Problema de repaso: Fermi-Dirac 1. A partir de la expresión general

Problema de repaso: Fermi-Dirac 1. A partir de la expresión general

Problema de repaso: Fermi-Dirac
1. A partir de la expresión general del gran potencial para partículas de FD
log Z =
(
∑
)
log 1 + e−β(ϵ−µ) ,
(1)
est. 1 part
muestre que para un gas no relativista en el límite termodinámico y de bajas temperaturas
[
]
2α V
5π 2 1/2
µ (kT )2 ,
log Z =
µ5/2 +
5 kT
8
(2)
donde α es una constante que depende del espín y de la masa de las partículas.
Habrá que hacer primero una integración por partes y luego usar la expansión
∫
0
∞
F (ϵ)
dϵ ≃
1 + eβ(ϵ−µ)
∫
µ
F (ϵ) dϵ +
0
π2 ′
F (µ) (kT )2 .
6
2. Tomando las derivadas adecuadas, calcule N , E y P y verifique la relación P V = 2E/3.
[Puede convenir escribir µ = β −1 log z, y derivar Z (considerada función de z, V y β) respecto
de z y de β, o ver directamente que se obtiene derivando Z (ahora como función de µ, V y β)
respecto de µ y a partir de ahí construir las expresiones buscadas.]
3. Defina x = N/(αV ) y encuentre el potencial µ(x, T ) hasta orden (kT )2 . A partir de este
resultado encuentre E(x, T ) hasta el mismo orden. En particular, escriba las expresiones
que resultan para µ, E y P a T = 0.
[El potencial µ puede encontrarse a partir de la ecuación para N , proponiendo como solución
µ = µ0 + a × (kT )2 e igualando los coeficientes orden por orden en la temperatura. Otra manera
es escribir la ecuación para N en esta forma: µ = µ0 + f (µ)(kT )2 , y resolverla por recurrencia,
(
)
es decir, usando µ ≃ µ0 + f (µ0 )(kT )2 ; µ ≃ µ0 + f µ0 + f (µ0 )(kT )2 (kT )2 ; etc. Evidentemente,
alcanza con la primera iteración.]
4. (Dalvit Problema 4.20a) Un recipiente de volumen V está dividido en dos compartimientos
mediante un tabique impermeable, móvil y conductor del calor. En un compartimiento
hay fermiones de espín 1/2 y en el otro, de espín 3/2. Las dos clases de partículas tienen la
misma masa. Todo el sistema está en contacto con un foco a temperatura T . Encuentre las
condiciones de equilibrio termodinámico. En particular, encuentre la relación V1 /V2 entre
los volúmenes que ocupa cada gas. Use las aproximaciones de muy baja temperatura.
Haga el cálculo primero para T = 0 y luego encuentre la primera corrección para T finita.
5. (Dalvit Problema 4.20b − Expansión libre de un un gas de FD) Un gas de partículas
de espín 1/2 ocupa un volumen V y está a temperatura 0. El sistema está aislado térmicamente. Mediante un tabique removible el volumen aumenta de V a V + ∆V , con
∆V ≪ V . El gas se expande libremente hasta ocupar todo el volumen y finalmente llega
a un nuevo equilibrio a temperatura T . Encuentre T asumiendo válida la aproximación
de muy baja temperatura.
1