1 Calcular ∫ Sec(θ)dθ tenemos que ∫ Sec(θ)dθ = ∫ Sec(θ

1 Calcular ∫ Sec(θ)dθ tenemos que ∫ Sec(θ)dθ = ∫ Sec(θ

1
R
Calcular Sec(θ)dθ
tenemos que
Z
Z
Z
Sec(θ) + T an(θ)
)dθ =
Sec(θ)dθ = Sec(θ)(
Sec(θ) + T an(θ)
Sec2 (θ) + Sec(θ)T an(θ)
Sec(θ) + T an(θ)
|
{z
}
u=Sec(θ)+T an(θ)
Z
=
du=Sec(θ)T an(θ)+Sec2 (θ)
du
= Ln(u) + k = Ln(Sec(θ) + T an(θ)) + k
u
R
Calcular ahora Sec3 (θ)dθ
tenemos que
Z
Z
3
Sec (θ)dθ =
Sec2 (θ) Sec(θ)
| {z } | {z }
u=Sec(θ)
dv=Sec2 (θ)
v=T an(θ) du=Sec(θ)T an(θ)
Z
2
Z
dθ = Sec(θ)T an(θ) −
|
{z
}
u∗v
T an(θ)Sec(θ)T an(θ) dθ
|
{z
}
R
−
v∗du
Z
T an (θ)Sec(θ)dθ = Sec(θ)T an(θ)− (Sec2 −1)Sec(θ)dθ =
Z
Z
3
Sec(θ)T an(θ) − Sec (θ)dθ + Sec(θ)dθ
= Sec(θ)T an(θ)−
dθ
Por lo tanto
Z
Z
Z
3
3
Sec (θ)dθ = Sec(θ)T an(θ) − Sec (θ)dθ + Sec(θ)dθ
simplificando
Z
Z
3
2 Sec (θ)dθ = Sec(θ)T an(θ)+ Sec(θ)dθ = Sec(θ)T an(θ)+Ln(Sec(θ)+T an(θ))
finalmente nos queda
Z
1
Sec3 (θ)dθ = (Sec(θ)T an(θ) + Ln(Sec(θ) + T an(θ)))
2
R√
Calculemos
x2 − 1dx haciendo el cambio de variable x = Sec(θ) Tenemos
que
Z √
Z p
Z p
2
2
x − 1dx =
Sec (θ) − 1SecθT an(θ)dθ =
T an2 (θ)Sec(θ)T an(θ)dθ
2
Z
=
Z
T an(θ)Sec(θ)T an(θ)dθ =
2
Z
T an (θ)Sec(θ)dθ =
(Sec2 (θ)−1)Sec(θ)dθ
Z
1
1
Sec3 (θ)−Sec(θ)dθ = Sec(θ)T an(θ)+ Log(Sec(θ)+T an(θ))−Log(Sec(θ)+T an(θ))
2
2
√
1
1
1
1 √
= Sec(θ)T an(θ)− Log(Sec(θ)+T an(θ)) = (x x2 − 1)− (x+ x2 − 1)
2
2
2
2
2
2
En la hipérbola equilatera x − y = 1 definimos c = Cosh(x) s = Senh(x)
y como c,s estan sobre la hipérbola c2 − s2 = 1
=
Area = ”x” = sc − 2
Z c√
√
√
x2 − 1dx = sc − c c2 − 1 + Log(c + c2 − 1)
1
= sc − cs + Log(c +
√
c2 − 1) = Log(c +
√
c2 − 1)
Por lo tanto
√
√
√
x = Log(c+ c2 − 1) ⇒ ex = c+ c2 − 1 ⇒ ex −c = c2 − 1 ⇒ e2x −2ex c+c2 = c2 −1
e2x + 1
ex + e−x
=
c
⇒
c
=
2ex
2
2
2
De la relación c − s = 1 podemos obtener el valor de s
r
r
r
x + e−x
2x + 2 + e−2x
√
e
e
e2x + 2 + e−2x − 4
s = c2 − 1 = (
)2 − 1 =
−1=
2
4
4
r
(ex − e−x )2
ex − e−x
=
=
4
2
Tenemos que
⇒ e2x − 2ex c = −1 ⇒ e2x + 1 = 2ex c ⇒
3
por semejanza de triángulos
t
1
=
s
t= =
c
s
c
⇒t=
ex −e−x
2
ex +e−x
2
=
s
C
por lo tanto
ex − e−x
ex + e−x
−x
x
finalmente definimos c = Cosh(x) = e +e
, s = Senh(x) =
2
ex −e−x
T anh(x) = ex +e−x
Algunas propiedades de las funciones hipérbolicas
Cosh2 (x)−Senh2 (x) = (
ex −e−x
2
y t =
ex + e−x 2 ex − e−x 2 e2x + 2 + e−2x − e2x + 2 − e−2x
4
) −(
) =
= =1
2
2
4
4
Cosh2 (ArcSennh(x))−Senh2 (ArcSennh(x)) = 1 ⇒ Cosh(ArcSennh(x)) =
Cosh2 (ArcSennh(x))−Senh2 (ArcSennh(x)) = 1 ⇒ Senh(ArcSennh(x)) =
(ArcCosh(x))0 =
1
Cosh0 (ArcCosh(x))
=
√
1 + x2
√
x2 − 1
1
1
=√
2
Senh(ArcCosh(x))
x −1
Por lo tanto
Z
1
√
= ArcCosh(x)
x2 − 1
Otro camino
Z
Z
Z
Z
1
Senh(t)
Senh(t)
√
p
dx =
dt =
dt = dt = t = ArcCosh(x)
2 (t) − 1
Senh(t)
x2 − 1
Cosh
| {z }
x=Cosh(t)
dx=Senh(x)
4
Funciones Elipticas
Mediante un análisis similar pero de la elipse se obtienen integrales
Z
Z
Z
x2 dx
dx
dx
p
p
p
,
,
(1 − x2 )(1 − k 2 x2 )
(1 − x2 )(1 − k 2 x2 )
(x − a) (1 − x2 )(1 − k 2 x2 )
que son llamadas integrales elipticas, como x necesariamente tiene que ser
menor que 1, pues de lo contrario la raı́z se harı́a negativa, podemos hacer el
cambio x = Sen(ϕ) por lo que nos queda
Z
Z
dϕ
dx
p
p
=
Integral Eliptica de 1ra especie
(1 − x2 )(1 − k 2 x2 )
(1 − k 2 Sen2 (ϕ))
Se define al seno eliptico de Jacobi como la función inversa de la integral
eliptica de primera especie.
Consideremos la integral eliptica de primera especie
Z z
dz
p
u = Fk (z) =
2
(1 − z )(1 − k 2 z 2 )
0
La inversa de esta función es la primera de tres funciones elipticas de Jacobi
snu = x = Fk−1 (u)
Las otras dos funciones elipticas de Jacobi se definen a partir de esta por las
relaciones siguientes:
p
p
√
√
cnu = 1 − sn2 (u) = 1 − x2 dnu = 1 − k 2 sn2 (u) = 1 − k 2 x2
Las funciones elipticas de Jacobi son funciones definidas a partir de la integral
eliptica de primera especie y aparecen en diversos contextos, deben su nombre
al matemático aleman Carl Gustav Jakob Jacobi.
En fı́sica aparecen por ejemplo en las osilaciones de un péndulo con
grandes amplitudes sometido a la gravedad.
Algunas propiedades de las funciones elı́ticas son:
p
√
cn2 (u) + sn2 (u) = ( 1 − sn2 (u))2 + x2 = ( 1 − x2 )2 + x2 = 1
√
dn2 (u) + k 2 sn2 (u) = ( 1 − k 2 x2 )2 + k 2 x2 = 1
√
√
dn2 − k 2 cn2 (u) = ( 1 − k 2 x2 )2 − k 2 ( 1 − x2 )2 = 1 − k 2
5
Las funciones elı́pticas son una generalización de las funciones circulares e
hipérbolicas. Cuando k=0 la integral elı́ptica se convierte en:
Z
Z
dx
dx
p
√
= ArcSen(x)
=
1 − x2
(1 − x2 )(1 − k 2 x2 )
cuando k=1
Z
p
Z
dx
(1 − x2 )(1 − k 2 x2 )
=
dx
p
=
(1 − x2 )(1 − x2 )
Z
dx
1 − x2
la cual podemos resolver de la siguiente manera
Z
Z
Z
Z
Z
1
2dx
1
1 − x + 1 + xdx
1
(1 − x)dx 1
dx
=
=
=
+
1 − x2
2
1 − x2
2
1 − x2
2
1 − x2
2
Z
Z
Z
Z
1
1
1
(1 − x)dx
(1 + x)dx
1dx 1
1dx
=
+
=
+
=
2
(1 − x)(1 + x) 2
(1 + x)(1 − x)
2
1+x 2
1−x
1
1+x
= Ln(
)+k
2
1−x
(1 + x)dx
1 − x2
1
1
Ln(1+x)− Ln(1−x)+k
2
2