electrodinamica i fim 8650 (5) - Pontificia Universidad Católica de

electrodinamica i fim 8650 (5) - Pontificia Universidad Católica de

ELECTRODINAMICA I
FIM 8650
(5)
Ricardo Ramı́rez
Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile
2do. Semestre 2014
Ejemplo No. 5.1
Un modelo de la ionósfera descrito por la constante dieléctrica:
ωp2
(ω)
=1− 2
o
ω
Considere la tierra que tiene este medio desde una altura h y que se
extiende hasta el infinito. Para ondas con polarización de dos tipos:
(i) perpendicular al plano de incidencia (antena horizontal) y (ii) en el
plano de incidencia (antena vertical).
Demostrar, a partir de las ecuaciones de Fresnel para la reflexión
y refracción, que para ω > ωp existe un rango de ángulos de
incidencia para los cuales la reflexión no es total. Sin embargo
para ángulos más grandes la reflexión es total, hacia la tierra.
Un operador amateur de radio operando a una longitud de onda
de 21 m, temprano en el atardecer, encuentra que puede recibir
estaciones lejanas más de 1000 Km. pero no más cercanas.
Asumiendo que las señales son reflejadas por la capa F de la
ionósfera ubicada a 300 Km de altura, calcule la densidad de
electrones. Compare con las densidades máxima y mı́nima de
capa F de 2 × 1012 m−3 en el dı́a a 2 − 4 × 1011 m−3 en la noche.
SOLUCION
a) El ı́ndice de refracción de la ionósfera es
r
q
1
ω 2 − ωp2
n=
=
o
ω
Si Eo es la amplitud del campo incidente y E 00 el campo reflejado, de
las ecuaciones de Fresnel tenemos
cos θ − n sin θ0
Eo00
=
Eo
cos θ + n sin θ0
para Eo
⊥
al plano de incidencia
Eo00
n cos θ − sin θ0
=
Eo
n cos θ + sin θ0
para Eo
k
al plano de incidencia
Como las expresiones anteriores se refieren a valores reales de los
campos, ambas valen 1 si sin θ es imaginario. Como
sin θ = n sin θ0
Cuando sin θ0 = 1, entonces tenemos reflexión total cuando
q
1
sin θc = n =
ω 2 − ωp2 < 1
ω
Es decir hay reflexión parcial cuando θ < θc y total si θ > θc .
b) Suponemos que el operador puede recibir una señal solamente
cuando hay reflexión total, i.e. cuando:
sin θ = sin θc = √
d
4d 2 + h2
donde d es la distancia hasta la emisora. Entonces obtenemos:
q
1
d
ω 2 − ωp2 = √
ω
4d 2 + h2
Entonces
s
ωp = 2πω
c
4h2
= 2π
2
2
d + 4h
λ
s
d2
4h2
= 4,6 × 107 Hz
+ 4h2
y la densidad de electrones es
n=
mo ωp2
= 6,6 × 1011 m3
c2