Junio 2008 - Universidad Carlos III de Madrid

Junio 2008 - Universidad Carlos III de Madrid

Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Economı́a
Economı́a de la Información. Junio 2008.
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Titulación:
(1) Considere el siguiente juego en forma normal
A
B
I
7,7
9,3
D
2,2
5,5
(a) Calcule el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos del juego repetido un número finito de veces.
(b) Llamemos 0 ≤ δ < 1 al factor de descuento utilizado en los pagos del juego anterior repetido un número
infinito de veces. Determine los valores de δ para los cuales los pagos medios en un equilibrio perfecto
en subjuegos del juego repetido un número infinito de veces sean de (7, 7) ¿Cuáles son las estrategias que
sostienen este equilibrio?
Solución:
(a) En el juego en una etapa hay un único equilibrio de Nash: (B, D). Por lo tanto, ése es el único ENPS en
el juego repetido un número finito de veces.
(b) Consideremos la estrategia siguiente para ambos jugadores
Jugador 1:
• En la primera etapa, jugar A.
• En la etapa k ≥ 2, jugar A si en todas las etapas anteriores el agente 2 ha jugado I. En caso
contrario, jugar B.
Jugador 2:
• En la primera etapa, jugar I.
• En la etapa k ≥ 2, jugar I si en todas las etapas anteriores el agente 1 ha jugado A. En caso
contrario, jugar D.
El pago de cualquiera de los jugadores si sigue la estrategia anterior es
7
x = 7 + 7δ + 7δ 2 + · · · + 7δ t + · · · =
1−δ
Claramente, el agente 2 no tiene incentivos a desviarse (¿Por qué?). Si el agente 1 se desvı́a en la etapa
k + 1 y juega B, el mayor pago que puede obtener es el siguiente
y
=
=
k+1
7 + 7δ + 7δ 2 + · · · + 7δ k +
9δ
+ 5δ k+2 + · · · + 5δ k+t + · · ·
| {z }
|
{z
}
|
{z
}
pagos antes de desviarse pago en la etapa k
fase de castigo
δ k+2
7(1 − δ k+1 )
+ 9δ k+1 + 5
1−δ
1−δ
La estrategia anterior es un ENPS si x ≥ y es decir si,
7
7(1 − δ k+1 )
δ k+2
≥
+ 9δ k+1 + 5
1−δ
1−δ
1−δ
esto es equivalente a
7δ k+1
δ k+2
≥ 9δ k+1 + 5
1−δ
1−δ
1
es decir,
7
δ
≥9+5
1−δ
1−δ
o lo que es lo mismo
7 ≥ 9(1 − δ) + 5δ = 9 − 4δ
de donde obtenemos
δ≥
1
2
(2) La empresa A está establecida en un mercado y debe decidir si lanzar (L ó NL) un nuevo producto o no.
Los potenciales beneficios de esta acción dependen de si una nueva empresa B entra (E) o no (NE) en el
mercado con un producto similar. La empresa B tiene incertidumbre acerca de los costes lanzar este producto
a los que se enfrenta la empresa A, que pueden ser altos o bajos con probabilidades estimadas de 1/3 y 2/3,
respectivamente. La empresa A conoce sus costes. Las decisiones de lanzar el producto o no y de entrar o no
entrar se toman simultáneamente. Los pagos están descritos en las tablas siguientes.
COSTES BAJOS
B
E
NE
A L 2 , -2 8,0
NL 4, 2 6, 0
COSTES ALTOS
B
E
NE
A L -2 , -2 2,0
NL 4, 2
6, 0
(a)
(b)
(c)
(d)
Escriba el juego en forma extensiva.
Encuentre los equilibrios Bayesianos perfectos del juego en estrategias puras. Justifique la respuesta.
Encuentre los equilibrios Bayesianos perfectos del juego en estrategias mixtas. Justifique la respuesta.
Suponga ahora que la Empresa B observa la decisión de lanzar o no el nuevo producto al mercado por
parte de la empresa A antes de tomar su decisión. Los costes de la Empresa A siguen sin observarse
por la Empresa B. Encuentre los equilibrios Bayesianos perfectos del nuevo juego. Justifique la respuesta.
Solución:
(a) La forma extensiva del juego es
N
1/3
2/3
Ca
L
Cb
A
NL
L
z
y
x
NL
B
t
E
NE
E
NE E
NE
E
NE
-2
-2
2
0
4
2
6
0
8
0
4
2
6
0
2
-2
(b) Para la empresa ca la estrategia N L es dominante. Utilizamos la notación ((A(ca ), A(cb )), B). Los dos
EBP son
((N L, N L), E) ((N L, L), N E)
Para ver que ((N L, L), N E) es un EBP comparamos los pagos de la empresa B en la estrategia anterior
(0) con los que obtendrı́a si se desvı́a y elige E:
1
1
−2× =0
2
2
2×
por lo que no mejora si se desvı́a en el equilibrio ((N L, L), N E). No hay más equilibrios en estrategias
puras.
N
N
1/3
2/3
Ca
L
Cb
A
NL
NL
z
2/3
Ca
L
y
x
1/3
L
B
t
Cb
A
NL
L
z
y
x
NL
B
t
E
NE
E
NE E
NE
E
NE
E
NE
E
NE E
NE
E
NE
-2
-2
2
0
4
2
6
0
8
0
4
2
6
0
-2
-2
2
0
4
2
6
0
8
0
4
2
6
0
2
-2
2
-2
(c) La empresa ca siempre juega N L. Vamos a estudiar la posibilidad de que la empresa cb juega una
estrategia mixta qL + (1 − q)N L y la empresa B juega una estrategia mixta rE + (1 − q)N E
N
1/3
2/3
Ca
Cb
A
L
NL
L
NL
q
E
NE
q
-2
-2
E
1-r
2
0
NE E
q
4
2
1-q
z
y
x
1-r q
6
0
2
-2
B
t
NE
E
q
1-r
8
0
NE
4
2
1-r
6
0
En este caso, la empresa cb debe estar indiferente entre las estrategias L y N L. Los pagos con estas
estrategias son
Con L: 2r + 8(1 − r) = 8 − 6r
Con NL: 4r + 6(1 − r) = 6 − 2r
por lo que debe verificarse que 8 − 6r = 6 − 2r, es decir
1
2
Con esta estrategia de la empresa A, las creencias de la empresa B deben ser
r=
p(x) = 0,
p(y) =
1
,
3
p(z) =
2q
,
3
p(t) =
2(1 − q)
3
Además, la empresa B debe estar indiferente entre las estragegias E y N E. Los pagos con estas estrategias
son
4(1−q)
Con E: 2p(y) − 2p(z) + 2p(t) = 23 − 4q
3 +
3
Con NE: 0
por lo que debe verificarse que
2 4q 4(1 − q)
−
+
=0
3
3
3
y de esta ecuación obtenemos que
3
4
q=
El equilibrio en estrategias mixtas es
1
1
1
3
N L, L + N L , E + N E
4
4
2
2
(d) El juego en forma extensiva es ahora
N
1/3
2/3
Ca
Cb
A
NL
L
L
NL
y
E
B2
t
NE
E
B1
NE
z
x
E
NE
-2
-2
2
0
4
2
6
0
E
NE
2
-2
8
0
4
2
6
0
Para la empresa ca sigue siendo estrategia dominante elegir N L. Para la empresa B es estrategia dominante elegir E en el conjunto de información B1 y elegir N E en el conjunto de información B2 . Dada
esta situación, la empresa cb elige L. Gráficamente,
N
1/3
2/3
Ca
Cb
A
NL
L
L
NL
y
E
B2
t
NE
E
B1
NE
z
x
E
NE
-2
-2
2
0
4
2
6
0
E
NE
2
-2
8
0
4
2
6
0
(3) En el mercado de seguros hay dos tipos de consumidores, A (arriesgados) y B (seguros), en iguales proporciones. Ambos disponen de la misma riqueza, w = 37 y tienen la mismas preferencias, representadas por
la función u(x) = ln(x), donde x es la riqueza. Sin embargo difieren en el riesgo de accidentes, que supone
una pérdida de 36 unidades de riqueza. Los conductores de tipo A tienen una probabilidad de accidente del
1/2, mientras que para los de tipo B la probabilidad es de 1/3. Existe competencia perfecta en el mercado de
seguros.
(a) Calcule cuáles serı́an las pólizas actuarialmente justas en caso de que se pudiera conocer el tipo de cada
conductor.
(b) Considere que las compañı́as de seguros no pueden distinguir el tipo del conductor y que deben, por ley,
ofrecer una única póliza que asegure completamente a los conductores que la suscriban ¿Cual serı́a esta
póliza? ¿Existe problema de selección adversa?
(c) Supongamos ahora que la probabilidad de accidente para los conductores de tipo B es q ¿A partir de qué
valores de q existe un problema de selección adversa?
Solución:
(a) Los agentes eligen un seguro a todo riesgo I = 36. El precio de esta seguro para cada tipo de agente es
1
1
πa = 36 × = 18, πb = 36 × = 12
2
3
(b) La compañı́a de seguros cobrarı́a el precio
1
1
π = πa + πb = 15
2
2
Para los agentes de tipo B, su utilidad con este seguro es
ub (cs) = ln(37 − 15) = ln 22 ≈ 30 09
mientras que su utilidad esperada sin seguro es
2
2
2
ub (ss) = ln(37) + ln(1) = ln(37) = ln 372/3 ≈ 20 40
3
3
3
por lo que prefieren asegurarse y no hay selección adversa.
(c) El precio que cobrarı́an las compañı́as de seguros a un agente de tipo B serı́a
πb = 36q
por lo que el precio que la compañı́a de seguros cobra a los agentes, cuando sólo ofrece un tipo de seguro
es
1
1
π = πa + πb = 9 + 18q
2
2
y para los agentes de tipo B, su utilidad con este seguro es
ub (cs) = ln(37 − 9 − 18q) = ln(28 − 18q)
Ahora, la utilidad para un agente de tipo B sin seguro es
(ub (ss) = 1 − q) ln(37) + q ln(1) = (1 − q) ln(37) = ln 371−q
Entonces, hay selección adversa si
ln 371−q > ln(28 − 18q)
es decir si
371−q > 28 − 18q
Esto desigualdad se verifica para q < 0.065.
(4) En una relación entre un principal y un agente hay dos resultados posibles. Los valores para el principal
de cada uno de estos resultados son 1.600 y 4.000. El agente puede elegir entre tres posibles esfuerzos. Las
probabilidades de obtener cada uno de los resultados, según el esfuerzo realizado por el agente son
e1
Esfuerzos e2
e3
Resultados
1.600
4.000
1/4
3/4
1/2
1/2
3/4
1/4
La utilidad de reserva del agente es ū = 80.
√ La función de utilidad del principal es B(x, w) = x − w y la
función de utilidad del agente es u(w, e) = w − e donde w es el salario pagado por el principal al agente, e
es el esfuerzo y v(e1 ) = 10, v(e2 ) = 4, v(e3 ) = 0.
(a) Escriba el problema que resuelve el principal y encuentre los contratos óptimos para el caso en el que el
principal puede observar (y contratar) el esfuerzo del agente. ¿Qué nivel de esfuerzo prefiere el principal
en este caso?
(b) Encuentre el contrato óptimo para el principal cuando éste no puede observar el esfuerzo del agente y
desea conseguir el esfuerzo e1 .
(c) Encuentre el contrato óptimo para el principal cuando éste no puede observar el esfuerzo del agente y
desea conseguir el esfuerzo e3 .
(d) ¿Cuál de los dos esfuerzos anteriores preferirı́a el principal?
Solución:
(a) Si el principal incentiva el esfuerzo e1 , el problema que resuelve es
3
1
(1600 − wa ) + (4000 − wb )
wa ,wb
4
4
3√
1√
s.a.
wa +
wb − 10 ≥ 80
4
4
Como el principal es neutral al riesgo y el agente es averso al riesgo, la solución verifica wa = wb = w y
además la condición de participación
max
1√
3√
wa +
wb − 10 = 80
4
4
Obtenemos
wa = wb = 902
El beneficio del principal es
1600 3 × 4000
+
− 902 = −5900
4
4
Si el principal incentiva el esfuerzo e2 el problema que resuelve es
1
1
(1600 − wa ) + (4000 − wb )
2
2
1√
1√
s.a.
wa +
wb − 4 ≥ 80
2
2
Como el principal es neutral al riesgo y el agente es averso al riesgo, la solución verifica wa = wb = w y
además la condición de participación
max
wa ,wb
1√
1√
wa +
wb − 4 = 80
2
2
Obtenemos
wa = wb = 842
El beneficio del principal es
1600 4000
+
− 842 = −4256
2
2
Si el principal incentiva el esfuerzo e3 el problema que resuelve es
1
3
(1600 − wa ) + (4000 − wb )
max
wa ,wb
4
4
3√
1√
s.a.
wa +
wb ≥ 80
4
4
Como el principal es neutral al riesgo y el agente es averso al riesgo, la solución verifica wa = wb = w y
además la condición de participación
1√
3√
wa +
wb = 80
4
4
Obtenemos
wa = wb = 802
El beneficio del principal es
3 × 1600 4000
+
− 842 = −4200
4
4
El principal elige el esfuerzo e1 .
(b) Si el principal no puede observar el esfuerzo del agente e incentiva el esfuerzo e1 , el problema que resuelve
es
3
1
(1600 − wa ) + (4000 − wb )
max
wa ,wb
4
4
3√
1√
wa +
wb − 10 ≥ 80
s.a.
4
4
1√
3√
1√
1√
wa +
wb − 10 ≥
wa +
wb − 4
4
4
2
2
1√
3√
3√
1√
wa +
wb − 10 ≥
wa +
wb
4
4
4
4
La solución que satura las dos primeras ecuaciones
3√
1√
wa +
wb − 10 ≥ 80
4
4
1√
3√
1√
1√
wa +
wb − 10 ≥
wa +
wb − 4
4
4
2
2
√
√
es wa = 72
wb = 96. Esta solución satisface la tercera desigualdad.
La solución que satura las ecuaciones primera y tercera
3√
1√
wa +
wb − 10 ≥ 80
4
4
1√
3√
3√
1√
wa +
wb − 10 ≥
wa +
wb
4
4
4
4
√
√
es wa = 75
wb = 95. Esta solución no satisface la segunda desigualdad.
Las ecuaciones segunda y tercera
3√
1√
1√
1√
wa +
wb − 10 ≥
wa +
wb − 4
4
4
2
2
1√
3√
3√
1√
wa +
wb − 10 ≥
wa +
wb
4
4
4
4
son incompatibles. Por lo tanto, la única solución es
√
wa = 72
√
1
3
(1600 − 722 ) + (4000 − 962 ) = −4808
4
4
wb = 96. El beneficio del principal es
(c) Si el principal incentiva el esfuerzo más bajo ofrece el salario wa = wb y el problema es como en el
apartado anterior. La solución es
wa = wb = 802
y el beneficio del principal es −4200.
(d) El principal prefiere incentivar el esfuerzo e3 .