1 Se - Departamento de Matemáticas
Transcripción
1 Se - Departamento de Matemáticas
Universidad de los Andes Departamento de Matemáticas MATE1207 Cálculo Vectorial Solución Primer Parcial — (22/08/2006) 1 Sección Magistral (Profesor: José Ricardo ARTEAGA B.) Prob. Valor 1 10 2 20 3 10 4 10 Total 50 Puntos Nombre: Código: Secciones: (6) L.E.Ramirez (7) M.A.Velasquez (8) L.E.Ramirez (9) M.A.Velasquez Sección: 1. Conteste Falso (F) o Verdadero (V) según el caso. No es necesario justificar. a) La longitud de la suma de dos vectores es siempre igual a la suma de las longitudes de los dos F vectores. √ − → − → − → − → − → − → Just. Sea u = bi y v = bj ⇒ | u + v | = 2, pero | u | = 1, | v | = 1. F → → → → b) Si − u ×− v = h0, 0, 0i, entonces − u =− v − → − → Just. Sea u = −2bi y v = bi c) El conjunto de puntos en el espacio los cuales tienen distancia igual a 1 respecto a una recta V fija forman un cilindro. Just. Es la propiedad geométrica de un cilindro circular. b es unitario. d ) El vector bi × (bj × k) b b = bi} entonces bi × (bj × k) b = bi × bi = 0 b Just. Como {j × k F e) La superficie dada en coordenadas esféricas por θ = π/4 es un medio cono. Just. En coordenadas esféricas θ = const. es un semiplano. F 2. Justifique en hoja separada. A continuación se describen dos superficies según ciertas propiedades que satisfacen. Usted debe encontrar sus ecuaciones y dar el nombre de cada una. Las respuestas escrı́balas en los espacios en blanco de la tabla. a) Propiedad Superficie 1: La distancia desde cualquier punto M (x, y, z) de la superficie al punto P (−1, 0, 0) es la misma que la distancia desde M hasta el plano x = 1. b) Propiedad Superficie 2: Propiedad. La distancia desde cualquier punto M (x, y, z) de la superficie al punto P (1, 1, 1) es la misma que la distancia desde M hasta el punto Q(−1, −1, −1). Propiedad Superficie 1 Superficie 2 Ecuación x = (−1/4)(y 2 + z 2 ) x+y+z =0 Nombre Paraboloide Plano Solución. a) p (x + 1)2 + y 2 + z 2 = p (x − 1)2 ⇒ x = (−1/4)(y 2 + z 2 ) b) p p (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 ⇒ x + y + z = 0 1 El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad” 3. Justifique en hoja separada. Coloque su respuesta en la casilla en blanco. a) La ecuación del plano que pasa por los puntos P1 (−1, 0, 0), P2 (0, −1, 0) y P3 (0, 0, −1) es: x+y+z+1=0 b) La ecuación paramétrica de la recta que es la intersección de los planos x + y + z = 1 y x + 2y + 3z = 1 es: x=1+t y = −2t z=t Solución. a) −−−→ − → u = P1 P2 = h1, −1, 0i −−−→ − → → v = P1 P3 = h1, 0, −1i ⇒ − n = h1, 1, 1i ⇒ x + y + z + 1 = 0 b) − → n 1 = h1, 1, 1i − → n 2 = h1, 2, 3i − → → → v =− n1 ×− n 2 = h1, −2, 1i Para hallar un punto: Sea z = 0 ⇒ y = 0, x = 1 por lo tanto x = 1 + t y = −2t z=t 4. Justifique en hoja separada. Llene la casilla correspondiente con la ecuación en coordenadas cilı́ndricas y en coordenadas esféricas de las superficies dadas en coordenadas cartesianas: (Despeje r, ρ, simplifique y no deje denominadores.) Coordenadas cartesianas x=3 z = x2 − y 2 Coordenadas cilı́ndricas r = 3 sec θ z = r(cos θ − sin θ) Coordenadas esféricas ρ = 3 csc φ sec θ ρ = cos φ csc2 φ sec 2θ Solución. a) 3 = r cos θ ⇒ r = 3 sec θ 3 = ρ sin φ cos θ ⇒ ρ = 3 csc φ sec θ b) z = r(cos θ − sin θ) ρ cos φ = ρ2 sin2 φ cos2 θ−ρ2 sin2 φ sin2 θ ⇒ cos φ = ρ sin2 φ(cos2 θ−sin2 θ) ⇒ ρ = cos φ csc2 φ sec 2θ Tiempo: 50 minutos Buena Suerte!