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PROFESOR: LUIS ENRIQUE NIETO BARAJAS
ESTADISTICA MATEMATICA
Tarea 1


1. Sea X1,X2,...,Xn una m.a. de la densidad N 0,  2 .
a) Encuentra una estadística suficiente para 2.
n
b) ¿Será TX    X i una estadística suficiente para 2?.
i 1
c) Si n 1, ¿Será T X   X una estadística suficiente para 2?.
2. Sean X1,X2,...,Xn v.a.i. con función de densidad
f x i   e i  x i I i,  ( x i ) .
X 
Prueba que TX   min i  es una estadística suficiente para .
i
 i 
3. Sean X1,X2,...,Xn v.a.i. con función de densidad
1
f x i  
I i ( 1),i ( 1)  ( x i ) ,  > 0.
2i
Encuentra una estadística suficiente bidimensional para .
4. Sea f x , y 1 ,  2 ,  3 ,  4  una función de densidad bivariada de una distribución
uniforme en el rectángulo formado por la esquina inferior izquierda 1 ,  2  y por la
esquina superior derecha  3 ,  4  en  2 . Los parámetros satisfacen 1   3 y  2   4 .
Sean X 1 , Y1 ,  , X n , Yn  una muestra aleatoria de esta densidad. Encuentra una
estadística suficiente para 1 ,  2 ,  3 ,  4  .
5. Sean X1,X2,...,Xn v.a.i.i.d. con función de densidad
f x   I ,1 ( x ) ,   0.
a) Encuentra una estadística suficiente para .
b) Demuestra que T1 X   X (1) , X ( n )  es una estadística suficiente para .
c) Demuestra que T2 X   X ( n )  X (1) , X (1)  X ( n )  / 2  es también una estadística
suficiente para .
d) Demuestra que T1 X  no es una estadística completa.
e) Una estadística ancilaria es aquella cuya distribución no depende del parámetro.
Pruebe que el rango R  X ( n )  X (1) es una estadística ancilaria. Sugerencia:
Encuentra la distribución conjunta de X (1) , X ( n )  y realiza la transformación
R  X ( n )  X (1) , M  X (1)  X ( n )  / 2 .
TAREA 1 - ESTADÍSTICA MATEMÁTICA
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6. Para cada una de las siguientes distribuciones, sean X1,X2,...,Xn una m.a. Encuentra las
estadísticas suficientes y determina si las estadísticas suficientes son completas.
1 x
a) f x    x 1   I 0,1 x  , (0,1) (Bernoulli)
 m
mx
b) f x     x 1   I 0,1,,m x  ,  (0,1) (Binomial)
x
x
 
c) f x    e
I 0,1, x  , 0 (Poisson)
x!
x
d) f x   1   I 0,1, ( x ) , (0,1) (Geométrica)
e) f x  
1
I 1, 2,, ( x ) , 1,2, (Uniforme discreta)

f) f x ,   1    x   I  , 1, ( x ) , (0,1), 
g) f x  
1
I , 2   ( x ) , 0 (Uniforme)

h) f x   e  x I ( 0, ) x  ,  0 (Exponencial)
i)
j)


f x ,  
2

1
e
1
22
 x  2
I (  , ) x  , , 2 0 (Normal)
2
1
b 1
f x a , b  
x a 1 1  x  I 0,1 ( x ) , a0, b0 (Beta)
Ba , b 
2
   1 x
x e I 0,  ( x ) , 0, 0 (Gamma)
 
f x    e  ( x  ) I [  , ) x  ,  (Exponencial trasladada)
k) f x ,  
l)
m) f x   
n)
o)
p)
q)
1  x 
e
I (  , ) x  ,  (Doble exponencial)
2
e   x  
x  ,  (Logística)
f x  
I
1  e x   2 (,)
1
f x  
I (  , ) x  ,  (Cauchy)
2
 1  x   
 
f x ,    1 I  ,  ( x ) , 0, 0 (Pareto)
x
a
f x a , b   abx a 1e  bx I 0,  ( x ) , a0, b0 (Weibull)


r) f x a , b   abe ax exp be ax  1I 0,  ( x ) , a0, b0 (Gompertz)

I ,  ( x ) , 0
x2
2
t) f x   2   x I 0,  ( x ) , 0

u) f x   e   x   exp e   x   I  ,  ( x ) , 
s) f x  
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