Programación y Métodos Numéricos Resolución de ecuaciones no

Transcripción

Universidad Politécnica de Madrid
Ingeniería de Minas
Programación
Programación yy Métodos
Métodos Numéricos
Numéricos
Resolución
Resolución de
de ecuaciones
ecuaciones no
no lineales:
lineales:
Método
Método de
de aproximaciones
aproximaciones sucesivas
sucesivas
Carlos Conde Lázaro
Arturo Hidalgo López
Alfredo López Benito
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
Marzo, 2007
41
Método
Método de
de aproximaciones
aproximaciones sucesivas:
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (1)
(1)
Definición 1 (Sucesión convergente en R ).
Se dice que la sucesión de números reales {x i }i= 0 ∈ R
∞
es CONVERGENTE si existe un número real finito x* tal
que para cualquier valor ε > 0 se puede encontrar un índice
n verificando que
|xm – x*| < ε ∀ m > n . En tal caso
se dice que x* es el límite de la sucesión {x i }i= 0 ∈ R
∞
lim ( x i ) = x * ⇔ {∀ ε > 0 ∃ n / ∀ m > n :| x m − x * |< ε}
i→ ∞
42
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (2)
(2)
ε
x0
x1
.......
xi
.......
xn ....... xm .......
ε
x*
x*
43
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (3)
(3)
OBSERVACIÓN:
Hay sucesiones de números reales convergentes (con
límite) y sucesiones no convergentes (sin límite).
Ejemplos:
∞
1
⎛ 1 ⎞
⎧
⎫
es una sucesión convergente: lim ⎜
⎨ xi =
⎬
⎟=0
i
→∞
i + 1⎭i∞=0
⎝ i + 1⎠
⎩
i ⎫
⎧
es una sucesión convergente ⎛
⎨ xi =
⎬
⎞
i + 1⎭i=0
⎩
⎜ 1 ⎟ ⎛ 1 ⎞
⎛ i ⎞
= lim ⎜
=⎜
=1
lim ⎜
⎟
⎟
⎟
i
→∞
i
→∞
1
∞
i + 1⎠
1+ 0 ⎠
⎝
⎝
i
⎜
⎟
+
1
⎧
(−1) .i ⎫
i⎠
⎝
⎨ xi =
⎬
i + 1 ⎭i=0 es una sucesión NO convergente
⎩
44
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (4)
(4)
Propiedad 1. (Unicidad del punto límite)
El límite de una sucesión, si existe, es único.
Demostración:
Supongamos que hubiera dos límites a y b distintos siendo e la
distancia entre ellos: | a – b | = ε.
Se verificaría entonces que:
ε
∃na / ∀m > na :| x m − a |<
2
ε
∃nb / ∀m > nb :| x m − b |<
2
Por tanto para cualquier índice m mayor que na y que nb se debería
verificar que:
ε =| a − b |=| a − x m + x m − b |≤| a − x m | + | x m − b |<
lo cual es absurdo.
ε ε
+ =ε
2 2
c.q.d.
45
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (5)
(5)
Si en lugar de trabajar en toda la recta real se trabaja
en un subconjunto de ella una sucesión puede no tener
límite por: a) No ser convergente en la recta real.
b) Porque siendo convergente en la recta real,
su límite no pertenezca al subconjunto.
Ejemplo:
i ⎫ es una sucesión convergente en R cuyo
⎧
⎨ xi =
⎬
i + 1⎭i=0límite es 1.
⎩
∞
Todos los valores de la sucesión pertenecen a [0, 1[.
Pero la sucesión NO ES CONVERGENTE en [0, 1[
46
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (6)
(6)
Definición 2 (Sucesión de Cauchy en R ).
Se dice que la sucesión de números reales
es una SUCESIÓN DE CAUCHY si
{xi }i=0 ∈ R
∞
para cualquier valor
ε > 0 se puede encontrar un índice n verificando que:
|xp – xq| < ε
∀p,q > n
{xi }i=0
∞
es una sucesión de Cauchy ⇔
⇔ ∀ε > 0 ∃n / ∀p, q > n :| xp − x q |< ε
47
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (7)
(7)
Ejemplo:
∞
⎧
1 ⎫
La sucesión: ⎨ xi = ∑
⎬
verifica que:
k = 0 (k + 1) ! ⎭i = 0
⎩
p
q
p
1
1
1
∀n < q < p : x p − x q = ∑
−∑
= ∑
≤
k =1 (k + 1)!
k =1 (k + 1)!
k = q+ 1 (k + 1)!
∞
∞
n
1
1
1
≤ ∑
≤ ∑
=e−∑
k = q+ 1 (k + 1)!
k =n+ 1 (k + 1)!
k = 0 (k + 1) !
Para cualquier ε dado basta con considerar n tan elevado
como sea necesario para que la distancia entre dos
elementos cualesquiera con subíndice superior a n sea
inferior a ε.
Por tanto es una sucesión de Cauchy.
i
48
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (8)
(8)
Propiedad 2. (Convergencia de las sucesiones de Cauchy
definidas en cerrados de R)
Toda sucesión de Cauchy definida en un conjunto cerrado
de la recta real es convergente.
49
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (9)
(9)
Definición 3. (Contracciones en conjuntos de la recta real)
Sea I un subconjunto de R . Se dice que una aplicación fdefinida en I es una CONTRACCIÓN en I de
razón K si se verifica
1º)
f(x ) ∈ I
∀x ∈ I
2º) ∃K ∈ [0,1[ / f(x1 ) − f(x 2 ) ≤ K. x1 − x 2
∀x 1 , x 2 ∈ I
Consecuencia:
Toda contracción es una aplicación continua en I
50
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (10)
(10)
Ejemplos:
1º) La aplicación f(x) = (½) .x es una contracción en la recta
real de razón (½) ya que:
1
∀x1 , x 2 ∈ R: f(x1 ) − f(x 2 ) ≤ . x1 − x 2
2
L/2
x1
x2
L
51
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (11)
(11)
Ejemplos:
2º) La aplicación f(x) = (½) .x si se considera definida en
el intervalo [1, 3] NO es una contracción ya que:
f(x ) ∉ [1,3] ∀x ∈ [1, 2[
3º) La aplicación definida en toda la recta real por
f(x) = x2 NO es una contracción ya que, por ejemplo,
para x1 = 2 y x2 = 3 se verifica que:
|f(3) – f(2) | = 9 – 4 = 5 > | 3 – 2 | = 1
Por tanto no para todo par de puntos x1 , x2 se verifica
que: | f(x1) – f(x2) | < |x1 – x2|
52
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (12)
(12)
Ejemplos:
4º) La aplicación definida en [0 , 0.5[ por: f(x) = x2 sí
que es una contracción ya que:
a) f(x ) = x 2 ∈ [0, 0.5[
b) ∀x1 , x 2 ∈ [0, 0.5[:
∀x[0, 0.5[
( x12 − x22 ) = ( x1 + x2 ) . ( x1 − x2 ) ⇒
x12 − x 22 = x1 + x 2 . x1 − x 2
L>
|f(x1) – f(x2)|
L
x1
x2
<1
⇒ f(x1 ) − f(x 2 ) < x1 − x 2
53
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (13)
(13)
Propiedad 3. (Caracterización de contracciones en R )
Toda aplicación definida en el intervalo I de la recta real
que verifique:
1º) f(x ) ∈ I
∀x ∈ I
2º) f(x) ∈ C1 ( I)
3º) ∃K ∈ [0, 1[ / f '(x) ≤ K
∀x ∈ I
es una contracción en el intervalo I.
Demostración:
La primera condición coincide con la impuesta a las contracciones
54
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (14)
(14)
La segunda condición garantiza la existencia de derivada en todo
punto del conjunto I.
Por aplicación del teorema del valor medio:
∀x1 , x 2 ∈ I ∃c ∈ I / f(x1 )-f(x 2 ) = f '(c) . x1-x 2
de donde utilizando la tercera condición:
∀x1 , x 2 ∈ I : f(x1 )-f(x 2 ) ≤ K. x1 -x 2
siendo K < 1.
NOTA:
c.q.d.
Puede haber contracciones que no verifiquen las tres condiciones
impuestas en esta propiedad
55
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (15)
(15)
Definición 4 (Punto fijo de una aplicación)
Siendo g una aplicación definida en el conjunto I, se dice
que el punto x* de I es un punto fijo de la aplicación g si
se verifica que x* = g(x* )
Teorema 1. (Teorema del punto fijo en cerrados de R )
Toda contracción definida en un cerrado de la recta real
ADMITE UN ÚNICO PUNTO FIJO.
56
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (16)
(16)
Demostración:
A) Existencia del punto fijo (mediante aproximaciones sucesivas)
Dado x0 en I se genera la sucesión:
xi = g(xi-1)
(i = 1, 2, 3, ..., n, ....)
Denotando por K ( 0 < K < 1) a la razón de la contracción se
verificará que:
|xi+1 – xi | = | g(xi) - g(xi-1) | < K. | xi - xi-1 | <
< K2. | xi-1 - xi-2 | < K3. | xi-2 - xi-3 | < ........ < Ki. | x1 – x0 |
57
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (17)
(17)
De la relación | xi+1 – xi | < Ki. | x1 – x0 | se tiene que:
| xn – xn+p | < | xn – xn+1 |+| xn+1 – xn+p | <
< | xn – xn+1 |+| xn+1 – xn+2 |+| xn+2 – xn+p | < .... <
p −1
p −1
≤ ∑ xn + j+ 1 − xn + j ≤ ∑ K
j= 0
j= 0
n+ j
p −1
. x1 − x 0 = K . x1 − x 0 .∑ K j ≤
n
j= 0
∞
≤ K . x1 − x 0 .∑ K
n
j
= Kn . x 1 − x 0 .
j= 0
1
1− K
Luego para cualquier par de puntos xn y xn+p se verifica:
xn+p
Kn
− xp ≤
. x1 − x 0
1− K
58
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (18)
(18)
Kn
. x1 − x 0 nos permite afirmar que para
La relación: xn+p − xp ≤
1− K
cualquier valor de ε >0 se puede encontrar un índice n tal que
xp − x q ≤ ε ∀p,q > n
pues al ser 0 < K < 1 basta con tomar n de forma que:
⎛ ε.(1 − K) ⎞
ln ⎜
⎟
x
−
x
1
0 ⎠
n≥ ⎝
ln(K )
Kn
. x1 − x 0 < ε
1− K
Por tanto la sucesión generada {xi }i = 0 es una sucesión de Cauchy
Y al estar trabajando sobre un cerrado (Propiedad 2) puede afirmarse
que será convergente, es decir que existe x* tal que:
∞
x * = lim(xi ) = lim(g(xi −1 ))
i →∞
i→ ∞
59
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (19)
(19)
Como toda contracción definida en I es continua, se puede concluir
finalmente que
x * = lim(xi ) = lim(g(xi −1 )) = g(lim(xi −1 )) = g(x*)
i →∞
i →∞
i →∞
Lo que demuestra que x* es un punto fijo de g(x).
B) Unicidad del punto fijo
Si hubiese dos puntos fijos distintos, denotados por a y b, se tendría
que verificar:
|a - b | = |g(a) - g(b) | < K. |a - b | < |a - b |
Lo cual es absurdo.
Lo que demuestra que una contracción sólo puede tener,
c.q.d.
a lo sumo un punto fijo.
60
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (20)
(20)
Ejemplos:
1º) La aplicación definida en toda la recta real
f(x) =( ½ ).x es una contracción que sólo admite el
punto x* = 0 como único punto fijo.
2º) La misma aplicación si se considera definida en ]0, 1] NO tiene
ningún punto fijo.
]0, 1] NO es un cerrado
3º) La misma aplicación si se considera definida en
[1, 2] NO tiene ningún punto fijo.
(½).x NO es una contracción en [1, 2]
61
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (21)
(21)
4º) La aplicación definida en ]-1 , 1[ por: f(x) =( ½ ).x
es una contracción que, a pesar de no estar definida
sobre un cerrado, sólo admite el punto x* = 0 como
único punto fijo.
(Nota: Obsérvese que las condiciones del teorema
de punto fijo son SUFICIENTES pero
NO SON NECESARIAS )
62
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (22)
(22)
2.x + 6
definida en el conjunto
5º) La aplicación g(x ) =
3.x + 2
2⎫
⎧
I = ⎨x ∈ R / x ≥ ⎬
3⎭
⎩
es una contracción ya que: a) g(x ) ∈ I ∀x ∈ I
b) ∀x1, x 2 ∈ I :
2
3
2
3
g(x1 ) − g(x 2 ) =
2.x1 + 6 2.x 2 + 6
14.x 2 − 14.x1
=
−
=
≤
3.x1 + 2 3.x 2 + 2
9.x1.x 2 + 6.x1 + 6.x 2 + 4
14. x1 − x 2
7
≤
= . x1 − x 2
8
⎛2⎞
⎛2⎞ ⎛2⎞
⎛2⎞
9. ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ + 6. ⎜ ⎟ + 6. ⎜ ⎟ + 4
⎝3⎠ ⎝3⎠
⎝3⎠
⎝3⎠
63
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
fundamentos
fundamentos (23)
(23)
2.x + 6
Por tanto, g(x ) =
admitirá un único punto fijo en
3.x + 2
2⎫
⎧
I = ⎨x ∈ R / x ≥ ⎬
3⎭
⎩
Busquémoslo:
2.x * +6
⇔ 3.(x*)2 + 6 = 0 ⇒ x* = 2
x* = g(x*) ⇔ x* =
3.x * +2
64
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Procedimiento
Procedimiento
Preparación:
Rescribir la ecuación f(x) = 0
en la forma g(x) = x
x
g(x)
f(x)
x*
x*
f(x)
¡¡¡ Buscando que g(x) sea una contracción
en el intervalo de búsqueda de la raíz !!!
65
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Procedimiento
Procedimiento (2)
(2)
Formas de rescribir la ecuación:
x + f(x) =x 0
f(x) = 0
g(x) = x
f(x) = 0
x +f(x) =
ex0
eg(x)
f(x) = 0
0
cos(x) + f(x) =cos(x)
....
ln(ex + f(x)) = x
g(x) = x
g(x)
arcos(cos(x)+f(x)) = x
g(x) = x
Despejando de la propia g(x)
ecuación
....
66
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Procedimiento
Procedimiento (3)
(3)
Algoritmo provisional
Dada g(x) y x0 (en el intervalo en que g(x) es contracción)
Para i = 1, 2, 3, ....
xi Å g(xi-1)
Fin bucle.
67
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Procedimiento
Procedimiento (4)
(4)
INTERPRETACIÓN GRÁFICA
x
g(x0)
g(x)
g(x2)
g(x1)
g(x0)
x*
x0
x1
1ª Iteración
x0
x1 x2
Primeras iteraciones
x3
68
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Procedimiento
Procedimiento (5)
(5)
El teorema del punto fijo asegura que en las condiciones
consideradas se genera
UNA SUCESIÓN {xi} QUE CONVERGE
hacia la ÚNICA raíz de g(x) = x en
el intervalo de búsqueda.
Pero ... ¿cuántas iteraciones deben realizarse ?
69
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Procedimiento
Procedimiento (6)
(6)
En la demostración del teorema del punto fijo se obtuvo
que:
Kn
La relación: xn+p − xp ≤
1− K
. x1 − x 0 nos permite afirmar que para
cualquier valor de ε >0 se puede encontrar un índice n tal que
xp − x q ≤ ε
∀p,q > n
pues al ser 0 < K < 1 basta con tomar n de forma que: ⎛ ε.(1 − K) ⎞
n
K
. x1 − x 0 < ε
1− K
ln ⎜
⎟
x
−
x
1
0 ⎠
n≥ ⎝
ln(K )
Si se hace tender q hacia ∞ con esas n iteraciones:
x n+1 − x * ≤ ε
Pero esta forma de proceder exige conocer K.
70
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Procedimiento
Procedimiento (7)
(7)
Forma alternativa de determinar la cercanía a la solución:
Si g(x) es una contracción de razón K:
|xn+j+1 – xn+j| < K. |xn+j – xn+j-1| < K2. |xn+j-1 – xn+j-2| < .. <
< Kj. |xn+1 – xn| < K(j+1). |xn – xn-1|
y:
|xn – x* | < |xn – xn+1 | + |xn+1 – x* | <
∞
< .... <
∑
i =n
< |xn – xn+1 | + |xn+1 – xn+2 | + |xn+2 –<x* |
K
⎛ ∞ i⎞
≤
−
K.
K
.
x
x
=
. x n − x n −1
x i +1 − x i
n −1
⎜∑ ⎟ n
1− K
⎝ i=0 ⎠
71
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Procedimiento
Procedimiento (8)
(8)
K
. x n − x n −1
1− K
Puesto que K es una constante (0 < K < 1), llamando
C = K / (1 – K)
se tiene que:
En resumen: |xn – x* | <
|xn – x* | < C. |xn – xn-1 |
CONCLUSIONES:
1ª) La distancia entre los dos últimos valores hallados
es un indicador de la distancia entre el último valor
y la solución.
2ª) Cuanto menor sea el valor de K (razón de la contracción) menor será el valor de C.
72
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Algoritmo
Algoritmo
Dada la contracción g(x)
Dados x (en el intervalo en que g(x) es contracción),
maxiter y ε
iter Å 0
tol Å 2.ε
MIENTRAS ( (iter < maxiter) Y (tol > ε) ) HACER:
1º) z Å g(x)
2º) tol Å | x – z |
3º) x Å z
4º) iter Å iter + 1
FIN BUCLE CONDICIONAL.
73
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Ejemplo
Ejemplo
La densidad de energía radiada a la frecuencia υ por unidad de volumen en un “cuerpo negro” que se encuentra a la temperatura absoluta T, que denotaremos por u(υ,T),viene determinada por la ecuación
8.π.h
ϑ3
de Planck:
u(ϑ, T ) =
c
3
.
e
h. ϑ
k.T
−1
con: h (cte. de Planck) = 6.626.10-34 J.s
k (cte. de Boltzmann) = 1.38066.10-23 J/ºK
c (veloc. luz en vacío) = 3.108 m/s
π (aprox.) 3.1416
Determínese la frecuencia (positiva) a la que se hace máxima la
emisión de energía radiante a una temperatura fija T.
74
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Ejemplo
Ejemplo (2)
(2)
8.π.h
h
Llamando: M = 3
y N=
c
k
la ecuación de Planck se escribe como: u(ϑ, T ) = M.
ϑ3
N.
ϑ
T
e −1
Derivando respecto a υ, e igualando a 0, se tiene que:
ϑ
N.
⎛ N. Tϑ
⎞
3 N
3.ϑ . ⎜ e − 1⎟ − ϑ . .e T
T
du
⎝
⎠
(ϑ, T ) = M.
=0
ϑ
dϑ
⎛ N. T
⎞
⎜ e − 1⎟
de donde se tiene que:
⎝
⎠
2
ϑ
ϑ
N.
N.
⎛
⎞
N
3.ϑ2 . ⎜ e T − 1⎟ − ϑ3 . .e T = 0
T
⎝
⎠
⎛ N. Tϑ
⎞
N N. Tϑ
⇒ 3. ⎜ e − 1⎟ − ϑ. .e = 0
T
⎝
⎠
75
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Ejemplo
Ejemplo (3)
(3)
Llamando:
N
x = ϑ.
T
rescribimos la ecuación como:
⎛ N. Tϑ
⎞
N N. Tϑ
x
x
3. ⎜ e − 1⎟ − ϑ. .e = 0 ⇒ 3. ( e − 1) − x.e = 0
T
⎝
⎠
(ecuación a resolver)
La ecuación anterior es equivalente a:
3. ( e x − 1) − x.e x = 0 ⇒ (3 − x ).e x = 3 ⇒ (3 − x ) = 3.e − x
⇒ x = 3.(1 − e − x )
Analicemos la función g(x)
g(x)
76
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Ejemplo
Ejemplo (4)
(4)
g(x ) = 3.(1 − e − x )
0 < g'(x ) < 1
g '(x ) = 3.e − x
∀x >
1.1 >
ln(3) = 1.098...
Además, como g(x) es estrictamente monótona creciente y
g(1.1) = 3.(1 – e-1.1) = 3. (1 – 1/3 ) = 2.001... >1.1
g(3) = 3.(1 – e-3) = 2.8506... < 3
se verificará que: g(x ) ∈ [1.1,3 ]
∀x ∈ [1.1,3]
CONCLUSIÓN: en el cerrado [1.1, 3] la aplicación g(x) es
una contracción (y, por tanto, en él existe una única
solución de la ecuación g(x) = x).
77
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Ejemplo
Ejemplo (5)
(5)
x0 = 1.1
g(x0) = 2.001386... = x1
x1 = 2.001386
g(x1) = 2.594556... = x2
x2 = 2.594556
g(x2) = 2.775963... = x3
x3 = 2.775963
g(x3) = 2.813131... = x4
x4 = 2.813131
g(x4) = 2.819949... = x5
x5 = 2.819949
.........
x9 = 2.821437
g(x5) = 2.821173... = x6
x10 = 2.821439
g(x10) = 2.821439... = x11 ≈ x *
g(x9) = 2.821439... = x10
78
Método
Método de
de aproximaciones
sucesivas:
Ejemplo
Ejemplo (6)
(6)
ϑ*
T
x* ≈ 2.811439 ⇒ N.
≈ 2.811439 ⇒ ϑ* ≈ 2.811439.
T
N
k.T
⇒ ϑ* ≈ 2.821439.
h
NOTA:
k
ϑ*
≈ 2.821439. = 5.879.1010 s −1.ºK −1
T
h
Ley del desplazamiento de Wien:
“La frecuencia a la que se produce la emisión máxima
es directamente proporcional a la temperatura absoluta”
79
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Programación y Métodos Numéricos Resolución de ecuaciones no

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