Cuaderno de Actividades 4º ESO

Transcripción

Cuaderno de Verano
Presentación
En una entrevista que le hicieron a Rafa Nadal tras ganar la Copa Davis y firmar uno de
sus mejores años en el tenis profesional, un periodista le hizo la siguiente pregunta:
-
Periodista: "Rafa, ¿cómo siguen ahora tus vacaciones después de este gran año que
tuviste?".
-
Nadal: ¿Vacaciones? El miércoles a entrenar.
-
Periodista Insiste: Pero después de este gran año ¿no te vas a tomar unos días de
descanso?
-
Nadal: No puedo, quiero llegar al campeonato de Australia en la mejor condición y antes
toca esforzarse. Descansaré en estas vacaciones pero eso no significa dejar de
entrenar porque luego no juegas al mejor nivel.
¿Qué te parece la actitud de Nadal? No es de extrañar que sea uno de los mejores tenistas
de la historia ¿no?
Creo que deberías tener esa misma actitud de cara al verano, piensa que este Cuaderno
es como un entrenamiento para llegar al curso que viene “Jugando al mejor nivel”, como
hacen los deportistas para no perder la forma física y afrontar las competiciones.
Te preguntarás: ¿Pero las vacaciones no están para descansar? ¡Por supuesto que hay
que descansar¡ Pero descansar no significa no hacer nada significa más bien cambiar de
actividad, poder dedicar más tiempo a otras actividades que te gustan como el deporte, los
hobbies, la lectura, las excursiones… y este descanso sirve para que luego siguas trabajando
al mejor nivel.
Un consejo: Piensa en todas las cosas que quieras hacer este verano y distribúyelas, junto
con los deberes de verano en un horario. Un horario exigente pero flexible, adaptable a los
cambios de planes. Si te haces un horario verás como el tiempo rinde mucho más. Porque
el cuaderno debe hacerse poco a poco, no lo hagas todo al principio ni lo dejes todo para el
final ¿te imaginas a Nadal entrenando 8 horas seguidas el primer día y después no volver a
tocar una raqueta? o ¿te lo imaginas rascándose la barriga todas las vacaciones y a pocos
días del torneo entrenando como un loco? Verdad que no, porque eso no le serviría de nada.
Bueno pues ya sabes vence la pereza y sobre todo…
¡Qué pases un buen verano!
NOMBRE:_________________________________________
45) Ya es hora de que vayas al trabajo
46) Tenemos la esperanza de que vuelva pronto
47) Tengo intención de que vengas con nosotros
49) Me da mucha tranquilidad la idea de que tus amigos te ayuden siempre
50) Todos tenemos miedo de que muera algún familiar nuestro
51) El hecho de que no te lo haya contado todavía es muy extraño
Subordinadas 'triples'
1) Si vienes con mi hermano, me traes el libro que te prestó tu padre ayer
2) No sé la verdad porque yo no estaba allí cuando ocurrió el accidente
3) Ven a mi casa porque quiero que veas el cuadro que compré en Austin
4) Si no me lo crees no quiero que me hagas más preguntas
5) Llámalo por teléfono, aunque creo que ya no estará en casa
6) Pide ahora este trabajo, si crees que eso es lo mejor para tu familia
7) Devolveré los libros porque no quiero que me pongan una multa
24) Todos creemos que volverá pronto
25) María necesita que todos colaboremos con ella
26) Ayer me dijo que no vendría a la reunión de hoy
27) El nuevo entrenador piensa que nuestro equipo puede conseguir victorias más
amplias
28) Todos deseamos que tu madre recupere pronto la salud
29) Creo que eso nos ayudará
30) Dudo que él venga a la fiesta
31) Rafael nos dijo que su hermana llegaría hoy
32) Quiero que vengas
Complemento de adjetivo:
33) Encontré a Juan cansado de que su coche le dé tantos problemas
34) Estamos muy contentos de que te emborraches con tanta frecuencia
35) La policía está cansada de que el chupacabras se esconda tan bien
36) Estaba casi seguro de que superaría el examen
37) Estamos muy contentos de que vuelvas pronto
38) María está alegre de que hoy hayas venido con el coche limpio
39) Estamos muy contentos de que hayas traído a toda tu familia
40) Estaremos satisfechos de que arregles todos tus papeles
Complemento de sustantivo:
41) No me atrae la idea de que le prestes más dinero
42) Su deseo de que Pedro no tenga ningún problema es muy fuerte
43) El abogado no mencionó el dato de que tú habías mentido anteriormente
44) Ya hemos perdido la esperanza de que salga de la cárcel pronto
3) No te sorprenda que luego tengamos alguna sorpresa
4) Que vengas al bautizo de mi sobrino es algo importante para mi hermana
5) Es increíble que hayas reprobado este fácil examen de español
6) Que llegues pronto es lo mejor para todos
7) Me disgusta que hagas las cosas así
8) No le agradó que llegases tarde
9) Conviene que riegues las plantas todos los días
10) Está bien que lo hagas así
11) Me alegra que me digas algo
12) Parece que el teléfono no funciona bien
Objeto Directo:
12) Espero que pases el examen
13) Dijo que llegaría a tiempo
14) Aseguró que le meterían en la cárcel
15) El me pidió que lo llevase en mi coche
16) Nos dijo que Antonio llegaría aquí a las cuatro de la mañana
17) No creyeron que Juan conseguiría el primer puesto de la carrera
18) Los periódicos aseguran que el presidente no es un ladrón
19) Yo no siempre creo que los periódicos cuenten la verdad
20) No esperan que el Gobierno les devuelva su dinero
21) Los periódicos anuncian que mañana el Gobierno subirá la gasolina
22) El profesor de ciencias quiere que hagamos un viaje al museo
23) Te aseguro que habla en serio
13) No recuerdo la fecha cuando ocurrió el accidente
14) Los guardias detuvieron al ladrón en la cueva donde guardaba el dinero
15) Los dos libros que me prestaste en Navidades me gustaron mucho
16) La playa donde pasamos las vacaciones es muy popular
17) La chica con quien me viste era mi prima
18) Juan llevaba al hombro la caja donde había puesto todos sus libros
19) Esta es la fábrica donde trabajaba la familia de mi padre
20) Devuélveme pronto el libro que te presté
21) Juan, que es médico en este hospital, trabaja todos los días
22) Déjame el coche al lado de la casa que tiene las puertas azules
23) Yo se lo dije al señor que me hizo la pregunta
24) El coche que ves ahí no funciona nunca bien
25) Dimos un paseo por la calle que tiene los museos
26) Mañana llegaremos al pueblo donde nacieron mis padres
27) Aquel fraile, que era joven y trabajador, escribió tres libros en un solo año
28) Encontró la cama en que habían dejado a su abuelo
29) Creí todas las cosas que me dijeron
30) Vi en un rincón a la niña que leía esa misma historia
Subordinadas sustantivas
Sujeto:
1) Es extraño que aún no me haya llamado tu hermano
2) Me gusta que me llames con tiempo suficente
34) Aunque no venga mi padre esta tarde iré al parque
35) Las plantas siguen creciendo aunque no las hemos regado
36) No estudia aunque lo castiguen
37) Saldremos de casa si nos arreglan el coche
38) Te regalaré el gato si me lo cuidas bien
39) Te lo diré si me guardas el secreto
40) Si sigues así acabarás mal
41) Deje ahí la bolsa, si está cansada
42) Si tuviera un buen libro te lo prestaría
Subordinadas adjetivas
1) Esa estrella que desparece rápidamente es una estrella fugaz
2) El atracador atacó al policía que iba sin armas
3) El año en que naciste fue el más triste de mi vida
4) Todavía florece en el jardín el rosal que plantó mi madre
5) Ya he rellenado el impreso que me entregaron
6) Al policía que detuvo a los traficantes le han dado varios premios
7) Me examinó un profesor que era muy comprensivo
8) El profesor que han contratado este año es muy joven
9) Los jardineros arrancaron los árboles que estaban enfermos
10) Vive en la calle que termina en la avenida principal
11) Hoy no han abierto el banco que asaltaron ayer
12) Juanjo, que es un ingenuo, creyó todas sus palabras
10) Si sólo compras ropa barata, sólo tendrás cosas de mala calidad
11) Eso no es ninguna mentira, aunque lo haya dicho aquel político
12) Devolveré los libros antes de que me pongan una multa
14) Devolveré los libros para que no me pongan una multa
15) Solamente compro discos cuando tengo dinero
16) No veo nada porque la habitación está muy oscura
17) Iremos a ese restaurante cuando tú quieras
18) Nos dio dinero para que cenáramos los dos
19) Dejó a su familia cuando cumplió veintitrés años
20) Salió a la ventana cuando lo llamé
21) Trabajaré mientras el cuerpo aguante
22) Salgo al campo siempre que tengo un rato libre
23) Iré al cine apenas termine mi tarea
24) Apareció donde nadie lo esperaba
25) Colócate una venda para que el pie no sufra
26) Todo ha ocurrido según lo predije
27) No muevas la cabeza mientras te cortan el pelo
28) He montado el juguete como dicen las instrucciones
29) Ricardo salió de su casa antes de que el tráfico de la autopista fuera muy intenso
30) El entrenador ha llegado un poco más pronto para que preparemos mejor el partido
31) No bebo porque eso es malo para mi familia
32) Calentaré el café, porque ya está frío
33) Iré a la iglesia, ya que tú me lo aconsejas
41) Unas veces acertarás, otras veces cometerás errores.
42) No me interesa ese negocio, ni que Juan sea parte de él.
43) Este verano viajaré a Europa, sin embargo no visitaré todos los países.
44) Este poema es un soneto, es decir, tiene catorce versos de once sílabas.
45) La familia de mi padre vive en México, la familia de mi madre vive en Estados
Unidos.
46) Entra en la habitación de María y deja los libros de matemáticas en la mesa de
madera.
47) Acabaremos bien el semestre de primavera, pero también estaremos cansados.
48) Hoy vive en un lugar, mañana vive en otro distinto.
49) No recuerdo ahora la respuesta de esa pregunta, ni Juan la sabe tampoco.
50) Estudia más o deja esta materia.
51) El amigo de Pedro es australiano, pero vive en Europa desde su nacimiento.
Subordinadas adverbiales
1) Aún faltan cinco años para que termines la carrera
2) Hice esto así porque tenía mucha prisa
3) Si escribes un poco mejor, más gente leerá tus novelas
4) Cuando llegaste a la universidad la clase ya había terminado
5) Déjame el cuaderno en la mesa, para que lo vea bien el profesor
6) Tanto estudiaste que sacaste la mejor nota de toda la clase
7) Presentaré los papeles en la oficina, aunque no estén completos
8) Me devuelves el examen cuando lo hayas visto
9) Te dije la verdad para que actuases correctamente
18) Unos fueron a la biblioteca, otros hicieron la tarea
19) Federico no es músico profesional, pero tiene buen oído
20) Llegamos de noche y cenamos con prisa
21) El hombre propone y Dios dispone
22) Aquella profesora da clases en McAllen y trabaja en un restaurante de Pharr
23) Tiene muchas ilusiones pero es un poco alocada
24) Estoy satisfecho, pero temo el futuro
25) Canta bien, mas le falta talento
26) Fuimos a Egipto, visitamos las pirámides y regresamos al mes siguiente
27) En esa casa azul viven los hermanos de mi profesor de música.
28) Hazlo ahora o no lo terminarás nunca.
29) En marzo tendremos vacaciones, en mayo llegarán los exámenes finales.
30) Las mañanas de los días de primavera son agradabilísimas.
31) Los programas de esa computadora no funcionan bien, y el monitor también está
estropeado.
32) Su hija mayor trabaja y el menor estudia
33) Las frases del primer examen parcial serán dificilísimas, pero no darán muchos
problemas a los estudiantes guapos y ejemplares.
34) Miguel es el mejor jugador del equipo, pero es muy orgulloso.
35) Ese curso fue el más difícil de mi carrera.
36) Me llamas por teléfono o me dejas una nota en mi escritorio
37) Mario es un buen trabajador, pero lo despedirán mañana
38) Salí de casa a tiempo, pero no cerré bien la puerta.
39) La vida no es fácil, y tú compañía no es ninguna ayuda.
40) Miguel es orfebre, es decir, trabaja la plata, el oro y otros metales preciosos.
15) La casa de mi amigo tiene las puertas pintadas de color verde.
16) La casa de la familia de Juan es la más nueva de todo el barrio.
17) Llegaremos a Europa el jueves de la primera semana de mayo.
18) María llevó la bolsa de los libros a casa del hermano de Juan.
Compuestas coordinadas
1) María es hipertensa, es decir, tiene la tensión alta
2) ¿Entras o sales?
3) El padre descansa y la madre lee
4) Juan no dijo nada y yo tampoco abrí la boca
5) Ese coche tiene un motor potente pero gasta mucha gasolina
6) Todos estaban contentos hasta entonces, pero Miguel estropeó la fiesta
7) El acusado no estaba nervioso, sino que contestaba las preguntas con seguridad
8) Unos trabajan en el campo, otros trabajan en la ciudad
9) Aquí me dejas los libros, allí me pones la ropa
10) Esa palabra es bisílaba, es decir, tiene dos sílabas
11) El policía detuvo al ladrón y la madre del ladrón insultó a la madre del policía
12) Puso todos los medios, pero no evitó el accidente
13) No has hecho la tarea ni has estudiado los capítulos del libro
14) María es canadiense, es decir, ha nacido en Canadá
15) Llegamos a la biblioteca e hicimos la tarea
16) Llegamos a la biblioteca pero no hicimos la tarea
17) No fuimos a la biblioteca pero hicimos la tarea
33) El viento movía las hojas con violencia
34) Nosotros pagaremos la deuda de tu familia
35) Los amigos de su infancia todavía la recuerdan
36) Pedro trabaja en la mejor peluquería de la ciudad
37) Han cambiado ese anuncio ocho veces
38) El padre y la madre son argentinos
39) De pronto una ráfaga de viento apagó todas las velas
40) Luisa, María y Ana comparten el mismo apartamento
Más oraciones simples (IV)
1) Mario es mi mejor amigo.
2) Luis ha estado enfermo toda la semana.
3) Esa solución es la mejor para todos.
4) Estaré en tu casa a las seis de la tarde.
5) Vivimos en México durante seis años.
6) Veremos esa película de Spielberg durante el fin de semana.
7) Echaron la culpa del accidente al conductor del autobús.
8) No vieron al ladrón.
9) Mañana iré yo al aeropuerto de Harlingen.
10) Tu salud me importa mucho.
11) )No le preocupa esta situación?.
12) Ese negocio de ropa no te interesa.
13) La trataron muy mal en la cárcel.
14) No te lo diré nunca.
10) Me duele mucho la mano
11) A mi padre no le interesa ese negocio
12) Aquellas montañas cambian de color al atardecer
13) Juan no viene con nosotros al cine
14) El conserje repartió las hojas a todos los asistentes
15) Ese señor pasa muchas horas en la biblioteca
16) Aquella ciudad es muy hermosa
17) Algunos señores compran sus alimentos en esa tienda
18) Juan caminaba hacia su casa con mucha tranquilidad
19) Mi madre vendió su coche a mis primos
20) Visité al médico la semana pasada
21) Hemos visto todas las películas de Zefirelli
22) Nuestro abuelo llegó ayer de Europa
23) Estos animales vivirían mejor en la selva
24) Mi amigo Raúl ha viajado mucho por todo el mundo
25) Ven inmediatamente
26) Lucía pidió un vaso de agua a la enfermera
27) Marta ha comprado una tarta de cumpleaños
28) Una gran nube ocultó el sol durante varias horas
29) Bailaron todos hasta el amanecer
30) Abuelos, padres, e hijos asistieron al bautizo de la pequeña María
31) Algunas veces este periódico dice la verdad
32) En el cuarto de la televisión todos los muebles estaban usados
17) Pedro es hermano de aquel estúpido jugador
18) La cena estará lista a las siete de la tarde
19) El novio golpeo fuertemente a su futura suegra el mismo día de la boda
20) Entrega el trabajo al secretario esta tarde
21) Lo haré yo
22) De noche todos los gatos son pardos
23) En el salón de la biblioteca un grupo de antiguos alumnos celebra el décimo
aniversario de su graduación
24) El dinero no es problema para mí
25) No vengas tarde
26) Ataúlfo y Chindasvinta son novios desde el año pasado
27) Prepara la mesa con cuidado
28) A tus padres no les dije la verdad
Más oraciones simples (III)
1) El gato corre tras los ratones
2) El gato negro del vecino corre todos los días tras los ratones
3) El avión de Continental no ha despegado aún
4) ¿Lo ha visto tu hermano?
5) Esta naranja tiene un sabor amargo
6) Juan no viene con nosotros al cine
7) Mi hermano menor estudia Derecho en Austin
8) Ese artista está un poco loco
9) Esta tarde me ha visitado un amigo
20) No me gustan los libros de matemáticas
21) No soporto los libros de matemáticas
22) Estuve enfermo toda la semana pasada
23) Ya terminé estas malditas frases
Más oraciones simples (II)
1) La casa de mis padres es antigua
2) Los padres de Julián están siempre enfermos
3) Tu abuela bebió mucha cerveza en su juventud
4) a) No entregues el examen de matemáticas al profesor
b) No le entregues el examen de matemáticas
c) No se lo entregues
5) Llegué al trabajo a las cuatro
6) Esta mañana él dejó la computadora en la sala de profesores
7) No salgas a la calle tan temprano
8) Viviremos en París el próximo año
9) Durante la semana de vacaciones todos prepararemos el examen de español
10) El profesor descansará esa misma semana de vacaciones
11) Dime la verdad más tarde
12) Saca estos libros ahora
13) Sácalos ahora
14) Sacámelos ahora
15) Déjalos ahí
16) Nosotros nos veremos luego
Ejercicios de sintaxis
Análisis de oraciones
Oraciones simples (I)
1) Mi hermano es estudiante en esta universidad
2) La cena no estará lista hasta las sesis
3) Miguel Ángel fue un famoso artista en el Renacimiento
4) El libro de ese autor es muy aburrido
5) La hermana de María es la más trabajadora de la familia
6) Los obreros plantaron todos los árboles en el jardín
7) Ese señor escogió un avión equivocado
8) En esa clase, todos los alumnos consiguen las mismas calificaciones
9) Visitaré a mi abuela el próximo año
10) Saludé a tu hermano en la tienda de ropa
11) Me dejas esa camisa en mi armario
12) Me asaltaron unos ladrones en la carretera
13) Le entregaron los regalos después de la fiesta de Navidad
14) Entrega el libro a la bibliotecaria
15) Entrégaselo
16) No se lo entregues
17) No se lo entregues a la bibliotecaria
18) El año pasado mi hermano tuvo su primer hijo
19) Las novelas de aventuras me gustan mucho
35. Write about your experience of learning foreign languages.
36. Write a review of a science fiction movie you have seen.
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particularly enjoyed about it.
31. Write about a language you would like to learn, and explain why you think
it is important to learn this language.
32. Do you think your language is easy for foreigners to learn? Describe what
you think are the main difficulties, and suggest the best way to learn your
language.
33. Imagine that you've decided to travel to an English-speaking country to
attend an English language course. Write an email to an English speaking
friend telling them how long you want to stay and what your priorities are.
Ask for advice.
34. Write about the last time you started to learn a new skill. What was it, who
taught you and what were the biggest challenges?
18
not the same as anything or anyone else (paragraph 4)
23. Find a word or phrase in the text which corresponds to the following
definition.
likely to be possible (paragraph 4)
definition.
all the performers in a film or play (paragraph 4)
definition.
make a film available for people to see (paragraph 5)
26. Match the word from the text with its synonym (word with a similar
meaning).
loud foreign understandable attractive good boring
appealing (paragraph 4)
meaning).
filming speaking showing watching learning trying
shooting (paragraph 4)
meaning).
clearly obviously utterly slightly completely totally
vaguely (paragraph 4)
meaning).
large nice strange unbelievable invented terrible
fictional (paragraph 1)
30. Write about the best film you've seen. Give details of what kind of film it is
and what it's about, who directed it and starred in it, and say what you
17
we saw.
16. Complete the sentences with an adjective or noun derived from one of the
following verbs.
1. It was certainly a very _____________________ performance. His best yet.
(impress)
2. I know you didn't like the bad language but I didn't find it too
_____________________. (offend)
3. I found the main character really _____________________. It spoiled the film for
me. (irritate)
4. At the end, I breathed a huge sigh of _____________________. Not a film I'd
recommend. (relieve)
5. The little girl who played Annie was simply _____________________. (adore)
6. She's an extremely _____________________ young woman. It's a shame she can't
act! (attract)
17. Complete the sentences with an appropriate film or cinema word: cast,
director, musical, plot, scene or subtitles.
1. The Sound of Music with Julie Andrews is probably the most famous
_____________________ of all time.
2. I hate watching films that are dubbed. I much prefer the original version with
_____________________.
3. I know the film had a great _____________________ – some of my favourite actors
– but I just didn't enjoy it.
4. Alfred Hitchcock was undoubtedly a great _____________________ but the films
are quite dated now.
5. The film was very confusing. The _____________________ was far too complicated
for me.
6. Do you remember that _____________________ where they drive over the cliff?
Fantastic ending isn't it?
18. Find a word or phrase in the text with the same meaning as the following.
during a period (paragraph 1)
naturally (paragraph 1)
completely different (paragraph 4)
word order (paragraph 4)
definition.
16
'Did you enjoy the film?' asked Janet.
Janet
10. Rewrite the following sentence starting with the words given. The
meaning should be the same as that of the original sentence.
My parents made me study very hard.
I was
That film made me cry.
That's
People say that James Cameron is a demanding director.
It
Trevor's a mate and I went to the cinema with him.
Trevor's the
I don't speak Japanese so I can't understand him.
If I
15. Complete the phrasal verbs with the appropriate particle to complete the
following sentences.
1. It's always difficult to come up _____________________ a really new idea for a film.
2. One of these days I'll get round _____________________ watching that Avatar
film.
3. On the way home from the cinema, we dropped in _____________________ Bruce
and Sheila.
4. The children have grown out _____________________ watching these Disney
DVDs. I'm going to give them away.
5. They were really looking forward _____________________ seeing the premiere of
James Cameron's latest film.
6. The wonderful dinner afterwards made up _____________________ the awful film
15
When the film was released in 2009, Na'vi had a growing vocabulary of about a
thousand words. There is a growing community of Na'vi language fans, and
websites like 'Learn Na'vi' feature multi-lingual dictionaries and learning materials.
1. Decide if the following statement is true (T) or false (F). Find evidence in the
text to support your answer.
James Cameron didn't want the sound of Na'vi to put audiences off.
Na'vi was based on the ideas of Professor Paul Frommer.
Most languages have only taken a few years to evolve.
The Na'vi vocabulary will never go beyond 1,000 words.
5. Answer the following question with information explicit in the text.
What are ejectives?
Which actors learned the language most easily?
How long does it normally take a language to evolve?
How many Na'vi words had been invented before Cameron and Frommer started
working together?
9. Rewrite the following sentence starting with the words given. The meaning
should be the same as that of the original sentence.
14
35. Write about the advantages and disadvantages of being an actor.
36. Imagine you've applied for a job. Write an email to an English speaking
friend telling them about the job.
THE NA'VI LANGUAGE
Most languages have evolved organically over the course of millennia. But film
director James Cameron wanted a new one within a few years because the Na'vi –
the race of 10-foot-tall inhabitants of Pandora, the fictional planet in Cameron's
epic science fiction movie, Avatar – had to speak something.
The language was created by linguistics expert Paul Frommer from the University
of California. Na'vi was designed to fit James Cameron's idea of what the language
should sound like in the film but it also had to be possible for the actors to learn
and pronounce the language.
Professor Frommer and James Cameron worked together for four years to
develop the Na'vi language. The director had already come up with about three
dozen words of Na'vi before he started working with Frommer, but they were
mainly character names. The most exotic sound Frommer added were the
ejectives, which are popping sounds that are found in different languages from
around the world. These sounds are found in Native American languages and in
Xhosa, one of the official languages of South Africa.
Cameron wanted the language to sound alien but pleasant and appealing to
audiences. Since the storyline included humans who have learned the language, it
had to be a language that humans could plausibly learn to speak. The end result is
a unique language with its own syntactic and grammatical rules and some people
say it sounds vaguely Polynesian. During shooting, Frommer worked with the cast,
helping them to understand their Na'vi dialogue and advising them on their
pronunciation, stress and intonation. Asked which of the actors were best at
picking up the new language, Frommer said that they were all pretty good.
13
32. Describe the kind of job you would you like to do in the future and the
qualifications you will need.
33. Write about someone you know who does a job they don't enjoy. Describe
their job and then say what the person would prefer to do.
34. If you had a benefactor, how would you like to spend your time?
12
meaning).
got kept started lost applied found
held down (paragraph 1)
meaning).
cheap happy good difficult easy enjoyable
tough (paragraph 4)
meaning).
sleeping forgetting giving following losing riding
pursuing (paragraph 4)
meaning).
earn leave enjoy find work accept
take on (paragraph 1)
30. Describe your dream job and your nightmare job.
31. Write about any part-time jobs you've had.
11
17. Complete the sentences with an adjective derived from one of the
following nouns.
1. He was a good detective with a phenomenal memory and a very
_____________________ mind. (analysis)
2. It was difficult to enthuse my students. They seemed _____________________
about most things. (apathy)
3. Critics say that this President has been weak and _____________________.
(indecision)
4. Facts don't interest her. She makes _____________________ guesses and she's
usually right. (intuition)
5. It was such a great evening that he was _____________________ to leave.
(reluctance)
6. We are very _____________________ to give you the chance you need.
(willingness)
practice sessions for a play (paragraph 2)
fighting hard (paragraph 1)
opportunity (paragraph 1)
trying to get (paragraph 3)
definition.
trials to choose which actor to have in a play (paragraph 2)
definition.
not lasting very long (paragraph 1)
definition.
future opportunities (paragraph 2)
definition.
possibly in the future (paragraph 4)
10
That career adviser gave us lots of useful information.
That's
I can't speak Russian so they didn't offer me the job.
If I
I was discussing jobs with those school leavers.
Those are
'How did you manage to get such a good job?' asked Terry.
Terry
15. Complete the sentences with an appropriate word in its correct form:
career, course, lose, miss, travel or trip.
1. The whole family went on a _____________________ to Paris.
2. Foreign _____________________ never really appealed to her until she retired.
3. After university, he decided to embark on a _____________________ as a
photographer.
4. He's on a management _____________________ all week.
5. I _____________________ the last bus home again.
6. I've _____________________ my mobile phone. Have you seen it?
16. Complete the phrasal verbs with the appropriate particle to complete the
following sentences.
1. The government has to deal _____________________ the recent rise in
unemployment.
2. The more qualifications, the better you get _____________________ in life, or so
people think.
3. If you continue like this you'll end _____________________ with no qualifications,
no job and no prospects.
4. They've sold their house and they're moving _____________________ next
Wednesday.
5. I'm not going to put _____________________ with these awful conditions any
more. I'm off!
6. They're investing heavily and have taken _____________________ a lot of new
staff.
9
The communication skills of actors are useful when working in call centres.
Most actors are able to save enough money from their day jobs to allow them
time off to just do acting.
The sort of part-time job actors get often involves working unsociable hours.
Which job did Brad Pitt have before he was famous?
What jobs do actors compete for in London?
How many mornings does Ryan work as a postman?
Which performing artists don't need to get a day job?
They warned me that the job was dangerous.
I was
Mary's father owns the company.
Mary's the one
8
DON'T GIVE UP THE DAY JOB
Brad Pitt, who used to deliver refrigerators for a living, is just one superstar actor
who held down an ordinary part-time job while struggling to get his big break. It's
a reality that most youthful musicians and actors face, even reasonably successful
ones. Employment in the performing arts industry is irregular and short-term, so
young artists who haven't got a rich daddy have to take on menial jobs to make
ends meet when they would rather be doing what they really love.
Twenty-year-old wannabe actor Ryan Lumb, who works as a postman four
mornings every week, told me that actors found it hard to get a good job with
prospects because they needed to take so much time off to go to auditions and
rehearsals. As a result, most actors end up in places where the work is boring and
the pay is low, and they work hours when most people are in bed. It also means
that they never make enough money to allow them to take time off to
concentrate on their real careers.
In London, where competition among actors and musicians is fierce, lots of actors
spend so much time chasing bit parts in plays, one-line appearances in movies,
and lucrative spots in commercials, that they simply can't hold on to a job for long.
They work in bars and call centres, which suit actors because they are places
where they can take time off easily. It suits bar and call centre managers, too.
Where else could they find such great communicators prepared to accept being
paid the minimum wage?
Many people have little sympathy with struggling actors and musicians, who, after
all, could get better jobs if they weren't pursuing the kind of dream most of us
give up on pretty quickly. However, as a society, we are surely missing out on
many potentially great artists who simply give up and get a 'proper' job because
it's just so tough financially to make it in the performing arts.
The majority of artistic careers are insecure.
7
33. Write an email to an English speaking friend describing some of the
television programmes that are aimed at young people in your country.
34. Write about a television personality who is popular in your country.
35. Describe your favourite music video.
36. Write about a turning point in your life, when everything changed forever.
6
continue (paragraph 5)
meaning).
tell start show broadcast demonstrate
record
launch (paragraph 1)
meaning).
grow travel begin fall change invest
expand (paragraph 2)
WRITRE AT LEAST 10 SENTENCES FOR EACH ESSAY.
30. Describe the kind of music and artists you listen to most.
31. Which television channel do you watch most, and what are your favourite
programmes?
32. What is your opinion of reality television? Give examples of some reality
TV programmes you have watched.
5
5. A scoop is what all reporters dream _____________________.
6. I've been waiting here _____________________ ages.
become present in a wide area (paragraph 2)
start doing different things (paragraph 2)
continuous movement (paragraph 3)
mainly transmit (paragraph 6)
definition.
able to change what people do or think (paragraph 1)
definition.
a quality you can see (paragraph 4)
definition.
the people who you want to show your programmes to (paragraph 2)
definition.
get a financial advantage (paragraph 4)
meaning).
show follow change develop run perform
appear (paragraph 3)
meaning).
increase finish start carry on follow precede
4
The Beatles
Somebody wrote the Happy Birthday song over 100 years ago.
The Happy Birthday song
I can't read music so I don't know how it goes.
I would
Tom doesn't listen to much music because he hasn't got an MP3 player.
If Tom
15. Complete the sentences with one of the following gerunds or infinitives:
to show, showing, to tell, telling, to watch or watching.
1. Our TV channel has stopped _____________________ The Simpsons.
2. I don't remember _____________________ that episode.
3. I saw him in town and he stopped _____________________ me his new phone.
4. He forgot _____________________ me that he wasn't coming.
5. She never forgot _____________________ him about Arthur.
6. I must remember _____________________ the news this evening.
16. Complete the sentences with the correct noun from the adjective in
brackets.
1. It's a sad truth that _____________________ sells newspapers. (sensationalist)
2. Most people think that _____________________ levels have got worse among
young people. (literate)
3. There are very few _____________________ between me and my brother. (similar)
4. People will do anything for five minutes of _____________________. (famous)
5. I don't think journalism is a very honourable _____________________.
(professional)
6. She used her _____________________ to get the article printed. (influential)
17. Complete the sentences with the correct preposition.
1. What's _____________________ television this evening?
2. I've got it _____________________ my phone.
3. There's an amazing clip of him _____________________ the internet.
4. Is there anything interesting _____________________ the news today?
3
MTV took a traditional approach to broadcasting music.
Big Brother was not the first example of reality TV.
MTV is the most experienced US broadcaster of programmes about music.
What was different about MTV's approach?
How many homes watch MTV these days?
How dominant are music videos on MTV today?
When did life for pop music fans change forever?
That music teacher always tells us off.
That's
I didn't practise much so I didn't pass my flute exam.
If I
131 different artists have covered the Beatles song Eleanor Rigby 131 times.
2
ENGLISH SUMMER WORK
4th ESO
THE HISTORY OF MTV
MTV (music television) is the oldest and most influential American cable network
specializing in music-related programmes. It was launched on August 1, 1981 by
Jack Lack, one of its creators. Life for a whole new generation of pop music fans
had changed forever.
Since its launch, MTV has spread into over 340 million homes. It has branched out
from just showing pop music videos and become a multi-million dollar business.
However, when it launched, MTV had fewer than one million viewers. Word soon
spread among its target audience of 12 to 24 year-olds and within a few months
viewership had grown to more than two million. Two years on, and it had
expanded into millions more homes.
Until MTV, pop music on television had consisted mainly of bands appearing on
entertainment shows. MTV's approach was very different; it presented one video
clip after another in a constant flow, and immediately became popular with young
pop fans, later named the 'MTV generation'.
Many of the earliest MTV videos came from the UK where the tradition of making
promotional video clips was well developed. Some of the artists who have visual
appeal and have therefore benefitted commercially from having their videos on
MTV are Duran Duran, Madonna, Michael Jackson, Prince, Peter Gabriel and U2.
By the end of the 80s, MTV Europe had added even more households to MTV's
subscription list. The growth continued with MTV Asia, MTV Latino and MTV UK
and Ireland. In 1992, MTV's series Real World created 'reality TV' nine years before
Big Brother appeared. To add to all this, MTV was the first music channel to launch
itself on the web.
By combining music with television, MTV has changed the entertainment industry.
Today, MTV still plays a limited selection of music videos, but the channel
primarily broadcasts a variety of popular culture and reality television shows
aimed at adolescents and young adults.
MTV aims its programmes at people in their teens or early twenties.
1
Cuaderno de actividades
21. Una antena de radio está sujeta al suelo con dos cables de acero tirantes, como se indica en
la figura. Calcula:
a) La altura de la torre.
b) La longitud de los cables.
40º
60º
126m
22. La distancia de un barco a un faro es de 137 m , y a la orilla 211m. El ángulo bajo el cual se
ve desde el barco el segmento cuyos extremos son el faro y la orilla es de 43º. ¿Qué distancia
hay entre el faro y la orilla?
137 m
faro
barco
sen 43º =h/137
43º
h = 137.sen 43º=93,43 m
h
x
cos 43º = x/137
y
211 m
x = 137.cos 43º =100,20
211-100,20=110,80m
Aplicando el T. Pitágoras
y2= 93,432 +110,802 = 21005,18
orilla
y = 144,93m
23. Dos barcos salen de un puerto con rumbos distintos formando un ángulo de 54º, y con
velocidades de 21 y 24 millas/h, respectivamente. ¿A qué distancia se encontrarán al cabo de
una hora?
Geometría
17. Hallar el área y los ángulos del triángulo de lados 5, 7 y 10.
181.Calcula la altura del árbol sabiendo que el ángulo ADC es de 30º , el ACB 45º y la
distancia CD =2m (problema de las tangentes)
Llamamos AB =h
tag 30º
tag 45º
h
=0,57! h = 0,57.BD
BD
h
=1! h = BC
BC
Como BD = BC +2 se tiene
0,57(BC +2) = BC y despejando
BC = 2,65 m
19. Epi y Blas ven pasar un avión con ángulos respectivos de 30º y 45ª. Si la distancia que les
separa es de 2km, calcula la altura a que vuela el avión en todos los casos posibles.
20. Calcula la altura de un semáforo, sabiendo que desde un cierto punto A, se ve bajo un
ángulo de 60º y si nos alejamos 40 metros se ve bajo un ángulo de 30º.
1
Se ha seguido un método general de resolución aunque, al ser el ángulo de 45º, el cálculo de la altura es
trivial.
Geometría
12. Sabiendo que sen 30º =1/2 calcula, razonadamente, lo que vale el cos 60º.
13. Sabiendo que tg 60º = 3 calcula tg 30º.
14. Sabiendo que cos " 0,3 , y " agudo calcula las restantes razones trigonométricas.
Solución
Sustituyendo el valor del coseno en la fórmula fundamental de la Trigonometría:
sen 2" # cos 2 " 1
sen 2" # 0,3 2 1 , de donde sen 2" 1$ 0,3 2 =0,91!
sen"
0,91
0,95
sec "
tag"
1
0,3
0,95
0,3
3,33
cot ag"
3,16
cos ec"
1
0,95
0,3
0,95
0,31
1,05
15. Calcula las razones trigonométricas del ángulo agudo " conociendo:
a) sen" 0,5 ; b) cos " 1 / 3 ; c) tg" 1 / 4 ;
16. Calcula la altura, el lado desconocido y el área .
Solución
Se tiene
h
=0,707! h =7,07
sen45º
10
h
tg 45º
=1!
15 $ x
10
y
h
45º
x
7,07= 15-x ! x = 7,93 , Por T. Pitágoras:
y2 =x2+ h2= 62,88+49,98=112,86! y = 10,62
Geometría
15-x
15
A =(15.7,07)/2=53,25 u.s.
8. Cálculo de la altura del árbol de las figuras. Datos: a) longitud de la estaca (ab) 1,3 metros.
b) Altura del hombre 1,80m.
1m
3m
5
9. Dibuja un ángulo de 40º y calcula sus razones trigonométricas.
10. Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 60º.
Solución
Dibujamos un triángulo equilátero, de lado 1,
La altura, h, por el teorema de Pitágoras, vale h
Por lo tanto: sen"
3
, cos "
2
1
; tg"
2
3
11. Calcula, de dos formas diferentes, el seno de Â
B
Geometría
1$1 / 4
3
4
3
2
1
Cuaderno de actividades 4º ESO
Figuras semejantes. Teorema de Tales
Razones trigonométricas. Resolución de Triángulos
1. Los lados de un triángulo A’B’C’ miden el doble que los de ABC. Si la superficie del
primero es 18 dm2, ¿cuál será la superficie del segundo?
2. La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es 25/49. ¿cuál es la razón de sus lados?
Solución
La razón de las áreas es el cuadrado de la razón de semejanza de los lados, por tanto, le de los
lados e 5/7.
3. Dos ciudades que en la realidad están a 900km, aparecen en el mapa separadas 6cm. ¿A qué
escala se ha dibujado el mapa?
4. Calcula la distancia a que se encuentran 2 ciudades si en el plano están a 13 cm.
Datos: escala 1: 1800000.
5. Calcula la altura de la pirámide sabiendo que la sombra que proyecta es de 18 m y que la
sombra que proyecta Tales es de 0,5m. Nota. Tales mide 1,70 m.
Por la semejanza de los triángulos
h
1,70
18
! h = 61,2m
0,5
6. La sombra de un lápiz de10cm en un determinado momento es de 25cm. ¿Cuál será en ese
momento la sombra de una torre de 40m?
7. Calcula la profundidad de un pozo de diámetro 2 metros, sabiendo que alejándose 0,7m del
borde, desde una altura de 1,70m vemos que la visual une el borde del pozo con la línea del
fondo.
Geometría
17. a) Obtener la pendiente, la ordenada en el origen y la representación gráfica de la recta que
pasa por los puntos P(3,4) y Q(2,1).
b) Obtener la ecuación punto-pendiente de la recta paralela a r que pasa por (0,-2).
18.. Dados los puntos A(1, -3), B(2, 0) y C(-4, 1) se pide:
a) Ecuación de la recta r que pasa por A y B.
b) Ecuación de la recta paralela a r que pasa por C.
Solución (se puede hacer de varias formas)
a) el vector AB tiene de coordenadas (2, 0)-(1, -3)= (1, 3), luego la ecuación de r es:
x "1 y 3
!
1
3
x 4 y "1
!
b) la paralela que pasa por C tiene por ecuación
1
3
19. Encontrar la ecuación de la recta r paralela a 2x-3y =4 que pasa por el punto de intersección
de las rectas s y t de ecuaciones y =3x-1 , x +2y=-3
20. Encuentra la ecuación de la recta que tiene por dirección el vector v(-1, 3) y pasa por el
punto de corte de las rectas de ecuaciones x + y =1 y 2x-3y=0
21. a) Calcular las coordenada del punto B de un segmento AB , sabiendo que las coordenadas
de A son (2, 6), y las del punto medio M son (4, 5)
b) Calcular la recta paralela a 2x +y-1=0 que pasa por el punto A(1, 1)
Solución
a) El punto medio del segmento tiene por coordenadas: (m1, m2) = (
tendrá (4, 5)= (
a1 b1 a 2 b2
,
) , luego se
2
2
2 b1 6 b2
) , es decir tendremos que 8=2 +b1 , de donde b1= 6. Análogamente
,
2
2
b2=4 (comprobarlo)
b) El haz de rectas paralelas es de la forma: 2x +y +c = 0 y como queremos la que pasa por el
punto A(1, 1) # 2.1+1 + c = 0, c =-3
12. Halla la pendiente de las rectas que pasan por los puntos:
a) (2. 3) y (-1, 0)
b) (3, 1) y (4, -5) .
Solución
" 5 "1
! "6
4"3
13. Dibuja y halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
a) (2. 3) y (-1, 0)
b) (3, 1) y (4, -5)
14. Hallar la ecuación de cada una de las siguientes rectas:
a) Pasa por el punto (0, 1) y tiene por pendiente 3
b) Pasa por el punto (0, 4) y tiene por pendiente 3/4
c) Pasa por el punto (-3, 3) y tiene por pendiente -4
15. Halla la pendiente de las rectas:
a) y = -3x +1
b) y = 2-x
c) 3x-2y-4=0
d)
x
2
y
!1
3
16. a) Obtener la pendiente, la ordenada en el origen y la representación gráfica de la recta que
pasa por los puntos P(1,2) y Q(5,-1).
b) Obtener la ecuación explícita y la general de la recta paralela a r que pasa por (0,-1).
Solución (Puede abordarse el problema de varias formas)
a) La ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q es y = mx +n, como pasa por P y Q se
& 2!m n
que por reducción nos da pendiente m =-3/4, ordenada en el origen n=11/4
$" 1 ! 5m n
verifica %
La recta tiene por ecuación explícita y !
"3
11
x
, y por cartesiana 3x +4y=11
4
4
b) La ecuación explícita de la recta paralela que pasa por (0, -1) es y =(-3/4)x-1 y la cartesiana
3x+ 4y=-4, Comprobarlo y hacer la gráfica
8. Suma en tu cuaderno, de forma gráfica (2,1)+(-1,1)+(-2,0).
Realiza la suma anterior de forma analítica.
9. Dados los vectores v(1,2) y w(-2,1), ¿qué vector deberé sumar a v + w para obtener el vector
(0,0)?
Solución
El (1, -3), pues tendrá que ser el opuesto de la suma v + w = (-1, 3). Comprueba la afirmación
haciendo la suma gráficamente
10 Dados el punto P(1,-2) y el vector v =(-1,3) obtener:
a) Las ecuaciones vectorial, continua, general y explícita de la recta r que pasa por P y tiene
como dirección v.
b) Obtener tres puntos de la recta distintos de P.
c) Comprobar si los puntos A(6,7), B(2,-5) y C(4,-1) son puntos de la recta r o no.
d) Representar la recta r.
Solución
a) x = (x, y) = (-1, 2) + t (-1, 3) ecuación vectorial
x 1 y"2
!
"1
3
De donde obtenemos la ecuación cartesiana: 3(x +1)=-(y-2) # 3x +y = -1
Eliminando el parámetro se llega a la ecuación continua:
Despejando obtenemos la ecuación explícita: y = -3x -1
11. Halla gráficamente la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-3, -6) y B((3, -2) y
escribe su ecuación.
Solución
La pendiente según se ve en la gráfica es
4 2
!
m!
6 3
la ordenada en el origen es -4
y por tanto la ecuación es
2
y! x"4
3
INICIACIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
1. a) Si dos vectores tiene la misma longitud, ¿podemos asegurar que son iguales? Razona la
respuesta . Pon ejemplos
2. a)¿Cuántos sentidos pueden existir en una dirección dada?
b) ¿Es posible que dos vectores tengan la misma dirección, punto de aplicación e intensidad y
que sean distintos? Razona la respuesta. Pon ejemplos
3. a) Si las direcciones de dos vectores convergen ¿podrán ser iguales los vectores?
b) Dos vectores son paralelos y tienen la misma intensidad. ¿Han de ser iguales?
Razona las respuestas. Pon ejemplos.
4. Dibuja en tu cuaderno tres vectores iguales y tres vectores distintos
5. a)Las componentes de un vector son 5 en el eje x y -4 en el eje y. ¿cuánto vale su intensidad
(módulo)?
b) ¿Cuál de los siguientes vectores tiene mayor intensidad? (3,0); (2,1); (2,2); (3,2).
Solución
a)La intensidad o módulo del vector es: (5,4) ! 5 2 4 2 ! 41
6. a) Dados los vectores (1,2) y (0,-3) ¿cuál es el resultado de su adición?
b) Con los vectores v(1,2);w(2,-1) y u(-1,1) realiza las sumas: u + v + w , v + u + w . ¿Qué
observas?
Solución
b) u + v + w = ( 2, 2); v + u + w = (2, 2). Son iguales, la suma es conmutativa.
Comprueba el resultado gráficamente
7. a) ¿Cuál será el vector opuesto del vector (1, 2)?
Con los vectores del segundo ejercicio anterior , realiza las sustracciones
u - v , v – u, u - w.
CUADERNO DE ACTIVIDADES
c) y = (1/2)-x
figura 3
32. La gráfica de una función exponencial del tipo y = k .a x pasa por los puntos (0, 4) y (1, 8)´
a) Calcula k y a
b) Representa la función.
33. Un capital de 12000 € está colocado al 3% fijo anual. Calcula la expresión que nos da el capital
acumulado al cabo de t años.
Solución
Se trata de una función de crecimiento exponencial.
El capital en el primer año se convertirá
12000+12000.0,03= 12000(1+0,03)=12000.1,03= C1,
El capital al cabo de 2 años se convertirá C1 + C1.0,03 = C1(1,03) =12000. (0,03)2 ...
y al cabo de t años
C(t)=12000.(1,03)t
t 0
34. Una sustancia radiactiva tiene un periodo de semidesintegración de 15 años. Tenemos 10 gramos de
esa sustancia. Encontrar la función que nos da la cantidad de sustancia radiactiva en función del tiempo
transcurrido
35. Un virus se reproduce por división transversal: en 2 horas cada virus se divide en tres. En el día 0 se
ha contado un millón de virus de ese tipo y se estudia la evolución de esta población en función del
tiempo.
a) Encontrar la expresión de la población en función del tiempo, en horas.
b) ¿Cuál es el efectivo de la población en la primera hora?
c) ¿Cuánto tiempo tardará en doblarse? ¿Y en multiplicarse por 10?
Análisis
58
30. Representa las siguientes funciones de proporcionalidad inversa:
!1
a) y "
x
; b) y "
3
#1;
x
c) y "
!2
#1 ;
x
d) y "
4
!2
x
figura 2
31. Representa las siguientes funciones exponenciales utilizando una tabla de valores:
a) y = 3x ;
b) y = 2- x ;
Análisis
57
29. Representa las siguientes funciones usando una tabla de valores adecuada:
a) y " x ! 1 ;
b) y " x # 1 # 1 ;
Solución
b).figura 1
x
-1
y
1
0
2
1
2,4142
3
3
...
...
figura 1
c) y " 3 1 ! x # 2 ;
d) y " 3 x ;
e) y " 3 x ! 1
Análisis
56
26. Un viajero llega tarde a la estación y el tren ya ha salido.
Si las ecuaciones de las trayectorias del viajero y del tren son:
Tren:
E"
1 2
t
4,8
Viajero
E " 60(t ! 10)
indica si el viajero alcanza el tren y en este último caso el momento del encuentro.
'$ y " x 2 ! 5 x # 6
27. Resuelve analítica y gráficamente el sistema: &
$%2 x # y " 2
28. El coste de producción de x unidades diarias de un determinado artículo es:
1 2
x # 35 x # 25
4
y el precio de venta de uno de ellos es (50-x/4) €
Halla el número de unidades que debe venderse diariamente para que el beneficio sea máximo.
Solución
La expresión de la función beneficio es:
!1 2
x # 15 x ! 25 , función cuadrática.
B(x)=(50-x/4)x –((1/4)x2 + 35x + 25) =
2
La solución gráfica se ve en la figura, es el vértice de la parábola.
x = 15 unidades.
Análisis
55
23. Representa las siguientes parábolas indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes.
a) y =x2 ; b) y " !
x2
; c) y = -3x2 +6; d) y = x2 +x +1; e) y = x2 -5x+6; f) y =-x2 +3x-2
3
24. Dibuja en unos mismos ejes cartesianos la recta y = x- 3 y la parábola y = x2 -5x+6.
25. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas:
3
'
x"
$
a) &
2
$% y " x 2 ! 3 x # 2
Se dibujan sobre los mismos ejes
(ver ejercicio 22)
Solución V (3/2, -1/4)
' x # y "1
b) &
2
% y " x !1
Análisis
'$ y " x 2 ! 5 x # 6
c) &
$% y " x ! 3
54
21. Representa en los mismos ejes coordenados las siguientes rectas:
a) y = x e y = 2 – x
Solución
Las rectas se cortan en el punto (1, 1)
b) y = x-3 e y = -x +2;
!2
1
c) y "
x e y " x!6
3
3
22. Representa la gráfica de la función cuadrática y =x2 -3x+2
Solución
Es una parábola. Necesitamos calcular el vértice y los puntos de corte con los ejes
!b
Vértice. La abscisa del vértice está en el punto xV "
, en nuestro caso:
2a
xV "
3
;
2
Los puntos de corte con los ejes:
'x " 0
punto (0,2)
&
%y " 2
9 ! 18 # 8 ! 1
32
3
yV "
!3 #2 "
"
4
4
2
22
y"0
'
( x =1, x =2 puntos (1, 0) y (2, 0)
& 2
% x ! 3x # 2 " 0
Con estos puntos podemos dibujar la gráfica pues tenemos entre ellos dos puntos simétricos:
Análisis
53
17. Dibuja y halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
a) (2. 3) y (-1, 0)
b) (3, 1) y (4, -5)
18. Hallar la ecuación de cada una de las siguientes rectas:
a) Pasa por el punto (0, 1) y tiene por pendiente 3
b) Pasa por el punto (0, 4) y tiene por pendiente 3/4
c) Pasa por el punto (-3, 3) y tiene por pendiente -4
19. Calcula la expresión de la función cuya gráfica se adjunta:
Solución
Es una función definida a trozos.
El primer trozo pertenece a la recta que pasa por los
Puntos (0,2) y (3,4), Su ecuación es
y = 2x +2
El otro trozo pertenece a la recta que pasa por (3, 4)
y (5, 1).
1! 4 ! 3
"
5!3 2
3
y = 4 ! ( x ! 3)
2
La pendiente es:
El último trozo pertenece a la recta constante y =1
2x # 2
si x + 3
'
$ 3
La función es f ( x) " &! ( x ! 3) # 4
3* x *5
$ 2
x)5
1
%
20. Calcula la expresión algebraica de la función cuya gráfica es:
Análisis
52
12. Dibuja en el intervalo [0, 6] la función que a cada número positivo le hace corresponder su parte
entera.
13. Halla la pendiente de las rectas que pasan por los puntos:
a) (2. 3) y (-1, 0)
b) (3, 1) y (4, -5) .
Solución
! 5 !1
" !6
4!3
14. Halla la pendiente de las rectas:
a) y = -3x +1
b) y = 2-x
c) 3x-2y-4=0
d)
x y
# "1
2 3
15. Representa las siguientes funciones lineales o afines:
a) y =2x ; b) y =3; c) y = 3x-2; d) y "
1
!2
x ; e) y "
x!2
2
3
16. Halla gráficamente la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-3, -6) y B((3, -2) y escribe su
ecuación.
Solución
La pendiente según se ve en la gráfica es
m"
#4 2
"
#6 3
la ordenada en el origen es -4
y por tanto la ecuación es
y"
Análisis
2
x!4
3
51
8. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a)
b)
9. Para las funciones del ejercicio anterior. Estudia la monotonía, simetría y los máximos y mínimos.
b) creciente en ]-4, -2[ ,]-2, 0[ y decreciente en ]0, 2[,]2, 4 [
simétrica respecto el eje OY
mínimo relativo no tiene, un máximo relativo se alcanza en el 0 y vale 0
10. Estudia la monotonía, simetría y los máximos y mínimos de la función cuya gráfica es la de la figura.
11. Antonio ha comprado un coche que le ha costado 19500 €. El coche se deprecia un 20% cada año. Al
cabo de un tiempo decide venderlo y le dan 5200 € . ¿Cuántos años han pasado?
Indicación: Haz la gráfica de la situación planteada y encuentra el punto de la gráfica cuya ordenada valga
5200.
Análisis
50
4. Representa los siguientes pares (x, y) . Indica la relación entre las variables x e y:
x
y
1
0,75
3
2,25
4
3
5,5
4,125
7
5,525
....
....
5. Dada la tabla
x 0 1 2 3 4 ....
y 1 3 5 7 9 ....
Representa estos puntos en un sistema de ejes coordenados y escribe la ecuación de la función que
relaciona las variables x e y.
6. Halla el dominio de las siguientes funciones:
a) y = 3x
c) y =
x
b) y = x2-3
D =R +
d) y = 1/x
D = R --0.
f) y " 3
e) y " x ! 2
x!2
7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a)
Continua excepto en el x =0.
b)
Continua en todos los puntos.
Análisis
49
Cuaderno de Actividades 4º ESO
Relaciones funcionales.
1
Estudio gráfico y algebraico de funciones .
Interpretación de gráficas
1. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría, por término medio, dedicar a
cada enfermo, depende del número de ellos que se acudan:
1 enfermo
60 minutos
2 enfermos
30 minutos
3 enfermos
20 minutos
..... ....... ......... ......
Así hasta un máximo de 30 enfermos. Si llamamos x al número de enfermos e y al de minutos dedicados
a cada enfermo escribe la expresión funcional que existe entre ellas ¿ Cómo es la variable independiente,
continua o discreta? Dibuja la gráfica ¿ Tiene sentido unir los puntos de la gráfica con una línea?
2. En unos aparcamientos públicos figura la siguiente tarifa de precios:
Tarifa
1ª hora o fracción
1€
Cada hora más o fracción
0,8 €
Máximo 12 € por 24 horas
Haz una gráfica representativa de la función : tiempo de aparcamiento ....... coste
3. Si un coche va a 80km por hora, ¿ que espacio habrá recorrido al cabo de 2, 3, y 3,5 horas?
a) Dibuja la gráfica de la función espacio-tiempo.
b) ¿Qué tiempo empleará en recorrer 200 y 320km?
x
y
Solución
e =v. t = 80.t
2
160
a)
300
3
240
/
3,5 280
/
/
2
3
b) Despejando el tiempo tendremos t =e/v:
t = 200/80 = 5/2 = 2horas y media y t = 320/80 =4 horas
1
El estudio algebraico solo para las funciones polinómicas de primer y segundo grado grado.
Análisis
48
Se encontrarán en un múltiplo común a todos.
m.c.m.(5,6, 9, )=90
Se encuentran a los 90 días
18. Solución.
Aplicamos en concepto de índice de variación.
Se tiene CF = CI. IV, luego el índice de variación en esta operación es:
840
IV = 750 =1,12
Como 1,12=1+0,12
que se ha aplicado un 12% de IVA
21. Solución.
Se mezclan en total:
20 +13 = 33 litros
20.2,2 +13.1,3 = 44 + 16,9 = 60,9 es lo q se paga por los 33 litros.
El litro de la mezcla sale a
60,9:33 =1,85 euros
23. Solución.
Consideramos el capital dividido en 2 +3 +5=10: partes.
De las cuales dos partes le corresponderían al primero,. tres partes al segundo y cinco partes al
tercero.
Al primero le tocan los 2/10 de 6000 euros.
Al segundo, los 3/10 de 6000 euros.
Al tercero, los 5/10 de 6000 euros.
Luego les tocará 1200, 1800 y 3000 euros respectivamente
25. Solución
Si en 2 horas llena un grifo el depósito, en una hora llenará 1/2 del depósito
El otro grifo en una hora llenará 1/3 del depósito.
Los dos juntos en una hora llenarán:
1/2 + 1/3 = 5/6 del depósito
6
Luego para llenar el depósito se necesitaran 5 =1,2 horas es decir una hora y doce minutos.
28. Solución.
En hacer el trabajo se tardan:
3x8x15=360 horas
Entonces se necesitarán
360:(9x5) =8 días
30.
5
Por el teorema de Pitágoras:
d = 50 ! 5 2
d2 =52 +52=50
38) Solución
Como son iguales el orden no importa, además no pueden repetirse, son combinaciones, C6, 3 = 20
hay 20 formas de repartirlas
16
Operaciones con números reales
30. Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 5
TECNICAS DE CONTEO. COMBINATORIA
Resuelve:
31 Ignacio tiene 3 pantalones y 5 camisas. ¿cuántas indumentarias puede elegir?
32 De cuántas formas distintas se pueden colocar 4 personas en un banco de 4 asientos.
33 En un coche viajan 5 personas. ¿De cuántas formas distintas pueden ir sentadas?¿Y si solo
dos de ellas saben conducir?
34 Se lanzan dos dados ¿cuántos resultados distintos pueden dar?
35 ¿De cuántas formas se pueden repartir tres medallas entre 12 participantes de una carrera?
36 Se lanzan 5 monedas sobre la mesa ¿de cuántas formas pueden salir dos caras?
37 ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras pares?
38 ¿De cuántas formas se pueden repartir tres camisetas (iguales) entre 6 amigos sin que ningu-
no pueda llevarse más de una?
39 ¿De cuántas formas pueden sentarse 3 personas en un banco de 5 asientos?
40. ¿De cuántas formas se pueden elegir dos cartas de una baraja de 40 cartas?
Soluciones de los problemas seleccionados
1. Solución.
4 hermanos y 3 hermanas
3. Solución
Dividimos el segmento en 7 partes iguales
1/14
"
"
"
"
"
"
Por tanto 1/14 del segmento es igual a 3cm
"
"
el segmento medirá 3.14= 42cm
6. Solución.
Estamos a 1 de enero y nací el 31 de diciembre
8. Solución.
.
8kg
4,5kg
El líquido derramado pesará
8 - 4,5 = 3,5
El líquido en total pesará 7kg, luego el bidón vacío pesa 1kg.
12. Solución
30 = precio anterior + 1/2 del precio anterior
30= 3/2 del precio anterior
precio anterior de la sal = 30.2/3 = 20
precio del azúcar 3.20 = 60pts
14. Solución.
15
"
20. a) ¿Qué índice de variación corresponde a un aumento porcentual del 15%? ¿ Y a una disminución porcentual del 17%?
b) El número de parados, 356 230, que había en una determinada comunidad autónoma ha disminuido el 17 %. ¿Cuántos parados hay ahora?
c) Después de distribuir el 27% de las cajas que había en un almacén han quedado 27250.
¿Cuántas cajas había?.
21. Se mezclan 20litros de aceite de oliva de 2,2 euros el litro, con 13litros de aceite de semillas
a 1,3 euros el litro. ¿A cuánto sale el litro de la mezcla?
22. Para la fabricación de queso se mezcla un 60% de leche de vaca con un 40% de leche de
oveja. El precio de la leche de vaca es de 0,85 euros el litro y el de la leche de oveja es de 1,2
euros el litro. Para fabricar un queso se necesitan 8 litros de leche. ¿A qué precio saldrá la mezcla?
23. Reparte 6000 euros en partes proporcionales a 2, 3 y 5.
24 Tres socios pusieron 20 millones, 30 millones y 60 millones, respectivamente, para crear una
empresa. A) ¿Qué parte de las ganancias corresponderá a cada uno?. Si las ganancias del primer
año fueron 7590000. ¿Cuánto corresponderá a cada uno?
25. Un grifo llena un depósito en 2 horas, y otro grifo lo llena en tres horas. ¿Cuánto tardará en
llenarse el depósito si se abren ambos grifos a la vez?
26. Tres grifos aportan caudales de 2 l/s, 3 l/s y 5 l/s, respectivamente. Se abren los tres a la vez
para llenar un balsa.
a) ¿Qué fracción de la misma habrá aportado cada uno?
b) Si la balsa tiene una capacidad de 6000 litros qué volumen de agua ha manado de cada grifo?
27. Un grifo arroja 70l de agua por minuto y otro arroja 50l por minuto. ¿Cuánto tiempo
tardarán en llenar entre los dos un depósito de 360l?
28. Tres personas trabajando 8 horas diarias hacen un trabajo en 15 días. ¿Cuántos días tardarán
en hacer el mismo trabajo cinco personas en jornadas de 9 horas?
29. . Construye un cuadrado mágico 3x3. ( Sobre un cuadrado de nueve casillas deben colocarse
nueve números distintos, del 1 al 9, de tal modo que la suma de las columnas, de las filas y las
diagonales deben dar lo mismo).
14
9. Un pasajero al llegar a la mitad de su viaje cae dormido. Cuando despierta, aún tiene que
recorrer la mitad de la distancia que ha hecho mientras dormía ¿Qué parte del total del camino
ha estado durmiendo?.
10. El ser vivo más pequeño es un virus que pesa del orden de 10-18 g y el más grande es la
ballena azul, que pesa aproximadamente 138 toneladas. ¿Cuántos virus serian necesario para
conseguir el peso de una ballena?
11. . Con 2 km3 de arcilla se construyen dados de un cm3. ¿Cuántos se pueden construir?. Si
colocamos todos estos dados en fila india, es decir, uno a continuación de otro, ¿qué lon-
gitud alcanzarían?
12. Al principio, el precio de un Kg. de azúcar era tres veces el precio de un Kg. de sal. Después, el precio de un Kg. de sal aumentó en la mitad de su anterior precio, sin que cambiara el
precio del azúcar. Si el precio de la sal es ahora 30pts. por Kg., ¿cuál es ahora el precio del azúcar por Kg.
13. La masa de un virus es de 10-21kg, la de un hombre, 70kg, y la de la Tierra 5,9 x 1024kg.
Calcula la relación entre la masa de un hombre y un virus, y la de la Tierra y un hombre. ¿Cómo
son estas relaciones?
14. Tres amigos coinciden en un restaurante. Comentan que todos van habitualmente. Uno de
ellos va cada 5 días, otro cada 6 y el otro cada 9. ¿al cabo de cuántos días volverán a encontrarse?.
15. En una cooperativa tienen 360 litros de un cierto tipo de aceite y 225 litros de otro tipo.
Quieren envasar el aceite con el menor número posible de garrafas iguales ¿Qué capacidad tendrá cada garrafa?
16. Diez ciruelas pesan tanto como tres albaricoques y un mango. Seis ciruelas y un albaricoque
pesan lo mismo que un mango. ¿Cuántas ciruelas equilibrarían una balanza que tiene en un lado
un mango.
17. Un ciclista sale de un lugar a 20km/h. Dos horas más tarde sale un coche del mismo lugar a
80km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el coche en alcanzarle?
18. El precio de un artículo sin IVA es de 750 euros. Si he pagado 840euros. ¿Qué porcentaje de
IVA me han cobrado?
19. Un cobrador se queda con el 0,5% de la cantidad recaudada. Si le ha correspondido 6250
euros, ¿cuánto ha cobrado?
13
i) Expresa en forma de una sola potencia de exponente fraccionario:
1)
3)
x3 x
3 5
3 2 5
2) ( x )
x2
x
4)
5) x3 x 3 x
6)
3
x
3 4
x3
1
3). Solución
3 5
x =
30
1
1 1
# #3
3
x ; 5) Solución. x3 x 3 x = x 2 x 3 x 3 = x 2
=x
3# 2 #18
6
Problemas6
1. Tengo tantas hermanas como hermanos, pero mis hermanas tienen la mitad de hermanas que
de hermanos. ¿Cuántos somos?
2. Nos gastamos 1/3 de nuestra paga en el cine; 1/8 de lo que nos queda en palomitas y por
último 1/4 de la parte restante en bebidas.¿Cuánto tenemos de paga?
3.Los 4/7 de un segmento superan en 3cm la mitad del segmento. ¿Cuánto mide ese segmento?
4.La diferencia de edades entre un padre y su hijo es de 30 años, la edad del hijo es 2/5 de la del
padre. Que edad tiene cada uno?
5. Una pista de carreras de atletismo se divide en tres tramos desiguales. La longitud total de la
pista es 450 m. La longitud de los tramos primero y segundo juntos es 350 m. La longitud de los
tramos segundo y tercero juntos es 250 m. ¿Cuál es la longitud de cada tramo?
6. Anteayer tenía 17 años y el año que vienen cumpliré 20 años. ¿Cómo es posible?
7. Una sierra en un aserradero corta largos troncos, de 16 m de longitud, en troncos cortos, de 2
m. de longitud. Si cada corte se hace en dos minutos, Cuánto tiempo se necesitará para que la
sierra produzca los ocho troncos cortos a partir de un tronco largo.
8. Un bidón lleno de queroseno pesa 8 Kg. Se derrama la mitad del queroseno, después de lo
cual bidón y contenido pesan 4 Kg. y medio. Determinar el peso del bidón vacío.
6
Aunque en esta partes se han agrupado al final de los ejercicios, se resolverán a lo largo del primer trimestre, a criterio del profesor.
Los problemas con ...están resueltos al final.
12
3
3 2
!
2
1)
2)
3)
!
2 2
2
3 2
2
3 $5
3
5)
5
2 3
6)
2
3$ 2
7
7)
2 #1
4)
8)
3
=
2( 3 # 5)
( 3 $ 5)( 3 # 5)
!
2 3 # 10 2 3 # 10
!
$ 22
3 $ 25
7
2 $5
2
2 #1
2 3
2 $1
3 $1
3 #1
g) Representa en la recta real los números irracionales
1) 2
2) 5
3) 50
4) 3
2) Solución . Utilizamos el Teorema de Pitágoras. 5 = 12+22
5 es la diagonal del triángulo, con un compás
1
2
5
de origen 0 se obtiene donde está situado.
h) Simplifica los siguientes radicales:
1 ) 6 x3 = x
3)
4
2) 3 x 6
x2 y4
x2 y4 z3
4)
5)
4
4)
x2 y4 z
4) Solución:
6
x 2 y 4 z 14 = 3 xy 2 z 7 = z 2 .3 xy 2 z
11
6
x 2 y 4 z 14
5) 32 $ 2 2 #
1
8
2
6) 3 5 # 180 $ 80
7)
3
2 # 43 2
8)
2 # 43 2
9)
24 $ 3 150 #
6
2
Ayuda. Recuerda que los radicales solo se pueden sumar cuando son semejantes4.
d) Opera los siguientes radicales y/o simplifica cuando sea posible:
1)
2 .3 2
3)
5)
7)
9)
3
8
2)
2 .5 3
6
4)
3
3
5
3
6) *( 3 3 2 '%
64
1 5
1024
4
8)
2 .3 2 4 5
6
)
&
4
5 3 .5 4 5
10)
1
8
4
36
3) Solución.
Se reducen a índice común y después se multiplican los radicandos.
2 .3 2 = 6 2 3 6 2 2 = 6 2 3 2 2 !
m.c.m(2,3)=6
6
25
e) Calcula los valores de las siguientes potencias (de exponente fraccionario) o radicales:
4
4
8 3 ! (2 3 ) 3 ! 2
4 x3
3
! 2 4 ! 16
3
27 6 ! 6 27 6 ! 27
3
12 15
1) 16 4
2) (27 15 ) 18
3)
3
4) 23.33
64 6
5) 40,5
7) 3 9 3 3
9)
6) 3 5 2 60
8) 6250,25
3
5
2
9 16 4
Recuerda que
n
a !
k
k
an
f) Racionaliza5 siguiendo el modelo:
4
5
Tienen e mismo índice y el mismo radicando
Racionalizar es quitar las raíces del denominador
10
i) Realiza las siguientes operaciones:
1) 2,43.10-23.1,35.1021
2) (3,21.107): (2,51.10-4)
3)
(2,31.10 7 ).(5,23.10 $3 )
1,234.10 $9
4)
(5,01.10 9 ).(3,52.10 $23 )
1,24.10 $8
3) Solución.
(2,31.10 7 ).(5,23.10 $3 ) ( 2,31.5,23).10 7 $3# 9
=
=9,79.1013
$9
1,234
1,234.10
j) Escribe en forma científica con tres cifras significativas los siguientes números:
1) 0,0000000000000002567432
2) 1234567891234
k) Empleando diversas técnicas de conteo, se han obtenido los siguientes datos:
- Visitantes anuales a un cierto museo: 1 345 589 personas.
- Número de gotas de agua que hay en una piscina: 8 249 327 141 gotas.
- Bacterias en 1 dm3 de cierto preparado: 203 305 123 bacterias.
¿Es razonable dar tantas cifras? ¿Cómo transmitirías tú cada una de estas informaciones?
E) RADICALES
a) Completa siguiendo el modelo:
3 2 ! 3 2 2 ! 18
1) 5 3 !
2
3=
3
3) 43 2 =
2)
b) Extrae factores del radical siguiendo el modelo:
72 ! 3 2 2 3 ! 3.2 2 ! 6 2
1) 50
2) 200
3) 4 490
4)
3
2700
c) Suma las expresiones con radicales (que puedas):
8 $2 2 =
23 $ 2 2 ! 2 2 $ 2 2 ! 0
1) 5 2 $ 3 3
2) 4 3 $ 7 3 # 2 3
3) 125 $ 5 5
4) 8 $ 2 2 #
1
4
2
9
*3'
)2&
3
*3'
)2&
2
*3'
)2&
4) Solución. ( % : ( % ! ( %
d) Simplifica:
1)
33 2 $4 5 2
35 2 3 5 $1
2)
7 3 2 $4 5 $3
7 $5 2 3 5 $1
3)
7 3 ($2) $4 ($5) $3
($7) $5 2 3 5 $1
4)
4 3 ($2) $4 ($5) $3
( $8) $5 2 3 5 $1
3) Solución. Primero reducimos las potencias a bases positivas
7 3 2 $4 5 $3
7 3 ( $2) $4 ($5) $3 7 3 2 $4 ($1)5 $3
=782-75-2
=+
!
$5 3 $1
$5 3 $1
$ 5 3 $1
($7) 2 5
$7 2 5
7 2 5
e) Escribe como potencia de 10
1) 0,00001= 10-5
2) una millonésima
3) 1000000000
f) Indica el orden de magnitud 3de las siguientes medidas:
1) El volumen de la Tierra: 1,0807.1021m3
2) La masa del Sol: 1,98.1030kg
3) La masa de un electrón: 1,67.10-27kg
g) Escribe con notación científica::
1) 310000000000
2) 0,00000023=2,3.10-7
3) 1540,23
4) El número de moléculas que hay en un gramo de hidrógeno:
301000000000000000000000
5) La longitud de un paramecio: 0,000025 m
h) Expresa en forma decimal:
1) 3,23.10-7
2) 1,75.108
3) La masa de un electrón: 1,67.10-27kg
4) El precio de una casa: 3,24.107 =32400000
5) El volumen de la Tierra: 1,0807.1021m3
6) La masa del Sol: 1,98.1030kg
3
El exponente de la potencia
8
i) Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos:
1) [-3, 2]
2) (1, 3)
3) [-1, 0)
Solución. [-1, 0)= ,x / R / $ 1 . x - 0
+
-10
'0
k) Escribe en forma de intervalo y representa los conjuntos:
1) ,x / R / $ 2 . x - 3
+
2) ,x / R / $ 1 . x . 0
+
3) ,x / R / $ 2 - x . 2
+
D) POTENCIAS
a) Hallar el valor de las siguientes potencias:
1) (-3)3
3)
2) 5-2
1
2 $3
4)
5) (-3)2.3-3
7)
6) 52.5-3.57.5-4
2 $3
2 $4
8) Solución.
35
33
8)
3 $3 2 $4
3 5 2 $3
3 $3 2 $4
= 3 $3$5.2 $4 # 3 =3-8.2-1
3 5 2 $3
b) Escribe en forma de potencia de una sola base:
1) 625
4)
1
125
164 2 3 * 2 '
5)
=
!( %
125 5 3 ) 5 &
1
16
25
6)
36
2) 128
5)
3)
64
125
3
c) Expresa como potencia única:
1) (5-3.52)-6
33 3 $4 3 2
35 3 $1
4 3 ($2) $4 8 $3
*5)
($8) $5 2 3 4 $1
3)
*3'
)2&
*3'
)2&
$2
*3'
)2&
3
*2'
)3&
4) ( % : ( %
7
3
2) ( % : ( %
$2
9
121
5)
7) 5 16807
6) Solución.
5
6)
5
1
32
8)
3
27.10 6
1
1
1
=5 5 !
2
2
32
c) Calcula por tanteo, sin usar la calculadora, una aproximación decimal de los siguientes números irracionales:
1) 3;
2)
47 ;
3) 124
4)
432
2) 62=36;
72=49, luego está entre 6 y 7
6,82=46,24
6,92=47,61
Con un decimal la aproximación seria 6,8
6,842=46,78; 6,852=46,92; ,6,862=47,05. Luego
47 =6,85 con dos decimales exactos
d) Halla las raíces posibles y di cuáles son imposibles y por qué:
1) $ 16
2) 3 $ 27
16
81
3)
5
$ 32
5)
4
$ 81 no existe pues el índice es par y el radicando negativo
4) 4
e) Escribe tres aproximaciones decimales de los números irracionales
1) 3;
2) 1
f) Calcula la cota del error que se comete al sustituir el número 1 por:
1) 3,14
2) 3,142
Solución. Tiene tres cifras decimales exactas, luego el error que se comete es menor que 10-3
3) 3,1415
g) Escribe las aproximaciones por defecto del número
que el error cometido sea menor que:
1) una décima.
2) una milésima
3 , con la mínimas cifras para
h) Calcula el lado de un cuadrado, cuya área es 1500 m2 , con un error menor que una
centésima.
6
Restando los dos números que tienen el mismo periodo, éste se “va”:
112
100N-10N= 1,24 - 12,4
90N =112 N =
90
g) Calcula pasando a fracción:
1) 0,3 # 0,4 # 0,6
2) 2,05 $ 1,35
3) 0,34 $ 2,1
h) Representa los siguientes números racionales:
2/3; -3; 7/5; -3/4, 12/8
1/3
2/3
i) Escribe en forma decimal o fraccionaria las siguientes expresiones:
1) Dos quintos.
2) Tres de cada cinco.
3) Mitad de cuarto.
4) Dos partes por mil.
5) Tres partes de agua y dos de alcohol.
6) Escala 1 a 200000.
Solución1:200000 se expresa
1
200000
7) 13 décimas.
8) 234 centésimas.
9) Una millonésima.
C) NÚMEROS REALES. APROXIMACIÓN. INTERVALOS.
a) Di cuáles de los siguientes números son racionales y cuales son irracionales:
2) 25 ;
1) 3;
3)
5)
3
5
8;
32
7) 3,56565656......
4) 12 ;
6) 3 28
8) 3,141592.....
9) 0,30300300030000.... es irracional las cifras decimales no se repiten, es decir no es
periódico
10) –3,45454545.....
b) Calcula, sin usar la calculadora, las siguientes raíces exactas:
2) 0,0225 ;
1) 144 ;
3)
0,000049
4)
5
3
216
3' *1
%#( #
2& )3
5'
%
6&
5)
2 *1
$( #
3 )5
6)
1 *1 3' *1 5 7'
$( $ %#( # $ %
3 )5 2& )3 6 2&
7)
3 1 3 3 1 1
: $ . # $
5 4 5 4 5 2
*1 3 2 1' * 1 5 7'
8) ( $ $ # % # ( $ # $ %
)5 2 3 4& ) 3 6 2&
9)
3 1 3
3 1 1
( $ )#. ( $ )
5 4 5
4 5 2
3 2 *3 '
# $ ( # 1%
5 7 )4 &
10)
1 2 *1 4'
$ #( $ %
3 5 )2 3&
9. Solución.
5
3 2
3 5 12
$ 21 9 $ 42 $ 45 $ 87
3 $3
3 $7
( $ ) #. ( $ )= ( )#. ( )!
$
!
!
4 10 10 5 20
5 20 20
100 40
200
200
4 10
f) Encuentra la fracción generatriz de los siguientes números:
1) 0,03
2) 0,3
3) 1,24
4) 3,025
3) Solución. Si hacemos N= 1,24
10N= 12,4
4
100N= 124,4
1)
1 2 3
, ,
3 5 2
2)
1 3 5 2
, , ,
2 4 6 5
3)
7 11 5 1
, , ,
3 12 18 2
4)
2 11 5 8
, , ,
3 12 18 3
1) Una vez que hemos encontrado fracciones con igual denominador equivalentes, ordenamos los numeradotes: 10/30; 12/30 y 45/30 es decir:
d) Simplifica las siguientes fracciones
75
2)
1)
123
40
3)
4)
42
5)
300
2500
5) Solución.
6)
105
75
144
96
3500
4000
3.10 2
3
!
2
2
25
5 10
e) Calcula:
3
1
#
1)
4
3
2)
1
3
#
2
4
3)
1 2 3
# #
3 5 2
4)
2
1 3
$( # )
3
2 4
3
1 2 3
- 3 5 2
6
1 6 2
. Solución . !
3 5 5
5
5) La mitad de la quinta parte de –15
2
6) Cuánto dinero tengo si los de éste son 34 euros.
5
3 15
7) Tres fracciones equivalentes a: ,
.
5 12
8) Calcula x, en cada caso, para que las igualdades sean ciertas:
x 5
7 x
3 15
!
! ;
! ;
4 12
6 2
7 x
4) La tercera parte de
9) Calcula el 20% de 375 euros.
8). Solución. Como son fracciones equivalentes,
x =3.7=21; x =7.5=35; x = 5.3=15
b) Reduce a común denominador2 las siguientes fracciones
1)
3
1
y
4
3
2)
1
3
y
2
4
3)
1 2
3
y
,
3 5
2
4)
1 3 5 2
, , y
2 4 6 3
7 11 5
1
y
5) , ,
3 12 18
3
3. Solución. El m.c.m. (3, 5, 2)=30.
1 1.10
!
3 3.10
Es decir:
2 2.6
!
5 5.6
3 3.15
!
2 2.15
10/30; 12/30 y 45/30
c) Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones
2
Utiliza el m.c.m
2
ARITMÉTICA1
OPERACIONES CON NÚMEROS:
A) ENTEROS
Realiza las siguientes operaciones:
1) 2 $ 4 # 7 $ 6 # 12 $ 3 # 1
2) 4 $ ($2) # 3 $ (7 $ 4 $ 12) $ 5
3) (4 $ 5) # 8 $ (5 # 7) $ (6 $ 13) # (9 $ 2)
4) 3(5 $ 6) # 4(17 $ 4) $ 3.2 # 4
5) 2(3 $ 4) # ($3 # 1) # (7 # 1) $ 3($2)
6) (16) : (-2)+4(3-1)+9 = -8 + 4.2+9 = - 8 +8 +9 =9
7) (-12): (3)+3.5-6(8-3)
8) 15: [(-12): 4]+5
9) –3+(5-3.7)+(3)2
10) (-2)3+(5.6-8)-2
11) 2(3 $ 4) 4 # ($3 # 1) 3 # (7 # 1) 2 $ 3(5 $ 3) 3
12) 4-3(-2)3-5{(-3)2(-1)5+7.2-3(7-2)+1}
11. Solución Seguimos las reglas de las operaciones
Efectuamos los paréntesis
2(-1)4+(-2)3+82-3(2)
“
las potencias
2.1+(-8)+64-3(8)
“
los productos
2-8+64-24
por último las sumas y restas
66-32=34
B) RACIONALES: FRACCIONES Y DECIMALES
a) Calcula:
2
1) de 120
3
1
2) de 3600
5
3) La mitad de
1
4
5
Los señalados con .. vienen resueltos o indicados
1
Cuaderno de Actividades
6)
x2 ! 9
x 2 6x 9
D) Realiza las operaciones indicadas y simplifica el resultado en los casos que se pueda.
1)
10 x 3
x 1
. 2
15( x 1) x
2)
2
x
3)
3 x ! 11
x
50 x 3 y
: 10 x 2 y 2
7z
1 2x ! 3
x
x 1
Solución. Primero reducimos a común denominador y después sumamos los numeradores:
m .c. m (x, x +1) = x(x +1) =x2+ x
x 1 2 x 2 ! 3x 2 x 2 ! 2 x 1
=
x2 x
x2 x
x2 x
4)
5)
1
2x
6)
x( x ! 2)( x 2) 1
x 2 ! 4 x 2 ! 2x
:
"
"
2
x 2
x
( x 2) x 2 ( x ! 2) x
7)
2x 2
x2
:
x2 ! 4 x2 2y
8)
2x ! 3 4x ! 6
:
5 x 3x 2 2 x
Álgebra
3x ! 2 x
!
x
3
4
23
2x 2 ! 5
x2 !1
Solución:
3)
en x =1, x =2
2 .1 ! 5 ! 3
"
No existe este valor, se puede dividir por cero, no se puede
1!1
0
calcular el valor numérico en 0.
2 .4 ! 5 3
" "1
En
x =2
4 !1
3
En
4)
x=0
x 2 ! 4x 4
x2 ! 4
en x =-2, 0, 1 y 2
B) Estudia si las siguientes fracciones son equivalentes:
3
3x
y
1) 2
x !1
x !x
2)
x!2
x 2 ! 4x 4
y
x 2
x2 ! 4
Solución. Se tiene:
(x-2)(x2-4) = x3 -4x -2x2+8 = x3 -2x2 -4x +8
(x +2)(x2-4x+4) = x3 -4x2 +4x+ 2x2 -8x +8 = x3 -2x2 -4x +8
Son equivalentes.
C) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas, en los casos posibles:
1)
3x 2 x
2x
2)
3x ! 6
5 x ! 10
3)
x2 !1
x2 1
4)
x 1
x
2x 1
5)
x 2 ! 4x 4
x2 ! 4
2
Solución.
Se tiene
Álgebra
( x ! 2) 2
x 2 ! 4x 4
==
( x ! 2)( x 2)
x2 ! 4
22
4. Calcula el valor de k para que la división de P(x) entre Q(x) dé exacta:
a) P(x) = ) x3 -11x2 +k.x -24, Q(x) = (x-1)
El resto debe dar cero, aplicando el teorema del resto:
1 -11 + k -24 = 0
k = 34
b) P(x) = x4 -11x3 +33x2 –k x -54; Q(x) = (x +1)
5. Calcula el valor de k, para que el resto de la división de x4 –k x3 +33x2 –k x -54 entre x +2
nos de 25.
6. Descomponer en factores los polinomios P(x) y Q(x) y hallar su M .C .D y M . C . M
a) P(x) = x3 -1 y Q(x) = x2 -2x +1
Solución
P(x) = (x – 1) (x2 + x + 1)
Q(x) = (x -1)2
M. C. D. = x-1
M. C. M. = (x-1)2(x2 + x + 1)= x4 –x3-x+1
b) P(x) =3x3+ x2-8x+4 y Q(x) =3x3 +7x2-4
7. P(x) = x7 –x
y
Q(x) = x5 +x2
Fracciones Algebraicas
A) Hallar el valor numérico de las siguientes fracciones algebraicas en los puntos que se
indican:
2x 3
en x = 1, x =3.
1)
x
2)
x 2 ! 3x
x!2
Álgebra
en x = 2, x = 0.
21
2. Comprueba si de los valores que se dan son raíces de los siguientes polinomios:
a) x2 +1
Solución.
b) x2 -5x +6
0, -1
Para 0 el valor numérico del polinomio es 1, luego no es raíz
Para -1 “
“
2
“
0, 2 y 3
c) x2 -4
2 y .-2
d) x3 -1
-1, 0, 1 y 2
3. Calcula las raíces de los siguientes polinomios.
a) x2 -5x +6
Solución. El valor numérico del polinomio en 2 y 3 nos dio 0, luego las raíces son 2 y 3
Comprueba usando Ruffini
b) x2 -2x +1
c) (x3 -1) : (x-1)
Aplicamos Ruffini
El cociente es x2 + x + 1,
el resto 0.
La única raíz es x = 1, pues el cociente no tiene ninguna raíz
d) x3 -11x2 +34x -24
e) x4 -11x3 +33x2 -9x -54
Álgebra
20
5) (x4 -5x3 +3x2-2x+5): (x2 +x -3)
6) (x3 –x2 -16x -3): (x -3)
el cociente es x2 +2x – 10
y el resto -33
7) (2x3 +6x2 +11x+4):(x +1)
8) (3x4 +6x2 +11x+4) : (x-2)
9) (x3 + 1) : (x +1)
10) –x4 +2x3 +5x -3
Raíces de polinomios. Teorema del resto.
Factorización
1 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios en los números que se indican.
a) x2 -5x +6
en x =0, 2 y 3
b) 2x4 -6 x2 +3x-2 en x = 1 y 3
Álgebra
19
' 2( x 3) 7 x 3
!
5) 6%
2
& 3
$
4"
#
' 4( x 3) 3(7 x 3)
!
Solución: 6%
6
& 6
24 $
= 4x-12 +21x-9-24 = 25x -45
6 "#
/ x2
6) -. 3
7x 5
4x !
1, 2
* 3x
2 *+
(
4
) (2 x
3
)
7) Multiplica por 12 y simplifica el resultado
3( x ! 2) 1 2 x 5
!
4
12
6
8) Multiplica por 20 y simplifica el resultado:
( x ! 1) 2 1 x 2 4 ( x 2) 2
2
!
!
5
2
4
5
División de polinomios. Ruffini
Divide los siguientes polinomios:
1) 15 a3b2c : 6 a2c =
15 2 15 2
ab c = ab c
6
2
2) 5 x3y2z4 : 3 x2z2
3) (x4 -6x3 +5x2-4x+1): (x2 –3x +1)
Solución
x3 + 6x2 +5x +4
x2 –3x +1
-x3 +3x2 -x
x +9
/
2
9x + 4x +4
-9x2 + 27x-9
/ 31x –5
4) (x3 +6x2 +5x+4): (x2 –x +5)
Álgebra
18
d) (3x – y)2
e) (2x –3y)(2x +3y) = 4x2 –9y2
h) (x -1)3
i) (x +5)2-(x-3)2
2) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:
a) 3x4 -2x2
b) x2 –1
c) x2 +6x +9
Solución. No tiene ningún factor común , es una identidad notable: (x +3)2= x2 +6x +9
d) x2 + 4 +4x
e) 4x2-y2
f) 9 –6x +x2
g) 2x –4x2y
h) x2 +x y +x z +y z
Solución: x(x +y) +z(x +y) =(x +z) (x + y)
i) a x –ay –b x +by
3) Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos
a) x2+ 2x+.....
b) 4x2 + 8x+......
Solución:
4x2 + 8x +4 = (2x +2)2
c) 9x2 -....+ 16
Polinomios
Indica el grado de los siguientes polinomios:
2. . x2+ y2+ 2xy
1. –2x2y3
3.
3 2 4 2
x y z
4
Solución:
2+4+2 =8
4. (x +5)2-(x-3)2
5. 7x5-3x2-6x4+2+x
Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante.
1) 3(x3 –5x +7) –(2x3 +6x2 +11x+4)
2) 2x(4x2 –6x +2) +3 (5x2 –3x-4)- 14 x2
3) (x3y3 + 2) (x3y3 - 2)
4) (7x3 –5x+3) (2x2 +x-1)
Álgebra
17
Álgebra
Expresiones Algebraicas.
Traduce a lenguaje algebraico:
1. El triple de un número.
2. La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades.
3. La diferencia de los cuadrados de dos números de dos números consecutivos.
4. Cinco veces el resultado de restarle al doble de un número 5 unidades
Solución:
5(2x-5)
5. Expresa algebraicamente el área y el perímetro de un cuadrado de lado x.
x
Asocia cada una de los enunciados con la expresión algebraica que le corresponde:
1) La suma de los cuadrados de dos números
2) El espacio recorrido por un móvil es igual a su velocidad
por el tiempo que está en movimiento
x y z
0 0
2 3 5
x! y!z
3
3) El área del circulo de radio x
(x +y)2= x2+ y2+ 2xy
4) Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 5
5) El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma
de sus cuadrados más el doble de su producto
E = v .t
x2+ y2
(1)
1x2
6) Media aritmética de tres números
C) Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores que se indican:
1. (1-2x)(1+ 2x) para x = 2
x! y!z
para x =3, y =2, z =4
3
x! y ! z 3! 2! 4
Solución
=
=3
3
3
3. x2+ y2+ 2xy
para x =1, y =2
2.
D) Identidades notables.
1) Desarrolla las siguientes expresiones:
a) (2x +3)2
b) (x +2)(x –2)
c) (2x –1)(2x +1)
Álgebra
16
9. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su per-
secución a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán en alcanzarse?
10. El área de una lámina de plata es 48cm2, y su longitud es 4/3 de su anchura. Halla su longitud y su anchura.
11. Halla dos números cuya suma sea 24 y su producto 135.
12. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los
cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.
13. Dos números son tales que el mayor menos la raíz cuadrada del menor es 22 y la suma de
los números es 34. ¿Cuáles son los números.
14. Una caja mide 5cm de altura y de ancho, cinco cm. más que de largo. Su volumen es
1500cm3. Calcular la longitud y la anchura.
15. La diagonal de un rectángulo mide 26cm y el perímetro 68cm. Hallar los lados del rectángulo.
Ecuaciones
Problemas propuestos
1. Un gavilán se cruza en vuelo con lo que parece un centenar de palomas. Pero una de ellas lo
saca de su error:
- No somos cien -le dice-. Si sumamos las que somos, más tantas como las que somos, más la
mitad de las que somos, y la mitad de la mitad de las que somos, en es caso, contigo, gavilán,
seríamos cien.
¿Cuántas palomas había en la bandada?
2. El perímetro de un jardín rectangular es de 68 m. Si el lado mayor mide 10 m. más que el
lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?
3. Halla dos números positivos cuya suma es 20 y la suma de sus cuadrados 250.
4. Un ciclista sale por una carretera a 15km / h. Media hora después sale otro en su persecución
a una velocidad de 20km/h. ¿Cuánto tardarán en alcanzarse?
5. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
6. En la primera prueba de una oposición queda eliminado el 70% de los participantes. En la
segunda queda eliminado el 40% de los restantes. Si el número de personas que aprobaron los
dos exámenes fue 36 ¿cuántas personas se presentaron a la oposición?
7. Calcula tres números sabiendo que son consecutivos y que su suma es igual al cuádruple del
menor.
8. La base de un rectángulo es 10cm más larga que la altura. Su área mide 600m2. Calcular las
dimensiones del rectángulo.
Ecuaciones
9. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será
el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?
Solución
Llamamos x a la edad del hijo. La del padre será x2
Dentro de 24 años el hijo tendrá
x +24
Dentro de 24 años el padre tendrá
x2 +24
Por lo tanto
x2 +24 = 2(x +24) = 2x +48
La ecuación que resulta es de 2º grado.
x2- 2x –24=0
Por ser completa aplicamos la fórmula general:
2 " 10
!6
2
2 # 4 " 96
x!
!
2
2 10
! 4
2
Aunque da dos soluciones, sólo la primera x =6 es válida, x =-4 no nos vale pues las edades no
pueden ser negativas.
Por tanto el hijo tiene 6 años y el padre 36 años
10. Para vallar una finca rectangular de 750m2 se han utilizado 110m de cerca. Calcular las
dimensiones de la cerca.
Solución
Llamamos x a la base del rectángulo, e y la altura.
Como la superficie es el producto de la base por la altura, entonces x .y =750
El perímetro es la suma de los 4 lados:
2x +2y =110
& x. y ! 750
De la primera ecuación se tiene y =750/x
Es decir tenemos el sistema %
$2 x " 2 y ! 110
Sustituyendo en la segunda:
2.750
2x "
! 110 ' 2x2+1500 =110 x
'
2x2-110x +1500=0
x
110 " 10
! 30
2
4
110 # 110
4.2.1500 110 # 12100 12000
De donde x !
!
!
4
4
110 10 45
!
! 22,5
4
2
Nos da dos soluciones:
Si la base es x =30 ' la altura es y = 750/30 =25
Si la base es x = 22,5 ' la altura es y =750/22,5=100/3= 33,333..
Ambas válidas.
Ecuaciones
5. En una jaula hay conejos y palomas, pueden contarse 35 cabezas y 94 patas. ¿Cuántos
animales hay de cada clase?.
Solución
Llamamos x al número de conejos, y al número de palomas habrá entonces
x +y =35
Lo conejos tienen 4 patas, hay 4x patas de conejos
Las palomas 2 patas, luego tendremos 2y patas de palomas
El número de patas en total es 94
4x + 2y= 94'
& x " y ! 35
Es decir %
lo resolvemos por sustitución = y = 35 -x
$4 x " 2 y ! 94
4x +2(35 –x) = 94
4x + 70 –2x =94
2x =24 ' x =12 y =35 –12 =23
Hay 12 conejos y 23 palomas
6. Había doble de leche en un envase que en otro. Cuando se extrajeron 15 litros de leche de
ambos envases, entonces había tres veces mas leche en el primer envase que en el segundo.
¿Cuánta leche había originariamente en cada envase.
Solución.
Llamamos x al nº de litros de un envase.
En el otro envase habrá 2x litros.
Al extraer 20 litros de cada envase nos quedan
x -15
2x –15
2x –15=3(x –15) =3x – 45
x =30
En un envase había 30 litros y en el otro 60 litros
7. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y éste 3
más que el menor. Si entre todos tienen la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada
hermano ?
Solución
Llamamos x = edad del hermano menor. Entonces según las condiciones del problema:
x + 3 es la edad del hermano mediano
x +3 + 4 = x + 7 es la edad del hermano mayor
Como la suma de las edades de los hermanos es 40:
x + x +3 + x +7 = 40 ' 3x =40 –10 =30
x =10
Por lo tanto: edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.
8. ¿ A qué hora forman por primera vez un ángulo rcto las agujas de un reloj, a partir del mediodía.
Solución
Es un caso particular de problemas de móviles.
La velocidad del minutero es doce veces mayor que la del horario. Podemos pues representar
por 12 y 1 las velocidades respectivas de las dos saetas.
Si x es el nº de divisiones que ha recorrido la aguja horaria, la minutaría formará con ella ángulo
recto cuando haya recorrido x +15 divisiones
Al igualar los tiempos empleados por ambas, se obtiene:
x x " 15
!
' 12x =x +15'x =15/11= 1minuto 21segundos
1
12
Se encuentran a las 12 horas 16 minutos 21 segundos
Ecuaciones
3º Ejecutar el plan.
x = 27 + y
Entonces:
27 + y +8 = 2(y +8) de donde 35 -16 = y ' y = 19, x = 46
4º Examinar la solución obtenida .
La solución obtenida es factible por ser entera.
El método empleado se puede usar en problemas “similares”.
Problemas resueltos
1. La edad de una madre es siete veces la de su hija. La diferencia entre sus edades es de 24
años. ¿qué edad tienen?.
Solución
Llamamos x a la edad de la hija, luego 7x será la edad de la madre.
7x –x =24
6x =24
x =4
Luego edad de la hija 4 años y edad de la madre 28 años
2. Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
Solución
Llamamos x al número que buscamos, la mitad del número es x/2 y su cuarta parte x/4
x x
" "1! x
Entonces:
2 4
Multiplicamos por el m.c.m. que es 4. Nos queda:
2x +x + 4 = 4x
x =4
3. Se atribuye a Pitágoras la siguiente respuesta sobre el número de sus discípulos:
- Una mitad estudia matemáticas, una cuarta parte física, una quinta parte guarda silencio, y
además hay tres mujeres.
¿Cuántos discípulos tenía?
Solución
Llamamos x al número de sus discípulos.
Traduciendo a lenguaje algebraico las condiciones, se tiene:
x 1
x
" x " "3! x
2 4
5
Multiplicando por 20, que es el m.c.m. , quitamos todos los denominadores
10x +5x +4x +60 =20x
Es decir, x = 60 discípulos
4. Dos poblaciones A y B distan 25km. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4km/h.
Simultáneamente sale de B hacia A otro peatón a 6km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse.
Solución
A
#
B
25km
El espacio que recorre el peatón que sale de A es: E = v A t =4.t
El espacio que recorre el peatón que sale de B es: E = v B t = 6t
Cuando se encuentran habrán recorrido entre ambos los 25km
Por lo tanto:
4t +6t =25
10 t = 25 t = 2,5 horas
Tardan en encontrarse 2 horas y media
Ecuaciones
Estrategias para la resolución de Problemas.
Para resolver un problema es conveniente realizar cuatro fases2:
1ª. Comprender el problema.
Hay que leer el problema hasta familiarizarse con él y que podamos contestar, sin dudar, a las siguientes preguntas:
¿Cuáles son los datos? ¿cuál es la incógnita o incógnitas? ¿son las condiciones suficientes para determinar a las incógnitas? ¿son insuficientes?.. .
2ª Concebir un plan.
Determinar la relación entre los datos y la incógnitas.
De no encontrarse una relación inmediata puedes considerar problemas
auxiliares.
¿Conoces problemas relacionados con éste?
¿Podrías plantear el problema de forma diferente?
¿Puedes cambiar la incógnita o los datos o ambos si fuera necesario, de tal
forma que la nueva incógnita y datos estén en una relación más sencilla?...
¿Has considerado todas las nociones esenciales del problema?
.................
Obtener finalmente un plan de solución.
Para nuestro caso:
Escribir la ecuación o ecuaciones que relacionan datos e incógnitas y analizar el sistema que forman.
3ª. Ejecutar el plan.
Resuelve el sistema por los métodos estudiados.
4ª. Examinar la solución obtenida.
Comprobar si las soluciones obtenidas son válidas y proceder en consecuencia.
Ejemplo 21.. Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de
Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene cada una?
Solución. Sólo en este problema indicaremos con detalle las 4 fases
1º. Comprender el problema.
Es un problema con dos incógnitas y dos condiciones, luego suficientes para poder determinarlas.
Llamamos x a la edad de Alejandra e y a la de su hija.
Ordenamos los elementos del problema:
La madre
La hija
Hoy
x
y
dentro de 8 años
x+8
y+8
2º. Concebir un plan.
Escribimos las ecuaciones que relacionan los datos con las incógnitas:
x = 27 + y
x + 8 = 2(y +8)
Es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo resolveremos por el método de
sustitución.
2
“ Cómo plantear y resolver problemas”. G. Polya, Edit. Trillas
Ecuaciones
&2 x " 3 y ! 19
$ 5x ' 2 y ! 0
8) %
Problemas de aplicación
1) Calcula dos número cuya suma sea 8 y su producto 12.
2) La suma de dos número es 65 y su diferencia 23. Halla los números
3) La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor es 1. Halla
dichos números.
Sistemas de ecuaciones de 2º grado
Son aquellos en que al menos una de las ecuaciones es de 2º grado. Veremos con un
ejemplo como proceder para obtener las soluciones
&2 x 2 " y 2 ! 22
$ 2x ' y ! 4
Ejemplo 20. Sea el sistema %
En la 2ª ecuación despejamos la y, y la sustituimos en la 1ª
y = 2x-4
2x2+(2x –4)2=22
2x2 +4x2 –16x +16=22; 6x2-16x-6=0,
Simplificando por 2 obtenemos:3x2-8x-3=0, que es una ecuación de 2º grado completa:
x!
8 ( 64 ' ('36)
6
=
8 " 10
!3
8
8 ' 10 ' 1
!
6
3
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas:
&2 x " y ! 4
2
$x " y ! 4
1) %
& x ' y !1
2
2
$x ' y ! 9
2) %
& x 2 " y 2 ! 13
$ x" y !5
3) %
Ecuaciones
2
y!
'2
' 14
'4!
3
3
Observación. Este método es muy adecuado en todos los casos.
Nota. A veces es más cómodo usar la reducción dos veces para encontrar el valor de
la otra incógnita. (Ver ejercicio resuelto)
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas por el método que creas más adecuado:
&x " y !1
$x ' y ! 2
1) %
& 2x ' y ! 3
$3 x " 4 y ! 5
2) %
&2 x " 3 y ! '3
$ 2x ' 4 y ! 0
3) %
y!3
2y
)$ 2 " 5 ! '1
&
)
4) % x
&x " 2 y ! 5
$2 x " y ! 7
5) %
&x " 3
!5
)
6) % y
)$ x ' y ! 9
& x
y
)
7) % 2 " 4 ! 3
)$ x " 2 y ! 12
Solución
Para quitar los denominadores multiplicamos por 4 la 1ª ecuación
&2 x " y ! 12
%
$ x " 2 y ! 12
Le resolvemos por reducción doble.
& 2 x " y ! 12
%
$' 2 x ' 4 y ! '24
Sumando las dos ecuaciones obtenemos una equivalente: -3y = -12 y =4
Para encontrar el valor de x, eliminamos la y, para ello multiplicando la 1ª por -2
&' 4 x ' 2 y ! '24
sumando –3x= -12 x =4
%
$ x " 2 y ! 12
Multiplicamos la 2ª ecuación por –2
Ecuaciones
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales.
&2 x " 3 y ! 1
es un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas
$ 3x ' y ! 0
Ejemplo 16: %
Resolver un sistema es encontrar la solución (o soluciones) común a todas ellas, o concluir que
el sistema no tiene solución.
Hay tres métodos para resolverlos:
!Sustitución
&2 x " 3 y ! 1
Ejemplo 17. %
$ 3x ' y ! 0
En la 2ª ecuación despejamos la y y la sustituimos en 1ª ecuación
y =3x;
2x +3(3x) =1 11x =1
x =1/11
Una vez encontrado el valor de una de las incógnitas se sustituye (y =3x) para encontrar el
valor de la otra incógnita:
y =3/11
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de, al menos, una de las
incógnitas es 1.
!Igualación
&2 x " 3 y ! 1
Ejemplo 18. %
$ 3x ' y ! 0
Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones y !
Igualando
1 ' 2x
! 3x
3
1-2x =9x
1= 11x
1 ' 2x
; y =3x.
3
x =1/11
Ahora para obtener el valor de la y se procede como en el caso anterior, es decir se sustituye
el valor hallado en la ecuación que más convenga ( en este caso en y =3x). y =3/11
Observación. Este método es muy adecuado cuando el coeficiente de una de las incógnitas
es igual en las dos ecuaciones.
!Reducción
& 2x " 3y ! 1
Ejemplo 19. %
$3 x ' 2 y ! 0
Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y la 2ª por 3. (De esta forma el coeficiente de y en las
dos ecuaciones es el mismo, el m.c.m.
Resulta:
& 2x " 3y ! 1
%
$3 x ' 2 y ! 0
Sumando obtenemos
13 x =2
&4 x " 6 y ! 2
%
$9 x ' 6 y ! 0
x!
2
13
Sustituyendo el valor encontrado de x en la segunda ecuación:
2
3 ' 2y ! 0
y =3/13
13
Ecuaciones
"!Ecuaciones bicuadradas
Ejemplo 15. La ecuación x4 – 5x2 +6=0 es bicuadrada (es de 4º grado sin potencias impares).
Para resolverla se procede así:
Se hace un cambio de incógnita
x2= y
con lo cual
x4 = y2
2
Sustituyendo en la ecuación:
y -5y+6=0 que sí es de 2º grado y podemos aplicar la
fórmula:
" 5 ( 25 ' 24
y!
2
5 "1
!3
2
5 '1
!2
2
Sustituyendo los valores en la expresión x2= y , x = (
x!( 3
y obtenemos:
y x!( 2
En este caso la ecuación tiene 4 soluciones.
Ejercicios
Resuelve:
1) x4 –3x2+2
2) x4-13x2+36
3) x4-1
4) x4+ 4x2 =0
Solución.
Como es incompleta, .al igual que en las de segundo grado, sacamos factor común
x!0
x2(x2 +4) =0
que tiene sólo la solución (doble) x =0
x "4!0
2
4
2
5) x -9x =0
6) 3x4 –5x2+2=0
7) x4+ x2+1=0
8) x 2 "
6
!5
x2
Ecuaciones
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:
1)
x"2 !3
2)
x " 4 ' 2 ! '2 x
3) x ' 2 x ' 3 ! 1
4)
3x ' 5 " 2 ! x ' 1
5) x ' 25 ' x 2 ! 1
6) x " 4 " 2 x ' 1 ! 6
Solución.
Aislamos una de las raíces:
Elevamos al cuadrado
x " 4 ! 6 ' 2x '1
*
( x " 4 ) 2 ! 6 ' 2x ' 1
+
2
x " 4 ! 36 ' 12 2 x ' 1 " 2 x ' 1
Volvemos a aislar la raíz que nos queda
12 2 x ' 1 ! x " 31
Elevamos al cuadrado
144(2x-1)=x2 +62x+961
288x -144 = x2 +62x +961
Es decir:
x2 –226x +1105 =0
x!
350 ( 226 2 ' 4.1105
!
2
226 " 51076 ' 4420 226 " 216
!
! 221
2
2
226 ' 51076 ' 4420 226 ' 216
!
!5
2
2
Comprobamos las soluciones:
x =221 no es solución pues
221 " 4 , 6 ' 442 ' 1
x =5
sí es solución
5 " 4 ! 6 ' 2.5 ' 1
3=3
7)
7 x " 1 ' 1 ! 3 x " 10
Ecuaciones
15 , 6 ' 21
Aplicaciones de las ecuaciones de 2º grado
"!Descomposición en factores del trinomio de 2º grado.
Ejemplo 13.La ecuación x2 –5x +6= 0 tiene dos raíces r1=3 y r2= 2 (comprobarlo).
Entonces se puede descomponer en producto de (x-3) por (x-2). Es decir:
x2 –5x +6 = (x-3)(x-2).
Ejercicios
Determina los factores de los siguientes trinomios de 2º grado
1) x2-16
2) x2-13x+36
3) 4-x2
4) 2x2+17+21
5) 2x2-5x+7
6) 3x2- 0,75
7) –x2 +5x-6
4) Solución
' 17 ( 17 2 ' 4.2.21 ' 17 ( 289 ' 168 ' 17 ( 11
x!
!
!
=
2.2
4
4
'1
'7
2
Luego 2x +17+21= 2(x +1)(x +7)
"!Resolución de ecuaciones irracionales.
Ejemplo 14. x " 2 x ' 1 ' 4 ! 0
Se procede de la forma siguiente:
1) Se aísla la raíz:
2 x '1 ! 4 ' x
2) Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad:
4(x-1)=(4-x)2 4x-4 = 16-8x +x2
3) Se resuelve a ecuación de 2º grado que resulta
x2-12x +20 =0
x =10 y x =2 (comprobarlo)
4) Se comprueban las soluciones
Si x =10
10 " 2 10 ' 1 ' 4 ! 0 16 - 4= 0 Falso, no es solución
Si x =2
2 " 2 2 '1 ' 4 ! 0
Ecuaciones
4 - 4=0 Cierto, si es solución.
5
5) 3 x2- =0
2
2
6) –x + 4 =0
3x2 =
5
2
x2=
5
6
x =(
5
6
8) 4x2 –4x +1 =0
9) –x2 +6x-5=0
10) –6x2 +5x-1=0
11) (5x-4)(2x+3) =5
12) 30 + 9x – 3x2 =0
13)
2' x
4
"
!1
2
2" x
Solución.
Multiplicamos por el M.C.M de los denominadores, que es 2(2 +x):
(2 +x)(2-x) +4.2 =2(2 +x)
4 –x2 +8 =4 + 2x,
agrupando términos y organizando la ecuación
'2"6
!2
' 2 ( 4 ' ( '32)
2
2
x!
!
0 = x +2x –8
'2'6
2
! '4
2
14)
x(2 ' x) ( x ' 1)(3 ' 2)
"
!1
3
2
15)
( x " 1) 2 x " 1
'
!9
2
4
16)
x ' 2 x " 2 40
'
!
'4
x " 2 2 ' x x2
Ecuaciones
5)
3x 1 x ' 2
' !
4 2
6
7)
1 ' 2x
3x ' 2 2 ' x
'
! 3"
2
3
5
8)
x '1
x " 7 4x " 7
" 3x '
!
" 11
4
6
9
9)
(2 x ' 4) 2
x( x " 1)
! 5"
8
2
Solución.
Multiplicamos los dos miembros por 8 (es el m.c.m. de los denominadores)
(2x-4)2 = 40 +4x(x +1)
2
4x –16x +16 = 40 + 4x2 +4x
4x2 –16x +16 =40 +4x2 +4x
Reduciendo términos semejantes:
16x-4x= 40- 16 -20x =24
10) ( x " 1) 2 ' ( x " 2)( x ' 3) "
x!
24
'6
= -1,2
!
5
' 20
5
9
25
x' x !
4
2
4
Ecuaciones de segundo grado
Resuelve las siguiente ecuaciones indicando si son completas o no:
1) 3x2+ 2x=0
2) 5x2-3=0
3) x2-4x+2=0
4) 2x2+ x-1=0
Ecuaciones
Ejemplo 11. 3x2+1 =0
x!(
'1
(no tiene ninguna solución)
3
Resolución “práctica” de una ecuación
Lo estudiamos con un ejemplo
Ejemplo 12.
2x ' 3
2
'
5x ' 1
3
!1
Para resolver la ecuación seguiremos el siguiente orden.
1º Quitar denominadores
Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores,
se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores.
Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por 6, que es el m.c.m. de los denominadores.
Nos queda
3(2x-3) -2(5x-1) =6
2º Quitar paréntesis
Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva.
Quitando paréntesis
6x-9 –10x+2=6
3º Trasposición de términos
Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro.
Trasponiendo términos
6x –10x = 9 - 2 + 6
4º Reducción de términos semejantes
De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término:
-4x = 13
5º. Despejar la incógnita
Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a , 0)
x!
13
'4
!
' 13
4
Observación. Dependiendo de la ecuación a resolver puede ocurrir que alguno de los pasos sea innecesario, se omite y se pasa al siguiente.
Ecuaciones de primer grado
Resuelve
1) 2 x " 3 ! 4 " 3 x
2)
3
x'5 ! 0
2
3)
x ' 3 5x " 1
'
!1' x
5
3
4)
2x " 1 4 ' x
!
'2
3
6
Ecuaciones
Ejemplo 6: La ecuación 5x - 1 = 2x -3 se puede escribir 3x + 2 = 0, trasponiendo términos.
Nota : El segundo miembro de la ecuación se puede considerar siempre que es 0.
Ecuaciones de primer grado
La forma general de esta ecuación es a x +b =0 con a , 0
'b
.
Trasponiendo y dividiendo por a se llega a x !
a
Solución que siempre existe y es única.
Ejemplo 7. a) 3x +2 =0
x!
'2
3
b) 7x + 2 = 2x -3 , si trasponemos términos, nos queda 7x –2x = -2 –3
Luego 5x = -5
de donde x = -1
Ecuaciones de segundo grado
La forma general de una ecuación de 2º grado es: ax 2 " bx " c ! 0 , donde a , 0
La solución de esta ecuación general viene dada por la fórmula:
x!
' b ( b 2 ' 4ac
2a
Ejemplo 8. x ' 5 x " 6 ! 0
2
5 " 25 ' 24
!3
' ('5) ( ('5) 2 ' 4.1.6
2
x!
=
2.1
5 ' 25 ' 24
!2
2
Observación. A D = b 2 ' 4ac se llama discriminante de la ecuación de 2º y se verifica:
Si D>0 la ecuación tiene dos soluciones conjugadas
Si D =0 la ecuación tiene una única solución (doble)
Si D <0 la ecuación no tiene ninguna solución real.
Ecuaciones incompletas
! Si c =0 la ecuación se reduce a ax 2 # bx " 0 y sacando factor común x se tiene:
x"0
'$
(b
x(ax +b) =0 &
ax # b " 0 ) x "
$%
a
Este tipo de ecuación siempre tiene dos soluciones.
x"0
Ejemplo 9. 3x2-5x=0
x(3x-5)=0
3x ( 5 " 0 ) x "
5
3
! Si b =0 la ecuación queda ax 2 # c " 0 de donde x " *
(c
a
Puede tener dos soluciones opuestas o ninguna solución, dependiendo de que
El radicando sea o no positivo.
Ejemplo 10. 2 x2-
Ecuaciones
5
5
=0; 2 x2= )
3
3
x"*
5
6
(dos soluciones)
3ª Parte: Ecuaciones y Sistemas
Igualdades, identidades, ecuaciones
Una igualdad, (=), es una relación de equivalencia1 entre dos expresiones, numéricas o
literales, que se cumple para algún, alguno o todos los valores. Cada una de las expresiones recibe el nombre de miembro.
IGUALDAD
una expresión = otra expresión
primer miembro
segundo miembro
Si la igualdad se cumple entre números se denomina identidad numérica.
Ejemplo 1: 2 +4 +5 = 1 +10
Una identidad literal es una igualdad que se cumple para todos los valores.
Ejemplo 2: Las Identidades Notables
Cuadrado de una suma
(a # b) 2 " a 2 # 2ab # b 2
Cuadrado de una diferencia
(a ( b) 2 " a 2 ( 2ab # b 2
Diferencia de cuadrados
+a # b,+a ( b, " a 2 ( b 2
Cuando la igualdad se convierte en identidad numérica sólo para determinados valores
se la llama ecuación. A las letras se les llama indeterminadas o incógnitas.
Ejemplo 3: a) 3x+2 =0 es una ecuación con una incógnita.; b)3x +2y =1 es una ecuación con dos incógnitas.
Al valor, o valores, que convierten la ecuación en identidad numérica se les llama solución (o raíz) de la misma.
Ejemplo 4. Una solución de la ecuación del ejemplo 3 es x =-2/3 .
Ejercicio 1. Encuentra 2 soluciones de la ecuación 3x-2y-1=0
Resolver una ecuación en encontrar todas su soluciones o llegar a la conclusión de que
no tiene ninguna.
Ejemplo 5. a) x2-1=0 tiene dos soluciones, x =1 y x =-1
b) x2 + 1=0 es una ecuación sin soluciones en R.
c) 2x +3y = 0 tiene infinitas soluciones, (0,0), (-3,2), (3, -2)....
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten la mismas soluciones. Se cumple:
!Si se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente a la primera.
!Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo
número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente a la primera.
Trasposición de términos. Aplicando las reglas anteriores deducimos dos reglas
prácticas:
"!Si un número aparece en un miembro sumando, se le puede pasar al otro
miembro restando. Si esta restando pasará sumando.
"!De igual manera si está multiplicando pasa dividiendo y al revés.
Esto se llama trasponer términos.
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Reflexiva, simétrica y transitiva.
Ecuaciones

Cuaderno de Actividades 4º ESO

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