Lección: Dominios no acotados (Fórmula de D`Alambert

Lección: Dominios no acotados (Fórmula de D`Alambert

Fórmula de D’Alambert.
En esta lección se estudian diferentes problemas
asociados a la ecuación de ondas, comenzando por
el llamado problema de Cauchy. En dimensión uno
este problema se escribe como
Lección
2
∂2u
2∂ u
=
c
,
∂t2
∂x2
MIGUEL ANGEL UH ZAPATA
CIMAT, Unidad Mérida
x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = f (x),
x ∈ R,
∂u
(x, 0) = g(x), x ∈ R.
∂t
Observemos que para el tiempo inicial t = 0 se dan
dos datos: la solución u y el valor de la derivada ut .
ECUACIONES DIFERENCIALES II
Facultad de Matemáticas, UADY
Octubre 2015
El próximo resultado se refiere a la existencia y unicidad de soluciones del problema anterior y es conocida comola fórmula de D’Alembert.
1
TEOREMA
Si f ∈ C 2 (R) y g ∈ C 1 (R), el problema de onda unidimensional
∂2u
∂2u
= c2 2 ,
2
∂t
∂x
x ∈ R, t > 0,
(1)
x ∈ R,
(2)
u(x, 0) = f (x),
∂u
(x, 0) = g(x),
∂t
x ∈ R,
(3)
tiene una única solución dada por
u(x, t) =
1
1
[f (x + ct) + f (x − ct)] +
2
2c
Z
x+ct
g(s)ds.
(4)
x−ct
Cambio de variables:
En la demostración se usa en primer lugar el y consecuentemente para la segunda derivada
cambio de variables
utt = (ut )t = (cuξ − cuη )t
ξ = x + ct,
= c(cu − cu ) − c(cu − cu )
ξξ
η = x − ct
que transforma la ecuación utt − c2 uxx = 0 en
uξη = 0.
Para demostrar esto supongamos que
uxx
ξη
ηξ
=
c2 (uξξ − 2uξη + uηη )
=
(ux )x = (uξ + uη )x
=
(uξξ + uξη ) + (uηξ + uηη )
=
uξξ − 2uξη + uηη .
ηη
Sustituyendo en la ecuación (1) obtenemos que
u(x, t) = u(ξ, η) = u(ξ(x, t), η(x, t))
y aplicando la regla de la cadena tenemos que
c2 (uξξ − 2uξη + uηη ) = c2 (uξξ − 2uξη + uηη )
del cual es fácil ver que
ut = uξ ξt + uη ηt = cuξ − cuη
ux = uξ ξx + uη ηx = uξ + uη
uξη = 0.
Solución de la nueva ecuación:
A diferencia de la EDP en x y y, la nueva ecuación puede ser resuelta de manera muy sencilla.
De hecho simplemente integrando dos veces obtenemos la solución:
∂ ∂u
∂u
uξη =
= 0 =⇒
= Ḡ(η)
∂ξ ∂η
∂η
finalmente tenemos que
u(ξ, η) = H(ξ) + G(η).
Sustituyendo ξ y eta y recalcando que u(x, t) =
u(ξ, η), de aquı́ se deduce que la solución de (1)
debe ser de la forma
u(x, t) = H(x + ct) + G(x − ct)
donde Ḡ es una función arbitraria de η, y ası́
Z
donde H ∈ C 2 (R, R) y G = C 2 (R, R) son
∂u
= Ḡ(η) =⇒ u(ξ, η) = Ḡ(η)dη+H(ξ) llamadas las funciones de onda hacia adelante
∂η
y onda hacia atrás, respectivamente.
pero como la integral de una función arbitraria
es una función arbitraria (que llamaremos G),
2
Formas de las ecuaciones de onda:
La forma que tienen las funciones de onda ha- implica que
cia delante y onda hacia atrás están dadas imZ
poniendo las condiciones dadas en el tiempo 1 x
g(s)ds = H(x) − G(x) − [H(0) − G(0)]
inicial.
c 0
De la primera condición inicial tenemos que por o equivalentemente
un lado
Z
1 x
u(x, 0) = f (x)
g(s)ds+[H(0)−G(0)].
H(x)−G(x) =
c 0
y por otro
Finalmente llegamos a un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas. Si los sumamos obtenemos H(x) y si los restamos obtenemos G(x).
Ası́ se llega fácilmente a la conclusión de que
u(x, 0) = H(x) + G(x)
entonces
H(x) + G(x) = f (x).
De la segunda condición inicial tenemos que
g(x)
= ut (x, 0) = [ut ]t=0
=
Z
1
1
f (x) −
2
2c
Z
[Hξ (ξ) · ξt + Gη (η) · ηt ]t=0
G(x) =
= Hx (x) · c + Gx (x) · (−c)
=
1
1
H(x) = f (x) +
2
2c
(cH(x) − cG(x))x .
Ahora es necesario recordar uno de los teoremas
fundamentales del cálculo que establece
Z x
dφ
ds = φ(x) − φ(0)
0 ds
Ası́ la ecuación
1
g(x) = (H(x) − G(x))x
c
x
g(s)ds + k1 ,
0
x
g(s)ds + k2 ,
0
donde k1 . k2
k1 =
1
[H(0) − G(0)]
2
1
k2 = − [H(0) − G(0)]
2
son constantes que satisfacen k1 + k2 = 0.
Solución final:
Ahora únicamente nos queda sustituir las ecuaciones anteriores. Ası́
Z x+ct
Z x−ct
1
1
1
u(x, t) = [f (x + ct) + f (x − ct)] +
g(s)ds −
g(s)ds + (k1 + k2 ),
2
2c 0
2c 0
Finalmente aplicando propiedades de la integral definida obtemos la solución buscada.
u(x, t) =
1
1
[f (x + ct) + f (x − ct)] +
2
2c
3
Z
x+ct
g(s)ds
x−ct