1º Calcula un vector perpendicular a de módulo 3

1º Calcula un vector perpendicular a de módulo 3

Apellidos y Nombre: ...........................…….............….......…………...
Curso:4º ESO, A
Fecha: 5-III-09
Nota
RESOLUCIÓN. Lecciones 8 y 9.Geometría y Sucesiones.
G
1º Calcula un vector perpendicular a u = (2, −4) de módulo 3.
G
Sea v = (x, y)
G G
G G
u ⊥ v ⇒ u ⋅ v = 0 ⇔ (2, −4) ⋅ (x, y) = 0 ⇒ 2x − 4y = 0 ⇔ x = 2y
Condiciones: G
v = 3 ⇒ x 2 + y2 = 3 ⇔ x 2 + y2 = 9
El problema se reduce a resolver el sistema:
x = 2y
⎫
9
2
2
2
⎬ ⇒ (2y) + y = 9 ⇒ 5y = 9 ⇒ y = ±
5
x + y = 9⎭
Se tienen DOS soluciones:
G ⎛ 9 9⎞
9
9
si y = +
⇒x=2
⇒ v = ⎜⎜ 2 ,
⎟⎟
5
5
⎝ 5 5⎠
2
2
G ⎛
9
9
9
9⎞
⇒ x = −2
⇒ v = ⎜⎜ −2 , −
⎟
5
5
5
5 ⎟⎠
⎝
Observación: se podría haber simplificado los resultados.
si y = −
9
3
3
5 3 5
=
=
⋅
=
5
5
5
5 5
G ⎛6 5 3 5⎞
v = ⎜⎜
,
⎟
5 ⎟⎠
⎝ 5
2º Dados los puntos A=(1,5) y B=(7,2) calcula los puntos P y Q del segmento AB que lo
dividen en tres partes iguales.
Condición:
B
AB = 3AP ⇒ B − A = 3(P − A)
⇔ B − A = 3P − 3A ⇒ B + 2A = 3P ⇒
Q
P=
B + 2A (7, 2) + 2(1,5) (9,12)
=
=
⇒
3
3
3
P = (3, 4)
P
AP = PQ ⇒ P − A = Q − P ⇒ 2P − A = Q
⇒ Q = 2 ( 3, 4 ) − (1,5 ) ⇒ Q = ( 5,3)
A
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Nota
RESOLUCIÓN. Lecciones 8 y 9.Geometría y Sucesiones.
3º Calcula la mediatriz del segmento AB siendo A=(1,-5) y B(3, 7).
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto
medio.
⎧
A + B (1, −5 ) + ( 3, 7 )
=
= ( 2,1)
punto M =
⎪
2
2
⎪
G
m:⎨
vector director u ⊥ AB = B − A = ( 3, 7 ) − (1, −5 )
⎪
G
⎪= ( 2,12 ) ⇒ u = ( −12, 2 )
⎩
La recta en forma continua será:
x − 2 y −1
m:
=
2
−12
⎧ x = 2 + 3k
x y
4º Estudia las posiciones relativas de las rectas: r : ⎨
y s : + =1.
2 4
⎩ y = −4 + k
Se expresan ambas rectas en forma general:
⎧ x = 2 + 3k
x−2 y+4
⇒k=
=
⇒ x − 2 = 3 ( y + 4 ) ⇒ x − 2 = 3y + 12
r:⎨
3
1
⎩ y = −4 + k
x − 3y − 2 − 12 = 0 ⇒ r : x − 3y − 14 = 0
x y
2x + y
+ =1⇒
= 1 ⇒ 2x + y = 4 ⇒ s : 2x + y − 4 = 0
2 4
4
Comparando los coeficientes:
1 −3 −14
≠
≠
⇒ secantes.
2 1
−4
5º Calcula el valor de a para que la recta x − 3 = ay + 4 tenga de pendiente 2. Calcula su
vector director, su vector normal y exprésala en forma segmentaria.
Expresemos la recta en forma general: x − 3 = ay + 4 ⇒ x − ay − 7 = 0
s:
G
G
1
1
Un vector normal será n = (1, −a ) ⇒ v = ( a,1) ⇒ m = = 2 ⇒ a =
a
2
Solución:
G ⎛
1⎞ G ⎛1 ⎞
n = ⎜ 1, − ⎟ ⇒ v = ⎜ ,1⎟
2⎠
⎝
⎝2 ⎠
y
x−
y
2 = 7 ⇔ x − y =1
x− =7⇔
2
7 14
7
7
Forma segmentaria:
⇔
x
y
+
=1
7 −14
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RESOLUCIÓN. Lecciones 8 y 9.Geometría y Sucesiones.
6º Calcula los límites de las siguientes sucesiones:
−4n 2 +1
⎛ 3n − 1 ⎞
a) lim ⎜
⎟
n →∞ 5n + 2
⎝
⎠
Primero se determina el tipo de indeterminación:
1⎞
⎛ 3n − 1 ⎞
⎛
⎜ n ⎟
⎜ 3− n ⎟ 3−0 3
⎛ 3n − 1 ⎞ ⎛ ∞ ⎞
BASE: lim ⎜
=
= <1
⎟ = ⎜ ⎟ = nlim
⎜
⎟ = nlim
⎜
n →∞ 5 n + 2
→∞ 5n + 2
→∞
2 ⎟ 5+0 5
⎝
⎠ ⎝∞⎠
⎜
⎟
⎜ 5+ ⎟
⎝ n ⎠
⎝
n⎠
EXPONENTE: lim ( −4n 2 + 1) = −4 ( ∞ ) = −∞
2
n →∞
⎛3⎞
Nuestro límite es del tipo ⎜ ⎟
⎝5⎠
b) lim
−∞
∞
⎛5⎞
=⎜ ⎟ =∞
⎝3⎠
( 2n − 1) ⋅ ( 3n 2 + 2 )
5n ⋅ (1 − n 2 )
n →∞
Primero se determina el tipo de indeterminación:
lim
n →∞
( 2n − 1) ⋅ ( 3n 2 + 2 )
5n ⋅ (1 − n
2
)
= lim
n →∞
6n 3 + 4n − 3n 2 − 2
5n − 5 n
3
⎛ ∞ ⎞
=⎜
⎟=
⎝ −∞ ⎠
6n + 4n − 3n − 2
4 3 2
6+ 2 − − 3
3
n
n n n = 6 = −6
= lim
lim
3
n →∞
n →∞
4
5n − 5n
−5
5
−5
2
3
n
n
3
2
3n 2 +1
⎛ 4n + 3 ⎞ 2n +1
c) lim ⎜
⎟
n →∞ 4n − 1
⎝
⎠
Primero se determina el tipo de indeterminación:
3⎞
⎛ 4n + 3 ⎞
⎛
4
+
⎜
⎟
⎜
⎛ 4n + 3 ⎞ ⎛ ∞ ⎞
n ⎟= 1
BASE: lim ⎜
= ⎜ ⎟ = lim ⎜ n ⎟ = lim ⎜
⎟
n →∞ 4 n − 1
n →∞
n →∞
4n − 1
1⎟
⎝
⎠ ⎝∞⎠
⎜
⎟
⎜ 4− ⎟
⎝ n ⎠
⎝
n⎠
2
⎛ 3n + 1 ⎞
1⎞
⎛
3n + ⎟
⎜
⎟
⎜
⎛ 3n 2 + 1 ⎞ ⎛ ∞ ⎞
n =∞= ∞
EXPONENTE: lim ⎜
⎜ n ⎟ = lim ⎜
⎟ = ⎜ ⎟ = nlim
⎟
→∞
→∞
n →∞ 2 n + 1
n
+
2n
1
1
⎜⎜
⎟⎟
⎝
⎠ ⎝∞⎠
⎜ 2+ ⎟ 2
n ⎠
⎝
⎝ n ⎠
Por lo tanto, es un límite tipo número e. Aplicando la fórmula:
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Nota
RESOLUCIÓN. Lecciones 8 y 9.Geometría y Sucesiones.
3n 2 +1
2n +1
⎡⎛ 4n + 3 ⎞
⎤ 3n 2 +1
lim ⎢⎜
⎟ −1⎥ ⋅
⎛ 4n + 3 ⎞
lim ⎜
= e n→∞ ⎣⎝ 4n −1 ⎠ ⎦ 2n +1 ⇒
⎟
n →∞ 4n − 1
⎝
⎠
4n + 3 4n − 1 4n + 3 − 4n + 1
4
⎛ 4n + 3 ⎞
−
=
=
⇒
⎜
⎟ −1 =
4n − 1 4n − 1
4n − 1
4n − 1
⎝ 4n − 1 ⎠
4 3n 2 + 1
12n 2 + 4
12n 2 + 4
=
⋅
= 2
= 2
⇒
4n − 1 2n + 1 8n + 4n − 2n − 1 8n + 2n − 1
12n 2 + 4
4
12 + 2
2
12n 2 + 4
⎛∞⎞
n = 12 = 3
= ⎜ ⎟ = lim 2 n
= lim
lim 2
n →∞ 8n + 2n − 1
8
2
⎝ ∞ ⎠ n →∞ 8n + 2n − 1 n →∞ 8 + 2 − 1
2
2
n n
n
3n 2 +1
3
⎛ 4n + 3 ⎞ 2n +1
2
e
⇒ lim ⎜
=
= e3
⎟
n →∞ 4n − 1
⎝
⎠
2n
.
n +1
a) calcula su límite.
2n
2n
2
∞
⎛ ⎞
lim
= ⎜ ⎟ = lim n = lim
= 2
n →∞ n + 1
⎝ ∞ ⎠ n →∞ n + 1 n →∞ 1 + 1
n
n
b) ¿A partir de qué término la diferencia entre este y su límite es menor que 0,001?
2n
2n 2 ( n + 1)
2n − 2n − 2
− 2 < 0, 001 ⇔
−
< 0, 001 ⇔
< 0, 001 ⇔
n +1
n +1
n +1
n +1
7º Dada la sucesión a n =
2
2
2
−2
< 0, 001 ⇔
< 0, 001 ⇔
< n +1 ⇔ n >
− 1 = 1999
n +1
n +1
0, 001
0, 001
A partir de a1999 la diferencia es menor que una milésima