
bonos
Costo de
adquiridos los bonos
98
Pago total
anual
1
2
3
4
5
Totales
100,000.00
81,000.00
62,000.00
42,000.00
21,000.00
3,000.00
2,430.00
1,860.00
1,260.00
630.00
19
19
20
21
21
9,180.00
17,100.00
17,100.00
18,000.00
18,900.00
18,900.00
20,100.00
19,530.00
19,860.00
20,160.00
19,530.00
99,180.00
90,000.00
5.- La compañía XYZ obtiene un préstamo de $10,000 por 5 años al 6%
convertible semestralmente. Con el objeto de pagar el capital al término
de lo s5 años, se establece en una cuenta de ahorros que paga el 4%
convertible semestralmente, un fondo de amortización mediante
depósitos semestrales iguales, el primero con vencimiento en 6 meses.
Hallar, (a), el costo semestral de la deuda (b) la tasa nominal
convertible semestralmente que la compañía está pagando para liquidar
la deuda.
(a) El cargo por intereses es 10,000(0.03)=$300.
El
depósito
10,000
1
s10.02
periódico
en
el
fondo
de
amortización
es
 $913.27
El costo semestral de la deuda es 300 + 913.27= $1213.27.
(b) En lugar de pagar ahora $10,000 la compañía XYZ paga $1213.27 al
final de cada seis meses durante los próximos 5 años. Sea la tasa
nominal requerida 2i convertible semestralmente, Tenemos que
1213.27a10i  10,000 o sea
1
1213.27

 .121327
a10i 10,000
6.- M desea un préstamo de $20,000 a 6 años. El banco nacional, presta el
dinero al 51/2% si la deuda se amortiza en anualidades. El banco
Regional el dinero al 5% si el interés se paga anualmente y el capital al
término de 6 años. Si se establece un fondo de amortización, pagando
el 3% mediante depósitos anuales iguales, el primero con vencimiento
en 1 año, ¿Qué plan es más barato y cuánto se ahorraría anualmente
aceptándolo?
Si se utiliza el plan del Banco Nacional, el costo anual de la deuda
sería:
99
R1  20,000
1
a6.055
 $4003.58
Si se utiliza el plan del Banco Regional, el costo anual de la deuda
sería:
R1  20,000  20,000
1
s6.03
 $4091.95
El plan del Banco Nacional es 4091.95
anualmente
4003.58=$88.37 más barato
7.- Resolver el ejemplo 10 si al término de 20 años la propiedad puede ser
vendida en $5,000.00
Sea V el precio de compra requerido. En este caso el cargo por
intereses es 0.05V y el valor de reventa, esto es V-5000. Por lo tanto
0.05V  (V  5000)
s20.035
 25,000
y
25,000  5000
V 
0.05 
1
S 20.035
1

25000  5000(.035361)
 $294,944.72
.08536108
S 20.035
8.- Se estima que una mina tendrá un rendimiento neto anual de $75,000
en los próximos 10 años, al término de los cuales podrá venderse en
$10,000. Hallar el rendimiento anual que obtendría un comprador sobre
su inversión si paga $375,000 por la mina y el fondo de reembolso se
acumula al 4%.
Designemos con r el rendimiento anual requerido. El interés ganado
por el inversionista es 375,000 y el depósito anual en el fondo de
100
reembolso es 365,000
375,000r  365,000
1
S10.0.04
1
S100.04
.Por lo cual
75,000  365,000
 75,000
y
r
375,000
1
S10.0.04
 11.89%
1.- Hallar el pago anual necesario para amortizar una deuda de $5,000 con
intereses al 4 ½%,en 12 años .
2.- Hallar el pago trimestral que debe hacer M para amortizar una deuda de
$5,000 con intereses al 4% convertible trimestralmente en 10 años.
3.- Una deuda de $10,000 con intereses al 6% convertiblemente
trimestralmente está siendo amortizada mediante pago trimestrales iguales
durante los próximos 8 años. Hallar, (a) el capital insoluto justamente
después del 12º. Pago, (b) el capital insoluto justamente antes del 15º.
Pago. (c) la distribución del 20º. pago respecto al pago de interés y a la
reducción del capital.
4.- Una persona obtiene un préstamo de $10,000 con intereses al 3172%.
L deuda será liquidada mediante un pago de $2,500 al término de 4 años,
seguido de 6 pagos anuales iguales, (a)Hallar el pago periódico necesario,
(b) Hallar el capital insoluto justamente después del tercer pago periódico.
(c)¿Qué parte del último pago se aplica al pago de intereses?
5.- Construir una tabla para la amortización de
101
(a) una deuda de $4,000 con intereses al 4%, mediante 5 pagos anuales
iguales
(b) una deuda de $6,000 con intereses al 6%, convertible semestralmente
mediante 6 pagos semestrales iguales.
6.- Construir una tabla para el pago de una deuda de $200,000 en bonos
de $1,000 que devengan intereses al 3%, durante un período de 5 años,
procurando que el costo anual se lo más igual posible.
7.- Construir una tabla para el pago de 5 bonos de $10,000 cada uno, 20
bonos de $1,000 cada uno, 35 bonos de $500 cada uno y 125 bonos de
$100 cada uno, pagando 4% por los próximos 6 años, procurando que el
costo anual sea lo más igual posible.
8.-Hallar el importe del depósito anual que es necesario hacer en un fondo
de amortización que paga e 4 ½% efectivo, para liquidar una deuda de
$25,000 con vencimiento en 10 años.
9.- una empresa obtiene un préstamo de $50,000 a 10 años, acordando
pagar intereses de 5% al final de cada año, y al mismo tiempo, establecer
un fondo de amortización para el pago del capital, (a) Hallar el costo anual
de la deuda si el fondo paga el 3 ½%, (b),¿cuánto habrá en el fondo
justamente después del /o. depósito? (c)¿Qué tanto del incremento al
fondo en la fecha del 5º. Depósito es debido a intereses.
10.- Una deuda de 475,000 va a ser liquidada al término de 20 años,
102
teniéndose que pagar intereses de 4% convertible trimestralmente, cada
tres meses. Puede establecerse un fondo de amortización mediante
depósitos trimestrales iguales, el primero de los cuales vencería en tres
meses, ganando el fondo intereses de 3% convertible trimestralmente.
Hallar, (a) el costo trimestral de la deuda, (b) la tasa nominal convertible
trimestralmente a la cual podría ser amortizada la deuda con el mismo
gasto trimestral.
11.- El 1º. de Junio de 1960, una institución empezó a hacer depósitos
anuales de R cada uno de un fondo que produce el 3% efectivo para poder
disponer de $15,000 anuales durante los siguientes 5 años, con los cuales
redimirá unos bonos emitidos. Los primeros bonos vencen el 1º. de Junio
de 1970. Hallar R si el último depósito en el fondo se hace, (a) el 1º. De
junio de 1970, (b) el 1º de junio de 1974.
103
OBJETIVOS
5

Reconocer y aplicar los diferentes métodos
de depreciación.

Aplicar las fórmulas correctas y realizar los
cuadros de depreciación que se presentan.

Aplicarlos en la solución de problemas en el
campo financiero y contable.
SUMARIO
Unidad 5. Depreciación.
5.1. Introducción.
5.2. Conceptos.
5.3. Método de Línea Recta.
5.4. Método de Porcentaje Fijo.
5.5. Método de Suma de Dígitos.
5.6. Método de Depreciación por Unidad de
Producción o Servicio.
5.7. Método por fondos de Amortización.
5.8. La Depreciación en las épocas inflacionarias.
5.9. Resumen.
5. DEPRECIACIÓN
104
5.1 INTRODUCCIÓN
Desde el momento mismo que se adquiere un bien ( a excepción de
los terrenos y algunos metales), éste empieza a perder valor por el
transcurso del tiempo o por el uso que se le da. Esta pérdida de valor es
conocida como depreciación y debe reflejarse contablemente con el fin de:
1. Determinar el costo real de los bienes o servicios que se general
con dichos activos.
2. Establecer un fondo de reserva que permita reemplazar el bien al
final de su vida útil.
En este trabajo se estudiará la depreciación , así como los distintos
métodos que se emplean para calcularla. En la última parte se analizaran
también los problemas que se presentan en épocas inflacionarias y que
obligan a realizar ajustes en los métodos de valuación y depreciación de
los activos.
5.2 CONCEPTO
La pérdida de valor que sufren un activo físico como consecuencia
del uso o del transcurso del tiempo es conocida como depreciación. La
mayoría de dichos activos, a excepción de los terrenos, tiene una vida útil
durante un periodo finito de tiempo. En el transcurso de tal periodo estos
bienes van disminuyendo su valor y esta perdida de valor es reflejada por
la depreciación.
Contablemente se realiza un cargo a los resultados por la
depreciación del bien, y en contrapartida, se crea un fondo para contar con
los recursos necesarios para reemplazarlo al concluir su vida útil.
Los cargos periódicos que se realizan son llamados cargos por
depreciación. La diferencia entre el valor original y la depreciación
acumulada a una fecha determinada se conoce como valor en libros. El
valor en libros de un activo no corresponde necesariamente a su valor de
mercado. En tiempos de alta inflación este puede llegar a ser varias veces
superior, pues aquel, refleja únicamente la parte del costo original que esta
105
pendiente de ser cargada a resultados.
Al valor que tiene el activo al final de su vida útil se le conoce como
valor de salvamento o valor de desecho, y debe ser igual al valor en libros
de esa fecha.
La base de depreciación de un activo es igual a su costo original
menos su valor calculado de salvamento y esa cantidad que debe ser
cargada a resultados en el transcurso de su vida útil activa.
En el caso de los activos que no pueden reemplazarse se utiliza el
concepto de agotamiento, esto es la perdida progresiva de valor por la
reducción de su cantidad aprovechable. Es el caso de los minerales que,
por la extracción de que son objeto, van disminuyendo paulatinamente su
capacidad y su valor, hasta que se agotan totalmente.
Así pues, dos son los objetivos de la depreciación:
1. Reflejar en los resultados la pérdida de valor del activo
2. Crear un fondo interno para financiar la adquisición de un nuevo
activo al finalizar la vida útil del antiguo.
En épocas inflacionarias este segundo objetivo se logra sólo en forma
parcial, pues los precios de los nuevos activos serán considerablemente
mayores a los de los antiguos.
Existen diversos métodos para determinar el cargo anual por
depreciación. Cada uno de ellos presenta ventajas y desventajas que serán
analizadas en cada sección.
En este trabajo se utilizará la siguiente notación:
C= Costo original del activo
S= Valor de Salvamento (S puede ser negativo)
N= Vida útil calculada en años
B= C – S= Base de depreciación del activo.
Dk= Cargo por depreciación por el año K (1< k < n)
Ak= Depreciación acumulada al final del año k.
(0 < k < n), Do = 0 y Dn = B
106
Vk = Valor en libros al final del año k (0 < k < n)
Vo = C y Vn = S
dk = Tasa de depreciación por el año K (1 < k < n)
5.3 MÉTODO DE LÍNEA RECTA
107
Es el método más simple y el mas utilizado. En muchos piases, como
México, es el único aprobado por las autoridades para cumplir con las
disposiciones fiscales al respecto.
Este método supone que la depreciación anual es la misma durante
toda la vida útil del activo. De acuerdo con ello, la base de depreciación se
divide entre el numero de años de vida útil calculada y se determina el
cargo que anualmente se hará al fondo de reserva y a los resultados.
Al final de la vida útil, la depreciación acumulada más el valor de
salvamento del bien debe ser igual al valor de reposición.
DK
CB
n = n =D
S
(1.
=
AK = K
1)
(1.
2)
(1.
D
VK = C - KD
3)
La depreciación acumulada crece cada año en una cantidad fija y el
valor en libros disminuye en la misma cantidad.
D
V
C
D
D
D
1
1
3
2
2
3
N
GRÁFICA 1.1
108
1
2
S
3 N
Ejemplo 1.
1. Se compra un equipo de computo con valor de $ 16 000 000 y se calcula
que su vida útil será de cuatro años antes de que deba ser reemplazado
por equipo más moderno. Su valor de desecho se calcula en $ 2 500 000.
a) Determínese la depreciación anual por el método de línea recta.
b) Elabórese una tabla de depreciación.
Solución:
Utilizando la fórmula (1.1) se tiene:
B Cn = v
S
= 16 000 D
4
2 500
=
D = 3
D
=
13
4
500
375
Así la depreciación anual será de $ 3 375 000, cantidad que se
incrementara en el fondo de reserva para depreciación y disminuirá en el
valor en libros del activo. Esto se refleja claramente en la tabla (1.1)
TABLA 1.1
Años
0
1
2
3
4
Depreciación
Anual
0
3 375 000
3 375 000
3 375 000
3 375 000
Depreciación
Acumulada
0
3 375 000
6 750 000
10 125 000
13 500 000
109
Valor en
Libros
16 000 000
12 625 000
9 250 000
5 875 000
2 500 000
Ejemplo 2.
Un equipo nuclear con costo de $35 000 000 tiene una vida útil de 6
años, al final de los cuales se calcula que alcanzara un nivel de
obsolescencia que obligara a cambiarlo por un modelo nuevo. Su valor de
salvamento será de $ 1 000 000 y se prevé que deberá realizarse una
inversión adicional de $ 2 000 000 para desmontarlo y deshacerse de él.
a) Determínese el cargo anual por depreciación
Solución:
Aplicando nuevamente la fórmula 1.1 se obtiene:
D
=
D
B Cn = n
S
35 000 - (- 1
6
000)
=
D = 36
000
En este caso el valor de salvamento es negativo, pues si bien se
recupera $ 1 000 000 por la venta del equipo, debe realizarse una
erogación de $ 2 000 000 para desmontarlo y deshacerse de él.
Así su valor neto de salvamento es de - $ 1 000 000. Esto puede
observarse en la tabla 1.2.
Años
0
1
2
3
TABLA 1.2
Depreciación Depreciación
Anual
Acumulada
0
0
6 000 000
6 000 000
6 000 000
12 000 000
6 000 000
18 000 000
110
Valor en
Libros
35 000 000
29 000 000
23 000 000
17 000 000
4
5
6
6 000 000
6 000 000
6 000 000
24 000 000
30 000 000
36 000 000
11 000 000
5 000 000
(1 000 000)
Ventajas:
1) Es de fácil aplicación.
Desventajas:
1) No toma en cuenta los intereses que genera el fondo de reserva.
2) Los activos fijos tienden a depreciarse en una mayor proporción en
los primeros años que en los últimos. ( Esto compensa el hecho de
que en los primeros años los gastos de mantenimiento y reparación
son menores, en tanto que aumentan con el transcurso de los años;
en esta forma se logra distribuir los costos de inversión y operación
en el tiempo)
111
5.4 MÉTODO DE PORCENTAJE FIJO
Este método tiene en consideración el hecho de que la depreciación
es mayor en los primeros años de uso y menor en los últimos. Para
reflejarlo se carga un porcentaje fijo del valor en libros disminuye cada año
y, por tanto, la depreciación disminuye también consecuentemente.
La depreciación anual estará dada por la formula.
DK = VK -
(1.
1d El valor en libros al final del primer año estará dado por: 4)
V1 = V0 - V0d = C - Cd
( 1d) V es el valor en libros y d la tasa de depreciación anual fijada.
Donde
En el segundo año, el valor en libros estará dado por:
V2 = V1 - V1d = V1 (1 - d) = C ( 1Y en
el tercero será:
d)(1
- d)
V3 = V2 - V2d = V2 (1 - d) = C ( 1d)(1
d)(1 Por- tanto,
sed)
esta en presencia de una progresión geométrica cuyo
termino común es (1 –d).
El valor en libros al final de cada año puede determinarse utilizando
la formula.
VK = C ( 1 – d)k
(1.5)
En el ultimo año, el valor de salvamento será igual al valor en libros.
S = C ( 1 – d)n = Vn
( 1.6)
112
Dados S y n, se puede determinar la tasa de depreciación utilizando
la formula 1.6.
Este método solo puede aplicarse si el valor de salvamento es
positivo; de lo contrario, la formula (1.6) carecería de sentido. En caso de
que el valor de desecho calculado fuese 0, pude sustituirse por 1 para
poder aplicar dicha fórmula.
Ejemplo 1.
Una compañía compra una camioneta para el reparto de su mercancía
en $ 7 500 000. calcula que su vida útil será de 5 años y que al final de
ella su valor de desecho será de $ 1 000 000.
a) Determínese la tasa de depreciación d que debe aplicarse.
b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente.
Solución:
En este caso se conoce el valor de desecho y el numero de años de
vida útil. Se aplica la formula (1.6) y se despeja d.
S
1
1
000
7
000
1.3333
500
(1.33333
333
.66832
33)1/5
506
=C ( 1 7
d)n500 ( 1
= (1 - d)5
d)(5 1 =
=
5 d)1
=1
d
d =1d -=d
d
=
0.668325
0.3316749
33.1675 %
4
113
Este porcentaje se aplica para calcular la tabla 1.3 de depreciación
correspondiente: De existir diferencia, debida al redondeo de las cifras,
esta se ajusta en el último cargo por depreciación.
Años
0
2
3
4
5
Depreciación
Anual
-.2 487.56
1 662.50
742.57
496.28
TABLA 1.3
Depreciación
Acumulada
-.2 487.56
4.150.06
6 003.72
6 500.00
Valor en
Porcentaje de
Libros
Depreciación
7 500 000
0.331675
5.012.44
/
3 349.94
/
1 496.28
/
1 000.00
/
Ejemplo 2.
Se adquiere un equipo de troquelado con valor de $ 28 750 000 y se
calcula que su tasa de depreciación es de 30%. Su esperanza de vida es
de siete años.
a)
b)
c)
d)
Elabórese una tabla de depreciación de los primeros cuatro años.
Encuéntrese el valor en libros al final del quinto año
Determínese el cargo de depreciación del sexto año.
Determínese el valor teórico de desecho.
TABLA 1.4
Años
0
1
2
3
4
Anual
Acumulada
0
0
8 625
8 625
6 037.5
14 662.50
4 226.25
18 888.75
2 958.38
21 847.13
114
Valor en
Libros
28 750
20 125
14 087.50
9 861.25
6 902.87
Solución:
a) utilizando la formula 1.4
Dd = Vk – 1d
se determinan los valores de la tabla 1.4
b) Utilizando la formula 1.5 se determina el valor en libros al final del
quinto año.
Vk
Vk
V5
V5
=
=
=
=
c)
Dk
D6
D6
D6
=
=
=
=
C(1 – d)k
28 750 (1 – 0.30)5
28 750 (0.16807)
4 832.01
El cargo de depreciación por el sexto año se obtiene utilizando la
formula 1.1
Vk-1d
V5d
4 832.01(0.30)
1 449.60
d) El valor teórico de desecho se calcula utilizando la formula 1.6
S
S
S
S
= C(1 – d)n
= 28 750(1-0.30)7
= 28 750 (0.08235430)
= 1 449.60
Ejemplo 3.
El costo de un equipo de precisión es de $ 10 000 000 se espera que
su vida útil será de tres años y que su valor de desecho será igual a 0.
115
a) determínese el porcentaje de depreciación que debe aplicarse
Solución:
Para determinar el porcentaje de depreciación se aplica la formula
1.6 y se despeja d, pues, como en el ejemplo 1.4.1, se conoce el valor de
desecho y el numero de años de vida útil:
S = C (1-d)n
0 = 10 000 000 (1 – d)3
Sin embargo, como ya se menciono antes, esta formula carece de
significado si el valor de desecho es igual a 0, pues su resultado seria
indeterminado. Por tanto, se sustituye el 0 por el 1 y se aplica nuevamente
la formula.
10 000 000 ( 1 – d)3
( 1 – d)3 = 1/ 10 000 000
d= 0.99535841
El efecto de una tasa de depreciación como esta se refleja en la tabla
1.5
TABLA 1.5
Años
0
1
2
3
Anual
Acumulada
0
0
9 953 500
9 953 500
46 284
9 999 784
215
9 999 999
Valor en
libros
10 000 000
46 500
216
1
En este caso, prácticamente el total de la depreciación es cargado al
primer año y puede no ser conveniente la utilización de este método.
Ejemplo 4.
Resuélvase el ejemplo 1.3.1 utilizando el método de porcentaje fijo.
116
Se sabe que el costo del equipo es de $ 16 000 000 su vida útil, de
cuatro años, y su valor de desecho, de $ 2 500 000.
a) Determínense los cargos anuales por depreciación.
b) Elabórese una tabla de depreciación
Solución:
En primer lugar debe determinarse el porcentaje de depreciación
anual.
Utilizando la formula 1.6 se tiene:
S = C (1- d)n
2 500 = 16 000 (1 – d)4
2
= (1 –
16
500
d)4
d = 0.37128329
d000
= 37.13%
Conocida la tasa de depreciación se aplica en la fórmula 1.4
Dk = VK-1d y se elabora la tabla de depreciación
TABLA 1.6
Años
0
1
2
3
4
Anual
Acumulada
0
0
5 940.8
5 940.8
3 734.98
9 675.78
2 348.18
12 023.96
1 476.04
13 500.00
Valor en
Libros
16 000
10 059.2
6 324.22
3 976.04
2 500.00
La diferencia resultante por el redondeo se ajusto en el ultimo cargo.
Como puede observarse, los cargos son más elevados en los primeros
años y después se ajustan a la baja.
117
Ventajas:
1) Es un método relativamente fácil de aplicar
2) Asigna un mayor cargo por depreciación a los primeros años, que es
cuando los bienes efectivamente pierden un mayor valor
Desventajas:
1) Como el método de línea recta, no tiene en cuenta los intereses que
genera el fondo de la reserva.
118
5.5 MÉTODO DE SUMA DE DÍGITOS
El método de suma de dígitos, al igual que el de porcentaje fijo, es un
método acelerado de depreciación que asigna un cargo mayor a los
primeros años de servicio y lo disminuye con el transcurso del tiempo. Para
determinar el cargo anual se multiplica la base de depreciación del activo
por una fracción que se obtiene de la siguiente manera:
1. Se suman los dígitos (suma de dígitos) de 1 a n de los años de vida
esperada del activo.
Ejemplo: si un activo tiene una vida esperada de cuatro años, se
suman los dígitos enteros correspondientes a los años de servicio
esperado: 1 + 2 + 3 + 4 = 10
Esta cifra también puede determinarse utilizando la siguiente fórmula:
S
=
n (n
2
+1)
(1.
7)
Ejemplo
En el caso anterior se tiene:
S
=
S
=
S
4 (4
2
+1)
4 (5)
2
10
La cifra así obtenida será el denominador de la fracción.
=
2. los dígitos correspondientes a los años de la vida útil del activo se
ordenan inversamente al tiempo y así , inversamente, se asignan cada
uno de los años de vida útil. Estos serán los numeradores de la fracción.
119
Ejemplo:
En el caso del activo con vida de cuatro años se tiene:
Año
1
2
3
4
Años en orden
Invertido
4
3
2
1
Suma de dígitos
10
10
10
10
Fracción que
4/10
3/10
2/10
1/10
Se deprecia
3. La fracción así obtenida se multiplica por la base de depreciación del
activo (C – S) y se obtiene el cargo anual.
Así, se tiene que:
D1
=
n (C –
s
S)
Y generalizando
D2
=
n - (C –
s
1
S)
Dn
=
1 (C –
s
S)
(1.
n – k (C –
s
8)
+ 1
S)
=
La depreciación acumulada (Ak) se obtiene multiplicando la base de
depreciación ( C – S ) por la suma de las fracciones acumuladas hasta ese
año.
Dk
Ejemplo 1.
Se compre mobiliario de oficina con valor de $ 8 975.000. se espera
que su vida útil sea de cinco años y que tenga un valor de desecho de
$ 2 000 000.
a) Elabórese la tabla de depreciación usando el método de suma de
dígitos.
Solución:
1. Se determina la base de depreciación
120
B = C
B = 8 975 – 2000
-BS= 6 975
2. Se calcula el denominador de la fracción ( suma de dígitos)
S
n= 5
=
S
n (n
2
+1)
5 (6)
2
S=
= 15
3. Se determinan los numeradores de las fracciones.
Año
Numerador
Fracción
1
5
5 /15
2
4
4/15
3
3
3/15
4
2
2/15
5
1
1/15
Cabe destacar que 5/15 + 4/15 + 3/15 + 2/15 + 1/15 = 15/15
4. Se multiplica cada fracción por la base de depreciación para determinar
el cargo de cada año.
Este procedimiento puede simplificarse con la utilización de las
formulas (1.7) y (1.8), como se vera en el siguiente ejemplo:
TABLA 1.7
Año
0
1
2
3
Fracción
5/15
4/15
3/15
Base de
Depreciación
Depreciación
Anual
0
0
6 975
2 325
6 975
1 860
6 975
1 395
121
Depreciación
Acumulada
0
2 325
4 185
5 580
Valor en
Libros
8 975
6 650
4 790
3 395
4
5
2/15
1/15
6 975
6 975
930
465
6 510
6 975
2 465
2 000
Ejemplo 2.
Resuélvase el ejemplo 1.3.1 utilizando el método de suma de dígitos.
El costo del equipo es de $ 16 000 000, su vida útil, de 4 años y su valor de
desecho, de $ 2 500 000.
a) Determínense los cargos anuales por depreciación
b) Elabórese una tabla de depreciación
Solución:
La base de depreciación se calcula por:
B= C – S
B= 13 500
La suma de dígitos se tiene por:
n (n
2
+1)
S
= = 10
S
Los cargos anuales por depreciación se tienen por:
n –k
s
D = 5 400
=1 + 1
DK
(C –
S)
D2 = 4 050
122
D3 = 2 700
D4 = 1 350
13 500 = C - S
Con estos elementos se construye la siguiente tabla:
TABLA 1.8
Año
0
1
2
3
4
Anual
Acumulada
0
0
5 400
5 400
4 050
9 450
2 700
12 150
1 350
13 500
Valor el
Libros
16 000
10 600
6 550
3 850
2 500
Ejemplo 3.
Se construye un edificio para albergar las oficinas de una empresa. El
costo del terreno fue de $25 000 000 y el valor de la construcción fue de $
60 000 000. la vida útil del inmueble se calcula n 20 años, y su valor de
desecho, en $ 10 000 000
a) Cual es el valor en libros al cabo de cinco años si se aplica el método
de suma de dígitos.
Solución:
En primer lugar se calcula la base de depreciación.
B = 50 000
Nótese que se considero únicamente el valor de la construcción,
pues los terrenos, como se menciono, no se depreciación.
El denominador de la fracción se calcula utilizando la formula 1.7
123
S = 210
La depreciación acumulada se obtiene por la suma de las fracciones
de los cinco primeros años multiplicada por la base de la depreciación.
A5 = 21 428.57
En valor en libros será el resultante de restar al costo original la
depreciación acumulada.
Así el valor en libros del edificio al cabo de cinco años será de:
$ 38 571 430
Ventajas:
1) Este método asigna un cargo mayor de depreciación a los primeros
años de uso del activo.
Desventajas:
1) No toma en cuenta los intereses que genera el fondo de reserva
124
5.6
MÉTODO DE DEPRECIACIÓN
PRODUCCIÓN O SERVICIO
POR
UNIDAD
DE
Al adquirir un activo se espera que de servicio durante un
determinado periodo de tiempo ( años, días, horas) o bien, que produzca
una cantidad determinada de kilos, toneladas, unidades, kilómetros,
etcétera. Si se conoce la vida esperada del bien en función de estos
parámetros, puede depreciarse de acuerdo con las unidades de producción
o servicio que ha generado durante un periodo determinado.
Ejemplo 1.
Una compañías arrendadora de autos adquiere un automóvil para su
flotilla, con un costo de $ 8 700 000. la compañía calcula que la vida útil del
automóvil para efectos de arrendamiento es de 60 000 km. y que, al cabo
de ellos, el valor de desecho da la unidad será de $ 3 000 000. el
kilometraje recorrido por la unidad durante los tres primeros años fue:
Años
1
2
3
a)
b)
Kilómetros
24 000
22 000
14 000
Determínese el monto de depreciación por kilómetro recorrido.
Elabórese la tabla de depreciación correspondiente.
Solución:
En primer lugar se determina la base de depreciación
B = 5 700
Esta base de depreciación se distribuye entre el kilómetro “útil” para
125
efectos de arrendamiento con el fin de encontrar la depreciación por
kilómetros.
d x km = 5 700
60 000
d x km = $ 95
La depreciación por kilómetro es de $ 95 000. conociendo este dato,
la tabla 10.9 de depreciación correspondiente.
TABLA 1.9
Año
0
1
2
3
Kilómetros
Recorridos
0
24 000
22 000
14 000
Depreciación
Anual
0
2 280 000
2 090 000
1 330 000
Depreciación
Acumulada
0
2 280 000
4 370 000
5 700 000
Valor en
Libros
8 700 000
6 420 000
4 330 000
3 000 000
Ejemplo 2.
Una maquina fotocopiadora tiene una vida esperada de 600 000
copias. Su costo de adquisición es de $ 3 000 000 y su valor de
salvamento es de $ 1 200 000. el numero de copias obtenidas durante
cuatro años de operación fue el siguiente.
180 000
200 000
140 000
y
80 000
a) Determínese la depreciación por copia
Solución:
Se determina la base de depreciación
B = 1 800
Se divide la base de depreciación entre el numero de unidades de
126
producción esperadas.
1800 / 600 = 3.00
El monto de depreciación por fotocopia procesada es de $ 3.00
c) Se elabora con estos datos la tabla 1.10 de depreciación
correspondiente:
TABLA 1.10
Año
Fotocopias
0
1
2
3
4
0
180 000
200 000
140 000
80 000
Depreciación
Anual
0
540 000
600 000
420 000
240 000
Depreciación
Acumulada
0
540 000
1 140 000
1 560 000
1 800 000
Valor en
Libros
3 000 000
2 460 000
1 860 000
1 440 000
1 200 000
Ejercicio 3.
Se compra un equipo de computo con un valor de $ 16 000 000 y se
calcula que su vida útil será de cuatro años y presto un servicio de 3 500
horas en el primer año; 4 500 el segundo año, 4 000 en el tercero y 3 000
en el cuarto año, antes de que deba ser reemplazado por equipo mas
moderno. Su valor de desecho se calcula en $ 2 500 000.
a) Determínense los cargo anuales por depreciación
Solución:
Se determina la base de depreciación.
B = 13 500
El total de horas de vida útil se tiene por:
127
2 500 + 4 500 + 4 000 + 3 000 = 15 000
La depreciación por hora de trabajo se determina dividiendo la base
de depreciación entre las horas de vida útil.
13 500 000 / 15 000 = 900
Los cargos anuales por depreciación pueden verse en la tabla 1.11
TABLA 1.11
Año
Horas de
Trabajo
0
1
2
3
4
0
3 500
4 500
4 000
3 000
Depreciación
Anual
0
3 150 000
4 050 000
3 600 000
2 700 000
Depreciación
Acumulada
0
3 150 000
7 200 000
10 800 000
13 500 000
Valor en
Libros
16 000 000
12 850 000
8 800 000
5 200 000
2 500 000
Ventajas:
1) Es de fácil aplicación.
2) Asigna la depreciación en relación directa con las unidades de
producción o servicio que efectivamente se general durante el
periodo de referencia.
Desventajas:
1) Se requiere experiencia previa para determinar la producción durante
la vida útil del activo.
2) No considera los intereses ganados por el fondo de reserva.
128
5.7 MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
Este método toma en consideración los intereses que gana el fondo
de reserva que se va constituyendo; por lo tanto, el incremento anual en el
fondo estará dado por la suma del cargo anual por depreciación mas los
intereses ganados en el periodo de referencia.
La aportación anual al fondo de amortización se deriva de la formula
que se utiliza para la anualidad.
Para determinar el pago periódico se despejaba R.
En este caso M = B, pues es el momento que se debe acumular al
cabo de n años a una tasa de interés i, y R = D, el cargo anual que debe
realizarse al fondo.
Por lo tanto se tiene la fórmula.
DK =
i
(1 + i)n
B
- 1
Para determinar la depreciación acumulada Ak se calcula el monto de
un pago periódico D a un plazo k y a una tasa de interés i por periodo.
AK =
i
(1 + i)K -
D
El monto acumulado 1
al cabo de n años debe ser igual, como ya se
señaló, a la base de depreciación del activo.
Ejemplo 1.
129
Se adquiere mobiliario nuevo para un hotel. Su costo de adquisición
es de $ 40 000 000 y se calcula que tenga una vida útil de cinco años, al
cabo de los cuales su valor de desecho será de 0.
El interés vigente es de 50%.
a) Determínese el cargo anual por depreciación utilizando el
método del fondo de amortización
Solución:
Se calcula en primer lugar la base de depreciación.
B = 40 000
Acto seguido, utilizando la formula (1.9) se determina el cargo anual
por depreciación.
DK =
B
i
(1 + i)n -
D =1
2 530 108
DK = 40
000
0.6
(1 + 0.60)5 - 1
0
La aportación que se debe hacer anualmente al fondo de
amortización es de $ 2 530 108.
La tabla 1.12 de depreciación que se elabora es equivalente a una
tabla de amortización, pero con la adición de una columna para anotar el
valor en libros.
Como puede observarse en épocas de inflación y altas tasas de
interés el monto de las aportaciones que realiza la empresa es
relativamente pequeño, pues el grueso de la depreciación esta dado por
los intereses que ganados por el fondo. Esta situación se invierte si los
intereses que gana el fondo son bajos.
TABLA 1.12
Años
Deposito
Intereses
Depreciación
130
Depreciación
Valor en
0
1
2
3
4
5
Total
Anual
Ganados
0
2 530 108
2 530 108
2 530 108
2 530 108
2 530 108
12 650 540
0
0
1 415 065
3 946 968
7 833 214
* 14 051 213
27 349 460
Anual
0
2 530 108
4 048 173
6 477 076
10 363 322
16 581 321
40 000 000
Acumulada
0
2 530 108
6 578 281
13 055 357
23 418 679
40 000 000
Libros
40 000 000
37 469 892
33 421 719
26 944 643
16 581 321
* Esta cantidad es en realidad igual a 14 051 207, pero se ajusto en 6 unidades para rectificar los errores de redondeo
Ejemplo 2.
Resuélvase el problema anterior considerando una tasa del interés
del 10%.
Solución:
La base de la depreciación es de $ 40 000 y a partir de ella, se
calcula D.
DK = 40
(10.10
+
000
D = 6 551.90 0.10)5 Se elabora 1
la tabla 1.13 de depreciación y se tiene.
El efecto financiero de los interese ganados por el fondo de reserva
puede ser, como ya se vio, muy importante, y por ello es conveniente
tomarlo en cuenta.
TABLA 1.13
(En miles de pesos)
Año
0
1
2
3
4
Deposito
Anual
0
6 551.90
6 551.90
6 551.90
6 551.90
Intereses
Ganados
0
0 6 551.90
655.19
1 375.90
2 168.70
Depreciación
Anual
0
6 551.90
7 207.09
7 927.80
8 720.60
131
Depreciación
Acumulada
0
6 551.90
13 758.99
21 686.79
30 407.39
Valor en
Libros
40 000.00
33 448.10
26 241.01
18 313.21
9 592.61
5
Total
6 551.90
32 759.50
* 3 040.71
7 240.50
9 592.61
40 000
40 000.00
*Este valor se ajustó para compensar el error de redondeo.
Ejemplo 3.
Una sociedad cooperativa adquiere un barco para pesca del camarón,
con valor de $ 500 000 000. calculan que su vida útil sea de 20 años, al
cabo de los cuales su valor de desecho será 10% de su costo. Deciden
depreciarlo utilizando el método del fondo de amortización y considerando
una tasa promedio de interés de 40%.
a) Determínese el cargo anual por depreciación
b) ¿Cuál es la depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de 10
años?
c) ¿ Al cabo de 15 años?
Solución:
Se determina la base de la depreciación.
B = 450
Utilizando al formula 1.9 se calcula el cargo anual por depreciación.
DK =
i
(1 + i)n -
ElBcargo anual por depreciación es de $ 215 392.79
1
b) La depreciación acumulada al cabo de 10 años se obtiene utilizando la
formula 1.10
AK =
D
i
(1 + i)K 1
132
Ak = 15 037 359.82
El valor en libros se obtiene restando la depreciación acumulada del
costo original.
Vk = C – Ak
V10 = 500 000 000 – 15 037 359.82
V10 = 484 962 640.2
Como puede notarse, el fondo se incrementa aceleradamente en los
últimos años debido al crecimiento significativo que tienen los intereses
generados por el fondo.
Ejemplo 4.
Se compró un equipo de computo con valor de $ 16 000 000 y se
calcula que su vida útil será de cuatro años, antes de que deba ser
reemplazado por equipo mas moderno. Su valor de desecho se calcula en
$ 2 500 000, considerando que el fondo gana un interés de 50%.
Solución:
Se tiene una base de depreciación de $ 13 500 000 ya que:
Aplicando la fórmula 1.9 se tiene que:
La aportación anual al fondo de amortización es de $ 1 661.538
La tabla de amortización queda como sigue:
TABLA 1.14
Año
0
1
2
3
Deposito
Anual
0
1 661.54
1 661.54
1 661.54
Intereses
Ganados
0
0
830.77
2 076.93
Anual
Acumulada
0
0
1 661.54
1 661.54
2 492.31
4 153.85
3 738.47
7 892.32
133
Valor en
Libros
16 000.00
14 338.46
11 846.15
8 107.68
4
Total
1 661.54
6 646.16
* 3 946.14
6 853.84
5 607.68
13 500.00
13 500.00
2 500.00
*Este valor se ajusto para compensar el error de redondeo.
5.8 LA DEPRECIACIÓN EN ÉPOCAS INFLACIONARIAS
Al inicio de este trabajo se menciono que dos son los objetivos de la
depreciación:
1. Determinar el costo de lo real de los bienes o servicios que se
generan como un activo y,
2. establecer un fondo de reserva que permita reemplazarlos al final de
su vida útil.
En épocas inflacionarias el rápido incremento de los precios de todos
los bienes y servicios impide que un sistema de depreciación basado en
costos históricos cumpla con los objetivos arriba mencionados, pues al
mantenerse la base de depreciación sin actualizar, los precios de los
bienes no revelaran los costos actuales de producción, ni el fondo que se
establezca permitirá reemplazar al bien.
En esta sección se harán algunas consideraciones con respecto a los
problemas arriba mencionados y presentaran alternativas para el
tratamiento financiero de la depreciación.
El valor de reposición.
Cuando las organizaciones enfrentan situaciones de alta inflación sus
encargados de las finanzas tienen una gran responsabilidad: hacerlas
productivas descontando el efecto de la inflación. Una empresa puede
mostrar grandes utilidades en sus estados financieros, pero si el porcentaje
de incremento que ha tenido de un año a otro no compensa la perdida del
poder adquisitivo ocasionada por la inflación, dicha empresa estará
sufriendo perdidas en términos reales. Si a ello se aúna el hecho de que
tales utilidades aparentes se repartan entre los accionistas, lo que estará
134
sucediendo es que la empresa se estará descapitalizando y en pocos años
afrontara serios problemas de liquidez que pueden llevarla incluso a la
quiebra.
Un elemento que deberá actualizarse, por tanto, en forma constante,
es la depreciación para efectos financieros.
Para hacerlo se usa el concepto de valor de reposición; esto es el
importe que se necesitará desembolsar en el futuro para reponer un activo
que se encuentra en servicio en un momento determinado. Este calculo
resulta complejo, pues influyen varios factores:
a) La vida útil esperada del activo
b) La obsolescencia del activo.
c) La inflación esperada.
a)
Vida útil esperada del Activo.
Son los años durante los cuales se considera que el activo podrá
funcionar rentablemente.
b)
La obsolescencia.
Si bien un activo puede tener una vida útil de 10 años, puede ser que
el avance tecnológico haga necesario su cambio con anterioridad, al
aparecer equipos que hagan la misma función con un costo sensiblemente
menor.
c)
La tasa de inflación esperada.
Para poder conocer el valor de reposición de una activo es necesario
calcular la inflación promedio esperada para los años de vida útil. Este
calculo es cada vez más complejo, pues la variabilidad de las políticas
económicas de los piases, su interdependencia cada vez mayor en el
ámbito mundial, y la presencia de variables ajenas al control de las
mismas, hace muy difícil la predicción del comportamiento de esta variable
en el mediano plazo ( 3 a 5 años) y prácticamente imposible en el largo
plazo. A pesar de estas dificultades es necesario realizar los esfuerzos
necesarios para calcular dicho valor de reposición, en el entendido que se
trata de valores esperados que serán ajustados cada vez que se requiera.
135
Una vez conocidos los datos anteriores, el calculo del valor de
reposición es sencillo.
Ejemplo 1.
¿Cuál es el valor de reposición de un equipo cuyo costo de
adquisición es de $ 5 000 000, si su vida útil esperada es de cuatro años y
se prevé que la inflación promedio anual será de 45%?
Solución:
Se aplica la formula del monto a interés compuesto y se obtiene:
M = C (1 + i)n
M = 22 102.53
El valor de reposición esperado es de $ 22.102 millones en cuatro
años.
Ejemplo 2.
Si el valor de estos equipos ha estado disminuyendo 5% cada año en
términos reales como resultado de los avances tecnológicos y de la
utilización de nuevos materiales más económicos, ¿Cuál seria el valor de
reposición esperado?
Solución:
Si se considera que el equipo tuviera valor constante de $ 5 000 000
al cabo de un año su precio sería 5 % menor; al cabo de dos años, 5%
menor y así sucesivamente.
Esto puede expresarse matemáticamente como sigue
Valor de reposición a precios constantes):
(V.R.C. =
V.R.C. = 5 000 (0.95)(0.95) (0.95) (0.95)
V.R.C. = 5 000 (0.95)4
V.R.C = 4072.53125
Al valor así obtenido se le aplica la inflación esperada de 45%
136
durante los próximos cuatro años.
M = C( 1+i)n
M = 4 072.53125 (1 + 0.45)4
M= 18 002 649.84
El mismo resultado puede obtenerse si se disminuye el valor de
reposición obtenido en el ejemplo 1.8.1
V.R. = 22 102.53 (1 - 0.05)4
V.R. = 22 102.53 (0.95)4
V.R. = 18 002.648.83
La diferencia en los resultados se debe al redondeo de las cifras.
Una vez terminado el valor de reposición se procede a calcular los
cargos anuales por depreciación de acuerdo con los sistemas previamente
vistos.
El valor de reposición puede calcularse también anualmente,
ajustando los costos históricos de acuerdo con los índices de inflación que
proporciona el Banco de México o mediante avalúo realizado por peritos.
Una vez determinado dicho valor se ajustaran también los cargos anuales
por depreciación. Estos ajustes y reevaluaciones no son admitidos por las
autoridades para efectos fiscales, pero a pesar de ello es muy necesario
que sean consideradas para efectos financieros, con el fin de prevenir las
consecuencias mencionadas.
No es el objetivo desarrollar aquí ampliamente este tema, pero si se
desea destacar la importancia que tiene reflejar en los estados financieros
los efectos que produce la inflación, con el fin de contar con información
veraz para la toma de decisiones.
137
OBJETIVOS
6

Reconocer, definir y clasificar bonos.

Resolver los métodos para calcular el
precio de los bonos y sus cotizaciones.
SUMARIO
Unidad 6. Bonos.
6.12. Definiciones.
6.13. Precios del bono en una fecha de pago de
intereses.
6.14. Compra a premio o descuento.
6.15. Precio del bono comprado entre fecha de pago
138
6.16.
6.17.
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
de interés.
El precio cotizado de un bono.
Tasa de redituabilidad.
Bonos con fecha opcional de redención.
Un bono de anualidad.
Emisión seriada de bonos.
Problemas resueltos.
Problemas propuestos.
6. BONOS
6.1
DEFINICIONES
UN BONO es una promesa escrita de pago de:
a) Una suma fija llamada valor de redención, en una fecha dada llamada
fecha de redención.
b) Pagos periódicos llamados pagos de intereses, hasta la fecha de
redención. La descripción completa de un bono comprende
i.
ii.
iii.
iv.
Su denominación o valor nominal. Casi invariablemente es un
múltiplo de $100.
La tasa de interés. Por ejemplo, 6% pagadero el 1º. De febrero y el
1º. De agosto; abreviando sería el “6%, FA”.
La fecha de redención, por ejemplo el 1º. De octubre de 1985.
Normalmente se redime un bono en una fecha de pago de intereses.
El valor de redención. Cuando el valor de redención y el valor
nominal son idénticos se dice que el bono es redimible a la par. De
otra forma, el valor de redención se expresa como un porcentaje del
valor nominal, omitiéndose la palabra “por ciento”. Por ejemplo, un
bono de $1000 redimible en $1050 se expresa como “un bono de
$1000 redimible a 105”.
Ejemplo 1.
Un bono de $500, 4% EAJO, redimible el 1º de octubre de 1990
a 102, estipula
139
a) El pago de $500 (1.02)=$510 el 1º de octubre de 1990.
b) Pagos trimestrales de 500 (0.01) = $5 los días 1º de enero, 1º de
abril, 1º de julio y 1º de octubre de cada año, desde su emisión
hasta el 1º de octubre de 1990 inclusive.
6.2
PRECIO DEL BONO EN UNA FECHA DE PAGO DE
INTERESES
Si Un bono en una fecha de pago de intereses, adquiere el derecho
de recibir ciertos pagos futuros. No recibirá el pago de interés vencido en
la fecha de la compra.
Ejemplo 2.
Un inversionista que compró el 1º de enero de 1960 un bono de
$ 1000, 5%, EJ, redimible a la par el 1º de julio de 1988 recibirá.
a) $1000 el 1º de julio de 1988.
b) 57 pagos semestrales de $25 cada uno, el primero con vencimiento
el 1º de julio de 1960.
Si un bono redimible a la par es comprado en una fecha de pago de
intereses a su valor nominal, el inversionista ganará precisamente la tasa
de interés estipulada en el bono. Si desea obtener una tasa mayor, debe
comprar el bono a un precio más bajo que el valor nominal; si está
dispuesto a ganar una tasa menor, estará dispuesto a pagar un precio
arriba del valor nominal.
Ejemplo 3.
Un bono de $1000, 4%, MS, redimible a la par el 1º de septiembre de
1997, es comprado el 1º de marzo de 1962 con el propósito de ganar el 5%
convertible semestralmente. Hallar el precio de compra p.
El comprador recibirá:
a) $1000 el 1º de septiembre de 1997.
b) 71 pagos semestrales de $20 cada uno, siendo el primero el 1º de
septiembre de 1962. En el siguiente diagrama veremos que:
1000
140
Períodos
de interés
0
20 20 20
20 20 20
1
69
2
3
3/629/623/639/68
70 71
9/97
P = 1000(1.25)-71 + 20 a n
i
= 1000(0.173223) + 20(33.0711) = $ 834.64
FÓRMULAS. Sea F el valor nominal y V el valor de redención de un
bono. Sea r la tasa de interés por período de interés del bono, i la tasa del
inversionista por período y n el número de periodos de interés desde la
fecha de compra (suponiendo que coincide con una fecha de pago de
intereses) hasta la fecha de redención. El precio de comprar P está dado
por
P = V(1 + i)-n + Fr a
n i
1)
Esta formula requiere el uso de dos tablas. En el problema 3, se
desarrollan las siguientes dos fórmulas:
Fr
P=
Fr
+(V-
i
y
) (1 + i)-n
2)
i
3)
i
P = V + (Fr – Vi) a n
Ambas tienen la ventaja de requerir el uso de una sola tabla. Su
aplicación es opcional.
Véase el problema 4.
6.3 COMPRA A PREMIO O DESCUENTO
Se dice que un bono es comprado a premio si su precio de compra P
es mayor que su valor de redención V. El premio es P – V.
141
Se dice que un bono es comprado a descuento si su precio de compra
P es menor que su valor de redención V. El descuento es V-P.
Ejemplo 4.
El bono del ejemplo 3 fue comprado con descuento de 1000 – 834.64
= $165.36. El bono del problema 1 fue comprado a premio de 1147.28 –
1000 = $ 146.28.
El valor en Libros de un bono en cualquier fecha es la suma invertida
en el bono en dicha fecha. El valor en libros de un bono en la fecha de su
compra (suponiendo que coincide con una fecha de pago de intereses) es
el precio de compra; el valor en libros en la fecha de redención es el valor
de redención. El cambio del valor en libros durante la vida del bono se
muestra con claridad construyendo una tabla de inversión.
Ejemplo 5.
Un bono de $1000, 4% EJ, redimible a la par el 1º de Enero de 1967
es comprado el 1º de Julio de 1964, para que reditúe el 6% convertible
semestralmente. Construir una tabla de inversión.
El precio de compra del bono es:
P = 1000(1.03)-5 + 20 a 5, 03 = $ 952.20
El 1º de Julio de 1964 el valor en libros del bono es $954.20. Al
termino del primer periodo de intereses, el interés vencido sobre el valor en
libros es $954.20(0.03) = $28.63, mientras que el pago por intereses del
bono es $20. Por tanto 28.63 – 20 = $8.63 del interés vencido no se cobra,
por lo cual puede decir el inversionista que tiene $8.63 más, invertidos en
el bono, que lo que tenia al principio del periodo. El nuevo valor en libros
del bono es 954.20 + 8.63 = $962.83.
Al final del segundo periodo de interés, el interés vencido es
962.83(0.03) = $28.88, el pago de intereses del bono es $20, y el nuevo
valor en libros es 962.83 + 8.88 = $971.71 y así sucesivamente.
Valor en
Intereses
142
Pago de
Cambio
Periodo
libros al
principio del
periodo
vencidos
sobre el
valor en
libros
28.63
28.88
29.15
29.43
29.71
intereses
del bono
del valor
en libros
1
954.20
20.00
8.63
2
962.83
20.00
8.88
3
971.71
20.00
9.15
4
980.86
20.00
9.43
5
990.29
20.00
9.71
6
1000.00
Totales
145.80
100.00
45.80
El valor en libros al principio de cualquier periodo es simplemente el
precio al cual el bono debe ser comprado para que produzca el rendimiento
deseado por el inversionista. puede ser calculado en forma independiente,
varias veces, como un método de comprobación de la tabla.
Puesto que el bono del ejemplo 5 fue comprado con descuento, es
costumbre utilizar el término acumulando el descuento para llevar el valor
en libros hasta el valor de redención. Véase el problema 5 para la tabla de
inversión de un bono comprado a premio.
6.4
PRECIO DEL BONO COMPRADO ENTRE FECHAS DE PAGO
DE INTERESES
Para hallar el precio de compra de un bono entre dos fechas de pago
de intereses, que produzcan un cierto rendimiento:
a)
b)
Hallar el precio de compra en la última fecha que se pago
intereses,
Acumular la suma encontrada en (a) a intereses simple (aplicando
la tasa de intereses del comprador) hasta la fecha de compra.
Ejemplo 6.
Un bono de $1000, 4 ½ %, EJ. Redimible a 105 el 1º de Enero de
1985, se compra el 20 de Septiembre de 1962, esperando un rendimiento
de 6% convertible semestralmente. Hallar el precio de compra P y el valor
en libros del bono.
10, 50
143
22, 50
22, 50
7/1/6 9/20/6 1/1/6
7/1/6
2P 1
p
2262
8
22, 50
22, 50
44
45
1/1/8
8
5
La fecha de pago de intereses inmediata anterior al 20 de Septiembre
de 1962, es el 1º de Julio de 1962. El precio de compra en dicha fecha, que
proporcionaría un rendimiento de 6% convertible semestralmente es:
P1 = 1050(1.03)-45 + 22.50 a45, 03 = $829.33
Esta cantidad se acumula del 1º de Julio de 1962 al 20 de
Septiembre de 1962. (81 días exactamente) al 6% de interés simple. Por
tanto:
P = P1 1 + 0, 06 ( 81 ) = 829.33(1.0135) = $840.53
360
El valor en libros del bono el 20 de Septiembre de 1962. No es el
precio de compra. El vendedor del bono lo ha conservado por 81 días
después del último pago de interés y por tanto, está obligado a participar
del siguiente pago de intereses.
Esta parte fraccionada del pago de interés. 81/180 (22.50) - $10.12,
es conocida como interés redituable. El comprador debe considerar que
este interés redituable esta incluido en el proceso de compra, por lo que el
valor en libros del bono, al 20 de Septiembre de 1962 es
Precio de compra – interés redituable – 840.53 – 10.12 = $830.41
6.5 EL PRECIO COTIZADO DE UN BONO
En problema tratado anteriormente es hallar el precio que el
comprador debe pagar por un bono dado, con el objeto que gane la tasa de
interés deseada. En cierto sentido, el problema es tanto académico, ya que
no hay seguridad que un bono en particular pueda ser comprado al precio
requerido. Mas importante es el problema de determinar la tasa de interés
que obtendrá el comprador, si compra un bono determinado a un precio
dado y lo conserva hasta su redención.
144
Los bonos son generalmente ofrecidos al “precio contenido”,
expresando como un porcentaje del valor nominal, sin embargo el termino
por ciento se omite. Por ejemplo, un bono de $1000 cuyo precio cotizado
es $975 estaría cotizado a 97 ½ . el precio cotizado generalmente no es el
precio que paga el comprador. El precio cotizado es lo que previamente se
ha designado como valor en libros. Será el precio de compra (mas
conocido como precio neto) es el precio cotizado mas el interés redituable.
Ejemplo 7.
Un bono de $1000, 3 ½ %, MS se redimirá el 1º de Marzo de 1975.
Hallar el precio neto al 14 de Junio de 1962, si ha sido cotizado a 95 8/4.
El precio cotizado es $957.50; el pago de intereses es $17.50. Del 1º
de marzo de 1962 al 14 de Junio de 1962 son 105 días; el interés
redituable es 105/180 ( 17.50) = $10.21. El precio neto es 957.40 + 10.21 =
$967.71.
Puesto que el comprador paga el precio cotizado más el interés
redituable, el precio cotizado también se conoce como precio con
intereses.
6.6 TASA DE REDITUABILIDAD
Las instituciones de inversión utilizan tablas con las cuales puede ser
obtenida la tasa de redituabilidad ya sea en forma directa o mediante
interpolación. Dichas tablas son muy voluminosas para ser incluidas aquí.
En sustitución daremos dos métodos para obtener aproximadamente la
tasa de redituabilidad.
a)
Método de promedios. La tasa de redituabilidad por periodo de
intereses es aproximadamente igual a:
Producto promedio por periodo
Valor promedio en libros
145
Ejemplo 8.
Un bono de $1000, 6%, EJ. Redimible a 110 el 1º de Julio de 1987,
esta cotizado en 125 al 1º de Enero de 1962. Hallar por el método de
promedios la tasa de redituabilidad suponiendo que es comprado en la
fecha mencionada.
En la fecha de compra, el valor en libros del bono es $1250 y en la
fecha de redención será $1100. El valor promedio en libros es:
½ (1250 + 1100) = $1175
Si se conserva el bono hasta su redención, el comprador recibirá 51
pagos de intereses de $30 cada uno, además del valor de redención de
$1100, esto es $2630. Puesto que paga $1250 por el bono, el producto
total durante los 51 periodos de interés es 2630. 1250 = $1380 y el
producto promedio por periodo es 1380/51 = $27.06. La tasa por periodo
de interés es 27.06/1175 = 0.023, aproximadamente y la tasa de
redituabilidad es 4.6% convertible semestralmente.
b) Método de interpolación. Este método requiere del precio de
compra del bono sobre la base de dos tasas de intereses, en tal
forma que un precio sea menor y otro mayor al precio cotizado
dado. En esencia, estamos calculando las cifras que necesitamos,
correspondientes a las tablas mencionadas para bonos.
Ejemplo 9.
Aproximar mediante el método
redituabilidad del bono del ejemplo 8.
de
interpolación
la
tasa
de
En el ejemplo 8 se obtuvo mediante una simple aproximación la tasa
de 4.6% convertible semestralmente. Las tablas V y XIII nos permiten
hallar rápidamente los precios de compra que reditúen 4% y 5% convertible
semestralmente al 1º de enero de 1962, designadas por
P = 1100(1.02)-51 + 30 a 51
02
= $1354.30
Y
Q = 1100(1.028)-51 + 30 a 51
025 =
$ 1171.62
Interpolando entre estos dos valores, tenemos:
146
0.02
0.005 i
0.25
1354.30
-182.68 1250.00 -104.30
1171.62
104.30
x=
(0.005) = 0.00285
182.68
x
i = 0.02 + 0.00285
y la tasa de redituabilidad es 4.57% convertible semestralmente.
En el ejemplo 9 la interpolación ha estado entre las tasas de 2% y 2
½ % disponible es nuestras tablas.
Estrechando estos límites,
obtendríamos mayor precisión, el problema es que debemos utilizar
logaritmos en los cálculos.
Ejemplo 10.
Aproximar la tasa de redituabilidad del bono del ejemplo 8 utilizando
para la interpolación las tasas de 2 ¼ % y 2.3% por período de interés.
Tenemos
1-(1.0225)-51
= 353.64 + 904.68
0.0225
P = 1100(1.0225)-51 + 30
= $1258.32
1-(1.02)-51
y
Q = 1100(1.028)-51 + 30
= 344.93 + 895.33
0.023
= $1240.26
Interpolando entre estos dos valores, tenemos
0.0225
0.005 i
0.028
1258.32
-18.06 1250.00
1240.26
x
8.32
147
-8.32
x=
(0.005) = 0.00023
18.06
i = 0.0225 + 0.00023 = 0.02273
y la tasa de redituabilidad es 4.546% convertible semestralmente.
Véase problema 9.
6.7 BONOS CON FECHA OPCIONAL DE REDENCIÓN
Con el objeto de estar en posición de tomar ventaja de cualquier
futura baja en la tasa de interés, en ocasiones las compañías emiten bonos
previendo que pueden ser redimidos antes de la fecha normal de
redención. Al calcular el precio que se está dispuesto a pagar por ellos, el
inversionista debe suponer la fecha de redención más desfavorable para él.
De esta forma tendrá la certeza de obtener la redituabilidad deseada y
quizá más.
Ejemplo 11.
Un bono de $1000, 6%, MS, será redimido a la par el 1º de
septiembre de 1988, sin embargo, puede ser redimido a la par el 1º de
septiembre de 1973 o en cualquier fecha de pago de intereses posterior.
Hallar, (a) el precio de compra y el valor en libros al 12 de mayo de 1962,
que reditúe por lo menos 4% convertible semestralmente, (b) la utilidad del
inversionista, (c) la tasa de redituabilidad si el bono es redimido el 1º de
septiembre de 1980. En este caso la tasa estipulada en el bono excede la
tasa de redituabilidad deseada por lo que el bono será comprado a premio.
El valor en libros del bono se reduce gradualmente hasta que alcanza el
valor nominal en la fecha de redención (véase el problema 5). El
inversionista debe calcular el precio con la suposición de que el bono será
redimido en la fecha más próxima (1º de septiembre de 1973) ya que de
otra forma el valor en libros sería mayor que el valor de redención, si el
bono se redimiera en dicha fecha.
a) Al 1º de marzo de 1962, el precio de compra que reditúa 4%
convertible semestralmente es
148
P1 = 1000(1.02)-23 + 30 a 23
.02
= $ 1182.93
Y al 12 de mayo de 1962 es
P = P1 1 + 0, 02 ( 72 ) = 1182.93 (1.008) = $1192.39
180
El valor en libros al 12 de mayo de 1962 es 1192.39 – 30(2/5)
= $ 1180.39
b) El valor en libros al 1º de septiembre de 1973 debe haber llegado a
$1000.
En cada fecha posterior de pago de intereses, el
inversionista recibirá 30-20 = $10 en exceso de la recuperación
esperada. Al 1º de septiembre de 1980, el monto de dichos
excesos es 10 s 14 0.02 = $ 159.74
c) Tomando como fecha de redención el 1º de septiembre de 1980, el
precio de compra del bono que reditúa 5% convertible
semestralmente es
P1 = [1000(1.025)-37 + 30 a 37
,0.25]
1 + 0.025 ( 72 )
180
= 1119.79(1.01) = $ 1130.99
y para que reditúe 4% convertible semestralmente sería
P1 = [1000(1.02)-37 + 30 a 37
] 1 + 0.02 ( 72 )
180
= 1259.69(1.008) = $ 1269.77
,02
los valores en libros respectivos serían
Q1 = 1130.99 – 30(2/5) = $ 1118.99
Y
Q1 = 1269.77 – 30(2/5) = $ 1257.77
Por lo cual
0.02
0.005
i
x
1257.77
-138.78 1180.39
149
-77.88
0.25
1118.99
77.38
x=
(0.005) = 0.00279
138.78
i = 0.02 + 0.00279 = 0.02279
y la tasa de redituabilidad requerida es 4.558%
convertible
semestralmente.
Véase el problema 10.
6.8 UN BONO DE ANUALIDAD de valor nominal F, es un contrato
para el pago de una anualidad cuyo valor presente a la tasa del bono es F.
Ejemplo 12.
Un bono de anualidad a 15 años por $20,000, con intereses al 6%
convertible semestralmente será liquidado en 30 pagos semestrales
iguales, el primero con vencimiento en 6 meses. Hallar el precio de
compra al término del 5º año, para ganar el 5% convertible
semestralmente.
El pago periódico es 20,000
1
a 30
= $ 1020.39
,03
El comprador está comprando el derecho de cobrar los restantes 20
pagos, el primero de los cuales vence en 6 meses. Por lo tanto el precio
que redituará 5% convertible semestralmente es
P = 1020.39 a 20
,0.25
= $ 15,907.02
6.9 EMISIÓN SERIADA DE BONOS
Cuando una emisión de bonos va a ser redimida periódicamente en
lugar de todos en la misma fecha, se dice que los bonos son de emisión
seriada. Puede pensarse
Ejemplo 13.
150
Una emisión seriada de bonos de $20,000.00 con intereses al 6%
convertible semestralmente va a ser redimida mediante pagos de $5000 en
15 años. Hallar el precio de compra de la emisión que reditúe 5%
Los bonos seriados son equivalentes a tres bonos ordinarios, uno con
valor nominal de $5000 redimible a la par en 10 años, otro con valor
nominal de $5000 redimible a la par en 12 años, y otro con valor nominal
de $10,000 redimible a la par en 15 años. El precio de compra requerido
es la suma de los precios de los tres bonos que reditúen el 5% convertible
semestralmente, por lo cual
P = 5000(1.025)-20 + 150 a 24 ,0.25 + 5000(1.025) –24 +
150 a 30 ,025 + 10,000(1.025)-30 + 300 a 30 ,0.25
= $ 21,883.38
1. un bono de $1000, 6%, EJ, redimible a la par el 1º de julio de 1998, es
comprado el 1º de julio de 1961, para ganar el 5% convertible
semestralmente. Hallar el precio de compra P.
0
30
30
30
1
2
3
30
30
100
30
53
54
Periodos de
P = 1000(1.025)-54 + 30 a 54
,02
= $ 1147.28
interés
2. Un bono de $1000, 5%, MS, redimible a 102 al 1º de septiembre de
1990, es comprado el 1º de marzo de 1962, para ganar el 4%
convertible semestralmente. Hallar el precio de compra P.
25
0
3/62
25
1
9/62
25
2
25
3
100
25
56 57
3/90 9/90
P = 1020(1.02)-57 + 25 a 57
151
,02
= $ 1175.61
Periodos
de interés
3. Sea F el valor nominal y V el valor de redención de un bono. Sea r la
tasa de interés por período, del bono, i la tasa de inversionista por
período y n el número de períodos de interés. Demostrar que el precio
de compra, P es:
(a) P = Fr + V - Fr (1 + i)-n
i
i
-n
P = V(1 + i) + Fr a n i
y
(b) P= V + ( Fr – Vi) a n
= V(1 + i)-n + Fr 1 – (1 + i)-n = V(1 + I)-N +
i
= Fr + (V - Fr ) (1 + i)-n
i
i
a)
P = V(1 + i)-n + Fr a n
Fr i
i
Fr (1 + i)-n
i
i
= V – V + V(1 + I)-n + Fr a n i = V – V[1-(1+I)-n] + Fr a n
= V – Vi 1 – (1+i)-n + Fr a n i = V + (Fr – Vi) a n i
i
4. Un bono de $1000, 3 ½%, FA, es redimible a 105 el 1º de febrero de
1985. Hallar el precio de compra el 1º de febrero de 1965, que reditúe
5% convertible semestralmente, utilizando, (a) la fórmula 2), y (b) la
fórmula 3).
a)
P = Fr + V - Fr (1 + i)-n
i
i
= 1000(0.0175) + 1050 – 1000(0.0175 )
0.025
0.025
(1.025)-40
= 700 + 350(0.37243) = $ 830.35
b)
P = V + (Fr – Vi) a n
i
= 1050 + (17.50 – 26.25) a 40
,025
5. Construir una tabla de inversión para un bono de $1000, 5%, FA,
redimible a 103 el 9 de agosto de 1970, comprado el 1º de febrero de
1967, para que reditúe 4% convertible semestralmente.
152
Tenemos que P = 1030(1.02)-7 + 25 a 7
,02
= $ 1058.48
El valor en libros en la fecha de la compra es $1058.48. al término
del primer período, el interés vencido sobre dicho valor en libros, a la tasa
del inversionista es 1058.48(0.02) = $ 21.17 mientras que el pago de
interese del bono es por $25. La diferencia 25 – 21.17 = $3.83 es para
amortizar el capital; en consecuencia, al principio del segundo período, el
valor en libros del bono se reduce a 1058.48 – 3.83 = $1054.64, y así
sucesivamente.
Periodo
Valor en
libros al
principio del
periodo
1
2
3
4
5
6
7
8
1058.48
1054.65
1050.74
1046.75
1042.69
1038.54
1034.31
1030.00
Intereses
vencidos
sobre el
valor en
libros
21.17
21.09
21.01
20.94
20.85
20.77
20.69
Pago de
intereses
del bono
25.00
25.00
25.00
25.00
25.00
25.00
25.00
Cambio
del valor
en libros
3.83
3.91
3.99
4.06
4.15
4.23
4.31
Como el bono fue comprado a premio, es costumbre hablar de
amortizar el capital para llevar el valor en libros al valor de redención.
6. Un bono de $1000, 4%, JD, redimible el 1º de diciembre de 1995 a la
par, es comprado el 31 de marzo de 1961 para que reditúe el 5%
convertible semestralmente. Hallar el precio de compra y el valor en
libros en dicha fecha.
Al 1º de diciembre de 1960, la fecha del último pago de interés anterior
al día de la compra, el precio de compra que reditúa 5% convertible
semestralmente es
1000 (1.025)-70 + 20 a 70
,025
= $ 835.51
Al 31 de marzo de 1961 (120 días después) el período de compra es
153
835.51 1 + 0.05 ( 120 ) = $ 849.44
360
El interés redituable (del 1º de diciembre de 1960 al 31 de marzo de
1961) es 20(120/180) - $13.33 y el valor en libros requerido es 849.44 –
13.33 = $ 836.11
Solución alterna:
El valor en libros del bono al 1º de diciembre de 1960, que reditúa
5% convertible semestralmente es
1000(1025)-70 + 20 a 70
,025
= $835.51
y en la fecha del siguiente pago de interese, 1º de junio de 1961 es
1000(1.025)-80 + 20 a 70
,025
= $ 836.40
interpolando entre las dos cantidades, encontramos el valor en libros
al 31 de marzo de 1961, o sea
835.51 + 2/8 (836.40 – 835.51) = $ 836.10
por lo cual el precio de compra es 836.10 + 13.33 = $ 849.43
7. Un bono de $ 1000. 6%,MN, es redimible a la par el 1º de noviembre de
1965. Es comparado el 30 de junio de 1962, para que reditúe 4%
convertible semestralmente. Hallar el precio de compra y el valor en
libros en la fecha de compra. Construir una tabla de inversión.
El precio de compra al 1º de mayo de 1962, que reditúa 4%
P = 1000(1.02)-r + 80 a 7
154
,02
= $1064.72
El precio de compra al 30 de junio de 1962 es
1064.72 1 + 0.02 ( 60 )
180
= $ 1071.82
mientras que el valor en libros es
1071.82 – 30 ( 60 ) = 1061.82
180
La tabla se construye como en el problema 4 excepto en el primer
renglón donde el valor en libros es el del 30 de junio de 1962, el día de la
compra y el interés vencido y el pago de intereses del bono son por 2/3 de
período de interés.
Periodo
Valor en
libros al
principio del
periodo
1
2
3
4
5
6
7
1061.82
1055.98
1047.10
1038.04
1028.80
1019.38
1009.77
Intereses
vencidos
sobre el
valor en
libros
14.16
21.12
20.94
20.76
20.58
20.39
20.20
Pago de
intereses
del bono
20.00
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
30.00
Cambio
del valor
en libros
5.84
8.88
9.06
9.24
9.42
9.61
9.80
8. En el bono del problema 7, cuál es el precio neto y el precio con
intereses al 30 de junio de 1962, sobre la base de un rendimiento de 4%
El precio neto es el precio de compra de $1071.82. El precio con
intereses es el valor en libros de $1061.82. El precio con interés estaría
cotizado como 106 1/8 ya que, en la práctica, el precio cotizado siempre se
da en octavos.
155
9. Un bono de $1000, 3%, EJ, redimible a la par el 1º de julio de 1977, es
comprado en $ 952.50 el 1º de julio de 1963. Hallar la tasa de
redituabilidad convertible semestralmente.
Puesto que al 1º de julio de 1963, el precio de compra que reditúa 3%
convertible semestral es $1000, la tasa buscada será mayor. El precio que
reditúa 3 ½% convertible semestralmente es
100(1.0175)-28 + 15 a 28
,0175
= $ 945.03
Por lo cual la tasa buscada está entre 3 y 3 ½ % convertible
semestralmente. Tenemos que:
0.0025
0.015
i
0.175
x
1000.00
-54.97 952.50
945.03
-47.50
de donde
x = 47.50 (0.025) = 0.00216
54.97
i = 0.015 + 0.00216 = 0.01716
y la tasa de redituabilidad es 3.432 % convertible semestralmente.
10.
Un bono de $1000, 3%, EJ, es redimible a la par el 1º de julio de
1990, pero puede ser redimido el 1º de julio de 1980 o en cualquier
fecha posterior de pago de intereses. (a) Hallar el precio de compra
al 1º de julio de 1963 que reditúe por lo menos 4% convertible
semestralmente. (b) Hallar la utilidad del inversionista si el bono es
redimido el 1º de julio de 1985
Para que la tasa de redituabilidad requerida es superior a la tasa del
bono, el bono debe ser comprado con descuento. En esta forma, el valor
en libros aumenta gradualmente hasta que alcanza el valor nominal en la
fecha de redención (véase el ejemplo 5). Por tanto el inversionista debe
calcular el precio con la suposición que el bono será redimido en la última
fecha posible.
156
a) El 1º de julio de 1963, el precio de compra que reditúa 4%
1000(1.02)-54 + 15 a 54
,02
= $ 835.80
b) Al 1º de julio de 1985, el valor en libros del bono se habrá
incrementado hasta el valor en libros en esa fecha sobre la base
de redituabilidad del 4% convertible semestralmente, esto es
1000(1.02)-10 + 15 a 10
,02
= $ 955.09
Puesto que el inversionista recibirá $1000 en dicha fecha, su utilidad
es 1000 – 955.09 = $ 44.91.
11.
En cada uno de los casos siguientes, hallar el precio del bono que
reditúe la tasa deseada:
Valor nominal
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
$ 1000
$ 500
$1000
$ 100
$1000
$ 500
$1000
$ 500
Redimible
La par en 25 años
La par en 15 años
105 en 10 años
110 en 20 años
La par en 5 años
La par en 3 años
102 en 2 ½ años
105 en 2 ½ años
Pago de
intereses
4 % semestral
4% semestral
5% trimestral
4% semestral
5% anual
6% semestral
3% semestral
4% semestral
Redituabilidad
6% semestral
5% semestral
3% trimestral
3% semestral
4% anual
5% semestral
6% semestral
5% semestral
Resp. (a) $742.72; (b) $447.67; (c) $1209.32; (d) $ 120.47;
(e) 4 1044.52; (f) $ 513.77; (g) $ 948.56; (h) $ 510.48
12.
Construir una tabla de inversión para cada uno de los bonos del
problema 11 (e) – (h).
13.
En cada uno de los casos siguientes, hallar el precio de compra del
157
bono que reditúe la tasa dada:
VALOR
NOMINAL
a) $1000
b) $1000
c) $ 100
d) $ 500
REDIMIBLE A
La par el 1º de dic. 1986
La par el 1º de nov.1988
105 el 1º julio 1975
102 el 1º oct. 1995
PAGO DE
INTERESES
4% JD
5% MN
5% EJ
5% AO
FECHA DE
COMPRA
30 de agosto 1960
22 sept. 1962
18 abril 1960
30 dic. 1963
QUE
REDITÚE
5% semestral
6% semestral
3½%
semestral
4% semestral
Resp. (a) $864.71; (b) $888.97; (c) $122.01; (d) $598.55
14.
Para cada uno de los bonos del problema 13, hallar el precio “con
intereses” el día de la compra.
Resp. (a) $854.71; (b) $868.97; (c) $120.51; (d) $592.30
15.
En cada uno de los casos siguientes, hallar la tasa de redituabilidad
convertible semestralmente, mediante interpolación:
VALOR
NOMINAL
a) $1000
b) $1000
c) $1000
d) $1000
REDIMIBLE A
PAGO DE
INTERESES
La par el 1º enero 1988
3½% EJ
La par el 1º marzo 1987
3 5 MS
105 el 1º agosto 1990
5% FA
103 el 1º dic. 1989
6% JD
PRECIO
COTIZADO
93
90
110
112
FECHA
1º de julio 1960
1º marzo 1962
1º febrero 1962
1º julio 1963
Resp. (a) 3.922%; (b) 3.615%; (c) 4.493%; (d) 5.230%
16.
Un bono de $1000, 4%, EJ, es redimible a la par el 1º de enero de
1975, pero puede ser redimido el 1º de enero de 1968 o en cualquier
fecha posterior de pago de intereses. (a) Hallar el precio de compra el
1º de enero de 1961, que reditúe por lo menos 5% convertible
semestralmente. (b) Si el bono es redimido el 1º de julio de 1970,
¿cuál es la utilidad del inversionista y qué tasa convertible
semestralmente redituará el bono?
Resp. (a) $900.18; (b) $39.85; 5.365%
17.
Un bono de $1000, 5%, EJ, es redimible a la par el 1º de enero de
1975, pero puede ser redimido el 1º de enero de 1968 o en cualquier
158
fecha posterior de pago de intereses. (a) Hallar el precio de compra el
1º de enero de 1961, que reditúe por lo menos 4% convertible
semestralmente. (b) Si el bono es redimido el 1º de julio de 1970,
¿cuál es la utilidad del inversionista y qué tasa convertible
semestralmente redituará el bono?
Resp. (a) $1060.54; (b) $26.02; 4.228%
18.
Hallar el precio de compra de un bono de anualidad de $5000, a 15
años con intereses al 6% anual, comprado al término del 8º año, para
que reditúe 4 ½ %.
Resp. $ 3033.68
19.
Hallar el precio de compra de un bono de anualidad de $10,000, a 10
años con intereses al 4% convertible semestralmente, comprado al
término de tres años para que reditúe 5% convertible
semestralmente.
Resp. $7149.81
20.
Una compañía emite $300,000 en bonos al 5% y acuerda redimirlos
mediante pagos de $150,000 al término de 5 y 10 años. Hallar el
precio pagado por un banco el día de la emisión, que le redituará 4%.
Resp. $318,844.07
21.
Sustituir V(1 +i)-n = K y Fr = gV
Makeham
en 1) para obtener la fórmula de
P = K + g ( V – K)
i
Utilizar la fórmula para resolver el problema 11.
22.
Una emisión de $50,000 en bonos seriados, con intereses al 4%
convertible semestralmente, con vencimientos de $500 cada 6 meses
159
por los próximos 5 años, es comparada para que reditúe 3%
convertible semestralmente. Hallar el precio de compra utilizando la
fórmula de Makeham. Sugerencia K = 5000 a 10 ,015 y g = 0.02
Resp. $51,296.36
BIBLIOGRAFÍA.
FRANK AYRES JR.
Matemáticas Financieras.
Mc-Graw-Hill, 1990.
PORTUS-GOVINDEN-LINCOYAN.
Mc-Graw-Hill, 1991.
DE LA CUEVA, B.
Porrúa, 1986.
DÍAZ MATA ALFREDO.
160
Trillas, 1994.
161

Problemas resueltos

Transcripción

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