EJERCICIOS DE PRIMITIVAS Ingeniería Técnica de Obras Públicas

EJERCICIOS DE PRIMITIVAS Ingeniería Técnica de Obras Públicas

EJERCICIOS DE PRIMITIVAS
Ingeniería Técnica de Obras Públicas (E.T.S.E.C.C.P.B.)
Calcular una primitiva de las siguientes funciones:
Ejercicio 281
Z
1
(3x + 1) dx =
3
Z
2
(i)
Z
(ii)
sin x cos xdx =
1 (3x + 1)(2+1)
(3x + 1)3
+C =
+C
3
2+1
9
3(3x + 1)2 dx =
sin2 x
+C
2
Z
u0 (x)up (x) dx =
En los dos apartados anteriores hemos empleado la regla
con u(x) = (3x + 1) y u(x) = sin x
Z
(iii)
√
e x
√ dx = 2
x
Z
√
√
e x
√ dx = 2e x + C
2 x
Z
u0 (x)eu(x) dx = eu(x) + C con u(x) =
Hemos empleado la regla
Z
(iv)
u(x)p+1
+C
p+1
ex
√
dx = −
1 − ex
Z
x
1
x − 12
x
−e (1 − e )
√
(1 − ex )(1− 2 )
dx = −
+ C = −2 1 − ex + C
1
1− 2
Z
Hemos empleado la regla
√
u0 (x)up (x) dx =
u(x)p+1
+ C con u(x) = 1 − ex
p+1
Ejercicio282
Z

ln xdx = 
(i)
u = ln x
du =
dv = 1dx v = x

1
Z
dx
 = x ln x − x 1 dx = x ln x − x + C
x
x

Z
(ii)
u = arcsin x

1
dx

1 − x2


√
2
v =− 1−x
du = √

x arcsin x
√
dx = 

xdx
1 − x2
dv = √
1 − x2
Z √
√
√
1
dx = − 1 − x2 arcsin x + x + C
= − 1 − x2 arcsin x − − 1 − x2 √
1 − x2
"
Z
u = cos x du = − sin xdx
x
(iii)
e cos xdx =
x
"
=
#
= e cos x +
x
dv = e dx v = e
#
u = sin x du = cos xdx
x
x
dv = e dx v = e
Z
ex cos xdx =
Reagrupando términos tenemos:
Z
x
ex sin xdx
Z
x
x
ex cos x
= e cos x + e sin x −
ex cos x + ex sin x
2
Ejercicio 284
Z
Z
1 − cos(2x)
1
dx =
2
2
2
(i)
sin (x)dx =
Z
Z
(ii)
tan xdx =
sin(2x)
x−
2
¶
+C
sin x
dx = − ln | cos x| + C
cos x
Z
sin x cos3 xdx = −
(iii)
µ
cos4 x
+C
4
Ejercicio 285
Z
√
(i)
x 9−
x2 dx
1
=−
2
Z
(9 − x2 ) 2
1p
=−
+C =−
(9 − x2 )3 + C
3
3
3
√
x2 dx
−2x 9 −
Ejercicio 286
"
Z
x
(i)
x
e cos(e )dx =
Z
(ii)
"
√
e
x
dx =
#
v = ex
Z
dv = e dx
#
x = t2
"
Z
=2
t
dx = 2t dt
√
√ √
2te − 2e + C = 2 xe x − 2e x + C
t
te dt =
u=t
du = dt
t
t
dv = e dt v = e
#
Z
t
= 2te −2
et dt =
t
Z √
(iii)
x + ln x
dx =
x
Z √
x
dx+
x

Z
(iv)
cos vdv = sin v + C = sin(ex ) + C
=
x
x
p
dx
1 − ln2 x

=
Z
v = ln x
dv =
1
dx
x
ln x
dx =
x


=
Z
√
Z
1
√ dx+
x
Z
√
ln2 x
ln x
dx = 2 x+
+C
x
2
dv
= arcsin v + C = arcsin(ln x) + C
1 − v2
En este ejercicio hemos empleado la técnica del cambio de variable para llegar a una
integral inmediata, y la integración por partes al igual que en apartados anteriores.
Otros ejercicios resueltos:
Z
Z
3
(i)
3x dx = 3
x3 dx = 3
x4
+C
4
Z
xp dx =
Hemos empleado la regla
Z
1
cos(2x) dx =
2
(ii)
xp+1
+ C.
p+1
Z
2 cos(2x) dx =
Z
sen(2x)
+C
2
u0 (x) cos(u(x)) dx = sen(u(x)) + C , con u(x) = 2x.
Hemos empleado la regla
Z
2x cos(x2 ) dx = sen(x2 ) + C
(iii)
Z
u0 (x) cos(u(x)) dx = sen(u(x)) + C , con u(x) = x2 .
Hemos empleado la regla
Z
(iv)
ln(3x − 2)
1
dx =
3x − 2
3
Z
3
ln(3x − 2)
1 (ln(3x − 2))2
dx =
+C
3x − 2
3
2
Z
u2 (x)
Hemos empleado la regla u (x)u(x) dx =
+ C , con u(x) = ln(3x − 2) y hemos
2
3
tenido en cuenta que u0 (x) =
por lo que es necesario dividir y multiplicar por 3.
3x − 2
Z
1
(v)
dx = arctan(x) + C.
1 + x2
0
2
Es un integral inmediata.
√
Z
Z
√
1
1
3
1
√
√
√
(vi)
dx
=
3x) + C.
dx
=
arctan(
1 + 3x2
3
1 + ( 3x)2
3
Z
√
u0 (x)
Hemos empleado la regla
dx
=
arctan(u(x))
+
C,
con
u(x)
=
3x.
1 + u(x)2
Z
Z
Z
1
³x´
3
1
1
1
3
³
´
³
´
(vii)
dx
=
dx
=
dx
=
arctan
+ C.
¡ ¢2
¡ ¢2
9 + x2
9
3
3
9 1 + x3
1 + x3
Z
Hemos empleado la regla
Z
(viii)
1
(4x − 2) dx =
4
Z
3
x
u0 (x)
dx = arctan(u(x)) + C, con u(x) = .
2
1 + u(x)
3
1 (4x − 2)4
4(4x − 2) dx =
+ C.
4
4
3
Z
Hemos empleado la regla
u0 (x)up (x) dx =
u(x)p+1
+ C con u(x) = (4x − 2).
p+1