Sesiones 1 - Universidad de Colima

Transcripción

Una introducción al problema del subespacio invariante
en espacios de Hilbert
Rubén A. Martı́nez-Avendaño
Centro de Investigación en Matemáticas
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo
Pachuca, Mexico
email: [email protected]
Escuela de Análisis Matemático
Universidad de Colima
26 al 30 de septiembre de 2016
Rubén A. Martı́nez-Avendaño (UAEH)
Problema del subspacio invariante
Escuela Análisis Matemático
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Ejemplo
Consideremos la transformación lineal T : R2 → R2 dada por
T (x, y ) = (x + 3y , x − y ).
Sea M := {(x, y ) ∈ R2 : x = 3y }.
Si u ∈ M, entonces u = (3s, s) para algún s ∈ R. Entonces
T (u) = T (3s, s) = (3s + 3s, 3s − s) = (6s, 2s)
el cual está en M.
2
T (u)
1
−1
M
u
0
1
2
3
4
5
6
2 / 87
Subespacios invariantes
M es un subespacio vectorial y es invariante bajo T .
Definición
Sea V un espacio vectorial y T : V → V una transformación lineal. Sea
M un subespacio. Decimos que M es invariante bajo T si T (M) ⊆ M.
¿Hay siempre subespacios invariantes?
M = V siempre es invariante.
M = {0} siempre es invariante.
Llamaremos a estos espacios triviales.
¿Hay siempre subespacios invariantes no triviales?
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Ejemplo
Consideremos la transformación lineal T : R2 → R2 dada por
T (x, y ) = (x − y , x + y ).
¿Tiene T subespacios invariantes no triviales?
No: es una rotación (+ homotecia).
5
T (u)
4
3
2
u
1
0
1
2
3
4
5
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Ejemplo
Consideremos a la transformación lineal anterior en los números complejos;
i.e., T : C2 → C2 dada por
T (z, w ) = (z − w , z + w ),
entonces sı́ tiene subespacios invariantes no triviales:
M := {(z, w ) ∈ C2 : w = ı̇z}.
Si v ∈ M, entonces v = (λ, ı̇λ) para algún λ ∈ C. Entonces
T (v ) = T (λ, ı̇λ) = (λ − ı̇λ, λ + ı̇λ) = (λ − ı̇λ, ı̇(λ − ı̇λ))
por lo tanto T (v ) ∈ M.
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En general, T : Cn → Cn tiene un eigenvalor y un eigenvector: Tv = λv ,
con v 6= 0. Por lo tanto,
M := span{v } := {µv : µ ∈ C}
es un subespacio invariante, el cual es no trivial si n > 1.
¿Qué sucede en el caso T : Rn → Rn ? Ahı́ no necesariamente hay
eigenvectores (reales). Sin embargo, si n ≥ 3, sı́ hay subespacios
invariantes.
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Ejemplo
Sea T : R4 → R4 dada por
T (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−2x2 − x4 , x1 , x2 , x3 )
El polinomio caracterı́stico de T es p(x) = (x 2 + 1)2 (ejercicio) y por lo
tanto no tiene eigenvalores (reales).
Si u = (1, 0, −1, 0) y v = (0, 1, 0, −1), entonces
M := span{u, v } := {su + tv : s, t ∈ R}
es un subespacio invariante no trivial pues T (u) = v y T (v ) = −u.
Ejercicio: mostrar que si T : Rn → Rn es una transformación lineal y
n ≥ 3, entonces T tiene un subespacio invariante no trivial.
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Espacios de dimensión infinita
¿Qué sucede si el espacio vectorial es de dimensión infinita?
Sea V un espacio vectorial de dimensión infinita y sea T una
transformación lineal en V .
¿Cómo generarı́amos un subespacio invariante?
Sea v ∈ V . Consideremos el conjunto
Mv := span{v , Tv , T 2 v , T 3 v , . . . }.
Este es un subespacio lineal y es invariante. (Ejercicio muy fácil.) Si v 6= 0,
entonces Mv no es el espacio {0}. ¿Podrı́a ser que Mv sea todo V ? Sı́.
Pero una pequeña modificación de este argumento funciona (gracias a
P. Rosenthal por el argumento):
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Ejemplo
El conjunto ker T := {x ∈ V : Tx = 0} es un subespacio invariante
(ejercicio). Si no es trivial, terminamos. Si es trivial hay dos casos:
Si ker T = V , entonces T es el operador 0, el cual tiene espacios
invariantes no triviales.
Si ker T = {0}, entonces sea v ∈ V , v 6= 0. El espacio
N := span{Tv , T 2 v , T 3 v , . . . }
es invariante. No es el espacio {0}.
Si v no está en N , entonces N 6= V .
Si v está en N , entonces v es una combinación lineal finita de
vectores T k v . Por lo tanto N es de dimensión finita (ejercicio) y
N 6= V .
Por lo tanto, todas las transformaciones lineales en espacios de dimensión
infinita tienen subespacios invariantes no triviales.
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Espacios vectoriales de dimensión infinita
¿Qué pasa si ponemos una norma en el espacio? Debemos entonces
considerar subespacios cerrados.
Sea V el espacio vectorial de todos polinomios con la norma
Z
1
2
1/2
|p(x)| dx
.
0
Sea T el operador de multiplicación por x. Es decir, (Tp)(x) = xp(x).
Si p es cualquier polinomio, espacio vectorial invariante más pequeño que
contiene a p es
span{p(x), xp(x), x 2 p(x), x 3 p(x), . . . } = {q(x)p(x) : q un polinomio }.
Cualquier polinomio es el lı́mite de vectores en este espacio. Por lo tanto,
no puede haber subespacios cerrados invariantes, excepto todo V y {0}.
(El argumento es una observación de T. Crimmins.)
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Ejemplo
¿Qué pasa en espacios completos?
Sea L2 [0, 1] el espacio de funciones (con valores reales o complejos)
cuadrado integrables (con respecto a la medida de Lebesgue).
Para cada f ∈ L2 [0, 1] definimos (Mx f )(x) = xf (x).
Sea E un conjunto medible en [0, 1] con medida positiva y menor que uno.
Si definimos
ME := {f ∈ L2 [0, 1] : f = 0 casi en todo E },
entonces ME es un subespacio cerrado invariante no trivial para Mx .
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Problema del subespacio invariante
¿Pasará lo mismo para cualquier operador en L2 [0, 1]? El espacio L2 [0, 1]
es un ejemplo de un espacio de Hilbert.
Dado un operador T en un espacio de Hilbert, ¿existe un subespacio
invariante no trivial para T ?
Para entrar a estudiar el problema con más detalle, necesitamos
definiciones.
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Definiciones básicas
Definición
Sea V un espacio vectorial sobre C. Una función h·, ·i : V × V → C es un
producto interno sobre V si para todo u, v , w ∈ V y λ, µ ∈ C se tiene
hv , v i > 0 si v 6= 0,
hλu + µv , w i = λhu, w i + µhv , w i,
hu, v i = hv , ui.
Dado un espacio vectorial con producto interno, definimos
p
kv k := hv , v i.
Ejercicio: mostrar que esto es una norma.
Definición
Decimos que H es un espacio de Hilbert si H es un espacio vectorial
(sobre C) con un producto interno h·, ·i, y es completo bajo la norma dada
por el producto interno.
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Ejemplos
Cn := {(z1 , z2 , . . . , zn ) : zi ∈ C} con producto interno
hz, w i := z1 w1 + z2 w2 + · · · + zn wn .
`2 (N) := {x = (x1 , x2 , x3 , . . .) :
∞
X
|xj |2 < ∞} con producto interno
j=1
hz, w i :=
∞
X
zj wj .
j=1
Ejercicio: ¿Por qué es esta suma siempre finita?
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Ejemplos
Z
2
|f |2 dm < ∞}, donde m es la
L [0, 1] := {f : [0, 1] → C :
[0,1]
medida de Lebesgue en [0, 1] y producto interno
Z
hf , g i :=
f g dm.
[0,1]
Ejercicio: ¿Por qué es esta integral siempre finita?
H2 (D) := {f : D → C : f (z) =
∞
X
ak z k y
k=0
producto interno
hf , g i :=
donde f (z) =
∞
X
k=0
ak z k y g (z) =
∞
X
|ak |2 < ∞} y
k=0
∞
X
ak bk ,
k=0
∞
X
bk z k .
k=0
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Operadores acotados
Un operador en un espacio de Hilbert es una función lineal A : H → H.
Decimos que A es acotado si existe C > 0 tal que kAxk ≤ C kxk para todo
x ∈ H.
Teorema
Un operador en un espacio de Hilbert es acotado si y solo si es continuo.
Ejercicio: Demostrar la equivalencia.
La norma del operador A se define como
kAk := sup{kAxk : kxk ≤ 1}.
Ejercicio: Demostrar que esto define una norma.
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Operadores acotados
Resulta ser que
sup{kAxk : kxk ≤ 1}
=
=
=
sup{kAxk : kxk = 1}
kAxk
sup
: kxk =
6 0
kxk
ı́nf{C > 0 : kAxk ≤ C kxk}
Ejercicio: demostrar las igualdades.
También se cumple que si A y B son operadores acotados, entonces
kABk ≤ kAk kBk (Ejercicio: demostrar.)
De aquı́ en adelante operador significa operador acotado.
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Ejemplos
En Cn todas las transformaciones lineales son continuas. (Ejercicio.)
De hecho, cualquier operador A : Cn → Cn se puede representar por
una matriz n × n.
En `2 dos ejemplos de transformaciones lineales son S : `2 → `2 (el
desplazamiento hacia adelante) definido como
S(a0 , a1 , a2 , a3 , . . . ) = (0, a0 , a1 , a2 , . . . )
y B : `2 → `2 (el desplazamiento hacia atrás) definido como
B(a0 , a1 , a2 , a3 , . . . ) = (a1 , a2 , a3 , a4 , . . . ).
Ambas son continuas. De hecho,
Ejercicio: kSk = 1 y kBk = 1. Más aún, S es una isometrı́a:
kSxk = kxk para todo x ∈ `2 .
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Ejemplos
En L2 [0, 1], definimos el operador Mx como
(Mx f )(x) = x f (x).
Ejercicio: Mx es acotado y kMx k = 1.
Sea φ ∈ H2 (D). Si φ es acotada, el operador Mφ se define como
(Mφ f )(z) = φ(z) f (z).
Se puede demostrar que Mφ es acotado y que
kMφ k = kφk∞ := sup{|φ(z)| : z ∈ D}.
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Ejemplos
El operador Mx en L2 (0, ∞) no está acotado. (Ejercicio.) De hecho,
ni siquiera está definido en todo L2 (0, ∞). Su dominio natural es
(
)
Z
x 2 |f (x)|2 dm(x) < ∞ ,
f : (0, ∞) → C :
(0,∞)
el cual es un conjunto denso en L2 (0, ∞).
Si φ(z) = (z − 1)−1 , el operador Mφ no está acotado en H2 (D).
Su dominio es un conjunto denso en H2 (D) y contiene a todos los
polinomios con raı́z en 1.
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Operadores compactos
Definición
Un operador F : H → H es de rango finito si F es acotado y el subespacio
ran F := {Fx : x ∈ H} es de dimensión finita.
Definición
Un operador K : H → H es compacto si {Kx : kxk ≤ 1} es un conjunto
compacto.
Nota: un operador T es acotado si {Tx : kxk ≤ 1} es acotado. Por lo
tanto, compacto =⇒ acotado.
Obsérvese también que si el operador identidad I : H → H es compacto,
entonces I es de dimensión finita.
21 / 87
Operadores compactos
Proposición
Sea K un operador en un espacio de Hilbert (de dimensión infinita).
Entonces K es compacto si y solo si existen operadores Kn , cada uno de
rango finito, tales que kKn − K k → 0 si n → ∞.
Proposición
Sea K un operador compacto y sea A un operador. Entonces KA y AK
son operadores compactos.
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Ejemplos
Cualquier operador T de rango finito es compacto. Esto es porque
{Tx : kxk ≤ 1} es un conjunto cerrado y acotado dentro de un
espacio vectorial normado de dimensión finita: ran T . Por lo tanto, el
conjunto es compacto.
En `2 el operador T definido como
T (a0 , a1 , a2 , . . . ) := (α0 a0 , α1 a1 , α2 a2 , . . . )
es compacto si αn → 0. (Ejercicio.) Este operador claramente no es
de rango finito.
En L2 [0, 1] definimos el operador de Volterra V como
Z
(Vf )(x) =
f (y ) dm(y ).
[0,x]
El operador V es compacto y no es de rango finito
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Espectro
Definición
Sea T un operador acotado.
El espectro de T es
σ(T ) := {λ ∈ C : T − λI no es invertible}.
Si existe λ tal que Tx = λx para algún x 6= 0, decimos que λ es un
eigenvalor y x un eigenvector. Denotamos por σp (T ) al conjunto de
eigenvalores.
El espectro es no vacı́o.
Claramente, si λ ∈ σp (T ) entonces λ ∈ σ(T ). No es cierto en general que
σp (T ) = σ(T ).
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Radio espectral
Definición
Sea T un operador acotado. El radio espectral de T es el número
sup{|λ| : λ ∈ σ(T )}.
La siguiente fórmula resulta ser muy útil.
Proposición (Fórmula del radio espectral)
Sea T un operador acotado. Entonces
r (T ) = lı́m kT n k1/n .
n→∞
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Ejemplos
Si T es de rango finito, entonces σ(T ) = σp (T ).
Si K es compacto, y H es de dimensaión infinita, se puede demostrar
(Teorema de la Alternativa de Fredholm) que σ(K ) = {0} ∪ σp (K ) y
es un conjunto a lo mas numerable y que unicamente se puede
acumular en 0.
Si B es el operador de desplazamiento hacia atrás en `2 , entonces
σp (B) = D, σ(B) = D. (Ejercicio.) Obviamente r (B) = 1.
Si S es el operador de desplazamiento hacia adelante en `2 , entonces
σp (S) = ∅ y σ(S) = D. (Ejercicio.) Obviamente r (S) = 1.
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Ejemplos
Si Mx es el operador de multilplicación por x en L2 [0, 1], entonces
σp (Mx ) = ∅ (Ejercicio.) y σ(Mx ) = [0, 1]. Obviamente r (Mx ) = 1.
Si V es el operador de Volterra en L2 [0, 1], entonces σp (V ) = ∅
(Ejercicio.) y σ(V ) = {0}. Obviamente r (V ) = 0.
Sea {αn } una sucesión acotada. El operador T en `2 definido como
T (a0 , a1 , a2 , . . . ) := (α0 a0 , α1 a1 , α2 a2 , . . . )
cumple que σp (T ) = {ak } y σ(T ) = {ak }. (Ejercicio.) Obviamente
r (T ) = sup{|αk | : k ∈ N0 }.
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Definición
Sea H un espacio de Hilbert, sea T un operador en H y sea M un
subespacio cerrado de H. Decimos que M es un subespacio invariante
para T si
T (M) ⊆ M,
Es decir, M es invariante si x ∈ M implica que Tx ∈ M.
Nota: todos los subespacios que consideraremos de aquı́ en adelante serán
siempre cerrados.
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Ejemplos
Sea A : Cn → Cn un operador. Es decir, A es una matriz.
Supongamos que A tiene un eigenvalor λ con eigenvector z ∈ Cn : es
decir Az = λz. Entonces
M = span z := {µz : µ ∈ C}
es un subespacio vectorial de Cn y es invariante, pues si x ∈ M,
entonces x = µz para algún µ ∈ C. Pero entonces
Ax = Aµz = µAz = µλz
el cual está en M. Por lo tanto M es un subespacio invariante para
A.
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Ejemplos
Sea S : `2 → `2 el operador de desplazamiento hacia adelante. Para
n ∈ N0 definimos el subespacio
Mn := {(a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , . . . ) ∈ `2 : a0 = a1 = · · · = an = 0};
es decir, el espacio de todas aquellas sucesiones que son 0 en las
primeras n + 1 coordenadas. Claramente, Mn es un subespacio de `2 .
Sea x = {ak } ∈ Mn , entonces a tiene ceros en las primeras n + 1
coordenadas. Entonces Sx tiene ceros en las primeras n + 2
coordenadas: en particular Sx ∈ Mn . Es decir, Mn es un subespacio
invariante para S.
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Ejemplos
Sea Ω un subconjunto medible de [0, 1]. Definimos un subespacio de
L2 [0, 1] como
MΩ := {f ∈ L2 [0, 1] : f = 0 en Ω}.
El subespacio MΩ es cerrado y claramente si f ∈ MΩ entonces
Mx f ∈ MΩ . Por lo tanto MΩ es un subespacio invariante. Este
espacio es no trivial siempre que Ω no tenga medida cero o uno.
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Ejemplos
El operador de Volterra se definió como el operador
V : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] dado por
Z
(Vf )(x) =
f (y ) dm(y ).
[0,x]
Recordemos que σp (V ) = ∅ y σ(V ) = {0}. Los espacios invariantes
de V son todos de la forma
Ma := f ∈ L2 [0, 1] : f = 0 en [0, a]
para a ∈ [0, 1].
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Ejemplos
Sea φ ∈ H2 (D). Las funciones en H2 (D) tienen lı́mites radiales casi
en todas partes. Si φ ∈ H2 (D) cumple que |φ(e ı̇t )| = 1 para casi todo
t ∈ [0, 2π], decimos que φ es una función interna.
Consideremos el operador Mz en H2 (D).
Definamos M := φH2 (D). Si f ∈ φH2 (D), entonces f = φg para
algún g ∈ H2 (D). Pero entonces
(Mz f )(z) = zf (z) = zφ(z)g (z)
la cual está en φH2 (D). Por lo tanto M es un subespacio invariante
para Mz .
Se puede demostrar (pero no es fácil) que si M es un subespacio
invariante distinto del espacio trivial {0}, entonces existe una función
interna φ ∈ H2 (D) tal que M = φH2 (D).
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Sea H un espacio de Hilbert y sea T un operador sobre H. Denotamos por
Lat T al conjunto de todos los subespacios invariantes de T .
Claramente H ∈ Lat T y {0} ∈ Lat T . A estos espacios invariantes les
llamamos triviales.
Este conjunto tiene la estructura de una retı́cula (lattice, en inglés).
Se conoce la retı́cula Lat T para muchos ejemplos de operadores T . Por
ejemplo:
Si V es el operador de Volterra, entonces Lat V ∼
= [0, 1].
Si Mx es el operador de multiplicación por x en L2 [0, 1], entonces
Lat Mx ∼
= {[Ω] : Ω es medible en [0, 1]}, donde [Ω] denota la clase de
equivalencia de conjuntos que son iguales salvo conjuntos de medida
cero.
Si Mz es el operador de multiplicación por z en H2 (D), entonces
Lat Mz ∼
= {φ ∈ H2 (D) : φ es una función interna }.
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¿Por qué nos interesan los espacios invariantes?
Si M ∈ Lat T , y M es no trivial, entonces podemos escribir al espacio de
Hilbert como una suma directa: H = M ⊕ M⊥ . Entonces podemos
escribir al operador T con una matriz 2 × 2.
M
M
A
T =
⊥
M
0
M⊥ B
C
Si A tuviera un subespacio invariante no trivial entonces A : M → M se
podrı́a escribir de la misma forma. Lo mismo sucederı́a con
C : M⊥ → M⊥ .
De hecho, a menos que en algún momento el subespacio invariante o su
espacio ortogonal sean de dimensión 1, esto se puede seguir haciendo para
que la matriz sea cada vez más diagonal.
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Subespacios invariantes para H = Cn
Si H = Cn es de dimensión finita, entonces este proceso se puede seguir
haciendo hasta obtener una matriz de la forma


a1


0



0


A = 0


 ..
.



0

0
∗
∗
∗
...
∗
a2
∗
∗
...
∗
0
a3
∗
...
∗
0
..
.
0
..
.
a4
..
.
...
∗
..
.
0
0
0
...
an−1
0
0
0
...
0
∗


∗



∗


.
∗


.. 
.



∗

an
Es decir, con respecto a cierta base, la matriz es triangular superior.
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Subespacios invariantes para H = Cn
Si A tiene alguna propiedad extra, por ejemplo, es autoadjunta (i.e.,
A = A∗ ) entonces esto demuestra que la matriz A es diagonal (con
respecto a cierta base)


a1


0


A=
0

.
 ..


0
0
0
0
...
a2
0
0
...
0
..
.
a3
..
.
0
..
.
...
0
0
0
...
0


0


.
0

.. 
.


an
A este resultado se le conoce como Teorema de los Ejes Principales (o
Teorema Espectral). Es decir, la existencia de espacios invariantes nos da
un teorema muy fuerte sobre la estrucutura de ciertas clases de operadores.
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¿Existen espacios invariantes?
Dado un espacio de Hilbert H y un operador T acotado en H, ¿existe un
subespacio invariante no trivial?
Si H es de dimensión finita, la respuesta es sı́, a menos que el espacio
sea de dimensión 1. (Consecuencia de la existencia de eigenvalores).
Si H no es separable, la respuesta es sı́.
Si x ∈ H y x 6= 0, se tiene que la cerradura de
span{T n x : n ∈ N0 }
es un subespacio invariante (ejercicio). Pero este espacio es separable
por lo que no puede ser igual a H.
El caso interesante es, entonces, qué pasa si H es de dimensión
infinita y separable.
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¿Cómo se pueden encontrar subespacios invariantes no triviales?
Si T tiene un eigenvalor λ con eigenvector x, entonces span{x} es un
subespacio invariante no trivial. De hecho, a menos que T sea un múltiplo
de la identidad, ker(T − λI ) es un espacio invariante no trivial para T .
Más es cierto.
Proposición
Sean S y T operadores en H con ST = TS. Supongamos que T no es un
múltiplo de la identidad I y que T tiene un eigenvalor λ. Entonces
ker(T − λI ) es un subespacio invariante no trivial para S.
Demostración.
Veamos que si x ∈ ker(T − λI ), entonces Sx ∈ ker(T − λI ):
(T − λI )Sx = S(T − λI )x = S0 = 0.
Es decir, ker(T − λI ) es un subespacio invariante no trivial para S.
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Si T es compacto y tiene eigenvalores, entonces T tiene un subespacio
invariante.
Por lo visto anteriormente, si S conmuta con un operador compacto que
tiene eigenvalores, entonces S tiene un subespacio invariante.
¿Qué pasa si T es compacto y no tiene eigenvalores? ¿Debe T tener
subespacios invariantes no triviales?
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Un poco de historia
En la decada de 1930, von Neumann demostró (pero nunca publicó) que
un operador compacto en el espacio de Hilbert siempre tiene subespacios
invariantes no triviales.
Figura: J. von Neumann
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N. Aronszajn, al inicio de la decada de 1950, encontró este resultado
independientemente de von Neumann. Al consultarlo con von Neumann,
tenı́an esencialmente la misma demostración (la cual utiliza proyecciones
ortogonales).
En 1953, N. Aronszajn y K. T. Smith extendieron este resultado a espacios
de Banach.
Figura: N. Aronszajn y K. T. Smith
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K. T. Smith preguntó (según P. R. Halmos, 1963) si este resultado era
cierto para operadores T tales que T 2 es compacto.
En 1966, A. R. Bernstein y A. Robinson demostraron que si un operador T
en un espacio de Hilbert es polinomialmente compacto (es decir existe un
polinomio p, no constante, tal que p(T ) es compacto) entonces tiene
subespacios invariantes no triviales. (Su demostración usaba técnicas de
análisis no estandar.)
Figura: A. Robinson
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P. R. Halmos (1966), simplificó el argumento de Bernstein y Robinson al
análisis clásico.
A. R. Bernstein (1968) extendió el resultado a espacios de Banach (de
nuevo, usando análisis no estandar). P. Meyer-Nieberg (1968) demostró el
resultado usando análisis clásico.
Figura: P.R. Halmos
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El siguiente teorema tomó a la comunidad de teorı́a de operadores por
sorpresa.
Teorema (V. Lomonosov, 1973)
Sean A, T y K operadores en X tales que T no es un múltiplo de la
identidad y K es un operador compacto no cero. Si A conmuta con T y T
conmuta con K , entonces A tiene un subespacio invariante no trivial.
Figura: V. Lomonosov
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Este teorema usa de manera muy importante el teorema del punto fijo de
Schauder (una extensión del teorema de punto fijo de Brouwer a espacios
de dimensión infinita).
Figura: J. Schauder y L.E.J. Brouwer
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C. Pearcy y A. Shields (1974) se preguntaron si todos los operadores en un
espacio de Banach satisfacen las hipotesis del teorema de Lomonosov.
Figura: C. Pearcy y A. Shields
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D. W. Hadwin, E. A. Nordgren, H. Radjavi y P. Rosenthal (1980)
encontraron un operador en un espacio de Hilbert que no satisface las
condiciones del teorema de Lomonosov.
Figura: D. W. Hadwin y E. A. Nordgren
Figura: H. Radjavi y P. Rosenthal
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Operadores normales
El adjunto del operador T en H es el (único) operador T ∗ que satisface
hTx, y i = hx, T ∗ y i
para todo x, y ∈ H (de alguna manera, el adjunto es la “transpuesta
conjugada” del operador T ).
Un operador N se dice normal si conmuta con su adjunta.
El teorema espectral (en una de sus versiones) establece que los
operadores normales son equivalentes a operadores de multiplicación.
Como estos siempre tienen (muchos) subespacios invariantes no triviales,
se sigue que todos los operadores normales tienen subespacios invariantes
no triviales.
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Ejemplo no normal y sin eigenvalores
Recordemos que en el espacio H2 (D), podemos definir el operador Mz .
Beurling (1941) describió todos los subespacios invariantes de Mz en
H2 (D). Esto da lugar a una rica teorı́a de funciones en el disco unitario.
Como ya vimos, M es invariante para Mz si y solo si existe una función φ
interna tal que M = φH2 (D).
Figura: A. Beurling
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Operadores subnormales
El operador de desplazamiento es un caso especial de una clase de
operadores muy estudiada.
Definición
Un operador T en un espacio de Hilbert H se llama subnormal si existe un
espacio de Hilbert K y un operador normal N en K tales que
El espacio H ⊆ K es un subespacio invariante para N.
El operador T es igual a la restriccion de N a H.
Si definimos W en `2 (Z) como
W (. . . , a−2 , a−1 , a 0 , a1 , a2 , . . . ) = (. . . , a−3 , a−2 , a −1 , a0 , a1 , . . . ),
entonces W restringido a `2 , pensado como subespacio de `2 (Z), es el
operador S. Además W es normal (de hecho unitario).
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Teorema de Brown
Teorema (S. W. Brown, 1978)
Si T es un operador subnormal en un espacio de Hilbert, entonces T tiene
un subespacio invariante no trivial.
Las técnicas de Brown llevaron a muchos otros resultados. Por ejemplo,
Teorema (S. W. Brown, B. Chevreau, C. Pearcy, 1988)
Sea T un operador en un espacio de Hilbert. Si T tiene norma menor o
igual que uno y su espectro contiene al cı́rculo unitario, entonces T tiene
un subespacio invariante no trivial.
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Contraejemplos
En 1975, P. Enflo anuncio la existencia de un espacio de Banach donde
existe un operador sin espacios invariantes no triviales. El artı́culo que
contiene la demostración completa aparecio en 1987.
Figura: P. Enflo
53 / 87
C. J. Read, encontró otros ejemplos, y el primero fue publicado en 1984.
Todos estos espacios son “no reflexivos”.
El ejemplo “más sencillo” fue descubierto por Read: un operador en `1 sin
subespacios invariantes no triviales.
En 1984, Read encontro un operador en `1 sin subconjuntos invariantes
no triviales.
Figura: C. J. Read
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También se sabe que existe un operador (que no se sabe si es acotado o
no) en un espacio de Hilbert sin subespacios invariantes no triviales. El
problema es que este operador se construye por inducción transfinita y no
se sabe realmente nada sobre él (ni siquiera si es acotado). Este ejemplo
fue encontrado por Allen Shields.
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Ejercicios
Sean A y B operadores similares (i.e., AR = RB con R invertible). Si
B tiene un subespacio invariante no trivial, entonces A tiene un
subespacio invariante no trivial.
Sean A y B operadores quasi-similares (i.e., AS = SB y TA = BT
con S y T operadores inyectivos y de rango denso). Si B tiene un
subespacio invariante no trivial, entonces A tiene un subespacio
invariante no trivial.
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Propiedades básicas de espacios invariantes
Proposición
Sea T un operador en H. Entonces M ∈ Lat T si y solo si M⊥ ∈ Lat T ∗ .
Demostración.
Supongamos que M ∈ Lat T . Sea x ∈ M⊥ . Debemos demostrar que
T ∗ x ∈ M⊥ . Pero, si y ∈ M, tenemos
hT ∗ x, y i = hx, Ty i = 0,
pues Ty ∈ M. Por lo tanto, T ∗ x ∈ M⊥ .
La otra dirección es análoga (ejercicio).
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Proposición
Sea T un operador en H. Sea M un subespacio y sea P la proyección
ortogonal sobre M. Entonces, M ∈ Lat T si y solo si PTP = TP.
Demostración.
Supongamos que M ∈ Lat T . Sea x ∈ H. Entonces Px ∈ M y por lo
tanto TPx ∈ M. Pero esto implica que PTPx = TPx. Como x fue
arbitrario, se tiene que PTP = TP.
Supongamos ahora que PTP = TP. Sea y ∈ M. Entonces
PTPy = TPy , pero como y ∈ M se sigue que Py = y . Por lo tanto,
PTy = Ty lo cual quiere decir que Ty ∈ M. Es decir,
M ∈ Lat T .
Ejercicio: Un operador T tiene un subespacio invariante no trivial si y solo
si la ecuación XTX = TX tiene una solución distinta de X = 0 y X = I .
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Proposición
Sea T un operador en H. Sea M un subespacio y sea P la proyección
ortogonal sobre M. Entonces, M ∈ Lat T y M⊥ ∈ Lat T si y solo si
TP = PT .
Demostración.
Notemos primero que si P es la proyección ortogonal sobre M, entonces
I − P es la proyección ortogonal sobre M⊥ .
Si M⊥ ∈ Lat T entonces (I − P)T (I − P) = T (I − P). Esto implica
que T − PT − TP + PTP = T − TP. Simplificando y usando el
hecho que M ∈ Lat T y por lo tanto PTP = TP tenemos TP = PT .
Si TP = PT , multiplicando a la derecha por P obtenemos
TP = PTP, por lo que M ∈ Lat T . Si TP = PT , obtenemos
T (I − P) = (I − P)T . Multiplicando por I − P del lado izquierdo nos
da T (I − P) = (I − P)T (I − P), por lo que M⊥ ∈ Lat T .
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Espacios reductores
Definición
Sea T un operador. Decimos que un espacio M reductor si M y M⊥
están en Lat T . Equivalentemente, M es reductor si M ∈ Lat T y
M ∈ Lat T ∗ .
Si M es reductor y M es no trivial, podemos escribir al espacio de Hilbert
como una suma directa: H = M ⊕ M⊥ . Entonces podemos escribir al
operador T con una matriz 2 × 2.
M
T = M⊥ A
M
0
M⊥ 0
B
Ejercicio: Sea T : H → H normal y M ∈ Lat T . Entonces T|M es normal
si y solo si M ∈ Lat T y M ∈ Lat T ∗
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Espacios reductores
Dado un operador T , ¿existen espacios reductores no triviales?
Ejemplo
Sea S en `2 el operador de desplazamiento hacia adelante. Entonces S no
tiene espacios reductores no triviales.
Demostración.
Primero, obsérvese que S ∗ = B. (Ejercicio: demostrar.) Supongamos que
M=
6 {0}. Sea x ∈ M, x 6= 0. Como x 6= 0, alguna de sus coordenadas,
digamos la k-ésima, xk , es diferente de cero. Como M es reductor, se
cumple que B k x = (xk , xk+1 , xk+2 , . . . ) ∈ M. Como M es un subespacio,
se tiene que x1k B k x ∈ M.
Podemos, entonces, suponer que existe y = (1, y1 , y2 , y3 , . . . ) ∈ M. Se
sigue que SBy = (0, y1 , y2 , y3 , . . . ) ∈ M. Como M es subespacio entonces
y − SBy ∈ M. Es decir, e0 := (1, 0, 0, 0, . . . ) ∈ M. Si n ∈ N0 , tenemos
en := S n e0 = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) ∈ M. Pero esto da M = `2 .
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Transitividad
Definición
Sea A un conjunto de operadores acotados en H. Decimos que A es
transitivo si, para todo x ∈ H, x 6= 0,
{Ax : A ∈ A}
es denso en H.
Una proposición que será útil después.
Proposición
Sea A un álgebra. Entonces, A es transitiva si y solo si no existe un
subespacio invariante no trivial común para todo A ∈ A. Es decir, si y solo
si
\
Lat A = {∅, H}.
A∈A
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Demostración.
Supongamos que M =
6 {0} y M ∈ Lat A para todo A ∈ A. Sea
x ∈ M, x 6= 0. Entonces Ax ∈ M para todo A ∈ A. Esto implica que
{Ax : A ∈ A} ⊆ M.
Como A es transitiva, esto implica que el conjunto de la izquierda es
denso y por lo tanto M = H.
Supongamos ahora que no existe un subespacio invariante no trivial
común para todo A ∈ A. Sea x 6= 0. El conjunto {Ax : A ∈ A} es un
subespacio lineal (no necesariamente cerrado), pues A es un
subespacio. Ademas, este conjunto es invariante para cada A ∈ A
(pues A es un álgebra). Por lo tanto.
{Ax : A ∈ A}
es un subespacio cerrado y está en Lat A para cada A ∈ A. El
conjunto no es cero, pues I ∈ A. Por lo tanto, la hipótesis nos dice
que {Ax : A ∈ A} = H, lo cual demuestra que A es transitivo.
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Teorema (Lomonosov débil)
Sea T un operador y K un operador compacto, K 6= 0. Si KT = TK
entonces T tiene un subespacio invariante no trivial.
Demostración: (por H. M. Hilden)
Sin perdida de generalidad, podemos suponer que kK k = 1. (¿Por qué?)
Si K tiene un eigenvalor λ entonces, como ya vimos antes ker(K − λI ) es
un subespacio invariante (no trivial) para T : si x ∈ ker(K − λI ) entonces
(K − λI )Tx = T (K − λI )x = T 0 = 0,
por lo que Tx ∈ ker(K − λI ). Por lo tanto, podemos suponer que el
operador compacto no tiene eigenvalores. Es decir, r (K ) = 0. Por la
fórmula del radio espectral, tenemos.
lı́m kK n k1/n = 0.
n→∞
Esto implica que lı́m kK n k = 0. (Ejercicio.)
n→∞
64 / 87
Demostración: (continuación)
Sea A := {T : TK = KT }. Demostraremos que existe un subespacio
invariante no trivial común para cada T ∈ A. Es decir, demostraremos que
A no es transitivo.
Por contradicción supongamos que A es transitivo. Por lo tanto, para todo
x ∈ H, x 6= 0 tenemos
{Tx : T ∈ A}
es denso.
Escojamos x0 ∈ H tal que kKx0 k > 1. Necesariamente, kx0 k > 1 (¿Por
qué?)
Definimos S como
S := {x ∈ H : kx − x0 k < 1}.
65 / 87
Afirmaciones:
1
0 6∈ K (S).
Por contradicción, supongamos que 0 ∈ K (S). Entonces existe una
sucesión {yn }, con yn ∈ S tales que Kyn → 0. Pero
Kx0 = K (x0 − yn ) + Kyn ,
por lo que
kKx0 k
≤
kK (x0 − yn )k + kKyn k
≤
kK k kx0 − yn k + kKyn k
≤
1 · 1 + kKyn k.
Como kKyn k → 0, tenemos que kKx0 k ≤ 1. Pero esto contradice la
selección de x0 .
66 / 87
2
3
4
Como S es acotado y K es compacto, se sigue que K (S) es
compacto.
Para cada T ∈ A, el conjunto T −1 (S) = {x ∈ H : kTx − x0 k < 1}
es abierto, pues T es continuo. Además 0 6∈ T −1 (S), pues 0 6∈ S.
[
T −1 (S) = H \ {0}. Esto es porque
T ∈A
⊆) Trivial, por la observación de arriba.
⊇) Sea x ∈ H \ {0}. Como x 6= 0, por transitividad de A, tenemos que
{Tx : T ∈ A} es denso. Como es denso, intersecta a cualquier abierto
6 ∅. Es decir, existe
(no vacı́o), en particular {Tx : T ∈ A} ∩ S =
T ∈ A tal que Tx ∈ S. Equivalentemente, x ∈ T −1 (S).
67 / 87
5
Como K (S) es compacto y
[
T −1 (S) es una cubierta abierta, por
T ∈A
compacidad, existe una subcubierta finita. Es decir, existen
operadores A1 , A2 , . . . , An tales que
−1
−1
−1
K (S) ⊆ A−1
1 (S) ∪ A2 (S) ∪ A3 (S) ∪ · · · ∪ An (S).
68 / 87
6
Como x0 ∈ S, se sigue que Kx0 ∈ K (S). Por el punto anterior, existe
i1 ∈ {1, 2, 3, . . . , n} tal que Kx0 ∈ A−1
i1 (S). Es decir, Ai1 Kx0 ∈ S.
Analogamente, como Ai1 Kx0 ∈ S, se sigue que KAi1 Kx0 ∈ K (S). Por
el punto anterior, existe i2 ∈ {1, 2, 3, . . . , n} tal que
KAi1 Kx0 ∈ A−1
i2 (S). Es decir, Ai2 KAi1 Kx0 ∈ S.
Analogamente, después de m pasos, hemos encontrado ı́ndices
i1 , i2 , . . . , im tales que
Aim KAim−1 K . . . KAi2 KAi1 Kx0 ∈ S
Pero esto es equivalente a
Aim Aim−1 . . . Ai2 Ai1 K m x0 ∈ S
(¿Por qué?)
69 / 87
7
Sea c := máx{kA1 k, kA2 k, kA3 k, . . . , kAn k}. Entonces
kAim Aim−1 . . . Ai2 Ai1 K m k ≤ c m kK m k = k(cK )m k
Como r (K ) = 0 es claro que r (cK ) = 0.
Pero por la fórmula del radio espectral
lı́m k(cK )m k1/m = 0.
m→∞
Como antes, esto implica
lı́m k(cK )m k = 0.
m→∞
Pero esto implica que
kAim Aim−1 . . . Ai2 Ai1 K m f k ≤ k(cK )m f k ≤ k(cK )m k kf k → 0.
70 / 87
8
Pero recuérdese que
Aim Aim−1 . . . Ai2 Ai1 K m x0 ∈ S
Como
kAim Aim−1 . . . Ai2 Ai1 K m x0 k → 0
esto implica que 0 ∈ S. Esto es una contradicción.
Por lo tanto, A no es transitivo. Por lo tanto, hay un subespacio
invariante no trivial común para los elementos de A. En particular, el
operador original T tiene un subespacio invariante no trivial.
71 / 87
Teorema de Lomonosov
Nuestro objetivo es probar una versión fuerte del Teorema de Lomonosov.
Teorema (Lomonosov)
Sea B un operador. Sea T un operador, no un múltiplo de la identidad, tal
que TB = BT . Sea K un operador compacto, K 6= 0 tal que KT = TK .
Entonces B tiene un subespacio invariante no trivial.
Para esto necesitamos un lema:
Lema (de Lomonosov)
Sea A un álgebra transitiva de operadores y sea K un operador compacto,
K 6= 0. Entonces, existe A ∈ A tal que ker(AK − I ) 6= {0}.
Suponemos este lema por el momento, y lo usaremos para demostrar el
Teorema de Lomonosov.
72 / 87
Teorema de Lomonosov
Teorema (Lomonosov)
Sea B un operador. Sea T un operador, no un múltiplo de la identidad, tal
que TB = BT . Sea K un operador compacto, K 6= 0 tal que KT = TK .
Entonces B tiene un subespacio invariante no trivial.
Demostración del Teorema de Lomonosov:
Sea A el álgebra A = {A : AT = TA}. Obsérvese que B ∈ A.
Si A tiene un subespacio invariante no trivial, terminamos. Si no, entonces
A es transitivo.
Aplicando el Lema de Lomonosov, tenemos que existe A ∈ A tal que
N := ker(AK − I ) 6= {0}.
Afirmaciones:
1
Claramente, si x ∈ N , entonces AKx = x. Es decir AK (N ) ⊆ N y
AK|N = I|N .
73 / 87
2
Como K es compacto, entonces AK es compacto. Pero esto implica
que AK|N es compacto. Esto implica que AK|N = I|N es compacto.
Por lo tanto N es de dimensión finita.
3
Sea x ∈ N . Entonces
(AK − I )(Tx)
=
AKTx − Tx
=
ATKx − Tx
=
TAKx − Tx
=
T (AK − I )x
=
0
Por lo tanto Tx ∈ N . Es decir, T (N ) ⊆ N .
74 / 87
4
Consideremos el operador T|N : N → N (el cual está bien definido).
Como N tiene dimensión finita, entonces T|N tiene un eigenvalor λ:
i.e., existe x ∈ N , x 6= 0 con T|N x = λx.
Pero esto implica que M := ker(T − λI ) 6= {0}.
5
Como ya vimos antes, M es un espacio invariante común para cada
6 {0}. Además, si M = H
elemento de A. Ya vimos que M =
entonces T serı́a un múltiplo de la identidad. Es decir M es un
espacio invariante no trivial, común para los operadores en A.
6
Esto es una contradicción a la transitividad de A. Por lo tanto, A no
puede ser transitivo. Por lo tanto B ∈ A tiene un subespacio
invariante no trivial.
75 / 87
Demostramos ahora el Lema de Lomonosov, que es la clave de todo esto.
Lema (de Lomonosov)
Sea A un álgebra transitiva de operadores y sea K un operador compacto,
K 6= 0. Entonces, existe A ∈ A tal que ker(AK − I ) 6= {0}.
Demostración del Lema de Lomonosov:
Como el álgebra A es transitiva, para todo x ∈ H, x 6= 0, se tiene que
{Ax : A ∈ A} es denso.
Como A es un álgebra, podemos suponer, sin perdida de generalidad, que
kK k = 1. (¿Por qué?)
Sea x0 ∈ H tal que kKx0 k > 1 y, por lo tanto kx0 k > 1.
Definimos S := {x ∈ H : kx − x0 k < 1}.
Igual que en la demostración de Lomonosov débil, tenemos que 0 6∈ S y
0 6∈ K (S).
76 / 87
Demostración (continuación):
Igual que antes,
[
A−1 (S) = H \ {0} (aquı́ se usó la transitividad de A).
A∈A
Como K (S) es compacto, existen A1 , A2 , . . . , An ∈ A tales que
−1
−1
−1
K (S) ⊆ A−1
1 (S) ∪ A2 (S) ∪ A3 (S) ∪ · · · ∪ An (S)
Hasta aquı́ todo es igual que en Lomonosov débil. Ahora, cambiamos de
dirección.
1
Para cada j = 1, 2, . . . , n definimos funciones αj : K (S) → R como
αj (x) = máx{0, 1 − kAj x − x0 k},
para x ∈ K (S).
Claramente αj es continua para cada j (¿Por qué?) y αj (x) ≥ 0 para
todo j y todo x ∈ K (S).
77 / 87
2
3
Para cada x ∈ K (S), sabemos que existe j tal que x ∈ A−1
j (S). Es
decir, existe j tal que kAj x − x0 k < 1. Equivalentemente, existe j tal
que αj (x) > 0.
Para cada j = 1, 2, . . . , n, definimos βj : K (S) → [0, 1] como
αj (x)
βj (x) = Pn
,
k=1 αk (x)
la cual está bien definida pues el denominador es positivo. (¿Por
qué?) Claramente cada βj es continua (¿Por qué?) y
n
X
βj (x) = 1.
j=1
78 / 87
4
Definamos Φ : S → H como
Φ(x) =
n
X
βj (Kx)Aj Kx.
j=1
Obsérvese que Φ está bien definida, pues si x ∈ S, entonces
Kx ∈ K (S) ⊆ K (S).
5
Φ no es lineal, pero sı́ es continua (pues es combinación de funciones
continuas).
79 / 87
6
Probemos ahora que Φ(S) ⊆ S. Sea x ∈ S. Entonces
X
n
βj (Kx)Aj Kx − x0 kΦ(x) − x0 k
=
j=1
=
n
n
X
X
β
(Kx)A
Kx
−
β
(Kx)x
0
j
j
j
=
n
X
βj (Kx)(Aj Kx − x0 )
j=1
j=1
j=1
≤
¿Por qué?
≤
n
X
j=1
n
X
βj (Kx)Aj Kx − x0 βj (Kx) = 1.
j=1
Por lo tanto Φ(x) ∈ S; i.e. Φ(S) ⊆ S. Esto implica que Φ(S) ⊆ S.
80 / 87
7
Para cada j = 1, 2, . . . , n, el operador Aj K es compacto. Por lo tanto,
Aj K (S) es compacto. La unión finita de conjuntos compactos es
compacta, por lo que
n
[
Aj K (S)
es compacto.
j=1
8
Aplicamos ahora el
Teorema de Mazur: La cerradura de la envoltura convexa de un
conjunto compacto en un espacio de Banach es un conjunto
compacto.
[
n
Es decir, el conjunto C := hull
Aj K (S) es compacto.
j=1
81 / 87
9
Como C es compacto y S es cerrado, la intersección C ∩ S es
compacta.
10
Como C es convexa y S es convexa, la intersección C ∩ S es convexa.
11
Como ya habı́amos notado, Φ(S) ⊆ S.
Además, como Φ es una combinación convexa de elementos en los
conjuntos Aj K (S), se tiene que Φ(S) ⊆ C.
Por lo tanto Φ(S) ⊆ C ∩ S. Esto implica que Φ(S) ⊆ C ∩ S y por lo
tanto que
Φ(C ∩ S) ⊆ C ∩ S.
82 / 87
12
Aplicamos ahora el
Teorema del punto fijo de Schauder: Una función continua de un
conjunto (no vacı́o) compacto y convexo (en un espacio de Banach)
en sı́ mismo tiene un punto fijo.
Por lo tanto existe x ∈ C ∩ S tal que Φ(x) = x. Es decir,
n
X
βj (Kx)Aj Kx = x.
j=1
Si definimos A :=
n
X
βj (Kx)Aj , entonces A ∈ A (pues A es un
j=1
álgebra) y se sigue que (AK − I )x = 0.
Como x ∈ S y 0 6∈ S se sigue que x 6= 0, i.e. ker(AK − I ) 6= {0}.
83 / 87
”It is in particular an open question if there are operators
without nontrivial invariant subspaces in Hilbert space, and it is
an open question whether this question is interesting.”
Peter D. Lax, Functional Analysis. Wiley, 2002.
84 / 87
Espero haberlos convencido de que
el problema sı́ es interesante.
Gracias por su atención.
85 / 87
Fotos tomadas de las páginas:
MAA Convergence Collection. Images from the Paul R. Halmos
Photograph Collection:
http://www.maa.org/publications/periodicals/convergence/
whos-that-mathematician-images-from-the-paul-r-halmosphotograph-collection
MacTutor History of Mathematics
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/
Oberwolfach Photo Collection
http://owpdb.mfo.de/
Página de Michal Beneš:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~benes/mathphotos.html
Periódico Toronto Star.
http://www.thestar.com
Página de V. Lomonosov, Kent State University.
http://www.math.kent.edu/~lomonoso/
Página del Instituto de Matemáticas, Academia Polaca de Ciencias
http://www.impan.pl/EN/
86 / 87
Bibliografı́a
Peter Rosenthal y Heydar Radjavi, Invariant subspaces, segunda
edición, Dover, 2003.
John B. Conway, A course in functional analysis, segunda edición,
Springer, 1990.
R.A. Martı́nez Avendaño y Peter Rosenthal, Introduction to operators
on the Hardy-Hilbert space, Springer, 2007.
Isabelle Chalendar y Jonathan R. Partington, Modern approaches to
the invariant-subspace problem, Cambridge University Press, 2011.
87 / 87

Sesiones 1 - Universidad de Colima

Transcripción

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Spring 2009