Incrementos y tasas Variación en la variable x

Incrementos y tasas Variación en la variable x

Incrementos y tasas
Variación en la variable x (variable independiente):
∆𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
Variación en la variable y (variable dependiente):
∆𝑦𝑦 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1
Como Y es la variable dependiente los valores de Y se obtienen evaluando los valores de x en la función es decir:
𝑦𝑦1 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 )
𝑦𝑦2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 )
Tasa de cambio promedio
La tasa de cambio promedio de la función y = f(x) entre x = a y x = b es:\
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
=
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
La tasa de cambio promedio es la pendiente de la recta secante entre x = a y x = b en la gráfica de f, es decir, la
recta que pasa por (a, f(a)) y (b, (f(b)).
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 =
𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
= 𝑚𝑚
𝑏𝑏 − 𝑎𝑎
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Costos, ingresos y utilidad) Un gerente de producción estima que el costo semanal para producir x
toneladas de leche en polvo está dada por C(x) = 500x – x2 y el ingreso por la venta de x toneladas está
dada por R(x) = 800x – 0.01x2. Se le ha encargado al gerente de producción ampliar la producción de 100
a 120 toneladas semanales. Calcule:
a)
El incremento en el costo.
∆
=
C C (120) − C (100)
= [500(120) − (120) 2 ] − [500(100) − (100) 2 ]
= (60, 000 − 14, 400) − (50, 000 − 10, 000) = 45, 600 − 40, 000 = L. 5, 600.00
b)
El Incremento en el ingreso.
∆
=
R R(120) − R(100)
= [800(120) − 0.01(120)2 ] − [800(100) − 0.01(100)2 ]
= (96, 000 − 144) − (80, 000 − 100)= 95,856 − 79,900= L.15,956.00
c)
El Incremento en la Utilidad.
d)
La tasa de cambio promedio del ingreso.
∆ U = ∆ R − ∆ C = L.15,956.00 − L. 5, 600.00 = L.10,356.00
∆ R L.15,956.00 L.15,956.00
=
=
CP
= = L. 797.80
∆x
120 − 100
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2 (Costos, ingresos y utilidad) Un fabricante de alimento para perros, tiene un costo semanal para producir x
toneladas de alimento dado por C(x) = 17,350 + 25x y un ingreso por la venta de x toneladas de R(x) = 75x –
0.01x2. La compañía tiene como meta para el próximo mes hacer un incremento en la producción de 1,000 a
2,250 toneladas semanales. Calcule:
a.
El incremento en el costo.
=
∆C
=
b.
d.
25(2, 250 − 1, 000)=
25(1, 250)=
L. 31, 250
El Incremento en el ingreso.
=
∆R
c.
C (2, 250) − C (1,=
000)
[17,350 + 25(2, 250)] − [17,350 + 25(1, 000)]
R (2, 250) − R (1,=
000) [75(2, 250) − 0.01(2, 250) 2 ] − [75(1, 000) − 0.01(1, 000)2 ]
= 118,125 − 65, 000 = L. 53,125
El Incremento en la Utilidad.
∆ U = ∆ R − ∆ C = 53,125 − 31, 250 = L. 21,875
La tasa de cambio promedio en la utilidad.
TCP
=
∆U
=
∆x
21,875
=
1, 250
L.17.50
3 (Funciones de Costo, ingreso y utilidades) Para un monopolista, la función de costo (en lempiras) es
C(=
x) 0.004 x3 + 20 x + 5000 y la función de demanda es p = 450 – 4x (p en lempiras). Si el nivel de
producción se incrementa de 50 unidades a 100 unidades, calcule:
a.
El incremento en el costo.
b.
El Incremento en el ingreso.
c.
El Incremento en la Utilidad.
d.
La tasa de cambio promedio del costo.
Una Compañía según estimaciones realizadas encuentra que el costo mensual para producir x libras de
carne de pollo está dada por la ecuación: C(x) = 30x + 19,000 y el ingreso obtenido por la venta de x libras
está dada por R(x) = 90x – 0.01x2. La Compañía quiere incrementar la producción de 1,000 libras a 1,500
libras mensuales. Calcule:
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a.
El incremento en el costo.
b.
El Incremento en el ingreso.
c.
El Incremento en la Utilidad.
d.
La tasa de cambio promedio del costo.
(Funciones de Costo, ingreso y utilidad) Si la función de costo (en lempiras) es C=
( x) 1, 000 + 400 x y la
función de demanda es x x + 100 p =
6, 000 (p en lempiras). Suponga que el nivel de producción se
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incrementa de 100 unidades a 144 unidades, calcule:
a.
El incremento en el costo.
b.
El Incremento en el ingreso.
c.
El Incremento en la Utilidad.
d.
La tasa de cambio promedio en el ingreso.
(Función de Costo) Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por:
C ( x) = 0.001x3 − 0.3 x2 + 40 x + 1, 000 .
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7
a.
Determine el incremento en el costo cuando se incrementa la producción de
50 a 60 unidades.
b.
Calcule la tasa de cambio promedio cuando se incrementa la producción de
50 a 60 unidades.
(Costos, ingresos y utilidad) Un gerente de producción estima que el costo semanal para producir x
toneladas de leche en polvo está dada por C(x) = 500x – x2 y el ingreso por la venta de x toneladas está
dada por R(x) = 800x – 0.01x2. Se le ha encargado al gerente de producción ampliar la producción de 100
a 120 toneladas semanales. Calcule:
a.
El incremento en el costo.
b.
El Incremento en el ingreso.
c.
El Incremento en la Utilidad.
d.
La tasa de cambio promedio del ingreso.
(Función de Costo) Un gerente de producción estima que el costo semanal para producir x toneladas de
un artículo está dada por C(x) = 50x +
( x − 100) 2 + 1600 y se le ha encargado al gerente de producción
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ampliar la producción de 100 toneladas a 130 toneladas semanales.
a.
Calcule el incremento en el costo.
b.
Encuentre e interprete la tasa de cambio promedio.
(Función de Demanda) La ecuación de demanda de un artículo es: p = 5 + 100 e– x
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a.
Calcule el incremento en la demanda cuando x cambia de 1 a 3 unidades.
b.
Encuentre la tasa de cambio promedio cuando x cambia de 1 a 3 unidades.
10 (Televidentes) Después que la televisión se introdujo en cierto país en desarrollo, la proporción de jefes de
familia que poseían televisor t años después se encontró que estaba dada por la fórmula: p = 1 – e – 0.1t
a.
Determine el incremento en p entre t = 3 y t = 6.
b.
Determine la tasa de cambio promedio de p por año durante este período.
11 (Función de ingreso) Cuando el precio de cierto artículo es igual a p, el número de artículos x que pueden
venderse por semana (esto es la demanda) está dado por la fórmula:
x=
1, 000
1+
p
a.
Determine el incremento en el ingreso bruto cuando el precio se incrementa de $1.00 a $2.25.
b.
Determine la tasa de cambio promedio en el ingreso bruto cuando el precio se incrementa de $1.00 a
$2.25.
12 (Función de ingreso) El ingreso semanal total R (en lempiras) obtenido por la producción y venta de cierto
artículo está dado por ::
=
R
f=
( x) 500 x − 2 x 2
a.
Determine el incremento en el ingreso semanal cuando el número de unidades producidas y vendidas
por semana se incrementa de 100 a 120 unidades.
b.
Determine la tasa promedio de ingresos por unidad extra cuando el número de unidades producidas y
vendidas se incrementa de 100 a 120 unidades.