guía de problemas derivadas matemática 1

guía de problemas derivadas matemática 1

INGENIERÍA VESPERTINA EN
AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL
GUÍA DE PROBLEMAS
DERIVADAS
MATEMÁTICA 1
PROFESOR
HERALDO GONZÁLEZ
2004
GUIA DE EJERCICIOS DERIVADAS MATEMATICA I , HERALDO GONZALEZ
SERRANO
Pagina 2
GUIA DE EJERCICIOS Nº 4 – DERIVACIÓN
1) En los siguientes problemas determine la ecuación de la recta tangente a la curva y = f (x)
en el punto P dado sobre la curva
a) y = x 3 , P(2,8) Re sp.12 x − y − 16 = 0
b) y = x 3 + 3x 2 − 4 x − 5 , P(1,−5) Re sp.5 x − y = 10
c) y =
1
, P(2,1) Re sp.x + 1 − 3 = 0
x −1
3
4
− 3 , P(−1,7) Re sp.18 x − y + 25 = 0
2
x
x
3x 2
e) y = 2
, P(−1,3) Re sp.3 x + y = 0
x + x +1
d) y =
2) Use las reglas de derivación para solucionar los siguientes problemas
dy dx
a) Si x e y están relacionadas por x 3 y − xy = y 3 verifique que
⋅
=1
dx dy
dy
2
dy
e x − e−x
b) Calcule
si y = arctg
Re sp. = x
dx e + e − x
dx
2
c) Si 3wt +
1 2
dw
gt = 6 determine
2
dt
dh
tgx + x 4
d) Si h( x) = (
) determine
dx
tgx − x
e) Si g (a) =
Re sp.
dw
gt + 3w
=−
3t
dt
dh 8(tgx + x) 3 (tgx − x sec 2 x)
Re sp.
=
dx
(tgx − x) 5
4a
dg
dg
1
a2 −1
Ln( 2 ) 2 determine
Re sp.
= 4
2
da
da a − 1
a +1
f) Si f (u ) = arcsen
df
1
1
calcule
(u = 2) Re sp. −
2
du
u
15
g) Si u − v = 4 cos(uv) determine
du
du 1 − 4usenuv
=
Re sp.
dv
dv 1 + 4vsenuv
Programa Vespertino Automatización Industrial Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Santiago de Chile
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GUIA DE EJERCICIOS DERIVADAS MATEMATICA I , HERALDO GONZALEZ
SERRANO
dy
si xseny − y cos x = xy
dx
h) Calcule
Re sp.
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dy y (1 − senx) − seny
=
dx x(cos y − 1) − cos x
i) Determine la ecuación de la recta tangente y de la recta normal al grafico de la
 x = 5 − cos 2t
π
función y = f (x) definida por 
, t=
2
 y = 2sent
Si t =
Re sp.
tangente es y =
π
2
entonces el punto de tangencia es P(6,2) . La ecuación de la
1
x − 1 y la de la normal es y = −2 x + 14
2
j) Hallar todos los puntos sobre la curva de ecuación y = x 5 − 20x 2 donde la recta
tangente es horizontal Re sp.(0,0) , (2,−48)
− sen( x + y )
dy
dy
si y = cos( x + y ) Re sp. =
dx
dx 1 + sen( x + y )
k) Calcule
l) Determine la ecuación de la recta normal al grafico de la función y = f (x) definida
implícitamente por x y = y x en el punto P(2,2)
Re sp. Aplique logaritmo natural ; y = − x + 4
3) Verifique si la función y = f (x) satisface la ecuación planteada:
a) y = xe
−
x2
2
; x
dy
= (1 − x 2 ) y
dx
b) y = e x cos x ; y ( 4 ) + 4 y = 0
c) ( x − C1 ) 2 + y 2 = C 2 , C1 , C 2 = C tes ;
d 2 y dy 2
+ ( ) +1 = 0
dx
dx 2
d 2 y cos 2 x − 2
dy
d) y = Ln sen2 x ;
+ sen2 x 2 =
sen2 x
dx
dx
c) y 2 = C1 x 2 + C 2 x , C1 , C 2 = C tes ; x 2 y
d2y
dy
+ ( x − y) 2 = 0
2
dx
dx
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