Sborlini_Introducción al formalismo del funcional CTP

Sborlini_Introducción al formalismo del funcional CTP

Introducción al formalismo
del funcional CTP
Germán F.R. Sborlini
Departamento de Fı́sica
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Buenos Aires
Pabellón I, Ciudad Universitaria
(1428) Capital Federal
Argentina
Diciembre 2010
1.
Introducción
El formalismo de integrales funcionales ha demostrado ser muy útil y directo para manipular
teorı́as de campos cuánticos. La aplicación del método para brindar una descripción alternativa
de la mecánica cuántica fue desarrollada a fines de los años cuarenta por Richard Feynman. Entre
otras cualidades, este método es muy útil para derivar de forma natural las reglas de Feynman de
una teorı́a con interacciones perturbativas, como se puede ver en Ref. (6).
La formulación tradicional, conocida como formalismo in-out, permite calcular elementos de
matriz de operadores tensoriales entre los estados de vacı́o de la teorı́a en el pasado y futuro
distantes, respectivamente. Este enfoque es adecuado para tratar problemas en los cuales se pueda
suponer que estos estados de vacı́o asintóticos son iguales o conocidos. Sin embargo, puede ocurrir
que algún modelo particular haga interactuar los campos con la geometrı́a del espacio o que dicha
geometrı́a no sea estática, haciendo que estos estados no coincidan. Peor aún, en el caso de teorı́as
fuera del equilibrio, el estado del sistema en el futuro lejano se desconoce y, por ende, un formalismo
adecuado para tratar estos problemas debiera evitar referirse a dicho estado.
En la misma lı́nea crı́tica, el formalismo convencional no tiene la capacidad de manejar naturalmente valores de expectación, que son las magnitudes fı́sicamente relevantes del problema. Los
elementos de matriz h0+ | T |0− i pueden ser complejos, lo cual dificulta su interpretación. Además,
si bien es posible obtener valores de expectación tipo in-in, ello requiere la introducción de los
denominados coeficientes de Bogoliubov o transformaciones funcionales, lo cual suele introducir
complicaciones computacionales.
El formalismo de Keldysh-Schwinger está diseñado para obtener de forma natural valores de
expectación. En vez prender las interacciones externas adiabáticamente en el pasado remoto y
apagarlas en el futuro distante, la idea es partir de un pasado remoto, llegar hasta un instante
arbitrario t y volver hacia atrás. Esta noción de efectuar un camino cerrado en el espacio-tiempo
evita hacer referencia al estado asintótico en el futuro distante, que era el requisito deseado para
manejar teorı́as fuera del equilibrio.
El trabajo se encuentra estructurado de la siguiente manera. En la Sección 2 se discuten
algunos conceptos previos que son útiles para comprender las implicancias del formalismo inin. En la subsección 2.1 revisamos algunas generalidades del formalismo de integrales funcionales,
mientras que en la subsección siguiente se discute la utilidad de la funcional generatriz para obtener
funciones de correlación. La conexión con la mecánica estadı́stica es analizada en la subsección 2.3,
comparando la teorı́a de Landau para espines acoplados a un campo magnético externo con una
teorı́a de campos con un escalar real sometido a un potencial λφ4 . Para preparar el camino hacia la
extensión del formalismo funcional a teorı́as de campos curvos genéricos, se discuten brevemente
algunas cuestiones relacionadas con la estructura causal del espacio tiempo (subsección 2.4) y
sutilezas técnicas asociadas con el pasaje a una variedad diferencial (M, g) buena (subsección 2.5).
En la sección 3 discutimos más en detalle el formalismo CTP. Tras una breve descripción,
en la subsección 3.1 mostramos como obtener las ecuaciones fundamentales de la formulación de
integrales funcionales de caminos temporales cerrados, siguiendo la exposición presentada en el
capı́tulo introductorio de Ref. (7). En la subsección 3.2, mostramos las funcionales generatrices y
funciones de correlación para el caso de un campo escalar real en un espacio-tiempo plano 4-D,
además de discutir brevemente la extensión del formalismo a un espacio curvado. Finalmente, se
1
realiza una comparación entre el enfoque convencional y el formalismo in-in (subsección 3.4). Para
terminar la exposición, en la Sección 4 se exhiben las conclusiones.
2.
Conceptos previos
Como mencionamos en la Introducción, la idea de este trabajo es describir el formalismo de
Keldysh-Schwinger. Sin embargo, es necesario repasar algunos conceptos básicos relacionados con
integrales funcionales y funciones de Green en teorı́a de campos. También es necesario analizar la
conexión entre la mecánica estadı́stica y las teorı́as de campos, usando las integrales funcionales
y acciones efectivas como punto de contacto.
Adicionalmente, se incluye una breve descripción de las generalidades de la estructura causal de
una teorı́a fı́sica, lo cual será necesario para entender ciertos detalles técnicos detrás del formalismo
de integrales funcionales en espacios curvos.
2.1.
Integrales funcionales
La idea de utilizar integrales funcionales para obtener una descripción alternativa de la mecánica
cuántica fue introducida por Feynman. Este método ofrece una forma sencilla y natural de cuantizar una teorı́a clásica, ası́ como también derivar sus correspondientes reglas de Feynman. Quizás
la parte más atractiva del formalismo resida en la utilización del lagrangiano como entidad fundamental, lo que hace que las simetrı́as de la teorı́a se conserven de forma explı́cita.
Partamos de un sistema unidimensional compuesto por una partı́cula no relativista de masa
m, regido por el hamiltoniano
p2
+ V (x) ,
(1)
H=
2m
donde V es un potencial de interacción. Tomando como condición inicial que la partı́cula está en
la posición x0 en el instante t0 , nos interesa calcular la amplitud de transición a un estado en el
cual la partı́cula esté en x1 al instante t1 . Utilizando el formalismo hamiltoniano, dicha amplitud
viene dada por
U (x0 , t0 ; x1 , t1 ) = hx1 | e−iH(t1 −t0 ) |x0 i ,
(2)
siendo e−iH(t1 −t0 ) el operador de evolución temporal. En forma cualitativa, apelando al principio
de superposición, podemos decir que esta amplitud debe ser proporcional a una suma ponderada
sobre todos los posibles caminos que pueden conectar los eventos. Si el peso asignado a cada
camino es una fase pura, luego se puede motivar una relación entre dicha fase y la acción clásica,
de forma tal de poder recuperar adecuadamente el lı́mite clásico. Más formalmente, realizando
una partición de (t0 , t1 ) y discretizando el problema se puede mostrar que
" N −1 #
N Z
Y
X
mN
t1 − t0
xk+1 − xk
2
dxk exp i
(xk+1 − xk ) −
V
−→ U (x0 , t0 ; x1 , t1 )
2(t1 − t0 )
N
2
k=0
k=0
(3)
2
en el lı́mite N → ∞ y teniendo en cuenta que los caminos considerados satisfacen, por construcción,
la condición de borde x(t0 ) = x0 ∧ x(t1 ) = x1 . Introduciendo la notación usual Dx(t) para designar
la medida de integración sobre los caminos se tiene
Z
U (x0 , t0 ; x1 , t1 ) = Dx(t)eiS[x(t)]
(4)
que es la expresión buscada.
Es posible generalizar el resultado para un sistema con arbitrarios grados de libertad regido
por un hamiltoniano Weyl-ordenado H(p, q), obteniendo
!#
!
" Z
tb
X
YZ
dt
pi q̇ i − H(p, q)
,
(5)
U (qa , ta ; qb , tb ) =
Dq(t)Dp(t) exp i
ta
i
i
en donde i etiqueta los grados de libertad. Es importante señalar que las funciones q(t) deben
satisfacer qa = q(ta ) ∧ qb = q(tb ), pero no hay restricciones sobre los momentos asociados p(t). A
partir de esta expresión es posible definir integrales funcionales para teorı́as de campos cuánticos,
esto es, reemplazando los grados de libertad discretos q i por campos genéricos φ(x).1
Un hecho importante a tener en cuenta es que la descripción de la mecánica cuántica mediante
integrales funcionales se basa en campos clásicos. Esto queda manifiesto en Ec. 5: la utilización
de campos clásicos en el lado derecho de la ecuación permite obtener un elemento de matriz de
un operador en el miembro izquierdo.
2.2.
Funcionales generatrices
Las funciones de correlación son elementos clave en cualquier teorı́a de campos ya que permiten
calcular probabilidades de transición y, con ello, obtener predicciones fı́sicas. Por ejemplo, en el
área de fı́sica de partı́culas las funciones de correlación permiten construir, a través de la fórmula
LSZ, secciones eficaces de scattering, las cuales pueden ser medidas experimentalmente. Para
obtener formalmente dichas funciones, también conocidas como funciones de Green, resulta útil
introducir la funcional generatriz.
Para ser más explı́citos, veamos como se efectúa la definición de dicha generatriz en una teorı́a
con un campo escalar real φ(x), regido por una densidad lagrangiana L en el espacio plano usual.
Supongamos que entre dos instantes de tiempo T, T 0 , con T < T 0 , el campo se acopla linealmente
a una fuente J(x) y que fuera de dicha región la dinámica queda definida únicamente por L. Sea
Ω la región del espacio tiempo delimitada por las hipersuperficies Σ = {t = T } y Σ0 = {t = T 0 }.
Además, supongamos que L = L0 + LInt , en donde
L0 = ∂µ φ(x)∂ µ φ(x) − m2 φ(x)2
1
(6)
La afirmación anterior es estrictamente cierta, aunque la generalización del formalismo requiere algunas adecuaciones no triviales del mismo dependiendo de la naturaleza de la teorı́a tratada. El caso más directo es la
cuantización de un campo escalar en un espacio plano, ejemplo que utilizamos en varias partes de este trabajo
para mostrar explı́citamente algunos cálculos y definiciones. Sin embargo, la generalización a campos espinoriales
requiere introducir variables de Grassman para tener en cuenta las propiedades de anticonmutación. En el caso
de teorı́as con una simetrı́a de gauge, hay que aplicar algún método para evitar integrar sobre configuraciones
repetidas. También aparecen sutilezas al considerar espacios con curvatura no trivial.
3
es la densidad lagrangiana libre, mientras que LInt contiene términos de interacción. Entonces,
podemos introducir dos nuevos instantes de tiempo T̃ < T̃ 0 asociados a dos hipersuperficies Σ̃, Σ̃0
que delimitan una región Ω̃ tal que Ω ⊂ Ω̃ y L = L0 en Ω̃c . Dicho en palabras, estamos suponiendo
que en el pasado y futuro distantes, la teorı́a es libre; que dentro de Ω̃ se prende adiabáticamente
una interacción regida por LInt , y que en Ω se acopla el campo φ a una corriente externa J.
Sabiendo que los estados de vacı́o de la teorı́a libre están bien definidos en Ω̃c , se tiene que
Z
Z
Z
0
4
4
U (0, T̃ ; 0, T̃ ) = Dφ exp i d x L + i d x J(x)φ(x) ,
(7)
Ω̃
Ω
representa el elemento de matriz del operador evolución del sistema acoplado entre los estados de
vacı́o |0i en t = T̃ , T̃ 0 . Con ello, tomando el lı́mite T → −∞, T 0 → ∞ se define
Z
Z
4
Z [J] = Dφ exp i d x (L + J(x)φ(x))
(8)
que se conoce como la funcional generatriz.2 Otra magnitud que también suele designarse con
este nombre en la bibliografı́a es W [J] = −i log Z [J]. Es importante señalar que por cada campo
independiente que aparezca en la teorı́a es necesario introducir una corriente que se acople al
mismo. Ası́, se ve que es posible realizar una extensión directa de la definición de la funcional
generatriz a cualquier teorı́a de campos.3
La ventaja de las funcionales generatrices es que permiten obtener naturalmente funciones de
Green. Recordando la definición usual para una teorı́a con un campo escalar en un espacio plano
4-D,
GN (x1 , · · · , xN ) = h0+ | T φ(x1 ) · · · φ(xN ) |0− i
(9)
representa la función de Green o de correlación de N puntos en el espacio de coordenadas, siendo
T el operador de ordenamiento temporal. Cabe señalar que los estados de vacı́o considerados son
los correspondientes a la teorı́a asociada a L en el pasado y futuro distantes, respectivamente.
Notando que
Z
Z
∂
4
4
exp i d yJ(y)φ(y) = iφ(x) exp i d yJ(y)φ(y)
(10)
∂J(x)
y generalizando el resultado para una cantidad arbitraria de puntos intermedios se obtiene
1
∂
∂
h0+ | T φ(x1 ) · · · φ(xN ) |0− i =
−i
· · · −i
Z [J]
(11)
Z [J = 0]
∂J(x1 )
∂J(xN )
J=0
que es la relación entre la funcional generatriz y las funciones de correlación de N -puntos. Nótese
que si se desea trabajar en el espacio de momentos es necesario realizar una transformación de
Fourier en las variables xi . Sin embargo, en teorı́as sobre espacios curvos genéricos, resulta más
práctico trabajar en la representación de coordenadas.
Por otra parte, cabe señalar que la generalización a teorı́as con más campos es directa. Simplemente deben efectuarse ordenadamente las derivadas funcionales con respecto a las corrientes
asociadas a los campos involucrados en la función de correlación.
2
El lı́mite considerado presenta una sutileza técnica relacionada con la convergencia de la integral en el exponente.
Para que ello ocurra es necesario efectuar la integral rotando el contorno en el plano complejo, lo cual se logra
efectuando el cambio t → t(1 − i) al tomar el lı́mite.
3
En el caso de contar con campos espinoriales, las corrientes asociadas deben estar descriptas por campos de
Grassman.
4
2.3.
Conexión con mecánica estadı́stica
Al definir la funcional generatriz Z[J] para un campo escalar en el espacio-tiempo plano 4D podı́a verse un parecido muy notable con la función de partición de un sistema en mecánica
estadı́stica. La suma sobre las posibles configuraciones de los campos, pesados con factores exponenciales, y la introducción de una corriente externa acoplada al campo se asemeja a la descripción
estadı́stica clásica de un sistema de espines acoplados a un campo magnético externo. Veamos, a
continuación, que la analogı́a puede hacerse explı́cita y que es posible introducir una descripción
efectiva de la teorı́a cuántica.
Partamos de la funcional generatriz para una teorı́a escalar en el espacio-tiempo plano 4-D,
Z
Z
4
Z [J] = Dφ exp i d x (L [φ(x)] + J(x)φ(x))
(12)
considerando la densidad lagrangiana
L=
1
λ
1
(∂µ φ)2 − m2 φ2 − φ4 ,
2
2
4!
(13)
en donde λ es una constante de acoplamiento. Si efectuamos una rotación de Wick, es decir
cambiamos la variable de integración de acuerdo a t → −ix0 , luego se tiene que
x2 = t2 − |~x|2 −→ −(x0 )2 − |~x|2 = − |xE |2
(14)
y con ello,
Z
Z [J] =
siendo
Z
4
Z
4
Dφ exp − d xE (LE [φ] − Jφ)
Z
d xE (LE [φ] − Jφ) =
4
d xE
1 2 2 λ 4
1
2
(∂µ φ) + m φ + φ − Jφ .
2
2
4!
(15)
(16)
Recordando la expresión de la energı́a libre de Gibbs para un sistema de espines en la teorı́a de
Landau (ver Capı́tulo 8 de Ref. (6)),
Z
1
2
2
4
3
(17)
G= d x
(∇s(x)) + b(T − TC )s(x) + cs(x) − H(x)s(x)
2
se tiene que la analogı́a entre estos problemas es exacta, realizando las identificaciones
Z
G ↔
d3~x LE
H(x) ↔ J(xE )
s(x) ↔ φ(xE ) ,
(18)
(19)
(20)
y ajustando correctamente los parámetros libres de la teorı́a. En consecuencia, este resultado
motiva la posibilidad de emplear los métodos de estadı́stica para caracterizar los estados de una
teorı́a de campos cuánticos. En particular sabemos que, en el problema clásico, la minimización
de ciertas funciones permite obtener los estados de equilibrio del sistema. En principio se podrı́a
aplicar exactamente la misma idea en una teorı́a de campos cuánticos. Por ejemplo, en el modelo
5
descripto por Ec. 13, podrı́amos suponer que el valor de expectación del campo φ en el vacı́o se
obtiene minimizando el potencial clásico. Sin embargo, al calcular las correcciones provenientes de
los diagramas con loops, se pueden encontrar grandes desviaciones (ver Capı́tulo 11 de Ref. (6)).
Para continuar con el desarrollo de esta comparación, volvamos al sistema de espines. Si introducimos la densidad de energı́a de los spines
H[s] =
1
(∇s(x))2 + b(T − TC )s(x)2 + cs(x)4 ,
2
luego es posible escribir la función de partición del sistema de acuerdo a
Z
Z
−βF (H)
3
Z(H) = e
= Ds exp −β d x (H[s] − Hs) ,
(21)
(22)
en donde β = (kT )−1 y F (H) es la energı́a libre de Helmholtz. Como sabemos, G y F se encuentran
vinculadas a través de una transformación de Legendre; explı́citamente, G = F + M H en donde
Z
Z
Z
1
∂F
3
3
=
dy
Ds exp −β d x (H[s] − Hs)
M =−
(23)
∂H β Z
es la magnetización media del sistema. Por lo tanto se obtiene fácilmente que
∂G
=H,
∂M
(24)
con lo cual cuando H = 0 la energı́a libre de Gibbs alcanza un extremo en el valor correspondiente
de M .
Volviendo a la teorı́a cuántica con un campo escalar, recordemos que habı́amos definido anteriormente W [J]. Observando Ec. 22 es claro que W [J] cumple el rol de un funcional de energı́a
análogo a la energı́a libre de Helmholtz. Notemos que la derivada funcional respecto a la corriente
J dará lugar a
∂
W [J] = h0| φ(x) |0iJ
(25)
φcl (x) = −
∂J(x)
que se conoce como campo clásico. Esta cantidad es un valor medio del campo cuántico entre los
estados de vacı́o de la teorı́a interactuante en presencia de la fuente J. Observando Ec. 23, vemos
que φcl (x) corresponde a la densidad de magnetización en el modelo termodinámico. Por otro lado,
transformando Legendre la energı́a funcional obtenemos
Z
Γ [φcl ] = −W [J] − d4 y J(y)φcl (y) ,
(26)
que es lo que se conoce como acción efectiva y es el análogo cuántico de la energı́a libre de Gibbs
(con un factor −1 de diferencia). Usando las identificaciones magnéticas se tiene que
∂
Γ [φcl ] = −J(x) ,
∂φcl (x)
(27)
con lo cual, en ausencia de fuentes, el mı́nimo de Γ permite obtener el valor de expectación de
φ en los estados cuánticos estables. Como observación final, notemos que, al igual que la energı́a
libre de Gibbs, Γ es extensiva: si V es el volumen de la región en el espacio-tiempo sobre la cual
se efectúa la integral funcional, luego Γ [φcl ] = −V Veff (φcl ), siendo Veff el potencial efectivo de la
teorı́a cuántica.
6
2.4.
Estructura causal
La causalidad es una propiedad presente en la mayorı́a de las teorı́as de la fı́sica. En forma intuitiva, refiere a la posibilidad de establecer relaciones tipo causa-efecto entre fenómenos observables.
Para ello es necesario efectuar un ordenamiento de los eventos en el espacio-tiempo.
Sea M una variedad lorentziana dotada de una métrica g, que notaremos de forma reducida
como (M, g). Sabemos que para cualquier punto p ∈ M es posible definir el espacio tangente
asociado Tp M , y considerar en el mismo la restricción de la métrica gp : Tp M × Tp M → R. Dados
dos vectores x, y ∈ Tp M pueden ocurrir tres situaciones:4
gp (x, y) > 0 si están temporalmente separados;
gp (x, y) = 0 si tienen separación nula (apréciese que no necesariamente son el mismo vector);
o, gp (x, y) < 0 si están espacialmente separados.
Introduciendo la función diagonal ∆p : Tp M → Tp M × Tp M , ∆p (x) = (x, x), luego tenemos
gp (∆(x)) = g˜p (x). Ası́, podemos clasificar los vectores del espacio tangente en espaciales (g˜p (x) <
0), nulos (g˜p (x) = 0) o temporales (g˜p (x) > 0). Tomemos ahora todos los vectores temporales y
consideremos la relación
x∼
(28)
= y ⇔ gp (x, y) > 0 .
Claramente, esta relación es simétrica (por la simetrı́a de la métrica), reflexiva (pues los elementos relacionados son vectores temporales) y transitiva (pues gp cumple la desigualdad triangular
reversa). Por continuidad puede extenderse la definición de ∼
= para vincular vectores nulos. En
∼
consecuencia, = define una relación de equivalencia en el conjunto de los vectores no-espaciales
sobre Tp M y ello induce una partición sobre dicho conjunto. Las dos clases de equivalencia resultantes permiten introducir una flecha temporal en cada punto p ∈ M , con lo cual podemos hablar
de vectores que van hacia el futuro o hacia el pasado. Si la asignación puede efectuarse de forma
continua sobre toda la variedad, diremos que M admite una orientación temporal. Nótese que el
espacio tiempo plano es trivialmente orientable temporalmente.
Si la variedad (M, g) es orientable temporalmente, entonces podemos introducir una estructura
causal en la misma. El primer paso será clasificar las posibles curvas regulares γ : I → M . Diremos
que γ es
causal, si los vectores tangentes son siempre no-espaciales;
cronológica, si son temporales en todo punto;
espacial, si son espaciales en todo punto;
o nula, si los vectores tangentes son nulos en todo punto.
4
Aquı́ estamos utilizando la signatura (1, n−1) para la métrica (o sea, (+, −, −, · · ·)), en donde n es la dimensión
de la variedad. Se mantendrá la convención en todo el trabajo.
7
Nótese que esta clasificación puede ser efectuada para cualquier variedad. Sin embargo, cuando M
es orientable temporalmente, dada una curva causal (en particular podrı́a ser nula o cronológica) γ
podremos decir que está dirigida hacia el futuro (pasado) si los vectores tangentes están dirigidos
hacia el futuro (pasado) en cada punto. Es importante señalar que estas definiciones son aplicables
también a lazos (esto es, curvas cerradas).
Ahora, teniendo una variedad lorentziana (M, g) orientable temporalmente podemos introducir
relaciones entre sus puntos. Explı́citamente, dados x, y ∈ M diremos que
x precede cronológicamente a y (x y) si existe una curva regular temporal orientada hacia
el futuro que comienza en x y termina en y;
y x precede causalmente a y (x ≺ y) si existe una curva regular causal orientada hacia el
futuro que comienza en x y termina en y, o bien x = y.
En consecuencia, dado x ∈ M podemos introducir los conjuntos
I + (x) = {y ∈ M | x y}
I − (x) = {y ∈ M | y x} ,
(29)
(30)
que se conocen como futuro y pasado cronológico de x, respectivamente, y
J + (x) = {y ∈ M | x ≺ y}
J − (x) = {y ∈ M | y ≺ x} ,
(31)
(32)
conocidos como futuro y pasado causal. La familia de conjuntos {I + (x), I − (x), J + (x), J − (x), }x∈M
es lo que se conoce como estructura causal de la variedad (M, g).
Conocida la estructura causal de un espacio es posible definir el concepto de superficie de
Cauchy. Para ello consideremos un subconjunto S ⊂ M en el cual todos sus puntos están separados
espacialmente entre si. En tal caso, notemos que no existe conexión causal entre los elementos de
S. Definamos los conjuntos
D+ (S) = {y ∈ M | ∃γ : I → M causal hacia el pasado ∧ Im(γ) ∩ S 6= φ ∧ γ(0) = y} (33)
D− (S) = {y ∈ M | ∃γ : I → M causal hacia el futuro ∧ Im(γ) ∩ S 6= φ ∧ γ(0) = y} (34)
que son aquellos puntos para los que existe una curva con orientación temporal definida que
interseca al menos una vez a S. Cuando el conjunto S̃ = D+ (S) ∪ D− (S) ∪ S coincide con la
variedad M se dice que S es una superficie de Cauchy.
2.5.
Sutilezas del espacio curvo
Llegado este punto estamos en condiciones de explicar la relación entre las superficies de Cauchy
(e implı́citamente, la estructura causal de un espacio dado) con el formalismo de las integrales
funcionales. La ventaja que poseen las superficies de Cauchy es que sirven como delimitador de
una región pasada y otra futura, en toda la variedad. O sea, cualquier punto de la variedad (que
no esté en S) puede ser alcanzado por una curva orientada que parte de S. En consecuencia, dado
8
cualquier problema de evolución, fijar condiciones iniciales sobre una de estas superficies permite
conocer el resultado sobre todo el espacio.
Notemos que cuando se trabaja sobre el espacio tiempo plano habitual, esto es (R4 , ηab ),
cualquier hiperplano definido por S = {t = t0 } es una superficie de Cauchy. Esto justifica la
elección de hipersuperficies realizada en las secciones anteriores para definir funcionales generatrices. Al efectuar una extensión del formalismo a espacios curvos deben reemplazarse las superficies
de tiempo constante por superficies de Cauchy, y definir los estados asintóticos in y out sobre
ellas.
Por otro lado, al trabajar en variedades curvas genéricas (M, g) es necesario tener ciertos
cuidados al definir la acción. Como sabemos, en el espacio plano habitual, dada una densidad
lagrangiana L la acción es simplemente
Z
S = d4 x L ,
(35)
siendo una integral ordinaria sobre R4 . Sin embargo, en general, los campos estarán definidos sobre
(M, g) y, por ende, la integral debe efectuarse sobre puntos de ese espacio abstracto. Suponiendo
que (M, g) sea una variedad diferenciable paracompacta5 de dimensión n, es posible definir una
medida en la misma, lo cual permite integrar en el sentido de Lebesgue. Se puede probar que existe
una única medida positiva de Borel µg inducida por la métrica tal que para cualquier mapeo de
coordenadas (U, ψ) vale
Z
Z
p
(36)
f dµg =
f ◦ ψ −1 (x) |detg| dx
U
ψ(U )
dada cualquier f continua en U , siendo x ∈ ψ(U ) ⊂ Rn .6 Además puede probarse que la definición
de la integral puede extenderse unı́vocamente a C0 (M ). De este modo
la integración en M puede
p
efectuarse integrando de forma usual en Rn , pero con la medida |detg| dx.
Hecha esta breve digresión sobre las formalidades subyacentes a la integración en espacios
curvos, debemos tener en cuenta que la acción de una teorı́a sobre una variedad (M, g) viene dada
por
Z
p
(37)
S = dn x |detg| L ,
siendo L la correspondiente densidad lagrangiana definida en función de Rn pero con la estructura
compatible con la geometrı́a del problema en M . Ası́, a los fines prácticos, puede decirse que la
extensión del formalismo funcional a espacios curvos genéricos se obtiene cambiando la medida de
integración en la forma indicada en el párrafo anterior.
Un detalle adicional referente al pasaje a teorı́as sobre espacios curvos es la posibilidad de
utilizar modelos en los cuales se tienen en cuenta las fluctuaciones de la métrica. En tal caso,
∆gµν pasa a ser un nuevo grado de libertad y deben incluirse términos adicionales en la acción
5
Un espacio topológico X se dice paracompacto si dado cualquier cubrimiento por abiertos {Uα }α existe un
subcubrimiento refinado que es localmente finito. En particular, todo espacio compacto es paracompacto, pero la
vuelta no es válida.
6
Una medida de Borel refiere a cualquier medida µ definida sobre la σ−álgebra más pequeña que contiene los
abiertos de un espacio localmente compacto y T2 . Por otro lado, la estructura diferencial de una variedad M es
descripta por un atlas: cada elemento del atlas se conoce como un mapeo de coordenadas (U, ψ) donde U es un
abierto de M y ψ : U → V es un homeomorfismo hacia un abierto V ⊂ Rn , con n dimensión de la variedad M .
9
para describir el acople de sus fluctuaciones con los otros campos presentes en la teorı́a, ası́ como
también deben considerarse las autointeracciones.
3.
Formalismo CTP
Al hablar de integrales funcionales en la sección 2, utilizamos la funcional generatriz Z [J]
para derivar las funciones de correlación. Como dijimos en su momento, Z [J] era la amplitud de
persistencia del vacı́o en presencia de una fuente J, y esto puede expresarse mediante la sugerente
notación
Z [J] = h0+ | 0− iJ .
(38)
Aquı́ |0± i denota el estado de vacı́o de la teorı́a para t = ±∞, con lo cual es necesario conocer el
estado del sistema tanto en el pasado lejano como en el futuro distante. En otras palabras, el conocido como formalismo in-out permite calcular amplitudes de transición entre estados asintóticos
definidos en t = ±∞, en vez de valores de expectación.
La idea de trabajar con cantidades definidas en el futuro distante no es, en general, fı́sicamente
agradable: sabemos que es lo que pasó en el pasado, pero no que sucederá en el futuro. Los modelos
cosmológicos sugieren que la geometrı́a del espacio evoluciona con el tiempo, con lo cual si se desea
emplear el formalismo funcional para atacar problemas de campos en dichos modelos, es necesario
evitar la introducción del estado |0+ i. Cabe señalar que, a pesar de la falencia mencionada, el
formalismo in-out sigue siendo útil en los problemas habituales de fı́sica de partı́culas estándar,
pues al considerar un espacio subyacente plano y estático, es válido suponer que |0+ i = |0− i.
En vez de introducir forzosamente el estado |0+ i para definir la funcional generatriz, Schwinger
propuso evolucionar el sistema entre el pasado remoto y un instante de tiempo t∗ arbitrario bajo
la influencia de una corriente J+, y luego volver al pasado remoto acoplando el sistema a una
corriente distinta J−. El hecho de que se realice este camino cerrado en el espacio-tiempo es lo
que hace que el formalismo se conozca comúnmente como closed time path (en español, funcional
de camino temporal cerrado) o CTP. El camino por el cual se efectúa la evolución hacia el futuro
y de vuelta al pasado se suele conocer como contorno de Keldysh.
Nótese que esta construcción no requiere desactivar interacciones en el futuro remoto, como lo
hace el formalismo convencional. En cambio, tanto el encendido como el apagado de los acoples
externos ocurren en el estado |0− i. Esto permite pasar por alto la eventual falta de información
sobre el estado |0+ i, como ocurre en teorı́as fuera del equilibrio. Sin embargo, el hecho de haber
incluido dos corrientes independientes introduce algunas complicaciones operacionales debido a
que aumentan la cantidad de grados de libertad a tener en cuenta.
En lo que sigue desarrollamos más en detalle el formalismo in-in. Primero se muestra como
obtener derivar las ecuaciones fundamentales del método usando la matriz densidad del sistema
ρ. Luego analizamos algunas generalidades de la formulación matemática, poniendo como ejemplo
el caso de una teorı́a escalar sobre un espacio-tiempo plano. Después, analizamos los cambios
que deben realizarse para estudiar la teorı́a correspondiente en un espacio curvado. Finalmente,
discutimos superficialmente las ventajas y desventajas de ambos enfoques (el convencional y el
CTP).
10
3.1.
Derivación del formalismo en espacios planos
Analicemos ahora una forma rigurosa de derivar las ecuaciones fundamentales del formalismo
CTP recurriendo a la introducción de la matriz densidad ρ del sistema. Seguiremos la discusión
presentada en el capı́tulo introductorio de Ref. (7).
Para empezar, consideremos un espacio-tiempo plano y un sistema descripto por una colección de campos Φ = Φ(t, ~x). En la representación de Schrödinger los autoestados del operador
hamiltoniano H verifican la ecuación
∂
|Φi = −iH(t) |Φi ,
∂t
(39)
y el operador de evolución temporal, dado por
Z
t2
U (t1 , t2 ) = T exp −i
dt H(t ) ,
0
0
(40)
t1
permite conocer el estado del sistema partiendo de un estado inicial fijo. Además, por lo discutido
en la Sección 2, dicho operador admite una representación en términos de integrales funcionales
dada por
Z Φ(t2 )=Φ2
hΦ2 | U (t1 , t2 ) |Φ1 i =
DΦ exp [iS[Φ]]
(41)
Φ(t1 )=Φ1
en donde se integra sobre todas las configuraciones de campo que satisfacen las condiciones de
borde especificadas y S[Φ] es la acción correspondiente.
En un caso más general, la información del sistema en un dado instante inicial queda caracterizada por la matriz densidad
X
ρ(t1 ) =
pi |αi i hαi |
(42)
i∈I
donde pi son coeficientes y {|αi i}i∈I forma una base completa de estados indexada sobre algún
conjunto I. Trabajando en la representación de Schrödinger, la evolución temporal de los estados
implica que ρ también lo hace, de acuerdo a
X
ρ(t) =
pi [U (t, t1 ) |αi i] [hαi | U (t1 , t)] ,
(43)
i∈I
en donde se está empleando fuertemente la unitariedad del operador evolución. Definiendo
ρ Φ+ , Φ− , t = Φ+ ρ(t) Φ−
(44)
e insertando identidades que involucren los campos en el instante t1 obtenemos
+
Φ ρ(t) Φ− = Φ+ U (t, t1 )ρ(t1 )U (t1 , t) Φ−
Z
Z
+
=
dΦ (t1 ) dΦ− (t1 ) Φ+ U (t, t1 ) Φ+ (t1 ) Φ+ (t1 ) ρ(t1 ) Φ− (t1 )
−
Φ (t1 ) U † (t, t1 ) Φ−
Z
Z
Z Φ+ (t)=Φ+
Z Φ− (t)=Φ−
+
−
+
=
dΦ (t1 ) dΦ (t1 )
DΦ
DΦ−
Φ+ (t1 )=Φ+ (t1 )
e
i S[Φ+ ]
+
−
ρ Φ (t1 ), Φ (t1 ), t1 e
11
−i S[Φ− ]
Φ− (t1 )=Φ− (t1 )
(45)
que conduce a
ρ Φ+ , Φ− , t =
Z
Φ+ (t)=Φ+
DΦ
+
Φ− (t)=Φ−
Z
DΦ− ei S[Φ
+ ,Φ− ]
ρ Φ+ (t1 ), Φ− (t1 ), t1
(46)
en donde se está empleando la notación S[Φ+ , Φ− ] = S[Φ+ ] − S[Φ− ]. Nótese que esta ecuación
representa la integración de todas las posibles configuraciones de campo que satisfagan una determinada condición en solo un instante de tiempo, llamado t. Por otro lado, en ausencia de la
matriz densidad en t1 , ambas integrales funcionales podrı́an desacoplarse.
Si en Ec. 46 se toma el mismo campo externo, esto es Φ+ (t) = Φ− (t), y se integra sobre su
posible valor se tiene que
Z
dΦ ρ [Φ, Φ, t] = Trρ(t) = 1
(47)
y puede expresarse de forma equivalente como
Z
Z
+
+
− i S[Φ+ ,Φ− ]
−
DΦ DΦ e
ρ Φ (t1 ), Φ (t1 ), t1 = dΦρ [Φ, Φ, t] .
(48)
Φ+ (t)=Φ− (t)
Las integrales funcionales dobles en las cuales la configuración de campos coincide en algún instante t se conocen como integrales de camino temporal cerrado. Ahondando un poco más en la
interpretación, nótese que es posible pensar en Φ+ y Φ− como dos ramas distintas de un mismo
campo Φ: entre t1 y t asume la configuración +, y al volver de t a t1 , toma la configuración −.
Continuando con la discusión, recordemos que dado un operador cualquiera O se verifica que
Tr [Oρ] = hOi. Entonces, trazando una analogı́a con lo discutido en la Sección 2 y observando el
resultado expresado en Ec. 48 resulta que
Z
+
−
DΦ+ DΦ− Φ+ (t1 ) · · · Φ− (tr ) · · · e[i S[Φ ,Φ ]] ρ Φ+ (t1 ), Φ− (t1 ), t1
(49)
Φ+ (t)=Φ− (t)
debe corresponderse con el valor de expectación de un producto de campos con algún ordenamiento
temporal. Intuitivamente, por lo mencionado en el párrafo anterior, esperamos que los campos +
estén ordenados temporalmente mientras que los campos − debieran estar anti-temporalmente ordenados (esto es, revirtiendo la orientación inducida por T ). Para dilucidar cuál es el ordenamiento
correcto analicemos la integral CTP dada por
Z
+
−
−−
0
G (τ, τ ) =
DΦ+ DΦ− e[i S[Φ ,Φ ]] Φ− (τ )Φ− (τ 0 )ρ Φ+ (t1 ), Φ− (t1 ), t1
(50)
Φ+ (t)=Φ− (t)
y asumamos que t1 < τ < τ 0 < t. La idea para atacar el problema es partir la integral funcional
sobre las configuraciones − en distintos sectores, ordenando los campos según el instante en el
cual son evaluados. Explı́citamente, usando la identificación dada en Ec. 48,
!
Z
Z Φ+ (t)=Φ− (t)
+
G−− (τ, τ 0 ) =
dΦ+ (t1 )dΦ− (t1 )dΦ− (τ )dΦ− (τ 0 )dΦ− (t)
DΦ+ ei S[Φ ]
Φ+ (t1 )=Φ+ (t1 )
Z
×
− −i S[Φ− ]
DΦ e
Zt1 <s<τ
×
−
Z
− −i S[Φ− ]
DΦ e
Φ (τ )
Φ− (τ 0 )
τ <s<τ 0
− −i S[Φ− ]
DΦ e
ρ Φ+ (t1 ), Φ− (t1 ), t1 .
τ 0 <s<t
12
(51)
Usando la representación del operador evolución en términos de integrales funcionales dada en Ec.
41 podemos efectuar el reemplazo y obtener
Z
−−
0
G (τ, τ ) =
dΦ+ (t1 )dΦ− (t1 )dΦ− (τ )dΦ− (τ 0 )dΦ− (t) Φ− (t) U (t, t1 ) Φ+ (t1 )
× Φ− (τ ) U (t1 , τ ) Φ− (τ ) Φ− (τ ) Φ− (τ 0 ) U (τ, τ 0 ) Φ− (τ 0 ) Φ− (τ 0 )
× Φ− (t) U (τ 0 , t) Φ− (τ 0 ) ρ Φ+ (t1 ), Φ− (t1 ), t1 ,
(52)
de donde puede obtenerse finalmente
G−− (τ, τ 0 ) = Tr {[U (t1 , τ )ΦU (τ, t1 )] [U (t1 , τ 0 )ΦU (τ 0 , t1 )] ρ(t1 )}
(53)
mediante la aplicación de las identidades U (ta , tb )U (tb , tc ) = U (ta , tc ) y Φ |Φ(t)i =. Claramente, Ec.
53 expresa el valor de expectación del producto de los operadores de campo en la representación
de Heisenberg Φ(τ )Φ(τ 0 ). Como elegimos τ < τ 0 se concluye que G−− anti-ordena temporalmente
los campos antes de tomar su valor de expectación. O sea, si T̃ denota el operador de antiordenamiento temporal, luego se tiene
D
E
G−− (τ, τ 0 ) = T̃ Φ(τ )Φ(τ 0 ) ,
(54)
y repitiendo el cálculo para otras configuraciones se obtiene
G++ (τ, τ 0 ) = hT Φ(τ )Φ(τ 0 )i
G+− (τ, τ 0 ) = hΦ(τ 0 )Φ(τ )i
G−+ (τ, τ 0 ) = hΦ(τ )Φ(τ 0 )i .
(55)
(56)
(57)
Estas cuatro funciones son el análogo CTP de las funciones de Green de dos puntos o propagadores
del campo Φ, aunque hablaremos más detalladamente de ello en la próxima subsección. Nótese que
el comentario intuitivo realizado al comienzo acerca del ordenamiento de los campos resulto ser
cierto; más aún podrı́a pensarse que la historia Φ− es posterior a Φ+ . Otro detalle para remarcar
es que las cuatro funciones no son independientes. En particular, se verifica que G+− (τ, τ 0 ) =
G−+ (τ 0 , τ ).
Antes de analizar la construcción de la funcional generatriz para este formalismo, notemos
que es posible definir una configuración cerrada del campo Φ que incluya tanto a Φ+ como a Φ− .
Por simplicidad, tomemos t1 = 0. Como estas configuraciones viven en el mismo sector temporal
[0, t] lo más natural es duplicar la longitud del mismo y definir ΦCTP como el pegado de una
historia tras otra formando un lazo sobre [−t, t]. Explı́citamente, ΦCTP (s) ≡ Φ+ (s + t) en [−t, 0]
y ΦCTP (s) ≡ Φ− (t − s) en [0, t].
Con esta configuración unificada es posible simplificar el cálculo de valores medios. Tras verificar que integrar sobre las dos historias es equivalente a integrar sobre ΦCTP en [−t, t] y usando
S [ΦCTP ] = S[Φ+ , Φ− ], se tiene que
Z
0
G(s, s ) =
DΦCTP ei S[ΦCTP ] ΦCTP (S)ΦCTP (s0 )ρ [ΦCTP (−t), ΦCTP (t), 0]
(58)
= hT ΦCTP (s)ΦCTP (s0 )i ,
es decir, son valores de expectación de productos T ordenados de operadores en la representación
de Heisenberg.
13
Para ir finalizando la discusión, se define la funcional generatriz de los valores de expectación
como
Z
Z
+ −
+
−
+
−
+ +
− −
DΦ DΦ exp iS[Φ , Φ ] + i
J Φ −J Φ
Z J ,J
=
Φ+ (t)=Φ− (t)
× ρ Φ+ (t1 ), Φ− (t1 ), t1 ,
(59)
en donde J + , J − son dos corrientes independientes que se acoplan a cada historia del campo Φ.
Entonces, usando las técnicas de derivación funcional estudiadas en la Sección 2 y las observaciones
previas acerca del ordenamiento temporal de los campos se tiene
Dh
i
E
1
∂n
+
−
T̃ Φr+1 · · · Φn [T Φ1 · · · Φr ] = n−2r
Z[J , J ]
,
−
i
Z[0, 0] ∂J1+ · · · ∂Jr+ ∂Jr+1
· · · ∂Jn−
+
−
J =J =0
(60)
que son valores de expectación en los cuales los subı́ndices que acompañan a cada campo hacen
referencia al tiempo en el cual están siendo evaluados.
3.2.
Aplicación a una teorı́a λφ4 plana
Consideremos ahora una teorı́a con un campo escalar φ en un espacio-tiempo plano con acoples
tipo λφ4 . La acción correspondiente es
Z
m2 2 λ 4
1
2
4
(∂µ φ) −
φ − φ .
(61)
S[φ] = d x
2
2
4!
Observemos que, en este caso, es posible expresar la funcional generatriz Z dada en Ec. 59 como
X
h0− |ψiJ − hψ |0− iJ + ,
(62)
Z J +, J − =
ψ
en donde se emplea la notación esbozada en el comienzo de esta Sección, y {|ψi} representa un
conjunto ortonormal completo de autoestados de un operador de campo Φ en la representación de
Heisenberg en algún tiempo t. Expresado de este modo, no solo resulta claro que se está haciendo
una evolución independiente de las historias de los campos, sino que se pone de manifiesto que
dichas historias deben coincidir sobre una hipersuperficie Σ de tiempo constante. Esto nos dice
inmediatamente que, al pasar a espacios curvos, tendremos que exigir que Σ sea una superficie de
Cauchy.
Por otro lado, es posible construir una acción efectiva en este formalismo. Para ello tenemos
que modificar levemente los resultados mostrados en la subsección 2.3, con el fin de poder interpretar adecuadamente ambas corrientes. Si definimos W [J + , J − ] = −i log Z[J + , J − ] y seguimos
el razonamiento que condujo a Ec. 25, luego podemos introducir las cantidades
φ+
cl (x) =
∂
W J +, J −
∂J + (x)
+ −
∂
φ−
(x)
=
−
W
J ,J ,
cl
∂J − (x)
14
(63)
(64)
que son los campos clásicos de esta teorı́a. Con ello, la acción efectiva Γ se obtiene realizando una
transformación de Legendre sobre W [J + , J − ] en las dos corrientes, lo cual lleva a la expresión
−
+
−
+ +
− −
Γ φ+
,
φ
(65)
cl
cl = W [J , J ] − J φcl + J φcl .
Nótese que aparece una diferencia de signo en los términos asociados a cada corriente. Dicha
diferencia proviene del hecho de que la corriente J − se introduce en un camino que evoluciona
hacia atrás en el tiempo, lo cual se asocia, a su vez, a una diferencia de signo en las fases de las
exponenciales (recordar la deducción de Ec. 46). También es importante señalar que, tomando el
caso J + = J − = 0 se cumple
−
φ+
cl (x) = φcl (x) = h0− | Φ(x) |0− i
(66)
o sea, que los campos clásicos coinciden con el valor de expectación en el estado |0− i del operador
Φ sobre la hipersuperficie Σ. En términos de la acción efectiva, las ecuaciones de movimiento para
los campos clásicos vienen dadas por
∂
+ −
φcl , φcl + J ∗+ (x) = 0
(67)
∂
+ −
φcl , φcl − J ∗− (x) = 0
(68)
Γ
∂φ+
cl (x)
Γ
∂φ−
cl (x)
con las corrientes J ∗± definidas como las soluciones de Ecs. 63-64.
Puede apreciarse que las ecuaciones de movimiento del campo clásico son reales. Además, si
±
φcl y J denotan los valores comunes de φ±
cl y J , respectivamente, es posible demostrar que φcl
cl (x)
. Se sabe que
depende causalmente de J. Matemáticamente esto se puede ver calculando ∂φ
∂J(x0 )
0
esta derivada se anula cuando t < t , lo cual puede interpretarse como que el campo φcl no puede
ser influenciado por cambios en el valor de J bajo ese condicionamiento. Formalmente, φcl (x) solo
puede depender del valor de J en el cono de luz pasado de x (que llamamos J − (x) en la Sección
2.4).
Por otro lado, al igual que en el formalismo convencional, la obtención de las funcionales generatrices de forma exacta es algo poco práctico (e imposible en general). En consecuencia debe
emplearse el método perturbativo y separar las funcionales generatrices en una parte libre (calculable exactamente) y otra de interacción (que se asume que permite una expansión perturbativa).
Volviendo al tratamiento del sistema regido por Ec. 61, lo primero que se observa es la presencia de dos campos φ+ y φ− , los cuales no son independientes sino que deben coinciden sobre la
hipersuperficie Σ. Tomando la parte libre de la teorı́a, se tiene que la funcional generatriz Z0
correspondiente viene dada por
Z
+
+ −
−1
4
4 0
++
0
+ 0
−
−+
0
+ 0
d xd x J (x)G (x, x )J (x ) − J (x)G (x, x )J (x )
Z0 J , J
= exp
2
Z
+
−1
4
4 0
+−
0
− 0
−
−−
0
− 0
× exp
d xd x −J (x)G (x, x )J (x ) + J (x)G (x, x )J (x )
2
#
"
Z
X
−1
= exp
d4 xd4 x0
sgn(ab)J a (x)Gab (x, x0 )J b (x0 ) ,
(69)
2
a,b
15
en donde los núcleos G son las funciones de Green de dos puntos y se empleó la notación de
ı́ndices abreviada {a, b} = {+, −} en la última lı́nea. Recurriendo a las definiciones de estos
núcleos en términos de valores de expectación de productos de dos operadores de campo con cierto
orden temporal se tiene que G++ (x, x0 ) y G−− (x, x0 ) son simétricos, mientras que G−+ (x0 , x) =
G+− (x, x0 ). Más aún, vale
G++ (x, x0 ) + G−− (x, x0 ) = G−+ (x, x0 ) + G+− (x, x0 )
(70)
que se deduce a partir de los requisitos de causalidad. También es usual definir ciertas combinaciones de estas funciones G que poseen una interpretación fı́sica más directa. Para ello se realiza
una rotación de Keldysh sobre los campos, dada por
φ+ (x) + φ− (x)
√
2
+
φ (x) − φ− (x)
√
φ2 (x) =
2
φ1 (x) =
(71)
(72)
que induce mezclas análogas entre las funciones de Green. Explı́citamente se pueden definir
GA (x, x0 ) = hφ1 (x)φ2 (x0 )i
GR (x, x0 ) = hφ2 (x)φ1 (x0 )i
GK (x, x0 ) = hφ1 (x)φ1 (x0 )i
(73)
(74)
(75)
que se conocen como funciones de Green avanzada, retardada y función de Keldysh-Green, respectivamente. Nótese que la condición definida en Ec. 70 implica que hφ2 (x)φ2 (x0 )i = 0.
Por otro lado, continuando con el análisis del problema libre, se tiene que los campos clásicos
vienen dados por
Z
+
φcl (x) = i d4 x0 G++ (x, x0 )J + (x+) − G+− (x, x0 )J − (x0 )
(76)
Z
φ−
d4 x0 G−+ (x, x0 )J + (x+) − G−− (x, x0 )J − (x0 ) .
(77)
cl (x) = i
φ±
cl (x)
Además, en este caso particular, se tiene que los mismos satisfacen una ecuación de Klein-Gordon
con fuentes, esto es
±
∂ µ ∂µ + m2 φ±
(78)
cl (x) = J (x)
cuya solución es
Z
φ+
cl (x)
= −
φ−
cl (x) = −
Z
d4 x0 ∆F (x − x0 )J + (x+) + ∆+ (x − x0 )J − (x0 )
(79)
d4 x0 ∆− (x − x0 )J + (x+) + ∆D (x − x0 )J − (x0 ) ,
(80)
siendo
d4 p ip(x−x0 )
e
2πiδ p2 − m2 θ(p0 )
4
(2π)
Z
d4 p ip(x−x0 )
2
2
∆− (x − x0 ) =
e
2πiδ
p
−
m
θ(−p0 )
(2π)4
+
0
Z
∆ (x − x ) =
16
(81)
(82)
las funciones de Wightman y,
1
d4 p ip(x−x0 )
e
(2π)4
p2 − m2 + i
Z
4
d p ip(x−x0 )
1
∆D (x − x0 ) =
e
4
2
(2π)
p − m2 − i
0
Z
∆F (x − x ) =
(83)
(84)
las funciones de Feynman y Dyson, respectivamente. Comparando las Ecs. 76-77 con Ecs. 79-80
se encuentra que
G++ (x, x0 )
G−− (x, x0 )
G+− (x, x0 )
G−+ (x, x0 )
=
=
=
=
i∆F (x − x0 ) ≡ h0− | T Φ(x)Φ(x0 ) |0− i
−i∆D (x − x0 ) ≡ h0− | T̃ Φ(x)Φ− (x0 ) |0− i
−i∆+ (x − x0 ) ≡ h0− | Φ(x)Φ(x0 ) |0− i
i∆− (x − x0 ) ≡ h0− | Φ(x0 )Φ(x) |0− i
(85)
(86)
(87)
(88)
y, por ende, tenemos una representación explı́cita en términos de integrales sobre el espacio de
momentos para calcular las funciones de Green introducidas anteriormente. Debemos recordar,
para ser estrictos, que el objeto Φ es el operador de campo en la representación de Heisenberg y
|0− i representa el estado de vacı́o de la teorı́a libre en algún instante del pasado remoto.
Teniendo la funcional generatriz libre Z0 expresada en términos de funciones de Green conocidas, podemos proseguir e incluir la auto-interacción λφ4 . En primer lugar, recordando como
actúan las derivadas funcionales (según lo expresado en la Sección 2) se tiene
Z
+ −
+ −
∂4
∂4
−iλ
4
−
Z J , J = exp
dx
Z
J ,J ,
(89)
0
4!
∂J + (x)4 ∂J − (x)4
esto es, la generatriz de la teorı́a interactuante puede obtenerse haciendo actuar un cierto operador
funcional sobre la generatriz de la teorı́a libre. El desarrollo en serie de potencias del prefactor
exponencial dará lugar a la expansión perturbativa. Podemos apreciar que habrá dos clases de
vértices: los que provienen de derivar respecto a J + y aquellos asociados a J − . Cabe señalar que
estos vértices aportan un factor ±iλ en cada diagrama de Feynman, y que no mezclan partı́culas
+ y −.
La presencia de dos tipos de vértices distintos origina tres clases de lı́neas internas en los
diagramas de Feynman, según los signos de los vértices que conecten: pueden ser ++, −− o +−.
Obsérvese que esto es compatible con el hecho de que la teorı́a libre tenga tres funciones de Green
independientes. Más aún, nótese que las partı́culas en una lı́nea +− siempre están on-shell puesto
que las funciones de Wightman contienen una función delta de Dirac evaluada en p2 − m2 en
el integrando. Esto fuerza a que no puedan aparecer patas externas +−, ya que la acción del
operador de Klein-Gordon cancela los diagramas asociados.
En resumen puede apreciarse que el formalismo in-in duplica la cantidad de campos (φ+ , φ− ),
los tipos de vértices (+, −) y contiene tres tipos distintos de propagadores (++, −− y +−). En
la Fig. 1 se muestran esquemáticamente las reglas de Feynman para este formalismo asociadas
a la teorı́a de un campo escalar acoplado a un potencial λφ4 . Sin embargo, nótese que los diagramas de Feynman que solo contienen ı́ndices + coinciden con los generados en el formalismo
convencional. Por su parte, aquellos diagramas que solo contienen ı́ndices − son los conjugados
de los diagramas +. Además de ellos hay diagramas mixtos que contienen ı́ndices + y −. Por lo
17
Figura 1: Resumen de las reglas de Feynman en el espacio de coordenadas para una teorı́a escalar
λφ4 en un espacio-tiempo plano, obtenidas aplicando el formalismo CTP.
dicho en el párrafo anterior, los enlaces +− solo pueden estar en las lı́neas internas y siempre
representan un estado en la capa de masa. En consecuencia, al integrar sobre ellos no aparecen
divergencias. Esto es muy importante, puesto que nos está indicando que las divergencias que
aparecen en el formalismo in-in coinciden con las provenientes del formalismo convencional. Por
ende, el conocimiento de la estructura de contratérminos de renormalización en el formalismo convencional permite asegurar la existencia de tales contratérminos en el formalismo CTP y obtener
las expresiones correspondientes.
Para finalizar, comentemos brevemente que ocurre cuando alguna de las corrientes J ± no
induce transiciones del vacı́o a estados con partı́culas. Supongamos que J − no crea partı́culas (lo
que puede lograrse tomándola como una constante), luego el estado de vacı́o evolucionará bajo
su influencia adquiriendo una fase global únicamente. Dicha fase está dada en términos de la
amplitud de persistencia del vacı́o, y, en consecuencia, puede mostrarse que vale
Z J +, J − = Z ∗ J − Z J +
(90)
+ −
+
−
∗
W J ,J
= W J −W J
(91)
+
+ −
(92)
Γ φcl , φcl = Γ φcl − Γ∗ φ−
cl ,
en donde las funcionales de una sola corriente son las obtenidas en el formalismo convencional
in-out y ∗ indica que debe efectuarse la modificación m2 → m2 + i (ver Ref. (1)). En otras
palabras, puede verse que el formalismo convencional se recupera a partir del formalismo CTP en
este lı́mite.
3.3.
Aplicación a una teorı́a λφ4 en un espacio curvo
Tras haber analizado detalladamente el caso de una teorı́a escalar λφ4 sobre un espacio-tiempo
plano, veamos que modificaciones deben efectuarse para extender el problema a un espacio más
general.
18
En primer lugar, como sugerimos en la subsección anterior, al definir el camino de Keldysh
tendremos que reemplazar las hipersuperficies de tiempo constante por superficies de Cauchy. Esto
permite que el problema de condiciones iniciales quede bien definido, pues sabemos que ese tipo
de superficies divide la variedad en una región pasada y otra futura. Por otro lado,pen todas las
integrales sobre el espacio-tiempo se tiene que utilizar como medida de integración |detg|dn x y
también debe efectuarse el cambio ∂µ ∂ µ → gµν ∂ µ ∂ ν .
Si consideramos que la geometrı́a espacial está fija, luego los cambios detallados arriba son los
únicos que deben efectuarse para llevar la teorı́a al nuevo espacio. Al igual que en el caso plano,
seguirá valiendo que los formalismos convencional y CTP presentan los mismos contratérminos de
renormalización.
Sin embargo si queremos tener en cuenta al campo gravitatorio como un grado de libertad, es
necesario hacer algunos cambios adicionales. En tal caso, la acción clásica se puede descomponer
como
S[gµν , φ] = Sg [gµν ] + Sm [gµν , φ] ,
(93)
en donde Sg contiene solamente los términos de autointeracción del campo gravitatorio y Sm tiene
en cuenta las autointeracciones del campo φ, ası́ como también su acople al campo gravitatorio.
Como se indica en Ref. (1), la acción efectiva in-in se escribe
Z
+ + − −
−
+
−
Γ gµν , φcl , gµν , φcl = −i ln Dh+
(94)
µν Dhµν Dφ Dφµν DN
h
i
−
+
+
−
+
−
−
× exp i S gµν
+ h+
,
φ
+
φ
−
S
g
+
h
,
φ
+
φ
+ iÑ ,
µν
µν
µν
cl
cl
±
es el campo gravitatorio de fondo y h± sus fluctuaciones, φ±
en donde gµν
cl es el campo escalar
±
clásico y φ sus fluctuaciones, mientras que N y Ñ se relacionan con campos de ghosts y sus
contribuciones a la acción (más eventuales términos de fijado de gauge). Las ecuaciones de campo
para la gravedad vienen dadas por
∂Γ
+ J +µν = 0
(95)
+
∂gµν
∂Γ
− J −µν = 0 ,
(96)
−
∂gµν
a partir de las cuales es posible obtener el campo gravitatorio fı́sico en presencia de una fuente
±
J µν y un campo de materia φcl realizando las identificaciones J ±µν = J µν , gµν
= gµν y φ±
cl = φcl .
Para finalizar, es posible tomar un lı́mite semiclásico e ignorar las fluctuaciones de la métrica
(ası́ como también se descartan los campos ghosts). En tal caso, la acción efectiva toma la forma
−
+ + − −
+ + − −
+
(97)
+ Γm gµν
, φcl , gµν , φcl ,
, φcl , gµν , φcl = Sg gµν
− Sg gµν
Γ gµν
en donde
Z
i
h
− −
+ +
+ + − −
, φcl + φ− + iÑ 0 .
, φcl + φ+ − Sm gµν
Γm gµν , φcl , gµν , φcl = −i ln Dφ+ Dφ− exp i Sm gµν
(98)
Con ello, las ecuaciones de campo son
∂Sg
∂Γm + Jµν + +µν = 0,
∂g µν
∂g
g ±µν =g µν
que permiten analizar la evolución de gµν y φcl .
19
(99)
3.4.
Comparación con el formalismo in-out
Como se explica en la introducción de Ref. (1), el formalismo in-in no busca reemplazar al
convencional. Tampoco es cierto que el método in-out deba ser dejado de lado. Los autores del
mencionado trabajo destacan que cada método presenta sus ventajas y desventajas en distintos
problemas.
La capacidad del formalismo convencional para obtener naturalmente elementos de matriz de
operadores tensoriales entre estados asintóticos en el pasado y futuro distantes, respectivamente,
lo hace especialmente útil para resolver problemas en fı́sica de partı́culas elementales. También
es adecuado para atacar problemas que sean más fáciles de describir en términos de condiciones
de borde; tal es el caso de problemas cosmológicos relacionados con las condiciones del Universo
cerca del tiempo de Planck.7 También debe tenerse en cuenta que el formalismo in-out permite
calcular valores de expectación sumando sobre conjuntos completos de estados intermedios, lo
cual requiere el conocimiento de los coeficientes de Bogoliubov: es aquı́ donde pueden aparecer
complicaciones de cálculo que vuelven más ventajoso al método CTP.
Como se mencionó anteriormente, el formalismo CTP devuelve de forma natural valores de
expectación de operadores cuánticos y conduce a ecuaciones efectivas de campos que son causales y
reales. Esto lo hace especialmente útil para analizar problemas en mecánica estadı́stica y procesos
cuánticos fuera del equilibrio. Sin embargo, a pesar de permitir la reconstrucción de amplitudes
de transición, la introducción de dos corrientes independientes duplica el contenido de campos y
complica la estructura de los diagramas de Feynman.
4.
Conclusiones
Las integrales funcionales en teorı́as de campos constituyen una poderosa herramienta de
cálculo. Vimos al comienzo de este trabajo que su utilización permite cuantizar teorı́as de campos
clásicas de una forma directa, ası́ como también posibilita una derivación natural de las reglas
de Feynman asociadas. Usualmente suele emplearse el denominado formalismo in-out. El mismo
maneja de forma eficiente el cálculo de elementos de matriz de operadores de campo entre estados
de vacı́o asintóticos, definidos en el pasado remoto y en el futuro distante, respectivamente. Para
ello es necesario acoplar cada campo a una corriente J y definir una funcional generatriz Z[J]. Las
derivadas funcionales de esta generatriz permiten la reconstrucción de los mencionados elementos
de matriz.
Por su parte, el formalismo in-in está diseñado para calcular naturalmente valores de expectación. Como vimos en el texto, la idea fundamental del método es realizar una evolución
del sistema entre el pasado lejano y un instante arbitrario mediada por una corriente, y volver
al pasado acoplando el sistema a otra corriente distinta. El objeto fundamental es una funcional
generatriz Z[J + , J − ], cuyas derivadas funcionales devuelven los valores de expectación buscados.
Se pudo apreciar en el texto que, aplicados a una teorı́a escalar λφ4 en un espacio plano,
ambos formalismos conducen a resultados compatibles. Por ejemplo, vimos que se preservaban
7
El tiempo de Planck se define como τP =
√
~Gc−5 ≈ 5 × 10−44 segundos.
20
los contratérminos. Sin embargo, en el formalismo in-in resulta más difı́cil manejar los diagramas
de Feynman pues, al duplicar el número de corrientes, aparecen nuevos vértices y propagadores.
Pero, a diferencia de lo que ocurre con el método in-out, se obtienen ecuaciones de movimiento
reales y causales para los campos clásicos, lo cual facilita su interpretación fı́sica.
En conclusión, el formalismo in-in resulta ser una poderosa herramienta que complementa
adecuadamente al formalismo convencional. Si bien es posible calcular los mismos objetos usando
cualquiera de los dos, como se destaca en Ref. (1), la conveniencia de aplicar uno u otro método
queda determinada tanto por el tipo de problema analizado como por el tipo de preguntas que
uno quiere responder.
Referencias
[1] Calzetta, E. y Hu, B. L., Phys. Rev. D 35, 495 (1987).
[2] Collins, J., Renormalization, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge
University Press, 1984.
[3] Ellis, G. y Hawking, S., The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge Monographs
on Mathematical Physics, Cambridge University Press, 1975.
[4] Kamenev, A., arXiv:cond-mat/0412296v2 (2004).
[5] Parker, L. y Tom, D., Quantum field theory in curved space-time, Cambridge Monographs on
Mathematical Physics, Cambridge University Press, 2009.
[6] Peskin, M. y Schroeder, D., An introduction to Quantum Field Theory, Westview Press, 1995.
[7] Zanella, J., Grupo de renormalización fuera del equilibrio, Tesis de doctorado, FCEyN, Universidad de Buenos Aires, 2010.
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