SÍNTESIS DE FILTROS PASIVOS

Transcripción

TEMA 7
Labels E: 7ge
Labels F: 7
7
Labels L: 7
Labels T: 7
7.1 Introducción
Este capítulo se centra en el diseño de filtros pasivos. Estamos particularmente interesados en el diseño de bipuertas, circuitos de cuatro terminales con entrada salida simple.
Nos centraremos particularmente en la síntesis de filtros LC. Juegan un papel muy importante en el diseño de filtros porque ofrecen varias ventajas: (a) transmiten las señales sin disipar
energía (por tanto, favorecen buenas relaciones señal/ruido; (b) las rápidas transiciones de magnitud y fase que se consiguen con la resonancia son muy adecuadas para la implementación de
filtros; (c) pueden transmitir señales modificando únicamente sus características de fase o retraso; (d) las bipuertas LC doblemente terminadas pueden hacerse bastante insensibles a variaciones en los parámetros.
Aunque actualmente hay disponibles otras técnicas de filtrado, tales como filtros RC activos y filtros SC, los filtros LC aún juegan un papel importante en sistemas de comunicaciones,
especialmente en aplicaciones a alta frecuencia, donde la operación de los dispositivos activos
se aleja mucho de su comportamiento ideal.
Además, el estudio de la operación de los filtros LC resulta útil para comprender el concepto de filtrado, la importancia de la resonancia, la creación y función de los ceros de transmisión, etc.
Por otra parte, muchos de los diseños de filtros RC activos y SC están basados en una
simulación activa de filtros pasivos LC. Esta aproximación se beneficia de la muy baja sensibilidad de la banda pasante de los filtros escalera LC a las tolerancias de los elementos.
El diseño de estas bipuertas conduce naturalmente a la implementación de impedancias o
admitancias, que son los bloques básicos del circuito. En primer lugar abordaremos las propiedades fundamentales de las funciones de punto (impedancias o admitancias) físicamente realizables.
© F.V. Fernandez, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI, US
7.2 Monopuertas
El teorema básico para comprender las propiedades de monopuertas físicamente realizables es el teorema de Tellegen que en su forma especial dice:
N
∑ Vk ( s )Jk
∗
(s) = 0
1
(7.1)
k=1
de donde se obtiene que impedancias y admitancias de monopuertas RLCM tienen la forma:
1
1
Z ( s ) = ----------------2- F o ( s ) + --- V o ( s ) + sM o ( s )
s
I1 ( s )
∗
1
1
Y ( s ) = ------------------2- F o ( s ) + ------∗- V o ( s ) + s M o ( s )
V1 ( s )
s
2
(7.2)
donde
N
Fo ( s ) ≡
∑ Rk Jk
2
≥0
2
≥0
k=2
N
Vo ( s ) ≡
1
∑ C-----k- Jk
(7.3)
k=2
N
Mo ≡
∑ Lk Jk Jk
k=2
∗
N
+
∑ Mkl Jk
∗
Jl ≥ 0
l = 2
l≠k
7.2.1 Realizabilidad de monopuertas
La cuestión básica a responder es: dada una impedancia Z(s) o admitancia Y(s), ¿es posible encontrar una implementación para ella utilizando únicamente elementos pasivos R, L, C y
M? La respuesta es: Una función de impedancia Z(s) es realizable utilizando únicamente elementos concentrados RLCM (todos ellos son positivos) si y solo si Z(s) es una función racional
real positiva, es decir, si se cumplen las siguientes condiciones:
a) Z(s) es una función racional real de s:
2
n
a0 + a1 s + a2 s + … + an s
Z ( s ) = ------------------------------------------------------------------2
m
b0 + b1 s + b2 s + … + bm s
(7.4)
1. Referir la derivación al apéndice 7.1.
2. Referir la derivación al apéndice 7.1
92
Análisis y síntesis de circuitos
7.2 Monopuertas
donde los coeficientes ai y bj son reales por lo que Z(s) es real si lo es s.
b) Si s tiene parte real no negativa, también la tiene Z(s). Es decir, a cualquier punto del
semiplano derecho cerrado del plano s le corresponde un punto del semiplano derecho
cerrado del plano Z.
La condición b es muy difícil de utilizar de forma práctica por lo que se pueden formular
un conjunto de condiciones equivalentes:
a) Idéntica a la condición a) anterior.
b) Para todo ω real:
Re Z ( jω ) ≥ 0
(7.5)
c) Todos los polos de Z(s) están en el semiplano izquierdo cerrado (dentro o en el eje jω)
del plano s. Todos los polos del eje jω deben ser simples, con residuos reales positivos.
Dado que s=0 y s→∞ también se encuentran en el eje jω, también debe cumplirse para
ellos.
7.2.2 Propiedades de las inmitancias LC
En las monopuertas LC Rk=0 y por tanto F(s)=0. Por tanto, la forma general de impedancias y admitancias es:
1 Vo ( s )
Z ( s ) = ---------2 ------------- + sM o ( s )
s
I1
(7.6)
∗
1 Vo ( s )
Y ( s ) = ----------2- -----------+
s
Mo ( s )
∗
V1
s
donde |I1|2, |V1|2, Vo y Mo son funciones de s, reales y no negativas para cualquier valor de s,
real o complejo.
Veamos las propiedades de los ceros de Z(s). Si suponemos que I1 es finito, en un cero sz:
Vo ( sz )
--------------- + s z M o ( s z ) = 0
sz
(7.7)
Vo ( sz )
2
s z = – ----------------Mo ( sz )
(7.8)
luego
Dado que Vo≥0 y Mo≥0, sz2 es un número real no positivo por lo que los ceros son imaginarios
puros (complejo conjugados para dar coeficientes reales). Las únicas excepciones son ceros en
ω=0 y ω→∞. Además, dado que los ceros de Z(s) son polos en el eje jω de Y(s), que es una
función real positiva, todos los ceros de Z(s) deben ser simples.
93
Puede hacerse un argumento similar para los ceros de Y(s) (o polos de Z(s)). Por tanto,
numerador N(s) y denominador D(s) tienen la forma general:
2
2
2
2
P ( s ) = s ( s + ω 1 ) ( s + ω 2 )…
(7.9)
donde el factor s, que representa un cero en ω=0, puede estar o no presente.
Puede observarse que estos polinomios contienen únicamente potencias pares o impares
de s. Potencias pares de s se hacen reales cuando s=jω y potencias impares se hacen imaginarias.
Por tanto, si N(s) y D(s) contienen solamente potencias impares o solamente potencias pares
Z(jω) es real. Pero de (7.6) se deduce que Z(jω) debe ser imaginaria pura. Por tanto, N(s) y D(s)
no pueden ser impares o pares al mismo tiempo; uno debe ser par y el otro debe ser impar. Las
dos posibilidades son:
2
2
2
2
s ( s + ω z1 ) ( s + ω z2 )…
N(s)
Z ( s ) = ----------- = -------------------------------------------------------2
2
2
2
D(s)
( s + ω p1 ) ( s + ω p 2 )…
2
2
2
2
( s + ω z1 ) ( s + ω z2 )…
Z ( s ) = --------------------------------------------------------2
2
2
2
s ( s + ω p 1 ) ( s + ω p2 )…
(7.10)
Luego Z(s) es una función impar de s: Z(−s)=−Z(s).
Consideremos la expansión parcial en fracciones de Z(s):
k–1
k p1
k' p1
k p2
k' p2
Z ( s ) = k 1 s + ------- + ------------------- + ------------------- + ------------------- + ------------------- + …
s
s – jω p1 s + jω p1 s – jω p2 s + jω p2
(7.11)
No puede haber términos en s de orden mayor ya que no puede haber polos múltiples para s→∞
y no puede existir un término sin s ya que destruiría el carácter impar de Z(s).
Si consideramos la suma de los términos correspondientes a polos complejos conjugados:
( k pi + k' pi )s + jω pi ( k pi – k' pi )
k pi
k' pi
------------------ + ------------------ = --------------------------------------------------------------------2
2
s – jω pi s + jω pi
s +ω
(7.12)
pi
Los residuos de los polos imaginarios de las funciones reales positivas son reales y positivos.
Por tanto, puede escribirse Z(s) como:
k–1
2k p1 s
2k p2 s
+
-------------------+…
Z ( s ) = k 1 s + ------- + ------------------2
2
2
2
s
s + ω p1 s + ω p2
(7.13)
y cambiando la notación:
K1 s
K2 s
Kn s
K0
+
----------------+
…
+
----------------Z ( s ) = K ∞ s + ------ + ----------------2
2
s s2 + ω2 s2 + ω2
s + ωn
1
2
(7.14)
donde K∞, K0 y Ki también deben ser no negativos.
Si hacemos s=jω:
94
7.2 Monopuertas
K1 ω
K0
K2 ω
Z ( jω ) = j K ∞ ω – ------ + ------------------2- + ------------------2- + …
2
2
ω
ω1 – ω
ω2 – ω
(7.15)
La función entre corchetes se denomina reactancia de la monopuerta LC:
K0
K1 ω
K2 ω
X ( ω ) ≡ K ∞ ω – ------ + ------------------2- + ------------------2- + …
2
2
ω
ω1 – ω
ω2 – ω
(7.16)
La derivada muestra que X(ω) es una función creciente monótona de ω:
2
2
2
2
K0 K1 ( ω1 + ω ) K2 ( ω2 + ω )
∂
X ( ω ) = K ∞ + -----2- + ------------------------------ + ------------------------------+…
2 2
2 2
2
2
∂ω
ω
( ω1 – ω )
( ω2 – ω )
(7.17)
donde todos los términos son positivos para cualquier valor finito de ω:
∂
X(ω) > 0
∂ω
∂
X ( ω ) → K∞ ≥ 0
∂ω
ω<∞
(7.18)
ω→∞
Sabemos que todos los polos y ceros de Z(s), y por tanto de X(ω) están en el eje jω. Si
suponemos dos ceros consecutivos sin un polo entre ellos, se tiene la situación de la Fig.7.1a,
que viola la condición (7.18). Análogamente ocurre si suponemos dos polos consecutivos sin
un cero entre ellos, como se muestra en la Fig.7.1b. Luego la única posibilidad es que polos y
ceros de X(ω) se encuentren entrelazados tal como se muestra en la Fig.7.1c.
En resumen:
1) Z(s) es el cociente de N(s) impar y D(s) par o viceversa.
2) La diferencia del grado de N(s) y D(s) es uno ya que Z(s) y Y(s) pueden tener únicamente un polo simple para s→∞.
3) En s=0 hay un cero, si Ko=0, o un polo, si Ko>0.
4) En s→∞ hay un cero, si K∞=0, o un polo, si K∞>0.
5) Z(s) tiene polos y ceros simples, entrelazados en el eje jω.
6) Los residuos de todos los polos son reales y positivos.
7.2.3 Síntesis de Foster para monopuertas LC
La expansión parcial en fracciones posibilita una implementación directa de Z(s). Dado
que las constantes K∞, Ko y Ki son positivas, puede identificarse cada término de la expansión
con un elemento o una asociación de dos elementos, tal como se muestra en la Fig.7.2.
95
Fig. 3.1 Temes
(c)
Figura 7.1: (a), (b) situaciones imposibles; (c) característica posible.
Dado que Z(s) es igual a la suma de todos estos términos, deben conectarse las impedancias en serie para conseguir la impedancia Z(s) total, tal como se muestra en la Fig.7.3. Esta implementación se denomina Foster 1.
Hemos visto que la expansión de Y(s) tiene la misma forma general de Z(s):
96
7.2 Monopuertas
Fig. 3.3 Temes
Figura 7.2: Impedancias correspondientes a los términos individuales de la expansión
parcial en fracciones de una impedancia LC.
Fig.3.4 Temes
Figura 7.3: Realización Foster 1 de una impedancia LC.
K′ 0
K′ 1 s
K′ 2 s
Y ( s ) = K′ ∞ s + -------- + ------------------ + ------------------+…
2
2
2
2
s
s + ω′ 1 s + ω′ 2
(7.19)
Puede identificarse cada término de (7.19) con una admitancia de la Fig.7.4.
Y(s) vendrá dado por la conexión en paralelo de las admitancias que implementan cada
sumando, tal como se muestra en la Fig.7.5.
Las realizaciones de Foster proporcionan los circuitos más económicos posibles para una
impedancia Z(s) dada. Estos circuitos se denominan canónicos.3
97
Fig. 3.5 Temes
Figura 7.4: Admitancias correspondientes a los términos individuales de la expansión
parcial en fracciones de una admitancia LC:
Fig.3.6 Temes
Figura 7.5: Realización Foster 2 de una admitancia LC:
3. Es fácil demostrar que en la expansión parcial en fracciones de Z(s) el término correspondiente al polo
en s→∞ disminuye el orden de la impedancia restante en 1 y se necesita un único elemento para implementar ese término. Lo mismo ocurre con el término correspondiente al polo en s=0. Para cada uno de los
restantes términos, correspondientes a pares de polos en el eje imaginario, se necesitan dos elementos para
implementarlos y el orden de la impedancia restante se ve reducida en 2.
98
7.2 Monopuertas
7.2.4 Síntesis de Cauer para monopuertas LC
Hemos visto en la síntesis de Foster que por cada eliminación de un polo o un par de ellos,
correspondiente a un término de la expansión en fracciones se reduce el orden de la función Z(s).
Esa reducción es de 1 para polos en s=0 y s→∞; y 2 para polos imaginarios. Una vez que se
implementa un término, la impedancia Z´(s) que queda sigue teniendo las mismas propiedades
de realizabilidad de Z(s). Entonces, en lugar de expandir Z´(s) e implementar otro término, se
obtiene Y´(s)=1/Z´(s) y se efectúa una eliminación de polos en ella. Esto corresponde a la implementación de un término en la realización de Foster 2. Como consecuencia de esta eliminación aún quedará una admitancia Y’’(s). Hacemos la transformación inversa, Z’’(s)=1/Y’’(s),
y se aplica sobre ella un paso de la realización Foster 1. El mismo proceso se aplica sucesivamente hasta eliminar todos los polos, resultando el circuito de la Fig.7.6(a). Los polos que se
eliminan son: s=0, s=jω’1, s=jω1, s→∞, etc. El circuito resultante tiene la forma general de la
Fig.7.6(b) por lo que se llaman realizaciones en escalera. Originada por la eliminación sucesiva
de polos en Z(s) y Y(s), por propia construcción es una realización canónica y es siempre realizable.
Fig. 3.9 Temes
Figura 7.6: Circuito escalera: (a) forma especial; (b) forma general.
Las realizaciones de Cauer son dos formas especiales de la realización en escalera. La realización Cauer 1 sigue el esquema anterior pero eliminando únicamente polos en s→∞. Si
suponemos que Z(s) tiene en un polo en infinito:
99
1
Z 1 ( s ) = Z ( s ) = K ∞ s + Z 2 ( s ) = K ∞ s + ------------Y2 ( s )
(7.20)
Cuando se elimina el polo Z2(s) tendrá un cero en s→∞, por lo que Y2(s) tendrá un polo en la
misma posición. Se repite el proceso anterior sucesivamente:
1
Y 2 ( s ) = K′ ∞2 s + Y 3 ( s ) = K′ ∞2 s + ------------Z3 ( s )
1
Z 3 ( s ) = K ∞3 s + Z 4 ( s ) = K ∞3 s + ------------Y4 ( s )
(7.21)
Ya que cada eliminación de polo requiere un elemento para su implementación y reduce un
grado el orden de Z(s) esta realización es también canónica.
Si Z(s) tiene un cero en s→∞ en lugar de un polo se empieza la eliminación de polo por
la admitancia en lugar de por la impedancia.
El circuito resultante de la realización Cauer 1 es el que se muestra en la Fig.7.7. Si Z(s)
tieen un cero en infinito en lugar de un polo, el primer elemento será un condensador en paralelo
en lugar de un inductor en serie.
Fig3.10 Temes
Figura 7.7: Realizaciones de Cauer de una impedancia LC.
Las ecuaciones de la realización Cauer 1 pueden agruparse en una sola:
100
7.3 Bipuertas pasivas
1
Z ( s ) = K ∞ s + ------------------------------------------------------------------1
K′ ∞2 s + ---------------------------------------------1
K ∞3 s + -------------------------K′ ∞4 s + …
(7.22)
Esta forma se denomina expansión continua en fracciones de Z(s) alrededor de ∞. Si Z(s) tiende
a 0 para s tendiendo a ∞, el primer término estará ausente.
La realización de Cauer 2 consiste en la eliminación de los polos en s=0 de la función de
impedancia y admitancia alternativamente. El resultado es una expansión continua en fracciones alrededor de 0:
K0
1
Z ( s ) = ------ + -------------------------------------------------------s K′ 02
1
---------- + -------------------------------------s
K 03
1
-------- + ----------------------s
K′ 04
---------- + …
s
(7.23)
Para N>3 las realizaciones de Foster y Cauer conducen a circuitos diferentes.
Hasta ahora se ha visto que hay muchas realizaciones equivalentes para una inmitancia
dada. Las distintas implementaciones aparecen en forma de circuitos escalera con ramas en serie
o paralelo, en resonancia (cortocircuito o circuito abierto) para s=0, s=∞ o s=jωi. Hemos visto
que cuando en la realización en escalera se desea una resonancia en una rama en serie hay que
eliminar un polo de impedancia y cuando se desea resonancia en una rama en paralelo hay que
eliminar un polo de la admitancia.
Es de esperar que una resonancia paralela en una rama en serie cause un cero de
transmisión porque la impedancia en serie de esa rama será un circuito abierto a la frecuencia
de resonancia y por tanto separa la entrada de la salida. Asimismo, una resonancia serie en una
rama en paralelo corresponderá a un polo de la admitancia que se convertirá en un cortocircuito
a la frecuencia de resonancia, cortando la transmisión de señal entre entrada y salida, y
constituyendo por tanto un cero de transmisión también.
Ya que en una estructura en escalera hay un único camino de la señal entre entrada y
salida, se deduce que únicamente se puede generar un cero de transmisión mediante un polo de
impedancia o un polo de admitancia. Ya que las inmitancias LC sólo tienen polos y ceros en el
eje jω se deduce que una estructura LC sólo puede tener ceros de transmisión en el eje jω.
Pero en una bipuerta LC no es la inmitancia lo que se da como especificación sino la
función de transferencia de una bipuerta LC operando entre dos terminaciones resistivas, como
101
se muestra en la Fig.7.8, por lo que primero ha de derivarse una inmitancia de síntesis apropiada
a partir de la característica de transferencia.
Fig.5.1 Temes
Fig.2.1 Schauman
Figura 7.8: Bipuerta LC doblemente terminada.
7.3.1 Parámetros de inmitancia. Condiciones de realizabilidad
Una bipuerta se compone de una puerta de entrada y una puerta de salida, como se muestra
en la Fig.7.8. Dicha bipuerta puede caracterizarse mediante:
V = Z⋅I
4
(7.24)
o
I = Y⋅V
(7.25)
siendo
z 11 z 12
Z(s) =
Y =
z 21 z 22
y 11 y 12
(7.26)
y 21 y 22
y
Z = Y
–1
(7.27)
por lo que pueden obtenerse fácilmente una de la otra si el determinante de la matriz es no nulo.
A partir del teorema de Tellegen se obtiene que las condiciones de realizabilidad de una
bipuerta pasiva son:
a) Todos los elementos zij de Z deben ser funciones racionales reales de s con z12=z21.
b) La expresión
2
2
Z ( s ) = z 11 a 1 + 2z 12 a 1 a 2 + z 22 a 2
(7.28)
debe ser una función real positiva para todo a1 y a2.
Análogamente para Y(s).
4. Referir el desarrollo al apéndice 7.2
102
Haciendo a1=0 o a2=0 se deduce que z11, z22, y11, y22 deben ser reales positivas, lo cual
es lógico ya que son funciones de inmitancia de una puerta con la otra puerta cortocircuitada o
en circuito abierto.
z12 no puede tener polos en el semiplano derecho ya que aparecerían en Z, z11, o z22 y esas
son funciones reales positivas. Cualquier polo en el eje jω será simple por lo que se pueden
expandir en fracciones:
k ij
z ij ( s ) = ---------------- + otros terminos
s – jω 1
(7.29)
De las condiciones de realizabilidad se obtienen un conjunto de condiciones muy útiles: las
condiciones de los residuos:
k 11 ≥ 0
k 22 ≥ 0
2
k 11 k 22 – k 12 ≥ 0
(7.30)
que debe cumplirse para todos los polos del eje jω de zij. En particular, deberá cumplirse para
todos los polos de las bipuertas LC
7.3.2 Parámetros de transducción
Cuando hasta ahora nos hemos referido a la función de transferencia H(s) no se han tenido
en cuenta las resistencias Rs y RL entre las que el filtro ha de operar, como se ha mostrado en la
Fig.7.8. Esta aproximación es aceptable en filtros activos, en los que la resistencia de la fuente
puede considerarse parte del filtro y la resistencia de carga suele no tener influencia porque la
salida del filtro normalmente es la salida de un amplificador operacional que puede considerarse
una fuente ideal de tensión. Estas resistencias han de tenerse en cuenta en filtros LC ya que
transforman el circuito en RLC y por tanto afecta la transferencia de potencia de la fuente a la
carga.
Consideremos pues las propiedades de transmisión de potencia de filtros LC doblemente
terminados5. En bipuertas doblemente terminadas el generador puede suministrar únicamente
una potencia finita a la bipuerta:
2
Vs
P 1 = I 1 ( jω ) Re { Z in ( jω ) } = -----------------------------------2- Re { Z in ( jω ) }
R s + Z in ( jω )
2
(7.31)
La potencia máxima disponible a la entrada de la bipuerta se consigue para Zin(jω)=Rs:
5. La transmisión de potencia no tiene sentido para bipuertas sin terminaciones resistivas o terminación simple, ya que o bien el generador es una fuente de tensión o intensidad ideal sin limitación de potencia, o la
carga es un abierto o un corto por lo que no se necesita potencia para mantener una tensión o intensidad
distinta de cero.
103
2
P max
Vs
= --------4R s
(7.32)
Mantener una tensión V2 en la resistencia de carga RL requiere una potencia:
2
V2
P 2 = ----------RL
(7.33)
Obviamente P1=P2 ya que el filtro LC no tiene pérdidas.
Definimos entonces la función de transferencia mediante el cociente de la transferencia
de potencia P2/Pmax:
H ( jω )
2
4R s V
= --------- -----2RL V
s
2
(7.34)
o
4R s V 2
N(s)
--------- ------ = ----------RL Vs
D(s)
H(s) =
(7.35)
Puede observarse que esta función de transferencia difiere de la considerada como relación
entrada-salida de la bipuerta únicamente por una constante que depende de Rs, RL y como se
define la tensión de entrada. Este cociente proporciona una buena medida de la eficiencia de
transmisión de potencia de la bipuerta. Para P2/Pmax=1 toda la potencia que el generador puede
suministrar se transmite a la carga.
Ya que en nuestro circuito sin pérdidas P1=P2 igualando (7.31) y (7.33) se obtiene:
H ( jω )
2
4R s Re { Z in ( jω ) }
R s – Z in ( jω )
= ---------------------------------------=
1
–
----------------------------2
R s + Z in ( jω )
R s + Z in ( jω )
2
= 1 – ρ ( jω )
2
(7.36)
que no es más que una forma alternativa de la ecuación de Feldtkeller. ρ es el coeficiente de
reflexión en la entrada del filtro LC con carga RL:
R s – Z in ( s )
ρ ( s ) = ± -------------------------R s + Z in ( s )
(7.37)
|ρ(jω)| es una medida de Pr (|ρ(jω)|2=Pr/Pmax), la potencia reflejada en la entrada debido al
desapareamiento entre Rs y Zin. El signo ± se debe a la extracción de la raíz cuadrada y se
resolverá más adelante. Luego:
104
P 1 + P r = P max
(7.38)
que concuerda bastante bien con la idea intuitiva de la Fig.7.9.
Fig.6.3 Temes
Figura 7.9: Flujo de potencia en una bipuerta doblemente terminada.
La función característica se define como:
K ( jω )
2
ρ ( jω )
= --------------------2H ( jω )
2
(7.39)
que utilizando la definición de potencias resulta:
K ( jω )
2
P r P max
Pr
= ----------- ----------- = -----P max P 2
P2
(7.40)
Luego la función característica da el cociente de las potencias reflejadas y transmitidas.
Estas ecuaciones pueden utilizarse para obtener la impedancia de entrada de un filtro LC
para una función de transferencia dada H(s)=N(s)/D(s). El coeficiente de reflexión:
ρ ( jω )
2
= 1 – H ( jω )
2
2
2
2
D ( jω ) – N ( jω )
2 F ( jω )
= ----------------------------------------------=
ε
--------------------22
D ( jω )
D ( jω )
(7.41)
donde se ha utilizado el polinomio de reflexión cero F(s):
F(s)
F̂ ( s )
ρ ( s ) = ± ε ----------- = ± ----------D(s)
D(s)
(7.42)
y despejando Zin de la ecuación (7.37) se obtiene:
D(s) −
+ F̂ ( s )Z in ( s ) = R s ---------------------------D ( s ) ± F̂ ( s )
(7.43)
Puede observarse que la ambigüedad del signo únicamente representa reemplazar Zin por 1/Zin
que conduce a un circuito dual.
105
7.3.3 Relación entre los parámetros de transducción e inmitancia
Las propiedades de transmisión de una bipuerta doblemente terminada suele especificarse
en términos de los parámetros de transducción H(s) o K(s). Sin embargo, veremos que la
realización toma los parámetros de inmitancia de la bipuerta como punto de partida. Por tanto,
es imprescindible establecer la relación entre ellos y ser capaz de obtener los parámetros de
inmitancia a partir de H(s) o K(s).
Si consideramos de nuevo el circuito de la Fig.7.8 podemos escribir:
V1 = Vs – I1 Rs
(7.44)
V2 = –I2 RL
Sustituyendo en (7.24) se obtiene:
z 11 I 1 + z 12 I 2 = V s – I 1 R s
z 12 I 1 + z 22 I 2 = – I 2 R L
(7.45)
Resolviendo estas dos ecuaciones para I1 e I2 se obtiene:
z 22 + R L
I 1 = V s ------------------------------------------------------------2
( z 11 + R s ) ( z 22 + R L ) – z 12
(7.46)
z 12
I 2 = – V s ------------------------------------------------------------2
( z 11 + R s ) ( z 22 + R L ) – z 12
Por tanto,
Rs –I2 RL
2 R s R L z 12
Rs V2
H ( s ) = 2 ------ ------ = 2 ------ -------------- = ------------------------------------------------------------2
RL Vs
RL Vs
( z 11 + R s ) ( z 22 + R L ) – z 12
6
(7.47)
La impedancia de entrada es:
V1
Vs – I1 Rs
Vs
Z in = ------ = ---------------------- = ----- – R s
I1
I1
I1
(7.48)
Sustituyendo (7.46) se obtiene:
6. Para parámetros de admitancia se obtiene:
2
----------------y 12
Rs RL
H ( s ) = -------------------------------------------------------------1
1
2
y 12 – ⎛ y 11 + -----⎞ ⎛ y 22 + ------⎞
⎝
⎠
⎝
Rs
R L⎠
106
2
Z in
2
( z 11 + R s ) ( z 22 + R L ) – z 12
z 12
= -------------------------------------------------------------- – R s = z 11 – ------------------z 22 + R L
z 22 + R L
(7.49)
El coeficiente de reflexión es:
2
R s – Z in
( R s – z 11 ) ( R L + z 22 ) + z 12
ρ ( s ) = ------------------- = ------------------------------------------------------------2
R s + Z in
( R s + z 11 ) ( R L + z 22 ) – z 12
(7.50)
Con el coeficiente de reflexión y la función de transferencia puede obtenerse la función
característica:
2
( R s – z 11 ) ( R L + z 22 ) + z 12
ρ
K = ---- = -------------------------------------------------------------H
2 RR z
(7.51)
s L 12
Las ecuaciones anteriores expresan los parámetros de transducción en función de los
parámetros de impedancia. Obtener los parámetros de impedancia en función de los parámetros
de transducción H(s) y K(s) requiere resolver dos ecuaciones con tres incógnitas. Pero sabemos
que las zij son funciones impares de s, por lo que podemos separar 1/H(s) y K(s) en sus partes
impar y par:
R s z 22 + R L z 11
1⎞
⎛ --=
--------------------------------⎝ H⎠ p
2 R s R L z 12
2
( z 11 z 22 – z 12 ) + R s R L
1⎞
⎛ --=
-------------------------------------------------⎝ H⎠ i
2 RR z
s L 12
(7.52)
2
z 12 )
– ( z 11 z 22 –
+ Rs RL
K i = -----------------------------------------------------2 R s R L z 12
R s z 22 – R L z 11
K p = -----------------------------2 R s R L z 12
Tenemos ahora 4 ecuaciones y 3 incógnitas. Vamos a sumar y restar las ecuaciones:
Rs RL
1⎞
⎛ --- + K i = ---------------⎝ H⎠ i
z 12
2
z 11 z 22 – z 12
1⎞
⎛ --- – K i = --------------------------⎝ H⎠ i
R s R L z 12
1⎞
⎛ --⎝ H-⎠ p + K p =
R s z 22
------ ------R L z 12
1⎞
⎛ --⎝ H-⎠ p – K p =
R L z 11
------ ------R s z 12
(7.53)
De la primera ecuación se obtiene:
107
Rs RL
z 12 = ----------------------1⎞
⎛ --- + Ki
⎝ H⎠ i
(7.54)
Sustituyendo en la tercera y cuarta ecuación en (7.53) se obtiene:
z 11
1⎞
⎛ --⎝ H-⎠ p – K p
= R s ------------------------1⎞
⎛ --- + Ki
⎝ H⎠ i
z 22
1⎞
⎛ --⎝ H-⎠ p + K p
= R L ------------------------1⎞
⎛ --- + Ki
⎝ H⎠ i
(7.55)
Si se sustituyen estos valores en la segunda ecuación de (7.53) concuerda perfectamente.
Los parámetros de admitancia pueden obtenerse de forma dual o bien a partir de los
parámetros de impedancia.
Pueden escribirse de forma más usable estas expresiones teniendo en cuenta que el
numerador de H(s) y denominador de K(s) debe ser una función racional impar o par de s, ya
que z11, z12 y z22 son funciones impares. Por tanto, si N(s) es par:
Dp ( s )
1⎞
⎛ --- = -------------⎝ H⎠ p
N(s)
Di ( s )
1⎞
⎛ --- = ------------⎝ H⎠ i
N(s)
F̂ p ( s )
K p ( s ) = ------------N(s)
F̂ i ( s )
K i ( s ) = -----------N(s)
(7.56)
Análogamante si N(s) es impar (ver apéndice). Sustituyendo (7.56) en (7.54) y (7.55) resulta si
N(s) es par:
D p – F̂ p
z 11 = R s -----------------D i + F̂ i
D p + F̂ p
z 22 = R L ------------------D i + F̂ i
Rs RL N
z 12 = -------------------D i + F̂ i
(7.57)
Análogamente si N(s) es impar (ver apéndice).
7.3.4 Realización de escaleras LC doblemente terminadas
A la hora de realizar una escalera LC doblemente terminada a partir de los parámetros de
impedancia o admitancia se plantean distintas preguntas como: ¿qué parámetro escoger como
impedancia de síntesis? ¿como realizarla de forma que el filtro tenga los ceros de transmisión,
determinados en parte por el numerador de z12, correctos?, ¿cómo asegurar que la impedancia
en la segunda puerta z22 se realiza simultáneamente con z11 y z12?
Ya que la inmitancia de síntesis debe representar a la escalera completa seleccionaremos
una de las dos funciones (entre z11, z22, y11, y22) que sean de mayor orden.
Para contestar a la segunda pregunta recordamos que los ceros de transmisión se realizan
mediante polos de impedancia (circuito abierto) en una rama en serie de la escalera, o polos de
admitancia (cortocircuito) en una rama en paralelo. Esto quiere decir que en algún momento del
108
proceso de realización de la inmitancia de síntesis, ésta debe tener un polo o cero que coincida
con un cero de transmisión, cosa que no ocurrirá de forma automática en la mayoría de los casos.
Este problema se resuelve mediante la técnica de desplazamiento de cero o eliminación parcial
de polos.
Supongamos una impedancia de síntesis, por ejemplo, z11(s) con un cero en s=0 y un polo
en s=∞. Por tanto,
lim z 11 ( s ) = sK ∞
(7.58)
s→∞
y K∞ es el residuo. En la Fig.7.10 se representa la reactancia (z11(ω)=jx11(ω)). Si tal como se
ha realizado en el tema 7 se elimina este polo de z11 la función restante:
(7.59)
z 1 = z 11 – K ∞ s
ya no tiene polo en s=∞ ya que este polo se ha eliminado completamente. Si nos fijamos en el
diagrama de la Fig.7.10(a) podemos observar que el cero en ω=ω2 se ha movido a la posición
marcada con un triángulo y el cero en ω=ω4 se ha desplazado a infinito.
Si en lugar de eliminar totalmente el polo en infinito se elimina solo parcialmente restando
un término Ks donde K<K∞, la función restante,
z 1 = z 11 – Ks
(7.60)
tiene todavía un polo en infinito con residuo K1=K∞−K>0. En este caso los ceros ω2 y ω4 se
desplazarán a las posiciones marcadas con un cuadrado en la Fig.7.10(a). Obsérvese que no se
desplaza el cero en el origen y los polos en ω1 y ω3.
Consideremos ahora la inversa de la impedancia de síntesis 1/z11(s). Se intercambiarán
polos y ceros. La Fig.7.10(b) muestra la correspondiente reactancia que ahora tiene un polo en
s=0:
0
1 = K
-----lim ------------s
s → 0z 11 ( s )
(7.61)
siendo K0 el residuo.
Si se elimina este polo completamente la admitancia restante tiene ahora un cero en s=0
ya que el cero en ω1 se mueve al origen como se muestra en la Fig.7.10(b). El cero en ω3 se
desplaza a la posición marcada con un triángulo. Si se elimina el polo solo parcialmente
restando a la admitancia un término K/s con K<K0, la admitancia restante aún tiene un polo en
el origen con residuo K1=K0−K>0 y los ceros en ω1 y ω3 se mueven a las posiciones señaladas
con un cuadrado. Puede observarse que el cero en infinito y los polos en ω2 y ω4 no se han
movido.
En la Fig.7.10(c) puede observarse que algo similar ocurre si se elimina completa o
parcialmente un polo interno, por ejemplo s=jω3.
109
Fig.2.9 Schauman
Figura 7.10: Funciones de reactancia para ilustrar la eliminación parcial y total de polos
en: (a) infinito, (b) cero, (c) interno.
De la discusión anterior pueden obtenerse las siguientes conclusiones:
110
1) Los ceros de inmitancia se mueven hacia la localización de los polos eliminados total
o parcialmente y en su desplazamiento nunca cruzan un polo adyacente.
2) La magnitud del desplazamiento del cero depende del valor de K, de en qué proporción
se ha eliminado el polo.
3) Cuanto más cercano está un cero al polo eliminado parcialmente mayor es en general
la distancia que se desplaza.
4) Ya que la eliminación parcial de un polo no reduce el orden de la función de inmitancia
cuesta un elemento adicional si se elimina en s=0 o s=∞ y dos elementos si se elimina
parcialmente un polo interno.
Veamos entonces cómo podemos realizar un cero de transmisión en ωz. Se elimina
parcialmente un polo, normalmente en el origen o en infinito y ocasionalmente un polo interno,
de la inmitancia de síntesis o de su inversa de manera que un cero de dicha inmitancia se
desplace hasta coincidir con la posición del cero de transmisión en ωz. La función restante se
invierte y el nuevo polo en ωz se elimina completamente realizándose de esta forma el cero de
transmisión en ωz. Ya que lo ceros se desplazan hacia el polo eliminado, el cero de transmisión
debe estar entre el cero a desplazar y el polo que se elimina parcialmente.
Supongamos que z11(s) con polos en s=0 y s=∞ se escoge como inmitancia de síntesis. Si
se ha de desplazar un cero de z11 a mayores frecuencias de manera que la función restante sea
0 en jωz, se elimina parcialmente el polo en ∞ y el residuo parcial K se obtiene de:
[ z 11 ( s ) – Ks ] jω = 0
z
z 11 ( jω z )
⇒ K = -------------------jω z
(7.62)
Si el cero de z11 se ha desplazar a frecuencias más bajas se elimina parcialmente el polo en 0 y
el residuo parcial viene dado por:
K
z 11 ( s ) – ---s
= 0
jω z
⇒ K = jω z z 11 ( jω z )
(7.63)
Para llevar a cabo este proceso sistemáticamente es conveniente hacer un diagrama polo/cero
que muestre las posiciones relativas de polos y ceros en el eje jω.
Los polos de z12 están contenidos en los polos de z11 por lo que el procedimiento ha
implementado los polos y ceros de z12. Por tanto, la z12 implementada no puede diferir de la
prescrita más que por una constante multiplicativa K, que puede obtenerse analizando el circuito
obtenido. Este problema puede subsanarse colocando en cascada un transformador de valor K:1,
tal como se ilustra en la Fig.7.11.
Hemos visto, pues, que con la eliminación parcial de polos y desplazamiento de ceros se
puede sintetizar z11 y z12 excepto una constante. Pero, cómo podemos asegurar que la
impedancia z22 se ha realizado correctamente?
Conviene introducir algunas definiciones. Un polo se denomina compartido si está
presente en las tres zij con residuo distinto de cero. Un polo se denomina privado si aparece sólo
111
z 12 real
K = -----------------z 12presc
K:1
Fig.6.10 Temes
K2Z
K2RL
Figura 7.11: Implementando la z12 prescrita.
en z11 o z22. Un polo se denomina compacto si la condición de residuo se verifica con el signo
= y no compacto si se verifica con el signo >.
La solución a nuestro problema viene dada por el teorema de Bader:
"Si en el desarrollo de la escalera cada eliminación parcial de un polo a una frecuencia
dada ωk es seguido por una eliminación total de un polo a la misma frecuencia, entonces los
parámetros de impedancia o admitancia del circuito implementado tendrán únicamente polos
compartidos compactos."
Puede demostrarse que si no se lleva a cabo la eliminación total del polo en ωk, la
inmitancia z22 realizada tendrá un polo privado en ω=ωk si ωk no es polo de los parámetros de
impedancia o admitancia; o los parámetros realizados tendrán un polo no compacto en ω=ωk si
ωk es polo de los parámetros de impedancia o admitancia. Según (7.47), ambos casos conducen
a un cero de transmisión en ωk.
Existe un segundo teorema de Bader que también tiene gran importancia:
"Si ninguna de las impedancias en serie o admitancias en paralelo tiene un polo en un polo
ωp de los parámetros de impedancia z (o y), entonces los parámetros de impedancia z (o y)
implementados tienen un polo compacto en ω=ωp."
Por tanto, si se ha seguido el teorema de Bader, la z22 realizada no tiene polos privados y
satisface la condición de residuo en todos sus polos con el signo =. Por otra parte, la z22 prescrita
es realizable por lo que todos sus polos satisfarán la condición de residuo con el signo ≥. Por
tanto, el residuo en cada polo de z22 prescrita es como mínimo igual de grande que la sintetizada.
Por tanto, podemos escribir la siguiente relación entre la z22 prescrita y la realizada:
112
(i)
z 22pres = z 22 real + Z
donde
Δk 22
Z = ∑ --------------s – jω i
(7.64)
(i)
Por tanto, sintetizando Z en serie con la segunda puerta realizará la bipuerta sin afectar a z12 y
z11, como puede observarse en la Fig.7.11.
El transformador ideal puede eliminarse sin más que trasladar la impedancia Z y RL al lado
primario. Para que la impedancia vista por el resto del circuito sea la misma las impedancias Z
y RL deben multiplicarse por K2.7 El resultado se muestra en la Fig.7.11. El transformador en
circuito abierto se ha eliminado. El resultado es únicamente un cambio en la constante
multiplicativa de V2 y del nivel de impedancia en la segunda puerta pero esto carece de
importancia en la mayoría de las aplicaciones.
En resumen, el conjunto de pasos para obtener un filtro escalera LC doblemente
terminado a partir de las especificaciones en el dominio de la frecuencia son:
1) Obtener la función de transferencia a partir de las especificaciones mediante alguna
técnica de aproximación de filtros.
2) Obtener los parámetros de inmitancia de la bipuerta a partir de los parámetros de transducción. Elegir como inmitancia de síntesis una entre z11, z22, y11, y22, y que tenga el
mismo orden que H(s).
3) Para las inmitancias de síntesis y transferencia elegidas dibujar diagramas polo/cero
con la posición relativa de polos, ceros y ceros de transmisión.
4) Mover un cero de la inmitancia de síntesis hasta hacerlo coincidir con un cero de transmisión mediante la eliminación parcial de un polo en el origen o en infinito. Normalmente no es necesario eliminar un polo interno. No olvidar que los polos eliminados
parcialmente deben ser normalmente eliminados completamente más adelante.
5) Invertir el resto de la inmitancia de síntesis y eliminar completamente el polo obtenido
en la localización del cero de transmisión.
6) Repetir los pasos 4) y 5) hasta que la inmitancia de síntesis se reduce a 0.
7) Analizar la escalera resultante a una frecuencia conveniente (normalmente ω=0 o ω=∞)
para encontrar la constante K:
z 12real
K = -----------------z 12presc
o
y 12real
K = -----------------y 12presc
(7.65)
7. Para ver esta relación basta considerar que:
v 2 = – Ri 2
La impedancia que se ve desde la entrada es:
v1
Kv 2
2
----- = --------------- = K R
i1
–i2 ⁄ K
113
Si K≠1 utilizar un transformador o cambiar la resistencia de carga para hacer la corrección necesaria.
8) Implementar la z22 restante en serie con la segunda puerta.
9) Supongamos que denotamos la frecuencia y los elementos de un filtro prototipo paso
de baja mediante s, LLP y CLP.
Si el filtro objetivo es paso de alta, la transformación LP→HP es:
1
s = --p
(7.66)
y tendremos la transformación de elementos:
1
1
sL LP → --- L LP = ------------p
pC HP
(7.67)
1
1
sC LP → --- C LP = ------------pL HP
p
El filtro paso de alta se obtiene reemplazando cada inductor LLP por un condensador
CHP=1/LLP y cada condensador CLP por un inductor LHP=1/CLP.
Si el filtro objetivo es paso de banda la transformación LP→BP es:
2
2
p + ωo
s = -----------------pB
(7.68)
y la transformación de elementos será:
2
2
2
2
2
ωo
2
C LP ω o
p + ωo
L LP L LP ω o
1
sL LP → L LP ------------------ = p --------- + ---------------- = pL BPs + -------------B
pB
pB
pC BPs
(7.69)
p +
C LP
1
sC LP → C LP ------------------ = p --------- + ---------------- = pC BPp + -------------B
pB
pB
pL BP p
El filtro paso de banda se obtiene sustituyendo cada inductor LLP por la combinación
en serie de LBPs=LLP/B y CBPs=B/LLPωo2; y cada condensador CLP por la combinación
en paralelo de CBPp=CLP/B y LBPp=B/CLPωo2.
Si el filtro objetivo es rechazo de banda la transformación LP→BR es:
pB
s = ----------------2
2
p + ωo
(7.70)
y la transformación de elementos será:
114
7.4 Realización de filtros pasa todo LC
pB
1
1
sL LP → L LP ----------------= ------------------------------------ = --------------------------------------2
2
2
1
ωo
p + ωo
pC BR p + -------------1
p ------------- + ---------------pL BRp
L LP B pBL LP
1
pB
1
sC LP → C LP ----------------- = ---------------------------------------- = ----------------------------------2
2
2
1
ωo
p + ωo
pL BRs + -------------1
p ------------- + ----------------pC BR s
BC LP pBC LP
(7.71)
El filtro rechazo de banda se obtiene sustituyendo cada inductor LLP por la combinación en paralelo de CBRp=1/BLLP y LBRp=BLLP/ωo2 y cada condensador CLP por
la combinación en serie de LBRs=1/BCLP y CBRs=BCLP/ωo2.
10)Finalmente habrá que desnormalizar los elementos si es necesario.
Puede ocurrir que los valores finales obtenidos de L y C tengan un rango de variación
entre el menor y el mayor muy grande, lo cual no es muy conveniente para implementación. En
ese caso se pueden utilizar una serie de transformaciones que reducen esas relaciones de valores
a unas más prácticas.
Finalmente, hacer notar que hemos realizado eliminación parcial de polos y ceros,
normalmente en s=0 o s=∞, para desplazar un cero a la posición del cero de transmisión y
entonces una eliminación total del polo para realizar ese cero. Dicha eliminación parcial del
polo crea un cero de transmisión en esa posición si no hay una eliminación total posterior. Si la
hay, esta eliminación total creará un cero de transmisión. Por tanto, para poder realizar el
proceso de implementación la función de transferencia debe tener un cero de transmisión en
s=∞ (en el caso de paso de baja y paso de banda) y/o s=0 (en el caso de paso de alta y paso de
banda).
Se ha visto con anterioridad que los ceros de una función pasa todo están localizados en
el semiplano derecho del plano s y que son imágenes especulares de los polos:
D ( –s )
H ( s ) = --------------D(s)
(7.72)
También sabemos que el polinomio de transmisión cero N(s) debe tener todos los ceros
en el eje jω para ser realizable como escalera LC. Podemos concluir que las funciones pasa todo
no son realizables con escaleras LC. Una estructura adecuada para implementarlos es la
estructura simétrica "lattice" de la Fig.7.12 donde las impedancias LC Z1 y Z2 satisfacen la
relación8:
8. La estructura es simétrica, tanto la resistencia del generador como la de carga son Ro.
115
2
Z 1 ( s )Z 2 ( s ) = R o
(7.73)
Ia
Ib
Fig.2.15 Schauman
Figura 7.12: Estructura lattice sin pérdidas de resistencia constante.
El análisis de dicha estructura muestra los siguientes parámetros de impedancia:
V1
z 11 = -----I1
z 12
V1
= --------------Ia + Ib
I2 = 0
V2
= -----I1
I2 = 0
I2 = 0
Ia Z2 – Ib Z1
= --------------------------Ia + Ib
1
= --- ( Z 1 + Z 2 ) = z 22
2
(7.74)
I2 = 0
1
= --- ( Z 2 – Z 1 )
2
Utilizando (7.47) se obtiene que la función de transferencia H(s)=V2/V1 es:
V2
2R o z 12
Ro ( Z2 – Z1 )
H ( s ) = ------ = ------------------------------------------------------------=
------------------------------------------------------------------------ =
2
2
V1
Z
Z
1
2
1
2
( z 11 + R o ) ( z 22 + R o ) – z 12
⎛ ----- + ----- + R ⎞ – --- ( Z – Z )
o⎠
1
⎝2
2
4 2
Ro ( Z2 – Z1 )
Z2 – Z1
Ro ( Z2 – Z1 )
= ------------------------------------------------------------=
---------------------------------------------=
--------------------------------=
2
2
2R o + Z 2 + Z 1
Ro + Z1 Z2 + Z2 Ro + Z1 Ro
2R o + Z 2 R o + Z 1 R o
(7.75)
2
Ro
Z1
------ – Z 1
1 – -----2
2
Z1
Ro
Ro – Z1
Ro – Z1
= ---------------------------------2- = --------------------------------------=
----------------=
-------------2
2
Ro + Z1
Z1
Z 1 + R o + 2R o Z 1
Ro
1 + -----2R o + Z 1 + -----Ro
Z1
De la misma forma la impedancia de entrada resulta:
116
Z in
1
2
2
- ( Z – Z1 )
z 12
Z 1 Z 2 -4 2
= z 11 – ------------------- = ----- + ----- – ------------------------------- =
z 22 + R o
2
2 Z1 Z2
----- + ----- + R o
2
2
Z2 Ro Z1 Ro
Z 1 Z 2 + ------------ + -----------2
2
= ------------------------------------------------- = R o
Z1 Z2
----- + ----- + R o
2
2
(7.76)
La impedancia de entrada es independiente de la frecuencia. Por ello, este circuito se denomina
"lattice" de resistencia constante.
Z1 y Z2 son impedancias LC por lo que Z1(jω)/Ro es imaginario puro y (7.75) será el
cociente de dos números complejos conjugados. Por tanto, la magnitud |H(jω)|=1. En
consecuencia, el circuito "lattice" LC de resistencia constante es un filtro pasa todo cuya
impedancia de entrada es igual a la resistencia de carga para todas las frecuencias.
Se deduce una interesante propiedad: una conexión en cascada de varias "lattices" de
resistencia constante tiene una función de transferencia en tensión que es simplemente el
producto de las funciones de transferencia de los bloques individuales:
Vo V2 V3
Vn Vo
------ = ------ ------ … ------------ -----V1 V1 V2 Vn – 1 Vn
(7.77)
ya que cada celda ve únicamente una resistencia de carga Ro.
Por tanto, si se ha realizado una escalera LC con una resistencia de carga RL y tenemos
que corregir su fase o retraso, se puede reemplazar RL por una "lattice" o una cascada de
"lattices" terminadas en RL. La operación de la escalera LC no se ve afectada ya que su carga
no varía.
Veamos ahora la realización de una función pasa todo de orden n:
Dn ( –s )
H n ( s ) = ----------------Dn ( s )
(7.78)
Si n es par el polinomio Dn(s) se puede factorizar en términos de la forma:
ωi
2
2
s + s ----- + ω i
Qi
(7.79)
y si n es impar en factores de este tipo y un factor de primer orden:
s+σ
(7.80)
Por tanto, la función de transferencia global puede escribirse como:
117
2
2
σ – s s – sω i ⁄ Q i + ω i
H n ( s ) = ------------ ∏ ----------------------------------------- = H 1 ( s ) ∏ H 2i ( s )
σ + s s 2 + sω ⁄ Q + ω 2
i
i
i
i
(7.81)
i
Por tanto, H1 y H2i pueden realizarse separadamente y obtener Hn mediante la cascada de todas
ellas. Se reduce el problema a implementar funciones pasa todo de primer y segundo orden.
Supondremos que está normalizado: Ro=1.
Para la función de primer orden:
σ–s
1–s⁄σ
H 1 ( s ) = ------------ = ------------------σ+s
1+s⁄σ
(7.82)
Comparando con (7.75):
1
s
Z 1 ( s ) = ------------- = --Z2 ( s )
σ
(7.83)
La realización de esta función se muestra en la Fig.7.13(a). La Fig.7.13(b) es un equivalente con
tierra común que puede analizarse y comprobar que es un circuito equivalente.
(b)
(a)
Figura 7.13: Estructura pasa-todo de primer orden de resistencia constante: (a) lattice
de 4 elementos; (b) circuito equivalente con tierra común.
Para el caso de la función de segundo orden:
sω i ⁄ Q i
1
–
----------------2
2
2
2
s – sω i ⁄ Q i + ω i
s + ωi
H 2i ( s ) = ----------------------------------------- = --------------------------2
2
sω i ⁄ Q i
s + sω i ⁄ Q i + ω i
1 + ----------------2
2
s + ωi
(7.84)
Por tanto, Z1 y Z2 son:
118
sω i ⁄ Q i
1
Z 1 ( s ) = ------------- = ----------------2
2
Z2 ( s )
s + ωi
(7.85)
cuya realización se muestra en la Fig.7.14(a). El circuito de la Fig.7.14(b) es un circuito
equivalente de tierra común.
(a)
(b)
Figura 7.14: Estructura pasa-todo de segundo orden de resistencia constante: (a) lattice
de 8 elementos; (b) circuito equivalente con tierra común.
119
120

SÍNTESIS DE FILTROS PASIVOS

Transcripción

Documentos relacionados

Fallece el cantautor Polo Montañez

cuestionario sobre confianza en la comunicación entre