Cap´ıtulo 6

Capı́tulo 6
6.1.
Las funciones de Airy
Vamos a ver otro ejemplo menos sencillo. Sea la ecuación de Airy: y !! − !
xy = 0. Ton
dos los puntos son ordinarios. Tomando x0 = 0 probamos la solución y(x) = ∞
n=0 an x .
6.1.1.
Usando xy =
2a2 +
!∞
n=0
∞
"
n=1
an xn+1 =
!∞
n=1
an−1 xn , llegamos a:
[(n + 2)(n + 1)an+2 − an−1 ] xn = 0
Lo que implica:
a2 = 0
an−1
an+2 =
,
(n + 2)(n + 1)
n = 1, 2, 3 . . .
De aquı́ se obtienen todos los coeficientes an con la excepción de a0 y a1 :
6.1.2.
a2 = a5 = a8 = a11 = · · · = 0
(3k − 2)(3k − 5) . . . 1
a0 ,
(3k)!
(3k − 1)(3k − 4) . . . 2
=
a1 ,
(3k + 1)!
a3k =
a3k+1
k = 1, 2, 3 . . .
k = 1, 2, 3 . . . .
De manera que la solución se escribe:
#
$
#
$
∞
∞
"
"
(3k − 2)(3k − 5) · · · 1 3k
(3k − 1)(3k − 4) · · · 2 3k+1
x +a1 x +
x
y(x) = a0 1 +
(3k)!
(3k + 1)!
k=1
k=1
42
Y lo importante es darse cuenta de que ya hemos terminado. La expresión anterior es
la solución de la ecuación de Airy. Podemos escribirla en términos más familiares si
ponemos y(x) = a0 y1 (x) + a1 y2 (x) siendo a0 y a1 las constantes de integración y hemos
definido:
y1 (x) = 1 +
∞
"
(3k − 2)(3k − 5) · · · 1
k=1
y2 (x) = x +
(3k)!
x3k ,
∞
"
(3k − 1)(3k − 4) · · · 2
k=1
(3k + 1)!
x3k+1 ,
De estas definiciones en serie,
6.1.3.
que tienen un radio de convergencia infinito,
se deducen todas las propiedades de estas funciones. Por razones que no vienen al caso,
estas dos funciones no tienen nombre propio, pero sı́ las tienen dos funciones que se
deducen de ellas mediante combinaciones lineales. Concretamente, se definen las dos
funciones de Airy, Ai(x) y Bi(x) como1 :
Ai(x) = 0,35502805388781733 · · · y1 (x) − 0,2588194037928068 · · · y2 (x),
Bi(x) = 0,6149266274460007 · · · y1 (x) + 0,4482883573538264 · · · y2 (x),
6.1.4.
c2 Bi(x).
La solución general de la ecuación y !! − xy = 0 es y(x) = c1 Ai(x) +
No estudiaremos en detalle las funciones de Airy, porque preferimos detenernos
en otras funciones que nos aparecerán más adelante y que son de interés más general. De todas maneras, es conveniente tener una intuición de qué aspecto tienen:
En una notación que entenderemos más adelante es Ai(x)
y2 (x)/(32/3 Γ(2/3)), Bi(x) = y1 (x)/(31/6 Γ(2/3)) + y2 (x)31/6 /Γ(1/3)
1
=
y1 (x)/(32/3 Γ(2/3)) −
6.1 Las funciones de Airy
In[26]:=
43
Plot@AiryAi@xD, 8x, - 10, 3<D
0.4
0.2
Out[26]=
-10
-8
-6
-4
-2
2
-0.2
-0.4
In[25]:=
Plot@AiryBi@xD, 8x, - 10, 3<D
2.5
2.0
1.5
Out[25]=
1.0
0.5
-10
-8
-6
-4
-2
2
-0.5
44
6.2.
La ecuación de Hermite
Es la ecuación
y !! − 2xy ! + λy = 0
siendo λ una constante cualquiera. Todos!los puntos son ordinarios, de manera que pron
bamos una solución de la forma y(x) = ∞
n=0 an x .
6.2.1.
Sustituyendo en la ecuación diferencial y reordenando se llega a:
∞
"
[(n + 2)(n + 1)an+2 − (2n − λ)an ] xn = 0.
n=0
De donde se sigue la relación de recurrencia:
2n − λ
an+2 =
an ,
(n + 2)(n + 1)
n = 0, 1, 2, 3, · · ·
Como ya viene siendo tı́pico, los coeficientes a0 y a1 son arbitrarios, pero a partir de
ellos se deducen todos los demás. En este caso, a partir de a0 se deducen a2 , a4 , a6 , etc.
y a partir de a1 se deducen a3 , a5 , a7 , etc.
6.2.2.
La solución se escribe como:
%
&
λ 2 (4 − λ)λ 4 (8 − λ)(4 − λ)λ 6
y(x) = a0 1 − x −
x −
x + ··· +
2
4!
6!
%
&
2 − λ 3 (6 − λ)(2 − λ) 5 (10 − λ)(6 − λ)(2 − λ) 7
+ a1 x +
x +
x +
x + ···
3!
5!
7!
≡ a0 y1 (x) + a1 y2 (x)
Otra vez, debemos darnos cuenta de que ya hemos terminado. Estas expresiones en serie
nos dan las dos soluciones linealmente independientes, y1 (x), y2 (x), de la ecuación de
Hermite.
Hay un hecho remarcable. Fijémonos que si λ = 0, 2, 4, etc. entonces una de las
dos soluciones, bien y1 (x) o y2 (x) es un polinomio, porque los coeficientes de la serie
correspondiente se anulan a partir de un cierto ı́ndice. Resumimos la situación en una
tabla:
λ
y1 (x)
y2 (x)
0
1
serie infinita
2
serie infinita
x
4
1 − 2x2
serie infinita
6
serie infinita
x − 23 x3
4 4
2
8 1 − 4x + 3 x serie infinita
..
..
..
.
.
.
6.3 Caso general
45
Estas soluciones polinómicas de la ecuación de Hermite, convenientemente normalizadas,
se conocen con el nombre de polinomios de Hermite y tienen una importancia capital en
la mecánica cuántica.. Los primeros son:
H0 (x) = 1
H1 (x) = 2x
H2 (x) = 4(1 − 2x2 )
2
H3 (x) = 8(x − x3 )
3
4
H4 (x) = 16(1 − 4x2 + x4 )
3
..
.
6.3.
Caso general
!∞
n
Consideramos
ahora el caso general y !! +p(x)y ! +q(x)y = 0 con p(x) = !
n=0 pn (x − x0 ) ,
!∞
∞
q(x) = n=0 qn (x − x0 )n . Probamos ahora una solución de la forma y(x) = n=0 an (x − x0 )n .
6.3.1.
Se llega a la serie:
#
$
∞
n
"
"
(n + 2)(n + 1)an+2 +
[(k + 1)pn−k ak+1 + qn−k ak ] xn = 0
n=0
k=0
Esto implica la relación de recurrencia:
!n
[(k + 1)pn−k ak+1 + qn−k ak ]
an+2 = − k=0
,
(n + 2)(n + 1)
n = 0, 1, 2, 3, · · ·
que permite determinar an para n ≥ 2 a partir de a0 y a1 , que quedarán como las
constantes arbitrarias de la solución y(x) = a0 y1 (x) + a1 y2 (x). Es importante ver que
nada puede fallar en este proceso y, por tanto, siempre encontramos las dos soluciones de
la ecuación diferencial. Queda por demostrar que el radio de convergencia que define a
estas dos funciones tiene un radio de convergencia que es, al menos, tan grande como el
menor de los radios de convergencias de las series de p(x) y q(x). Notemos que el radio
de convergencia depende del punto x0 y algunas elecciones de x0 pueden ser mejores
que otras en el sentido de tener un radio de convergencia mayor.