relaciones y funciones

Transcripción

[MODULO 1: RELACIONES Y FUNCIONES] UNIDAD 1 RELACIONES Y FUNCIONES
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
PARES ORDENADOS Y PLANO CARTESIANO.
Definiciones importantes:
Eje de las ordenadas
o eje de las “y”
Par Ordenado; Los arreglos de la forma (a,b) se llaman pares
ordenados donde: a= primera componente y b= segunda componente.
Igualdad de Pares Ordenados: el par ordenado (a,b) es igual a (c,d) solo
si a = c y b = d.
Plano Cartesiano: Sistema de coordenadas cartesianas formada por
dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto llamado
origen.
Origen: representa el valor de cero
“0”
Eje de las abscisas ò eje de las “x”
= (a, b )
Ubicar los puntos o pares ordenados en el plano cartesiano requiere la interpretarlos así:
( x , Y)
La primera componente “a” en el eje de las abscisas “x” y la segunda componente “b” en el eje de las
ordenadas “y”.
PRÁCTICA



(
)
(
)
Coloca los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
pero cuando los puntos están ubicados en los ejes del plano cartesiano, tienen las formas
siguientes: Cuando están en el eje “x”; (a , 0), su representación en el plano es ( x , 0)
Cuando están en el eje “y”; (0, b), su representación en el plano es (0 ,Y), este valor (0 , b ) es
llamado Intercepto pues ahí corta al eje “Y” el grafico. Ahora ubica los puntos siguientes:
(
)
(
)
(
)
(
)
IGUALDAD DE PARES ORDENADOS
Igualdad de Pares Ordenados: El par ordenado (a,b) es igual a (c,d) solo si a = c y b = d.
En otras palabras, serán iguales si tienen iguales sus respectivas componentes así:
(x ,y ) = (a , b ) solo si x = a y y = b
Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO| Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos1|
1
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
Hagamos un mapa mental de cómo se desarrolla la igualdad de pares ordenados:
1
Mi problema: Encontrar los valores de la incógnita si los pares ordenados son;
(
)
(
)
Recuerda la forma de los puntos: (x , y) = (a , b)
Son la primera componente:
Igualemos cada componente: la primera con
2
Primera en cada punto y segunda con segunda:
3 – 4x = -5
Entonces: (
)
(
)
y
Ahora despejemos las incógnitas en cada caso:
3
3 – 4x = -5
Son la segunda componente:
3 + 5 = 4x
=x
2=X
y = 2 ( 2)
y=4
Desarrolla los siguientes casos y entrégalos a tu docente:
Ejercicio 1.Ejercicio 2.-
(
-
𝑥
, 4 - 𝑦)= (
( 𝑥 , 12y - 9) = (1 - x ,
𝑥
,1-
𝑦)
𝑌 )
PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS
Definición Importante:
Si se tienen dos conjuntos A y B, se pueden formar parejas cartesianas de tal manera que la primera
componente ( a , _ ) pertenezca al primer conjunto A, y la segunda componente ( _ , b ) pertenezca al
segundo conjunto, B; al conjunto formado por todas las parejas cartesianas se le llama Producto
Cartesiano de A x B.
Se representa así: A x B = { (a , b ) / a ε A y b ε B Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO| Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos1|
2
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
Ejemplo 1.
Mi
problem
a
Mi
herramienta
Dados los conjuntos: A = {1, 3, 5 } y B = {2, 4 }
Encontrar A x B
Usa el diagrama de Veen
Euler:
Observa lo siguiente:
La primera componente
(a, _ ) pertenece al primer
conjunto.
A
B
1
La segunda componente
(_, b ) pertenece al
segundo conjunto.
4
Ahora grafica
el producto A x
B en el plano
cartesiano
Ejercicio: Encontrar B x A.
2
Mi
Resultado
3
A x B {(1,2, (1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)}
Practica estos casos: Dados los conjuntos P = {0, 1, 2, 3, 4 }, Q = {3, 4, 5 }, R = { 4, 6 }
Encontrar: P x Q
Q x P
Q x R
R x Q
P x R
R x P
Aplica el proceso de arriba y preséntalos a tu profesor/a
Tipos de Corchetes:
PRODUCTO CARTESIANO DE INTERVALOS.
LIMITES
Como está estructurado un intervalo?
[ _ , _ ] Corchete Cerrado:
Los Límites están Incluidos en este
intervalo.
] _ , _ [ Corchetes Abiertos:
Los Símbolos de Desigualdad
asociados a los corchetes son:
[1,4]
[_,_]
[ 1 , 4 [ Corchete Semi Cerrado.
CORCHETES
≥
≤
Los Límites NO están incluidos en este
intervalo
El Limite 1 Esta Incluido, pero el Limite
4 No está Incluido.
]_,_[
] 1 , 4 ] Corchete Semi Abierto.
>
El Limite 1 NO está incluido pero el
Limite 4 SI está incluido en el Intervalo.
<
3
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
En un Problema de Producto Cartesiano donde intervienen Intervalos se presentan de la siguiente manera:
Representar gráficamente] -2 , 3 ] X ] -3 -1 ], encontrar A x B
Problema planteado:] -2 , 3 ] X ] -3 -1 +
1
Entonces:
A se ubica en el eje “X” y B se ubica en el eje “Y”
3
Grafícalo en el plano cartesiano
4
Quienes son los intervalos A y B?
2
-2 ] -1
3
] -3
Producto A x B
Resuelve junto con tu maestro/a los siguientes casos:
Ruta de solución:
A = ,x ε z / -3 ≤ x ≤ 0}
B = , x ε R / 2 ≤ x ≤ 5-
Paso 1.- A = {-3,-2, -1, 0}
B = [2 , 5 ]
1.- Identifica los elementos de cada
conjunto.
A = estará formado por los Enteros.
B = estará formado por los Reales.
Paso 2.- A x B = ,(X , Y) ε Z x R / -3≤ x ≤ 0 , 2 ≤ y ≤ 5En otra forma te resulta así: = {-3, -2, -1,0} X [2,5 ]
Paso 3.- En el Plano Cartesiano:
5
Cuales es la diferencia o que tiene que ver
esta aclaración?
_______________________________
_______________________________.
2.- Establece el producto cartesiano A x B.
3.- ubícalos en el plano cartesiano.
2
-3 -2 -1 0
Desarrolla los siguientes ejercicios:
4.- Interpreta y completa la gráfica, pues
en (-3,2), (-3,5) es cerrado, busca los otros
si son cerrados o abiertos. Cuando los
límites son números Reales los Intervalos
son llamados: FINITOS
Entrégalos en limpio a tu profesor/a
a)
A = [2 , 8 ]
B = ] -5 , 3[ Representa A x B en el Plano Cartesiano.
b)
A = [-4 , 4[
B = ]-3 , 5]
Representa A x B en el Plano Cartesiano.
c)
A = ]-3 , 0]
B = ]2 , 4]
Representa A x B en el Plano Cartesiano
4
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
RELACIONES: una relación de A en B es un sub conjunto del
Producto Cartesiano de A x B de tal manera que cada par ordenado
formado CUMPLA CON UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA.
Una Relación normalmente se representa por R.
Dados los conjuntos: M = { 2, 3 } y N = { 2, 3,4 }, encontrar la Relación R = “ Es Igual a”
¿Cómo se resuelve un problema de Relaciones?
1
Identifica la regla de correspondencia: “Es Igual a”.
2
Usa el diagrama de Veen Euler para tener mejor visualización del problema:
“Es Igual a”
M
2
2
3
3
N
Para la regla de correspondencia
“Es igual a” solo estos elementos
cumplen 2 de M es igual a 2 de N
y 3 de M es igual a 3 de N.
4
Encontremos la Relación. “Es Igual a” R = {(2 , 2), ( 3 , 3)}
3
Resuelve con esos mismos conjuntos la relación: R = ,“es menor que”-
Para dar por resuelta una Relación, debes encontrar el Dominio “D“ y el Recorrido “ R”.
4
Dominio: está formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados que
cumplen con la Regla de Correspondencia de la Relación y se agrupan en un sub conjunto que
las representa, así; D = , _, _, _, …Recorrido: está formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados que
cumplen con la Regla de Correspondencia de la Relación y se agrupa en un sub conjunto que las
representa, así; R = , _, _, _, …5
Por último grafícala, ubica esos pares ordenados de la Relación en el Plano Cartesiano.
Hagamos el siguiente Ejemplo:
Sean los conjuntos: P = {1, 4, 9}
y Q = {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}
Encontrar la Relación de P en Q ; R = “Es el cuadrado de”.
5
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
Sigue la ruta de solución:
Sean los conjuntos P = {1, 4, 9} y Q = {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}
Paso 1: Mi problema:
Encontrar la Relación de P en Q; R = “Es el cuadrado de”.
Paso 2: Mi herramienta:
Usando el diagrama de Venn Euler puedo visualizar la Relación.
P
Q
el cuadrado de
Recuerda:
1
1
1
1
-4
1
9
9
Observa: Al graficar una Relación, la
grafica es el conjunto de puntos del
plano cartesiano que representan a
cada uno de los pares ordenados que
cumplen la Regla de Correspondencia
-3
4
-2
9
-1
1
2
3
4
Paso 3: Mi resultado
R = {(1,-1)(1, 1), (4,-2),(4, 2), (9,-3), (9, 3)}
Paso 4: Obtener;
Dominio: primeras componentes.
Recorrido: segundas componentes.
Paso 5:
D = {1, 4, 9}
R = {-1, -2, -3, 1, 2, 3}
•
-9
•
Grafica el dominio X, el recorrido Y
RESUELVE
•
-4 •
R= , (x , y ) ε R x R / Y = 2 - x}
R= { (x , y ) ε D x D / Y= 3x +2R= , ( x, y) ε R x R / Y = 𝑥
• -1•
…-3 -2 -1
1 2 3…
6
FUNCION:
Definición importante:
Se llama función a toda Relación que cumple con la condición siguiente;
Recordando:
A cada valor del Dominio le corresponde un único valor del Recorrido, o
también que a todo valor de A tiene una y solo una imagen en B.
Primera Componente” X”
Segunda Componente “Y”
Dominio: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que
puede tomar la variable independiente “X”, llamado conjunto de partida.
(X,Y)
Recorrido: El Recorrido de una función es el conjunto de todos los valores que
toma la variable dependiente “Y”, llamado conjunto de llegada.
Variable Independiente “X”
Variable Dependiente “Y”
Recordemos la estructura de los pares ordenados. ( a, b )
(X, Y), entonces,
lo que era la primera componente es la variable independiente y la segunda
componente es la variable dependiente.
Funciones Algebraicas.
Tipos de Funciones:
Función Lineal: 𝑓(𝑥)
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
𝑎𝑥
Función Lineal: Expresada como 𝑓(𝑥)
𝑏
Características:
a = es la pendiente “m” de la
recta.
𝑎𝑥
𝑏 se llama función lineal de x.
1 El grafico es una Línea Recta.
2 La expresión 𝑓(𝑥)
𝑎𝑥
𝑏 es la Ecuación de la Línea Recta.
3 El exponente de x es 1.
b = es el intercepto.
RUTA DE SOLUCIÓN:
¿Cómo se resuelve un problema de ecuaciones?
1.- La función debe estar expresada en la forma:
𝑓(𝑥)
𝑥 Es lo mismo Y = 3 – 2X
2.- has una tabulación para mayor facilidad:
X
Y = 3 – 2X
(x,y)
-3
Y= 3 – 2(-3) = 9
( -3, 9 )
-2
Y= 3 - 2(-2) = 7
( -2, 7 )
-1
Y = 3 – 2(-1) = 5
( -1, 5 )
0
Y = 3 – 2(0) = 3
(0,3)
1
Y = 3 – 2(1) = 1
(1,1)
2
Y = 3 -2(2) = -1
( 2, -1 )
3
Y = 3 -2(3) = -3
( 3, -3 )
3.- Dominio:,…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…- = Números Reales
Recorrido: ,…9, 7, 5, 3, 1, -1, -3…- =Números Reales
4.- Ahora grafícala.
CASO I
7
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Cuando en un cociente aparece la variable X formando parte del
denominador, entonces el denominador debe ser diferente de “0”. Por ejemplo, Encuentra el
Dominio y Recorrido y grafica la función siguiente: 𝑓𝑥
𝑥+
. Su grafica se llama Hipérbola
Equilátera.
RUTA DE SOLUCIÓN:
1.- La función debe estar expresada en la forma: 𝑓(𝑥)
𝑥+
Es lo mismo Y =
𝑥+
X
𝑓(𝑥)
𝑥+
(x,y)
-3
-2
-1
0
1
2
3
3.- Dominio:
Recorrido:
CASO II
Cuando aparecen raíces pares y la variable X es parte del radicando, entonces el
radicando debe ser mayor o igual que “0”. Por ejemplo, Encuentra el Dominio y Recorrido y grafica la
función siguiente: 𝑓(𝑥)
𝑥. Llamada también Función Raíz Cuadrada
RUTA DE SOLUCIÓN:
1.- La función debe estar expresada en la forma: 𝑓(𝑥)
X
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑥
(x,y)
-3
-2
-1
0
1
2
3
3.- Dominio:
Recorrido:
8
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
FUNCION CUADRATICA.
La función cuadrática se expresa como 𝑓(𝑥)
Características:
𝑎𝑥
𝑏𝑥
𝑐.
También: Y= 𝑥
La Grafica es una Parábola y es simétrica.
1
Si a > 0; y X ≥ 0 la convexidad es hacia abajo.
2
El Exponente de X es 2.
Si a < 0; y X ≥ 0 la convexidad es hacia arriba.
RUTA DE SOLUCION
Ejemplo: Encontrar el Dominio y Recorrido y grafica la función: 𝑓(𝑥)
𝑥
𝑥
1
Complétalo con tu profesor/a
X
𝑓(𝑥)
-3
(
𝑥
)
(
𝑥
1
(x,y)
)
1
(-3, 16)
-2
(-2, 9)
-1
(-1, 4)
0
(0, 1)
1
(1, 0)
2
(2, 1)
3
(3, 4)
2.- Dominio:
Recorrido:
FUNCION CONSTANTE
Su forma: 𝑓𝑥
𝐶
Características:
No posee variable “X”, en todo caso es de la forma 𝑥 0 . Y
La grafica es una
línea recta horizontal pues el valor 𝐶 corresponde al intercepto en el eje “Y”.
1
RUTA DE SOLUCION: Ejemplo: Encontrar el Dominio y Recorrido y grafica la función: 2𝑓(𝑥)
1.- La tabulación para mayor facilidad:
X
-3
Y=2
Y=2
(x,y)
(-3, 2)
-2
-1
0
1
2
3
2.- Dominio:
Recorrido
9
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
FUNCION CUBICA
Su forma es: 𝑓𝑥
𝑏𝑥
𝑐𝑥
𝑑
1 Si grado de la función polinomial es tres ( 𝑥 ), entonces la función es cubica.
Características:
2
𝑎𝑥
La grafica es una Parábola cubica.
O así
RUTA DE SOLUCION
Ejemplo: Encontrar el Dominio y Recorrido y grafica la función: 𝑓(𝑥)
𝑥
𝑥
𝑥
1
Complétalo con tu profesor/a
Y=𝑥
X
𝑥
𝑥
1
(x,y)
-3
(-3, -64)
-2
(-2, -27)
-1
(-1, -8)
0
(0, -1)
1
(1,0)
2
(2, 1)
3
(3, 8)
2.- Dominio:
Recorrido:
Ahora a practicar; no olvides la ruta de solución, Tabular, Dominio y Recorrido y graficar:
5)
𝑓𝑥
6)
𝑓𝑥
7)
𝑓𝑥
8)
𝑓𝑥
Entrégalos a tu maestro/a en limpio
1)
𝑓𝑥
2)
Y=
3)
4)
𝑌
1
𝑥
𝑥
𝑥
𝑓𝑥
𝑥2−
1
9)
𝑥
𝑥 3 −𝑥
𝑥
𝑥
Y=2
= -2
Evaluación de las Funciones. Evaluar una función10)
significaYencontrar
el valor de la variable dependiente,
al sustituirla en la Regla de Correspondencia el respectivo valor de la variable independiente.
Función Real de Variable Real: Es aquella en la que el Dominio y el Recorrido lo constituyen el conjunto
de los números Reales “R”.
10
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
FUNCION INVERSA
Funciones Crecientes y Decrecientes: al graficar una función nos podemos dar cuenta si es creciente o
decreciente así: Creciente, Cuando a un aumento en el Dominio “X” corresponde un aumento en el Recorrido
“Y”, por el contrario es Decreciente cuando a un aumento en el Dominio “X” corresponde una disminución en
el Recorrido “Y”. Toda función Creciente o Decreciente es uno a uno.
Función Inyectiva o función uno a uno: es aquella en donde a cada valor de “Y” en el Recorrido, le corresponde
uno y solamente un único valor de “X” en el Dominio.
Evaluar la función si es uno a uno: debemos graficar la función y trazar rectas horizontales que intersecten la
grafica, si las rectas horizontales la cortan una sola vez entonces es una función uno a uno.
𝑥3
Por Ejemplo: demostrar que la función 𝑓𝑥
𝑥 es creciente o uno a uno.
Paso 1. Siempre Tabula:
X
Y=
𝑥3
𝑥
(x,y)
-3
…Creciente
-2
Decreciente
Creciente…
-1
0
1
2
3
Es Creciente en]-α, -2+ U *2, α+*
Es Decreciente]-2, 2]
Practica y entrégalos a tu maestro/a
Indica los intervalos donde la función dada es creciente y donde es decreciente.
1
𝑥
𝑓𝑥
𝑓𝑥
9
𝑥
𝑓𝑥
𝑥
1
11
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
No todas las funciones tienen una función inversa, las únicas funciones que poseen inversa son las funciones
uno a uno o Inyectivas o lo que es lo mismo las que son crecientes o decrecientes.
Si 𝑓 es una función Inyectiva entonces su inversa es 𝑓 − , de aquí concluimos que:
1) El Dominio de 𝑓 = Rango de 𝑓 − .
2) El Rango de 𝑓 = Dominio de 𝑓 − .
X
0
𝑓(𝑥)
x
Y=5(0) – 4 = -4
(x,y)
(0, -4)
1
Y=5(1) – 4 = 1
(1, 1)
2
Y= 5(2) – 4= 6
(2, 6)
El método para encontrar la Función Inversa de una Función es:
a) Se determina si la función dada es uno a uno o Inyectiva.
b) Se intercambian las variables “X” y “Y” para obtener 𝑥
“ X “ por “ Y “
X
𝑓−
𝑥
y
𝑓(𝑦) .
“Y “ por 𝑓 −
(x,y)
(𝑥)
-4
Y =0
(-4, 0)
1
Y =1
(1, 1)
6
Y =2
(6, 2)
Primero
Hagamos un ejemplo: Encontrar la función inversa 𝑓 − de la función 𝑓(𝑥)
𝑥
Demuestra si la función es uno a uno. “Complétalo”
X
Y = 3x + 4
(x,y)
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y = 3X + 4
Segundo
Intercambiemos: “ X “ por “ Y “
y
“X “ por 𝑓 −
X = 3 𝑓 − + 4 ahora despejemos “𝑓 − ” 4 esta sumando pasa a restar.
X – 4 = 3𝑓 −
𝑥–
3 esta multiplicando pasa a dividir.
= 𝑓 − así hemos encontrado Inversa.
Compara las graficas y que concluyes?
12
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
Practica y entrégalo a tu maestro/a:
Encuentra las funciones inversas a las funciones siguientes:
𝑦
𝑥
1
2) 𝑦
𝑥
3) 𝑓(𝑡)
𝑡
No olvides la ruta de solución: Verifica si es uno a uno, intercambia las variables
X por Y , despeja Y , luego sustituye a y por 𝒇−𝟏 .
Ojo
Cuando una función NO cumple con la condición de ser uno a uno o Inyectiva, se puede
restringir el dominio, de tal manera que la función dada se convierta en una función uno a uno y poder
obtener su inversa, el procedimiento para ello es el siguiente:
Ejemplo: para 𝑓(𝑥)=
𝑥−
𝑓(𝑥)
𝑥
(𝑥
Hagamos la grafica: usa algunos valores
𝑠𝑖 𝑥
) 𝑠𝑖 𝑥
≥ 𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑠𝑖 𝑥 ≥
<
𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑠𝑖 𝑥 < .
Observa: está formada por dos Rectas.
Y = X – 3 Dominio: [-3, +α * e y =-(x – 3) Dominio:]-α, 3+
Y = -(x – 3)
Y=x–3
Por lo tanto 𝑓(𝑥)
𝑥
no es Inyectiva.
Para Transformarla en Inyectiva tomamos cualquiera de los dominios:
Dominio: [-3, +α * ó Dominio:]-α, 3+ .
Si tomamos el Dominio restringido: [-3, +α *, corresponde a Y = x – 3 saquemos la función inversa:
Y=x–3
𝑥
𝑦
Se intercambian las variables “X” y “Y” para obtener 𝒙
despejando “y” 𝑦
Entonces 𝒇−𝟏
𝑥
𝒇(𝒚) . “ X “ por “ Y “ y “Y “ por 𝒇−𝟏 .
𝑥
, grafiquemos esta función: ¡probemos si es uno a uno ¡
13
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
Si tomamos el otro Dominio Dominio:]-α, 3+ que corresponde a y = - (x – 3) = 𝑦
Encontremos su inversa: 𝑦
𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥
Intenta uno: 𝑓(𝑥)
𝑥
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒇
𝟏
𝑥
𝑥
.
Grafiquemos;
y entrégalo.
FUNCIONES TRASCENDENTES
Definiciones importantes:
Forma de la Función exponencial.
Exponencial
Función Exponencial: Las funciones exponenciales describen
crecimientos o decrecimientos acelerados y su aplicación se da en
campos como la Demografía, la Química, la Economía, la Biología entre
otras ciencias.
𝑎𝑥
𝑓(𝑥)
Llamada función exponencial de base a.
Algunos ejemplos de bases son:
CARACTERISTICAS DE LA FUNCION
EXPONENCIAL.
1)
2)
3)
4)
5)
Dominio = Reales.
Recorrido = Reales +
El intersecto es (0, 1)
Es función uno a uno
El eje “x” es una asíntota.
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 .
( . )𝑥 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙
𝑓(𝑥)
1
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 1
е𝑥 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒.
Veamos cada una de ellas:
14
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
El Dominio, Recorrido y la Grafica de una Función
Exponencial:
Hagamos un ejemplo:
𝐹(𝑥)
𝑎 𝑥 con a > 0 y ǂ 1 se tiene que:
Para 𝑓(𝑥)
Dominio = Reales
y el
𝑥
Encuentra el Dominio y Recorrido y
Grafícala.
Recorrido = Reales +
SIGUE LA RUTA YA APRENDIDA:
Paso II: Grafícala
Paso I: Tabular, complétala:
X
𝑦
𝑥
(x,y)
-3
( -3, 0.125)
-2
( -2, 0.25 )
-1
(-1, 0.50 )
0
( 0, 1)
1
(1,2)
2
( 2, 4 )
3
(3,8)
Paso III: Dominio: Reales
+++
Resuelve las siguientes funciones, siguiendo los pasos de arriba, compáralas y llega a
conclusiones con tu profesor/a, no olvides presentarlos en limpio.
1) 𝑓(𝑥)
𝑥
2) 𝑓(𝑥)
1.
𝑥
3) 𝑓(𝑥)
Recorrido: Reales +
( )𝑥
15
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
CRECIMIENTO EXPONENCIAL.
Una aplicación de las funciones exponenciales es la descripción del crecimiento poblacional, la
propagación de una enfermedad, el crecimiento del dinero depositado en una cuenta de ahorros,
hagamos algunas demostraciones.
Ejemplo 1: Elisa deposita $ 500.00 en un banco que paga el 5.56% de interés anual ¿Cuánto dinero
tendrá ahorrada después de uno, tres y cinco años?, si la ley de asignación que se aplica es
𝑓(𝑥) 𝐶𝑒 𝑟𝑥
Donde: C = Cantidad inicial ó capital
Final
r = tasa de crecimiento
X = Tiempo 𝑓(𝑥)
Cantidad
Ruta a seguir:
1: que ley de asignación se aplica. 𝑓(𝑥)
2: con que datos contamos.
𝐶𝑒 𝑟𝑥
C = $ 500.00
r = 5.56%
3: sustituir estos datos en la ley de asignación:
𝑓(
)
𝑒
(0.0
X = 1, 3, 5 años.
𝑓(
)
𝑒 (0.0
)
; 𝑓(
)
𝑒 (0.0
)
)
4: Grafiquemos para visualizar mejor el comportamiento del ahorro.
16
;
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
1) Se ahorran $2,200.00 si pasados x años el nuevo saldo se rige por la ley de asignación:
𝑓(𝑥)
(1. )𝑥 ¿cuanto dinero se tendrá al cabo de 3 años?
2) Se ahorro una cantidad C de dinero, el nuevo saldo pasado 10 años es de $ 63510.00 y se
rige por la ley de asignación 𝑓(𝑥) 𝐶𝑒 0.0 𝑥
3) Un trabajador se jubila al cabo de 30 años de servicio y recibe una bonificación de
$ 25,000.00 y desea ahorrarlo a una tasa de 8% de interés, cuanto tendrá ahorrado al final 5 años.
4.- El crecimiento demográfico en cierta ciudad de El Salvador se rige por la ley de asignación
𝑝(𝑥)
(1 )0.0 𝑡 . Cual es la población al momento del estudio?, que población
después de un año? Y la población después de quince años.
5.- Un cultivo de Bacterias crece de acuerdo a la ley de asignación 𝑦
Donde t esta expresado en días, a) después de una semana.
1
𝑒 0. 𝑡 .
b) después de tres semanas
Función Logarítmica.
Conceptos importantes:
Los logaritmos nos ayudan a resolver problemas de aritmética y
geometría entre otros con mayor facilidad, de esta manera en lugar de
multiplicaciones se hacen solamente sumas; llamado esto PROPIEDAD
1, y en lugar de las Divisiones se hacen restas; PROPIEDAD2.
La Función exponencial es uno a uno por lo tanto tiene su Inversa de
aquí la función logarítmica.
𝑓(𝑥)
𝑎𝑥
Donde а ǂ 1
y
а>0
𝑓(𝑥)
𝑎𝑥
17
Logaritmo base a de x
𝑦
Ejemplo:
𝑎𝑦
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 Si solo si 𝑥
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
𝑙𝑜𝑔 8 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 8
Es decir que “y” es el logaritmo base “a” de “x”
esto solo si “y” es el exponente al cual se eleva
la base “a” para obtener “x”
𝑙𝑜𝑔 9 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 9
𝑙𝑜𝑔
1
1
𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠
1
1
−
Otros Ejemplos:
Expresar en forma Logarítmica: 9
𝑙𝑜𝑔
Si
9
00 𝑥 encontrar el valor de “x”
Se sabe que 𝑦
𝑙𝑜𝑔
1
2
solución:
9
𝑥
= x, x = 20
encontrar el valor de “y”
Solución: 𝑦
Un ultimo caso
𝑙𝑜𝑔9
solución:
𝑙𝑜𝑔
𝑙𝑜𝑔𝑎 1
es equivalente a
𝑦
entonces
𝑦
−
por lo tanto y = -1
encontrar el valor de a.
Solución:

Lo pasamos a forma logarítmica: 𝑎−

Pasamos el exponente a positivo:

Despejamos 𝑎
1
1
𝑎3
1
1
𝑎
𝑎
encontramos a
3
= a=
Pasando de Exponencial a Logarítmica
9
9.
Leamos así: log base 9 de 729 es igual a 3.
𝑙𝑜𝑔9
9
18
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
Cuales son las características de una función logarítmica?
Grafiquemos la función
Características:
1
2
𝑦
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 o 𝑥
𝑎 𝑦 con а > 0 y а ǂ 1
1.- El dominio: Reales Positivos.
2.- El Recorrido: Los Reales
3.- La Función es creciente para а > 1 y decreciente
cuando 0< a < 1.
4.- Es una función uno a uno.
5.- intersecta al eje “x” en (1 ) y no corta al eje “y”.
6.- El eje de las “y” es una asíntota
Pasando de Logarítmica a Exponencial:
𝑙𝑜𝑔 9
Interpretación:
9
𝑙𝑜𝑔 0 𝑥 Significa que la base es 10.
Leemos así:
𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑠 "𝑒"
9 es igual a 3 elevado al cuadrado (2)
A los logaritmos de base 10 se llama: LOGARITMOS COMUNES.
Cuando escribimos: 𝑦
𝑙𝑜𝑔𝑥 sabemos que:
Dominio es un intervalo de cero al infinito positivo y el Recorrido son los reales.
Entonces todo numero positivo x se puede expresar como una potencia, así:
Forma Exponencial
1
−
.
1
−
. 1
1
−
.1
1
0
1
Forma Logarítmica
1
log .
log . 1
1
=1
1
Característica: 1
Log25 = 1.39794
log .1
0 = log 1
1
1
Mantisa: 0.39794
log 1
19
SEGUNDO AÑO DE
BACHILLERATO
20

relaciones y funciones

Transcripción

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