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EC232 TEORIA DE ONDAS
UNIDAD 2: ONDAS EN MEDIOS INFINITOS
2.7.4 Incidencia normal sobre múltiples medios con pérdidas
En esta sección se estudia con más detalle el problema de incidencia
normal en múltiples medios para medios con pérdidas, haciendo hincapié en
las propiedades del coeficiente de reflexión generalizado y de la impedancia
generalizada para este caso.
El coeficiente de reflexión generalizado y la impedancia generalizada
en un medio con pérdidas
En un medio con pérdidas el coeficiente de reflexión generalizado es:
Γˆ k ( z k ) = Γˆ k (0 −k ) e 2α k z k e j 2 β k z k = ρ k e jφ k e 2α k z k e j 2π z k (λk / 2)
(2.100)
La función compleja Γˆ k ( z k ) en este caso tiene las siguientes
propiedades:
a) Γˆ k ( z k ) = ρ k e 2α k z k . Como z k < 0 , el módulo del coeficiente de
reflexión es una función decreciente a medida que aumenta z k .
b) La fase de Γˆ k ( z k ) tiene el mismo comportamiento que en el caso sin
pérdidas,
[
con
]
un
período
igual
a
λk / 2 ,
partiendo
desde
arg Γˆ k (0 −k ) = φ k . Como z k < 0 , la fase es decreciente, por lo que se
recorre el plano complejo en sentido horario.
c) La combinación de las propiedades (a) y (b) hace que el lugar
geométrico del coeficiente de reflexión en el plano complejo sea una
espiral que parte del punto Γˆ k (0 −k ) y se cierra en sentido horario, como
se muestra en color rojo en la figura 2.13 de la siguiente página.
Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007
Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela
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Im[ Γ(z)]
Γ(z)
Γ(0-)
Re[Γ(z)]
Fig. 2.13: Coeficiente de reflexión generalizado en un medio con pérdidas.
En la figura 2.13 se observa cómo el módulo del coeficiente de
reflexión generalizado va disminuyendo a medida que la coordenada z se va
alejando de la interfaz. Para favorecer la comparación, se ha mostrado en gris
la gráfica de la circunferencia que describiría el coeficiente de reflexión
generalizado si no hubiese pérdidas.
Para una distancia mayor a cinco profundidades de penetración, el
módulo del coeficiente de reflexión es prácticamente nulo, debido en primer
lugar a que la onda incidente se ha extinguido casi completamente antes de
llegar a la interfaz, y en segundo lugar porque la onda reflejada residual
igualmente se extingue al alejarse dicha distancia de la interfaz.
Dado que el coeficiente de reflexión generalizado deja de ser una
función periódica, lo mismo sucede con la impedancia generalizada, la cual
tiende a igualarse a la impedancia intrínseca a medida que la coordenada z se
aleja de la interfaz. El único rasgo que conserva la impedancia generalizada es
que es real para puntos de observación que están separados λ/4 entre sí.
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Pareciera que el comportamiento descrito del coeficiente de reflexión
generalizado dificultara en cierto grado operaciones como la traslación del
coeficiente de reflexión generalizado. Sin embargo, dado que no tiene ningún
interés práctico graficar punto por punto la espiral que describe el coeficiente
de reflexión en el plano complejo, basta con calcular y representar los valores
inicial y final de dicho coeficiente, los cuales obviamente estarán situados
sobre circunferencias distintas, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo: Traslación y graficación del coeficiente de reflexión en un
medio con pérdidas.
Se tiene un medio con pérdidas que tiene un grosor de 1,1λ, un
coeficiente de atenuación igual a 0,1 Neper/λ y un coeficiente de reflexión de
0,5∠30° en z=0. Determinar y graficar el coeficiente de reflexión en z=−1,1λ.
Solución
El coeficiente de reflexión en z=−1,1λ debe calcularse numéricamente:
Γˆ (−1,1λ ) = Γˆ (0 − ) e − 0,22 e − j 2π rad× 2,2
= 0,5∠30° × 0,803 × 1∠ − (360° × 2,2)
= 0,401∠ − 762° = 0,401∠ − 42°
La figura 2.14 de la siguiente página muestra la gráfica en el plano
complejo de Γˆ (0 − ) y Γˆ (−1,1λ ) y de sus correspondientes circunferencias
ρ=cte.
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Im[ Γ(z)]
ρ=0,5
Γ(0- )
45°
−42°
ρ=0,401
Re[Γ(z)]
Γ( −1,1λ )
Fig. 2.14: Coeficientes de reflexión del ejemplo
Para ir de Γˆ (0 − ) a Γˆ (−1,1λ ) en el plano complejo pueden seguirse dos
rutas distintas a la de la espiral que une a los dos puntos: moverse desde 45°
hasta –42° sobre la circunferencia ρ = 0,5 (cambio de fase) y luego moverse
desde ρ = 0,5 sobre la radial de –42° hasta llegar a la circunferencia
ρ = 0,401 (cambio de amplitud), o moverse sobre la radial de 45° desde
ρ = 0,5 hasta llegar a la circunferencia ρ = 0,401 (cambio de amplitud) y
luego moverse sobre la circunferencia ρ = 0,401 desde la radial de 45° hasta
llegar a la radial de –42° (cambio de fase).
Patrón de onda estacionaria
En el caso de medios con pérdidas, para formar el patrón de onda
estacionaria las ondas que interactúan son ondas que se atenúan
exponencialmente: la onda incidente se atenúa a medida que se aproxima a la
interfaz, y la onda reflejada se atenúa a medida que se aleja de la interfaz,
como se muestra en la figura 2.15 de la siguiente página.
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Fig. 2.15: Envolvente de atenuación de las ondas incidente (azul) y reflejada
(naranja) en un medio con pérdidas
Debido a las envolventes de atenuación de cada onda, la interacción
entre ellas se debilita a medida que el punto de observación se aleja de la
interfaz (lado derecho). Por lo tanto, el patrón de onda estacionaria tiene la
forma de una oscilación alrededor de la envolvente de la onda incidente, de tal
manera que la amplitud de dicha oscilación disminuye a medida que el punto
de observación se aleja de la interfaz, como se muestra en la figura 2.16.
Fig. 2.16: Ejemplo de patrón de onda estacionaria de campo eléctrico (rojo)
junto con la envolvente de la onda incidente (azul) en un medio con pérdidas
cuyo grosor es 2λ
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