Un Algoritmo para el Conteo de Modelos de Frmulas Booleanas

Un Algoritmo para el Conteo de Modelos de Frmulas Booleanas

Conteo de Modelos en Fórmulas Booleanas
Guillermo De Ita Luna1, Alejandro Ramírez Cruz, Salvador Márquez Salazar
Ingeniería en Informática, Universidad Politécnica de Puebla
[email protected], [email protected], [email protected]
Resumen. En este trabajo se presenta una reducción polinomial del problema
de conteo del número de conjuntos independientes de un grafo al conteo de
modelos de una Fórmula Booleana en dos forma conjuntiva. Esta reducción
permite aplicar una ecuación de recurrencia al conteo del número de modelos
que hay en una Fórmula Lógica en base a la topología que se presenta en el
grafo de dependencias de la fórmula. Se diseñó un algoritmo eficiente que nos
permite determinar nuevas clases polinomiales para el problema de conteo del
número de modelos en Fórmulas Booleanas.
Palabras Clave. Grafos, Conteo de modelos, Algoritmos eficientes.
1. INTRODUCCIÓN
Los problemas de conteo de objetos discretos ha sido un área de relevancia para el
desarrollo de aplicaciones prácticas en la Inteligencia Artificial y, en las Ciencias de la
Computación en general. La gran dificultad, sobre todo en el tiempo computacional,
que requieren los métodos algorítmicos que cuentan objetos combinatorios, ha
significado un reto para la comunidad científica.
En este artículo, se trata el problema de contar los modelos que hay en una Fórmula de
Lógica Proposicional, expresada en dos Forma Conjuntiva (conjunciones de cláusulas
con dos literales), es decir, se quiere contar el número de asignaciones que construidas
en base a las variables de la fórmula, satisfagan a la misma fórmula. Este problema ha
sido reconocido por su carácter eminentemente exponencial en tiempo, pero la
importancia práctica que tiene en el área de la lógica Matemática y de la Inteligencia
Artificial, motiva a la búsqueda de algoritmos para su solución [1,2,10,11].
2. ESTADO DEL ARTE
El problema de contar el número de modelos de una fórmula proposicional F es
denotado como #SAT(F). Este problema es un problema #P-completo [9], lo que
significa que es uno de los problemas más difíciles, en cuanto al tiempo que se requiere
para su solución. Un área de investigación, es determinar las clases de fórmulas
1
Trabajo parcialmente apoyado por la Universidad Autónoma de Puebla vía permiso
de Superación Académica
Booleanas F en donde #SAT(F) pudiese resolverse de manera eficiente, es decir, en
tiempos polinomiales de cómputo de acuerdo a la longitud de la fórmula F [11].
Para diseñar algoritmos líderes en la solución de estos problemas, tenemos primero que
analizar las instancias básicas que puedan resolverse de manera eficiente, diseñando
estrategias ad-hoc a las restricciones de estas instancias, y posteriormente, extender
estas técnicas básicas considerando instancias generales del problema.
3. METODOLOGIA
Un conjunto independiente de un grafo G es un subconjunto (S, V) tal que ninguno de
dos vértices en S es conectado por una arista de G. al conjunto de todos los conjuntos
independientes de G se le denota por I(G) y a la cardinalidad de I(G) se le denota por
NI(G)=|I(G)|= Número total de conjuntos independientes que hay en G.
Ejemplo: Sea G el siguiente grafo:
1
5
6
3
2
4
Figura 1 Grafo G
En este grafo se forman los siguientes conjuntos independientes:
I(G)={∅,{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,3},{1,4},{1,6},{2,4},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{5,
6},{1,3,6},{2,5,6},{3,5,6}}
NI(G) = |I(G)| = 19. ¿Habrá una forma de calcular NI(G) sin tener que construir el
conjunto I(G)?. Nosotros mostraremos que si hay forma de calcular NI(G), en base a la
topología del grafo G.
La serie de Fibonacci es una secuecnia de números, donde cada nuevo número, se
forma de la suma de los dos anteriores valores de le serie. Por ejemplo: 0, 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21, y así sucesivamente. Esta sucesión fue descubierta por el matemático italiano
Leonardo Fibonacci. Los números de Fibonacci tienen interesantes propiedades y se
utilizan mucho en matemáticas. Las estructuras naturales, como el crecimiento de hojas
en espiral en algunos árboles, presentan con frecuencia la forma de la sucesión de
Fibonacci.
La técnica para calcular el numero de conjuntos independientes NI(G) sobre este tipo
de grafos se basa en asociar un par de valores (αi , βi) a cada nodo Vi donde i= 1,…n
conforme se va visitando cada nodo en un recorrido a lo profundo. El recorrido inicia
en uno de los extremos visitando a su nodo adyacente hasta llegar al otro nodo extremo
de la cadena.
El primer par de valores (α1 , β1) inicia con los valores: (1,1). La relación de
recurrencia a aplicar al contar el número de conjuntos independientes sobre la cadena
G, considera que se conoce el valor (αi , βi) asociado al subgrafo inducido Gi de G y tal
que NI(Gi)= αi + βi. El subgrafo Gi se “extiende” al adicionarle el nodo Vi+1,
creándose el subgrafo inducido Gi+1 de G, por lo que se une Vi+1 con una sóla arista
que va de Vi a Vi+1. Y el nuevo par de valores (αi+1, βi+1) se construye en base a (αi ,
βi) al aplicar la recurrencia que genera a los números de Fibonacci:
αi+1 = αi + βi y βi+1 = αi
La sucesión de valores (αi , βi), i=1,….,n nos permite contar NI(Gi)= αi + βi, al
almacenar en αi el número de conjuntos independientes de I(Gi) en donde el nodo Vi
no aparece, mientras que βi llevará el número de conjuntos independientes de I(Gi) en
donde el nodo vi si aparece. Nótese que el par de números: (αi , βi) corresponde con
dos consecutivos números de Fibonacci: (Fi,Fi-1), siendo Fi el i-ésimo número de
Fibonacci.
3.1 Grafo de Árbol Libre.
Ejemplo: Sea G un grafo dado por:
Figura 2. Grafo G representado como árbol libre
La técnica para contar el número de conjuntos independientes para este tipo de grafo es
la siguiente:
a]
Hay que recorrer el árbol libre G en el orden de hijos a padres (en post-orden)
b] A cada nodo V que pertenezca a G se le asocia un par de valores: (αv, βv) de la
forma siguiente:
c]
Si V es un nodo hoja de G entonces (αv, βv)=(1,1,)
d] Al avanzar de hijo a padre se aplica la recurrencia: αv= αu + βu , βu = αu.
e]
Si el nodo V es un nodo padre de más de un hijo, por ejemplo sus nodos hijos son
U1,U2…Uk. entonces al aplicar el paso (b) se obtiene una lista de parejas (αv1, βv1),
(αv2, βv2)… (αvk, βvk). Cada una de ellas proviene de la aplicación de la
recurrencia en (b), al avanzar de Ui a Vi, i=1,…,k la pareja final (αu, βv) que se
asocial al nodo padre V, se calcula como:
k
α v = ∏α vj
j =1
y
β
k
v
= ∏β
j =1
vj
4. PROBLEMA A RESOLVER
Diseñar un algoritmo que dada como entrada una fórmula Booleana en dos forma
conjuntiva (una 2-FC) nos indique cuantos modelos tiene tal fórmula.
Contaremos el número de modelos que tiene una 2-FC, considerando primero las
formulas monótonas (que son formas conjuntivas donde toda variable aparecerá sólo de
forma positiva).
Por ejemplo, supongamos una formula F monótona en 2-FC dada por F={(X1, X2), (X2,
X3)} = {(X1V X2), (X2VX3)}.
Dada una 2-FC F, se construye el grafo Gf de dependencias de la formula dada por:
Gf=(V,E) y construida de la forma siguiente: V= var(F), cada variable de F es un nodo
en Gf y E= {{v(X), v(Y)}/(X, Y) es una cláusula en F}, esto es, los vértices de Gf son
las variables de F y para cada cláusula (X, Y) en F se tiene una arista que une a la
variable v(X) con la variable v(Y).
Diremos que una formula Booleana F es un cadena, un ciclo o un árbol libre si es que
su grafo de dependencia Gf es una cadena, un ciclo o un árbol libre, respectivamente.
Teorema: contar el número de modelos de una formula monótona F en 2-FC es
equivalente a contar el número de conjuntos independientes en su grafo de dependencia
Gf.
El hecho de que si SI es un conjunto independiente de Gf nos implica que las variables
que no aparecen en SI se les asigne valor lógico de “verdad” y por lo tal, cada cláusula
(arista) tiene al menos una variable (vértice) que al no estar en SI toma valor
verdadero.
4.1. Construcción de las ecuaciones de recurrencia para el conteo de modelo sobre
2-cláusulas
Supongamos que para una variable Xi-1 se tienen αi-1 valores lógicos ‘verdad’ y βi-1
valores lógicos ‘falsos’, además que se tiene la cláusula:
C
i
=
(X E , X S )
i
i −1
i
i
Donde Ei, Si € {0,1}, es decir, la cláusula Ci puede estar en uno de cuatro diferentes
casos, según los valores de Ei, Si.
Para cada uno de estos casos, inferiremos la ecuación que nos permite contar el número
de veces que Xi toma valor lógico ‘verdad’ y el numero de veces que Xi toma valor
lógico ‘falso’ de tal forma que la cláusula Ci sea satisfecha.
En general, las ecuaciones de recurrencia para el conteo de modelos, se basa en el signo
de las 2 literales que aparecen en la cláusula, y que pueden expresarse como:
(αi-1, βi-1)
(βi-1, αi-1 + βi-1) Si Ci = (~Xi-1V~Xi)
(αi-1 + βi-1, βi-1) Si Ci = (Xi-1VXi )
(αi-1, αi-1 + βi-1) Si Ci = (Xi-1V~Xi )
(αi-1 + βi-1, βi-1) Si Ci = (~Xi-1VXi)
Aplicando estas ecuaciones de recurrencia, se puede realizar el conteo del numero de
modelos de una formula Booleana conforme se visite en una búsqueda a lo profundo
cada nodo del grafo de dependencias de la formula.
• El conteo de modelos inicia asignándole a la primera variable el par (1,1)= (αi
βi).
• Cada una de la variables Xi que aparece en la formula se le asocia un par de
valores (αi βi).
• Cada par (αi βi) se calcula en base a los valores del par anterior (αi-1 βi-1) según
se aplique uno de los 4 casos de la ecuación de recurrencia anterior.
5. CONCLUSIONES
Se presentó una aplicación del conteo de conjuntos independientes sobre un grafo no
dirigido, para contar el número de modelos de formulas Booleanas. Es decir, se tuvo
que dar un enfoque diferente a la solución de satisfactibilidad de una forma normal
conjuntiva haciendo uso del grado del grafo de dependencias de la Fórmula Booleana y
de la serie de fibonacci.
Hemos presentado una transformación de complejidad polinomial del problema del
conteo de conjuntos independientes al problema de contar modelos en una fórmula
Bolean en dos Forma Conjuntiva. Hemos desarrollado una técnica para el conteo de
modelos en base al grafo de dependencias de la fórmula. La técnica desarrollada se
basa en la aplicación de una ecuación de recurrencia conforme se visita en profundidad
a cada nodo del grafo de dependencias de la fórmula, lo que nos proporciona un
algoritmo de complejidad lineal en tiempo para contar modelos en caso de que el grafo
de dependencias pueda recorrerse en tiempo lineal, que es el caso en que la búsqueda a
lo profundo del grafo nos genere un árbol libre.
Con la técnica que hemos diseñado, hemos podido establecer nuevas clases de
complejidad polinomial para instancias restringidas de un conocido problema de la
clase #P-completo, que es el problema #SAT(F) consistente en contar el número de
modelos de una fórmula proposicional F.
6. Referencias
[1] Dahllôf V., Jonsonn P., Wahlstrôm M., Counting models for 2SAT and 3SAT formulae.,
Theoretical Computer Sciences 332, (1-3): 265-291, 2005.
[2] Darwiche Adnan, On the Tractability of Counting Theory Models and its Application to
Belief Revision and Truth Maintenance, Jour. of Applied Non-classical Logics, 11(1-2), (2001),
11-34.
[3] De Ita G., Polynomial Classes of Boolean Formulas for Computing the Degree of Belief,
Advances in Artificial Intelligence LNAI 3315, 2004, 430-440.
[4] Dyer M., Greenhill C., Some \#P-completeness Proofs for Coulorings and Independent Sets,
Research Report Series, University of Leeds, 1997.
[5] Eiter T., Gottlob G., The complexity of logic-based abduction, Journal of the ACM 42(1),
(1995), 3-42.
[6] Greenhill Catherine , The complexity of counting colourings and independent sets in
sparse graphs and hypergraphs, Computational Complexity, 1999.
[7] Goran Gogic, Christos H. Papadimitriou, Marta Sideri, Incremental Recompilation of
Knowledge, Journal of Artificial Intelligence Research 8, (1998), 23-37.
[8] Koppel M., Feldman R., Maria Segre A., Bias-Driven Revision of Logical Domain Theories,
Jour. of Artificial Intelligence Research 1, (1994), 159-208.
[9] Roth D., On the hardness of approximate reasoning, Artificial Intelligence 82, (1996), 273302.
[10] Russ B., Randomized Algorithms: Approximation, Generation, and Counting, Distingished
dissertations Springer, 2001.
[11] Vadhan Salil P., The complexity of Counting in Sparse, Regular, and Planar Graphs, SIAM
Journal on Computing, Vol. 31, No.2, (2001), 398-427.